بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى نهاية
المحاضرة الماضية المحاضرة الماضية بدأنا بموضوع ال
diagonalization وكيف نعمل الهو diagonalize للمصوفة
بمعنى خليها مصوفة قطرية ابتدنا بتعريف ال similar
matrix فقلنا ان ال similar matrix بإذا جدرت لاجي
مصوفة تانية Kبحيث الكي هذه non zero matrix يعني او
non singular matrix ايش يعني يعني المعكوس تبعها
موجود بحيث اللي بيبدأ يسوي ال K inverse في ال A في
الكي تمام؟ واخدنا على ذلك مثالا واحدا بعد ما
أثبتناإن إذا كانت ال A similar ل B فإن B similar ل
A وفي نفس اللغة وفي نفس الوقت A is similar to
itself تمام يبقى هذا اللي خدناه المحاضرة الماضية و
الآن بدنا نضيق .. أخدنا طبعا مثال واحد لسه ياما
ناخد أمثلة فبدنا نبدأ نحط بعض المعلومات النظرية
الأساسية أو العمودي الفقري في هذا sectionبيقول لي
to show that the given n by n matrix is a is
similar to a diagonal matrix و ال diagonal matrix
هي بكتوبها بالشكل هذا من حد ما تشوفيها دي يعني
مصوفة قطرية جميع عناصرها أصفرا معادة عناصرالقطر
الرئيسي نأخذ النظرية التالية طبعا من اللمدات هذول
اللمدة واحد و اللمدة اتنين و اللمدة ان هي ال eigen
values مش حياله مش اي ارقام يبقى ارقام محددةطيب
النظرية بتقول إيه؟ the n by n matrix A is similar
to a diagonal matrix ملاحظي المرة اللي فاتت بدينا
canvas A K طلت عني مصروفة قطرية في الآخر، مصبوط
ولا لأ؟ المصروف القطرية العمودي الفقري قيمة ال two
landers اللي طلوا عندي بالضبطيبقى هنا لما أقول الـ
A is similar to a diagonal matrix if and only if
it has a set of linearly independent eigenvectors
K1 وK2 لغاية KM الكلام هذا بدي أعيد صياغته مرة
تانية باجي بقول that is لو كان عند المصوفة K هذه
مصوفة K K1 هو العمود الأول K2 العمود التالت KN
العمود رقم Mوكل eigen vector هذا مناظر لمن؟ مناظر
لل eigen value اللي هي لاندا واحد والتاني لاندا
اتنين والتالتة لاندا تلاتة والاخر لاندا in them ال
K inverse A في ال K بده يساوي المصوفة اللي عندها
دي يعني بده يساوي المصوفة لجميع عناصرها أصفرا ما
عدا عناصر قطة الرئيسي بيكونوا على أسرها هو من؟هذه
النظرية بتحكي بالكارشاكل انها ده يبقى لو اعطاني
مصفوفة ايه بدي اجيب ال diagonal matrix بتاعها بحيث
العناصر تبع ال diagonal matrix يكونوا هم ال eigen
values يبقى بدي احاول اجيبالـEigenvectors اللي
عندنا والـEigenvectors بس بيشرّنوا كلهم linearly
independent لأنه جالي linearly independent ولو
واحد يعتمد على التاني كلهم مستقلات عن بعض تمام
الاستقلال يبقى بحص العالمين على ال diagonal matrix
الان بدأجي للعنوان اللي انا رافعه المرة اللي فاتت
كنا بنتكلم عن ال similar matrix فقط و لم نتكلم عن
ال diagonalization تمام؟ هذا الكلام اللي احنا
بنحكي هو ال diagonalization و احنا مش ذارين طلع
التريفش بقول
التعريف اللي جابله if a is a similar to a diagonal
matrix يعني هالكلام هذا صحيح then a is said to be
diagonalizableيبقى المصوفة ايه بنقدر نعملها على
شكل مصوفة قطرية يبقى لو كانت المصوفة similar to a
diagonal matrix automatic بقول ان ال a دي
diagonalizableطيب التعريف التاني بيقول لو كانت ال
a diagonalizable matrix then it processes يتفترض
in linearly independent eigenvectors يبقى ال
eigenvectors اللي عندنا عددهم يساوي in بدهم يكونوا
linearly independentوهذه الستة نسميها complete set
of eigenvectors يبقى هذه المجموعة الكاملة لمين لل
eigenvectors اللي عندنا على أي حال التعريف
الأولاني دقيق جدا لأنه هيقولك كيف بدك تخلي المصوفة
دي diagonal matrix صح السؤال ممكنطلع هنا نطرح حدث
و نحاول الإجابة عليه نمشي خطوات محددة الآن بعد
قليل فتجيجي معايا بقول how to diagonalize an n by
n matrix انا بعطيك مصفوفة لما اعطيك مصفوفة كيف
المصفوفة ديبتكتب عليها على شكل قطري فقط وبحيث
عناصر القطر الرئيسي هما الـEigenvalues فقط لا غير
بقول لها بدي أمشي تلت خطوات اللي عندنا خطوة الأولى
Find in linearly independent eigenvectors of the
matrix A,C,K1,K2 لغاية KN وهذا الكلام بجيناه احنا
بنوجده في الأمثلة السابقة كل أربع section واحد كان
ال eigenvalues و ال eigenvectorsإذا الخطوة الأولى
تحصيل حاصل في كل الأمثلة اللى فاتت سواء كانت
complex اللى اللى لعنها كانت complex أو real صحيح
ولا لا يجب الخطوة الأولى لم نأتي بجديد نجي الخطوة
التانية finally matrix Kاللي هي عناصر هم اللي عمود
الأول كواحد كتنين كام يبجى هذه برضه كنا بنكتبها
اللي هو العناصر اللي عندنا هذه تبعت ال
eigenvectors لما نقول الست هذه تُسمّت ال bases لل
eigen spaces تمام؟ يبجى، إيه المصروف في هذه؟Where
الكهات هذول are called eigenvectors يبقى جيبنا له
المصوفة تحصيل حاصل كمان هذه يعني ال eigenvectors
اللي جيبناهم بدك تكتبهم بس على شكل المصوفة هي اللي
بتقوله منهم الخطوة الثانيةيبقى الخطوة الأولى بدي
أجيب ال eigenvalues و ال eigenvectors الخطوة
التانية بدي أكتب ال eigenvectors على شكل مصفوفة
الخطوة التالتة دي matrix المصففة كإنفرس A كي والب
A دياجونال matrix حديها الرمز دي يبقى بتطلع عندك
ال diagonal يعني بدي أضربمعكوس المصفوفة K اللي
طلعت هنا هنا في اتنين في المصفوفة A الأصلي اللي
عندي في المصفوفة K النتج لازم يطلع المصفوفة اللي
عندنا هذه where lambda I the eigenvector the
eigenvalue corresponding to Ki والI من واحد لغاية
مين لغاية ال N طب حد فيكم بتحب تسأل أي سؤال في
الكلمتين انا اضغطيك قبل ان نذهب للتطبيق العاملي
لهذا الكلامحدث فيكوا تحب تسألوا اي سؤال؟ جاهزين؟
طيب طبعا تعرفوا الامتحان وجه اليوم 24 اللي هو يوم
الثلاثاء مش بكرا الثلاثاء اللي بعدها الأربعة ولا
الثلاثة؟ الأربعة الأربعة مافيش مشكلة عادي جدا يبقى
الامتحان يوم الأربعاء اللي هو القادم ساعة قد أيش؟
ساعتين تانية بعد ما نخلص محاضرتنابس عند الطلاب مش
عندكم. طيب على أي حال ما علينا يبقى الامتحان كما
هو في chapter 3 و باقي chapter 2 مش هنضيف زيادة
للمتحان انطبعه جاهز.هذا هو المثال اللي عندنا بيقول
خد المصوفة نظامها اتنين في اتنين زي ما انت شايف
هاتل ال eigen value و ال eigen vectors يبقى هذا
اللي كنا بنجيبه المرة الماضية في ال section اربعة
واحد بعدين تبيني ان ال a is diagonalizable يبقى
بعدين تبيني ان المصوفة aبقدر استبدلها بمصفوفة
قطرية عناصرها هما عناصر من الـ eigenvalues إذا بدي
أبدأ زي ما كنت ببدأ هناك بدي أخد lambda I ناقص
المصفوفة A وتساوي I Lambda و هنا Zero Zero Lambda
ناقص المصفوفة A
بالشكل اللي عندنا هذا هذي بتصبح على الشكل التالي
هنا لندن مافيش غيرها و هنا ناقص واحد و هنا ناقص
اتنين و هنا لندن ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا
بعد ذلك سأحصل على determinant من خلال الـ
determinant أو المحدد سأحصل على قيم الـ
eigenvalues يبقى سأحصل على determinant لمن ل
lambda I ناقص الـ A و أسوي بالزيرو يبقى هذا معناه
ان المحدد lambda سالب واحد سالب اتنين lambda سالب
واحد سيسوىبتفك هذا يبقى لاندا في لاندا ناقص واحد
ناقص اتنين يساوي مين؟ يساوي Zero يبقى المحدد هذا
في لاندا تربيع ناقص لاندا ناقص اتنين يساوي Zero
بدي احلل هذا كحصل ضرب قوسين يبقى او حصل ضرب عاملين
يساوي Zeroهنا lambda هنا lambda هنا واحد هنا اتنين
هنا ناقص هنا زائد يبقى زائد lambda او ناقص اتنين
lambda بيبقى ناقص lambda واحدة هي موجودة عندنا
يبقى تحليلنا سليم يبقى بناء عليه lambda تساوي سالب
واحد و lambda تساوي اتنين من هذول البنات
يبقى هذول are the eigenvalues
of the matrix A يبقى هذول اللي هم ال eigenvalues
بعد ذلك نجيب الـEigenvectors يبقى احنا حتى الآن في
الخطوة الأولى لسه جيبنا الـEigenvalues وبعد ذلك
نجيب الـEigenvectors
يبقى بالده دي للمصوفة او لحاصل الضرب اللي هو مين
هذا كله من أول ومبتدأ الحلقة تعتبر النقطة الأولى
نمرة a احنا اننا lambda I ناقص ال a في ال X بيساوي
zero هذه المعادلة الأصلية اللي بنشتغل عليها
ابتدائها من section 4-1 هي هي ماغيرناش هذا معناهم
لاند اي ناقص اتنين هي هجازة المصوفة لانها ناقص
واحد لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص واحد لاند اي
ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين
لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص
اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند
اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص
اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين
بتاخد الحالة الأولى لو كانت Lambda تساوي سالب واحد
مافيش اللي بده يصير يبقى بده أشيل كل Lambda و أحط
مكانها سالب واحد يبقى بصير عنه هنا سالب واحد سالب
واحد و هنا سالب اتنين سالب اتنين في X واحد X اتنين
كله بده يساوي من Zero و Zeroهذا المعادل يجب أن
أفكر المعادلة هذه و أحولها إلى معادلات يعني
المعادلة المصفوهية يجب أن أضربها و أحولها إلى
معادلتين فأقول له ناقص X1 ناقص X2 سيكون Zero وهنا
ناقص 2 X1 ناقص 2 X2 سيكون Zero هذه كانت معادلة يا
بناتمعادلة واحدة تنتهي لك في الحقيقة معادلة واحدة
إذا هذه المعادلة الواحدة X1 زائد X2 بده يساوي Zero
ومنها X1 بده يساوي من سالب X2 أو X2 بده يساوي سالب
X1يبقى باجي بقوله لو كانت ال X2 بدي ساوي A then X1
بدي مين سالب A هذا بدي يعطيني the eigen vectors
are in the form على الشكل التالي اللي هما من X1 X2
بده يساوي X1 اللي هي ناقص A و X2 اللي هي A بالشكل
اللي عندنا او A في سالب واحد واحد
يبقى طالع عندي هذا هو يمثل mean bases لل eigen
vector space المناظر لل eigen value لمن lambda
تساوي سالب واحد
الان بدنا نجي لمين؟ ناخد لان ده التانية يبقى باجي
بقوله هنا F لان ده تزاوي التانية طلت معانا اتنين
يبقى thenلما طلعت لاندا تساوي اتنين يبقى المعادلة
المصففية هتكون عليه الشكل التالي هشيل كل لاندا و
احط مكانها اتنين يبقى اتنين ناقص واحد هنا ناقص
اتنين و اتنين ناقص واحد اللي يبقى درجة اب واحد
بالشكل اللي عندنا هذا X واحد X اتنين بدها تساوي
Zero Zeroهذول هتعطيني معادلتين المعادلة الأولى
اللى هى 2x1-x2 بده يسوى zero والمعادلة التانية
الناقصى 2x1 زائد x2 برضه يسوى zero هذول كام معادلة
يا بنات؟معادلة واحدة لأن لو ضربت التانية فى سالب
بيصير هي المعادلة الأولى يبقى هذا معناه انه اتنين
اكس واحد ناقص اكس اتنين بده يساوي Zero هذا معناه
ان اكس اتنين بده يساوي اتنين اكس واحد يبقى هذا
معناه ان لو كانت ال X واحد تساوي ايه والله بي مثلا
thenبعد ذلك X2 يكون 2B وبالتالي اصبحت هنا من the
Eigen vectors are inthe form صار على الشكل التالي
ال X1 ب B و هنا ب 2B يعني بيه برا و هنا واحد اتنين
بالشكل اللي عندنا هذا طبعا هذا يمثل bases لمين لل
eigen vector space اللي عندنا طيب الآن خلصت اللي
هو المطلوب الأولالمطلوب التالي جالي هتل المصفوفة K
باجي بقولها المصفوفة K هي عبارة عن مين؟ هي عبارة
عن K واحد و K اتنين في عندي غيرهم؟ ماعنديش غيرهم K
واحد اللي هو من سالب واحد و واحد و K اتنين K اتنين
هي عبارة عن العمود واحد و اتنينلاحظ ان اتنين هدول
linearly dependent ولا linearly independent
اندبندنت ليش ان ولا واحد فيهم مضاعفات الآخر يبقى
هنا باجي بقولك بين جثين نوتthat لحظة أن السالب
واحد وواحد and التاني واحد واتنين are linearly
independent
الخطوة التالتة هي المطلوب نمر بيه من المسألة بيّلي
ان a is diagonalizable يعني احنا حتى اللي هنجيبنا
ال eigenvalues و ال eigenvectors اللي عندنا و
حطناهم على شكل مصفوفة اذا بيداجي لنمر بيه من
السؤالمش هنجيب نمرة بيه بدي أجي للمصفوفة K و أجيب
من المعكوث سبعها مش هنجيب المعكوث سبعها بدي أعرف
قداش ال determinant لل K تمام يبقى المحدد سالب
واحد واحد اتنين ويساوي سالب اتنين سالب واحد ويساوي
قداش سالب تلاتة وزي ما انتوا شايفينلا يساوي zero
يعني هذه المصفوفة non singular matrix يبجى هذا
معناه انك is a non singular matrix
ما دام non singular matrix إذا إيه اللي هي معكوس
بدنا نروح نجيب المعكوس تبع هذه المصفوفة و نضربه في
المصفوفة A و كذلك في المصفوفة K تسلم يبقى الان K
inverse AK إيش بده تعمل إيش الناتج يا بنات حتى
بتجري تقولي جديش الناتج
هما المصوفة نظام اتنين في اتنين بحيث القطر الرئيسي
هو ناقص واحد واتنين والقطر الرئيسي الثانوي يبقى
أسفار يعني جاب المبدأ لإن هذه المصوفة هي اللي
بتعملي ال diagonalization للميم للمصوفة A وبالتالي
بقول ال A is diagonalizable طيب هذا معناه طبعا
هتعرفيش مين يا بنات؟النتج المصوفة اللي بتطلعيش
بقول عليها similar to a مش هتعرف ال similar وكأنه
ال similar هي من؟ هي ال diagonalization هي نفس
العملية بس هنا حطنا لها شغل و كده هناك ماكناش
بنعرف هذا الكلام في المثال اللي اطرحناه المحاضرة
الماضيةيبقى هذا الكلام يساوي بالداخل لمعكوس
المصوفة K بنبدل عناصر القطر الرئيسي مكان بعض
وبنغير إشارات عناصر القطر الثانوي وبنجسم على محدد
هذه المصوفة المحدد هذا كده؟ سالب تلاتة يبقى هاي
واحد على سالب تلاتةبتداجي هنا هذا اتنين وهنا سالب
واحد وهنا سالب واحد وهنا سالب واحد غيرت اشارات
عناصر القطر الثانوي وبدلت عناصر القطر الرئيسي مكان
بعض ال a باجي بنزلها كما كانت له zero واحد اتنين
واحد مصوفة ك كما هي واحد اتنين ويساويسالب تلت
خلّيك برا تمام؟ بيضل لإن هنا بدي أدرب المصفتين
مثلا هذا اتنين سالب واحد سالب واحد سالب واحد فيه
بدي أضرب هدول المصفتين في بعض يبقى Zero واحد اللي
هو بواحد يبقى Zero واتنين يبقى في اتنينيبقى سالب
اتنين و واحد يبقى سالب واحد اتنين و اتنين يبقى كده
اش؟ اربعة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام
بده يساوي سالب طول فيه نضرب المصفتين هدول في بعض
يبقى هنا اتنين و هنا واحد يبقى تلاتةهنا أربعة
وناقص أربعة يبقى zero تمام هنا صف ثاني سالب واحد
وموجب واحد يبقى zero الصف الثاني في العمود التاني
سالب اتنين وسالب أربعة يبقى سالب ستة بالشكل اللي
عندنا دهبدي اضرب كل العناصر في سالب طول يبقى هذا
بيعطيكوا جداش سالب واحد و هنا zero و هنا zero سالب
مع سالب موجب و هنا باتنين اطلعلي عناصر القطرة
رئيسي سالب واحد و اتنين هي قيم main ال eigen value
المعنى هذا الكلام ان ال a is diagonalizable يبقى
هناالـ A is diagonalizable
وهو المطلوب
ناخد الملاحظة هذه remark it
should be noted that it should be noted that يجب
ملاحظة ان not every square matrix not every
square matrix مش كل مصوفة مربعة is similar to
a diagonal matrix
because السبب
بسبب ان ليس كل مقاطع كل مقاطعة
لديها
مقاطعة كاملة كمقاطعة
complicit of eigenvectors
example
is
the matrix A تساوي
ايتنين تلاتة زيرو اتنين Similar to
a diagonal matrix
العمود هذا لازم خلاص خلي
بالكمالملاحظة اللى كتبناها المثال اللى جاب لو كان
هنا مصحوف مربع نظام اتنين في اتنين لقناها
diagonalizable لما نسأل هل المصحوف دي
diagonalizable ولا لا انا بفهم منها شغلتين الشغل
الاولى قد تكون diagonalizable وقد لا تكون
diagonalizableإذا ما بنقدر نقول مش كل مصفوفة
similar to اي مصفوفة أخرى ليس بالضرورة أو بمعنى
أخر مش كل مصفوفة بتكون diagonalizable طيب كيه بدنا
نثبت صحة هذا الكلام أو كيه بدنا نبين هذا الكلام؟
إيش بقولي هنا في الملاحظة دي؟
مش كل مصفوفة مربعة مشكلة مش كل مصفوفة
مربعة مشكلة
مش كل
square matrix المصحوفة مربعية و complete set of
eigenvalues تعالى نترجم هذا الكلام على أرض الواقع
المعطيني المصحوفة وجالى يشوف لي هل هذه
diagonalizable ولا not diagonalizable إذا بدي أمشي
مثل ما مشيت في المثال اللى طوى شوف حالي إلى وين
بدي أوصل هل بقدر أكمل ولا بقدرش أكملوإذا ماقدرش
أكمل إيش الشيء اللي خلاني ماقدرش أكمل الحكي تبعي
بقوله بسيطة إذا أنا بدي أبدأ ب lambda I ناقص ال a
يبقى اللي هي mean lambda 00 lambda ناقص ال a 2302
ويساويهنا لاندا ناقص اتنين وهنا ناقص ثلاثة و zero
كزي ما هو وهنا لاندا ناقص اتنين بشكل اللي عندنا
هذابدى اخد المحدد يبقى determinant لlanda i ناقص
ال a ويسوى المحدد landa ناقص اتنين ناقص ثلاثة zero
landa ناقص اتنينيبقى هذا lambda ناقص اتنين لكل
تربيع ناقص ال zero هذا الكلام بده يساوي zero يبقى
هذا معناه ان ال lambda ناقص اتنين لكل تربيع يساوي
zero هذه معادلة من اي درجة من درجة ان يبقى لها كم
حل حلين يبقى هذه المعادلة لك الحلان
يبقى هذا الكلام بناء عليه ان لاندا واحد تساوي
لاندا اتنين تساوي اتنينبناء عليه سأحصل على
الـEigenvectors المناظرة لمن؟ لـLanda تساوي اتنين
يبقى باجي بقول هنا لو أخدنا لاندا واحد تساوي اتنين
تمام؟ بدي أروح أخد من؟ لاندا I ناقص الـA في الـX
كل هذا الكلام بدي يساوي Zero هذا بدي يعطينالاندا
اي ناقص ليها هذه المصوفة هشيل لاندا هذه و اكتب
مكانها جداشو اكتب مكانها اتنين بيصير هايها هاي
لاندا ناقص اتنين ولا شي تقولي من وين اجت و هنا
ناقص تلاتة و هنا zero و هنا لاندا ناقص اتنين و هاد
ال X واحد X اتنين بدها ساوي zero و zero بالشكل
اللي عندنا هنايبقى لما لاندا تساوي اتنين بيصير
المصفوفة لانها تبقى كم؟ Zero وهذه سالب تلاتة وهذه
Zero وهذه Zero في X واحد X اتنين بده يساوي Zero و
Zero يبقى الصف الأول في العمود الأول بيعطينا مين؟
بيعطينا سالب تلاتة X اتنين يساوي Zero في غير هي
كده؟ما اعطانيش الا معادلة واحدة بمجهول واحد كل
اللي بقدر اقوله من هذه المعادلة ان ال X2 بده ساوي
قداش طب و ال X1 اي رقم؟ مين مكان يكونيبقى باجي
بقوله and اكس اتنين بده يسوي ال a say مثلا يعني اه
وقع كيف؟ بسمع
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1
يبقى X1 يبقى
تو لاندا واحد يساوي اتنين are in the form على
الشكل التالي X واحد X اتنين يساوي X واحد اللي هو ب
A و X اتنين اللي هو بقداش ب Zero اللي يساوي A في
واحد Zero طب
لاندا مكررةيبقى التانية زيها صح ولا لأ يبقى also
the eigenvectors
corresponding to
land اتنين تساوي اتنين are in the four
يبقى أصبحت على الشكل التالي اللي هو بي مثلا لكن هي
هي نفسها ماتغيرتش يبقى ليس بي وإنما ايه في واحد
زيرو
طيب تعالى نشوف في هذه الحالة شو شكل المصوفة K
المصوفة K بحط فيها ال Eigen vectors مظبوطة ولا لأ
يبقى بناء عليه المصوفة K بدها تساوي 1010
تمام
لو رجعنا ل a similar to b يقولنا if there exists a
non singular matrix K such that تمام؟ بدنا نشوف هل
هذه singular ولا non singular
يبقى احنا بنات هنا طلعنا المصوفة K تبعت ال
eigenvectors على الشكل اللي عندنا هذا جينا اخدنا
المحدد اللي لها وجينا المحدد اللي يساوي مين؟ Zero
مدام المحدد Zero يعني ال K inverse does not exist
لأن المصوفة اللي لها ماكوس هي المصوفة اللي محددها
لا يساوي Zero تمام؟يساوي زي رويب جهدي مش موجودة،
مدن مش موجودة، إذا لا يمكن تبقى المصوفة similar to
a diagonal matrix أو المصوفة بقول عنها هي
diagonalizable يعطيكوا العافية