Delete nardus

nardus/123456789-10016.txt

@@ -1,316 +0,0 @@
-<s>Stabilnost i oscilovanje zapreminski opterećene pravougaone nanoploče uz korišćenje nelokalne teorije elastičnosti.</s>
-<s>Nelokalna teorija elastičnosti, nano-ploča, stabilnost, oscilovanje, Galerkinova metoda, Metoda diferencijalnih kvadratura UDK</s>
-<s>U ovoj tezi proučene su oscilacije i stabilnost zapreminski opterećene pravougaone nano-ploče uz korišćenje Eringenove teorije elastičnosti.</s><s>Zapreminsko opterećenje je konstantno sa pravcem koji je u ravni ploče.</s><s>Granični uslovi su modelovani kao pokretna uklještenja.</s><s>Klasična teorija ploča i Karmanova teorija ploča, koje su nadograđene Eringenovom teorijom elastičnosti, iskorišćene su za formiranje diferencijalne jednačine stabilnosti i oscilovanja nano-ploče.</s><s>Galerkinovom metodom određene su sopstvene frekvencije transverzalnih oscilacija nano-ploče u zavisnosti od efekata zapreminskog opterećenja i nelokalnosti.</s><s>Određene su kritične vrednosti parametra zapreminskog opterećenja pri kojima nano-ploča gubi stabilnost.</s><s>Prikazan je uticaj efekata zapreminskog opterećenja i nelokalnosti na nekoliko oblika oscilovanja.</s><s>Verifikacija rezultata izvršena je pomoću metode diferencijalnih kvadratura.</s>
-<s>Stability and vibration of rectangular nanoplate under body force using nonlocal elasticity theory</s>
-<s>Nonlocal elasticity theory, nanoplate, stability, vibrations, Galerkin's method, differential quadrature method</s>
-<s>In this thesis, the problem of stability and vibration of a rectangular single-layer graphene sheet under body force is studied using Eringen’s theory.</s><s>The body force is constant and parallel with the plate.</s><s>The boundary conditions correspond to the dynamical model of a nanoplate clamped at all its sides.</s><s>Classical plate theory and von Kármán plate theory, upgraded with nonlocal elasticity theory, is used to formulate the differential equation of stability and vibration of the nanoplate.</s><s>Natural frequencies of transverse vibrations, depending on the effects of body load and nonlocality, are obtained using Galerkin’s method.</s><s>Critical values of the body load parameter, i.e., the values of the body load parameter when the plate loses its stability, are determined for different values of nonlocality parameter.</s><s>The mode shapes of nanoplate under influences of body load and nonlocality are presented as well.</s><s>Differential quadrature method is used for verification of obtained results.</s>
-<s>Nano-struktura: (a) grafenski listić (SLGS), (b) nelokalni kontinuum, nano-ploča.</s>
-<s>Elementarni deo ploče, i raspodela normalnih i tangencijalnih napona i opterećenja.</s>
-<s>Delovanje momenata i sila po jedinici dužine i opterećenja � na elementarni deo ploče.</s>
-<s>Stvarna opterećenja koja deluju u srednjoj ravni na elementarni deo ploče.</s>
-<s>SPISAK SLIKA priraštaji i poprečno opterećenje �, koje se javljaju u elementarnom delu ploče usled njegovog složenog naprezanja.</s>
-<s>Primer konstantnog zapreminskog opterećenja usled ravnomernog kružnog obrtanja ploče.</s>
-<s>Smer i dejstvo inercijalne sile na elementarni deo nano-ploče usled slobodnih oscilacija.</s>
-<s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijskog parametra frekvencije � � i bezdimenzijskog parametra nelokalnosti �̅: (a) za slučaj kvadratne</s>
-<s>Ukupni dijagrami stabilnosti prilikom promene bezdimenzijskog parametara nelokalnosti �̅ i zapreminskog opterećenja : (a) za slučaj slučaj pravougaone ploče � =0.5.</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,0), za slučaj kvadratne ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,0), prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja:</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (1,0), za slučaj kvadratne ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (1,0), prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja:</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,1), za slučaj kvadratne ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Kvadratna nano-ploča.</s><s>Provera konvergencije rešenja Galerkin-ovom metodom (GM), usled spojenog efekta bezdimenzijskih parametara nelokalnosti �̅ = 0.002 i zapreminskog opterećenja � = 60.</s>
-<s>Kvadratna nano-ploča.</s><s>Provera konvergencije rešenja na osnovu metode diferencijalnih kvadratura (DQM), usled spojenog efekta bezdimenzijskih parametara nelokalnosti �̅ = 0.002 i zapreminskog</s>
-<s>Upoređivanje vrednosti sopstvenih frekvencija izračunate Galerkinovom metodom (GM) i metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), za vrednostima dobijenim u radu Leissa [34,1969].</s>
-<s>Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =1, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =0.7, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =0.5, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče,</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče,</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče,</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), i metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), za slučaj kvadratne ploče, � =1.</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), i metodom diferencijalnih</s>
-<s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), i metodom diferencijalnih</s>
-<s>Istraživanja na polju nano-struktura u proteklih nekoliko godina u svetu u naglom su porastu.</s><s>Ona su posvećena detaljnom izučavanju njihovih mehaničkih, hemijskih, toplotnih i električnih osobina.</s><s>Osnovni cilj ovih istraživanja je pravilno razumevanje njihovog ponašanja usled statičkih i dinamičkih opterećenja i što bolje iskorišćavanje njihovih potencijala, kako bi one ubuduće ispunile očekivane zadatke prilikom razvoja mikro-elektromehaničkih sistema (microelectromechanical</s>
-<s>Pristupi izučavanja mehaničkih osobina nano-struktura mogu se podeliti u dve grupe.</s><s>Prvi pristup u njihovoj detaljnoj analizi zasnovan je na eksperimentalnim metodama.</s><s>Kod izučavanja mehaničkih osobina nano-struktura on je najzahtevniji, jer ispitivanje modela na mikro- i nano-skali nije nimalo lak zadatak.</s><s>Ono zahteva izuzetno skupu opremu i iziskuje dugo vremena kako bi se dobili očekivani rezultati.</s><s>Drugi pristup za modeliranje i simulacije nano-struktura, opisan u radu Guoxin [23, 2014], deli se na dve kategorije: atomističke simulacije na mikro- i nano-skali i primena mehanike kontinuuma.</s><s>U prvoj kategoriji numeričko ispitivanje vrši se na osnovu principa molekularne dinamike, semi-empirijskih metoda i prvog principa kvantne mehanike.</s><s>Od ove tri vrste principa najefikasniji je princip molekularne dinamike (molecular dynamics (MD)) jer je on u mogućnosti da obuhvati veći sistem atoma i molekula u proračun, i da tako ispita mehaničke osobine nano-struktura, za razliku od preostala druga dva koji se mogu primeniti na samo mali sistem atoma i molekula, dok su pritom izuzetno skupi.</s><s>Vladajući stavovi u brojnim istraživanjima ukazuju na bitnost razvijanja teorijskih modela primenom mehanike kontinuuma, koja u velikoj meri olakšava ispitivanje statičke i dinamičke analize nano-struktura koristeći teorijski model, koji poređenjem sa metodama molekularne dinamike daje zadovoljavajuće rezultate. predmet izučavanja u literaturi.</s><s>Analiziranje nano-struktura klasičnom teorijom elastičnosti, kod koje je napon u posmatranoj tački funkcija od deformacije u toj posmatranoj tački, nije dovoljno kako bi se pružio željeni rezultat.</s><s>Klasična teorija elastičnosti ne uzima u obzir efekte na maloj skali.</s><s>Kod nano-struktura ovi efekti na maloj skali imaju veliki uticaj na njihovo ponašanje.</s><s>Ti efekti se odnose na dug opseg interakcija između atoma i ne mogu se zanemariti.</s><s>Koristeći Eringen-ovu nelokalnu teoriju elastičnosti, opisanu u radovima Eringen [18, 1983] i Eringen [19, 2002], formira se zadovoljavajući teorijski model koji obuhvata efekte na maloj</s>
-<s>electromechanical systems, NEMS). skali, kod koga je u proračunu obuhvaćena diskretna struktura materijala, i kod koga je napon u posmatranoj tački funkcija od polja deformacija u svakoj tački domena.</s>
-<s>problema stabilnosti i oscilacija predstavlja sastavni deo proračuna kako bi im se ubuduće omogućio nesmetan i suguran rad.</s><s>Ako ispitujemo modele ploča koje su uniaksijalno ili biaksijalno opterećene, određuje se kritična sila izvijanja, koja ploču dovodi u nestabilno stanje.</s><s>Kod problema slobodnih oscilacija ploča neophodno je odrediti sopstvene frekvencije sa kojima ona osciluje.</s>
-<s>Međutim, analizirajući modele ploča na mikro- i nano-skali ovi problemi dobijaju novu formu jer se analizira diskretna struktura materijala koja kao posledicu uvodi u proračun nelokalni parametar koji figuriše u konstitutivnim relacijama.</s>
-<s>Predmet izučavanja u ovom radu je mehaničko ponašanje nano-strukture, odnosno grafenskog nano-listića teorijski modeliranog kao nano-ploča.</s><s>Napraviće se detaljna analiza linearnog dinamičkog ponašanja pokretno ukleštene nano-ploče (kvadratne i pravougaone) koja je zapreminski opterećena i slobodno osciluje.</s><s>Diferencijalna jednačina stabilnosti i oscilovanja složeno opterećene nanoploče formiraće se na osnovu Kirchhoff-ove i von Karman-ove klasične teorije ploča, koje se nadograđuju Eringen-ovom nelokalnom teorijom elastičnosti.</s><s>U nastavku teksta biće obrazložena struktura rada.</s><s>Prvo poglavlje posvećeno je nano-strukturama, gde će biti reči o grafenu i pregledu radova iz oblasti klasične i nelokalne teorije ploča.</s><s>Drugo poglavlje odnosi se na Kirchhoff-ovu klasičnu teoriju ploča i na formiranje diferencijalne jednačine savijanja ploče koja je poprečno opterećena.</s><s>U trećem poglavlju, takođe korišćenjem Kirchhoff-ove teorije, biće formirana diferencijalna jednačina savijanja ploče usled poprečnog opterećenja složenog sa opterećenjem u njenoj ravni.</s><s>U četvrtom poglavlju biće predstavljena Eringen-ova nelokalna teorija elastičnosti, kojom će se nadograditi Kirchhoff-ova i von Karman-ova teorija ploča.</s><s>U petom poglavlju, na osnovu Eringenove teorije elastičnosti, formiraće se diferencijalna jednačina stabilnosti i oscilovanja uz uticaj nelokalnosti, za linearni i nelinearni von Karman-ov teorijski model pokretno ukleštene nano-ploče.</s><s>U šestom poglavlju biće opisane Galerkin-ova metoda (Galerkin method, GM) i metoda diferencijalnih kvadratura (differential quadrature method, DQM), pomoću kojih se rešava diferencijalna jednačina uz nelokalni uticaj za linearni teorijski model nano-ploče.</s><s>U sedmom poglavlju, za prvih nekoliko modova oscilovanja pravougaone i kvadratne nano-ploče prikazaće se verifikacija rezultata, zatim dijagrami zavisnosti bezdimenzijskog parametra zapreminskog opterećenja, i bezdimenzijskog parametra frekvencije usled prisustva efekta nelokalnosti, zatim dijagrama zavisnosti bezdimenzijskog parametra frekvencije i bezdimenzijskog parametra nelokalnosti, i prikaz ukupnih dijagrama stabilnosti.</s><s>Biće prikazani oblici oscilovanja nano-ploče uz prisustvo efekta zapreminskog opterećenja i odsustvo efekta nelokalnosti i oblici oscilovanja nano-ploče gde se javlja njihovo spojeno dejstvo.</s><s>U sledećem poglavlju biće izneta zaključna razmatranja i prikaz literature koja je korišćena u ovoj disertaciji.</s><s>Poglavlja 5, 6 i 7, predstavljaju originalni doprinos ove disertacije.</s>
-<s>Mogućnosti nano-struktura neprekidno privlače pažnju Dugogodišnje detaljne analize na poljima nano</s>
-<s>1.1.</s><s>SVOJSTVA GRAFENA predviđanje njihovih performansi kako bi se ispunila uređaja.</s><s>Jedna od najispitivanijih nano</s>
-<s>Njegovim otkrićem 2004. godine, i na osnovu brojnih izvršenih eksperimentalnih metoda, utvrđeno je da on ima izvanredne mehaničke, toplotne električne osobine, v. Damascelli</s>
-<s>Debljina njegovog sloja iznosi kontinuuma u literaturi se izučavaju slučajevi kada se posmatra samo jedan list grafena (single-layer graphene</s>
-<s>Mehanička svojstva grafenskog listića mogu se videti u tabeli 1. eksperimentalnih metoda izmeren je</s>
-<s>Dugogodišnje detaljne analize na poljima nano-struktura usmerene su na što tačnije predviđanje njihovih performansi kako bi se ispunila očekivana efikasnost Jedna od najispitivanijih nano-struktura u krugu naučne zajednice je gra Njegovim otkrićem 2004. godine, i na osnovu brojnih izvršenih eksperimentalnih metoda, utvrđeno je da on ima izvanredne mehaničke, toplotne, v. Guoxin Damascelli i dr. [17, 2015] i kao takav prednjači u odnosu na široku lepezu materijala koji se nude u savremenoj industriji.</s><s>Grafen je dvodimenzionalna nano-struktura debljine jednoga atoma.</s><s>On je i njegovi atomi su međusobno povezani u heksagonalnu rešetku iznosi 0.335 nm.</s><s>Na osnovu modifikovane mehanike</s>
-<s>struktura neprekidno privlače pažnju naučne kontinuuma u literaturi se izučavaju slučajevi kada se posmatra samo jedan list graphene sheet, SLGS), prikazan na slici 1(a), koji se teorijski nelokalni kontinuum prikazan na slici 1(b).</s><s>U drugom slučaj nano-struktura (multi-layered graphene sheets,</s>
-<s>grafenskog listića mogu se videti u tabeli 1. eksperimentalnih metoda izmeren je Young-ov modul elastičnosti literaturi uglavnom uzima da je � = 1 TPa, dok su numeričkim simulacijama -ovog koeficijenta u opsegu 0.16�0.46 (u radovima se 0.3) i zatezne čvrstoće ���� (intrinsic strength</s>
-<s>Na osnovu modifikovane mehanike kontinuuma u literaturi se izučavaju slučajevi kada se posmatra samo jedan list koji se teorijski</s>
-<s>kod senzora pritiska, v. Arsat i dr. [6, 2009], i kao filter za prečišćavanje zagađene vode, v. Akbari i dr. [7, 2016].</s><s>Koristeći grafen, razvijen je novi pristup kod ispitivanja sigurnosnih uređaja u avioindustriji koji prepoznaju neželjena opterećenja koja prouzrokuju mikro-pukotine u pojedinim delovima i koje dovode do loma materijala, v. Gao i dr. [24, 2017], a može biti i kao ojačanje u kompozitima gde bi njihova primena pronašla značajno mesto u auto- i avioindustriji, v. Lee i dr. [35, 2010].</s><s>Pored nano-strukture od grafena postoje još i heterostrukture, čiji je raspored atoma u kristalnoj rešetki takođe heksagonalan i koje predstavljaju kombinaciju različitih dvodimenzionalnih nano-struktura debljine jednoga atoma, koje su povezane van der Waals-ovim silama.</s><s>Pošto je familija 2D struktura u konstantnom porastu, njihovom kombinacijom mogle bi se dobiti odgovarajuće namenske heterostrukture koje bi bile revolucionarne kao grafen i odgovarale na zahteve industrije.</s><s>Međutim, i njihov problem masovne proizvodnje istovetan je kao kod grafena, v. Novoselov i dr. [47, 2016].</s><s>Ako uzmemo u obzir mogućnosti i prednosti nano-struktura, onda je neophodna primena metoda koji će obezbediti proizvodnju visoko kvalitetnog sloja nano-strukture.</s>
-<s>Metod koji danas u svetu pruža proizvodnju visoko kvalitetnog sloja nanostrukture je hemijska depozicija parne faze (chemical vapor deposition method) ili CVD-metod, kod koga se vrši nanošenje gasnog reaktanta na supstrat (podlogu).</s><s>Ovaj metod je zasnovan na sjedinjavanju molekula gasa u reakcionoj komori koja je u početku podešena na sobnu temperaturu.</s><s>Kada sjedinjeni molekuli gasa dođu u kontakt sa supstratom, koji je u zagrejanoj reakcionoj komori, dolazi do nastanka reakcije, i na površini supstrata pojavljuje se sloj materijala koji treba da obuhvati ceo supstrat.</s><s>Kod ove metode bitni parametri su zapremina gasa, pritisak, temperatura i vreme trajanja, ali temperatura supstrata u reakcionoj komori je od vitalnog značaja za nastajanje visoko kvalitetnog sloja materijala (nano-strukture).</s><s>Ono što bitno izdvaja ovaj metod jeste mogućnost nastajanja površina sa većim skalama od onih prvobitnih na nano-skali.</s><s>Na osnovu CVD-metode može se stvoriti veoma kvalitetan sloj grafena.</s><s>Supstrat u reakcionoj komori mora biti precizno izrađen kako bi se nakon procesa dobila jednaka debljina sloja nastalog materijala.</s><s>Kao supstrat može se koristiti bakar (Cu), v. Alexeev i dr. [8, 2017].</s><s>Međutim, metodom epitaksijalnog rasta (epitaxial growth) grafen raste na rutenijumu (Ru) i ne dobija se precizan uzorak sa ravnomernom debljinom, što može oslabiti njegove karakteristike, v. Sutter i dr. [55, 2008].</s><s>Mana metode epitaksijalnog rasta je ta što se ne mogu dobiti velike površine grafenskog sloja.</s>
-<s>nano-struktura heterostruktura, kako bi one ubuduće ispunile svoje performanse suočavajući se sa zahtevima industrije,</s>
-<s>nano-struktura mogućnost stvaranja materijala od nano-skala ka višim skalama kao i mogućnost masovne proizvodnje, v. Privman i Yan [50, 2016].</s>
-<s>Istražujući probleme slobodnog oscilovanja i stabilnosti u klasičnoj i nelokalnoj teoriji ploča, cilj je odrediti osnovnu frekvenciju sa kojom ploča osciluje i kritičnu silu, pri kojoj će doći do izvijanja ploče i dovesti je u nestabilno stanje.</s><s>Međutim, postoji bitna razlika u ovim teorijama prilikom analize slobodnog oscilovanja i stabilnosti ploče, koja nastaje prilikom posmatranja diskretne strukture materijala kod nelokalne teorije ploča.</s><s>Naime, diskretna struktura materijala uzima u obzir uticaj međumolekularnih sila ili tzv. nelokalni uticaj pri analizi slobodnog oscilovanja i stabilnosti ploča čije su dimenzije na mikro- i nano-skali, koje se opravdano zovu mikro- ili nano-ploče.</s><s>Ovaj nelokalni uticaj pojavljuje se u diferencijalnim jednačinama kretanja sistema kao nelokalni efekat ili parametar nelokalnosti, o kome će kasnije biti više reči.</s><s>Izučavajući mehaničko ponašanje kod grafenskih nano-struktura, posmatrajući grafenski nano-listić, SLGS, koji se teorijski modelira kao nano-ploča, na osnovu Eringen-ove teorije elastičnosti, usvaja se da je njena debljina konstantna, osim u analizi gde je njena promena u debljini posebno naglašena, v. Anjomshoa i dr. [1, 2013], i analizi gde se posmatra kompozitna nano-ploča sačinjena od različitih materijala (functionaly graded materials, FGM), v. Sahmani i dr. [58, 2015], Daneshmehr i dr. [16, 2014].</s><s>Pored izučavanja jednoslojnih grafenskih listića, analiziraju se dvoslojni (double-layered graphene sheets, DLGSs) i višeslojni grafenski listići (multi-layered graphene sheets, MLGSs), kod kojih se interakcija između slojeva grafena vrši pomoću van der Waals-ovih sila (vdW), koje predstavljaju hemijske vezivne sile i koje se u radovima posebno teorijski modeliraju, v. Pradhan i Phadikar [49, 2009], i Azhari i Sarrami-Foroushani [4, 2014].</s><s>Pored analize ovih nano-struktura, postoje još i analize mehaničkog ponašanja nano-sistema (multi-nanoplate system, MNPS), koji su sačinjeni od više jednoslojnih grafenskih listića, koji su međusobno viskoelastično povezani, v. Kozić i dr. [31, 2014], čija je međusobna veza modelovana radova iz klasične i neklasične teorije ploča.</s>
-<s>Babaei i Shahidi [10, 2011] proučili su uticaj nelokalnog parametra na izvijanje nano-ploče, SLGS, oblika romba, trapeza, kvadrata i pravougaonika koristeći Galerkin-ov metod.</s><s>Daneshmehr i dr. [16, 2014] ispitivali su stabilnost biaksijalno opterećene FGM nano-ploče, uz korišćene teorije višeg reda koja je nadograđena nelokalnom teorijom elastičnosti.</s><s>Uticaj nelokalnosti na izvijanje višeslojne nano-ploče, MLGSs, pri neravnomernom biaksijalnom opterećenju koristeći von Karman-ov model, pokazan je u radu Farajpour i dr. [20, 2013].</s><s>Takođe koristeći von Karman-ov model, Golmakani i Rezatalab [22, 2014] izučavali su nelinearno ponašanje pravougaone ortotropne nano-ploče, SLGS, koja je izložena ravnomernom</s>
-<s>1.2.1.</s><s>PROBLEMI IZVIJANjA PLOČE transverzalnom opterećenju i koja se oslanja na Pasternak-ovu elastičnu podlogu.</s><s>Kritične temperature za Kirchhoff-ov i Mindlin-ov modele nano-ploča pri kojima dolazi do njihovog izvijanja, određene su u radu Wang i dr. [65, 2013].</s><s>Koristeći von Karman-ov model, autori Mohammadi i dr. [38, 2014] su na osnovu modifikovane mehanike kontinuuma, analizirali problem izvijanja aksijalno napregnute nanoploče, SLGS.</s><s>Analiza izvijanja osnosimetrične i asimetrične kružne i prstenaste Mindlin-ove nano-ploče koristeći Eringen-ovu teoriju elastičnosti, pokazana je u radu autora Bedroud i dr. [11, 2013].</s><s>Karamooz i Shahidi [30, 2013] pokazali su da je uticaj nelokalnog parametra na izvijanje osnosimetrične kružne prstenaste nano-ploče više izraženiji kad je ona uklještena nego kad je zglobno oslonjena.</s><s>Primena nelokalne teorije na izvijanje ortotropne nano-ploče, SLGS, pri neravnomernom opterećenju u njenoj ravni, pokazana je od strane autora Farajpour i dr. [21, 2012].</s><s>Mohammadimehr i dr. [43, 2016] primenili su nelokalnu teoriju na nelinearni problem izvijanja izotropne i ortotropne nano-ploče koristeći von Karman-ov model.</s><s>Ispitivanje mikrostrukturnih efekata na izvijanje zglobno oslonjene nanodetaljno izvođenje jednačina nelokalne mehanike kontinuuma za probleme izvijanja nano-ploča i nano-štapova.</s><s>U radu autora Murmu i dr. [44, 2013], koristeći nelokalnu teoriju elastičnosti, pokazana je analiza izvijanja za slučaj uniaksijalno i biaksijalno opterećene duple nano-ploče, DLGSs.</s><s>Analiza termalnog izvijanja uklještene pravougaone ploče može se videti u radu autora Al-Khaleefi i Kabir [5,</s>
-<s>Chakraverty i Behera [14, 2014] su korišćenjem Rayleigh-Ritz-ovog metoda i nelokalne teorije elastičnosti analizirali slobodne oscilacije pravougaone nanoploče, SLGS, za dva tipa uklještenja, i za prva tri moda prikazali oblike oscilovanja.</s>
-<s>Korišćenjem nelokalne teorije elastičnosti, autori Hosseini-Hashemi i dr. [25, 2013], odredili su prirodne frekvencije Mindlin-ove pravougaone nano-ploče koristeći Levy-ev tip rešenja, a nelokalni efekat je ispitan za više graničnih uslova. lkhani i dr. [28, 2015] su na osnovu metode prostiranja talasa u analizi vibracija,</s>
-<s>frekvencije pravougaone nano-ploče, SLGS.</s><s>Nelokalni efekti istraženi su u radu od strane autora Ng i dr. [46, 2013], koji su koristeći numeričke simulacije i modifikovanu mehaniku kontinuuma ispitivali problem slobodnog oscilovanja pravougaone nanoploče, SLGS.</s><s>Anjomshoa i dr. [1, 2013] su na osnovu nelokalne teorije elastičnosti analizirali ortotropnu nano-ploču sa promenljivom debljinom, i ispitali uticaj nelokalnog parametra na njene slobodne oscilacije.</s><s>U radu autora Cho i dr. [15, 2015], za dva tipa graničnih uslova urađena je analiza slobodnih i prinudnih oscilacija pravougaone ploče i ukrućenih panela.</s><s>Analiza slobodnog oscilovanja nelokalnog Mindlin-ovog prstenastog odsečka proučena je od strane autora Sari [53, 2015], koji je pokazao da su efekti nelokalnosti više izraženiji u višim modovima oscilovanja.</s><s>Uticaj promene temperature na slobodne oscilacije nano-ploče, SLGS,</s>
-<s>frekvencije koja je oslonjena na elastičnu podlogu analiziran je od strane autora Rao i Biswal [52, 2015].</s><s>U radu Pradhan i Phadikar [49, 2009], koristeći klasičnu i višu teoriju ploča koje su nadograđene Eringen-ovom teorijom, detaljno su ispitani nelokalni uticaj na prirodne frekvencije zglobno oslonjene jedno- i dvoslojne nano-ploče.</s><s>Analiza slobodnih transverzalnih oscilacija kružne i prstenaste nano-ploče, SLGS, sa različitim graničnim uslovima koristeći nelokalnu teoriju elastičnosti, sprovedena je od strane autora Mohammadi i dr. [39, 2013].</s><s>Ispitivanje prirodnih frekvencija zglobno oslonjene ortotropne nano-ploče na koju je prikačena nanočestica, gde je nano-ploča oslonjena na viskoelastičnu podlogu, i uz uticaj nelokalnosti i magnetnog polja, pokazano je od strane autora Murmu i dr. [41, 2015].</s><s>Autori Kozić i dr. [31, 2014] odredili su prirodne frekvencije nano-sistema, MNPS, sa više zglobno oslonjenih ortotropnih nano-ploča, SLGSs, koje su međusobno viskoelastično povezane.</s><s>U radu Malekzadeh i Farajpour [40, 2012] koristeći Galerkinov metod, ispitan je efekat nelokalnosti na slobodne osnosimetrične i prinudne oscilacije kružne jedno- i dvoslojne nanoploče koje su umetnute u elastični medijum.</s><s>Sari i Al-Kouz [57, 2016] odredili su prirodne frekvencije za slučaj ortotropne nano-ploče koja je neravnomerno opterećena i koja se oslonja na elastičnu podlogu Winkler-ovog tipa.</s><s>Problem dinamičkog ponašanja FGM mikro/nano-ploče ispitan je od strane autora Nahvi i dr. [48, 2015].</s><s>Autori Jafari i dr. [29, 2016] napravili su detaljnu analizu koristeći nekoliko raznih metoda, kako efekti veličina utiču na oscilovanje zglobne i uklještene nano-ploče.</s><s>Amabili [9, 2004] je koristeći von Karman-ov model proučio nelinearne oscilacije pravougaone ploče za tri tipa graničnih uslova.</s>
-<s>Autori Aydogdu i Aksencer [3, 2011] su primenom modifikovane mehanike kontinuuma ispitivali uticaj nelokalnog parametra na slobodne oscilacije i izvijanje nano-ploče, SLGS, koristeći Navier-ov i Levy-ev tip rešenja.</s><s>Nelokalne efekte usled izvijanja i slobodnog oscilovanja pravougaone nano-ploče Levy-evog tipa koristeći Reddy-evu teoriju višeg reda, proučili su Nazemnezhad i dr. [45, 2015].</s><s>U radu autora Azhari i Sarrami-Foroushani [4, 2014] posmatrane su uniaksijalno opterećene pravougaone nano-ploče, SLGSs, i višeslojne nano-ploče, MLGSs.</s><s>Akcenat je stavljen na izvijanje i slobodno oscilovanje višeslojne nano-ploče, MLGSs, gde se proračun, uz korišćenje nelokalne teorije i uz prisustvo van der Waals-ovih sila, znatno otežava.</s><s>Analiza oscilovanja i izvijanja nano-sistema sa više jednoslojnih grafenskih nano-ploča, MNPS, čija je međusobna veza modelovana oprugama, pokazana je u radu Murmu i dr. [42, 2014], dok je u radu autora Kozić i dr. [32, 2015] pokazan uticaj temperature na stabilnost i oscilovanje nano-sistema, MNPS, sa više jednoslojnih ortotropnih grafenskih nano-ploča, čija je međusobna veza modelovana oprugama.</s><s>Posmatrajući više graničnih uslova, problem slobodnog oscilovanja i izvijanja tanke pravougaone ploče koja se oslanja na Pasternak-ovu elastičnu podlogu proučen je od strane autora Baradaran i Dehghan [12, 2011].</s><s>Sahmani i dr. [58, 2015] ispitivali su temperaturni uticaj na stabilnost i slobodne oscilacije FGM nano-ploče.</s>
-<s>Analize ploča koje su zapreminski opterećene nalaze se u radovima sledećih autora: u radovima autora Lai i Xiang [33, 2012] i Wang i Yu [63, 2009], akcenat je stavljen na uticaj zapreminskog opterećenja na prirodne frekvencije usled slobodnog oscilovanja ploče.</s><s>Maretic i dr. [37, 2010] koristeći Galerkin-ov metod odredili su kritične vrednosti parametra zapreminskog opterećenja ploče pri kojima gubi stabilnost i prikazani su oblici oscilovanja usled efekta zapreminskog</s>
-<s>zapreminskog opterećenja pri kojima dolazi do izvijanja može se videti kod autora Wang i dr. [62, 2002] koji su koristili Levy-ev tip rešenja, i kod autora Xiang [67, 2008] koji su koristili Ritz-ov metod.</s><s>Slučaj kada ploča pored zapreminskog opterećenja ima i dodatno opterećenje može se naći u radu Wang [64, 2010].</s>
-<s>U ovom poglavlju formiraće se diferencijalna jednačina savijanja ploče usled poprečnog opterećenja na osnovu Kirchhoff-ove klasične teorije, koja trodimenzionalni problem svodi na dvodimenzionalni problem.</s><s>Ova teorija je pogodna za ispitivanje malih ugiba ploče, koji su mali u poređenju sa njenom debljinom.</s>
-<s>PLOČE KOJA JE POPREČNO OPTEREĆENA ravan koja polovi debljinu ploče.</s><s>Prilikom njenog savijanja, tačke te ravni dobijaju mala pomeranja upravna na nju, i formiraju elastičnu površ ploče (ili srednju površ ploče).</s><s>Ova pomeranja elastične površi nazvaćemo ugibima ploče.</s><s>Ugib ploče označen sa ���, ��, je transverzalno pomeranje tačaka u pravcu �-ose, i funkcija od koordinata � i �, koje leže u njenoj srednjoj ravni.</s><s>Za svođenje prostornog problema ploče na ravanski, Kirchhoff je koristio sledeće hipoteze koje daju određena pojednostavljenja:</s>
-<s>1. Srednja ravan ploče je ravan koja je neutralna pri savijanju, u njoj nema deformacija.</s><s>Ona je ekvivalentna neutralnoj liniji u elementarnoj teoriji štapova.</s><s>Ona je ravan koja polovi debljinu ploče.</s><s>Usled delovanja opterećenja srednja ravan ploče prelazi u elastičnu površinu ploče.</s><s>2. Tačke ploče koje se nalaze na normali na tu srednju ravan pre deformacije, ostaju na normali na elastičnu površinu ploče.</s>
-<s>Na osnovu Hooke-ovog zakona za ravno stanje napona, izrazićemo komponente deformacije preko normalnih napona:</s>
-<s>Množeći izraz (2.1) sa �, i sabirajući ga sa izrazom (2 normalnog napona ���.</s><s>Analogno ovome dobijamo izraz za normalni napon</s>
-<s>Slika 2. Presek elementarnog dela ploče pre i posle paralelnom sa �-osom, pre i posle deformacije.</s><s>Tačke ravni ploče, dok na rastojanju</s>
-<s>Slika 2. Presek elementarnog dela ploče pre i posle normalne na srednju ravan ploče, u smeru suprotnom od kazaljke na satu oko ose upravne na ��-ravan, dat je izrazom</s>
-<s>, i sabirajući ga sa izrazom (2.2) dobija se komponenta Analogno ovome dobijamo izraz za normalni napon</s>
-<s>deformacije. prikazan je presek elementarnog dela ploče sa vertikalnom ravni pre i posle deformacije.</s><s>Tačke � i � nalaze se</s>
-<s>deformacije. u � od nje nalaze se tačke � i �.</s><s>Usled savijanja ploče Kirchhoff-ovu hipotezu, ugao rotacije linije I-I</s>
-<s>deformacije. na srednju ravan ploče, u smeru suprotnom od kazaljke na satu oko ose izrazom</s>
-<s>izraz za ugao klizanja ���.</s><s>Usled savijanja ploče koje se nalaze na konstantnom rastojanju � od srednje površi, dobij u pravcu �-ose označićemo sa � dok je njeno pomeranje u</s>
-<s>Elementarni deo ploče, i raspodela normalnih i tangencijalnih napona i opterećenja.</s>
-<s>transverzalne sile � i momente savijanja ploče, neophodno je napisati izraze za momente koji s sledećim izrazima</s>
-<s>savijanja koji imaju sledeći oblik dok zamenom izraza za tangencijalni napon (2.20) u izraz torzije</s>
-<s>, merenog od srednje ravni ploče.</s><s>Njihovim integraljenjem dobijaju se rezultante napona prikazane na slici 5, koje i momente �.</s><s>Za formiranje diferencijalne jednačine</s>
-<s>i imaju sledeći oblik momenata i sila po jedinici dužine i opterećenja � na prikazana je raspodela</s>
-<s>A sada napišimo izraze za unutrašnje sile koje su paralelne srednjoj ravni ploče:</s>
-<s>rezultante napona i njeni priraštaji pomnoženi sa stranicama elemetarnog dela ploče �� i ��, daju stvarna opterećenja ploče. u ravnoteži.</s>
-<s>Stvarna opterećenja koja deluju u srednjoj ravni na elementarni deo ploče A sada napišimo izraze za unutrašnje sile koje su paralelne srednjoj ravni</s>
-<s>srednjoj ravni na elementarni deo ploče. su i sile ��� i ��� jednake nuli.</s><s>Ovo nam kazuje da u slučaju poprečno opterećene ploče, neće doći do pojave unutrašnjih sila, odnosno normalnih i smičućih sila koje deluju u srednjoj ravni ploče.</s>
-<s>U nastavku na osnovu slike 6, napisaćemo jednačine ravnoteže za elementarni deo ploče.</s><s>Od šest uslova ravnoteže za telo u prostoru, dva uslova ravnoteže za projekcije sila za � i � osu su zadovoljeni.</s><s>Treći uslov ravnoteže za sumu momenata svih sila oko �-ose je takođe zadovoljen.</s><s>U nastavku napisaćemo tri preostala uslova ravnoteže.</s><s>Suma momenata svih sila oko �-ose, mora biti jednaka nuli, pa je</s>
-<s>⁄ , višeg reda i može se zanemariti.</s><s>Daljim sređivanjem dobijamo da je</s>
-<s>Jednačina (2.38) je diferencijalna jednačina savijanja ploče.</s><s>U narednom poglavlju analiziraće se ploča, koja pored poprečnog opterećenja ima i opterećenje u svojoj ravni.</s><s>Jednačine (2.36) i (2.37), dobiće dodatne članove sa njihovih desnih strana jednakosti.</s><s>Više o Kirchhoff-ovoj klasičnoj teoriji ploča može se naći u knjigama autora Hajdin [26, 1989], Szilard [54, 2004], i Timošenko i Vojnovski-Kriger [60, 1962].</s>
-<s>U prethodnom poglavlju formirali smo diferencijalnu jednačinu savijanja ploče usled poprečnih opterećenja</s>
-<s>opterećenja postoji dejstvo poglavlju), koje su paralelne srednjoj ravni ploče.</s><s>Ove komponent razložiti na normalne sile</s>
-<s>U prethodnom poglavlju formirali smo diferencijalnu jednačinu savijanja opterećenja.</s><s>U slučaju da je ploča opterećena samo u svojoj dešava se da ploča i pored poprečnog tereta bude opterećena i u svojoj ravni. opterećenju ploče, prva hipoteza iz prethodnog poglavlja, da u srednjoj ravni ploče nema deformacija, više ne važi.</s><s>Kao posledica unutrašnjih sila (koje su pomenute u prethodnom</s>
-<s>OPTEREĆENjEM U NjENOJ RAVNI koje su paralelne srednjoj ravni ploče.</s><s>Ove komponente sila možemo pored pomeranja koja su data izrazima (2.7) i (2.8) postojaće još i , kao što je prikazano na slici 7.</s>
-<s>U prethodnom poglavlju formirali smo diferencijalnu jednačinu savijanja je ploča opterećena samo u svojoj</s>
-<s>su komponente pomeranja usled rotacije poprečnog preseka. (2.17) i dobiti komponentalne deformacije koje imaju sledeći oblik</s>
-<s>Komponente unutrašnjih sila, koje su u prethodnom poglavlju predstavljene izrazom (2.26), dobijamo tako što levu i desnu stranu jednačina (3.7 - 3.9) integralimo po debljini ploče �.</s><s>Integraljenjem izraza (3.7) sledi da je</s>
-<s>Leva strana izraza (3.10) data je izrazom (2.26)1. Nakon integracije dobijamo da je normalna sila ��� oblika</s>
-<s>Na sličan način, integraljenjem izraza (3.8) i (3.9) i korišćenjem izraza (2.26)2 i (2.26)3 dobijamo normalnu silu</s>
-<s>2 vidimo da u njima samo figurišu komponente pomeranja u ravni ploče �� i ��.</s><s>Sada ćemo analizirati situaciju koja nastaje kada je ploča istovremeno opterećena u svojoj ravni i poprečnim opterećenjem.</s><s>Kod projekcije sila na �-osu, posmatrajući sliku 8, uzimamo u obzir savijanje ploče i uglove �� ��</s>
-<s>2 između sila ��� i ��� i horizontalne ravni.</s><s>Projekcije normalne sile ��� i njenog priraštaja na �-osu su</s>
-<s>Na osnovu stava o konjugovanosti tangencijalnih napona zbog koga je ��� = ���, zbir projekcija sila dat izrazom (3.22) dobija sledeći oblik:</s>
-<s>Vidimo da u izrazu (3.23) uz svaki član stoji proizvod članova �� i ��, pa ćemo ovaj izraz podeliti sa ����.</s><s>Njegov oblik je u sledećoj formi</s>
-<s>Izraz (3.24) možemo napisati u kraćoj formi čiji je smer u smeru osa � i �, koje su prikazane na slici 8 (donja slika).</s><s>U nastavku, napišimo jednačine ravnoteže.</s>
-<s>Izraz (3.30) nam je neophodan pri pisanju diferencijalne jednačine savijanja ploče usled</s>
-<s>Izražavanjem momenata preko transverzalnih pomeranja, sledi novi oblik diferencijalne jednačine (3.31)</s>
-<s>Primetimo još da se diferencijalne jednačine savijanja (3.31) i (3.32), koristeći izraz (3.25) mogu napisati u drugom obliku</s>
-<s>Ako je ploča samo poprečno opterećenja, određivanje ugiba ploče je dato diferencijalnim jednačinama elastične površine oblika (2.36) i (2.38).</s>
-<s>Ako je ploča složeno opterećena, i postoji još prisustvo zapreminskih sila, određivanje ugiba ploče se vrši korišćenjem diferencijalnih jednačina elastične površine oblika (3.31) i (3.32).</s>
-<s>Komponente nano-struktura sačinjavaju nano-sisteme.</s><s>Predviđanje mehaničkog ponašanja nano-struktura i razumevanje njihovih osobina, glavni je zadatak prilikom konstruisanja mikro-elektromehaničkih sistema (micro-electromechanical systems, MEMS) i nano-elektromehaničkih sistema (nano- electromechanical systems, NEMS).</s><s>Iako eksperimentalne metode kao i atomističke simulacije nano-struktura, zahtevaju dugotrajna ispitivanja i visoke finansijske resurse istraživanja u literaturi zasnivaju se na formiranju linearnih i nelinearnih teorijskih modela korišćenjem</s>
-<s>Kod klasične teorije ploča, napon u posmatranoj tački je funkcija deformacije u toj istoj posmatranoj tački, odnosno ponašanje sistema u nekoj tački zavisi samo od stanja sistema u toj tački.</s><s>Kod ove teorije nema uticaja neke druge tačke na referentnu tačku.</s><s>Međutim, to nije slučaj kod ispitivanja teorijskih modela na mikro- i nano-skali.</s>
-<s>Ako bismo želeli da proučimo mehaničko ponašanje nano-strukture, kao što je u našem slučaju grafenski nano-listić, teorijski modeliran kao nano-ploča i da pri tome dobijemo dovoljno tačne rezultate, moramo koristiti nelokalnu teoriju elastičnosti predstavljenu od strane Eringen-a ( v. Eringen [18, 1983], Eringen [19, ili nelokalni efekat.</s>
-<s>Kod teorijskih modela na mikro- i nano-skali, uticaji efekata na maloj skali ili uticaji međuatomskih sila na njihovo statičko i dinamičko ponašanje, postaju značajni.</s><s>Skup ovakvih efekata nazivaju se efekti veličina ili nelokalni efekti, i odnose se na dug opseg interakcija između atoma i ne mogu se zanemariti prilikom ispitivanja nano-struktura.</s>
-<s>Pošto klasična teorija ploča ne uzima u obzir diskretnu strukturu materijala, primenjuje se nelokalna teorija elastičnosti, kod koje je napon u posmatranoj tački funkcija od polja deformacija u svakoj tački domena ili da je posmatranje ponašanja sistema u nekoj datoj tački zavisno od stanja sistema u svim tačkama datog domena</s>
-<s>U literaturi, usled ispitivanja mehaničkih osobina grafenskog nano-listića, posmatra se diskretna struktura materijala, koja kao posledicu, usled formiranja nelokalne</s>
-<s>figuriše konstitutivnim relacijama, pri analizi slobodnog oscilovanja i stabilnosti ploča čije su dimenzije na mikro- i nano-skali, koje se opravdano zovu mikro- ili nanoploče.</s>
-<s>Na osnovu Eringen-ove nelokalne teorije elastičnosti, veza između napona i deformacije, za homogeno izotropno elastično telo, data je konstitutivnom relacijom</s>
-<s>figuriše koja je izvedena u integralnom obliku, gde se za granice integracije uzima ukupna zapremina elastičnog tela.</s><s>Član ������ predstavlja tenzor napona za nelokalnu teoriju, ����� je tenzor elastičnosti, a ��� označava tenzor deformacije.</s><s>Nelokalni i preko kojeg se nelokalni uticaji u posmatranoj tački � izazvane lokalnim deformacijama u tački �′, direktno uvode u konstitutivne relacije.</s><s>Član |�′ � �| predstavlja rastojanje izraženo Euklidskom normom.</s><s>Član � je materijalni parametar koji se određuje eksperimentalno ili pomoću metoda molekularne zavisi od komplikovane unutrašnje nano-strukture, �� označava unutrašnju karakterističnu dužinu (parametar kristalne rešetke, veličine granule, rastojanja između ugljeničnih veza) a �� predstavlja spoljašnju karakterističnu dužinu (dužina prsline, talasna dužina).</s>
-<s>ove funkcije linearnog operatora gde je ℒ diferencijalni operator, a � Dirac-ova delta distribucija.</s><s>Primenom linearnog diferencijalnog operatora, na jednačinu (4.1) dobija se</s>
-<s>Poređenjem rezultata disperzionih krivih modela dinamike kristalnih rešetki, za određeni nelokalni modul �, koji figuriše u izrazu (4.2), Eringen je predstavio linearni diferencijalni operator ℒ koji je sledećeg oblika</s>
-<s>ove funkcije linearnog operatora gde je ∇� Laplasov operator.</s><s>Primenom izraza (4.3) i (4.4), konstitutivna relacija dobija svoj konačan oblik</s>
-<s>ove funkcije linearnog operatora koji opisuje uticaje međumolekularnih sila, tj. efekte na maloj skali pri statičkoj i dinamičkoj analizi nano-struktura.</s>
-<s>ove funkcije linearnog operatora tangencijalni napon, sa izrazom (4.5), dobićemo konstitutivnu relaciju za homogenu i izotropno elastičnu nano-ploču:</s>
-<s>Ono što predstoji u ovom poglavlju vezano je za formiranje nelokalne diferencijalne jednačine stabilnosti i oscilovanja</s>
-<s>Diskretna struktura materijala prikazana je na slici 9 nano-listića, koji se teorijski modelira kao nano</s>
-<s>Ono što predstoji u ovom poglavlju vezano je za formiranje nelokalne stabilnosti i oscilovanja zapreminski opterećene nano za linearni i nelinearni teorijski model na osnovu Kirchhoff klasične teorije ploča, nadograđene Eringen-ovom nelokalnom teorijom LINEARNI TEORIJSKI MODEL</s>
-<s>OSCILOVANjA ZAPREMINSKI OPTEREĆENE NANO-PLOČE terijala prikazana je na slici 9 (a) u vidu grafenskog listića, koji se teorijski modelira kao nano-ploča sa dužinom � i širinom Ovaj nelokalni kontinuum postaviće se u pokretno</s>
-<s>Ono što predstoji u ovom poglavlju vezano je za formiranje nelokalne opterećene nano</s>
-<s>nuum postaviće se u pokretno struktura: (a) Diskretna struktura materijala.</s><s>Grafenski listić (SLGS), (b) eštena nano-ploča.</s>
-<s>U trećem poglavlju na osnovu slika 7 i 8, analizirali smo situaciju koja nastaje kada je ploča istovremeno opterećena u svojoj ravni i poprečnim opterećenjem.</s><s>Koristeći Kirchhoff-ovu klasičnu teoriju ploča definisali smo</s>
-<s>Takođe, napišimo ponovo izraze za komponentalne deformacije ploče za proizvoljnu tačku koja je na rastojanju � od srednje ravni ploče kao</s>
-<s>Navešćemo ovde primere kada je ploča opterećena konstantnom zapreminskom silom sa pravcem koji je u ravni ploče.</s>
-<s>početak O� dat je vektorom ������ = � 2 �� � � 2 �� u kome je � zapreminska gustina i � gravitaciono ubrazanje.</s><s>Drugi primer zapreminskog opterećenja odnosi se na model centrifuge koji je prikazan na slici 10.</s><s>Sistem koji se obrće konstantnom ugaonom brzinom � oko nepokretne tačke O, sastoji se od štapa dužine �, koji je sa jedne strane pričvršćen za tačku O a sa druge strane je pričvršćen za ploču sa ivicama duži � i �.</s>
-<s>, dok je njen položaj u odnosu na nepokretnu tačku O, dat vektorom �� = ���.</s><s>Položaj tačke � u odnosu na koordinatni ������.</s><s>Zapreminsko opterećenje javlja se usled obrtanja ploče konstantnom ugaonom brzinom �, oko nepokretnog oslonca O, pri čemu će se pojaviti inercijalna sila ����.</s>
-<s>Slika 11.</s><s>Primer konstantnog zapreminskog opterećenja �.</s><s>Naime, njene dimenzije mnogo su manjih dužina od dužine</s>
-<s>Zapreminsko opterećenje, pored ova dva prethodna primera, može još nastati pri dejstvu specifičnih magnetnih polja.</s>
-<s>Pošto je u ovoj tezi akcenat stavljen na stabilnost i oscilovanje pokretno uklještene i složeno opterećene nano</s>
-<s>svedeno na površinu, za koordinatne ose � javlja se u situaciji kada je ploča izložena velikim ubrzanjima do kojih, na primer, može doći u centrifugama.</s>
-<s>svedeno na površinu, za koordinatne ose � konstantnog zapreminskog opterećenja usled ravnomernog kružnog obrtanja ploče.</s>
-<s>Kao specijalan slučaj na slici 11, prikazana je nano-ploča sa ivicama duži .</s><s>Naime, njene dimenzije mnogo su manjih dužina od dužine �, pa se one mogu 5.1.11) i (5.1.12), tako da je inercijalno opterećenje isto u ploče, odnosno konstantno.</s>
-<s>Zapreminsko opterećenje, pored ova dva prethodna primera, može još nastati pri dejstvu specifičnih magnetnih polja.</s><s>Takođe i pri velikom pravolinijskom granata i raketa.</s>
-<s>Pošto je u ovoj tezi akcenat stavljen na stabilnost i oscilovanje pokretno uklještene i složeno opterećene nano-ploče, zapreminsko opterećenje u vidu sile</s>
-<s>Zapreminsko opterećenje, pored ova dva prethodna primera, može još nastati Takođe i pri velikom pravolinijskom</s>
-<s>Pošto je u ovoj tezi akcenat stavljen na stabilnost i oscilovanje pokretno ploče, zapreminsko opterećenje u vidu sile</s>
-<s>o opterećenje isto u teže neće biti uzeto u obzir, jer postavlja se pitanje koliko bi to opterećenje zaista imalo uticaj na njenu stabilnost i oscilovanje.</s><s>Zbog toga, primer konstantnog zapreminskog opterećenja koje se javlja u centrifugama ulazi u problem ove teze.</s><s>Ako bismo u centrifugama povećali ugaonu brzinu usled ravnomernog kružnog obrtanja p</s>
-<s>Na osnovu prethodno rečenog, za slučaj grafenskog listića, modeliranog kao nano-ploča,</s>
-<s>Slika 12.</s><s>Smer i dejstvo inercijalne sile na elementarni deo Prilikom formiranja diferencijalne jednačine oscilovanja ploče istovremeno opterećena u svojoj ravni i poprečnim opterećenjem D'Alambert-ov princip, na osnovu kojeg se zadati dinamički problem posmatra kao statički problem uz uvođenje odgovarajuće inercijalne sile</s>
-<s>5.1.3.</s><s>SLOBODNE OSCILACIJE PLOČE gde je ubrzanje � dato kao drugi izvod po vremenu pomeranja inercije smer ubrzanja � dobija znak minus.</s><s>Inercijalno opterećenje kao</s>
-<s>, u pravcu �-ose, jednako je nuli.</s><s>Uzima se samo teže neće biti uzeto u obzir, jer postavlja se pitanje koliko bi to opterećenje zaista imalo uticaj na njenu stabilnost i oscilovanje.</s><s>Zbog toga, primer konstantnog zapreminskog opterećenja koje se javlja u centrifugama ulazi u problem ove teze.</s><s>Ako bismo u centrifugama povećali ugaonu usled ravnomernog kružnog obrtanja ploče, javljaće se zapreminska sila koja je znatno veća od njene sile težine.</s><s>Ovakva zapreminska sila imala bi značajan uticaj na stabilnost i slobodno oscilovanje nano-ploče.</s>
-<s>, dato izrazom (5.1.12), koje dobija sledeći oblik a osnovu prethodno rečenog, za slučaj grafenskog listića, ploča, u nastavku zadatka inercijalno opterećenje</s>
-<s>SLOBODNE OSCILACIJE PLOČE ose, a od intresa je ispitati kako vrednosti ubrzanja utiču na oscilovanje i pri kojim vrednostima nano-ploča gubi stabilnost.</s>
-<s>SLOBODNE OSCILACIJE PLOČE dejstvo inercijalne sile na elementarni deo nano-ploče usled slobodnih oscilacija.</s>
-<s>Prilikom formiranja diferencijalne jednačine oscilovanja ploče istovremeno opterećena u svojoj ravni i poprečnim opterećenjem, koristićemo ov princip, na osnovu kojeg se zadati dinamički problem posmatra kao statički problem uz uvođenje odgovarajuće inercijalne sile. lementarnu inercijalnu silu ����� sledećeg je oblika</s>
-<s>SLOBODNE OSCILACIJE PLOČE drugi izvod po vremenu pomeranja �, ali u slučaju sile dobija znak minus.</s><s>Inercijalno opterećenje ���</s>
-<s>SLOBODNE OSCILACIJE PLOČE teže neće biti uzeto u obzir, jer postavlja se pitanje koliko bi to opterećenje Zbog toga, primer konstantnog zapreminskog opterećenja koje se javlja u centrifugama ulazi u problem ove teze.</s><s>Ako bismo u centrifugama povećali ugaonu loče, javljaće se zapreminska sila koja</s>
-<s>oblik a osnovu prethodno rečenog, za slučaj grafenskog listića, teorijski inercijalno opterećenje � biće</s>
-<s>Prilikom formiranja diferencijalne jednačine oscilovanja ploče koja je , koristićemo</s>
-<s>ploče usled slobodnih ov princip, na osnovu kojeg se zadati dinamički problem posmatra kao sledećeg je oblika</s>
-<s>U nastavku sledi formiranje nelokalne diferencijalne jednačine složeno opterećene kvadratne i pravougaone pokretno uklještene nano-ploče, na osnovu koje se ispituje njena stabilnost i slobodno oscilovanje.</s><s>U prethodnom poglavlju upoznali smo se sa Eringen-ovom nelokalnom teorijom elastičnosti i dobili izraz za nelokalne komponente napona (4.6). (5.1.3) uvrštavamo u izraze za komponentalne deformacije (5.1.4) - (5.1.6), koje zatim uvrštavamo u izraz (4.6) za nelokalne komponente napona.</s><s>Uvrštavajući nelokalne komponente napona u izraze za momente savijanja i torzije, izrazi (2.22), (2.23) i (2.24) i normalne i smičuće unutrašnje sile, izrazi (3.11) - (3.13), dobijaju se nelokalne rezultante napona, tj. nelokalne komponente momenata i unutrašnjih sila.</s><s>Nelokalne komponente momenata savijanja i torzije imaju oblik</s>
-<s>����.</s><s>Za prethodno opisani specijalni model centrifuge inercijalno opterećenje �, u pravcu �-ose jednako je nuli, a inercijalno opterećenje �, dato izrazom (5.1.13) biće suprotnog smera od smera �-ose.</s><s>Jednačine ravnoteže elementarnog dela ploče zapisuju se preko projekcije sila u �, � i � pravcu.</s>
-<s>Jednačina ravnoteže (5.1.25), u kojoj figuriše inercijalno opterećenje ����, ista je kao i jednačina (3.33) izvedena u trećem poglavlju.</s><s>Sad je neophodno povezati jednačine ravnoteže (5.1.23) - (5.1.25) sa gore napomenutim unutrašnjim silama i</s>
-<s>Daljim sređivanjem u izrazu (5.1.30), momenata savijanja i torzije uz parcijalne izvode ��� i ��� u zagradi koju množi nelokalni parametar �, sledi novi oblik zapisa</s>
-<s>Zatim, u izrazu (5.1.31), zagrade uz parcijalne izvode ��� i ��� zamenjujemo desnom stranom jednačine (5.1.25), tako da je</s>
-<s>Daljim sređivanjem diferencijalna jednačina uz nelokalni uticaj (5.1.32) ima sledeći oblik</s>
-<s>veza njena pomeranja u pravcima koordinatnih osa prikazana su na slici 9 (b). ukleštena, pa je pomeranje ��, za svaku tačku ploče u pravcu �-ose, jednako nuli, pa otuda sledi granični uslov da je</s>
-<s>Koristeći jednačinu ravnoteže (5.1.24) i graničnog uslova (5.1.36), dobijamo komponente unutrašnjih sila</s>
-<s>Da bi dobili nelokalne komponente unutrašnjih sila koje figurišu u jednačini (5.1.33), uvrstićemo izraze za lokalne komponente unutraših sila (5.1.39) -</s>
-<s>Pošto je cilj istraživanja odrediti koje su to frekvencije sa kojima nano-ploča osciluje, rešenje jednačine (5.1.33) je oblika</s>
-<s>veza gde je ���, �� funkcija oblika koja nam opisuje modove oscilovanja ploče, a � je prirodna kružna frekvencija.</s><s>Množenjem (5.1.46) sa -1, i zamenom izraza (5.1.47) u (5.1.46) sledi novi oblik diferencijalne jednačine</s>
-<s>Za diferencijalnu jednačinu (5.1.48) napišimo granične uslove.</s><s>Nano-ploča je ukleštena na svim stranama, a to znači da su ugibi ���, �� osa na ivicama ploče jednaki nuli.</s><s>Isto tako nagibi tangente na elastičnu površinu ����, �� ��</s>
-<s>Naredni korak je bezdimenzionisanje diferencijalne jednačine (5.1.48).</s><s>Uvešćemo bezdimenzijske koordinate</s>
-<s>Zamenjujući članove (5.1.50) u jednačinu (5.1.48), dobijamo diferencijalnu jednačinu oscilovanja pravougaone nano-ploče u bezdimenzijskom obliku</s>
-<s>Na osnovu bezdimenzijske diferencijalne jednačine (5.1.51), istražiće se uticaj zapreminskog opterećenja na slobodne oscilacije i oblik nano-ploče.</s><s>Za bezdimenzijsku diferencijalnu jednačinu (5.1.51) slede bezdimenzijski granični uslovi</s>
-<s>Koristeći von Kármán-ovu teoriju ploča, predstavljenu u radovima Atanacković [2, 1993] i Timošenko i Vojnovski-Kriger [60, 1962], za nelinearni teorijski model složeno opterećene nano-ploče, veze između pomeranja i deformacija za nelinearni teorijski model imaju oblik</s>
-<s>Momente savijanja i torzije dobijamo tako što levu i desnu stranu (5.2.7) - (5.2.9) integralimo sa �</s>
-<s>odnosno odgovaraju momentima savijanja i torzije, koji su dati izrazima (2.22 - 2.24).</s><s>Komponente unutrašnjih sila u preseku dobijamo tako što levu i desnu stranu</s>
-<s>Pošto je parcijalni izvod ���/�� u izrazu za ugao klizanja (5.1.6) jednak nuli, sledi konačan zapis</s>
-<s>Uvešćemo naponsku funkciju �, tako da je čime zadovoljavamo jednačine ravnoteže (5.1.23) - (5.1.25). leva strana jednačine (5.1.25) je</s>
-<s>Zamenjujući izraze (5.2.16) u desnu stranu jednačine (5.2.18) dobili smo prvu diferencijalnu jednačinu</s>
-<s>1 gde je u našem slučaju zapreminsko opterećenje � konstanta, a pomeranje ����� zavisi samo od �-koordinate, pa su izvodi jednaki nuli.</s><s>Sređivanjem izraza (5.2.35) dobija</s>
-<s>Pošto je parcijalni izvod ���/�� u izrazu za ugao klizanja (5.1.6) jednak nuli, sledi konačan zapis</s>
-<s>odnosno datu izrazom (5.2.16).</s><s>Postupak formiranja nelinearne diferencijalne jednačine uz nelokalni uticaj, isti je kao i u slučaju kod linearne diferencijalne jednačine uz nelokalni uticaj, od izraza (5.1.26) - (5.1.33), zato što su komponente momenata savijanja i torzije isti.</s>
-<s>Kao i u prethodnom poglavlju, za formiranje druge diferencijalne jednačine, ponovimo postupak pomoću izraza (5.2.26 - 5.2.32), tako da ćemo dobiti jednačinu</s>
-<s>Zamenom naponske funkcije (5.2.16) u (5.3.18), članovi u prvoj zagradi sa desne strane jednačine (5.3.18) imaće sledeći oblik</s>
-<s>2 zapreminsko opterećenje � konstanta, a pomeranje ����� zavisi samo od �-koordinate, izvodi su jednaki nuli.</s><s>U nastavku sledi konačan zapis druge diferencijalne jednačine</s>
-<s>U prethodnom poglavlju na osnovu Kirchhoff-ove i von Karman-ove klasične teorije ploča, nadograđene Eringen-ovom nelokalnom teorijom elastičnosti, formirane su nelokalne diferencijalne jednačine stabilnosti i oscilovanja pokretno ukleštene nano-ploče za linearni i nelinearni teorijski model.</s><s>Nelokalna diferencijalna jednačina za linearni teorijski model, uz određene granične uslove, biće rešavana pomoću Galerkin-ove metode (Galerkin method, GM) i metode diferencijalnih kvadratura (differential quadrature method, DQM).</s><s>One nam omogućavaju da sprovedemo dinamičku analizu linearnog teorijskog modela pri velikim ubrzanjima, tj. da nam daju uvid kako spojeni efekti nelokalnosti i zapreminskog opterećenja utiču na slobodno oscilovanje pokretno ukleštene nano-ploče i na njen oblik.</s>
-<s>6.1.1.</s><s>LINEARNI TEORIJSKI MODEL (GM) poznata približna analitička metoda koja ima veliku primenu u rešavanju problema u fizici, a posebno u mehanici.</s><s>Koristi se prilikom rešavanja običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina.</s>
-<s>Kod ove metode neophodno je znati informacije o samom procesu i na osnovu toga, odabrati aproksimativno rešenje.</s><s>Svaki član u rešenju ima svoju odgovarajuću nepoznatu konstantu.</s><s>U cilju dobijanja što tačnijeg približnog rešenja, potrebno je pravilno odabrati probne funkcije.</s><s>Prilikom povećanja broja članova u probnom rešenju uvećava se i broj konstanti, pa rešavanje složene diferencijalne jednačine postaje sve komplikovanije.</s><s>Stoga je od najveće važnosti što pravilnije odabrati aproksimativno rešenje, tj. probne funkcije koje odgovaraju posmatranom stvarnom procesu.</s><s>Aproksimativno rešenje pretpostavlja se u sledećoj formi</s>
-<s>Za naše probne funkcije odabrali smo rešenja koja zadovoljavaju potrebne granične uslove, a to su rešenja za uklešteni štap koji poprečno osciluje</s>
-<s>14.1371654912 nalaze u tabelama 2 i 3. Napomenimo da simetrične modove oscilovanja dobijamo koristeći probne funkcije prikazane na slici 13, dok za dobijanje antisimetričnih modova koristimo probne funkcije prikazane na slici 14.</s>
-<s>rešenje diferencijalne jednačine (5.1.51) pretpostavi izrazom (6.1.1).</s><s>Diferencijalni operator Λ je oblika</s>
-<s>Množenjem izraza (6.1.6) sa probnim funkcijama i integracijom po bezdimenzijskim koordinatama dobija se</s>
-<s>Sistem jednačina (6.1.7) je homogeni sistem linearnih jednačina po konstantama ��, ��, … , ��.</s><s>Kako homogeni sistem linarnih jednačina ima netrivijalno rešenje samo ukoliko je determinanata sistema jednaka nuli, formiramo determinantu sistema i izjednačavamo je sa nulom</s>
-<s>Integrale uz konstante �� obeležavamo sa ���, čija rešenja su bezdimenzijske kružne frekvencije ��.</s><s>Sledeći korak je određivanje konstanti ��, ��, … , �� iz karakteristične jednačine, za svaku od kružnih frekvencija</s>
-<s>Svaku jednačinu sistema (6.1.11) podelimo sa konstantom ��, i slobodan član prebacimo sa desne strane jednačine.</s><s>Pri tome, dobijamo nehomogeni sistem � � 1 linearnih jednačina i � � 1 nepoznatih konstanti</s>
-<s>Metoda diferencijalnih kvadratura (DQM) je druga metoda korišćena u ovoj tezi za rešavanje jednačine stabilnosti i oscilovanja ploče (5.1.51).</s><s>Pored Galerkin-ove metode, (DQM) metoda ima čestu primenu u istraživanjima, pa se tako može pronaći veliki broj radova koji se bave tematikom stabilnosti i oscilovanja ploča i štapova u kojima je korišćena ova metoda.</s>
-<s>6.2.1.</s><s>LINEARNI TEORIJSKI MODEL težinski koeficijenti uz parcijalne izvode �-tog reda duž �̅ i �� pravaca, respektivno.</s><s>Težinski koeficijenti se računaju u zavisnosti od reda izvoda, videti koeficijent koji odgovara �̅ koordinati (�̅ ili ��) dat je u formi</s>
-<s>Distribucija mrežnih tačaka na posmatranom linearnom teorijskom modelu zasnovana je na Gauss-Chebyshev-Lobatto raspodeli, koja je opisana u radu autora Shu</s>
-<s>Metod diferencijalnih kvadratura sa Gauss-Chebyshev-Lobatto raspodelom i prirodnih</s>
-<s>Članove u jednačini (6.2.12) u kojima figuriše bezdimenzijska frekvencija ���, prebacićemo na desnu stranu jednačine</s>
-<s>Matrica �∗, odnosno matrica leve strane diskretizovane nelokalne jednačine (6.2.14), sastoji se od dijagonalnih članova ���</s>
-<s>∗ i nedijagonalnih članova ℬ�� dok matrica ℬ∗, desne strane diskretizovane nelokalne jednačine (6.2.14), sastoji se od dijagonalnih članova ���� i nedijagonalnih članova ℬ���</s>
-<s>Prvo formiramo matricu �∗, odnosno levu stranu nelokalne jednačine (6.2.13) čije članove uz odgovarajuće sume zapisujemo u novom obliku</s>
-<s>Za formiranje matrice ℬ∗, zapisujemo desnu stranu diskretizovane nelokalne jednačine (6.2.13), čiji su članovi uz odgovarajuće sume dati kao</s>
-<s>odnosno gde je � jedinična matrica reda � � �.</s><s>Za određivanje bezdimenzijskih kružnih frekvencija diskretizovane nelokalne jednačine stabilnosti i oscilovanja nanoploče, koja je zapisana u matričnoj formi (6.2.14), neophodno je rešavanje svojstvenog problema, ali treba uzeti u obzir granične uslove u slučaju ukleštenja</s>
-<s>Formiraćemo matricu graničnih uslova �, čijim se korišćenjem diskretizovani granični uslovi zapisuju u formi matrične jednačine</s>
-<s>Za slučaj potpuno uklještene nano-ploče, kada su ugibi �� ��̅, ��� u diskretnim tačkama u pravcima koordinatnih osa na krajevima ploče jednaki nuli, članovi ��� i ��� u</s>
-<s>0 koji je dat u radu Porcelli i dr. [51, 2015], dobijaju se rešenja za bezdimenzijske kružne frekvencije �� , kao svojstvene vrednosti, i rešenja za ugibe �� i Lagranževe množitelje �� kao svojstveni vektori.</s>
-<s>Na osnovu rezultata dobijenih korišćenjem Galekrin-ove metode (GM) i metode diferencijalnih kvadratura (DQM), napraviće se detaljna dinamička analiza pokretno ukleštene nano-ploče (kvadratne i pravougaone) koja je zapreminski opterećena i slobodno osciluje.</s><s>Diferencijalna jednačina stabilnosti i oscilovanja složeno opterećene nano-ploče formirana je na osnovu Kirchhoff-ove klasične teorije ploča, koja je nadograđena Eringen-ovom nelokalnom teorijom elastičnosti.</s>
-<s>Validnost dobijenih rezultata prilikom dinamičke analize nano-ploče, izvršiće se upoređivanjem podataka dobijenih na osnovu prethodno primenjenih metoda sa relevantnim podacima iz literature.</s><s>Na taj način izvršiće se njihova verifikacija, koja ima za cilj da pokaže njihovu ispravnost, kao i međusobna verifikacija podataka dobijenih putem pomenutih metoda.</s><s>Glavni cilj istraživanja sastoji se u tome da prikaže uticaje bezdimenzijskog parametra nelokalnosti �̅, i bezdimenzijskog parametra zapreminskog opterećenja �, na bezdimenzijske prirodne frekvencije nano-ploče �� .</s>
-<s>Za posmatranu kvadratnu i pravougaonu nano-ploču, korišćenjem Galekrin-ove metode (GM), cilj je ispitati:</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA verifikaciju rezultata dobijenih pri nultim parametrima �̅ i �, sa rezultatima u radu autora Leissa [34,1969],</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA efekat spojenog dejstva bezdimenzijskih parametara nelokalnosti �̅ i zapreminskog opterećenja �, na bezdimenzijske prirodne frekvencije �� ,</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA formirati dijagrame frekvencija, prilikom promene bezdimenzijskih parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja,</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA formirati dijagrame stabilnosti, na osnovu kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja �,</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA efekat zapreminskog opterećenja tako i spojeno dejstvo efekata nelokalnosti i zapreminskog opterećenja utiču na oblike oscilovanja nano-ploče.</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA verifikaciju rezultata dobijenih pri nultim parametrima �̅ i �, sa rezultatima u radu autora Leissa [34,1969], i sa rezultatima dobijenim Galekrin-ovom metodom</s>
-<s>OSCILOVANjU NANO-PLOČE.</s><s>ANALIZA REZULTATA za linearni teorijski model verifikovati kritične vrednosti parametra zapreminskog opterećenja �, dobijenih korišćenjem Galekrin-ove metode (GM).</s>
-<s>Ispitivanje stabilnosti i oscilovanja kvadratne i pravougaone nano-ploče prvo je istraženo koristeći Galerkin-ovu metodu.</s>
-<s>odabrati odgovarajuće probne funkcije (6.1.3) i (6.1.4) u aproksimativnom rešenju (6.1.1), čija tačnost uveliko zavisi od njihovog pravilnog izbora.</s><s>U tabeli 4, prikazana je konvergencija rešenja za prvih šest bezdimenzijskih prirodnih frekvencija za slučaj kvadratne nano-ploče.</s><s>Kada nano-ploča osciluje sa frekvencijom ����, njen mod, odnosno oblik oscilovanja (0,0) biće bez čvornih linija.</s><s>Kod oblika oscilovanja (1,0) čvorna linija je paralelna sa �-osom, dok kod oblika oscilovanja (0,1) čvorna linija je paralelna sa �-osom.</s><s>Kod moda (1,1), prva čvorna linija je čvorne linije koje su paralelne sa �-osom i �-osom, redom.</s><s>Konvergencija rešenja ispitana je pri bezdimenzijskom parametru odnosa dužina stranica nano-ploče � = 1, bezdimenzijskom parametru zapreminskog opterećenja � = 60 i bezdimenzijskom nelokalnom parametru �̅ = 0.002.</s><s>Iz tabele 4, vidi se da je ona održiva sa povećanjem probnih funkcija u probnom rešenju (6.1.1).</s><s>Dobri rezultati javljaju se već prilikom upotrebljenih 6 probnih funkcija, koji konvergiraju sa njihovim porastom.</s>
-<s>Tabela 4. Kvadratna nano-ploča.</s><s>Provera konvergencije rešenja Galerkin-ovom metodom (GM), usled spojenog efekta bezdimenzijskih parametara nelokalnosti</s>
-<s>Galerkin-ova metoda pokazala se kao računski stabilna kako prilikom provere konveregencije rešenja tako i tokom izračunavanja prvih šest bezdimenzijskih sopstvenih frekvencija usled promene parametara �̅ i �, na osnovu koje se opisuje dinamička analiza nano-ploče, odnosno, formiraju se dijagrami frekvencija, dijagrami stabilnosti i daju se prikazi nekoliko oblika njenog oscilovanja.</s><s>Kod složenijih diferencijalnih jednačina, dešava se da se sa uvećanjem probnih funkcija u probnom rešenju pojavljuju skokovi u konvergenciji, tako da rešenje varira u određenom opsegu, što ovde nije bio slučaj.</s><s>Međutim, u tabeli 5, kod metode diferencijalnih kvadratura (DQM), sa porastom broja diskretnih tačaka u proračunu, rešenja nelokalne diskretne jednačine imaju blage skokove u konvergenciji.</s>
-<s>Tabela 5. Kvadratna nano-ploča.</s><s>Provera konvergencije rešenja na osnovu metode</s>
-<s>Ovakva pojava blagih skokova pri numeričkom rešavanju, javlja se upravo zbog složenosti nelokalne diskretne jednačine (6.2.14).</s><s>Međutim, upoređujući rešenja iz tabele 5, sa rešenjima dobijenim Galerkin-ovom metodom, tabela 4, vidimo da se ona kreću u zadovoljavajućem opsegu.</s><s>Takođe, ono najbitnije o čemu će biti više reči u analizi dijagrama stabilnosti, je da su rešenja kritičnih parametara stabilnosti veoma slična, što ukazuje na korektnost oba postupka.</s><s>Za određivanje vrednosti frekvencije ����, pomoću (DQM) metode, broj diskretnih Frekvencija ����, ispitana je samo u slučaju kvadratne ploče, jer za njeno određivanje u slučaju pravougaone nano-ploče, kao i za određivanje viših frekvencija, neophodan je veći broj tačaka i računar sa jakim performansama.</s><s>U tabeli 6, rešenja sopstvenih frekvencija za nulte bezdimenzijske parametre nelokalnosti i zapreminskog opterećenja, pomoću (GM) i (DQM) metode, u skladu su sa rezultatima iz literature, odnosno sa radom autora Leissa [34,1969].</s>
-<s>Tabela 6. Upoređivanje vrednosti sopstvenih frekvencija izračunate Galerkinovom metodom (GM) i metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), za slučaj dobijenim u radu Leissa [34,1969].</s>
-<s>Na osnovu promene parametara nelokalnosti �̅ i zapreminskog opterećenja �, koristeći Galerkin-ovu metodu, dobijeni su rezultati bezdimenzijskih sopstvenih frekvencija �� , sa kojima nano-ploča slobodno osciluje.</s><s>Pomoću njih, formiraju se dijagrami frekvencija, prikazani na slikama 15-23.</s>
-<s>7.1.2.</s><s>ANALIZA FREKVENCIJA posmatrajući bezdimenzijsku frekvenciju ����, vidimo da oblici krivih frekvencija 2-9, pri promeni parametra nelokalnosti, prate oblik krive 1, pri nultom parametru nelokalnosti, što isto važi kod pravougaone pokretno ukleštene nano-ploče, gde krive frekvencija 2-7 prate oblik krive 1, što je prikazano na slikama 16 (a) i 17</s>
-<s>7.1.2.</s><s>ANALIZA FREKVENCIJA frekvencije ����, oblici krivih frekvencija 7, 8 i 9, menjaju se u odnosu na prvobitne</s>
-<s>bezdimenzijskog parametara nelokalnosti �̅, dok oblici krivih frekvencija 2-7, pri promeni nelokalnog parametra kod pravougaone nano-ploče, prate prvobitni oblik krive 1,</s>
-<s>Isti zaključak koji je važio za frekvenciju ����, posmatrajući kvadratnu nanofrekvencija počinje sa krivom 6, za više vrednosti parametra nelokalnosti, što je promene oblika krivih frekvencija za pravougaonu nano-ploču.</s><s>Slike 18-23, prikazuju intresantnu pojavu u ovoj dinamičkoj analizi, a to je da pri povećavanju bezdimenzijskog parametra nelokalnosti dolazi do preseka krivih frekvencija.</s><s>Ovakva pojava prvenstveno je izražena kod frekvencija ���� i ����. vidimo da se krive frekvencija 1,7,8 i 9 seku u dve tačke, dok se krive frekvencija</s>
-<s>bezdimenzijskog dužina stranica � = 0.5 sa slike 22, vidimo da je to jedini slučaj gde se sve krive frekvencija seku usled promene parametra nelokalnosti.</s><s>Opšti zaključak donešen na osnovu razmatranja proisteklih posmatranjem frekventnih dijagrama jeste da sa povećavanjem nelokalnog parametra �̅ , dolazi do opadanja vrednosti bezdimenzijskih prirodnih frekvencija �� .</s>
-<s>Slika 18.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �: Za slučaj kvadratne ploče</s>
-<s>Slika 19.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �:Za slučaj kvadratne ploče</s>
-<s>Slika 20.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �:Za slučaj kvadratne ploče</s>
-<s>Slika 21.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �: Za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Slika 22.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �: Za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Slika 23.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije i �: Za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije � od bezdimenzijskih parametara Prikaz zavisnosti bezdimenzijske frekvencije � od bezdimenzijskih parametara</s>
-<s>Slika 24.</s><s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijskog parametra frekvencije parametra nelokalnosti �̅: (a) za slučaj kvadratne ploče</s>
-<s>Prikaz zavisnosti bezdimenzijskog parametra frekvencije � � i bezdimenzijskog (a) za slučaj kvadratne ploče � =1, (b) za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Uticaj promene bezdimenzijskog parametra nelokalnosti �̅, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja �, na bezdimenzijske prirodne frekvencije, prikazan je u tabeli 7 i na slici 24 (a), za kvadratnu nano-ploču, i u tabelama 8 i 9, i na slikama 24 (b) i 24 (v), za pravougaonu nano-ploču.</s><s>Posmatrajući rezultate iz tabela, vidimo da sa povećanjem parametra nelokalnosti dolazi do opadanja vrednosti frekvencija.</s><s>Najizraženiji pad vrednosti ogleda se kod bezdimenzijske frekvencije ����, kada je ispitivana pravougaona nano-ploča.</s>
-<s>Tabela 7. Vrednosti bezdimenzijskih frekvencija dobijene Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =1, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Tabela 8. Vrednosti bezdimenzijskih frekvencija dobijene Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =0.7, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Tabela 9. Vrednosti bezdimenzijskih frekvencija dobijene Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče � =0.5, uz odsustvo parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Sledeći korak kod ispitivanja nano-ploče odnosi se na dijagrame stabilnosti.</s><s>Ovi dijagrami pokazuju ponašanje krivih stabilnosti za odabrane modove, usled promene bezdimenzijskog nelokalnog parametra.</s>
-<s>Dijagrami stabilnosti formiraju se pomoću bezdimenzijskih kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja �, dobijenih Galerkin-ovom metodom</s>
-<s>Gubitak stabilnosti prema dinamičkom kriterijumu se dešava kada je vrednost bezdimenzijske frekvencije jednaka nuli.</s>
-<s>Na slici 25, prikazane su krive stabilnosti za prvih šest modova u slučaju kvadratne i pravougaone nano-ploče.</s>
-<s>7.1.3.</s><s>DIJAGRAMI STABILNOSTI kvadratne nano-ploče, ne seku se sa ostalim krivama pri višim vrednostima bezdimenzijskog</s>
-<s>postepeno približavanje krivih stabilnosti 2 i 3, za modove (1,0) i (0,1), ali ne i do njihovog preseka, nastaje pri povećanju parametra nelokalnosti �̅.</s><s>Pri vrednosti parametra �̅ = 0.008, dolazi do preseka krivih stabilnosti 4, 5 i 6. Njegovim daljim povećanjem, krive 4 i 5 ostaju bliske jedna drugoj, s tim da sada nano-ploča gubi brže stabilnost posmatrajući krive 4 i 6.</s>
-<s>postepeno kod pravougaone nano-ploče pri parametrima � =0.7 i �̅ = 0.0035.</s><s>Povećanjem nelokalnog parametra, krive stabilnosti 1 i 2 za modove (0,0) i (1,0) održavaju jednako rastojanje, dok se krive 5 i 6 za modove (1,1) i (0,2), postepeno približavaju jedna drugoj ali se ne presecaju.</s>
-<s>Ako bezdimenzijski parametar odnosa dužina stranica nano-ploče ima vrednost � =0.5, pravougaona nano-ploča gubi ranije stabilnost pri modu (1,0), kriva 1 prikazana na slici 25 (v), u odnosu na krivu 2 za mod (0,0).</s><s>Ovakav rezultat kod analize krivih stabilnosti, kada mod (1,0) postaje osnovni mod oscilovanja, nije bio kod pravougaone nano-ploče kada je � =0.7 i kvadratne nano-ploče kada je � =1. Krive dok se analiza krivih 5 i 6 za modove (1,1) i (0,2), pokazala slična kao u slučaju</s>
-<s>Posmatrajući dijagrame stabilnosti na slici 25, uočavamo da su najveće vrednosti bezdimenzijskih kritičnih parametara zapreminskog opterećenja � dobijene primenom klasične teorije ploča, odnosno kada je bezdimenzijski parametar nelokalnosti jednak nuli.</s>
-<s>Uključivanjem bezdimenzijskog nelokalnog parametra u proračun, dolazi do smanjenja kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja, dok daljim povećavanjem bezdimenzijskog nelokalnog parametra dolazi do zbližavanja krivih stabilnosti u sva tri posmatrana slučaja na slici 25.</s><s>Analizirajući dijagrame stabilnosti, vidimo da je nelokalni uticaj posebno izražen kod kvadratne nano-ploče za krivu stabilnosti 6, za mod (0,2) i kod pravougaone nano-ploče za krivu stabilnosti 3, za mod (2,0).</s>
-<s>Slika 25.</s><s>Ukupni dijagrami stabilnosti prilikom promene bezdimenzijskog parametara nelokalnosti �̅ i zapreminskog opterećenja</s>
-<s>pravougaone ploče stabilnosti prilikom promene bezdimenzijskog parametara zapreminskog opterećenja β: (a) za slučaj kvadratne ploče � =1</s>
-<s>Pregled rezultata kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja dobijenih Galerkin-ovom metodom, vidi se u tabeli 10 za kvadratnu nano-ploču i tabelama 11 i 12 za pravougaonu nano-ploču.</s><s>Ono što treba posebno napomenuti je dobra usaglašenost rezultata dobijenih pomoću metode diferencijalnih kvadratura (DQM) sa rezultatima dobijenim od strane Galerkin-ove metode (GM), koja se vidi u</s>
-<s>Tabela 10.</s><s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče, � =1.</s>
-<s>Tabela 11.</s><s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče, � =0.7.</s>
-<s>Tabela 12.</s><s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), za slučaj kvadratne ploče, � =0.5.</s>
-<s>Tabela 13.</s><s>Kritične bezdimenzijske vrednosti zapreminskog opterećenja β, izračunate Galerkin-ovom metodom (GM), i metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), za slučaj</s>
-<s>Na kraju razmatranja dinamičke analize nano-ploče prikazaćemo njene oblike oscilovanja pod uticajem parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja.</s><s>Osnovni oblik oscilovanja kod kvadratne nano-ploče je bez čvornih linija, mod (0,0), i prikazan je na slikama 26 i 27.</s><s>Ovaj oblik je simetričan u odnosu na vertikalnu ravan koja je normalna na ravan ploče.</s><s>Sa slike 26 (a) vidimo da ispitivanje samo uticaja parametra zapreminskog opterećenja � na slobodno oscilovanje nano-ploče ima za posledicu pomeranja vrha brega u smeru suprotnom od smera �-ose.</s><s>Treba napomenuti da i pored pomeranja vrha brega, dolazi do male promene oblika oscilovanja u odnosu na prvobitni oblik (za nulte parametre � i �̅), što je takođe slučaj kod pravougaone nano-ploče. oscilovanja koji zadržava svojstvo simetrije, javlja se ako pored parametra � uključimo i uticaj parametra nelokalnosti �̅.</s><s>Isti zaključak o spojenom uticaju parametara � i �̅ na osnovni oblik oscilovanja (0,0) donosimo posmatrajući pravougaonu nano-ploču, kada je � =0.7, sa slike 27 (a).</s><s>Kod pravougaone ploče, kada je parametar � =0.5, mod oscilovanja (0,0) više nije osnovni mod, što se vidi sa slike 22 za krive frekvencija i sa slike 25 (v) za krive stabilnosti.</s><s>Na slici 27 (b), kada</s>
-<s>Iz tabele 7, vidimo da iako kvadratna nano-ploča slobodno osciluje sa frekvencijama ���� i ����, koje imaju iste vrednosti pri promeni nelokalnog parametra</s>
-<s>oblici odnosu na vertikalnu ravan koja je normalna na ravan ploče.</s><s>Sa slike 28 (a), vidimo da su oblici bregova slični, odnosno da uticaj parametra zapreminskog opterećenja uz odsustvo parametra nelokalnosti, neće dovesti do velike promene u obliku oscilovanja kvadratne nano-ploče, što isto važi i za pravougaonu nano-ploču.</s><s>Međutim, promena oblika donjeg brega je izraženija uz efekat spojenog dejstva parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja, gde se on smanjuje, što se vidi</s>
-<s>oblici povećanjem parametra zapreminskog opterećenja, oblik oscilovanja (1,0), iako je antisimetričan u odnosu na vertikalnu ravan.</s><s>Kao i kod prethodnih modova (0,0) i (1,0), sam uticaj parametra zapreminskog opterećenja ne dovodi do primetne promene oblika i pomeranja vrha brega u smeru suprotnom od smera �-ose, slika 30 (a).</s><s>Ako u proračunu uzmemo u obzir parametar nelokalnosti i vrednost zapreminskog opterećenja koja je bliska kritičnoj, sa slike 30 (b) vidimo da je promena u obliku oscilovanja (0,1) očiglednija u odnosu na prethodni oblik prikazan na slici 30 (a).</s>
-<s>Slika 26.</s><s>Oblici oscilovanja nano ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Slika 27.</s><s>Oblici oscilovanja nano uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja (a) za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,0), za slučaj kvadratne : (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,0), prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja za slučaj pravougaone ploče � =0.7, (b) za slučaj pravougaone ploče �</s>
-<s>: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra prilikom spojenog</s>
-<s>Slika 28.</s><s>Oblici oscilovanja nano ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja</s>
-<s>Slika 29.</s><s>Oblici oscilovanja nano uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja (a) za slučaj pravougaone ploče</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (1,0), za slučaj kvadratne : (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (1,0), prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja za slučaj pravougaone ploče � =0.7, (b) za slučaj pravougaone ploče �</s>
-<s>Slika 30.</s><s>Oblici oscilovanja nano ploče � =1: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja</s>
-<s>Pozivajući se na prethodna razmatranja, zaključujemo da se uticaj spojenog efekta parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja bitno odražava na oblik oscilovanja kvadratne i pravougaone nano</s>
-<s>Oblici oscilovanja nano-ploče pri frekvenciji �� ��, mod (0,1), za slučaj kvadratne : (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra nelokalnosti i parametra zapreminskog opterećenja.</s>
-<s>Pozivajući se na prethodna razmatranja, zaključujemo da se uticaj spojenog efekta parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja bitno odražava na oblik oscilovanja kvadratne i pravougaone nano-ploče.</s>
-<s>: (a) uz odsustvo parametra nelokalnosti, (b) prilikom spojenog uticaja parametra Pozivajući se na prethodna razmatranja, zaključujemo da se uticaj spojenog efekta parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja bitno odražava na</s>
-<s>U ovoj tezi izvršena je detaljna dinamička analiza pokretno ukleštene nanoploče (kvadratne i pravougaone) koja je zapreminski opterećena i slobodno osciluje.</s><s>Diferencijalna jednačina stabilnosti i oscilovanja složeno opterećene nano-ploče formirana je na osnovu Kirchhoff-ove klasične teorije ploča, koja je nadograđena Eringen-ovom nelokalnom teorijom elastičnosti.</s><s>Diferencijalna jednačina stabilnosti i oscilovanja uz uticaj nelokalnosti, za formulisani linearni teorijski model, rešavana je pomoću Galekrin-ove metode (GM) i metode diferencijalnih kvadratura (DQM).</s>
-<s>Pokazana je dobra usaglašenost rezultata međusobnim upoređivanjem kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja dobijenih na osnovu Galekrin-ove metode (GM) i metode diferencijalnih kvadratura (DQM).</s><s>Takođe, pokazana je dobra usaglašenost podataka prethodno primenjenih metoda sa relevantnim podacima iz literature, odnosno njihova verifikacija.</s>
-<s>formulisane diferencijalne jednačine za nelinearni von Karman-ov teorijski model pokretno ukleštene nano-ploče.</s>
-<s>Za formulisani linearni teorijski model, za kvadratnu i pravougaonu nanoploču, primenom Galekrin-ove metode (GM),</s>
-<s>• postignuta je dobra usaglašenost rezultata dobijenih pri nultim parametrima �̅ i �, sa rezultatima u radu autora Leissa [34,1969],</s>
-<s>parametara formirani su dijagrami frekvencija, na osnovu bezdimenzijskih parametara nelokalnosti i zapreminskog opterećenja,</s>
-<s>parametara formirani su dijagrami stabilnosti, na osnovu kritičnih vrednosti parametra zapreminskog opterećenja,</s>
-<s>parametara dat je prikaz kako sam efekat zapreminskog opterećenja tako i spojeno dejstvo efekata nelokalnosti i zapreminskog opterećenja, utiču na oblike oscilovanja nano-ploče.</s>
-<s>Metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), postignuta je dobra verifikaciju rezultata dobijenih pri nultim parametrima �̅ i �, sa rezultatima u radu autora Leissa [34,1969], i sa rezultatima dobijenim Galekrin-ovom metodom (GM),</s>
-<s>Metodom diferencijalnih kvadratura (DQM), za linearni teorijski model, verifikovane su kritične vrednosti parametra zapreminskog opterećenja �, dobijenih korišćenjem Galekrin-ove</s>
-<s>LITERATURA dependent natural frequencies of non-uniform orthotropic nano scaled plates using nonlocal variational principle and finite element method,” Applied Mathematical Modelling 37, 7047-7061.</s>
-<s>[3] Aydogdu, M., Aksencer, T. [2011] “Levy type solution method for vibration and buckling of nanoplates using nonlocal elasticity theory,” Physica E 43, 954-959.</s>
-<s>[4] Azhari, M., Sarrami-Foroushani, S. [2014] “Nonlocal vibration and buckling analysis of single and multi-layered graphene sheets using finite strip method including van der Walls effects,” Physics E 57, 83-95.</s>
-<s>Tkacz, R., Bhattacharyya, D., Mojumder, M. [2016] “Large-area graphene-based nanofiltration membranes by shear alignment of discotic nematic liquid crystals of graphene oxide,” Nat.</s><s>Commun.7: 10891 doi:10.1038/incomms10891.</s>
-<s>LITERATURA simple process for the fabrication of large-area CVD graphene based devices via selective</s>
-<s>[9] Amabili, M. [2004] “Nonlinear vibrations of rectangular plates with different boundary conditions: theory and experimens,” Computers and Structures 82, 2587-2605.</s>
-<s>[10] Babaei, H., Shahidi, A. R. [2011] “Small-scale effects on the buckling of quadrilateral nanoplates based on nonlocal elasticity theory using Galerkin method,” Arch Appl</s>
-<s>[12] Baradaran, G. H., Dehghan, M. [2011] “Buckling and free vibration analysis of thick rectangular plates resting on elastic foundation using mixed finite element and differential quadrature method,” Applied Mathematics and Computation 218, 2772</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. viscoelastic nanoplates vibration based on nonlocal first-order shear deformation theory,” Meccanica 52, 1063-1077.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. analysis of arbitrarily constrained rectangular plates and stiffened panels using the assumed mode method,” Thin-Walled Structures 90, 182-190.</s>
-<s>[16] Daneshmehr, A., Rajabpoor, A., Pourdavood, M. [2014] “Stability of size dependent functionally graded nanoplate based on nonlocal elasticity and higher order plate theories and different boundary condition,” International Journal of Engineering</s>
-<s>[18] Eringen, C. A. [1983] “On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves,” J. Appl.</s><s>Phys.</s><s>54, 4703.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. orthotropic micro/nanoscale plates under linearly varying in-plane load via nonlocal continuum mechanics,” Composite Structures 94, 1605-1615.</s>
-<s>[22] Golmakani, M. E., Rezatalab, J. [2014] “Nonlinear bending analysis of orthotropic nanoscale plates in an elastic matrix based on nonlocal continuum mechanics,” Composite Structures 111, 85-97.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. approach for free vibration of Mindlin rectangular nano-plates via nonlocal elasticity,” Composite Structures 100, 290-299.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. rectangular nano-plates using wave propagation approach,” Applied mathematical Modelling 000, 1-13.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. analysis of nanoplates; one problem, different answers,” European Journal of Mechanics A/Solids 59, 124-139.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. vibration and stability behavior of multi-layered graphene sheets embedded in an elastic medium,” Composite Structures 131, 672-681.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. of orthotropic single-layered graphene sheet based on nonlocal elasticity theory,” Latin American Journal of Solids and Structures 11, 1541-1564.</s>
-<s>[39] Mohammadi, M., Ghayour, M., Farajpour, A. [2013] “Free transverse vibration analysis of circular and annular grapheme sheets with various boundary conditions using nonlocal continuum plate model,” Composites: Part B 45, 32-42.</s>
-<s>[40] Malekzadeh, P., Farajpour, A. [2012] “Axisymmetric free and forced vibrations of initially stressed circular nanoplates embedded in an elastic medium,” Acta Mech 223, 2311-2330.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. nanosensor model based on the damped vibration of single-layered grapheme sheet influenced by in-plane magnetic field,” International Journal of Mechanical Sciences</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. non-local vibration and biaxial buckling of bonded multi-nanoplate system,” Composites: B Part 66, 328-339.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. effects on biaxial and shear nonlinear buckling analysis of nonlocal isotropic and orthotropic micro-plate based on surface stress and modified couple stress theories using differential quadrature method,” Appl.</s><s>Math.</s><s>Mech.</s><s>-Engl.</s><s>Ed., 37 (4), 529-554.</s>
-<s>[45] Nazemnezhad, R., Hosseini-Hashemi, S., Kermajani, M. [2015] “An analytical study on the buckling and free vibration of rectangular nanoplates using nonlocal third-order shear deformation plate theory,” European Journal of mechanics A/Solids 51, 29-43.</s>
-<s>doi:10.1038/2053-1583/4/1/011010. vibration of 79rapheme sheets using REBO potential based atomistic structural and nonlocal couple stress thin models,” Physica 50, 22-28.</s>
-<s>DOI:10.1126/science.aac9439. analysis for functionally graded micro-nano plates based on modified couple stress and three dimensianl elasticity theory,” Composite Structures 124, 283-291.</s>
-<s>Chem.</s><s>Phys.</s><s>144, 244704, doi:10.1063/1.4954332. bending analysis of Kirchhoff nano-plates based on a modified couple-stress theory including surface effects,” International Journal of Mechanical Science 79, 31-37.</s>
-<s>Kirchhoff plates resting on elastic foundation based on nonlocal elasticity theory,” International Journal of Mechanical Sciences 114, 1-11.</s>
-<s>Chem.</s><s>Phys.</s><s>144, 244704, doi:10.1063/1.4954332. characteristics of functionally graded nanoplates subjected to thermal loading based on surface elasticity theory,” Acta Astronautica 109, 42-51.</s>
-<s>Chem.</s><s>Phys.</s><s>144, 244704, doi:10.1063/1.4954332. bending deflections for nano-beams and nano-plates based on nonlocal elasticity theory,” Composite Structures 125, 304-313.</s>
-