context: El problema consistent a comptar el nombre de solucions de diferents tipus de problemes d'Apol·loni pertany al camp de la geometria enumerativa.[12][39] El nombre de solucions general per cadascun dels deu tipus de problema d'Apol·loni es mostra a la Taula 1 superior. Tot i així, algunes disposicions especials dels objectes donats poden fer canviar el nombre de solucions. Per exemple, com es mostra a la il·lustració de la dreta, el problema d'Apol·loni no té solució si una circumferència en conté una altra, ja que per tocar la circumferència interna és necessari tallar l'externa, però la circumferència resolutòria no pot tallar una circumferència i ser-hi alhora tangent. D'altra banda, si les tres circumferències donades són tangents en el mateix punt, llavors qualsevol circumferència tangent al mateix punt és resolutòria; aquest tipus de problema d'Apol·loni tenen infinites solucions. Si les tres circumferències donades són idèntiques, existeixen també un nombre infinit de solucions. Si només dues de les circumferències donades són idèntiques, només hi ha dues circumferències diferents; els centres de les infinites circumferències resolutòries formen una hipèrbola, la qual cosa s'utilitza en un tipus de resolució del problema d'Apol·loni.
question: Què pot fer canviar el nombre de solucions?
answers.text: algunes disposicions especials dels objectes donats