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	<!DOCTYPE html><html>
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	<title></title>
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	<!--
	.xflip {
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	<a name=1></a>HLF 2016, Sep. 22, 2016, Heidelberg.<br/>
	UniMath<br/>
	by Vladimir Voevodsky  <br/>
	from the Institute for Advanced Study in Princeton, NJ. <br/>
	<hr/>
	<a name=2></a>Part 1. Univalent foundations<br/>
	2<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	Today we face a problem that involves two difﬁcult to satisfy conditions. <br/>
	On the one hand we have to ﬁnd a way for computer assisted veriﬁcation of <br/>mathematical proofs.<br/>
	This is necessary, ﬁrst of all, because we have to stop the dissolution of the <br/>concept of proof in mathematics.<br/>
	On the other hand  we have to preserve the intimate connection between <br/>mathematics and the world of human intuition.<br/>
	This connection is what moves mathematics forward and what we often <br/>experience as the beauty of mathematics. <br/>
	3<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	The Univalent Foundations (UF) is, a yet imperfect, solution to this problem.<br/>
	In their original form,  the UF combined three components:<br/>
	• the view of mathematics as the study of structures on sets and their higher <br/>
	analogs, <br/>
	• the idea that the higher analogs of sets are reﬂected in the set-based <br/>
	mathematics as homotopy types, <br/>
	• the idea that one can formalize our intuition about structures on these higher <br/>
	analogs using the Martin-Lof  Type Theory (MLTT) extended with the Law of <br/>Excluded Middle for propositions (LEM) , the Axiom of Choice for sets (AC), <br/>the Univalence Axiom (UA) and the Resizing Rules (RR).<br/>
	4<br/>
	<hr/>
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	<img src="Unimath-5_2.png"/><br/>
	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	The main new concepts that were since added to these are the following: <br/>
	• the understanding that a lot of mathematics can be formalized in the MLTT <br/>
	without the LEM and the AC and that excluding these two axioms one <br/>obtains foundations for a <i>new form of constructive mathematics</i>,<br/>
	• the understanding that classical mathematics appears as a subset of this new <br/>
	constructive mathematics,<br/>
	• the understanding that the MLTT extended with the UA is an imperfect <br/>
	formalization system for this constructive mathematics and that it should be <br/>possible  to integrate the UA into the MLTT obtaining a new type theory <br/>with better computational properties.<br/>
	5<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	What does it mean for a formalization system to be constructive?<br/>
	Some expressions in type theory are said to be in normal form. Any <br/>expression can be automatically and deterministically “normalized”, that is, an <br/>equivalent expression in normal form can be computed. <br/>
	In type theory there are type expressions and element expressions. If “T” is a <br/>type (expression) and “o” is an element (expression) one writes “o:T” if the <br/>type of “o” is “T”. <br/>
	6<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	In most type systems there is the type of natural numbers. In the UniMath it is <br/>written as “nat”.<br/>
	There is the zero element “O:nat” and the successor function “S” from “nat” to <br/>“nat” that intuitively corresponds to the function that takes “n” to “1+n”. <br/>
	A constructive system satisﬁes the <i>canonicity property</i> for “nat”, which asserts <br/>that the normal form of any expression “o:nat” has the form “S(S(….(SO)..))”.<br/>
	By counting how many “S” there is in the normal form one obtains an actual <br/>natural number from any element expression of type “nat”. <br/>
	7<br/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	This is a tremendously strong property. <br/>
	Consider the example: a set “X:hSet” is deﬁned to be ﬁnite if there exists an <br/>isomorphism between it and the standard ﬁnite set “stn n”. Here “n” is an <br/>expression of type “nat”. It is well deﬁned and one obtains a function “ﬁncard”  <br/>from ﬁnite sets to “nat” called the cardinality - the number of elements of the <br/>set.<br/>
	Now suppose that I have proved, constructively, that “X” is ﬁnite. Then <br/>
	“(ﬁncard X):nat” <br/>
	is deﬁned. By normalizing “ﬁncard X” I obtain an actual natural number.<br/>
	If I had a constructive proof of <i>Faltings’s Theorem, </i>stating that the number of <br/>rational points on a curve of genus >1 is ﬁnite, I could ﬁnd the actual number <br/>of points on any curve of genus >1.  <br/>
	8<br/>
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	<a name=9></a><img src="Unimath-9_1.png"/><br/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	We don’t know whether such a proof exists. It is a very interesting and hard <br/>problem. <br/>
	The reason that the MLTT+UA is an imperfect system for constructive  <br/>formalization is that while MLTT itself has the canonicity property MLTT+UA <br/>does not.<br/>
	Therefore, formalizing the proof of Faltings’s Theorem in the UniMath, which is <br/>based on MLTT+UA, would not immediately give us an algorithm to compute <br/>the number of rational points on a curve of genus >1.<br/>
	This is where a new type theory that integrates the UA into the MLTT in such <br/>a way as to preserve the canonicity would help. <br/>
	9<br/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	The search for such a type theory became one of the main driving forces in <br/>the development of the UF.<br/>
	Today several groups are working on the construction and  implementation in <br/>a proof assistant of candidate type theories.  <br/>
	The <i>cubical type theory</i> and the prototype proof assistant <i>cubicaltt</i> created by <br/>the group of Thierry Coquand with the help of many researchers from <br/>different parts of the world is at the most advanced stage of development <br/>today. <br/>
	A proof in the UniMath easily translates into a proof in the cubilatt.<br/>
	10<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	The new form of the UF that emerges can be seen as combining the following <br/>components:<br/>
	• the view of mathematics as the study of structures on sets and their higher <br/>
	analogs, <br/>
	• the view of mathematics as constructive with the classical mathematics being <br/>
	a subset consisting of the results that require LEM and/or AC among their <br/>assumptions,<br/>
	• the idea that the higher analogs of sets are reﬂected in the set-based <br/>
	mathematics as constructive homotopy types - objects of the new <br/>constructive homotopy theory that can so far be formulated only in terms of <br/>cubical sets,<br/>
	• the idea that one can formalize our intuition about structures on these higher <br/>
	analogs using Cubical Type Theory (CTT).<br/>
	11<br/>
	<hr/>
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	<img src="Unimath-12_2.png"/><br/>
	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	In addition to the understanding that to obtain a formal system for the new <br/>constructive mathematics the UA needs to be integrated into the MLTT <br/>constructively, several more things are felt as lacking in the MLTT+UA:<br/>
	• higher inductive types, <br/>
	• resizing rules,<br/>
	• a possible strict extensional equality combined with the “ﬁbrancy discipline”,<br/>
	• as yet unknown mechanism to construct the types of structures that involve <br/>
	inﬁnite hierarchies of coherence conditions.  <br/>
	Surprisingly,  it might be easier to add these features to the CTT than to the <br/>MLTT. The work in these directions is ongoing. <br/>
	12<br/>
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	<a name=13></a>Part 2. The UniMath library<br/>
	13<br/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	In the development of the UniMath library we attempt to do something that <br/>might be compared with the effort by the Bourbaki group to write a <br/>systematic exposition of mathematics based on the set theory and the view of <br/>mathematics as studying structures on sets.<br/>
	The effort by Bourbaki stalled at some point around the middle of the 20th <br/>century, in part, because it was very complicated to describe the emerging <br/>category-theoretic constructions in set-theoretic terms.<br/>
	14<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	One may however ask, is there any mathematical innovation in what we are <br/>doing? Is there a discovery of the unknown in the work on the UniMath?<br/>
	We have already seen how well-known problems in ﬁelds such as arithmetic <br/>algebraic geometry can be related to the search for a new foundation of <br/>constructive mathematics and for building proofs in the UniMath.<br/>
	Here is a different example.<br/>
	15<br/>
	<hr/>
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	<img src="Unimath-16_2.png"/><br/>
	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	Some years ago, at the IAS, I had a conversation at lunch with Armand Borel. I <br/>mentioned how I like Bourbaki “Algebra” and how it helped me to become a <br/>mathematician. <br/>
	I then mentioned that some places there were really dense. For example, said I, <br/>the description of the tensor product was hard to follow. <br/>
	Of course, said Borel, <i>we have invented tensor product to get a systematic <br/>exposition of multi-linear maps</i>. <br/>
	It was new research, this is why it was not very smoothly written. <br/>
	16<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	I was amazed.<br/>
	It is hard to imagine today’s mathematics without the concept of the tensor <br/>product. It would never occurred to me that it was invented by Bourbaki with <br/>the only purpose to obtain a more systematic exposition of multi-linear maps <br/>of vector spaces!<br/>
	This example shows how a major innovation can emerge from the work on <br/>systematization of knowledge. <br/>
	17<br/>
	<hr/>
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	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	Finally, a few words to those mathematicians who will decide to understand <br/>UniMath and maybe to contribute to it. <br/>
	The UniMath library is being created using the proof assistant Coq. It is freely <br/>available on GitHub.<br/>
	The language of Coq is a very substantial extension of the MLTT and UniMath <br/>uses a very small subset of the full Coq language that approximately <br/>corresponds to the original MLTT.<br/>
	18<br/>
	<hr/>
	<a name=19></a><img src="Unimath-19_1.png"/><br/>
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	<img src="Unimath-19_3.png"/><br/>
	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	The ﬁrst ﬁle in the UniMath after the <i>Basics/preamble.v</i> is <i>Basics/PartA</i>.v.<br/>
	The ﬁrst line in <i>Basics/PartA.v</i> after the preamble section is as follows:<br/>
	<br/>
	It should be understood as a declaration of intent to deﬁne a constant called <br/><i>fromempty </i>whose type is described by the expression that is written to the <br/>right of the colon. <br/>
	Following this line there is a paragraph that starts with <i>Proof.</i> and ends with <br/><i>Deﬁned. </i>where the constant is actually deﬁned using the little sub-programs of <br/>Coq called tactics which help to build complex expressions of the underlying <br/>type theory language in simple steps.  <br/>
	19<br/>
	<hr/>
	<a name=20></a><img src="Unimath-20_1.png"/><br/>
	<img src="Unimath-20_2.png"/><br/>
	Univalent Foundations<br/>
	UniMath library<br/>
	A mathematician who wants to understand UniMath should expect a very <br/>non-linear learning curve:<br/>
	• In the lectures that I gave in Oxford and in the similar lectures in the Hebrew <br/>
	University it took me the whole ﬁrst lecture to explain what that ﬁrst line <br/>and the following it paragraph really mean.<br/>
	• In the next lecture I was able to explain the next few hundred lines of PartA.<br/>
	• By the fourth lecture in Oxford, the video of which can be found on my <br/>
	website, I was explaining the invariant formalization of ﬁbration sequences.<br/>
	20<br/>
	<hr/>
	<a name=21></a>I hope that was able to show how important Univalent Foundations are and <br/>
	how important is the work on libraries such as UniMath.<br/>
	Thank you!<br/>
	21<br/>
	<hr/>
	</body>
	</html>