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### Instruction:
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### Input: En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante en latin. Les questions soulevées intéressent les mathématiciens de l'époque. Pierre de Fermat propose un grand nombre d'énoncés, les trois plus célèbres étant probablement son grand théorème, son théorème des deux carrés et son petit théorème. La communauté scientifique se lance des défis sur ce sujet, ainsi Fermat demande : « un nombre carré qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes (i.e. ses diviseurs), fasse un cube. » Il conclut par : « j'attends la solution de ces questions ; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise ». Marin Mersenne recherche des nombres premiers particuliers. Fermat lui écrit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537, …, sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». Ces nombres sont maintenant appelés nombres de Fermat et sa phrase s'avère être l'unique conjecture fausse proposée par l'auteur. René Descartes recherche sans y parvenir, à démontrer que si la division par huit d'un nombre premier donne pour reste un ou trois, il s'écrit de la forme x2 + 2y2.
Qui écrit à Marin Mersenne ? ### Response: Fermat |
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### Input: En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante en latin. Les questions soulevées intéressent les mathématiciens de l'époque. Pierre de Fermat propose un grand nombre d'énoncés, les trois plus célèbres étant probablement son grand théorème, son théorème des deux carrés et son petit théorème. La communauté scientifique se lance des défis sur ce sujet, ainsi Fermat demande : « un nombre carré qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes (i.e. ses diviseurs), fasse un cube. » Il conclut par : « j'attends la solution de ces questions ; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise ». Marin Mersenne recherche des nombres premiers particuliers. Fermat lui écrit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537, …, sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». Ces nombres sont maintenant appelés nombres de Fermat et sa phrase s'avère être l'unique conjecture fausse proposée par l'auteur. René Descartes recherche sans y parvenir, à démontrer que si la division par huit d'un nombre premier donne pour reste un ou trois, il s'écrit de la forme x2 + 2y2.
En quelle année le livre de Diophante a-t-il été traduit en latin ? ### Response: 1621 |
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### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer encore la remarque de Fermat à propos de son grand théorème : « J'ai trouvé une solution merveilleuse … »Les problèmes posés sont difficiles. Malgré quelques succès comme l'identité de Bézout probablement due à Bachet de Méziriac, l'essentiel des questions restent sans réponse, comme le théorème des deux carrés de Fermat, ou avec des réponses pour le moins peu convaincantes, comme celle de Fermat pour son grand théorème :«… mais la place me manque ici pour la développer » (la première preuve reconnue apparaîtra en 1995). Bien souvent, Fermat termine ses théorèmes par des commentaires avouant son échec : « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer … cette belle proposition que je vous ai envoyée … »
Comment Fermat qualifie-t-il son grand théorème ? ### Response: solution merveilleuse |
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### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer encore la remarque de Fermat à propos de son grand théorème : « J'ai trouvé une solution merveilleuse … »Les problèmes posés sont difficiles. Malgré quelques succès comme l'identité de Bézout probablement due à Bachet de Méziriac, l'essentiel des questions restent sans réponse, comme le théorème des deux carrés de Fermat, ou avec des réponses pour le moins peu convaincantes, comme celle de Fermat pour son grand théorème :«… mais la place me manque ici pour la développer » (la première preuve reconnue apparaîtra en 1995). Bien souvent, Fermat termine ses théorèmes par des commentaires avouant son échec : « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer … cette belle proposition que je vous ai envoyée … »
Quel théorème n'arrive pas à trouver de démonstration satisfaisante ? ### Response: théorème des deux carrés de Fermat |
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### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer encore la remarque de Fermat à propos de son grand théorème : « J'ai trouvé une solution merveilleuse … »Les problèmes posés sont difficiles. Malgré quelques succès comme l'identité de Bézout probablement due à Bachet de Méziriac, l'essentiel des questions restent sans réponse, comme le théorème des deux carrés de Fermat, ou avec des réponses pour le moins peu convaincantes, comme celle de Fermat pour son grand théorème :«… mais la place me manque ici pour la développer » (la première preuve reconnue apparaîtra en 1995). Bien souvent, Fermat termine ses théorèmes par des commentaires avouant son échec : « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer … cette belle proposition que je vous ai envoyée … »
De quand date la première démonstration fiable du grand théorème de Fermat ? ### Response: 1995 |
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### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer encore la remarque de Fermat à propos de son grand théorème : « J'ai trouvé une solution merveilleuse … »Les problèmes posés sont difficiles. Malgré quelques succès comme l'identité de Bézout probablement due à Bachet de Méziriac, l'essentiel des questions restent sans réponse, comme le théorème des deux carrés de Fermat, ou avec des réponses pour le moins peu convaincantes, comme celle de Fermat pour son grand théorème :«… mais la place me manque ici pour la développer » (la première preuve reconnue apparaîtra en 1995). Bien souvent, Fermat termine ses théorèmes par des commentaires avouant son échec : « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer … cette belle proposition que je vous ai envoyée … »
Qui a résolu le problème de l'identité de Bézout ? ### Response: Bachet de Méziriac |
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### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer encore la remarque de Fermat à propos de son grand théorème : « J'ai trouvé une solution merveilleuse … »Les problèmes posés sont difficiles. Malgré quelques succès comme l'identité de Bézout probablement due à Bachet de Méziriac, l'essentiel des questions restent sans réponse, comme le théorème des deux carrés de Fermat, ou avec des réponses pour le moins peu convaincantes, comme celle de Fermat pour son grand théorème :«… mais la place me manque ici pour la développer » (la première preuve reconnue apparaîtra en 1995). Bien souvent, Fermat termine ses théorèmes par des commentaires avouant son échec : « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer … cette belle proposition que je vous ai envoyée … »
Quel ouvrage Bachet de Méziriac a-t-il écrit ? ### Response: Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres |
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### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour n égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.
Qui a permis de trouver des solutions à un grand nombre de problèmes ? ### Response: Leonhard Euler |
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### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour n égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.
Qui apporte la preuve de la véracité du théorème des deux carrés ? ### Response: Leonhard Euler |
### Instruction:
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### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour n égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.
En quelle année la loi de la réciprocité quadratique pose question ? ### Response: 1782 |
### Instruction:
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### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour n égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.
Qui autre qu'Euler va tenter de résoudre le problème de réciprocité quadratique ? ### Response: Adrien-Marie Legendre |
### Instruction:
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### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour n égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.
Qui Euler contredit-il ? ### Response: Fermat |
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### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit a2 et b2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c2 + 4c + 1, la division de b2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Jusqu'à quand les méthodes des mathématiciens sont restés simples ? ### Response: aube du XIXe siècle |
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### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit a2 et b2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c2 + 4c + 1, la division de b2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Quelle est la conséquence de la parité supposée de a ? ### Response: son carré est un multiple de 4 |
### Instruction:
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### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit a2 et b2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c2 + 4c + 1, la division de b2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Par quelle équation peut on traduire l'imparité de b ? ### Response: 2c + 1 |
### Instruction:
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### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit a2 et b2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c2 + 4c + 1, la division de b2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Que représentent a2 et b2 ? ### Response: deux carrés |
### Instruction:
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### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit a2 et b2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c2 + 4c + 1, la division de b2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Si a2 et b2 étaient pairs quel serait le reste de la division de leur somme par 4 ? ### Response: 0 |
### Instruction:
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### Input: Le quatrième n'est pas illustré dans l'exemple, il correspond à la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés. Elle consiste à trouver à partir d'une solution entière positive une autre solution entière positive et plus petite. La suite des solutions descend de manière infinie dans l'ensemble des entiers positifs, ce qui n'est pas possible. Cette méthode fut déjà utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas où n est égal à 4.Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.
A quoi correspond le quatrième ? ### Response: la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés |
### Instruction:
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### Input: Le quatrième n'est pas illustré dans l'exemple, il correspond à la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés. Elle consiste à trouver à partir d'une solution entière positive une autre solution entière positive et plus petite. La suite des solutions descend de manière infinie dans l'ensemble des entiers positifs, ce qui n'est pas possible. Cette méthode fut déjà utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas où n est égal à 4.Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.
Qui est l'auteur de la démonstration du théorème des deux carrés ? ### Response: Euler |
### Instruction:
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### Input: Le quatrième n'est pas illustré dans l'exemple, il correspond à la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés. Elle consiste à trouver à partir d'une solution entière positive une autre solution entière positive et plus petite. La suite des solutions descend de manière infinie dans l'ensemble des entiers positifs, ce qui n'est pas possible. Cette méthode fut déjà utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas où n est égal à 4.Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.
En quoi consiste cette descente infinie ? ### Response: La suite des solutions descend de manière infinie dans l'ensemble des entiers positifs |
### Instruction:
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### Input: Le quatrième n'est pas illustré dans l'exemple, il correspond à la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés. Elle consiste à trouver à partir d'une solution entière positive une autre solution entière positive et plus petite. La suite des solutions descend de manière infinie dans l'ensemble des entiers positifs, ce qui n'est pas possible. Cette méthode fut déjà utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas où n est égal à 4.Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.
Quel autre mathématicien eut recours à la méthode de la descente infinie ? ### Response: Fermat |
### Instruction:
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### Input: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.
Qu'est-ce qui reste non démontrée dans les écrits de Fermat ? ### Response: son grand théorème |
### Instruction:
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### Input: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.
Quelle conjecture est faite lorsque a et b sont premiers entre eux ? ### Response: la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien |
### Instruction:
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### Input: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.
Quelle est la conjecture de Gauss ? ### Response: il en existe une infinité |
### Instruction:
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### Input: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.
Derrière quel autre mathématicien se range Legendre ? ### Response: Gauss |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : « En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine. » Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.
Qui était le professeur de Dirichlet ? ### Response: Gauss |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : « En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine. » Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.
Qu'utilise Dirichlet pour démontrer le théorème de la progression arithmétique ? ### Response: le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : « En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine. » Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.
Où retrouve-t-on les écrits de Charles Gustave Jacob Jacobi sur la théorie des nombres ? ### Response: une lettre à son frère |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : « En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine. » Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.
Pour quelle démonstration Legendre utilisa ses calculs nommés le symbole de Legendre ? ### Response: la loi de réciprocité quadratique |
### Instruction:
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### Input: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : « la sécurité d'un système de cryptographie ne doit pas reposer sur le secret de l'algorithme. La sécurité ne repose que sur le secret de la clé ». Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du XXe siècle, elle devient une branche des mathématiques appliquées.
Comment nomme-t-on les notions mathématique développées par le mathématicien Gauss ? ### Response: cryptologie |
### Instruction:
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### Input: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : « la sécurité d'un système de cryptographie ne doit pas reposer sur le secret de l'algorithme. La sécurité ne repose que sur le secret de la clé ». Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du XXe siècle, elle devient une branche des mathématiques appliquées.
Quand est-ce que Kerchoff insiste sur l'importance du secret de la clé ? ### Response: 1883 |
### Instruction:
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### Input: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : « la sécurité d'un système de cryptographie ne doit pas reposer sur le secret de l'algorithme. La sécurité ne repose que sur le secret de la clé ». Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du XXe siècle, elle devient une branche des mathématiques appliquées.
Selon Kerchoff sur quoi ne repose pas un système de cryptographie ? ### Response: le secret de l'algorithme |
### Instruction:
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### Input: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : « la sécurité d'un système de cryptographie ne doit pas reposer sur le secret de l'algorithme. La sécurité ne repose que sur le secret de la clé ». Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du XXe siècle, elle devient une branche des mathématiques appliquées.
A partir de quand la cryptologie devient une branche des mathématiques appliquées ? ### Response: Au milieu du XXe |
### Instruction:
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### Input: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.
Quel mathématicien est appelé pour résoudre Enigma ? ### Response: Marian Rejewski |
### Instruction:
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### Input: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.
A quand remonte cette tentative de démonstration par Rejewski ? ### Response: début des années 1930 |
### Instruction:
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### Input: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.
Comment se nomme le système de Fesitel ? ### Response: Data Encryption |
### Instruction:
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### Input: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.
Les travaux de quel mathématicien seront utiles pour les cryptanalystes du DES ? ### Response: Dirichlet |
### Instruction:
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### Input: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
Sur quoi se base la nouvelle famille de codes ? ### Response: une clé publique |
### Instruction:
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### Input: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
A quand remonte la naissance de la famille de codes se basant sur une clé publique ? ### Response: 1976 |
### Instruction:
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### Input: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
Quelle est la particularité de la solution R.S.A ? ### Response: la plus célèbre |
### Instruction:
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### Input: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
Sur les travaux de quels mathématiciens se basent la solution R.S.A ? ### Response: Fermat et d'Euler |
### Instruction:
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### Input: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de résidu aux différents éléments.
Quel est l'intérêt du calcul modulo n ? ### Response: identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n |
### Instruction:
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### Input: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de résidu aux différents éléments.
Quel objet classique de la vie quotidienne illustre le calcul modulo ? ### Response: horloge |
### Instruction:
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### Input: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de résidu aux différents éléments.
A quel n correspond le calcul modulo de l'horloge ? ### Response: 12 |
### Instruction:
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### Input: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de résidu aux différents éléments.
Quel mathématicien donne le nom de résidu aux différents éléments de ce calcul de modulo ? ### Response: Legendre |
### Instruction:
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### Input: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/nℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.
Comment nomme-t-on désormais la structure de cet ensemble ? ### Response: anneau de congruences |
### Instruction:
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### Input: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/nℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.
Si le modulo est premier qu'obtient-on ? ### Response: corps |
### Instruction:
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### Input: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/nℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.
Quels sont les deux exemples de Disquistiones arithmeticae ? ### Response: théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat |
### Instruction:
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### Input: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/nℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.
Comment note-t-on la structure de cet ensemble ? ### Response: ℤ/nℤ. |
### Instruction:
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### Input: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + iβ est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.
Comment associe-t-on à un entier de Gauss une norme ? ### Response: module des nombres complexes |
### Instruction:
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### Input: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + iβ est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.
Quelle est l'utilité de la norme ? ### Response: définir une division euclidienne |
### Instruction:
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### Input: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + iβ est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.
A quelle condition sur b existe a/b ? ### Response: b est différent de zéro |
### Instruction:
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### Input: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + iβ est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.
Que veut dire l'existence d'une division euclidienne ? ### Response: il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir |
### Instruction:
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### Input: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.
Sur quelle priorité de Bézout ce résultat de la division euclidienne est-il important ? ### Response: l'identité de Bézout |
### Instruction:
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### Input: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.
Quel mathématicien à développer une preuve de l'existence de nombre premiers ? ### Response: Gauss |
### Instruction:
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### Input: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.
Grâce à ces nombres premiers quel mathématicien peut proposer une résolution du théorème des deux carrés ? ### Response: Richard Dedekind |
### Instruction:
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### Input: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.
En quoi consiste le résolution de Dedekind ? ### Response: Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss |
### Instruction:
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### Input: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.
A quel autre domaines mathématiques a-t-on pu appliquer la théorie des groupes ? ### Response: l'arithmétique et à la géométrie |
### Instruction:
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### Input: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.
Quel domaine des mathématiques a permis d'influencer la théorie de Galois ? ### Response: l'arithmétique modulaire |
### Instruction:
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### Input: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.
Pourquoi la théorie de Galois n'est pas considéré comme un cas particuliers d'arithmétique modulaire ? ### Response: appel à de nombreux autres concepts |
### Instruction:
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### Input: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.
Quel concept mathématique a alimenté des travaux en algèbre générale ? ### Response: outils de l'arithmétique modulaire |
### Instruction:
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### Input: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.
Comment peut-on résumer l'arithmétique modulaire ? ### Response: quotient d'anneaux euclidiens |
### Instruction:
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### Input: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.
Quel théorème a démontré l'importance du quotient d'un groupe par un sous-groupe normal ? ### Response: théorème de Jordan-Hölder |
### Instruction:
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### Input: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.
Quelle notion en théorie des groupes se rapproche de la notion d'idéal dans la théorie des anneaux ### Response: sous-groupe |
### Instruction:
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### Input: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.
Quel théorème est au fondement du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique ? ### Response: Le théorème des zéros de Hilbert |
### Instruction:
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### Input: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.
Qu'est-ce que le groupe de Galois ? ### Response: groupe des automorphismes du corps |
### Instruction:
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### Input: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.
Comment peut-on résoudre l'équation ? ### Response: correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes |
### Instruction:
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### Input: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.
Dans quels domaine des mathématiques la théorie des Galois est importante ? ### Response: arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique |
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### Input: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.
Quelle est l'utilité primaire de la théorie de Galois en arithmétique ? ### Response: formuler de nouveaux problèmes plus généraux |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une obstruction. Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.
Que démontre Fermat sur le groupe des unités de l'anneau d'entiers algébriques ? ### Response: plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une obstruction. Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.
Quel théorème utilise notamment l'arithmétique modulaire ? ### Response: grand théorème de Fermat |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une obstruction. Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.
Que présentent les anneaux d'entiers algébriques construits selon la méthode de Gauss ? ### Response: obstruction |
### Instruction:
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### Input: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une obstruction. Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.
Que présentent les anneaux d'entiers algébriques construits selon la méthode de Gauss ? ### Response: obstruction |
### Instruction:
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### Input: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de n premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.
Qui utilise un outil lié à la généralisation du quotient ? ### Response: Ernst Kummer |
### Instruction:
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### Input: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de n premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.
Aujourd'hui comment est formalisé l'outil d'Ernst Kummer ? ### Response: par les idéaux |
### Instruction:
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### Input: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de n premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.
Pour quels nombres premiers Kummer parvient à démontrer le grand théorème ? ### Response: nombres premiers réguliers |
### Instruction:
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### Input: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de n premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.
Quels sont les seuls nombres premiers inférieurs à 100 à ne pas être traités ? ### Response: 37, 59 et 67 |
### Instruction:
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### Input: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.
Quels sont des exemples de techniques analytiques de Dirichlet ? ### Response: les séries entières et l'analyse complexe |
### Instruction:
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### Input: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.
Les travaux de Dirichlet ont permis de donner naissance à quel nouveau domaine des mathématiques ? ### Response: la théorie analytique des nombres |
### Instruction:
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### Input: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.
Quel mathématicien apporta une aide cruciale pour la théorie analytique des nombres ? ### Response: Bernhard Riemann |
### Instruction:
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### Input: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.
Quel mathématicien fut le premier à travailler sur la position des racines ? ### Response: Dirichlet |
### Instruction:
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### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.
Que fait la fonction f dans l'opération de chiffrement ? ### Response: à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m) |
### Instruction:
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### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.
Quelle est l'entrée de la fonction f dans l'opération de chiffrement ? ### Response: message en clair m et une clé k |
### Instruction:
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### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.
Comment appelle-t-on la cryptographie traditionnelle ? ### Response: cryptographie symétrique |
### Instruction:
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### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.
Quelle est la particularité de la cryptographie symétrique ? ### Response: la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.
Quel est l'objectif principal de la cryptographie asymétrique ? ### Response: résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.
Quelle est la taille de la version courante de AES ? ### Response: 128 bits |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.
Quelle version des clés pour les codes symétriques est la plus petite en taille ? ### Response: AES |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.
Quel objet de la vie courante a recours aux systèmes cryptographiques modernes ? ### Response: cartes bancaires |
### Instruction:
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### Input: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q, dont elle calcule le produit n = pq, et un entier e, premier avec φ(n) = (p – 1)(q – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/nℤ. Le couple (n, e) constitue alors la clé publique d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.
Que fait Alice avec les deux grands nombres premiers p et q ? ### Response: elle calcule le produit n = pq |
### Instruction:
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### Input: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q, dont elle calcule le produit n = pq, et un entier e, premier avec φ(n) = (p – 1)(q – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/nℤ. Le couple (n, e) constitue alors la clé publique d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.
Qu'est-ce qui constitue la clé publique d'Alice ? ### Response: couple (n, e) |
### Instruction:
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### Input: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q, dont elle calcule le produit n = pq, et un entier e, premier avec φ(n) = (p – 1)(q – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/nℤ. Le couple (n, e) constitue alors la clé publique d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.
Quelle est la signification du fait que la clé d'Alice soit publique ? ### Response: librement accessible |
### Instruction:
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### Input: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q, dont elle calcule le produit n = pq, et un entier e, premier avec φ(n) = (p – 1)(q – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/nℤ. Le couple (n, e) constitue alors la clé publique d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.
Comment dans l'exemple d'Alice a-t-on définit la fonction indicatrice d'Euler ? ### Response: φ(n) = (p – 1)(q – 1) |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour Advanced Encryption Standard). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de n bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal n – 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F2n, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.
Quel domaine des mathématiques est essentiel à la cryptographie asymétrique ? ### Response: arithmétique modulaire |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour Advanced Encryption Standard). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de n bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal n – 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F2n, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.
Que veut dire AES ? ### Response: Advanced Encryption Standard |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour Advanced Encryption Standard). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de n bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal n – 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F2n, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.
Qui est parvenu à exploiter l'opération d'inversion sur le corps fini F2n ? ### Response: auteurs du chiffrement Rijndael |
### Instruction:
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### Input: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour Advanced Encryption Standard). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de n bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal n – 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F2n, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.
Qu'est-ce que le NIST ? ### Response: agence fédérale américaine |
### Instruction:
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### Input: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichael (par exemple 561 = 3 × 11 × 17), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de a. Toutefois, si p n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de a comprises entre un et p. Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de a indique une très forte probabilité de primalité pour p, s'il n'est pas un nombre de Carmichael.
A quoi ont recours la majorité des tests de l'industrie ? ### Response: des variantes du petit théorème de Fermat |
### Instruction:
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### Input: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichael (par exemple 561 = 3 × 11 × 17), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de a. Toutefois, si p n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de a comprises entre un et p. Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de a indique une très forte probabilité de primalité pour p, s'il n'est pas un nombre de Carmichael.
Que démontre les nombres de Carmichael ? ### Response: La réciproque est fausse |
### Instruction:
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### Input: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichael (par exemple 561 = 3 × 11 × 17), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de a. Toutefois, si p n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de a comprises entre un et p. Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de a indique une très forte probabilité de primalité pour p, s'il n'est pas un nombre de Carmichael.
Quand est-ce que la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de a comprises entre un et p ? ### Response: si p n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier |
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