Datasets:

rafalposwiata

/

open-coursebooks-pl

like 3

[ "Prawo Bragga podaje warunki, w jakich zachodzi dyfrakcja promieni Roentgena na krysztale. Rys. 1 pokazuje ugięcie wiązki promieni X na zespole równoległych płaszczyzn (linie przerywane). Odległość między płaszczyznami wynosi d.", "Promienie ugięte będą się wzmacniać gdy różnica dróg pomiędzy sąsiednimi promieniami (zob. Rys. 1 ) będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali", "Dla \\( m \\) = 0 otrzymujemy \\( \\beta \\) = \\( \\theta \\) to znaczy płaszczyzna wyznaczona przez atomy działa jak „zwierciadło” odbijające falę padającą (kąt padania = kąt odbicia) to znaczy w tym kierunku obserwujemy wzmocnienie promieniowania ugiętego.", "Jeżeli chcemy otrzymać wzmocnienie promieniowania odbitego od całej rodziny płaszczyzn, dla kierunku określonego przez kąt \\( \\theta \\), to muszą się wzmacniać promienie odbite od poszczególnych płaszczyzn. Oznacza to, że różnica dróg dla promieni odbitych od sąsiednich płaszczyzn ( Rys. 1a) musi być równa całkowitej wielokrotności \\( \\lambda \\), co sprowadza się do warunku zwanego prawem Bragga.", "W równaniu tym d oznacza odległość między sąsiednimi płaszczyznami. Należy tu zwrócić uwagę, że w krysztale znajduje się wiele różnych rodzin płaszczyzn o różnych odległościach międzypłaszczyznowych.", "Pomiar dyfrakcji promieni X jest doświadczalną metodą badania rozmieszczenia atomów w kryształach." ]

[]

[ "Teoria Maxwella przewiduje, że światło jest falą poprzeczną tzn. kierunki drgań wektorów \\( E \\) i \\( B \\) są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.", "Na Rys. 1 poniżej przedstawiono falę elektromagnetyczną, która wyróżnia się tym, że wektory \\( E \\) są do siebie równoległe we wszystkich punktach fali. Dotyczy to również wektorów \\( B \\). O takiej fali mówimy, że jest płasko spolaryzowana lub spolaryzowana liniowo. Wektory \\( E \\) tworzą z kierunkiem ruchu fali płaszczyznę zwaną płaszczyzną drgań.", "Przykładem fal spolaryzowanych liniowo są fale elektromagnetyczne radiowe emitowane przez antenę dipolową omawiane w module Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych.", "W dużej odległości od dipola, wektor pola elektrycznego jest równoległy do osi dipola, anteny (zob. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-Rys. 3 ). Emitowana fala jest więc spolaryzowana liniowo. Kiedy taka fala pada na antenę odbiorczą wówczas zmienne pole elektryczne (zmienny wektor \\( E \\) fali) wywołuje w antenie odbiorczej drgania elektronów w górę i w dół. W efekcie prąd zmienny popłynie w układzie wejściowym odbiornika. Jeżeli jednak obrócimy antenę o 90° wokół kierunku padania fali, to wektor \\( E \\) będzie prostopadły do anteny i nie wywoła ruchu elektronów (antena nie odbiera sygnału).", "Źródła światła widzialnego różnią się od źródeł fal radiowych między innymi tym, że atomy (cząsteczki) emitujące światło działają niezależnie. W konsekwencji rozchodzące się światło składa się z niezależnych ciągów fal, których płaszczyzny drgań zorientowane są przypadkowo wokół kierunku ruchu fali. Takie światło chociaż jest falą poprzeczną jest niespolaryzowane.", "Na Rys. 2 pokazana jest schematycznie różnica między falą poprzeczną spolaryzowaną liniowo Rys. 2a i falą poprzeczną niespolaryzowaną Rys. 2b. Na rysunku Rys. 2a wektor \\( E \\) drga w jednej płaszczyźnie, podczas gdy w sytuacji pokazanej na rysunku Rys. 2b płaszczyzny drgań wektora \\( E \\) zorientowane są przypadkowo.", "Rys. 2c przedstawia inny równoważny opis niespolaryzowanej fali poprzecznej: traktujemy ją jako złożenie dwóch spolaryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej różnicy faz. Oznacza to, że wypadkowy wektor \\( E \\) ma zmienną (ale prostopadłą) orientację względem kierunku rozchodzenia się fali. Orientacja kierunków drgań składowych pól \\( E \\) jest też przypadkowa chociaż zawsze prostopadła względem kierunku rozchodzenia się fali.", "Z dotychczas omawianych doświadczeń z interferencją i dyfrakcją nie wynika poprzeczny charakter fal świetlnych bo fale podłużne też interferują i ulegają ugięciu. Natomiast zjawisko polaryzacji jest charakterystyczne dla fal poprzecznych. Jednak, aby móc odróżnić od siebie różne fale poprzeczne biegnące w tym samym kierunku potrzebna jest metoda, która pozwoliłaby rozdzielić fale o różnych płaszczyznach drgań. Dotyczy to również badania fal świetlnych niespolaryzowanych." ]

[]

[ "Na Rys. 1 pokazana jest niespolaryzowana fala świetlna padająca na płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem.", "W płytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony równoległymi liniami przerywanymi. Kierunek polaryzacji polaroidu ustala się w procesie produkcji. Cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na elastycznej warstwie plastycznej, a następnie warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie cząsteczek.", "Płytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznego są równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, w których kierunki te są prostopadłe. Jeżeli wektor \\( E \\) wyznaczający płaszczyznę drgań tworzy kąt \\( \\theta \\) z kierunkiem polaryzacji płytki to przepuszczana jest składowa równoległa \\( {E_{{\\text{II}}}=E\\text{cos}\\theta } \\) podczas gdy składowa prostopadła \\( {E_{{⊥}}=E\\text{sin}\\theta } \\) jest pochłaniana (zob. Rys. 2 ).", "Jeżeli więc oprócz płytki polaryzującej (polaryzatora) ustawimy na drodze światła drugą taką płytkę (nazywaną analizatorem), to obracając analizator wokół kierunku padania światła, możemy zmieniać natężenie światła przechodzącego przez obie płytki. Jeżeli amplituda pola elektrycznego fali padającej na analizator jest równa \\( E_{0} \\), to amplituda fali wychodzącej z analizatora wynosi \\( E_{{0}}\\text{cos}\\theta \\), gdzie \\( \\theta \\) jest kątem pomiędzy kierunkami polaryzacji obu płytek.", "Ponieważ natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy więc", "Zauważmy, że natężenie światła osiąga maksimum dla \\( \\theta \\) = 0° lub \\( \\theta \\) = 180° to jest dla równoległych kierunków polaryzacji, a minimum dla \\( \\theta \\) = 90° lub \\( \\theta \\) = 270° to jest dla prostopadłych kierunków polaryzacji.", "Działanie filtrów polaryzacyjnych na fale linowo spolaryzowana możemy zaobserwować na filmie:" ]

[]

[ "Innym sposobem, w jaki światło może być spolaryzowane, częściowo lub całkowicie, jest odbicie od powierzchni dielektryka (np. szkła). Na Rys. 1 pokazana jest wiązka niespolaryzowana padająca na powierzchnię szkła.", "Doświadczalnie stwierdzono, że istnieje pewien kąt padania, nazywanykątem całkowitej polaryzacji \\( \\alpha_{p} \\), dla którego wiązka odbita jest całkowicie spolaryzowana liniowo w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania. Oznacza to, że odbiciu ulega tylko składowa \\( \\sigma \\) prostopadła do płaszczyzny padania (płaszczyzny Rys. 1 ) natomiast współczynnik odbicia składowej \\( \\pi \\) leżącej w płaszczyźnie padania jest równy zeru. Natomiast wiązka przechodząca jest tylko częściowo spolaryzowana (składowa \\( \\pi \\) jest całkowicie załamana, a składowa \\( \\sigma \\) tylko częściowo).", "Doświadczalnie stwierdzono, że gdy kąt padania jest równy kątowi całkowitej polaryzacji to wówczas wiązka odbita i załamana tworzą kąt prosty czyli", "Ponieważ zgodnie z prawem załamania", "więc łącząc oba te równania, otrzymujemy", "lub", "Poniżej znajduje się film ilustrujący omawiane zagadnienia:" ]

[]

[ "Jedna z metod uzyskania światła spolaryzowanego polega na wykorzystujaniu, występującej w pewnych kryształach, zależności współczynnika załamania światła od kierunku polaryzacji. W module Prawo odbicia i załamania zakładaliśmy, że współczynnik załamania, nie zależy od kierunku rozchodzenia się światła w ośrodku ani od jego polaryzacji. Ciała spełniające te warunki nazywamy ciałami optycznie izotropowymi. Istnieje jednak szereg ciał anizotropowych i dotyczy to nie tylko własności optycznych, ale wielu innych. Na przykład, pewne kryształy łamią się łatwo tylko w jednej płaszczyźnie, a opór elektryczny mierzony w różnych kierunkach jest różny, niektóre kryształy łatwiej magnesuje się w jednym kierunku niż innych, itd.", "Na Rys. 1 pokazana jest niespolaryzowana wiązka światła padająca na kryształ kalcytu (CaCO \\( _{3} \\)) prostopadle do jednej z jego ścian.", "Pojedyncza wiązka światła rozszczepia się, przechodząc przez kryształ, na dwa promienie. Mamy do czynienia z dwójłomnością czyli podwójnym załamaniem.", "Jeżeli zbadamy obie wychodzące wiązki za pomocą płytki polaryzującej, to okaże się, że obie wiązki są spolaryzowane liniowo, przy czym ich płaszczyzny drgań są wzajemnie prostopadłe. Wiązki te noszą odpowiednio nazwy promienia zwyczajnego (o) i promienia nadzwyczajnego (e). Ponadto okazuje się, że promień zwyczajny spełnia prawo załamania (tak, jak dla ośrodka izotropowego), a promień nadzwyczajny tego prawa nie spełnia.", "Zjawisko to tłumaczy się tym, że promień o przechodzi przez kryształ z jednakową prędkością we wszystkich kierunkach (ma jeden współczynnik załamania \\( n_{o} \\)) tak, jak izotropowe ciało stałe, natomiast prędkość promienia e zależy od kierunku w krysztale i zmienia się od wartości \\( v_{o} \\) do \\( v_{e} \\), a współczynnik załamania od \\( n_{o} \\) do \\( n_{e} \\). Dla kalcytu \\( n_{o} \\) = 1.486, a \\( n_{e} \\) = 1.658. Wielkości \\( n_{e} \\) i \\( n_{o} \\) nazywamy głównymi współczynnikami załamania kryształu.", "Niektóre podwójnie załamujące kryształy wykazują ponadto własność nazywaną dichroizmem. Kryształy te pochłaniają jeden z promieni (o lub e) silniej niż drugi. Na wykorzystaniu tego zjawiska opiera się działanie szeroko stosowanych polaroidów." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Z codziennego doświadczenia wiemy, że rozgrzane do wysokiej temperatury ciała są źródłami światła widzialnego. Typowym przykładem są wolframowe włókna żarówek.", "Promieniowanie wysyłane przez ogrzane ciała nazywamy promieniowaniem termicznym. Wszystkie ciała emitują takie promieniowanie do otoczenia, a także z tego otoczenia je absorbują w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego. Jeżeli ciało ma wyższą temperaturę od otoczenia, to będzie się oziębiać ponieważ szybkość promieniowania przewyższa szybkość absorpcji (oba procesy zawsze występują jednocześnie). Gdy osiągnięta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te szybkości będą równe.", "Za pomocą siatki dyfrakcyjnej możemy zbadać światło emitowane przez te źródła to znaczy dowiedzieć się jakie są długości fal wypromieniowywanych przez ciało i jakie jest ich natężenie Wyniki takiej analizy dla taśmy wolframowej ogrzanej do \\( T = 2000 \\) K są pokazane na Rys. 1.", "Wielkość \\( R_{\\lambda} \\) przedstawiona na osi pionowej nazywana jest widmową zdolnością emisyjną promieniowania i jest tak zdefiniowana, że wielkość \\( R_{\\lambda} d \\lambda \\) oznacza moc promieniowania czyli szybkość, z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię odpowiadającą długościom fal zawartym w przedziale od \\( \\lambda \\), do \\( \\lambda+d \\lambda \\).", "Całkowitą energię wysyłanego promieniowania w całym zakresie długości fal możemy obliczyć, sumując emisję dla wszystkich długości fal, tzn. całkując \\( R_{\\lambda} \\) po wszystkich długościach fal. Wielkość ta nazywana jest całkowitą emisją energetyczną promieniowania \\( R \\) i wyraża się wzorem", "Oznacza to, że możemy interpretować emisję energetyczną promieniowania \\( R \\) jako powierzchnię pod wykresem \\( R_{\\lambda} \\) od \\( \\lambda \\).", "Widmo emitowane przez ciało stałe ma charakter ciągły i silnie zależy od temperatury. Ponadto szczegóły tego widma są prawie niezależne od rodzaju substancji.", "Zauważmy, że w \"zwykłych\" temperaturach większość ciał jest dla nas widoczna dlatego, że odbijają one (lub rozpraszają) światło, które na nie pada, a nie dlatego, że ciała te wysyłają promieniowanie widzialne (świecą). Jeżeli nie pada na nie światło (np. w nocy) to są one niewidoczne. Dopiero gdy ciała mają wysoką temperaturę wtedy świecą własnym światłem. Ale jak widać z Rys. 1 i tak większość emitowanego promieniowania jest niewidzialna, bo przypada na zakres podczerwieni czyli promieniowania cieplnego. Dlatego ciała, świecące własnym światłem są bardzo gorące. Jeżeli będziemy rozgrzewać kawałek metalu to początkowo chociaż jest on gorący to z jego wyglądu nie można tego stwierdzić bo nie świeci; można to tylko zrobić dotykiem. Emituje promieniowanie podczerwone. Ze wzrostem temperatury kawałek metalu staje się początkowo ciemnoczerwony, następnie jasnoczerwony, aż wreszcie świeci światłem niebiesko-białym.", "Ponieważ ilościowe interpretacje takich widm promieniowania są trudne to posługujemy się wyidealizowanym ciałem stałym, zwanym ciałem doskonale czarnym. Tak postępowaliśmy już w przypadku gazów; rozważaliśmy modelowy obiekt tak zwany gaz doskonały (zob. moduł Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego ). Ciało doskonale czarne charakteryzuje się tym, że pochłania całkowicie padające nań promieniowanie. Wiecej informacji o ciele doskonale czarnym można znaleźć w module Ciało doskonale czarne." ]

[]

[ "Rozważmy pokazany na Rys. 1 blok metalowy posiadający pustą wnękę wewnątrz. W ściance bocznej tego bloku znajduje się niewielki otwór.", "Promieniowanie pada na otwór z zewnątrz i po wielokrotnych odbiciach od wewnętrznych ścian zostaje całkowicie pochłonięte. Oczywiście ścianki wewnętrzne też emitują promieniowanie, które może wyjść na zewnątrz przez otwór. Otwór wnęki ma więc własności ciała doskonale czarnego.", "Z obserwacji światła wysyłanego przez takie ciało wynika, że:", "Zdolność emisyjna promieniowania \\( R_{\\lambda} \\) dla ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą tak, jak na Rys. 2.", "Długość fali, dla której przypada maksimum emisji jest zgodnie z prawem Wiena odwrotnie proporcjonalna do temperatury ciała.", "Podkreślmy, że pokazane krzywe zależą tylko od temperatury i są całkiem niezależne od materiału oraz kształtu i wielkości ciała doskonale czarnego.", "Żeby się o tym przekonać rozpatrzmy, pokazane na Rys. 3 dwa ciała doskonale czarne, tzn. dwie wnęki o dowolnym kształcie i jednakowej temperaturze ścianek obu wnęk (ciała stykają się). Promieniowanie oznaczone \\( R_{A} \\) przechodzi z wnęki A do wnęki B, a promieniowanie \\( R_{B} \\) w odwrotnym kierunku. Jeżeli te szybkości nie byłyby równe, wówczas jeden z bloków ogrzewałby się, a drugi stygł. Oznaczałoby to pogwałcenie drugiej zasady termodynamiki. Otrzymujemy więc \\( R_{A} \\) = \\( R_{B} \\) = \\( R_{C} \\) gdzie \\( R_{C} \\) opisuje całkowite promieniowanie dowolnej wnęki.", "Nie tylko energia całkowita, ale również jej rozkład musi być taki sam dla obu wnęk. Stosując to samo rozumowanie co poprzednio, można pokazać, że \\( {R_{{\\mathit{\\lambda A}}}=R_{{\\mathit{\\lambda B}}}=R_{{\\mathit{\\lambda C}}}} \\), gdzie \\( R_{\\lambda C} \\) oznacza widmową zdolność emisyjną dowolnej wnęki." ]

[]

[ "Na przełomie ubiegłego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii promieniowania we wnęce (czyli promieniowania ciała doskonale czarnego). Zastosowali oni teorię pola elektromagnetycznego do pokazania, że promieniowanie wewnątrz wnęki ma charakter fal stojących. Promieniowanie elektromagnetyczne odbija się od ścian wnęki tam i z powrotem tworząc fale stojące z węzłami na ściankach wnęki (tak jak omawiane w module Interferencja fal i fale stojące ). Następnie Rayleigh i Jeans obliczyli wartości średniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o nią znaleźli widmową zdolność emisyjną.", "Wynik jaki uzyskali został pokazany linią przerywaną na Ciało doskonale czarne-Rys. 2. Jak widać rozbieżność między wynikami doświadczalnymi i teorią jest duża. Dla fal długich (małych częstotliwości) wyniki teoretyczne są bliskie krzywej doświadczalnej, ale dla wyższych częstotliwości wyniki teoretyczne dążą do nieskończoności. Ten sprzeczny z rzeczywistością wynik rozważań klasycznych nazywany jest „katastrofą w nadfiolecie”.", "Pierwszy wzór empiryczny dający wyniki widmowej zdolności emisyjnej w przybliżeniu zgodne z doświadczeniem przedstawił Wien. Wzór ten został następnie zmodyfikowany przez Plancka tak, że uzyskano wynik w pełni zgodny z doświadczeniem. Wzór Plancka ma postać", "gdzie \\( C_{1} \\) i \\( C_{2} \\) są stałymi wyznaczanymi doświadczalnie.", "Planck nie tylko zmodyfikował wzór Wiena, ale zaproponował zupełnie nowe podejście mające na celu stworzenie teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Założył on, że każdy atom zachowuje się jak oscylator elektromagnetyczny posiadający charakterystyczną częstotliwość drgań.", "Ten postulat zmieniał radykalnie istniejące teorie. Wiemy, że zgodnie z fizyką klasyczną, energia każdej fali może mieć dowolną wartość, i że jest ona proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Tymczasem według Plancka energia może przyjmować tylko ściśle określone wartości czyli jest skwantowana.", "Ponadto oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, lecz porcjami czyli kwantami. Kwanty są emitowane, gdy oscylator przechodzi ze stanu (stanu kwantowego) o danej energii do drugiego o innej, mniejszej energii. Odpowiada to zmianie liczby kwantowej n o jedność, a w konsekwencji wypromieniowana zostaje energia w ilości", "Oznacza to, że", "Sprawdźmy teraz czy ta nowatorska hipoteza stosuje się do znanych nam oscylatorów. Jako przykład rozpatrzmy wahadło proste złożone z ciała o masie 1 kg zawieszonego na lince o długości 1 m.", "Częstotliwość drgań własnych takiego wahadła wynosi", "Jeżeli wahadło wykonuje drgania o amplitudzie 10 cm, to jego energia całkowita wynosi", "Zgodnie z hipotezą Plancka zmiany energii dokonują się skokowo przy czym \\( \\Delta E = h\\nu \\). Względna zmiana energii wynosi więc", "Żeby zaobserwować nieciągłe zmiany energii, musielibyśmy wykonać pomiar energii z dokładnością przewyższającą wielokrotnie czułość przyrządów pomiarowych.", "Kwantowa natura drgań nie jest więc widoczna dla makroskopowych oscylatorów podobnie, jak nie widzimy dyskretnej natury materii to jest cząsteczek, atomów, elektronów, itp., z których zbudowane są ciała. Wnioskujemy, że doświadczenia z wahadłem prostym nie mogą rozstrzygnąć o słuszności postulatu Plancka." ]

[]

[ "Promieniowanie emitowane przez gorące ciało można wykorzystać do wyznaczenia jego temperatury. Jeżeli mierzy się całkowite promieniowanie emitowane przez ciało, to korzystając z prawa Stefana-Boltzmana (por. moduł Ciało doskonale czarne ) można obliczyć jego temperaturę. Sprawdź ten sposób wykonując zadanie 1 Temperatura powierzchni Ziemi.", "Ponieważ dla większości źródeł trudno dokonać pomiaru całkowitego promieniowania, więc mierzy się ich zdolność emisyjną dla wybranego zakresu długości fal. Z prawa Plancka wynika, że dla dwu ciał o temperaturach \\( T_{1} \\) i \\( T_{2} \\) stosunek natężeń promieniowania o długości fali \\( \\lambda \\) wynosi", "Jeżeli \\( T_{1} \\) przyjmiemy jako standardową temperaturę odniesienia, to możemy wyznaczyć \\( T_{2} \\) wyznaczając doświadczalnie stosunek \\( I_{1}/I_{2} \\). Do tego celu posługujemy się urządzeniem zwanym pirometrem (zob. Rys. 1 ).", "Obraz źródła \\( S \\) (o nieznanej temperaturze) powstaje w miejscu gdzie znajduje się włókno żarowe pirometru \\( P \\). Dobieramy prąd żarzenia tak, aby włókno stało się niewidoczne na tle źródła, tzn. świeciło tak samo jasno jak źródło \\( S \\). Ponieważ urządzenie jest wyskalowane odczytując wartość prądu żarzenia, możemy wyznaczyć temperaturę źródła." ]

[]

[ "Potwierdzeniem kwantowej natury promieniowania jest zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.", "Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na wyrzucaniu elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem padającego promieniowania. Na Rys. 1 pokazano aparaturę do badania zjawiska fotoelektrycznego.", "W szklanej bańce, w której panuje wysoka próżnia, znajdują się dwie metalowe elektrody A i B. Światło przechodząc przez otwór w elektrodzie B pada na metalową płytkę A i uwalnia z niej elektrony, które nazywamy fotoelektronami.", "Fotoelektrony są rejestrowane jako prąd elektryczny płynący między płytką A oraz elektrodą zbierającą B przy przyłożonym napięciu \\( U \\). Do pomiaru prądu stosujemy czuły miliamperomierz (mA). Poniżej na Rys. 2 pokazana jest zależność prądu fotoelektrycznego od przyłożonego napięcia \\( U \\), dla dwóch różnych wartości natężenia światła.", "Widzimy, że gdy U jest dostatecznie duże, wtedy prąd fotoelektryczny osiąga maksymalną wartość (prąd nasycenia \\( I_{a} \\), \\( I_{b} \\)). Odpowiada to sytuacji, gdy wszystkie elektrony wybijane z płytki A docierają do elektrody B.", "Jeżeli zmienimy znak napięcia \\( U \\), to prąd nie spada natychmiast do zera (przy \\( U = 0 \\) mamy niezerowy prąd). Oznacza to, że fotoelektrony emitowane z płytki A mają pewną energię kinetyczną, dzięki której docierają do B (nawet wtedy, gdy nie są przyspieszane napięciem \\( U \\)).", "Ponadto zauważmy, że nie wszystkie elektrony mają jednakowo dużą energię kinetyczną, bo tylko część z nich dolatuje do elektrody B; przy \\( U = 0 \\) prąd jest mniejszy od maksymalnego. Wreszcie przy dostatecznie dużym napięciu równym \\( U_{h} \\) zwanym napięciem hamowania prąd zanika. Różnica potencjałów \\( U_{h} \\) pomnożona przez ładunek elektronu 'e' jest więc miarą energii najszybszych elektronów (przy \\( U = U_{h} \\) nawet najszybsze elektrony są zahamowane, nie dochodzą do elektrody B )", "Krzywe na Rys. 1 różnią się natężeniem padającego światła. Zauważmy, że przy silniejszym oświetleniu (krzywa 'a') otrzymujemy większy prąd nasycenia, ale takie samo napięcie hamowania jak dla układu oświetlonego słabiej (krzywa 'b').", "Widać więc, że \\( E_{kmax} \\) nie zależy od natężenia światła. Zmienia się tylko prąd nasycenia, a to oznacza, że wiązka światła o większym natężeniu wybija więcej elektronów ale nie szybszych.", "Wynik innego doświadczenia pokazuje Rys. 3. Wykreślono tu zależność napięcia hamowania od częstotliwości (barwy) światła padającego na powierzchnie sodu metalicznego. Zauważmy, że otrzymano zależność liniową oraz, że istnieje pewna wartość progowa częstotliwości \\( u_{0} \\), poniżej której zjawisko fotoelektryczne nie występuje.", "Opisane zjawisko fotoelektryczne ma cechy, których nie można wyjaśnić na gruncie klasycznej falowej teorii światła:", "W module Kwantowa teoria Einsteina zjawiska fotoelektrycznego przedstawiono kwanotowomechaniczny opis tego zjawiska." ]

[]

[ "Einsteinowi udało się wyjaśnić te własności zjawiska fotoelektrycznego dzięki nowemu rewolucyjnemu założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w przestrzeni w postaci skończonych porcji (kwantów) energii zwanych fotonami.", "Energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem", "Przypomnijmy sobie, że według Plancka źródła emitują światło w sposób nieciągły, ale w przestrzeni rozchodzi się ono jako fala elektromagnetyczna.", "Natomiast Einstein zapostulował, że kwanty światła rozchodzą się w przestrzeni jak cząstki materii, i gdy foton zderzy się z elektronem w metalu to może zostać przez elektron pochłonięty. Wówczas energia fotonu zostanie przekazana elektronowi.", "Zgodnie z powyższą zależnością energia \\( h\\nu \\) fotonu, w części ( \\( W \\)) zostaje zużyta na wyrwanie elektronu z materiału (jego przejście przez powierzchnię), a ewentualny nadmiar energii ( \\( h\\nu - W \\)) elektron otrzymuje w postaci energii kinetycznej, przy czym część z niej może być stracona w zderzeniach wewnętrznych (przed opuszczeniem materiału).", "Teoria Einsteina pozwala na wyjaśnienie, przedstawionych wcześniej, osobliwych własności zjawiska fotoelektrycznego:", "Korzystając z zależności Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne-( 1 ), możemy przekształcć równanie ( 2 ) do postaci", "Widzimy, że teoria Einsteina przewiduje liniową zależność pomiędzy napięciem hamowania, a częstotliwością, co jest całkowicie zgodne z doświadczeniem (zob. Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne-Rys. 3 ). Teoria fotonowa potwierdza więc fakty związane ze zjawiskiem fotoelektrycznym, ale jest sprzeczna z teorią falową, która też została potwierdzona doświadczalnie (zjawisko dyfrakcji, interferencji, polaryzacji).", "Jak jest więc możliwe żeby światło było falą i jednocześnie zbiorem cząstek?", "Nasz obecny punkt widzenia na naturę światła jest taki, że ma ono złożony charakter, to znaczy, że w pewnych warunkach zachowuje się jak fala, a w innych jak cząstka, czyli foton. Tę własność światła nazywa się dualizmem korpuskularno-falowym. W zjawisku fotoelektrycznym ujawnia się właśnie korpuskularna (cząstkowa) natura światła." ]

[]

[ "Cząsteczkową naturę światła można w pełni zaobserwować w doświadczeniu związanym z rozpraszaniem fal elektromagnetycznych na swobodnych elektronach, nazywanym zjawiskiem Comptona.", "Po raz pierwszy taki proces został zaobserwowany przez Comptona w 1923 r. W doświadczeniu wiązka promieni X, o dokładnie określonej długości fali pada na blok grafitowy tak jak na Rys. 1.", "Compton mierzył natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kątami \\( \\phi \\) jako funkcję długości fali \\( \\lambda \\). Wyniki doświadczenia są pokazane na Rys. 2.", "Widać, że chociaż wiązka padająca na grafit ma jedną długość fali to w promieniowaniu rozproszonym występują dwie długości fal. Jedna z nich ma długość \\( \\lambda \\) identyczną jak fala padająca, druga długość \\( \\lambda \\)' większą o \\( \\Delta\\lambda \\). To tak zwane przesunięcie Comptona \\( \\Delta \\lambda \\) zmienia się wraz z kątem obserwacji \\( \\phi \\) rozproszonego promieniowania X tzn. \\( \\lambda \\)' zmienia się wraz z kątem.", "Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali rozproszonej o zmienionej długości \\( \\lambda \\)' nie daje się wyjaśnić. Dopiero przyjęcie hipotezy, że wiązka promieni X nie jest falą ale strumieniem fotonów o energii \\( h\\nu \\) pozwoliło Comptonowi wyjaśnić uzyskane wyniki.", "Założył on, że fotony (jak cząstki) zderzają się z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach (np. kul bilardowych) zmienia się w wyniku zderzenia kierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii została przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali. Sytuacja ta jest schematycznie pokazana na Rys. 3.", "Stosując do tego zderzenia zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii otrzymujemy wyrażenie na przesunięcie Comptona", "gdzie \\( m_{0} \\) jest masą elektronu (spoczynkową). Tak więc przesunięcie Comptona zależy tylko od kąta rozproszenia.", "W tym miejscu konieczny jest komentarz: ponieważ odrzucone elektrony mogą mieć prędkości porównywalne z prędkością światła więc dla obliczenia energii kinetycznej elektronu stosujemy wyrażenie relatywistyczne.", "Na koniec musimy jeszcze wyjaśnić występowanie maksimum dla nie zmienionej długości fali \\( \\lambda \\). Ten efekt jest związany z rozpraszaniem fotonów na elektronach rdzenia atomowego. W takim zderzeniu odrzutowi ulega cały atom o masie M. Dla grafitu M = 22000 \\( m_{0} \\), więc otrzymujemy niemierzalnie małe przesunięcie Comptona." ]

[]

[ "Na początku XX w. znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że atomy zawierają elektrony. Z faktu, że atomy są elektrycznie obojętne wnioskowano, że mają one również ładunek dodatni równy ujemnemu. Ponadto, ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet atomów oznaczało to, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.", "Na tej podstawie Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie naładowane elektrony są równomiernie rozłożone wewnątrz obszaru wypełnionego w sposób ciągły ładunkiem dodatnim. Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10 \\( ^{-10} \\) m.", "Dowód nieadekwatności modelu Thomsona podał jego uczeń Rutherford, analizując wyniki rozpraszania cząstek alfa na atomach złota. Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest rozłożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym jądrem (o rozmiarze 10 \\( ^{-15} \\) - 10 \\( ^{-14} \\) m) leżącym w środku atomu.", "Zgodnie z modelem jądrowym Rutherforda:", "Taki obraz atomu był zgodny z wynikami doświadczeń nad rozpraszaniem cząstek alfa, ale pozostało wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.", "Elektrony w atomie nie mogą być nieruchome ponieważ w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zostałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Dlatego Rutherford zapostulował, że elektrony w atomach krążą wokół jądra po orbitach. Jeżeli jednak dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planet wokół Słońca w układzie słonecznym), to też natrafiamy na trudność interpretacyjną:", "Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poruszające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne.", "Przypomnijmy sobie antenę dipolową, którą omawialiśmy w module Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje oscylacje ładunku i antena emituje falę elektromagnetyczną. Podobnie, krążący elektron doznawałby stale przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyłałby energię kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali, ostatecznie spadając na jądro (model Thomsona).", "Zagadnienie stabilności atomów doprowadziło do powstania nowego modelu zaproponowanego przez Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewidywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy (których nie wyjaśniał model Rutherforda)." ]

[]

[ "Na Rys. 1 pokazany jest typowy układ do pomiaru widm atomowych. Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wyładowania elektrycznego (tak jak w jarzeniówce). Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą, a następnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozszczepia promieniowanie na składowe o różnych długościach fal.", "Na Rys. 2 pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.", "Na Rys. 2 uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm. W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego na przykład przez powierzchnie ciał ogrzanych do wysokich temperatur, widma promieniowania pierwiastków w postaci gazów i par, pobudzonych do świecenia na przykład za pomocą wyładowania elektrycznego, są złożone z jasnych, ostrych linii, odpowiadających ściśle określonym długościom fal.", "Promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy (tzw. widmo emisyjne) zawiera tylko pewną liczbę długości fal. Takie widmo nazywamy widmem liniowym, a każdą z takich składowych długości fal nazywana jest linią widmową.", "Obok widm emisyjnych badano również widma absorpcyjne, tym razem obserwując promieniowanie pochłaniane przez gazy zamiast emitowanego.", "Okazało się, że jeżeli światło o widmie ciągłym, na przykład światło żarówki, przechodzi przez gaz lub parę, to w widmie ciągłym wysyłanym przez żarówkę widoczne są ciemne linie, promieniowanie o pewnych długościach fal zostało pochłonięte przez gaz (zaabsorbowane). Długości tych fal dokładnie odpowiadają długościom fal widma emisyjnego danego pierwiastka.", "Doświadczenia pokazują więc, że pojedyncze atomy (cząsteczki) zarówno emitują, jak i absorbują, promieniowanie o ściśle określonych długościach fali.", "To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego modelu atomu (zob. Model Bohra atomu wodoru ). Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w sposób prosty matematycznie." ]

[]

[ "Fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie będzie wypromieniowywał energię, tak że częstość z jaką krąży elektronu i w konsekwencji także częstość wysyłanego promieniowania będą się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwujemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).", "Sprzeczności te usunął Niels Bohr, proponując nowy kwantowy model budowy atomu. Klasyczny obraz planetarnego atomu zbudowanego z masywnego jądra i krążących wokół niego pod wpływem siły kulombowskiej elektronów Bohr rozszerzył o nowe kwantowe postulaty:", "Częstotliwość emitowanego promieniowania jest równa:", "Natomiast \\( h\\nu \\) jest energią fotonu, który zostaje w trakcie przejścia wypromieniowany przez atom. Zwróćmy uwagę, że taki był postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.", "Wynika stąd, że trzeba wyznaczyć energie stanów stacjonarnych i wtedy obliczając możliwe różnice tych energii, będzie można przewidzieć wygląd widma promieniowania emitowanego przez atom.", "W tym celu zakładamy, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu \\( r \\) ze środkiem w miejscu jądra oraz że jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem protonu. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona i prawa Coulomba (zob. moduł Prawo Coulomba ), otrzymujemy", "gdzie uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem, zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. (Słuszność tego założenia sprawdziliśmy rozwiązując zadanie w module Pole elektryczne ).", "Na podstawie wzoru ( 2 ) można obliczyć energię kinetyczną elektronu", "Natomiast energia potencjalna układu elektron-proton jest dana równaniem", "Całkowita energia układu będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej wynosi", "Ze wzoru ( 3 ) na energię kinetyczną możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu", "Na tej podstawie pęd elektronu dany jest równaniem", "a moment pędu", "Zwróćmy uwagę, że jeżeli znamy promień orbity \\( r \\), to znamy również pozostałe wielkości \\( E_{k} \\), \\( E_{p} \\), \\( E \\), \\( \\nu \\), \\( p \\) oraz \\( L \\).", "Oznacza to również, że jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana (może przyjmować tylko ściśle określone, a nie dowolne wartości), to wszystkie wymienione wielkości też muszą być skwantowane.", "Bohr poszukiwał zasady, która dopuszczałaby tylko pewne promienie orbit, czyli tylko pewne wartości energii elektronów i wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parametrów orbity i która mówiła, że moment pędu elektronu musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez \\( 2\\pi \\).", "Postulat Bohra dotyczy kwantyzacji momentu pędu \\( L \\) (równanie ( 9 ) ). Jednak jeżeli jakakolwiek z wielkości \\( E_{k} \\), \\( E_{p} \\), \\( E \\), \\( \\nu \\), \\( p \\) oraz \\( L \\) jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.", "Łącząc wyrażenie na moment pędu ( 8 ) z postulatem Bohra ( 9 ), otrzymujemy", "Widzimy jak skwantowane jest \\( r \\). Podstawiając ten wynik do wyrażenia na energię całkowitą ( 5 ), otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych", "To równanie przedstawia wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych.", "Stan z liczbą kwantową \\( n = 1 \\) tzw. stan podstawowy odpowiada najniższej energii \\( E_{1} \\) = -13.6 eV, a stan z liczbą kwantową \\( n \\rightarrow {\\infty} \\) odpowiada stanowi o zerowej energii \\( E = 0 \\), w którym elektron jest całkowicie usunięty poza atom.", "Jak widać wprowadzenie kwantowania orbitalnego momentu pędu elektronu prowadzi do kwantowania jego energii całkowitej." ]

[]

[ "Teoria Bohra przewiduje, że całkowita energia elektronu (i w konsekwencji energia atomu) jest wielkością skwantowaną. Dozwolone wartości energii elektronu są dane wzorem", "Na podstawie tych wartości możemy, korzystając z zależności Model Bohra atomu wodoru-( 1 ), obliczyć energie kwantów promieniowania emitowanych (lub absorbowanych) przy przejściu między orbitami", "gdzie \\( j \\), \\( k \\) są liczbami kwantowymi opisującymi niższy i wyższy stan stacjonarny, \\( \\nu \\) jest częstotliwością promieniowania, \\( \\lambda \\) długością fali , a \\( c \\) prędkością światła.", "Na Rys. 1 poniżej zaznaczone są symbolicznie (strzałkami) przeskoki między różnymi orbitami, a na rysunku Rys. 2 energie emitowanych kwantów promieniowania przy przeskokach elektronów pomiędzy odpowiadającymi im stanami stacjonarnymi. Długość każdej ze strzałek odpowiada różnicy energii między dwoma stanami stacjonarnymi czyli równa jest energii \\( \\nu \\) wypromieniowanego kwantu.", "(Na rysunku Rys. 1 nie są zachowane proporcje pomiędzy promieniami orbit, które zmieniają się zgodnie z relacją \\( r_{n} = r_{1}n^{2} \\).)", "Przejścia pomiędzy stanami stacjonarnymi i odpowiadające im linie widmowe tworzą serie widmowe. Dana seria obejmuje promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z poziomów wyższych na dany, np. seria Balmera obejmuje przejścia ze stanów o \\( n > 2 \\) do stanu o \\( n = 2 \\).", "Zauważmy ponadto, że tylko przejściom elektronu na drugą orbitę (seria Balmera) towarzyszy emisja promieniowania z zakresu widzialnego. Seria Lymana obejmuje promieniowanie w zakresie nadfioletu, a seria Paschena w podczerwieni.", "Na gruncie kwantowego modelu Bohra budowy atomu można łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych i absorpcyjnych atomów jednoelektronowych. Jednak ten model nie wyjaśniał fundamentalnego faktu, dlaczego pojęć mechaniki klasycznej nie można stosować w świecie atomów (cząstek elementarnych).", "Model Bohra został zastąpiony nowym udoskonalonym modelem budowy atomu, w którym położenie elektronu w danej chwili czasu nie jest określone dokładnie lecz z pewnym prawdopodobieństwem, a sam elektron traktowany jest nie jak cząstka, ale jako fala materii." ]

[]

[ "W 1924 r. L. de Broglie zapostulował, że skoro światło ma dwoistą, falowo-cząstkową, naturę, to także materia może mieć taką naturę. Taką sugestię zaprezentował między innymi w oparciu o obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii, oraz że pod wieloma względami przyroda jest symetryczna. De Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.", "Posługując się klasyczną teorią elektromagnetyzmu, można pokazać, że światło o energii \\( E \\) ma pęd \\( p = E/c \\). Zatem foton (kwant światła) ma pęd równy", "De Broglie nie tylko zasugerował istnienie fal materii, ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła", "Wyrażenie to wiąże pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii. Oba równania ( 1 ) i ( 2 ) zawierają wielkość charakteryzującą fale ( \\( \\lambda \\)), jak i wielkość związaną z cząstkami ( \\( p \\)).", "Takie doświadczenie przeprowadzili, w 1926 roku, Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na Rys. 1 przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.", "Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są napięciem \\( U \\), które można regulować. Wiązka elektronów zostaje skierowana na kryształ niklu, a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem \\( \\phi \\). Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających czyli przy różnej energii kinetycznej elektronów.", "Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla \\( U \\) = 54 V. Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga (zob. moduł Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X) ) to możemy obliczymy wartość \\( \\lambda \\), dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach", "gdzie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami \\( \\theta \\) =90°- \\( \\phi \\)/2.", "Długość fali obliczona dla niklu ( \\( d \\) = 0.091 nm) w oparciu o powyższe dane doświadczalne wynosi", "\\( \\lambda \\) = 0.165 nm.", "Z drugiej strony w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) możemy obliczyć długość fali de Broglie’a (tak jak w przykładzie powyżej) \\( {\\lambda=\\frac{h}{p}=0{.}{165}\\;\\text{nm}} \\). Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.", "Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane, jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych. Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich charakteru." ]

[]

[ "Teoria sformułowana przez Bohra pozwoliła na wyjaśnienie własności widma atomu wodoru, a przede wszystkim stabilnej struktury atomu. Jednak nie podawała uzasadnienia postulatów, na których się opierała, zwłaszcza reguły kwantowania momentu pędu.", "Taką fizyczną interpretację reguł kwantowania Bohra zaproponował de Broglie, przyjmując, że elektron krążący wokół jądra po orbicie kołowej ze stałą prędkością jest reprezentowany przez pewną falę materii - falę elektronową.", "Ta fala, tak jak elektron, przebiega wielokrotnie wzdłuż orbity kołowej, przy czym w każdym kolejnym okresie przebieg ulega dokładnemu powtórzeniu, to znaczy fala jest zgodna w fazie z falami z poprzednich obiegów. W przeciwnym razie powstająca fala wypadkowa miałaby natężenie równe zeru.", "Ten warunek zgodności faz oznacza, że orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a", "Co w połączeniu z postulatem de Broglie'a, prowadzi do wyrażenia", "Stąd moment pędu elektronu", "Otrzymaliśmy warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu, który jest teraz konsekwencją przyjęcia założenia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii.", "Na Rys. 1 przedstawione są fale materii związaną z elektronem poruszającym się po orbicie o promieniu \\( r \\). Długość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o promieniu \\( r \\) zawierała całkowitą liczbę \\( n \\) fal materii.", "Przedstawiony powyżej obraz sugeruje powstawanie stojących fal materii.", "Mamy do czynienia z sytuacją, w której ruch fal jest ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych ( 1 ), analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu końcach. Przypomnijmy sobie, że mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bieżącą), a co ważniejsze w strunie mogą występować tylko pewne długości fal. Mamy więc do czynienia z kwantyzacją długości fal, wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę.", "Co więcej, fale stojące nie przenoszą energii (nie może ona płynąc przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych punktach przestrzeni), elektron krążący po orbicie nie emituje promieniowania elektromagnetycznego, jest w stanie stacjonarnym.", "Postulat de Broglie'a wiążący elektron ze stojąca falą materii przyniósł zadawalające uzasadnienie reguł kwantowania Bohra i stworzył fundament współczesnej teorii opisu stanów atomowych.", "Sam jednak nie był wystarczający, bo miedzy innymi nie dawał informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii. Nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja opisująca fale materii - funkcja falowa, jak ją wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.", "Problem ten został wyjaśniony przez Heisenberga i Schrödingera, którzy zaproponowali nowy sposób opisu świata mikrocząstek - mechanikę kwantową." ]

[]

[ "W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem falowych własności materii. Według tej teorii, elektron w stanie stacjonarnym w atomie może być opisany za pomocą stojących fal materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a \\( p = h/\\lambda \\) wiążący własności cząsteczkowe z falowymi.", "Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki. Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie'a.", "Do pełnego opisu własności falowych cząstek nie wystarczy przypisac im własności falowych podając długość fali be Broglie'a, należy posłużyć się funkcją reprezentującą falę de Broglie'a, tak zwaną funkcją falową \\( \\psi \\).", "Przypomnijmy, że dla fal w strunie zaburzenie opisywaliśmy za pomocą równania fali opisującego poprzeczne wychylenie y struny (zob. moduł Rozchodzenie się fal w przestrzeni ), a dla fal elektromagnetycznych poprzez równanie opisujące wektor natężenia pola elektrycznego \\( E \\) (zob. moduł Natężenie światła w doświadczeniu Younga ). Analogiczną miarą dla fal materii jest właśnie funkcja falowa \\( \\psi \\).", "Najogólniej, jest to funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu \\( \\psi(x,y,z,t) \\). Na przykład dla swobodnej cząstki poruszającej się w kierunku osi \\( x \\) można ją zapisać w postaci prostej funkcji sinusoidalnej o amplitudzie \\( A \\)", "Zauważmy, że wyrażenie to jest identyczne jak wzór Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 4 ) opisujący rozchodzenie się (w kierunku \\( x \\)) fali harmonicznej wzdłuż długiego naprężonego sznura.", "O ile jednak znamy fizyczne znaczenie funkcji opisującej zaburzenie falowe dla struny czy fali elektromagnetycznej to pozostaje odpowiedzieć na pytanie jaki jest związek pomiędzy funkcją falową, a opisywanym przez nią elektronem (cząstką), pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się funkcja \\( \\psi \\).", "Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej zaproponował M. Born.", "Ponieważ funkcja falowa może przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat modułu funkcji falowej.", "Ta interpretacja funkcji \\( \\psi \\) daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.", "Jeżeli w jakiejś chwili \\( t \\), dokonamy pomiaru mającego na celu ustalenie położenia cząstki opisywanej funkcją falowa \\( \\psi(x,t) \\) to prawdopodobieństwo, że znajdziemy cząstkę w przedziale \\( x-dx \\) wynosi \\( {|\\psi(x,t)|^{{2}}\\mathit{dx}} \\). Wielkość \\( {|\\psi |^{{2}}} \\) jest więc miarą gęstością prawdopodobieństwa.", "Ponieważ ruch cząstki jest opisywany stowarzyszoną z nią falą materii, to oczekujemy, że w miejscu przebywania cząstki fala materii ma dużą amplitudę. Natomiast gdy amplituda fali materii jest równa zeru w pewnych punktach przestrzeni to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym miejscu jest zaniedbywalnie małe." ]

[]

[ "Zauważmy, że jedną z konsekwencji falowo-cząsteczkowej natury materii jest to, że jedyne czego możemy dowiedzieć się o ruchu elektronów to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni. Powstaje pytanie czy musimy zadowolić się taką informacją czy też jest możliwy pomiar, który da nam odpowiedź na przykład na temat ewentualnych orbit po których poruszają się elektrony. Czy możemy \"dokładnie\" opisać ruch elektronu to znaczy równocześnie określić jego położenie i prędkość?", "Negatywna odpowiedź na to pytanie jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga. Pierwsza część tej zasady dotyczy jednoczesnego pomiaru położenia i pędu.", "Zauważmy, że im dokładniej mierzymy pęd, np. zmniejszamy \\( \\Delta p_{x} \\), tym bardziej rośnie nieoznaczoność położenia \\( \\Delta x \\).", "Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie tego pomiaru.", "Na szczególne podkreślenie zasługuje fakt, że ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cząstek. Tak małe obiekty jak cząstki elementarne czy atomy nie podlegają prawom mechaniki klasycznej, ale prawom mechaniki kwantowej.", "Sama zasada stanowi podstawę stwierdzenia, że w fizyce kwantowej musimy posługiwać się pojęciem prawdopodobieństwa.", "Zauważmy, na przykład, że określenie położenia przedmiotów opiera się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przedmioty. Po prostu widzimy gdzie są przedmioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotami o dużej masie praktycznie nie zaburza ich ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też moglibyśmy się spodziewać, że zobaczymy elektron gdy odbije się od niego światło. Jednak elektron w zderzeniu z fotonem doznaje odrzutu, który całkowicie zmienia jego ruch (zob. moduł Efekt Comptona ). Tej zmiany ruchu elektronu nie można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc elektron poruszał się po ściśle określonym torze to znaczy istniałyby orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego właśnie mówimy o prawdopodobieństwie znalezienia elektronu a nie o określonych orbitach.", "Więcej o zasadzie nieoznaczoności możesz przeczytać w module Dodatek: Zasada nieoznaczoności w pomiarach." ]

[]

[ "Znajomość ścisłej postaci funkcji falowej jest niezbędna do określenia ruchu cząstek w konkretnych przypadkach (zjawiskach fizycznych). Przykładem może być funkcja falowa \\( \\psi \\), opisująca ruch cząstki swobodnej, która została przedstawiona w module Funkcja falowa.", "Taką ścisłą postać funkcji falowej dla dowolnego układu można znaleźć, rozwiązując równanie Schrödingera. Jest to równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu kwantowego w czasie i przestrzeni, które w szczególności przyjmuje postać", "gdzie \\( E \\) jest energią całkowitą cząstki, \\( U(x) \\) jej energią potencjalną zależną od jej położenia, a \\( {\\hbar =h/{2\\pi}} \\). Zależność ( 1 ) przedstawia najprostszą formę równania Schrödingera to jest równanie w jednym wymiarze i niezależne od czasu.", "Rozwiązanie równania Schrödingera polega na znalezieniu postaci funkcji falowej \\( \\psi \\) i wartości energii cząstki \\( E \\) przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną \\( U \\).", "Omówimy teraz zastosowanie teorii Schrödingera do atomu wodoru. Ten przypadek ma szczególne znaczenie, gdyż był to pierwszy układ, do którego Schrödinger zastosował swoją teorię kwantową i który stanowił pierwszą jej weryfikację.", "Ponieważ atom wodoru jest układem trójwymiarowym równanie Schrödingera dla atomu wodoru ma bardziej skomplikowaną postać niż podane wcześniej równanie ( 1 )", "Zgodnie z równaniem energia potencjalna dwóch ładunków punktowych (elektronu i protonu) znajdujących się w odległości \\( r \\) jest dana wyrażeniem", "Równanie Schrödingera ( 2 ) rozwiązuje się zazwyczaj we współrzędnych sferycznych \\( (r, \\theta, \\phi) \\) (zob. Rys. 1 ) bo energia potencjalna oddziaływania elektronu z jądrem (równanie ( 3 ) ) zapisana we współrzędnych sferycznych jest funkcją tylko jednej zmiennej ( \\( r \\)) podczas gdy we współrzędnych prostokątnych funkcją wszystkich trzech współrzędnych \\( (x,y,z) \\).", "Rozwiązanie równania Schrödingera w trzech wymiarach jest problem trudnym matematycznie między innymi ze względu na obliczenia w trzech wymiarach. Dlatego nie będziemy go rozwiązywać, a jedynie omówimy wybrane rozwiązania tego równania dla atomu wodoru." ]

[]

[ "Okazuje się, że we współrzędnych sferycznych można funkcję falową przedstawić najogólniej jako iloczyn dwóch funkcji: funkcji radialnej \\( R(r) \\) zależnej tylko od promienia \\( r \\) oraz funkcji kątowej \\( Y \\)( \\( \\theta \\), \\( \\phi \\)) zależnej tylko od kątów.", "Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru stwierdzamy, że funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb całkowitych - iczb kwantowych:", "Przypomnijmy, że w dotychczas prezentowanych modelach atomu wodoru, zarówno energia elektronu jak i długość stojącej fali materii stowarzyszonej z elektronem zależały od jednej liczby kwantowej \\( n \\).", "Tak jest w przypadku ruchu w jednym wymiarze. Jednak trójwymiarowa funkcja falowa zależy od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, że ruch cząstki w przestrzeni jest opisany przez trzy niezależne zmienne; na każdą współrzędną przestrzenną przypada jedna liczba kwantowa.", "Te trzy liczby kwantowe oznaczane \\( n \\), \\( l \\), \\( m_{l} \\) spełniają następujące warunki:", "Ze względu na rolę jaką odgrywa liczba \\( n \\) w określeniu energii całkowitej atomu, jest nazywana główną liczbą kwantową. Liczba \\( l \\) nosi nazwę azymutalnej liczby kwantowej, a liczba \\( m_{l} \\) magnetyczną liczbą kwantową.", "Równania Schrödingera ma poprawne fizycznie rozwiązania tylko dla liczb kwantowych spełniających warunki ( 2 ).", "Z tych warunków widać, że dla danej wartości \\( n \\) (danej energii) istnieje na ogół kilka różnych możliwych wartości \\( l \\), \\( m_{l} \\).", "Zgodnie z interpretację Borna związek pomiędzy falą materii i związaną z nią cząstką wyraża się poprzez kwadrat modułu funkcji falowej \\( {|\\psi |^{{2}}} \\), który wyraża gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni", "Na Rys. 1 pokazane są (dla kilku stanów kwantowych) wykresy radialnej gęstości prawdopodobieństwa, danej wyrażeniem", "(Czynnik \\( r^{2} \\) w powyższym równaniu wynika stąd, że prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w obszarze pomiędzy \\( r \\) i \\( r+dr \\), w trzech wymiarach, jest proporcjonalne do elementarnej objętości \\( r^{2}dr \\).).", "Na Rys. 1 na osi x odłożona jest odległość elektronu od jądra \\( r \\) podzielona przez promień pierwszej orbity Bohra \\( r_{1} \\), natomiast na osi \\( y \\) przyjęto jednostki umowne.", "Maksima gęstości prawdopodobieństwa, zaznaczone linią przerywaną, odpowiadają promieniom orbit w modelu Bohra dla \\( n \\) =1, 2, 3 ( \\( r_{n} = r_{1}n^{2} \\)).", "Kątową gęstość prawdopodobieństwa \\( {|Y_{{l,\\;m_{{l}}}}(\\theta,\\phi )|^{2}} \\) też można przedstawić graficznie w postaci tak zwanych wykresów biegunowych.", "Na Rys. 2 pokazane są wykresy biegunowe gęstości prawdopodobieństwa dla kilku stanów kwantowych atomu wodoru.", "Początek takiego wykresu umieszczamy w punkcie \\( r = 0 \\) (jądro), a kąt \\( \\theta \\) mierzymy od osi pionowej ( \\( z \\)). Dla danej wartości kąta \\( \\theta \\) punkt wykresu leży w odległości (mierzonej pod kątem \\( \\theta \\)) równej \\( {|Y_{{l,\\;m_{{l}}}}(\\theta ,\\phi )|^{2}} \\) od początku układu tak jak to zaznaczono na jednym z wykresów.", "Obraz przestrzenny otrzymujemy przez obrót wykresów biegunowych wokół pionowej osi (układ jest symetryczny ze względu na kąt \\( \\phi \\)).", "Kątowe rozkłady prawdopodobieństwa (takie jak na Rys. 2 ) noszą nazwę orbitali. Do oznaczenia orbitali stosuje się litery: \\( l = 0 \\) - orbital s, \\( l = 1 \\) - orbital p, \\( l = 2 \\) - orbital d, \\( l = 3 \\) - orbital f, itd.", "Orbitale można traktować jako rozkłady ładunku elektronu wokół jądra. Gdy mówimy, że jądro atomowe jest otoczone chmurą elektronową mamy właśnie na myśli orbitale." ]

[]

[ "Rozwiązanie równania Schrödingera dla atomu wodoru dostarcza oprócz funkcji falowych również wartości energii elektronu związanego w atomie. Te energie wyrażają się wzorem", "Otrzymane wartości są identyczne z przewidywaniami modelu Bohra i wartościami obserwowalnymi doświadczalnie. Wynik ten stanowił pierwszą weryfikację teorii Schrödingera.", "Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego ma ogromne znaczenie, ponieważ podając obraz struktury atomu, stworzyła podstawy kwantowego opisu wszystkich atomów wieloelektronowych, cząsteczek oraz jąder atomowych.", "Opis falowy mikroświata jest już dzisiaj dobrze ugruntowaną teorią, a rozwój technik eksperymentalnych takich jak na przykład skaningowy mikroskop tunelowy pozwala na prowadzenie badań w świecie atomów." ]

[]

[ "Pokażemy teraz w jaki sposób mechanika kwantowa pozwala zrozumieć strukturę atomów wieloelektronowych, wyjaśniając między innymi dlaczego w atomie znajdującym się w stanie podstawowym wszystkie elektrony nie są związane na najbardziej wewnętrznej powłoce (orbicie). Fizyka klasyczna nie wyjaśnia tego problemu; dopiero mechanika kwantowa przyniosła podstawy teoretyczne, na gruncie których można przewidzieć własności pierwiastków.", "Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru, stwierdziliśmy, że funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb kwantowych \\( n \\), \\( l \\), \\( m_{l} \\), przy czym stwierdziliśmy, że główna liczba kwantową \\( n \\) jest związana z kwantowaniem energii całkowitej elektronu w atomie wodoru.", "Okazuje się, że liczby kwantowe \\( l \\), \\( m_{l} \\) opisują z kolei kwantowanie przestrzenne momentu pędu elektronu.", "Zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej moment pędu elektronu krążącego wokół jądra w odległości \\( r \\) jest dany wyrażeniem", "Jednak z zasady nieoznaczoności wynika, że nie można jednocześnie w dokładny sposób wyznaczyć położenia i pędu elektronu więc nie można też dokładnie wyznaczyć momentu pędu.", "Okazuje się, że dla elektronu krążącego wokół jądra można dokładnie wyznaczyć jego wartość (długość wektora \\( L \\)) oraz rzut wektora \\( L \\) na pewną wyróżnioną oś w przestrzeni (na przykład oś \\( z \\)) to znaczy wartość jednej jego składowej \\( L_{z} \\). Pozostałe składowe \\( L_{x} \\) i \\( L_{y} \\) mają wartości nieokreślone. Wartości \\( L \\) oraz \\( L_{z} \\) są skwantowane", "gdzie \\( l \\) = 0, 1, 2, ...; \\( m_{l} \\) = 0, ±1, ±2, ±3, ...., ± \\( l \\).", "Podsumowując", "Na podstawie badania widm optycznych atomów wodoru i metali alkalicznych oraz doświadczeń nad oddziaływaniem momentów magnetycznych atomów z polem magnetycznym (doświadczenie Sterna-Gerlacha) odkryto, że wszystkie elektrony mają, oprócz orbitalnego, również wewnętrzny moment pędu, który został nazwany spinowym momentem pędu (spinem). Okazało się, że elektron zachowuje się tak, jakby był kulką wirującą wokół pewnej osi obrotu (analogicznie jak Ziemia obiegająca Słońce i obracająca się wokół swej osi).", "Okazuje się ponadto, że spin jest skwantowany przestrzennie i że dla danego stanu orbitalnego są możliwe dwa kierunki spinu czyli, że rzut wektora spinu na oś \\( z \\) może przyjmować tylko dwie wartości co określa spinowa liczba kwantowa \\( s \\), która może przyjmować dwie wartości \\( s \\) = ± ½.", "Moment pędu atomu jest sumą momentów pędów orbitalnych i spinów wszystkich elektronów w atomie i jest też skwantowany przestrzennie." ]

[]

[ "W 1869 r. Mendelejew jako pierwszy zauważył, że większość własności pierwiastków chemicznych jest okresową funkcją liczby atomowe \\( Z \\), określającej liczbę elektronów w atomie, co najlepiej uwidacznia się w odpowiednio skonstruowanym układzie okresowym pierwiastków. Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się jeżeli zebrać je w grupy zawierające 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.", "W 1925 r. Pauli podał prostą zasadę (nazywaną zakazem Pauliego), dzięki której automatycznie są generowane grupy o liczebności 2, 8, 18, 32. Pauli zapostulował, że", "Ponieważ stan kwantowy charakteryzuje zespół czterech liczb kwantowych", "więc zasada Pauliego może być sformułowana następująco", "Na zakończenie warto dodać, że na podstawie danych doświadczalnych stwierdzono, że zasada (zakaz) Pauliego obowiązuje dla każdego układu zawierającego elektrony, nie tylko dla elektronów w atomach." ]

[]

[ "Posługując się zasadą Pauliego można określić jakie stany w atomie są obsadzane elektronami. Skorzystamy z niej, żeby rozpatrzyć przewidywaną przez teorię kwantową strukturę niektórych pierwiastków.", "Wprowadźmy do opisu konfiguracji następującą konwencję: numer powłoki ( \\( n \\)) piszemy cyfrą, natomiast podpowłoki (orbitale): \\( l \\) = 0, 1, 2, 3, oznaczmy literami s, p, d, f itd. Wskaźnik górny przy symbolu podpowłoki określa liczbę znajdujących się w niej elektronów, a wskaźnik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka określa wartość Z.", "Jako pierwszy rozpatrzymy atom helu ( \\( Z \\) = 2) \\( \\rightarrow_{2} \\)He :1s \\( ^{2} \\).", "Najpierw przeanalizujemy zjonizowany atom He \\( ^{+} \\). Jest to układ jedoelektronowy podobny do atomu wodoru, a różnica polega tylko na tym, że w jądrze helu znajdują się dwa ( \\( Z \\) = 2) protony. W związku z tym energia takiego jonu jest dana wzorem analogicznym jak dla atomu wodoru", "a czynniki Z \\( ^{2} \\) jest związany z różnicą ładunku jądra.", "Jeżeli teraz dodamy drugi elektron na powłokę \\( n \\) = 1, to każdy z elektronów będzie oddziaływał nie tylko z jądrem, ale i z drugim elektronem; będzie się poruszał w wypadkowym polu elektrycznym jądra (przyciąganie) i elektronu (odpychanie). Jeżeli elektron znajduje się blisko jądra (bliżej niż drugi elektron) to porusza się w polu kulombowskim jądra \\( Z \\) = 2, a jeżeli znajduje się dalej to wówczas oddziałuje z ładunkiem jądra \\( Z \\) i ładunkiem drugiego elektronu czyli porusza się w polu ładunku jądra pomniejszonego o ładunek drugiego elektronu \\( Z \\) -1. Mówimy, że elektron ekranuje ładunek jądra. Średnia arytmetyczna tych dwóch wartości daje efektywną wartość \\( Z_{ef} \\) = 1.5 odpowiadającą wypadkowemu ładunkowi, jaki „czują” elektrony w atomie helu. Możemy więc uogólnić wzór ( 1 ) do postaci", "Na podstawie tak oszacowanego ładunku efektywnego otrzymujemy energię jonizacji czyli energię oderwania jednego elektronu równą \\( E_{jonizacji} = - 13.6 (1.5)^2/1^2 eV ≈ 30eV \\).", "W rzeczywistości elektrony nie tylko ekranują ładunek jądra, ale też odpychają się nawzajem (dodatnia energia potencjalna), więc energia wiązania jest mniejsza. Zmierzona energia jonizacji helu wynosi 24.6 eV (co odpowiada \\( Z_{ef} \\) = 1.35).", "Jest to największa energia jonizacji spośród wszystkich pierwiastków i siły chemiczne nie mogą dostarczyć takiej energii jaka jest potrzebnej do utworzenia jonu He \\( ^{+} \\). Również utworzenie jonu He \\( ^{-} \\) jest niemożliwe, bo powłoka \\( n \\) = 1 jest już 'zapełniona' i dodatkowy elektron obsadzałby powłokę \\( n \\) = 2 znacznie bardziej oddaloną od jądra. Ładunek efektywny widziany przez ten elektron będzie więc równy zeru i nie działa żadna siła, mogąca utrzymać ten elektron.", "W rezultacie hel jest chemicznie obojętny, nie tworzy cząsteczek z żadnym pierwiastkiem. Podobnie zachowują się atomy innych pierwiastków o całkowicie wypełnionych powłokach. Nazywamy je gazami szlachetnymi.", "Jako kolejny omówimy atom litu ( \\( Z \\) = 3) \\( \\rightarrow_{3} \\)Li :1s \\( ^{2} \\)2s \\( ^{1} \\).", "Zgodnie z zasadą Pauliego dwa elektrony znajdują się w stanie \\( n \\) = 1, a trzeci elektron na powłoce \\( n \\) = 2. Zmierzona wartość energii jonizacji litu wynosi 5.4 eV (co odpowiada \\( Z_{ef} \\) = 1.25).", "Taki jednokrotnie zjonizowany atom litu jest podobny do atomu helu z tą różnicą, że ze względu na ładunek jądra ( \\( Z \\) = 3) \\( Z_{ef} \\) = 2.35 (jest większe o 1 niż dla helu). Oznacza to, że oderwanie drugiego elektronu wymaga energii aż 75.6 eV. Dlatego spodziewamy się, że w związkach chemicznych lit będzie wykazywać wartościowość +1.", "Kolejnym pierwiastkiem jest beryl ( \\( Z = 4) \\rightarrow_{4} \\)Be : 1s \\( ^{2} \\)2s \\( ^{2} \\).", "Beryl jest podobny do litu bo zgodnie z zasadą Pauliego w stanie 2s \\( ^{2} \\) mogą znajdować się dwa elektrony. Dla berylu energia oderwania (jonizacji) drugiego elektronu nie jest dużo większa niż dla pierwszego i beryl w związkach chemicznych ma wartościowość +2.", "Od boru ( \\( Z \\) = 5) do neonu ( \\( Z \\) = 10):", "W tych sześciu pierwiastkach elektrony zapełniają podpowłokę 2p (n = 2, l = 1)", "Wśród tych pierwiastków na uwagę zasługują fluor i tlen, którym do zapełnienia orbity p brakuje odpowiednio jednego i dwóch elektronów. Te 'wolne' miejsca są stanami o niskiej energii i dlatego pierwiastki te wykazują silną tendencję do przyłączenia dodatkowych elektronów tworząc trwałe jony Fl \\( ^{-} \\) i O \\( ^{--} \\). To zjawisko jest zwane powinowactwem elektronowym. Fluor i tlen są więc aktywnymi pierwiastkami chemicznymi.", "Kontynuując powyższy schemat można napisać konfigurację elektronową dowolnego atomu. Okazuje się jednak, że w niektórych przypadkach przewidywane konfiguracje nie pokrywają się z obserwowanymi. Wnioskujemy, że różnice energii pomiędzy niektórymi podpowłokami muszą być tak małe, że w pewnych wypadkach może zostać odwrócona kolejność ich zapełniania. Można to zobaczyć na Rys. 1. Krzywe kończą się na \\( Z \\) = 80 (rtęć). Uwaga: skala energii nie jest liniowa.", "Zwróćmy uwagę, że każda podpowłoka p ma wyższą energię od poprzedzającej ją powłoki s. Natomiast różnice energii pomiędzy każdą podpowłoką s i poprzedzającą ją powłoką p są szczególnie duże. W konsekwencji wzbudzenie elektronu w atomach pierwiastków, w których zakończyło się właśnie zapełnianie powłoki p jest bardzo trudne (gazy szlachetne).", "W ten sposób na gruncie mechaniki kwantowej można przeanalizować własności wszystkich pierwiastków." ]

[]

[ "Na Rys. 1 pokazana jest lampa rentgenowska.", "Elektrony emitowane z katody są przyspieszane przez wysokie napięcie rzędu 10 \\( ^{4} \\) V (przyłożone pomiędzy katodą i anodą) i uderzają w anodę (tarczę). W anodzie elektrony są hamowane aż do ich całkowitego zatrzymania.", "Zgodnie z fizyką klasyczną, w wyniku tego hamowania powinna nastąpić emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ciągłym ponieważ ładunek doznaje przyspieszenia (opóźnienia).", "Przykładowy rozkład widmowy rentgenowski otrzymany dla wolframu jest pokazany na Rys. 2.", "Najbardziej charakterystycznymi cechami obserwowanych rozkładów widmowych promieniowania X są:", "Istnienie krótkofalowej granicy widma ciągłego promieniowania X nie może być wyjaśnione przez klasyczną teorię elektromagnetyzmu, bo nie istnieją żadne powody, aby z anody nie mogły być wysłane fale o długości mniejszej od jakiejś wartości granicznej.", "Jeżeli jednak potraktujemy promieniowanie rentgenowskie jako strumień fotonów to wyjaśnienie obserwowanego zjawiska jest proste. Elektron o początkowej energii kinetycznej \\( E_{k} \\) (uzyskanej dzięki przyspieszeniu napięciem \\( U \\)) w wyniku oddziaływania z ciężkim jądrem atomu tarczy (anody) jest hamowany i energia jaką traci pojawia się w formie kwantów (zob. Rys. 3 ).", "Energia powstającego fotonu jest dana wzorem", "gdzie \\( E_{k} \\)' jest energią elektronu po zderzeniu. Elektron w trakcie zderzenia przekazuje jądru pewną energię jednak ze względu na to, że jądra tarczy są bardzo ciężkie (w porównaniu do elektronu) możemy ją zaniedbać.", "Długość fali fotonu można obliczyć z relacji", "W wyniku zderzeń elektrony tracą różne ilości energii (typowo elektron zostaje zatrzymany w wyniku wielu zderzeń z jądrami tarczy), otrzymujemy więc szereg fotonów o różnych energiach (różnych \\( \\lambda \\)). Wobec tego promieniowanie rentgenowskie wytwarzane przez wiele elektronów będzie miało widmo ciągłe.", "Powstaje wiele fotonów o długościach od \\( \\lambda_{min} \\) do \\( \\lambda \\rightarrow \\infty \\), co odpowiada różnym energiom traconym w zderzeniach. Foton o najmniejszej długości fali \\( \\lambda_{min} \\) (zarazem maksymalnej energii) będzie emitowany wtedy, gdy elektron straci całą energię w jednym procesie zderzenia. Oznacza to, że po tym zderzeniu \\( E_{k} \\)' = 0 więc", "Ponieważ energia kinetyczna elektronu jest równa \\( eU \\) (elektron przyspieszony napięciem \\( U \\)), więc otrzymujemy związek", "skąd", "Tak więc minimalna długość fali odpowiadająca całkowitej zamianie energii kinetycznej elektronów na promieniowanie zależy jedynie od napięcia \\( U \\), a nie zależy na przykład od materiału z jakiego zrobiono tarczę.", "Podobnie na gruncie fizyki kwantowej można wyjaśnić powstawanie widma liniowego (charakterystycznego).", "Elektron z wiązki padającej przelatując przez atom anody, może wybić elektrony z różnych powłok atomowych. Na opróżnione miejsce (po wybitym elektronie) może przejść elektron z wyższych powłok. Towarzyszy temu emisja fotonu o ściśle określonej energii równej różnicy energii elektronu w stanie początkowym (przed przeskokiem) i stanie końcowym (po przeskoku). Z kolei powstało miejsce wolne, tak zwana dziura po elektronie, który przeskoczył na niższą powłokę. Miejsce to może być zapełnione przez kolejny elektron z wyższej powłoki, itd.", "Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu podstawowego składa się więc z kilku kroków przy czym każdemu towarzyszy emisja fotonu. W ten sposób powstaje widmo liniowe.", "Częstotliwość (długość fali) promieniowania charakterystycznego możemy obliczyć, korzystając ze wzoru analogicznego do wyrażenia Stany energetyczne i widmo atomowe wodoru-( 2 ), który podaliśmy dla atomu wodoru", "gdzie \\( R \\) jest stałą Rydberga. We wzorze tym uwzględniono fakt, że w atomie wieloelektronowym elektron jest przyciągany przez jądro o ładunku \\( +Ze \\), a równocześnie obecność innych elektronów osłabia to oddziaływanie. Efekt ten nazywamy ekranowaniem jądra i uwzględniamy go poprzez wprowadzenie stałej ekranowania \\( a \\).", "Widzimy, że częstotliwość promieniowania charakterystycznego jest proporcjonalna do kwadratu liczby atomowej \\( Z \\) więc jest charakterystyczna dla atomów pierwiastka anody. Ta zależność jest nazywana prawem Moseleya. Możemy się nią posłużyć przy analizie liniowych widm rentgenowskich w celu identyfikacji pierwiastków lub ich zawartości w badanym materiale." ]

[]

[ "Omówimy teraz przykład wykorzystania zjawisk kwantowych w praktyce. Przedstawimy kwantowy generator światła nazwany laserem. Urządzenie to znalazło bardzo szerokie zastosowanie min. w telekomunikacji, badaniach naukowych, technologii obróbki metali i medycynie.", "Zgodnie z postulatem Bohra, promieniowanie elektromagnetyczne zostaje wysłane tylko wtedy gdy elektron poruszający się po orbicie o całkowitej energii \\( E_{k} \\) zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się następnie po orbicie o energii \\( E_{j} \\). Mówimy, że cząstka (elektron) przechodzi ze stanu wzbudzonego (o wyższej energii) do stanu podstawowego. Takiemu samoistnemu przejściu towarzyszy emisja fotonu o częstotliwości", "Zjawisko takie jest nazywane emisją spontaniczną.", "Jeżeli różnica energii wynosi kilka elektronowoltów (na przykład tak jak w atomie wodoru, gdzie \\( E_{1} \\) = -13.6 eV) to czas charakterystyczny dla procesu emisji spontanicznej ma wartość rzędu 10 \\( ^{-8} \\) s.", "Oczywiście atomy (cząsteczki) nie tylko emitują ale i absorbują promieniowanie o ściśle określonych częstotliwościach (długościach fali). Ponieważ elektron w atomie ma energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stan stacjonarny) więc z padającego promieniowania absorbuje tylko określone kwanty energii przechodząc ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Energia absorbowanych kwantów \\( h\\nu \\) jest dokładnie równa różnicy pomiędzy energiami dozwolonych stanów.", "Teoria kwantowa przewiduje także, że oprócz emisji spontanicznej oraz procesów absorpcji może wystąpić także inny proces, nazywany emisją wymuszoną.", "Przypuśćmy, że atom znajduje się w stanie wzbudzonym \\( E_{k} \\) i może przy przejściu do stanu podstawowego \\( E_{j} \\) emitować foton o energii ( \\( E_{k} - E_{j} \\)). Jeżeli taki atom zostanie oświetlony promieniowaniem, które zawiera fotony o energii właśnie równej ( \\( E_{k} - E_{j} \\)) to prawdopodobieństwo wypromieniowania energii przez atom wzrośnie.", "Takie zjawisko przyspieszenia wypromieniowania energii przez oświetlenie atomów wzbudzonych odpowiednim promieniowaniem nazywamy właśnie emisją wymuszoną.", "Ponadto, bardzo ważne jest to, że", "Emisja wymuszona stwarza więc szansę uzyskania promieniowania spójnego.", "Procesy absorpcji, emisji spontanicznej i emisji wymuszonej pokazane są schematycznie na Rys. 1.", "Żeby przeanalizować możliwość emisji wymuszonej, musimy wiedzieć, jak atomy (cząsteczki) układu obsadzają różne stany energetyczne to znaczy musimy określić ile atomów jest w stanie podstawowym (stanie o najniższej energii), a ile w stanach wzbudzonych (o wyższych energiach)." ]

[]

[ "Szczegółowy układ fizyczny złożony z dużej liczby cząstek jest bardzo skomplikowany i dlatego podstawowe własności układu wyprowadzamy z samych rozważań statystycznych. Przykładem jest rozkład Maxwella prędkości cząsteczek gazu, który daje informację o prawdopodobieństwie znalezienia cząsteczki o prędkości z przedziału \\( v, v + dv \\). Znając funkcję rozkładu \\( N(v) \\) możemy obliczyć takie wielkości mierzalne jak ciśnienie czy temperaturę.", "Prawdopodobieństwo z jakim cząstki układu zajmują różne stany energetyczne jest również opisane przez odpowiednią funkcję rozkładu", "gdzie A jest stałą proporcjonalności, a \\( k \\) stałą Boltzmana. Jest to tak zwany rozkład Boltzmana. Więcej o rozkładzie Boltzmana możesz przeczytać w Dodatkowe informacje o rozkładzie Boltzmanna.", "Widzimy, że prawdopodobna ilość cząstek układu, w temperaturze \\( T \\), znajdujących się w stanie o energii \\( E \\) jest proporcjonalna do \\( \\exp(-E/kT) \\).", "Na Rys. 1 pokazana jest zależność \\( N(E) \\) dla trzech różnych temperatur i trzech odpowiednich wartości stałej \\( A \\)." ]

[]

[ "Na początku rozważmy układ zawierający pewną niewielką ilość identycznych cząstek (np. cztery), których energia może przyjmować jedną z następujących wartości \\( E = 0 \\), \\( \\Delta E \\), \\( 2\\Delta E \\), \\( 3\\Delta E \\), \\( 4\\Delta E \\)...... Energia całkowita układu ma wartość \\( 3\\Delta E \\), a cząstki znajdują się w równowadze w temperaturze \\( T \\).", "By osiągnąć ten stan równowagi cząstki muszą wymieniać energię ze sobą (na przykład poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie zmieniają się, przyjmując różne wartości.", "W ten sposób może być realizowany każdy możliwy podział energii całkowitej \\( 3\\Delta E \\) pomiędzy te cząstki. W Tabela 1 pokazane są te wszystkie możliwe podziały.", "Zwróćmy uwagę, że obliczając ilość sposobów realizacji danego podziału traktujemy jako rozróżnialny podział, który można otrzymać z danego w drodze przestawiania cząstek pomiędzy różnymi stanami. Przestawienia cząstek w tym samym stanie energetycznym nie prowadzą do nowych sposobów realizacji podziałów, bo nie można eksperymentalnie odróżnić od siebie takich samych cząstek o tej samej energii.", "Ponadto przyjmujemy, że wszystkie sposoby podziału energii mogą wydarzyć się z tym samym prawdopodobieństwem.", "Następnie obliczamy \\( N(E) \\) czyli prawdopodobną ilość cząstek w danym stanie energetycznym \\( E \\). Rozpatrzmy stan \\( E = 0 \\).", "Dla podziału \\( k = 1 \\) mamy \\( N_{1} \\) = 3 cząstki w stanie o \\( E = 0 \\), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \\( P_{1} \\) = 4/20.", "Dla podziału \\( k = 2 \\) mamy \\( N_{2} \\) = 2 cząstki w stanie o \\( E = 0 \\), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \\( P_{2} \\) = 12/20.", "Dla podziału \\( k = 3 \\) mamy \\( N_{3} \\) = 1 cząstkę w stanie o \\( E = 0 \\), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \\( P_{3} \\) = 4/20.", "Zatem prawdopodobna ilość cząstek w stanie \\( E = 0 \\) wynosi:", "Analogicznie obliczamy \\( N(E) \\) dla pozostałych wartości \\( E \\) (patrz ostatni wiersz Tabela 1 ).", "Zauważmy, że suma tych liczb wynosi cztery, tak że jest równa całkowitej liczbie cząstek we wszystkich stanach energetycznych. Wykres zależności \\( N(E) \\) jest pokazany na Rys. 1.", "Ciągła krzywa na rysunku jest wykresem malejącej wykładniczo funkcji \\( N(E)=\\text{Ae}^{-\\frac{E}{E_{0}}} \\).", "Możemy teraz wybierać coraz mniejsze \\( \\Delta E \\) (zwiększając ilość dozwolonych stanów) przy tej samej co poprzednio wartości całkowitej energii. Oznacza to, że będziemy dodawać coraz więcej punktów do naszego wykresu, aż w granicy gdy \\( \\Delta E \\rightarrow 0 \\) przejdziemy do funkcji ciągłej danej powyższym równaniem.", "Potrzebujemy jeszcze znaleźć wartość \\( E_{0} \\). Obliczenia te choć proste wykraczają poza ramy tego wykładu. Wystarczy więc zapamiętać, że \\( E_{0} = kT \\), toznaczy jest równa średniej energii układu cząstek w temperaturze \\( T \\). Ostatecznie więc", "Jest to rozkład Boltzmana, który mówi, że prawdopodobna ilość cząstek układu w równowadze w temperaturze \\( T \\), znajdujących się w stanie o energii \\( E \\) jest proporcjonalna do \\( \\exp(-E/kT) \\). Sposób wyboru stałej proporcjonalności A zależy od tego jaki układ rozważamy." ]

[]

[ "Z rozkładu Boltzmana wynika, że w danej temperaturze liczba atomów w stanie podstawowym jest większa niż liczba atomów w stanach o wyższej energii. Jeżeli zatem taki układ atomów (cząsteczek) oświetlimy odpowiednim promieniowaniem to światło padające jest silnie absorbowane, a emisja wymuszona jest znikoma.", "Żeby w układzie przeważała emisja wymuszona, to w wyższym stanie energetycznym powinno znajdować się więcej atomów (cząsteczek) niż w stanie niższym. Mówimy, że rozkład musi być antyboltzmannowski.", "Taki układ można przygotować na kilka sposobów m.in. za pomocą zderzeń z innymi atomami lub za pomocą tzw. pompowania optycznego czyli wzbudzania atomów na wyższe poziomy energetyczne przez ich oświetlanie.", "Ten pierwszy sposób jest wykorzystywany w laserze helowo-neonowym. Schemat poziomów energetycznych dla takiego lasera jest pokazany na Rys. 1.", "W tym laserze atomy neonu są wzbudzane na poziom E \\( _{3} \\) w wyniku zderzeń z atomami helu. Przejście na poziom E \\( _{2} \\) zachodzi wskutek emisji wymuszonej. Następnie atomy neonu przechodzą szybko do stanu podstawowego E \\( _{1} \\) oddając energię w wyniku zderzeń ze ściankami.", "Przebieg emisji wymuszonej w laserze przedstawiony jest na Rys. 2.", "Foton wprowadzony do gazu ( Rys. 2a) wymusza emisję drugiego fotonu przez wzbudzony atom ( Rys. 2b). Przez układ poruszają się więc dalej dwa fotony, które wymuszają kolejne procesy emisji i w efekcie coraz więcej fotonów, o tej samej fazie, porusza się przez układ ( Rys. 2c).", "Jeżeli na końcach zbiornika umieścimy zwierciadła, to ten proces będzie trwał aż wszystkie atomy wypromieniują nadmiar energii. Spójna wiązka fotonów może opuścić układ jeżeli jedno z tych zwierciadeł będzie częściowo przepuszczające.", "Inny sposób „odwrócenia” rozkładu boltzmanowskiego jest wykorzystany w laserze rubinowym pokazanym na Rys. 3.", "Laser zbudowany na ciele stałym składa się z pręta wykonanego z kryształu Al \\( _{2} \\)O \\( _{3} \\), w którym jonami czynnymi są atomy domieszki np. atomy chromu. Na końcach pręta są naniesione zwierciadła odbijające. Promieniowanie 'pompujące' jest wytwarzane przez lampę błyskową umieszczoną wokół kryształu. Absorbując światło z lampy błyskowej atomy chromu przechodzą do stanu wzbudzonego.", "Od czasu uruchomienia pierwszego lasera to jest od 1960 r. technologia tych urządzeń bardzo się rozwinęła. Obecnie działają zarówno lasery impulsowe, jak i lasery o pracy ciągłej. Ośrodkami czynnymi w laserach są gazy, ciała stałe i ciecze, a zakres długości fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny aż do nadfioletu" ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością \\( v_{0} \\) na szczelinę o szerokości \\( \\Delta y \\), tak jak na Rys. 1.", "Jeżeli elektron przechodzi przez szczelinę, to znamy jego położenie z dokładnością \\( \\Delta y \\). Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, że na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyjny. Oznacza to, że elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej także składową w kierunku pionowym \\( y \\) (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości.", "Rozpatrzmy elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt A na Rys. 1 ). Pierwsze minimum jest dane równaniem", "a dla małego kąta \\( \\theta \\)", "Elektron dolatujący do punktu a (1-sze minimum) ma prędkość pionową \\( \\Delta v_{y} \\) taką, że", "Korzystając z obu powyższych równań, otrzymujemy", "lub", "Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez relację de Broglie'a", "Podstawiając tę zależność do równania ( 5 ), otrzymujemy", "co można zapisać", "Jeżeli chcemy poprawić pomiar położenia \\( y \\) (zmniejszyć \\( \\Delta y \\)), to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Innymi słowy, zwiększone zostało \\( \\Delta p_{y} \\).", "Otrzymany wynik zgadza się z granicą wyznaczaną przez zasadę nieoznaczoności." ]

[]

[ "Kiedy pierwiastek lub związek chemiczny, będący w stanie gazowym lub ciekłym, zostanie dostatecznie ochłodzony to krzepnie czyli przechodzi do stanu stałego.", "Ciała stałe dzielimy na kryształy, polikryształy i ciała bezpostaciowe. Jak już mówiliśmy w module Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X), atomy w krysztale ułożone są w powtarzający się regularny wzór zwany siecią krystaliczną (na Rys. 1 pokazane jest przykładowo rozmieszczenie atomów w krysztale NaCl).", "Wiele ciał stałych nie posiada jednolitej struktury krystalicznej dlatego, że są zbudowane z bardzo wielu malutkich kryształków; mówimy, że te ciała mają strukturę polikrystaliczną. Wreszcie w przyrodzie występują ciała niekrystaliczne takie, jak na przykład szkło, w których uporządkowanie atomowe nie rozciąga się na duże odległości.", "W dalszej części modułu zajmiemy się ciałami krystalicznymi. Ich klasyfikację prowadzi się zarówno według ich struktury geometrycznej, jak i według dominującego rodzaju wiązania.", "Ze względu na typy wiązań kryształy dzielimy na:", "Kryształy cząsteczkowe (molekularne) składają się ze stabilnych cząsteczek, oddziaływujących ze sobą słabymi siłami wiążącymi, tzw. siłami van der Waalsa, takimi jakie występują pomiędzy cząsteczkami w fazie gazowej.", "Oddziaływanie to jest związane z przesunięciami ładunków w cząsteczkach. Cząsteczki zachowują się jak dipole elektryczne i oddziaływanie pomiędzy dipolami stanowi siłę wiążącą kryształ.", "Ciała cząsteczkowe tworzą między innymi w stanie stałym gazy szlachetne i zwykłe gazy, takie jak tlen, azot, wodór. Energia wiązania jest słaba, rzędu 10 \\( ^{-2} \\) eV to jest 10 \\( ^{-21} \\) J. Przypomnijmy sobie, że energia cieplna cząsteczki w temperaturze pokojowej to około 300 K wynosi \\( {\\frac{3}{2}k_{{B}}T≈ 6\\cdot \\text{10}^{{-\\text{21}}}} \\)J. Ta energia ruchu termicznego jest odpowiedzialna za rozrywanie wiązań. Widać więc, z porównania jej z energią wiązania, dlaczego zestalenie kryształów cząsteczkowych zachodzi dopiero w bardzo niskich temperaturach. Na przykład temperatura zestalania wodoru wynosi 14 K (tj. -259 °C).", "Kryształy cząsteczkowe, ze względu na brak elektronów swobodnych są na ogół bardzo złymi przewodnikami ciepła i elektryczności.", "W pewnych warunkach atomy wodoru mogą tworzyć silne wiązania z atomami pierwiastków elektroujemnych, takich jak na przykład tlen czy azot. Te wiązania zwane wodorowymi odgrywają ważną rolę min. w kryształach ferroelektrycznych i w cząsteczkach kwasu DNA (dezoksyrybonukleinowego).", "Kryształy jonowe składają się z trójwymiarowego naprzemiennego ułożenia dodatnich i ujemnych jonów. Jony, ułożone jak gęsto upakowane kulki, przyciągają się siłami kulombowskimi. Przykładem takiego kryształu jest pokazany na Rys. 1 kryształ chlorku sodu (NaCl).", "Kryształy jonowe, ze względu na brak swobodnych elektronów są złymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Ponieważ siły kulombowskie wiążące kryształy jonowe są duże więc kryształy te są zazwyczaj twarde i mają wysoką temperaturę topnienia.", "Kryształy kowalentne składają się z atomów połączonych ze sobą parami wspólnych elektronów walencyjnych to jest elektronów z najbardziej zewnętrznej powłoki. Chmura wspólnych elektronów skupiona jest pomiędzy parą atomów, więc wiązania te mają kierunek i wyznaczają ułożenie atomów w strukturze krystalicznej. Przykładami kryształów kowalentnych są diament, german, krzem.", "Kryształy kowalentne są twarde i posiadają wysoką temperaturę topnienia. Brak elektronów swobodnych powoduje, że ciała atomowe nie są dobrymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Czasami jednak, jak w przypadku wymienionych Ge i Si są one półprzewodnikami.", "Wiązanie metaliczne można sobie wyobrazić jako graniczny przypadek wiązania kowalentnego, w którym elektrony walencyjne są wspólne dla wszystkich jonów w krysztale, a nie tylko dla sąsiednich jonów.", "Wynika to z tego, że w atomach, z których jest zbudowany kryształ metaliczny, elektrony na zewnętrznych powłokach są słabo związane i mogą zostać uwolnione z tych atomów kosztem bardzo małej energii. Te swobodne elektrony poruszają się w całym krysztale; są więc wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, że tworzą one gaz elektronowy wypełniający przestrzeń pomiędzy dodatnimi jonami.", "Gaz elektronowy działa na każdy jon siłą przyciągania większą od odpychania pozostałych jonów w wyniku czego tworzy się wiązanie. Ponieważ istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewnętrznych powłokach są wolne miejsca) to elektrony mogą poruszać się swobodnie w krysztale od atomu do atomu. W konsekwencji kryształy metaliczne są doskonałymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Przykładem kryształów metalicznych są kryształy tworzone przez metale alkaliczne.", "W podsumowaniu należy zaznaczyć, że istnieją kryształy, w których wiązania muszą być interpretowane jako mieszanina opisanych powyżej głównych typów wiązań. Typ wiązania w poszczególnych kryształach wyznacza się doświadczalnie m.in. przez badanie dyfrakcji promieni X." ]

[]

[ "Przykładowymi materiałami półprzewodnikowymi są german i krzem. Są to pierwiastki z IV grupy układu okresowego, mają po cztery elektrony walencyjne. Elektrony te biorą udział w wiązaniach atomowych z czterema innymi atomami. Pary wspólnych elektronów walencyjnych zaznaczono na Rys. 1 podwójnymi liniami.", "Ponieważ wszystkie elektrony walencyjne biorą udział w wiązaniach więc brak jest elektronów swobodnych.", "Istnieje jednak możliwość wzbudzenia, na przykład termicznie, elektronu walencyjnego, tak że stanie się on swobodnym elektronem przewodnictwa. Powstaje wtedy w powłoce walencyjnej puste miejsce po elektronie nazywane dziurą. Na Rys. 1 zaznaczono symbolicznie tę sytuację.", "W obecności zewnętrznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, sąsiadujący z dziurą może zająć jej miejsce, pozostawiając po sobie nową dziurę, która zostanie zapełniona przez kolejny elektron, itd. Zatem dziura w polu elektrycznym przemieszcza się w kierunku przeciwnym niż elektron i zachowuje jak nośnik ładunku dodatniego (dodatni elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie półprzewodniki nazywamy samoistnymi.", "Jeżeli w trakcie wzrostu kryształów do krzemu dodamy na przykład niewielką ilość arsenu (grupa V układu okresowego) to arsen wbudowuje się w strukturę krzemu, wykorzystując cztery spośród pięciu elektronów walencyjnych. Piąty elektron walencyjny arsenu nie bierze udziału w wiązaniu i łatwo staje się elektronem przewodnictwa poprzez dostarczenie mu niewielkiej ilości energii (np. cieplnej). Dzięki temu mamy prawie tyle elektronów przewodnictwa, ile jest atomów domieszki. Zauważmy, że w tym wypadku nie powstaje dziura po oderwanym elektronie, bo wszystkie wiązania atomowe są wypełnione. Oczywiście możemy, tak jak w półprzewodniku samoistnym, wzbudzić elektrony walencyjne krzemu i wytworzyć dziury, ale pod warunkiem dostarczenia znacznie większej energii. Taki półprzewodnik nazywany jest półprzewodnikiem typu n (negative - ujemny), bo atom domieszki oddaje elektron.", "Krzem można też domieszkować pierwiastkiem z III grupy układu okresowego na przykład galem. Ponieważ atom galu ma tylko trzy elektrony walencyjne, to ma tendencję do wychwytywania elektronu z sąsiedniego atomu krzemu, aby uzupełnić cztery wiązania kowalencyjne. Zatem atom galu wprowadza do systemu dziurę i mamy półprzewodnik typu p (positive - dodatni)." ]

[]

[ "Właściwości materiałów półprzewodnikowych omówione w module Podstawowe informacje o fizyce półprzewodników, przyczyniły sie do niezwykłej popularności takich materiałów w stosowanej dziś technice. Przykłady niektórych zastosowań półprzewodników omawiamy w tym module.", "W miarę wzrostu temperatury obserwujemy szybki wzrost przewodności półprzewodników związany z termicznym wzbudzeniami elektronów walencyjnych, które stają się elektronami przewodnictwa.", "Przykładowo, przewodność czystego krzemu zwiększa się aż dwukrotnie przy wzroście temperatury od 0° C do 10° C. Dlatego czysty krzem może być stosowany w czułych miernikach temperatury. Taki przyrząd półprzewodnikowy do pomiaru temperatury jest nazywany termistorem.", "Jeżeli półprzewodniki typu n i typu p zostaną ze sobą zetknięte to część elektronów z obszaru typu n (nadmiar elektronów) będzie przepływała do obszaru typu p, a dziury będą przepływały z obszaru typu p (nadmiar dziur) do obszaru typu n. W wyniku tego obszar p naładuje się ujemnie, a obszar typu n dodatnio. Powstaje kontaktowa różnica potencjałów pokazana na Rys. 1.", "Jeżeli do takiego złącza p - n przyłożymy zewnętrzny potencjał to wielkość prądu płynącego przez złącze zależy od kierunku i wartości tego napięcia. Jeżeli przyłożymy potencjał dodatni \\( V \\) (napięcie przewodzenia) do półprzewodnika typu p to zmniejszymy różnicę potencjału na złączu p - n (do wartości \\( V – V_{0} \\)). Przez złącze popłynie wówczas duży prąd tak jak pokazano na Rys. 2. Natomiast przyłożenie ujemnego potencjału (napięcie zaporowe) do obszaru typu p powiększa różnicę potencjałów na złączu (do wartości \\( V + V_{0} \\)) i wartość prądu przez złącze jest bardzo mała (praktycznie równa zeru).", "To urządzenie jest nazywane diodą p - n. Zauważmy, że ta dioda nie spełnia prawa Ohma. Natężenie płynącego prądu nie jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia jak w przypadku metali. Mówimy, że dioda jest elementem nieliniowym. Jednym z jej zastosowań są detektory radioodbiorników o modulacji amplitudowej.", "Jeżeli oświetlimy obszar przejściowy złącza p - n to elektron walencyjny pochłaniając foton zostanie wzbudzony do stanu przewodnictwa (tak samo jak energią cieplną). Pochłonięty foton kreuje parę elektron - dziura. Powstałe dziury są wciągane do obszaru p, a elektrony do obszaru n. W obwodzie zawierającym złącze p - n płynie prąd. W ten sposób można zamienić energię światła bezpośrednio na energię elektryczną.", "Urządzeniem, którego współcześnie spowodowało prawdziwą rewolucję techniczną jest niewątpliwie tranzystor. Schemat tranzystora pnp jest pokazany na Rys. 3a, a rozkład potencjału wewnątrz tranzystora na Rys. 3b.", "Jak widać tranzystor jest diodą, do której dołączono dodatkowy obszar p (kolektor). Do „diody” jest przyłożone napięcie w kierunku przewodzenia więc płynie duży prąd (dziurowy) z emitera do bazy.", "Baza jest na tyle cienka, że większość dziur przechodzi (dyfunduje) do kolektora, a tylko niewielka część (około \\( 1\\% \\)) wypływa z bazy ( \\( I_{be} \\)). Pozostały prąd ( \\( 99\\% \\)) wypływa przez kolektor. Jak widać na Rys. 3b kolektor jest na bardziej ujemnym potencjale niż baza aby dodatnie dziury łatwiej mogły do niego przechodzić.", "Stosunek prądu kolektora do prądu bazy \\( {\\beta =I_{{{ke}}}/I_{{{be}}}} \\) nazywamy współczynnikiem wzmocnienia prądu. W typowych tranzystorach \\( \\beta \\) = 100. Oznacza to, że jeżeli na wejściu tranzystora prąd \\( I_{be} \\) jest sygnałem zmiennym o danej charakterystyce to na wyjściu tranzystora otrzymamy prąd \\( I_{ke} \\) o takiej samej charakterystyce ale 100 razy silniejszy.", "Charakterystyki tranzystorów npn są takie same z tym, że nośnikami większościowymi ładunku są elektrony, a nie dziury.", "Istnieje jeszcze wiele innych urządzeń półprzewodnikowych mających szerokie zastosowania. Z konieczności ograniczymy się tylko do wymienienia najważniejszych takich jak układy scalone dużej skali integracji, diody tunelowe, tyrystory, tranzystory polowe, lasery półprzewodnikowe." ]

[]

[ "Ze zjawiskami magnetycznymi spotykamy się na co dzień. Najczęściej mamy do czynienia z magnesami stałymi ponieważ są one powszechnie wykorzystywane we wszelkich urządzeniach technicznych. Na przykład w urządzeniach w gospodarstwie domowym posiadamy do kilkunastu kilogramów magnesów trwałych (wszystkie urządzenia posiadające silnik elektryczny - robot kuchenny, blender, krajalnica, maszynka do miesa, ale także głosniki i mikrofony).", "Omówienie własności magnetycznych rozpoczniemy od przypomnienia obliczeń, z modułu Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem. Pokazaliśmy tam, że elektron krążący w odległości \\( r \\) wokół jądra w atomie posiada magnetyczny moment dipolowy \\( {\\mu _{{e}}=\\frac{e}{2m}L} \\) związany z orbitalnym momentem pędu \\( L \\). Podobnie jak z orbitalnym momentem pędu elektronu również z jego spinem związany jest moment magnetyczny tak zwany spinowy moment magnetyczny.", "Własności magnetyczne ciał są określone przez zachowanie się tych elementarnych momentów (dipoli) magnetycznych w polu magnetycznym.", "Przy opisie własności magnetycznych ciał posługujemy się pojęciem wektora polaryzacji magnetycznej \\( M \\) nazywanej też namagnesowaniem lub magnetyzacją. Wektor ten określa sumę wszystkich momentów magnetycznych, czyli wypadkowy moment magnetyczny jednostki objętości.", "Jeżeli próbkę zawierającą elementarne dipole magnetyczne umieścimy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji \\( B_{0} \\) to pole to dąży do ustawienia dipoli w kierunku pola i w efekcie powstaje w próbce wypadkowe pole o indukcji", "Względną przenikalnością magnetyczną ośrodka \\( \\mu_{r} \\) można na podstawie wzoru ( 1 ) zapisać jako", "gdzie wielkość \\( \\chi \\) nazywana jest podatnością magnetyczną.", "W zależności od wielkości i znaku podatności magnetycznej \\( \\chi \\) , dzielimy ciała na następujące trzy grupy:" ]

[]

[ "Diamagnetyzm jest związany ze zmianą orbitalnego momentu pędu elektronów wywołaną zewnętrznym polem magnetycznym. Oznacza to, że diamagnetyzm występuje w każdym materiale umieszczonym w polu magnetycznym (w każdym materiale są elektrony). Jednak doświadczalnie jest on obserwowany tylko w ciałach, w których momenty magnetyczne elektronów wchodzących w skład danego atomu znoszą się wzajemnie (kompensują) tak, że moment magnetyczny atomu jest równy zeru. W innym przypadku efekt ten jest maskowany przez wypadkowy moment magnetyczny atomów. Diamagnetykami są na przykład te ciała, których atomy lub jony posiadają wypełnione powłoki elektronowe.", "Jeżeli atom diamagnetyczny umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym to na elektrony działa siła magnetyczna \\( \\mathbf{F} = e\\mathbf{v} \\times \\mathbf{B} \\), która powoduje zmianę siły dośrodkowej działającej na elektron i zmienia prędkość kątową elektronów.", "Zmiana ta zależy od kierunku ruchu elektronu względem pola \\( B \\) i dlatego nie jest jednakowa dla wszystkich elektronów. Oznacza to, że momenty magnetyczne elektronów przestały się kompensować. W zewnętrznym polu magnetycznym \\( B \\) został wyindukowany moment magnetyczny, o kierunku przeciwnym do \\( B \\). W efekcie próbka diamagnetyczna jest odpychana od bieguna silnego magnesu, a jej podatność magnetyczna \\( \\chi \\) jest ujemna.", "Przykładem idealnego diamagnetyka, który całkowicie wypycha pole magnetyczne ze swego wnętrza, są nadprzewodniki, czyli materiały wykazujące m.in. zerowy opór elektryczny w niskich temperaturach. Pokazano to na poniższym filmie:", "Paramagnetykami są ciała, których atomy posiadają wypadkowy moment magnetyczny różny od zera. Przykładem mogą być atomy o nieparzystej liczbie elektronów, w których wypadkowy spin elektronów będzie zawsze większy od zera.", "Podatność paramagnetyków ma wartość nieznacznie większą od zera. W zewnętrznym polu magnetycznym atomowe dipole magnetyczne dążą do ustawienia równoległego do kierunku pola. Jednak ten proces jest silnie zakłócany przez energię drgań termicznych (energię cieplną) tak, że efektywny moment magnetyczny jest dużo mniejszy od maksymalnego, możliwego do uzyskania. Te ruchy cieplne są odpowiedzialne za to, że po usunięciu pola magnetycznego znika namagnesowanie i momenty dipolowe paramagnetyka są całkowicie nieuporządkowane.", "Dla paramagnetyków (nie zawierających elektronów swobodnych) podatność magnetyczna zależy od temperatury zgodnie z prawem Curie.", "Jedną z nietypowych substancji paramagnetycznych jest tlen, co można zobrazować po jego skropleniu:" ]

[]

[ "Istnieją pierwiastki takie, jak Fe, Co, Ni oraz wiele różnych stopów, w których obserwujemy uporządkowanie magnetyczne pomimo, przeciwdziałających temu, ruchów termicznych atomów. Substancje te zwane ferromagnetykami charakteryzują się dużą podatnością, przy czym wielkość namagnesowania zależy zarówno od pola magnesującego, jak i od tego czy były one magnesowane wcześniej.", "Jest to związane z silnym oddziaływaniem wymiennym jakie występuje pomiędzy spinowymi momentami magnetycznymi atomów. Ferromagnetyzm jest więc własnością kryształów, a nie pojedynczych atomów.", "Poszczególne atomy (tak jak w paramagnetyku) posiadają momenty magnetyczne, które podczas krystalizacji, w wyniku oddziaływania wymiennego, ustawiają się równolegle do siebie w dużych obszarach kryształu zwanych domenami. Każda domena jest więc całkowicie magnetycznie uporządkowana. Natomiast kierunki momentów magnetycznych poszczególnych domen są różne i próbka jako całość może nie mieć wypadkowego namagnesowania.", "Zjawisko porządkowania momentów magnetycznych w domeny prezentuje poniższy film", "Na Rys. 1 pokazano fragment nienamagnesowanego ferromagnetyka. Linie pokazują granice domen, a strzałki oznaczają kierunek momentu magnetycznego w domenie.", "Jeżeli taki materiał ferromagnetyczny umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym zaobserwujemy, że próbka uzyskuje duże namagnesowanie w relatywnie niskim polu magnetycznym. Dzieje się tak dlatego, że momenty magnetyczne atomów wewnątrz domen dążą do ustawienia się zgodnie z polem oraz, że przesuwają się ściany domen: domeny zorientowane zgodnie z polem rosną kosztem domen o innej orientacji.", "Ten proces nie jest całkowicie odwracalny. Po usunięciu pola granice domen nie wracają do położeń początkowych i materiał pozostaje namagnesowany trwale. Zjawisko to nazywamy histerezą magnetyczną.", "Na Rys. 2 pokazana jest krzywa (ab) namagnesowania ferromagnetyka (początkowo nienamagnesowanego) i towarzysząca jej pętla histerezy (bcdeb).", "Nienamagnesowany (punkt a) materiał ferromagnetyczny magnesujemy zewnętrznym polem magnetycznym \\( B_{0} \\) aż do wartości odpowiadającej punktowi b. Następnie zmniejszamy pole magnesujące do zera. Namagnesowanie materiału maleje, ale nie znika całkowicie (punkt c); materiał został namagnesowany trwale. Namagnesowanie w punkcie c nosi nazwę pozostałości magnetycznej.", "Następnie, ponownie zwiększamy pole magnesujące, ale w kierunku przeciwnym do namagnesowania. Trwałe namagnesowanie ferromagnetyka zostaje usunięte dopiero po osiągnięciu wartości pola magnetycznego nazywanego polem koercji (punkt d). Dalsze zwiększanie pola magnesującego pozwala ponownie namagnesować materiał, ale w nowym kierunku (punkt e). Możemy teraz powtórzyć postępowanie opisane powyżej i w efekcie powrócić do punktu b. Krzywa (bcdeb) nosi nazwę pętli histerezy.", "Pozostałość magnetyczna i pole koercji są parametrami, które decydują o przydatności danego materiału jako magnesu trwałego. Duża pozostałość magnetyczna gwarantuje, że będziemy mieli silny magnes, a duże pole koercji, że będzie on trwały (nie zostanie łatwo rozmagnesowany). Materiałami, które posiadają najlepsze wartości tych parametrów są obecnie SmCo \\( _{5} \\) i Nd \\( _{2} \\)Fe \\( _{14} \\)B.", "O przydatności ferromagnetyka jako magnesu trwałego decyduje również zależność jego podatności od temperatury, bo powyżej pewnej charakterystycznej temperatury \\( T_{C} \\) ferromagnetyk staje się paramagnetykiem. Temperaturę \\( T_{C} \\) nazywamy temperaturą Curie. Z punktu widzenia zastosowań istotne jest, aby materiał ferromagnetyczny miał możliwie wysoką temperaturę przejścia w stan paramagnetyczny." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Każde jądro atomowe składa się z protonów i neutronów wiązanych siłami jądrowymi, niezależnymi od ładunku. Ponieważ neutron i proton mają prawie taką samą masę i bardzo zbliżone inne własności, obydwa określa się wspólną nazwą nukleon. Nazwa nuklid jest używana zamiennie z terminem jądro.", "Nuklidy o tej samej liczbie protonów, różniące się liczbą neutronów nazywamy izotopami. Łączną liczbę protonów i neutronów w jądrze nazywamy liczbą masową jądra i oznaczamy literą \\( A \\). Liczba neutronów jest dana równaniem \\( A-Z \\), gdzie \\( Z \\) jest liczbą protonów zwaną liczbą atomową. Wartość liczby \\( A \\) dla jądra atomowego jest bardzo bliska masie odpowiadającego mu atomu. Atom pierwiastka X o liczbie atomowej \\( Z \\) i liczbie masowej \\( A \\) oznaczamy symbolem \\( _{Z}^{A} \\)X.", "Wyniki pomiarów rozpraszania wysokoenergetycznych protonów lub neutronów na jądrach atomowych pozwalają wyznaczyć rozkład masy w jądrze i jego rozmiar. \\( Z \\) tych pomiarów wynika, że jądra mają kształt kulisty oraz że średni promień dla wszystkich jąder (oprócz najmniejszych) jest dany wyrażeniem", "W tabeli przedstawione zostały gęstości wybranych obiektów między innymi gęstość jądra uranu \\( \\rho \\) = 10 \\( ^{17 } \\)kg/m \\( ^{3} \\). Obliczymy teraz tę gęstość na podstawie wzoru ( 1 ).", "Dla jądra o promieniu \\( R \\) i liczbie masowej \\( A \\) liczba cząstek na jednostkę objętości wynosi", "Gęstość \\( \\rho \\) obliczamy jako iloczyn liczby nukleonów N w jądrze i masy nukleonu. Masa protonu jest z dobrym przybliżeniem równa masie neutronu i wynosi \\( M \\) = 1.67·10 \\( ^{-27} \\) kg. Stąd", "Zauważmy, że gęstość materii jądrowej nie zależy od rozmiarów jądra, ponieważ jego objętość jest proporcjonalna do liczby masowej \\( A \\)." ]

[]

[ "Oddziaływania grawitacyjne, elektromagnetyczne nie pozwalają na wyjaśnienie struktury jądra atomowego. Aby wyjaśnić co tak silnie wiąże nukleony w jądrach atomowych, trzeba wprowadzić nowe oddziaływanie. Ta siła wiążąca musi być większa niż siła odpychania elektrostatycznego występująca pomiędzy protonami. Określamy ją mianem siły jądrowej lub oddziaływania silnego.", "Potencjał opisujący to oddziaływanie jest pokazany na Rys. 1 w porównaniu z potencjałem elektrostatycznego odpychania proton - proton.", "Oddziaływanie proton - proton, proton - neutron i neutron - neutron jest identyczne (jeżeli zaniedbamy relatywnie małe efekty odpychania elektrostatycznego) i nazywamy go oddziaływaniem nukleon - nukleon.", "Masy atomowe i energie wiązań można wyznaczyć doświadczalnie w oparciu o spektroskopię masową lub bilans energii w reakcjach jądrowych. W Tabela 1 poniżej zestawione są masy atomowe i energie wiązań \\( \\Delta E \\) jąder atomów wybranych pierwiastków.", "Masy atomowe i energie wiązań jąder atomów Z", "Analizując bliżej dane zestawione w Tabela 1 można uzyskać dalsze informacje o jądrach atomowych. Dla przykładu porównajmy masę atomu \\( {{_{{2}}^{{4}}}{}{}{\\text{}}{}\\text{He}} \\) z sumą mas jego składników. Z Tabela 1 można odczytać", "\\( M({{_{{2}}^{{4}}}{}{}{\\text{}}{}\\text{He}}) \\)= 4.0026033 u.", "Natomiast całkowita masa jego składników równa jest sumie mas dwu atomów wodoru \\( {{_{{1}}^{{1}}}{}{}{\\text{}}{}H} \\) i dwu neutronów:", "\\( 2M({{_{{1}}^{{1}}}{}{}{\\text{}}{}H}) \\) + \\( 2M({{_{{0}}^{{1}}}{}{}{\\text{}}{}n}) \\) = 2·1.0078252 u + 2·1.0086654 u = 4.0329812 u.", "Masy dwu elektronów są uwzględnione w masie helu jak i w masach dwóch atomów wodoru. Zauważmy, że masa helu jest mniejsza od masy składników o wartość 0.0303779 u. Analogiczny rachunek pokazuje, że dla każdego atomu jego masa jest mniejsza od masy składników o wielkość \\( \\Delta M \\) zwaną niedoborem masy lub defektem masy.", "Wynik ten jest świadectwem istnienia energii wiązania jąder jak i równoważności masy i energii. Zauważmy, że energia nukleonów tworzących jądro zmienia się w miarę ich zbliżania od wartości E = 0 dla nukleonów swobodnych ( \\( r \\rightarrow \\infty \\)) do wartości ujemnej \\( E<0 \\) dla nukleonów w jądrze (zob. Rys. 1 ). Oznacza to, że gdy układ oddzielnych swobodnych nukleonów łączy się w jądro energia układu zmniejsza się o wartość \\( \\Delta E \\) energii wiązania jądra.", "Zgodnie ze wzorem Einsteina całkowita energia spoczywającego jądra jest związana z jego masą zależnością (patrz uzupełnienie) \\( {E={mc}^{{2}}} \\). Oznacza to, że zmniejszeniu o \\( \\Delta E \\) całkowitej energii układu musi towarzyszyć, zgodnie z teorią względności, zmniejszenie masy układu o \\( \\Delta M \\)", "W ostatniej kolumnie Tabela 1 podana jest wielkość energii wiązania przypadającej na nukleon w jądrze \\( \\Delta E/A \\). Jest to jedna z najważniejszych cech charakteryzujących jądro. Zauważmy, że początkowo wielkość \\( \\Delta E/A \\) wzrasta ze wzrostem liczby \\( A \\), ale potem przybiera w przybliżeniu stałą wartość około 8 MeV. Wyniki średniej energii wiązania na nukleon w funkcji liczby masowej jądra \\( A \\) są pokazane na Rys. 2 poniżej.", "Widzimy, że najsilniej są wiązane nukleony w jądrach pierwiastków ze środkowej części układu okresowego. Gdyby każdy nukleon w jądrze przyciągał jednakowo każdy z pozostałych nukleonów to energia wiązania byłaby proporcjonalna do \\( A \\) (wielkość \\( \\Delta E/A \\) byłaby stała). To, że tak nie jest wynika głównie z krótkiego zasięgu sił jądrowych." ]

[]

[ "Rozpady jądrowe zachodzą zawsze (prędzej czy później) jeśli jądro o pewnej liczbie nukleonów znajdzie się w stanie energetycznym, nie będącym najniższym możliwym dla układu o tej liczbie nukleonów. Takie nietrwałe (w stanach niestabilnych) jądra mogą powstać w wyniku reakcji jądrowych. Niektóre reakcje są wynikiem działań laboratoryjnych, inne dokonały się podczas powstawania naszej części Wszechświata.", "Jądra nietrwałe pochodzenia naturalnego są nazywane promieniotwórczymi, a ich rozpady noszą nazwę rozpadów promieniotwórczych. Rozpady promieniotwórcze dostarczają wielu informacji zarówno o jądrach atomowych ich budowie, stanach energetycznych, oddziaływaniach ale również wielu zasadniczych informacji o pochodzeniu Wszechświata.", "Badając własności promieniotwórczości stwierdzono, że istnieją trzy rodzaje promieniowania alfa ( \\( \\alpha \\)), beta( \\( \\beta \\)) i gamma ( \\( \\gamma \\)). Po dalszych badaniach stwierdzono, że promienie \\( \\alpha \\) to jądra helu, promienie \\( \\gamma \\) to fotony, a promienie \\( \\beta \\) to elektrony lub pozytony (cząstka elementarna dodatnia o masie równej masie elektronu).", "Szczególnie ważnym rozpadem promieniotwórczym jest rozpad alfa ( \\( \\alpha \\)) występujący zazwyczaj w jądrach o \\( Z \\) ≥ 82. Rozpad alfa polega na przemianie niestabilnego jądra w nowe jądro przy emisji jądra \\( ^{4} \\)He tzn. cząstki \\( \\alpha \\).", "Zgodnie z Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 dla ciężkich jąder energia wiązania pojedynczego nukleonu maleje ze wzrostem liczby masowej, więc zmniejszenie liczby nukleonów (w wyniku wypromieniowania cząstki \\( \\alpha \\)) prowadzi do powstania silniej związanego jądra. Proces zachodzi samorzutnie bo jest korzystny energetycznie. Energia wyzwolona w czasie rozpadu (energetyczny równoważnik niedoboru masy) jest unoszona przez cząstkę \\( \\alpha \\) w postaci energii kinetycznej. Przykładowa reakcja dla jądra uranu wygląda następująco", "Istnieją optymalne liczby protonów i neutronów, które tworzą jądra najsilniej związane (stabilne). Jądra, których ilość protonów \\( Z \\) różni się od wartości odpowiadającej stabilnym jądrom o tej samej liczbie masowej \\( A \\), mogą zmieniać \\( Z \\) w kierunku jąder stabilnych poprzez rozpad beta ( \\( \\beta \\)).", "Jeżeli rozpatrywane jądro ma większą od optymalnej liczbę neutronów to w jądrze takim zachodzi przemiana neutronu w proton", "Neutron n rozpada się na proton p, elektron e \\( ^{-} \\) i antyneutrino \\( {\\overline{{v}}} \\) (cząstka elementarna o zerowym ładunku i praktycznie zerowej masie spoczynkowej). Ten proces nosi nazwę rozpadu \\( \\beta \\) \\( ^{-} \\) (beta minus). Przykładem takiej przemiany jest rozpad uranu \\( ^{239} \\)U", "Powstały izotop też nie jest trwały i podlega dalszemu rozpadowi", "Zauważmy, że w takim procesie liczba protonów \\( Z \\) wzrasta o jeden, a liczba nukleonów \\( A \\) pozostaje bez zmiany. \\( Z \\) kolei, gdy jądro ma nadmiar protonów to zachodzi proces przemiany protonu w neutron", "Proton p rozpada się na neutron n, pozyton e \\( ^{-} \\) i neutrino v (cząstka elementarna o własnościach bardzo zbliżonych do antyneutrina). Ten proces nosi nazwę rozpadu \\( \\beta ^{+} \\) (beta plus). W tym procesie liczba protonów \\( Z \\) maleje o jeden, a liczba nukleonów \\( A \\) pozostaje bez zmiany.", "Pierwiastki powstające w rozpadach alfa i beta są na ogół także promieniotwórcze i ulegają dalszemu rozpadowi. Większość naturalnych pierwiastków promieniotwórczych można podzielić na trzy grupy, nazywane szeregami promieniotwórczymi. W szeregu uranu rozpoczynającym się od \\( _{\\text{92}}^{\\text{238}} \\)U liczby masowe zmieniają się według wzoru 4n + 2. W szeregu aktynu rozpoczynającym się od \\( _{\\text{92}}^{\\text{235}} \\)U liczby masowe zmieniają się według wzoru 4n + 3, a w szeregu toru rozpoczynającym się od \\( _{\\text{90}}^{\\text{232}} \\)Th liczby masowe są opisane wzorem 4n. Wszystkie trzy szeregi kończą się na trwałych izotopach ołowiu.", "Każdy naturalny materiał promieniotwórczy zawiera wszystkie pierwiastki wchodzące w skład danej rodziny i dlatego promieniowanie wysyłane, np. przez minerały jest bardzo złożone.", "Rozpadom alfa i beta towarzyszy zazwyczaj emisja wysokoenergetycznego promieniowania elektromagnetycznego zwanego promieniowaniem gamma ( \\( \\gamma \\)). Ta samoczynna emisja fotonów następuje gdy jądra posiadające nadmiar energii czyli znajdujące się w stanie wzbudzonym przechodzą do niższych stanów energetycznych. Widmo promieniowania \\( \\gamma \\) ma charakter liniowy tak jak charakterystyczne promieniowanie X i bardzo wysoką energię, tysiące razy większą od energii fotonów wysyłanych przez atomy.", "Jądra w stanie wzbudzonym można również otrzymać za pomocą neutronów o małej energii. Przykładowo, jeżeli skierujemy wiązkę takich powolnych neutronów na próbkę uranu \\( ^{238} \\)U, to część neutronów zostanie wychwyconych i powstaną jądra uranu \\( ^{239} \\)U* w stanie wzbudzonym (oznaczone *). Takie jądra przechodzą do stanu podstawowego emitując kwanty \\( \\gamma \\). Proces ten przebiega następująco", "oraz", "Podkreślmy, że emisji promieniowania gamma nie towarzyszy zmiana liczby masowej ani liczby atomowej." ]

[]

[ "Rozpatrzmy układ zawierający w chwili początkowej wiele jąder tego samego rodzaju. Jądra te podlegają rozpadowi promieniotwórczemu ( \\( \\alpha \\) lub \\( \\beta \\)). Chcemy określić liczbę jąder pozostałych po czasie \\( t \\) od chwili początkowej to jest tych, które nie uległy rozpadowi.", "W tym celu oznaczamy przez \\( N \\) liczbę jąder w materiale, w chwili \\( t \\). Wtedy \\( dN \\) jest liczbą jąder, które rozpadają się w czasie \\( dt \\), tzn. w przedziale \\( (t, t + dt) \\). Spodziewana liczba rozpadów (liczba jąder, które się rozpadną) w czasie \\( dt \\) jest dana wyrażeniem", "gdzie \\( \\lambda \\) jest stałą rozpadu. Określa ona prawdopodobieństwo rozpadu w jednostce czasu. Stała \\( \\lambda \\) nie zależy od czynników zewnętrznych takich, jak temperatura czy ciśnienie. Znak minus w równaniu ( 1 ) wynika stąd, że \\( dN \\) jest liczbą ujemną, bo liczba jąder \\( N \\) maleje z czasem.", "Zależność ( 1 ) opisuje doświadczalny fakt, że liczba jąder rozpadających się w jednostce czasu jest proporcjonalna do aktualnej liczby jąder \\( N \\). Równanie to możemy przekształcić do postaci", "a następnie scałkować obustronnie", "Skąd", "lub", "Skąd ostatecznie otrzymujemy wykładnicze prawo rozpadu.", "Często wyraża się \\( N \\) poprzez średni czas życia jąder \\( \\tau \\), który z definicji jest równy odwrotności stałej rozpadu \\( \\lambda \\)", "Możemy teraz przepisać prawo rozpadu w postać", "Do scharakteryzowania szybkości rozpadu używa się czasu połowicznego rozpadu (zaniku) \\( T \\). Jest to taki czas, po którym liczba jąder danego rodzaju maleje do połowy to znaczy \\( N \\) = (½) \\( N_{0} \\). Podstawiając tę wartość do równania ( 8 ), otrzymujemy", "Skąd", "i ostatecznie", "Czasy połowicznego zaniku pierwiastków leżą w bardzo szerokim przedziale. Przykładowo dla uranu \\( ^{238} \\)U czas połowicznego zaniku wynosi 4.5·10 \\( ^{9} \\) lat (jest porównywalny z wiekiem Ziemi), a dla polonu \\( ^{212} \\)Po jest rzędu 10 \\( ^{-6} \\)s." ]

[]

[ "Z modułu Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 wynika, że energia wiązania na jeden nukleon wzrasta z liczbą masową aż do \\( A \\) > 50. Dzieje się tak dlatego, że dany nukleon jest przyciągany przez coraz większą liczbę sąsiednich nukleonów. Jednak przy dalszym wzroście liczby nukleonów nie obserwujemy wzrostu energii wiązania nukleonu w jądrze, a jej zmniejszanie.", "Wyjaśnienie tego efektu można znaleźć, analizując Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 1. Widać na nim, że siły jądrowe mają bardzo krótki zasięg i jeżeli odległość między dwoma nukleonami jest większa niż 2.5·10 \\( ^{-15} \\) m to oddziaływanie pomiędzy nimi jest słabsze. Jądra zawierające dużą liczbę nukleonów mają większe rozmiary i odległości pomiędzy poszczególnymi nukleonami mogą być relatywnie duże, a stąd słabsze przyciąganie pomiędzy nimi.", "Konsekwencją takich zmian energii wiązania ze wzrostem liczby nukleonów w jądrze jest występowanie zjawisk rozszczepienia i syntezy jądrowej.", "Jeżeli ciężkie jądro rozdzielimy na dwie części, to powstałe dwa mniejsze jądra są silniej wiązane od jądra wyjściowego, to znaczy te dwie części mają masę mniejszą niż masa jądra wyjściowego. Dzięki temu w reakcji rozszczepienia wydziela się energia. Źródłem energii bomby atomowej i reaktora jądrowego są procesy rozszczepienia jądrowego.", "Spontaniczne rozszczepienie naturalnego jądra jest na ogół mniej prawdopodobne niż rozpad \\( \\alpha \\) tego jądra. Można jednak zwiększyć prawdopodobieństwo rozszczepienia, bombardując jądra neutronami o odpowiednio wysokiej energii. Właśnie takie neutrony powodują reakcje rozszczepienia uranu \\( ^{235} \\)U i plutonu \\( ^{239} \\)Pu.", "Analizując liczby masowe i atomowe pierwiastków (na podstawie ), można zauważyć, że pierwiastki lekkie zawierają w jądrze zbliżone ilości protonów i neutronów podczas, gdy dla pierwiastków ciężkich przeważa liczba neutronów.", "W związku z tym w reakcji rozszczepienia powstaje na ogół kilka neutronów. W konsekwencji rozszczepienie jądrowe może stać się procesem samopodtrzymującym w wyniku tak zwanej reakcji łańcuchowej. Jeżeli przynajmniej jeden z powstałych neutronów wywoła kolejne rozszczepienie to proces będzie sam się podtrzymywał. Ilość materiału powyżej, której spełniony jest powyższy warunek nazywamy masą krytyczną.", "Jeżeli liczba rozszczepień na jednostkę czasu jest utrzymywana na stałym poziomie to mamy do czynienia z kontrolowaną reakcją łańcuchową. Po raz pierwszy taką reakcję rozszczepienia przeprowadzono (E. Fermi) na Uniwersytecie Chicago w 1942 r.", "Masa materiału rozszczepianego (np. \\( ^{235} \\)U czy \\( ^{239} \\)Pu) może też być nadkrytyczna. Wówczas neutrony powstałe w wyniku jednego rozszczepienia wywołują więcej niż jedną reakcję wtórną. Mamy do czynienia z lawinową reakcją łańcuchową. Cała masa nadkrytyczna może być rozszczepiona (zużyta) w bardzo krótkim czasie, \\( t = \\)0.001 s, ze względu na dużą prędkość neutronów (3·10 \\( ^{5} \\) m/s). Tak eksploduje bomba atomowa. Najczęściej przygotowuje się kulę o masie nadkrytycznej, ale rozrzedzonej. Następnie otacza się ją klasycznymi ładunkami wybuchowymi, których detonacja wywołuje wzrost ciśnienia zewnętrznego i gwałtownie zwiększenie gęstości materiału (zmniejsza się objętość kuli). W konsekwencji osiągnięty zostaje stan nadkrytyczny.", "Oczywiście w elektrowniach atomowych spalanie paliwa odbywa się bardzo powoli. W związku z tym konieczne jest spowalnianie neutronów i dobór warunków stacjonarnej pracy reaktora. Wymaga to stosowania skomplikowanych instalacji dużo droższych niż w elektrowniach konwencjonalnych spalających węgiel. Dodatkowe, bardzo znaczne koszty w elektrowni atomowej są związane z budową i eksploatacją systemu ochrony i zabezpieczeń oraz ze składowaniem odpadów promieniotwórczych. Jednak pomimo tak wysokich kosztów energia jądrowa skutecznie konkuruje z paliwem tradycyjnym i jest bardziej ekonomiczna na dużą skalę. Również zanieczyszczenia powstające przy spalaniu węgla w tradycyjnych elektrowniach stanowią nie mniejszy (a w opinii wielu znacznie większy) problem niż odpady promieniotwórcze.", "Energia jądrowa powinna ułatwić pokrycie światowego zapotrzebowania na energię w obliczu wyczerpywania się tradycyjnych źródeł energii." ]

[]

[ "Z analizy Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 wynika, że masa dwóch lekkich jąder jest większa niż masa jądra powstającego po ich połączeniu. Jeżeli więc takie jądra zbliżymy do siebie na dostatecznie małą odległość, to z ich połączenia powstawanie nowe jądro i wydzieli się energia związana z różnicą mas.", "Przykładowo przy połączeniu dwóch deuteronów \\( _{1}^{2}\\text{H} \\) (jądro izotopu wodoru) w jądro helu, \\( 0.6\\% \\) masy zostanie zamieniona na energię. Zauważ, że ta metoda jest wydajniejsza od rozszczepiania jąder uranu (zob. moduł Rozszczepienie jąder atomowych-Porównanie elektrowni konwencjonalnych z atomowymi ). Poza tym dysponujemy nieograniczonym źródłem deuteru w wodzie mórz i oceanów.", "Jednak istnieje przeszkoda w otrzymywaniu energii tą metodą. Jest nią odpychanie kulombowskie, które nie pozwala zbliżyć się deuteronom na odległość niezbędną do ich połączenia (porównywalną z zasięgiem przyciągających sił jądrowych). Reakcja ta nie jest możliwa w temperaturze pokojowej, ale byłaby możliwa, gdyby deuter mógł być ogrzany do temperatury około 5·10 \\( ^{7} \\) K.", "Reakcje, które wymagają takich temperatur nazywamy reakcjami termojądrowymi. Temperatury osiągane podczas wybuchu bomby atomowej są wystarczające do zapoczątkowania takiej reakcji. Raz zapoczątkowana reakcja termojądrowa wytwarza dostateczną ilość energii do utrzymania wysokiej temperatury (dopóki materiał nie zostanie spalony). Tak działa bomba wodorowa.", "Nam jednak zależy na uzyskaniu użytecznej energii z reakcji syntezy jądrowej, to znaczy na prowadzeniu reakcji w sposób kontrolowany. Dlatego prowadzone są próby skonstruowania reaktora termojądrowego. Podstawowym problemem jest utrzymanie gazu o tak wysokiej temperaturze, w pewnej ograniczonej objętości. Czas trwania reakcji musi być wystarczająco długi żeby wytworzona energia była większa od energii zużytej na uzyskanie tak gorącego gazu (uruchomienie reaktora). Stwarza to wiele problemów technicznych i jak dotąd nie udało się przeprowadzić zakończonej sukcesem kontrolowanej reakcji termojądrowej.", "W przyrodzie obserwuje się ciągłe wytwarzanie energii termojądrowej. Procesy termojądrowe są źródłem energii gwiazd w tym i „naszego” Słońca." ]

[]

[ "Ewolucja wielu gwiazd rozpoczyna się od wyodrębnienia się chmury wodoru z materii międzygwiezdnej. Chmura ta zapada się pod wpływem siły grawitacji. Zagęszczaniu materii pod wpływem grawitacji towarzyszy wzrost temperatury do momentu, aż osiągnięte zostaje stadium protogwiazdy.", "Ponieważ energia protogwiazdy, źródłem której jest grawitacyjne zapadanie się, zmniejsza się przez promieniowanie elektromagnetyczne (protogwiazda świeci) trwa dalsze jej kurczenie się aż do pojawienia się nowego źródła energii, które może temu przeciwdziałać. Tym nowym źródłem są reakcje termojądrowe.", "Obliczmy teraz rozmiar (promień) Słońca w funkcji jego masy. W tym celu zakładamy, że gęstość Słońca jest stała (w rzeczywistości rdzeń ma większą gęstość niż warstwy przy powierzchni), a jego masę przyjmujemy równą \\( M_{S} \\) = 2·10 \\( ^{30} \\) kg.", "Zapadanie się masy gazu w Słońcu zostanie zatrzymane, gdy ciśnienie termiczne wywołane ogrzewaniem gazu przez energię z reakcji termojądrowych wyrówna ciśnienie grawitacyjne. Obliczamy więc ciśnienie grawitacyjne wewnątrz jednorodnej kuli o promieniu \\( R \\). Korzystamy z równania \\( {p=\\rho \\overline{{g}}h} \\), gdzie \\( {\\overline{{g}}=\\frac{1}{2}g} \\) jest wartością średnią przyspieszenia (na powierzchni kuli przyspieszenie jest równe \\( g \\), a w środku przyspieszenie jest równe zeru). Stąd", "gdzie \\( {g=\\frac{{GM}_{{S}}}{R^{{2}}}} \\). Ostatecznie więc", "Na podstawie równania stanu gazu doskonałego ciśnienie termiczne gazu wynosi", "gdzie \\( m_{p} \\) jest masą protonu (masa atomu wodoru \\( {\\approx} \\) masa protonu).", "Porównanie tych dwóch ciśnień daje wyrażenie na promień Słońca", "skąd", "Teraz oceńmy, jaka jest najniższa temperatura potrzebna do zbliżenia dwóch protonów na odległość 2·10 \\( ^{-15} \\)m wystarczającą do ich połączenia się. Każdy proton ma energię \\( (3/2)kT \\), więc energia kinetyczna pary protonów jest równa \\( 3kT \\). Ta energia musi zrównoważyć energię odpychania elektrostatycznego równą \\( e^2 / 4 \\pi \\epsilon _0 R \\). Z porównania tych energii otrzymujemy temperaturę \\( T≈2.8·10^{9} \\) K.", "We wnętrzu gwiazdy wystarcza temperatura o jeden lub nawet dwa rzędy wielkości niższa, bo zawsze znajdzie się wystarczająca ilość protonów o prędkościach większych od średniej (przypomnij sobie Maxwella rozkład prędkości - moduł Rozkład Maxwella prędkości cząstek ), aby podtrzymać reakcję. Tak więc temperatura, dla której zaczynają zachodzić reakcje termojądrowe jest rzędu 10 \\( ^{7} \\) K. Na podstawie tych danych otrzymujemy wartość promienia Słońca zbliżoną do wartości obserwowanej \\( R = 7·10^{8} \\) m.", "Temperatura rzędu 10 \\( ^{7} \\) K jest więc dostatecznie wysoka, aby wywołać następujące reakcje termojądrowe", "gdzie \\( D \\) oznacza izotop wodoru \\( _1^2\\text{H} \\) - deuter. Ten ciąg reakcji termojądrowych pokazany na Rys. 1 jest znany jako cykl wodorowy.", "W cyklu wodorowym wytworzona zostaje cząstka alfa, 2 pozytony, 2 neutrina i 2 fotony gamma. Masa jądra helu stanowi \\( 99.3\\% \\) masy czterech protonów więc wydziela się energia związana z różnicą mas. Cykl wodorowy jest głównym mechanizmem produkcji energii przez Słońce i inne gwiazdy bogate w wodór.", "Energia wytwarzana przez Słońce jest ogromna. W ciągu sekundy 592 miliony ton wodoru zamieniają się w 587.9 milionów ton helu. Różnica tj. 4.1 miliony ton jest zamieniana na energię (w ciągu sekundy). Odpowiada to mocy około 4·10 \\( ^{26} \\) W." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia, poruszających się względem siebie (zob. Rys. 1 ). W tym celu wyobraźmy sobie, obserwatora na Ziemi, który rejestruje dwa zdarzenia (na przykład dwie eksplozje) zachodzące na pewnej, jednakowej wysokości.", "Odległość między miejscami wybuchów wynosi (według ziemskiego obserwatora) \\( \\Delta x \\), natomiast czas między wybuchami \\( \\Delta t \\). Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez pasażera samolotu lecącego z prędkością \\( V \\) po linii prostej łączącej miejsca wybuchów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem różnica położeń wybuchów wynosi \\( \\Delta x' \\), a różnica czasu \\( \\Delta t' \\).", "Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to na przykład z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie samolotu. Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie \\( x_{1} \\)’ (wg samolotu), a drugi po czasie \\( \\Delta t \\), to w tym czasie samolot przeleciał drogę \\( V\\Delta t \\) (względem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie", "czyli", "Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to \\( \\Delta y' = \\Delta z' \\) = 0. Oczywistym wydaje się też, że \\( \\Delta t' = \\Delta t \\). Otrzymaliśmy więc wzory przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego", "Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza.", "Sprawdźmy czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu, w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a.", "W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi", "Jego przyspieszenie jest stałe i równe \\( a \\). Natomiast obserwator w pojeździe poruszającym się wzdłuż osi \\( x \\) ze stałą prędkością \\( V \\) rejestruje, że w czasie \\( \\Delta t' \\) ciało przebywa odległość \\( \\Delta x' \\). Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi", "Zgodnie z transformacją Galileusza \\( \\Delta x' = \\Delta x - V\\Delta t \\), oraz \\( \\Delta t' = \\Delta t \\), więc", "Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego, co jest wynikiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się wynosi", "Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy innymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw Maxwella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być sama w każdym układzie odniesienia. Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w kierunku \\( x \\) jest obserwowany przez dwóch obserwatorów pokazanych na Rys. 1 to zarówno obserwator nieruchomy jak poruszający się z prędkością \\( V \\) (względem pierwszego) zmierzą identyczną prędkość impulsu \\( c = 2.998·10^{8} \\) m/s. Tymczasem zgodnie z transformacją Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość \\( c - V \\).", "Wykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania Maxwella, a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Najsławniejsze z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny i musimy uznać, że", "Niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości światła, pomówione zostały w modułach Transformacja Lorentza oraz Dylatacja czasu." ]

[]

[ "Rozpatrzmy rakietę, w której znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez zwierciadło Z, odległe o \\( d \\), powraca do tego punktu A, gdzie jest rejestrowany (zob. Rys. 1 ).", "Czas \\( \\Delta t' \\) jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie ( Rys. 1a) jest oczywiście równy \\( \\Delta t' = 2d/c \\). Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego obserwatora ( Rys. 1b), względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością \\( V \\). Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas \\( \\Delta t \\) przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na Rys. 1b światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z, porusza się po linii o długości \\( S \\)", "Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (to jest dwóch odcinków o długości \\( S \\)) wynosi", "Przekształcając to równanie, otrzymujemy ostatecznie", "Widzimy, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny. Prowadzi to do efektu tzw. dylatacji czasu.", "To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, więc i biologicznego starzenia się.", "Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie między innymi za pomocą nietrwałych cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę ich czasu połowicznego zaniku." ]

[]

[ "Szukamy ponownie (jak przy module Transformacja Galileusza ) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych, ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą \\( c \\) w układzie nieruchomym \\( (x, y, z, t) \\), również w układzie \\( (x', y', z', t') \\) poruszającym się z prędkością \\( V \\) wzdłuż osi \\( x \\) będzie poruszać się z prędkością \\( c \\). Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać", "\\( {x^\\prime=\\frac{x-\\text{Vt}}{\\sqrt{1-\\frac{V^{{2}}}{c^{{2}}}}}=\\frac{x-\\text{Vt}}{\\sqrt{1-\\beta^{{2}}}}} \\), \\( y^\\prime=y \\), \\( z^\\prime=z \\), \\( {t^\\prime=\\frac{t-\\frac{V}{c^{{2}}}x}{\\sqrt{1-\\frac{V^{{2}}}{c^{{2}}}}}=\\frac{t-\\frac{V}{c^{{2}}}x}{\\sqrt{1-\\beta^{{2}}}}} \\),", "gdzie \\( \\beta = V/c \\). Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.", "Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi \\( x' \\) (czyli także wzdłuż osi \\( x \\), bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie \\( \\Delta t' \\) = \\( t_{2} \\)'- \\( t_{1} \\)' = 0, ale w rożnych miejscach \\( x_{2} \\)' - \\( x_{1} \\)' = \\( \\Delta x' \\) \\( {\\neq} \\) 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że", "oraz", "Łącząc te równania, otrzymujemy związek", "Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne \\( \\Delta t' \\) = 0, to otrzymamy ostatecznie", "Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne.", "Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością \\( V \\), wzdłuż osi \\( x' \\) leży pręt o długości \\( L' \\). Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.", "Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to \\( \\Delta x'= L' \\). Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym), to dodatkowo \\( \\Delta t \\) = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza", "gdzie \\( \\Delta x \\) jest długością pręta \\( L \\) w układzie nieruchomym. Stąd", "Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy." ]

[]

[ "Zajmiemy się przypadkiem, gdy obiekt ma już pewną prędkość \\( U_{x} \\)' w ruchomym układzie odniesienia (to jest względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość \\( U_{x} \\) zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością \\( V \\) wzdłuż osi \\( x \\). Z transformacji Lorentza wynika, że", "oraz", "Dzieląc te równania przez siebie, otrzymujemy", "a po podstawieniu \\( {U_{{x}}'=\\frac{\\mathit{\\Delta x'}}{\\mathit{\\Delta t'}}} \\) oraz \\( {U_{{x}}=\\frac{\\mathit{\\Delta x}}{\\mathit{\\Delta t}}} \\)", "Powyższe równanie można rozwiązać ze względu na \\( U_{x} \\)" ]

[]

[ "Aby odpowiedzieć na pytanie: jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona \\( F = dp/dt \\) może być stosowana i czy zasada zachowania pędu ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych.", "Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała \\( m \\) od jego prędkości \\( V \\), danej następującym wyrażeniem", "w którym \\( m_{0} \\) oznacza masę spoczynkową, czyli masę nieruchomego ciała. Zauważmy ponadto, że masa cząstki rośnie wraz z prędkością i zmierza do nieskończoności, gdy \\( V{\\rightarrow}c \\).", "Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły \\( F \\) działającej równolegle do kierunku ruchu. Zależność prędkości ciała od czasu obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona. Uwzględniając zależność masy od prędkości ( 1 ), otrzymujemy", "Porównanie zależność prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na Rys. 1. W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.", "Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych." ]

[]

[ "Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi związek", "gdzie \\( m \\) zależy od prędkości ciała \\( V \\) zgodnie z równaniem Zależność masy od prędkości w szczególnej teorii względności-( 1 ). To znane powszechnie równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową", "Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością \\( V \\) obliczamy, odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)", "Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała.", "Na zakończenie zobaczmy jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość \\( V \\) jest mała. Dla małego \\( V \\) równanie Zależność masy od prędkości w szczególnej teorii względności-( 1 ) można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci", "Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy", "Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa), natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiązania relatywistycznego." ]

[]

[]

[]

[ "Prawa fizyki wyrażają związki między różnymi wielkościami fizycznymi. Prawa te formułowane są w postaci równań matematycznych wyrażających ścisłe ilościowe relacje między tymi wielkościami, a to wiąże się zawsze z pomiarami określającymi liczbowo stosunek danej wielkości do przyjętej jednostki.", "Wiele z wielkości fizycznych jest współzależnych. Na przykład prędkość jest długością podzieloną przez czas, gęstość masą podzieloną przez objętość itd. Dlatego spośród wszystkich wielkości fizycznych wybieramy pewną ilość tak zwanych wielkości podstawowych, za pomocą których wyrażamy wszystkie pozostałe wielkości nazywane wielkościami pochodnymi. Z tym podziałem związany jest również wybór jednostek. Jednostki podstawowe wielkości podstawowych są wybierane (ustalane), a jednostki pochodne definiuje się za pomocą jednostek podstawowych.", "Aktualnie obowiązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI (Systeme International Unites). Układ SI ma siedem jednostek podstawowych i dwie uzupełniające niezbędne w sformułowaniach praw fizyki. Wielkości podstawowe i ich jednostki są zestawione w Tabela 1 poniżej.", "Definicje jednostek podstawowych są związane albo ze wzorcami jednostek albo z pomiarem. Przykładem jednostki związanej ze wzorcem jest masa. Obecnie światowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres (Francja). Natomiast przykładem jednostki związanej z pomiarem jest długość. Metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 s.", "Oprócz jednostek w fizyce posługujemy się pojęciem wymiaru jednostki danej wielkości fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po prostu ona sama. Natomiast dla jednostek pochodnych wymiar jest kombinacją jednostek podstawowych (w odpowiednich potęgach). Na przykład, jednostka siły ma wymiar kgm/s \\( {^2} \\) wynikający ze wzoru \\( F = ma \\). Niektóre jednostki pochodne mają swoje nazwy tak jak jednostka siły - Niuton.", "Wreszcie, oprócz jednostek podstawowych i pochodnych posługujemy się także jednostkami wtórnymi, które są ich wielokrotnościami. Wyraża się je bardzo prosto poprzez dodanie odpowiedniego przedrostka określającego odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest mnożnikiem dla jednostki (patrz Tabela 2 )." ]

[]

[ "Pole okręgu", "Pole kuli", "Objętość kuli" ]

[]

[ "W fizyce mamy do czynienia zarówno z wielkościami skalarnymi jak i wielkościami wektorowymi. Wielkości skalarne takie jak, np. masa, objętość, czas, ładunek, temperatura, praca, mają jedynie wartość. Natomiast wielkości wektorowe, np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, posiadają wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia. Poniżej przypominamy podstawowe działania na wektorach.", "W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów wyznaczonymi w wybranym układzie odniesienia.", "Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.", "W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.", "Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w tekście czcionką wytłuszczoną.", "Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych", "Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (zob. Rys. 2 ).", "Iloczyn skalarny dwóch wektorów \\( a \\cdot b \\) jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi", "Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych. Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.", "Iloczyn wektorowy dwóch wektorów \\( {\\bf a} \\times {\\bf b} \\) jest nowym wektorem \\( {\\bf c} \\), którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi", "Wektor \\( {\\bf c} \\) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory \\( {{\\bf a}} \\) i \\( {\\bf b} \\). Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora \\( {\\bf a} \\) do wektora \\( {\\bf b} \\) (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora \\( {\\bf c}={\\bf a} \\times {\\bf b} \\) tak jak na Rys. 3" ]

[]

[ "W celu przybliżenia pojęcia średniej ważonej rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia ze skrzynką zawierającą, np. jabłka o różnej masie. W skrzynce mamy \\( n_{1} \\) jabłek, każde o masie \\( m_{1} \\), oraz \\( n_{2} \\) jabłek, każde o masie \\( m_{2} \\). Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka:", "czyli", "To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek (wchodzące do średniej) nie są równe." ]

[]

[ "Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką.", "Położenie określamy względem układu odniesienia, tzn. wybranego ciała lub układu ciał. Zwróćmy uwagę na to, że ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym. Ponadto, w naszych rozważaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu materialnego.", "Rzeczywiste ciała mają zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliżeniem możemy je traktować jako punkty materialne. To przybliżenie może być z powodzeniem stosowane do opisu ruchu obiektów o różnej wielkości, zarówno \"małych\" cząsteczek, jak i \"dużych\" planet.", "Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się, oznacza to, że samochód porusza się ze stałą prędkością \\( v \\), i jeżeli w pewnej chwili \\( t_{0} \\) znajdował się w położeniu \\( x_{0} \\) to po czasie \\( t_{} \\) znajdzie się w położeniu \\( x \\)", "skąd", "Zależność między położeniem \\( x \\) i czasem \\( t \\) pokazana jest na Rys. 1 dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika ze wzoru ( 1 ) nachylenie wykresu \\( x(t) \\) przedstawia prędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów \\( x(t) \\) odpowiadają więc różnym prędkościom. Prędkość \\( {\\bf v} \\) (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor \\( {\\bf v} \\) dodatni - ruch w kierunku rosnących \\( x \\), ujemny to ruch w kierunku malejących \\( x \\).", "Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o jednej stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna. Nie można wtedy stosować wzoru ( 1 ) chyba, że ograniczymy się do bardzo małych wartości \\( x - x_{0} \\) ( \\( \\Delta x \\)) czyli również bardzo małego przedziału czasu \\( \\Delta t = t - t_{0} \\) (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy, gdy \\( \\Delta t \\) dąży do zera.", "Tak definiuje się pierwszą pochodną więc", "Nachylenie krzywej \\( x(t) \\) ponownie przedstawia prędkość \\( v \\), a znajdujemy je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie stycznej do wykresu \\( x(t) \\) , w danym punkcie tj. dla danej chwili \\( t \\) ( Rys. 2 ).", "Często określenie zależności \\( x(t) \\) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich, jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym, itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu \\( t \\) jest zdefiniowana jako", "Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Zilustrujmy to jeszcze jednym ćwiczeniem.", "Jeżeli ciało przyspiesza lub hamuje i jego prędkość zmienia się jednostajnie z czasem to przyspieszenie \\( \\bf a \\) tego ciała jest stałe", "Gdy prędkość rośnie ( \\( a > 0 \\) to ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym, a gdy prędkość maleje ( \\( a < 0 \\)) to ruch określamy jako jednostajnie opóźniony.", "Jeżeli przyspieszenie nie jest stałe, zmienia się z czasem, musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości \\( \\Delta v \\) w bardzo krótkim czasie \\( \\Delta t \\) (podobnie jak dla prędkości chwilowej). Wówczas przyspieszenie chwilowe definiujemy jako pierwszą pochodną v względem \\( t \\).", "Z ruchem jednostajnie zmiennym spotykamy się na co dzień, np. gdy obserwujemy swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi. Jeżeli możemy zaniedbać opór powietrza (w porównaniu z ciężarem ciała) to każde ciało upuszczone swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem równym \\( 9.81 \\) m/s \\( ^{2} \\).", "Wyrażenie na prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem możemy otrzymać wprost ze wzoru ( 6 )", "Natomiast do policzenia położenia korzystamy ze wzoru ( 6 ) na prędkość średnią przekształconego do postaci", "Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od \\( v_{0} \\) do \\( v \\) więc prędkość średnia wynosi", "Łącząc powyższe trzy równania otrzymujemy", "Jako podsumowanie, pokazane jest graficzne przedstawienie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego w postaci wykresów \\( x(t) \\), \\( v(t) \\) oraz \\( a(t) \\).", "Rozważając ruch po linii prostej możemy operować liczbami, a nie wektorami bo mamy do czynienia z wektorami równoległymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (rozwiązywaniu zadań) uświadamiać, że w równaniach ruchu mamy do czynienia z wektorami. Prześledzimy to wykonując następujące ćwiczenie:", "Pamiętanie o tym, że liczymy na wektorach jest bardzo istotne przy rozpatrywaniu ruchu w dwóch lub trzech wymiarach, np. w ruchu na płaszczyźnie." ]

[ { "name": "Definicja 1: Pojęcie ruchu", "content": "Pod pojęciem ruchu rozumiemy zmiany wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu." }, { "name": "Definicja 2: Punkt materialny", "content": "Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary (objętość) możemy zaniedbać." }, { "name": "Definicja 3: Prędkość", "content": "Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu." }, { "name": "Definicja 4: Prędkość chwilowa", "content": "\nPrędkość chwilowa jest pochodną drogi względem czasu.\n\n(4)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\bf v}=\\frac{d\\;{\\bf x}}{d\\;t} \\)\n\n\n\n" }, { "name": "Definicja 5: Prędkość średnia", "content": "\n(5)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\overline{{v}}=\\frac{x-x_{{0}}}{t} \\)\n\n\t\t\t\t\tgdzie\n \\( x - x_{0} \\) jest odległością przebytą w czasie \\( t \\)" }, { "name": "Definicja 6: Przyspieszenie", "content": "Przyspieszeniem nazywamy tempo zmian prędkości." }, { "name": "Definicja 7: Przyspieszenie", "content": "\n(7)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\bf a}=\\frac{\\mathit{d{\\bf v}}}{\\mathit{dt}} \\)\n\n" } ]

[ "Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych \\( x \\) i \\( y \\). Na przykład \\( y \\) - wysokość, \\( x \\) - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.", "Położenie punktu w chwili \\( t \\) przedstawia wektor \\( {\\bf r}(t) \\) ; prędkość wektor \\( {\\bf v}(t) \\) , przyspieszenie wektor \\( {\\bf a}(t) \\) . Wektory \\( {\\bf r}(t), {\\bf v}(t), {\\bf a}(t) \\) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów \\( {\\bf i} \\text{ oraz } {\\bf j} \\) czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi \\( x \\) i \\( y \\).", "Położenie punktu określić można podając wektor \\( {\\bf r} \\) lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. \\( x \\), \\( y \\). Oczywiście wektor \\( {\\bf r} \\) i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe \\( {\\bf r}(t) \\), \\( x(t) \\), \\( y(t) \\) tak jak na Rys. 1.", "Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu. Punkty, przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą, którą nazywamy torem ruchu.", "Jako przykład rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie. Ponieważ ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem tzn. nie zmieniają się ani kierunek ani wartość przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia. Spróbujmy najpierw napisać równania wektorowe dla tego ruchu. Mają one następującą postać", "Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor \\( \\bf r \\)) po czasie \\( t \\). W tym celu, jak widać z równań ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) trzeba wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie geometrycznie trzy wektory: \\( {\\bf r_{0}} \\), \\( {\\bf v_{0}} \\)t oraz \\( {1/2\\bf a}t^{2} \\). Zadanie możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że równania wektorowe ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) są równoważne równaniom w postaci skalarnej (zestawionym w Tabela 1 poniżej) i zamiast dodawania geometrycznego wektorów możemy poprostu dodawać liczby. Znalezienie wektora \\( {\\bf r} \\) prowadza się teraz do znalezienia jego składowych.", "Na przykładzie modułu Rzut ukośny opisano ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem." ]

[]

[ "Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.", "Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym \\( {\\bf g}=(0, -g) \\) ; możemy więc zastosować równania z w module Ruch na płaszczyźnie. Ponieważ przyspieszenie jest skierowane \"w dół\" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że \\( x \\) będzie współrzędną poziomą, a \\( y \\) pionową. Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. \\( r_{0} \\) = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej \\( t=0 \\) jest równa \\( v_{0} \\) i tworzy kąt \\( \\theta \\) z dodatnim kierunkiem osi \\( x \\) ( Rys. 1 poniżej).", "Składowe prędkości początkowej (zgodnie z Rys. 1 ) wynoszą odpowiednio", "Stąd dla składowej \\( x \\) (poziomej) prędkości otrzymujemy (porównaj z w module Ruch na płaszczyźnie )", "Ponieważ \\( g_{x}= 0 \\) (przyspieszenie jest skierowane w \"dół\") więc", "Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku \\( x \\) jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej \\( y \\) otrzymujemy", "Ponieważ \\( g_{y}=-g \\) (przyspieszenie jest skierowane \"w dół\") więc", "Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi", "Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili \\( t \\). Ponownie korzystamy z równań z i otrzymujemy odpowiednio", "Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności", "Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej \\( y(x) \\). Równania ( 8 ), ( 9 ) przedstawiają zależność \\( x(t) \\) oraz \\( y(t) \\). Równanie \\( y(x) \\) możemy więc obliczyć eliminując czas \\( t \\) z tych równań. Z zależności \\( x(t) \\) obliczamy \\( t \\), a następnie wstawiamy do równania \\( y(t) \\), które przyjmuje postać", "Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu \\( y(x) \\) pokazany na rysunku poniżej.", "Gdy mówimy o ruchu prostoliniowym to ewentualne przyspieszenie ciała związane jest ze zmianą wartości prędkości ale nie ze zmianą jej kierunku czy zwrotu. Dlatego mówimy wtedy o przyspieszeniu stycznym", "W omawianym rzucie ukośnym zmienia się zarówno wartości prędkości jak i jej kierunek i zwrot. Zanim jednak omówimy ten przypadek zaczniemy od rozpatrzenia prostszej sytuacji gdy wartość prędkości się nie zmienia, a zmienia się jej kierunek i zwrot tj. Ruch jednostajny po okręgu." ]

[]

[ "Rozważać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu \\( R \\) pokazane na rysunku poniżej. Punkt materialny poruszający się jednostajnie po okręgu znajduje się w punkcie \\( P \\) w chwili \\( t \\), a w punkcie \\( P' \\) w chwili \\( t+\\Delta t \\). Wektory prędkości \\( {\\bf v},{\\bf v}' \\) mają jednakowe długości, ale różnią się kierunkiem; pamiętajmy, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru. Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy wyznaczyć różnicę prędkości \\( {\\bf v } \\) i \\( {\\bf v }' \\).", "W tym celu przerysowujemy wektor \\( {\\bf v'} \\) w punkcie \\( P \\) i wyznaczamy różnicę \\( \\Delta {\\bf v} \\). Zauważmy, że kąt pomiędzy wektorami \\( {\\bf v } \\) i \\( {\\bf v }' \\) jest równy kątowi \\( \\theta \\) więc korzystając z podobieństwa trójkątów możemy zapisać równość", "gdzie \\( l \\) jest długością odcinka \\( PP' \\), a dla małych wartości \\( l \\) długością łuku \\( PP' \\). Ponieważ \\( l = v \\Delta t \\) więc", "Znając już \\( \\Delta v \\) możemy obliczyć przyspieszenie", "Jak widać na Rys. 1, wektor \\( \\Delta {\\bf v} \\) jest prostopadły do toru to znaczy pokrywa się z kierunkiem promienia i jest zwrócony do środka okręgu. Oznacza to, że i wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot ( Rys. 2 ). W ruchu po okręgu przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (jest zwrócone do środka okręgu), a dla ruchu po dowolnej krzywej przyspieszeniem normalnym \\( a_{n} \\) (jest prostopadłe do toru) lub radialnym \\( a_{r} \\) (jest skierowane wzdłuż promienia).", "Przyspieszenie normalne jest związane ze zmianą kierunku prędkości, a przyspieszenie styczne za zmianę jej wartości.", "Przyspieszenie dośrodkowe często wyraża się poprzez okres \\( T \\) czyli czas, w którym punkt materialny wykonuje pełen obieg okręgu. Ponieważ", "więc" ]

[]

[ "W module tym uzupełnimy wiadomości z ruchu po okręgu wyprowadzając równania na przyspieszenie w tymże ruchu.", "Współrzędne \\( x, y \\) punktu poruszającego się po okręgu można wyrazić za pomocą promienia \\( R \\) (o stałej wartości) oraz kąta ( Rys. 1 poniżej).", "Przy czym związek między drogą liniową \\( s \\), a drogą kątową \\( \\varphi \\), jest dany z miary łukowej kąta \\( \\varphi = s/R \\).", "Różniczkując powyższe równania możemy obliczyć zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe prędkości", "gdzie wprowadzono prędkość kątową \\( \\omega =d\\varphi/dt. \\)", "Różniczkując z kolei uzyskane równania otrzymamy zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe przyspieszenia", "lub", "gdzie wprowadzono przyspieszenie kątowe \\( \\alpha = d \\omega /dt \\).", "Na podstawie powyższych zależności możemy obliczyć wektor całkowitego przyspieszenia", "Wektor przyspieszenia całkowitego a jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego a \\( _{s} \\) (równoległego do wektora prędkości v)", "i przyspieszenia normalnego a \\( _{n} \\) (przeciwnego do wektora R czyli skierowanego do środka okręgu)" ]

[]

[ "Prześledźmy przykład, w którym zmieniają się i wartość i kierunek prędkości. Całkowite przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym jest sumą przyspieszenia stycznego \\( a_{s} \\) i prostopadłego do niego przyspieszenia normalnego \\( a_{n} \\).", "Ponownie rozpatrzymy rzut ukośny. W tym ruchu przyspieszenie grawitacyjne \\( g \\) jest odpowiedzialne zarówno za zmianę wartości prędkości i jej kierunku tak jak przedstawiono na Rys. 1 poniżej.", "Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia. Przyspieszenie styczne obliczamy na podstawie zależności \\( {a_{{s}}=\\mathit{dv}/{\\mathit{dt}}} \\) (obliczamy zmianę wartości prędkości) i wyrażenia na prędkość w rzucie ukośnym \\( {v=\\sqrt{v_{{0}}{{^2}}-2v_{{0}}gt\\sin\\theta+g{{^2}}t{{^2}}}} \\) (równanie Rzut ukośny-( 7 ) )", "Natomiast przyspieszenie normalne możemy obliczyć korzystając z zależności \\( {a_{{r}}=\\sqrt{g^{{2}}-a_{{s}}{{^2}}}} \\) ( Rys. 1 )", "Można oczywiście skorzystać z równania Ruch jednostajny po okręgu-( 3 ) \\( {a=v^{{2}}/{R}} \\), ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny \\( R \\) w każdym punkcie toru." ]

[]

[ "Dotychczas zajmowaliśmy się wyłącznie opisem ruch (za pomocą wektorów \\( {\\bf r} \\), \\( {\\bf v} \\), oraz \\( {\\bf a} \\)). Były to rozważania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy się dynamiką. Nasze rozważania ograniczymy do przypadku ciał poruszających się z małymi (w porównaniu z prędkością światła \\( c \\)) prędkościami tzn. zajmujemy się mechaniką klasyczną.", "Żeby móc przewidzieć jaki będzie ruch ciała wywołany siłą na nie działającą trzeba wiedzieć jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. Dlatego rozpoczniemy nasze rozważania od poznania podstawowych oddziaływań oraz od zdefiniowania masy, pędu i wprowadzenia pojęcia siły \\( {\\bf F} \\). Następnie poszukamy praw rządzących oddziaływaniami, a w dalszych częściach zajmiemy się poszczególnymi oddziaływaniami występującymi w przyrodzie.", "Według naszej dotychczasowejj wiedzy istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania (siły), z których wynikają wszystkie siły i oddziaływania zaobserwowane we Wszechświecie:", "W tabeli poniżej zestawione są cztery oddziaływania podstawowe.", "Nasze rozważania rozpoczynamy od przypisania ciałom masy \\( m \\). Chcemy w ten sposób opisać fakt, że różne ciała wykonane z tego samego materiału, w tym samym otoczeniu uzyskują pod działaniem tej samej siły różne przyspieszenia (np. pchamy z jednakową siłą dwa rożne pojazdy \"lekki\" i \"ciężki\" i uzyskują one różne \\( {\\bf a} \\)).", "Zaproponowana poniżej metoda postępowania jest jednym z równoważnych sposobów definiowania masy. Opiera się ona na porównaniu nieznanej masy \\( m \\) z wzorcem masy \\( m_0=1 \\) kg. Pomiędzy masami umieszczamy ściśniętą sprężynę i następnie zwalniamy ją. Masy \\( m \\) i \\( m_0 \\), które początkowo spoczywały polecą odrzucone w przeciwnych kierunkach odpowiednio z prędkościami \\( v \\) i \\( v_0 \\) ( Rys. 1 ).", "Nieznaną masę \\( m \\) definiujemy jako", "Podstawiając wyrażenie ( 2 ) i wykonując różniczkowanie otrzymujemy", "a dla ciała o stałej masie \\( m= const \\) .", "Wprowadziliśmy w ten sposób pojęcie siły \\( \\bf F \\). Teraz podamy metodę obliczania sił działających na ciała; poznamy prawa rządzące oddziaływaniami.", "Na zakończenie tej części zapoznajmy się z jednostkami siły i masy." ]

[ { "name": "Definicja 1: Masa", "content": "\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( m=m_{{0}}\\frac{v_{{0}}}{v} \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Pęd", "content": "Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jegomasy i prędkości (wektorowej)\n\t\t\t\t\t(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\bf p}=\\mathit{m{\\bf v}} \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Siła", "content": "Jeżeli na ciało o masie \\( m \\) działa siła \\( \\bf F \\), to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu tego ciała. \n\t\t\t\t\t(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\bf F}=\\frac{\\mathit{d{\\bf p}}}{\\mathit{dt}} \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Jednostki", "content": "Jednostką masy w układzie SI jest kilogram (kg), natomiast jednostką siły jest niuton (N); 1N = 1kg·m/s \\( {^2} \\)" } ]

[ "Podstawowa teoria, która pozwala przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona.", "Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona:", "Siła wypadkowa \\( {\\bf F}_{\\text{wyp}} \\) jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało. Jeżeli \\( {\\bf F}_{\\text{wyp}}=0 \\), to również przyspieszenie ciała \\( {\\bf a}=0 \\), a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości, tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej.", "Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.", "Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona:", "Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona:", "Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej, bo, gdy \\( {\\bf a}=0 \\), to i \\( {\\bf F}_{\\text{wyp}}=0 \\). Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.", "Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będziemy rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.", "Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania \\( {\\bf F}=m{\\bf a} \\) zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.", "Więcej o układach inercjalnych i nieinercjalnych dowiesz się w module Siły bezwładności.", "Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w równaniu drugiej zasady dynami Niutona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności sił. Zasada ta dotyczy również masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał tego układu.", "Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi należącymi do danego układu nazywamy siłami wewnętrznymi. Na przykład w ciałach stałych są to siły oddziaływania sprężystego pomiędzy atomami, cząsteczkami. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli punkt \\( i \\) układu działa na punkt \\( j \\), to równocześnie punkt \\( j \\) działa na punkt \\( i \\) siłą równą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną \\( {{\\bf F}_{{i\\rightarrow j}}=-{\\bf F}_{{j\\rightarrow i}}} \\) .", "Na punkty materialne układ mogą ponadto działać siły zewnętrzne, to jest siły pochodzące spoza układu. Druga zasada dynamiki Newtona dla układu \\( n \\) punktów materialnych przyjmuje więc postać", "gdzie \\( m_{i} \\) oznacza masę \\( i \\)-tego punktu, \\( a_{i} \\) - jego przyspieszenie, \\( F_{i} \\) - wypadkową siłę działająca na ten punkt. W równaniu tym występuje suma wszystkich sił, to znaczy zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych. Jednak na podstawie pierwszego równania widzimy, że siły wewnętrzne znoszą się parami, więc ostatecznie wypadkowa wszystkich sił jest równa wypadkowej sił zewnętrznych.", "Prześledźmy teraz zastosowanie zasad dynamiki na następującym przykładzie.", "Zwróćmy uwagę na addytywność mas. Taki sam wynik otrzymalibyśmy traktując ciała jak jedną masę. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał układu.", "Podstawiając wynik ( 6 ) do równań ( 5 ) obliczamy naciągi nitek", "Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać podobny problem.", "Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w drugiej zasadzie dynamiki Newtona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Możesz się o tym przekonać rozwiązując podane poniżej zadanie.", "Bardziej zaawansowany przykład zastosowania zasad dynamiki możesz poznać w module Dodatek: Ruch w polu grawitacyjnym z uwzględnieniem oporu powietrza." ]

[ { "name": "Definicja 1: Inercjalny układ odniesienia", "content": "Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła (lub, gdy siła wypadkowa jest równa zeru), to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym." } ]

[ "Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, to występują między nimi siły kontaktowe. Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. Jest to siła elektromagnetyczna. Żeby prześledzić ten problem rozważmy następujący przykład.", "Siły kontaktowe, o których mówiliśmy, są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu, to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem), to musi na nie działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia.", "Siła tarcia zawsze działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i może istnieć nawet wówczas, gdy powierzchnie są nieruchome względem siebie. Żeby się o tym przekonać wystarczy wykonać proste ćwiczenie. Połóżmy na stole jakiś obiekt np. książkę i spróbujmy wprawić ją w ruch stopniowo zwiększając przykładaną siłę. Początkowo, gdy siła jest \"mała\", obiekt nie porusza się. Oznacza to, że naszej sile \\( F \\) przeciwstawia się siła tarcia \\( T \\) równa co do wartości, lecz przeciwnie do niej skierowana. Zwiększamy dalej siłę \\( F \\) , aż książka zacznie się poruszać. Zauważmy, że im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy tarciem statycznym. Maksymalna siła tarcia statycznego \\( T_s \\) jest równa tej krytycznej sile, którą musieliśmy przyłożyć, żeby ruszyć ciało z miejsca. Dla suchych powierzchni \\( T_s \\) spełnia dwa prawa empiryczne.", "Stosunek maksymalnej siły \\( {T}_s \\) do siły nacisku \\( F_N \\) nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego \\( \\mu_s \\)", "Zwróćmy uwagę, że we wzorze ( 3 ) występują tylko wartości bezwzględne sił (a nie wektorowe), bo te siły są do siebie prostopadłe.", "Wiemy już, że gdy działająca siła \\( F \\) jest większa od \\( T_s \\), to ciało zostanie wprawione w ruch, ale nadal będzie istniała siła tarcia, tarcia kinetycznego \\( T_{k} \\), przeciwstawiająca się ruchowi. Siła \\( T_{k} \\) spełnia dodatkowo, oprócz dwóch wymienionych powyżej, trzecie empiryczne prawo.", "Istnieje, analogiczny do \\( \\mu_s \\), odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego \\( \\mu_k \\)", "Dla większości materiałów \\( \\mu_k \\)jest nieco mniejszy od \\( \\mu_s \\).", "Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości oddziaływań atomów na powierzchni. Dlatego ograniczmy się do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. Na przykład w samochodzie na pokonanie siły tarcia zużywa się około \\( 20\\% \\) mocy silnika. Tarcie powoduje zużywanie się trących powierzchni i dlatego staramy się je zmniejszać. Z drugiej strony wiemy, że bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, czy też pisać ołówkiem.", "W przykładach pokazujących zastosowanie zasad dynamiki Newtona opisywaliśmy ruch ciał z punktu widzenia inercjalnych układów odniesienia, to znaczy takich, w których ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Teraz zajmiemy się układami nieinercjalnymi i występującymi w nich siłami bezwładności." ]

[]

[ "Traktowanie przedmiotów jak punktów materialnych, tzn. obdarzonych masą cząstkek bezwymiarowych (o zerowej objętości), wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał, ponieważ ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch może być bardzo skomplikowany. Ciało może wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład takiego ruchu jest przedstawiony na Rys. 1.", "Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Sposób wyznaczania środka masy zilustrujemy następującym przykładem.", "Widzimy, że położenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak średnią ważoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej. Przez analogię dla układu \\( n \\) cząstek (punktów materialnych) współrzędna \\( x \\) środka masy jest dana zależnością", "gdzie suma mas \\( m_i \\) poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą \\( M \\) układu. Postępując w ten sam sposób, możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne \\( y \\), \\( z \\). W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne (analogiczne do ( 3 ) ), które możemy zastąpić jednym równaniem wektorowym", "Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym." ]

[]

[ "Rozważmy układ punktów materialnych o masach \\( m_1 \\), \\( m_2 \\), \\( m_3 \\) ..., \\( m_{n} \\) i o stałej całkowitej masie \\( M \\). Na podstawie równania Środek masy-( 4 ) możemy napisać", "Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymujemy zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) oraz Ruch na płaszczyźnie-( 3 )", "a po ponownym różniczkowaniu", "To ostatnie równanie możemy zapisać w postaci", "Suma (wektorowa) wszystkich sił działających na poszczególne punkty materialne układu jest równa wypadkowej sile zewnętrznej więc", "Z równania ( 7 ) wynika, że", "Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych. W szczególności układ może być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie występujące w równaniach Środek masy-( 3 ) i Środek masy-( 4 ) zastępujemy całkowaniem. Układ może też być zbiorem cząstek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kineycznej.", "Bardziej zaawansowany przykład wykorzystania pojęcia środka masy (do obliczania energii kinetycznej) możesz poznać w Energia kinetyczna w układzie środka masy" ]

[]

[ "Omawiając zasady dynamiki Newtona wprowadziliśmy ważne pojęcie fizyczne: zdefiniowaliśmy inercjalny układ odniesienia. Stwierdziliśmy wtedy, że układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa, i dlatego większość zagadnień staramy się rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Nasuwa się jednak pytanie, jak stosować zasady dynamiki Newtona w układzie odniesienia, który doznaje przyspieszenia. Na przykład, co możemy powiedzieć o siłach, jakich działania \"doznajemy\", gdy znajdujemy się w samochodzie, który przyspiesza, hamuje lub zakręca?", "W tym celu rozpatrzymy ruch ciała o masie \\( m \\) poruszającego się wzdłuż osi \\( x \\) ruchem przyspieszonym, pod wpływem działania siły \\( F= ma \\) .", "Ruch ten jest obserwowany z dwóch różnych układów odniesienia (dwaj obserwatorzy), z których jeden \\( xy \\) jest układem inercjalnym, a drugi \\( x'y' \\) porusza się względem pierwszego wzdłuż osi \\( x \\) ( Rys. 1 ).", "Odległość miedzy dwoma obserwatorami (układami) wynosi w danej chwili \\( x_0(t) \\), więc związek między położeniem ciała rejestrowanym przez obu obserwatorów ma postać", "Natomiast przyspieszenie w obu układach znajdujemy korzystając z równań Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 )", "to znaczy, różniczkując dwukrotnie równanie ( 1 )", "Widać, że przyspieszenia w obu układach są równe tylko wtedy, gdy \\( a_0=0 \\), więc gdy układ \\( x'y' \\) porusza się względem układu \\( xy \\) ruchem jednostajnym lub względem niego spoczywa, to znaczy, gdy układ \\( x'y' \\) też jest układem inercjalnym tak jak \\( xy \\). Natomiast gdy \\( a_0{\\neq}0 \\), to układ \\( xy \\) nazywamy układem nieinercjalnym, a jego przyspieszenie \\( a_0 \\) przyspieszeniem unoszenia.", "Widzimy, że przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania \\( F= ma \\) zmienia się w zależności od przyspieszenia obserwatora. Jeżeli pomnożymy równanie ( 3 ) obustronnie przez \\( m \\), to otrzymamy", "Widzimy, że w układzie \\( x'y' \\) (przyspieszającym) nie obowiązują zasady dynamiki Newtona, bo:", "Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, że jeżeli w układach nieinercjalnych chcemy stosować drugą zasadę dynamiki Newtona, to musimy uwzględniać siły bezwładności.", "Jak już mówiliśmy, istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania, z których wynikają wszystkie siły zaobserwowane we Wszechświecie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z działaniem pochodzącym od konkretnym ciał materialnych. Inaczej jest z siłami bezwładności, które nie pochodzą od innych ciał, a ich obserwowanie jest związane wyłącznie z wyborem nieinercjalnego układu odniesienia. Dlatego siły bezwładności nazywamy siłami pozornymi.", "Działanie sił bezwładności odczuwamy nie tylko podczas przyspieszania i hamowania (przyspieszenie styczne), ale również gdy zmienia się kierunek prędkości. Zgodnie z definicją siły bezwładności", "a dla ruchu krzywoliniowego przyspieszenie układu jest przyspieszeniem normalnym (dośrodkowym w ruchu po okręgu)", "więc wartość siły bezwładności wynosi", "Tę siłę bezwładności nazywamy siłą odśrodkową. Z taką siłą mamy do czynienia na przykład podczas jazdy samochodem na zakręcie. Również Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym, ponieważ wiruje. Jednak w większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich przebieg.", "Wpływ ruchu obrotowego układu na ruch względny ciała (siła bezwładności Coriolisa) została omówiona w module Siła Coriolisa." ]

[ { "name": "Definicja 1: Siła bezwładności", "content": "Iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze znakiem minus) nazywamy siłą bezwładności \\( F_{b} \\)." } ]

[]

[]

[]

[]

[ "Naszym zadaniem jest opisanie ruchu ciała o masie \\( m \\) puszczonego z pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi, które spadając doznaje oporu powietrza. Z codziennych doświadczeń wiemy, że opór powietrza zależy od prędkości, na przykłady podczas jazdy na rowerze, i jest tym większy im szybciej jedziemy. Przyjmiemy więc, założenie że siła oporu powietrza jest proporcjonalna do prędkości \\( v \\)", "Znak minus wskazuje, że siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu (wektora prędkości \\( {\\bf v} \\)).", "Ruch ciała odbywa się pod działaniem dwóch sił: stałej siły grawitacji i zmiennej siły oporu. Wraz ze wzrostem prędkości rośnie siła oporu, aż do momentu gdy stanie się ona równa co do wartości sile grawitacji. Wówczas siła wypadkowa działająca na ciało staje się równa zeru, prędkość dalej już nie rośnie i nie rośnie też siła oporu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki ciało porusza się od tej chwili ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Graniczną prędkość \\( v_gr \\) jaką osiąga ciało obliczamy z warunku", "Teraz poszukujemy odpowiedzi napytanie jak zmienia się prędkość podczas ruchu. W tym celu korzystamy z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona, która przyjmuje postać równania", "Rozwiązaniem równania różniczkowego ( 4 ) jest funkcja \\( v(t) \\)", "Zależność ta jest wykreślona na Rys. 1 poniżej. Widać, że po odpowiednio długim czasie prędkość osiąga wartość graniczną.", "Otrzymaliśmy więc równanie \\( v(t) \\) opisujące ruch ciała." ]

[]

[ "Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i społecznych. Żeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną pozycją w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię (zakupy żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu).", "Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących różnych zagadnień fizyki. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona.", "W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły \\( F \\). Traktując przesunięcie \\( s \\) jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować pracę \\( W \\).", "gdzie \\( \\alpha \\) jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt \\( \\alpha \\) może być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.", "Ze wzoru ( 1 ) wynika, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy \\( \\alpha < 90° \\) , jak i ujemne gdy \\( \\alpha > 90° \\). W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego \\( T \\) (zob. Rys. 1 ) przeciwstawiająca się ruchowi ( \\( \\alpha= 180° \\)). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna \\( W={\\bf T}\\cdot {\\bf s}=Ts\\cos 180° = -Ts \\). W szczególności praca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia ( \\( \\alpha = 90° \\) , \\( \\cos 90°= 0 \\) ). Przykładem może być siła dośrodkowa. Przyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.", "Rozpatrzmy jeszcze raz powyższy przykład, ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy \\( {\\bf F}_{wyp}= 0 \\). W kierunku poziomym \\( F_{wyp}=F\\cos\\alpha-T=0 \\), zatem \"dodatnia\" praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej \"ujemnej\" pracy wykonanej przez siłę tarcia.", "Z podobna sytuacją mamy do czynienia przy podnoszeniu w górę (ze stałą prędkością) ciała o masie \\( m \\) na wysokość \\( h \\) (zob. Rys. 2 ).", "Zauważmy, że w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą \\( F \\) równą ciężarowi ale przeciwnie skierowaną, więc \"dodatnia\" praca \\( W = mgh \\) wykonana na drodze \\( h \\) przez siłę \\( F \\) (człowieka) jest równa co do wartości \"ujemnej\" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.", "Wzór ( 1 ) pozwala obliczyć pracę dla siły stałej; do obliczeń \"podstawiamy\" za \\( F \\) konkretną jej wartość. W module Praca wykonana przez siłę zmienną poznamy jak obliczyć pracę gdy siła zmienia się, przyjmuje różne wartości." ]

[ { "name": "Definicja 1: Praca", "content": "\nPraca \\( W \\) wykonana przez stałą siłę \\( {\\bf F} \\) jest iloczynem skalarnym tej siły \\( {\\bf F} \\) i wektora przesunięcia \\( {\\bf s} \\).\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( W={\\bf F}\\cdot {\\bf s}=Fs{\\cos}\\alpha \\)\n\n" } ]

[ "Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia \\( F(x), \\) której kierunek jest zgodny z osią \\( x. \\) Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia \\( x_1 \\) do położenia \\( x_2. \\) Wzór \\( W={\\bf F}\\cdot {\\bf s} \\) pozwala obliczyć pracę dla stałej siły \\( {\\bf F}. \\) Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na Rys. 1, Rys. 2 oraz Rys. 3 (linia ciągła), trzeba stosować inny algorytm.", "Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie \\( x \\) na \\( n \\) jednakowych odcinków \\( \\Delta x \\) tak, jak na Rys. 1. Wewnątrz takiego przedziału \\( \\Delta x \\) przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru ( 1 ) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale \\( \\Delta x \\)", "gdzie \\( F_i \\) jest wartością siły na \\( i \\)-tym odcinku \\( \\Delta x \\). Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach, otrzymując całkowitą pracę", "Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie \\( \\Delta x \\) i wysokości \\( F_i. \\)", "Możemy \"poprawić\" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy przedział ( \\( x_1 \\), \\( x_2 \\)) na więcej (mniejszych) odcinków \\( \\Delta x \\), tak jak pokazano na Rys. 2. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił \\( F_i \\) dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji \\( F(x) \\), a co za tym idzie obliczona (wzór ( 2 ) ) wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).", "Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\). Stosujemy tę samą procedurę, obliczając całkowitą pracę.", "W taki sposób w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji \\( F(x) \\) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą \\( F(x) \\) w zadanym przedziale (zob. Rys. 3 ). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej \\( {W=\\overset{{\\text{__}}}{{F}}(x_{{2}}-x_{{1}})} \\), co zgadza się z intuicyjnym podejściem.", "Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach), albo umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą, co w szczególnych przypadkach nie jest trudne." ]

[]

[ "Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównoważonej siły \\( {\\bf F} \\) i obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze \\( {\\bf s} \\). Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem \\( {\\bf a} \\). Zakładamy ponadto, że kierunek siły \\( {\\bf F} \\) i przyspieszenia \\( {\\bf a} \\) pokrywa się z kierunkiem przesunięcia \\( {\\bf s} \\). Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy napisać", "co w połączeniu daje", "Wykonana praca jest równa", "Na podstawie wzorów ( 3 ) i ( 4 ) widzimy, że", "To jest twierdzenie o pracy i energii.", "Z tego twierdzenia wynika, że jednostki pracy i energii są takie same.", "Spróbuj teraz wykonać proste ćwiczenie." ]

[ { "name": "Definicja 1: Energia kinetyczna", "content": "\nPołowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną \\( E_{k} \\) ciała o masie \\( m \\).\n\n(5)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( E_{{k}}=\\frac{1}{2}\\mathit{mv}{{^2}} \\)\n\n\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Jednostki", "content": "\nJednostką pracy i energii jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N·m.\nW fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (eV) 1eV \\( =1.6·10{^{-19}} \\) J.\n\n" } ]

[ "Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii można uzyskać ze źródła ale to jak szybko można ją uzyskać (zamienić w użyteczną postać). Na przykład, ważnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje pracę związaną z rozpędzaniem samochodu. Inny przykład to, dwa dźwigi, które podnoszą jednakowe masy na jednakową wysokość \\( h \\) ale w różnym czasie. Tak jak zostało to już pokazane na wcześniejszym przykładzie, każdy z dźwigów wykonuje taką samą pracę równą \\( mgh \\). Jednak jeden zdźwigów wykonuje tę pracę w czasie krótszym niż drugi. Mówimy, że ten dźwig ma większą moc.", "Jeżeli praca \\( W \\) została wykonana w czasie \\( t \\) to średnia moc jest dana wzorem", "Dla stałej siły \\( F \\) wzór ten przyjmuje postać", "Dla czasu \\( t\\rightarrow 0 \\) mówimy o mocy chwilowej", "Moc chwilową obliczamy jako pochodną pracy względem czasu." ]

[ { "name": "Definicja 1: Moc", "content": "Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana." }, { "name": "Definicja 2: Jednostki", "content": "Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych powszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kW), a jednostką energii (iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh)." } ]

[ "Praca wykonana przez siłę wypadkową działającą na punkt materialny (ciało) wzdłuż pewnej drogi, jest równa zmianie energii kinetycznej \\( E_k \\) tego punktu materialnego", "Skorzystamy z tego związku dla rozróżnienia sił zachowawczych i niezachowawczych. W tym celu rozpatrzmy ciało rzucone pionowo do góry, któremu nadano prędkość początkową \\( v_0 \\), a tym samym energię kinetyczną \\( E_k=\\frac{mv_0^2}{2} \\). Podczas wznoszenia się ciała, siła grawitacji działa przeciwnie do kierunku ruchu więc prędkość ciała, a także i jego energia kinetyczna maleją aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem siły grawitacji, która teraz jest zgodna z kierunkiem ruchu. Przy zaniedbywalnym oporze powietrza, prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą prędkością i energią kinetyczną. Widzimy, że po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmieniła się, więc na podstawie równania ( 1 ) oznacza to, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru. Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas wznoszenia się ciała jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi \\( 180°; \\cos 180° = -1 \\)). Gdy ciało spada siła i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia, tak że całkowita praca jest równa zeru.", "Siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę, nazywamy siłami zachowawczymi.", "Jeżeli jednak, opór powietrza nie jest do zaniedbania, to ciało rzucone pionowo w górę powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku, ponieważ siła oporu przeciwstawia się ruchowi bez względu na to, w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła grawitacji). Praca wykonywana przez siłę oporu jest ujemna dla każdej części cyklu, zarówno przy wznoszeniu jak i opadaniu ciała, więc podczas tego cyklu została wykonana praca różna od zera.", "Siła oporu powietrza jest siłą niezachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła tarcia, nazywamy siłami niezachowawczymi.", "Różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi możemy zobrazować jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy pracę wykonaną przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała z punktu \\( A \\) do punktu \\( B \\) po dwóch różnych drogach tak jak pokazano na rysunku poniżej.", "Z naszych poprzednich rozważań wiemy, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała w górę jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi \\( 180°; \\cos 180° = -1 \\)). Gdy ciało przemieszcza się w dół, to siła grawitacji i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia. Natomiast przy przemieszczaniu w bok, siła grawitacji nie wykonuje żadnej pracy, bo jest prostopadła do przemieszczenia ( \\( \\cos90° = 0 \\)). Widzimy, że przesunięcia w górę znoszą się z przemieszczeniami w dół, tak że wypadkowe przemieszczenie w pionie wynosi \\( h \\) i w konsekwencji wypadkowa praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi \\( W = mgh \\) bez względu na wybór drogi. Praca w polu grawitacyjnym nie zależy od wyboru drogi łączącej dwa punkty, ale od ich wzajemnego położenia.", "Możemy uogólnić nasze rozważania na dowolną siłę zachowawczą. Jeszcze raz rozpatrzmy ruch ciała z punktu \\( A \\) do punkt \\( B \\) po jednej drodze (1) oraz powrót z \\( B \\) do \\( A \\) po innej drodze (2) ( Rys. 2a).", "Ponieważ siła działająca na ciało jest zachowawcza, to dla drogi zamkniętej z \\( A \\) do \\( B \\) i z powrotem praca jest równa zeru", "lub zapisując to inaczej", "Jeżeli teraz odwrócimy kierunek ruchu i przejdziemy z \\( A \\) do \\( B \\) po drodze (2) ( Rys. 2b) to, ponieważ zmieniamy tylko kierunek ruchu, to otrzymujemy pracę tę samą, co do wartości ale różniącą się znakiem", "Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy", "Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu ciała od \\( A \\) do \\( B \\) jest taka sama dla obu dróg. Drogi (1) i (2) mogą mieć dowolny kształt o ile tylko łączą te same punkty \\( A \\) i \\( B \\)", "Przedstawione definicje siły zachowawczej są równoważne.", "Teraz, kiedy znasz już definicję sił zachowawczych, wykonaj poniższe ćwiczenie." ]

[ { "name": "Definicja 1: Siła zachowawcza", "content": "Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru." }, { "name": "Definicja 2: Siła nie zachowawcza", "content": "Siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, nie jest równa zeru." }, { "name": "Definicja 3: Siła zachowawcza i niezachowawcza", "content": "Siłę nazywamy zachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty. " } ]

[ "Gdy rozpatrywaliśmy (w module Siły zachowawcze i niezachowawcze ) ruch ciała pod wpływem siły grawitacji lub siły sprężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej \\( E_{p} \\). Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość \\( \\Delta E_k \\) towarzyszy zmiana energii potencjalnej \\( \\Delta E_p \\) tego ciała równa co do wartości, ale przeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru", "Każda zmiana energii kinetycznej ciała \\( E_k \\) jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej \\( E_p \\), tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała", "Energię potencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię potencjalną często nazywa się energią stanu. Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu.", "Z twierdzenia o pracy i energii Energia kinetyczna-( 6 ) wynika, że", "więc zgodnie z wprowadzonym pojęciem energii potencjalnej, dla zachowawczej siły \\( F \\), zachodzi związek", "Korzystając z ogólnego wzoru na pracę Praca wykonana przez siłę zmienną-( 3 ) otrzymujemy ogólną zależność", "Możemy również zapisać zależność odwrotną między siłą i energią potencjalną", "Zauważmy, że na podstawie równania ( 5 ) potrafimy obliczyć zmianę energii potencjalnej \\( \\Delta E_p \\), a nie samą energię potencjalną \\( E_p \\). Ponieważ \\( \\Delta E_p=E_p(r)-E_p(r_0) \\), to żeby znaleźć \\( E_p(r) \\) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość \\( E_p(r_0) \\)", "Punkt \\( r_0 \\) nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia \\( E_p(r_0) \\) była równa zeru. Jako punkt odniesienia \\( r_0 \\) często wybiera się położenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak podkreślić, że wybór punktu odniesienia jest sprawą czysto umowną.", "Energia potencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi \\( mgy \\), gdzie \\( y \\) jest wysokością ponad punktem (poziomem) odniesienia i jest równa pracy jaką trzeba wykonać przy podnoszeniu ciała na tę wysokość (przykład Energia i praca wykonana przez siłę stałą-Sanki ). Energia potencjalna przedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej pracy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, podczas spadku ciała z danej wysokości.", "W analogiczny sposób obliczymy teraz energię potencjalną idealnej nieważkiej sprężyny. Gdy sprężyna jest rozciągnięta na odległość \\( x \\) od położenia równowagi to siła sprężystości wynosi \\( F = - kx \\). Jako punkt odniesienia przyjmujemy tym razem \\( x_0=0 \\). Odpowiada to położeniu równowagi, w którym sprężyna jest nierozciągnięta i siła sprężystości jest równa zeru. Energię potencjalną ponownie obliczamy z równania ( 7 ) przy czym korzystamy z podanego wyrażenia Praca wykonana przez siłę zmienną-( 4 ) na pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny", "Spróbuj teraz, korzystając z definicji energii potencjalnej, wykonać następujące ćwiczenie" ]

[]

[ "Pokazaliśmy, że gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza, to dla dowolnej drogi z \\( A \\) do \\( B \\)", "skąd wynika, że", "lub", "Równanie ( 4 ) wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej.", "Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.", "Teraz spróbujemy odpowiedzieć na pytanie czy energia jest zachowana w przypadku, gdy w układzie działa siła niezachowawcza. Jeżeli oprócz siły zachowawczej \\( F_z \\) działa jeszcze siła niezachowawcza \\( F_{nz} \\) (np. tarcie), to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy", "a ponieważ \\( {W_{{z}}=-\\mathit{\\Delta E}_{{p}}} \\), to", "Widzimy, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozpraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze \"straconą\" energią mechaniczną. Okazuje się, że zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną \\( U \\), która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej \\( \\Delta U \\) jest równa rozproszonej energii mechanicznej", "Z równania ( 13 ) wynika, że", "Na zakończenie uwzględnijmy jeszcze dodatkowo siłę \\( F_{zew} \\) wywieraną na układ przez czynnik zewnętrzny. Jeżeli działa taka siła to równanie ( 11 ) przyjmuje postać", "i w konsekwencji otrzymujemy", "Praca wykonana przez czynnik zewnętrzny równa jest sumie zmian energii kinetycznej, potencjalnej i energii wewnętrznej układu. W ten sposób uwzględniliśmy już całą energię.", "Zasada zachowania energii należy do najbardziej podstawowych praw fizyki. Wszystkie nasze doświadczenia pokazują, że jest to prawo bezwzględnie obowiązujące; nie znamy wyjątków od tego prawa.", "Jak widzieliśmy na przykładzie omawianym w ćwiczeniu powyżej, w zderzeniach nie musi być zachowana energia mechaniczna. Okazuje się jednak, że w zderzeniach spełniona jest też inna zasada zachowania; Zasada zachowania pędu." ]

[]

[ "Rozpatrzmy układ, o stałej masie \\( M \\), złożony z \\( n \\) punktów materialnych o masach \\( m_1 \\),. ..., \\( m_{n} \\) oraz prędkościach \\( v_{1} \\), ....., \\( v_{n} \\). Energia kinetyczna tego układu mierzona względem środka masy jest dana wyrażeniem", "gdzie \\( v_{śr.m.} \\) jest prędkością środka masy, a \\( v_{i,wzg} \\) jest prędkością \\( i \\)-tego punktu mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymujemy", "Zgodnie z równaniem Ruch środka masy-( 3 )", "a ponieważ prędkość środka masy mierzona względem środka masy jest równa zeru \\( v_{śr.m.,wzg}= 0 \\) więc drugi wyraz w równaniu ( 2 ) znika. Ostatecznie", "gdzie \\( E_k' \\) jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Zastosowanie tego równania zilustrujemy obliczając energię kinetyczną obręczy o masie \\( m \\) toczącej się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość \\( v \\) ( Rys. 1 )", "Ponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię obrotową (rotacyjną ) więc równanie ( 4 ) przyjmuje postać", "gdzie \\( v_{{\\text{obrot}\\text{.}\\text{wzg}}} \\) to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością \\( v \\) więc \\( v_{{\\text{obrot}\\text{.}\\text{wzg}}} \\) = \\( v \\).", "Stąd", "Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie \\( m \\) poruszającego się z tą samą prędkością \\( v \\) (ale nie obracającego się)." ]

[]

[ "Zdefiniowaliśmy pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy \\( m \\) i jego prędkości \\( {\\bf v} \\). Poznaliśmy też, drugą zasadę dynamiki Newtona w postaci", "Jeżeli jednak zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem, o stałej masie \\( M \\), złożonym z \\( n \\) punktów materialnych o masach \\( m_1 \\), ......, \\( m_{n} \\) oraz prędkościach \\( {\\bf v}_{1} \\), ..., \\( {\\bf v}_{n} \\) to układ jako całość będzie miał całkowity pęd \\( {\\bf P} \\) będący sumą wektorową pędów poszczególnych punktów", "Porównując tę zależność z równaniem Ruch środka masy-( 2 ) otrzymujemy zależność", "Zgodnie z równaniem Ruch środka masy-( 3 )", "więc druga zasada dynamiki Newtona dla układu punktów materialnych przyjmuje postać", "Ponownie widzimy, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy.", "Z równania ( 5 ) wynika, że gdy wypadkowa siła zewnętrzna równa jest zeru \\( {\\bf F}_{zew}=0 \\), to dla układu o stałej masie, środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, przy czym poszczególne punkty układu mogą poruszać się po różnych torach.", "To stwierdzenie wprowadza nas w zasadę zachowania pędu Zasada zachowania pędu." ]

[]

[ "Ponownie rozpatrzmy układ \\( n \\) punktów materialnych. Jeżeli układ jest odosobniony, to znaczy nie działają siły zewnętrzne, to zgodnie z równaniem Pęd układu punktów materialnych-( 5 )", "Ten warunek wyraża zasadę zachowania pędu.", "Zobaczymy teraz jak ta zasada stosuje się do wybranej sytuacji.", "Analogicznie posługując się zasadą zachowania pędu można wytłumaczyć zjawisko odrzutu występujące przy strzelaniu z broni palnej. Zjawisko odrzutu ma jednak ważne praktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych, w których wyrzucane spaliny nadają samolotowi (rakiecie) przeciwnie skierowany pęd. Zjawisko to jednak różni się od opisanych powyżej, bo w przeciwieństwie do układów, gdzie masa elementów składowych pozostawała stała, masa wyrzucanych spalin i masa rakiety zmieniają się.", "Przykład zastosowania zasad zachowania pędu dla układu o zmiennej masie (rakieta) możesz poznać w Układy o zmiennej masie.", "Wiemy już, że jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to spełniona jest zasada zachowania pędu. W takim układzie mogą jednak działać siły wewnętrzne, na przykład siły występujące przy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I właśnie dlatego możemy skorzystać z zasady zachowania pędu do opisu zderzeń." ]

[]

[ "Termin zderzenia obejmuje w fizyce szeroką klasę zjawisk. Dotej kategorii zaliczamy na przykład zderzenia kul bilardowych czy uderzenia piłki o ścianę. W tych przypadkach zderzające się ciała stykają się bezpośrednio i w punkcie ich zetknięcia pojawia się bardzo duża siła kontaktowa. Jednak oddziaływujące ciała nie muszą się stykać ze sobą, a i tak możemy mówić o ich zderzeniu. Dotyczy to na przykład oddziaływania cząstek naładowanych za pośrednictwem pola elektrycznego: odpychanie elektrostatyczne wpływa na ruch \"zderzających się\" cząstek. Pod pojęcie zderzeń możemy podciągnąć również reakcje jądrowe. Przykładowo, proton w trakcie zderzenia zjądrem może wniknąć do niego. Możemy również rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek. Cechą charakterystyczną tych wszystkich zjawisk jest występowanie sił impulsowych, to jest sił działających przez bardzo krótki czas.", "Właśnie ze względu na krótki czas działania nie możemy na ogół zmierzyć sił działających podczas zderzenia. Wiemy jednak, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (występują tylko siły wewnętrzne oddziaływania między zderzającymi się obiektami, a siły zewnętrzne są równe zeru), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można, stosując te zasady, spróbować przewidzieć wynik zderzenia.", "W zderzeniu sprężystym całkowita energia kinetyczna jest zachowana podczas, gdy w zderzeniu niesprężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się, mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste.", "Zobacz też Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej oraz Zderzenia na płaszczyźnie." ]

[ { "name": "Definicja 1: Zderzenia sprężyste i nie sprężyste", "content": "Gdy dwa ciała zderzają się, to zderzenie może być sprężyste (elastyczne) lub niesprężyste (nieelastyczne), w zależności od tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas tego zderzenia czy też nie." } ]

[ "Rozpatrzymy zderzenie sprężyste dwóch gładkich niewirujących kul o masach \\( m_1 \\) i \\( m_2 \\). Przed zderzeniem kule poruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne) z prędkościami odpowiednio \\( v_{1} \\) i \\( v_{2} \\), na przykład tak, jak na Rys. 1. Naszym celem jest znalezienie prędkości \\( u_1 \\) i \\( u_2 \\) tych kul po zderzeniu.", "Z zasady zachowania pędu dla układu obu kul otrzymujemy", "Ponieważ zderzenie jest sprężyste, to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu", "Rozwiązujemy układ dwóch równań ( 1 ) i ( 2 ) z dwoma niewiadomymi \\( u_1 \\), \\( u_2 \\) i otrzymujemy", "oraz", "Rozpatrzmy teraz kilka przypadków. W każdym z nich, posługując się zależnościami ( 3 ) i ( 4 ), obliczymy prędkości ciał po zderzeniu \\( u_1 \\) i \\( u_2 \\).", "Powyższa analiza pokazuje, na przykład jak dobierać materiał spowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być spowalniane, aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderza się je sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra, to neutrony zderzając się \"odbijałyby\" się nie tracąc nic z prędkości (przypadek b). Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie, np. elektrony, to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości (przypadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów (przypadek a).", "Rozważmy teraz przypadek zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii, na przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia. Tak jest w przypadku wahadła balistycznego, które służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie \\( M \\), wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie \\( m \\), mający prędkość poziomą \\( v \\), wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło, tzn. klocek z tkwiącym w nim pociskiem, wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość \\( h \\) tak, jak pokazano na Rys. 2.", "Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, poniważ klocek jest nieruchomy. Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk poruszają się razem. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy", "gdzie \\( u \\) jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu część energii kinetycznej pocisku jest tracona m.in. na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w potencjalną energię grawitacji, co możemy zapisać w postaci równania", "Rozwiązując ostatnie dwa równania, otrzymujemy", "Wystarczy więc zmierzyć wysokość \\( h \\) oraz masy \\( m \\) i \\( M \\), aby móc wyznaczyć prędkość pocisku \\( v \\)." ]

[]

[ "Dotychczas zajmowaliśmy się zderzeniami cząstek w przestrzeni jednowymiarowej. Teraz rozpatrzymy najprostszy przypadek wielowymiarowy; zajmiemy się zderzeniami sprężystymi na płaszczyźnie. Zaczniemy od analizy zderzenia sprężystego ukośnego kuli o masie \\( m \\) i prędkości \\( v \\) ze ścianą. Naszym celem jest znalezienie prędkości kuli po zderzeniu.", "Ruch kuli opisujemy w układzie współrzędnych \\( x \\) i \\( y \\) związanym ze ścianą, oś \\( x \\) pokazuje kierunek prostopadły do ściany, y - kierunek równoległy, a początek układu umieszczamy na powierzchni ściany w punkcie zderzenia. W tak wybranym układzie współrzędnych rozkładamy na składowe wektor prędkości \\( v \\) ( Rys. 1 )", "Na przykładzie rzutu ukośnego (moduł Rzut ukośny ) pokazaliśmy, że taki ruch na płaszczyźnie można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Ruch kuli w kierunku y odbywa się równolegle do ściany, więc składowa \\( v_{y} \\) nie ulega zmianie przy odbiciu. Natomiast składowa prostopadła do powierzchni ściany, po zderzeniu zmienia znak na przeciwny, kula odbija się od ściany jak w przykładzie (b) w poprzednim rozdziale ( Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej ). Stąd prędkość kuli po zderzeniu (odbiciu się od ściany)", "Prędkość po odbiciu od ściany jest taka sama jak przed odbiciem, a kąt odbicia jest równy kątowi padania ( Rys. 1 ).", "Teraz rozpatrzymy ukośne, sprężyste zderzenie kuli bilardowej poruszającej się z prędkością \\( v_{1} \\) z drugą identyczną spoczywająca kulą. Takie zagranie stosuje się, żeby skierować wybraną kulę pod pewnym kątem w bok. Dzieje się tak, gdy środek kuli spoczywającej nie leży na linii wzdłuż, której porusza się pierwsza kula. Takie zderzenie jest pokazane na rysunku poniżej ( Rys. 2 ).", "Zgodnie z zasadą zachowania pędu i zasadą zachowania energii", "lub", "Z równań tych wynika, że wektory \\( {\\bf v}_1 \\), \\( {\\bf u}_{1} \\) i \\( {\\bf u}_{2} \\) tworzą boki trójkąta prostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) tak jak na Rys. 3.", "Oznacza to, że dla dowolnego kąta \\( \\alpha (0,\\pi/2 ) \\) po zderzeniu kule będą zawsze poruszały się względem siebie pod kątem prostym. Wartość kąta \\( \\alpha \\) zależy natomiast od tak zwanego parametru zderzenia czyli odległości między pierwotnym kierunkiem ruchu kuli pierwszej, a środkiem kuli spoczywającej." ]

[]

[ "Rozpatrzymy układ, który stanowi rakieta wyrzucająca ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość ( Rys. 1 ).", "Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością \\( {\\bf v}_{s} \\) względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa \\( \\bf{ v} \\), zatem prędkość spalin względem rakiety \\( v_{wzg} \\) jest dana zależnością", "Jeżeli w przedziale czasu \\( dt \\) z rakiety wyrzucona zostaje masa \\( dm_s \\) z prędkością \\( v_{s} \\), to masa rakiety maleje o \\( dm \\), a jej prędkość rośnie o \\( dv \\), przy czym", "Znak minus wynika stąd, że masa rakiety maleje. Obliczamy teraz zmianę pędu \\( {\\bf P} \\) układu w czasie \\( dt \\)", "lub", "skąd ostatecznie", "Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość, podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością.", "Zmiana pędu układu jest, zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności ( 1 ) i ( 2 ) możemy przekształcić równanie ( 5 ) do postaci", "Ostatni wyraz w równaniu ( 6 ) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety (samolotu) nosi ona nazwę siły ciągu.", "Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej, to siły zewnętrzne \\( {\\bf F}_{zew} \\) są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu (jest spełniona zasada zachowania pędu). Natomiast gdy ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie), to wówczas \\( {\\bf F}_{zew} \\) reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć \\( {\\bf F}_{zew} \\). Na przykład rakieta Saturn 5, o masie ponad \\( 3000 \\) ton, wytwarzała przy starcie siłę ciągu \\( 40 \\) MN." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Rozważania dotyczące ruchu obrotowego zaczniemy od wyprowadzenia równań kinematyki ruchu obrotowego, podobnych do równań kinematyki ruchu postępowego. W ruchu obrotowym wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe \\( \\varphi \\). Kąt \\( \\varphi \\) określa położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia, jak pokazano na Rys. 1.", "Związek \\( \\varphi = s/R \\) między drogą liniową \\( s \\), a przesunięciem kątowym \\( \\varphi \\) wynika bezpośrednio z miary łukowej kąta \\( \\varphi \\). W ruchu obrotowym wielkością analogiczną chwilowej prędkości liniowej \\( v \\) jest chwilowa prędkość kątowa  \\( \\omega \\)", "W ruchu obrotowym podobnie jak w ruchu po okręgu  \\( \\omega \\), jest też nazywana częstością kątową i jest związana z częstotliwością \\( f \\) relacją", "Podobnie jak chwilowe przyspieszenie liniowe \\( a \\) zostało zdefiniowane chwilowe przyspieszenie kątowe \\( {\\alpha} \\)", "Możemy teraz podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym \\( \\alpha \\) poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.", "Pamiętajmy, że zarówno prędkość kątowa jak i przyspieszenie kątowe są wektorami. Na Rys. 2 poniżej, pokazane są wektory: prędkości liniowej \\( \\mathbf{v} \\), prędkości kątowej \\( \\boldsymbol{\\omega} \\), przyspieszenia stycznego \\( \\mathbf{a_{s}} \\), przyspieszenia normalnego \\( \\mathbf{a_{n}} \\) i przyspieszenia kątowego \\( \\boldsymbol{\\alpha} \\) punktu P obracającego się ciała sztywnego. Punkt P porusza się ruchem przyspieszonym po okręgu.", "Związki pomiędzy wielkościami liniowymi i kątowymi w postaci skalarnej są dane równaniami ( 1 ), ( 3 ) oraz równaniem Ruch jednostajny po okręgu-( 3 ). Natomiast te zależności w postaci wektorowej mają postać", "Więcej o ruchu przyspieszonym po okręgu możesz przeczytać w module Ruch przyspieszony po okręgu", "Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli kąt \\( \\varphi \\) jest mierzony w radianach (rad) to jednostką prędkości kątowej \\( \\omega \\) jest radian na sekundę (rad/s), a przyspieszenia kątowego \\( \\alpha \\) radian na sekundę do kwadratu (rad/s \\( ^{2} \\)).", "Na koniec rozwiążemy przykładowe zadanie dotyczące kinematyki ruchu obrotowego." ]

[]

[ "W module tym wprowadzimy dwie wielkości wektorowe o zasadniczym znaczeniu dla opisu ruchu obrotowego - moment siły i moment pędu, obie powiązanie drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.", "Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłożona. Na przykład, drzwi najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym do płaszczyzny drzwi. Siła przyłożona wzdłuż płaszczyzny drzwi jak i siła przyłożona w miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót. Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) \\( \\boldsymbol{\\tau} \\), zdefiniowany następująco:", "Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi", "Wielkość \\( r \\) nazywamy ramieniem siły. Z równania ( 1 ) wynika, że tylko składowa siły prostopadła do ramienia \\( {F_{\\bot}=F\\text{sin}\\theta } \\) wpływa na moment siły.", "Zdefiniujmy wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako:", "Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Żeby ją wyprowadzić zróżniczkujmy obie strony równania ( 2 ):", "Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z definicją moment siły wypadkowym momentem siły. Otrzymujemy więc", "To jest sformułowanie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego. Równanie ( 5 ) jest analogiczne do równania Zasady dynamiki Newtona-( 1 ) dla ruchu postępowego. Analogicznie możemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego", "oraz trzecią zasadę dynamiki ruchu obrotowego" ]

[ { "name": "Definicja 1: moment siły", "content": "\nJeżeli siła F jest przyłożona w punkcie którego położenie opisuje wektor wodzący r to moment \\( \\boldsymbol{\\tau} \\) siły F względem początku układu współrzędnych\n\n \\( \\boldsymbol{\\tau} = {\\bf r} \\times {\\bf F} \\)" }, { "name": "Definicja 2: Moment pędu", "content": "\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\bf L} = {\\bf r} \\times {\\bf p}, \\)\n\ngdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi\n\n(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( L = r p \\sin(\\theta) \\)\n\n" } ]

[ "Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty materialne", "gdzie L oznacza teraz całkowity moment pędu układu. Zauważmy, że jeśli  \\( \\underset{i}{\\sum }{\\bf \\unicode[Times]{x3C4}}_i = 0 \\), to  \\( \\frac{d{\\bf L}}{dt} = 0 \\), zatem L= const. Zależność ta wyraża zasadę zachowania momentu pędu:", "Zasadę zachowania momentu pędu ilustruja poniższe filmy:" ]

[]

[ "Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne, ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową \\( \\omega \\) wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową \\( \\omega \\), to punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną prędkość liniową \\( v \\) ( Rys. 1 ). Prędkość \\( i \\)-tego punktu o masie  \\( \\Delta m_i \\)wynosi \\( v_{i} = r_{i}\\omega \\), gdzie \\( r_{i} \\) jest odległością od osi obrotu.", "Obliczamy teraz wartość momentu pędu \\( L \\) tego ciała", "Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności \\( I \\), który definiujemy jako", "Zwróćmy uwagę, że moment bezwładności \\( I \\) zależy od osi obrotu. Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności", "a ponieważ zgodnie z równaniem Dynamika ruchu obrotowego-( 5 ) \\( \\tau = dL/dt \\)  więc", "gdzie \\( \\alpha \\) jest przyspieszeniem kątowym.", "Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała", "więc", "Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.", "Z tego porównania widać, że moment bezwładności \\( I \\) jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych są podane w Tabela 2.", "Przykład obliczania momentu bezwładności znajdziesz w module Obliczanie momentu bezwładności.", "Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności \\( I \\) ciała względem danej osi, a momentem bezwładności \\( I_{śr.m.} \\) tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej." ]

[ { "name": "Definicja 1: moment bezwładności", "content": "\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( I=\\underset{{i}}{\\sum }{r_{{i}}^{{2}}{\\Delta m}_{{i}}} \\)\n\ngdzie \\( r_i \\) jest odległością masy punktowej \\( m_i \\) od osi obrotu, a dla ciągłego rozkładu masy\n\n(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( I = \\int r^2 dm . \\)\n\n" } ]

[ "Na co dzień często mamy do czynienia z toczeniem się ciał. W przeciwieństwie do ruch obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego spróbujemy opisać toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego. W tym celu prześledźmy ruch walca o promieniu \\( {\\bf R} \\) pokazany na Rys. 1.", "W ruchu postępowym, Rys. 1 (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym wokół środka masy S, Rys. 1 (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na Rys. 1 (c) pokazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z Rys. 1 (a) i (b). Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili spoczywa (prędkość chwilowa v \\( _{A} \\) = 0). Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest proporcjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość dwukrotnie większą niż punkt S w odległości R). Jeszcze pełniej widać to na Rys. 2 gdzie narysowane są prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.", "Widać, że prędkość każdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch obrotowy względem nieruchomej osi. Oznacza to, że opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, że możemy toczenie opisywać również wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt A styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.", "W celu zilustrowania równoważności obu opisów obliczymy teraz energię kinetyczną walca o masie m toczącego się z prędkością v. Najpierw potraktujemy toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako sumę energii ruchu postępowego i obrotowego.", "Podstawiając wartość momentu bezwładności walca odczytaną z oraz uwzględniając, że dla ciała toczącego się bez poślizgu \\( \\omega = v/R \\) otrzymujemy", "Teraz powtórzymy nasze obliczenia ale potraktujemy toczenie wyłącznie jako obrót względem osi obrotu w punkcie A zetknięcia walca z powierzchnią. Energia kinetyczną obliczamy więc jako", "Moment bezwładności walca \\( I_{A} \\), względem osi A, obliczamy z twierdzenia Steinera", "Po podstawieniu tej wartości i uwzględniając, że \\( \\omega = v/R \\) otrzymujemy", "W obu przypadkach otrzymaliśmy ten sam rezultat. Widzimy, że możemy sformułować następującą zasadę:", "Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. O ruchu precesyjnym bąka możesz przeczytać w module Ruch precesyjny bąka." ]

[]