url
stringclasses 147
values | commit
stringclasses 147
values | file_path
stringlengths 7
101
| full_name
stringlengths 1
94
| start
stringlengths 6
10
| end
stringlengths 6
11
| tactic
stringlengths 1
11.2k
| state_before
stringlengths 3
2.09M
| state_after
stringlengths 6
2.09M
| input
stringlengths 73
2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_pow' | [118, 1] | [120, 96] | rw [HasProd.tprod_eq h] | case intro
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod f ^ p = โ' (n : โ), f n ^ p | case intro
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข g ^ p = โ' (n : โ), f n ^ p | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod f ^ p = โ' (n : โ), f n ^ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_pow' | [118, 1] | [120, 96] | rw [HasProd.tprod_eq _] | case intro
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข g ^ p = โ' (n : โ), f n ^ p | f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f n ^ p) (g ^ p) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข g ^ p = โ' (n : โ), f n ^ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_pow' | [118, 1] | [120, 96] | exact product_pow p h | f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f n ^ p) (g ^ p) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
p : โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f n ^ p) (g ^ p)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | rw [HasProd] at h โข | a g : โ
f : โ โ โ
h : HasProd f g
โข HasProd (Stream'.cons a f) (a * g) | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : HasProd f g
โข HasProd (Stream'.cons a f) (a * g)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | have ha := Filter.Tendsto.comp (Continuous.tendsto (continuous_mul_left a) g) h | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | have s : ((fun z โฆ a * z) โ fun N : Finset โ โฆ N.prod f) =
(fun N : Finset โ โฆ N.prod (Stream'.cons a f)) โ push := by
apply funext; intro N; simp; exact push_prod | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | rw [s] at ha | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | exact tendsto_comp_push.mp ha | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) atTop (๐ (a * g))
s : ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => Stream'.cons a f b) atTop (๐ (a * g))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | apply funext | a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข โ (x : Finset โ), ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) x = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) = (fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | intro N | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข โ (x : Finset โ), ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) x = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) x | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) N = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) N | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
โข โ (x : Finset โ), ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) x = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | simp | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) N = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) N | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข a * N.prod f = (push N).prod (Stream'.cons a f) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข ((fun z => a * z) โ fun N => N.prod f) N = ((fun N => N.prod (Stream'.cons a f)) โ push) N
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons | [123, 1] | [131, 32] | exact push_prod | case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข a * N.prod f = (push N).prod (Stream'.cons a f) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
a g : โ
f : โ โ โ
h : Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ g)
ha : Filter.Tendsto ((fun b => a * b) โ fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ (a * g))
N : Finset โ
โข a * N.prod f = (push N).prod (Stream'.cons a f)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons' | [134, 1] | [136, 95] | rcases h with โจg, hโฉ | a : โ
f : โ โ โ
h : ProdExists f
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * tprod f | case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * tprod f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : โ
f : โ โ โ
h : ProdExists f
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * tprod f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons' | [134, 1] | [136, 95] | rw [HasProd.tprod_eq h] | case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * tprod f | case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * tprod f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons' | [134, 1] | [136, 95] | rw [HasProd.tprod_eq _] | case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * g | a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun b => Stream'.cons a f b) (a * g) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข tprod (Stream'.cons a f) = a * g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_cons' | [134, 1] | [136, 95] | exact product_cons h | a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun b => Stream'.cons a f b) (a * g) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : โ
f : โ โ โ
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun b => Stream'.cons a f b) (a * g)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | have c := @product_cons (f 0)โปยน _ _ h | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0) | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | rw [HasProd] | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0) | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | rw [inv_mul_eq_div, HasProd, โ tendsto_comp_push, โ tendsto_comp_push] at c | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : HasProd (Stream'.cons (f 0)โปยน f) ((f 0)โปยน * g)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | have s : ((fun N : Finset โ โฆ N.prod fun n โฆ (Stream'.cons (f 0)โปยน f) n) โ push) โ push =
fun N : Finset โ โฆ N.prod fun n โฆ f (n + 1) := by
clear c h g; apply funext; intro N; simp
nth_rw 2 [โ Stream'.eta f]
simp only [โpush_prod, Stream'.head, Stream'.tail, Stream'.get, โmul_assoc, inv_mul_cancel f0,
one_mul] | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | rw [s] at c | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (fun N => N.prod fun n => f (n + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | assumption | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (fun N => N.prod fun n => f (n + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (fun N => N.prod fun n => f (n + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
s : ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f (b + 1)) atTop (๐ (g / f 0))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | clear c h g | f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
โข ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1) | f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
g : โ
f0 : f 0 โ 0
h : HasProd f g
c : Filter.Tendsto (((fun s => s.prod fun b => Stream'.cons (f 0)โปยน f b) โ push) โ push) atTop (๐ (g / f 0))
โข ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | apply funext | f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1) | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข โ (x : Finset โ), (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) x = x.prod fun n => f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข ((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push = fun N => N.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | intro N | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข โ (x : Finset โ), (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) x = x.prod fun n => f (n + 1) | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) N = N.prod fun n => f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
โข โ (x : Finset โ), (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) x = x.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | simp | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) N = N.prod fun n => f (n + 1) | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) = N.prod fun n => f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข (((fun N => N.prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) โ push) โ push) N = N.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | nth_rw 2 [โ Stream'.eta f] | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) = N.prod fun n => f (n + 1) | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน (Stream'.cons (Stream'.head f) (Stream'.tail f)) n) =
N.prod fun n => f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน f n) = N.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop | [139, 1] | [150, 26] | simp only [โpush_prod, Stream'.head, Stream'.tail, Stream'.get, โmul_assoc, inv_mul_cancel f0,
one_mul] | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน (Stream'.cons (Stream'.head f) (Stream'.tail f)) n) =
N.prod fun n => f (n + 1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
N : Finset โ
โข ((push (push N)).prod fun n => Stream'.cons (f 0)โปยน (Stream'.cons (Stream'.head f) (Stream'.tail f)) n) =
N.prod fun n => f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop' | [153, 1] | [155, 98] | rcases h with โจg, hโฉ | f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
h : ProdExists f
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = tprod f / f 0 | case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = tprod f / f 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
h : ProdExists f
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = tprod f / f 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop' | [153, 1] | [155, 98] | rw [HasProd.tprod_eq h] | case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = tprod f / f 0 | case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = g / f 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = tprod f / f 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop' | [153, 1] | [155, 98] | rw [HasProd.tprod_eq _] | case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = g / f 0 | f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข โ' (n : โ), f (n + 1) = g / f 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_drop' | [153, 1] | [155, 98] | exact product_drop f0 h | f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 โ 0
g : โ
h : HasProd f g
โข HasProd (fun n => f (n + 1)) (g / f 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | rw [HasProd] | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข HasProd f 0 | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข HasProd f 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | rw [Metric.tendsto_atTop] | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ 0) | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข โ ฮต > 0, โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < ฮต | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข Filter.Tendsto (fun s => s.prod fun b => f b) atTop (๐ 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | intro e ep | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข โ ฮต > 0, โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < ฮต | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
โข โ ฮต > 0, โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < ฮต
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | use Finset.range 1 | f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ n โฅ Finset.range 1, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ N, โ n โฅ N, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | intro N N1 | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ n โฅ Finset.range 1, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : N โฅ Finset.range 1
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
โข โ n โฅ Finset.range 1, dist (n.prod fun b => f b) 0 < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | simp at N1 | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : N โฅ Finset.range 1
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : N โฅ Finset.range 1
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | rw [Finset.prod_eq_zero N1 f0] | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist 0 0 < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist (N.prod fun b => f b) 0 < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_head_zero | [158, 1] | [161, 52] | simpa | case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist 0 0 < e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : โ โ โ
f0 : f 0 = 0
e : โ
ep : e > 0
N : Finset โ
N1 : 0 โ N
โข dist 0 0 < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_split | [164, 1] | [166, 38] | by_cases f0 : f 0 = 0 | f : โ โ โ
h : ProdExists f
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1)
case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
h : ProdExists f
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_split | [164, 1] | [166, 38] | rw [product_drop' f0 h] | case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * (tprod f / f 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_split | [164, 1] | [166, 38] | field_simp | case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * (tprod f / f 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : ยฌf 0 = 0
โข tprod f = f 0 * (tprod f / f 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_split | [164, 1] | [166, 38] | rw [f0, (product_head_zero f0).tprod_eq] | case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข 0 = 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข tprod f = f 0 * โ' (n : โ), f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Products.lean | product_split | [164, 1] | [166, 38] | simp | case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข 0 = 0 * โ' (n : โ), f (n + 1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
f : โ โ โ
h : ProdExists f
f0 : f 0 = 0
โข 0 = 0 * โ' (n : โ), f (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_on_cball_radius | [32, 1] | [38, 53] | have hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z r) := by
intro x H; exact AnalyticAt.differentiableWithinAt (h x H) | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
โข HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z โr) z โr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
โข HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z โr) z โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
โข HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z โr) z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_on_cball_radius | [32, 1] | [38, 53] | set p : FormalMultilinearSeries โ โ โ := cauchyPowerSeries f z r | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
โข HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z โr) z โr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ := cauchyPowerSeries f z โr
โข HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
โข HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z โr) z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_on_cball_radius | [32, 1] | [38, 53] | exact DifferentiableOn.hasFPowerSeriesOnBall hd rp | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ := cauchyPowerSeries f z โr
โข HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
hd : DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ := cauchyPowerSeries f z โr
โข HasFPowerSeriesOnBall f p z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_on_cball_radius | [32, 1] | [38, 53] | intro x H | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
โข DifferentiableOn โ f (closedBall z โr) | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
x : โ
H : x โ closedBall z โr
โข DifferentiableWithinAt โ f (closedBall z โr) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
โข DifferentiableOn โ f (closedBall z โr)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_on_cball_radius | [32, 1] | [38, 53] | exact AnalyticAt.differentiableWithinAt (h x H) | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
x : โ
H : x โ closedBall z โr
โข DifferentiableWithinAt โ f (closedBall z โr) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (closedBall z โr)
x : โ
H : x โ closedBall z โr
โข DifferentiableWithinAt โ f (closedBall z โr) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | intro x hx | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
โข AnalyticOn โ f (closedBall z โs) | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ closedBall z โs
โข AnalyticAt โ f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
โข AnalyticOn โ f (closedBall z โs)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | rw [closedBall] at hx | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ closedBall z โs
โข AnalyticAt โ f x | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ {y | dist y z โค โs}
โข AnalyticAt โ f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ closedBall z โs
โข AnalyticAt โ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | simp at hx | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ {y | dist y z โค โs}
โข AnalyticAt โ f x | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข AnalyticAt โ f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : x โ {y | dist y z โค โs}
โข AnalyticAt โ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | have hb : x โ ball z r := by
rw [ball]; simp only [dist_lt_coe, Set.mem_setOf_eq]; exact lt_of_le_of_lt hx sr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข AnalyticAt โ f x | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
hb : x โ ball z โr
โข AnalyticAt โ f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข AnalyticAt โ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | exact h x hb | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
hb : x โ ball z โr
โข AnalyticAt โ f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
hb : x โ ball z โr
โข AnalyticAt โ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | rw [ball] | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข x โ ball z โr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข x โ {y | dist y z < โr} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข x โ ball z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | simp only [dist_lt_coe, Set.mem_setOf_eq] | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข x โ {y | dist y z < โr} | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข nndist x z < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข x โ {y | dist y z < โr}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_small_cball | [45, 1] | [51, 15] | exact lt_of_le_of_lt hx sr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข nndist x z < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
s : โโฅ0
sr : s < r
x : โ
hx : nndist x z โค s
โข nndist x z < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have h0 := analyticOn_small_cball h (r / 2) (NNReal.half_lt_self <| rp.ne') | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rcases analyticOn_cball_radius (half_pos rp) h0 with โจp, phโฉ | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | set R := FormalMultilinearSeries.radius p | case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | refine
โจp, {
r_le := ?_
r_pos := ENNReal.coe_pos.mpr rp
hasSum := ?_ }โฉ | case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr | case intro.refine_1
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โr โค p.radius
case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ {y : โ}, y โ EMetric.ball 0 โr โ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ p, HasFPowerSeriesOnBall f p z โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | apply ENNReal.le_of_forall_pos_nnreal_lt | case intro.refine_1
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โr โค p.radius | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ (r_1 : โโฅ0), 0 < r_1 โ โr_1 < โr โ โr_1 โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โr โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | intro t tp tr | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ (r_1 : โโฅ0), 0 < r_1 โ โr_1 < โr โ โr_1 โค p.radius | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
โข โt โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ (r_1 : โโฅ0), 0 < r_1 โ โr_1 < โr โ โr_1 โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have ht := analyticOn_small_cball h t (ENNReal.coe_lt_coe.mp tr) | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
โข โt โค p.radius | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
โข โt โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
โข โt โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rcases analyticOn_cball_radius tp ht with โจp', hp'โฉ | case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
โข โt โค p.radius | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
โข โt โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
โข โt โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have pp : p = p' := HasFPowerSeriesAt.eq_formalMultilinearSeries โจโ(r / 2), phโฉ โจt, hp'โฉ | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
โข โt โค p.radius | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
โข โt โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rw [โ pp] at hp' | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | refine hp'.r_le | case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_1.h.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
t : โโฅ0
tp : 0 < t
tr : โt < โr
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt)
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt
pp : p = p'
โข โt โค p.radius
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | intro y yr | case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ {y : โ}, y โ EMetric.ball 0 โr โ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : y โ EMetric.ball 0 โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
โข โ {y : โ}, y โ EMetric.ball 0 โr โ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rw [EMetric.ball, Set.mem_setOf] at yr | case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : y โ EMetric.ball 0 โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : y โ EMetric.ball 0 โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rcases exists_between yr with โจt, t0, t1โฉ | case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have t1' : t.toNNReal < r := by
rw [โ WithTop.coe_lt_coe]; exact lt_of_le_of_lt ENNReal.coe_toNNReal_le_self t1 | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have ht := analyticOn_small_cball h t.toNNReal t1' | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have tp : 0 < ENNReal.toNNReal t :=
ENNReal.toNNReal_pos (ne_of_gt <| pos_of_gt t0) (ne_top_of_lt t1) | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rcases analyticOn_cball_radius tp ht with โจp', hp'โฉ | case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | have pp : p = p' :=
HasFPowerSeriesAt.eq_formalMultilinearSeries โจโ(r / 2), phโฉ โจt.toNNReal, hp'โฉ | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rw [โ pp] at hp' | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p' z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | refine hp'.hasSum ?_ | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y)) | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข y โ EMetric.ball 0 โt.toNNReal | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (z + y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rw [EMetric.ball, Set.mem_setOf] | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข y โ EMetric.ball 0 โt.toNNReal | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข edist y 0 < โt.toNNReal | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข y โ EMetric.ball 0 โt.toNNReal
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | calc edist y 0
_ < t := t0
_ = โt.toNNReal := (ENNReal.coe_toNNReal <| ne_top_of_lt t1).symm | case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข edist y 0 < โt.toNNReal | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.refine_2.intro.intro.intro
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
t1' : t.toNNReal < r
ht : AnalyticOn โ f (closedBall z โt.toNNReal)
tp : 0 < t.toNNReal
p' : FormalMultilinearSeries โ โ โ
hp' : HasFPowerSeriesOnBall f p z โt.toNNReal
pp : p = p'
โข edist y 0 < โt.toNNReal
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | rw [โ WithTop.coe_lt_coe] | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข t.toNNReal < r | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข โt.toNNReal < โr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข t.toNNReal < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | analyticOn_ball_radius | [53, 1] | [87, 72] | exact lt_of_le_of_lt ENNReal.coe_toNNReal_le_self t1 | f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข โt.toNNReal < โr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
z : โ
r : โโฅ0
rp : r > 0
h : AnalyticOn โ f (ball z โr)
h0 : AnalyticOn โ f (closedBall z โ(r / 2))
p : FormalMultilinearSeries โ โ โ
ph : HasFPowerSeriesOnBall f p z โ(r / 2)
R : ENNReal := p.radius
y : โ
yr : edist y 0 < โr
t : ENNReal
t0 : edist y 0 < t
t1 : t < โr
โข โt.toNNReal < โr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | set wr := abs w ^ n * rโปยน ^ n * d | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
โข Complex.abs ((cauchyPowerSeries f c (โr) n) fun x => w) โค Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs ((cauchyPowerSeries f c (โr) n) fun x => w) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
โข Complex.abs ((cauchyPowerSeries f c (โr) n) fun x => w) โค Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | rw [cauchyPowerSeries_apply f c r n w, smul_eq_mul, Complex.abs.map_mul] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs ((cauchyPowerSeries f c (โr) n) fun x => w) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs ((cauchyPowerSeries f c (โr) n) fun x => w) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | generalize hg : (fun z โฆ (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | have gs : โ z โ sphere c r, โg zโ โค wr * rโปยน := by
intro z; simp only [mem_sphere_iff_norm, Complex.norm_eq_abs]; intro zr
simp only [โ hg, zr, div_pow, Algebra.id.smul_eq_mul, AbsoluteValue.map_mul, map_divโ,
Complex.abs_pow, map_invโ]
have zb : z โ closedBall c r := by
simp only [Metric.mem_closedBall, dist_le_coe, โ NNReal.coe_le_coe, coe_nndist,
Complex.dist_eq, zr, le_refl]
have zs := h z zb
calc abs w ^ n / โr ^ n * (rโปยน * abs (f z))
_ = abs w ^ n * (rโปยน ^ n : โโฅ0) * (rโปยน * abs (f z)) := by
rw [div_eq_mul_inv, โ inv_pow, NNReal.coe_pow, NNReal.coe_inv]
_ โค abs w ^ n * rโปยน ^ n * (rโปยน * d) := by bound
_ = abs w ^ n * rโปยน ^ n * d * rโปยน := by ring
_ = wr * rโปยน := rfl | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | have cn := circleIntegral.norm_integral_le_of_norm_le_const (NNReal.coe_nonneg r) gs | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : โโฎ (z : โ) in C(c, โr), g zโ โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | rw [Complex.norm_eq_abs] at cn | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : โโฎ (z : โ) in C(c, โr), g zโ โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : โโฎ (z : โ) in C(c, โr), g zโ โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | simp only [mul_inv_rev, Complex.inv_I, AbsoluteValue.map_neg, AbsoluteValue.map_mul,
Complex.abs_I, map_invโ, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_two, one_mul, div_pow,
Algebra.id.smul_eq_mul] at hg cn โข | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
โข Complex.abs (2 * โฯ * I)โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | have p3 : |ฯ| = ฯ := abs_eq_self.mpr (by bound) | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
p3 : |ฯ| = ฯ
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | calc |ฯ|โปยน * 2โปยน * abs (circleIntegral g c โr)
_ โค |ฯ|โปยน * 2โปยน * (2 * ฯ * r * (wr * rโปยน)) := by bound
_ = ฯ * |ฯ|โปยน * (r * rโปยน) * wr := by ring
_ = ฯ * ฯโปยน * (r * rโปยน) * wr := by rw [p3]
_ = 1 * (r * rโปยน) * wr := by rw [mul_inv_cancel Real.pi_ne_zero]
_ = wr := by
rw [NNReal.coe_inv, mul_inv_cancel (NNReal.coe_ne_zero.mpr rp.ne'), one_mul, one_mul] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
p3 : |ฯ| = ฯ
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
gs : โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
cn : Complex.abs (โฎ (z : โ) in C(c, โr), g z) โค 2 * ฯ * โr * (wr * โrโปยน)
hg : (fun z => w ^ n / (z - c) ^ n * ((z - c)โปยน * f z)) = g
p3 : |ฯ| = ฯ
โข |ฯ|โปยน * 2โปยน * Complex.abs (circleIntegral g c โr) โค wr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | intro z | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
โข โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข z โ sphere c โr โ โg zโ โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
โข โ z โ sphere c โr, โg zโ โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | simp only [mem_sphere_iff_norm, Complex.norm_eq_abs] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข z โ sphere c โr โ โg zโ โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข Complex.abs (z - c) = โr โ Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข z โ sphere c โr โ โg zโ โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | intro zr | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข Complex.abs (z - c) = โr โ Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
โข Complex.abs (z - c) = โr โ Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | simp only [โ hg, zr, div_pow, Algebra.id.smul_eq_mul, AbsoluteValue.map_mul, map_divโ,
Complex.abs_pow, map_invโ] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs (g z) โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | have zb : z โ closedBall c r := by
simp only [Metric.mem_closedBall, dist_le_coe, โ NNReal.coe_le_coe, coe_nndist,
Complex.dist_eq, zr, le_refl] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | have zs := h z zb | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
zs : Complex.abs (f z) โค โd
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | calc abs w ^ n / โr ^ n * (rโปยน * abs (f z))
_ = abs w ^ n * (rโปยน ^ n : โโฅ0) * (rโปยน * abs (f z)) := by
rw [div_eq_mul_inv, โ inv_pow, NNReal.coe_pow, NNReal.coe_inv]
_ โค abs w ^ n * rโปยน ^ n * (rโปยน * d) := by bound
_ = abs w ^ n * rโปยน ^ n * d * rโปยน := by ring
_ = wr * rโปยน := rfl | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
zs : Complex.abs (f z) โค โd
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
zb : z โ closedBall c โr
zs : Complex.abs (f z) โค โd
โข Complex.abs w ^ n / โr ^ n * ((โr)โปยน * Complex.abs (f z)) โค wr * โrโปยน
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Uniform.lean | cauchy_bound | [89, 1] | [121, 92] | simp only [Metric.mem_closedBall, dist_le_coe, โ NNReal.coe_le_coe, coe_nndist,
Complex.dist_eq, zr, le_refl] | f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข z โ closedBall c โr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : โ โ โ
c : โ
r d : โโฅ0
w : โ
n : โ
rp : r > 0
h : โ w โ closedBall c โr, Complex.abs (f w) โค โd
wr : โ := Complex.abs w ^ n * โrโปยน ^ n * โd
g : โ โ โ
hg : (fun z => (w / (z - c)) ^ n โข (z - c)โปยน โข f z) = g
z : โ
zr : Complex.abs (z - c) = โr
โข z โ closedBall c โr
TACTIC:
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.