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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact ne_of_gt (sqrt_pos.2 hR.det_pos)
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact pow_nonneg (mul_nonneg (by positivity) (le_of_lt pi_pos)) _
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
norm_num
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact div_ne_zero (by norm_num) sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact exp_ne_zero _
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos))
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < 2 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 < 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 < 2 TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ 2 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
norm_num
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
by_cases h : m = 0
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
{ subst h; simp }
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp only [Matrix.quadForm, Matrix.trace, covarianceMatrix, diag, mul_apply, Finset.sum_mul, Finset.sum_div]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
erw [Finset.sum_comm (Ξ³ := Fin m)]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [Finset.mul_sum]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x) TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
ext i
case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
have hmnz : (m : ℝ) β‰  0 := by simp [h]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [← mul_assoc, mul_div_cancelβ‚€ _ hmnz]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
erw [Finset.sum_comm (Ξ± := Fin m)]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
ext j
case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [mul_assoc, ← Finset.mul_sum]
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
apply congr_arg
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
unfold Matrix.mulVec
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
unfold dotProduct
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp only [mul_comm (R _ _)]
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
subst h
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp [h]
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ ↑m β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ ↑m β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
Real.inverse_eq_inv
[75, 1]
[75, 68]
simp
a : ℝ ⊒ Ring.inverse a = a⁻¹
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a : ℝ ⊒ Ring.inverse a = a⁻¹ TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_zero
[20, 1]
[22, 39]
funext i j
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m ⊒ toUpperTri 0 = 0
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m i j : m ⊒ toUpperTri 0 i j = 0 i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m ⊒ toUpperTri 0 = 0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_zero
[20, 1]
[22, 39]
simp [Matrix.toUpperTri]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m i j : m ⊒ toUpperTri 0 i j = 0 i j
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m i j : m ⊒ toUpperTri 0 i j = 0 i j TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_smul
[24, 1]
[28, 34]
funext i j
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ ⊒ ΞΊ β€’ A.toUpperTri = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ A.toUpperTri) i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ ⊒ ΞΊ β€’ A.toUpperTri = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_smul
[24, 1]
[28, 34]
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ A.toUpperTri) i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ ΞΊ β€’ A.toUpperTri i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ A.toUpperTri) i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_smul
[24, 1]
[28, 34]
simp only [Matrix.toUpperTri]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ ΞΊ β€’ A.toUpperTri i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ if i ≀ j then A i j else 0) = if i ≀ j then (ΞΊ β€’ A) i j else 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ ΞΊ β€’ A.toUpperTri i j = (ΞΊ β€’ A).toUpperTri i j TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_smul
[24, 1]
[28, 34]
by_cases h : i ≀ j <;> simp [h]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ if i ≀ j then A i j else 0) = if i ≀ j then (ΞΊ β€’ A) i j else 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ΞΊ : ℝ i j : m ⊒ (ΞΊ β€’ if i ≀ j then A i j else 0) = if i ≀ j then (ΞΊ β€’ A) i j else 0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_add
[30, 1]
[34, 34]
funext i j
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ ⊒ (A + B).toUpperTri = A.toUpperTri + B.toUpperTri
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = (A.toUpperTri + B.toUpperTri) i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ ⊒ (A + B).toUpperTri = A.toUpperTri + B.toUpperTri TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_add
[30, 1]
[34, 34]
rw [Pi.add_apply, Pi.add_apply]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = (A.toUpperTri + B.toUpperTri) i j
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = A.toUpperTri i j + B.toUpperTri i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = (A.toUpperTri + B.toUpperTri) i j TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_add
[30, 1]
[34, 34]
simp only [Matrix.toUpperTri]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = A.toUpperTri i j + B.toUpperTri i j
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (if i ≀ j then (A + B) i j else 0) = (if i ≀ j then A i j else 0) + if i ≀ j then B i j else 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (A + B).toUpperTri i j = A.toUpperTri i j + B.toUpperTri i j TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.toUpperTri_add
[30, 1]
[34, 34]
by_cases h : i ≀ j <;> simp [h]
case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (if i ≀ j then (A + B) i j else 0) = (if i ≀ j then A i j else 0) + if i ≀ j then B i j else 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.h n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A B : Matrix m m ℝ i j : m ⊒ (if i ≀ j then (A + B) i j else 0) = (if i ≀ j then A i j else 0) + if i ≀ j then B i j else 0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
[36, 1]
[41, 18]
intros i j hij
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ⊒ A.toUpperTri.upperTriangular
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ A.toUpperTri i j = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ ⊒ A.toUpperTri.upperTriangular TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
[36, 1]
[41, 18]
unfold toUpperTri
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ A.toUpperTri i j = 0
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ (if i ≀ j then A i j else 0) = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ A.toUpperTri i j = 0 TACTIC:
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Matrix.upperTriangular_toUpperTri
[36, 1]
[41, 18]
rw [if_neg]
n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ (if i ≀ j then A i j else 0) = 0
case hnc n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ Β¬i ≀ j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ (if i ≀ j then A i j else 0) = 0 TACTIC:
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Matrix.upperTriangular_toUpperTri
[36, 1]
[41, 18]
simpa using hij
case hnc n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ Β¬i ≀ j
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hnc n : Type inst✝³ : Fintype n inst✝² : LinearOrder n inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n m : Type u_1 inst✝ : LinearOrder m A : Matrix m m ℝ i j : m hij : id j < id i ⊒ Β¬i ≀ j TACTIC:
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Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
[43, 1]
[48, 44]
ext i j
n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular ⊒ A.toUpperTri = A
case a n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular ⊒ A.toUpperTri = A TACTIC:
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Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
[43, 1]
[48, 44]
by_cases h : i ≀ j
case a n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
case pos n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case a n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n ⊒ A.toUpperTri i j = A i j TACTIC:
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Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
[43, 1]
[48, 44]
simp [toUpperTri, h]
case pos n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j TACTIC:
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Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
[43, 1]
[48, 44]
simp [toUpperTri, h, hA (lt_of_not_ge h)]
case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : Type inst✝² : Fintype n inst✝¹ : LinearOrder n inst✝ : LocallyFiniteOrderBot n A : Matrix n n ℝ hA : A.upperTriangular i j : n h : Β¬i ≀ j ⊒ A.toUpperTri i j = A i j TACTIC:
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gaussianPdf_pos
[24, 1]
[27, 53]
refine' mul_pos (div_pos zero_lt_one (sqrt_pos.2 (mul_pos _ h.det_pos))) (exp_pos _)
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < gaussianPdf R y
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < gaussianPdf R y TACTIC:
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gaussianPdf_pos
[24, 1]
[27, 53]
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) n)
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n TACTIC:
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gaussianPdf_pos
[24, 1]
[27, 53]
positivity
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin n β†’ ℝ h : R.PosDef ⊒ 0 < 2 TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
have : βˆ€ i, i ∈ Finset.univ β†’ gaussianPdf R (y i) β‰  0 := fun i _ => ne_of_gt (gaussianPdf_pos _ _ hR)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2) TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
have sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero: sqrt ((2 * Ο€) ^ n * R.det) β‰  0 := by refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos)) exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2) TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
rw [log_prod Finset.univ (fun i => gaussianPdf R (y i)) this]
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (∏ i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2) TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
unfold gaussianPdf
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (gaussianPdf R (y i)).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
apply congr_arg (Finset.sum Finset.univ)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (fun i => (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log) = fun i => -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ βˆ‘ i : Fin N, (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = βˆ‘ i : Fin N, (-(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2) TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
ext i
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (fun i => (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log) = fun i => -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2
case h N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 ⊒ (fun i => (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log) = fun i => -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2 TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
rw [log_mul, log_div, sqrt_mul, log_mul, log_exp, log_one, zero_sub]
case h N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt * (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp).log = -(((2 * Ο€) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -R⁻¹.quadForm (y i) / 2 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
simp [rpow_eq_pow]
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ Β¬((2 * Ο€) ^ n).sqrt = 0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact ne_of_gt (sqrt_pos.2 (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _))
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ Β¬((2 * Ο€) ^ n).sqrt = 0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ Β¬((2 * Ο€) ^ n).sqrt = 0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact ne_of_gt (sqrt_pos.2 hR.det_pos)
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ R.det.sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact pow_nonneg (mul_nonneg (by positivity) (le_of_lt pi_pos)) _
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ (2 * Ο€) ^ n case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
norm_num
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact div_ne_zero (by norm_num) sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hx N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 / ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact exp_ne_zero _
case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.hy N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ (-R⁻¹.quadForm (y i) / 2).exp β‰  0 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos))
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < (2 * Ο€) ^ n TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 ⊒ 0 < 2 TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 < 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 < 2 TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
positivity
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 0 ≀ 2 TACTIC:
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log_prod_gaussianPdf
[33, 1]
[53, 22]
norm_num
N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: N n : β„• y : Fin N β†’ Fin n β†’ ℝ R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ hR : R.PosDef this : βˆ€ i ∈ Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β‰  0 sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο€) ^ n * R.det).sqrt β‰  0 i : Fin N ⊒ 1 β‰  0 TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
by_cases h : m = 0
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
{ subst h; simp }
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp only [Matrix.quadForm, Matrix.trace, covarianceMatrix, diag, mul_apply, Finset.sum_mul, Finset.sum_div]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
erw [Finset.sum_comm (Ξ³ := Fin m)]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x ⬝α΅₯ R.mulVec (y x) = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [Finset.mul_sum]
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = ↑m * βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ βˆ‘ y_1 : Fin n, βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x) TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
ext i
case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 ⊒ (fun y_1 => βˆ‘ x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x => βˆ‘ x_1 : Fin n, βˆ‘ i : Fin m, ↑m * (y i x * y i x_1 / ↑m * R.transpose x_1 x) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
have hmnz : (m : ℝ) β‰  0 := by simp [h]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [← mul_assoc, mul_div_cancelβ‚€ _ hmnz]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i)
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ i_1 : Fin m, ↑m * (y i_1 i * y i_1 x / ↑m * R.transpose x i) TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
erw [Finset.sum_comm (Ξ± := Fin m)]
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ x : Fin n, βˆ‘ x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ βˆ‘ x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = βˆ‘ y_1 : Fin m, βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
ext j
case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 ⊒ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => βˆ‘ x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp_rw [mul_assoc, ← Finset.mul_sum]
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = βˆ‘ x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
apply congr_arg
case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
unfold Matrix.mulVec
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ R.mulVec (y j) i = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
unfold dotProduct
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; (fun j => R i j) ⬝α΅₯ y j) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp only [mul_comm (R _ _)]
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ (let i := i; βˆ‘ i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
congr
case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.e_f.h.e_f.h.h n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n hmnz : ↑m β‰  0 j : Fin m ⊒ βˆ‘ x : Fin n, y j x * R i x = βˆ‘ i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
subst h
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : m = 0 ⊒ βˆ‘ i : Fin m, R.quadForm (y i) = ↑m * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp
case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ y : Fin 0 β†’ Fin n β†’ ℝ ⊒ βˆ‘ i : Fin 0, R.quadForm (y i) = ↑0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
sum_quadForm
[55, 1]
[73, 8]
simp [h]
n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ ↑m β‰  0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: n : β„• R : Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ m : β„• y : Fin m β†’ Fin n β†’ ℝ h : Β¬m = 0 i : Fin n ⊒ ↑m β‰  0 TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
Real.inverse_eq_inv
[75, 1]
[75, 68]
simp
a : ℝ ⊒ Ring.inverse a = a⁻¹
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a : ℝ ⊒ Ring.inverse a = a⁻¹ TACTIC:
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
Matrix.BlockTriangular_blockDiagonal'
[36, 1]
[40, 71]
rintro ⟨i, i'⟩ ⟨j, j'⟩ h
Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type ?u.1255 m : Type ?u.1258 n : Type ?u.1261 o : Type ?u.1264 m' : Ξ± β†’ Type u_2 n' : Ξ± β†’ Type ?u.1274 R : Type v inst✝² : CommRing R M : Matrix m m R b : m β†’ Ξ± inst✝¹ : Preorder Ξ± inst✝ : DecidableEq Ξ± d : (i : Ξ±) β†’ Matrix (m' i) (m' i) R ⊒ (blockDiagonal' d).BlockTriangular Sigma.fst
case mk.mk Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type ?u.1255 m : Type ?u.1258 n : Type ?u.1261 o : Type ?u.1264 m' : Ξ± β†’ Type u_2 n' : Ξ± β†’ Type ?u.1274 R : Type v inst✝² : CommRing R M : Matrix m m R b : m β†’ Ξ± inst✝¹ : Preorder Ξ± inst✝ : DecidableEq Ξ± d : (i : Ξ±) β†’ Matrix (m' i) (m' i) R i : Ξ± i' : m' i j : Ξ± j' : m' j h : ⟨j, j'⟩.fst < ⟨i, i'⟩.fst ⊒ blockDiagonal' d ⟨i, i'⟩ ⟨j, j'⟩ = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type ?u.1255 m : Type ?u.1258 n : Type ?u.1261 o : Type ?u.1264 m' : Ξ± β†’ Type u_2 n' : Ξ± β†’ Type ?u.1274 R : Type v inst✝² : CommRing R M : Matrix m m R b : m β†’ Ξ± inst✝¹ : Preorder Ξ± inst✝ : DecidableEq Ξ± d : (i : Ξ±) β†’ Matrix (m' i) (m' i) R ⊒ (blockDiagonal' d).BlockTriangular Sigma.fst TACTIC:
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
Matrix.BlockTriangular_blockDiagonal'
[36, 1]
[40, 71]
apply blockDiagonal'_apply_ne d i' j' (fun h' => ne_of_lt h h'.symm)
case mk.mk Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type ?u.1255 m : Type ?u.1258 n : Type ?u.1261 o : Type ?u.1264 m' : Ξ± β†’ Type u_2 n' : Ξ± β†’ Type ?u.1274 R : Type v inst✝² : CommRing R M : Matrix m m R b : m β†’ Ξ± inst✝¹ : Preorder Ξ± inst✝ : DecidableEq Ξ± d : (i : Ξ±) β†’ Matrix (m' i) (m' i) R i : Ξ± i' : m' i j : Ξ± j' : m' j h : ⟨j, j'⟩.fst < ⟨i, i'⟩.fst ⊒ blockDiagonal' d ⟨i, i'⟩ ⟨j, j'⟩ = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case mk.mk Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type ?u.1255 m : Type ?u.1258 n : Type ?u.1261 o : Type ?u.1264 m' : Ξ± β†’ Type u_2 n' : Ξ± β†’ Type ?u.1274 R : Type v inst✝² : CommRing R M : Matrix m m R b : m β†’ Ξ± inst✝¹ : Preorder Ξ± inst✝ : DecidableEq Ξ± d : (i : Ξ±) β†’ Matrix (m' i) (m' i) R i : Ξ± i' : m' i j : Ξ± j' : m' j h : ⟨j, j'⟩.fst < ⟨i, i'⟩.fst ⊒ blockDiagonal' d ⟨i, i'⟩ ⟨j, j'⟩ = 0 TACTIC: