Datasets:

rafalposwiata

/

open-coursebooks-pl

like 3

[ "Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich zachowania. Na wykresach ciągów z Rys. 1 widzimy, że charakter każdego z ciągów jest zupełnie inny.", "W pierwszym ciągu pokazanym na Rys. 1 każdy kolejny wyraz jest większy od wyrazów poprzednich i ciąg o takiej własności nazywamy rosnącym. W ciągu drugim każdy kolejny wyraz jest od poprzednich mniejszy i ciąg mający taką własność nazywamy malejącym. W trzecim ciągu wszystkie wyrazy są takie same i taki ciąg nazywamy stałym. Może się również zdarzyć, że każdy kolejny wyraz ciągu jest nie mniejszy albo nie większy (tzn. może być też równy) od wyrazu poprzedniego i ciągi o takich własnościach nazywamy niemalejącym albo nierosnącym. Zauważmy, że ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.", "Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ani rosnące lub niemalejące, ani malejące lub nierosnące, ani stałe i mówimy, że taki ciąg nie jest monotoniczny. Rys. 2 przedstawia ciąg, który nie ma żadnej z powyższych własności.", "Rzeczywiście, np. wyraz drugi jest większy od wyrazu pierwszego, wyraz trzeci jest natomiast mniejszy od drugiego, wyraz czwarty jest znowu większy od trzeciego itp.", "' Komentarz Definicję Ciąg rosnący można w sposób równoważny wyrazić w postaci nierówności \\( a_{n+1}-a_n > 0 \\), która powinna być spełniona dla każdego \\( n \\in M \\). Jeżeli dodatkowo wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu \\( (a_n)_{n \\in M } \\) są dodatnie, to ciąg jest rosnący, gdy dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest nierówność \\( \\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \\). Jeżeli w nierównościach zmienimy zwroty nierówności na przeciwne, to analogiczne warunki równoważne definiują ciąg malejący. Wypisane warunki są łatwiejsze do sprawdzenia w praktyce, gdyż wystarczy zbadać znak różnicy \\( a_{n+1}-a_n \\) lub dla ciągów o wyrazach dodatnich przyrównać iloraz \\( \\frac{a_{n+1}}{a_n} \\) do jedynki, aby odpowiedzieć na pytanie o monotoniczność ciągu.", "Komentarz Bardzo często analiza zachowania się ciągu liczbowego sprowadza się do badania zachowania się tego ciągu dla wyrazów o dużych indeksach, czyli nie interesuje nas zachowanie się początkowych wyrazów ciągu (nawet dużej ich ilości), a raczej „końcówka” tego ciągu. Z takiego punktu widzenia, może się zdarzyć, że dopiero po odrzuceniu pewnej liczby wyrazów początkowych, otrzymujemy ciąg monotoniczny i takie ciągi nazywamy monotonicznymi od pewnego miejsca.", "Rys. 3 przedstawia wykresy trzech ciągów, których monotoniczność ustala się dopiero od pewnego wyrazu, a nie od wyrazu pierwszego, jak to ma miejsce dla ciągów monotonicznych. Rzeczywiście pierwszy wykres przedstawia ciąg, który jest rosnący począwszy od 11-go wyrazu. Drugi wykres przedstawia ciąg, który jest malejący począwszy od 8-go wyrazu, a wykres trzeci przedstawia ciąg, który jest stały od 16-go wyrazu." ]

[ { "name": "Definicja 1: Ciąg rosnący", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n)_{n \\in M} \\) jest rosnący, jeżeli dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1} > a_n \\). " }, { "name": "Definicja 2: Ciąg malejący", "content": "Mówimy, że ciąg \\( (a_n)_{n \\in M} \\) jest malejący, jeżeli dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1} < a_n \\). " }, { "name": "Definicja 3: Ciąg stały", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n)_{n \\in M} \\) jest stały, jeżeli dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest równość \\( a_{n+1} = a_n \\). " }, { "name": "Definicja 4: Ciąg niemalejący", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n)_{n \\in M} \\) jest niemalejący, jeżeli dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1}\\geq a_n \\). " }, { "name": "Definicja 5: Ciąg nierosnący", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n)_{n \\in M } \\) jest nierosnący, jeżeli dla wszystkich \\( n \\in M \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1} \\leq a_n \\). " }, { "name": "Definicja 6: Ciąg rosnący od pewnego miejsca", "content": " Jeżeli dziedziną ciągu \\( (a_n) \\) jest \\( \\mathbb{N} \\) i istnieje \\( n_0 \\in \\mathbb{N} \\) takie, że dla każdego \\( n \\geq n_0 \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1} > a_n \\) , to mówimy, że ciąg jest rosnący od pewnego miejsca. " }, { "name": "Definicja 7: Ciąg malejący od pewnego miejsca", "content": " Jeżeli dziedziną ciągu \\( (a_n) \\) jest \\( \\mathbb{N} \\) i istnieje \\( n_0 \\in \\mathbb{N} \\) takie, że dla każdego \\( n \\geq n_0 \\) spełniona jest nierówność \\( a_{n+1} < a_n \\) , to mówimy, że ciąg jest malejący od pewnego miejsca." }, { "name": "Definicja 8: Ciąg stały od pewnego miejsca", "content": " Jeżeli dziedziną ciągu \\( (a_n) \\) jest \\( \\mathbb{N} \\) i istnieje \\( n_0 \\in \\mathbb{N} \\) takie, że dla każdego \\( n \\geq n_0 \\) spełniona jest równość \\( a_{n+1} = a_n \\) , to mówimy, że ciąg jest stały od pewnego miejsca." } ]

[ "Zbadajmy zachowanie się ciągów ze względu na własność ograniczoności.", "Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby A=2.", "Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są większe od liczby A=-1,6.", "Na Rys. 1 i Rys. 2 widzimy wykresy dwóch ciągów, przy czym wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej i taki ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, podczas gdy wszystkie wyrazy drugiego ciągu są większe od pewnej liczby rzeczywistej i nazywamy go ciągiem ograniczonym od dołu.", "Rys. 3 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby 1, ale większe od liczby -3. Oznacza to, że wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale \\( [-3,3] \\).", "Istnieją również ciągi, które są ograniczone zarówno od góry, jak i od dołu i taki ciąg nazywamy ograniczonym. Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego leżą w przedziale \\( [-A, A] \\), dla pewnej liczby \\( A>0 \\).", "Rys. 4 przedstawia wykres ciągu, dla którego znajdą się wyrazy zarówno większe jak i mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej. Ciąg taki nie spełnia więc żadnego z warunków ograniczoności.", "W przypadku, gdy nie znajdziemy takiej liczby, od której wszystkie wyrazy ciągu byłyby mniejsze, lub takiej, od której wszystkie wyrazy byłyby większe, to ciąg o tej własności nazywamy nieograniczonym.", "Aby analitycznie zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry (albo od dołu) należy znaleźć liczbę rzeczywistą, dla której spodziewamy się, że każdy wyraz ciągu będzie od niej mniejszy (albo większy), a następnie udowodnić, że rzeczywiście tak jest. Znaleźć taką liczbę można korzystając z wykresu ciągu lub z ogólnych zasad pozwalających ograniczać wartości wyrażeń. Warto zauważyć prosty fakt, że ciąg rosnący jest zawsze ograniczony od dołu, a ciąg malejący jest ograniczony od góry przez swój pierwszy wyraz." ]

[ { "name": "Definicja 1: Ciąg ograniczony od góry", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n) \\) jest ograniczony od góry, jeżeli istnieje liczba \\( A \\in \\mathbb{R} \\) taka, że dla każdego \\( n \\in \\mathbb{N} \\) zachodzi \\( a_n \\leq A \\)." }, { "name": "Definicja 2: Ciąg ograniczony od dołu", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n) \\) jest ograniczony od dołu, jeżeli istnieje liczba \\( A \\in \\mathbb{R} \\) taka, że dla każdego \\( n \\in \\mathbb{N} \\) zachodzi \\( a_n \\geq A \\). " }, { "name": "Definicja 3: Ciąg ograniczony", "content": " Mówimy, że ciąg \\( (a_n) \\) jest ograniczony, jeżeli ciąg \\( (a_n) \\) jest ograniczony od dołu i od góry, co jest równoważne warunkowi, że istnieje liczba \\( A \\gt 0 \\) taka, że dla każdego \\( n \\in \\mathbb{N} \\) zachodzi \\( |a_n| \\leq A \\). " } ]

[ "Dla kolejnych rozważań zakładamy, że ciąg \\( (a_n) \\) jest nieskończony. Zastanówmy się, jak zachowują się wyrazy ciągu \\( (a_n) \\), jeżeli \\( n \\) jest coraz większe, czyli mówimy, że \\( n \\) zmierza do nieskończoności. Na Rys. 1 widzimy ciąg o wyrazach dodatnich, którego wyrazy, wraz ze wzrostem wartości \\( n \\), coraz bardziej zbliżają się do liczby zero, nigdy tej wartości nie osiągając. Jeżeli jednak wybierzemy liczbę \\( \\varepsilon \\gt 0 \\), dowolnie bliską zeru, to nieskończenie wiele wyrazów ciągu leży w przedziale \\( \\lbrack - \\varepsilon, \\varepsilon\\rbrack \\).", "Komentarz W wielu sytuacjach warto wiedzieć czy wyrazy rozważanego ciągu mają tendencję do skupiania się wokół jakiejś liczby. Gdyby rzeczywiście tak było, to znajomość tej liczby pozwala „zlokalizować” nasz ciąg na osi. Oznacza to, że prawie wszystkie, poza skończoną ilością, wyrazy naszego ciągu leżą w pobliżu danej liczby, którą nazywamy granicą ciągu. Fakt, że liczba \\( g \\) jest granicą właściwą ciągu \\( (a_n) \\) oznacza więc, że prawie wszystkie (tzn. wszystkie od pewnego miejsca) wyrazy ciągu leżą w przedziale \\( (g-\\varepsilon,g+\\varepsilon) \\), a ponieważ \\( \\varepsilon \\) może być dowolnie małe, tak więc dowolnie blisko liczby \\( g \\) znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu \\( (a_n) \\)", "Zauważamy, że ciągi z Rys. 2 zachowują się, przy \\( n \\) zmierzającym do nieskończoności, inaczej niż ciąg zbieżny do pewnej granicy \\( g \\). Jeżeli wybierzemy dowolnie dużą liczbę \\( E>0 \\), to nieskończenie wiele wyrazów ciągu pierwszego jest większych od liczby \\( E \\), oraz nieskończenie wiele wyrazów ciągu drugiego jest mniejszych od liczby \\( -E \\). Z dowolności wyboru liczby \\( E \\) wnioskujemy, że wyrazy żadnego z obydwu ciągów nie lokalizują się w pobliżu żadnej liczby rzeczywistej. Mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do \\( + \\infty \\), w pierwszym przypadku, albo do \\( - \\infty \\), w drugim przypadku.", "Na Rys. 3 widzimy wykres ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów, większych od dowolnie wybranej liczby \\( E>0 \\), ale równocześnie ma też nieskończenie wiele wyrazów, które są mniejsze od liczby \\( –E \\). Wyrazy tego ciągu nie tylko nie lokalizują się wokół żadnej liczby rzeczywistej, ale również nie spełniają definicji ciągu rozbieżnego do \\( + \\infty \\), ani do \\( - \\infty \\). Taki ciąg nazywamy ciągiem rozbieżnym, albo ciągiem, który nie ma granicy." ]

[ { "name": "Definicja 1: Granica właściwa ciągu", "content": "Mówimy, że ciąg nieskończony \\( (a_n) \\) ma granicę właściwą \\( g \\), jeżeli dla dowolnej liczby \\( \\varepsilon \\gt 0 \\) od pewnego miejsca zachodzi warunek \\( |a_n-g| \\lt \\varepsilon \\). " }, { "name": "Definicja 2: Granica niewłaściwa \\( + \\infty \\) ciągu", "content": "Mówimy, że ciąg \\( (a_n) \\) ma granicę niewłaściwą \\( + \\infty \\), jeżeli dla dowolnej liczby \\( E>0 \\) od pewnego miejsca zachodzi nierówność \\( a_n> E \\). " }, { "name": "Definicja 3: Granica niewłaściwa \\( - \\infty \\) ciągu", "content": "Mówimy, że ciąg \\( (a_n) \\) ma granicę niewłaściwą \\( - \\infty \\), jeżeli dla dowolnej liczby \\( E>0 \\) od pewnego miejsca zachodzi nierównośc \\( a_n<-E \\). " }, { "name": "Definicja 4: Ciąg rozbieżny", "content": "Ciąg, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym." } ]

[ "Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, który jest zbieżny do granicy \\( 2 \\). Ponieważ wiemy z definicji granicy ciągu, że prawie wszystkie jego wyrazy leżą w przedziale \\( [1,3] \\) i poza tym przedziałem leży tylko skończona liczba wyrazów ciągu, więc jeżeli są wyrazy większe od \\( 3 \\), to żaden wyraz ciągu nie będzie większy niż największy z tych, które są większe od \\( 3 \\).", "Analogicznie rozumujemy ograniczając ciąg od dołu albo przez liczbę \\( 1 \\), albo przez najmniejszy z wyrazów, które są mniejsze od \\( 1 \\).", "Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, który jest ograniczony, ale nie posiada granicy właściwej. Przykład ten pokazuje, że własność ograniczoności ciągu nie jest tożsama ze zbieżnością, czyli istnieją ciągi, które są ograniczone i nie mają granicy właściwej.", "Rys. 3 przedstawia dwa ciągi, z których pierwszy jest rozbieżny do \\( + \\infty \\), a drugi rozbieżny do \\( - \\infty \\). Zauważamy, że prawie wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są większe od dowolnej liczby rzeczywistej oraz prawie wszystkie wyrazy drugiego ciągu są mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej.", "Rys. 4 pokazuje ciąg, którego nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby \\( 1 \\), ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby \\( -1 \\).", "Jeżeli wybierzemy \\( \\varepsilon \\in (0,1) \\), to poza przedziałami \\( [ 1- \\varepsilon, 1+ \\varepsilon ] \\) oraz \\( [ -1- \\varepsilon, -1+ \\varepsilon ] \\) leży zawsze nieskończenie wiele wyrazów ciągu, czyli liczby \\( 1 \\) ani \\( -1 \\) nie mogą być granicami ciągu. Tym bardziej granicą nie może być żadna inna liczba rzeczywista różna od \\( 1 \\) i \\( -1 \\). Pokazuje to, że nawet jeżeli nieskończenie wiele wyrazów ciągu skupia się wokół pewnej liczby rzeczywistej, to nie musi ona być granicą ciągu.", "Rys. 5 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi zbieżne, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca większe niż drugi (niebieski). Wydaje się być oczywiste, że granica ciągu o wyrazach większych nie może być mniejsza od granicy ciągu o wyrazach mniejszych. Już nie taki oczywisty jest fakt, że granice te mogą być równe, mimo, że pomiędzy wyrazami zachodzą nierówności silne.", "Rys. 6 przedstawia dwa ciągi ograniczone, z których jeden jest rosnący (niebieski), a drugi malejący (czerwony). Zauważamy, że obydwa ciągi mają granice właściwe, ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny do najmniejszego swojego ograniczenia górnego, a ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny do największego swojego ograniczenia dolnego." ]

[]

[ "Na wyrazach dwóch lub więcej ciągów możemy wykonywać działania arytmetyczne otrzymując nowy ciąg. Jeżeli ciągi wyjściowe były zbieżne, to analogiczne działania arytmetyczne można również wykonywać na granicach właściwych tych ciągów, ale także na granicach niewłaściwych otrzymując symbole graniczne ujmowane w nawisy kwadratowe, dla zaznaczenia, że nie są to działania wykonywane na liczbach, tylko na granicach. Niektóre z tych symboli dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to jakie ciągi składowe dają określony symbol graniczny i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Niektóre znów dają różne wyniki w zależności od tego, na jakich ciągach wykonujemy działania i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.", "Rys. 1 przedstawia dwa ciągi, z których jeden (czerwony) powstaje z drugiego (niebieskiego) poprzez operację odwrócenia wyrazów ciągu tzn. \\( b_n= \\frac{1}{a_n} \\) . Zauważamy, że jeżeli ciąg wyjściowy jest rozbieżny do \\( + \\infty \\), to ciąg odwrotności jego wyrazów jest zbieżny do zera i na odwrót, jeżeli ciąg wyjściowy o wyrazach dodatnich jest zbieżny do zera, to ciąg odwrotności jego wyrazów jest rozbieżny do \\( +\\infty \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony", "content": "\nSymbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik zależny tylko od granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.\n\nSymbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.\n\n" } ]

[ "Rys. 1 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi, z których jeden ma od pewnego miejsca wyrazy większe od drugiego. Na pierwszym wykresie ciąg o wyrazach mniejszych (czerwony) jest rozbieżny do \\( +\\infty \\) i na podstawia twierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy możemy wnioskować, że ciąg o wyrazach większych (niebieski) też musi być rozbieżny do \\( +\\infty \\).", "Na Rys. 2 przedstawiony jest ciąg o wyrazach większych (czerwony), który jest rozbieżny do \\( -\\infty \\) i stąd wnioskujemy, że ciąg o wyrazach mniejszych (niebieski) tez musi być rozbieżny do \\( -\\infty \\).", "Rys. 3 przedstawia na jednym wykresie trzy ciągi, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca leżące pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów (niebieskiego i zielonego), przy czym ciągi o wyrazach skrajnych są zbieżne do tej samej granicy właściwej \\( g \\). Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągów skrajnych leżą w przedziale \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), a wyrazy ciągu środkowego leżą pomiędzy wyrazami ciągów skrajnych, to z konieczności w przedziale \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\) leża prawie wszystkie wyrazy ciągu środkowego, czyli ma on taką sama granicę \\( g \\).", "Rys. 4 przedstawia wykres ciągu zbieżnego do zera (niebieski) oraz wykres ciągu ograniczonego (czerwony) i wykres ciągu, którego każdy wyraz jest iloczynem wyrazów poprzednich ciągów (zielony). Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu zbieżnego do zera leżą w przedziale \\( (-\\epsilon,\\epsilon) \\) i wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego lezą w przedziale \\( [-A,A] \\), to prawie wszystkie wyrazy iloczynu tych ciągów leżą w przedziale \\( (-\\epsilon A,\\epsilon A) \\). Z dowolności liczby \\( \\epsilon \\) otrzymujemy, że liczba \\( \\epsilon A \\) może też być dowolnie mała, czyli liczba zero jest granicą iloczynu wyjściowych ciągów." ]

[]

[ "Rys. 1 przedstawia wykres ciągu \\( a_n=\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^n \\). Zauważamy, że jest to ciąg rosnący, ograniczony od dołu przez liczbę \\( 2 \\), a od góry przez liczbę \\( 2,8 \\). Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wnioskujemy, że jest to ciąg zbieżny.", "Komentarz Liczba Eulera, znana również pod nazwą liczby Nepera, pojawia się jako jedna z podstawowych wielkości w fizyce, a także ekonomii, naukach społecznych itp. Liczba \\( e \\) jest wykorzystywana w wielu zagadnieniach matematycznych, widzimy ją w podstawie tzw. logarytmu naturalnego oraz jako podstawę funkcji wykładniczej \\( e^x \\), która jest niezastąpiona w równaniach różniczkowych, wystepuje we wzorach funkcji specjalnych, liczbach zespolonych itd." ]

[ { "name": "Definicja 1: liczba Eulera lub Nepera", "content": "Granicę ciągu \\( a_n=\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^n \\) nazywamy liczbą Eulera lub Nepera." } ]

[ "Obliczanie granic ciągów, w najbardziej ogólnym rozumieniu, polega na wyznaczeniu symbolu granicznego i jeżeli otrzymujemy symbol oznaczony, to stosujemy odpowiednie twierdzenie podając wartość tego symbolu. Jeżeli otrzymujemy symbol nieoznaczony, to do wyrazu ciągu stosujemy odpowiednie przekształcenia algebraiczne tak, aby powstał symbol oznaczony. Do przekształcania konkretnych symboli nieoznaczonych można stosować szereg metod, które pozwalają wyliczać granice ciągów. Należy zauważyć że podane poniżej metody mają swoje zastosowanie w przypadku ściśle określonych typów ciągów dających w granicy symbol nieoznaczony, jednak są to najczęściej spotykane sytuacje, dlatego warto metody te poznać." ]

[]

[ "Rys. 1 przedstawia wykres ciągu o dziedzinie \\( \\mathbb{N} \\) (niebieski), z którego zostały wybrane tylko pewne wyrazy (poprawione na czerwono). Indeksy tych wyrazów zostały zaznaczone na osi odciętych (zielone) i są to pewne liczby naturalne tworzące ciąg liczb naturalnych \\( (n_k) \\).", "Komentarz Nieskończenie wiele, ale nie wszystkie, wyrazy starego ciągu \\( (a_n) \\) tworzą więc nowy ciąg \\( (a_{n_k}) \\) indeksowany liczbami \\( n_k \\), które zachowują porządek liczb naturalnych, tzn. jeżeli \\( k < l \\), to \\( n_k < n_l \\). Czyli na bazie ciągu starego powstaje nowy ciąg nieskończony, którego dziedzina jest podzbiorem zbioru \\( \\mathbb{N} \\). Taki nowy ciąg nazywamy podciągiem ciągu starego. Oczywiste jest, że mamy nieskończenie wiele możliwości utworzenia z ciągu bazowego różnych jego podciągów np. poprzez odrzucenie pewnej skończonej liczby wyrazów ciągu, poprzez wybranie wyrazów o indeksach będących wielokrotnością pewnej liczby naturalnej itp.", "Rys. 2 przedstawia ciąg zbieżny do granicy \\( 3 \\) (niebieski) i wybrany z niego podciąg (czerwony). Z definicji granicy wiemy, że dla dowolnego \\( \\epsilon >0 \\) prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale \\( (3-\\epsilon,3+\\epsilon) \\), a ponieważ wyrazy podciągu są jednocześnie wyrazami naszego ciągu, prawie wszystkie wyrazy podciągu też leżą w tym przedziale. Czyli możemy wnioskować, że dla ciągu zbieżnego, wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, co wyjściowy ciąg. Rozumowanie to działa też w drugą stronę, gdyż przy założeniu, że wszystkie podciągi badanego ciągu są zbieżne do tej samej granicy, a jednym z podciągów jest np. wyjściowy ciąg bez kilku początkowych wyrazów, więc wyjściowy ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy, gdyż skończona liczba początkowych wyrazów nie ma wpływu na zbieżność ciągu.", "Od razu widać mankamenty, ale też zalety tego twierdzenia. Wprawdzie wykazanie za pomocą WKW, że jakiś ciąg jest zbieżny, jest dość trudne, bo musielibyśmy znaleźć wszystkie możliwe podciągi naszego ciągu i pokazać, że mają takie same granice, ale wykazanie, że ciąg jest rozbieżny jest za to bardzo proste. Wystarczy znaleźć jakiekolwiek dwa podciągi, które mają różne granice i wtedy na podstawie WKW wiadomo, że ciąg nie jest zbieżny." ]

[ { "name": "Definicja 1: Podciąg", "content": "Nieskończonym podciągiem ciągu \\( a_n={\\textbf a}(n), n\\in \\mathbb{N} \\) nazywamy funkcję \\( {\\textbf a}\\colon A\\to \\mathbb{R} \\), gdzie \\( A\\subset \\mathbb{N} \\) i zbiór \\( A \\) jest nieskończony." } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej", "content": "\nOtoczeniem \\( U \\) punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt.\nOtoczeniem punktu \\( x_0 \\) o promieniu \\( r \\) nazywamy przedział \\( U_{(x_0,r)}=(x_0-r,x_0+r) \\).\nOtoczenia jednostronne punktu \\( x_0 \\) to odpowiednio:\n\n otoczenie lewostronne punktu \\( x_0 \\): \\( U_{(x_0^-,r)}=(x_0-r,x_0] \\)\n otoczenie prawostronne punktu \\( x_0 \\): \\( U_{(x_0^+,r)}=[x_0,x_0+r) \\)\n" }, { "name": "Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie", "content": "\nNiech funkcja \\( f \\) będzie określona w pewnym otoczeniu \\( U_{x_0} \\). Mówimy, że funkcja \\( f \\) jest ciągła w punkcie \\( x_0\\in D_f \\) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:\n\n istnieje granica \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0}f(x) \\),\n granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \\( x_0 \\), czyli \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0}f(x)=f(x_0) \\).\n" }, { "name": "Definicja 3: Ciągłość jednostronna", "content": "\nNiech funkcja \\( f \\) będzie określona przynajmniej w prawostronnym otoczeniu punktu \\( x_0 \\).\nMówimy, że funkcja \\( f \\) jest prawostronnie ciągła w punkcie \\( x_0\\in D_f \\) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:\n\n istnieje granica prawostronna \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^+}f(x) \\)\n granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \\( x_0 \\) czyli \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^+}f(x)=f(x_0) \\)\nNiech teraz funkcja \\( f \\) będzie określona przynajmniej w lewostronnym otoczeniu punktu \\( x_0 \\).\nMówimy, że funkcja \\( f \\) jest lewostronnie ciągła w punkcie \\( x_0\\in D_f \\) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:\n\n istnieje granica lewostronna \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^-}f(x) \\)\n granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \\( x_0 \\), czyli \\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \\).\n" }, { "name": "Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale", "content": "\nFunkcja \\( f \\) jest ciągła w przedziale otwartym \\( (a,b) \\), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.\nFunkcja \\( f \\) jest ciągła w przedziale domkniętym \\( [a,b] \\), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie \\( a \\) i lewostronnie ciągła w punkcie \\( b \\).\nFunkcja \\( f \\) jest ciągła w dowolnym zbiorze \\( A \\) jeżeli jest odpowiednio ciągła w każdym punkcie tego zbioru.\nFunkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.\n\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja nieciągła", "content": "Funkcję \\( f \\) nazywamy funkcją nieciągłą, gdy nie jest ona ciągła w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny. Każdy taki punkt nazywamy punktem nieciągłości funkcji.\n" } ]

[]

[]

[]

[]

[ "W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas.", "W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia.", "Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów \\( X \\) oraz \\( Y \\) .", "W przypadku podróży \\( X \\) oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas \\( t=0 \\) do końca podróży \\( t=T \\) . Możemy wówczas zapisać \\( X=[0,T] \\) ). \\( Y \\) to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie \\( X \\) jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału.", "Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi \\( x \\) ze zbioru \\( X \\) odpowiada tylko jeden elementy ze zbioru \\( Y \\). Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.Ta jedyność elementu \\( y \\) odpowiadającego danemu elementowi x ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji.", "Jeżeli zbiory \\( X \\) i \\( Y \\) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych \\( \\mathbb R \\) to mówimy, że \\( f \\) jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję." ]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja", "content": "\nNiech będzą dane niepuste zbiory \\( X \\) i \\( Y \\).\n\n Funkcją odwzorowującą zbiór \\( X \\) w zbór \\( Y \\) (co zapisujemy \\( f:X\\to Y \\)) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi \\( x \\) ze zbioru \\( X \\) dokładnie jednego elementu \\( y \\) ze zbioru \\( Y \\). Element \\( x \\) ze zbioru \\( X \\) nazywamy argumentem funkcji a jedyny element \\( y \\) ze zbioru \\( Y \\), który został przyporządkowany elementowi \\( x \\) oznaczamy przez \\( f(x) \\) i nazywamy wartością funkcji \\( f \\) dla argumentu \\( x \\).\n\n\nZbiór \\( X \\) nazywamy dziedziną funkcji \\( f \\) i oznaczamy przez \\( D_f \\). Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów \\( \\{f(x):x\\in X\\} \\) nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji \\( f \\) i oznaczamy \\( \\mathbb R_f \\). Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru \\( Y \\). Rysunek 1: Funkcja \\( f:X\\to Y \\)\n " }, { "name": "Definicja 2: Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej", "content": "\nNiech \\( X \\) oraz \\( Y \\) będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych \\( \\mathbb R \\).\n\nFunkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru \\( X \\) w zbiór \\( Y \\) (co zapisujemy \\( f:X\\to Y \\)) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby \\( x \\) ze zbioru \\( X \\) dokładnie jednej liczby \\( y \\) ze zbioru \\( Y \\).Rysunek 2: Funkcja rzeczywista \\( f:X\\to Y \\)\n " }, { "name": "Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji", "content": "\nNiech \\( X \\) i \\( Y \\) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.\n\nFunkcją o dziedzinie \\( X \\) i wartościach ze zbioru \\( Y \\) nazywamy zbiór \\( f \\) par uporządkowanych \\( (x, y) \\) takich, że pierwszy element pary należy do zbioru \\( X \\), a drugi do zbioru \\( Y \\) oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu \\( x \\) ze zbioru \\( X \\) w zbiorze par \\( f \\) jest tylko jedna para mająca \\( x \\) na pierwszym miejscu." } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Wykres funkcji", "content": "\n\nWykres funkcji \\( f:X \\to Y \\) jest to zbiór par uporządkowanych\n\n\n \\( \\{(x,y):x\\in X, y\\in Y, y=f(x)\\} \\) " } ]

[ "W wielu przypadkach funkcja, którą badamy, „nieznacznie” różni się od pewnej funkcji \\( f \\) o znanym wykresie. Wówczas możemy narysować jej wykres, stosując odpowiednie przekształcenie znanego wykresu funkcji \\( f \\)." ]

[]

[ "Funkcję \\( f \\) możemy opisać:", "słownie: \\( f \\) jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie ze zbioru \\( \\{1,2,5,7\\} \\) różnicę liczby od niej dwa razy większej i jedynki za pomocą jednego z następujących wzorów:" ]

[]

[]

[]

[ "Funkcja \\( f \\) jest różnowartościowa gdy dowolna prosta pozioma o równaniu \\( y=\\textrm{const} \\) przecina wykres \\( f \\) w co najwyżej jednym punkcie." ]

[ { "name": "Definicja 1: Suriekcja czyli funkcja „na”", "content": "\nMówimy, że \\( f:X\\to Y \\) jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu \\( Y \\).\n\nZapisujemy wówczas \\( f:X\\xrightarrow{na} Y \\) co odczytujemy: funkcja \\( f \\) prowadzi ze zbioru \\( X \\)na zbiór \\( Y \\)." }, { "name": "Definicja 2: Funkcja różnowartościowa, iniekcja", "content": "Mówimy, że \\( f:X\\to Y \\) jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów \\( x_1,x_2\\in X \\) stąd, że \\( x_1\\neq x_2 \\) wynika, że \\( f(x_1)\\neq f(x_2) \\)\nInterpretacja geometryczna różnowartościowości." }, { "name": "Definicja 3: Funkcja różnowartościowa na zbiorze", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f \\) jest różnowartościowa w zbiorze \\( A \\) zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru \\( A \\) jest funkcja różnowartościową." }, { "name": "Definicja 4: Bijekcja", "content": "Funkcję \\( f:X\\to Y \\)nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz „na”, czyli jest zarówno iniekcją jak i suriekcją jednocześnie.\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Równość funkcji", "content": "Mówimy, że funkcje \\( f \\) i \\( g \\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego punktu wspólnej dziedziny mają te same wartości. Możemy to zapisać \\( f=g\\Leftrightarrow D_f=D_g \\) i dla każdego \\( x\\in D_f=D_g \\) mamy \\( f(x)=g(x). \\)" }, { "name": "Definicja 2: Restrykcja funkcji", "content": "\nNiech będzie dana funkcja \\( f:X\\to Y \\) oraz zbiór \\( A\\subset X \\).\n\nFunkcje \\( g:A\\to Y \\) taką, że dla każdego \\( x\\in A \\) zachodzi równość \\( g(x)=f(x) \\) nazywamy restrykcją lub zawężeniem funkcji \\( f \\) do zbioru \\( A \\) i oznaczamy \\( f_ {\\vert A} \\) Rysunek 1: Restrykcja funkcji, funkcja \\( f_1 \\) jest zawężeniem funkcji \\( f \\) do zbioru \\( \\mathbb R_+ \\)\n " } ]

[ "Aby sporządzić wykres funkcji okresowej, wystarczy narysować go dla argumentów z dowolnego przedziału o długości \\( w \\), a następnie „powielić” na prawo i lewo od tego przedziału. Podobnie, aby podać funkcję okresową wystarczy zadać jej wartości w takim przedziale. Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne. Okres podstawowy funkcji sinus i cosinus wynosi \\( 2\\pi \\), zaś funkcji tangens i cotangens \\( \\pi \\).", "Funkcję nazywamy ściśle monotoniczną w \\( A \\), jeśli jest ona rosnąca lub malejąca.", "Funkcje logartymiczne i wykładnicze o podstawie ułamkowej z przedziału \\( (0,1) \\) są malejące, stąd zmiana zwrotu podczas \"opuszczania\" symbolu tych funkcji, np: Rozwiązując nierówność:", "\\( \\log_{1\\over 2 }(3x+2)\\le \\log_{1\\over 2 }x^2, \\)", "pamiętamy, że funkcja \\( x\\mapsto \\log_{1\\over 2}x \\) jest malejąca i zmieniamy zwrot znaku nierówności przy \"opuszczaniu logarytmu otrzymując nierówność kwadratową\".", "\\( 3x+2\\ge x^2 \\)", "Natomiast podczas rozwiązywania nierówności: \\( \\log_2(3x+2)\\le \\log_2x^2, \\) wiedząc, że funkcja \\( x \\mapsto log_2x \\) jest rosnąca pozostawiamy niezmieniony zwrot nierówności otrzymując wówczas nierówność kwadratową \\( 3x+2\\le x^2, \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja okresowa", "content": "\nFunkcję \\( f:X\\to\\mathbb R \\) nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba \\( w\\neq 0 \\), że dla każdego \\( x\\in X \\) zachodzą warunki \\( x\\pm w\\in X \\) oraz \\( f(x\\pm w)=f(x) \\).\n\nLiczbę \\( w \\) nazywamy okresem funkcji. Jeżeli istnieje najmniejszy dodatni okres, to nazywamy go okresem podstawowym." }, { "name": "Definicja 2: Parzystość i nieparzystość funkcji", "content": "Funkcję \\( f:X\\to Y \\) nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \\( x\\in X \\) liczba \\( (-x)\\in X \\) oraz \\( f(-x)=f(x) \\). Funkcję \\( f:X\\to Y \\) nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \\( x\\in X \\) liczba \\( (-x)\\in X \\) oraz \\( f(-x)=-f(x) \\)." }, { "name": "Definicja 3: Funkcja ograniczona z góry", "content": "Funkcja \\( f:X\\to Y \\) jest ograniczona z góry, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry, czyli jeśli istnieje taka liczba \\( M \\), że dla każdego \\( x \\) należacego do dziedizny funkcji \\( f(x)\\le M. \\)" }, { "name": "Definicja 4: Funkcja ograniczona z dołu", "content": "Funkcja \\( f:X\\to Y \\) jest ograniczona z dołu, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, czyli jeśli istnieje taka liczba \\( m \\), że dla każdego \\( x\\in D_f \\) zachodzi \\( f(x)\\ge m. \\)" }, { "name": "Definicja 5: Funkcja ograniczona", "content": "\nFunkcja \\( f:X\\to F \\) jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona zarówno z góry jak i z dołu." }, { "name": "Definicja 6: Funkcja rosnąca", "content": "\nFunkcja \\( f \\) jest rosnąca w zbiorze \\( A\\subset D_f \\), jeśli dla każdych dwóch elementów \\( x_1,x_2\\in A \\) stąd, że \\( x_1<x_2 \\) wynika, że \\( f(x_1)<f(x_2) \\)." }, { "name": "Definicja 7: Funkcja słabo rosnąca", "content": "\nFunkcja \\( f \\) jest słabo rosnąca (niemalejąca) w zbiorze \\( A\\subset D_f \\), jeśli dla każdych dwóch elementów \\( x_1,x_2\\in A \\) stąd, że \\( x_1<x_2 \\) wynika, że \\( f(x_1)\\le f(x_2) \\)" }, { "name": "Definicja 8: Funkcja malejąca", "content": "\nFunkcja \\( f \\) jest malejąca w zbiorze \\( A\\subset D_f \\), jeśli dla każdych dwóch elementów \\( x_1,x_2\\in A \\) stąd, że \\( x_1<x_2 \\) wynika, że \\( f(x_1)>f(x_2) \\)" }, { "name": "Definicja 9: Funkcja słabo malejąca", "content": "\nFunkcja \\( f \\) jest słabo malejąca (nierosnąca) w zbiorze \\( A\\subset D_f \\), jeśli dla każdych dwóch elementów \\( x_1,x_2\\in A \\) stąd, że \\( x_1<x_2 \\) wynika, że \\( f(x_1)\\ge f(x_2) \\)" }, { "name": "Definicja 10: Funkcja monotoniczna", "content": "\nFunkcja monotoniczna w zbiorze \\( A\\subset D_f \\) to funkcja, która jest słabo rosnąca na \\( A \\) lub słabo malejąca na \\( A \\)." } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji", "content": "\nNiech będą dane dwie funkcje\n \\( f:X\\to \\mathbb R \\), \\( g:X\\to\\mathbb R \\)\n\nSumą funkcji \\( f \\) i \\( g \\) nazywamy funkcję\t \\( (f+g):X\\to\\mathbb R \\) taką, że \\( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\), dla każdego \\( x\\in X \\).\n\nRóżnicą funkcji \\( f \\) i \\( g \\) nazywamy funkcję\t \\( (f-g):X\\to\\mathbb R \\) taką, że \\( (f-g)(x)=f(x)-g(x) \\), dla każdego \\( x\\in X \\).\n\nIloczynem funkcji \\( f \\) i \\( g \\) nazywamy funkcję\t \\( (f\\cdot g):X\\to\\mathbb R \\) taką, że \\( (f\\cdot g)(x)=f(x)\\cdot g(x) \\), dla każdego \\( x\\in X \\).\n\n\nJeżeli ponadto \\( g(x)\\neq 0 \\) dla każdego \\( x\\in X \\) to ilorazem funkcji \\( f \\) i \\( g \\) nazywamy funkcję\t \\( {f\\over g}:X\\to\\mathbb R \\) taką, że \\( {f\\over g}(x)={{f(x)}\\over {g(x)}} \\) dla każdego \\( x\\in X \\)" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja identycznościowa", "content": "\nFunkcją identycznościową w zbiorze \\( A \\) (identycznością w zbiorze \\( A \\)) nazywamy funkcję \\( f:A\\to A \\) określoną wzorem \\( f(x)=x \\), dla każdego \\( x\\in A \\).\n\nFunkcję identycznościową w zbiorze \\( A \\) oznaczamy symbolem \\( id_A \\). Mamy więc \\( id_A:A\\to A \\), \\( id_A(x)=x \\), dla każdego \\( x\\in A \\) " } ]

[ "Funkcję \\( f \\) nazywamy wówczas funkcją wewnętrzną, a funkcję \\( g \\) funkcja zewnętrzną." ]

[ { "name": "Definicja 1: Złożenie funkcji", "content": "Złożeniem funkcji \\( f:X\\to Y \\) i \\( g:Z\\to W \\), gdzie \\( Y\\subset Z \\) nazywamy funkcję oznaczoną \\( g\\circ f \\), określoną następująco \\( g\\circ f:X\\to W \\), \\( (g\\circ f)(x)=g(f(x)) \\), dla każdego \\( x\\in X \\)." } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja odwrotna", "content": "\nNiech funkcja \\( f:X\\to Y \\) będzie bijekcją (funkcją różnowartościową (iniekcją) i „na” (suriekcją). Funkcją odwrotną do funkcji \\( f \\) nazywamy funkcję \\( f^{-1}:Y\\to X \\) spełniającą warunek:\n\n\n \\( f^{-1}\\circ f=id_X,\\quad f\\circ f^{-1}=id_Y: \\)Rysunek 1: Dziedziną funkcji \\( f^{-1} \\) jest przeciwdziedzina funkcji \\( f \\), a przeciwdziedziną funkcji \\( f^{-1} \\) jest dziedzina funkcji \\( f \\)\n " } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja arkus sinus", "content": "\nFunkcją arkus sinus (oznaczaną arcsin) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji sinus zawężonej do przedziału domkniętego \\( \\left[{-\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}\\right] \\)\n\n \\( \\arcsin:=\\left(\\sin_{\\vert\\left[-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}\\right]}\\right)^{-1} \\)\n\n\nDziedziną funkcji arkus sinus jest przedział \\( [-1, 1] \\), zaś zbiorem wartości przedział \\( \\left[{-\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}\\right] \\). Wykres funkcji arcsin powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \\( y=x \\) wykresu zawężonej funkcji sinus \\( \\left(\\sin_{\\vert \\left[-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}\\right]}\\right) \\)" }, { "name": "Definicja 2: Funkcja arkus kosinus", "content": "\n Funkcją arkus kosinus (oznaczaną arccos) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kosinus zawężonej do przedziału domkniętego \\( [0,\\pi] \\).\n\n \\( \\arccos:=(\\cos_{\\vert[0,\\pi]})^{-1}. \\)\n\n\nDziedziną funkcji arkus kosinus jest przedział \\( [-1, 1] \\), zaś zbiorem wartości przedział \\( [0,\\pi] \\). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \\( y=x \\) wykresu zawężonej funkcji kosinus \\( (\\cos_{\\vert[0,\\pi]}) \\)" }, { "name": "Definicja 3: Funkcja arkus tangens", "content": "\nFunkcją arkus tangens (oznaczaną arctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji tangens zawężonej do przedziału otwartego \\( (-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}) \\),\n\n \\( {\\rm arctg}:=({\\rm tg}_{\\vert(-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2})})^{-1}. \\)\n\n\nDziedziną funkcji arkus tangens jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty \\( (-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2}) \\). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \\( y=x \\) wykresu zawężonej funkcji tangens \\( ({\\rm tg}_{\\vert (-{\\pi\\over 2},{\\pi\\over 2})}) \\)." }, { "name": "Definicja 4: Funkcja arkus kotangens", "content": "\nFunkcją arkus kotangens (oznaczaną arcctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji kotangens zawężonej do przedziału otwartego \\( (0,\\pi) \\)\n\n \\( {\\rm arcctg} :=\\left({\\rm ctg}_{\\vert(0,\\pi)}\\right)^{-1} \\)\n\n\nDziedziną funkcji arkus kotangens jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty \\( (0,\\pi) \\). Wykres funkcji arcctg powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \\( y=x \\) wykresu zawężonej funkcji kotangens \\( ({\\rm ctg}_{\\vert(0,\\pi)}) \\)." } ]

[]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Podstawowe funkcje elementarne", "content": "\nPodstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy następujące funkcje: funkcję identycznościową, \\( y=x \\), funkcję stałą \\( y=const \\), funkcję wykładniczą \\( y=e^x \\), funkcję trygonometryczną \\( y=sin x \\)." }, { "name": "Definicja 2: Funkcje elementarne", "content": "\nFunkcjami elementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji." }, { "name": "Definicja 3: Wielomian", "content": "\nWielomianem stopnia \\( n \\) nazywamy funkcje \\( W:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\ldots+a_1x+a_0 \\) gdzie \\( n \\) jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki \\( a_i \\) dla \\( i=0,1,\\ldots,n \\) są stałymi, przy czym \\( a_n\\neq 0 \\).\n\n\nPrzyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru \\( W(x)=0 \\) jest wielomianem stopnia \\( -\\infty \\)." }, { "name": "Definicja 4: Funkcja wymierna", "content": "\nFunkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą ilorazu dwóch wielomianów." }, { "name": "Definicja 5: Funkcja wykładnicza", "content": "\nNiech \\( a>0 \\) i \\( a\\neq 1 \\). Funkcją wykładniczą o podstawie \\( a \\) nazywamy funkcję \\( f:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( f(x)=a^x \\). Dziedziną funkcji wykładniczej jest \\( \\mathbb R \\), zbiorem wartości \\( \\mathbb R_+ \\).\n\n\nFunkcja wykładnicza o podstawie \\( a>1 \\) jest rosnąca, natomiast o podstawie \\( 0<a<1 \\) jest malejąca." }, { "name": "Definicja 6: Funkcja logarytmiczna", "content": "\nNiech \\( a>0 \\) i \\( a\\neq 1 \\). Funkcją logarytmiczną o podstawie \\( a \\) nazywamy funkcję \\( f:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( f(x)=\\log_ax \\). Dziedziną funkcji logarytmicznej jest \\( \\mathbb R_+ \\), zbiorem wartości \\( \\mathbb R \\)\n\n\nFunkcja logarytmiczna o podstawie \\( a>1 \\) jest rosnąca, natomiast o podstawie \\( 0<a<1 \\) jest malejąca." } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Kosinus hiperboliczny", "content": "\nFunkcją kosinus hiperboliczny nazywamy funkcję \\( \\cosh:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( \\cosh(x)={{e^x+e^{-x}}\\over 2} \\), gdzie \\( e \\) jest stałą Eulera - ( \\( e:=\\lim\\limits_{n\\to \\infty} ({1+}{1\\over n})^n \\) ).\n\nDziedziną funkcji kosinus hiperboliczny jest \\( \\mathbb R \\), a zbiorem wartości \\( [1,\\infty) \\)" }, { "name": "Definicja 2: Sinus hiperboliczny", "content": "Funkcją sinus hiperboliczny nazywamy funkcję \\( \\sinh:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( \\sinh(x)={{e^x-e^{-x}}\\over 2} \\), gdzie \\( e \\) jest stałą Eulera (patrz definicja kosinusa hiperbolicznego).\n\n\nDziedziną i zbiorem wartości funkcji sinus hiperboliczny jest \\( \\mathbb R \\)." }, { "name": "Definicja 3: Tangens hiperboliczny", "content": "\nFunkcją tangens hiperboliczny nazywamy funkcję \\( th:\\mathbb R\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( th(x)={{\\sinh x}\\over {\\cosh x}} \\).\n\nDziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest \\( \\mathbb R \\), zaś zbiorem wartości przedział otwarty \\( (-1,1) \\).\n\nRysunek 4: Tangens hiperboliczny\n\n\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Kotangens hiperboliczny", "content": "\nFunkcją kotangens hiperboliczny nazywamy funkcję \\( cth:\\mathbb R\\setminus \\{ 0\\}\\to\\mathbb R \\) określoną wzorem \\( cth(x)={{\\cosh x}\\over {\\sinh x}} \\).\n\nDziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest \\( \\mathbb R\\setminus \\{0\\} \\), zaś zbiorem wartości suma przedziałów \\( (-\\infty,-1)\\cup (1,\\infty) \\).\n\n\n\nRysunek 5: Kotangens hiperboliczny\n\n\n\n" } ]

[ "Oznaczenia Otoczenie punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oznaczamy symbolicznie \\( \\mathcal{O}(x_0) \\), a sąsiedztwo punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oznaczamy przez \\( \\mathcal{S}(x_0)=\\mathcal{O}(x_0)\\setminus \\{x_0\\} \\).", "Komentarz W wielu sytuacjach, przy badaniu własności funkcji \\( f\\colon D_f\\to \\mathbb{R} \\), gdzie \\( D_f\\subset \\mathbb{R} \\) interesuje nas tylko jej zachowanie w bliskim sąsiedztwie punktu w którym funkcja nie musi być określona. Zawężamy wtedy funkcję do otoczenia lub sąsiedztwa punktu \\( x_0 \\), zamiast zajmować się całą dziedziną funkcji. Jeżeli funkcja posiada pewną własność w otoczeniu lub sąsiedztwie, które może być nawet bardzo małe, punktu \\( x_0 \\), to mówimy o lokalnym zachowaniu się funkcji. Pojęcie granicy funkcji w punkcie należy właśnie do takiej kategorii własności.", "Oznaczenia Granicę funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) oznaczamy przez \\( \\lim_{x\\to x_0}{f(x)}. \\)", "Na Rys. 1 widzimy wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest granicą funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu bierzemy dowolne \\( \\epsilon > 0 \\) i wyznaczamy przedział \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych \\( y=g-\\epsilon \\) i \\( y=g+\\epsilon \\) z wykresem funkcji \\( f \\), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez \\( \\delta \\) oznaczymy najmniejszą z odległości zrzutowanych punktów od punktu \\( x_0 \\). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu \\( x \\) należącego do przedziału \\( (x_0-\\delta,x_0+\\delta) \\) wartość funkcji \\( f \\) dla tego argumentu \\( f(x) \\) wpada do przedziału \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie.", "Rys. 2 przedstawia wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest granicą funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji \\( f\\ x_1,x_2,x_3,\\dots \\) różne od \\( x_0 \\), który ma granicę \\( x_0 \\) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji \\( f \\) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji \\( f(x_n) \\) lokalizuje się wokół liczby \\( g \\). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.", "Rys. 3 przedstawia wykres funkcji określonej w przedziale \\( [0,+\\infty) \\) oraz metodę wyznaczania granicy funkcji w nieskończoności korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do \\( +\\infty \\) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg zbieżny, to funkcja ma granicę w nieskończoności, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy znajdziemy prostą o równaniu \\( y=g \\), do której wykres funkcji zbliża się nieograniczenie wraz ze wzrostem wartości argumentów.", "Rys. 4 przedstawia wykres funkcji określonej w sąsiedztwie liczby \\( 10 \\) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie \\( x_0=10 \\) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do \\( x_0=10 \\) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \\( +\\infty \\), to funkcja ma granicę niewłaściwą \\( +\\infty \\) w punkcie \\( x_0=10 \\), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \\( y=A \\) znajdziemy sąsiedztwo punktu \\( x_0=10 \\) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.", "Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do \\( +\\infty \\) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \\( +\\infty \\), to funkcja ma granicę niewłaściwą w nieskończoności \\( +\\infty \\), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \\( y=A \\) znajdziemy na osi odciętych przedział \\( (a,+\\infty) \\) taki, że dla argumentów z tego przedziału wykres funkcji leży powyżej prostej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Otoczenie i sąsiedztwo punktu", "content": "Otoczeniem punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) nazywamy dowolny przedział otwarty \\( (a,b) \\) zawierający ten punkt, tzn. \\( x_0\\in (a,b) \\), a sąsiedztwem punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) nazywamy otoczenie z wyłączeniem punktu \\( x_0 \\)." }, { "name": "Definicja 2: Definicja Cauchy'ego granicy właściwej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon D_f\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę \\( g \\) w punkcie \\( x_0 \\) , gdzie pewne sąsiedztwo \\( \\mathcal{S}(x_0) \\) jest zawarte w dziedzinie funkcji, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu \\( g\\in \\mathbb{R} \\) da się dobrać sąsiedztwo punktu \\( x_0 \\) tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 3: Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę \\( g \\) w punkcie \\( x_0 \\) , gdzie pewne sąsiedztwo \\( \\mathcal{S}(x_0) \\) jest zawarte w dziedzinie funkcji, jeżeli dla każdego nie stałego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) różnych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji odpowiadających argumentom \\( x_n \\) jest zbieżny do granicy \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 4: Granica właściwa funkcji w nieskończoności", "content": "\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon (a,+\\infty)\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę \\( g \\) w \\( +\\infty \\), jeżeli dla każdego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) rozbieżnego do \\( +\\infty \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest zbieżny do granicy \\( g \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon (-\\infty, a)\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę \\( g \\) w \\( -\\infty \\), jeżeli dla każdego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) rozbieżnego do \\( -\\infty \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest zbieżny do granicy \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 5: Granica niewłaściwa funkcji w punkcie", "content": "\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę niewłaściwą \\( +\\infty \\) w punkcie \\( x_0 \\) , jeżeli dla każdego nie stałego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) różnych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( +\\infty \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę niewłaściwą \\( -\\infty \\) w punkcie \\( x_0 \\), jeżeli dla każdego nie stałego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) różnych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( -\\infty \\)." }, { "name": "Definicja 6: Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności", "content": "\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon (a,+\\infty)\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę \\( \\pm \\infty \\) w \\( +\\infty \\), jeżeli dla każdego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) rozbieżnego do \\( +\\infty \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( \\pm \\infty \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f\\colon (-\\infty,a) \\) ma granicę \\( \\pm \\infty \\) w \\( -\\infty \\), jeżeli dla każdego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) rozbieżnego do \\( -\\infty \\), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( \\pm \\infty \\)." } ]

[ "Rys. 1 przedstawia wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest granicą lewostronną funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu bierzemy dowolne \\( \\epsilon > 0 \\) i wyznaczamy przedział \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych \\( y=g-\\epsilon \\) i \\( y=g+\\epsilon \\) z wykresem funkcji \\( f \\), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez \\( \\delta \\) oznaczymy odległość punktu \\( x_0 \\) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na lewo od punktu \\( x_0 \\). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu \\( x \\) należącego do przedziału \\( (x_0-\\delta,x_0) \\) wartość funkcji \\( f \\) dla tego argumentu \\( f(x) \\) wpada do przedziału \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie.", "Rys. 2 przedstawia wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest granicą prawostronną funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu bierzemy dowolne \\( \\epsilon > 0 \\) i wyznaczamy przedział \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych \\( y=g-\\epsilon \\) i \\( y=g+\\epsilon \\) z wykresem funkcji \\( f \\), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez \\( \\delta \\) oznaczymy odległość punktu \\( x_0 \\) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na prawo od punktu \\( x_0 \\). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu \\( x \\) należącego do przedziału \\( (x_0,x_0+\\delta) \\) wartość funkcji \\( f \\) dla tego argumentu \\( f(x) \\) wpada do przedziału \\( (g-\\epsilon,g+\\epsilon) \\), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy prawostronnej funkcji w punkcie.", "Rys. 3 przedstawia wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest lewostronną granicą funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji \\( f \\) \\( x_1,x_2,x_3,\\dots \\) mniejsze od \\( x_0 \\) który ma granicę \\( x_0 \\) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji \\( f \\) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji \\( f(x_n) \\) lokalizuje się wokół liczby \\( g \\). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.", "Rys. 4 przedstawia wykres funkcji \\( f \\) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \\( x_0 \\), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \\( g \\). Chcemy pokazać, że liczba \\( g \\) jest prawostronną granicą funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji \\( f \\) \\( x_1,x_2,x_3,\\dots \\) większe od \\( x_0 \\) który ma granicę \\( x_0 \\) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji \\( f \\) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji \\( f(x_n) \\) lokalizuje się wokół liczby \\( g \\). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.", "Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w lewostronnym sąsiedztwie liczby \\( 2 \\) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie \\( x_0=2 \\) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do \\( x_0=2 \\) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \\( -\\infty \\), to funkcja ma granicę niewłaściwą \\( -\\infty \\) w punkcie \\( x_0=2 \\), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \\( y=-A \\) znajdziemy lewostronne sąsiedztwo punktu \\( x_0=2 \\) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży poniżej prostej.", "Rys. 6 przedstawia wykres funkcji określonej w prawostronnym sąsiedztwie liczby \\( 0 \\) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie \\( x_0=0 \\) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do \\( x_0=0 \\) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \\( +\\infty \\), to funkcja ma granicę niewłaściwą \\( +\\infty \\) w punkcie \\( x_0=0 \\), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \\( y=A \\) znajdziemy prawostronne sąsiedztwo punktu \\( x_0=0 \\) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Lewostronne sąsiedztwo punktu", "content": "Lewostronnym sąsiedztwem punktu \\( x_0 \\in \\mathbb{R} \\) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego prawym końcem jest punkt \\( x_0 \\)." }, { "name": "Definicja 2: Prawostronne sąsiedztwo punktu", "content": "Prawostronnym sąsiedztwem punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego lewym końcem jest punkt \\( x_0 \\)." }, { "name": "Definicja 3: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon D_f\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę lewostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( g \\), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu \\( g\\in \\mathbb{R} \\) da się dobrać lewostronne sąsiedztwo punktu \\( x_0 \\) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 4: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon D_f\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę prawostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( g \\), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu \\( g\\in \\mathbb{R} \\) da się dobrać prawostronne sąsiedztwo punktu \\( x_0 \\) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 5: Defincija Heinego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę lewostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( g \\), jeżeli dla dowolnego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) o wyrazach mniejszych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji \\( f \\) dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) ma granicę równą \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 6: Definicja Heinego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę prawostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( g \\), jeżeli dla dowolnego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) o wyrazach większych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji \\( f \\) dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) ma granicę równą \\( g \\)." }, { "name": "Definicja 7: Heinego niewłaściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę lewostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( \\pm\\infty \\), jeżeli dla dowolnego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) o wyrazach mniejszych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji \\( f \\) dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( +\\infty \\) albo do \\( -\\infty \\)." }, { "name": "Definicja 8: Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f\\colon X\\to \\mathbb{R} \\) ma granicę prawostronną w punkcie \\( x_0 \\) równą \\( \\pm\\infty \\), jeżeli dla dowolnego ciągu \\( (x_n) \\) argumentów funkcji \\( f \\) o wyrazach większych od \\( x_0 \\) zbieżnego do granicy \\( x_0 \\), ciąg wartości funkcji \\( f \\) dla wyrazów ciągu \\( (x_n) \\) jest rozbieżny do \\( +\\infty \\) albo do \\( -\\infty \\)." } ]

[ "Obliczając granice funkcji poprzez zastąpienie jej argumentu wartością graniczną, do której zmierza argument, otrzymujemy symbole graniczne ujmowane w nawiasy kwadratowe, w celu zaznaczenia, że są to wyrażenia otrzymywane przy obliczaniu granic, a nie działania arytmetyczne na liczbach. Należy na tę symbolikę zwracać szczególną uwagę zwłaszcza w sytuacji, gdy otrzymujemy zero w mianowniku, albo wyrażenia zmierzające do nieskończoności. Niektóre z symboli granicznych dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to w granicach jakich funkcji otrzymujemy określony symbol i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Inne znów dają różne wyniki w zależności od funkcji, której granicę liczymy i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi." ]

[ { "name": "Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony", "content": "Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik niezależny od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.\n\n\nSymbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny." } ]

[]

[]

[ "Komentarz Rys. 1 przedstawia wykresy funkcji \\( x \\) oraz \\( \\sin x \\) w otoczeniu punktu \\( x_0=0 \\). Zauważamy, że jeżeli przyjrzymy się bliżej małemu otoczeniu punktu zero, to wykresy obydwu funkcji są prawie nierozróżnialne, dlatego też w granicy, przy argumencie zmierzającym do zera granica ilorazu tych funkcji wynosi \\( 1 \\). Czyli symbol nieoznaczony \\( [\\frac{0}{0}] \\), który otrzymujemy licząc granicę \\( \\lim\\limits_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} \\) w tym szczególnym przypadku daje wartość \\( 1 \\). Analogicznie, analizując wykresy pozostałych funkcji występujących w innych podpunktach powyższego twierdzenia, otrzymujemy w granicy taki sam wynik." ]

[]

[ "Komentarz", "Do obliczania granic funkcji w przypadku, gdy prowadzą one do symboli nieoznaczonych stosuje się znane metody obliczania granic ciągów, takie jak wyłączanie przed nawias odpowiednich wyrażeń, rozszerzanie o odpowiednio skonstruowaną jedynkę, korzystanie ze wzorów skróconego mnożenia, wzorów trygonometrycznych, własności odpowiednich funkcji. Metody te stosujemy zarówno do granicy funkcji w punkcie, jak i nieskończości oraz do granicy jednostronnej.", "Komentarz W przypadku symboli nieoznaczonych \\( [1^{\\infty}] \\) lub \\( [\\frac{0}{0}] \\) w wielu przypadkach wykorzystujemy granice pewnych funkcji specjalnych, które w granicach dają właśnie takie symbole. Często do obliczenia tych granic stosujemy też twierdzenie Własności granic funkcji-o zamianie zmiennej w granicy.", "Komentarz W przypadku, gdy w granicy funkcji otrzymujemy zero w mianowniku i ma to wpływ na wartość granicy, albo gdy otrzymujemy wartość bezwzględną z wyrażenia, które w granicy przyjmuje zero, albo gdy funkcja, której granicę liczymy jest w punkcie obliczania granicy sklejeniem dwóch funkcji (tzn. jest określona innym wzorem w lewostronnym sąsiedztwie punktu, a innym w prawostronnym sąsiedztwie tego punktu), to do obliczania granicy stosujemy WKW istnienia granicy funkcji, czyli liczymy granic jednostronne." ]

[]

[ "Komentarz Z definicji Asymptota pionowa lewostronna i Asymptota pionowa prawostronna wynika, że dla argumentów zbliżających się do punktu \\( x_0 \\) od strony lewej lub prawej, wykres funkcji nieograniczenie (asymptotycznie) zbliża się do prostej \\( x=x_0 \\) nigdy jej nie dotykając. Poszukiwania prostych które mogą być asymptotami pionowymi wykresu funkcji \\( f(x) \\) zaczynamy od wyznaczania punktów, które nie należą do dziedziny funkcji, ale w sąsiedztwie lewo lub prawostronnym których funkcja jest określona, a następnie obliczamy odpowiednie granice jednostronne, aby sprawdzić, czy są to granice niewłaściwe.", "Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu x=1 jest asymptotą pionowa obustronną. Rzeczywiście zauważamy, że punkt x=1 nie należy do dziedziny funkcji (funkcja nie posiada wartości dla x=1), a granica lewostronna w punkcie x=1 jest niewłaściwa i wynosi \\( - \\infty \\) oraz granica prawostronna w punkcie x=1 jest niewłaściwa i wynosi \\( +\\infty \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Asymptota pionowa lewostronna", "content": "Niech funkcja \\( f(x) \\) będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu \\( x_0 \\not\\in D_f \\). Prostą \\( x=x_0 \\) nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji \\( y=f(x) \\), jeżeli granica lewostronna funkcji \\( f(x) \\) w punkcie \\( x_0 \\) jest niewłaściwa \\( (\\lim_{x \\rightarrow x_0^- } ⁡f(x)=± \\infty ) \\)." }, { "name": "Definicja 2: Asymptota pionowa prawostronna", "content": "Niech funkcja \\( f(x) \\) będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu \\( x_0 \\not\\in D_f \\). Prostą \\( x=x_0 \\) nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji \\( y=f(x) \\), jeżeli granica prawostronna funkcji \\( f(x) \\) w punkcie \\( x_0 \\) jest niewłaściwa \\( ( \\lim_{x \\rightarrow x_0^+ } f(x)=± \\infty) \\). " } ]

[ "Komentarz Z definicji Asymptota ukośna prawostronna wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Z definicji Asymptota ukośna lewostronna wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do \\( - \\infty \\) coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Zauważamy również, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, jeżeli okaże się, że istnieje asymptota pozioma lewo lub prawostronna wykresu funkcji, to nie badamy już istnienia asymptoty ukośnej.", "Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu \\( y=-x+1/2 \\) jest asymptotą ukośną lewostronną, a prosta o równaniu \\( y=x-1/2 \\) jest asymptotą ukośną prawostronną. Rzeczywiście dla ciągu argumentów zmierzających do \\( -\\infty \\) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej \\( y=-x+1/2 \\) dąży do zera. Analogicznie dla ciągu argumentów zmierzających do \\( +\\infty \\) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej \\( y=x-1/2 \\) dąży do zera." ]

[ { "name": "Definicja 1: Asymptota ukośna lewostronna", "content": "Prosta \\( y=ax+b \\) jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji \\( y=f(x) \\), jeżeli \\( D_f \\) jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji \\( f(x) \\) i funkcji liniowej \\( (ax+b) \\) w \\( - \\infty \\) jest równa zero \\( ( \\lim_{x \\rightarrow - \\infty} \\lbrack f(x)-(ax+b) \\rbrack =0) \\)." }, { "name": "Definicja 2: Asymptota ukośna prawostronna", "content": "Prosta \\( y=ax+b \\) jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji \\( y=f(x) \\), jeżeli \\( D_f \\) jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji \\( f(x) \\) i funkcji liniowej \\( (ax+b) \\) w \\( + \\infty \\) jest równa zero \\( ( \\lim_{x \\rightarrow \\infty} \\lbrack f(x)-(ax+b) \\rbrack =0) \\)." } ]

[ "Chcemy poznać prędkość obiektu, który porusza się ze zmienną prędkością. Mamy informację, jaką drogę przebył w każdym czasie między chwilą \\( 0 \\) i \\( T \\). Obiekt przez pewien czas przyśpieszał, poruszał się ze stałą prędkością, zwalniał, zatrzymywał się,... Jeżeli policzymy iloraz drogi przebytej w czasie \\( T \\) przez czas \\( T \\), to otrzymamy jedynie prędkość średnią, która słabo opisuje, jak poruszał się obiekt w rzeczywistości. Oczywiście możemy podzielić czas na mniejsze przedziały czasowe. Im mniejsze będą te przedziały czasowe, tym lepiej prędkość średnia przybliży nam rzeczywistą prędkość osiągniętą przez obiekt w tym krótszym czasie. Ideałem byłoby znać dokładną wartość prędkości w każdej chwili z osobna, czyli prędkość średnią zmierzoną przy długości przedziału czasu dążącej do zera.", "I właśnie tak uzyskaną prędkość w danej chwili nazwiemy pochodną drogi względem czasu. Prędkość w danej chwili \\( t_0 \\) będzie zatem graniczną wartością prędkości średnich obliczonych w przedziale czasowym \\( [t_0, t] \\) lub \\( [t, t_0] \\), o ile \\( \\Delta t=t-t_0 \\) dąży do zera ( \\( t \\) - inny moment czasu). Analogicznie możemy policzyć jak zmienia się inna wielkość w zależności od zmiany czasu i nie tylko, ponieważ pochodna opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do zmiany jej argumentu, gdy zmiana argumentu dąży do zera.", "Zanim zdefiniujemy pochodną funkcji, określmy najpierw czym na osi liczbowej jest otoczenie punktu \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\).", "Przejdźmy do definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie.", "Pochodna funkcji w punkcie jest granicą (obustronną). Oprócz granicy (obustronnej) funkcji rozważamy również granice jednostronne funkcji. W związku z tym, definiujemy również pochodne jednostronne funkcji w punkcie \\( x_0 \\).", "Przyjrzyjmy się jeszcze twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie \\( x_0 \\) i zobaczmy zastosowanie tego twierdzenia do obliczenia pochodnej funkcji arcus sinus w dowolnie zadanym punkcie \\( x_0\\in (-1,1) \\).", "Jeżeli mówimy o pochodnej funkcji w punkcie \\( x_0 \\), to mówimy o pochodnej właściwej funkcji w punkcie \\( x_0 \\), ale możemy również zdefiniować rzadziej rozważaną pochodną niewłaściwą funkcji w punkcie \\( x_0 \\).", "Definiuje się również jednostronne pochodne niewłaściwe funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Otoczenie punktu", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\).\n\nOtoczeniem punktu \\( x_0 \\) o promieniu \\( \\varepsilon>0 \\) nazywamy przedział \\( (x_0-\\varepsilon,x_0+\\varepsilon) \\) i oznaczamy przez \\( O(x_0,\\varepsilon) \\).\n\nOtoczeniem lewostronnym punktu \\( x_0 \\) o promieniu \\( \\varepsilon>0 \\) nazywamy przedział \\( (x_0-\\varepsilon,x_0] \\) i oznaczamy przez \\( O(x_0^-,\\varepsilon) \\).\n\nOtoczeniem prawostronnym punktu \\( x_0 \\) o promieniu \\( \\varepsilon>0 \\) nazywamy przedział \\( [ x_0, x_0+\\varepsilon) \\) i oznaczamy przez \\( O(x_0^+,\\varepsilon) \\).\n\n\nGdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez \\( O(x_0) \\), \\( O(x_0^-) \\), \\( O(x_0^+) \\)." }, { "name": "Definicja 2: Pochodna funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona w otoczeniu \\( O(x_0) \\).\n\n\nPochodną (właściwą) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) nazywamy granicę właściwą \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \\)\n\n\t\t\t\t\t Pochodną funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) oznaczamy przez \\( f^{\\prime} (x_0) \\) lub też przez: \\( \\frac{df}{dx}(x_0) \\), \\( \\dot{f}(x_0) \\), \\( Df(x_0) \\)." }, { "name": "Definicja 3: Pochodna lewostronna funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona w otoczeniu \\( O(x_0^{-}) \\).\n\n\nPochodną lewostronną (właściwą) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) , którą oznaczamy przez \\( f^{\\prime}_{-} (x_0) \\), nazywamy granicę właściwą \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{\\prime}_{-} (x_0)=\\lim\\limits_{x\\to x_0^-}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\lim\\limits_{h\\to 0^-}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Pochodna prawostronna funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona w otoczeniu \\( O(x_0^{+}) \\).\n\n\nPochodną prawostronną (właściwą) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) , którą oznaczamy przez \\( f^{\\prime}_{+} (x_0) \\), nazywamy granicę właściwą \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{\\prime}_{+} (x_0)=\\lim\\limits_{x\\to x_0^+}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\lim\\limits_{h\\to 0^+}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 5: Pochodna niewłaściwa funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona i ciągła w otoczeniu \\( O(x_0) \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną niewłaściwą w punkcie \\( x_0 \\) , gdy \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\\infty\\quad\\text{ lub }\\quad \\lim\\limits_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\\infty. \\)\n\n\t\t\t\t\t\nFakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie \\( x_0 \\) zapisujemy: \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{\\prime}(x_0)=-\\infty\\quad\\text{ lub }\\quad f^{\\prime}(x_0)=+\\infty. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 6: Pochodna niewłaściwa lewostronna funkcji w punkcie", "content": " Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona i ciągła w otoczeniu \\( O(x_0^-) \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie \\( x_0 \\) , gdy \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^-}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\\infty\\quad\\text{ lub }\\quad \\lim\\limits_{x\\to x_0^-}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\\infty, \\)\n\n\t\t\t\t\t co zapisujemy: \\( f^{\\prime}_-(x_0)=-\\infty \\) lub \\( f^{\\prime}_-(x_0)=+\\infty \\)." }, { "name": "Definicja 7: Pochodna niewłaściwa prawostronna funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona i ciągła w otoczeniu \\( O(x_0^+) \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie \\( x_0 \\) , gdy \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{x\\to x_0^+}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\\infty\\quad\\text{ lub }\\quad \\lim\\limits_{x\\to x_0^+}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\\infty, \\)\n\n\t\t\t\t\t co zapisujemy: \\( f^{\\prime}_+(x_0)=-\\infty \\) lub \\( f^{\\prime}_+(x_0)=+\\infty \\)." } ]

[ "Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie możemy rozszerzyć na przedział i mówić o pochodnej funkcji w przedziale. Z pochodną funkcji wiąże się również pojęcie różniczkowalności funkcji.", "Definiuje się również następujące pojęcia:", "Przyglądnijmy się teraz klasie funkcji różniczkowalnych - sformułujemy dwa twierdzenia opisujące własności funkcji różniczkowalnych.", "Zdefiniujmy również pochodną funkcji wektorowej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Pochodna funkcji w przedziale", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) , gdzie \\( -\\infty\\leq a\\lt b\\leq\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale domkniętym \\( [a,b] \\) , gdzie \\( -\\infty\\lt a\\lt b\\lt\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną prawostronną w \\( a \\) i pochodną lewostronną w \\( b \\).\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale \\( (a,b] \\) , gdzie \\( -\\infty\\leq a\\lt b\\lt\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną lewostronną w \\( b \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale \\( [a,b) \\) , gdzie \\( -\\infty\\lt a\\lt b\\leq\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną prawostronną w \\( a \\)." }, { "name": "Definicja 2: Funkcja pochodna", "content": "Funkcję określoną w przedziale \\( I \\), której wartości są równe \\( f^{\\prime}(x) \\) dla każdego \\( x\\in I \\), nazywamy funkcją pochodną funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) lub pochodną funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) i oznaczamy ją przez \\( f^{\\prime} \\) lub \\( \\frac{df}{dx} \\)." }, { "name": "Definicja 3: Funkcja różniczkowalna", "content": "Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalną w tym przedziale." }, { "name": "Definicja 4: Pochodna funkcji wektorowej", "content": "Niech \\( \\vec v:[\\alpha,\\beta]\\to\\mathbb{R}^2 \\) o przepisie \\( \\vec v(t)=(x(t),y(t)) \\) będzie funkcją wektorową.\n\n\nPochodną funkcji wektorowej \\( \\vec v \\) określamy wzorem \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\vec v\\,^{\\prime}(t)=(x^{\\prime}(t),y^{\\prime}(t)). \\)\n\n" } ]

[ "Pochodną funkcji można obliczyć, korzystając z twierdzeń opisujących własności pochodnych funkcji - i - oraz . Poniżej przedstawimy te twierdzenia oraz przykłady obliczania pochodnej funkcji wykorzystujące te własności.", "Pochodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pochodną funkcji, wykorzystując i oraz powyższe .", "Przy liczeniu pochodnej funkcji elementarnej będziemy często potrzebować jeszcze wzoru na pochodną złożenia funkcji." ]

[]

[ "Pojęcie stycznej do wykresu funkcji \\( f \\) w danym punkcie wykresu \\( P(x_0,f(x_0)) \\) jest ściśle związane z pochodną funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\). Styczną możemy traktować jako geometryczną interpretację pochodnej funkcji. Pojęcie stycznej w sensie rachunku różniczkowego jest czymś innym niż styczna do figury czyli prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z figurą, którą poznaje się w szkole średniej.", "Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że określenie stycznej do wykresu funkcji jako prostej, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, jest błędne. Przykład stycznej do wykresu funkcji w punkcie \\( x_0 \\), która ma więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem przedstawia poniższy rysunek.", "Natomiast w rozważaliśmy funkcję, której wykres pokrywa się ze styczną w dowolnym punkcie \\( \\mathbb{R} \\), czyli wykres i styczna mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Z drugiej strony, oczywiście, każdy z łatwością wskaże proste mające tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, a nie są stycznymi do tego wykresu.", "W ostatniej uwadze został wspomniany przypadek pionowej stycznej do wykresu funkcji. Taka sytuacja ma miejsce, gdy funkcja jest ciągła w otoczeniu \\( O(x_0) \\) i obie pochodne jednostronne w \\( x_0 \\) są niewłaściwe (pochodna obustronna może istnieć lub nie).", "Zwróćmy uwagę, że przypadek stycznej pionowej spełnia definicję stycznej do wykresu funkcji. Przykładem takiej stycznej jest prosta \\( x=0 \\), która jest styczną do wykresu funkcji \\( f(x)=\\sqrt[3]{x} \\) w punkcie \\( x_0=0 \\).", "Na podstawie tego wyprowadzenia sformułujmy twierdzenie.", "Znając własności współczynnika kierunkowego \\( a \\) prostej \\( y=ax+b \\), możemy sformułować następujące twierdzenie.", "Jednym z zastosowań stycznej, a tym samym pochodnej funkcji, jest określenie kąta między krzywymi będącymi wykresami funkcji, które się przecinają.", "Kąt przecięcia się wykresów funkcji możemy obliczyć, wykorzystując twierdzenie:", "Powyższy wzór jest konsekwencją wzoru na tangens różnicy kątów oraz związku pochodnej funkcji w punkcie ze styczną do wykresu funkcji w tym punkcie. Wartość \\( \\frac{f^{\\prime}(x_0)-g^{\\prime}(x_0)}{1+f^{\\prime}(x_0)g^{\\prime}(x_0)} \\) jest równa tangensowi kąta \\( \\varphi \\) lub kąta do niego przyległego. Wartość tangensa dla kątów przyległych różni się tylko znakiem. Szukamy tangensa dodatniego kąta ostrego, więc właściwą wartość wybieramy przez zastosowanie wartości bezwzględnej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Styczna do wykresu funkcji", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\) oraz funkcja \\( f \\) będzie określona i ciągła w otoczeniu \\( O(x_0) \\).\n\n\nStyczną do wykresu funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) (w punkcie wykresu \\( P (x_0, f(x_0)) \\) lub dla argumentu \\( x_0 \\)) nazywamy prostą będąca granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji \\( f \\) przechodzących przez punkty \\( (x_0, f(x_0)) \\) i \\( (x, f(x)) \\), gdy \\( x\\to x_0 \\)." }, { "name": "Definicja 2: Kąt przecięcia się wykresów funkcji", "content": "Niech \\( x_0\\in \\mathbb{R} \\). Niech funkcje \\( f \\) i \\( g \\) będą określone w otoczeniu \\( O(x_0) \\), posiadają pochodne właściwe lub niewłaściwe w punkcie \\( x_0 \\) oraz ich wykresy mają punkt wspólny \\( (x_0,y_0) \\).\n\n\nKątem przecięcia się wykresów funkcji \\( f \\) i \\( g \\) w punkcie \\( (x_0,y_0) \\) nazywamy kąt ostry lub prosty między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie przecięcia \\( (x_0,y_0) \\)." } ]

[ "Z pojęciem pochodnej wiąże się pojęcie różniczki. Funkcja posiadająca pochodną (właściwą) w danym zbiorze jest nazywana funkcją różniczkowalną w tym zbiorze, ale czym jest różniczka?" ]

[ { "name": "Definicja 1: Różniczka funkcji", "content": "Niech \\( x_0\\in\\mathbb{R} \\) i funkcja \\( f \\) ma pochodną właściwą w punkcie \\( x_0 \\).\n\n\nRóżniczką funkcji \\( f \\) w punkcje \\( x_0 \\) nazywamy funkcję \\( df_{x_0} \\) zmiennej \\( h \\) określoną wzorem \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( df_{x_0}(h)=f^{\\prime}(x_0)\\cdot h. \\)\n\n" } ]

[ "Możemy obliczyć pochodną funkcji pochodnej. W ten sposób otrzymujemy pochodną rzędu drugiego zadanej funkcji, a także pochodne wyższych rzędów. Pojęcie pochodnych wyższych rzędów znajduje zastosowanie między innymi we wzorze Taylora, który umożliwia przybliżanie funkcji w lepszy sposób niż robi to różniczka funkcji czy geometrycznie styczna.", "Indukcyjnie również definiujemy pochodne jednostronne wyższego rzędu:", "Pochodną wyższego rzędu w przedziale definiujemy analogicznie do pochodnej rzędu pierwszego w przedziale:", "Zauważmy, że gdybyśmy policzyli piątą pochodną funkcji \\( x^5 \\) otrzymamy też liczbę: \\( 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1=5! \\). I tak dalej. Są to szczególne przypadki następującej obserwacji:", "Wykorzystując pochodne wyższych rzędów możemy sformułować twierdzenie o wzorze Taylora.", "Twierdzenie jest prawdziwe również dla przedziału \\( [ x, x_0] \\).", "Ilustracją graficzną tej uwagi niech będą wykresy funkcji i ich przybliżeń przez wielomiany Taylora wyliczone w ostatnich przykładach.", "Zwróćmy uwagę, że dla funkcji \\( g(x)=\\sin x \\) wielomianu Taylora stopnia 5 w \\( x_0=\\pi \\) i wielomianu Taylora stopnia 6 w \\( x_0=\\pi \\) ma identyczną postać, bo \\( g^{(6)}(\\pi)=0 \\).", "Należy jednak zaznaczyć, że wykresy powyższych funkcji i ich wielomianów Taylora nie pokrywają się w żadnym przedziale.", "Dla funkcji różniczkowalnej wystarczająco wiele razy możemy, szacując resztę \\( R_n \\), ustalić stopnień wielomianu Taylora w punkcie \\( x_0 \\), tak aby przybliżenie danej funkcji przez ten wielomian Taylora miało zadaną z góry dokładność, czyli błąd przybliżenia był mniejszy lub równy od zadanej wartości. W szczególności przy pomocy wzoru Taylora możemy określić przybliżoną wartość funkcji dla zadanego argumentu z zadaną z góry dokładnością." ]

[ { "name": "Definicja 1: Pochodna rzędu \\( n \\) funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( n\\in\\mathbb{N} \\).\n\n\nPochodną (właściwą) rzędu \\( n \\) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) (lub pochodną \\( n \\)-tego rzędu funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\)) oznaczamy przez \\( f^{(n)}(x_0) \\) i definiujemy jako \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{(n)}(x_0)=\\left[f^{(n-1)}\\right]^{\\prime}(x_0)\\quad \\text{ dla }n\\geq 2, \\)\n\n\t\t\t\t\t o ile funkcja \\( f^{(n-1)} \\) jest określona w otoczeniu punktu \\( x_0 \\) i istnieje pochodna funkcji \\( f^{(n-1)} \\) w punkcie \\( x_0 \\). Przyjmujemy, że \\( f^{(1)}(x_0)=f^{\\prime}(x_0) \\)." }, { "name": "Definicja 2: Funkcja pochodna rzędu \\( n \\)", "content": "Funkcję określoną w przedziale \\( I \\), której wartości w punktach \\( x\\in I \\) są równe \\( f^{(n)}(x) \\), nazywamy funkcją pochodną rzędu \\( n \\) funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) lub pochodną \\( n \\)-tego rzędu funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\), lub też \\( n \\)-tą pochodną funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) i oznaczamy \\( f^{(n)} \\) dla \\( n\\in \\mathbb{N} \\)." }, { "name": "Definicja 3: Pochodna lewostronna rzędu \\( n \\) funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( n\\in\\mathbb{N} \\).\n\n\nPochodną lewostronną (właściwą) rzędu \\( n \\) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) oznaczamy przez \\( f^{(n)}_{-}(x_0) \\) i definiujemy jako \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{(n)}_{-}(x_0)=\\left[f^{(n-1)}\\right]^{\\prime}_{-}(x_0)\\quad \\text{ dla }n\\geq 2, \\)\n\n\t\t\t\t\t o ile funkcja \\( f^{(n-1)} \\) jest określona w otoczeniu lewostronnym punktu \\( x_0 \\) i istnieje pochodna lewostronna funkcji \\( f^{(n-1)} \\) w punkcie \\( x_0 \\). Przyjmujemy, że \\( f^{(1)}_{-}(x_0)=f^{\\prime}_{-}(x_0) \\)." }, { "name": "Definicja 4: Pochodna prawostronna rzędu \\( n \\) funkcji w punkcie", "content": "Niech \\( n\\in\\mathbb{N} \\).\n\n\nPochodną prawostronną (właściwą) rzędu \\( n \\) funkcji \\( f \\) w punkcie \\( x_0 \\) oznaczamy przez \\( f^{(n)}_{+}(x_0) \\) i definiujemy jako \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f^{(n)}_{+}(x_0)=\\left[f^{(n-1)}\\right]^{\\prime}_{+}(x_0)\\quad \\text{ dla }n\\geq 2, \\)\n\n\t\t\t\t\t o ile funkcja \\( f^{(n-1)} \\) jest określona w otoczeniu prawostronnym punktu \\( x_0 \\) i istnieje pochodna prawostronna funkcji \\( f^{(n-1)} \\) w punkcie \\( x_0 \\). Przyjmujemy, że \\( f^{(1)}_{+}(x_0)=f^{\\prime}_{+}(x_0) \\)." }, { "name": "Definicja 5: Pochodna rzędu \\( n \\) funkcji w przedziale", "content": "Mówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) , gdzie \\( -\\infty\\leq a\\lt b\\leq\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w każdym punkcie tego przedziału.\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale domkniętym \\( [a,b] \\) , gdzie \\( -\\infty\\lt a\\lt b\\lt\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną prawostronną rzędu \\( n \\) w \\( a \\) i pochodną lewostronną rzędu \\( n \\) w \\( b \\).\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale \\( (a,b] \\) , gdzie \\( -\\infty\\leq a\\lt b\\lt\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną lewostronną rzędu \\( n \\) w \\( b \\).\n\n\nMówimy, że funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale \\( [a,b) \\) , gdzie \\( -\\infty\\lt a\\lt b\\leq\\infty \\), gdy funkcja \\( f \\) ma pochodną rzędu \\( n \\) w przedziale otwartym \\( (a,b) \\) i pochodną prawostronną rzędu \\( n \\) w \\( a \\)." } ]

[ "Przedstawimy tu twierdzenia opisujące zastosowania pochodnej funkcji. Szczególne miejsce wśród nich zajmuje twierdzenie określające związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania monotoniczności funkcji.", "Przejdźmy teraz do wspomnianego twierdzenia łączącego znak pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to pozwala badanie monotoniczności funkcji sprowadzić do rozwiązania nierówności.", "Następne dwa twierdzenia pokażą nam, że porównanie wartości pochodnych dwóch funkcji w pewnym przedziale oraz porównanie wartości tych funkcji w pewnym punkcie tego przedziału, pozwala wnioskować o relacji tych funkcji w rozważanym przedziale.", "Powyższe twierdzenia znajdują zastosowanie również w rozwiązywaniu równań i nierówności nieelementarnych." ]

[]

[ "Pochodna funkcji okazuje się pomocna również przy obliczaniu granicy funkcji w punkcie. Mówi o tym twierdzenie de l'Hospitala, nazwane często regułą de l'Hospitala.", "Regułę de l'Hospitala możemy również zastosować, gdy szacując granicę ilorazu funkcji otrzymamy symbol nieoznaczony \\( \\left[\\frac{\\infty}{\\infty}\\right] \\).", "Jednak w przypadku innych symboli nieoznaczonych możemy tak przekształcić wyrażenie, którego granicę liczymy, aby móc zastosować regułę de l'Hospitala, czyli tak, aby otrzymać symbol nieoznaczony \\( \\left[\\frac{0}{0}\\right] \\) lub \\( \\left[\\frac{\\infty}{\\infty}\\right] \\)." ]

[]

[ "Pochodna funkcji może służyć nam do szukania ekstremów (czyli minimów i maksimów) funkcji. Wiele zadań optymalizacyjnych można rozwiązać właśnie wyznaczając ekstrema.", "Wartość najmniejsza funkcji w zbiorze \\( A \\) jest też nazywana minimum globalnym funkcji w zbiorze \\( A \\), a wartość największa w zbiorze \\( A \\)- maksimum globalnym w zbiorze \\( A \\) . Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji \\( f \\) ciągłej w przedziale \\( [a,b] \\):" ]

[ { "name": "Definicja 1: Minimum lokalne", "content": "\nFunkcja \\( f \\) ma w punkcie \\( x_0\\in\\mathbb{R} \\) minimum lokalne (minimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje \\( \\delta >0 \\) taka, że dla każdego \\( x\\in S(x_0, \\delta) \\) zachodzi nierówność \\( f(x)\\geq f(x_0) \\) ( \\( f(x)>f(x_0) \\)).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Maksimum lokalne", "content": "\nFunkcja \\( f \\) ma w punkcie \\( x_0\\in\\mathbb{R} \\) maksimum lokalne (maksimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje \\( \\delta >0 \\) taka, że dla każdego \\( x\\in S(x_0, \\delta) \\) zachodzi nierówność \\( f(x)\\leq f(x_0) \\) ( \\( f(x)< f(x_0) \\)).\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Wartość najmniejsza w zbiorze", "content": "\nLiczba \\( m\\in\\mathbb{R} \\) jest wartością najmniejszą funkcji \\( f \\) w zbiorze \\( A \\) zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje \\( x_0\\in A \\) takie, że \\( f(x_0)=m \\) i dla każdego \\( x\\in A \\) zachodzi nierówność \\( f(x)\\geqslant m \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Wartość największa w zbiorze", "content": "\nLiczba \\( M\\in\\mathbb{R} \\) jest wartością największą funkcji \\( f \\) w zbiorze \\( A \\) zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje \\( x_0\\in A \\) takie, że \\( f(x_0)=M \\) i dla każdego \\( x\\in A \\) zachodzi nierówność \\( f(x)\\leqslant M \\).\n\n" } ]

[ "Rys. 1 ilustruje definicję funkcji ściśle wypukłej (czyli również wypukłej) dla \\( I=(a,b) \\):", "Na Rys. 2 przedstawiona została funkcja wypukła, która nie jest ściśle wypukła:", "Definicję funkcji ściśle wklęsłej dla \\( I=(a,b) \\) ilustruje Rys. 3:", "Na Rys. 4 przedstawiona została funkcja wklęsła, która nie jest ściśle wklęsła:", "Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa." ]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja wypukła", "content": "\nFunkcję nazywamy wypukłą (wypukłą ku dołowi) w przedziale \\( I \\), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \\( f \\) zawężonej do przedziału \\( I \\) leży powyżej lub na wykresie tej funkcji.\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Funkcja ściśle wypukła", "content": "\nFunkcję nazywamy ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi) w przedziale \\( I \\), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \\( f \\) zawężonej do przedziału \\( I \\) leży powyżej wykresu tej funkcji.\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Funkcja wklęsła", "content": "\nFunkcję nazywamy wklęsłą (wypukłą ku górze) w przedziale \\( I \\), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \\( f \\) zawężonej do przedziału \\( I \\) leży poniżej lub na wykresie tej funkcji.\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Funkcja ściśle wklęsła", "content": "\nFunkcję nazywamy ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze) w przedziale \\( I \\), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \\( f \\) zawężonej do przedziału \\( I \\) leży poniżej wykresu tej funkcji.\n\n" }, { "name": "Definicja 5: Punkt przegięcia", "content": "\nNiech \\( f \\) będzie funkcją ciągłą w \\( O(x_0) \\). Funkcja \\( f \\) ma punkt przegięcia w \\( x_0 \\), gdy spełniony jest jeden z warunków:\n\n1. funkcja \\( f \\) jest ściśle wypukła w \\( S(x_0^-) \\) i ściśle wklęsła w \\( S(x_0^+) \\)\n\nalbo\n\n2. funkcja \\( f \\) jest ściśle wklęsła w \\( S(x_0^-) \\) i ściśle wypukła w \\( S(x_0^+) \\).\n\n" } ]

[ "Fundamentalne dla rachunku różniczkowego pojęcia, takie jak granica, ciągłość, pochodna, są niezwykle skutecznymi narzędziami do badania przebiegu zmienności funkcji. Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wykrywanie zasadniczych cech jej wykresu, gdy znamy funkcję jedynie jako abstrakcyjny przepis. Dzięki granicom obliczamy jej asymptoty, pochodna wykrywa jej monotoniczność i ekstrema, zaś badanie drugiej pochodnej umożliwia nam znalezienie punktów przegięcia i określenie przedziałów wypukłości funkcji. Badanie przebiegu zmienności stanowi zatem syntezę i ukoronowanie całości metod rachunku różniczkowego i, jako takie, jest zarazem dużym wyzwaniem rachunkowym ze względu na swoją złożoność. W celu ułatwienia tego zadania organizuje się pracę według następujących kroków, zwanych schematem badania funkcji.", "Aby zbadać przebieg zmienności funkcji, należy:" ]

[]

[ "Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d'Alemberta (1717-1783). Było to równanie według dzisiejszej nomenklatury typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707 - 1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli (1702 - 1782) przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750 - 1830) tworząc początki teori szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy (1789 - 1857) sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy'ego. P. Laplace (1749-1827) zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace'a. S.D. Poisson (1781 -1840) rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane obecnie równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi. Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941), J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938). Z polskich matematyków wymienić należy autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego (1907 - 1965). Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk które pierwotnie opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali walcowej, równanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza topologii i analizy funkcjonalnej.", "Równanie różniczkowe cząstkowe, to równanie w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych niezależnych oraz niektóre jej pochodne cząstkowe. Rzędem równania nazywamy najwyższy rząd pochodnej. I tak równaniem różniczkowym cząstkowym pierwszego rzędu nazywamy zależność", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc (x_1, \\ldots ,x_n)\\in U \\subset \\mathbb{R}^n \\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc F:U\\times \\mathbb{R}^{n+1} \\to \\mathbb{R} \\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją, a \\( \\hskip 0.3pc u:U\\to\\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\) funkcją szukaną. Podobnie równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu nazywamy zależność", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją daną, a \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) funkcją szukaną.", "Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego rzędu \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\) w obszarze \\( \\hskip 0.3pc U \\subset R^n \\hskip 0.3pc \\)nazywamy funkcję \\( \\hskip 0.3pc u:U\\to R^n \\hskip 0.3pc \\), posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\), spełniającą równanie w każdym punkcie obszaru \\( \\hskip 0.3pc U.\\hskip 0.3pc \\) Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem klasycznym. Zastosowania wymagają jednak często rozwiązań które nie mają ciągłych pochodnych, lub nie wszędzie są różniczkowalne lub wreszcie nie wszędzie są ciągłe. Wymaga to wprowadzenia tak zwanych rozwiązań słabych. W niniejszym tekście ograniczymy się do rozważania rozwiązań klasycznych, chociaż z punktu widzenia zatosowań są one daleko niewystarczające. Postaramy się natomiast sygnalizawać sytuacje w których widać potrzebę rozważania szerszej klasy rozwiązań oraz sformułujemy wstępne definicje, zachęcając w ten sposób Czytelnika do sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowane.", "W dalszym ciągu będziemy rozważać pewne szczególne przypadki równań różniczkowych cząstkowych. Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci ( 1 ), jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest liniowa względem funkcji \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) oraz jej pochodnych \\( \\hskip 0.3pc u_{x_1}, \\ldots ,u_{x_n}, \\hskip 0.3pc \\) czyli równanie postaci", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc f=0 \\hskip 0.3pc \\)to równanie ( 3 ) nazywamy jednorodnym. Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci ( 1 ) jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\)jest liniowa względem pochodnych \\( \\hskip 0.3pc u_{x_1}, \\ldots ,u_{x_n}, \\hskip 0.3pc \\)czyli równanie postaci", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc f=0 \\hskip 0.3pc \\) to równanie ( 4 ) nazywamy równaniem quasi liniowym jednorodnym. Zazwyczaj przyjmujemy, że zadane funkcje \\( \\hskip 0.3pc a_1, \\ldots , a_n \\hskip 0.3pc \\) oraz funkcja \\( \\hskip 0.3pc f \\hskip 0.3pc \\) są ciągłe w rozważanych obszarach. Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci ( 2 ) jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\)jest liniowa względem funkji \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) oraz jej pochodnych, tzn. równanie postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a_{ij}, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc b_i \\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc i,j=1, \\ldots ,n \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc f \\hskip 0.3pc \\)są zadanymi funkcjami zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x_1, \\ldots ,x_n. \\hskip 0.3pc \\) Jeśli \\( \\hskip 0.3pc f=0 \\hskip 0.3pc \\) to równanie ( 5 ) nazywamy jednorodnym. Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci ( 2 ) jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\)jest liniowa względem pochodnych drugiego rzędu funkcji \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\)czyli równanie postaci", "Załóżmy, że równanie różniczkowe rozważamy w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega . \\hskip 0.3pc \\) Jeśli szukamy rozwiązania które na brzegu \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega \\hskip 0.3pc \\) obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje zadane wartości, to problem ten nazywamy problemem brzegowym. Możemy też szukać rozwiązania dla którego na brzegu obszaru mamy zadane wartości pochodnych lub wartości pochodnej w kierunku normalnym do powierzchni, lub też kombinację tych warunków. Ze względu na interpretację fizyczną, często wyróżniamy jedną ze zmiennych i nazywamy czasem. Nie jest to na ogół obojętne, jeśli bowiem równanie różniczkowe opisuje pewne zjawisko fizyczne, to każda ze zmiennych ma z góry ustaloną interpretację. Jeśli poszukujemy rozwiązania które w chwili początkowej \\( \\hskip 0.3pc t=t_0 \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje zadane wartości, to rozważany problem nazywamy problemem początkowym albo problemem Cauchy'ego. Możemy też szukać rozwiązania dla którego w chwili początkowej \\( \\hskip 0.3pc t=t_0 \\hskip 0.3pc \\) mamy zadane wartości pochodnych, lub rozwiązania które w chwili początkowej \\( \\hskip 0.3pc t=t_0 \\hskip 0.3pc \\) spełnia kombinację tych warunków. Należy wyrażnie zaznaczyć, że nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Co więcej, stosowane techniki nie tylko zależą od typu równania, ale często również od rozpatrywanych warunków początkowych i brzegowych oraz obszaru w którym szukamy rozwiązania. Dlatego też badania skupiają się na konkretnych równaniach różniczkowych cząstkowych jak też konkretnych problemach początkowych i brzegowych, które sa ważne z punktu widzenia zastosowań w matematyce czy też w innych naukach. Na koniec zauważmy, że ze względu na oszczędność zapisu sensownym jest wprowadzenie operatorów różniczkowych", "oraz", "Jeśli operator \\( \\hskip 0.3pc L \\hskip 0.3pc \\) jest określony wzorem (8) (odp. (7)), równanie ( 5 ) (odp.( 6 ) ) możemy zapisać krótko", "Szczególnie rozpowszechniony jest operator Laplace'a (tzw. laplasjan)", "oraz operator Nabla", "Zauważmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\Delta = \\bigtriangledown\\cdot \\bigtriangledown = \\bigtriangledown ^2, \\hskip 0.3pc \\) przy czym iloczyn rozumiemy tu w sensie iloczynu skalarnego." ]

[]

[ "Równania różniczkowe cząstkowe służą jako modele dla opisu szeregu zjawisk począwszy od fizyki i techniki, poprzez nauki przyrodnicze, ekonomię, medycynę aż do nauk humanistycznych. I tak na przykład są one podstawowym narzędziem do opisu zagadnień mechaniki, elektrotechniki, hydromechaniki, akustyki czy fizyki kwantowej. W niniejszym module podamy przykłady opisu takich zjawisk, mianowicie drgań struny, drgań elektrycznych w przewodniku, przewodnictwa ciepła oraz przepływu cieczy lub gazu. Należy podkreślić, że w literaturze nietrudno znależć wyprowadzenia bardziej precyzyjne. Ponieważ naszym celem jest elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych, ograniczymy się do rozważań bardzo uproszczonych.", "1. Równanie struny", "Przez strunę rozumiemy jednorodną elastyczną nić o stałym przekroju. Zakładamy, że struna jest zamocowana na osi \\( \\hskip 0.3pc 0x \\hskip 0.3pc \\) w punktach \\( \\hskip 0.3pc 0 \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc l \\hskip 0.3pc \\) i pod działaniem sił naprężenia jest skierowana wzdłuż osi \\( \\hskip 0.3pc 0x. \\hskip 0.3pc \\) Przyjmujemy przy tym, że siła naprężenia w każdym punkcie struny jest stała. Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej struna zostanie wyprowadzona z położenia równowagi, to pod wpływem sił naprężenia zacznie drgać. W naszych rozważaniach przyjmujemy, że struna przesuwa się w jednej płaszczyżnie, a punkty struny poruszają się jedynie w kierunku prostopadłym do osi \\( \\hskip 0.3pc 0x. \\hskip 0.3pc \\) Odchylenie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) punktu drgającej struny jest szukaną funkcją dwóch zmiennych niezależnych, współrzędnej \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) oraz czasu \\( \\hskip 0.3pc t, \\hskip 0.3pc \\) czyli \\( \\hskip 0.3pc u =u(x,t). \\hskip 0.3pc \\) Oczywiście, siła naprężenia \\( \\hskip 0.3pc T \\hskip 0.3pc \\) jest w każdym punkcie styczna do struny, a ruch struny jest wymuszony jej składową na oś \\( \\hskip 0.3pc 0u \\hskip 0.3pc \\) (zobacz Rys. 1 ). Przyjmujemy, że wartość siły naprężenia struny jest stała, ponadto rozważamy tylko takie drgania, dla których amplituda jest mała w stosunku do długości struny. Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc x+\\Delta x \\hskip 0.3pc \\) rzut punktów \\( \\hskip 0.3pc M_1 \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc M_2 \\hskip 0.3pc \\) na oś \\( \\hskip 0.3pc 0x, \\hskip 0.3pc \\) a przez \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\varphi +\\Delta \\varphi \\hskip 0.3pc \\) kąt między kierunkiem działania siły naprężenia \\( \\hskip 0.3pc T \\hskip 0.3pc \\) w punktach \\( \\hskip 0.3pc M_1 \\hskip 0.3pc \\)i \\( \\hskip 0.3pc M_2\\hskip 0.3pc \\) a osią \\( \\hskip 0.3pc 0x. \\hskip 0.3pc \\) Zauważmy, że przyrost siły działającej w kierunku osi \\( \\hskip 0.3pc 0u \\hskip 0.3pc \\) na element struny \\( \\hskip 0.3pc M_1M_2 \\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem:", "dla pewnego \\( \\hskip 0.3pc \\theta \\in [0,1] \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\Delta x =x_2-x_1.\\hskip 0.3pc \\) (Ponieważ założyliśmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) jest małe, wartość \\( \\hskip 0.3pc \\sin \\varphi \\hskip 0.3pc \\) zastąpiliśmy wartością \\( \\hskip 0.3pc {\\rm tg} \\varphi,\\hskip 0.3pc \\) która - jak wiadomo - jest równa wartości pochodnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc u, \\hskip 0.3pc \\) a następnie wykorzystaliśmy twierdzenie o wartości średniej). Z drugiej strony, korzystając z zasady Newtona, siłę działającą w kierunku osi \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) na element \\( \\hskip 0.3pc M_1M_2 \\hskip 0.3pc \\) możemy wyrazić wzorem:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\rho \\hskip 0.3pc \\) oznacza gęstość liniową struny.", "Porównując ( 1 ) i ( 2 ) otrzymamy", "czyli", "gdzie współczynnik \\( \\hskip 0.3pc a =\\sqrt{T/\\rho} \\hskip 0.3pc \\) opisuje prędkość rozchodzenia się drgań prostopadłych. Jest to równanie typu hiperbolicznego. Zauważmy, że w opisanym modelu spełnione są następujące warunki brzegowe", "zaś wyprowadzenie struny z polożenia równowagi zadane jest warunkami początkowymi", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\)i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\)są zadanymi funkcjami, przy czym \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (0)= \\varphi (l)=\\psi (0)=\\psi (l)=0. \\hskip 0.3pc \\) Jeśli założymy ponadto, że na strunę działa siła zewnętrzna \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) to nietrudno sprawdzić, że drgania struny opisane są równaniem", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc f(x,t)=F(x,t)/T. \\hskip 0.3pc \\)", "2. Drgania elektryczne w przewodnikach", "Przypomnijmy, że prąd przepływający w przewodniku scharakteryzowany jest przez natężenie \\( \\hskip 0.3pc i=i(x,t) \\hskip 0.3pc \\) oraz napięcie \\( \\hskip 0.3pc u=u(x,t) \\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) oznacza odległość liniową od początku linii, a \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\) czas. Ponadto, jak zwykle niech \\( \\hskip 0.3pc R \\hskip 0.3pc \\) oznacza gęstość liniową oporności przewodnika, \\( \\hskip 0.3pc C \\hskip 0.3pc \\) gęstość liniową pojemności, \\( \\hskip 0.3pcL \\hskip 0.3pc \\) - gęstość liniową indukcji, a \\( \\hskip 0.3pc G \\hskip 0.3pc \\)- gęstość liniową upływności (współczynnik izolacji). Spadek potencjału przewodnika od punktu \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) do punktu \\( \\hskip 0.3pc x+\\Delta x, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "jest spowodowany przez:", "\\( \\hskip 0.3pc i R \\Delta x \\hskip 0.3pc \\)- spadek napięcia wywołany oporem,", "\\( \\hskip 0.3pc L \\dfrac{\\partial i}{\\partial t} \\Delta x \\hskip 0.3pc \\)- siłę elektromagnetyczną samoindukcji.", "Zatem", "Stąd", "Podobnie, spadek natężenia na odcinku od punktu \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) do punktu \\( \\hskip 0.3pc x+\\Delta x, \\hskip 0.3pc \\) w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) czyli", "jest równy sumie:", "\\( \\hskip 0.3pc C \\dfrac{\\partial u}{\\partial t} \\Delta x \\Delta t \\hskip 0.3pc \\)- prądu przepływającego przez rozważany odcinek,", "\\( \\hskip 0.3pc G u\\Delta x \\Delta t \\hskip 0.3pc \\)- strat prądu.", "Zatem", "Stąd", "Zespół równań ( 7 ), ( 8 ) nazywamy równaniami linii elektrycznej. Różniczkując równanie ( 7 ) względem \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) a równanie ( 8 ) względem \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Jeśli przyjmiemy \\( \\hskip 0.3pc R \\cong 0, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc G \\cong 0, \\hskip 0.3pc \\) tzn. założymy, że linia jest bez samoindukcji i bez upływnienia, to eliminując z uzyskanego układu równań pochodną mieszaną, otrzymamy", "lub", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a =1/\\sqrt{LC}. \\hskip 0.3pc \\) Otrzymaliśmy zatem ponownie równanie postaci ( 3 ).", "3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie", "Rozważmy zagadnienie rozchodzenia się ciepła w pręcie jednorodnym. Niech \\( \\hskip 0.3pc u =u(x,t) \\hskip 0.3pc \\) oznacza temperaturę w chwili \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x. \\hskip 0.3pc \\) Ilość ciepła przechodząca przez sekcję pręta w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\)w przedziale czasowym \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) wynosi", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\) jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a \\( \\hskip 0.3pc S \\hskip 0.3pc \\) powierzchnią przekroju pręta. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc Q_1 \\hskip 0.3pc \\) oznacza ilość ciepła przepływająca przez sekcję pręta w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x=x_1 \\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc Q_2\\hskip 0.3pc \\) przez sekcję w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x=x_2, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\theta \\in [0,1], \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\Delta x =x_2-x_1. \\hskip 0.3pc \\) Ciepło \\( \\hskip 0.3pc \\Delta Q \\hskip 0.3pc \\) powoduje zmianę temperatury odcinka \\( \\hskip 0.3pc [x_1,x_2]\\hskip 0.3pc \\) o wielkość \\( \\hskip 0.3pc \\Delta u.\\hskip 0.3pc \\) Oczywiście", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc c \\hskip 0.3pc \\) oznacza ciepło właściwe a \\( \\hskip 0.3pc \\rho \\hskip 0.3pc \\) gęstość właściwą pręta. Uwzględniając, że", "równanie bilansu cieplnego możemy zapisać w postaci", "Stąd", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a^2=k/(c\\rho ). \\hskip 0.3pc \\) Jest to równanie typu parabolicznego.", "4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle", "Rozważmy teraz zagadnienie rozchodzenia się ciepła w jednorodnej i izotropowej bryle trójwymiarowej \\( \\hskip 0.3pc V\\hskip 0.3pc \\) o powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S. \\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc u=u(x,y,z,t) \\hskip 0.3pc \\) oznacza temperaturę w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (x,y,z) \\hskip 0.3pc \\) w chwili \\( \\hskip 0.3pc t, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\) współczynnik przewodnictwa cieplnego, \\( \\hskip 0.3pc \\vec{n} \\hskip 0.3pc \\) oznacza (jednostkowy) wektor normalny do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc c \\hskip 0.3pc \\)ciepło właściwe a \\( \\hskip 0.3pc \\rho \\hskip 0.3pc \\) gęstość bryły. Ilość ciepła przepływającego w jednostce czasu przez powierzchnię \\( \\hskip 0.3pc S, \\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem", "a ilość ciepła w bryle \\( \\hskip 0.3pc V\\hskip 0.3pc \\) w chwili \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\) wzorem", "Ponieważ", "gdzie symbol \\( \\hskip 0.3pc \\cdot \\hskip 0.3pc \\) znacza iloczyn skalarny, ilość ciepła która przechodzi przez element powierzchni \\( \\hskip 0.3pc \\Delta S \\hskip 0.3pc \\) w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem", "Zatem przez powierzchnie \\( \\hskip 0.3pc S \\hskip 0.3pc \\) w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t\\hskip 0.3pc \\) przechodzi natępująca ilość ciepła", "Przepływające ciepło powoduje zmianę temperatury \\( \\hskip 0.3pc u, \\hskip 0.3pc \\) przy czym przyrost ciepła bryły \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem", "Równanie bilansu cieplnego ma zatem postać", "Po uproszczeniu przez \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) i wykorzystaniu twierdzenia Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2) otrzymamy", "czyli", "Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego obszaru \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) o dostatecznie regularnej powierzchni, zakładając ciagłość wyrażeń podcałkowych otrzymamy", "lub", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a^2=k/(c \\rho). \\hskip 0.3pc \\) Ostatecznie otrzymane równanie możemy zapisać w postaci", "lub, używając symbolu laplasjanu \\( \\hskip 0.3pc \\Delta =\\dfrac{\\partial^2 }{\\partial x^2} +\\dfrac{\\partial^2 }{\\partial y^2} +\\dfrac{\\partial^2 }{\\partial z^2}, \\hskip 0.3pc \\) w postaci", "Jest to również równanie typu parabolicznego. Jeśli w rozważanym obszarze znajdują się żródła ciepła opisane funkcją \\( \\hskip 0.3pc g(x,y,z,t), \\hskip 0.3pc \\) wówczas można pokazać, że równanie przewodnictwa cieplnego przyjmie postać", "Jeśli temperatura nie zmienia się w czasie, równanie przewodnictwa cieplnego ma postać", "Równanie ( 14 ) nosi nazwę równania Laplace'a. Jest to równanie typu eliptycznego. Aby znależć temperaturę ciała, wystarczy znać temperaturę na powierzchni, czyli", "oraz prędkość przepływu ciepła przez powierzchnię, czyli", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\vec{n} \\hskip 0.3pc \\) oznacza wektor normalny do powierzchni. Ponieważ warunki te są zadane na brzegu obszaru, problem ten nazywamy problemem brzegowym a wymienione warunki warunkami brzegowymi.", "5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości", "Niech \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) będzie zadanym obszarem jednospójnym o regularnej powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S. \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że przez obszar \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) przepływa ciecz lub gaz z prędkością \\( \\hskip 0.3pc \\vec{v} =\\vec{v}(x,y,z,t). \\hskip 0.3pc \\) Przez element powierzchni \\( \\hskip 0.3pc \\Delta S \\hskip 0.3pc \\) w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) przepływa następująca ilość substancji", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\vec{n} \\hskip 0.3pc \\) oznacza wektor normalny do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S, \\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc \\rho =\\rho(x,y,z,t) \\hskip 0.3pc \\) gęstość przepływającej substancji w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (x,y,z) \\hskip 0.3pc \\) i chwili \\( \\hskip 0.3pc t. \\hskip 0.3pc \\) Stąd przez powierzchnię \\( \\hskip 0.3pc S \\hskip 0.3pc \\) w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) przepłynie następująca ilość substancji", "Z drugiej strony ilość substancji w bryle \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) w chwili \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\) wynosi", "Oczywiście zmiana ilości substancji powoduje zmianę jej gęstości, a przyrost substancji w czasie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta t \\hskip 0.3pc \\) spowodowany zmianą gęstości wyraża się wzorem", "Równanie bilansu ilości substancji ma zatem postać", "Wykorzystując twierdzenie Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2) otrzymamy", "Ponieważ wzór ten zachodzi dla dowolnego obszaru regularnego \\( \\hskip 0.3pc V, \\hskip 0.3pc \\) więc funkcje podcałkowe są równe, wynika stąd równość", "zwana równaniem ciągłości Jeśli przyjmimy, że", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc P \\hskip 0.3pc \\) oznacza ciśnienie, a \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) współczynnik przepuszczalności a \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\) pewną stałą, to", "lub", "Jeśli rozważana substancja jest nieściśliwa, wówczas \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial P}{\\partial t}=0, \\hskip 0.3pc \\) a równanie ( 15 ) przyjmie postać", "lub", "Ponownie otrzymaliśmy równanie Laplace'a." ]

[]

[ "W rozdziale tym omówimy rozwiązywanie równań liniowych różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach metodą charakterystyk. Metoda ta polega na sprowadzeniu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, tak zwanych równań charakterystyk. W tym celu należy znaleść rozwiązania równania wyjściowego wzdłuż pewnych krzywych, a następnie pokazać, że powierzchnia utworzona w stosowny sposób z tak skonstruowanych krzywych (charakterystyk) jest rozwiązaniem równania wyjściowego. Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu o stałych współczynnikach", "Niech \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ) w obszarze \\( \\hskip 0.3pc D. \\hskip 0.3pc \\) Rozważmy krzywą \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma \\hskip 0.3pc \\) zawartą w \\( \\hskip 0.3pc D \\hskip 0.3pc \\) daną równaniami", "Oczywiście wzdłuż krzywej \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma \\hskip 0.3pc \\) rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje wartości", "a pochodna względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem", "Załóżmy, że krzywa \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma \\hskip 0.3pc \\) jest tak dobrana, że", "Stąd i z faktu, że \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wynika, że prawa strona relacji ( 2 ) jest równa \\( \\hskip 0.3pc c, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "Rozwiązując równanie ( 3 ) z warunkami początkowymi: \\( \\hskip 0.3pc x(0)=x_0, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc y(0)=y_0, \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "lub po wyrugowaniu parametru \\( \\hskip 0.3pc t \\hskip 0.3pc \\)", "Zauważmy, że przez każdy punkt obszaru \\( \\hskip 0.3pc D \\hskip 0.3pc \\) przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie układu równań ( 3 ). Rozwiązanie równania ( 4 ) ma postać", "Przypomnijmy, że funkcja ( 6 ) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wzdłuż krzywej \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma, \\hskip 0.3pc \\) czyli krzywej danej równaniem ( 5 ). Jeśli zatem stałą \\( \\hskip 0.3pc K \\hskip 0.3pc \\) zastąpimy dowolną funkcją która na krzywej \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje stałą wartość, co symbolicznie możemy zapisać", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc y_0 \\hskip 0.3pc \\) jest dane wzorem ( 5 ), funkcja", "będzie w dalszym ciągu spełniać równanie ( 1 ) wzdłuż krzywej \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma. \\hskip 0.3pc \\) Rozważmy teraz funkcje", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Bezpośredni rachunek pokazuje, że funkcja ta jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Istotnie", "Tak więc, aby znaleźć rozwiązania równania ( 1 ), wystarczy rozwiązać układ równań liniowych ( 3 ), ( 4 ). Równania te noszą nazwę równań charakterystyk. Warunki początkowe \\( \\hskip 0.3pc x(0)=x_0, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc y(0)=y_0 \\hskip 0.3pc \\) należy dobrać tak, aby krzywe całkowe \\( \\hskip 0.3pc \\Gamma \\hskip 0.3pc \\) pokryły cały obszar \\( \\hskip 0.3pc D. \\hskip 0.3pc \\) Zazwyczaj jako punkty początkowe wygodnie jest wziąść punkty leżące na stosownie dobranej krzywej, na przykład na osi \\( \\hskip 0.3pc Ox \\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc Oy. \\hskip 0.3pc \\) Często wystarczy ograniczyć się do rozwiązań spełniających warunki: \\( \\hskip 0.3pc x(0)=0, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc y(0)=y_0. \\hskip 0.3pc \\) Zauważmy jeszcze, że ponieważ \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją dowolną, wygodnie jest uzyskane rozwiązanie równania ( 1 ) zapisać w postaci równoważnej", "Opisaną tu metodę możemy stosować również w przypadku, gdy współczynniki a, b, c są funkcjami zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y. \\hskip 0.3pc \\)" ]

[]

[ "Moduł ten poświęcony jest rozwiązywaniu równań cząstkowych liniowych rzędu pierwszego kiedy współczynniki są funkcjami, a szukana funkcja zależy od dwóch zmiennych. Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc b, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc c, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc f \\hskip 0.3pc \\) są funkcjami ciągłymi w obszarze \\( \\hskip 0.3pc D\\subset \\mathbb{R}^2. \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy ponadto, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc a \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc b \\hskip 0.3pc \\) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie zbioru \\( \\hskip 0.3pc D. \\hskip 0.3pc \\) Celem znalezienia rozwiązań równania ( 1 ) dokonajmy zmiany zmiennych", "tak dobranej, aby po zmianie zmiennych w równaniu ( 1 ) wyrugować jedną z pochodnych cząstkowych. Załóżmy chwilowo, że taka zmiana zmiennych istnieje i ponadto, że z równań ( 2 ) możemy lokalnie wyznaczyć \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y \\hskip 0.3pc \\) jako funkcje zmiennych \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\eta, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "przy czym tak określone funkcje \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y \\hskip 0.3pc \\) posiadają pochodne cząstkowe względem \\( \\hskip 0.3pc\\xi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\eta. \\hskip 0.3pc \\) Połóżmy", "Wracając do zmiennych wyjściowych \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Stąd", "Podstawiając ostatnie związki do równania ( 1 ) otrzymamy", "Zauważmy, że postawiony cel osiągniemy, jeśli funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\eta \\hskip 0.3pc \\) dobierzemy tak, aby", "lub funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) tak aby", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\eta \\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem równanie ( 4 ). Połóżmy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc K \\hskip 0.3pc \\) jest dowolną stałą. Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc d\\eta=0, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\eta_y \\neq 0,\\hskip 0.3pc \\) z warunków ( 4 ), ( 5 ) wynika, że", "Równanie ( 6 ) nazywamy równaniem charakterystyk równania ( 1 ). Rodzinę krzywych \\( \\hskip 0.3pc \\psi (x,y)=K, \\hskip 0.3pc \\) będącą rozwiązaniem ogólnym równania ( 6 ) nazywamy rodziną charakterystyk równania ( 1 ). Niech \\( \\hskip 0.3pc \\psi (x,y)=K \\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem ogólnym równania ( 6 ). Kładąc", "równanie ( 1 ) sprowadzimy do równania", "gdzie", "Zauważmy, że zależność ( 7 ) możemy traktować jako równanie różniczkowe zwyczajne względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc \\xi, \\hskip 0.3pc \\) zależne od parametru \\( \\hskip 0.3pc \\eta. \\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc w=w(\\xi , \\eta) \\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem tego równania. Połóżmy", "Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Zauważmy jeszcze, że równania charakterystyk ( 6 ) możemy zapisać w postaci układu równań" ]

[]

[ "Rozważmy najpierw liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe \\( \\hskip 0.3pc 1 \\hskip 0.3pc \\)-go rzędu o \\( \\hskip 0.3pc n \\hskip 0.3pc \\)-zmiennych niezależnych", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a_1, \\ldots ,a_n \\hskip 0.3pc \\) są funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pcC^1 \\hskip 0.3pc \\) określonymi w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb{R}^n. \\hskip 0.3pc \\) Rozważmy ponadto układ równań", "zwany układem równań charakterystyk dla równania ( 1 ).", "Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca uwaga:", "Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc u_1,\\ldots,u_m \\hskip 0.3pc \\) są funkcyjnie niezależne w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\) to dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc x \\in \\Omega \\hskip 0.3pc \\) równość", "zachodzi tylko wówczas, gdy \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_1 = \\cdots = \\lambda_m =0.\\hskip 0.3pc \\) Przypomnijmy, że punkt \\( \\hskip 0.3pc\\stackrel{o}{x}\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) nazywamy punktem równowagi (lub stacjonarnym) układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli", "Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w module \"Całki pierwsze\" (patrz twierdzenie 1 ).", "Rozważmy teraz równanie niejednorodne", "gdzie \\( \\hskip 0.3pca_1, \\ldots ,a_n \\hskip 0.3pc \\) są funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1 \\hskip 0.3pc \\) określonymi w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n. \\hskip 0.3pc \\) Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc V \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu \\( \\hskip 0.3pc \\stackrel{o}w=(\\stackrel{o}x_1, \\ldots ,\\stackrel{o}x_n, \\stackrel{o}u). \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial V}{\\partial u}( \\stackrel{o}w)\\neq 0. \\hskip 0.3pc \\) Z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu \\( \\hskip 0.3pc \\stackrel{o}w \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Podstawiając ostatnie wielkości do równania ( 5 ) otrzymamy równanie liniowe jednorodne", "Równania charakterystyk równania ( 7 ) mają postać:", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\psi_1, \\ldots , \\psi_n\\hskip 0.3pc \\) będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań ( 8 ). Zgodnie z wzorem ( 3 ) całka ogólna równania ( 7 ) ma postać", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe. Stąd i ( 6 ) wynika, że całką ogólną równania ( 5 ) ma postać" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Funkcje \\( \\hskip 0.3pc u=u(x_1, \\ldots ,x_n) \\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1 \\hskip 0.3pc \\) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 ) jeżeli dla dowolnego rozwiązania\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( x_1=x_1(t),\\, \\ldots ,\\,\\,\\, x_n= x_n(t),\\quad t \\in I, \\)\n\nukładu równań ( 2 ) mamy\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( u\\big(x_1(t), \\ldots ,x_n(t)\\big)= {\\rm const} \\qquad {\\rm dla}\\quad t \\in I, \\)\n\ntzn. funkcja \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Funkcje \\( \\hskip 0.3pc u_1,\\,\\ldots,\\,u_m\\in C^1(\\Omega)\\hskip 0.3pc m\\leq n, \\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\)\n jeśli dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc x=(x_1,\\ldots,x_n)\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) rząd macierzy\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{bmatrix} \\dfrac{\\partial u_1}{\\partial x_1}(x) &\\ldots & \\dfrac{\\partial u_1}{\\partial x_n}(x)\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots\\\\ \\dfrac{\\partial u_m}{\\partial x_1}(x)& \\ldots & \\dfrac{\\partial u_m}{\\partial x_n}(x)\\end{bmatrix} \\)\n\nwynosi \\( \\hskip 0.3pc m. \\hskip 0.3pc \\)\nW szczególności, jeśli \\( \\hskip 0.3pc m=n \\hskip 0.3pc \\) oznacza to, że wyznacznik z powyższej macierzy jest różny od zera.\n\n" } ]

[ "Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a, \\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc b, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc c \\hskip 0.3pc \\) są funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pcC^1 \\hskip 0.3pc \\) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc\\Omega \\subset \\mathbb R^3. \\hskip 0.3pc \\)Niech \\( \\hskip 0.3pc D=\\{(x,y): (x,y,z)\\in \\Omega \\,\\,{\\textrm{dla pewnego}}\\,\\, z \\in \\mathbb R\\}. \\hskip 0.3pc \\) Zakładamy ponadto, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc a,\\hskip 0.3pc b \\hskip 0.3pc \\) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega. \\hskip 0.3pc \\) Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D \\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcje \\( \\hskip 0.3pc u \\in C^1(D), \\hskip 0.3pc \\) spełniającą dla każdego \\( \\hskip 0.1pc (x,y)\\in D \\hskip 0.3pc \\) równanie ( 1 ). Rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( 1 ) nazywamy całką ogólną tego równania. Jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D, \\hskip 0.3pc \\) to powierzchnia \\( \\hskip 0.3pc S \\hskip 0.3pc \\) dana wzorem \\( \\hskip 0.3pc z=u(x,y), \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in D \\hskip 0.3pc \\) nazywa się powierzchnią całkową lub wykresem rozwiązania równania ( 1 ). Zauważmy, że dla dowolnego punktu \\( \\hskip 0.3pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \\in S \\hskip 0.3pc \\) wektor", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), zatem", "co oznacza, że wektor \\( \\hskip 0.3pc \\big(a(P_0),\\,b(P_0),\\,c(P_0)\\big) \\hskip 0.3pc \\) jest prostopadły do wektora \\( \\hskip 0.3pc \\vec n(x_0,y_0), \\hskip 0.3pc \\) a zatem jest styczny do wykresu rozwiązania \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc P_0. \\hskip 0.3pc \\) Rozważmy układ równań", "Krzywe, które są rozwiązaniami układu ( 3 ), nazywami charakterystykami równania ( 1 ), a same równania ( 3 ), równaniami charakterystyk. Pokażemy, że jeśli dane jest rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) określone w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D,\\hskip 0.3pc \\) to przez dowolny punkt powierzchni całkowej \\( \\hskip 0.1pc S \\hskip 0.3pc \\) danej wzorem \\( \\hskip 0.3pc z=u(x,y), \\hskip 0.4pc \\) \\( (x,y)\\in D, \\hskip 0.3pc \\) przechodzi dokładnie jedna charakterystyka.", "Rozpatrzmy teraz przypadek", "dla \\( \\hskip 0.3pc s\\in J, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc P=\\big(X(s,0), Y(s,0),Z(s,0)\\big)=\\big(\\gamma_1(s),\\gamma_2(s),\\gamma_3(s)\\big). \\hskip 0.3pc \\) Warunek ( 18 ) możemy zapisać w postaci", "Po zróżniczkowanie ( 7 ) względem \\( \\hskip 0.3pc s \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "natomiast z ( 1 ) i ( 11 ) wynika natychmiast, że", "Z równości ( 19 ), ( 20 ) i ( 21 ) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc \\gamma_3^\\prime (s) =\\lambda c(P). \\hskip 0.3pc \\) Zatem wektory \\( \\hskip 0.3pc \\big(\\gamma_1^\\prime (s),\\, \\gamma_2^\\prime (s), \\gamma_3^\\prime (s)\\big) \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\big(a(P),\\, b(P),\\, c(P)\\big), \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc s\\in J, \\hskip 0.3pc \\) są równoległe, co oznacza, że \\( \\hskip 0.3pc\\gamma \\hskip 0.3pc \\) jest charakterystyką równania ( 1 ). Zauważmy, że w tym przypadku problem ( 1 ), ( 7 ) posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Istotnie, niech \\( \\hskip 0.3pc \\tilde\\gamma \\hskip 0.3pc \\) będzie krzywą przecinającą krzywą \\( \\hskip 0.3pc \\gamma. \\hskip 0.3pc \\) Na mocy twierdzenia 1 istnieje (dokładnie jedno) rozwiązanie równania ( 1 ) zawierające krzywą \\( \\hskip 0.3pc \\tilde \\gamma. \\hskip 0.3pc \\) Z drugiej strony \\( \\hskip 0.3pc \\gamma \\hskip 0.3pc \\) ma wspólny punkt z tym rozwiązaniem, zatem na mocy uwagi 2, również krzywa \\( \\hskip 0.3pc \\gamma \\hskip 0.3pc \\) leży całkowicie na tym rozwiązaniu. Ponieważ takich krzywych \\( \\hskip 0.3pc \\tilde\\gamma \\hskip 0.3pc \\) może być nieskończenie wiele, więc otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań zawierających krzywą \\( \\hskip 0.3pc \\gamma. \\hskip 0.3pc \\)" ]

[]

[ "Na poniższym przykładzie prześledzimy różne sposoby praktycznego wykorzystania metody charakterystyk, które umownie nazwiemy metodą krzywych charakterystycznych, metodą charakterystyk, metodą zmiany zmiennych oraz metodą całek pierwszych. Znaleźć rozwiązanie równania", "przechodzące przez krzywą" ]

[]

[ "Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego", "Pokażemy, że dokonując stosownej zmiany zmiennych, możemy równanie ( 1 ) doprowadzić do postaci, w której współczynnik przy pochodnej mieszanej przyjmie wartość zero. Postać taką nazywamy postacią kanoniczną, przy czym: jeśli pozostałe współczynniki przy pochodnych drugiego rzędu są różne od zera i mają ten sam znak, równanie nazywamy typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbolicznego, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników przy pochodnych drugiego rzędu jest równy zeru, natomiast pochodne pierwszego rzędu względem tych zmiennych nie znikają, typu parabolicznego. Tak więc równania:", "są odpowiednio typu eliptycznego, hiperbolicznego i parabolicznego. Należy podkreślić, że typ równania nie zależy od sposobu sprowadzenia do postaci kanonicznej. Okazuje się, że jest on niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych. Rozważmy przekształcenie", "Przyjmijmy, że przekształcenie to obszar \\( \\hskip 0.3pc D \\hskip 0.3pc \\) przekształca w obszar \\( \\hskip 0.3pc \\Delta. \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc\\eta \\hskip 0.3pc \\) są klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1 \\hskip 0.3pc \\) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D \\hskip 0.3pc \\) i ponadto istnieje przekształcenie", "odwrotne do przekształcenia ( 2 ). Przypomnijmy, że jeśli jakobian przekształcenia ( 2 ) jest różny od zera, to przekształcenie takie nazywamy przekształceniem nieosobliwym. Przekształcenie nieosobliwe jest zawsze odwracalne. Kładąc", "równanie ( 1 ) przekształcimy na równanie względem zmiennych \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\eta. \\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc w \\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem równania przekształconego. Po powrocie do współrzędnych wyjściowych otrzymamy rozwiązanie równania wyjściowego.", "Oczywiście", "Jeśli położymy", "to równanie ( 1 ) po zastosowaniu przekształcenia ( 3 ) przyjmie postać", "gdzie współczynniki \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11},\\hskip 0.3pc \\widetilde a_{12},\\hskip 0.3 pc \\widetilde a_{22}\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami zmiennych \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\eta. \\hskip 0.3pc \\) Założmy, że przekształcenie ( 2 ) jest tak dobrane, że \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11}=0 \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{22}=0. \\hskip 0.3pc \\) Równość \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11}=0 \\hskip 0.3pc \\) oznacza, że", "Podobnie równość \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{22}=0 \\hskip 0.3pc \\) oznacza, że jest spełnione równanie ( 5 ) z funkcją \\( \\hskip 0.3pc \\eta \\hskip 0.3pc \\) w miejsce \\( \\hskip 0.3pc \\xi. \\hskip 0.3pc \\) Oba zatem przypadki dają to samo równanie ( 5 ).", "Równanie ( 6 ) nazywamy równaniem charakterystyk równania ( 1 ). Zauważmy jeszcze, że warunek \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_y \\neq 0 \\hskip 0.3pc \\) w powyższej uwadze nie jest ograniczający. Istotnie, jeśli chcemy aby rozważane przekształcenie było nieosobliwe, pochodne cząstkowe \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_y \\hskip 0.3pc \\) funkcji \\( \\hskip 0.3pc\\varphi \\hskip 0.3pc \\) nie mogą zerować się równocześnie, zatem jedna z nich jest różna od zera. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_x \\neq 0, \\hskip 0.3pc \\) argument jest analogiczny. Kładąc \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =\\dfrac {dy}{dx} \\hskip 0.3pc \\) równanie ( 6 ) przyjmie postać", "Jak wiadomo, rozwiązanie tego równania względem \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) zależy od wyróżnika", "przy czym należy rozważyć trzy przypadki: \\( \\hskip 0.3pc \\delta <0, \\hskip 0.3pc\\delta =0\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\delta >0. \\hskip 0.3pc \\)", "Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\delta <0.\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\delta (x,y) <0 \\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in D. \\hskip 0.3pc \\) Równanie ( 9 ) posiada wówczas dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych:", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) będą odpowiednio rozwiązaniami równań", "Z Uwagi 1 wynika, że przekształcenie", "sprowadza równanie ( 1 ) do postaci", "a po podzieleniu przez \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{12} \\hskip 0.3pc \\) do postaci", "gdzie funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde F\\hskip 0.3pc \\) zawiera wszystkie wyrazy z pochodnymi niższego rzędu. Dokonując kolejnej zmiany zmiennych", "i kładąc", "otrzymamy", "Stąd", "Po uwzględnieniu ostatnich zależności równanie ( 10 ) przyjmuje postać", "gdzie podobnie jak poprzednio funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\widehat F \\hskip 0.3pc \\) zawiera wszystkie wyrazy o pochodnych niższego rzędu. Jest to więc równanie typu hiperbolicznego.", "Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\delta=0.\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\delta(x,y)=0 \\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in D. \\hskip 0.3pc \\) Oznacza to, że \\( \\hskip 0.3pc a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0, \\hskip 0.3pc \\) czyli \\( \\hskip 0.3pc a_{12}= \\sqrt{a_{11}a_{22}} \\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc a_{12}=- \\sqrt{a_{11}a_{22}}. \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc a_{12} \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje pierwszą z wymienionych wartości, a ponadto \\( \\hskip 0.3pc a_{11}>0. \\hskip 0.3pc \\) Korzystając z ostatniej równości otrzymamy", "Zatem \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11}=0 \\hskip 0.3pc \\) implikuje \\( \\hskip 0.3pc\\widetilde a_{12}=0. \\hskip 0.3pc \\) Analogiczny rezultat uzyskamy gdy \\( \\hskip 0.3pc a_{12} \\hskip 0.3pc \\) przyjmuje drugą z wymienionych wartości. Jeśli zatem za funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\xi \\hskip 0.3pc \\) przyjmiemy rozwiązanie równania ( 6 ) a za \\( \\hskip 0.3pc \\eta \\hskip 0.3pc \\) dowolną funkcje tak aby przekształenie było nieosobliwe, to po zmianie zmiennych równanie ( 1 ) przyjmie postać", "Jeśli przy tym po prawej stronie nie znika \\( \\hskip 0.3pc w_{\\xi}, \\hskip 0.3pc \\) jest to równanie typu parabolicznego. Oczywiście najprostrze wydaje się podstawienie \\( \\hskip 0.3pc \\xi = \\varphi (x,y), \\hskip 0.3pc \\eta = y\\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc \\xi =x,\\hskip 0.3pc \\eta =\\varphi (x,y),\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc\\varphi \\hskip 0.3pc \\) jest całką równania ( 6 ).", "Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\delta >0. \\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc\\delta (x,y)>0 \\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in D. \\hskip 0.3pc \\) W tym przypadku równanie ( 9 ) posiada dwa rozwiązania o wartościach zespolonych:", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Phi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc\\Psi \\hskip 0.3pc \\) będą odpowiednio rozwiązaniami równań", "Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) część rzeczywistą funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\Phi, \\hskip 0.3pc \\) a przez \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) jej część urojoną. Wówczas", "Oczywiście krzywe \\( \\hskip 0.3pc \\Phi (x,y)=C \\hskip 0.3pc \\) (podobnie \\( \\hskip 0.3pc \\Psi (x,y)=C\\hskip 0.3pc \\)) są całkami równania ( 5 ), a warunek \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11}=0 \\hskip 0.3pc \\) przyjmie postać", "Podstawiając do ostatniego równania związki", "otrzymamy", "skąd wynika natychmiast, że", "Stosując teraz zmianę zmiennych", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc\\psi \\hskip 0.3pc \\) są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną całki \\( \\hskip 0.3pc \\Phi, \\hskip 0.3pc \\) ze związków ( 4 ) i ( 11 ) otrzymamy natychmiast: \\( \\hskip 0.3pc\\widetilde a_{11}= \\widetilde a_{22}, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{12}=0. \\hskip 0.3pc \\) Zatem przekształcenie ( 12 ) sprowadza równanie ( 1 ) do postaci", "Jest to zatem równanie typu eliptycznego. Na zakończenie rozważań rozpatrzmy przypadek, gdy w równaniu ( 1 ) współczynnik \\( \\hskip 0.3pc a_{22}=0. \\hskip 0.3pc \\) Wówczas zgodnie z ( 4 )", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (x,y)=0 \\hskip 0.3pc \\) jest całką ogólną równania ( 6 ), wówczas zerowanie się współczynników \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_{11},\\hskip 0.3pc \\widetilde a_{22} \\hskip 0.3pc \\) uzyskamy przyjmując \\( \\hskip 0.3pc \\xi=\\varphi (x,y),\\hskip 0.3pc \\eta =y. \\hskip 0.3pc \\) Jeśli natomiast \\( \\hskip 0.3pc a_{11}=0, \\hskip 0.3pc \\) przyjmując \\( \\hskip 0.3pc \\xi=\\varphi (x,y),\\hskip 0.3pc \\eta =x. \\hskip 0.3pc \\)" ]

[]

[ "Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a_{ij}, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc i,j=1,\\ldots, n \\hskip 0.3pc \\) są funkcjami określonymi na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc U\\subset \\mathbb{R}^n, \\hskip 0.3pc \\) niezerującymi się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest szukaną funkcją zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x_1, \\ldots ,x_n, \\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc F \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją zadaną. Z równaniem ( 1 ) możemy związać formę kwadratową", "Z teorii form kwadratowych wiadomo, że dla każdego ustalonego punktu \\( \\hskip 0.3pc (x_1,\\ldots, x_n)\\in U \\hskip 0.3pc \\) istnieje przekształcenie postaci", "które formę ( 3 ) sprowadza do postaci kanonicznej,", "tzn. postaci w której występują tylko kwadraty \\( \\hskip 0.3pc \\mu_i. \\hskip 0.3pc \\) Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych wynika, że ilość współczynników dodatnich oraz ujemnych nie zależy od sposobu sprowadzenia do postaci kanonicznej. Jest ona niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych. Oznacza to, że równanie ( 1 ) poprzez stosowne przekształcenie możemy sprowadzić do postaci kanonicznej", "Mówimy, że równanie ( 1 ) jest w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (x_1, \\ldots ,x_n) \\hskip 0.3pc \\) typu eliptycznego, jeżeli wszystkie współczynniki \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde a_i \\hskip 0.3pc \\) w postaci kanonicznej ( 5 ) są różne od zera i mają ten sam znak, typu hiperbolicznego jeżeli są różne od zera i występują zarówno współczynniki ujemne jak i dodatnie, typu parabolicznego, jeżeli niektóre współczynniki są równe zeru a odpowiadające im pochodne pierwszego rzędu nie znikają równocześnie. Jeśli ponadto współczynniki różne od zera mają ten sam znak, równanie nazywamy paraboliczno-eliptycznym, jeśli znaki różne, paraboliczno-hiperbolicznym. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\Lambda =[\\lambda_1, \\ldots ,\\lambda_n] \\hskip 0.3pc \\) oznacza macierz jednowierszową \\( \\hskip 0.3pc \\Lambda^T \\hskip 0.3pc \\) macierz transponowaną, a \\( \\hskip 0.3pc A \\hskip 0.3pc \\) macierz \\( \\hskip 0.3pc n\\times n \\hskip 0.3pc \\) wymiarową o wyrazach \\( \\hskip 0.3pc a_{ij}, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc i,j =1, \\ldots, n \\hskip 0.3pc \\) to formę kwadratową ( 2 ) możemy zapisać w postaci macierzowej \\( \\hskip 0.3pc \\Lambda\\,A\\,\\Lambda^T. \\hskip 0.3pc \\) Sprowadzenie formy do postaci kanonicznej odpowiada przekształceniu macierzy \\( \\hskip 0.3pc A \\hskip 0.3pc \\) do postaci diagonalnej, tzn. postaci w której poza przekątną występują same zera. Jeśli w macierzy diagonalnej na przekątnej wszystkie wyrazy są różne od zera i mają ten sam znak, równanie różniczkowe ( 1 ) jest typu eliptycznego, jeśli są różnych znaków , typu hiperbolicznego, a jeśli niektóre wyrazy są równe zeru, przy czym odpowiadające tym zmiennym pochodne pierwszego rzędu nie znikają -typu parabolicznego. Zapiszmy równanie ( 1 ) w postaci \\( \\hskip 0.3pc Lu=g, \\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc L \\hskip 0.3pc \\) jest operatorem określonym wzorem", "lub" ]

[]

[ "Dla równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego", "równanie charakterystyk ma postać:", "W niniejszym paragrafie pokażemy przykłady rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu wykorzystując postać kanoniczną rozważanego równania. Istotną rolę w tej metodzie ogrywa równanie charakterystyk ( 2 )." ]

[]

[ "Metoda rozdzielania albo separacji zmiennych, zwana też metodą Fouriera, jest jedną z najstarszych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funkcji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc t, \\hskip 0.3pc \\), to rozwiązania tego możemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji z których jedna jest funkcją zmiennej \\( \\hskip 0.3pc x, \\hskip 0.3pc \\) a druga zmiennej \\( \\hskip 0.3pc t. \\hskip 0.3pc \\) Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. Zinterpretujemy to poniżej rozważając równanie struny ograniczonej jednorodnej o jednorodnych warunkach brzegowych.", "Rozważmy równanie struny", "z warunkami brzegowymi", "oraz warunkami początkowymi", "Przyjmujemy przy tym, że \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (0)=\\varphi (l)=0, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\psi (0)=\\psi (l)=0. \\hskip 0.3pc \\) Szukamy rozwiązania w postaci", "Podstawiając ostatnią funkcje do równania ( 1 ) otrzymamy", "Przyjmując, że \\( \\hskip 0.3pc T\\neq 0\\hskip 0.3pc \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc X\\neq 0 \\hskip 0.3pc \\) możemy ostatnie równanie przekształcić do postaci", "Ponieważ lewa strona zależy tylko od \\( \\hskip 0.3pc t, \\hskip 0.3pc \\) zaś prawa strona tylko od \\( \\hskip 0.3pc x, \\hskip 0.3pc \\) zatem oba ilorazy muszą być równe stałej. Oznaczając tę stałą przez \\( \\hskip 0.3pc-\\lambda \\hskip 0.3pc \\), ostatnią równość możemy zapisać w postaci dwóch równań:", "Ponadto z warunków brzegowych ( 2 ) wynika natychmiast, że", "Przedyskutujemy teraz rozwiązania równań ( 4 ) w zależności od znaku \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\)", "Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\lambda <0. \\hskip 0.3pc \\) Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:", "Z warunków brzegowych ( 5 ) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc C=D=0, \\hskip 0.3pc \\) czyli \\( \\hskip 0.3pc u(x,t)=0. \\hskip 0.3pc \\). Ponieważ rozwiązanie zerowe nie jest dla nas interesujące, przypadek ten należy odrzucić. Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =0. \\hskip 0.3pc \\) Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:", "Uwzględniając warunki brzegowe ( 5 ) otrzymamy jak poprzednio \\( \\hskip 0.3pc u(x,t)=0, \\hskip 0.3pc \\), a zatem również ten przypadek należy odrzucić. Przypadek \\( \\hskip 0.3pc \\lambda >0. \\hskip 0.3pc \\) Wygodnie jest teraz w równaniu ( 4 ) symbol \\( \\hskip 0.3pc\\lambda\\hskip 0.3pc \\) zastąpić symbolem \\( \\hskip 0.3pc \\lambda^2, \\hskip 0.3pc \\) czyli zapisać te równania w postaci:", "Rozwiązania mają wówczas postać", "Z warunku \\( \\hskip 0.3pc X(0)=0\\hskip 0.3pc \\) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc C=0, \\hskip 0.3pc \\) a warunek \\( \\hskip 0.3pc X(l)=0 \\hskip 0.3pc \\) daje równość", "która jest spełniona dla \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_n =\\dfrac{n\\pi}{l}, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N. \\hskip 0.3pc \\) Wartości te nazywamy wartościami własnymi. Zauważmy, że tylko dla takich wartości \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) może istnieć szukane rozwiązanie. Dla \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N \\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "oraz", "Zauważmy, że tak określona funkcja \\( \\hskip 0.3pc u_n \\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), spełnia warunki brzegowe ( 2 ), ale na ogół nie spełnia warunków początkowych ( 3 ). Rozwiązania równania ( 1 ) które będzie spełniać waruneki ( 2 ) i ( 3 ) będziemy szukać w postaci sumy szeregu", "Załóżmy, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny jak również szereg pierwszych i drugich pochodnych jest jednostajnie zbieżny do odpowiedniej pochodnej z funkcji \\( \\hskip 0.3pc u. \\hskip 0.3pc \\). Przy przyjętych założeniach pochodne szeregu są równe szeregowi pochodnych, a funkcja \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) spełnia równanie ( 1 ) oraz warunki brzegowe ( 2 ). Oczywiście", "Załóżmy dalej, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) można rozwinąć w szereg sinusów w przedziale \\( \\hskip 0.3pc [0,l] \\hskip 0.3pc \\)", "gdzie", "Zauważmy, że pierwszy z warunków początkowych \\( \\hskip 0.3pc u(x,0)=\\varphi (x)\\hskip 0.3pc \\) jest spełniony, jeśli \\( \\hskip 0.3pc A_n =\\alpha_n\\hskip 0.3pc \\), czyli", "W celu zapewnienia drugiego z warunków początkowych należy policzyć pochodną z funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) względem \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\).", "Stąd", "Rozwijając funkcje \\( \\hskip 0.3pc\\psi\\hskip 0.3pc \\) w szereg sinusów otrzymamy", "gdzie", "Zatem drugi z warunków początkowych ( 3 ) jest spełniony, jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{na\\pi}{l} B_n =\\beta_n\\hskip 0.3pc \\), czyli", "Szukane rozwiązanie ( 7 ) ma zatem postać", "Rozważmy ponownie rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u_n\\hskip 0.3pc \\) dane wzorem ( 6 ). Kładąc", "otrzymamy", "Funkcja \\( \\hskip 0.3pc u_n\\hskip 0.3pc \\) opisuje drgania harmoniczne (tzw. n-ta harmoniczna) odpowiadające wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_n = \\dfrac{n\\pi}{l}\\hskip 0.3pc \\), przy czym występujące tu wielkości mają następującą interpretacje fizyczną:", "\\( \\hskip 0.3pc\\rho_n \\sin(\\dfrac{n\\pi}l x)\\hskip 0.3pc -\\,\\, \\) amplituda drgania \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\)-tejharmonicznej;", "\\( \\hskip 0.3pc \\omega_n= \\dfrac{na\\pi}l \\hskip 0.3pc-\\,\\, \\) częstotliwość drgania \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\)-tej harmonicznej.", "Pamiętając że \\( \\hskip 0.3pc a^2=\\dfrac{T}{\\rho}\\hskip 0.3pc \\), gdzie \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) oznacza siłę naprężenia a \\( \\hskip 0.3pc\\rho\\hskip 0.3pc \\) gęstość, otrzymamy", "Częstotliwość \\( \\omega_1 = \\dfrac{\\pi}{l} \\sqrt{\\dfrac{T}{\\rho}}\\hskip 0.3pc \\) odpowiada tzw. dżwiękowi podstawowemu (zwanemu też pierwszą harmoniczną). Jest to dżwięk najsilniejszy. Melodia struny zależy natomiast od dalszych dżwięków uzupełniających. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc A_1 = \\ldots =A_{n-1}=0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc B_1 = \\dots =B_{n-1}=0,\\hskip 0.3pc \\) natomiast \\( \\hskip 0.3pc A_n\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc B_n\\neq 0\\hskip 0.3pc \\), dżwięk podstawowy odpowiada częstotliwości \\( \\hskip 0.3pc\\omega_n.\\hskip 0.3pc \\) Wynika stąd, że dżwięk struny zależy od warunków początkowych", "oraz wielkości \\( \\hskip 0.3pc l,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\rho\\hskip 0.3pc \\)." ]

[]

[ "Rozważmy niejednorodne równanie struny", "z warunkami brzegowymi", "oraz warunkami początkowymi", "Szukamy rozwiązania postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\omega_n, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N, \\hskip 0.3pc \\) są nieznanymi funkcjami które będziemy starali się wyznaczyć tak, aby uzyskać szukane rozwiązanie. Zapiszmy funkcje \\( \\hskip 0.3pc f, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) w postaci szeregów Fouriera", "gdzie", "Podstawiając ( 4 ) i ( 5 ) do ( 1 ) otrzymamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_n=\\dfrac{n\\pi}{l}. \\hskip 0.3pc \\) Z kolei podstawiając ( 4 ) i ( 6 ) do warunków początkowych ( 3 ) otrzymamy", "oraz", "Warunki ( 8 ), ( 9 ) i ( 10 ) są spełnione, jeśli dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n \\in \\mathbb N \\hskip 0.3pc \\)", "Rozwiązując problem ( 11 ) otrzymamy", "Podstawiając ostatni związek do wzoru ( 4 ) otrzymamy", "Kładąc", "i uwzględniając ( 7 ) rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) możemy zapisać w postaci" ]

[]

[ "Metoda rozdzielania albo separacji zmiennych, zwana też metodą Fouriera, jest jedną z najstarszych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funkcji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc t, \\hskip 0.3pc \\) to rozwiązania tego możemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji z których jedna jest funkcją zmiennej \\( \\hskip 0.3pc x, \\hskip 0.3pc \\) a druga zmiennej \\( \\hskip 0.3pc t. \\hskip 0.3pc \\) Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. W niniejszym module podamy przykłady zastosowania tej metody dla równań parabolicznych i hiperbolicznych.", "Szukamy rozwiązania w postaci", "Po podstawieniu do równania ( 1 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy", "czyli", "Z warunków brzegowych ( 2 ) wynika, że", "Ponieważ dla \\( \\hskip 0.3pc\\lambda \\leq 0\\hskip 0.3pc \\) otrzymujemy rozwiązanie zerowe, przyjmujemy \\( \\hskip 0.3pc\\lambda >0\\hskip 0.3pc \\). Rozwiązując powyższe równania otrzymamy:", "Z warunku \\( \\hskip 0.3pc X(0)=0\\hskip 0.3pc \\) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc A=0\\hskip 0.3pc \\), zaś warunek \\( \\hskip 0.3pc X(l)=0\\hskip 0.3pc \\) implikuje", "Ostatnie równanie jest spełnione dla", "Zatem dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) funkcja", "jest rozwiązaniem równania ( 1 ) spełniającym warunki brzegowe ( 2 ). Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego ( 3 ). Rozważmy funkcje", "Podobnie jak w module 5.2 można sprawdzić, że przy stosownych założeniach powyższa funkcja spełnia równanie ( 1 ) oraz warunki brzegowe ( 2 ). Powstaje pytanie, czy można tak dobrać stałe \\( \\hskip 0.3pc B_n\\hskip 0.3pc \\) aby był spełniony również warunek początkowy ( 3 ). W tym celu rozwińmy funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w przedziale \\( \\hskip 0.3pc [0,l]\\hskip 0.3pc \\) w szereg sinusów", "gdzie", "Ponieważ", "warunek ( 3 ) jest spełniony, jeśli", "W konsekwencji", "Kładąc", "otrzymamy", "Zauważmy, że ostatni wzór podaje rozwiązanie problemu ( 1 ) - ( 3 ) w zależności od warunków początkowych.", "Powyższy problem możemy sprowadzić do jednorodnych warunków brzegowych kładąc", "Istotnie, podstawiając wielkości", "do problemu wyjściowego otrzymamy równanie", "z warunkami brzegowymi", "oraz warunkiem początkowym", "Szukamy rozwiązania równania ( 6 ) w postaci szeregu", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc\\omega_n\\hskip 0.3pc \\) są niewiadomymi funkcjami, które należy wyznaczyć. Podstawiając ( 9 ) oraz rozwinięcie", "gdzie", "do równania ( 6 ) otrzymamy", "Stąd", "gdzie", "Podstawiając natomiast ( 9 ) do ( 8 ), po uwzględnieniu rozwinięcia", "gdzie", "otrzymamy", "co implikuje \\( \\hskip 0.3pc \\omega_n(0)=\\beta_n.\\hskip 0.3pc \\) Rozwiązując równanie ( 11 ) z warunkiem początkowym \\( \\hskip 0.3pc\\omega_n(0)=\\beta_n\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Podstawiając uzyskaną wielkość do wzoru ( 9 ), rozwiązanie problemu ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) przyjmie postać", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_n,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc\\alpha_n\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc\\beta_n\\hskip 0.3pc \\) są dane odpowiednio wzorami ( 12 ), ( 10 ), ( 13 ).", "Szukamy rozwiązania w postaci", "Po podstawieniu do równania ( 14 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy", "czyli", "Rozwiązując powyższe równania mamy:", "Dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc\\lambda \\in \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) funkcja", "jest rozwiązaniem równania ( 14 ). Na ogół rozwiązanie to nie spełnia warunku początkowego ( 15 ). Rozważmy teraz funkcje", "Jeśli ostatnia całka jet zbieżna, to oczywiście określa ona rozwiązanie równania ( 14 ). Aby rozwiązanie to spełniało warunek początkowy ( 15 ), winna zachodzić równość", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc\\varphi\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją całkowalną, to zgodnie z wzorem Fouriera", "Wstawiając ostatnią równość do poprzedniego wzoru i uwzględniając związek", "Ostatecznie rozwiązanie równania wyjściowego ma postać", "Problem ten opisuje drgania membrany prostokątnej, unieruchomionej na brzegu, o zadanym kształcie początkowym. Szukamy rozwiązania w postaci", "Po podstawieniu do równania ( 15 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy", "Ponieważ poszczególne składniki w powyższym równaniu są funkcjami innej zmiennej, więc każdy ze składników musi przyjmować wartości stałe. Dostajemy zatem równania:", "Po uwzględnieniu warunków ( 17 ) oraz ( 18 ) otrzymamy następujące problemy brzegowe:", "oraz", "Rozwiązując powyższe problemy otrzymamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_n =\\dfrac{n\\pi}{l},\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\mu_m =\\dfrac{m\\pi}{l}.\\hskip 0.3pc \\) Rozwiązując zaś równanie", "otrzymamy", "Dla \\( \\hskip 0.3pc m,n \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) funkcja", "jest rozwiązaniem problemu ( 16 ) spełniającym warunki brzegowe ( 17 ) i ( 18 ). Na ogół nie spełnia ona warunków początkowych ( 19 ). Rozważmy teraz funkcje", "Jeśli szereg występujący po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny oraz szeregi drugich pochodnych są jednostajnie zbieżne, to funkcja \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 16 ). W oczywisty sposób spełnia ona warunki brzegowe ( 17 ) i ( 18 ). Pozostaje dobrać stałe \\( \\hskip 0.3pc A_{mn} \\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc B_{nm}\\hskip 0.3pc \\) tak aby zachodziły warunki początkowe ( 18 ). Z warunku", "wnioskujemy, że \\( \\hskip 0.3pc B_{nm}=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc n,m \\in \\mathbb N,\\hskip 0.3pc \\) natomiast z warunku", "wynika, że \\( \\hskip 0.3pc A_{nm}=c \\alpha_n \\beta_m,\\hskip 0.3pc \\) gdzie", "Szukamy rozwiązania w postaci", "Po podstawieniu do równania ( 20 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy", "Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej, powiedzmy \\( \\hskip 0.3pc-\\lambda.\\hskip 0.3pc \\) Otrzymujemy zatem następujące równania różniczkowe:", "Z warunków ( 21 ) i ( 22 ) wynika natomiast, że \\( \\hskip 0.3pc X(0)=0,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc X(\\pi)=0,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\lim\\limits_{y\\to +\\infty}Y(y)=0\\hskip 0.3pc \\). Rozważmy problem", "Dla \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\leq 0\\hskip 0.3pc \\) problem ten posiada wyłącznie rozwiązanie zerowe. Załóżmy więc, że \\( \\hskip 0.3pc \\lambda >0\\hskip 0.3pc \\). Wówczas", "Z warunków brzegowych wynika, że \\( \\hskip 0.3pc A=0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc\\sin( \\sqrt{\\lambda} \\pi)=0.\\hskip 0.3pc \\) Zatem rozwiązanie niezerowe istnieje dla \\( \\hskip 0.3pc\\lambda = n^2,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N, \\hskip 0.3pc \\) czyli", "Zauważmy teraz, że rozwiązanie problemu", "ma postać", "Wynika stąd, że dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) funkcja", "jest rozwiązaniem problemu ( 20 ) spełniającym warunki brzegowe. Na ogół rozwiązanie to nie spełnia warunku początkowego. Rozważmy więc funkcje", "Jeśli ostatni szereg oraz szeregi jego pochodnych drugiego rzędu są jednostajnie zbieżne, funkcja ta spełnia równanie ( 20 ) oraz warunki brzegowe ( 21 ). Aby spełniała ona również warunek początkowy ( 22 ) wystarczy przyjąć", "Szukane rozwiązanie ma zatem postać", "Szukamy rozwiązania w postaci", "Po podstawieniu do równania ( 23 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy równość", "równoważną układowi równań", "Całka ogólna pierwszego równania ma postać", "Z warunków brzegowych ( 25 ) wynika, że", "Stąd \\( \\hskip 0.3pc C_1=C_2=C_3=0\\hskip 0.3pc \\), a jedynymi liczbami \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) dla których mogą być spełnione powyższe warunki, są liczby", "którym odpowiadają rozwiązania", "Przyjmując", "gdzie", "jest rozwiązaniem postawionego problemu." ]

[]

[ "Rozważmy równanie Laplace'a", "z warunkiem", "gdzie", "Postać obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) sugeruje przejście na współrzędne biegunowe", "Przyjmując", "i korzystając z zależności:", "nietrudno sprawdzić, że:", "Podstawiając ostatnie związki do równania ( 1 ) otrzymamy równanie Laplace'a we współrzędnych biegunowych", "Warunek ( 2 ) przyjmie postać", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc g(\\alpha)=f(r\\cos (\\alpha), r\\sin (\\alpha) )\\hskip 0.3pc \\) . Szukamy rozwiązania w postaci", "Ze względu na charakter współrzędnych biegunowych możemy przyjąć, że \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją okresową o okresie \\( \\hskip 0.3pc 2\\pi\\hskip 0.3pc \\) określoną na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) . Po podstawieniu ostatniego wzoru do równania ( 3 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy", "Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej, powiedzmy \\( \\hskip 0.3pc \\lambda .\\hskip 0.3pc \\) Otrzymujemy zatem równania różniczkowe:", "oraz", "Z okresowości funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) wynika, że przypadki \\( \\hskip 0.3pc \\lambda <0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =0\\hskip 0.3pc \\) prowadzą do rozwiązania zerowego. Dla przypadku \\( \\hskip 0.3pc \\lambda >0\\hskip 0.3pc \\) rozwiązanie równania ( 5 ) ma postać", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją okresową o okresie \\( \\hskip 0.3pc 2\\pi,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\sqrt {\\lambda}\\hskip 0.3pc \\) musi być liczbą naturalną, czyli \\( \\hskip 0.3pc {\\lambda}=n^2,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N.\\hskip 0.3pc \\) Zatem", "Szukając rozwiązania równania ( 6 ) w postaci", "Stąd \\( \\hskip 0.3pc k=n\\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc k=-n.\\hskip 0.3pc \\) Rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) ma zatem postać", "Ponieważ dla \\( \\hskip 0.3pc \\rho =0\\hskip 0.3pc \\) wyraz \\( \\hskip 0.3pc \\rho^{-n}\\hskip 0.3pc \\) nie jest określony i ponadto \\( \\hskip 0.3pc \\lim_{\\rho \\to 0^+}\\rho^{-n} =\\infty,\\hskip 0.3pc \\) aby uniknąć osobliwości w początku układu należy przyjąć \\( \\hskip 0.3pc D=0.\\hskip 0.3pc \\) W konsekwencji dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) funkcja", "jest rozwiązaniem klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\) równania ( 3 ). Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku ( 4 ). Rozważmy więc funkcje", "Jeśli ostatni szereg oraz szereg pochodnych pierwszego i drugiego rzędu jest jednostajnie zbieżny, to tak określona funkcja \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 3 ). Warunek ( 4 ) przyjmuje postać", "Jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) jest rozwijalna w szereg Fouriera, to ostatnia równość jest spełniona, jeśli", "Zatem", "Korzystając ze wzoru", "otrzymamy", "Uwzględniając ostatnią równość rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) możemy zapisać w postaci:", "Dla \\( \\hskip 0.3pc \\rho=0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc \\alpha =0\\hskip 0.3pc \\) ostatni wzór daje zależność", "Uzyskana równość mówi, że wartość średnia rozwiązania po brzegu kuli o środku w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (0,0)\\hskip 0.3pc \\) jest równa wartości rozwiązania w tym punkcie." ]

[]

[ "Rozważmy równanie struny", "w obszarze \\( \\hskip 0.3pc D=\\{(x,t)\\in \\mathbb{R}^2:t> 0\\}\\hskip 0.3pc \\) spełniające warunki początkowe:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) są zadanymi funkcjami. Równanie charakterystyk w naszym przypadku ma postać", "Rozwiązując równania", "otrzymamy następujące rodziny rozwiązań", "Stosując podstawienie", "równanie wyjściowe sprowadzimy do postaci", "Całkując względem \\( \\hskip 0.3pc \\eta\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "a następnie całkując względem \\( \\hskip 0.3pc \\xi\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) są dowolnymi funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\) . Wracając do zmiennych wyjściowych mamy", "Rozwiązania zadane odpowiednio funkcjami \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) nazywają się falami prostymi. Uwzględniając warunki początkowe mamy", "Rozwiązując układ równań", "otrzymamy", "a po scałkowaniu w przedziale \\( \\hskip 0.3pc [x_0, x]\\hskip 0.3pc \\) dostajemy", "Z pierwszego równania mamy", "Postawiając uzyskane wzory na \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) do ( 3 ) otrzymamy", "a po przekształceniu całek", "Uzyskany w ten sposób wzór ( 4 ) na rozwiązanie problemu początkowego ( 1 ), ( 2 ) nosi nazwę wzoru d'Alemberta." ]

[]

[ "Rozważmy niejednorodne równanie struny", "z warunkami początkowymi", "Zauważmy wpierw, korzystając z liniowości operacji różniczkowania, że rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\)problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać jako sumę \\( \\hskip 0.3pc u=u_1+u_2,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc u_1\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem problemu", "zaś \\( \\hskip 0.3pc u_2\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem problemu", "W celu znalezienia rozwiązania problemu ( 3 ) rozważmy najpierw równanie", "z warunkami początkowymi", "Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili \\( \\hskip 0.3pc t_0=\\tau\\hskip 0.3pc \\), rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) zależy od \\( \\hskip 0.3pc \\tau,\\hskip 0.3pc \\) co symbolicznie będziemy zapisywać \\( \\hskip 0.3pc w(, \\,; \\tau).\\hskip 0.3pc \\) Zauważmy, ze rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) możemy wyrazić w postaci", "Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc w(x,t,t)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc x\\in\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc t>0 \\).", "Na mocy lematu 1 oraz wzoru 4 z modułu \"Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta\", rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać w postaci", "Ponieważ warunki początkowe są zadane tylko dla \\( \\hskip 0.3pc x>0\\hskip 0.3pc \\), bezpośrednio nie możemy skorzystać z wzoru 4 z modułu \"Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta\". Ponadto, jeśli \\( \\hskip 0.3pc g\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc g^\\prime\\neq 0\\hskip 0.3pc \\), nie możemy również skorzystać z uwagi o przedłużaniu warunków początkowych. Możemy natomiast wykorzystać wzór 3 z modułu \"Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta\". Zgodnie z tym wzorem", "Dla \\( \\hskip 0.3pc x>0\\hskip 0.3pc \\) z warunku \\( \\hskip 0.3pc u(x,0)=0\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy \\( \\hskip 0.3pc F(x)+G(x)=0,\\hskip 0.3pc \\) czyli", "Zatem", "Z kolei z warunku \\( \\hskip 0.3pc u_t(x,0)=0\\hskip 0.3pc \\) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc F^\\prime (x)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc x>0,\\hskip 0.3pc \\) a w konsekwencji \\( \\hskip 0.3pc F(x)=C.\\hskip 0.3pc \\) Wykorzystując ostatni warunek mamy", "Stąd i z warunku \\( \\hskip 0.3pc u(0,t)=g(t)\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t>0\\hskip 0.3pc \\) otrzymujemy", "a kładąc \\( \\hskip 0.3pc s= -at\\hskip 0.3pc \\) mamy", "Zatem", "W konsekwencji" ]

[]

[ "Rozważmy równanie fal kulistych", "z warunkami początkowymi", "gdzie laplasjan \\( \\hskip 0.3pc \\Delta = \\frac {\\partial ^2}{\\partial ^2 x}+\\frac {\\partial ^2}{\\partial ^2 y} +\\frac {\\partial ^2}{\\partial ^2 z},\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc V\\hskip 0.3pc \\) jest podzbiorem otwartym i spójnym w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^3.\\hskip 0.3pc \\) Technika rozwiązania zaprezentowana poniżej polega na przekształceniu równania o trzech zmiennych na jednowymiarowe równanie falowe. Redukcję taką uzyskamy wprowadzjąc tak zwane średnie sferyczne. Przypuśćmy, że problem ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie \\( \\hskip 0.2pc u\\hskip 0.2pc \\) w obszarze \\( \\hskip 0.2pc \\Omega = V\\times [0,\\infty ).\\hskip 0.2pc \\) Ustalmy punkt \\( \\hskip 0.1pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \\in V. \\) Dobierzmy \\( \\hskip 0.2pc r>0\\hskip 0.2pc \\) tak, aby kula \\( \\hskip 0.2pc K(P_0,r) \\subset V.\\hskip 0.2pc \\) Niech \\( \\hskip 0.2pc S(P_0,r)\\hskip 0.2pc \\) będzie sferą o środku w punkcie \\( \\hskip 0.3pc P_0\\hskip 0.3pc \\) i promieniu \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\). Połóżmy", "gdzie po prawej stronie występuje całka powierzchniowa po sferze \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc (\\xi ,\\eta,\\zeta) \\hskip 0.3pc \\) oznaczają współrzędne kartezjańskie punktu bieżącego na sferze. Wielkość \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde u(r,t)\\hskip 0.3pc \\) oznacza wartość średnią funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) na sferze \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\) w chwili \\( \\hskip 0.3pc t.\\hskip 0.3pc \\)", "Zapiszmy równanie sfery \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\) we współrzędnych sferycznych", "element powierzchniowy \\( \\hskip 0.3pc dS\\hskip 0.3pc \\) na sferze \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\), po przejściu na współrzędne sferyczne wyraża się wzorem", "Zamieniając we wzorze ( 3 ) całkę powierzchniową na całkę iterowaną otrzymamy", "lub krótko", "Oczywiście", "Całkując równanie ( 1 ) po kuli \\( \\hskip 0.3pc K(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "a po zastosowaniu do prawej strony wzoru Gaussa-Greena mamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\frac {\\partial u}{\\partial \\nu}\\hskip 0.3pc \\) oznacza pochodną funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) w kierunku normalnej zewnętrznej do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\). Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\nu=(\\nu_1,\\nu_2,\\nu_3)\\hskip 0.3pc \\) jest unormowanym wektorem normalnym do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,r)\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (\\xi,\\eta,\\zeta)\\hskip 0.3pc \\), wówczas \\( \\hskip 0.3pc \\xi =x_0+\\nu_1r\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc \\eta =y_0+\\nu_2r,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\zeta =z_0+\\nu_3r.\\hskip 0.3pc \\) Prosty rachunek pokazuje, że", "Stąd", "Po wprowadzeniu współrzędnych sferycznych i zamianie całek na całki iterowane otrzymamy", "Różniczkując ostatnią równość względem \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\) i dzieląc przez \\( \\hskip 0.3pc 4\\pi r^2\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Zapisując różniczkowanie względem \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\) na zewnątrz całki i wprowadzając średnie wartości sferyczne (zob. ( 4 ) ) otrzymamy", "Ponieważ", "równanie ( 6 ) przyjmuje postać", "a po pomnożeniu przez \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\)", "Kładąc", "otrzymamy", "(Oczywiście równanie ( 7 ) możemy rozważać dla \\( \\hskip 0.3pc t\\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\)) Uśredniając - zgodnie z wzorem ( 3 ) - warunki początkowe ( 2 ) otrzymamy", "Zatem funkcja \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 7 ) spełniającym warunki", "Rozwiązując równania charakterystyk", "zgodnie z metodą d'Alemberta rozwiązanie ogólne równania ( 7 ) możemy zapisać w postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) są dowolnymi funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\). Z warunku \\( \\hskip 0.3pc v(0,t)=0\\hskip 0.3pc \\) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc G(t)=-F(t)\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t \\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) W konsekwencji", "Przechodząc w równości", "z \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\) do zera, otrzymamy", "Sumując równości", "otrzymamy", "Obliczając wartości obu stron ostatniej równości w punkcie \\( \\hskip 0.3pc (0,a t)\\hskip 0.3pc \\) i wykorzystując równości ( 9 ) i ( 5 ) otrzymamy", "Podstawiając w ostatnim wzorze w miejsce funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde u\\hskip 0.3pc \\) jej reprezentacje daną wzorem ( 3 ) otrzymamy", "Uwzględniając warunki początkowe ( 2 ) oraz fakt, że", "mamy", "Przypomnijmy, że punkt \\( \\hskip 0.3pc (x_0,y_0,z_0)\\in V\\hskip 0.3pc \\) był ustalony dowolnie. Zatem opuszczając wskażnik \\( \\hskip 0.3pc 0\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy wartość rozwiązania \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnych \\( \\hskip 0.3pc (x,y,z)\\in V\\hskip 0.3pc \\) w postaci tak zwanego wzoru Kirchhoffa", "lub po zastosowaniu transformacji", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc 0\\leq \\alpha < 2\\pi, \\hskip 0.3pc -\\pi /2 \\leq \\beta \\leq \\pi /2 \\),", "Przypomnijmy, że wzór Kirchhoffa otrzymaliśmy przy założeniu, że problem ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie. Na odwrót, jeśli założymy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) jest klasy \\( \\hskip 0.3pc C^3\\hskip 0.3pc \\) a funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\) to nietrudno pokazać bezpośrednim rachunkiem, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc u \\hskip 0.3pc \\) dana wzorem Kirchhoffa jest rozwiązaniem problemu ( 1 ), ( 2 ). Oczywiście rozwiązanie to jest określone jednoznacznie. Pokazaliśmy zatem następujące twierdzenie." ]

[]

[ "Rozważmy niejednorodne równanie fal kulistych", "z warunkami początkowymi", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^3\\hskip 0.3pc \\) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc V.\\hskip 0.3pc \\) W celu rozwiązania problemu ( 1 ), ( 2 ) rozbijamy go na dwa problemy oddzielne:", "oraz", "Rozwiązanie problemu ( 3 ), ( 4 ) dane jest wzorem Kirchhoffa (zob. twierdzenie 1 w module \"Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania\"). Aby znaleźć rozwiązanie problemu ( 5 ), ( 6 ) rozważmy problem pomocniczy", "Ponieważ rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 ) zależy od \\( \\hskip 0.3pc \\tau,\\hskip 0.3pc \\hskip 0.3pc \\) będziemy zaznaczać to pisząc \\( \\hskip 0.3pc v(\\cdot ,\\,\\cdot,\\,\\cdot,\\,\\cdot\\,;\\tau).\\hskip 0.3pc \\) Wykorzystując wzór Kirchhoffa, rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 ) możemy zapisać w postaci:", "Połóżmy", "gdzie", "Pokażemy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc w\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ). Istotnie, zauważmy najpierw, że", "Zatem", "co oznacza, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc w\\hskip 0.3pc \\) spełnia równanie ( 5 ). Ponieważ w oczywisty sposób funkcja \\( \\hskip 0.3pc w\\hskip 0.3pc \\) spełnia również warunki początkowe ( 6 ), jest ona rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ). Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy uzyskać jako sumę rozwiązań problemu ( 3 ), ( 4 ) oraz problemu ( 5 ), ( 6 ), czyli" ]

[]

[ "Rozważmy równanie fali dla \\( \\hskip 0.3pc n=2\\hskip 0.3pc \\)", "z warunkami początkowymi", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc D\\subset \\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc\\Delta = \\frac {\\partial ^2}{\\partial x^2}+ \\frac{\\partial ^2}{\\partial y^2}\\hskip 0.3pc \\). Okazuje się, że nie widać prostego podstawienia które pozwoliłoby zredukować problem dwuwymiarowy do problemu jednowymiarowego. Posłużymy się więc następującym chwytem. Rozważamy nasz problem w przestrzeni trójwymiarowej przyjmując, że funkcje występujące w równaniu nie zależą od zmiennej \\( \\hskip 0.3pc z\\hskip 0.3pc \\). Mianowicie połóżmy", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde u\\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem problemu", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc V=D\\times \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\). Niech \\( \\hskip 0.3pc P_0=(x_0,y_0)\\in D\\hskip 0.3pc \\) i niech \\( \\hskip 0.3pc S(P_0,at)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc K(P_0,at)\\hskip 0.3pc \\) oznacza, odpowiednio sferę i kulę w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\) zawarte w \\( \\hskip 0.3pc D\\hskip 0.3pc \\) o środku w punkcie \\( \\hskip 0.3pc P_0\\hskip 0.3pc \\) i promieniu \\( \\hskip 0.3pc a t\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde S(\\widetilde P_0,at)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde K(\\widetilde P_0,at)\\hskip 0.3pc \\), gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde P_0=(x_0,y_0,z_0)\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc z_0 \\in \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\), sferę i kulę w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^3\\hskip 0.3pc \\). Niech \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde P = (\\xi, \\eta, \\zeta) \\hskip 0.3pc \\) będzie punktem bieżącym na sferze \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde S(\\widetilde P_0,at)\\hskip 0.3pc \\). Na mocy wzoru Kirchhoffa", "Zamieńmy teraz całki powierzchniowe we wzorze ( 3 ) na całki podwójne. Oczywiście równanie sfery \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde S(\\widetilde P_0, \\,at) \\hskip 0.3pc \\) możemy zapisać za pomocą równań półsfer:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc K(P_0,at)\\hskip 0.3pc \\) oznacza kulę domkniętą w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\), a", "Nietrudno sprawdzić, że element powierzchniowy na obu półsferach wyraża się wzorem", "W konsekwencji, uwzględniając definicje funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde{\\varphi}\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\widetilde {\\psi}\\hskip 0.3pc \\), po zamianie całek powierzchniowych na całki podwójne, otrzymamy", "Ponieważ punkt \\( \\hskip 0.3pc (x_0,y_0)\\in D\\hskip 0.3pc \\) był dobrany dowolnie, możemy opuścić wskaźnik \\( \\hskip 0.3pc 0.\\hskip 0.3pc \\) Ponadto, uwzględniając związek \\( \\hskip 0.3pc u(x,y,t)=\\widetilde u(x ,y,z,t),\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) w postaci tzw. wzoru Poissona:" ]

[]

[ "Niewątpliwie do jednych z najważniejszych równań różniczkowych cząstkowych należą równanie Laplace'a", "oraz równanie Poissona", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest szukaną funkcją określoną na obszarze \\( \\hskip 0.3pc\\Omega \\subset\\mathbb R^n \\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc x=(x_1, \\dots ,x_n),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\Delta u =\\frac{\\partial^2 u}{\\partial^2 x_1}+\\ldots +\\frac{\\partial^2 u}{\\partial^2 x_n},\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją. Równania te spotykamy przy opisie licznych zjawisk. Przypomnijmy niektóre z nich:", "(i). Ustalony stan pola cieplnego. Zjawisko rozchodzenia się ciepła jest opisane równaniem \\( \\hskip 0.3pc u_t-\\Delta u=0\\hskip 0.3pc \\). W przypadku pola stacjonarnego, tzn. takiego, że rozkład temperatury nie zmienia się w czasie, funkcja \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) nie zależy od czasu i spełnia równanie Laplace'a ( 1 ). Jeśli występują przy tym źródła ciepła, to spełnia ona równanie Poissona ( 2 ), gdzie funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) opisuje źródła ciepła.", "(ii). Bezwirowy ruch cieczy. Przypuśćmy, że w pewnym ograniczonym obszarze występuje ruch cieczy nieściśliwej o prędkości \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\). Jeśli ruch cieczy jest bezwirowy, to prędkość \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) ma potencjał \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\). Jeśli ponadto pole jest beźródłowe, to \\( \\hskip 0.3pc \\Delta \\varphi =0\\hskip 0.3pc \\). Zatem potencjał \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) ustalonego pola elektrycznego spełnia równanie Laplace'a.", "(iii). Pole elektrostatyczne. Przypuśćmy, że dane jest pole elektrostatyczne ładunków stacjonarnych i niech \\( \\hskip 0.3pc \\rho (x,y,z) \\hskip 0.3pc \\) oznacza gęstość objętościową ładunków. Można pokazać, że potencjał elektrostatyczny pola \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) spełnia równanie \\( \\hskip 0.3pc \\Delta \\varphi =-4\\pi \\rho\\hskip 0.3pc \\), tzn. równanie Poissona. Gdy brak jest ładunków przestrzennych, potencjał spełnia równanie Laplace'a. W literaturze nietrudno znaleźć wiele dalszych zjawisk które opisane są równaniami Laplace'a lub Poissona (zob. np. Feynmana wykłady z fizyki)", "Rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a. Zastosujemy tutaj dość typowy dla teorii równań różniczkowych sposób postępowania. Najpierw znajdziemy stosunkowo proste rozwiązania równania wyjściowego, a następnie - przy pomocy tego rozwiązania - będziemy konstruuować dalsze rozwiązania, które spełniają żądane warunki, np. początkowe lub brzegowe. Takie rozwiązanie nazywamy rozwiązaniem podstawowym lub fundamentalnym. Ponieważ równanie Laplace'a jest symetryczne względem zmiennych, a w konsekwencji niezmiennicze względem obrotów, naturalnym wydaje się szukać rozwiązań radialnych, tzn. rozwiązań zależnych tylko od odległości od początku układu. Spróbujemy zatem znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) postaci", "Zauważmy, że dla \\( \\hskip 0.3pc r\\ne 0\\hskip 0.3pc \\)", "Zatem", "Nietrudno teraz sprawdzić, że", "Postawione zadanie sprowadza się zatem do rozwiązania równania", "Stąd", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) jest dowolną stałą. Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc B\\hskip 0.3pc \\) są dowolnymi stałymi. Ze względu na dalsze zastosowania wygodnie jest przyjąć \\( \\hskip 0.3pc B=0\\hskip 0.3pc \\), natomiast", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\alpha (n)\\hskip 0.3pc \\) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^n.\\hskip 0.3pc \\) Zgodnie z tymi rozważaniami przyjmujemy następującą definicje rozwiązania podstawowego.", "W teorii równania Laplace'a niezmiernie ważne, ze względu na zastosowania, są: zagadnienie brzegowe Dirichleta, zagadnienie brzegowe Neumanna oraz zagadnienie brzegowe Robina, zwane też pierwszym, drugim i trzecim zagadnieniem brzegowym. W dalszym ciągu podzbiór otwarty i spójny (tzn. taki że każde dwa punkty tego zbioru można połączyć krzywą zawartą w tym zbiorze) będziemy nazywać obszarem.", "Zagadnienie Dirichleta (zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) które jest ciągłe w domknięciu obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) i spełniają warunek brzegowy", "Zagadnienie Neumanna ( zaganienie brzegowe drugiego rodzaju). Załóżmy, że brzeg \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega \\hskip 0.3pc \\) obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\) jest gładki (tzn. w każdym punkcie zbioru \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega \\hskip 0.3pc \\) istnieje płaszczyzna styczna). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) określone w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega, \\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1\\hskip 0.3pc \\) w jego domknięciu i spełniające warunek", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\nu\\hskip 0.3pc \\) jest normalną zewnętrzną do \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega \\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc \\varphi :\\partial \\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) zadaną funkcją ciągłą.", "Zagadnienie Robina ( zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\) spełniające warunek", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega \\hskip 0.3pc \\) jest brzegiem obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega, \\hskip 0.2pc \\) \\( \\hskip 0.1pc a,\\hskip 0.2pc \\) \\( \\hskip 0.1pc b,\\hskip 0.2pc \\) \\( \\hskip 0.1pc g\\hskip 0.3pc \\) są danymi funkcjami określonymi na \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega ,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\nu\\hskip 0.3pc \\) jest normalną zewnętrzną do \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega .\\hskip 0.3pc \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1: Rozwiązania podstawowego.", "content": "\n Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a ( 1 ) nazywamy funkcję\n\n(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\Phi (x)=\\begin{cases}-\\dfrac{1}{2\\pi} \\ln \\|x\\|,& {\\rm dla}\\hskip 0.5pc n=2;\\\\ \\dfrac {1}{n(n-2) \\alpha (n)}\\dfrac{1}{\\|x\\|^{n-2}}, & {\\rm dla} \\hskip 0.5pc n\\geq 3.\\end{cases} \\)\n\n" } ]

[ "Funkcje harmoniczne posiadają wiele interesujących własności, a ich teoria stanowi rozbudowany dział matematyki. Poniżej podamy niektóre własności tych funkcji. Rozpoczniemy od prostych wniosków wynikających łatwo z wzorów Gaussa-Greena.", "Istotnie, ze wzoru 5 z modułu \"Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena\" wynika, że", "Istotnie, niech \\( \\hskip 0.3pc x\\in \\Omega \\hskip 0.3pc \\) i niech \\( \\hskip 0.3pc B(x,\\varepsilon )\\hskip 0.3pc \\) będzie kulą zawartą w \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\). Ze wzoru 5 z modułu \"Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena\" oraz założeń wniosku 2 wynika że", "Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego dostatecznie małego \\( \\hskip 0.3pc \\varepsilon >0\\hskip 0.3pc \\), wnosimy stąd, że \\( \\hskip 0.3pc \\Delta u(x)=0\\hskip 0.3pc \\). Teza wniosku została dowiedziona, bowiem \\( \\hskip 0.3pc x \\in \\Omega \\hskip 0.3pc \\) jest dowolne.", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zbiorem otwartym i niech \\( \\hskip 0.3pc u:\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją harmoniczną w \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\). Wówczas dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc x \\in \\Omega \\hskip 0.3pc \\) oraz kuli \\( \\hskip 0.3pc B(x,r) \\subset \\Omega \\hskip 0.3pc \\), wartość \\( \\hskip 0.3pc u(x)\\hskip 0.3pc \\) jest równa średniej wartości funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) na sferze \\( \\hskip 0.3pc \\partial B(x,r)\\hskip 0.3pc \\) oraz średniej wartości funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) na kuli \\( \\hskip 0.3pc B(x,r)\\hskip 0.3pc \\). Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc \\upsilon_r\\hskip 0.3pc \\) powierzchnię, a przez \\( \\hskip 0.3pc \\omega_r\\hskip 0.3pc \\) objętość kuli \\( \\hskip 0.3pc B(x,r)\\subset\\mathbb R^n. \\hskip 0.3pc \\) Nietrudno sprawdzić, że \\( \\hskip 0.3pc \\omega_r = (r/n)\\upsilon_r.\\hskip 0.3pc \\) Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha (n)\\hskip 0.3pc \\) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc\\mathbb R^n,\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\omega_r =\\alpha (n)\\,r^n,\\hskip 0.3pc \\) natomiast \\( \\hskip 0.3pc \\upsilon_r =n\\alpha (n)r^{n-1}.\\hskip 0.3pc \\)", "Istnieją też ścisłe związki między funkcjami harmonicznymi dwu zmiennych a funkcjami analitycznymi jednej zmiennej zespolonej. Mianowicie, część rzeczywista \\( \\hskip 0.3pc u=u(x.y)\\hskip 0.3pc \\) i część urojona \\( \\hskip 0.3pc v=v(x,y)\\hskip 0.3pc \\) funkcji analitycznej \\( \\hskip 0.3pc f(z)=u(x,y) +iv(x,y)\\hskip 0.3pc \\) zmiennej zespolonej \\( \\hskip 0.3pc z=x+iy\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami harmonicznymi (dokładniej funkcjami harmonicznymi sprzężonymi). Na odwrót, mając daną funkcję harmoniczną, możemy łatwo skonstruować odpowiadającą jej funkcję analityczną. Stąd też szereg własności funkcji harmonicznych jest natychmiastową konsekwencją stosownych własności funkcji zmiennej zespolonej i na odwrót." ]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcji harmonicznej.", "content": " Funkcję klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\) w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset\\mathbb R^n,\\hskip 0.3pc \\) spełniającą w tym obszarze równanie Laplace'a:\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\Delta u =0, \\hskip 1.3pc x\\in \\Omega, \\)\n\nnazywamy funkcją harmoniczną w \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\hskip 0.3pc \\).\n\n" } ]

[ "Zauważmy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\Phi\\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "jest harmoniczna dla \\( \\hskip 0.3pc x\\neq 0.\\hskip 0.3pc \\) Jeśli początek układu przesuniemy do punktu \\( \\hskip 0.3pc y,\\hskip 0.3pc \\) to funkcja \\( \\hskip 0.3pc x \\mapsto \\Phi(x-y)\\hskip 0.3pc \\) jest harmoniczna dla \\( \\hskip 0.3pc x\\neq y.\\hskip 0.3pc \\) Zauważmy ponadto, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc f:X\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją, to \\( \\hskip 0.3pc x \\mapsto \\Phi(x-y)f(y)\\hskip 0.3pc \\) jest również funkcją harmoniczna dla \\( \\hskip 0.3pc x\\neq y\\hskip 0.3pc \\). Można by zatem oczekiwać, że funkcja", "będzie rozwiązaniem równania Laplace'a", "Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc x \\mapsto \\Phi (x-y)\\hskip 0.3pc \\) ma osobliwość w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x=y,\\hskip 0.3pc \\) a zatem nie możemy z operacją różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) wzór ( 2 ) określa rozwiązanie równania Poissona", "Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego.", "Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki sposób zmienia się w czasie gęstość pewnej wielkości, np. temperatury, stężenia chemicznego czy potencjału elektrycznego. Przykłady zjawisk które możemy opisać tego typu równaniem zostały podane w module \"Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych\". Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc u:\\,\\mathbb R^n\\times R \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc t>0\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc x=(x_1,\\, \\ldots ,\\, x_n)\\in\\mathbb R^n,\\hskip 0.3pc \\) a symbol \\( \\hskip 0.3pc \\Delta =\\displaystyle\\sum_{i=1}^{n}\\dfrac{\\partial ^2}{\\partial x_i^2}\\hskip 0.3pc \\) oznacza operator Laplace'a. Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian stosować dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n\\geq 1,\\hskip 0.3pc \\) dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do \\( \\hskip 0.3pc n=1,\\hskip 0.3pc \\) czyli do równania", "Zauważmy, że jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc u=u(x,t)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 8 ), to również funkcja \\( \\hskip 0.3pc u=u(\\lambda x,\\,\\lambda^2t),\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\in \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) jest również rozwiązaniem równania ( 8 ). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych \\( \\hskip 0.3pc \\{\\big(\\lambda x,\\,\\lambda^2t\\big):\\hskip 0.2pc \\lambda \\in\\mathbb R\\},\\hskip 0.3pc \\) tzn. krzywych wyznaczonych przez stosunek \\( \\hskip 0.3pc\\dfrac{ (\\lambda x)^2}{\\lambda ^2t},\\hskip 0.3pc \\) czyli rozwiązań postaci", "Prosty rachunek daje", "Podstawiając uzyskane wielkości do równania ( 8 ) otrzymamy", "a kładąc \\( \\hskip 0.3pc z=\\dfrac {x^2}{t}\\hskip 0.3pc \\) mamy", "Rozwiązując ostatnie równanie dostajemy", "Zatem funkcja", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc B\\hskip 0.3pc \\) są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania ( 8 ) dla \\( \\hskip 0.3pc x \\in \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc t>0\\hskip 0.3pc \\). Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową. Różniczkując funkcje ( 9 ) względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Oczywiście tak uzyskana funkcja jest również rozwiązaniem równania ( 8 ) w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D=\\{(x,t):\\,\\, x \\in \\mathbb R,\\hskip 0.3pc t>0\\}\\hskip 0.3pc \\). Wygodnie jest - co będzie widać z dalszych rozważań - przyjąc \\( \\hskip 0.3pc A= \\dfrac 1{4\\sqrt{\\pi}}\\hskip 0.3pc \\) (Przy tak ustalonej stałej \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy rozwiązanie z którego całka jest równa \\( \\hskip 0.3pc 1\\hskip 0.3pc \\)). Funkcję", "nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania ( 8 ). Zauważmy, że dla \\( \\hskip 0.3pc t=0\\hskip 0.3pc \\) funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\Phi\\hskip 0.3pc \\) ma osobliwość. Dla \\( \\hskip 0.3pc n\\geq 2\\hskip 0.3pc \\) przez rozwiązanie podstawowe równania ( 7 ) rozumiemy funkcję", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\|x\\|=\\sqrt{x_1^2+ \\ldots +x_n^2}.\\hskip 0.3pc \\)" ]

[]

[ "Skonstruowane w (module Równanie Poissona-( 11 ) ) rozwiązanie podstawowe równania ciepła wykorzystamy teraz dla znalezienia rozwiązania problemu Cauchy'ego (problemu początkowego) dla równania ciepła:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc g:R^n\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją. Przypomnijmy, że dla \\( \\hskip 0.3pc t\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\Phi\\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnie ustalonego \\( \\hskip 0.3pc z\\in\\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) również funkcja \\( \\hskip 0.3pc (x,t) \\mapsto \\Phi(x-z,t)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 3 ) dla \\( \\hskip 0.3pc t\\neq 0.\\hskip 0.3pc \\) Rozważmy teraz funkcję \\( \\hskip 0.3pc u:\\,\\mathbb R^n\\times(0,\\infty) \\to \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) daną wzorem", "Zauważmy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest splotem rozwiązania podstawowego \\( \\hskip 0.3pc \\Phi \\hskip 0.3pc \\) oraz funkcji \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\).", "Pierwszy problem brzegowy Dirichleta.", "Obok problemu początkowego dla równania ciepła również bardzo ważnym jest tak zwany pierwszy problem brzegowy Dirichleta. Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) będzie obszarem w \\( \\hskip 0.3pc\\mathbb R^n\\times [0,T)\\hskip 0.3pc \\) o tej własności, że dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc t \\in [0,T)\\hskip 0.3pc \\) zbiór \\( \\hskip 0.3pc \\big\\{x:\\, (x,\\,t) \\in \\Omega\\big\\}\\hskip 0.3pc \\) jest \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\)-wymiarowym obszarem w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\). Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc S\\hskip 0.3pc \\) boczną powierzchnie \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) wraz z jego podstawą. Wówczas pierwszym zagadnieniem brzegowym Dirichleta nazywamy problem znalezienia rozwiązania równania", "spełniającego warunek", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją.", "Niejednorodny problem początkowy dla równania ciepła.", "Rozważmy teraz niejednorodny problem Cauchy'ego", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc f:\\, \\mathbb R^n\\times \\mathbb R_+\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją. Rozważamy problem pomocniczy", "Zgodnie z wzorem ( 4 ), kładąc \\( \\hskip 0.3pc s=t-\\tau\\hskip 0.3pc \\), rozwiązanie tego problemu możemy zapisć w postaci", "Nietrudno sprawdzić, że funkcja", "jest szukanym rozwiązaniem niejednorodnego problemu Cauchy'ego." ]

[]

[]

[]

[ "W modułach \"Równanie niejednorodne struny\", \"Niejednorodne równanie fal kulistych\", \"Równanie fal walcowych. Metoda redukcji\", \"Problem poczatkowy dla równania ciepła\" aby znaleźć rozwiązanie problemu niejednorodnego, rozważaliśmy najpierw pomocniczy problem jednorodny zależny od parametru, a następnie rozwiązanie problemu wyjściowego uzyskiwaliśmy całkując względem wspomnianego parametru rozwiązanie problemu pomocniczego. Zastosowaną metodę możemy sformułować nieco ogólniej, uzyskując tak zwaną zasadę Duhamela.", "Rozważmy równanie", "z warunkiem początkowym", "oraz warunkiem brzegowym", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\subset\\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) jest operatorem eliptycznym względem zmiennych przestrzennych. Zauważmy, że w postawionym problemie funkcje \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) zależą od zmiennej \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\). Rozważmy analog problemu ( 1 ) - ( 3 ) z funkcjami \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) niezależnymi od \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\). Mianowicie, ustalmy \\( \\hskip 0.3pc \\tau >0\\hskip 0.3pc \\) i rozważmy problem", "Załóżmy, że problem ( 4 ) - ( 6 ) posiada rozwiązanie dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\tau >0\\hskip 0.3pc \\). Ponieważ zależy ono od parametru \\( \\hskip 0.3pc \\tau \\hskip 0.3pc \\), oznaczmy go symbolem \\( \\hskip 0.3pc v=v(x,t;\\tau )\\hskip 0.3pc \\). Twierdzimy, że funkcja", "jest rozwiązaniem problemu ( 1 ) - ( 3 ). Istotnie, warunki ( 2 ) i ( 3 ) są spełnione w oczywisty sposób. Wykonując różniczkowanie w ( 7 ), po uwzględnieniu ( 5 ), otrzymamy", "Stąd oraz związków ( 4 ) i ( 7 ) dostajemy", "co kończy dowód. Taką metodę konstrukcji rozwiązań nazywamy zasadą Duhamela." ]

[]

[ "W następnych przykładach rozwiniemy pomysły które wykorzystaliśmy dla znalezienia rozwiązań fundamentalnych dla równania Laplace'a oraz równania przewodnictwa cieplnego. W pierwszym przypadku szukaliśmy rozwiązań radialnych, w drugim rozwiązań wzdłuż specjalnie dobranych krzywych (powierzchni). Idea metody polega na redukcji ilości zmiennych niezależnych, a w sytuacji optymalnej, na sprowadzeniu problemu do rozwiązania równania zwyczajnego." ]

[]

[ "Chociaż teoria dystrybucji jest działem matematyki abstrakcyjnej, dostarcza ona ścisłych uzasadnień dla wielu manipulacji formalnych stosowanych w naukach przyrodniczych i w literaturze technicznej. Ponadto dostarcza ona możliwości dalszego rozwoju klasycznych dyscyplin matematycznych, np. równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, rachunku operacyjnego, teorii transformacji. Pewne rodzaje dystrybucji (np. funkcja delta i jej pochodne) używane były w naukach fizycznych i technicznych już w XIX wieku, znacznie przed pojawieniem się teorii dystrybucji, która została zaproponowana w latach trzydziestych zeszłego stulecia przez L.S. Sobolewa. Zwykle stosowane dzisiaj ujęcie tej teorii należy do L. Schwartza, który sfomułował je w latach pięćdziesiątych zeszłego stulecia. Rozważmy punkt materialny o masie \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\) poruszający się po linii prostej z prędkością jednostajną. Przypuśćmy, że w chwili \\( \\hskip 0.3pc t_0\\hskip 0.3pc \\) punkt napotkał przeszkodę i w wyniku kolizji zmienił kierunek ruchu w stronę przeciwną. Zgodnie z prawami mechaniki powinna zachodzić zależność", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc v_1\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc v_2\\hskip 0.3pc \\) są prędkościami w chwili \\( \\hskip 0.3pc t_1\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc t_2\\hskip 0.3pc \\), a \\( \\hskip 0.3pc F(t)\\hskip 0.3pc \\) oznacza siłę działającą na punkt materialny w chwili \\( \\hskip 0.3pc t.\\hskip 0.3pc \\) Przyjmijmy, że \\( \\hskip 0.3pc F(t)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t \\neq t_0\\hskip 0.3pc \\). Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc t_1<t_2<t_0,\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc v_2=v_1,\\hskip 0.3pc \\) a zatem równość ( 1 ) jest spełniona. Podobnie, gdy \\( \\hskip 0.3pc t_0<t_1<t_2.\\hskip 0.3pc \\) Jeśli natomiast \\( \\hskip 0.3pc t_1<t_0<t_2,\\hskip 0.3pc \\) wówczas \\( \\hskip 0.3pc v_2=-v_1.\\hskip 0.3pc \\) W konsekwencji lewa strona warunku ( 1 ) wynosi \\( \\hskip 0.3pc 2mv_2\\hskip 0.3pc \\), zaś prawa strona jest równa zeru. Oznacza to, że w tym przypadku warunek ( 1 ) nie jest spełniony. Powstaje naturalne pytanie: jak sformułować matematyczny opis obserwowanego zjawiska aby równość ( 1 ) była zawsze zachowana. Niestety, w zakresie klasycznego rachunku całkowego jest to niemożliwe, bowiem zarówno całka Riemanna jak i całka Lebesgue'a z funkcji równej zeru poza jednym punktem jest równa zeru. Oznacza to, że za pomocą wymienionych całek nie jesteśmy w stanie opisać zjawisk impulsowych. Z drugiej strony zjawiska impulsowe w fizyce występują w sposób naturalny. Wystarczy wyobrazić sobie ruch cząsteczek gazu. Każda kolizja cząstek powoduje impulsowe przekazanie energii. Powstaje więc naturalna potrzeba stworzenia aparatu matematycznego zdolnego opisywać takie zjawiska. Przed wprowadzeniem formalnych pojęć pozwalających opisać reakcje impulsowe spróbujmy działania impulsowe opisać za pomocą procesu granicznego. Dla \\( \\hskip 0.3pc n \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "Przy \\( \\hskip 0.3pc n\\to \\infty\\hskip 0.3pc \\) ciąg funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_n\\}\\hskip 0.3pc \\) jest punktowo zbieżny do funkcji", "Dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) całka z funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_n\\hskip 0.3pc \\) po zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) jest równa \\( \\hskip 0.3pc 1,\\hskip 0.3pc \\) natomiast całka Lebesgue'a z funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_0\\hskip 0.3pc \\) jest równa zero. Oznacza to, że całki z funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_n\\hskip 0.3pc \\) nie są zbieżne do całki z funkcji granicznej \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_0\\hskip 0.3pc \\), tak więc, za pomocą opisanego procesu granicznego nie uzyskamy równości ( 1 ). Aby opisać przedstawioną powyżej sytuacje reakcji impulsowych już w XIX wieku fizycy wprowadzili pojęcie tzw. delty Diraca \\( \\hskip 0.3pc \\delta.\\hskip 0.3pc \\) Jest to obiekt który posiada następującą własność. Dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f:\\mathbb R \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) zachodzi", "Oczywistym jest, że tak wprowadzony obiekt nie jest funkcją w sensie klasycznym, bowiem wartość całki zależy tylko od wartości funkcji w punkcie \\( \\hskip 0.3pc 0\\hskip 0.3pc \\) (Należy zaznaczyć, że użycie symbolu całki jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem zarówno całka Riemanna jak i całka Lebesgue'a były zdefiniowane tylko dla stosownych klas funkcji, natomiast w powyższym zapisie symbol ten odnosi się do zupełnie innych obiektów, które nie zostały jeszcze zdefiniowane). Niemniej przyjmując powyższą konwencje mamy", "oraz", "Nietrudno sprawdzić, że jeśli ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_n\\}\\hskip 0.3pc \\) jest dany wzorem ( 2 ) to", "a zatem pożądane przejście graniczne zostało zachowane. Ciąg funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_n\\}\\hskip 0.3pc \\) nazywamy ciągiem tworzącym dla delty Diraca. Zauważmy, że dla delty Diraca można skonstruować ciągi tworzące których wyrazami są funkcje klasy \\( \\hskip 0.3pc C^{\\infty}\\hskip 0.3pc \\) o nośnikach zwartych. Rozważmy np. ciąg", "Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc \\psi_n \\in C^{\\infty}(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc n=1,2,\\ldots. \\hskip 0.3pc \\) Widać też natychmiast, że ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\psi_n\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny punktowo do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_0\\hskip 0.3pc \\) danej wzorem ( 3 ). Ponadto, dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) całka z funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\psi_n\\hskip 0.3pc \\) jest równa \\( \\hskip 0.3pc 1.\\hskip 0.3pc \\) Oznacza to, że nawet dla tak regularnych funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\psi_n \\hskip 0.3pc \\) ciąg całek z tych funkcji nie jest zbieżny do całki z funkcji granicznej. Fakt ten praktycznie przekreśla nadzieje na przeprowadzanie rozsądnych analiz w zakresie pojęć analizy klasycznej. Aby usunąć tę trudność zbudowaną tzw. teorię funkcji uogólnionych, zwaną też teorią dystrybucji. Standartowym przykładem dystrybucji jest wspomniana wyżej delta Diraca. Przed formalnym wprowadzeniem pojęcia dystrybucji przypomnijmy pewne fakty z teorii funkcji i całki, które w naszych rozważaniach będą istotne. Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset\\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zbiorem otwartym. Nośnikiem funkcji \\( \\hskip 0.3pc f:\\,\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) nazywamy zbiór", "Funkcje \\( \\hskip 0.3pc f:\\,\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) nazywamy lokalnie całkowalną, jeśli jest całkowalna na dowolnym podzbiorze zwartym zbioru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Przestrzeń funkcji lokalnie całkowalnych na zbiore \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać symbolem \\( \\hskip 0.3pc L_{loc}^1(\\Omega ).\\hskip 0.3pc \\) Zauważmy, że każda funkcja całkowalna, w szczególności funkcja ciągła o nośniku zwartym, jest lokalnie całkowalna.", "Istotna dla naszych celów jest następująca własność całki Lebesgue'a, którą przypomnimy w formie uwagi.", "Uwaga 1 jest natychmiastową konsekwencją znanego faktu, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\int_K fdx=0 \\hskip 0.3pc \\) dla każdego zbioru zwartego \\( \\hskip 0.3pc K \\subset \\Omega, \\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc f=0 \\hskip 0.3pc \\) prawie wszędzie w \\( \\hskip 0.3pc \\Omega. \\hskip 0.3pc \\)", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset\\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zbiorem otwartym. Niech \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) oznacza zbiór wszystkich funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi :\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^{\\infty}\\hskip 0.3pc \\) o zwartych nośnikach. Widać natychmiast, że \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) jest przestrzenią liniową. Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\varphi^{(n)} \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc n\\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\); ponadto, jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\in C^{\\infty}(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\varphi \\in D(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\psi \\in D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Nietrudno sprawdzić, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\phi :\\mathbb R\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "należy do \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Jeśli \\( \\hskip 0.3pc x^2\\hskip 0.3pc \\) zastąpimy iloczynem skalarnym \\( \\hskip 0.3pc x\\cdot x,\\hskip 0.3pc \\) \\( x\\in \\mathbb R^n, \\hskip 0.3pc \\) otrzymamy funkcje z przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R^n).\\hskip 0.3pc \\)", "Innymi słowami, ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi,\\hskip 0.3pc \\) jeśli zarówno ciąg funkcji jak i ciągi ich pochodnych dowolnego rzędu są jednostajnie zbieżne odpowiednio do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) oraz jej stosownej pochodnej. Zauważmy, że jest to zbieżność bardzo silna. W dalszym ciągu tak zdefiniowaną zbieżność będziemy nazywać zbieżnością w \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\)", "Wygodnie jest przyjąć następujące oznaczenie na pochodne mieszane", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc k = (k_1, \\ldots ,k_n)\\hskip 0.3pc \\), \\( | k |=k_1+ \\ldots +k_n\\hskip 0.3pc \\).", "Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych (czyli zbiór wszystkich dystrybucji) na \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać symbolem \\( \\hskip 0.3pc D^*(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\). Warto podkreślić, że dystrybucje nie są określone w punktach zbioru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) lecz na elementach przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Funkcje z przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) często nazywa się funkcjami próbnymi.", "Mówimy, że dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc L,T\\in D^*(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) są równe, jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\langle L,\\varphi \\rangle =\\langle T, \\varphi\\rangle \\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Mówimy, że dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) są równe w zbiorze otwartym \\( \\hskip 0.3pc U\\subset \\Omega\\hskip 0.3pc \\) jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\langle L,\\varphi \\rangle =\\langle T, \\varphi\\rangle \\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) takiego, że \\( \\hskip 0.3pc{\\rm supp}\\, \\varphi \\subset U.\\hskip 0.3pc \\) W szczególności mówimy, że dystrybucja \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) zeruje się na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc U,\\hskip 0.3pc \\) jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\langle T,\\varphi \\rangle =0\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) takiego, że \\( \\hskip 0.3pc {\\rm supp}\\,\\varphi \\subset U\\hskip 0.3pc \\). Podobnie jak nośnik funkcji można również wprowadzić pojęcie nośnika dystrybucji. Mianowicie, nośnikiem dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) nazywamy najmniejszy zbiór domknięty \\( \\hskip 0.3pc K\\hskip 0.3pc \\) taki, że \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) zeruje się na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\setminus K.\\hskip 0.3pc \\) Podobnie jak dla funkcji, nośnik dystrybucji będziemy oznaczać symbolem \\( \\hskip 0.3pc {\\rm supp}\\, T.\\hskip 0.3pc \\)", "Możemy teraz formalnie zdefiniować wspomnianą poprzednio \\( \\hskip 0.3pc \\delta\\hskip 0.3pc \\)-Diraca kładąc", "lub ogólniej, dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc a \\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) możemy określić \\( \\hskip 0.3pc \\delta_a\\hskip 0.3pc \\), kładąc", "Zauważmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\delta_a\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją na \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\). Istotnie, w oczywisty sposób \\( \\hskip 0.3pc \\delta_a\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem liniowym na \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Ponadto dla dowolnego ciągu \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_k\\}\\subset D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) zbieżngo do \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) mamy", "Stąd wynika natychmiast, że \\( \\hskip 0.3pc \\delta_a\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem ciągłym, co należało pokazać.", "Każdej funkcji ciągłej \\( \\hskip 0.3pc f:\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) odpowiada dystrybucja \\( \\hskip 0.3pc T_f\\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "Można pokazać, że jeśli dwie funkcje ciągłe wyznaczają tę samą dystrybucje to muszą być równe. Co więcej, dla dowolnej funkcji lokalnie całkowalnej \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) całka po prawej stronie wzoru ( 6 ) istnieje, a formuła ( 6 ) określa funkcjonał liniowy na przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega ).\\hskip 0.3pc \\) Ponadto, jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_k \\to \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w sensie powyższej definicji, a \\( \\hskip 0.3pc K\\hskip 0.3pc \\) jest odpowiadającym (zgodnie z definicją 2) zbiorem zwartym, to", "Ponieważ przy \\( \\hskip 0.3pc k\\to \\infty\\hskip 0.3pc \\) prawa strona ostatniej nieówności dąży do zera, funkcjonał określony wzorem ( 6 ) jest ciągły, czyli jest elementem przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D^*(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Zatem dla dowolnej funkcji lokalnie całkowalnej \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) wzór ( 6 ) określa dystrybucje. Dystrybucje takie nazywany regularnymi. Przykładem dystrybucji regularnej jest dystrybucja generowana przez funkcje Heaviside'a", "czyli dystrybucja \\( \\hskip 0.3pc T_{H}\\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "Zwykle dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T_f\\hskip 0.3pc \\) generowaną przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) wzorem ( 6 ) oznacza się krótko również symbolem \\( \\hskip 0.3pc f.\\hskip 0.3pc \\) Oznaczenie takie upraszcza zapis, a na ogół nie prowadzi do nieporozumień. W zależności od sytuacji symbol \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) będzie oznaczać funkcje lokalnie całkowalną albo odpowiadającą jej dystrybucje. W niniejszym tekście będziemy używać obu oznaczeń. Kiedy wymagać tego będzie przejrzystość wykładu, dystrybucje generowaną przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać symbolem \\( \\hskip 0.3pc T_f.\\hskip 0.3pc \\) Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega ),\\hskip 0.3pc \\) które nie mają reprezentacji całkowej postaci ( 6 ) (tzn. nie są generowane przez funkcje lokalnie całkowalne) nazywamy dystrybucjami nieregularnymi. Przykładem dystrybucji nieregularnej jest wspomniana wyżej \\( \\hskip 0.3pc \\delta\\hskip 0.3pc \\)-Diraca.", "Dystrybucja regularna \\( \\hskip 0.3pc T_f=0\\hskip 0.3pc \\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\( \\hskip 0.3pc f=0\\hskip 0.3pc \\) prawie wszędzie (względem miary Lebesgue'a). Poniżej pokażemy ten fakt przy dodatkowym założeniu, że \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest rozwijalna w szereg Fouriera." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Mówimy, że ciąg funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_i\\}\\hskip 0.3pc \\) należących do \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) jeśli:\n(i) Istnieje zbiór zwarty \\( \\hskip 0.3pc K\\subset \\Omega\\hskip 0.3pc \\) który zawiera nośniki wszystkich funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi _i\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc i \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\);\n\n(ii) Dla dowolnego ciągu liczb \\( \\hskip 0.3pc k_1, \\ldots ,k_n\\in \\{0,1, \\ldots \\}\\hskip 0.3pc \\)\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\displaystyle\\lim\\limits_{i\\to \\infty}\\dfrac{\\partial ^{| k|}\\varphi_i}{\\partial x_1^{k_1} \\ldots \\partial x_n^{k_n}}\\hskip 0.3pc =\\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial ^{| k|}\\varphi}{\\partial x_1^{k_1} \\ldots \\partial x_n^{k_n}} \\)\n\n\t\t\t\t\t\njednostajnie w \\( \\hskip 0.3pc K,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc | k |=k_1+ \\ldots +k_n.\\hskip 0.3pc \\)" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset\\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zbiorem otwartym. Dystrybucją na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) nazywamy dowolny ciągły funkcjonał liniowy \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) określony na \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega ),\\hskip 0.3pc \\) tzn. odwzorowanie liniowe \\( \\hskip 0.3pc T:D(\\Omega)\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) takie, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_k, \\varphi \\in D(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\varphi_k \\to \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w sensie definicji 1, to \\( \\hskip 0.3pc \\langle T,\\varphi_k\\rangle \\to\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\langle T, \\varphi \\rangle\\hskip 0.3pc \\), gdzie symbol \\( \\hskip 0.3pc \\langle T,\\,\\varphi \\rangle\\hskip 0.3pc \\) oznacza wartość funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) na elemencie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi,\\hskip 0.3pc \\) tzn. \\( \\hskip 0.3pc \\langle T,\\,\\varphi \\rangle = T(\\varphi).\\hskip 0.3pc \\) " } ]

[ "Zauważmy, że jest to klasyczna zbieżność punktowa na \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\)", "Zachodzi następujące ważne twierdzenie, które przytaczamy bez dowodu." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Ciąg dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc \\{T_k\\} \\subset D^*(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) nazywa się zbieżnym do dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\), jeśli\n\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\displaystyle\\lim_{k \\to \\infty}\\langle T_k,\\varphi\\rangle = \\langle T,\\varphi \\rangle . \\)\n\n\n dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in {\\cal D}(\\Omega). \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Ciąg lokalnie całkowalnych funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{f_k\\}\\hskip 0.3pc \\) nazywa się zbieżnym dystrybucyjnie do lokalnie całkowalnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) jeśli\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\displaystyle\\lim_{k \\to \\infty}\\displaystyle\\int_{\\mathbb R}f_k(x)\\varphi (x)dx= \\displaystyle\\int_{\\mathbb R}f(x)\\varphi (x)dx. \\)\n\n\n dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc\\,\\varphi \\in {\\cal D}(\\Omega). \\)\n\n" } ]

[ "Jezeli dystrybucja jest regularna, to definicje te pokrywają się ze zwykłymi definicjami sumy funkcji i iloczynu funkcji przez liczbę. Nietrudno sprawdzić, że przy tak określonych działaniach, przestrzeń dystrybucji jest przestrzenią liniową. Z zasady przy określaniu działań na dystrybucjach żąda się, aby w przypadku dystrybucji regularnych, pokrywały się one z odpowiednimi działaniami na funkcjach. Kolejną powszechnie używaną operacją na funkcjach jest mnożenie funkcji przez funkcje. Niestety, operacji takiej nie możemy określić dla dowolnych dystrybucji. Wyjaśnia to poniższy przykład.", "Możemy natomiast określić iloczyn dystrybucji w przypadkach szczególnych. Na przykład, jeśli \\( \\hskip 0.3pc f,g:\\Omega \\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami lokalnie całkowalnymi i ich iloczyn \\( \\hskip 0.3pc fg\\hskip 0.3pc \\) jest też funkcją lokalnie całkowalną, to określa on dystrybucje", "Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\hskip 0.3pc \\) jest funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^{\\infty,}\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\varphi \\in D(\\Omega )\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega ).\\hskip 0.3pc \\) Ponadto, jeśli ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi _i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) w \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega ),\\hskip 0.3pc \\) to również ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\alpha \\varphi _i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega ).\\hskip 0.3pc \\) Zatem jeśli \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją lokalnie całkowalną na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) to z tożsamości", "wynika, że iloczyn dystrybucji regularnej \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\alpha\\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^{\\infty}\\hskip 0.3pc \\) można zdefiniować wzorem", "Oczywiście wzór ten można rozszerzyć na dowolną dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) przyjmując", "Należy odnotować, że zapis ten koliduje z oznaczeniem \\( \\hskip 0.3pc T_f\\hskip 0.3pc \\) dystrybucji generowanej przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f.\\hskip 0.3pc \\) Ponieważ jednak z kontekstu będzie zawsze jasno wynikać o jakie oznaczenie chodzi, pozostawimy tę niezgodność notacyjną.", "Przykładem translacji dystrybucji jest zdefiniowana poprzednio dystrybucja \\( \\hskip 0.3pc \\delta_{x_0}.\\hskip 0.3pc \\) Istotnie", "Podobnie, dla \\( \\hskip 0.3pc \\alpha >0\\hskip 0.3pc \\) symbolem \\( \\hskip 0.3pc T^{\\alpha} \\hskip 0.3pc \\) oznaczać będziemy dystrybucje określoną wzorem", "Zauważmy, że definicje te są całkiem naturalne. Jeśli bowiem \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją regularną generowaną przez funkcje lokalnie całkowalną \\( \\hskip 0.3pc f:\\mathbb R^n\\to \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) to", "czyli \\( \\hskip 0.3pc T_{x_0}\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(x-x_0).\\hskip 0.3pc \\) Analogicznie", "czyli \\( \\hskip 0.3pc T^{-}\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(-x).\\hskip 0.3pc \\)", "Podobnie", "czyli \\( \\hskip 0.3pc T^{\\alpha }\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(\\alpha x).\\hskip 0.3pc \\)", "Dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*( \\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) nazywamy", "\\( \\lambda\\hskip 0.3pc \\)- jednorodną, jeśli \\( \\hskip 0.3pc T^t =t^{\\lambda}T\\hskip 0.3pc \\) dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc t>0\\hskip 0.3pc \\);", "parzystą, jeśli \\( \\hskip 0.3pc T^- = T\\hskip 0.3pc \\);", "nieparzystą, jeśli \\( \\hskip 0.3pc T^- = -T\\hskip 0.3pc \\) ;", "okresową , jeśli \\( \\hskip 0.3pc T_a= T\\hskip 0.3pc \\) dla pewnego \\( \\hskip 0.3pc a\\in\\mathbb R^n.\\hskip 0.3pc \\) Element \\( \\hskip 0.3pc a\\hskip 0.3pc \\) nazywamy okresem dystrybucji.", "Aby móc wygodnie przeprowadzać rachunki, często wprowadza się formalnie zapis \\( \\hskip 0.3pc T(x).\\hskip 0.3pc \\) Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\) oznacza argument funkcji próbnej, na której działa dystrybucja \\( \\hskip 0.3pc T.\\hskip 0.3pc \\) W tej konwencji dystrybycje \\( \\hskip 0.3pc T_{x_0},\\hskip0.3pc \\) \\( T^-\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc T^{\\alpha},\\hskip0.3pc \\) przyjmują postać \\( \\hskip 0.3pc T(x-x_0)\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc T(-x)\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc T(\\alpha x)\\hskip 0.3pc \\). W szczególności dystybucja \\( \\hskip 0.3pc \\delta _{x_0}\\hskip 0.3pc \\) ma postać \\( \\hskip 0.3pc \\delta (x-x_0)\\hskip 0.3pc \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: sumy dystrybucji.", "content": "Sumę dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) określamy następująco\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle L+T,\\, \\varphi\\rangle \\,=\\,\\langle L, \\,\\varphi\\rangle + \\langle T,\\, \\varphi\\rangle,\\hskip 1pc \\varphi\\in D(\\Omega). \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: iloczynu dystrybucji przez liczbę.", "content": "Iloczyn dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) przez liczbę \\( \\hskip 0.3pc \\alpha\\hskip 0.3pc \\)określamy wzorem\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle \\alpha T,\\, \\varphi\\rangle \\,=\\, \\alpha\\langle T,\\, \\varphi\\rangle,\\hskip 1pc \\varphi\\in D(\\Omega) . \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 3: translacji dystrybucji.", "content": "Niech \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) i niech \\( \\hskip 0.3pc x_0 \\in \\mathbb R^n. \\hskip 0.3pc \\) Translację dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) o wektor \\( \\hskip 0.3pc x_0\\hskip 0.3pc \\) oznaczamy symbolem \\( \\hskip 0.3pc T_{x_0}\\hskip 0.3pc \\) i określamy wzorem\n\n\t\t\t\t\t(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle T_{x_0} ,\\varphi (x)\\rangle =\\langle T_ ,\\varphi (x+x_0)\\rangle,\\qquad\\varphi \\in D(\\mathbb R^n ). \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 4: transpozycji dystrybucji.", "content": " Transpozycję dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) oznaczamy symbolem \\( \\hskip 0.3pc T^{-}\\hskip 0.3pc \\) i określamy wzorem\n\n\t\t\t\t\t(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle T^-, \\varphi (x)\\rangle =\\langle T, \\varphi (-x)\\rangle, \\qquad\\varphi \\in D(\\mathbb R^n ). \\)\n\n" } ]

[ "Dla uproszczenia sytuacji ograniczymy się początkowo do dystrybucji określonych na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\), chociaż formalnie sytuacja jest taka sama dla dystrybucji określonych na dowolnym zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n.\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że dana jest funkcja różniczkowalne \\( \\hskip 0.3pc f:\\mathbb R \\to \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części oraz faktu, że \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (-\\infty) = \\varphi (+\\infty)=0,\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Analogicznie dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc k \\geq 1\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Wzorując się na ostatniej równości, możemy formalnie sformułować następującą definicje.", "W szczególności", "Oczywiście pochodna dystrybucyjna jest dystrybucją. Z przeprowadzonych powyżej rozważań wynika natychmiast, że jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) posiada pochodną w sensie klasycznym, to posiada również pochodną w sensie dystrybucyjnym i pochodna ta pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną. Co więcej, jeśli funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest różniczkowalna prawie wszędzie, a jej pochodna jest funkcją lokalnie całkowalną (w sensie Lebesgue'a), to pochodna dystrybucyjna pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną. Definicje \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\)-tej pochodnej dystrybucyjnej możemy sformułować dla dowolej dystrybucji, mamy mianowicie następującą definicje:", "Z własności przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc { D}(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\), wynika natychmiast, że definicja ta jest dobrze określona. Ponieważ funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) są nieskończenie wiele razy różniczkowalne, każda dystrybucja jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Widać też natychmiast, że różniczkowanie dystrybucyjne jest operacją liniową.", "Zgodnie z powyższą definicją, dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\), mamy", "i ogólnie", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc H\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją Heaviside'a to", "Zatem \\( \\hskip 0.3pc H^\\prime=\\delta\\hskip 0.3pc \\) oraz ogólnie \\( \\hskip 0.3pc H^\\prime(x-x_0)=\\delta _{x_0}.\\hskip 0.3pc \\) Wykorzystując indukcje matematyczną łatwo sprawdzić, że \\( \\hskip 0.3pc H^{(n)}=\\delta^{(n-1)}\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc H^{(n)}(x-x_0)=\\delta^{(n-1)}_{x_0}\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc n \\geq 1\\hskip 0.3pc \\).", "Pochodna dystrybucyjna posiada szereg naturalnych własności. Niektóre z nich podamy poniżej.", "Zauważmy, że własność 3 w przeciwieństwie do przypadku pochodnych klasycznych nie wymaga żadnych dodatkowych założeń (przypomnijmy, że aby granica pochodnych wyrazów ciągu była równa pochodnej granicy - w przypadku pochodnych klasycznych - ciąg funkcji oraz ciąg pochodnych muszą być jednostajnie zbieżne).", "Analogicznie można wykazać następującą uwagę:", "Zdefiniujemy teraz pochodną dystrybucyjną funkcji lokalnie całkowalnej na dowolnym zbiorze otwartym \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n.\\hskip 0.3pc \\)", "Z własności przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) oraz liniowości i ciągłości \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) wynika wynika natychmiast, że pochodna dystrybucyjna \\( \\hskip 0.3pc D^{ k}T=\\tfrac{\\partial^k T}{\\partial x_1^{k_1}\\ldots \\partial x_n^{k_n}}\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na \\( \\hskip 0.3pc D(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) czyli dystrybucją na \\( \\hskip 0.3pc \\Omega.\\hskip 0.3pc \\)", "Rozumując analogicznie nietrudno sprawdzić, że mieszane pochodne dystrybucyjne - jak zauważyliśmy poprzednio - nie zależą od kolejności różniczkowania. W zastosowaniach teorii dystrybucji własność ta jest istotna. Wyjaśnia to poniższy przykład." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Pochodną dystrybucyjną rzędu \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) z lokalnie całkowalnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f: \\mathbb R \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) oznaczamy symbolem \\( \\hskip 0.3pc f^{(k)}\\hskip 0.3pc \\) i określamy wzorem\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle f^{(k)},\\, \\varphi \\rangle\\,=\\,(-1)^k\\displaystyle\\int_{ -\\infty}^{ +\\infty}\\,f (x)\\, \\varphi^{ (k)}(x)dx . \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Pochodną rzędu \\( \\hskip 0.3pc k \\hskip 0.3pc \\) z dystrybucji\n \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) nazywamy dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T^{(k)}\\in D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) określoną wzorem\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle T^{(k)},\\varphi\\rangle =(-1)^k \\langle T,\\varphi^{(k)}\\rangle. \\)\n\n\ndla \\( \\hskip 0.3pc\\,\\varphi \\in D(\\mathbb R). \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 3:", "content": " Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) i rozważmy funkcje \\( \\hskip 0.3pc f:\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) lokalnie całkowalną na \\( \\hskip 0.3pc \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Pochodną dystrybucyjną \\( \\hskip 0.3pc D^{ k}=\\tfrac{\\partial^{|k|}}{\\partial x_1^{k_1}\\ldots \\partial x_n^{k_n}},\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc k =(k_1, \\ldots ,k_n),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc | k|=k_1+\\ldots +k_n,\\hskip 0.3pc \\) z funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) określamy wzorem\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle D^{ k} f,\\varphi\\rangle =(-1)^{| k|} \\displaystyle\\int_{\\Omega}f(x_1, \\ldots, x_n) D^{ k} \\varphi (x_1,\\ldots ,x_n)\\,dx_1 \\ldots dx_n \\)\n\n\ndla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\).\n Podobnie, jeśli \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) to pochodną dystrybucyjną \\( \\hskip 0.3pc D^{ k}\\hskip 0.3pc \\) z dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) określamy wzorem\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\big<D^{ k} T,\\varphi\\big> = (-1)^{| k|} \\big<T, D^{ k}\\varphi\\big> \\quad {\\textrm dla~ dowolnej~ funkcji} \\quad\\varphi \\in D(\\Omega). \\)\n\n" } ]

[ "Oczywiście pochodna w sensie klasycznym \\( \\hskip 0.3pc h^\\prime(t)=H(t)\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t\\neq 0.\\hskip 0.3pc \\) Korzystając z definicji pochodnej dystrybucyjnej oraz wzoru na całkowanie przez części otrzymamy", "Zatem \\( \\hskip 0.3pc T_H=T_{h^\\prime}\\hskip 0.3pc \\), co oznacza, że \\( \\hskip 0.3pc T_H\\hskip 0.3pc \\) jst dystrybucją pierwszego rzędu. Ponieważ, jak zauważyliśmy poprzednio, \\( \\hskip 0.3pc \\delta =H^\\prime=h^{\\prime\\prime},\\hskip 0.3pc \\) zatem \\( \\hskip 0.3pc \\delta \\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją 2-go rzędu. Ogólnie, \\( \\hskip 0.3pc \\delta ^{(n)}\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją rzędu \\( \\hskip 0.3pc n+2.\\hskip 0.3pc \\)", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją ciągłą, \\( \\hskip 0.3pc T_f\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją skończonego rzędu, dokładniej rzędu \\( \\hskip 0.3pc 0,\\hskip 0.3pc \\) jeśli \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją ciągłą oraz rzędu \\( \\hskip 0.3pc 1\\hskip 0.3pc \\) jeśli \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją nieciągłą." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) nazywamym dystrybucją skończonego rzędu jeśli istnieją funkcja ciągła \\( \\hskip 0.3pc g:\\mathbb R\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) oraz liczba naturalna \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) takie, że \\( \\hskip 0.3pc T=g^{(k)},\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc g^{(k)}\\hskip 0.3pc \\) oznacza pochodną dystrybucyjną rzędu \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) z funkcji \\( \\hskip 0.3pc g.\\hskip 0.3pc \\)\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*(\\Omega ),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n,\\hskip 0.3pc \\) nazywamy dystrybucją skończonego rzędu, jeśli istnieje funkcja ciągła \\( \\hskip 0.3pc g:\\Omega\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) oraz wielowskaźnik \\( \\hskip 0.3pc k=(k_1, \\ldots ,k_n)\\hskip 0.3pc \\) takie, że\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( T=\\dfrac{\\partial ^{| k|}g}{\\partial x_1^{k_1} \\ldots \\partial x_n^{k_n}}, \\)\n\n gdzie \\( \\hskip 0.3pc | k |=k_1+ \\ldots +k_n.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]

[ "Szereg zastosowń wymaga specjalnych klas dystrybucji. Szczególnie ważne są tzw. dystrybucje wolno rosnące zwane też dystrybucjami temperowanymi. Na tej klasie dystrybucji można stosunkowo prosto zdefiniować transformate Fouriera. W celu określenia dystrybucji temperowanych wprowadzimy najpierw tzw. przestrzeń funkcji szybko malejących.", "Elementy przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcjami szybko malejącymi. Przykładem funkcji szybko malejącej jest funkcja \\( \\hskip 0.3pc x\\mapsto e^{-\\|x\\|^2},\\hskip 0.3pc \\) \\( x\\in \\mathbb R^n. \\hskip 0.3pc \\) Zauważmy też, że \\( \\hskip 0.3pc D( \\mathbb R^n )\\subset S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) bowiem \\( \\hskip 0.3pc D^{ k}\\varphi (x)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc \\|x\\| \\hskip 0.3pc \\) dostatecznie dużych.", "Przestrzeń \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) posiada szereg interesujących własności. Niektóre z nich zostały przedstawione w poniższych uwagach.", "Zauważmy też, że ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_i\\} \\subset D( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ten jest również zbieżny do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) w sensie zbieżności przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n ).\\hskip 0.3pc \\) Wynika to z faktu, że wszystkie funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\varphi _i\\hskip 0.3pc \\) oraz ich pochodne są równe zeru poza pewnym zbiorem zwartym, a na tym zbiorze mamy zbieżność jednostajną na mocy definicji zbieżności w \\( \\hskip 0.3pc D( \\mathbb R^n ).\\hskip 0.3pc \\)", "Zauważmy, że każda dystrybucja temperowana jest oczywiście dystrybucją, tzn. \\( \\hskip 0.3pc S^*( \\mathbb R^n ) \\subset D^*( \\mathbb R^n ).\\hskip 0.3pc \\) Przestrzeń \\( \\hskip 0.3pc S^*( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D^*( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) co oznacza, że istnieją dystrybucje które nie są dystrybucjami temperowanymi. Na przykład", "jest dystrybucją w \\( \\hskip 0.3pc D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) ale nie jest dystrybucją temperowaną. Istotnie, funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (x)=e^{-x^2}\\hskip 0.3pc \\) jest elementem przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) a szereg", "jest rozbieżny. Zatem \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) nie jest określona na \\( \\hskip 0.3pc \\varphi, \\hskip 0.3pc \\) czyli \\( \\hskip 0.3pc T\\notin S^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\).", "Warto odnotować, że znajomość wartości dystrybucji temperowanej na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc D( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) wystarczy do wyznaczenia jej wartości na \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n ).\\hskip 0.3pc \\) Istotnie, dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\)", "gdzie ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi _i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest dany przez lemat 1. Z ostatniej obserwacji oraz liniowości dystrybucji wynika natychmiast nastepująca uwaga:" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) przestrzeń funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in C^{\\infty}( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) takich, że\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\displaystyle\\lim_{\\|x\\|\\to \\infty} \\|x\\|^m D^{ k}\\varphi (x)=0 \\)\n\ndla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc m\\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) oraz dowolnego wielowskażnika \\( \\hskip 0.3pc k=(k_1, \\ldots ,k_n ).\\hskip 0.3pc \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Mówimy, że ciąg funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi_i\\}\\hskip 0.3pc \\) należących do \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n )\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) jeśli dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc m \\in \\mathbb N\\hskip 0.3pc \\) oraz dowolnego wielowskażnika \\( \\hskip 0.3pc k=(k_1, \\ldots ,k_n ),\\hskip 0.3pc \\) ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\big\\{x\\mapsto \\|x\\|^mD^{ k}\\varphi_i(x)\\big\\}\\hskip 0.3pc \\) jest jednostajnie zbieżny w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^n \\hskip 0.3pc \\) do funkcji \\( \\hskip 0.3pc x\\mapsto \\|x\\|^mD^{ k}\\varphi (x).\\hskip 0.3pc \\)\n " }, { "name": "Definicja 3: Dystrybucja wolno rosnąca.", "content": " Dystrybucją wolno rosnącą (albo temperowaną) nazywamy dowolny ciągły funkcjonał liniowy \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) określony na \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) tzn. odwzorowanie liniowe \\( \\hskip 0.3pc T:S( \\mathbb R^n )\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) takie, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_i, \\varphi \\in S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.1pc \\varphi_i \\to \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w \\( \\hskip 0.3pc S( \\mathbb R^n ),\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\langle T,\\varphi_i\\rangle \\to\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.1pc \\langle T, \\varphi \\rangle.\\hskip 0.3pc \\) Zbiór wszystkich dystrybucji temperowanych bedziemy oznaczać symbolem \\( \\hskip 0.3pc S^*( \\mathbb R^n ).\\hskip 0.3pc \\)\n " } ]

[ "W analizie klasycznej funkcją pierwotną (albo całką nieoznaczoną) z funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcje \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) taką, że \\( \\hskip 0.3pc F^\\prime =f.\\hskip 0.3pc \\) Funkcje dla których istnieje funkcja pierwotna nazywamy funkcjami całkowalnymi. Należą do nich na przykład wszystkie funkcje ciągłe. Okazuje się, że pojęcie funkcji pierwotnej może być rozszerzone na dystrybucje. Mianowicie pokażemy, że każda dystrybucja na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) posiada pierwotną, która jest również dystrybucją na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) Dystrybucja pierwotna, podobnie jak całka nieoznaczona, jest określona z dokładnością do stałej, tzn. dowolne dwie pierwotne tej samej dystrybucji różnią się o stałą i jeśli dwie dystrybucje różnią się o stałą to są pierwotnymi tej samej dystrybucji. Ponieważ pierwotna jest typem operacji odwrotnej do różniczkowania, nasuwa się natychmiast pomysł aby dystrybucje pierwotną \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) z dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) określić następująco:", "Niestety, wzór ( 1 ) określa funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) tylko na podzbiorze \\( \\hskip 0.3pc D_1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D^*({\\mathbb R}),\\hskip 0.3pc \\) gdzie", "Nietrudno sprawdzić, że \\( \\hskip 0.3pc D_1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) tzn. istnieją \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) takie, że \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\notin D_1(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Na przykład funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) dana wzorem", "nie należy do \\( \\hskip 0.3pc D_1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\). Warunek (1) możemy zapisać w postaci równoważnej", "gdzie", "Zauważmy, że jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D_1(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\psi_{\\varphi} \\in D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Z postaci wzoru ( 1 ) wynika natychmiast, że \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na \\( \\hskip 0.3pc D_1(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Aby otrzymać rozsądną definicje pierwotnej, należy tak określony funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) na \\( \\hskip 0.3pc D_1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) rozszerzyć na calą przestrzeń \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Okazuje się, że nie ma jednoznacznego sposobu rozszerzenia, co wynika z faktu, że jest wiele pierwotnych dla danej dystrybucji. Aby uzyskać przedłużenie funkcjonału ( 2 ) posłużymy się następującym lematem.", "Zauważmy najpierw, że \\( \\hskip 0.3pc \\langle F,\\varphi_0\\rangle \\hskip 0.3pc \\) nie zależy od \\( \\hskip 0.3pc \\varphi,\\hskip 0.3pc \\) czyli jest stałą, która zależy od wyboru \\( \\hskip 0.3pc \\varphi _0\\hskip 0.3pc \\) i może przyjmować dowolnie wartości. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D_1(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =0,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\varphi =\\chi,\\hskip 0.3pc \\) czyli \\( \\hskip 0.3pc \\psi ^\\prime =\\varphi \\hskip 0.3pc \\) i w konsekwencji równość ( 9 ) przyjmie postać", "a zatem pokrywa się z równością ( 1 ).", "Należy sprawdzić, że definicja 1 jest poprawna, tzn. że \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) a pochodna z \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\)jest równa \\( \\hskip 0.3pc f.\\hskip 0.3pc \\)", "Pokażemy najpierw, że \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem liniowym na \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.1pc \\varphi_2 \\in D(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\alpha_1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\alpha_2 \\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) Zgodnie z lematem 1", "gdzie funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_0 \\in D(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) jest ustalona, a \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\lambda_2,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\chi_1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\chi_2\\hskip 0.3pc \\) są dobrane zgodnie z lematem 1. Ponadto niech \\( \\hskip 0.3pc \\psi_1\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi_2\\hskip 0.3pc \\) odpowiadają funkcjom \\( \\hskip 0.3pc \\chi_1\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\chi_2\\hskip 0.3pc \\) zgodnie z wzorem ( 6 ). Niech \\( \\hskip 0.3pc \\varphi =\\alpha _1\\varphi _1+\\alpha _2\\varphi _2,\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc \\lambda ,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\chi \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\psi \\hskip 0.3pc \\) są dobrane do \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\hskip 0.3pc \\) zgodnie z lematem 1. Nietrudno sprawdzić, że", "Zgodnie z ( 9 ), mamy", "Z kolei pokażemy, że \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem ciągłym na \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi _i\\} \\subset D(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\varphi _i\\to 0\\hskip 0.3pc \\) w \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Zgodnie z lematem 1", "gdzie", "Ponieważ ciąg liczb \\( \\hskip 0.3pc \\{\\lambda_i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do zera, również ciąg funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\{\\chi_i\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do zera w \\( \\hskip 0.3pc D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) W konsekwencji ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\psi_i\\},\\hskip 0.3pc \\) gdzie", "Z równości", "wynika, że ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\langle F,\\,\\varphi_i\\rangle\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do zera. Na mocy uwagi 2 z modułu \"Wprowadzenie do teorii dystrybucji\" wnosimy, że \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem ciągłym, co należało wykazać. Pozostaje sprawdzić, że \\( \\hskip 0.3pc F^\\prime=f.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\mathbb R).\\hskip 0.3pc \\) Na mocy definicji 2 z modułu \"Pochodna w sensie dystrybucyjnym\" oraz równości ( 1 ) mamy", "co kończy dowód." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Pierwotną z dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc f\\in D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) nazywamy dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc F\\in D^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) określoną wzorem\n\n\n(9)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle F,\\,\\varphi \\rangle \\hskip 0.1pc =\\, \\lambda\\langle F,\\,\\varphi_0\\rangle -\\langle f,\\,\\psi\\rangle \\quad{\\rm dla}\\quad \\varphi \\in D(\\mathbb R), \\)\n\ngdzie funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\varphi_0 \\in D(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) jest ustalona, \\( \\hskip 0.3pc \\lambda\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.1pc \\chi\\hskip 0.3pc \\) są wzięte zgodnie z lematem 1, zaś funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\psi\\hskip 0.3pc \\) jest dana wzorem ( 6 ).\n\n" } ]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zadanym zbiorem otwartym, a \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\) liczbą naturalną. Dla \\( \\hskip 0.3pc 1\\leq p <\\infty\\hskip 0.3pc \\) oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc W^{m,p}(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) przestrzeń wszystkich funkcji \\( \\hskip 0.3pc u:\\Omega \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) lokalnie całkowalnych i takich, że dla dowolnego wielowkaźnika \\( \\hskip 0.3pc k=(k_1, \\ldots ,k_n)\\hskip 0.3pc \\) takiego, że \\( \\hskip 0.3pc | k|= k_1+\\ldots +k_n \\leq m,\\hskip 0.3pc \\) pochodna \\( \\hskip 0.3pc D^{ k}u\\hskip 0.3pc \\) istnieje (w sensie dystrybucyjnym ) i należy do przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc L^p(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Dla \\( \\hskip 0.3pc u\\in W^{m,p}(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "0kazuje się, że tak określona wielkość \\( \\hskip 0.3pc \\|\\cdot \\|_{{m,p}}\\hskip 0.3pc \\) jest normą, a przestrzeń \\( \\hskip 0.3pc W^{m,p}(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) wyposażona w tę normę jest przestrzenią Banacha. Szczególnie interesujący jest przypadek \\( \\hskip 0.3pc p=2.\\hskip 0.3pc \\) Przestrzeń", "jest przestrzenią Hilberta. Zauważmy, że \\( \\hskip 0.3pc H^0\\supset H^1\\supset H^2\\supset \\ldots. \\hskip 0.3pc \\) Przestrzenie te odgrywają w teorii równań różniczkowych szczególną rolę. Zauważmy jeszcze, że zbieżność ciągu \\( \\hskip 0.3pc \\{u_i\\}\\hskip 0.3pc \\) do funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) w \\( \\hskip 0.3pc H^1\\hskip 0.3pc \\) oznacza, że:", "Zbieżność w \\( \\hskip 0.3pc H^2\\hskip 0.3pc \\) oznacza, że funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne są zbieżne w normie przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc L^2.\\hskip 0.3pc \\)", "Rozważmy równanie Poissona", "Przyjmując, że \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją, możemy rozwiązania tego równania szukać w zbiorze dystrybucji. Otrzymamy wówczas tzw. rozwiązania dystrybucyjne. Możemy też podejść do tego problemu nieco delikatniej, wprowadzając tzw. rozwiązania uogólnione ( słabe).", "Niech \\( \\hskip 0.3pc f \\in C(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^2(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem klasycznym równania ( 1 ), a \\( \\hskip 0.3pc \\upsilon\\hskip 0.3pc \\) oznacza unormowany wektor normalny do \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) zgodnie z wzorem 6 z modułu \"Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena\" mamy", "(skorzystaliśmy tutaj z faktu, że \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (x)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc x\\in \\partial\\Omega.\\hskip 0.3pc \\)) Stąd i ( 1 ) otrzymamy", "Równość ( 2 ) zachodzi dla każdego rozwiązania \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) równania (1). Co więcej, ma ona również sens nawet wówczas, gdy \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) nie jest rozwiązaniem klasycznym, np. nie posiada pochodnych drugiego rzędu w sensie klasycznym. Równość ta sugeruje następującą definicje :", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^2(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem słabym, przy czym \\( \\hskip 0.3pc f\\in C(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) to można pokazać - wykorzystując wzory Greena - że \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest także rozwiązaniem równania ( 1 ) w sensie klasycznym. Na zakończenie chcemy zwrócić uwagę, że naszkicowana powyżej idea rozwiązań słabych we współczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych została szeroko wykorzystana i rozbudowana." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Niech \\( \\hskip 0.3pc u\\in H^1(\\Omega),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc f\\in C(\\Omega).\\hskip 0.3pc \\) Jeśli dla każdej funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in D(\\Omega)\\hskip 0.3pc \\) zachodzi równość ( 2 ), to mówimy, że \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem uogólnionym (lub słabym) równania ( 1 ).\n " } ]

[ "Moduł ten rozpoczniemy od następującego lematu technicznego, który wykorzystamy w następnym przykładzie." ]

[]

[ "W module \"Równanie Poissona\" rozwiązanie równania Poissona wyraziliśmy w postaci całki z iloczynu rozwiązania podstawowego równania Laplace'a przez prawą stronę równania Poissona, a rozwiązanie problemu początkowego dla równania ciepła jako całkę z iloczynu rozwiązania podstawowego równania ciepła przez funkcje określającą rozkład początkowy temperatury. Innymi słowami, rozwiązanie rozważanego problemu wyraziliśmy za pomocą rozwiązania podstawowego oraz prawej strony równania lub warunków początkowych. W niniejszym module rozwiniemy te idee, wykorzystując w miejsce rozwiązania podstawowego, tzw. funkcje Greena. Trudność tej metody wynika z faktu, że dla każdego typu problemu należy indywidualnie wyznaczyć funkcje Greena. Natomiast korzyść polega na tym, że po znalezieniu funkcji Greena otrzymamy formułę, która podaje wartości rozwiązania w zależności od zadanych wartości początkowych czy brzegowych.", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie zadanym obszarem o gładkim brzegu. Rozważmy problem:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) są zadanymi funkcjami odpowiednio na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem tego problemu. Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Phi\\hskip 0.3pc \\) będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a, danym wzorem", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\alpha (n) \\hskip 0.3pc \\) oznacza objętość kuli jednostkowej w \\( \\hskip 0.3pc\\mathbb R^n. \\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc x\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) i niech \\( \\hskip 0.3pc \\varepsilon >0\\hskip 0.3pc \\) będzie tak dobraną liczbą, aby \\( \\hskip 0.3pc B(x, \\varepsilon )\\subset \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Połóżmy \\( \\hskip 0.3pc \\Omega_{\\epsilon}= \\Omega \\setminus \\overline B(x,\\varepsilon).\\hskip 0.3pc \\) Stosując wzór 7 z modułu \"Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena\" na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega_{\\varepsilon}\\hskip 0.3pc \\) do funkcji \\( \\hskip 0.3pc y \\mapsto u(y)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y \\mapsto \\Phi (y-x)\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc y\\hskip 0.3pc \\) oznacza punkt bieżący, symbol \\( \\hskip 0.3pc \\Delta\\hskip 0.3pc \\) - laplasjan względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc y,\\hskip 0.3pc \\) \\( dS\\hskip 0.3pc \\) - element powierzchniowy względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc y,\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc \\nu\\hskip 0.3pc \\) - unormowany wektor normalny do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega_{\\varepsilon}.\\hskip 0.3pc \\)", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\Delta\\Phi(y-x)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc y \\in \\Omega_ {\\varepsilon},\\hskip 0.3pc \\) ostatni wzór możemy zapisać w postaci", "Zauważmy, że wektor normalny do powierzchni \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega_{\\epsilon }\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc y\\in \\partial B(x,\\varepsilon)\\hskip 0.3pc \\) wyraża się wzorem", "Rozważmy przypadek \\( \\hskip 0.3pc n\\geq 3\\hskip 0.3pc \\) (analogiczny rachunek dla \\( \\hskip 0.3pc n=2\\hskip 0.3pc \\) pozostawiamy Czytelnikowi). Różniczkując funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\Phi (y-x)\\hskip 0.3pc \\) względem \\( \\hskip 0.3pc \\nu\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc y\\in \\partial B(x,\\varepsilon)\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Korzystając z ostatniej równości a następnie z faktu, że wartość \\( \\hskip 0.3pc n\\alpha (n)\\varepsilon^{n-1}\\hskip 0.3pc \\) jest równa powierzchni sfery \\( \\hskip 0.3pc \\partial B(x,\\varepsilon )\\hskip 0.3pc \\) oraz z własności wartości średniej, otrzymamy", "Nietrudno też sprawdzić, że", "oraz", "W konsekwencji, przechodząc z \\( \\hskip 0.3pc \\varepsilon\\hskip 0.3pc \\) do zera we wzorze ( 3 ) otrzymamy", "Zauważmy, że wzór ( 4 ) pozwala wyznaczyć szukaną funkcje \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jeśli znamy wartości \\( \\hskip 0.3pc \\Delta u\\hskip 0.3pc \\) na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) oraz wartości \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial u}{\\partial \\nu}\\hskip 0.3pc \\) na brzegu \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\) zbioru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Niestety, w rozważanym przypadku wartości pochodnej \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial u}{\\partial \\nu}\\hskip 0.3pc \\) na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\) nie znamy. Wprowadzimy teraz pewną korektę tak, aby wyeliminować nieznaną wartość \\( \\hskip 0.3pc \\dfrac{\\partial u}{\\partial \\nu}.\\hskip 0.3pc \\) W tym celu rozważamy problem pomocniczy", "Stosując ponownie wzór 7 z modułu \"Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena\" do funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\Psi\\hskip 0.3pc \\) w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\), gdzie \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem problemu ( 1 ), ( 2 ), a \\( \\hskip 0.3pc \\Psi\\hskip 0.3pc \\) rozwiązaniem problemu pomocniczego ( 5 ), ( 6 ). Otrzymamy", "Połóżmy", "Tak zdefiniowaną funkcje \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) będziemy nazywać funkcją Greena dla problemu ( 1 ), ( 2 ). Sumując równości ( 4 ), ( 7 ) i uwzględniając zależność ( 6 ), dostajemy", "Zauważmy, że po wyznaczeniu funkcji \\( \\hskip 0.3pc G\\hskip 0.3pc \\) wartości wszystkich funkcji występujących po prawej stronie ostatniego wzoru są znane, a szukane rozwiązanie możemy zapisać w postaci", "Oczywiście w obu całkach zmienną całkowania jest \\( \\hskip 0.3pc y\\hskip 0.3pc \\). Wzór ten określa rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) w zależności od zadanych funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc g.\\hskip 0.3pc \\) Warto podkreślić, że funkcja Greena jest określona dla operatora Laplace'a oraz zbioru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) nie zależy natomiast od funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc g.\\hskip 0.3pc \\)", "Zgodnie z przykładem 1 oraz wzorem na rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a funkcja Greena ma postać", "a rozwiązanie, zgodnie z wzorem ( 11 ), postać", "Zastosowana w powyższych przykładach metoda wyznaczania funkcji Greena nosi nazwę metody punktów symetrycznych." ]

[]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\subset \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\) i niech \\( \\hskip 0.3pc u:\\Omega\\times (0,+\\infty )\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją posiadającą pochodne drugiego rzędu względem zmiennych \\( \\hskip 0.3pc x_1, \\ldots ,x_n.\\hskip 0.3pc \\) Rozważmy operator", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc q\\hskip 0.3pc \\) są zadanymi funkcjami określonymi na zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc \\nabla =\\big(\\tfrac {\\partial}{\\partial x_1}, \\ldots ,\\tfrac {\\partial}{\\partial x_n}\\big)\\hskip 0.3pc \\) jest operatorem Nabla. Zauważmy, że w definicji operatora \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) występuje tylko różniczkowanie względem zmiennych przestrzennych \\( \\hskip 0.3pc x_1, \\ldots ,x_n\\hskip 0.3pc \\)." ]

[]

[ "Przypomnijmy, że punkt \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in\\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\) możemy identyfikować z liczbą zespoloną \\( \\hskip 0.3pc z=x+iy\\hskip 0.3pc \\) i na odwrót. W konsekwencji zbiór \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\) możemy utożsamiać z odpowiadającym mu zbiorem liczb zespolonych. Ponieważ nie prowadzi to do nieporozumień, w dalszym ciągu zbiory te będziemy oznaczać tym samym symbolem.", "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\subset \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) będzie ograniczonym obszarem o gładkim brzegu \\( \\hskip 0.3pc \\partial\\Omega.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc w\\hskip 0.3pc \\) będzie konforemnym odwzorowaniem obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) w kulę \\( \\hskip 0.3pc |z|<1.\\hskip 0.3pc \\) Dla \\( \\hskip 0.3pc z_0\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "Nietrudno sprawdzić, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc f(\\,\\cdot\\,;z_0)\\hskip 0.3pc \\) odwzorowuje konforemnie obszar \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) w kulę \\( \\hskip 0.3pc |z|<1,\\hskip 0.3pc \\) przy czym \\( \\hskip 0.3pc f(z_0;z_0)=0.\\hskip 0.3pc \\) Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc f'(z;z_0)\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc z\\in \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) zatem", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (\\,\\cdot;z_0)\\hskip 0.3pc \\) jet funkcją analityczną w \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.1pc \\), \\( \\hskip 0.3pc \\varphi (z_0;z_0)=0\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.1pc \\varphi '(z;z_0)\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc z\\in \\Omega.\\hskip 0.3pc \\)", "Korzystając z wymienionych własności odwzorowań konforemnych pokażemy, że funkcje Greena dla operatora Laplace'a w obszarze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb R^2\\hskip 0.3pc \\) można wyrazić wzorem", "W tym celu wystarczy sprawdzić, że funkcja ta spełnia warunki (i) i (ii) uwagi 1 z modułu \"Funkcja Greena dla równania ciepła\". Istotnie, zgodnie z wzorem ( 2 )", "Oczywiście pierwsza z funkcji po prawej stronie ostatniego wzoru jest harmoniczna dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\neq (x_0,y_0).\\hskip 0.3pc \\) Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\ln |\\varphi (z;z_0)|={\\rm Re}\\ln \\varphi (z;z_0),\\hskip 0.3pc \\) również funkcja \\( \\hskip 0.3pc \\ln |\\varphi (\\cdot ;z_0)|\\hskip 0.3pc \\) jest harmoniczna, jako część rzeczywista funkcji analitycznej \\( \\hskip 0.3pc \\ln \\varphi (\\,\\cdot \\,;z_0).\\hskip 0.3pc \\) Z tych samych powodów funkcja ta jest harmoniczna względem zmiennych \\( \\hskip 0.3pc (x_0,y_0)\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x_0,y_0)\\neq (x,y).\\hskip 0.3pc \\) Oznacza to, że warunek (i) jest spełniony. Ponieważ dla \\( \\hskip 0.3pc z\\in \\partial \\Omega,\\hskip0.1pc \\) \\( \\hskip 0.3pc |f(z;z_0)|=1,\\hskip 0.3pc \\) zachodzi również warunek (ii)." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nFunkcje \\( \\hskip 0.3pc f:\\Omega \\to \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc \\Omega \\subset \\mathbb C,\\hskip 0.3pc \\) nazywamy odwzorowaniem konforemnym, jeśli odwzorowanie to zachowuje kąty, tzn. jeśli \\( \\hskip 0.3pc t\\mapsto w_1(t),\\hskip 0.1pc \\) \\( \\hskip 0.3pc t\\mapsto w_2(t),\\hskip 0.1pc \\) \\( \\hskip 0.3pc t\\in [t_0,t_1],\\hskip 0.3pc \\) są dwoma krzywymi regularnymi wychodzącymi z punktu \\( \\hskip 0.3pc z\\in\\Omega,\\hskip 0.3pc \\) to kąt między tymi krzywymi w punkcie \\( \\hskip 0.3pc z\\hskip 0.3pc \\) pokrywa się z kątem między krzywymi \\( \\hskip 0.3pc t\\mapsto f(w_1(t)),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc t\\mapsto f(w_2(t))\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc f(z).\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]

[ "Aby lepiej wyjaśnić idee rozwiązywania równań metodą funkcji Greena omówimy jeszcze kilka przykładów." ]

[]

[ "Przyjmujemy oznaczenie \\( \\hskip 0.3pc F= {\\cal L}(f).\\hskip 0.3pc \\) Aby móc zapisać operacje na argumencie funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) będziemy też stosować zapis \\( \\hskip 0.3pc {\\cal L}(f(t)).\\hskip 0.3pc \\) Funkcje \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) nazywamy oryginałem, a funkcje \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) transformatą funkcji \\( \\hskip 0.3pc f.\\hskip0.3pc \\)", "Połóżmy", "Wówczas dla \\( \\hskip 0.3pc x>\\alpha _0\\hskip 0.3pc \\) ( \\( \\hskip 0.3pc x=\\hskip 0.3pc \\) Re \\( \\,z\\hskip 0.3pc \\)) całka", "jest zbieżna, a dla \\( \\hskip 0.3pc x<\\alpha _0\\hskip 0.3pc \\) rozbieżna. Oznacza to, że transformata Laplace'a z funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest określona w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\{z\\in \\mathbb C:{\\rm Re}\\,z>\\alpha _0\\}.\\hskip 0.3pc \\) W poniższych przykładach 1 i 3 transformatę Laplace'a rozpatrujemy w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\{z\\in\\mathbb C: \\textrm{Re}\\,z>0\\},\\hskip 0.3pc \\) a w przykładzie 2 w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\{z\\in\\mathbb C: \\textrm{Re}\\,z>\\alpha\\}.\\hskip 0.3pc \\)", "W szczególności", "Podobnie możemy pokazać, że" ]

[ { "name": "Definicja 1: Transformaty Laplace'a.", "content": " Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji \\( \\hskip 0.3pc f:(0,+\\infty ) \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcje zmiennej zespolonej \\( \\hskip 0.3pc F:\\mathbb C\\to\\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) określoną wzorem\n\n\t\t\t\t\t(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( F(z)=\\displaystyle\\int_0^{+\\infty}e^{-zt}f(t)\\,dt. \\)\n\n Symbol \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) oznacza zbiór liczb zespolonych, tzn. \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb C=\\{z\\, :\\, z = x+iy,\\,x,y\\in \\mathbb R \\},\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc i\\hskip 0.3pc \\) oznacza jednostkę urojoną.\n\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "Dla danych funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\,g :[0,+\\infty )\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) całkowalnych, splot funkcji \\( \\hskip 0.3pc f*g\\hskip 0.3pc \\) określony jest wzorem\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( (f*g)(t)=\\displaystyle\\int_0^tf(t-s)g(s)ds=\\displaystyle\\int_0^tf(s)g(t-s)ds. \\)\n\n" } ]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc f:[0,+\\infty )\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją całkowalną taką, że \\( \\hskip 0.3pc |f(x)|\\leq Me^{\\alpha x}.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc a>0.\\hskip 0.3pc \\) Można pokazać, że", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest transformatą Laplacea funkcji \\( \\hskip 0.3pc f.\\hskip 0.3pc \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1: Transformaty odwrotnej.", "content": " Przekształcenie odwrotne \\( \\hskip 0.3pc {\\cal L}^{-1}\\hskip 0.3pc \\) do \\( \\hskip 0.3pc {\\cal L}\\hskip 0.3pc \\) dane jest wzorem\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\cal L}^{-1}(F)= \\dfrac 1{2\\pi i}\\displaystyle\\int_{a-i\\infty}^{a+i\\infty}F(z)e^{zx}dz=\\dfrac 1{2\\pi i}\\displaystyle\\lim_{b\\to \\infty}\\displaystyle\\int_{a-ib}^{a+ib}F(z)e^{zx}dz. \\)\n\nZauważmy, że przekształcenie odwrotne jest liniowe.\n\n" } ]

[ "Transformate Laplace'a określimy tylko dla pewnego podzbioru zbioru wszystkich dystrybucji. Mianowicie, oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc D_0^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) zbiór dystrybucji skończonego rzędu takich, że \\( \\hskip 0.3pc T\\in D_0^*(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja ciągła \\( \\hskip 0.3pc g:\\mathbb R\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) taka, że \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) jest pochodną dystrybucyjną skończonego rzędu z funkcji \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) (tzn. \\( \\hskip 0.3pc T=g^{(k)})\\hskip 0.3pc \\) a ponadto:", "\\( 1^0.\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc g(t)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t<0;\\hskip 0.3pc \\)", "\\( 2^0.\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) posiada transformatę Laplace'a.", "Wyznaczmy teraz ponownie (zob. przykład 7 z modułu \"Podstawowe własności transformaty Laplace'a\" ) transformatę Laplace'a z dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc \\delta\\hskip 0.3pc \\) korzystając z definicji 1. Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\delta\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją 2-go rzędu \\( \\hskip 0.3pc \\delta =h^{\\prime\\prime},\\hskip 0.3pc \\) gdzie", "więc zgodnie z definicją 1 mamy", "oraz", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\delta^{(n)}=h^{(n+2)}\\hskip 0.3pc \\) zgodnie z definicją 1 mamy", "oraz", "Podobnie, ponieważ \\( \\hskip 0.3pc H(t-t_0)=h^\\prime(t-t_0),\\hskip 0.3pc \\) mamy", "Zauważmy też, iż po sprawdzeniu, że zależność 5 z modułu \"Podstawowe własności transformaty Laplace'a\" zachodzi dla pochodnych dystrybucyjnych, mamy następujący prosty rachunek", "Z ostatniej równości wynika natychmiast znana zależność", "Podobnie możemy pokazać, że" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Dla dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\in D^*_0(\\mathbb R ),\\hskip 0.3pc \\) określamy transformatę Laplace'a wzorem\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\cal L}(T)(z)=z^k{\\cal L}(g(t))(z), \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją ciągłą taką, że \\( \\hskip 0.3pc T=g^{(k)},\\hskip 0.3pc \\) a ponadto \\( \\hskip 0.3pc g(t)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t<0.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]

[ "W poniższym przykładzie pokażemy jak postępować gdy warunek początkowy jest w punkcie \\( \\hskip 0.3pc t_0\\neq 0. \\hskip 0.3pc \\)" ]

[]

[ "W module tym omówimy zastosowanie przekształcenia Laplace'a w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Niech \\( \\hskip 0.3pc u=u(x,t)\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją taką, że \\( \\hskip 0.3pc u(x,t)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t<0\\hskip 0.3pc \\). Transformatę Laplace'a funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) względem zmiennej \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\) określamy wzorem", "Powyższa transformacja zależna jest od parametru \\( \\hskip 0.3pc x.\\hskip 0.3pc \\) Ze względów praktycznych przyjmiemy oznaczenie", "Zobaczymy teraz, że transformacja ta może być użyteczna przy rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych." ]

[]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc f:\\mathbb R \\to \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją taką, że \\( \\hskip 0.3pc |f| \\hskip 0.3pc \\) jest całkowalna na \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) tzn. \\( \\hskip 0.3pc f\\in L^1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) (Czytelnik nieobeznany z funkcjami o wartościach zespolonych może przyjąć, że \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, czyli \\( \\hskip 0.3pc f:\\mathbb R \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\)).", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\big|e^{ixy}\\big|=\\big|e^{-ixy}\\big|=1,\\hskip 0.3pc \\) przekształcenia ( 1 ) i ( 2 ) są dobrze określone dla dowolnych całkowalnych funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc \\hat f.\\hskip 0.3pc \\) Należy zaznaczyć, że używanie terminu transformacja odwrotna jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem nie każda tranformata funkcji z \\( \\hskip 0.3pc L^1(\\mathbb R)\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją całkowalną, nie dla każdej więc transformaty jest określone przekształcenie ( 2 ) . Formalnie, aby móc mówić o przekształceniu odwrotnym, należałoby przekztałcenie \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) zawęzić do podzbioru na którym jest odwracalne.", "Korzystając ze wzoru Eulera", "przekształcenie ( 1 ), w przypadku gdy \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, możemy zapisać w postaci równoważnej", "Przedstawimy teraz podstawowe własności transformaty Fouriera.", "Załóżmy, że transformata Fouriera z rozważanych funkcji istnieje. Zgodnie z przyjętą powyżej konwencją niech \\( \\hskip 0.3pc \\hat f\\hskip 0.3pc \\) oznacza transformatę Fouriera funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) tzn. \\( \\hskip 0.3pc \\hat f={\\cal F}(f).\\hskip 0.3pc \\) Podobnie, jak w przypadku przekształcenia Laplace'a, aby móc zapisac operacje na argumentach funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) będziemy używać zapisu \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}(f(x))\\hskip 0.3pc \\) w miejsce \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}(f).\\hskip 0.3pc \\) Wymienimy teraz podstawowe własności przekształcenia Fouriera. Dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do przypadku \\( \\hskip 0.3pc n=1,\\hskip 0.3pc \\) pozostawiając Czytelnikowi sformułowanie i dowód tych własności dla \\( \\hskip 0.3pc n\\geq 2\\hskip 0.3pc \\) (Formalnie rozważania są identyczne)." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Dla danej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\in L^1(\\mathbb R),\\hskip 0.3pc \\) funkcje \\( \\hskip 0.3pc \\hat{f}:\\mathbb R \\to \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) daną wzorem\n\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\hat f(y)= \\dfrac 1{\\sqrt{2\\pi}}\\displaystyle\\int_{\\mathbb R}e^{-xyi}f(x)dx \\)\n\nnazywamy transformatą Fouriera funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) i oznaczamy symbolem \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}(f).\\hskip 0.3pc \\) Odwzorowanie \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) przyporządkujące funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jej transformatę nazywamy przekształceniem (transformacją) Fouriera.\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Dla funkcji \\( \\hskip 0.3pc f: \\mathbb R^n \\to \\mathbb C\\hskip 0.3pc \\) ( w szczególności \\( \\hskip 0.3pc f: \\mathbb R^n \\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\)) transformatę Fouriera oraz transformatę odwrotną do transformaty Fouriera określamy wzorami:\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\hat f(y_1,\\ldots ,y_n)= \\dfrac 1{(\\sqrt{2\\pi})^n}\\displaystyle\\int_{\\mathbb R^n}e^{-x\\cdot y\\,i}f(x_1,\\ldots ,x_n)dx_1\\ldots dx_n \\)\n\noraz\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( f(x_1,\\ldots ,x_n)= \\dfrac 1{(\\sqrt{2\\pi})^n}\\displaystyle\\int_{\\mathbb R^n}e^{x\\cdot y\\,i}\\hat f(y_1,\\ldots ,y_n)dy_1 \\ldots dy_n, \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc x\\cdot y= x_1y_1+\\ldots +x_ny_n.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]

[ "Przed przystąpieniem do wyznaczenia transformacji Fouriera konkretnych funkcji, przypomnimy niektóre wzory całkowe. Zauważmy najpierw, że ze wzoru Eulera", "wynikają natychmiast następujące przedstawienia funkcji trygonometrycznych:", "Korzystając ze wzoru Cauchy'ego na obliczanie całek za pomocą rachunku reziduów", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc z_j\\hskip 0.3pc \\) są biegunami funkcji \\( \\hskip 0.3pc f,\\hskip 0.3pc \\) a symbol Res \\( \\hskip 0.1pc (f,z_j)\\hskip 0.3pc \\) oznacza wartość reziduum funkcji \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc z_j,\\hskip 0.3pc \\) nietrudno pokazać, że", "Istotnie, rozważmy funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(z)=e^{i\\alpha z}/z.\\hskip 0.3pc \\) Funkcja ta posiada dokładnie jeden biegun w punkcie \\( \\hskip 0.3pc z=0,\\hskip 0.3pc \\) a Res \\( \\, (f, \\,0)=1.\\hskip 0.3pc \\) Przyjmijmy najpierw, że \\( \\hskip 0.3pc \\alpha >0.\\hskip 0.3pc \\) Zgodnie ze wzorem ( 2 )", "Załóżmy teraz, że \\( \\hskip 0.3pc \\alpha <0.\\hskip 0.3pc \\) Stosując podstawienie \\( \\hskip 0.3pc t=-x\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Oczywiście dla \\( \\hskip 0.3pc \\alpha =0\\hskip 0.3pc \\) całka jest równa zeru (przypomnijmy, że przez całkę rozumiemy tu tzw. wartość główną całki). Zatem wzór ( 3 ) został pokazany.", "Z zależności ( 1 ), ( 2 ) i ( 3 ) wynika natychmiast, że", "Pokażemy jeszcze, że", "Istotnie, rozważmy funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(z)=e^{i\\alpha z}/(1+z^2)\\hskip 0.3pc \\). Funkcja ta posiada dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach \\( \\hskip 0.3pc z=-i\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc z=i.\\hskip 0.3pc \\) Łatwo sprawdzić, że \\( \\hskip 0.3pc {\\rm Res}(f,i)=e^{-\\alpha }/2i.\\hskip 0.3pc \\) Załóżmy najpierw, że \\( \\hskip 0.3pc \\alpha >0.\\hskip 0.3pc \\) Zgodnie z wzorem ( 2 )", "Podobnie jak poprzednio można sprawdzić, że dla \\( \\hskip 0.3pc \\alpha <0\\hskip 0.3pc \\)", "Ponieważ dla \\( \\hskip 0.3pc \\alpha =0\\hskip 0.3pc \\) równość ( 5 ) jest oczywista, dowód został zakończony.", "Analogicznie można pokazać, że" ]

[]

[ "Rozważania o podstawowych własnościach przekształcenia Fouriera zakończymy twierdzeniem dotyczącym istnienia przekształcenia odwrotnego. W tym celu jest nam potrzebny natępujący lemat." ]

[]

[ "W module policzyliśmy transformacje Fouriera z \\( \\hskip 0.3pc \\delta\\hskip 0.3pc \\) wykorzystując własność całkową dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc \\delta,\\hskip 0.3pc \\) chociaż wcześniej przekstałcenie Fouriera dla dystrybucji nie zostało zdefiniowane. Aby poprawnie sformułować uzyskane tam rezultaty, w niniejszym paragrafie podamy definicje przekształcenia Fouriera na zbiorze dystrybucji wolno rosnących. Przypomnijmy, że \\( \\hskip 0.3pc \\delta \\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją wolno rosnącą. W celu zapoznania się z dalszymi uogólnieniami przekształcenia Fouriera dla dystrybucji, w szczególności z definicją przekształcenia Fouriera dla dowolnych dystrybucji z \\( \\hskip 0.3pc D^*(\\mathbb R^n),\\hskip 0.3pc \\) odsyłamy Czytelnika do opracowań monograficznych.", "Niech \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) oznacza przestrzeń funkcji szybko malejących (zob. definicja 1 z modułu Dystrybucje wolno rosnące-1 ). Pokażemy, że transformacja Fouriera przeprowadza przestrzeń \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) w siebie, ponadto jest przekształceniem ciągłym, tzn. jeśli ciąg elementów \\( \\hskip 0.3pc \\{\\varphi _k\\}\\hskip 0.3pc \\) z przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do elementu \\( \\hskip 0.3pc \\varphi \\in S(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\) w sensie zbieżności w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R^n)\\hskip 0.3pc \\), to ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{\\hat{\\varphi} _k\\}\\hskip 0.3pc \\) jest zbieżny do \\( \\hskip 0.3pc \\hat{\\varphi}\\hskip 0.3pc \\) w sensie tej samej zbieżności.", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją regularną, tzn. \\( \\hskip 0.3pc T=T_f,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją całkowalną, to", "Wynika stąd, że \\( \\hskip 0.3pc \\hat T_f=T_{\\hat f},\\hskip 0.3pc \\) co oznacza, że przekształcenie Fouriera na zbiorze regularnych dystrybucji temperowanych pokrywa się z klasycznym przekształceniem Fouriera na przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc L^1(\\mathbb R^n).\\hskip 0.3pc \\)", "Moduł ten zakończymy wyznaczeniem transformaty Fouriera dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc \\delta. \\hskip 0.3pc \\) Zgodnie ze wzorem ( 1 )", "skąd wynika, że \\( \\hskip 0.3pc \\hat{\\delta}= (\\sqrt{2\\pi})^{-n}.\\hskip 0.3pc \\) W szczgólności, w przypadku gdy \\( \\hskip 0.3pc n=1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc \\hat{\\delta}= 1/\\sqrt{2\\pi}.\\hskip 0.3pc \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Niech \\( \\hskip 0.3pc T\\in S^*(\\mathbb R^n),\\hskip 0.3pc \\) tzn. \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) jest dystrybucją wolno rosnącą. Rozważmy funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc \\hat T:S(\\mathbb R^n)\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) dany wzorem\n\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\langle \\hat T,\\varphi \\rangle = \\langle T, \\hat{\\varphi}\\rangle . \\)\n\nNa mocy twierdzenia 1 odwzorowanie \\( \\hskip 0.3pc \\hat T\\hskip 0.3pc \\) jest dobrze określone. Oczywiście jest to funkcjonał liniowy. Z uwagi 1 wynika natychmiast, że \\( \\hskip 0.3pc \\hat T\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem ciągłym na \\( \\hskip 0.3pc S(\\mathbb R^n).\\hskip 0.3pc \\) Jest zatem dystrybucją wolno rosnąca. Dystrybucje tę będziemy nazywać transformatą Fouriera dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T,\\hskip 0.3pc \\) a odwzorowanie które dystrybucji \\( \\hskip 0.3pc T\\hskip 0.3pc \\) przyporządkowuje dystrybucje \\( \\hskip 0.3pc \\hat T\\hskip 0.3pc \\) zgodnie ze wzorem ( 1 ), przekształceniem Fouriera dystrybucji wolno rosnących.\n\n" } ]

[ "W następnym przykładzie zobaczymy, że przeksztłcenie Fouriera może być wykorzystane również do wyznaczenia funkcji Greena." ]

[]

[ "Początki rachunku wariacyjnego sięgają drugiej połowy XVII wieku, kiedy to J. Bernoulli sformułował tzw. problem brachistochrony: wyznaczyć tor łaczący dwa punkty tak, aby punkt materialny ześlizgujący się po nim pod wpływem siły ciężkości przebył go w najkrótszym czasie. Sformułujemy go w języku matematycznym." ]

[]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc X\\hskip 0.3pc \\) będzie przestrzenią Banacha. Odwzorowanie \\( \\hskip 0.3pc \\varphi :X\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) nazywamy funkcjonałem.", "Zauważmy, że rozwiązanie problemów sformułowanych w module wprowadzenie do rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu ekstremum stosownych funkcjonałów. W zależności od rozważanego problemu, a zatem postaci funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc \\varphi, \\hskip 0.3pc \\) należy odpowiednio dobrać przestrzeń funkcyjną \\( \\hskip 0.3pc X,\\hskip 0.3pc \\) ewentualnie jej podzbiór, na którym szukamy ekstremum. Najczęściej spotykane przestrzenie to:", "(i) \\( \\hskip 0.3pc C\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) - przestrzeń funkcji ciągłych na \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) o wartościach w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) z normą jednostajnej zbieżności", "(ii) \\( \\hskip 0.3pc C^1\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) - przestrzeń funkcji określonych na \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) o wartościach w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) posiadających ciągłą pochodną, z normą", "(iii) \\( \\hskip 0.3pc C^1\\big([a,b], \\mathbb R^n\\big)\\hskip 0.3pc \\) - przestrzeń funkcji określonych na \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) o wartościach w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^n,\\hskip 0.3pc \\) posiadających ciągłą pochodną, z normą", "(iv) \\( \\hskip 0.3pc PC\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) - przestrzeń funkcji kawałkami ciągłych na \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) o wartościach w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) z normą jednostajnej zbieżności. (Funkcje \\( \\hskip 0.3pc f:[a,b]\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) nazywamy kawałkami ciągłą, jeśli istnieje podział \\( \\hskip 0.3pc a=x_0 <x_1< \\ldots <x_m=b\\hskip 0.3pc \\) przedziału \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) taki, że na każdym podprzedziale \\( \\hskip 0.3pc (x_{i-1},x_i)\\hskip 0.3pc \\) funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest ciągła).", "(v) \\( \\hskip 0.3pc PC^1\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) - przestrzeń funkcji kawałkami różniczkowalnych na \\( \\hskip 0.3pc [a,b]\\hskip 0.3pc \\) o wartościach w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R,\\hskip 0.3pc \\) z normą", "W dalszym ciągu przestrzenie \\( \\hskip 0.3pc C\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc C^1\\big([a,b], \\mathbb R\\big)\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać zwykle symbolami \\( \\hskip 0.3pc C\\big([a,b]\\big)\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc C^1\\big([a,b]\\big)\\hskip 0.3pc \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1: Minimum.", "content": " Mówimy, że funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc \\varphi :X\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) posiada w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x_0\\in X\\hskip 0.3pc \\) minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie \\( \\hskip 0.3pc V\\hskip 0.3pc \\) punktu \\( \\hskip 0.3pc x_0\\hskip 0.3pc \\) takie, że\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\varphi (x_0)\\leq \\varphi (x),\\qquad {\\rm dla }\\quad x\\in V. \\)\n\nJeśli\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\varphi (x_0) < \\varphi (x),\\qquad {\\rm dla }\\quad x\\in V,\\hskip 0.3pcx\\neq x_0, \\)\n\nmówimy, że w punkie \\( \\hskip 0.3pc x_0\\hskip 0.3pc \\) istnieje minimum lokalne silne.\nZmieniając kierunek znaku otrzymamy definicje maksimum lokalnego i silnego maksimum lokalnego.\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Różniczki funkcjonału.", "content": " Niech \\( \\hskip 0.3pc x\\in X.\\hskip 0.3pc \\) Odwzorowanie liniowe \\( \\hskip 0.3pc L(x) :X\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) takie, że\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\displaystyle\\lim_{\\|h\\| \\to 0}\\dfrac{\\varphi (x+h)-\\varphi (x)-L(x)(h)}{\\|h\\|}=0, \\)\n\n\nnazywamy różniczką funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc \\varphi\\hskip 0.3pc \\) w punkcie \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\) i oznaczamy symbolem \\( \\hskip 0.3pc d\\varphi (x)\\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc \\varphi ^\\prime(x).\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]