Datasets:

rafalposwiata

/

open-coursebooks-pl

like 3

[ "Ze względu na miejsce krzepnięcia ( Rys. 1 ) wyróżniane są:", "W związku z tym, iż powyższe typy skał powstają w różnych warunkach, cechują je różne zespoły cech strukturalnych i teksturalnych oraz morfologia powstałego ciała skalnego.", "Skały wulkaniczne powstają na powierzchni Ziemi ( Rys. 1 ), [4], na/lub w najbliższym otoczeniu wulkanu. W ich obrębie wyróżnia się:", "Skały wulkaniczne powstają na lądzie oraz w środowisku wodnym (zob. Wulkanizm - wprowadzenie ), [5]. Skały wulkaniczne lądowe przyjmują formy zakrzepłych potoków ( Rys. 3 A) lub pokryw lawowych (zob. Lawa ). Zwykle tworzą zespoły potoków lub pokryw występujących w układzie obocznym lub jedna nad drugą, uformowanych w wyniku następujących po sobie jednostkowych aktów efuzywnych lub ekstruzywnych. W wielu przypadkach są rozdzielone przez pokłady różnej miąższości skał piroklastycznych ( Rys. 2 ), ( Rys. 4 D).", "Skały wylewne powstałe w środowisku wodnym nazywane są lawami poduszkowymi i mają najczęściej formę kopców ( Rys. 3 B), (zob. Lawa ). Są to zespoły krótkich i drobnych strug lawowych, które kończą się charakterystyczną bąblowatym rozdęciem tzw. poduszką. Potoki przecinają kopiec lawowy składający się z wcześniejszych generacji potoków, a poduszki formowane są na jego zewnętrznych powierzchniach.", "Tempo chłodzenia lawy na powierzchni Ziemi jest gwałtowne, więc czas krystalizacji jest krótki. Skały wylewne składają się ze szkliwa oraz/lub drobnych kryształów, zatem w tych skałach występują struktury hialinowe, hipokrystaliczne lub mikrokrystaliczne, które w oglądzie makroskopowym określane jako struktury afanitowe [2]. Struktury hipokrystaliczne oraz krystaliczne są pochodzenia pierwotnego lub powstają jako wtórne w procesie dewitryfikacji. Ponad wspomniane, w skałach wulkanicznych występują również struktury porfirowe (zob. Struktury skał magmowych ). Ich obecność wskazuje na zmianę warunków podczas krzepnięcia stopu, która najpierw odbywa się w warunkach głębinowych, gdzie następuje swobodny wzrost prakryształów oraz kolejno w warunkach powierzchniowych, gdzie wykształca się reszta składników skały, w formie drobnych kryształów bądź szkliwa wulkanicznego. Prakryształy skał wylewnych mają zwykle obtopione krawędzie i naroża wskutek wzrostu temperatury stopu, jaka zachodzi podczas erupcji oraz wskutek korozji chemicznej.", "W przekroju poduszki, potoku lub pokrywy lawowej, zwłaszcza o dużej miąższości, mogą zaznaczać się różnice w wykształceniu strukturalnym. W strefach centralnych, które powstawały przy wydłużonym czasie krzepnięcia znajdują się zwykle większe ilości składników krystalicznych, w stosunku do stref obwodowych, które krzepły najszybciej ( Rys. 4 ).", "W skałach wulkanicznych występują tekstury masywne oraz pęcherzykowate i migdałowcowe. Struktury pęcherzykowate koncentrują się w górnych częściach potoków/pokryw wulkanicznych oraz obwodowo w poduszce ( Rys. 4 C, D, E). Związane są z procesem odgazowywania stopu i zamrożenia migrujących do stref o niższym ciśnieniu pęcherzy gazowych. Strefy pęchykowate od zewnątrz są obleczone cienką warstwą skały szklistej i zbitej, która zakrzepła wcześniej, w bezpośrednim kontakcie ze środowiskiem zewnętrznym. W skałach wulkanicznych występują tekstury bezładne i kierunkowe. Tekstury kierunkowe wynikają głównie z przemieszczenia się stopu i są powszechne zwłaszcza w skałach efuzywnych. Zaznaczają się równoległym układem rozciągniętych pęcherzy pogazowych w teksturach pęcherzykowatych lub migdałowcowych, układem smug w afanitowych skałach masywnych lub równoległą orientacją prakryształów o wydłużonych lub płaskich pokrojach w skałach porfirowych (zob. Tekstury skał magmowych ).", "Krzepnięcie w obrębie skorupy ziemskiej sprzyja krystalizacji stopu glinokrzemianowego, dlatego skały powstałe w tych warunkach cechują struktury holokrystaliczne (zob. Struktury skał magmowych ), [2]. Wielkość kryształów jest zależna od warunków krystalizacji, dlatego skały krzepnące bliżej powierzchni Ziemi lub w peryferycznych częściach dużych komór magmowych, gdzie stop jest najszybciej chłodzony, składają się z kryształów mniejszych. Skały powstałe w optymalnych warunkach zbudowane są z dużych, generalnie podobnej wielkości kryształów. W skałach głębinowych występują struktury równoziarniste, wynikające ze stabilnych warunków w czasie chłodzenia i nierównoziarniste, które wskazują na zamianę tych warunków. Struktury porfirowate są oznaką stopniowo pogarszających się warunków, natomiast struktury fanerokrystaliczno-porfirowe świadczą o dwóch odrębnych etapach krystalizacji, w bardziej lub mniej sprzyjających warunkach [5]. Krzepnięcie w litosferze odbywa się pod ciśnieniem. W większości skały głębinowe są zbite, struktury porowate występują podrzędnie. Przestrzenie porowe związane są głównie ze skałami kwaśnymi, które krystalizują z magm zasobnych w fazę gazową. Pory w skałach głębinowych o strukturach fanerokrystalicznych mają formę miarol. W skałach głębinowych dominują tekstury bezładne. Tekstury kierunkowe są rzadsze, zaznaczają się równoległym ułożeniem kryształów o pokrojach wydłużonych lub płaskich (zob. Tekstury skał magmowych ). Układ taki powstaje w trakcie przemieszczania się stopu bądź formowany jest pod wpływem ciśnienia.", "Cechy strukturalne i teksturalne skał żyłowych zależą od głębokości, na której dochodzi do krzepnięcia magmy oraz od wielkości krzepnącego ciała ( Rys. 5 ). W ich obrębie może występować szerokie spektrum cech [2]. Zwykle w skałach żyłowych występują struktury fanerokrystaliczne, drobnoziarniste, fanerokrystaliczno-porfirowe i porfirowate. Powszechne są tekstury kierunkowe fluidalne, jak i tekstury bezładne (zob. Tekstury skał magmowych ). Drobne żyły magmowe lub ciała powstające blisko powierzchni Ziemi mają cechy skał wulkanicznych, cechuje je struktura afanitowa lub porfirowa. Z kolei, skały powstające na głębokościach kilku kilometrów mogą mieć cechy skał głębinowych. Duża różnorodność cech strukturalnych w skałach żyłowych powoduje, że identyfikacja oparta o struktury i tekstury nie jest miarodajna, powinna być uzupełniona o ustalenie geometrii ciała magmowego." ]

[]

[ "Skały magmowe cechuje wysoka różnorodność. Jest ona pochodną składu chemicznego stopu glinokrzemianowego i różnych warunków krystaliacji. Magmy pierwotne mają niejednolite chemizmy, gdyż tworzą się przez wytapianie różnych skał macierzystych, a ich późniejsza dyferencjacja prowadzi do powstania całej gamy rozmaitych stopów. W wyniku ich krystalizacji powstają skały, które posiadają odmienny skład mineralny, a zróżnicowane warunki krzepnięcia wpływają na wykształcenie przeróżnych cech strukturalno-teksturalnych (zob. Rodzaje magmy , Dyferencjacja magmy ).", "Klasyfikacja skał magmowych oparta jest o skład mineralny, który wynika ze składu chemicznego. Podstawą podziału na główne grupy jest zawartość krzemionki w skale [1], której szacunkowa ilość jest określana na podstawie wskaźników mineralnych. Do wskaźników tych należą kwarc, skalenie alkaliczne, plagioklazy, skaleniowce, stanowiące sekwencję minerałów o malejącej ilości krzemionki (zob. Kwarc , Skalenie , Skaleniowce ), [2]. Występowanie kwarcu wiąże się z nadmiarem krzemionki w skale, z kolei obecność skaleniowców z jej niedoborem. Z uwagi na jasne zabarwienie wskaźników mineralnych nazywane są one minerałami jasnymi(felzytowymi).", "Pod względem obecności i wzajemnych proporcji składników mineralnych skały magmowe dzielone są na 5 grup głównych, są to ( Rys. 1 ), [3], [1]:", "Powyższy podział stosuje się do skał magmowych, w których składniki jasne stanowią przynajmniej \\(10\\%\\) skały. Jeśli tych składników jest mniej, wyróżniana jest grupa skał skrajnie maficznych(ultramaficznych).", "W głównych grupach skał magmowych wydzielane są klasy skalne, odpowiednio dla skał wylewnych, głębinowych i żyłowych (zob. Środowiska powstania skał magmowych ).", "Udział i rodzaj wskaźników mineralnych w skałach magmowych może być szacowany przy wykorzytaniu wskaźnika barwy( Rys. 2 ), [4], [5]. Jest to ogólny stosunek minerałów jasnych do minerałów ciemnych (maficznych), czyli sumaryczna ilość kwarcu, skalenia i skaleniowców do sumarycznej ilości amfiboli, piroksenów, oliwinów, łyszczyków. Wskaźnik barwy opiera się na zależności, iż przy sukcesywnie zmniejszającej się ilości krzemionki w skałach, zwiększa się ilość minerałów ciemnych, a spada udział minerałów jasnych. To wydatnie wpływa na generalne zabarwienie skał. Skały dzielone są na 3 grupy ( Rys. 2 ), [3]:", "Wraz ze wzrostem ilości minerałów ciemnych zwiększa się ciężar właściwy skał magmowych. W skałach leukokratycznych wynosi on 2,35 – 2,7 \\(g/cm^3\\), w skałach mezokratycznych od 2,7 – 2,9 \\(g/cm^3\\), a w melanokratycznych 3,0-3,2\\(g/cm^3\\).", "Skały magmowe są ważnym i podstawowym składnikiem litosfery. W skorupie oceanicznej dominują skały zasadowe i obojętne, w skorupie kontynentalnej wystepują skały zasadowe, obojętne i kwaśne, a skały ultramaficzne są typowym budulcem dolnych części litosfery." ]

[]

[ "Cechą charakterystyczną skał kwaśnych jest obecność w skale kwarcu (zob. Kwarc ) w ilości ponad \\(20\\%\\). Skały głębinowe kwaśne bywają zbiorczo nazywane granitoidami( Rys. 1 ). Występowanie obok kwarcu skaleni alkalicznych (zob. Skalenie ), zwykle w formie ortoklazu i albitu, jest charakterystyczne dla granitów alkaliczno-skaleniowych i ich odpowiedników wylewnych - riolitów alkalicznych( Rys. 1 ). Skały, w których występują różne grupy skaleni, ale zaznacza się dominacja lub porównywalny udział skaleni alkalicznych i plagioklazów z grupy albit-oligoklaz, są klasyfikowane jako granity, a ich wylewne odmiany jako riolity. Istotna dominacja plagioklazów (albit-andezyn) nad skaleniami alkalicznymi jest podstawą do wyróżnienia granodiorytów w grupie skał głębinowych oraz dacytów w grupie skał wylewnych. Występowanie obok kwarcu plagioklazów (oligoklaz-andezyn) jest charakterystyczne dla tonalitów oraz plagiodacytów. W skałach żyłowych granitoidy reprezentowane są przez pegmatyty i aplity( Rys. 1 ). Udział minerałów ciemnych (biotytu, amfiboli, piroksenów) w skałach kwaśnych jest niewielki, w granitach wynosi kilka procent, w granodiorytach i tonalitach wzrasta do \\(20\\%\\)[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].", "Identyfikacja skał kwaśnych", "W wielu ze skał głębinowych kwaśnych występują duże, łatwo identyfikowalne kryształy, co sprzyja ich analizie makroskopowej. Trudności może sprawiać diagnostyka poszczególnych grup skaleni, zwłaszcza w odmianach drobnokrystalicznych. W granitoidach powszechnie występują struktury średnio- i gruboziarniste oraz porfirowate (zob. Struktury skał magmowych ), z reguły są to skały zbite i masywne, podrzędnie występują miarole (zob. Tekstury skał magmowych ). Obecność skaleni alkalicznych, w tym ortoklazu w granitach powoduje, że mają one zabarwienie różowawe. Granodioryty oraz tonality występują w odcieniach szarości ( Rys. 2 ), [4].", "Aplity to zwykle zbite skały żyłowe, drobnoziarniste do bardzo drobnoziarnistych o jasnym, białym ( Rys. 3 A) lub różowym odcieniu. Z kolei pegmatyty to skały grubo- lub bardzo gruboziarniste, w ich obrębie występuje tekstura pismowa, która jest właściwa tylko dla tej grupy skał [4]. Pegmatyty formują różne ciała skalne. Powszechnie występują jako wypełnienia pustek-miarol lub mogą tworzyć większe formy masywne i różnej wielkości żyłowe. Pegmatyty należą do skał krystalizujących z tzw. stopów resztkowych, czyli składników magmy pozostałych po wykrystalizowaniu głównej masy plutonów granitowych (zob. Krystalizacja magmy ). Skład mineralny pegmatytu jest analogiczny do granitu, z tą różnicą, że kryształy są kilka do kilkuset razy większe ( Rys. 3 C). Dodatkowo, w pegmatytach występują minerały, które są zasobne w lantanowce, tj. tor, uran, niob. Drobnoziarniste skały żyłowe z podwyższoną ilością minerałów ciemnych określane są jako lamprofiry. Przeważnie mają barwę szarą, ciemnoszarą lub czarną, bywają również czerwonawe lub zielonawe [4]. Najczęściej są ciemniejsze od skał, które przecinają. Identyfikacja makroskopowa skał żyłowych kwaśnych, przy braku możliwości określenia formy ciała magmowego i odróżnienie ich od niektórych odmian wylewnych może być problematyczna.", "W odmianach porfirowych diagnostyka makroskopowa opiera się na analizie prakryształów. W skałach kwaśnych zwykle występują zarówno prakryształy z kwarcem, jak i ze skaleniem ( Rys. 4 A, B ), w podrzędnej ilości z biotytem. Dla skał, w których oszacowanie skaleni w prakryształach nie jest możliwe, w nieformalnym nazewnictwie stosuje się ogólne określenie - porfir kwarcowy. W strukturze afanitowej przeprowadza się jedynie szacowanie przynależności klasyfikacyjnej stosując wskaźnik barwy, zgodnie z zasadą, że większość skał leukokratycznych to skały zawierające wśród minerałów jasnych również kwarc. Skały kwaśne afanitowe charakteryzuje ogólne zabarwienie w różnych odcieniach barwy kremowej, szarej i różowej. Podczas gwałtownego krzepnięcia skały kwaśne tworzą odmiany szkliste, przykładem jest obsydian i smołowiec [4].", "Skały skrajnie kwaśne zawierają ponad \\(60\\%\\) kwarcu. W skałach głębinowych wyróżniane są granity silnie kwarcowe, gdy kwarcowi towarzyszą skalenie. Makroskopowo podobne są do granitoidów. Skały skrajnie kwaśnie są rzadko spotykane." ]

[]

[ "W skałach obojętnych głównym składnikiem są skalenie (zob. Skalenie ). Przewaga skaleni alkalicznych wśród minerałów jasnych jest podstawą do wydzielenia w skałach głębinowych grupy sjenitoidów, z klasami sjenitów(ze znaczną przewagą skaleni alkalicznych, głównie ortoklazu) i monzonitów(z porównywalną ilością skaleni alkalicznych i plagioklazów). Odmianami wulkanicznymi są trachity i latyty, łączone w grupę trachitoidów ( Rys. 1 ). Dominacja plagioklazów nad skaleniami alkalicznymi jest podstawą do wydzielenia diorytów w skałach głębinowych oraz andezytów w skałach wylewnych, a występowanie tylko plagioklazów zasadowych jest typowe dla gabr i anortozytów, których odpowiednikiem wylewnym są bazalty. W skałach żyłowych wyróżniane są doleryty i diabazy( Rys. 1 ), [1], [2], [3], [4], [5], [6].", "Skały obojętne z dużą ilością skaleni alkalicznych mogą zawierać do kilkunastu procent kwarcu, z kolei skały z dominacją plagioklazów wapniowych mogą zawierać do kilku procent skaleniowców.", "Identyfikacja skał obojętnych", "Sjenitoidy należą do skał leukokratycznych i składają się z minerałów jasnych. Ilość minerałów ciemnych tj. biotyt, hornblenda jest marginalna. W klasie diorytu ilość minerałów ciemnych wzrasta i wynosi \\(20\\%\\) lub więcej, z kolei w gabrach przekracza \\(50\\%\\). Minerały ciemne gabr to głównie pirokseny, w mniejszej ilości mogą występować amfibole lub oliwiny. Anortozyty zawierają niewiele minerałów ciemnych, składają się głównie z plagioklazów zasadowych.", "Ze względu na znaczne ilości ortoklazu sjenity zwykle mają zabarwienia czerwone i różowe, a monzonity, zawierające wysoką zawartość plagioklazów z grupy oligoklaz-andezyn, są szare ( Rys. 2 A, B ). Sjenitoidy są grubo-, średnioziarniste lub porfirowate, zwykle zbite i bezładne (zob. Struktury skał magmowych , Tekstury skał magmowych ). Diorytoidy mają struktury średnioziarniste, są bezładne lub mają teksturę równoległą, podkreśloną rozkładem minerałów o pokrojach wydłużonych ( Rys. 2 C). Występują w odcieniach szarych lub są biało-czarne. Powszechnie występujące plagioklazy z grupy oligoklaz-andezyn w diorytoidach są zwykle zielonkawe [7]. Gabra i anortozyty to skały głównie grubokrystaliczne. Gabra to skały ciemne, występują w kolorystyce od zielonoszarych przez ciemnoszare do czarnych ( Rys. 2 D, E, F). Barwa zależy od ilości, zabarwionych na szaro, plagioklazów zasadowych z grupy labrador-bytownit oraz od ciemnych piroksenów [7]. Anortozyty składają się głównie ze skaleni zasadowych, mają zabarwienie szare lub szarozielonkawe i są jaśniejsze od gabr.", "Skały żyłowe zwykle mają struktury drobnoziarniste ( Rys. 3 ) i ich diagnostyka makroskopowa, ze względu na ograniczone możliwości obserwacji makroskopowych, jest utrudniona. Odmiany jasne, zawierające skalenie oraz minerały ciemne barwy szarej, nazywane są lamprofirami. Zaliczane są tu żyłowe odpowiedniki sjenitoidów oraz diorytoidów. Jeśli istnieje możliwość ustalenia stosunków jakościowych i ilościowych skaleni, używa się nazw nawiązujących do skał głębinowych, tj. mikrosjenit, mikromonzonit, mikrodioryt. Diabazy, będące odpowiednikami klasy gabra i bazaltu, są skałami czarnymi, ciemnoszarymi i drobnokrystalicznymi ( Rys. 3 A).", "Skały wulkaniczne mają struktury afanitowe lub porfirowe ( Rys. 4 ). W skałach porfirowych, w prakryształach, występują skalenie, z którymi mogą współwystępować amfibole, pirokseny, biotyt lub występuje tylko oliwin [7]. Takie skały makroskopowo wyróżniane są jako porfiry bezkwarcowe. Zespół prakryształów może służyć jako szacunkowy dla potrzeb klasyfikacyjnych. Prakryształy hornblendy zwykle występują w szarym cieście skalnym, co jest typowe dla andezytów, a prakryształy oliwinu znajdują się w ciemnym cieście skalnym, co jest charakterystyczne dla bazaltów.", "Dla szacunkowego określenia przynależności klasyfikacyjnej skał afanitowych wykorzystuje się wskaźnik barwy. Trachitoidy, podobnie jak odpowiadające im głębinowe sjenitoidy, to skały leukokratyczne, które cechuje ogólne jasne zabarwienie różowe lub szare. Bazalty, składające się w przeważającej części z minerałów ciemnych, mają zabarwienie od czarnego i ciemnoszarego do brązowo-czerwonego ( Rys. 4 E, F). W ich obrębie mogą występować ziarniste skupienia oliwinu, zwane bombami oliwinowymi. Poza teksturami zbitymi i bezładnymi, w bazaltach powszechne są tekstury pęcherzykowate i fluidalne." ]

[]

[ "Cechą skał zasadowych i ultrazasadowych jest dominacja skaleniowców (zob. Skaleniowce ) w grupie minerałów jasnych. Współwystępowanie skaleniowców oraz skaleni (zob. Skalenie ) jest podstawą wyróżnienia skał zasadowych, brak skaleni decyduje o przynależności do skał ultrazasadowych [1]. Skały te mają podrzędne znaczenie w budowie skorupy ziemskiej, zwykle tworzą niewielkie ciała magmowe, za wyjątkiem skał wylewnych, które spotykane są w większej ilości.", "Zasadowe skały głębinowe reprezentowane są przez dwie grupy: sjenitoidy foidowe, które obok skaleniowców zawierają skalenie alkaliczne i niewielką ilość składników ciemnych oraz diorytoidy foidowe, zawierające obok skaleniowców plagioklazy i większą ilość składników ciemnych ( Rys. 1 ). Odpowiednikiem wylewnym sjenitodiów foidowych są fonolity, a diorytoidów foidowych są tefryty i bazanity, łączone w grupę tefroidów [1], [2], [3], [4], [5].", "Identyfikacja skał zasadowych", "Sjenitoidy foidowe oraz ich wulkaniczne odpowiedniki są skałami leukokratycznymi, mają ogólne zabarwienie szare, z odcieniem różowym lub zielonkawym. Diorytoidy foidowe makroskopowo są podobne do gabra. Tefryty cechuje barwa szara, a bazanity - ciemnoszara do czarnej [1]. Odmiany wylewne są masywne lub porowate, również migdałowcowe (zob. Tekstury skał magmowych ). Foidolity to głębinowe skały ultrazasadowe, czyli takie, które zawierają skaleniowce w grupie minerałów jasnych. Charakteryzuje je struktura gruboziarnista (zob. Struktury skał magmowych ), tekstura zbita i bezładna. Przedstawicielami tych skał są urtyty i ijonity. Urtyty mają zabarwienie jasnoszare z odcieniem zielonym lub różowym, mogą zawierać do \\( 30\\% \\) minerałów ciemnych. Ijonity mają barwy od szarych do ciemnoszarych, mogą zawierać do \\( 70\\% \\) minerałów ciemnych. Wulkanicznym odpowiednikiem foidolitów są foidyty, reprezentowane przez nefelinity i leucytyty. Są to skały afanitowe lub porfirowe z parakryształami piroksenu. Leucytyty występują w zabarwieniu jasnoszarym lub szaro-zielonym, nefelinity mają barwy od szarej do czarnej. Identyfikacja makroskopowa skał zasadowych i ultrazasadowych jest problematyczna. Podstawową trudnością jest identyfikacja skaleniowców i odróżnienie ich od skaleni. Skały zasadowe i ultrazasadowe wykazują wysokie podobieństwo w obrazie makroskopowym do skał obojętnych.", "Skały ultramaficzne (skrajnie melanokratyczne) składają się z minerałów ciemnych, czyli oliwinu, amfibolu i/lub piroksenu (zob. Oliwiny, Amfibole, Pirokseny ), [1], którym może towarzyszyć niewielka domieszka, w ilości do kilku procent, minerałów jasnych, zwykle skaleniowców. Charakterystyczna dla tych skał jest zdecydowana dominacja jednego z minerałów ciemnych. Gdy dominuje oliwin wyróżniane są perydotyty, gdy to jest jeden z piroksenów – wyróżniane są piroksenity, gdy to jest hornblenda – hornblendyty. Odmiany żyłowe nazywane są pikrytami [6]. Skały ultramaficzne powstają głownie w środowiskach głębinowych [1], [7], znacznie rzadziej tworzą żyły, sporadycznie krystalizują w warunkach powierzchniowych.", "Identyfikacja skał ultramaficznych", "Typowe perydotyty mają zabarwienie zielono-szare, zielono-czarne, a gdy nie mają domieszek innych minerałów są jasno zielone ( Rys. 2B). Są to skały, które budują dolne części litosfery, przynależące do górnego płaszcza ziemskiego. Mają struktury od drobno- do gruboziarnistych, zwykle równoziarniste lub porfirowate. Hornblendyty i piroksenity są barwy czarnej lub czarnozielonej ( Rys. 2A, C). Hornblendyty mają struktury grubo- lub bardzo gruboziarniste i równoziarniste. Pirokseny są średnio- lub gruboziarniste, równoziarniste lub porfirowate. Głębinowe skały ultramaficzne są zbite, mają tekstury bezładne lub uporządkowane. Pikryty są drobnokrystaliczne lub porfirowe z oliwinami lub/i piroksenami w prakryształach. Mają zabarwienie od czarnego do ciemnoszarego lub czarno-zielonego, makroskopowo są trudno odróżnialne od zasadowych diabazów." ]

[]

[ "Skały piroklastyczne ( Rys. 1 ) są deponowane w otoczeniu krateru i tworzą pokrywę (warstwę) na skałach podłoża lub skałach pochodzenia wulkanicznego, powstałych w wyniku wcześniejszych erupcji (zob. Środowiska powstania skał magmowych ). W związku z tym, iż składają się z ziaren, których osadzenie poprzedzone jest transportem, zaliczane są do grupy skał osadowych [1]. Długość drogi transportu składników jest zróżnicowana, zależy od wielkości materiału piroklastycznego, jego ilości, masy oraz siły eksplozji. Ziarna duże, występują w skałach piroklastycznych deponowanych w bezpośrednim sąsiedztwie wulkanu. Wraz ze wzrostem odległości od wulkanu zmniejsza się frakcja ziaren. Najdrobniejsze frakcje, czyli pyły wulkaniczne, mogą być latami zawieszone w atmosferze.", "Nagromadzenie nieskonsolidowanego materiału piroklastycznego w środowisku lądowym nazywane jest tefrą( Rys. 1 A, B ), [1]. Jest to skała luźna, nierozsortowana, której depozycja była poprzedzona relatywnie krótkim transportem. Składa się z piasków i pyłów, w których mogą występować wszystkie inne typy piroklastów tj. bloki, bomby i lapille (zob. Środowiska powstania skał magmowych ), [1]. Tefra deponowana jest na stokach wulkanu oraz w jego bezpośrednim otoczeniu. Tworzy pokrywę klastyczną, której grubość maleje wraz z odległością od krateru. Warstwy piroklastyczne zbudowane tylko z frakcji aleurytowej i pelitowej nazywane są pyłami wulkanicznymi, gdy zawierają piaski nazywane są popiołami wulkanicznymi. Frakcja lekka piroklastów może być transportowana na duże odległości, jej depozycja może być istotnie oddalona od miejsca erupcji.", "Skonsolidowany materiał tefry, który przeszedł procesy lityfikacyjne, nazywany jest tufem( Rys. 1 C), ( Rys. 2 ), [2], [3]. Podstawowym składnikiem większości tufów jest zcementowany popiół, w którym wyróżnia się następujące typy ziarn:", "Popiół wulkaniczny stanowi główną masę skały lub tło, w którym występują inne, większe ziarna pochodzenia magmowego [1], [2]. W zależności od rodzaju składników tufy dzieli się na:", "Tufy zwykle są skałami porowatymi, o strukturze bezładnej lub ze słabo zaznaczonym uporządkowaniem równoległym. Charakteryzuje je niska selekcja materiału ziarnistego, która wzrasta wraz odległością od źródła erupcji. Tufy przyjmują zabarwienia od szarego i beżowego, przez różowawe i fioletowawe do brunatnego.", "Tufity to skały mieszane, składające się z drobnego materiału piroklastycznego (pyłu i/lub piasku wulkanicznego) w ilości od \\(25-75\\%\\) oraz materiału osadowego, typowego dla danego środowiska sedymentacyjnego ( Rys. 3 A), [1], [2]. Powstają w wyniku osadzenia materiału piroklastycznego w środowisku wodnym lub transportu materiałów piroklastycznych przez wodę. W ich obrębie występują struktury sedymentacyjne, odpowiadające dynamice środowiska. Większość zachowanych tufitów to osady środowisk morskich lub jeziornych, które deponowane były z suspensji, czyli swobodnego opadania zawiesiny. Są skałami słabo porowatymi, barwy od białej do szarej. Tworzą warstwy, zwykle są równolegle laminowane, z gradacją normalną ziarna, która jest efektem segregacji materiału w słupie wody. Ilość materiału piroklastycznego zmniejsza się ku górze warstwy.", "Zdiagenezowane tufity, w których w wyniku podmorskiego wietrzenia doszło do transformacji materiału piroklastycznego w minerały ilaste z grupy montmorylonitu, nazywane są bentonitami( Rys. 3 C).", "Do skał piroklastycznych zalicza się również ignimbryty(tufy spieczone)( Rys. 3 B), [2]. Tworzą pokrywy powstające w wyniku depozycji składników magmowych (kryształy, szkliwo, fragmenty skał) przy udziale sprężonej pary wodnej i innych fluidów. Powstają przez depozycję z wysokoenergetycznych i gorących spływów piroklastycznych (zob. Materiały piroklastyczne ). Są to skały barwy białej, szarej lub różowej, porowate, bezładne lub ze słabo zaznaczonymi strukturami kierunkowymi. Większe ziarna, w obrębie ignimbrytów, mają skorodowane krawędzie [1]." ]

[ { "name": " Definicja 1: Skały piroklastyczne ", "content": " skały powstające w wyniku sedymentacji, zbudowane są z\nmateriału ziarnowego, wyrzuconego z wulkanu podczas erupcji, czyli piroklastów (zob. Materiały\npiroklastyczne ), których zawartość przekracza \\(75\\%\\) składników skały [1]. " } ]

[ "Przeobrażeniom metamorficznym ulegają wszystkie rodzaje skał: magmowe, osadowe i metamorficzne (wcześniej słabiej przeobrażone). Skala przeobrażeń jest zróżnicowana ( Rys. 1 ).", "Najłatwiej podlegają metamorfozie skały osadowe, najtrudniej magmowe głębinowe, które powstają w warunkach wysokiej temperatury i ciśnienia." ]

[ { "name": " Definicja 1: Metamorfizm ", "content": " jest to zespół procesów prowadzących do zmian strukturalnych,\nteksturalnych, składu mineralnego i chemicznego pod wpływem wysokiego ciśnienia, wysokiej temperatury i\nkrążących substancji. Przemiany te zachodzą w stanie stałym. Przyjmuje się, że granicę między diagenezą a\nmetamorfizmem wyznacza temperatura \\({200}{^o}\\) C i ciśnienie rzędu 2 kilobarów." } ]

[ "Metamorfozę wywołuje wiele różnych czynników, przy czym jeden lub dwa z nich są dominujące. Podstawowe czynniki to:", "Temperatura jest najważniejszym czynnikiem metamorfozy [1], [2], [3], [4]. Podwyższenie temperatury związane jest z pogrążaniem skał w głębsze strefy skorupy ziemskiej (stopień geotermiczny)( Rys. 1 ), (zob. Pióropusze płaszcza i plamy gorąca ) albo z oddziaływaniem intruzji magmowych i pióropuszy płaszcza. Wzrost temperatury powoduje wiele zmian w składzie mineralnym: generalnie przyspiesza reakcje chemiczne i w efekcie wywołuje zmiany polimorficzne, przekrystalizowanie i rekrystalizację. Przekrystalizowaniu (powstaniu większych kryształów) ulegają skały skryto- i drobnokrystaliczne. Następuje także proces rekrystalizacji szkliw wulkanicznych i likwidacja stanów koloidalnych. Wzrost temperatury prowadzi do dehydratyzacji minerałów uwodnionych, dehydroksylacji minerałów zawierających grupę \\(OH\\) oraz dysocjacji termicznej węglanów. W wyniku tych reakcji powstaje duża ilość \\(H_2O\\) i \\(CO_2\\), które tworzą bardzo ruchliwy roztwór. Roztwór ten, migrując, wywołuje przemiany metasomatyczne (zob. Metasomatoza ).", "Ciśnienie statyczne", "Skały pogrążające się w głąb skorupy ziemskiej podlegają coraz większemu ciśnieniu, wywieranemu przez wyżej leżące masy skalne [5], [6]. Wzrost ciśnienia powoduje zmniejszenie objętości minerałów i skał ( Rys. 2 ) i jest odwrotnie skorelowany ze wzrostem temperatury. Jeśli temperatura przyspiesza reakcje chemiczne, to ciśnienie je hamuje. Generalnie, ciśnienie statyczne powoduje zastępowanie minerałów o strukturach luźniejszych przez minerały z gęściej upakowanymi atomami lub jonami [3], [2], [7], [4], [8].", "Ciśnienie kierunkowe (stress)", "W przeciwieństwie do ciśnienia statycznego, ciśnienie kierunkowe wywołują ruchy górotwórcze i związane z nimi ruchy tektoniczne ( Rys. 3 ), [5], [6]. W płytkich strefach skorupy ziemskiej ciśnienie kierunkowe prowadzi do kruszenia i mielenia skał. Silne oddziaływanie ciśnienia kierunkowego prowadzi do powstania minerałów stressowych (np. dysten, łyszczyki, chloryty) i tekstur kierunkowych (laminacja, foliacja, lineacja)( Rys. 4 ), [5], [3], [2], [7], [8].", "Fluidy i wędrówka substancji", "Większość procesów metamorficznych zachodzi przy małym udziale fazy ciekłej. Jednak w wielu skałach fluidy występują w porach międzyziarnowych, tworząc cienkie otoczki na ziarnach. W wysokiej temperaturze mogą być one bardzo aktywne. Jest to roztwór zjonizowany, zawierający aniony \\(OH\\) i \\(CO_2\\), podrzędnie \\(SO_4\\) i \\(Cl\\) oraz wiele różnych kationów. W efekcie, taki roztwór może rozpuszczać minerały nietrwałe, ułatwia reakcje wymienne przez dyfuzję i przyspiesza krystalizację nowych minerałów. Jeśli takie substancje, w efekcie reakcji między minerałami, uwalniają różne pierwiastki lub tlenki (szczególnie \\(K\\) i \\(Na\\), ale także \\(Cl\\), \\(CO_2, OH, H_2O\\)), to te substancje wędrując przez masywy skalne powodują powstanie nowych minerałów [2], [4], [9]." ]

[]

[ "Funkcjonuje wiele różnych kryteriów klasyfikacyjnych metamorfizmu [1], [2], [3], [4]. Jeśli kryterium klasyfikacyjnym jest kierunek zmian, to wyróżniamy:", "W obrębie metamorfizmu progresywnego, w zależności od objętości skał metamorficznych, wyróżniono [2]:", "Metamorfizm regionalny [5], [4] zachodzi w warunkach pogrążania mas skalnych w głębokie (powyżej 5 km) strefy skorupy ziemskiej. Wywołany jest wysokim ciśnieniem statycznym i wysoką temperaturą. Czynnikiem dodatkowym może być krążenie substancji, a w płytszych strefach skorupy ziemskiej także ciśnienie kierunkowe. Metamorfizm regionalny charakteryzuje szerokie spektrum natężenia czynników w miarę przesuwania się w głąb skorupy ziemskiej.", "Odmianami metamorfizmu regionalnego są [2]:", "W obrębie metamorfizmu lokalnego wyróżniamy:" ]

[]

[ "Wraz ze wzrostem głębokości pogrążenia kompleksów skalnych rośnie intensywność przeobrażeń. Wyróżniamy w odniesieniu do metamorfizmu regionalnego trzy stopnie przeobrażenia: niski, pośredni i wysoki.", "Często w literaturze odpowiadają im trzy strefy [1], [2], [3]: epizona, mezozona i katazona ( Rys. 1 )." ]

[]

[ "Najważniejsze klasyfikacje metamorfizmu opierają się na pojęciu facji metamorficznej [1], [2], [3], [4], [5].", "Facja metamorficzna oznacza pewien zakres ciśnienia i temperatury, w których trwałe są określone zespoły mineralne.", "Najczęściej wyróżniamy następujące facje ( Rys. 1 ), [3], [4]:" ]

[]

[ "Procesy metamorficzne przebiegają bez znaczącego udziału fazy ciekłej. Po przekroczeniu pewnej, granicznej wartości temperatury i ciśnienia występuje zjawisko coraz intensywniejszego wytapiania składników o niskim stopniu topnienia i pojawianie się coraz większych ilości stopu krzemianowego. Rozpoczyna się proces ultrametamorfizmu. Granica nie jest stała i zależy od składu mineralnego, chemicznego oraz udziału składników lotnych.", "Procesy ultrametamorficzne przebiegają w dwóch stadiach [1]:", "Produktem ultrametamorfizmu są migmatyty ( Rys. 1 ), [2], [3], [1]. Zbudowane są one z dwóch składników: paleosomu, czyli skały pierwotnej, która nie przeszła w fazę ciekłą oraz neosomu, czyli nowej skały powstałej z krystalizacji wtórnej magmy. Migmatyty charakteryzuje specyficzna forma:" ]

[]

[ "Metasomatoza to proces przeobrażenia skał w stanie stałym, pod wpływem gazów i cieczy doprowadzonych z zewnątrz. Są one łatwo rozpuszczalne w roztworach porowych i uruchomiane do wędrówki wywołują przemiany mineralne [1], [2], [3].", "W obrębie metasomatozy wyróżniamy szczególne typy metamorfozy:", "Procesy metasomatyczne wywołują wiele przekształceń mineralnych. Są to:", "Z utworami metasomatycznymi związane są koncentracje złożowe wielu metali (Fe, Cu, Co, Mo, Zn, Pb, Mn i innych)." ]

[]

[ "Skały metamorficzne powstają przez zmianę struktury, tekstury oraz/lub składu mineralnego skał wyjściowych, która odbywa się pod wpływem czynników metamorficznych, czyli ciśnienia, temperatury, fluidów i czasu (zob. Metamorfizm - wprowadzenie ). Metamorfizmowi podlegają wszystkie typy genetyczne skał, czyli skały magmowe, osadowe oraz metamorficzne. Większość skał metamorficznych powstaje w środowisku wnętrza skorupy ziemskiej lub płaszcza. Tylko niewielka ich część formowana jest na powierzchni Ziemi. Należą do nich skały przeobrażone pod wpływem impaktów (metamorfizm szokowy) lub odziaływania termicznego law wulkanicznych (jeden z typów metamorfizmu kontaktowego), (zob. Rodzaje metamorfizmu ).", "Skała wyjściowa, która podlegała procesom metamorfizmu nazywana jest protolitem, natomiast skała po przemianach metamorficznych neolitem. Nazwy skał metamorficznych z protolitów magmowych poprzedza się przedrostkiem orto-(np. ortokwarcyt, ortognejs), a nazwy skał powstałych z protolitów osadowych poprzedza się przedrostkiem para-(np. paraamfibolit, parałupek)[1], [2]. Protolity wykazują różne kompetencje na przemiany metamorficzne. Zwykle pod wpływem tych samych warunków w skałach osadowych zaznaczą się bardziej zaawansowane zmiany, niż w skałach magmowych głębinowych.", "Metamorfizm często całkowicie zmienia wygląd makroskopowy protolitu. Skala przebudowy składu mineralnego, struktur i tekstur skały wyjściowej zależy od natężenia czynników metamorfizmu (zob. Czynniki metamorfizmu ). Niektóre skały formowane w warunkach metamorfizmu niskociśnieniowo-temperaturowego w obrazie makroskopowym mogą przypominać protolity, choć w obrazie mikroskopowym będą posiadały wyraźne cechy skał metamorficznych. Przy bardziej zaawansowanym wpływie czynników metamorfizmu, neolity nabierają zupełnie indywidulanych cech i ich wygląd nie nawiązuje do skał wyjściowych.", "Skały metamorficzne to bardzo duża i zróżnicowana grupa skał, zarówno pod względem mineralnym, jak i cech strukturalno-teksturalnych. Różnorodność ta determinowana jest przez:", "Większość skał metamorficznych posiada swoiste cechy uniwersalne, do których należą (zob. Czynniki metamorfizmu ):", "Czynniki metamorfizmu inicjują procesy krystaliczne, więc:", "Pod względem genetycznym minerały w skałach metamorficznych należą do (zob. Minerały protolitów ):", "Do głównych minerałów neogenicznych skał metamorficznych należą:", "Podstawowa klasyfikacja skał metamorficznych oparta jest o ich genezę (zob. Rodzaje metamorfizmu ). Względem tego podziału podstawowe grupy skał metamorficznych to:" ]

[]

[ "Struktura w skałach metamorficznych charakteryzuje wielkość, wzajemne relacje pomiędzy składnikami oraz kształt dominujących blastów.", "Skały metamorficzne w większości są skałami krystalicznymi, czyli blastycznymi. Ze względu na wyrazistość w obrazie makroskopowym wyróżniana jest [1]:", "Względem wzajemnych relacji wielkościowych pomiędzy składnikami skały metamorficznej wydzielana jest ( Rys. 1 ), [2]:", "Kształt dominujących blastów (zob. Pokrój minerałów i forma skupień ) w skale jest podstawą dla wyznaczenia struktury ( Rys. 2 ), [4], [2], [3], [5]:", "Struktury te znajdują zastosowanie głównie w opisach skał metamorfizmu regionalnego (zob. Rodzaje metamorfizmu ), [6].", "W przypadku metamorficznych skał polimineralnych, w których dominująca masa składa się ze składników o różnych pokrojach, wydziela się struktury mieszane ( Rys. 3 ), np. granolepidoblastyczne, granonematoblastyczne, lepidogranoblastyczne, przy czym przedrostek będący pierwszym członem sugeruje dominację składnika o danym pokroju w skale [2].", "W skałach dynamometamorfizmu (zob. Skały dynamometamorfizmu ), dla których charakterystyczne są deformacje nieciągłe, wyróżniane są struktury kataklazowe i mylonityczne [6], [2], [1], [5]. Struktura kataklazowa to typ struktury zbrekcjowanej, określa skałę składającą się z ostrokrawędzistych klastów, znajdujących się w otoczeniu drobnoziarnistego, roztartego materiału, a mylonityczna odnosi się do skał składających się z drobnoziarnistego, roztartego materiału, w którym znajdują się porfiroblasty.", "Ze struktur specjalnych w skałach metamorficznych występuje struktura poikiloblastyczna, charakteryzująca się występowaniem nieregularnych wrostków minerału w obrębie większych blastów innego minerału.", "Powyższe struktury są formowane podczas przeobrażenia protolitu i są efektem jego przebudowy wewnętrznej. W niektórych skałach metamorficznych, zwłaszcza w tych formowanych przy stosunkowo niewysokich wartościach temperatur i/lub ciśnień, mogą zostać zachowane pozostałości pierwotnych struktur protolitu. Należą one do grupy struktur reliktowych. Do ich określenia stosuje się nazwy oryginalnych struktur protolitu, które poprzedza się przedrostkiem blasto. W skałach metamorficznych najczęściej występują relikty profiroklastów i takie struktury nazywane są blastoporfirowymi lub zachowuje się morfologia większych ziarn psefitowych i wówczas występują struktury blastopsefitowe ( Rys. 4 ), [6], [3]." ]

[]

[ "Tekstury w skałach metamorficznych charakteryzują rozmieszczenie składników w skale.", "Przy braku uporządkowania blastów wyróżniane są tekstury bezładne (bezkierunkowe)( Rys. 1 ). Tworzą się one w skałach metamorfizowanych przy istotnym wpływie ciśnienia statycznego, zwykle w warunkach głębokiego pogrążenia litosferycznego (zob. Czynniki metamorfizmu ).", "Konfiguracja geometryczna blastów w skale metamorficznej jest podstawą wyróżnienia grupy tekstur kierunkowych (uporządkowanych)( Rys. 2 ). Jest ona efektem przebudowy wewnętrznej protolitu pod wpływem stresu (ciśnienia kierunkowego). Rozkład blastów jest zwykle uporządkowaniem równoległym względem jednego określonego kierunku, prostopadłego do kierunku działania stresu.", "W obrębie tekstur kierunkowych wyróżniane są:", "Laminacja charakteryzuje teksturę, gdzie w układzie równoległym występują, wzajemnie przekładające się, cienkie warstewki o zróżnicowanym składzie mineralnym ( Rys. 2 A, B, C), [1], [2]. Foliację charakteryzuje równoległe rozmieszczenie blastów o pokrojach płaskich (płytkowych, blaszkowych, łuseczkowych)( Rys. 2 D, E), (zob. Pokrój minerałów i forma skupień ), [1]. Foliacja ma różne stopnie wyrazistości. Gdy jest ona dobrze wykształcona, skała metamorficzna uzyskuje charakterystyczną oddzielność, która uwidacznia się przez pękanie skały pod wpływem nacisku mechanicznego wzdłuż równoległych powierzchni teksturalnych. Wówczas wyróżniana jest tekstura łupkowa( Rys. 2 E), [3], [4].", "Szczególną odmianą laminacji jest tekstura gnejsowa( Rys. 3 ), [5], w której laminy skaleniowo-kwarcowe przekładane są laminami z dominacją łyszczyków i amfiboli [3]. Ze względu na dużą różnorodność wykształcenia, jest ona dzielona na: tekstury równe i nierówne. Do tekstur równych należą:", "Do tekstur gnejsowych nierównych należą:", "Jeśli w skałach metamorficznych zachowały się pierwotne cechy teksturalne protolitów wówczas, podobnie jak w przypadku struktur, wyróżniane są tekstury reliktowe. Najczęściej występują pozostałości po laminacjach ze skał osadowych lub strukturach fluidalnych skał magmowych." ]

[]

[ "Minerały wstępujące w protolitach wykazują różne właściwości mechaniczne i chemiczne na działalność czynników metamorfizmu. Główne minerały skałotwórcze można podzielić na dwa rodzaje:", "W niektórych minerałach zachodzi częściowa przebudowa struktury kryształów i powstają formy pokrewne z tej samej grupy mineralnej, które cechuje stabilność ciśnieniowo-temperaturowa. Należą tu minerały z grupy węglanów, przechodzące w trwały kalcyt, czy skalenie wapniowe ulegające transformacji w formy bogatsze w sód. W tym przypadku stabilność mineralna może być rozpatrywana w obrębie grup minerałów. Niektóre minerały, np. granat lub muskowit, w skałach metamorficznych mogą przechodzić z protolitów lub powstawać na drodze blastezy.", "Poddane metamorfizmowi główne minerały skał magmowych i osadowych zachowują się następująco:", "Minerały z grupy krzemionki", "Minerały z grupy krzemionki w skałach metamorficznych reprezentowane są wyłącznie przez kwarc( Rys. 1 A, B )(wyjątkiem są skały powstające w wyniku metamorfizmu szokowego, w których może powstać stiszowit czy koezyt)(zob. Kwarc ), [1], [2]. Uwodnione formy krzemionki, czyli opal i chalcedon, ulegają odwodnieniu i przechodzą w kwarc [3]. W temperaturach powyżej \\(573 ^oC\\) kwarc β podlega transformacji w wysokotemperaturową odmianę kwarcu α.", "Kwarc jest typowym składnikiem skał metamorficznych dziedziczonym po protolicie. Jego ilość zależy od ilości minerałów z grupy krzemionki obecnych w skale wyjściowej. Wśród skał metamorficznych występują odmiany kwarcowe mono- lub prawie monomineralne nazywane kwarcytami (zob. Skały metamorfizmu regionalnego ), [4]. Powszechne są skały oligomiktyczne, tj. fyllity, gnejsy, granulity i niektóre odmiany łupków, gdzie kwarc należy do głównych składników (zob. ), , ). W wielu typach skał metamorficznych jest minerałem pobocznym lub akcesorycznym. W odmianach oligomineralnych tworzy często indywidualne nagromadzenia w formie gniazd lub soczewek. Powszechnie występuje również jako minerał wypełniający żyły.", "Skalenie", "Skalenie ( Rys. 1 A, C) to grupa minerałów, która jest dziedziczona po protolicie (zob. Skalenie ). Do minerałów stabilnych należą plagioklazy kwaśne. Są one reprezentowane głównie przez albit i oligoklaz, czyli odmiany zasobne w sód. Plagioklazy wapniowe są nietrwałe i przechodzą w skalenie sodowe lub ulegają transformacji w epidoty, zoisyty i klinozoisyty (zob. Minerały z grupy epidotu ), czyli krzemiany glinu i wapnia [5]. Skalenie potasowe zachowują się w warunkach podwyższonych temperatur oraz ciśnień. Często występującym w skałach metamorficznych jest, biało lub szaro zabarwiony, mikroklin[1]. Krystalizuje on w układzie trójskośnym, w przeciwieństwie od innych skaleni potasowych, które krystalizują w układzie jednoskośnym [4], [2]. Skalenie są minerałami akcesorycznymi lub pobocznymi w wielu skałach metamorficznych. Jako jeden z głównych składników występują w granulitach i gnejsach (zob. ), ).", "Miki (łyszczyki)", "Miki ( Rys. 1 A, C, D) są typowym składnikiem wielu typów skał metamorficznych, zwłaszcza skał powstających w warunkach niskotemperaturowych i niskociśnieniowych. Są dziedziczone jako minerały stabilne z protolitów, głównie magmowych, lub są efektem transformacji minerałów ilastych. Powszechnie występują muskowit, biotyt (zob. Miki ) oraz serycyt[5], [1], [3], który jest drobnołuseczkową odmianą mik o charakterystycznej barwie szaro-srebrzystej lub zielonkawo-srebrzystej. Zwykle jest obecny w skałach niskiego stopnia metamorfizmu regionalnego [4], [1] oraz w niektórych typach skał osadowych. Łyszczyki są głównym, również mogą być dominującym, składnikiem łupków mikowych, powszechne są w gnejsach (zob. , ) i jako minerały akcesoryczne występują w wielu różnych odmianach skał metamorficznych.", "Amfibole", "Amfibole należą do minerałów stabilnych i neogenicznych. W skałach metamorficznych powszechnie występuje hornblenda (zob. Amfibole ). Częste są również inne formy, tj. glaukofan, antofyllit oraz minerały z szeregu aktynolitu (Mg-Fe szereg amfiboli wapniowych)( Nie znaleziono skrótu dla otoczenia (1) ), ( Rys. 2 ), z których zwykle występuje tremolit [1], [5], [4], [2].", "Amfibolie są głównym składnikiem łupków w facji zieleńcowej, których rodzaj amfibolu uwzględniony jest w nazwie skały, np. łupki aktynolitowe, tremolitowe czy antofyllitowe (zob. ). Z wymienionych amfiboli, tremolit należy do minerałów powszechnie spotykanych, występuje w skałach metamorfizmu regionalnego oraz kontaktowego. Glaukofan jest charakterystyczny dla łupków glaukofanowych, które powstają przy zaangażowaniu wysokich ciśnień (zob. ) .", "Pirokseny", "Pirokseny należą do minerałów stabilnych. Obok piroksenów znanych ze skał magmowych (zob. Pirokseny ), w skałach metamorficznych powszechny jest omfacyt o charakterystycznym zielonym zabarwieniu [4]. Jest jednym z głównych minerałów eklogitów (zob. ).", "Minerały poboczne i akcesoryczne skał magmowych", "Minerały poboczne i akcesoryczne ze skał magmowych są w części dziedziczone z protolitów i przechodzą do skał metamorficznych. Najczęściej są to: spinele, cyrkon, granat ( Rys. 3 ), turmalin, ilmenit, tytanit, apatyt i monacyt (zob. Minerały poboczne i akcesoryczne ).", "Węglany", "Węglany w skałach metamorficznych reprezentowane są głównie przez kalcyt [5], który jest odmianą trwałą w warunkach wysokich ciśnień i temperatur. W facji zieleńcowej zachowują się syderyt i dolomit, które przy wzroście parametrów temperaturowych przechodzą w stabilny kalcyt. Węglany są składnikiem dziedziczonym po protolicie. Budują skały mono- lub prawie monomineralne zwane marmurami (zob. Skały metamorfizmu regionalnego ), ale występują również w innych odmianach skał metamorficznych, jako składnik poboczny lub akcesoryczny.", "Substancja organiczna", "Węgiel pochodzenia osadowego, występujący w materii organicznej, w warunkach metamorfizmu ulega zachowaniu i transformacji w grafit.", "Minerały niestabilne", "Do minerałów, które nie przechodzą z protolitów do skał metamorficznych i ulegają rozpadowi w warunkach podwyższonych temperatur i ciśnień należą [5], [3], [6]:" ]

[]

[ "To grupa minerałów stanowiąca odmiany polimorficzne substancji \\(Al_2SiO_5\\)(zob. Budowa wewnętrzna i postać minerałów ), [1].", "Kyanit( Rys. 1 A, B ) to minerał powstający w warunkach bardzo wysokich ciśnień [2]. Występuje w skałach facji amfibolitowej, granulitowej i eklogiotowej, jako komponent łupków mikowych, amfibolitów oraz eklogitów (zob. , , [3]. Inna nazwa, używana zamiennie z kyanitem, to cjanit, znacząca niebieski, podkreśla ona charakterystyczną barwę tego minerału. W literaturze z ubiegłego wieku używana jeszcze była nazwa dysten [4]. Ta nazwa nawiązywała do jego charakterystycznej cechy fizycznej. Określenie „dysten” (dis = podwójnie oraz sthenos = siła, moc) podkreśla anizotropię twardości, która u kyanitu ma różne wartości, w zależności od kierunku jej badania. Wzdłuż kryształów kyanit wykazuje twardość 4-4,5 w skali Mohsa, analizowana ona w poprzek długości wynosi 6,5-7 w skali Mohsa ( Nie znaleziono skrótu dla otoczenia (1) ).", "Kyanit jest podatny na procesy wietrzenia i nie jest powszechny w środowiskach sedymentacyjnych [3].", "Sillimanit i andaluzyt( Rys. 1 C, D, E) to minerały wysokotemperaturowe [5], [6], charakterystyczne dla metamorfizmu kontaktowego, dla facji hornfelsowej oraz amfibolitowej, granulitowej i eklogitowej (zob. Skały metamorfizmu kontaktowego , , , [3], [7].", "W skałach metamorficznych występują głównie jako minerały poboczne lub akcesoryczne [8]. Są odporne na procesy wietrzeniowe i przechodzą do środowisk osadowych, gdzie spotykane są jako ziarna w utworach klastycznych [5]." ]

[]

[ "Talk", "Talk ( Rys. 1 B) to minerał charakterystyczny dla stref niskiego metamorfizmu (zob. ), [1], [2].", "Należy do minerałów wybitnie miękkich, ulega zarysowaniu paznokciem. Jest minerałem wskaźnikowym w skali Mohsa, który definiuje najniższy stopień twardości, oznaczony wartością 1 ( Nie znaleziono skrótu dla otoczenia (1) ), (zob. Właściwości fizyczne minerałów ). Poza twardością, talk wyróżnia charakterystyczny połysk oraz odczucie tłustości w dotyku [3]. Zwykle występuje w skupieniach zbitych, pojedyncze kryształy nie są częste. Jest dominującym składnikiem łupków talkowych, powstających w facji zieleńcowej (zob. ), [4], [2].", "Grafit", "Grafit ( Rys. 1 A) należy do gromady pierwiastków rodzimych (zob. Minerały ). Zwykle występuje w skupieniach zbitych, pojedyncze kryształy nie są częste. Jego nazwa pochodzi od słowa pisać, nawiązuje do łatwo uzyskiwanej barwnej rysy minerału. Grafit jest produktem metamorfizmu regionalnego i kontaktowego (zob. Rodzaje metamorfizmu ), [5] lub związany jest z krystalizacją stopów resztkowych [3]. Jest charakterystycznym składnikiem łupków grafitowych (zob. ). Występuje powszechnie jako minerał poboczny lub akcesoryczny w innych odmianach skał metamorficznych [1]. Znany jest również z meteorytów [6], [4]." ]

[]

[ "Chloryty ( Rys. 1 ) to powszechne minerały w wielu skałach metamorfizmu regionalnego oraz metamorfizmu kontaktowego (zob. Skały metamorfizmu regionalnego , Skały metamorfizmu kontaktowego ). Najczęściej występuje pennin i klinochlor[1], [2], [3].", "Większe nagromadzenia chlorytów znajdują się w zieleńcach i łupkach metamorficznych (zob. ). W innych skałach metamorficznych są minerałami pobocznymi lub akcesorycznymi. Chloryty stosunkowo rzadko tworzą duże kryształy, zwykle są kryptokrystaliczne. Poza procesami metamorficznymi, powstają z fluidów hydrotermalnych oraz jako produkt wietrzenia/przeobrażenia innych minerałów [4] lub związany z krystalizacją stopów resztkowych [3]. Nazwa chlorytów (z gr.) nawiązuje do charakterystycznego zielonego zabarwienia tego minerału." ]

[]

[ "Powszechne minerały z grupy serpentynu to chryzotyl, antygoryt, lizardyt( Rys. 1 ). Minerały te zwykle współwystępują ze sobą, przeplatając lub przerastając się wzajemnie. To powoduje powstanie charakterystycznego efektu plamistości, który dostrzegalny jest w skałach.", "Antygoryt i lizardyt tworzą kryształy o pokroju płytkowym ( Nie znaleziono skrótu dla otoczenia (1) ), (zob. Pokrój minerałów i forma skupień ), [1], [2], [3]. Dla chryzotylu typowe są kryształy pokroju włóknistego, a skupiska takich kryształów nazywane są azbestem chryzotylowym [4]. Minerały z grupy serpentynu są dominującym komponentem serpentynitów, w których największy udział mają antygoryt i chryzotyl (zob. ), [1]. Występują jako poboczne lub akcesoryczne składniki w wielu różnych skałach metamorficznych. Mogą powstawać również w wyniku procesów hydrotermalnych i wietrzeniowych [5]." ]

[]

[ "Staurolit ( Rys. 1 ) jest częstym składnikiem skał metamorfizmu regionalnego (zob. Rodzaje metamorfizmu ). Występuje w różnych odmianach łupków i gnejsów (zob. ), zwykle jako składnik poboczny lub akcesoryczny. Rzadziej powstaje podczas przeobrażeń kontaktowych [1].", "Nazwa staurolit (z gr.), która w tłumaczeniu znaczy kamień krzyżowy, nawiązuje do typowych form zbliźniaczeń krzyżowych ( Rys. 1 ), (zob. Pokrój minerałów i forma skupień ), które powszechnie tworzy ten minerał [2]. Jest to jedna z jego cech identyfikacyjnych [3]. Staurolit jest odporny na czynniki wietrzne i wchodzi w generacje skał osadowych [4], [5]." ]

[]

[ "Powszechnymi minerałami grupy epidotu, które występują w skałach metamorficznych są epidot, zoisyt i klinozoisyt( Rys. 1 ), [1].", "Epidoty tworzą szereg izomorficzny z klinozoisytem (zob. Budowa wewnętrzna i postać minerałów ). Powstają podczas przeobrażeń kontaktowych oraz metamorfizmu regionalnego [2]. Stanowią częsty składnik poboczny lub akcesoryczny zieleńców oraz łupków facji zieleńcowej i amfibolitowej (zob. ), . W łupkach epidototowo-chlorytowych należą do minerałów głównych (zob. ). Krystalizacja epidotu może być związana również z procesami hydrotermalnymi.", "Zoisyt i klinozoisyt stanowią odmiany polimorficzne krzemianów glinowo-wapniowych [2], [3]. Klinozoisyt, to powszechny minerał, powstaje podczas metamorfizmu regionalnego oraz kontaktowo-metasomatycznego, również z przeobrażenia skaleni wapniowych podczas procesów hydrotermalnych. Zoisyt występuje rzadziej, zwykle jest składnikiem pobocznym lub akcesorycznym skał powstających przy wpływie bardzo wysokich ciśnień. Występuje w łupkach glaukofanowych, amfibolitach, gnejsach, granulitach i eklogitach. Powstaje również podczas metamorfizmu kontaktowo-metasomatycznego (zob. ), , , [4]." ]

[]

[ "Kordieryt", "Kordieryt ( Rys. 1 A) występuje zwykle jako minerał poboczny i akcesoryczny w skałach metamorfizmu regionalnego (zob. Skały metamorfizmu regionalnego ), głównie w gnejsach i łupkach oraz w skałach metamorfizmu kontaktowego (zob. Skały metamorfizmu kontaktowego ), [1], [2], [3]. Jest rzadki w skałach magmowych, znajdowany jest głównie w pegmatytach [4]. Tworzy dostrzegalne makroskopowo przerosty pomiędzy indywidualnymi osobnikami. Powszechnie tworzy zbliźniaczenia polisyntetyczne.", "Wollastonit", "Wollastonit ( Rys. 1 B) jest głównie produktem metamorfizmu kontaktowego lub kontaktowo-metasomatycznego (zob. Skały metamorfizmu kontaktowego ) skał węglanowych [5], [4]. Powstaje w wyniku reakcji węglanu wapnia z krzemionką [6]. Minerał ten tworzy zwykle białe wrostki w obrębie innych minerałów np. w kwarcu lub w agregatach chlorytowo-mikowych." ]

[]

[ "Spośród wszystkich skał metamorficznych, skały metamorfizmu regionalnego mają największy udział w budowie skorupy ziemskiej. Są wynikiem przeobrażeń wewnątrzlitosferycznych, czyli oddziaływania wysokich ciśnień i temperatur na skały występujące na określonych głębokościach w obrębie skorupy ziemskiej i górnej części płaszcza ziemskiego. Proces ten zachodzi globalnie i jego produktem są rozległe ciała skalne (zob. Rodzaje metamorfizmu ).", "Skały metamorfizmu regionalnego cechują zróżnicowane cechy strukturalne i teksturalne, które wykazują bezpośrednie powiązanie z typem i stopniem natężenia czynników metamorfizmu oraz składem mineralnym protolitu [1]. Zależnie od rodzaju i nasilenia czynników metamorfizmu, z jednego protolitu mogą powstawać różne odmiany skalne. Zakres zmienności warunków występujących w metamorfizmie regionalnym, będący kombinacją różnych wartości stresu, ciśnienia statycznego i temperatury, jest bardzo szeroki i obejmuje generalnie facje: zeolitową, zieleńcową, amfibolitową, granulitową, eklogitową i glaukofanową (zob. Facje metamorficzne ). W każdej z facji powstają skały typowe dla określonych warunków metamorficznych, posiadające cechy swoiste, wyrażane przede wszystkim składem minerałów neogenicznych, ale i cechami teksturalno-strukturalnymi.", "Skład mineralny skał przeobrażonych regionalnie zależny jest od składu mineralnego skał wyjściowych. Z reguły neolity zawierają nowe minerały, zwłaszcza gdy powstały z protolitów oligo- lub polimineralnych. Skały powstające z protolitów monomineralnych, zbudowanych z minerałów stabilnych, nie zmieniają podstawowego składu mineralnego, a od protolitu różnią się cechami tekstualno-strukturalnymi. Do tej grupy zaliczane są marmury oraz kwarcyty. Cechuje je unifikacja facjalna, gdyż powstają powszechnie, w różnych warunkach ciśnieniowo-temperaturowych, zatem występują w różnych facjach metamorfizmu regionalnego.", "Marmury", "Marmury ( Rys. 1 ) to grupa skał węglanowych, występująca w zróżnicowanym zabarwieniu [2]. Większość marmurów to skały jasne, w kolorystyce od śnieżno-białej, przez szarą, różową, zielonkawą do skał ciemnych - ciemnoszarych i czarnych. W wielu skałach obserwowana jest horyzontalna lub wertykalna zmiana zabarwienia i wzajemne przejścia różnych odmian kolorystycznych. Ze względu na powszechność struktur faneroblastycznych, marmury bywają nazywane wapieniami krystalicznymi. Cechują je struktury granoblastyczne, homeoblastyczne od drobno- do gruboblastycznych, zwykle średnioblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ), [2], [3]. Przejawem faneroblastyczności jest faktura cukrowata świeżego przełamu skały ( Rys. 1 C, D, E, F). Wynika ona z pękania skały wzdłuż granic blastów lub wzdłuż powierzchni ich łupliwości. Powierzchnie te intensywnie połyskują. Cecha ta została podkreślona w nazwie skały, marmos po grecku znaczy skrzący. Tekstury w marmurach są zróżnicowane. Większość marmurów posiada tektury bezładne. Tekstury kierunkowe, głównie różne odmiany laminacji, występują dość powszechnie, rzadsze są odmiany łupkowe (zob. Tekstury skał metamorficznych ). Podstawowym składnikiem mineralnym marmuru, stanowiącym ponad \\(90\\%\\) skały, jest węglan, najczęściej kalcyt, rzadziej dolomit (marmury dolomityczne). Poza węglanami, marmury zawierają akcesoryczne domieszki kwarcu, skaleni, mik, chlorytów, amfiboli, piroksenów, granatów, brucytu, wollastonitu i innych minerałów skał metamorficznych [4], [5].", "Marmury powstają w warunkach metamorfizmu regionalnego oraz metamorfizmu kontaktowego (zob. Rodzaje metamorfizmu ). Tworzą się przez przeobrażenie skał węglanowych, głównie wapieni, ale również dolomitów i syderytów [6].", "Kwarcyty", "Kwarcyty ( Rys. 2 ) to głównie skały jasne o zabarwieniu od białych i szarych przez różowe, czerwonawe. Odmiany ciemne występują rzadziej. Mają struktury homeoblastyczne, drobno- lub średnioblastyczne, grano- lub granonematoblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ). Cechują je głównie tekstury bezładne, tekstury kierunkowe nie są powszechne [2]. Dla odmian z wyrazistą oddzielnością kierunkową używana jest nazwa łupek kwarcytyczny ( Rys. 2 C). Oddzielność ta wynika z laminarnej koncentracji mik, wzdłuż której następuje podzielność skały [3]. W kwarcytach powstałych w facji zieleńcowej mogą występować struktury i tekstury reliktowe (zob. Tekstury skał metamorficznych ). Są to najczęściej pozostałości stratyfikacji i laminacji lub zarysy obtoczonych większych ziaren klastycznych. Kwarcyty zbudowane są z kwarcu, w ilości ponad \\(80\\%\\)[2]. Obok niego mogą występować skalenie, miki, chloryty, węglany, epidot i inne minerały skał metamorficznych [4].", "Cechy świeżych powierzchni skały przypominają cechy kryształu kwarcu (zob. Kwarc ). Kwarcyty to skały twarde, odłupki kwarcytu są ostrokrawędziste. Pękają wzdłuż powierzchni nierównych, nawiązujących wyglądem do przełamu muszlowego, na których występuje połysk tłusty. Kwarcyty powstają jako produkt metamorfizmu regionalnego oraz metamorfizmu kontaktowego z piaskowców kwarcowych oraz skał krzemionkowych [6]." ]

[]

[ "Wpływ stresu na protolit, w facjach zieleńcowej i zeolitowej, skutkuje uformowaniem tekstur kierunkowych (zob. Czynniki metamorfizmu ). W skałach niskiego metamorfizmu powszechne są foliacja i jej odmiany łupkowe (zob. Tekstury skał metamorficznych ). Tekstury te bywają zniekształcone przez deformacje fałdowe. Typowe dla skał niskich ciśnień i temperatur są struktury drobnoblastyczne. Charakterystycznymi odmianami skalnymi powstającymi w facji zieleńcowej są zieleńce, fyllity, serpentynity i różne odmiany łupków.", "Zieleńce", "Zieleńce ( Rys. 1 A, B ) to grupa skał drobnoblastycznych, często skrytoblastycznych, homeoblastycznych, zwykle wykazujących różny stopień zaawansowania foliacji oraz zabarwienie zielonkawe, szare, szaro-zielone. Zbudowane są z blastów chlorytu, epidotu, skaleni oraz amfiboli, którym mogą towarzyszyć inne minerały skał metamorficznych [1], [2]. Łupki zieleńcowe( Rys. 1 F), zwane łupkami zielonymi, to odmiana teksturalna zieleńców z dobrze zaznaczoną foliacją.", "Zieleńce powstają głównie przez przeobrażenie magmowych skał zasadowych, tj. bazaltów, diabazów, niektórych gabr oraz tufów i tufitów, czyli skał piroklastycznych [2]. Mogą też powstawać z pelitycznych skał osadowych, najczęściej z protolitów marglistych [3]. W zieleńcach i łupkach zieleńcowych stosunkowo często zachowują się struktury reliktowe, odziedziczone po protolitach magmowych.", "Serpentynity", "Serpentynity ( Rys. 2 ) to skały o strukturach od drobno- do gruboblastycznych, posiadające zabarwienie zielone. Nazwa skały nawiązuje do składu mineralnego, który zdominowany jest przez minerały z grupy serpentynu: antygoryt, chryzotyl i lizardyt (zob. Minerały z grupy serpentynu ), [2]. Zmienność cech strukturalnych i teksturalnych skutkuje dużą różnorodnością serpentynitów w obrazie makroskopowym. W ich obrębie występują odmiany włókniste, siatkowate lub łuseczkowate, o teksturach bezkierunkowych, z foliacjami lub laminowane [1]. Charakterystyczna dla wielu serpentynitów jest plamistość, czyli występowanie bezładnie rozmieszczonych intensywniej i słabiej wybarwionych obszarów skały. Jest to wynik selekcji mineralnej i punktowych koncentracji jednego ze składników głównych. Inne odmiany są rzadziej spotykane. Powierzchnie rozłamu serpentynitów są gładkie, szklisto lub tłustawo połyskujące. Skały te często poprzecinane są siecią żył mineralnych wypełnionych minerałami wtórnymi, najczęściej minerałami z grupy krzemionki lub węglanami.", "Serpentynity powstają przez przeobrażenie w warunkach facji zieleńcowej, przy współudziale procesów hydrotermalnych lub/i metasomatycznych, skał ultrazasadowych z grupy perydotytów oraz niektórych odmian zasadowych gabr i lamprofirów [3]. Wskutek procesu serpentynizacji, przekształceniu w serpentynity ulegają również skały metamorficzne, tj. amfibolity i marmury.", "Fyllity", "Fyllity ( Rys. 1 C, D, E) to skały o strukturach drobnoblastycznych, często skrytoblastycznych, homeoblastycznych i zabarwieniu szarym, zielonkawym lub brunatnawym. Cechą typową fyllitów jest wyraźny jedwabisty lub/i srebrzysty połysk na powierzchniach oddzielności [2], [4]. Nazwa fyllit pochodzi od słowa liść (z gr.) i podkreśla typową dla fyllitów, bardzo dobrą oddzielność cienko- i średniopłytkową, określaną powszechnie jako liściowa. Wiele fyllitów wykazuje deformacje fałdowe. Fyllity składają się z serycytu i kwarcu, które stanowią około połowy składników w skale (zob. Minerały protolitów ). Obok nich wstępuje powszechnie chloryt, skalenie i węglany [1].", "Fyllity to produkt przeobrażenia protolitów osadowych skał pelitycznych, tj. iłowce, mułowce [3].", "Łupki metamorficzne", "Różnorodną grupą skał powstających w facji zieleńcowej są łupki ( Rys. 3 ), ( Rys. 4 ). Cechuje je występowanie spójnych cech strukturalno-teksturalnych. Są to skały drobnoblastyczne, powszechnie skrytoblastyczne, rzadziej średnioblastyczne z dominującym lub istotnym udziałem struktur lepido- lub nematoblastycznych. Wykazują wyraziste złupkowacenie [2], [4]. W ich obrębie powszechnie występują monomineralne laminy, zwykle składające się z kwarcu.", "Podział na różne typy łupków prowadzony jest ze względu na obecność charakterystycznego minerału, nadającego skale metamorficznej szczególne cechy, które zaznaczają się w jej obrazie makroskopowym. Minerał ten, zwany indeksowym, może być dominujący w skale, jak kwarc w łupkach kwarcytycznych, czy talk w łupkach talkowych. Może też stanowić jeden ze składników charakterystycznych, jak grafit, który w łupkach grafitowych jest minerałem akcesorycznym, czy chloryt, który występuje równorzędnie lub podrzędnie z kwarcem w łupkach chlorytowych.", "W facji zieleńcowej występują różnorodne łupki będące odmianami petrograficznymi fyllitów i zieleńców. Do skał o typie fyllitów należą wzbogacone w chloryty (zob. Chloryty ), łupki chlorytowo-serycytowe, łupki kwarcowo-serycytowe zubożone w chloryty, łupki serycytowe( Rys. 3 A, B, C, D), w których dominuje serycyt (zob. Minerały protolitów ), obok którego występują podrzędnie kwarc, chloryty i skalenie [1]. Powstają one z przeobrażenia osadowych skał pelitycznych. W niektórych odmianach łupków występują liczne porfiroblasty granatów, wówczas do nazwy skały dodawane jest określenie – z granatami.", "Do grupy zieleńców i fyllitów nawiązują łupki chlorytowe( Rys. 3 E, F) o zwiększonym udziale chlorytów [3] oraz łupki epidotowo-chlorytowe o zwiększonym udziale chlorytów i epidotów (zob. Minerały z grupy epidotu ), [1]. Powstają przez metamorfizm skał pelitycznych ilastych, mułowcowych, marglistych, skał piroklastycznych i magmowych skał zasadowych i ultrazasadowych. Niektóre odmiany formowane są w warunkach wysokiego ciśnienia, w obrębie facji glaukofanowej (zob. ).", "Zabarwienie i cechy teksturalne tych skał są podobne do odmian macierzystych i nawiązują odpowiednio do cech zieleńców lub fyllitów.", "Kolejna grupa łupków to skały składające się w przewadze z amfiboli, tj. łupki aktynolitowe, tremolitowe, antofyllitowe. Podrzędnie występują w nich inne amfibole, talk, epidot, miki i inne minerały. Nazwy łupków pochodzą od nazwy amfibolu, który stanowi składnik dominujący (zob. Minerały protolitów ). Charakteryzuje je struktura nematoblastyczna i jasne zabarwienie w odcieniach białego, szarego, zielono-szarego, za wyjątkiem łupków aktynolitowych, które są ciemnozielone [1]. Są efektem metamorfizmu skał ultrazasadowych [3], powstają przy współudziale procesów hydrotermalnych.", "Indywidualne wydzielenia tworzą łupki talkowe i grafitowe. Łupki talkowe( Rys. 4 C) wyróżnia srebrzysto-biała, srebrzysto-zielona lub srebrzysto-szara barwa, tłusty lub perłowy połysk na powierzchniach oddzielności i odczucie tłustego dotyku. Zbudowane są w ponad \\(90\\%\\) z talku (zob. Talk i grafit ), któremu podrzędnie towarzyszą serpentyny, amfibole, chloryt, kwarc i inne minerały [2], [5]. Są one efektem metamorfizmu regionalnego oraz termicznego. Powstają z przeobrażenia protolitów ultrazasadowych i zasadowych skał magmowych [3] w obecności wody przy współdziałaniu procesów hydrotermalnych [1].", "Łupki grafitowe( Rys. 4 A, B ) zbudowane są głównie z kwarcu, grafit będący minerałem indeksowym występuje w ilości do kilku procent. Łyszczyki, chloryty i inne minerały skał metamorficznych stanowią składniki akcesoryczne. Domieszka grafitu wybarwia skałę na kolor czarny oraz jest przyczyną brudzenia palców przy potarciu powierzchni skały [2]. Łupki grafitowe powstają ze skał klastycznych, tj. łupków, piaskowców, które zawierają istotne ilości węgla [1], [4]." ]

[]

[ "Warunki temperatur i ciśnień w facji amfibolitowej, w tym istotne oddziaływanie stresu, wpływają na wykształcenie skał o strukturach faneroblastycznych oraz o tekturach kierunkowych, o różnym stopniu wyrazistości. Typowymi odmianami skał tej facji są amfibolity, gnejsy i łupki mikowe.", "Amfibolity", "Amfibolity ( Rys. 1 ) to skały barwy ciemnej, zwykle czarnej, czarno-zielonej lub czarno-szarej, o silnym połysku na świeżych powierzchniach. Zabarwienie i połysk wynikają z cech indywidualnych hornblendy (zob. Amfibole ), która jest dominującym składnikiem mineralnym. Obok hornblendy, występują plagioklazy [1] oraz domieszki kwarcu, epidotu, granatów i innych minerałów typowych dla skał metamorficznych [2], [3]. Amfibolity mają struktury drobno- lub średnioblastyczne, nematoblastyczne [4] lub granonematoblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ). Struktury porfiroblastyczne występują sporadycznie. W amfibolitach dominują tekstury kierunkowe, mające formy zarówno foliacji, jak i laminacji (zob. Tekstury skał metamorficznych ). Skały o wyrazistej foliacji składające się z hornblendy i kwarcu nazywane są łupkami amfibolitowymi( Rys. 1 F) lub łupkami hornblendowymi.", "Amfibolity powstają głównie z zasadowych i obojętnych protolitów magmowych, tj. gabra, dioryty, diabazy, andezyty i bazalty oraz piroklastycznych, rzadziej z protolitów osadowych, tj. skały margliste [5] i dolomityczne.", "Amfibolity są produktem metamorfizmu regionalnego, przede wszystkim w facji amfibolitowej, ale niektóre ich odmiany mogą być formowane w facji zieleńcowej. Małe ciała amfibolitów mogą powstawać przy zachowaniu odpowiednich warunków ciśnieniowo-termicznych, podczas wymiany składników pomiędzy zróżnicowanymi chemicznie protolitami lub w procesie metamorfizmu kontaktowego [2].", "Łupki mikowe (łupki łyszczykowe)", "Łupki mikowe ( Rys. 2 ) to grupa skał z dobrze wykształconą teksturą kierunkową, zbudowana z kwarcu, skaleni i mik (zob. Tekstury skał metamorficznych , Kwarc , Skalenie , Miki ), [5], [4]. W ich obrębie wyróżniane są dwa podstawowe typy skał:", "Typowa dla nich jest wyrazista foliacja, podkreślona łupliwością. Powszechnie występują również laminacje. Łupki mikowe charakteryzuje struktura drobnoblastyczna, lepidoblastyczna lub lepidogranoblastyczna [2]. Częste są łupki porfiroblastyczne, gdzie w porfiroblastach zwykle występują granaty, kyanit, andaluzyt lub staurolit. W łupkach powszechne są koncentracje kwarcu, mające formę soczewkowatych gniazd lub cienkich żyłek kwarcowych oraz deformacje fałdowe [5]. Podstawowym składnikom łupków mikowych towarzyszą chloryt, staurolit, granat, sillimanit lub inne minerały skał metamorficznych.", "Łupki łyszczykowe powstają z przeobrażenia głównie skał osadowych pelitycznych, tj. mułowce i iłowce oraz kwaśnych skał magmowych [1].", "Gnejsy", "Gnejsy ( Rys. 3 ) to grupa skał o charakterystycznym rysunku teksturalnym, który podkreślony jest przez segregację składników jasnych i ciemnych. Dominują składniki jasne, czyli skaleń i kwarc [4], w mniejszej ilości chloryt i muskowit [5]. Składniki ciemne, głównie biotyt i amfibole, stanowią do kilkunastu procent skały. Oprócz tego, występują inne minerały, do powszechnych należą dysten, sillimanit, andaluzyt, kordieryt, augit, granaty, fluoryt, topaz, wollastonit i talk. Cechą gnejsów jest występowanie wyrazistych struktur kierunkowych [1], [5], co podkreśla nazwa skały pochodząca od słowiańskiego słowa \"zgnieciony kamień\". Cechuje je występowanie różnych odmian tekstury gnejsowej ( Rys. 3 ), [3]. Gnejsy o tekturach masywnych, nazywane granitognejsami, nie są powszechne [2]. Barwy gnejsów są jasne, podstawowe tło skaleniowo-kwarcowe jest białe, szare, zielonawe, różowe lub czerwonawe. W nim występują zgrupowane składniki ciemne w formie czarnych, czarno-zielonych lub ciemnoszarych lamin lub smug. Ze względu na oboczne zmiany barw tła kwarcowo-skaleniowego określane są jako skały pstre. Gnejsy są skałami o teksturach grano-lepidoblastycznych, homeoblastycznych, od drobno- do gruboblastycznych, niektóre odmiany są profiroblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ), [2]. Koloryt oraz wykształcenie teksturalne gnejsów są zróżnicowane, przez co jest to grupa skał wykazująca dużą zmienność w wyglądzie makroskopowym.", "Gnejsy to grupa skał, która może być formowana z szerokiej gamy protolitów osadowych (paragnejsy) i magmowych (ortognejsy)[5] oraz powstaje w wyniku metamorfizmu uwarunkowanego różnymi czynnikami [6]. Zatem gnejsy powstają w wyniku:" ]

[]

[ "Typowe dla skał powstałych w tej facji są struktury faneroblastyczne i granoblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ). Warunki wysokich ciśnień statycznych (zob. Czynniki metamorfizmu ), w jakich zachodzą przeobrażenia, generują głównie tekstury bezkierunkowe. Typowymi skałami są granulity i eklogity.", "Typowe granulity ( Rys. 1 ) zbudowane są z blastów skalenia i kwarcu (zob. Skalenie , Kwarc ), co przekłada się na ich białe i szare barwy. Głównym składnikom towarzyszą podrzędnie granaty lub/i pirokseny. Ze względu zabarwienie takie granulity nazywane są granulitami jasnymi [1]. Odmiany granulitów ciemnych, z dużą ilością granatu i piroksenu [2], [3], głównie hiperstenu, występują w kolorystyce szaro-brązowej lub czarno-bordowej. Obok składników głównych, w granulitach występują dysten, sillimanit i kordieryt i inne minerały. Cechują je struktury granoblastyczne, drobno- lub średnioblastyczne oraz porfiroblastyczne (zob. Struktury skał metamorficznych ), [4] z granatami w porfiroblastach. Granulity zwykle mają tekstury bezładne, tekstury kierunkowe o typie gnejsowym występują podrzędnie.", "Granulity powstają przez transformację metamorficzną skał magmowych: głębinowych obojętnych, tj. dioryty, gabra oraz kwaśnych, obojętnych i zasadowych skał wylewnych, tj. granitoidy, a także oligomiktycznych skał klastycznych, tj. arkozy, szarogłazy, mułowce oraz skał piroklastycznych. Granulity należą do skał rzadkich w obrębie powierzchniowych struktur litosferycznych [4].", "Eklogity", "Eklogity mają zabarwienie ciemne ( Rys. 2 ). Zwykle są ciemno-szare lub szaro-zielone z odcieniem fioletowym lub bordowym. Charakteryzują je struktury granoblastyczne, drobno- i średnioblastyczne lub rzadziej porfiroblastyczne, gdzie granaty (zob. Minerały protolitów ), reprezentowane zwykle przez pirop, występują w charakterze porfiroblastów. Obok granatów, drugim podstawowym składnikiem jest piroksen, najczęściej omfacyt [2], [1]. Jako składniki poboczne zawierają skalenie, kwarc, amfibole i inne minerały [5]. Eklogity są skałami o teksturach bezładnych, podrzędnie występują tekstury kierunkowe o typie laminacji.", "Eklogity powstają głównie przez metamorfizm skał magmowych obojętnych, zasadowych i ultrazasadowych, tj. diabazy, lamprofiry, andezyty, gabra, bazalty, perydotyty oraz skał piroklastycznych. Podrzędnie powstają ze skał osadowych wapienno-ilastych i wapienno-krzemionkowych [4]. Eklogity należą do rzadko spotykanych odmian skał metamorficznych występujących w górnej części litosfery." ]

[]

[ "Skały facji glaukofanowej powstają w warunkach bardzo wysokich ciśnień kierunkowych. To sprzyja występowaniu foliacji oraz struktur nematoblastycznych, będących efektem dominującej ilości minerałów o pokrojach wydłużonych (zob. Czynniki metamorfizmu ). Typową odmianą skalną dla tej facji są łupki glaukofanowe.", "Łupki glaukofanowe, zwane są również glaukofanitami lub niebieskimi łupkami ( Rys. 1 ) ze względu na charakterystyczne niebiesko-fioletowe lub szaro-niebieskawe zabarwienie [1]. Pochodzi ono od glaukofanu (amfibolu), który jest ich głównym składnikiem (zob. Minerały protolitów ). Towarzyszą mu epidoty, rutyl, kwarc, skalenie, chloryty i granaty. Łupki glaukofanowe to skały o strukturach drobno- lub średnioblastycznych, wykazujące złupkowacenie o różnym stopniu wyrazistości [2], [3]. Są to skały rzadko występujące w powierzchniowych strefach litosfery ziemskiej. Łupki glaukofanowe są produktem metamorfizmu wysokociśnieniowego w warunkach niskich temperatur (zob. Facje metamorficzne ), [4], głównie skał magmowych zasadowych, tj. bazalty, diabazy i gabra, lamprofiry, oraz skał piroklastycznych (tufów wulkanicznych). Niektóre odmiany mogą powstawać również z innych skał magmowych lub osadowych o typie szarogłazów lub arkoz [1]." ]

[]

[ "Skały metamorfizmu kontaktowego, to skały metamorfizmu wysokotemperaturowego facji hornfelsowej (zob. Facje metamorficzne ), które de facto są inicjowane przez procesy magmowe. Źródłem temperatur, które są decydującym czynnikiem dla zmian skał otoczenia, jest stop glinokrzemianowy w intruzji magmowej.", "Ze względu na pozycję w aureoli kontaktowej oraz typ czynników przeobrażających, skały metamorfizmu kontaktowego reprezentują:", "Skały kontaktowo-metasomatyczne", "Cechą skał jest wzbogacenie protolitu w krzemionkę oraz Mg, Cl, F i inne składniki, które dostarczane są do przeobrażanego protolitu przez fluidy pochodzące z intrudującego stopu glinokrzemianowego. W tych warunkach protolity zbudowane z minerałów węglanowych przekształcają się w skarny ( Rys. 1 A), ( Rys. 2 B, E, F), skały pelitowe i aleurytowe zdominowane przez minerały ilaste w hornfelsy ( Rys. 1 B), ( Rys. 2 D), a skały składające się z minerałów krzemionkowych w kwarcyty [1]. Typowa dla skał metasomatycznych jest struktura podkreślona liniowymi przebarwieniami skały w strefach nasilonej migracji fluidów ( Rys. 2 A, B ).", "Skarny( Rys. 1 A), ( Rys. 2 ,C, E, F) to skały zbudowane z krzemianów i węglanów [2]. Powszechnie występują w nich kalcyt, piroksen, amfibol, wollastonit, wezuwian, grant oraz szereg innych minerałów, typowych dla metamorfizmu wysokotemperaturowego [1]. Jest to grupa skał o dużej zmienności w obrazie makroskopowym. Mogą mieć zabarwienie, od białego i kremowego, przez różowe, zielonkawe, do bordowego, ciemnoszarego i czarnego. Zwykle cechują je struktury profiroblastyczne lub struktury równoblastyczne, od drobno- do gruboblastycznych (zob. Struktury skał metamorficznych ), tekstury bezkierunkowe lub kierunkowe [3].", "Skarny powstają w wyniku metamorfizmu metasomatycznego z protolitów węglanowych i obocznie przechodzą w marmury lub powstają w wyniku metamorfizmu termicznego z protolitów węglanowo-krzemionkowych [4], tj. margle, mułowce margliste, dolomity ilaste, wapienie krzemionkowe [3].", "Hornfelsy( Rys. 1 B), ( Rys. 2 D) to skały ciemne, barwy ciemnoszarej, czarnej, brązowawej lub ciemnobordowej. Zwykle charakteryzuje je struktura drobnoblastyczna i granoblastyczna (zob. Struktury skał metamorficznych ) oraz tekstura bezładna, która wraz ze wzrostem odległości do intruzji, przechodzi w tekstury kierunkowe i kolejno w tekstury reliktowe [4]. Skały o teksturach kierunkowych zwykle wyróżniane są jako łupki hornfelsowe lub plamiste [1], [2]. Hornfelsy zbudowane są z kordierytu i andaluzytu, skaleni (w tym sanidynu), piroksenów i mik, oprócz których zawierają szereg innych minerałów typowych dla metamorfizmu wysokotemperaturowego [3].", "Powstają przez przeobrażenie protolitów osadowych pelitycznych, tj. mułowce, iłowce lub ze skał metamorficznych, tj. fyllity, łupki chlorytowe [2], [5]. Podobnie jak skarny, hornfelsy są wynikiem przeobrażenia skał protolitu, w obecności fluidów magmowych lub bez dostawy z zewnątrz substancji chemicznych.", "Skały wysokotemperaturowe", "Oprócz powyżej wspomnianych odmian, skały metamorfizmu kontaktowego są reprezentowane przez:", "Forma występowania", "Skały metamorfizmu kontaktowego występują lokalnie:", "Wraz z odległością od ciała intruzywnego lub efuzywnego maleje stopień zaawansowania zmian metamorficznych i następuje gradacyjne przejście w niezmienione skały otoczenia." ]

[]

[ "Jakość przeobrażeń w dynamometamorfizmie jest zależna od wartości stresu. Zaangażowanie stresu jest wprost proporcjonalne do rozdrobnienia protolitu oraz ilości neogenicznych profiroblastów (zob. Czynniki metamorfizmu ). Skały dynamometamorfizmu reprezentowane są przez szereg odmian powstałych przy wzrastających wartościach ciśnienia. Są to kakiryty i brekcje tektoniczne, kataklazyty oraz mylonity i ultramylonity.", "Kakiryty są efektem słabo zaawansowanego metamorfizmu dyslokacyjnego i należą do skał o najniższym stopniu przeobrażenia. Występują w strefach zewnętrznych osłony metamorficznej, pomiędzy niezmienionymi skałami otoczenia a brekcją tektoniczną. Kakiryt to skała protolitu poprzecinana siecią spękań, w której wyodrębnione klasty nie uległy przemieszczeniu [1], [2]. Brekcje tektoniczne( Rys. 1 A), zwane druzgotem tektonicznym lub salcesonem skalnym, to pokruszony na ziarna protolit [1], który został wtórnie spojony materiałem najdrobniejszym, powstałym przez zmiażdżenie części skały wyjściowej. Klasty brekcji są ostrokrawędziste, mają zróżnicowaną frakcję i bezładne rozmieszczenie. Poszczególne ziarna mogą być przemieszczone względem siebie [2].", "Kataklazyty( Rys. 1 B) to skały silnie rozdrobnionego protolitu [3], w którym występują residualne ziarna skalne, zwane porfiroklastami. Pomiędzy nimi może występować niewielka ilość miazgi mylonitycznej, czyli zgniecionego i roztartego protolitu [1], [2]. Porfiroklasty zwykle są niewielkie, choć ich frakcja może być zróżnicowana, zwykle są dostrzegalne makroskopowo. Większość kataklazytów ma tektury bezładne, tekstury kierunkowe są rzadkie [4].", "Mylonit( Rys. 1 C) to roztarta skała protolityczna (nazwa skały pochodzi od słowa mleć), w której pod wpływem ciśnienia kierunkowego rozpoczęły się procesy blastezy. W obrębie miazgi mylonitycznej, obok bardzo drobnych, niedostrzegalnych makroskopowo drobnych porfiroklastów w ilości \\(10-50\\%\\), występują również porfiroblasty. Mylonity zwykle wykazują strukturę kierunkową [1]. Skały o wyraźnych profiroblastach nazywane są blastomylonitami, niektóre odmiany są zaliczane do gnejsów oczkowych [4].", "Ultramylonity to skały zaawansowanego metamorfizmu dyslokacyjnego, w których zaznacza się najsilniejsze rozdrobnienie i ilość drobnych porfiroklastów nie przekracza \\(10\\%\\). W ultramylonitach wyraźnie zaznaczają się struktury kierunkowe [2].", "Forma występowania", "Skały dynamometamorfizmu występują lokalnie, w obrębie oraz obustronnie wzdłuż stref przemieszczeń litosferycznych (np. wzdłuż uskoków, nasunięć łusek, płaszczowin), tworząc osłonę (aureolę) metamorficzną( Rys. 2 ). Składa się ona z zespołu skał, w którym wraz z odległością od strefy tektonicznej maleje stopnień zaawansowania zmian metamorficznych." ]

[]

[ "Podczas przemian w metamorfizmie szokowym (uderzeniowym) dochodzi do rozdrobnienia i przetopienia części protolitu (zob. Rodzaje metamorfizmu ). W wyniku tych procesów powstają brekcje impaktowe i suewity.", "Brekcja impaktowa (zderzeniowa) ( Rys. 1 ) to skała występująca w strefie obrzeżenia aureoli impaktowej. Składa się z ostrokrawędzistych, bezładnie rozmieszczonych klastów protolitu. Jest on spojony mocno rozdrobnionym i roztartym materiałem drobnoziarnistym, który może zawierać niewielką ilość szkliwa impaktytowego [1]. Cechuje je tekstura bezładna. Brekcja impaktowa stanowi ogniwo przejściowe pomiędzy suewitami, a skałami protolitu z wykształconym systemem ciosu stożkowego ( Rys. 3 ).", "Suewity ( Rys. 2 ) to skały, składające się z rozmieszczonych bezładnie, ostrokrawędzistych lub nieco zaoblonych, w wyniku obtopienia, klastów protolitu. Są one spojone rozdrobnionym materiałem skalnym oraz szkliwem impaktowym, powstałym z przetopienia skał protolitu [2]. Ogólnie cechuje je tekstura bezładna. Części skały, które uległy istotnemu upłynnieniu, mogą przybierać tekstury kierunkowe [3]. Suewity są szczególną odmianą brekcji.", "Forma występowania", "Skały metamorfizmu szokowego występują lokalnie, w podłożu oraz bezpośrednim otoczeniu krateru impaktowego (aureola impaktowa) ( Rys. 3 ). Wraz z odległością od krateru maleje stopień zaawansowania zmian metamorficznych." ]

[]

[ "W wyniku procesów ultrametamorficznych dochodzi do powstania migmatytów( Rys. 1 ). Są to skały, które przeszły zaawansowane procesy metamorficzne w warunkach wysokich ciśnień i temperatur, co spowodowało wyprodukowanie stopów (zob. Ultrametamorfizm ), [1]. Częściowe upłynnienie protolitu powoduje selekcję składników o wyższych temperaturach topnienia. W wyniku tego powstają skały wykazujące laminację. Składają się z lamin utworzonych przez minerały wykrystalizowane z części upłynnionych oraz lamin silnie zmetamorfizowanych, zbudowanych ze składników stabilnych, które przetrwały w stałym stanie skupienia. Poszczególne laminy w makroskopowym obrazie migmatytu wyróżniają się kolorystycznie i strukturalnie. Laminy barwy białej, szarej, kremowej lub różowej mają strukturę granoblastyczną i zbudowane są w przewadze z kwarcu oraz skaleni. Ze względu na jasne zabarwienia nazywane są leukosomem. Określane są też neosomem, gdyż są genetycznie najmłodszą częścią skały. Przekładające je laminy ciemne, barwy czarnej, szarej, zielonawej, mają strukturę lepidonematoblastyczną, gdyż dominują w nich blasty ciemnych łyszczyków i amfiboli. Z uwagi na ciemne zabarwienie, te części nazywane są melanosomem lub określane paleosomem, gdyż reprezentują odziedziczone po protolicie, starsze części skały [2], [3]. Granice pomiędzy leukosomem, a melanosomem mogą być ostre, wyraźnie zaznaczone lub mniej wyraźne i pomiędzy nimi może występować przejściowa strefa reakcyjna, która nazywana jest mezosomem.", "Układ lamin w migmatycie może być bardzo różny, dlatego migmatyty jako grupę cechuje wysokie zróżnicowanie teksturalne ( Rys. 1 ). Cechy te stanowią podstawę ich podziału na różne odmiany. Do najczęściej występujących tekstur należą: brekcjowata, blokowa, siatkowa, żyłowa, warstwowa, fałdowa, oczkowa i smugowana [1], [4], [3], [5]. Laminy migmatytu cechuje oboczna zmienność miąższości, w większości wykazują deformacje plastyczne i z płynięcia. Charakterystyczne dla migmatytów są fałdki ptygmatytowe, czyli dysharmonijne, o wysokim stopniu krętości laminy leukosomu, których przebieg nie jest zgodny z ukierunkowaniem struktur paleosomu.", "Formy występowania", "Migmatyty powstają na znacznych głębokościach i tworzą rozległe ciała skalne, powiązane ze skałami metamorfizmu regionalnego facji wysokich ciśnień i/lub temperatur. Spotykane są również w otoczeniu dużych intruzji magmowych, najczęściej granitoidowych, w ich środkowych częściach, rzadziej aplikalnych [4]." ]

[]

[ "Fotogrametria była i jest powiązana z fotografią, wpierw doświadczyła fazy analogowej, w której aparaty fotograficzne były rezultatem precyzyjnego rzemiosła mechaniczno-optycznego (Rys. 1), a zdjęcia były naświetlane na materiałach srebrowych i wywoływane w ciemni. W ślad za rozwojem aparatów cyfrowych fotogrametria przeszła ewolucyjnie do fazy cyfrowej, dysponuje obecnie szeroką gamą urządzeń do wykonywania zdjęć.", "Od wielu lat rolę produktu flagowego fotogrametrii lotniczej pełni ortofotomapa, czyli mapa o fotograficznym przekazie treści. Opracowanie ortofotomapy jest relatywnie szybkie i tanie, co pozwala cyklicznie dokumentować zmiany użytkowania terenu, jak pokazuje Rys. 2 (dodatkowo można zauważyć poprawę rozdzielczości ortofotomapy z biegiem czasu).", "Współczesna fotogrametria lotnicza dysponuje środkami technicznymi, które można stosować zarówno w pracach wielkoobszarowych (statki załogowe) jak i małoobszarowych (statki bezzałogowe zwane dronami), zapewniając dokładności wymagane w pomiarach geodezyjnych. Po latach dominacji fotogrametrii lotniczej wraca zainteresowanie fotogrametrią z perspektywy naziemnej, która może być realizowana statycznie lub mobilnie. Nowym asortymentem prac fotogrametrycznych są modele 3D – budynków, obiektów inżynierskich czy artefaktów muzealnych. Fotogrametria, poza obecnością w geodezji, z powodzeniem zagnieżdża się w inne dziedziny. Jest wykorzystywana przy tworzeniu wirtualnej i rozszerzonej rzeczywistości. Otwiera się perspektywa automatyzacji \"czytania zdjęć\" opartej na sztucznej inteligencji.", "Podręcznik skupia się na fotogrametrii lotniczej, nie pomijając fotogrametrii naziemnej. Współczesna fotogrametria stosuje praktycznie ten sam aparat analityczny do opracowania zdjęć lotniczych jak i naziemnych, podobieństwa dotyczą też zasad wykonywania zdjęć, zwłaszcza w zakresie poprawnego naświetlania. Dowodem na uniwersalność przekazywanych treści jest fakt, że najczęściej cytowanym w e-podręczniku źródłem jest \"Close-range photogrammetry and 3D imaging\" [3], czyli książka poświęcona fotogrametrii bliskiego zasięgu. Zasadniczo tylko rozdziały \"Loty fotogrametryczne i osnowa terenowa\" oraz \"Ortofoto\" są poświęcone wyłącznie fotogrametrii lotniczej (aczkolwiek uważny Czytelnik znajdzie w tych rozdziałach informacje łatwe do adaptacji w fotogrametrii naziemnej).", "W ostatnich latach wielką popularność zdobyła metoda Structure-from-Motion (zob. Metoda SfM), która dzięki automatyzacji otworzyła wrota fotogrametrii dla szerokiego grona użytkowników. Nadto metoda zaciera – niegdyś ostre – granice pomiędzy fotogrametrią lotniczą i naziemną. Lektura podręcznika, w szczególności rozdziału \"Orientacja zdjęć w przestrzeni\", pozwala zrozumieć jak działa SfM, gdyż metoda stosuje rozwiązania wypływające z wieloletniego dorobku fotogrametrii. Metody automatyczne szybko prowadzą do wyniku, ale bardzo trudno jest ocenić jego jakość bez zrozumienia, które elementy procesu są kluczowe i mogą zawieść ( Murphy: \"Jeśli coś może pójść źle, to pójdzie\"). Dlatego warto sięgnąć do teorii, która jest syntetycznie przedstawiona w \"Podstawach fotogrametrii\".", "Ze względu na ukierunkowanie na podstawy fotogrametrii podręcznik pomija m.in.:" ]

[]

[ "Gdy rzutnia znajduje się przed środkiem rzutu, wówczas obraz ma taką samą orientację jak rzutowane obiekty (przedmioty), gdy rzutnia jest za środkiem rzutu wówczas obraz jest odwrócony o 180\\(\\mathtt {^o}\\), co pokazuje Rys. 1.", "Człowiek widzi rzeczywistość w sposób ulotny. Utrwalanie widzianych obrazów było ludzkim marzeniem które spełniało się etapowo. Około tysiąc lat temu powstała camera obscura, protoplasta aparatu fotograficznego. Pierwotnie było to ciemne pomieszczenie, światło przechodziło tylko przez mały otworek na jednej ścianie a obraz wyświetlał się na przeciwległej. Późniejsza camera obscura to niewielka ciemna skrzynka, a jeszcze później w miejscu otworka pojawiła się soczewka czyli prosty obiektyw. Przez stulecia nie udawało się pokonać problemu utrwalania obrazu, musiał być kopiowany ręcznie. W XIX wieku powstała technika utrwalania obrazu na materiałach pokrytych związkami srebra (tzw. fotografia srebrowa), która była doskonalona przez kolejne dziesięciolecia [2]. Dopiero pod koniec ubiegłego wieku materiały srebrowe zostały zastąpione mikroskopijnymi fotodiodami, tworzącymi rzutnię współczesnego aparatu fotograficznego.", "Korpus to szczelna obudowa o kształcie zwykle przypominającym prostopadłościan, która do wnętrza wpuszcza światło przechodzące tylko przez obiektyw. Obiektyw może być połączony na stałe z korpusem, w bardziej zaawansowanych aparatach obiektywy są wymienne. Na tylnej, wewnętrznej ścianie korpusu mieści się rzutnia, na której powstaje obraz.", "Obiektyw to układ optyczny skupiający światło, złożony z wielu soczewek, wykonanych ze szkła lub z plastiku. Na Rys. 2 obiektyw ma tylko jedną soczewkę, w rzeczywistości jest ich kilka a nawet kilkanaście. Przykład obiektywu z siedmioma soczewkami pokazuje Rys. 3. Podstawowymi cechami obiektywu są: ogniskowa, jasność, kąt widzenia. Ogniskowa to odległość od środka rzutu do ogniska (punkt \\(F'\\) na Rys. 4).", "Aby aparat fotograficzny robił ostre zdjęcia musi mieć możliwość zmiany odległości obiektyw–rzutnia, zwanej odległością obrazową. Zmiana tej odległości jest konieczna dla uzyskania ostrego zdjęcia, które powstaje wtedy, gdy jest spełnione równanie soczewki 2 :", "gdzie: \\(f\\) – ogniskowa obiektywu, \\(c\\) – odległość obrazowa, \\(d\\) – odległość przedmiotowa (Rys. 4).", "Z wzoru (1) wynika, że dla obiektów dalekich \\(c \\approx f\\), natomiast dla bliskich \\(c > f\\). Dlatego ustawianie ostrości na bliski plan (mała odległość przedmiotowa) wymaga odsuwania obiektywu od rzutni, a \"ostrzenie\" na daleki plan – przesunięcia obiektywu jak najbliżej rzutni. Większość współczesnych aparatów aparatów jest wyposażonych w system automatycznego ustawiania ostrości – auto focus AF.", "Rzutnia jest zmaterializowana przez regularny układ mikroskopijnych fotodetektorów, nazywany w fotografii matrycą. Detektory konwertują fotony światła na ładunek elektryczny, który z kolei jest zamieniany na wartości cyfrowe (zob. Jak powstaje zdjęcie cyfrowe). Matryca światłoczuła jest obok obiektywu kluczowym elementem aparatu fotograficznego.", "Na zewnętrznej, tylnej ścianie korpusu jest ekran dający podgląd obrazu, zwany wyświetlaczem lub wizjerem elektronicznym 3 . Moduł przetwarzania obraca obraz o 180\\(\\mathtt {^o}\\), aby był wyświetlany poprawnie (współczesne aparaty wykonują ponadto wiele innych działań przed wyświetleniem obrazu).", "Czas naświetlania matrycy reguluje migawka – mechaniczna, elektroniczna lub hybrydowa (świat obrazu). Migawki mechaniczne zasłaniają matrycę, otwierają się tylko w momencie wykonywania zdjęcia. W przypadku migawki elektronicznej czas naświetlenia jest równy czasowi odczytu matrycy i przekazania do pamięci. Na Rys. 2 pokazana jest symbolicznie migawka szczelinowa położona bezpośrednio przed matrycą. Migawka może być umiejscowiona wewnątrz obiektywu – migawka centralna.", "Przysłona to otwór kołowy o regulowanej średnicy, umieszczony pomiędzy soczewkami obiektywu (Rys. 3), decyduje jak dużo światła pada na matrycę. Ustawienie czasu naświetlania, wybór otworu przysłony, wyzwolenie migawki to funkcje modułu sterowania." ]

[ { "name": " Definicja 1: Rzut środkowy ", "content": " odwzorowanie przestrzeni 3D na płaską rzutnię, w którym obraz punktu\npowstaje na przecięciu rzutni z prostą przechodzącą przez punkt rzutowany i nieleżący na rzutni punkt, zwany\nśrodkiem rzutu środkowego. " } ]

[ "Aby zdjęcie zostało poprawnie naświetlone trzeba znaleźć optymalny układ czterech parametrów: przysłony, czasu otwarcia migawki, czułości matrycy i balansu bieli.", "Im większa jest średnica otworu przysłony tym więcej światła pada na rzutnię [1]. Wskaźnikiem jasności jest liczba przysłony \\(N\\) 1 obliczana następująco:", "gdzie: \\(f\\) – ogniskowa obiektywu, \\(\\phi _z\\) – średnica otworu czynnego, czyli otworu przez który światło wpada do obiektywu.", "Jak pokazuje Rys. 1 średnica otworu czynnego \\(\\phi _z\\) jest większa od średnicy przysłony \\(\\phi _p\\).", "Dla naświetlenia zdjęcia istotna jest powierzchnia obiektywu przez którą światło wpada do aparatu. Rozważmy dwie liczby przysłony: \\(N\\) i \\(\\sqrt {2} \\times N\\). Taka zmiana powoduje, że powierzchnia otworu czynnego maleje dwukrotnie. Odpowiada temu standard przysłon opisanych przez ciąg liczb \\(N\\): 1,4; 2; 2.8; 4; 5.6; 8; 11; 16, w którym każda zmiana \\(N\\) na kolejną (większą) powoduje dwukrotne zmniejszenie naświetlenia (Rys. 2).", "Czas otwarcia migawki musi być na tyle krótki, aby ruch fotografowanego obiektu czy ruch aparatu nie spowodował nieostrości zdjęcia. Gdy fotografujemy „z ręki” to czas naświetlania nie powinien być dłuższy niż 1/30 sek. Lepiej wybierać krótsze czasy, mając na uwadze, że im krótszy czas tym zmniejsza się liniowo naświetlenie matrycy.", "Aby powstał obraz, naświetlenie musi być większe niż czułość matrycy. Do określania czułości matryc stosuje się jednostki ISO (International Standards Organization). Wartość bazowa ISO równa 100 oznacza, że na matrycy powstanie obraz dobrej jakości przy naświetleniu 0,1 lx \\(\\cdot \\) s 2 . Standardowo stosuje się ciąg wartości ISO: 100, 200, 400, 800, itd. W takim ciągu każda zmiana ISO o jeden krok to dwukrotne zwiększenie czułości matrycy na światło. Wartości ISO większe od czułości bazowej matrycy są uzyskiwane na drodze wzmocnienia pomierzonego naświetlenia (sygnału). Ponieważ każdy sygnał zawiera szum, toteż wzmocnienie sygnału zwiększa jednocześnie zawarty w nim szum.", "Każda fotografowana scena ma swoją głębię. Odległość fotografowania dla której spełnione jest w aparacie równanie soczewki (1) nazywana jest planem \"ostrzenia\". Obiekty które leżą przed i za \"ostrym\" planem są na zdjęciu nieostre, im większe jest oddalenie od ostrego planu tym nieostrość jest większa.", "Występujące w definicji głębi ostrości pojęcie „wystarczająca ostrość” jest umowne, bo przecież nie wiadomo w jakiej skali będziemy oglądać zdjęcie (wydrukowane na papierze, wyświetlone na monitorze). Przyjmowane są różne wartości dopuszczalnej plamki nieostrości obrazu, wraz z postępem technologicznym w fotografii wielkość plamki ulega zmniejszeniu. Jeśli za punkt wyjścia przyjąć kątową ostrość oka ludzkiego wynoszącą 1’ i oglądanie obrazu na monitorze komputera z odległości 50 cm, wówczas średnica plamki nie powinna przekraczać 0,015mm.", "Głębia ostrości jest tym większa im większa jest odległość fotografowania, mniejsza ogniskowa i większa liczba przysłony [2]. Głębia będzie mała gdy fotografujemy bliski plan, zwłaszcza aparatem z dużą ogniskową i przy ustawieniu małej liczby \\(N\\) (czyli dużego otworu przysłony). Fotografowanie z małym otworem przysłony (duże \\(N\\)) zwiększa głębię ostrości, ale powoduje, że na matrycę pada mniej światła, zdjęcie może być zbyt ciemne (niedoświetlone). Bardzo mały otwór przysłony (\\(N > 16\\)) może wywołać dyfrakcję (ugięcie promieni światła), która zmniejsza możliwość odróżnienia blisko siebie położnych detali.", "Odległość hiperfokalną liczy się z wzoru (2) [3]:", "gdzie: \\(d_h\\) – odległość hiperfokalna, \\(u'\\) – średnica plamki nieostrości na zdjęciu.", "Odległość hiperfokalna jest przydatna w fotogrametrii, gdyż zespół zdjęć wykonywanych dla potrzeb pomiarowych wykonuje się bez zmiany \"ostrzenia\". Ustawienie ostrości na odległość hiperfokalną powoduje zachowanie ostrości dla dużej głębi sceny." ]

[ { "name": " Definicja 1: Głębia ostrości ", "content": " zakres przestrzeni przedmiotowej który odfotografowuje się\nwystarczająco ostro, wyznaczony przez przednią i tylną granicę (Rys. 3). " }, { "name": " Definicja 2: Odległość hiperfokalna ", "content": " odległość ustawienia ostrości przy której przednia granica głębi\nwypada w jej połowie, a tylna w nieskończoności (Rys. 4). " } ]

[ "W zakresie widzialnym występuje szereg tzw. kolorów prostych: różne odcienie niebieskiego, zielonego, żółtego i czerwonego. Szerszą gamę kolorów (ściślej barw 1 ) uzyskuje się na drodze nakładania na siebie trzech kolorów: czerwonego, zielonego i niebieskiego (ang. red, green, blue – R,G,B), z których każdy może występować z różną jasnością [1]. Istotę modelu RGB obrazuje sześcian pokazany na Rys. 1, na którym jasności kolorów przyjmują zakres od 0 do 255 (od ciemnego do jasnego) 2 .", "Model RGB ma zastosowanie przy rejestracji obrazów na matrycach aparatów fotograficznych oraz przy wyświetlaniu obrazów na monitorach. Rejestracja obrazu kolorowego polega na wydzieleniu ze światła trzech składowych spektralnych, co odbywa się z zastosowaniem filtrów czerwonego, zielonego i niebieskiego, powstają trzy kanały: R,G,B (Rys. 2A).", "Jeśli na monitorze zostanie wyświetlony tylko jeden kanał, to obserwator zobaczy obraz czarno–biały w skali szarości (ang. grey scale). Natomiast gdy składowe R,G,B wyświetlane są wspólnie, każda przez odpowiedni filtr, to monitor wyświetli obraz kolorowy (Rys. 2B).", "Matryca aparatu jest układem elektrycznym złożonym z fotodiod (detektorów) uporządkowanych w wiersze i kolumny. Pojedynczy detektor matrycy po naświetleniu i konwersji A/D staje się pikselem obrazu cyfrowego. Mnożąc rozmiar detektora matrycy (zazwyczaj kwadrat) przez liczbę kolumn i wierszy dostajemy fizyczny rozmiar prostokąta matrycy. Punktem odniesienia dla fizycznych rozmiarów matryc jest tzw. pełna klatka, czyli matryca o rozmiarze 36 mm \\(\\cdot \\) 24 mm. Matryce w aparatach smartfonowych są znacznie mniejsze, a matryce w specjalistycznych aparatach stosowanych w fotogrametrii są znacznie większe niż pełna klatka (zob. Kamery metryczne i niemetryczne).", "W aparatach fotograficznych są stosowane dwa główne typy matryc: CCD i CMOS. Matryce CCD, ze względu na mniejsze szumy i większą światłoczułość, są montowane w aparatach do zastosowań przemysłowych, w tym fotogrametrycznych (zob. Kamery metryczne i niemetryczne). Matryce CMOS są wykorzystywane powszechnie w popularnych aparatach fotograficznych. Nowe matryce CMOS, produkowane w technologii BSI, w której przetwornik A/D jest umieszczony pod fotodiodą, wypierają matryce CCD z wielu pól zastosowań.", "Wskutek nagrzewania się fotodiod podczas procesu zamiany światła na elektrony powstają szumy losowe, które zniekształcają jasności przypisane pikselom. Zbyt ciepła fotodioda wyzwala „niechciane” elektrony co zaburza ostateczny wynik pomiaru padającego na fotodiodę światła. Szumy rosną gdy zdjęcie wykonywane jest przy słabym naświetleniu. Większa powierzchnia fotodiody zmniejsza szumy.", "Inną przyczyną błędów pomiaru światła przez matrycę jest sposób tworzenia obrazów kolorowych. Skoro obraz kolorowy składa się z komponentów R,G,B, to każdy z nich powinien być mierzony przez inną matrycę. Takie rozwiązanie jest skomplikowane technicznie, dlatego jest rzadziej stosowane (zob. Kamery metryczne i niemetryczne). Dominuje rozwiązanie z jedną matrycą pokrytą tzw. filtrem Bayer-a, którego idea pokazana jest na Rys. 4.", "Filtr Bayer-a to mozaika trzech filtrów, połowa pikseli (fotodiod) jest pokryta filtrem zielonym, a jedna czwarta odpowiednio filtrami czerwonym i niebieskim. O ile na matrycy jednostką jest piksel, to na filtrze jednostką jest \"kostka\" 2\\(\\cdot \\)2 piksele. Składowa G jest mierzona dla 50\\(\\%\\) pikseli, a R i B tylko dla 25\\(\\%\\) pikseli. Pomimo tego procesor obrazu, na drodze interpolacji, tworzy obraz wynikowy w którym wszystkie piksele matrycy mają składowe RGB. Ten zabieg, zwany demozaikowaniem, jest źródłem wprowadzenia szumu do obrazu kolorowego.", "Jak wynika z powyższego przy tworzeniu obrazy kolorowego z filtrem Bayer-a składowa G jest mierzona dwa razy częściej niż R i B. Preferowanie koloru zielonego ma swoje uzasadnienie w czułości oka ludzkiego, które silniej reaguje na kolor jasno zielony (fale elektromagnetyczne o długości 555 nm) niż na pozostałe kolory [5] (Widzenie barwne)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Obraz cyfrowy RGB 3\n ", "content": " funkcja \\(f(i,j)\\) przyporządkowująca kolor pikselowi o dyskretnych współrzędnych \\(i,j\\); funkcja musi przyjmować\nwartości niezerowe oraz być skończona [2, 3, 4],\njako obiekt programowania: układ trzech macierzy lub tablica trójwymiarowa przyporządkowująca komórce \\(i,j\\)\njasności spektralne R,G,B,\njako plik komputerowy: układ trzech rastrów (kanałów) o identycznych rozmiarach (liczba kolumn i wierszy),\npiksele mają atrybuty R,G,B (odpowiednio dla kanałów); standardowo stosowane jest 8-bitowe kodowanie\njasności 4\n .\n" } ]

[ "Nie ma obiektywnej miary rozdzielczości przestrzennej, trzeba posługiwać się zespołem cząstkowych wskaźników, do których należą m.in. [1, 2]:", "Poniżej zostaną wyjaśnione tylko trzy pierwsze z wymienionych wskaźników rozdzielczości przestrzennej, które można określić na podstawie właściwości zdjęcia.", "Mianownik skali w jakiej odwzoruje się obiekt na zdjęciu jest równy:", "gdzie: \\(h\\) – liniowy rozmiar obiektu w rzeczywistości, \\(h'\\) – rozmiar obrazu tego obiektu, \\(d\\) – odległość przedmiotowa, \\(c\\) – odległość obrazowa.", "Zmniejszanie się skali obiektu (czyli zwiększanie \\(m\\)) wraz ze wzrostem odległości jest dla człowieka oczywiste, gdyż ma miejsce przy wizualnym postrzeganiu rzeczywistości. Tylko w wyjątkowych sytuacjach skala zdjęcia jest stała, jest tak np. gdy sfotografowana zostanie ściana budynku, a płaszczyzna zdjęcia będzie do niej równoległa. Natomiast na zdjęciu wykonanym z samolotu, z dużej wysokości pionowo w dół, obiekty krajobrazu będą odwzorowane w podobnej skali (zmienność skali jest nieduża).", "Znajomość rozmiaru piksela (na matrycy) oraz skali pozwala obliczyć liniowy rozmiar piksela na fotografowanym obiekcie, który jest równy:", "gdzie: \\(s_p\\) – rozmiar piksela na obiekcie, \\(s'_p\\) – rozmiar piksela na matrycy.", "Przy obliczaniu \\(s_p\\) przyjmuje się, że piksel na obiekcie ma kształt kwadratowy. Jest to uproszczenie, w rzeczywistości piksel na obiekcie może być dowolnym czworobokiem, co pokazuje Rys. 2.", "Tereny o urozmaiconym pokryciu i użytkowaniu, zwłaszcza położone w umiarkowanej strefie klimatycznej, są z perspektywy lotniczej widoczne jako wielokolorowe i wielotonalne (od tej reguły są wyjątki). Dobrze naświetlone zdjęcie lotnicze powinno zawierać – w każdym kanale R,G,B – zróżnicowane jasności mieszczące się w przedziale [0,255], co daje efekt \"szerokich histogramów\" pokazany na Rys. 3. Z punktu widzenia dalszego przetwarzania zdjęcia korzystnie jest, aby minimalne i maksymalne jasności nie osiągały wartości brzegowych, tj. 0 i 255 odpowiednio, a nawet były od nich oddalone o kilka jednostek jasności (w miejscach gdzie występują skupienia pikseli o jasnościach bliskich 0 lub 255 zanika tekstura obrazu). Taka \"rezerwa\" otwiera drogę do działań korygujących zdjęcie, np. zmiana nasycenia kolorów, usuwanie dominanty koloru, zwiększenie kontrastu.", "Kontrast lokalny wyraża jak zmienia się jasność piksela względem otoczenia. Miary kontrastu lokalnego podali Weber i Michelson [4]. Na zdjęciach o szerokich histogramach zwiększa się prawdopodobieństwo wyróżniania się szczegółu względem tła. Jeśli kontrast między szczegółem a jego otoczeniem jest duży, to rośnie prawdopodobieństwo identyfikacji szczegółu złożonego z pojedynczych pikseli (Rys. 4A). Jednak gdy szczegół mało odróżnia się od tła, jego rozpoznanie na zdjęciu może być utrudnione (Rys. 4B). Nadto podczas próbkowania zdjęcia (zob. Jak powstaje zdjęcie cyfrowe) następuje \"rozmycie\" pikseli, gdyż szczegół o rozmiarze \\(s_p\\) (GSD) rzadko kiedy odwzorowuje się dokładnie na jednym pikselu matrycy.", "Błędem jest uznanie rozmiaru piksela na obiekcie za rozdzielczość przestrzenną zdjęcia (\\(s_p\\), GSD dla zdjęcia lotniczego). Gdy kontrast lokalny jest bardzo wysoki, a obiekt ma wydłużony kształt liniowy o szerokości ≈ \\(s_p\\), wówczas jest szansa na jego identyfikację. Ale przy bardzo niskim kontraście identyfikacja staje się niemożliwa. Przyjmuje się umownie, że na zdjęciach da się zidentyfikować obiekty, których mniejszy rozmiar wynosi od dwóch do trzech wielokrotności \\(s_p\\)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Rozdzielczość przestrzenna zdjęcia ", "content": " zdolność do wyróżniania szczegółów obiektu\nodwzorowanego na zdjęciu; zależy od szeregu czynników związanych z: parametrami aparatu, naświetleniem\nzdjęcia i właściwościami fotografowanego obiektu. " }, { "name": " Definicja 2: Terenowa odległość próbkowania - GSD ", "content": " stosowany w fotogrametrii (głównie\nlotniczej) 2\n \nsynonim średniego rozmiaru piksela w terenie (ang. Ground Sample Distance) [1]. " }, { "name": " Definicja 3: Histogram zdjęcia ", "content": " wykres przedstawiający liczność wystąpień poszczególnych jasności\n(dla każdego kanału R,G,B) – na osi poziomej jest przedział jasności od 0 do 255, na osi pionowej pokazana\njest suma wystąpień poszczególnych jasności; na histogramie znormalizowanym liczność każdej jasności jest\ndzielona przez liczność maksymalną, dzięki czemu wartości na osi pionowej mają zakres od 0 do 1.\n" } ]

[ "Tak wykonane zdjęcie ma stałą skalę wynoszącą:", "gdzie: \\(c\\) – odległość obrazowa (zob. wzór (1)), \\(d\\) – odległość przedmiotowa, \\(s, w\\) – rozmiary obiektu (szerokość, wysokość), \\(s', w'\\) – rozmiary obiektu na zdjęciu.", "Dzięki stałej skali zdjęcie można uznać za mapę o fotograficznym przekazie treści. Założenie to byłoby prawdziwe, gdyby aparat realizował rzut środkowy bez zniekształceń. Niestety promienie świetlne po przejściu przez obiektyw ulegają odchyleniu od linii prostej (Rys. 2). To zjawisko nazywa się dystorsją, jest immanentną cechą obiektywów.", "Jeśli sfotografujemy idealnie płaski obiekt z narysowaną siatką kwadratów (Rys. 3A), zachowując równoległość obiekt–rzutnia, to na zdjęciu siatka będzie odwzorowana w postaci krzywych, obraz będzie przypominał beczkę (Rys. 3B) lub poduszkę (Rys. 3C).", "Osiągnięcie równoległości płaszczyzny zdjęcia do płaszczyzny mierzonego obiektu jest w praktyce bardzo trudne. Dla zdjęć dowolnie położonych względem płaskiego obiektu stosuje się transformację perspektywiczną, której istotę przedstawia Rys. 4.", "Transformacja perspektywiczna [1, 2] wiąże położenie punktów na zdjęciu (bez dystorsji) z położeniem na obiekcie, zgodnie z funkcjami (2) i (3), różniącymi się dziedzinami:", "gdzie: \\(x,y\\) – współrzędne punktu na zdjęciu, w dowolnym układzie prostokątnym na zdjęciu, \\(X,Y\\) – współrzędne punktu na obiekcie, w dowolnym układzie prostokątnym na płaskim obiekcie, \\(a_1,..., a_8\\) oraz \\(b_1,..., b_8\\) – parametry transformacji odpowiednio dla (2) i (3).", "Do wyznaczenia 8 parametrów transformacji perspektywicznej trzeba znać współrzędne co najmniej czterech odpowiadających sobie punktów, zwanych w fotogrametrii fotopunktami (żadne trzy nie mogą leżeć na jednej prostej). Często markuje się fotopunkty na obiekcie aby ułatwić identyfikację i pomiar na zdjęciu. Punkty których współrzędne są mierzone w terenie i są dobrze identyfikowalne na zdjęciu nazywane są w fotogrametrii fotopunktami." ]

[]

[ "Rozważmy zdjęcie lotnicze płaskiego terenu z budynkami i drzewami, wykonane hipotetycznie przy pionowej osi kamery, co symbolicznie przedstawia Rys. 1A.", "Obiekty wystające nad teren ulegają na zdjęciu zniekształceniu perspektywicznemu. W efekcie obiekty pionowe \"kładą\" się na zdjęciu w taki sposób, że ich szczyty odchylają na zewnątrz zdjęcia, a kierunki odchylenia zbiegają się w środku zdjęcia, jak pokazuje Rys. 1B. Z własności figur przedstawionych na Rys. 2 wynika, że wielkość odchylenia zwanego przesunięciem radialnym \\( \\Delta r\\) jest równa [1]:", "gdzie: \\(\\Delta Z\\) – wysokość kamery nad terenem, \\(h \\) – wysokość obiektu nad terenem, \\( r', \\; (r)\\) – odległość od środka zdjęcia do obrazu punktu szczytowego na zdjęciu (odpowiednik w terenie), \\( \\Delta r', \\, (\\Delta r)\\) – odległość od środka zdjęcia do obrazu punktu szczytowego na zdjęciu (odpowiednik w terenie).", "Efekt przesunięć radialnych rozciąga się na całą głębię fotografowanej przestrzeni. Zatem jeśli teren jest zróżnicowany wysokościowo, to fragmenty leżące powyżej średniej wysokości odsuwają się radialnie od środka ku brzegom zdjęcia, a obszary leżące poniżej średniej wysokości przesuwają się do środka (Rys. 3). Wielkość przesunięć radialnych wylicza się z wzoru (1), przy czym \\(h\\) oznacza różnicę wysokości terenu względem płaszczyzny odniesienia (ma wartości dodatnie i ujemne).", "Średnią skalę zdjęcia lotniczego \\(\\frac {1}{m}\\) liczy się względem płaszczyzna odniesienia (Rys. 3):" ]

[]

[ "Dla odległości dobrego widzenia kąt konwergencji wynosi ok. 16\\(^{\\circ }\\) (\\(b\\) = 7 cm, \\(d\\) = 25 cm). Ze wzrostem odległości do miejsca obserwacji człowiek stopniowo traci zdolność jej oceny, gdyż coraz mniejszy staje się kąt \\(\\gamma \\) (przyjmuje się, że granica widzenia stereoskopowego mieści się w przedziale 0,5 –1 kilometr [2, 3]). Widzenie stereoskopowe człowieka przypomina konstrukcję geodezyjną zwaną wcięciem w przód, w której kąt \\(\\gamma \\) nazywa się kątem wcinającym.", "Fotogrametria realizuje pomiar 3D przy pomocy stereogramu [4], czyli dwóch zdjęć tej samej sceny wykonanych z dwóch różnych miejsc przestrzeni (Rys. 2A). Jeśli stereogram jest obserwowany przez człowieka w taki sposób, że każde z oczu widzi tylko jedno zdjęcie, wówczas powstaje w mózgu wrażenie głębi obserwowanej sceny, nazywane sztucznym efektem stereoskopowym. Do separacji obserwowanych zdjęć stosuje się różne techniki, w tym anaglifową, polaryzacyjną czy migawkową [5] (zob. Rodzaje pomiarów fotogrametrycznych). Rys. 2 przedstawia stereogram zdjęć lotniczych spełniający następujące założenia:", "Właściwości stereogramu normalnego powodują, że punkty homologiczne lokują się na prostych równoległych do bazy (które na Rys. 2B są symbolicznie zaznaczone odcinkami czerwonymi) – stąd paralaksa poprzeczna \\(p_y=0\\).", "Paralaksa (podłużna) jest kluczem do pomiaru głębi przestrzeni odwzorowanej na zdjęciach. Z podobieństwa trójkątów pokazanych na Rys. 2D wynika wzór (2) na różnicę wysokości pomiędzy środkami rzutu a punktem terenowym \\(\\Delta Z\\):", "Symbole użyte we wzorze (2) są wyjaśnione na Rys. 2, przy czym dla uproszczenia paralaksę podłużną \\(p_x\\) oznaczono przez \\(p\\).", "Ilorazy \\( \\frac {b} {p} \\) oraz \\( \\frac {\\Delta Z} {c} \\) są mianownikiem skali w której odwzorował się punkt \\(P\\) na zdjęciach (dla stereogramu normalnego \\(m\\!=\\!m_1\\!=\\!m_2\\)). Znając lokalną skalę można obliczyć przyrosty współrzędnych \\(\\Delta X_1\\) i \\(\\Delta X_2\\) pokazane na Rys. 2, oraz analogicznie przyrosty \\(\\Delta Y_1\\) i \\(\\Delta Y_2\\). Ostatecznie wzory na współrzędne \\(X,Y,Z\\) wcinanego punktu \\(P\\) mają postać:", "Wzory (3)– (5) reprezentują fotogrametryczne wcięcie w przód, które stanowi istotę pomiarów fotogrametrycznych 3D. W przypadku zdjęć dowolnie nachylonych współrzędne 3D są obliczane z bardziej złożonych wzorów, ale reprezentujących tą samą konstrukcję geometryczną.", "Wcięcie w przód wymaga identyfikacji punktów homologicznych i pomiaru ich współrzędnych na zdjęciach. Pomiar może być wykonany w trybie mono, czyli osobno na każdym zdjęciu, albo z włączeniem sztucznego efektu stereoskopowego (tryb stereo). Pomiar mono, manualny lub automatyczny, jest ograniczony do przypadku, gdy na obu zdjęciach wskazanie punktów jest jednoznaczne. Natomiast tryb stereo pozwala obserwatorowi wskazywać i mierzyć punkty także na powierzchniach pozbawionych wyrazistej tekstury (rozumianej jako zmiany jasności i koloru tworzące punkty, plamy, linie, figury geometryczne, itp.).", "Różniczkując wzory (3)– (5) odpowiednio względem \\(x,y,p_x\\) można wysnuć następujące wnioski 5 :", "Jeśli punkt terenowy odwzorował się na kilku zdjęciach, wówczas do pomiaru należy wybrać stereogram o największym kącie wcinającym, gdyż wtedy iloraz \\(\\frac {\\Delta Z } {b}\\) jest najmniejszy. W sytuacji pokazanej na Rys. 3, największy kąt wcinający dla punktu \\(P\\) jest na stereogramie złożonym ze zdjęcia pierwszego i trzeciego (baza \\(b_{13}\\))." ]

[ { "name": " Definicja 1: Stereogram normalny ", "content": " układ dwóch zdjęć wykonanych z innych miejsc przestrzeni w taki\nsposób, że osie kamer są pionowe a ich baza – pozioma; pojęcie rozciąga się na zdjęcia naziemne, wówczas za\nnormalny uznaje się stereogram zdjęć wykonanych przy poziomych osiach kamery prostopadłych do bazy\n1\n \n.\n" }, { "name": " Definicja 2: Punkt główny zdjęcia ", "content": " rzut ortogonalny środka rzutu na\nzdjęcie 2\n ,\npunkt główny jest początkiem układu w którym mierzy się współrzędne na\nzdjęciu 3\n .\n" }, { "name": " Definicja 3: Pokrycie zdjęć ", "content": " część wspólna zdjęć stereogramu (Rys. 2C); pokrycie wyraża się\nstosunkiem powierzchni wspólnej do powierzchni zdjęcia (zob. Rodzaje lotów fotogrametrycznych).\n" }, { "name": " Definicja 4: Punkty homologiczne na zdjęciach ", "content": " obrazy tego samego punktu terenowego\nna zdjęciach wykonanych z innych miejsc przestrzeni; w przypadku stereogramu są dwa punkty\nhomologiczne (na Rys. 2AB są punkty \\(P'_1\\) i \\(P'_2\\)); punkty homologiczne leżą zawsze w obszarze pokrycia.\n" }, { "name": " Definicja 5: Paralaksa punktów homologicznych ", "content": " różnica położenia punktów homologicznych na\nzdjęciach odniesiona do punktów głównych, dla stereogramu normalnego różnica dotyczy tylko kierunku\nrównoległego do bazy i wynosi: \n\n \n\n \n\n \\begin{equation} p_x = x_1 - x_2 \\end{equation} gdzie:\n\\(p_x\\) – paralaksa (podłużna) 4\n ,\n\\(x_1, \\, x_2\\) – współrzędne punktów homologicznych na zdjęciach w układach o początku w punktach głównych\n(odpowiednio lewym i prawym). " }, { "name": " Definicja 6: Fotogrametryczne wcięcie w przód ", "content": " określanie położenia punktu w przestrzeni 3D\npoprzez przecięcie prostych wyprowadzonych z punktów homologicznych i przechodzących przez odpowiednie\nśrodki rzutu (co najmniej) dwóch zdjęć. " } ]

[ "Wykonanie fotogrametrycznych zdjęć lotniczych wymaga sprzyjających warunków meteorologicznych przy jednoczesnym spełnieniu wymogów formalnych (zob. Fotogrametryczne statki powietrzne). Odpowiednia dla lotów pogoda istotnie ogranicza operacyjność fotogrametrii. W przypadku zdjęć naziemnych warunki meteorologiczne odgrywają mniejszą rolę, przy czym fotografowana scena powinna być równomiernie oświetlona.", "Wzajemne pokrycie sąsiednich zdjęć jest generalną zasadą fotogrametrii 3D. Wykonanie zdjęć powinno następować zgodnie z wcześniej przygotowanym planem (zob. Rodzaje lotów fotogrametrycznych oraz Planowanie lotów blokowych). Jeśli nastąpiło odstępstwo od planu lotu, w tym zwłaszcza mniejsze od wymaganego pokrycie zdjęć, wówczas dalsze ich opracowanie może być utrudnione, a w niektórych przypadkach niemożliwe.", "Krytyczny dla jakości zdjęć z platform mobilnych (samoloty, drony, samochody) jest czas naświetlania, który zwykle musi być bardzo krótki. W czasie otwarcia migawki kamera jest w ruchu, czego skutkiem jest nieostrość obrazu – zamiast punktu powstaje plamka rozciągnięta w kierunku lotu (Rys. 1).", "Rozmiar plamki wynosi teoretycznie [1]:", "gdzie: \\(u'_{t}\\) – rozmiar plamki rozmazania w kierunku lotu, \\(\\Delta d \\) – droga jaką przebywa kamera w czasie otwarcia migawki, \\(v\\) – prędkość z jaką porusza się platforma przenosząca kamerę, \\(t\\) – czas otwarcia migawki, \\( \\Delta Z\\) – różnica wysokości pomiędzy środkiem rzutu a punktem w terenie, \\( c \\) – odległość obrazowa, \\( m\\) – mianownik lokalnej skali.", "Krótki czas otwarcia migawki wymaga odpowiedniego dobrania pozostałych parametrów ekspozycji (zob. Przepis na dobre zdjęcie). Do zwiększenia naświetlenia w pierwszej kolejności powinna być wykorzystana przysłona, natomiast zwiększanie czułości jest ostatecznością.", "Fotogrametria może być stosowana tylko wówczas, gdy fotografowana scena utworzy na zdjęciach obraz będący zbiorem detali wyróżniających się kształtem, jasnością, kolorem, gradientem (szybkością zmiany jasności/koloru). Tylko wówczas operator lub proces automatyczny będzie mógł wskazać punkty homologiczne na pokrywających się zdjęciach. Takie cechy występują zwykle gdy fotografowana jest \"Ziemia z góry\", jednak niektóre materiały np.: woda, jasny piasek na płaskiej powierzchni, nie dają gwarancji utworzenia na zdjęciu jakichkolwiek śladów tekstury. Fotografowanie z bliskiej odległości obiektów których powierzchnie są gładkie, jednolite kolorystycznie i błyszczące utrudnia, a czasami uniemożliwia, wykonanie pomiaru fotogrametrycznego.", "Wszystkie omawiane w podręczniku związki analityczne zakładają, że zdjęcie jest rzutem środkowym. Z teoretycznego punktu widzenia używane w fotogrametrii kamery powinny realizować rzut środkowy bez zniekształceń. Jest to praktycznie niemożliwe, gdyż obiektywy mają dystorsję i inne odstępstwa od idealnego rzutu środkowego. Dlatego konieczne jest zbadanie zniekształceń zdjęcia i ich usunięcie (zob. Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja oraz Kalibracja kamer). W fotogrametrii rekomenduje się wykorzystanie kamer specjalistycznych, ale przy spełnieniu pewnych warunków mogą to być również aparaty fotograficzne ogólnego stosowania (zob. Kamery metryczne i niemetryczne).", "W fotogrametrii dominuje wykonywanie zdjęć kamerami zamontowanymi na mobilnych platformach. Nawet gdy ruch platformy jest spokojny, a kamera zamontowana na stabilizującym zawieszeniu, to rzeczywiste położenie kamery w przestrzeni jest zawsze inne od zaplanowanego, co symbolicznie ilustruje Rys. 2.", "Dane określające chwilowe położenie kamery w przestrzeni są nazywane elementami orientacji zewnętrznej ( Definicja EOZ (1)).", "Są dwie drogi wyznaczenia EOZ kamer/zdjęć:", "Z reguły stosuje się połączenie metody bezpośredniej i pośredniej, rozwijające się w kierunku osiągnięcia wysokiej automatyzacji, czego przykładem jest Metoda SfM.", "Od dokładności wyznaczenia EOZ zależy dokładność końcowego opracowania fotogrametrycznego, które najczęściej ma jedną z dwóch postaci:", "W module Zastosowania fotogrametrii jest przedstawiony przegląd zagadnień w których wykorzystuje się fotogrametrię jako metodę pomiaru oraz jako materiał źródłowy dla potrzeb dokumentowania stanu geo-przestrzeni i pojedynczych obiektów." ]

[]

[ "Płatowce są mniej zwrotne od wirnikowców, ale pozwalają na dłuższy i wyższy lot. Zaletą wirnikowców jest pionowy start i lądowanie, podczas gdy płatowce potrzebują do lądowania płaskiej, miękkiej nawierzchni [3]. W ostatnich latach pojawiła się technologia VTOL (ang. Vertical Take Off) umożliwiająca pionowy start i lądowanie płatowców. W fotogrametrii używa się BSP o maksymalnej masie startowej (MTOM) do 25 kg. Kluczowym dla zastosowań fotogrametrycznych jest czas trwania lotu, który kształtuje się w zakresie od kilkunastu minut do dwóch–trzech godzin. W BSP są stosowane wbudowane albo wymienne kamery, z reguły o masie do 1 kg. W celu przeciwdziałania nadmiernym wychyleniom kamer podwiesza się je do urządzeń stabilizujących, określanych jako gimbal (Rys. 2 i Rys. 3)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Fotogrametryczny statek powietrzny ", "content": " statek powietrzny wyprodukowany lub\nzaadaptowany do wykonywania zdjęć fotogrametrycznych, który poza wyposażeniem standardowym, w tym\nnawigacyjnym, ma urządzenie do podwieszenia kamery w sposób amortyzujący drgania (opcjonalnie posiada\notwór w podłodze – fotoluk). " } ]

[ "Zdjęcie jest pionowe gdy oś kamery jest skierowana zgodnie z kierunkiem siły ciężkości. Takie zdjęcia znacznie ułatwiają dalsze opracowanie fotogrametryczne. Ale wykonanie zdjęcia ściśle pionowego jest w praktyce niemożliwe, dlatego termin „pionowe” rozciąga się na zdjęcia odchylone od pionu o kilka stopni (są one niekiedy nazywane prawie-pionowymi).", "Zdjęcia z zamierzonym odchyleniem osi kamery od pionu nazywane są nachylonymi lub ukośnymi 1 . Ich fotogrametryczne opracowanie jest trudniejsze, ale są lepsze do opracowania modeli 3D, w których widać obiekty nie tylko z góry ale też z boku (np. ściany budynków). Kompromisowym rozwiązaniem jest symultaniczne wykonywanie zdjęć pionowych i ukośnych, przy pomocy zespołów kamer średnioformatowych (zob. Kamery metryczne i niemetryczne).", "gdzie: \\(s\\) – rozmiar zdjęcia w terenie w kierunku lotu, \\(b_p\\) – baza podłużna (odległość pomiędzy środkami rzutu kolejnych zdjęć).", "W fotogrametrii 3D stosuje się standardowo pokrycie podłużne \\( \\geq 60\\%\\). Pokrycie potrójne zdjęć \\(p_3\\), pokazane na Rys. 4B, wynosi:", "gdzie: \\(w\\) – rozmiar zdjęcia w terenie w kierunku poprzecznym do lotu, \\(b_q\\) – baza poprzeczna (odległość pomiędzy osiami sąsiednich szeregów).", "W fotogrametrii 3D stosuje się standardowo pokrycie poprzeczne 20-30\\(\\%\\), ale dla zdjęć z BSP \\( \\geq 60\\%\\) (występuje wtedy potrójne pokrycie poprzeczne)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Lot fotogrametryczny ", "content": " odpowiednio zaplanowany lot statku powietrznego wyposażonego\nw kamerę, którego celem jest sekwencyjne wykonywanie pokrywających się zdjęć lotniczych, o określonym\nuporządkowaniu przestrzennym. " } ]

[ "Po wyborze kamery znany jest rozmiar piksela matrycy (\\(s'_p\\)), ogniskowa kamery (\\(f\\)) 1 , co przy określonym GSD pozwala obliczyć mianownik skali zdjęcia (\\(m\\)) oraz wysokość lotu nad średnią wysokością terenu (\\(\\Delta Z\\)):", "Wysokość lotu jest wprost proporcjonalna do ogniskowej kamery. Jeśli kamera ma wymienne obiektywy to planując lot nad miastem lepiej jest wybrać obiektyw z dłuższą ogniskową, gdyż wtedy na zdjęciu będzie mniej miejsc przesłoniętych przez budynki czy drzewa. Jak pokazuje Rys. 1 taką samą skalę i taki sam GSD można uzyskać przy różnych relacjach wysokości lotu i ogniskowej.", "Znajomość skali zdjęcia oraz rozmiaru matrycy kamery (\\(s', w'\\)) pozwala obliczyć (średni) zasięg zdjęcia w terenie (\\(s,w\\)):", "Znając terenowy zasięg zdjęcia oraz planowane pokrycie podłużne i poprzeczne można, wychodząc z wzorów (1,3), wyznaczyć bazę podłużną i poprzeczną (\\(b_p, \\, b_q\\)):", "Planując liczbę szeregów i zdjęć zachowuje się zasadę objęcia blokiem obszaru opracowania wraz z zewnętrznym buforem, jak pokazuje Rys. 2 [3]. Generalnie dąży się do planowania bloków o kształcie prostokątnym. Gdy obszar opracowania ma mocno nieforemny kształt, a przez to prostokąt ograniczający ma dużo większą powierzchnię, wówczas można blokowi nadać formę nieregularną mając na uwadze, że może to wpłynąć niekorzystnie na dokładność opracowania fotogrametrycznego (Rys. 2B).", "Ze względów aerodynamicznych preferowane są loty na jednej wysokości względem poziomu morza. Różnice wysokości terenu powodują lokalną zmianę GSD i zmianę pokryć zdjęć. Na Rys. 3 pokazana jest sytuacja skutkująca utratą potrójnego pokrycia podłużnego, co jest niedopuszczalne dla fotogrametrii 3D. Aby zapobiec nadmiernym zmianom GSD i zejściem pokryć poniżej minimum, można:", "Do planowania lotów fotogrametrycznych stosuje się programy komputerowe, często związane z określonymi kamerami [4]. W otwartym oprogramowaniu QGIS dostępne są wtyczki do planowania lotu: Flight Planner (loty samolotami załogowymi) oraz Science Flight Planner (loty BSP)." ]

[]

[ "Nie zawsze da się spełnić powyższe zasady. Lasy i akweny wodne to obszary gdzie nie można ulokować punktów osnowy. Najistotniejsze są fotopunkty w narożach bloku i w skrajnych szeregach, zwłaszcza, gdy są długie. Jeśli takie umiejscowienie jest niemożliwe, to należy powiększyć obszar lub zmodyfikować kształt bloku.", "W celu podniesienia precyzji pomiaru fotopunktów i punktów kontrolnych na zdjęciach zaleca się ich sygnalizację w terenie (przed wykonaniem zdjęć). Sygnałom nadaje się kształt krzyża lub litery L1 , malując je na podłożu twardym albo przytwierdzając plansze lub listwy z tworzywa sztucznego do podłoża miękkiego, jak pokazuje Rys. 2. Długość ramion sygnału od jego środka licząc powinna wynosić (6–9) GSD a szerokość (2–3) GSD [3]. Sygnalizacja jest zabiegiem stosunkowo uciążliwym, dlatego przed jej wykonaniem analizuje się możliwość wykorzystania szczegółów terenowych w roli fotopunktów/punktów kontrolnych.", "Warunki stawiane szczegółom terenowym wybieranym jako fotopunkty/punkty kontrolne:" ]

[ { "name": " Definicja 1: Terenowa osnowa fotogrametryczna ", "content": " zbiór odpowiednio rozlokowanych w obszarze bloku\npunktów o pomierzonych współrzędnych terenowych \\(X,Y,Z\\), dających się precyzyjnie pomierzyć na zdjęciach; osnowa\ndzieli się na:\n\n\nfotopunkty - które pełnią aktywną rolę w procesie fotogrametrycznego opracowania zdjęć (ang.\nGround Control Point – GCP),\n\n\n\npunkty kontrolne - które pełnią bierną rolę w procesie fotogrametrycznego opracowania zdjęć,\nnatomiast służą do kontroli dokładności (ang. Check Point – CP).\n" } ]

[ "Konwencja przyjęta dla zwrotu osi \\(z\\) powoduje, że wszystkie punkty zdjęcia mają w układzie kamery współrzędną \\(z\\) równą \\(-c\\). Dla lotów blokowych oś \\(x\\) wskazuje w którym kierunku przemieszcza się kamera.", "W roli układu zdjęcia używa się też układu sensora ustalonego przez kolumny i wiersze matrycy. W fotogrametrii analogowej układ zdjęcia był wyznaczany przez znaczki (markery) położone na marginesach zdjęcia, stąd nosił nazwę układu tłowego (znaczki tłowe kamery są widoczne na Rys. 1).", "Z punktu widzenie fotogrametrii rzut środkowy jest wyznaczony przez wskazanie środka rzutu, rzutni oraz punktu głównego zdjęcia (rzut ortogonalny środka rzutu na zdjęcie). Środek rzutu \\(O\\) i punkt główny \\(O'\\) dzieli odległość obrazowa \\(c\\) zwana w fotogrametrii stałą kamery 1 (ang. principal distance). Jeśli kamera idealnie realizuje rzut środkowy, to punkt główny zdjęcia pokrywa się ze środkiem geometrycznym zdjęcia S ( Rys. 1A). Jest to bardzo trudne do osiągnięcia w praktyce, z reguły punkt główny nie leży dokładnie w środku geometrycznym zdjęcia lecz w jego pobliżu (Rys. 1B). Układ zdjęcia (scentrowany) stanowi fizyczną referencję dla punktu głównego [1].", "Współrzędne punktu \\(P'\\) w układzie kamery wynoszą (Rys. 1):", "gdzie: \\(\\hat {x}, \\hat {y}\\) – współrzędne punktu \\(P'\\) w układzie scentrowanym, \\(x_{o}\\), \\(y_{o}\\), \\(c\\) – EOW.", "Obiektywy aparatów fotograficznych wprowadzają względem rzutu środkowego szereg zniekształceń, zwanych aberracjami. Wskutek aberracji: chromatycznej, sferycznej, krzywizny pola i astygmatyzmu, następuje spadek ostrości obrazu. Z kolei dystorsja (geometryczna) ujawnia się odwzorowaniem na zdjęciu linii prostych w postaci krzywych (zob. Rys. 3) [2, 3]. Promienie przechodząc przez soczewki obiektywu tracą prostoliniowość – kąt promieni względem osi kamery jest inny w przestrzeni przedmiotowej i obrazowej. W rezultacie obraz punktu \\(P\\) zamiast powstać z zachowaniem kolinearności w punkcie \\(P'\\), sytuuje się w błędnym punkcie \\(P''\\) (Rys. 2A).", "Zostały opracowane modele matematyczne opisujące deformacje geometryczne zdjęcia. Wydzielono dystorsję radialną – symetryczną względem punktu głównego 2 (Rys. 2A,B) i tangencjalną, której wektor jest prostopadły do promienia radialnego (Rys. 2B). Najczęściej stosowany jest wielomianowy model Brown-a [4], który dystorsję radialną opisuje wzorem (2) a tangencjalną wzorem (3).", "gdzie: \\(\\Delta x_r, \\Delta y_r \\) – składowe dystorsji radialnej, \\(\\Delta x_t, \\Delta y_t \\) – składowe dystorsji tangencjalnej, \\(\\Delta x_d, \\Delta y_d \\) – składowe dystorsji sumarycznej, \\(k_1, k_2, k_3 \\) – parametry dystorsji radialnej, \\(p_1, p_2 \\) – parametry dystorsji tangencjalnej, \\(x,y\\) – współrzędne punktu odniesione do punktu głównego, obliczane z wzoru (5) , \\(r\\) – promień punktu względem punktu głównego zdjęcia, obliczany z wzoru (6).", "Sposób wyznaczania parametrów dystorsji opisany jest w Kalibracja kamer." ]

[ { "name": " Definicja 1: Układ kamery ", "content": " prawoskrętny układ 3D zaczepiony w środku rzutu kamery, oś \\(z\\) jest\nskierowana wzdłuż osi kamery w kierunku od obiektu, osie \\(x\\) i \\(y\\) są równoległe do ramki matrycy kamery (Rys.\n1). " }, { "name": " Definicja 2: Układ zdjęcia scentrowany ", "content": " prawoskrętny układ 2D zaczepiony w środku geometrycznym\nzdjęcia, osie \\(\\hat {x}\\) i \\(\\hat {y}\\) są równoległe do ramki matrycy kamery, co pokazuje Rys. 1 (ang. image-centered frame).\n" }, { "name": " Definicja 3: Elementy orientacji wewnętrznej kamery – EOW ", "content": " zespół trzech parametrów:\nwspółrzędne punktu głównego w układzie zdjęcia scentrowanym i stała kamery (\\(x_{o}\\), \\(y_{o}\\), \\(c\\)). " } ]

[ "Pole kalibracyjne może mieć postać:", "Wykonywane dookolnie zdjęcia pola kalibracyjnego pokazanego na Rys. 2 mają znacząco inną orientację przestrzenną, co zmniejsza korelację niewiadomych (parametrów EOW i dystorsji), a przez to poprawia dokładność kalibracji [3].", "Najprostszym polem kalibracyjnym jest szachownica wyświetlana na ekranie monitora (Rys. 3). Wykonuje się zwykle dziewięć zdjęć tak, aby szachownica była ujęta z różnych perspektyw, aby wypełniała cały kadr zdjęcia, a pomiędzy zdjęciami nie zmienia się ostrości (odległość obrazowa ma być stała). Do obliczeń EOW i dystorsji używa się najczęściej metody opracowanej przez Zhang-a [4], której implementacja informatyczna jest bibliotece OpenCV. Kalibracja \"na szachownicę\" nadaje się dla aparatów o krótkich ogniskowych, które po wyostrzeniu na bliski plan mają większe głębie ostrości niż aparaty długoogniskowe.", "Szczególnym rodzajem kalibracji jest tzw. samokalibracja, w której rolę pola kalibracyjnego odgrywa obiekt będący przedmiotem pomiaru fotogrametrycznego." ]

[ { "name": " Definicja 1: Kalibracja kamery ", "content": " estymacja EOW i dystorsji na podstawie zaobserwowanych na\nzdjęciach deformacji wzorca geometrycznego (pola kalibracyjnego). " }, { "name": " Definicja 2: Samokalibracja kamery ", "content": " wyznaczenie EOW i dystorsji na podstawie deformacji zdjęć\nwykrytych podczas procesu opracowania zdjęć wykonanych dla potrzeb pomiarowych (zob. Metoda SfM).\n" } ]

[ "Podstawowe cechy wielkoformatowych cyfrowych kamer pomiarowych (Rys. 1) [1]:", "Kamery wielogłowicowe rejestrują w tym samym czasie osobne kanały (Rys. 2), które później są montowane w jedno zdjęcie wirtualne. Zdjęcie kolorowe powstaje na drodze syntezy kanałów R,G,B z kanałem panchromatycznym (bez stosowania filtra Bayer-a). Kanał NIR jest opcjonalnie wykorzystywany do tworzenia obrazów w tzw. fałszywych kolorach, stosowanych głównie w leśnictwie do analizy kondycji drzew.", "Stosowana w kamerach pomiarowych kompensacja ruchu postępowego polega na mechanicznym przesunięciu zdjęcia w kierunku lotu o pokazany na Rys. 3 wektor, którego długość \\(u_t'\\) równa się potencjalnej plamce rozmazania zdjęcia – zgodnie z wzorem (1). Przesunięcie zdjęcia musi odbyć się w czasie otwarcia migawki, co wymaga synchronizacji z prędkością i wysokością lotu. Elektronicznym odpowiednikiem mechanicznego systemu kompensacji FMC jest sukcesywne przesuwanie naświetlonych „linijek” w kierunku lotu (TDI – Time Delay Integration). Dzięki FMC/TDI mogą być stosowane dłuższe czasy otwarcia migawki, co pozwala uniknąć zwiększenia czułości matrycy.", "Kamery pomiarowe są podstawowym narzędziem fotogrametrii lotniczej ze statków załogowych. Praktyka pokazuje, że kalibrację kamer pomiarowych należy okresowo sprawdzać (co rok lub dwa), a w przypadku dużych zmian względem fabrycznej metryki, kieruje się ją do producenta na badanie kontrolne.", "W kamerach średnioformatowych nie stosuje się wielogłowicowej rejestracji pojedynczego zdjęcia, nie ma też redukcji nieostrości zdjęcia wskutek ruchu postępowego. Zdjęcia kolorowe powstają z zastosowaniem zmodyfikowanych filtrów Bayer-a. Kamery mają centralną migawkę pozwalającą na bardzo krótkie czasy naświetlania (np. 1/2500 s) oraz matryce o wysokiej czułości bazowej (ISO < 100), dzięki czemu można uzyskiwać ostre zdjęcia pomimo ruchu kamery. Zaletą kamer jest dostępność obiektywów o różnych ogniskowych (po wymianie obiektywu zalecana jest kalibracja). Dzięki małej masie można montować systemy złożone z kilku kamer, zarówno do zdjęć pionowych jak i zdjęć ukośnych. Popularne są zestawy pięciu kamer, z których jedna jest skierowana w dół, a pozostałe są odchylone o \\(45^{\\circ }\\) od pionu i wykonują zdjęcia w czterech różnych kierunkach. Coraz więcej kamer średnioformatowych nadaje się do stosowania w BSP.", "Przy wykonywaniu zdjęć fotogrametrycznych z dronów (zob. Fotogrametryczne statki powietrzne), stosuje się kamery o masie < 1 kg, o różnym poziomie stabilności EOW i dystorsji. Standardem postępowania de facto jest samokalibracja kamer (2) (zakłada się, że w czasie trwania lotu kamera jest stabilna).", "W przypadku zdjęć wykonywanych w ruchu, co przeważa w fotogrametrii, nie zaleca się stosowania kamer wyposażonych w migawki szczelinowe (zob. Aparat fotograficzny czyli udoskonalona camera obscura). Czas przewijania migawki szczelinowej jest dłuższy niż czas naświetlania matrycy, co może doprowadzić do rozmazania obrazu, nazywanego efektem rolling shuter. Z punktu widzenia fotogrametrii znacznie lepsza jest mechaniczna migawka centralna lub elektroniczna globalna.", "Aparaty fotograficzne instalowane w smartfonach mają znacznie mniejsze rozmiary w stosunku do klasycznych aparatów fotograficznych, matryce są miniaturowe, obiektywy plastikowe [4]. Z tych powodów aparaty smarfonowe cechuje zmienność EOW (dystorsja jest relatywnie stała). Niezależnie od tych uwarunkowań aparaty smartfonowe mogą być stosowane do zastosowań pomiarowych w których wystarczają mniejsze dokładności [5]." ]

[ { "name": " Definicja 1: Kamery metryczne ", "content": " kamery wyprodukowane specjalnie dla potrzeb fotogrametrycznych,\nEOW i dystorsja kamer nie ulegają zmianie w czasie (przy założeniu, że kamera nie doświadczy gwałtownych\nwstrząsów czy uszkodzenia mechanicznego); kamery są fabrycznie kalibrowane i dostarczane wraz z protokołem\nkalibracji. " }, { "name": " Definicja 2: Kamery niemetryczne ", "content": " aparaty fotograficzne ogólnego przeznaczenia, EOW i dystorsja są\nwyznaczone przez użytkownika na drodze kalibracji powtarzanej okresowo albo przed każdym pomiarem\nfotogrametrycznym, albo wykonywanej w trybie samokalibracji. " } ]

[ "gdzie: \\(X,Y,Z\\) – współrzędne punktu \\(P\\) w układzie terenowym \\(XYZ\\), \\(x,y,-c\\) – współrzędne punktu \\(P'\\) (obraz \\(P\\)) w układzie kamery, skorygowane o EOW i dystorsję (zob. wzór (7) w Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja).", "Cechą rzutu środkowego jest współliniowość (kolinearność) środka rzutu \\(O\\), punktu \\(P\\) i jego obrazu \\(P'\\) na zdjęciu, co pokazuje Rys. 1. W części B rysunku w miejscu układu kamery usytuowany jest pomocniczy układ współrzędnych \\(\\dot {x}, \\dot {y}, \\dot {z}\\), którego osie są równoległe do osi układu terenowego \\(XYZ\\).", "Kolinearność punktów \\(O, P, P'\\) można zapisać następująco [1]:", "gdzie: \\(X, Y, Z\\) – współrzędne punktu \\(P\\) w układzie \\(XYZ\\), \\(X_o, Y_o, Z_o\\) – współrzędne środka rzutu \\(O\\) w układzie \\(XYZ\\), \\(m\\) – mianownik skali w jakiej odwzorował się punkt \\(P'\\), \\(m\\) wyraża ile razy wektor \\(OP\\) jest dłuższy od wektora \\(OP'\\), \\(\\dot {x}, \\dot {y}, \\dot {z}\\) – współrzędne punktu \\(P'\\) w układzie \\(\\dot {x}\\dot {y}\\dot {z}\\), \\(\\mathbf {R}\\) – macierz obrotu transformująca współrzędne z układu kamery do układu \\(\\dot {x}\\dot {y}\\dot {z}\\).", "Układ kamery \\(xyz\\) i układ pomocniczy \\(\\dot {x}\\dot {y}\\dot {z}\\) są wzajemnie skręcone (Rys. 1). Obracając jeden układ kolejno wokół trzech osi można doprowadzić go do pozycji tożsamej z drugim układem (zob. kąty Eulera). W ogólności kolejność obrotów jest dowolna. W fotogrametrii przyjęto następującą konwencję obrotów: obracany jest układ \\(\\dot {x}\\dot {y}\\dot {z}\\), kolejność obrotów \\( \\omega , \\phi , \\kappa \\) (Rys. 2), dodatnim obrotem jest kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara gdy obrót obserwujemy z dodatniego kierunku osi obrotu [2].", "Dla przyjętej konwencji obrotów można zapisać transformację współrzędnych z układu kamery \\(xyz\\) do układu \\(\\dot {x}\\dot {y}\\dot {z}\\) jako zespół kolejno po sobie następujących transformacji elementarnych, wyrażających obroty \\( \\omega , \\phi , \\kappa \\) wokół kolejno obracanych osi \\(\\dot {x}, \\dot {y}, \\dot {z}\\) (każdy kolejny obrót powoduje nowe położenie układu). Transformacje elementarne są pokazane na Rys. 2, pod którym są umieszczone macierze transformacji \\(\\mathbf {R_{\\omega }}, \\mathbf {R_{\\phi }}, \\mathbf {R_{\\kappa }}\\).", "Po wymnożeniu macierzy elementarnych \\(\\mathbf {R_{\\omega }}, \\mathbf {R_{\\phi }}, \\mathbf {R_{\\kappa }}\\) uzyskamy macierz obrotu \\(\\mathbf {R}\\) wyrażoną wzorem (4). Macierz \\(\\mathbf {R}\\) ma rozmiar 3×3, jest ortogonalna, czyli \\(\\mathbf {R}^{-1} = \\mathbf {R}^T\\) 1 .", "Kolinearność zapisana wzorem (2) pokazuje drogę przeliczenia współrzędnych punktu \\(P'\\) na współrzędne punktu \\(P\\), czyli \"zdjęcie \\(\\Rightarrow \\) teren\". Wzór (2) łatwo przekształcić do postaci (5) która reprezentuje drogę przeliczenia współrzędnych punktu \\(P\\) na współrzędne punktu \\(P'\\), czyli \"teren \\(\\Rightarrow \\) zdjęcie\".", "Z wzoru (5) można otrzymać równoważną postać złożoną z trzech oddzielnych równań odpowiednio dla \\(x, y\\) i \\(-c\\). Jeśli następnie podzielimy dwa pierwsze równania przez równanie trzecie i ostatecznie wymnożymy oba równania przez \\(-c\\), to uzyskamy równania kolinearności:", "gdzie: \\( r_{11}, r_{12},.., r_{33}\\) – elementy macierzy \\(\\mathbf {R}\\).", "Równania kolinearności (6) pozwalają obliczyć położenie obrazów punktów terenowych na zdjęciu na podstawie:", "Równania kolinearności (6) stanowią punkt wyjścia dla sformułowania równań obserwacyjnych w procesie obliczania najbardziej prawdopodobnych EOZ (zob. Estymacja EOZ - aerotriangulacja)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Elementy orientacji zewnętrznej kamery\n– EOZ 2\n ", "content": " dane określające położenie układu kamery w układzie terenowym, składające się ze współrzędnych\nśrodka rzutu \\(X_o,Y_o,Z_o\\) oraz trzech kątów \\( \\omega , \\phi , \\kappa \\) wyrażających orientację kątową układu kamery względem terenowego (zbiór\nsześciu EOZ składa się z trzech elementów liniowych i trzech kątowych). " } ]

[ "Dane z nawigacyjnych systemów GNSS i INS (zob. Fotogrametryczne statki powietrzne) opisują chwilowe położenie statku powietrznego, jednak nie są wystarczające do wykorzystania bezpośrednio jako georeferencje kamer. Dlatego stosuje się osobne urządzenia pomiarowe oparte o analogiczne techniki jak w nawigacji, ale o wyższej dokładności i wzajemnie zintegrowane:", "Urządzeniem pomiarowym INS jest jednostka inercyjna (IMU-Inertial Measurement Unit). IMU składa się najczęściej z 3 żyroskopów, 3 akcelerometrów oraz opcjonalnie magnetometru. Żyroskopy (mechaniczne, optyczne lub światłowodowe) służą do wyznaczenia orientacji kątowej (poprzez pomiar prędkości kątowych). Akcelerometry (przyspieszeniomierze) służą do wyznaczenia pozycji (poprzez pomiar liniowych zmian prędkości).", "W pomiarach GNSS/INS występują dwa 1 układy współrzędnych, pokazane na Rys. 1:", "Pomiar GNSS odniesiony do układu \\(X^e Y^e Z^e\\) jest wykonywany przy wsparciu stacji referencyjnych (np. ASG EUPOS), technikami: różnicową (dGPS), kinematyczną (RTK) lub kinematyczną z opracowaniem w post-processingu (PPK). Pomiar orientacji kątowej wykonywany przez INS jest odniesiony do układu nawigacyjnego \\(NED\\). Orientacja kątowa jest wyrażana przez odchylenie od pionu (roll, pitch ) i azymut względem północy (yaw). Nazwy kątów i ich zwroty są zaadoptowane z nawigacji lotniczej (zob. Aircraft Rotations), zmiany orientacji kątowej kamery są pochodną ruchu statku powietrznego (zob. animacja yaw, animacja pitch, animacja roll).", "Pomiędzy anteną GNSS, IMU oraz kamerą występują ekscentry które muszą być wyznaczone w procesie kalibracji zestawu pomiarowego, aby możliwe było przeliczenie mierzonych kątów (INS) i współrzędnych (GNSS) na wartości odpowiadające układowi kamery (Rys. 2A). Mierzone przez INS kąty yaw, pitch, roll dotyczą IMU, a nie kamery (Rys. 2B). Dlatego przeliczenie pomierzonych kątów na orientację kątową kamery wymaga uwzględnienia, poza ekscentrem liniowym, nierównoległości układu kamery i układu IMU.", "Podstawowym parametrem charakteryzującym dokładność IMU jest dryft (liniowa strata dokładności w funkcji czasu) [2]. Najwyższej klasy urządzenia mają dryft na poziomie 0,001\\(^{\\circ }\\)/h, a jednostki klasy consumer grade rzędu (\\({10} - {10^3}\\))\\(^{\\circ }\\)/h [3]. Stosowane w fotogrametrii ze statków załogowych urządzenia GNSS/INS są wzajemnie zintegrowane, co pozwala korygować dryft INS. W BSP stosuje się zwykle wysokiej jakości system GNSS (RTK/PPK) i znacznie niższej INS.", "Uzyskane z INS i skorygowane do układu kamery kąty yaw, pitch, roll są współmierne względem kątów \\(\\omega , \\phi , \\kappa \\), podobieństwa i różnice są następujące [5]:", ".", "Do przeliczenia yaw, pitch, roll na \\(\\omega , \\phi , \\kappa \\) trzeba znać:", "Konieczność przeliczenia kątów nie występuje, gdy estymacja EOZ (zob. Estymacja EOZ - aerotriangulacja) odbywa się w układzie geocentrycznym (lub topocentrycznym którego płaszczyzna \\(XY\\) jest styczna do elipsoidy w środku obszaru opracowania). Takie postępowanie jest korzystne dla dużych obszarowo projektów fotogrametrycznych, gdyż nie wprowadza do estymacji EOZ zaburzeń z tytułu zniekształceń odwzorowania kartograficznego." ]

[ { "name": " Definicja 1: Pomiar georeferencji kamery ", "content": " pomiar pozycji i orientacji kątowej kamery (EOZ)\nwykonywany technikami GNSS i INS podczas lotu fotogrametrycznego. " } ]

[ "Metoda niezależnych wiązek oraz bezpośredni pomiar georeferencji są współmierne w tym sensie, że maję wspólny cel: określenie EOZ zdjęć. Estymacja \"wiązkami\" jest od wielu lat stosowana operacyjnie, dzięki czemu zyskała miano metody skutecznej, niezawodnej i wystarczająco dokładnej. Integracja obu metod staje się standardem de facto współczesnej fotogrametrii.", "Punkty wiążące tworzą kameralną osnowę fotogrametryczną, w odróżnieniu od fotopunktów i punktów kontrolnych nie są mierzone w terenie (zob. Terenowa osnowa fotogrametryczna). Liczba punktów wiążących w porównaniu z osnową terenową jest bardzo duża, od kilku (5-6) punktów na każdym zdjęciu do tysięcy punktów (gdy do estymacji EOZ jest wykorzystana Metoda SfM). W procesie estymacji EOZ punkty wiążące uzyskują współrzędne terenowe \\(X,Y,Z\\).", "Estymacja EOZ zdjęć lotniczych jest tradycyjnie nazywana aerotriangulacją [1]. Nazwa ta była w pełni adekwatna w czasach fotogrametrii analogowej, kiedy konieczne było zagęszczanie osnowy terenowej, gdyż rzadko rozłożone fotopunkty nie wystarczały do opracowania stereoskopowego par zdjęć lotniczych [2]. Punkty wiążące z uzyskanymi po aerotriangulacji współrzędnymi terenowymi stanowiły nieodzowne uzupełnienie osnowy terenowej. Współcześnie współrzędne terenowe punktów wiążących nie są głównym celem aerotriangulacji, mają znaczenie pomocnicze.", "Punkty wiążące i fotopunkty powinny równomiernie pokrywać obszar bloku zdjęć, co pokazuje Rys. 2 (na przykładzie symbolicznego bloku złożonego z dwóch szeregów po trzy zdjęcia każdy).", ".", "Zapiszmy równania kolinearności (6) w symbolicznej postaci (1):", "gdzie: \\(c\\) – stała kamery, \\(X_{o_j}, Y_{o_j}, Z_{o_j}, \\omega _j, \\phi _j, \\kappa _j\\) – EOZ zdjęcia \\(j\\), \\(X_i, Y_i, Z_i\\) – współrzędne terenowe punktu osnowy \\(i\\), \\(x_{ij}\\), \\(y_{ij}\\) – współrzędne punktu osnowy \\(i\\) odwzorowanego na zdjęciu \\(j\\).", "Na podstawie równań kolinearności (1) ułóżmy równania poprawek dla obserwowanych współrzędnych:", "Gdy równania (2) dotyczą fotopunktów, to zawierają 6 niewiadomych (EOZ), natomiast w równaniach dla punktów wiążących jest o 3 niewiadome więcej, są to ich współrzędne terenowe.", "Estymacja EOZ metodą niezależnych wiązek polega na jednoczesnym rozwiązaniu układu równań obserwacyjnych (2) zestawionych dla wszystkich obserwacji (współrzędne \\(x,y\\) punktów osnowy), przy warunku minimalizacji sumy kwadratów losowych poprawek do obserwacji. Każdy punkt osnowy wnosi tyle par równań (2) na ilu zdjęciach został odwzorowany. Liczba niewiadomych układu równań wynosi: 6 ⋅ liczba zdjęć + 3 ⋅ liczba punktów wiążących. Dzięki pokryciu zdjęć, w szczególności potrójnemu, nawet przy niedużej liczbie zdjęć występują obserwacje nadliczbowe względem liczby niewiadomych (zob. przykład (1)).", "Ponieważ równania kolinearności są nieliniowe, to dla potrzeb estymacji EOZ konieczna jest ich linearyzacja z wykorzystaniem wzoru Taylora. Linearyzacja wymaga oszacowania wartości przybliżonych niewiadomych, obliczenia pochodnych cząstkowych (1 stopnia) względem niewiadomych, a przedmiotem estymacji są przyrosty do podanych przybliżeń. Wzory na pochodne cząstkowe są podane w [4].", "Opracowano metodę szacowania wartości przybliżonych opartą na sukcesywnym budowaniu bloku w układzie lokalnym (zob. Metoda SfM), w której nie jest potrzebny Bezpośredni pomiar EOZ a zdjęcia mogą mieć dowolne nachylenie.", "Rozwiązanie jest iteracyjne, w każdej iteracji liczone są przyrosty do wejściowych wartości niewiadomych. W nowszych rozwiązaniach zamiast kolejnych iteracji stosuje algorytm optymalizacji nieliniowej Levenberga-Marquardta, co przyspiesza obliczenia [5].", "gdzie: \\(\\mathbf {v}\\) – wektor poprawek losowych, rozmiar \\(n \\times 1\\), \\(\\mathbf {P}\\) – macierz wag obserwacji, rozmiar \\(n \\times n\\), \\(n\\) – liczba obserwacji, \\(u\\) – liczba niewiadomych.", "Wskaźnikiem zrównoważonej estymacji jest uzyskanie: \\(\\sigma _0 \\! \\approx \\! 1\\). Liczone są także błędy średnie współrzędnych pomierzonych na zdjęciach oraz współrzędnych fotopunktów i pomierzonych EOZ (gdy te pomiary były traktowane jako obserwacje).", "Poza statystyką wyprowadzoną z procesu estymacji oblicza się empiryczne wskaźniki dokładności aerotriangulacji, w szczególności porównując współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru terenowego (zob. Terenowa osnowa fotogrametryczna) i fotogrametrycznego (zob. Dokładność pomiarów fotogrametrycznych).", "W powyższym przykładzie liczba obserwacji nadliczbowych jest niewielka, gdyż blok zdjęć jest bardzo mały, a liczba punktów wiążących praktycznie najmniejsza z dopuszczalnych. Nadliczbowość rośnie ze wzrostem pokrycia zdjęć i liczby punktów osnowy (zwłaszcza punktów wiążących odwzorowanych na wielu zdjęciach).", "Klasyczny proces estymacji EOZ zdjęć wykonanych kamerą pomiarową jest realizowany przy pomocy specjalistycznego oprogramowania (np. Trimble Inpho, Socet Set, Image Station), obejmuje następujące etapy:" ]

[ { "name": " Definicja 1: Estymacja EOZ metodą niezależnych\nwiązek 1\n\n", "content": " ustalenie EOZ wielu zdjęć w jednym procesie obliczeniowym, w którym korygowane są inicjalne EOZ w taki\nsposób, aby zapewnić optymalne dopasowanie wiązek promieni wychodzących ze środków rzutu kamer, a\nprzecinających się na punktach wiążących i fotopunktach (Rys. 1). " }, { "name": " Definicja 2: Punkty wiążące ", "content": " punkty homologiczne potrzebne do rekonstrukcji promieni tworzących\nwiązki poszczególnych zdjęć, które podlegają dopasowaniu w procesie estymacji EOZ (potocznie: punkty\nsłużące do \"powiązania\" zdjęć). " } ]

[ "Wyobraźmy sobie dwa zdjęcia na których zobrazowana jest scena reprezentowana przez punkt \\(P\\) na Rys. 1. Przecięcie bazy (wektora \\(O_1O_2\\)) z płaszczyznami zdjęć daje punkty epipolarne. Proste łączące punkty epipolarne z obrazami punktu \\(P\\) na zdjęciach (\\(P'\\!_1, P'\\!_2\\)) nazywa się liniami epipolarnymi.", "Gdy zdjęcia są wzajemnie zorientowane to:", "Analityczne ujęcie związków geometrycznych przedstawionych na Rys. 1 wyraża wzór (1) [1]:", "gdzie: \\(x_1, y_1, x_2, y_2\\) – współrzędne punktów \\(P'\\!_1\\) i \\(P'\\!_2\\) na zdjęciach, w dowolnym układzie 2D, \\(\\mathbf {F}\\) – macierz fundamentalna 2 .", "Obliczenie elementów macierzy \\(\\mathbf {F}\\) wymaga znajomości 8 punktów homologicznych (dodatkowe warunki pozwalają zmniejszyć liczbę do 7). Macierz fundamentalną można dekomponować na translację oraz rotację [1]. Znajomość \\(\\mathbf {F}\\) i współrzędnych punktu na jednym zdjęciu, pozwala obliczyć równanie linii epipolarnej na drugim zdjęciu (zależność punkt -> linia epipolarna). Do orientacji wzajemnej zdjęć poprzez macierz fundamentalną nie jest potrzebna znajomość EOW kamery (ale dystorsja powinna być usunięta). Jeśli EOW kamery są znane, wówczas liczba niewiadomych orientacji wzajemnej zmniejsza się do pięciu, określają one jawnie położenie przestrzenne jednego zdjęcia względem drugiego (uzyskujemy zależność punkt -> punkt) [2].", ".", "Położenie prawego zdjęcia względem lewego jest zdefiniowane przez pięć parametrów (Rys. 2):", "Składowa bazy \\(b_x\\) jest przyjmowana arbitralnie, decyduje o skali modelu (np. \\(b_x=1\\)). Parametry orientacji wzajemnej można traktować jako EOZ zdjęcia prawego, ale odniesione do układu modelu 6 . Ten fakt podkreśla, że w orientacji wzajemnej nie jest istotne położenie względem układu terenowego a jedynie relacja jednego zdjęcia do drugiego. Powstały po orientacji wzajemnej model 3D zachowuje proporcje rozmiarów obiektów, ale nie ma określonej skali i położenia w przestrzeni.", "Model przestrzenny utworzony po orientacji wzajemnej pary zdjęć jest wyrażony w układzie modelu o nieznanym położeniu względem terenu, ma przypadkową skalę. Transformacja modelu do układu terenowego jest złożona z przesunięcia, przeskalowania i obrotu [3] (transformacja Helmerta 3D), co wyraża wzór (2) i pokazuje symbolicznie Rys. 3.", "gdzie: \\(\\ddot {x}, \\ddot {y}, \\ddot {z}\\) – współrzędne punktów modelu, \\(\\mathbf {R}\\) – macierz obrotu modelu o kąty \\(\\ddot {\\omega }, \\ddot {\\phi }, \\ddot {\\kappa } \\) 7 , \\(m\\) – współczynnik przeskalowania modelu (jeden dla całego modelu), \\(X_o, Y_o, Z_o \\) – współrzędne początku układu modelu w układzie \\(XYZ\\).", ".", "Do wyznaczenia siedmiu parametrów transformacji modelu (\\(X_o, Y_o, Z_o, \\ddot {\\omega }, \\ddot {\\phi }, \\ddot {\\kappa }, m \\)) potrzeba minimum trzech fotopunktów (poza współrzędnymi terenowymi \\(X,Y,Z\\) muszą one mieć znane współrzędne w układzie modelu \\(\\ddot {x}\\ddot {y}\\ddot {z}\\))." ]

[ { "name": " Definicja 1: Orientacja wzajemna pary zdjęć 1\n ", "content": " rekonstrukcja przestrzennej orientacji pary zdjęć względem siebie w oparciu o warunek poprawnego przecinania\nsię promieni punktów homologicznych; rezultat orientacji nazywany jest modelem (fotogrametrycznym).\n" }, { "name": " Definicja 2: Układ współrzędnych modelu ", "content": " arbitralnie przyjęty układ\nw którym wyrażone jest wzajemne położenie zdjęć (kamer), np. układ zaczepiony w\nśrodku rzutu kamery lewej i dziedziczący jej kierunki osi, ale przy założeniu, że oś \\(z\\) jest\npionowa 3\n ;\nukład służy do obliczania współrzędnych 3D z przecięcia promieni punktów homologicznych zdjęć tworzących\nmodel 4\n .\n" }, { "name": " Definicja 3: Orientacja bezwzględna (absolutna) modelu ", "content": " transformacja modelu do układu terenowego\n(ang. absolute orientation – AO). " } ]

[ "gdzie: \\({X_{o}}, {Y_{o}}, {Z_{o}}, {\\omega }, {\\phi },{\\kappa }\\) – obliczane EOZ zdjęcia, \\(X_i,Y_i,Z_i\\) – współrzędne terenowe fotopunktu \\(i\\), \\(i=1...\\geq 3\\), \\(x_{i}, y_{i}\\) – współrzędne fotopunktu \\(i\\) na zdjęciu, \\(c\\) – stała kamery.", "Aby z układu równań (1) wyliczyć EOZ trzeba podać wartości przybliżone niewiadomych (ta zasada dotyczy wszystkich zadań opartych na równaniach kolinearności). W przypadku zdjęć prawie pionowych oszacowanie przybliżonych EOZ nie jest trudne. Dla zdjęć o dużych odchyleniach od pionu pozyskanie przybliżonych EOZ jest problemem, dlatego stosowane są metody, które nie wymagają przybliżeń:", "Wyznaczanie EOZ wcięciem wstecz jest mało efektywne w porównaniu do aerotriangulacji, gdyż wymaga, aby fotopunkty były na każdym zdjęciu. Algorytmy PnP są używane w procesie sukcesywnego dopasowania orientacji kolejnych zdjęć w szeregu (zob. Metoda SfM). Wówczas w roli fotopunktów wykorzystuje się punkty wiążące o obliczonych współrzędnych 3D (punkty wiążące stają się pseudo-fotopunktami, ich współrzędne 3D nie są mierzone w terenie).", "Wcięcie w przód jest używane w dwóch zasadniczych sytuacjach:", "Wcięcie będzie przedstawione dla sytuacji II, która jest ogólniejsza.", "Metoda zasadza się na ustaleniu współczynników wydłużenia wektorów \\(O_1P_1\\) i \\(O_2P_2\\), aby spotkały się punkcie \\(P\\) (Rys. 2), co wyraża zależność (2):", "gdzie: \\(X,Y,Z\\) – obliczane współrzędne terenowe punktu \\(P\\) odwzorowanego na dwóch zdjęciach, \\(X_{o_1},Y_{o_1}, Z_{o_1}\\) i \\(X_{o_2},Y_{o_2}, Z_{o_2}\\) – współrzędne terenowe środków rzutów obu zdjęć (znane), \\(\\mathbf {R_1}\\) i \\(\\mathbf {R_1}\\) – macierze obrotów obu zdjęć (znane), \\(x_{1}, y_{1}\\) i \\(x_{1}, y_{1}\\) – współrzędne punktu \\(P\\) na zdjęciach (znane), \\(c\\) – stała kamery (znana), \\(m_1\\) i \\(m_2\\) – mianowniki lokalnej skali punktu \\(P\\) odpowiednio dla obu zdjęć (nieznane).", "Na podstawie (2) można zestawić układ równań w którym niewiadomymi są tylko współczynniki \\(m_1\\) i \\(m_2\\):", "Układ trzech równań (3) ma dwie niewiadome, można go rozwiązać jako nadokreślony układ równań liniowych. Często postępuje się inaczej, rezygnując z równania drugiego i obliczając \\(m_1\\) i \\(m_2\\) z pozostałych równań [1]. Następnie z pominiętego równania oblicza się współrzędną \\(Y\\) osobno dla zdjęcia lewego i prawego, a uzyskana różnica \\(p_Y\\!= \\!Y_{o_2}\\!-\\!Y_{o_1}\\), zwana paralaksą poprzeczną, jest wskaźnikiem jakości wcięcia. Gdy prawie pionowe tworzą szeregi ukierunkowane wzdłuż osi X układu terenowego, wówczas paralaksa poprzeczna powinna być bliska zero 1 .", "Do wcięcia z wielu zdjęć przystępuje się z założeniem, że przyczyną braku idealnego przecięcia promieni w przestrzeni 3D są błędy pomierzonych na zdjęciach współrzędnych. Za optymalne wcięcie uznaje się takie, przy którym poprawki losowe do pomierzonych współrzędnych spełniają warunek minimum sumy kwadratów [1, 4]. Algorytm wcięcia bazuje na równaniach kolinearności zestawionych dla wszystkich punktów homologicznych będących obrazami punktu \\(P\\) o nieznanych współrzędnych \\(X,Y,Z\\) (Rys. 3).", "Równania kolinearności dla punktu homologicznego na zdjęciu \\(j\\) mają postać (4):", "gdzie: \\({X}, {Y}, {Z}\\) – obliczane współrzędne terenowe punktu odwzorowanego na \\(j\\) zdjęciach, \\(j=1...\\geq 2\\), \\(X_{o_j}, Y_{o_j}, Z_{o_j}, \\omega _j, \\phi _j, \\kappa _j \\) – EOZ zdjęcia \\(j\\), \\(x_{Pj}, y_{Pj}\\) – współrzędne obrazu punktu \\(P\\) na zdjęciu \\(j\\), \\(c\\) – stała kamery.", "Równania kolinearności (4) z racji nieliniowości wymagają rozwinięcia w szereg Taylora względem niewiadomych (\\(X,Y,Z\\)), wraz z podaniem ich wartości przybliżonych. Do obliczenia wartości przybliżonych można wykorzystać algorytm dokonujący wcięcia z dwóch zdjęć.", "Wskaźnikiem jakości wcięcia są błędy reprojekcji punktu \\(P\\) na zdjęcia (na Rys. 3 pokazane są punkty pomierzone i uzyskane z reprojekcji). Średni błąd reprojekcji wcięcia jest liczony z poprawek losowych \\(v_x,v_y\\) na poszczególnych zdjęciach, zgodnie z wzorem: (5):", "gdzie: \\(v_x, v_y\\) – losowe poprawki uzyskane po reprojekcji na poszczególne zdjęcia, \\(n\\) – liczba zdjęć (promieni) użytych do wcięcia.", "Gdy błąd reprojekcji jest większy od oczekiwanego, wówczas odrzuca się obserwacje uznane za odstające. W przypadku dużej liczby promieni wcinających dobrą praktyką jest pominięcie tych promieni, pomiędzy którymi kąt wcinający jest bardzo mały (teoretycznie im większy kąt wcinający, tym wyższa dokładność współrzędnej \\(Z\\)).", "Normalizacja może być przeprowadzona po orientacji wzajemnej, bezwzględnej oraz po aerotriangulacji. Najczęściej wykonuje się ją po aerotriangulacji, tworząc stereogramy znormalizowane z różnych kombinacji pokrywających się zdjęć. Do obliczenia ekwiwalentnego położenia punktów homologicznych na zdjęciach znormalizowanych wykorzystuje się równania kolinearności." ]

[ { "name": " Definicja 1: Wcięcie wstecz ", "content": " wyznaczenie EOZ zdjęcia na podstawie fotopunktów odwzorowanych na\nzdjęciu. " }, { "name": " Definicja 2: Wcięcie w przód ", "content": " polega na wyznaczeniu współrzędnych 3D punktów terenowych\nodwzorowanych na co najmniej dwóch zdjęciach, poprzez przecięcie promieni punktów homologicznych.\n" }, { "name": " Definicja 3: Stereogram znormalizowany ", "content": " układ dwóch zdjęć o osiach prostopadłych do\npoziomej bazy, uzyskany na drodze przetworzenia zdjęć tworzących stereogram rzeczywisty (Rys. 4).\n" } ]

[ "SIFT 1 działa skutecznie na zdjęciach o różnych skalach i stosunkowo dużym wzajemnym skręceniu (zakres różnic zależy od takich czynników jak: wielkość GSD, kąt obserwacji detalu obiektu, oświetlenie, tekstura). Ostateczna liczba punktów wiążących jest zwykle rzędu kilku tysięcy na zdjęciu (!), co daje wysokie prawdopodobieństwo ich równomiernego rozmieszczenia na zdjęciach. Dzięki temu uzasadniona jest estymacja EOW i dystorsji na etapie aerotriangulacji (samokalibracja – zob. Kalibracja kamer).", "Efektywny algorytm detekcji punktów wiążących 2 pozwolił opracować metodę automatycznej estymacji EOZ zdjęć, opartą na równaniach kolinearności, która rozwiązuje problem przybliżonych wartości niewiadomych dla dowolnie zorientowanych zdjęć (elementem metody jest automatyczne szacowanie przybliżonych EOZ). Równolegle rozwijały się metody automatycznego, masowego pomiaru stereoskopowego na zdjęciach o znanych EOZ [4, 5], nazywane Multi View Stereo (MVS). Efekty obu ścieżek badawczych są łącznie implementowane w programach komputerowych, co podkreśla nazwa złożona z dwóch akronimów: SfM–MVS 3 .", "SfM w części dotyczącej estymacji EOZ posiada następujące cechy użytkowe:", "Estymację EOZ poprzedzają prace przygotowawcze, cały proces można podzielić na trzy etapy:", "przy czym etapy 2) i 3) mogą się przeplatać.", "Każda potencjalna para zdjęć jest weryfikowana poprzez wykonanie orientacji wzajemnej. W tym celu obliczana jest macierz fundamentalna na podstawie losowo wybranych co najmniej 8 punktów (zob. Orientacja wzajemna i bezwzględna) i bada się poprawność pozostałych punktów przy pomocy strategii RANSAC. Punkty nie spełniające warunku linii epipolarnych są odrzucane, a proces ma charakter iteracyjny. Pary zdjęć dla których nie udało się wykonać orientacji wzajemnej są eliminowane. Ostatecznie powstaje graf wskazujący na wzajemne relacje zdjęć.", "Proces formowania bloku zaczyna się od wybrania inicjalnej pary zdjęć (w sposób arbitralny, np. zdjęcia leżące w środkowej części bloku lub wybór pary o dobrej geometrii przecięcia promieni homologicznych [6]). Układ modelu inicjalnego staje się układem w którym będzie formowany blok zdjęć. Kolejno są wykonywane następujące kroki [7]:", "pokazane symbolicznie na Rys. 2. Następnie powtarzane są kroki B i C dla kolejnych zdjęć.", "Wykonywane w kroku B wcięcie wstecz bazuje na algorytmach PnP (ang. perspective-n-point problem) [8]. Wcześniej wyznaczone współrzędne 3D punktów wiążących odgrywają rolę \"wirtualnych\" fotopunktów (klasyczny fotopunkt ma współrzędne wyznaczone pomiarem terenowym).", "Opisane formowanie bloku zdjęć jest odniesione do układu modelu inicjalnego. Związanie z terenem wymaga minimum trzech fotopunktów, które powinny być pomierzone na zdjęciach (na których się odwzorowały). Po transformacji 3D bloku (zob. Orientacja bezwzględna (absolutna) modelu (3)) zdjęcia uzyskują EOZ, a punkty wiążące współrzędne 3D, wyrażone w układzie terenowym. W ten sposób powstają wartości przybliżone niewiadomych potrzebne do estymacji EOZ metodą niezależnych wiązek (zob. Estymacja EOZ - aerotriangulacja).", "W trakcie formowania bloku ponownie sprawdza się poprawność punktów charakterystycznych jako potencjalnych punktów wiążących. Podczas obliczeń wykonywanych w ramach kroku B następuje filtracja z zastosowaniem strategii RANSAC – wpierw liczone jest wcięcie wstecz na podstawie kilku losowo wybranych \"wirtualnych\" fotopunktów, a następnie wykonuje się wcięcie z wszystkich punktów 5 . Brak zgodności wyników (EOZ dołączanego zdjęcia) jest przesłanką do odrzucenia punktów należących do \"wylosowanego\" zbioru i powtórzenia procesu.", "Nakreślona powyżej droga postępowania poprzez wyznaczenie wartości przybliżonych, a następnie estymację EOZ w jednym procesie dla całego bloku, jest podejściem globalnym [7]. Stosowana jest też strategia przyrostowa, która uruchamia proces dopasowania wiązek na etapie formowania bloku po każdorazowym dowiązaniu zdjęcia lub grupy zdjęć.", "W przypadku samokalibracji, często stosowanej w SfM, równania kolinearności (6) są uzupełnione o parametry EOW i dystorsji, które są dodatkowymi niewiadomymi (konieczne są ich wartości przybliżone), co ujmuje wzór (1):", "gdzie: \\(x,y\\) – współrzędne punktu osnowy (punkt wiążący, fotopunkt) na zdjęciu w układzie scentrowanym (zob. Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja), \\(x_o, y_o\\) – współrzędne punktu głównego, \\(\\Delta x_d, \\Delta y_d \\) – składowe dystorsji w postaci modelu Brown-a (zob. Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja), pozostałe oznaczenia jak dla wzoru (6).", "Jakość estymacji EOZ, EOW i dystorsji ocenia się na podstawie średniego błędu reprojekcji \\(\\mathrm {RE}\\) wszystkich punktów osnowy (gdzie jest wyraźna dominacja punktów wiążących), który jest liczony z wzoru (2) 8 :", "gdzie: \\(v_x, v_y\\) – losowe poprawki uzyskane dla wszystkich obserwacji \\(x\\) i \\(y\\) punktów osnowy na zdjęciach, \\(n\\) – liczba wszystkich pomiarów punktów osnowy na zdjęciach (obserwowana para współrzędnych \\(x,y\\) jest rozumiana jako jeden pomiar).", "Błąd reprojekcji jest wykorzystywany również do filtracji punktów wiążących po aerotriangulacji, wówczas liczony jest tylko z obserwacji danego punktu osnowy. Po usunięciu punktów wiążących o błędach uznanych za duże (zwykle gdy \\(\\mathrm {RE} >>\\) 1 piksel) wykonuje się ponownie estymację EOZ.", "Opracowano wiele metod MVS [4, 5]. W wydajnym algorytmie SGM dopasowanie jest prowadzone dla par zdjęć, a wyniki są łączone w jedną chmurę punktów. Podstawą dopasowania pikseli pomiędzy zdjęciami jest badanie funkcji kosztu opartej na liczeniu różnic jasności RGB pomiędzy otoczeniami pikseli na zdjęciach [9]. Proces obejmuje następujące zasadnicze etapy:", "Punkt homologiczny (piksel) na drugim zdjęciu nie jest poszukiwany wzdłuż całej linii epipolarnej, lecz na pewnym jej odcinku, wyliczonym na podstawie wstępnie oszacowanego zakresu paralaks podłużnych pomiędzy zdjęciami tworzącymi stereogram. Na podstawie paralaks przypisanych pikselom poszczególnych zdjęć tworzy się mapy głębokości, które powstają z przeliczenia paralaks na przyrosty \\(\\Delta Z\\) – zob. Fotogrametria 3D." ]

[ { "name": " Definicja 1: Sukcesywne formowanie bloku ", "content": " proces sekwencyjnego dopasowania orientacji kolejnych zdjęć względem\npary zdjęć przyjętej za inicjalną, którego celem jest doprowadzenie do poprawnego przecinania się promieni punktów\nhomologicznych 4\n .\n" } ]

[ "Do wykonania ortorektyfikacji zdjęcia są potrzebne:", "Różnica pomiędzy NMT a NMPT polega na tym, że NMT jest modelem powierzchni topograficznej terenu, a NMPT jest modelem reprezentującym teren i pokrywające go obiekty, jak pokazuje Rys. 2. Typową strukturą przestrzenną modeli wysokościowych jest siatka kwadratów lub siatka trójkątów, w których każdy węzeł ma przypisaną jedną wysokość.", "W zależności od modelu wysokościowego zastosowanego do ortorektyfikacji, wynikowy ortoobraz inaczej przedstawia obiekty wystające ponad teren, co pokazuje Rys. 3:", "Ortorektyfikacja jest stosowana od kilkudziesięciu lat, wpierw była wykonywana na przyrządach analogowych, potem w sposób cyfrowy [4], ale przez długi czas zdjęcia przetwarzano wyłącznie na podstawie NMT. Na początku XXI wieku pojawiły się rozwiązania wykorzystujące NMPT, nazwano je true ortorektyfikacją, podkreślając w ten sposób różnicę w stosunku do \"zwykłej\" ortorektyfikacji. Obecnie stosuje się oba warianty ortorektyfikacji, gdyż każdy ma swoje zalety i wady, wybór ścieżki technologicznej zależy od celu jakiemu ma służyć opracowanie.", "Ortoobrazy dziedziczą po zdjęciach zakres obszarowy oraz wzajemne pokrycie. Dla większości zastosowań funkcjonalne jest połączenie ortoobrazów w większe moduły obszarowe.", "Dla dużych obszarów (np. województwo) ortofotomapy opracowuje się w kartograficznym kroju sekcyjnym (arkuszowym). Dla mniejszych obszarowo opracowań ortofotomapom nadaje się kształt dostosowany do potrzeb (np. gmina, obszar projektowanej inwestycji). W Polsce termin ortofotomapa jest formalnie zarezerwowany dla opracowań wykonywanych kamerami metrycznymi [5]. Dlatego w przypadku technologii opartej na zdjęciach z BSP używa się nazwy ortomozaika. W fotogrametrii naziemnej wynik mozaikowania ortoobrazów określa się jako ortofotoplan [6].", "Newralgicznym elementem mozaikowania ortoobrazów powstałych na podstawie NMT jest trasowanie linii wzdłuż której następuje połączenie ortoobrazów. Linia mozaikowania musi omijać obiekty wystające nad teren, jak pokazuje Rys. 4. W przeciwnym wypadku zetkną się niepasujące geometrycznie obiekty (budynki, drzewa) i powstają artefakty. Stosowane są różne metody automatycznego trasowania linii mozaikowania [7]. Poprawność przebiegu linii wymaga jednak weryfikacji, jest to jeden z nielicznych etapów opracowania ortofotomapy z NMT, w którym potrzebny jest nadzór obserwatora.", "Na ortofotomapie opracowanej z NMT obiekty wystające nad teren są pokazane w jednej perspektywie z przesunięciem radialnym, a przez to nie jest widoczny obszar zasłonięty przez dany obiekt. Jeśli zamiast ortofotomapy wykorzystywane są poszczególne ortoobrazy, to w miejscu ich pokrycia istnieje możliwość obserwacji terenu z różnych perspektyw, odpowiednio do ukierunkowania kamery w momencie fotografowania (Rys. 5). Daje to pełniejszy obraz zagospodarowania terenu, ale wymaga włączania/wyłączania poszczególnych ortoobrazów.", "Na Rys. 5, poza przesłonięciami zagospodarowania za wysokimi budynkami, pokazany jest również problem wynikający ze zmiany oświetlenia fotografowanej sceny. Pomiędzy zdjęciami wykonanymi z różnych szeregów upływ czasu może powodować duże różnice jasności (R,G,B) na styku łączonych ortoobrazów (zdarza się, że szeregi \"poprawkowe\" są rejestrowane w innych dniach). Powoduje to konieczność korekcji jasności i nasycenia kolorów, aby na ortofotomapie różnice pomiędzy łączonymi ortoobrazami były jak najmniej widoczne.", "Na ortoobrazach przetwarzanych na NMPT nie ma przesunięć radialnych obiektów wystających nad teren. Dlatego przy łączeniu ortoobrazów linia mozaikowania nie musi omijać takich obiektów. Wobec dowolności przebiegu linii mozaikowania jako nadrzędne kryterium stawia się wybór środkowych części ortoobrazów, dzieląc obszar diagramem Woronoja względem położenia środków rzutów zdjęć. W tej ścieżce technologicznej etapem krytycznym jest uzupełnianie miejsc zakrytych treścią z innych ortoobrazów (zob. Praktyczne aspekty opracowania ortofoto)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Ortorektyfikacja zdjęcia ", "content": " przetworzenie zdjęcia z rzutu środkowego do postaci\nodpowiadającej hipotetycznemu rzutowi ortogonalnemu; rezultat ortorektyfikacji zdjęcia jest nazywany\nortoobrazem lub ortozdjęciem (ang. ortho-image, orthophoto [2, 3]). " }, { "name": " Definicja 2: Ortofotomapa ", "content": " kartometryczny obraz cyfrowy powstały przez połączenie ortoobrazów w\nwiększe moduły obszarowe w sposób gwarantujący ciągłość odwzorowanych obiektów na stykach ortoobrazów;\nwyróżnia się:\n\n\nortofotomapę zwykłą, która pokazuje obiekty wystające nad teren z przesunięciem radialnym\n(skutek ortorektyfikacji na NMT),\n\n\n\ntrue ortofotomapę (ang. true orthophoto), która pokazuje obiekty wystające nad teren bez\nprzesunięcia radialnego (skutek ortorektyfikacji na NMPT).\n" } ]

[ "Model wysokościowy (NMT, NMPT) jest zbiorem punktów (\\(X,Y,Z\\)) zorganizowanym w trójkąty lub kwadraty. Podstawową funkcjonalnością modelu jest określenie wysokości (\\(Z\\)) dla dowolnego punktu obszaru opracowania o wskazanym położeniu \\((X,Y)\\), poprzez interpolację z otaczających punkt węzłów siatki, co symbolicznie przedstawia wzór (1):", "Do ortorektyfikacji najczęściej stosuje się modele o strukturze siatki kwadratów, ze względu na prostotę algorytmu interpolacji wysokości [1]. W przypadku NMT \"oczko\" siatki może wynosić kilka-kilkanaście metrów. Siatka NMPT musi mieć znacznie większą gęstość, aby jak najwierniej oddać kształt budynków i koron drzew. Stosuje się również struktury hybrydowe, w których do siatki kwadratów dodaje się linie lub powierzchnie 3D, w miejscach skokowych zmian wysokości (np. krawędzie dachów budynków, skarpy, uskoki). Dodatkowe elementy wektorowe pozytywnie wpływają na jakość true ortofoto, jednak ich pozyskanie jest pracochłonne.", "Obecnie w ortorektyfikacji dominują NMPT i NMT o drobnych oczkach (Rys. 1), gdyż istnieją techniki pomiarowe, które sprawnie dostarczają danych 3D o wysokiej gęstości. Jedną z tych technik jest lotnicze skanowanie laserowe, a drugą automatyczne opracowanie gęstej chmury punktów ze zdjęć (zob. Metoda SfM). Obie techniki generują zbiory punktów osadzonych na powierzchniach obiektów pokrycia terenu widocznych z perspektywy lotniczej (głównie dachy i korony drzew), a w miejscach otwartych – na terenie (w przypadku skanowania laserowego powierzchnie ażurowe jak drzewa i krzewy powodują, że część punktów przenika w głąb, aż do terenu). Tak uzyskane dane pomiarowe są zbiorami punktów o nieregularnym rozłożeniu, na drodze interpolacji uzyskuje się regularne siatki NMT/NMPT. Przed interpolacją NMT chmury punktów są poddawane filtracji, aby wydzielić z nich punkty terenu. Przygotowanie NMT dla ortorektyfikacji z reguły wymaga interwencji operatora, ale jest to zadanie mniej pracochłonne niż korekta automatycznie opracowanego NMPT, zapewniająca poprawne odwzorowanie krawędzi budynków na true ortofoto.", "Naszkicowana w module Od zdjęcia do ortofotomapy idea ortorektyfikacji, jest w praktyce realizowana metodą \"wstecz\", opartą na projekcji pikseli hipotetycznego ortoobrazu na zdjęcie (a nie projekcji zdjęcie -> orto) [1]. Metoda wstecz wymaga prognozy granic obszaru który będzie zajęty przez ortoobraz. Zadanie jest łatwe dla regularnych bloków zdjęć prawie pionowych, zorientowanych w przybliżeniu równolegle do osi układu terenowego. W przypadku bloków skręconych do układu terenowego lub zdjęć ukośnych, zdefiniowanie prostokąta otaczającego wymaga projekcji narożnych pikseli zdjęcia na płaszczyznę o średniej wysokości terenowej.", "Odwzorowane na zdjęciu środki pikseli ortoobrazu tracą pierwotną regularność, odległości między nimi są zmienne (Rys. 2). Przypisanie koloru RGB pikselom ortobrazu wymaga wymaga interpolacji.", "Środki pikseli ortofoto które tworzą siatkę kwadratów ( Rys. 3A), są nieregularnie rozłożone po reprojekcji na zdjęcie ( Rys. 3B). W ponownym próbkowaniu wykorzystuje się najczęściej interpolację dwuliniową [2]. Do interpolacji koloru są brane cztery piksele zdjęcia, których środki otaczają punkt reprezentujący środek piksela ortofoto na zdjęciu (Rys. 3C).", "Kolor przypisany punktowi (de facto pikselowi ortoobrazu) jest średnią ważoną liczoną ze wzoru (2), przy czym obliczenia dotyczą osobno składowych R,G,B:", "gdzie: \\(g_{orto}\\) – jedna z trzech składowych koloru R,G,B piksela ortoobrazu (czerwona kropka na Rys. 3ABC), \\(g_j\\) – jedna z trzech składowych koloru R,G,B piksela zdjęcia (\\(j=1,..,4\\)), \\(w_j\\) – waga równa powierzchni pokazanej na Rys. 3C.", "Wskutek ponownego próbkowania ortobraz składa się z pikseli których kolory różnią od kolorów pikseli zdjęcia. Największe zmiany następują w miejscach silnych kontrastów na zdjęciu. Ortoobraz jest mniej ostry od zdjęcia, gdyż interpolacja wygładza kolory. Gdy zdjęcie ma wysoki poziom szumów losowych, wówczas ponowne próbkowanie działa jak filtr redukujący szum.", "Opracowanie true ortofoto wymaga wykrycia miejsc zasłoniętych na danym ortoobrazie i przeszukania ortoobrazów sąsiednich w celu znalezienia takich, na których miejsca zakryte są widoczne.", "Do wykryciu miejsc zasłoniętych na zdjęciach, a w konsekwencji na ortoobrazach, stosuje się najczęściej metodę Z-bufora [3, 4], wywodzącą się z grafiki komputerowej. Z-bufor jest tablicą o rozmiarach identycznych jak zdjęcie 2 , do której są wpisywane sukcesywnie odległości od pikseli ortoobrazu (X,Y), uzupełnionych o wysokości (Z), do środka rzutu. Lokalizację poszczególnych odległości wskazują współrzędne \\(x,y\\) liczone z równań kolinearności (6)). Jeśli do tej samej komórki Z-bufora trafi nowa odległość, to gdy będzie to wartość mniejsza – zostanie wpisana do komórki. Sytuacja taka jest pokazana na Rys. 4A: piksel położony za dachem w stosunku do środka rzutu zostanie wskazany jako niewidoczny, gdyż jego odległość do środka rzutu jest większa niż piksela na dachu. Piksele niewidoczne zwykle otrzymują wartości R=G=B=255, stając się \"białymi plamami\". Wypełnianie Z-bufora odległościami \"teren–zdjęcie\" to etap wstępny po którym następuje ortorektyfikacja metodą wstecz.", "Ortoobrazy są osadzone w układzie współrzędnych, co pozwala na działanie pomiędzy nimi jak na warstwach GIS (w miejscach gdzie się pokrywają). Dla pikseli oznaczonych jako \"białe plamy\" na jednym ortoobrazie badane są piksele leżące w tym samych miejscach, ale na innych ortobrazach. W ten sposób wybrany jest ortoobraz (lub ortoobrazy) na którym miejsce nie było zasłonięte. Na Rys. 4B przestawione jest wymienne wypełnienie miejsc zakrytych powstałych na dwóch sąsiednich ortoobrazach \\(i,i\\!+1\\!\\) (zdjęcie \\(i\\!+\\!1\\) nie została jawnie pokazane). Jeśli istnieje więcej niż jedna możliwość zapełniania \"plamy\" włączane są dodatkowe kryteria, np. mniejszy kąt pomiędzy osią kamery a promieniem do punktu [5]." ]

[ { "name": " Definicja 1: Ponowne próbkowanie obrazu ", "content": " tworzenie nowego obrazu który różni się od pierwotnego\ninnym układem pikseli; przypisanie koloru pikselom nowego obrazu odbywa się na drodze interpolacji w oparciu\no kolory pikseli obrazu pierwotnego (ang. resampling). " } ]

[ "Pomiar fotogrametryczny może mieć charakter:", "Pomiar manualny 3D jest realizowany dwoma metodami [2]:", "Stereoskopia sztuczna wzoruje się na stereoskopii naturalnej (zob. Fotogrametria 3D), polega na równoczesnej obserwacji dwóch zdjęć, z których każde jest skierowane do innego oka. Jeśli kolejność obserwowanych zdjęć odpowiada ich relacji przestrzennej, wówczas obserwator widzi głębię sceny odpowiadającą rzeczywistości, gdy kolejność jest zmieniona – głębia sceny jest odwrócona (efekt pseudoskopowy [3]). W fotogrametrii stosowane są następujące techniki obserwacji stereoskopowej [4]:", "Zadaniem obserwatora podczas pomiaru jest takie ustawienie znaczka pomiarowego, aby dotknął detalu terenowego na modelu 3D. Zaletą obserwacji stereoskopowej jest prawidłowe wskazanie punktów homologicznych na obu zdjęciach, gdyż są widziane równocześnie. W przypadku pomiaru NMT realizowanego bezpośrednio w siatce kwadratów, jest stosowane automatyczne przesunięcie o rozmiar oczka siatki, w nowym miejscu obserwator \"dotyka znaczkiem terenu\". Wadą stereo jest możliwość pomiaru tylko na dwóch zdjęciach, wykorzystanie wszystkich odwzorowań detalu na zdjęciach wymaga sukcesywnej zmiany pary stereoskopowej. Jeżeli jest wiele par stereoskopowych, wówczas preferowane są stereogramy o większym kącie wcinającym, złożone ze zdjęć z tego samego szeregu.", "W przypadku gdy mierzone detale są jednoznacznie identyfikowalne na pokrywających się zdjęciach, wówczas można stosować pomiar monoskopowy, czyli osobne wskazanie na kolejnych zdjęciach. W ten sposób można mierzyć takie szczegóły terenowe, których obraz jest plamką lub figurą geometryczną odcinającą się od tła (np. właz do kanału), albo jest wskazany poprzez przecinające się elementy liniowe (np. narożnik budynku). Metoda nie nadaje się do pomiarów w miejscach, gdzie na zdjęciach nie ma wyrazistej tekstury.", "Chmura punktów z reguły pełni rolę produktu pośredniego, służy do:", "Modele grid są często wykorzystywane w pomiarach objętości mas ziemnych i kruszyw. Modele mesh są przeznaczone głównie dla celów prezentacyjnych.", "Szczegóły terenowe mogą być interpretowane i mierzone na chmurze punktów, wówczas jest to wtórny pomiar fotogrametryczny. Podobna sytuacja ma miejsce przy pomiarze szczegółów na ortofoto, przy czym jest to pomiar 2D.", "Przedstawiony na Rys. 2 pomiar narożnika budynku jawi się jako podobny do pomiaru na zdjęciach (Rys. 1) ze względu na bardzo gęstą chmurę punktów, rzędu kilku milimetrów (zdjęcia były wykonywane z wysokości kilkunastu metrów). Gdy odstępy między punktami chmury są na poziomie centymetrów lub decymetrów, wówczas pomiar nie jest tak jednoznaczny i często odbywa się na drodze przecięcia pomocniczych prostych lub płaszczyzn estymowanych przez operatora (przy wsparciu funkcjonalnością narzędzi CAD).", "Na podstawie ortofoto można mierzyć położenie szczegółów leżących na terenie i odróżniających się od otaczającego tła (warunki te często spełniają elementy naziemne podziemnego uzbrojenia terenu). Takie pomiary dostarczają współrzędnych \\(X,Y\\), co jest wystarczające w przypadku geodezyjnych pomiarów sytuacyjnych [1]. Wykorzystanie ortofotomapy (ortomozaiki) jest mało efektywne w pomiarach budynków, gdyż na ortofoto/NMPT narożniki tworzące kontur budynku są niewidoczne, a na ortofoto/NMT widoczne są tylko niektóre. Efektywność pomiaru przyziemi budynków jest wyższa, jeśli pomiar wykonywany jest na ortoobrazach z NMT. Takie postępowanie podnosi dokładność pomiaru (średnia z kilku obserwacji – Rys. 3). Niezgodność pomiarów na ortoobrazach jest sygnałem, że w mierzonym miejscu wystąpiło zniekształcenie z powodu błędów NMT/NMPT (znacznie częściej występują błędy na automatycznie generowanych modelach)." ]

[ { "name": " Definicja 1: Pomiar fotogrametryczny 3D ", "content": " polega na identyfikacji na co najmniej dwóch zdjęciach\npunktów homologicznych reprezentujących punkt terenowy, pomiarze położenia tych punktów na zdjęciach i\nobliczeniu współrzędnych 3D w układzie terenowym na drodze wcięcia w przód (zob. Wcięcia\nfotogrametryczne i normalizacja zdjęć). " } ]

[ "Wspólnymi elementami dokładności wszystkich rodzajów pomiarów są: dokładność EOZ i EOW\\(^{+}\\) oraz GSD zdjęć (ściślej Rozdzielczość przestrzenna zdjęcia (1)). Powtarza się również jakość identyfikacji szczegółu terenowego, przy czym odnosi się ona do innego materiału pomiarowego (zdjęcie, gęsta chmura, ortofoto).", "Z procesu estymacji EOZ i EOW\\(^{+}\\) uzyskuje się odchylenia standardowe wyznaczanych parametrów, co pozwala wykonać analizę dokładności pomiaru fotogrametrycznego. Ze względu na wzajemną korelację parametrów EOZ i EOW\\(^{+}\\) (wewnątrz grup i pomiędzy nimi) [1], analiza ich wpływu na dokładność współrzędnych \\(X,Y,Z\\) z wcięcia w przód nie jest w pełni miarodajna. Dlatego zamiast teoretycznie oceniać dokładność pomiarów fotogrametrycznych, wykonuje się badanie empiryczne, oparte na punktach kontrolnych (zob. Terenowa osnowa fotogrametryczna). Wynik tego badania nie jest równoznaczny z dokładnością pomiarów szczegółów terenowych, ale stanowi punkt wyjścia do wnioskowania, jaka dokładność może być osiągnięta.", "Równolegle z badaniem dokładności punktów kontrolnych sprawdza się, czy estymacja ma charakter zrównoważony statystycznie [3]. Jest to konieczne, gdyż liczba punktów kontrolnych w opracowaniach produkcyjnych z reguły jest niewielka (wymagane minimum to 8 lub 10 – zob. Terenowa osnowa fotogrametryczna) 1 , co przy dużych blokach zdjęć rodzi niebezpieczeństwo niewykrycia lokalnych błędów w wyrównywanej sieci 3D.", "Aby ocenić dokładności pomiaru fotogrametrycznego należy:", "Po estymacji EOZ/EOW\\(^{+}\\) mierzy się na zdjęciach punkty kontrolne i oblicza ich współrzędne terenowe z wcięcia w przód. Pozwala to zestawić różnice pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi (z pomiaru terenowego) i obliczyć średnie kwadratowe błędów współrzędnych \\(X,Y,Z\\) – zgodnie z wzorem (1):", "gdzie: \\(X_i, Y_i, Z_i \\) – współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru fotogrametrycznego, \\(\\hat {X_i}, \\hat {Y_i}, \\hat {Z_i} \\) – współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru terenowego, \\(n\\) – liczba punktów kontrolnych.", "Błąd średni położenia sytuacyjnego punktów kontrolnych wynosi:", "Wraz z oceną RMSE analizuje się maksymalne wartości różnic pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi, oraz ich wartości średnie. Pozwala to sprawdzić, czy nie występuje składnik systematyczny, sygnalizujący nieprawidłowość w procesie estymacji. Zakładając, że różnice pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi mają rozkład normalny, należy traktować wielkości przekraczające 3 RMSE jako błędy grube. Taka sytuacja wymaga zbadania przyczyny błędu grubego 2 i ewentualnego dodania nowego punktu kontrolnego w bliskiej odległości od punktu błędnego.", "Statystyka procesu estymacji zawiera wiele parametrów, spośród których kluczowe dla oceny jakości estymacji są:", "Średnie kwadratowe błędów \\(X,Y,Z\\) fotopunktów są liczone analogicznie jak \\(\\mathrm {RMSE}\\) punktów kontrolnych (zob. wzór (1)). Wartości powinny być zbliżone do deklarowanych przed estymacją dokładności fotopunktów. Wartości podane a priori powinny uwzględniać zarówno dokładność pomiaru terenowego współrzędnych \\(X,Y,Z\\) jak i dokładność identyfikacji na zdjęciach. Przyjmuje się, że stosunek wartości a priori do uzyskanych a posteriori nie powinien różnić się od jedności więcej niż 10\\(\\%\\). Większa różnica wskazuje na konieczność powtórzenia estymacji ze skorygowanym parametrem dokładności fotopunktów (zgodnie z Wnioskowaniem bayesowskim).", "Odchylenie standardowe obserwacji jednostkowej liczone jest z wzoru (4). Wartość \\(\\sigma _0\\) jest bezwymiarowa i powinna być zbliżona do jedności. Duże odstępstwo od jedności świadczy o złym wagowaniu równań obserwacyjnych przy estymacji EOZ. W niektórych algorytmach aerotriangulacji stosuje się taki sposób wagowania obserwacji, który nadaje \\(\\sigma _0\\) wymiar liniowy (µm, piksel). Wówczas wartość \\(\\sigma _0\\) powinna być zbliżona do deklarowanej a priori dokładności pomiaru na zdjęciach.", "Średni błąd reprojekcji jest liczony z wzoru (2). Wartość błędu nie powinna być większa od deklarowanej przed estymacją dokładności punktów wiążących (na zdjęciu). Wobec bardzo dużej liczby punktów wiążących na wielkość średniego błędu reprojekcji nie wpływa znacząco obecność relatywnie niewielkiej grupy błędnych punktów wiążących. Tym niemniej powinny być analizowane błędy reprojekcji poszczególnych punktów a punkty o odstających błędach – usuwane, gdyż mogą powodować lokalne błędy w wyrównywanej sieci.", "Dokładność identyfikacji szczegółów na zdjęciach jest zagadnieniem złożonym, gdyż zależy od splotu wielu czynników (zob. Rozdzielczość przestrzenna zdjęcia). W przypadku zdjęć lotniczych zmienność skali jest relatywnie mała, co uprawnia do traktowania GSD jest terenowego odpowiednika piksela na zdjęcia. Tej samej miary można też użyć dla ortofoto, gdyż z reguły piksel ortofoto jest bliski GSD. Gęstość chmury punktów jest dla powierzchni płaskich powiązana z GSD, zatem i w tym przypadku można wykorzystać GSD do wyrażenia dokładności identyfikacji.", "Trudniej identyfikować na zdjęciach szczegóły leżące na styku terenu ze ścianami budynków, zwłaszcza gdy te elementy mają podobną kolorystykę, oraz szczegóły w miejscach zacienionych. Dokładność identyfikacji szczegółów na zdjęciach zwykle mieści się w przedziale od 0,5 do 3 pikseli (równoważnie można ten zakres podać w GSD). Pomiar w trybie stereo, w stosunku do pomiaru mono, podnosi dokładność identyfikacji, najbardziej gdy szczegóły są słabo uwidocznione na zdjęciach (większe prawdopodobieństwo poprawnego wskazania punktów homologicznych, ale ograniczone do pary zdjęć).", "Pomiar szczegółów na chmurze punktów 3 jest z reguły mniej jednoznaczny niż na zdjęciach, dotyczy to w pierwszej kolejności szczegółów położonych na powierzchni topograficznej terenu (na drogach, chodnikach, płaskich lub pofalowanych terenach rolnych). Taki przypadek obejmuje wszystkie szczegóły pokazane na Rys. 1. Natomiast jeśli szczegół można zidentyfikować na drodze przecięcia płaszczyzn (np. krawędź budynku, kalenica dachu), wówczas identyfikacja na chmurze może być być bliska 1 GSD. W ogólności błędy identyfikacji szczegółów na chmurach lokują się w przedziale od 1 do 4 GSD.", "Identyfikacja na ortofoto jest współmierna w stosunku do wskazywania szczegółów na zdjęciach, jednak prawie zawsze jest mniej dokładna. Strata dokładności identyfikacji względem zdjęć kształtuje się na poziomie 25\\(\\%\\), sporadycznie dochodzi do 50\\(\\%\\) (w przypadku wystąpienia błędów NMT/NMPT strata może być jeszcze większa)." ]

[]

[ "W wielu krajach ortofotomapy ze zdjęć lotniczych są wykonywane w ramach projektów centralnych lub regionalnych. W opracowanie ortofoto inwestują także globalne przedsiębiorstwa informatyczne, oferując serwisy z ortofoto lotniczymi i satelitarnymi. W dobie społeczeństwa informacyjnego ortofoto jest oczywistym elementem infrastruktury informacji przestrzennej. W ramach europejskiej dyrektywy INSPIRE powstała specyfikacja Orthoimagery, która standaryzuje opracowanie ortofoto.", "W Polsce program cyklicznego opracowania ortofotomapy o zasięgu krajowym rozpoczął się na początku obecnego wieku. Program jest zarządzany centralnie, stawia wymóg, aby zdjęcia były wykonane kamerą pomiarową [3]. Dlatego ortofotomapy wykonywane w ramach programu krajowego są domeną fotogrametrii ze statków załogowych (zob. Fotogrametryczne statki powietrzne). Punktem dostępowym jest serwis geoportal.gov.pl, serwis notuje około milion odwiedzin miesięcznie 1 . Ortofotomapa jest jedną z wielu warstw tematycznych, wyświetla się domyślnie jako mapa podkładowa danych wektorowych (przy odpowiednio dużej skali przeglądania). Podobną rolę odgrywa ortofoto w regionalnych serwisach informacji przestrzennej, np. Małopolska i systemach miejskich, np. Kraków. Ortofoto z różnych lat można nie tylko przeglądać, ale też pobrać i przy pomocy narzędzi GIS wykorzystać dla potrzeb zawodowych lub osobistych. Eksploatacja ortofoto w narzędziach GIS, jako warstwy odniesionej do dowolnego układu współrzędnych, jest ujednolicona dzięki otwartemu standardowi GeoTIFF. Kierunki wykorzystania ortofoto są bardzo zróżnicowane [1]. Dla celów zawodowych z ortofoto korzystają najczęściej: planiści przestrzenni, urbaniści, pośrednicy nieruchomości, pracownicy administracji publicznej, leśnicy, archeolodzy.", "Prowadzone są próby zastąpienia fotogrametrii załogowej przez BSP, dowodzące, że pomiar budynków na zdjęciach zapewnia dokładności stawiane szczegółom I grupy (średni błąd położenia 10 cm) [9]. Duże pokrycie podłużne i poprzeczne stosowane w fotogrametrii z BSP poprawia kompletność pomiaru budynków, jednak w pełni kompletny pomiar jest praktycznie niemożliwy (zob. Rodzaje pomiarów fotogrametrycznych). O ile zastosowanie fotogrametrii do pomiaru działek i budynków było i pozostanie problematyczne, to jednoznacznie pozytywnie jest oceniona przydatność ortofotomapy do pomiaru granic użytków gruntowych oraz jako materiał weryfikujący aktualność danych EGiB. Ortofotomapa przydaje się także w monitoringu zgłoszeń podatkowych, gdyż pozwala wskazać obiekty służące działalności gospodarczej a nie wykazane w rejestrach publicznych [10].", "Scalenia gruntów w nowoczesnej, ukierunkowanej na zrównoważony rozwój formule [11], są coraz częściej wspierane opracowaniami fotogrametrycznymi [12, 13]. Ortofoto, obrazujące zmiany zagospodarowania w latach poprzedzających rozpoczęcie prac scaleniowych, jest znakomitym źródłem informacji o postępujących trendach, które rzutują na uwarunkowania założeń do projektu scalenia. Opracowana na podstawie aktualnego ortofoto szczegółowa mapa użytkowania oraz NMT, odgrywają kluczową rolę w przygotowaniu projektu scalenia, a ortofoto stanowi jednocześnie podkład mapowy czytelny dla wszystkich interesariuszy.", "Inna grupę inżynieryjnych zastosowań fotogrametrii stanowią pomiary o nieco mniejszej dokładności (1-5 cm), ale dotyczące bardziej rozległych obszarów/obiektów, jak:", "Poza klasyczną dokumentacją 2D, obejmującą rzuty i przekroje, wykonuje się również modele 3D mesh [27, 28]. W większości przypadków stanowią one materiał poglądowy, uzupełniający a nie zastępujący klasycznej dokumentacji.", "Coraz częściej stosuje się integrację fotogrametrii ze skanowaniem laserowym [29, 30, 31]. Ważną zaletą skanowania jest skuteczna rejestracja 3D obiektów o słabo zarysowanej teksturze, natomiast wadą – niższa efektywność dokumentowania powierzchni o drobnej, układającej się w rysunek teksturze.", "Fotogrametria, dzięki automatycznemu generowaniu gęstej chmury punktów (zob. Metoda SfM) jest podstawową, obok skanowania laserowego, metodą dostarczania danych dla potrzeb modelowania 3D oraz 4D (czas jako czwarty wymiar). Chmura punktów jest zbiorem niezorganizowanym, któremu stosunkowo łatwo można nadać formę siatki mesh [32, 28]. Taki model 3D ma charakter poglądowy, nadaje się głównie do wizualizacji i pomiarów po interpretacji treści (analogia do ortofotomapy jako poglądowego modelu 2D). W przypadku modeli semantycznych, w których wydziela się obiekty i opisuje atrybutami [33], dane źródłowe 3D wymagają dość złożonego przetworzenia (identyfikacja obiektów, poprawa topologii, wprowadzenie atrybutów opisowych).", "Przykłady usług wirtualnych wykorzystujących dane fotogrametryczne:", "W niektórych zastosowaniach zdjęcia wykonuje się smartfonami [40, 41, 45], a do opracowania modeli jest wykorzystywana Metoda SfM.", "Gdy obiekt pomiaru jest płaski, wówczas można zastosować rozwiązanie określane jako Fotogrametria 2D (też fotogrametria jednoobrazowa). Podstawa teoretyczna fotogrametrii zasadza się na transformacji perspektywicznej pomiędzy płaszczyznami czyli zdjęciem i płaskim obiektem, która jest wyrażona wzorem: (2). Współczynniki transformacji oblicza się na podstawie 4 fotopunktów, których współrzędne na obiekcie mają charakter 2D, jak na zdjęciu. Transformację można wykorzystać w procesie podobnym ideowo do ortorektyfikacji ale prostszym algorytmicznie (zob. Praktyczne aspekty opracowania ortofoto), gdyż nie nie są wykorzystane Równania kolinearności i elementy orientacji zewnętrznej i zbędny jest NMT.", "Założone w 1930 r. przedsiębiorstwo \"Fotolot\" wykonało zakrojone na szeroką skalę mapowanie Polesia dla potrzeb melioracji, w dużej części w postaci fotoplanów (map fotograficznych o analogicznym jak ortfotomapa sposobie przekazu treści) [46]. Transformacja perspektywiczna była wtedy realizowana na przyrządach analogowych [47]. Współcześnie wykorzystuje się fotogrametrię 2D w inwentaryzacji zabytków jako wsparcie innych metod. Fotogrametria 2D jest dalej efektywna przy wykonywania fotoplanów płaskich malowideł, murów, elewacji." ]

[]

[ "E-podręcznik opracowano w ramach Zintegrowanego Programu Rozwoju Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Wiedza Edukacja Rozwój 2014-2020. Oś III Szkolnictwo wyższe dla gospodarki i rozwoju, Działanie 3.5 Kompleksowe programy szkół wyższych." ]

[]

[ "Podręcznik ten przedstawia obszerne wprowadzenie do metody elementów skończonych, z uwzględnieniem metod analizy izogeometrycznej. Rozdziały uzupełnione są o przykładowe kody MATLABa (możliwe do uruchomienia w darmowej wersji Octave). Autorem tekstu jest prof. dr hab. Maciej Paszyński.", "Autorami kodów MATLABa są dr inż. Marcin Łoś oraz dr inż. Maciej Woźniak z Katedry Informatyki z mojego zespołu Algorytmów i Systemów Adaptacyjnych. Chciałbym bardzo podziękować Panom Maćkowi i Marcinowi za zaawansowane implementacje w MATLABie.", "Chciałbym również bardzo podziękować mojej żonie, dr hab. Annie Paszyńskiej z Uniwersytetu Jagiellońskiego za pomoc w przygotowaniu wielu rysunków do podręcznika. Chciałbym bardzo serdecznie podziękować recenzentom, prof. Maciejowi Pietrzykowi i prof. Krzysztofowi Banasiowi za bardzo wnikliwe przeczytanie książki i szczegółowe recenzje, których uwzględnienie znacznie podniosło poziom podręcznika.", "Podręcznik mój adresowany jest dla studentów studiów technicznych i informatycznych i z tego względu koncentruje się na aspektach praktycznych i implementacyjnych poszczególnych zagadnień związanych z metodą elementów skończonych. Podręcznik mój natomiast nie porusza zagadnień matematycznej teorii zbieżności metody elementów skończonych. Czytelników których interesują matematyczne podstawy metody elementów skończonych zachęcam do przeczytania rozdziału \"Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych\". Czytelników bardziej zainteresowanych aspektami implementacji i ogólnym wprowadzeniem do metody elementów skończonych zachęcam do pominięcia tego rozdziału przy pierwszym czytaniu i rozpoczęcia lektury od rozdziału \"Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy\".", "Podręcznik ten opisuję zarówno klasyczną metodę elementów skończonych oraz izogeometryczną metodę elementów skończonych. Pierwsze prace naukowe na temat metody elementów skończonych pochodzą z roku 1940 od Richarda Couranta (profesor matematyki, urodzony w Lublińcu w Polsce w roku 1888 na ówczesnym terytorium niemieckim, wyemigrował do USA) i Alexandra Hrennikoffa (profesor inżynierii lądowej, urodzony w Rosji, wyemigrował do Kanady), oraz Feng Kanga w Chinach w roku 1950 [1][2][3]. Metoda ta nabrała impetu w latach 1960-1970 dzięki pracy Olgierda Ziemkiewicza (profesor inżynierii lądowej, żyjącą w Wielkiej Brytanii, o Polskich korzeniach) [4]. W ostatnich latach rosnącą popularnością cieszy się izogeometryczna metoda elementów skończonych, propagowana przez zespół prof. T. J. R. Hughes'a, stosująca funkcje bazowe z rodziny B-spline, cechujące się ciągłością wyższego stopnia \\( C^k \\) [5]. Równolegle do metod analizy izogeometrycznej rozwijane są metody adaptacyjne, korzystające z klasycznej metody elementów skończonych, stosujące hierarchiczne funkcje bazowe. Algorytmy \\( hp \\) adaptacyjne pozwalające na eksponencjalną zbieżność dokładności rozwiązania względem rozmiaru siatki obliczeniowej, rozwijane są przez grupę prof. Leszka Demkowicza (polski matematyk i profesor mechaniki, pracujący na Uniwersytecie Teksańskim w Austin) [6][7]. Obserwuje się również próby łączenia metod adaptacyjnych z analizą izogeometryczną, poprzez tworzenie nowych rodzin wielomianów, możliwych do definiowania na siatkach adaptacyjnych, umożliwiających mieszanie wielomianów z rodziny B-spline różnego stopnia [8].", "Klasyczna metoda elementów skończonych na siatkach regularnych jest szczególnym przypadkiem izogeometrycznej metody elementów skończonych. Jedyna różnica, polega na tym, iż funkcje bazowe używane w klasycznej metodzie elementów skończonych są wielomianami stopnia p o ciągłości \\( C^{p-1} \\) we wnętrzu elementów, natomiast na granicy elementów skończonych są one klasy \\( C^0 \\). Izogeometryczna metoda elementów skończonych uogólnia funkcje bazowe na wielomiany stopnia p które mogą być klasy \\( C^k \\) na całym obszarze obliczeniowym. Mogą one być również klasy \\( C^{p-1} \\) tylko we wnętrzach elementów oraz klasy \\( C^0 \\) na granicy elementów. W szczególności funkcje B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych definiowane są przez tzw. wektory węzłów. Poprzez powtórzenie węzłów na granicy elementów uzyskuje się funkcje B-spline równoważne klasycznym wielomianom Lagrange'a.", "Izogeometryczna metoda elementów skończonych stosowana jest zazwyczaj na siatkach będących obrazem regularnych (kwadratowych lub sześciennych) grup elementów, natomiast klasyczna metoda elementów skończonych może używać elementów kwadratowych lub trójkątnych w 2D, oraz sześciennych, czworościennych, pryzm i piramid w 3D. Istnieją natomiast nowoczesne metody definiowania funkcji B-spline na elementach trójkątnych i czworościennych, i wówczas ta równoważność (fakt iż izogeometryczna metoda elementów skończonych zwiększa ciągłość funkcji bazowych) jest zachowana.", "Klasyczna metoda elementów skończonych aproksymuje pola skalarne i wektorowe występujące w obliczeniach inżynierskich w sposób kawałkami ciągły, a izogeometryczna metoda elementów skończonych w sposób globalnie ciągły. Istnieją oczywiście problemy obliczeniowe, dla których metoda izogeometryczna daje lepsze przybliżenie, oraz problemy obliczeniowe, dla których klasyczna metoda elementów skończonych daje lepsze przybliżenia.", "Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o klasycznej metodzie elementów skończonych?", "Ad.1) Definicje formalne klasycznej metody elementów skończonych opisane zostały w modułach rozdziału \"Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych\". Książka zawiera również szereg nieformalnych definicji. W szczególności elementy trójkątne opisane zostały w rozdziale \"Siatki nieregularne\"; wielomiany Lagrange'a na elementach prostokątnych i sześciennych zdefiniowane zostały poprzez powtórzenie węzłów w wektorze węzłów definiujących funkcje bazowe B-spline (pamiętając że wielomiany Lagrange'a zawierają się w funkcjach B-spline) w rozdziale \"Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych\"", "Ad.2) Algorytmy generacji siatek są obszernie opisane w rozdziale \"Przetwarzanie siatek obliczeniowych\",", "Ad.3) Formy słabe i formy silne nie zależą od sposobu dyskretyzacji. W rozdziale \"Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod\" podanych jest szereg sformułowań wariacyjnych niezależnych od tego czy używamy metody klasycznej czy izogeometrycznej. Mamy w szczególności równania transportu ciepła, równania konwekcji-dyfuzji, problem Stokesa, oraz równania problemu liniowej sprężystości. Rozdziały te zawierają również dyskretyzację zazwyczaj wykonaną z pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych, jednakże w części ogólnej dotyczącej sformułowań silnych i wariacyjnych są one niezależne od metody dyskretyzacji.", "Ad.4) Zagadnienie generacji układów równań wynikających z dyskretyzacji klasyczną metodą elementów skończonych zostało zilustrowane w rozdziale \"Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych\" dla przypadku dwuwymiarowego. Odpowiednie algorytmy dla klasycznej metody elementów skończonych umieszczono w rozdziale \"Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych\". Umieszczono tam również przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych.", "Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale \"Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES\", w modułach \"Algorytm eliminacji Gaussa\", \"Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem\", \"Algorytm LU faktoryzacji\", \"Algorytm solwera frontalnego\", \"Algorytm solwera wielo-frontalnego\", \"Algorytm solwera zmienno-kierunkowego\", \"Preconditioner\".", "Ad.6) W rozdziale \"Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod\", w module \"Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych\" podany jest przykład sformułowania słabego i silnego dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła z wykorzystaniem klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg algorytmów dotyczących generacji układu równań. W rozdziale \"Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych\" umieszczono przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg przydatnych algorytmów. Ad.7) Metoda stabilizacji DG została opisana w rozdziale \"Metody Stabilizacji\" w module \"Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody Discontinuous Galerkin (DG)\". W module \"Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji\" opisano metodę Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) która działa zarówno dla klasycznej jak i izogeometrycznej metody metody elementów skończonych", "Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o izogemetrycznej metodzie elementów skończonych?", "Ad.1) Ten aspekt został szczegółowo opisany w rozdziale \"Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych\", moduły \"Liniowe funkcje bazowe\", \"Funkcje bazowe wyższego stopnia rzędu Ck w 1D\", \"Ulepszona analiza izogeometryczna w 1D\", \"Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 2D\", \"Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 3D\"", "Ad.2) Aspekt obliczeń adaptacyjnych w metodzie izogeometrycznej jest pokrótce opisany w rozdziale \"Przetwarzanie siatek obliczeniowych\" moduł \"Analiza izogeometryczna na siatkach adaptacyjnych\". Aspekt mapowania obiektów CAD na grupy elementów został w podręczniku pominięty ze względu na swoją obszerność i przynależność do pokrewnej (ale innej) tematyki związanej z modelowaniem geometrii w systemach informatycznych.", "Ad.3) Zagadnienie to zilustrowane zostało w rozdziale \"Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy\" moduły \"Aproksymacja za pomocą funkcji bazowych B-spline\", \"Wyprowadzenie układu równań liniowych\", \"Wygenerowanie układu równań linowych za pomocą obliczeń analitycznych\", \"Rozwiązanie układu równań linowych\", \"Interpretacja rozwiązania\". Ad.4) Algorytmy te zostały opisane w rozdziale \"Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES\", moduły \"Algorytm eliminacji Gaussa\", \"Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem\", \"Algorytm LU faktoryzacji\", \"Algorytm solwera frontalnego\", \"Algorytm solwera wielo-frontalnego\", \"Algorytm solwera zmienno-kierunkowego\", \"Preconditioner\". Wszystkie te algorytmy jako takie są niezależne od faktu czy używamy klasycznej czy izogeometrycznej metody elementów skończonych. Dodatkowo moduły \"Algorytm solwera iteracyjnego\" oraz \"Wybór solwera w zależności od rodzaju problemu\" dotyczą przypadku izogeometrycznej metody elementów skończonych.", "Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale \"Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES\", w modułach \"Algorytm eliminacji Gaussa\", \"Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem\", \"Algorytm LU faktoryzacji\", \"Algorytm solwera frontalnego\", \"Algorytm solwera wielo-frontalnego\", \"Algorytm solwera zmienno-kierunkowego\", \"Preconditioner\".", "Ad.6) W rozdziale \"Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy\" i \"Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod\" znajdują się obszerne przykłady obliczeniowe dla izogeometrycznej metody elementów skończonych.", "Ad.7) Metoda stabilizacji izogeometrycznej metody elementów skończonych została opisana w rozdziale \"Metody Stabilizacji\" w modułach \"Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody minimalizacji reziduum\" , oraz \"Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji za pomocą metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)\".", "Dodatkowo podręcznik zawiera rozdział opisujący rozszerzenie metody elementów skończonych na problemy niestacjonarne (modelujące stan systemów zmieniający się w czasie) oraz wspomniany wcześniej rozdział wprowadzający do matematycznych podstaw metody elementów skończonych.", "Wszelkie uwagi oraz pytania dotyczące treści książki proszę kierować na adres maciej.paszynski o agh.edu.pl.", "Marcin Łoś i Maciej Woźniak są autorami kodów w MATLABie w rozdziałach:" ]

[]

[ "W rozdziale tym zajmiemy się przykładowym problemem projekcji, który posłuży nam do zbudowania intuicji leżącej u podstaw metody elementów skończonych." ]

[]

[ "Żeby napisać program komputerowy obliczający takie ciągłe przybliżanie terenu, musimy wykonać następujące czynności. Po pierwsze, musimy opisać nasz problem w sposób formalny, matematyczny. W szczególności musimy wybrać matematyczną definicję obiektu - bitmapy, oraz matematyczną definicje naszego ciągłego opisu terenu reprezentowanego przez bitmapę. Rozsądnym rozwiązaniem wydaje się powiedzenie iż bitmapa jest funkcją określoną na obszarze \\( \\Omega = [1,maxx]\\times[1,maxy] \\ni (x,y) \\rightarrow BITMAP(x,y) \\in [0,255] \\) gdzie poprzez \\( \\Omega \\) oznaczamy cały obszar, na którym rozpięta jest nasza bitmapa. Z kolei nasza ciągła reprezentacja świata będzie reprezentowana przez funkcję \\( u \\) o wartościach rzeczywistych. \\( \\Omega = [1,maxx]\\times[1,maxy] \\ni (x,y) \\rightarrow u(x,y) \\in [0,255] \\) Chcemy by nasza funkcja była \"smukła\" i ciągła. Matematycznie zapisujemy warunek że nasza funkcja będzie klasy \\( C^1 \\), oznacza to że w każdym punkcie będzie na tyle smukła żeby dało się policzyć jej pochodne w kierunkach prostopadłych do brzegów naszego obszaru. Oznacza to praktycznie iż w każdym punkcie możemy do wykresu naszej funkcji przyłożyć \"linijkę\" prostopadle do jednego z brzegów naszego obszaru, i zmierzyć kąt pomiędzy tą linijką a podstawą (powierzchnią płaską rozpostartą na wysokości zerowej). Pochodna to przecież nic innego jak tangens tego kąta. Innymi słowy nasza funkcja nie będzie miała \"załamań\" ani przerw, na których nie byłoby wiadomo jak przykładać naszą linijkę. Na załamaniach linijka ta przeskakiwała by z jednej pozycji na drugą, a w przypadku dziury w ogóle nie byłoby wiadomo jak ją przyłożyć. Oczywiście możliwość mierzenia pochodnej (przykładania linijki) w dwóch kierunkach prostopadłych do brzegu obszaru oznacza również możliwość przykładania linijki i mierzenia pochodnych kierunkowych w dowolnych innych kierunkach nie prostopadłych do brzegu. Możemy więc gładko przemieszczać się po powierzchni wykresu takiej smukłej funkcji, w dowolnych kierunkach. Jak uzyskać taką ciągłą smukłą funkcję? Musimy zdecydować jak nasza funkcja zostanie skonstruowana. Na przykład, możemy obszar, na którym rozpięta jest bitmapa podzielić na pewne elementy, i na tych elementach zdefiniować zbiór wielu smukłych funkcji, z których następnie \"skleimy\" naszą funkcję \\( u \\). Wyobraźmy sobie że na wysokości odpowiadającej wysokości zerowej (takiej której odpowiada wartość piksela zero) budujemy płaską dwuwymiarową siatkę, której liczba kwadratowych elementów jest dowolna. Oczka te zgodnie z przyjętą nomenklaturą nazwiemy elementami skończonymi, ponieważ każdy z tych elementów posiada ograniczony skończony obszar. Elementów tych może być mniej niż pikseli w bitmapie, i wtedy nad każdym takim elementem rozpiętych będzie kilka pikseli. Granice pomiędzy naszymi elementami nie muszą zgadzać się z granicami pikseli. Mogą one być dowolnie zdefiniowane na płaskiej powierzchni. Może również być tak, że naszych elementów jest więcej niż pikseli, i wtedy w każdym pikselu znajdować się będzie wiele takich elementów. Załóżmy jednak że naszych elementów jest mniej niż pikseli. Tworzą one regularną siatkę o \\( N_x*N_y \\) elementach skończonych. Teraz, na każdym takim elemencie definiujemy smukłą funkcję. Możemy w tym celu posłużyć się funkcjami B-spline. Funkcje te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez amerykańskiego matematyka rumuńskiego pochodzenia Isaaka Jakuba Schoenberga [1]. Funkcje B-spline są powszechnie stosowane w modelowaniu i symulacjach komputerowych dzięki rosnącej popularności dziedziny zwanej analizą izogeometryczną rozpowszechnianej przez prof. T.J.R. Hughesa.[2]. Ideą tych metod jest zastosowanie rodzin funkcji B-spline do obliczeń za pomocą metody elementów skończonych. Funkcje te oznaczamy \\( B_{i,j;2}(x,y) \\), gdzie \\( i \\) oraz \\( j \\) oznaczają numeracje naszych funkcji, a 2 oznacza iż są to wielomiany kawałkami drugiego stopnia, klasy \\( C^1 \\).", "Rys. 1 przedstawia trzy przykładowe dwuwymiarowe funkcje B-spline rozpięte na dwuwymiarowej siatce. Każda taka dwuwymiarowa funkcja B-spline powstaje poprzez wybranie i przemnożenie przez siebie dwóch jednowymiarowych funkcji B-spline, jednej wybranej ze zbioru jednowymiarowych funkcji B-spline rozpiętych wzdłuż poziomego brzegu siatki, i drugiej wybranej ze zbioru jednowymiarowych funkcji B-spline rozpiętych wzdłuż pionowego brzegu siatki. Zbiory te nazywamy bazami jednowymiarowych funkcji B-spline. Te jednowymiarowe funkcje B-spline oznaczamy z kolei \\( B^x_{i;2}(x) \\) oraz \\( B^y_{j;2}(y) \\) gdzie zmienne \\( x \\) oraz \\( y \\) identyfikują kierunki (osie układu współrzędnych) wzdłuż których określone są nasze B-spline'y (oś pozioma \\( x \\) oraz oś pionowa \\( y \\)), \\( i \\) oraz \\( j \\) oznaczają numeracje tych funkcji (którą kolejną jednowymiarową funkcję B-spline wybieramy z takiej jednowymiarowej bazy), oraz 2 oznacza ponownie że są to wielomiany kawałkami drugiego stopnia, klasy \\( C^1 \\) (czyli że umiemy z nich liczyć pierwsze pochodne). Następnie wybrane funkcje jednowymiarowe są przemnażane przez siebie, co daje nam smukłą dwumymiarową funkcję B-spline. Taką metodę tworzenia dwuwymiarowych funkcji przez przemnażanie stosownych jednowymiarowych funkcji nazywa się iloczynem tensorowym funkcji. \\( B_{i,j;2}(x,y)=B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y) \\) Jest to zilustrowane na Rysunku. Uzyskane w ten sposób dwuwymiarowe funkcje B-spline mają kształt smukłego \"pagórka\", określonego na dziewięciu sąsiadujących elementach. Najwyższy punkt takiej funkcji - pagórka znajduje się w centrum środkowego elementu. Funkcje te schodzą gładko do wartości zerowej, przyjmowanej na brzegach kwadratu zdefiniowanego przez dziewięć elementów, na których funkcja ta jest określona. Funkcje te zgodnie z przyjętą nomenklaturą nazwiemy funkcjami bazowymi.", "Naszą ciągłą aproksymacje terenu uzyskamy w ten sposób, że zsumujemy ze sobą wiele takich smukłych pagórków - B-spline'ów. Każdy z nich zostanie przeskalowany (podniesiony do góry lub dół) tak by w sumie otrzymać ciągłą aproksymację terenu. Jeśli poprawnie dobierzemy wysokości poszczególnych pagórków, dostaniemy wówczas smukłe przybliżenia naszego terenu tak jak przedstawiono to na Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy-Rys. 2. Powstaje teraz pytanie, w jaki sposób dobrać wysokości, do których wyciągniemy nasze funkcje bazowe. Pierwsza metoda, która przychodzi nam do głowy to wybrać wartość piksela z \\( BITMAP(x,y) \\) znajdującego się dokładnie w najwyższym punkcie B-spline (na środku pagórka). Niestety metoda ta ma kilka wad. Po pierwsze, jeśli naszych funkcji bazowych B-spline jest mniej niż pikseli, to wówczas ignorujemy wszystkie sąsiednie piksele znajdujące się w obszarze naszego B-spline'a, wybierając jedynie jedną wartość ze środka obszaru. Możliwe że nasza bitmapa posiada pewne zaburzenia i że trafimy akurat na lokalny odskok będący błędem pomiaru, lub że trafimy akurat w lokalną dziurę w ukształtowaniu terenu, lub w lokalne drzewo lub budynek który akurat zakłócił pomiar ukształtowania terenu. Po drugie, zauważmy że nasze funkcje bazowe rozpościerają się na kwadracie dziewięciu elementów. Skoro każdą taką funkcję B-spline skojarzyć można ze środkiem swojego elementu, oraz każda z tych funkcji rozpościera się na dziewięć sąsiednich elementów, oznacza to iż na każdym elemencie rozpostartych jest w sumie dziewięć takich funkcji, oraz że sąsiadujące funkcje zachodzą na siebie. Jeśli więc rozciągalibyśmy funkcje tak aby ich punkt maksymalny pokrywał się z centralnym pikselem, oraz zsumowalibyśmy te wszystkie funkcje razem w celu uzyskania naszej globalnej funkcji \\( u \\), to wówczas na każdym elemencie, nawet w punkcie centralnym, nasza wynikowa aproksymacja (suma tych funkcji) byłaby wyżej niż nasz centralny piksel, dlatego iż sąsiednie osiem funkcji również byłyby niezerowe na danym elemencie i podnosiłyby one wartość naszej aproksymacji w tym punkcie do góry." ]

[]

[ "Problem doboru współczynników kombinacji liniowej funkcji B-spline służących do aproksymacji bitmapy (problem skalowania poszczególnych B-spline'ów) jest problemem globalnym, i należy rozwiązać go biorąc pod uwagę wszystkie współczynniki równocześnie. W tym celu przeprowadzamy następujące rozumowanie, które jest podstawą intuicji leżących u podstaw metody elementów skończonych." ]

[]

[ "Następny etap to wygenerowanie układu równań liniowych oraz jego rozwiązanie. Oczywiście zależy nam na tym żeby wybrane algorytmy generacji oraz rozwiązywania układów równań były najszybsze możliwe. W pierwszej kolejności generujemy macierz zawierającą całki z iloczynów dwuwymiarowych funkcji B-spline. Możemy dla uproszczenia przyjąć, że wektory węzłów są równoodległe, oraz, że jednostką odległości wzdłuż danej osi układu współrzędnych jest odległość pomiędzy dwoma węzłami w wektorze węzłów. Zauważmy najpierw, że \\( \\int B^x_{i,p}B^y_{j,p}B^x_{k,p}B^y_{l,p}dxdy = \\int B^x_{i,p}B^x_{k,p}dx \\int B^y_{j,p}B^y_{l,p}dy \\) Innymi słowy dzięki temu, że nasze dwuwymiarowe B-spline'y powstają poprzez przemnożenie jednowymiarowych B-spline'ów, możemy rozdzielić nasze dwuwymiarowe całki na iloczyn dwóch jednowymiarowych całek, w których przemnażamy i całkujemy pary jednowymiarowych B-spline'ów. Musimy więc wygenerować następującą macierz", "Zauważmy, że macierz ta ma następującą strukturę. W wierszach zmieniają się pierwsze B-spline'y w obu całkach pojedynczych (całce po $x$ i całce po $y$). Wiersze zmieniają się tak, że najpierw mamy kolejno B-spline'y \\( B^x_{1,p},B^x_{2,p},...,B^x_{N_x,p} \\) dla ustalonego \\( B^y_{1,p} \\). Następnie powtarzamy wszystkie \\( B^x_{1,p},B^x_{2,p},...,B^x_{N_x,p} \\) dla ustalonego \\( B^y_{2,p} \\), i tak dalej, występują bloki wszystkich kolejnych B-spline'ów względem \\( x \\) dla kolejnych ustalonych B-spline'ów \\( B^y_{j,p} \\) aż do ostatniego bloku, w którym występują kolejno \\( B^x_{1,p},B^x_{2,p},...,B^x_{N_x,p} \\) dla ustalonego ostatniego \\( B^y_{N_y,p} \\) W kolumnach sytuacja jest podobna, dotyczy ona natomiast drugich B-spline'ów w każdej całce pojedynczej. Kolumny zmieniają się więc tak, że najpierw mamy kolejno B-spline'y \\( B^y_{1,p},B^y_{2,p},...,B^y_{N_y,p} \\) dla ustalonego \\( B^x_{1,p} \\). Następnie powtarzamy wszystkie \\( B^y_{1,p},B^y_{2,p},...,B^y_{N_y,p} \\) dla ustalonego \\( B^x_{2,p} \\), i tak dalej, występują bloki wszystkich kolejnych B-spline'ów względem \\( y \\) dla kolejnych ustalonych B-spline'ów \\( B^x_{i,p} \\) aż do ostatniego bloku, w którym występują kolejno \\( B^y_{1,p},B^y_{2,p},...,B^y_{N_y,p} \\) dla ustalonego ostatniego \\( B^x_{N_x,p} \\) Macierz, która ma taką strukturę jest iloczynem Kroneckera dwóch mniejszych macierzy, jednej, w której występują same wyrazy z pierwszych całek pojedynczych (pary B-spline'ów względem \\( x \\)), i drugiej, w której występują same wyrazy z drugich całek pojedynczych (pary B-spline'ów względem \\( y \\)). Matematyczny zapis takiego iloczynu Kroneckera to symbol \\( \\otimes \\) pomiędzy dwoma wspomnianymi macierzami. Symbol \"=\" z przodu oznacza iż iloczyn Kroneckea tych macierzy daje naszą dużą macierz. \\( \t=\\begin{bmatrix} \\int{B^x_{1,p}B^x_{1,p}}dx & \\int{B^x_{1,p}B^x_{2,p}}dx & \\cdots & \\int{B^x_{1,p}B^x_{N_x,p}}dx \\\\ \\int{B^x_{2,p}B^x_{1,p}}dx & \\int{B^x_{2,p}B^x_{2,p}}dx & \\cdots & \\int{B^x_{2,p}B^x_{N_x,p}}dx\\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\int{B^x_{N_x,p}B^x_{1,p}}dx & \\int{B^x_{N_x,p}B^x_{2,p}}dx & \\cdots & \\int{B^x_{N_x,p}B^x_{N_x,p}}dx \\\\ \\end{bmatrix} \\otimes \\\\ \\begin{bmatrix} \\int{B^y_{1,p}B^y_{1,p}}dy & \\int{B^y_{1,p}B^y_{1,p}}dy & \\cdots & \\int{B^y_{1,p}B^y_{N_y,p}}dy\\\\ \\int{B^y_{1,p}B^y_{1,p}}dy & \\int{B^y_{1,p}B^y_{1,p}}dy & \\cdots & \\int{B^y_{1,p}B^y_{N_y,p}}dy \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\int{B^y_{N_y,p}B^y_{1,p}}dy & \\int{B^y_{N_y,p}B^y_{1,p}}dy & \\cdots & \\int{B^y_{N_y,p}B^y_{N_y,p}}dy \\\\ \\end{bmatrix} \\) Zapis \\( \\otimes \\) oznacza, iż przemnażamy przez siebie odpowiednie wyrazy dwóch macierzy tak żeby dostać oryginalną macierz ( 1 ).", "Musimy teraz obliczyć całki z iloczynów par jednowymiarowych B-spline'ów, przedstawionych na Rys. 1. Zauważmy najpierw, że jeśli przemnożymy przez siebie dwa jednowymiarowe B-spline'y, których wykresy nie nachodzą na siebie (matematycy powiedzą \"które nie mają wspólnego suportu\"), na przykład \\( N_{1;2} \\) oraz \\( B_{4;2} \\) z Rys. 1, wówczas całka \\( \\int_{[t_0,t_6]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx = 0 \\) Dzieje się tak dlatego ponieważ na każdym przedziale przedstawionym na Rys. 1 jeden z B-spline'ów jest równy zeru, czyli \\( \\int_{[t_0,t_6]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx = \\\\ \\int_{[t_0,t_1]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_1,t_2]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_2,t_3]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx +\\\\ \\int_{[t_3,t_4]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_4,t_5]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_5,t_6]} B_{1;2}(x)B_{4;2}(x)dx =\\\\ \\int_{[t_0,t_1]} B_{1;2}(x)*0dx + \\int_{[t_1,t_2]} B_{1;2}(x)*0dx + \\int_{[t_2,t_3]} B_{1;2}(x)*0dx + \\\\ \\int_{[t_3,t_4]} 0*B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_4,t_5]} 0*B_{4;2}(x)dx + \\int_{[t_5,t_6]} 0*B_{4;2}(x)dx = \\\\ 0+0+0+0+0+0=0 \\) Następnie, możemy przyjąć jako jednostkę długości średnicę elementu, wówczas każdy przedział \\( [t_i,t_{i+1}] \\) będzie miał średnicę równą jeden. Następnie musimy wprowadzić wzory na poszczególne segmenty B-spline'a (przedstawione na prawym panelu Rys. 1 ). Segmenty te oznaczamy \\( B_1,B_2,B_3 \\). \\( B_1 (x)=\\frac{1}{2} x^2 \\\\ B_2 (x)=-x^2+x+\\frac{1}{2} \\\\ B_3 (x)=\\frac{1}{2}(1-x)^2 \\) Ponieważ jedynie całki z nachodzących na siebie B-spline'ów dają niezerowe wartości, nad każdym przedziałem \\( [t_i,t_{i+1}] \\) musimy tak naprawdę obliczyć następujące całki, występujące w macierzy elementowej, w których nachodzą na siebie poszczególne segmenty B-spline'ów. Ponieważ podane wzory na segmenty obowiązują nad przedziałem 0,1, a całka nie zmienia się podczas przesunięcia (podobnie jak objętość pod stołem nie zmieni się jeśli przesuniemy stół na inne miejsce na płaskiej podłodze), możemy dla uproszczenia policzyć nasze całki właśnie w przedziale 0,1. \\( \\begin{bmatrix} \\int_0^1 B_1(x)B_1(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_3(x)dx \\\\ \\int_0^1 B_2(x)B_1(x)dx & \\int_0^1 B_2(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_2(x)B_3(x)dx \\\\ \\int_0^1 B_3(x)B_1(x)dx & \\int_0^1 B_3(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_3(x)B_3(x)dx \\\\ \\end{bmatrix} \\) Innymi słowy mamy tylko 9 możliwości nachodzenia na siebie poszczególnych segmentów. Ponieważ segmenty \\( B_1 \\) i \\( B_3 \\) są symetryczne, dodatkowo mamy symetrię macierzy, czyli tak naprawdę musimy policzyć sześć całek \\( \\begin{bmatrix} \\int_0^1 B_1(x)B_1(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_3(x)dx \\\\ == & \\int_0^1 B_2(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_2(x)B_3(x)dx \\\\ == & == & \\int_0^1 B_3(x)B_3(x)dx \\\\ \\end{bmatrix} \\) Z symetrii segmentów wynika również iż segment \\( B_3 \\) ma kształt odwróconego segmentu \\( B_1 \\), i dlatego \\( \\int_0^1 B_1(x)B_1(x)dx =\\int_0^1 B_3(x)B_3(x)dx \\), innymi słowy odwrócenie funkcji nie zmienia wartości całki (podobnie jak przekręcenie stołu o 180 stopni nie zmienia objętości znajdującej się pod stołem), oraz \\( \\int_0^1 B_2(x)B_3(x)dx = \\int_0^1 B_1(x)B_2(x)dx \\), tak naprawdę musimy więc policzyć jedynie cztery całki \\( \t\\begin{bmatrix} \\int_0^1 B_1(x)B_1(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_2(x)dx & \\int_0^1 B_1(x)B_3(x)dx \\\\ == & \\int_0^1 B_2(x)B_2(x)dx & == \\\\ == & == & == \\\\ \\end{bmatrix} \\) Obliczamy jednowymiarowe całki z wielomianów \\( \\int_0^1{B_1(x)B_1(x)dx} = \\int_0^1 (\\frac{1}{2} x^2)(\\frac{1}{2} x^2)dx = \\int_0^1 \\frac{1}{4}x^4)dx = \\frac{1}{4} (\\frac{x^5}{5})|^1_0=\\frac{1}{20} \\) \\( \\int_0^1{B_2(x)B_2(x)dx} = \\int_0^1 (-x^2+x+\\frac{1}{2})(-x^2+x+\\frac{1}{2}) dx= \\int_0^1 (x^4-2x^3+x+\\frac{1}{4}) dx = \\\\ (\\frac{x^5}{5})|^1_0-2(\\frac{x^4}{4})^1_0+(\\frac{x^2}{2})^1_0+(\\frac{1}{4}x)|^1_0=\\frac{1}{5}+\\frac{1}{4}=\\frac{9}{20} \\) \\( \\int_0^1{B_1(x)B_2(x)dx} = \\int_0^1 (\\frac{1}{2} x^2)(-x^2+x+\\frac{1}{2})dx = \\int_0^1 (-\\frac{x^4}{2}+\\frac{x^3}{2}+\\frac{x^2}{4})dx = \\\\ (-\\frac{x^5}{10})|^1_0+(\\frac{x^4}{8})|^1_0 +(\\frac{x^3}{12})|^1_0=-\\frac{1}{10}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{12}=\\frac{13}{120} \\) \\( \\int_0^1{B_1(x)B_3(x)dx} = \\int_0^1 (\\frac{1}{2} x^2)(\\frac{1}{2}(1-x)^2)dx = \\int_0^1 (\\frac{x^4}{4}-\\frac{x^3}{2}+\\frac{x^2}{4})dx = \\\\ (\\frac{x^5}{20})|^1_0 -(\\frac{x^4}{8})|^1_0 +(\\frac{x^3}{12})|^1_0=\\frac{1}{20}-\\frac{1}{8}+\\frac{1}{12}=\\frac{1}{120} \\) Uwzględniając symetrie obliczonych całek, wpisujemy je w stosowne miejsca w naszej matrycy i dostajemy \\( \t\\begin{bmatrix} \\int_0^1{B_1(x)B_1(x)dx} & \\int_0^1{B_1(x)B_2(x)dx } & \\int_0^1{B_1(x)B_3(x)dx} \\\\ \\int_0^1{B_2(x)B_1(x)dx} & \\int_0^1{B_2(x)B_2(x)dx } & \\int_0^1{B_2(x)B_3(x)dx } \\\\ \\int_0^1{B_3(x)B_1(x)dx} & \\int_0^1{B_3(x)B_2(x)dx} & \\int_0^1{B_3(x)B_3(x)dx } \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{9}{20} & \\frac{13}{120} \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\) Sumując teraz wygenerowane w ten sposób kawałki macierzy dostaniemy dwie macierze tworzące nasz układ równań w postaci produktu Kroneckera macierzy. Sumowanie przeprowadzamy w następujący sposób: \\( \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{9}{20} +\\color{red}{\\frac{1}{20}}& \\frac{13}{120} + \\color{red}{\\frac{13}{120}} & \\color{red}{\\frac{1}{120}} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} +\\color{red}{\\frac{13}{120}} & \\frac{1}{20} +\\color{red}{\\frac{9}{20}} +\\color{blue}{\\frac{1}{20}} & \\color{red}{\\frac{13}{120}} +\\color{blue}{\\frac{13}{120}} & \\color{blue}{\\frac{1}{120}} & \\cdots \\\\ \\cdots & \\color{red}{\\frac{1}{120}} & \\color{red}{\\frac{13}{120}} +\\color{blue}{\\frac{13}{120}} & \\color{red}{\\frac{1}{20}}+\\color{blue}{\\frac{9}{20}} +\\color{green}{\\frac{1}{20}} & \\color{blue}{\\frac{13}{120}} +\\color{green}{\\frac{13}{120}} & \\color{green}{\\frac{1}{120}} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ & \\cdots & \\color{green}{\\frac{1}{120}} & \\color{blue}{\\frac{13}{120}} +\\color{green}{\\frac{13}{120}} & \\color{red}{\\frac{1}{20}}+\\color{blue}{\\frac{9}{20}} +\\color{green}{\\frac{1}{20} } & \\color{red}{\\frac{13}{120}}+\\color{blue}{\\frac{13}{120}} & \\color{red}{\\frac{1}{120}} \\\\ & & \\cdots &\t\\color{blue}{\\frac{1}{120}} & \\color{red}{\\frac{13}{120}}+\\color{blue}{\\frac{13}{120}} & \\frac{1}{20} +\\color{red}{\\frac{9}{20}} +\\color{blue}{\\frac{1}{20}} & \\frac{13}{120} +\\color{red}{\\frac{13}{120}} & \\frac{1}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\color{red}{\\frac{1}{120}} & \\frac{13}{120} +\\color{red}{\\frac{13}{120}} & \\frac{9}{20} +\\color{red}{\\frac{1}{20}} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\) Poza wypisanymi wyrazami macierzy umieszczonymi na pięciu przekątnych, pozostałe wyrazy macierzy są równe 0. Innymi słowy naszą matrycę przesuwamy wzdłuż przekątnej od lewego górnego rogu macierzy do prawego dolnego rogu, i sumujemy nakładające się na siebie wyrazy. W ten sposób uzyskamy dwie macierze, które tworzą za pomocą tak zwanego produktu Kroneckera naszą macierz ( 1 ). Kolejny problem do rozwiązania to policzenie całek prawej strony. Całka prawej strony to próbkowanie bitmapy przemnożonej przez poszczególne funkcje testujące (B-spline'y używane do uśredniania bitmapy w obszarze na którym są określone). Używamy od teraz nowej notacji, w której wprowadzamy dwuwymiarową funkcję B-spline, funkcję zmiennych \\( (x,y) \\), będącą iloczynem dwóch jednowymiarowych funkcji B-spline \\( B_{k,l;2}(x,y)=B^x_{k;2}(x)B^y_{l;2}(y) \\). Zauważmy że przemnożenie bitmapy przez B-spline'a \\( v(x,y)=B_{k,l;2}(x,y) \\) oznacza iż całkę tą musimy policzyć jedynie po dziewięciu elementach na których określony jest B-spline \\( B_{k,l;2}(x,y) \\). Musimy rozwiązać teraz dwa problemy. Pierwszy problem to jaki wzór ma dziewięć fragmentów naszego B-spline'a na tych dziewięciu elementach, na których jest on określony. Drugi problem, to jak policzyć całkę z bitmapy przemnożonej przez wielomian. Zauważmy że jednowymiarowe B-spline'y składają się z trzech segmentów opisanych zgodnie z ( 1 ). W związku z tym, nasz dwuwymiarowy B-spline testujący na dziewięciu elementach na których jest określony składa się z odpowiednich iloczynów tych segmentów. \\( B_1(x)B_1(y), B_2(x)B_1(y), B_3(x)B_1(y) \\\\B_1(x)B_2(y), B_2(x)B_2(y), B_3(x)B_2(y) \\\\ B_1(x)B_3(y), B_2(x)B_3(y), B_3(x)B_3(y) \\). Jest to zilustrowane na Rys. 2.", "Tak więc problem liczenia całki bitmapy przemnożonej przez funkcję testującą B-spline sprowadza się do problemu policzenia dziewięciu całek. Na przykład, jeśli chcemy przeliczyć całkę dla B-spline'a testującego \\( B_{k,l;2}(x,y) \\), wówczas musimy policzyć następujące dziewięć całek: \\( \\int^1_0 \\int^1_0 B_1(x)B_1(y) BITMAP((k-1+x)*maxx/N_x,(l-1+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_2(x)B_1(y) BITMAP((k+x)*maxx/N_x,(l-1+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_3(x)B_1(y) BITMAP((k+1+x)*maxx/N_x,(l-1+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_1(x)B_2(y) BITMAP((k-1+x)*maxx/N_x,(l+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_2(x)B_2(y) BITMAP((k+x)*maxx/N_x,(l+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_3(x)B_2(y) BITMAP((k+1+x)*maxx/N_x,(l+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_1(x)B_3(y)BITMAP((k-1+x)*maxx/N_x,(l+1+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_2(x)B_3(y)BITMAP((k+x)*maxx/N_x,(l+1+y)*maxy/N_y) dxdy, \\\\ \\int^1_0 \\int^1_0 B_3(x)B_3(y)BITMAP((k+1+x)*maxx/N_x,(l+1+y)*maxy/N_y) dxdy. \\) W powyższych wzorach wyrażenia typu \\( (k-1+x)*maxx/N_x \\) oznaczają przeliczanie współrzędnych B-spline'a, którego całkujemy na indeksy pikseli bitmapy, na których on się rozpościera. Zmienne x i y zmieniają się od 0 do 1. W obrębie jednego elementu, mamy \\( maxx/N_x \\) pikseli w kierunku \\( x \\) oraz \\( maxy/N_y \\) pikseli w kierunku \\( y \\) , gdzie \\( maxx,maxy \\) oznacza rozmiar bitmapy (całkowitą liczbę pikseli w kierunku \\( x \\) i \\( y \\)) natomiast \\( N_x,N_y \\) oznacza liczbę elementów siatki w kierunku \\( x \\) i \\( y \\). Tak więc \\( x*maxx/N_x \\) zmienia się od 0 do \\( maxx/N_x \\), czyli obejmuje liczbę pikseli bitmapy w kierunku \\( x \\) na pojedyńczym elemencie, natomiast \\( y*maxy/N_y \\) zmienia się od 0 do liczby pikseli bitmapy w kierunku \\( y \\) na pojedynczym elemencie. Dodatkowo przesuwamy nasz zakres tak żeby przeglądać piksele odpowiednich elementów, na których rozpięty jest nasz B-spline testujący. Na przykład wyrażenie \\( (k-1+x)*maxx/N_x \\) oznacza że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( k \\) w kierunku \\( x \\), \\( (k+x)*maxx/N_x \\) oznacza, że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( k+1 \\) w kierunku \\( x \\), \\( (k+1+x)*maxx/N_x \\) oznacza, że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( k+2 \\) w kierunku \\( x \\). Podobnie \\( (l-1+y)*maxy/N_y \\) oznacza, że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( l \\) w kierunku \\( y \\), \\( (l+y)*maxy/N_y \\) oznacza, że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( l+1 \\) w kierunku \\( y \\), oraz \\( (l+1+y)*maxy/N_y \\) oznacza, że przesuwamy się po pikselach elementu numer \\( +2l \\) w kierunku \\( y \\). Jak więc policzyć takie całki po pikselach? Musimy rozbić całkę na sumę całek po poszczególnych pikselach, na przykład dla pierwszej całki \\( \\int^1_0 \\int^1_0 B_1(x)B_1(y) BITMAP((k-1+x)*maxx/N_x,(l-1+y)*maxy/N_y) dxdy = \\\\ \\color{red}{\\sum_{i=1,maxx/N_x;j=1,maxy/N_y}}BITMAP((k-1)*maxx/N_x+i,(l-1)*maxy/N_y+j) \\\\ \\color{blue}{\\int_{(i-1,i)*\\frac{1}{maxx/N_x}}} B_1(x)dx \\color{blue}{ \\int_{(j-1,j)*\\frac{1}{maxy/N_y}}} B_1(y)dy \\) gdzie suma zaznaczona na czerwono rozpościera się po wszystkich pikselach z pojedynczego elementu (jest ich \\( maxx/N_x * maxy/N_y \\)), bitmapa jest próbkowana w punktach pikseli rozpostartych na danym elemencie, a całki zaznaczone na niebiesko, liczone są z funkcji B-spline po pojedynczych pikselach. Wystarczy teraz, że policzymy pojedyncze całki z trzech segmentów \\( \\int B_1(x) dx = \\int \\frac{1}{2} x^2 dx = \\frac{1}{2}\\frac{x^3}{3}, \\\\ \\int B_2(x) dx = \\int (-x^2+x+\\frac{1}{2}) dx = -\\frac{x^3}{3}+\\frac{x^2}{2}+\\frac{1}{2}x, \\\\ \\int B_3(x) dx = \\int \\frac{1}{2}(1-x)^2 dx = \\int(1-2x+x^2)=x-x^2+\\frac{x^3}{3} \\) i wstawimy je do wzorów na całki, na przykład \\( \\color{blue}{ \\int_{(i-1,i)*\\frac{1}{maxx/N_x}} B_1(x)dx} = \\left(\\frac{1}{2}\\frac{x^3}{3}\\right)|^{ \\frac{i}{maxx/N_x} }_{\\frac{i-1}{maxx/N_x} } = \\frac{1}{2} \\left( \\frac{ \\left( \\frac{i-1}{maxx/N_x} \\right)^3- \\left( \\frac{i}{maxx/N_x}\\right)^3 }{3} \\right) \\\\ \\color{blue}{\\int_{(j-1,j)*\\frac{1}{maxy/N_y}}B_1(y)dy } = \\left( \\frac{1}{2}\\frac{x^3}{3} \\right)|^{ \\frac{j }{ maxy/N_y} }_{ \\frac{j-1}{maxy/N_y} }= \\frac{1}{2} \\left( \\frac{ \\left( \\frac{j-1} { maxy/N_y } \\right)^3-\\left(\\frac{j}{maxy /N_y }\\right)^3}{3}\\right) \\) Liczenie całek funkcji testujących z bitmapy zrobiło się trochę skomplikowane. Podsumujmy, musimy policzyć wiele całek z bitmapy, przemnożone przez różne dwuwymiarowe B-spliny, tak zwane funkcje testujące. Każdą z tych całek liczymy tak że rozbijamy ją na całkę po dziewięciu elementach na których rozpięty jest B-spline testujący, i sumujemy te wynikowe dziewięć całek, wpisując otrzymaną liczbę do jednego wiersza wektora prawej strony. Z kolei żeby policzyć całkę po każdym z tych dziewięciu elementów na których rozpięty jest nasz B-spline testujący, całki te rozbijamy na poszczególne piksele które leża na tym elemencie, próbkujemy naszą bitmapę po tych pikselach i liczymy całkę z naszych segmentów B-spline'ów po wszystkich pikselach. Wszystko to razem sumujemy (suma po dziewięciu elementach na których leży B-spline testujący, suma po pikselach elementów)." ]

[]

[ "W wyniku generacji układu równań dostaliśmy macierz zapisaną w postaci produktu Kroneckera dwóch macierzy pięcio-przekątniowych, oraz prawą stronę policzoną z mozołem dla poszczególnych B-spline'ów testujących. Musimy teraz rozwiązać uzyskany w ten sposób układ równań. \\( \\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} \\\\ \\end{bmatrix} \\otimes \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1,1} \\\\ u_{2,1} \\\\ u_{3,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{k,l} \\\\ \\vdots \\\\ u_{N_{x-2},N_y} \\\\ u_{N_{x-1},N_y} \\\\ u_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} \\int BITMAP(x,y) B^x_1(x)*B^y_1(y) dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_2(x)*B^y_1(y) dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_3(x)*B^y_1(y) dxdy \\\\\\vdots \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_k(x)*B^y_l(y) dxdy \\\\\\vdots \\\\\\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-2}(x)*B^y_{N_y}(y) dxdy \\\\\\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-1}(x)*B^y_{N_y}(y) dxdy \\\\\\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y) dxdy \\\\ \\end{bmatrix} \\) Rozwiązanie układu równań, w którym macierz ma strukturę produktu Kroneckera jest możliwe w bardzo krótkim czasie. Co to znaczy w bardzo krótkim czasie? Koszt obliczeniowy wyraża się liczbą operacji takich jak mnożenie czy dodawanie liczb, koniecznych do rozwiązania układu równań. W przypadku układu równań, w którym macierz ma strukturę produktu Kroneckera możliwe jest rozwiązanie układu równań za pomocą algorytmu, w którym liczba operacji wynosi \\( const*N \\) gdzie \\( N \\) to jest liczba niewiadomych (liczba współczynników aproksymacji bitmapy na siatce, wyrażona dokładnie poprzez \\( N=N_x*N_y \\), gdzie \\( N_x,N_y \\) to rozmiary siatki, natomiast \\( const \\) oznacza pewną stałą liczbę. Algorytm stosowany w tym przypadku nazywany jest algorytmem solwera zmiennokierunkowego. Rozważamy dwa etapy procesu rozwiązania. Pierwszy etap polega na wzięciu pierwszej z podmacierzy, oraz poukładaniu wektora niewiadomych i wektora prawych stron w wiele podwektorów, po jednym wektorze dla każdej kolumny elementów siatki obliczeniowej. Zostało to zilustrowane na Rys. 1, oraz we wzorze poniżej. \\( \\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} w_{1,1} & w_{1,2} & \\cdots & w_{1,N_{y-1}} & w_{1,N_y} \\\\ w_{2,1} & w_{2,2} & \\cdots & w_{2,N_{y-1}} & w_{2,N_y} \\\\ w_{3,1} & w_{3,2} & \\cdots & w_{3,N_{y-1}} & w_{3,N_y} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ w_{N_{x-2},1} & w_{N_{x-2},2} & \\cdots & w_{N_{x-2},N_{y-1}} & w_{N_{x-2},N_y} \\\\ w_{N_{x-1},1} & w_{N_{x-1},2} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-1}} & w_{N_{x-1},N_y} \\\\ w_{N_x,1} & w_{N_x,2} & \\cdots & w_{N_x,N_{y-1}} & w_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} \\int BITMAP(x,y) B^x_1(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_1(x)*B^y_{N_y}(y)dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_2(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_2(x)*B^y_{N_y}(y)dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_3(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_3(x)*B^y_{N_y}(y)dxdy \\\\ \\vdots \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-2}(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-2}(x)*B^y_{N_y}(y)dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-1}(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x-1}(x)*B^y_{N_y}(y) dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x}(x)*B^y_1(y) dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y)dxdy \\\\ \\end{bmatrix} \\) Wprowadziliśmy tutaj pomocnicze niewiadome, \\( w* \\) które służą do rozwiązania pierwszego układu równań. Oryginalne niewiadome \\( u* \\) dostaniemy po rozwiązaniu drugiego układu równań, w którym prawą stronę stanowić będą niewiadome pomocnicze \\( w* \\). Dostaliśmy więc układ równań z macierzą pięcio-przekątniową, o wielu prawych stronach. Każdy podwektor, każda prawa strona, odpowiada jednej kolumnie na siatce elementów, ma więc ustaloną współrzędną \\( y \\), oraz współrzędną \\( x \\) zmieniającą się od 1 do \\( N_x \\). Podobnie uporządkowane są niewiadome \\( u* \\), w których to wierszami zmieniają się drugie indeksy, na przykład \\( w_{1,1}, w_{1,2}, ..., w_{1,N_y} \\) natomiast w kolumnach zmieniają się pierwsze indeksy. Rozwiązujemy ten układ równań (jak to zrobić o tym za chwilę), dostajemy rozwiązania \\( w* \\) i przechodzimy do drugiego kroku algorytmu solwera zmiennokierunkowego.", "Drugi etap polega więc na wzięciu analogicznej drugiej macierzy produktu Kroneckera, wzięciu rozwiązań \\( w* \\) z pierwszego układu równań, poukładaniu ich zgodnie z wierszami elementów z siatki (porównaj Rys. 1, poukładaniu w podobny sposób poszukiwanych niewiadomych \\( u* \\) i na rozwiązaniu otrzymanego układu równań o wielu prawych stronach. \\( \\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\\\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{2,1} & \\cdots & u_{N_{x-1},1} & u_{N_x,1} \\\\ u_{1,2} & u_{2,2} & \\cdots & u_{N_{x-1},2} & u_{N_x,2} \\\\ u_{1,3} & u_{2,3} & \\cdots & u_{N_{x-1},3} & u_{N_x,3} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ u_{1,N_{y-2}} & u_{2,N_{y-2}} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y-2}} & u_{N_{x},N_{y-2}} \\\\ u_{1,N_{y-1}} & u_{2,N_{y-1}} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y-1}} & u_{N_{x},N_{y-1}} \\\\ u_{1,N_y} & u_{2,N_y} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y}} & u_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} w_{1,1} & w_{2,1} & \\cdots & w_{N_{x-1},1} & w_{N_x,1} \\\\ w_{1,2} & w_{2,2} & \\cdots & w_{N_{x-1},2} & w_{N_x,2} \\\\ w_{1,3} & w_{2,3} & \\cdots & w_{N_{x-1},3} & w_{N_x,3} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ w_{1,N_{y-2}} & w_{2,N_{y-2}} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-2}} & w_{N_{x},N_{y-2}} \\\\ w_{1,N_{y-1}} & w_{2,N_{y-1}} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-1}} & w_{N_{x},N_{y-1}} \\\\ w_{1,N_y} & w_{2,N_y} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y}} & w_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\) W tym drugim układzie równań, każdy podwektor, każda prawa strona, odpowiada jednemu wierszowi na siatce elementów, ma więc ustaloną współrzędną \\( x \\), oraz współrzędną \\( y \\) zmieniającą się od 1 do \\( N_y \\). Podobnie uporządkowane są niewiadome \\( u* \\), w których to wierszami zmieniają się pierwsze indeksy, na przyklad \\( w_{1,1}, w_{2,1}, ..., w_{N_x,1} \\) natomiast w kolumnach zmieniają się drugie indeksy. Każdy z tych dwóch układów równań o wielu prawych stronach rozwiążemy używając algorytmu eliminacji Gaussa dla macierzy pasmowej, który ma liniowy koszt obliczeniowy." ]

[]

[ "W wyniku rozwiązania układu równań liniowych otrzymujemy wektor współczynników \\( u_{1,1} \\\\ u_{2,1} \\\\ u_{3,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{k,l} \\\\ \\vdots \\\\ u_{N_{x-2},N_y} \\\\ u_{N_{x-1},N_y} \\\\ u_{N_x,N_y} \\\\ \\) Pamiętamy teraz że nasze rozwiązanie (projekcja bitmapy) reprezentowana jest przez kombinacje liniową dwuwymiarowych funkcji B-spline \\( u(x,y) = \\sum_{i=1}^{N_x} \\sum_{j=1}^{N_y} u_{i,j} B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) \\) W celu uzyskania wartości rozwiązania w punkcje \\( (x,y) \\) należącym do obszaru \\( \\Omega \\), na którym zdefiniowana jest nasza bitmapa, nie musimy oczywiście sumować wartości wszystkich funkcji B-spline. Musimy zlokalizować element w którym leży punkt \\( (x,y) \\) oraz wszystkie \\( (p+1)^2 \\) funkcje B-spline określone na tym elemencie. Pozostałe funkcje B-spline są równe zero w tym miejscu. W naszym przypadku, \\( \\Omega = [1,maxx]\\times[1,maxy] \\), oraz mamy równo rozłożone \\( N_x \\) funkcji B-spline stopnia \\( p \\) wzdłuż osi \\( x \\) oraz \\( N_y \\) funkcji B-spline stopnia \\( p \\) wzdłuż osi \\( y \\). Mamy więc \\( N_x-p \\) elementów wzdłuż osi \\( x \\) oraz \\( N_y-p \\) elementów wzdłuż osi \\( y \\). Każdy element ma rozmiar \\( [maxx / (N_x-p)]\\times [maxy / (N_y-p)] \\). Żeby dostać więc numer elementu wzdłuż osi \\( x \\), wykonujemy dzielenie \\( ne_x = int (\\frac{x} {maxx/(N_x-p) }) \\), i analogicznie żeby obliczyć numer elementu wzdluż osi \\( y \\), wykonujemy dzielenie \\( ne_z=int(\\frac{y}{maxy/(N_y-p) } ) \\), gdzie int oznacza wartość całkowitą (zaokrąglenie w dół). Wówczas, na naszym elemencie \\( [ne_x,ne_y] \\) określone są funkcje \\( \\{B^x_{i,p}(x)B^y_{j,p}\\}_{ i=ne_x-p+1,ne_x+p-1,j=ne_y-p+1,ne_y-p-1 } \\). W celu obliczenia wartości rozwiązania w punkcie \\( (x,y) \\) wystarczy więc, że obliczymy \\( u(x,y) = \\sum_{ i=ne_x-p+1,ne_x+p-1,j=ne_y-p+1,ne_y-p-1 } u_{i,j} B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) \\)" ]

[]

[ "W module tym przedstawiamy dwa kody MATLABa obliczające izogeometryczną L2 projekcję bitmapy. Kody używają izogeometrycznej metody elementów skończonych, w której to bitmapa aproksymowana jest za pomocą kombinacji liniowej wielomianów B-spline. Wykonanie kodu\\ów możliwe jest również w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod 1 lub zob. Załącznik 1.", "Pobierz kod 2 lub zob. Załącznik 1.", "W celu uruchomienia kodów zapisujemy je w katalogu roboczym Octave. Ustawiamy zmienne ze ścieżką do pliku wejściowego w formacie tif \\( filename = 'C://Users/Maciej/Dropbox/bitmapa.tif' \\) następnie podajemy ilość elementów siatki w kierunku osi x i y oraz stopnie funkcji B-spline w tych kierunkach \\( nx=4 \\) \\( ny=4 \\) \\( px=2 \\) \\( py=2 \\) Następnie uruchamiamy pierwszą procedurę \\( bitmap\\_param(filename,nx,ny,px,py) \\). Kod po zbudowaniu układu równań i rozwiązaniu go rysuje projekcje bitmapy w otwartym okienku. Pierwszy kod oblicza izogeometryczną L2 projekcję bitmapy, generuje wartości funkcji B-spline zgodnie z rekurencyjnej definicji. Podczas całkowania, oblicza on kwadratury Gaussa na \\( (Ne_x+px)(Ne_y+py) \\) elementach, próbkując wartości funkcji B-spline. Woła on funkcje rekurencyjne wiele razy dla wielu punktów kwadratury Gaussa. Przez to jest on bardzo wolny. Nawet dla 4*4=16 elementów działa ona stosunkowo długo, a zwiększenie liczby elementów zwiększa czas działania programu tak, jak funkcja kwadratowa liczby elementów. Dlatego zaproponowaliśmy drugą procedurę \\( bitmap\\_fast(filename,nx,ny,px,py) \\), w której w tablicy umieszczono przeliczone wcześniej wartości funkcji B-spline, w kierunku osi poziomej i pionowej. Zamiast liczyć je na \\( (Ne_x+px)(Ne_y+py) \\) elementach, czytamy ich wartości z tablicy. Operacja ta przyspiesza działanie kodu o 2 rzędy wielkości. Żeby bardziej przyspieszyć kod konieczne jest zastąpienie MATLABowej procedury backslash (\\ stosowanej do rozwiązania wygenerowanego układu równań) solwerem zmienno-kierunkowym." ]

[]

[ "Zarówno liniowe funkcje bazowe jak i funkcje bazowe wyższego rzędu opisać można w nowoczesny sposób za pomocą konwencji przyjętej w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, odwołującej się do funkcji B-spline oraz notacji tak zwanego wektora węzłów (po angielsku knot-vector). Rozważmy jednowymiarowy obszar \\( [0,N] \\) podzielony na \\( N \\) przedziałów zwanych elementami skończonymi. Przyjmijmy dla uproszczenia naszej prezentacji że mamy pięć takich przedziałów, czyli \\( N=5 \\). Wprowadzamy notacje wektora węzłów, który stanowi sekwencję nie malejących współrzędnych punktów. Z reguły dla uproszczenia przyjmuje się punkty o współrzednych będących liczbami całkowitymi. Na przykład wektor węzłów \\( [0 \\quad 0 \\quad 1 \\quad 2 \\quad 3 \\quad 4 \\quad 5 \\quad 5] \\) definiuje nam liniowe funkcje bazowe na przedziale \\( [0,5] \\) podzielonym na pięć elementów \\( [0,1], [1,2], [2,3], [3,4] i [4,5] \\). W celu zilustrowania funkcji bazowych wynikających z różnych wektorów węzłów polecamy załączony kod MATLABa. Jak interpretować zapis wektora węzłów? W pierwszej kolejności określić musimy stopień i ciągłość funkcji bazowych. Robimy to w sposób następujący. Stopień funkcji bazowych równy jest liczbie powtórzeń pierwszego (lub ostatniego) punktu w wektorze węzłów, minus jeden. Innymi słowy, patrzymy ile razy powtórzony jest pierwszy i ostatni punkt w wektorze węzłów. Jeśli punkt ten powtórzony jest dwa razy (u nas 0 0 oraz 5 5) oznacza to, że stopień funkcji bazowych wynosi jeden (dwa minus jeden), czyli wprowadzamy liniowe funkcje bazowe. Jakie są wzory na liniowe funkcje bazowe określone za pomocą wektora węzłów. Określa to tak zwana reguła Cox-de-Boor'a, której oryginalną formułę przyczatam poniżej [1]: \\( B_{i,0}(\\xi)=1 \\textrm{ jeśli } \\xi_i \\leq \\xi \\leq \\xi_{i+1} \\textrm{ lub 0 w pozostałych przypadkach } \\) \\( B_{i,p}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_i}{\\xi_{i+p}-\\xi_i}B_{i,p-1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{i+p+1}-\\xi}{\\xi_{i+p+1}-\\xi_{i+1}}B_{i+1,p-1}(\\xi) \\) Jak należy rozumieć tą regułę? Wektor \\( N \\) węzłów koduje nam \\( N+p \\) funkcji B-spline, gdzie \\( p \\) oznacza stopień funkcji B-spline (w naszym przypadku rozważamy liniowe funkcje B-spline, więc \\( p=1 \\)). Funkcje B-spline oznaczane są \\( B_{i,p} \\), gdzie \\( i=1,...N+p \\) oznacza numer (indeks) funkcji B-spline, natomiast \\( p \\) oznacza stopień funkcji B-spline." ]

[]

[]

[]

[ "W rozdziale tym wyprowadzimy funkcje bazowe zwane klasycznymi wielomianami Lagrange'a. Wielomiany Lagrange'a pierwszego stopnia są równoważne funkcjom B-spline pierwszego stopnia, mają dokładnie takie same wzory. Wielomiany Lagrange'a drugiego stopnia można wyprowadzić z ogólnego wzoru na B-spline'y stosując wektor węzłów generujący B-spline'y drugiego stopnia, w którym powtórzono wszystkie wewnętrze węzły \\( p \\) razy, czyli \\( [0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 1 \\quad 1 \\quad 2 \\quad 2 \\quad 3 \\quad 3 \\quad 4 \\quad 4 \\quad 5 \\quad 5 \\quad 5] \\) Tak zdefiniowany wektor węzłów wygeneruje nam funkcje bazowe równoważne wielomianom Lagrange'a drugiego stopnia (wielomianom kwadratowym) używanym w tradycyjnej metodzie elementów skończonych. W celu zilustrowania funkcji bazowych wynikających z różnych wektorów węzłów polecamy załączony kod MATLABa. Jak wyglądają takie funkcje bazowe? Musimy wygenerować krok po kroku wszystkie wielomiany zerowego stopnia, oraz wielomiany pierwszego i drugiego stopnia, używając wzoru Cox-de-Boor'a. Zacznijmy od wielomianów zerowego stopnia. Mamy teraz \\( \\xi_1=\\xi_2=\\xi_3=0, \\xi_4=\\xi_5=1, \\xi_6=\\xi_7=2, \\xi_8=\\xi_9=3, \\xi_{10}=\\xi_{11}=4 \\textrm{ oraz } \\xi_{12}=\\xi_{13}=\\xi_{14}=5 \\) \\( B_{1,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_1,\\xi_2=[0,0]=\\{0\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{2,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_2,\\xi_3]=[0,0]=\\{0\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{3,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_3,\\xi_4]=[0,1] \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{4,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_4,\\xi_5]=[1,1]=\\{1\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{5,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_5,\\xi_6]=[1,2] \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{6,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_6,\\xi_7]=[2,2]=\\{2\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{7,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_7,\\xi_8]=[2,3] \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{8,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_8,\\xi_9]=[3,3]=\\{3\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{9,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_{10},\\xi_{11}]=[3,4] \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{10,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_{11},\\xi_{12}]=[4,4]=\\{4\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{11,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_{12},\\xi_{13}]=[4,5] \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{12,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_{13},\\xi_{14}]=[5,5]=\\{5\\} \\), 0 w pozostałych punktach, \\( B_{13,0}=1\\textrm{ dla }x\\in[\\xi_{14},\\xi_{15}]=[5,5]=\\{5\\} \\), 0 w pozostałych punktach. Podobnie, musimy wygenerować funkcje bazowe pierwszego stopnia dla nowego wektora węzłów. Przypominamy sobie wzór dla \\( p=1 \\) \\( B_{i,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_i}{\\xi_{i+1}-\\xi_i}B_{i,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{i+2}-\\xi}{\\xi_{i+2}-\\xi_{i+1}}B_{i+1,0}(\\xi) \\), do którego wstawiamy kolejne węzły: \\( B_{1,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_1}{\\xi_{2}-\\xi_1}B_{1,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{3}-\\xi}{\\xi_{3}-\\xi_{2}}B_{2,0}(\\xi)={\\color{red}{\\frac{\\xi-0}{0-0}B_{1,0}(\\xi)+\\frac{0-\\xi}{0-0}B_{2,0}(\\xi)}} =0 \\), \\( B_{2,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_2}{\\xi_{3}-\\xi_2}B_{2,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{4}-\\xi}{\\xi_{4}-\\xi_{3}}B_{3,0}(\\xi)={\\color{red}{\\frac{\\xi-0}{0-0}B_{2,0}(\\xi)}}+\\frac{1-\\xi}{1-0}B_{3,0}(\\xi)=1-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\), \\( B_{3,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_3}{\\xi_{4}-\\xi_3}B_{3,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{5}-\\xi}{\\xi_{5}-\\xi_{4}}B_{4,0}(\\xi) = \\frac{\\xi-0}{1-0}B_{3,0}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{1-\\xi}{1-1}B_{4,0}(\\xi)}} = \\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\), \\( B_{4,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_4}{\\xi_{5}-\\xi_4}B_{4,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{6}-\\xi}{\\xi_{6}-\\xi_{5}}B_{5,0}(\\xi) = {\\color{red}{\\frac{\\xi-1}{1-1}B_{4,0}(\\xi)}}+\\frac{2-\\xi}{2-1}B_{5,0}(\\xi) =2-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\), \\( B_{5,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_5}{\\xi_{6}-\\xi_5}B_{5,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{7}-\\xi}{\\xi_{7}-\\xi_{6}}B_{6,0}(\\xi) = \\frac{\\xi-1}{2-1}B_{5,0}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{2-\\xi}{2-2}B_{6,0}(\\xi)}} =\\xi-1 \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\), \\( B_{6,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_6}{\\xi_{7}-\\xi_{6}}B_{6,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{8}-\\xi}{\\xi_{8}-\\xi_{7}}B_{7,0}(\\xi) = {\\color{red}{\\frac{\\xi-2}{2-2}B_{6,0}(\\xi)}}+\\frac{3-\\xi}{3-2}B_{7,0}(\\xi) =3-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\), \\( B_{7,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_7}{\\xi_{8}-\\xi_7}B_{7,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{9}-\\xi}{\\xi_{9}-\\xi_{8}}B_{8,0}(\\xi) = \\frac{\\xi-2}{3-2}B_{7,0}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{3-\\xi}{3-3}B_{9,0}(\\xi)}} =\\xi-2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\), \\( B_{8,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_8}{\\xi_{9}-\\xi_8}B_{8,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{10}-\\xi}{\\xi_{10}-\\xi_{9}}B_{9,0}(\\xi) = {\\color{red}{\\frac{\\xi-3}{3-3}B_{8,0}(\\xi)}}+\\frac{4-\\xi}{4-3}B_{9,0}(\\xi) =4-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\), \\( B_{9,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_9}{\\xi_{10}-\\xi_9}B_{9,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{11}-\\xi}{\\xi_{11}-\\xi_{10}}B_{10,0}(\\xi) = \\frac{\\xi-4}{4-3}B_{9,0}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{4-\\xi}{4-4}B_{10,0}(\\xi)}} = \\xi-3 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\), \\( B_{10,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_{10}}{\\xi_{11}-\\xi_{10}}B_{10,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{12}-\\xi}{\\xi_{12}-\\xi_{11}}B_{11,0}(\\xi) ={\\color{red}{\\frac{\\xi-4}{4-4}B_{10,0}(\\xi)}}+\\frac{5-\\xi}{5-4}B_{11,0}(\\xi) 5-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\), \\( B_{11,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_{11}}{\\xi_{12}-\\xi_{11}}B_{11,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{13}-\\xi}{\\xi_{13}-\\xi_{12}}B_{12,0}(\\xi) =\\frac{\\xi-4}{5-4}B_{11,0}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{5-\\xi}{5-5}B_{12,0}(\\xi)}} =\\xi-4 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\), \\( B_{12,1}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_{12}}{\\xi_{13}-\\xi_{12}}B_{12,0}(\\xi)+\\frac{\\xi_{14}-\\xi}{\\xi_{14}-\\xi_{13}}B_{13,0}(\\xi) ={\\color{red}{\\frac{\\xi-5}{5-5}B_{11,0}(\\xi)+\\frac{5-\\xi}{5-5}B_{12,0}(\\xi)}}=0 \\). Możemy teraz wygenerować wszystkie funkcje B-spline drugiego stopnia ponownie używając wzoru dla \\( p=2 \\), przy założeniu że kolejne węzły wsadzane do mianownika muszą być różne, a jeśli nie są różne, wówczas dany człon zamieniamy na zero. Człony które znikają zaznaczamy ponownie na czerwono. W końcowym etapie wyprowadzenia wstawiamy obliczone przed chwilą wzory na \\( B_{1,1}(\\xi)=0 \\), \\( B_{2,1}=1-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\), \\( B_{3,1}=\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\), \\( B_{4,1}=2-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\), \\( B_{5,1}=\\xi-1 \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\), \\( B_{6,1}=3-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\), \\( B_{7,1}=\\xi-2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\), \\( B_{8,1}=4-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\), \\( B_{9,1}=\\xi-3 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\), \\( B_{10,1}=5-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\), \\( B_{11,1}=\\xi-4 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\), \\( B_{12,1}=0 \\). Uzyskujemy \\( B_{1,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_1}{\\xi_{3}-\\xi_1}B_{1,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{4}-\\xi}{\\xi_{4}-\\xi_{2}}B_{2,1}(\\xi) ={\\color{red}{\\frac{\\xi-0}{0-0}B_{1,1}(\\xi)}}+\\frac{1-\\xi}{1-0}B_{2,1}(\\xi) = (1-\\xi)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\). \\( B_{2,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_2}{\\xi_{4}-\\xi_2}B_{2,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{5}-\\xi}{\\xi_{5}-\\xi_{3}}B_{3,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-0}{1-0}B_{2,1}(\\xi)+\\frac{1-\\xi}{1-0}B_{3,1}(\\xi) = \\\\ = \\frac{\\xi-0}{1-0}\\left[1-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1]\\right]+\\frac{1-\\xi}{1-0}\\left[ \\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\right] = \\xi (1-\\xi) + (1-\\xi)\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] =2 \\xi(1-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1] \\). \\( B_{3,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_3}{\\xi_{5}-\\xi_3}B_{3,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{6}-\\xi}{\\xi_{6}-\\xi_{4}}B_{4,1}(\\xi) =\\frac{\\xi-0}{1-0}B_{3,1}(\\xi)+\\frac{2-\\xi}{2-1}B_{4,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-0}{1-0}\\left[\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1]\\right]+\\frac{1-\\xi}{1-0}\\left[2-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\right] = \\xi^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[0,1]+ (1-\\xi)(2-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\). \\( B_{4,2}(\\xi)= \\frac{\\xi-\\xi_4}{\\xi_{6}-\\xi_4}B_{4,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{7}-\\xi}{\\xi_{7}-\\xi_{5}}B_{5,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-1}{2-1}B_{4,1}(\\xi)+\\frac{2-\\xi}{2-1}B_{5,1}(\\xi) = \\\\ = \\frac{\\xi-1}{2-1}\\left[ 2-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\right]+\\frac{2-\\xi}{2-1}\\left[ \\xi-1 \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\right] = \\\\ = (\\xi-1)(2-\\xi)+(2-\\xi)(\\xi-1) \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] =2(\\xi-1)(2-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\). \\( B_{5,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_5}{\\xi_{7}-\\xi_5}B_{5,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{8}-\\xi}{\\xi_{8}-\\xi_{6}}B_{6,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-1}{2-1}B_{5,1}(\\xi)+\\frac{3-\\xi}{3-2}B_{6,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-1}{2-1}\\left[ \\xi-1 \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] \\right]+\\frac{3-\\xi}{3-2}\\left[ 3-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\right] = (\\xi-1)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[1,2] + (3-\\xi)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\). \\( B_{6,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_6}{\\xi_{8}-\\xi_6}B_{6,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{9}-\\xi}{\\xi_{9}-\\xi_{7}}B_{7,1}(\\xi) =\\frac{\\xi-2}{3-2}B_{6,1}(\\xi)+\\frac{3-\\xi}{3-2}B_{7,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-2}{3-2}\\left[ 3-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\right]+\\frac{3-\\xi}{3-2}\\left[ \\xi-2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\right] = \\\\ = (\\xi-2)(3-\\xi)+(3-\\xi)(\\xi-2) \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] =2(\\xi-2)(3-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\). \\( B_{7,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_7}{\\xi_{9}-\\xi_7}B_{7,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{10}-\\xi}{\\xi_{10}-\\xi_{8}}B_{8,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-2}{3-2}B_{7,1}(\\xi)+\\frac{4-\\xi}{4-3}B_{8,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-2}{3-2}\\left[ \\xi-2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] \\right]+\\frac{4-\\xi}{4-3}\\left[ 4-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\right] = (\\xi-2)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[2,3] +(4-\\xi)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\). \\( B_{8,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_8}{\\xi_{10}-\\xi_8}B_{8,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{11}-\\xi}{\\xi_{11}-\\xi_{9}}B_{9,1}(\\xi) =\\frac{\\xi-3}{4-3}B_{8,1}(\\xi)+\\frac{4-\\xi}{4-3}B_{9,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-3}{4-3}\\left[ 4-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\right]+ \\frac{4-\\xi}{4-3}\\left[ \\xi-3 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\right] = \\\\ = (\\xi-3)(4-\\xi)+(4-\\xi)(\\xi-3) \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] =2(\\xi-3)(4-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\). \\( B_{9,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_9}{\\xi_{11}-\\xi_9}B_{9,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{12}-\\xi}{\\xi_{12}-\\xi_{10}}B_{10,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-3}{4-3}B_{9,1}(\\xi)+\\frac{6-\\xi}{5-4}B_{9,1}(\\xi) = \\\\ =\\frac{\\xi-3}{4-3}\\left[ \\xi-3 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] \\right]+\\frac{5-\\xi}{5-4}\\left[ 5-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\right] = (\\xi-3)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[3,4] +(5-\\xi)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\). \\( B_{10,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_{10}}{\\xi_{12}-\\xi_{10}}B_{10,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{13}-\\xi}{\\xi_{13}-\\xi_{11}}B_{11,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-4}{5-4}B_{10,1}(\\xi)+\\frac{5-\\xi}{5-4}B_{11,1}(\\xi) = \\\\ = \\frac{\\xi-4}{5-4}\\left[ 5-\\xi \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\right]+ \\frac{5-\\xi}{5-4}\\left[ \\xi-4 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\right] = \\\\ = (\\xi-4)(5-\\xi)+(5-\\xi)(\\xi-4) \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] =2(\\xi-4)(5-\\xi) \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\). \\( B_{11,2}(\\xi)=\\frac{\\xi-\\xi_{11}}{\\xi_{12}-\\xi_{11}}B_{11,1}(\\xi)+\\frac{\\xi_{14}-\\xi}{\\xi_{14}-\\xi_{12}}B_{12,1}(\\xi) = \\frac{\\xi-4}{5-4}B_{11,1}(\\xi)+{\\color{red}{\\frac{8-\\xi}{5-5}B_{11,1}(\\xi)}} = \\\\ = \\frac{\\xi-4}{5-4}\\left[ \\xi-4 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\right]= (\\xi-4)^2 \\textrm{ dla } \\xi\\in[4,5] \\). Wyprowadziliśmy właśnie funkcje bazowe rozpięte na wektorze węzłów z powtórzonymi węzłami pomiędzy każdym elementem. Można udowodnić matematycznie że wyprowadzone tutaj funkcje \\( B_{1,2},...,B_{11,2} \\) stanowią bazę równoważną bazie tak zwanych wielomianów Lagrange'a. Można więc używać notacji wektora węzłów żeby wyprowadzać funkcje bazowe B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, lub w celu wyprowadzenia bazy równoważnej bazie Lagrange'a używanej w klasycznej metodzie elementów skończonych." ]

[]

[ "W rozdziale tym przyjrzymy się jakie macierze generują opisane powyżej funkcje bazowe B-spline, i oszacujemy koszt faktoryzacji wynikającego z nich układu równań. W ten sposób możemy wskazać funkcje bazowe, które dają szybsze obliczenia za pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych. Ustalmy dla uproszczenia że rozwiązujemy problem projekcji jednowymiarowej. Szczegóły na temat obliczeń dwuwymiarowej projekcji zostały opisane w rozdziale pierwszym. Mamy wówczas następujące macierze zwane macierzami masowymi. Załóżmy, że chcemy rozwiązać jednowymiarowy problem projekcji. \\( u(x) \\approx BITMAP(x) \\) Szczegóły na temat obliczeń dwuwymiarowej projekcji zostały opisane w rozdziale pierwszym. Tutaj, dla uproszczenia załóżmy, że rozwiązujemy jednowymiarowy problem projekcji, nasza bitmapa (którą aproksymujemy w rozdziale pierwszym) jest teraz jednowymiarową płaską bitmapą. Nasza jednowymiarowa bitmapa jest aproksymowana przez kombinację liniową funkcji B-spline \\( u = \\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p }(x) \\) Załóżmy, że mamy 16 elementów skończonych (16 przedziałów). Oczywiście nie oznacza to że \\( N_x=16 \\), ponieważ \\( N_x \\) to liczba funkcji bazowych. To, ile będzie funkcji bazowych, zależy od tego jak wyglądać będzie nasz wektor węzłów, innymi słowy od tego jakiego stopnia będą nasze funkcje bazowe, oraz czy i w których miejscach powtórzymy węzły pomiędzy elementami. W celu wygenerowania układu równań z naszą macierzą do problemu projekcji, przemnażamy nasze równanie przez poszczególne B-spliny, które służą do uśredniania naszej relacji \\( u(x)=BITMAP(x) \\) zgodnie z rozkładem opisanym przez B-spline'y, i całkujemy żeby policzyć średnią \\( \\int{\\color{red}{u(x)}}B^x_{1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{1;p }(x)dx \\\\ \\int{\\color{red}{u(x)}}B^x_{2;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{2;p}(x)dx \\\\ \\vdots \\\\ \\int{\\color{red}{u(x)}}B^x_{N_x-1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x-1;p}(x)dx \\\\\\int{\\color{red}{u(x)}}B^x_{N_x;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x;p }(x)dx \\) Wstawiamy naszą aproksymację w miejsce \\( {\\color{red}{u(x)}}=\\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p }(x) \\) i dostajemy układ równań: \\( \\int{\\color{red}{\\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{1;p}(x) dx \\\\ \\int{\\color{red}{\\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{2;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{2;p}(x) dx \\\\ \\vdots \\\\ \\int{\\color{red}{\\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{N_x-1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x-1;p}(x) dx \\\\ \\int{\\color{red}{\\sum_{i=1,...,N_x} u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{N_x;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x;p}(x) dx \\) Wyciągamy sumę przed całkę \\( \\sum_{i=1,...,N_x}\\int{\\color{red}{ u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{1;p}(x) dx \\\\ \\sum_{i=1,...,N_x} \\int{\\color{red}{u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{2;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{2;p}(x) dx \\\\ \\vdots \\\\ \\sum_{i=1,...,N_x} \\int{\\color{red}{u_{i} B^x_{i;p}(x)} }B^x_{N_x-1;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x-1;p}(x) dx \\\\ \\sum_{i=1,...,N_x} \\int{\\color{red}{ u_{i} B^x_{i;p}(x) } }B^x_{N_x;p}(x)dx=\\int BITMAP(x)B^x_{N_x;p}(x) dx \\) Możemy zapisać nasz układ równań w następującej postaci \\( \\begin{bmatrix}\\int B^x_{1;p}(x)B^x_{1;p}(x)dx & \\int B^x_{1;p}(x)B^x_{2;p}(x)dx & \\cdots & \\int B^x_{1;p}(x)B^x_{N_x;p}(x)dx \\\\ \\int B^x_{2;p}(x)B^x_{2;p}(x)dx & \\int B^x_{2;p}(x)B^x_{2;p}(x)dx & \\cdots & \\int B^x_{2;p}(x)B^x_{N_x;p}(x)dx \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\int B^x_{N_x-1;p}(x)B^x_{1;p}(x)dx & \\int B^x_{N_x-1;p}(x)B^x_{2;p}(x)dx & \\cdots & \\int B^x_{N_x-1;p}(x)B^x_{N_x;p}(x)dx \\\\ \\int B^x_{N_x;p}(x)B^x_{N_x;p}(x)dx & \\int B^x_{N_x;p}(x)B^x_{2;p}(x)dx & \\cdots & \\int B^x_{N_x;p}(x)B^x_{N_x;p}(x)dx \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1} \\\\ u_{2} \\\\ \\vdots \\\\ u_{N_x-1}\\\\ u_{N_x}\\\\ \\end{bmatrix} = \\) \\( \\begin{bmatrix} \\int BITMAP(x)B^x_1(x)dx \\\\ \\int BITMAP(x)B^x_2(x)dx \\\\ \\vdots \\\\ \\int BITMAP(x)B^x_{N_x}-1(x)dx \\\\ \\int BITMAP(x)B^x_{N_x}(x)dx \\\\ \\end{bmatrix} \\)", "Zauważmy, że układ równań jest rzadki ponieważ całki z iloczynów jednowymiarowych funkcji B-spline są niezerowe jedynie wtedy gdy funkcje bazowe występujące w całce nachodzą na siebie.", "Dlaczego tak jest?", "Całka to suma próbek wartości funkcji, które całkujemy. Nasza próbka to iloczyn dwóch funkcji \\( i \\)-tej oraz \\( j \\)-tej, \\( B^x_{i;p}(x)B^x_{j;p}(x) \\). Jeśli więc dla danego punktu w którym próbkujemy jedna z funkcji, na przykład \\( i \\) -ta jest równa zero, mamy więc \\( 0*B^x_{j;p}(x)=0 \\). Podobnie jeśli druga funkcja \\( j \\)-ta jest równa zero w miejscu próbkowania, mamy wówczas \\( B^x_{i;p}(x)*0=0 \\).", "Załóżmy teraz, że na naszych szesnastu elementach rozpinamy wektor węzłów [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16]. Uzyskujemy w ten sposób funkcje B-spline trzeciego stopnia, stosowane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych. Są one przedstawione na Rys. 2. Rysunek ten ilustruje również fakt, iż kolejne wiersze i kolumny w macierzy związane są z kolejnymi funkcjami B-spline, określonymi w wektorze węzłów. Zauważmy, że każda jednowymiarowa funkcja B-spline stopnia \\( p \\) nachodzi na \\( 2p+1 \\) innych jednowymiarowych funkcji B-spline. Na przykład B-spline'y stopnia trzeciego \\( p=3 \\) nachodzą na \\( 2*3+1=7 \\) sąsiednich B-spline'ów. Niezerowe wartości w macierzy występują w tych wierszach i kolumnach, dla których odpowiadające im funkcje bazowe \"nachodzą\" na siebie (mają nie zerowe przecięcie dziedzin). Nasz układ równań jest więc rzadki, oraz zawiera on siedem przekątnych. W szczególności dla naszego przypadku szesnastu elementów skończonych mamy \\( N=16+3=19 \\) funkcji bazowych B-spline trzeciego stopnia (w ogólności jest ich \\( N_e+p \\)). Nasza macierz ma więc rozmiar \\( 19 \\times 19 \\) i zawiera 7 gęstych przekątnych. Jest to zilustrowane na Rys. 2.", "Oszacujmy teraz koszt faktoryzacji macierzy dla bazy B-spline'ów trzeciego stopnia używanych w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, przedstawionej na Rys. 2. Uruchamiamy algorytm eliminacji Gaussa, który omija wszystkie zera w macierzy. Jest on opisany w rozdziale czwartym. Koszt ten równy jest kosztowi faktoryzacji pojedynczego wiersza na podmacierzy o rozmiarze \\( 4\\times 4 \\) przemnożony przez wiele wierszy macierzy, czyli 4 (koszt skalowania wiersza o czterech kolumnach) plus 3*3*2 (koszt odejmowania pierwszego wiersza od pozostałych, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej). Operację tę powtarzamy dla 16 bloków macierzy (odpowiadających 16 elementom), a dla ostatniego bloku dokańczamy faktoryzację co ma koszt 2*2*2 (koszt odejmowania drugiego wiersza od pozostałych, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej) + 2*1 (koszt odejmowania trzeciego wiersza od czwartego, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej) + 1 (skalowanie ostatniego wiersza).Koszt całkowity to 4*16+3*3*2*16+2*2*2+2*1+1=64+18*16+8+2+1=363.", "Rozważmy teraz przypadek, w którym powtarzamy węzły pomiędzy poszczególnymi elementami skończonymi. W ogólności jeśli chcemy uzyskać funkcje bazowe równoważne wielomianom Lagrange'a używanym w klasycznej metodzie elementów skończonych, musimy powtórzyć węzły \\( p-1 \\) razy, gdzie \\( p \\) to stopień bazy B-spline'ów. Jeśli więc stosujemy B-spliny trzeciego stopnia, musimy powtórzyć węzły 2 razy: [0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16]", "Jak wygląda macierz naszego układu równań? Każda funkcja bazowa trzeciego stopnia rozpościera się na czterech przedziałach (używa pięciu węzłów, począwszy od 0 0 0 0 1 do 15 16 16 16 16. Ile mamy takich podprzedziałów w naszym wektorze węzłów? Jest ich 16*3+1=49. Nasza macierz ma więc wymiar \\( 49 \\times 49 \\), i jest przedstawiona na Rys. 3. Różnica macierzy właśnie uzyskanej dla bazy równoważnej wielomianom Lagrange'a w stosunku do macierzy uzyskanej wcześniej dla funkcji B-spline jest następująca. Macierz dla funkcji B-spline jest mniejsza, ale posiada gęstsze przekątne. Macierz uzyskana dla bazy równoważnej bazie Lagrange'a jest większa, ale za to posiada rzadsze przekątne.", "Oszacujmy teraz koszt faktoryzacji macierzy dla bazy równoważnej bazie Lagrange'a używanej w standardowej metodzie elementów skończonych, przedstawionej na Rys. 3. Koszt ten równy jest kosztowi faktoryzacji pojedynczej podmacierzy o rozmiarze \\( 49 \\times 49 \\) przez pełny algorytm eliminacji Gaussa, czyli 4+3+2 (koszt skalowania pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego wiersza od przekątnej do końca wiersza) plus 3*3*2 (koszt odejmowania pierwszego wiersza od pozostałych, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej) plus 2*2*2 (koszt odejmowania drugiego wiersza od pozostałych, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej) + 1*2 (koszt odejmowania trzeciego wiersza od czwartego, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej). Koszt całkowity dla jednego bloku to 4+3+2+3*3*2+2*2*2+2*1=9+18+8+2=36. Mamy 16 elementów, więc koszt całkowity to 36*16=576.", "Zobaczmy teraz co stanie się jeśli pomieszamy wielomiany Lagrange'a z funkcjami B-spline. Wprowadźmy wektor węzłów [0 0 0 0 1 2 3 4 4 4 5 6 7 8 8 8 9 10 11 12 12 12 13 14 15 16 16 16 16], w którym powtórzyliśmy węzły na grupach co cztery elementy. Uzyskamy wtedy funkcje bazowe i macierz przedstawioną na Rys. 4. W tym przypadku mamy 25 funkcji bazowych. Nasza macierz ma więc rozmiar \\( 25\\times 25 \\), i posiada gęste bloki na przekątnych o rozmiarze 7 na 7. Bloki te poprzedzielane są separatorami. Jaki jest koszt faktoryzacji w tym przypadku? Koszt ten równy jest kosztowi faktoryzacji pojedynczego wiersza na podmacierzy o rozmiarze \\( 4\\times 4 \\) przemnożony przez wiersze macierzy w pojedynczym bloku, czyli 4 (koszt skalowania wiersza o czterech kolumnach) plus 3*3*2 (koszt odejmowania pierwszego wiersza od pozostałych, wraz z mnożeniem przez wartość z przekątnej). Operacje tą powtarzamy dla 4 podmacierzy w bloku (odpowiadających 4 elementom), i całość powtarzamy 4 razy (ponieważ mamy 4 bloki w macierzy). Całkowity koszt wynosi więc (4+3*3*2*4)*4=76*4=304.", "Podsumujmy. Klasyczna metoda elementów skończonych dla 16. elementów i bazy równoważnej bazie Lagrange'a trzeciego stopnia wymaga 576 operacji zmienno-przecinkowych żeby sfaktoryzować macierz (mnożeń i dodawań / odejmowań). Izogeometryczna metoda elementów skończonych dla 16 elementów bazy równoważnej bazie B-spline'ów trzeciego stopnia wymaga 363 operacji zmienno-przecinkowych. Hybryda wymaga 304 operacji zmienno-przecinkowych.", "Widzimy więc że nawet w prostym jednowymiarowym przykładzie hybryda pomiędzy bazą funkcji B-spline oraz bazą równoważną bazie Lagrange'a wygrywa w sensie kosztu obliczeniowego z czystą bazą B-spline'ów oraz z czystą bazą równoważną bazie Lagrange'a. Różnica ta będzie dużo większa (do dwóch rzędów wielkości) dla problemów dwuwymiarowych oraz trójwymiarowych.", "Obliczenia za pomocą metody elementów skończonych, w których używa się baz mieszanych, w których stosuje się powtarzanie węzłów w wektorze węzłów nazywane są ulepszoną analizą izogeometryczną (ang. refined isogeometric analysis) [1] Zauważmy również, iż wsadzając \\( C^0 \\) separatory (redukując ciągłość na granicach elementów) niejako zwiększamy moc aproksymacyjną używanej bazy funkcji. Tak więc dodawanie nowych funkcji i redukowanie ciągłości zwiększa dokładność aproksymacji." ]

[]

[ "W poprzednich rozdziałach zdefiniowaliśmy funkcje bazowe na przedziale jednowymiarowym. Pokażemy teraz w jaki sposób definicje tą można uogólnić na problemy dwuwymiarowe. Rozważmy najpierw siatkę prostokątną, na której rozpinamy \\( N_x \\times N_y=16 \\times 16 \\) elementów, której jeden brzeg jest równoległy do osi \\( x \\), a drugi brzeg jest równoległy do osi \\( y \\). Mamy więc \\( N_x=16 \\) elementów wzdłuż osi \\( x \\) i \\( N_y=16 \\) elementów wzdłuż osi \\( y \\).", "Rozważmy problem aproksymacji bitmapy opisany szczegółowo w rozdziale pierwszym. Definiujemy następnie wektor węzłów wzdłuż osi \\( x \\) [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16] oraz wektor węzłów wzdłuż osi \\( y \\) [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16]. Wektory te definiują funkcje bazowe B-spline trzeciego stopnia o ciągłości dwa, co oznacza, że jeśli policzymy projekcje bitmapy przy użyciu takich funkcji B-spline, nasza aproksymacja będzie bardzo smukła, i możemy policzyć pierwszą i drugą pochodną w każdym punkcje bitmapy. To tak jakbyśmy zrobili bardzo smukły plastikowy odlew naszej bitmapy.", "Nasz wektor węzłów wzdłuż osi \\( x \\) definiuje następujące funkcje bazowe \\( B^x_{1;3}(x),...,B^x_{19;3}(x) \\), których wzór może zostać wyprowadzony zgodnie ze wzorem Cox-de Boora, ale wyprowadzając B-spline trzeciego stopnia, które rozpościerają się na czterech kolejnych przedziałach. W szczególności będzie ich \\( N_x+p=N_x+3=16+3=19 \\). Podobnie wyprowadzamy funkcje B-spline dla wektora węzłów wzdłuż osi \\( y \\), i dostajemy 19 B-spline'ów trzeciego stopnia \\( B^y_{1;3}(x),...,B^y_{19;3}(x) \\) zgodnie z formułą . Następnie nasze dwuwymiarowe funkcje bazowe uzyskujemy przemnażając przez siebie wybraną jedną funkcję bazową z pierwszego zbioru, rozpiętego wzdłuż osi \\( x \\), oraz jedną funkcję bazową z drugiego zbioru, rozpiętego wzdłuż osi \\( y \\). Możemy je uporządkować wierszami (równoległymi do osi \\( x \\)). \\( B^x_{1;3}B^y_{1,3}, B^x_{2;3}B^y_{1,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{1,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{2,3}, B^x_{2;3}B^y_{2,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{2,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{2,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y-1,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y-1,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{N_y-1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y-1,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y,3}, ..., B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3} \\). W ten sposób uzyskujemy bazę dwuwymiarowych funkcji bazowych \\( \\{B_{i,j;3}(x,y)\\}_{i=1,...,N_x,j=1,...,N_y}=\\{B^x_{i;3}(x)B^y_{j;3}\\}_{i=1,...,N_x,j=1,...,N_y}=\\{B^x_{i;3}(x)B^y_{j;3}\\}_{i=1,...,19,j=1,...,19 } \\) rozpiętych na prostokątnej siatce obliczeniowej zbudowanej z 16*16=256 elementów. Są one przedstawione na Rys. 1.", "Możemy rozpiąć na nich aproksymację bitmapy \\( u(x,y) = \\sum_{i=1,j=1}^{16,16} u_{i,j} B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) \\) obliczając współczynniki \\( u_{i,j} \\) w sposób opisany w rozdziale pierwszym. W szczególności będziemy musieli wygenerować całki z iloczynów par funkcji B-spline \\( \\int_{\\Omega} {\\color{red}{B^x_{i}(x) B^y_{j}(y)}} {\\color{blue}{B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)}} dx dy \\) dla \\( i=1,..,19, j=1,...,19 \\). W przypadku funkcji bazowych rozpiętych na płaskiej siatce, całki te możemy rozbić na iloczyn dwóch całek z par B-spline'ów w poszczególnych kierunkach. \\( \\int_{\\Omega_x} {\\color{red}{B^x_{i}(x)B^y_{j}(y)}} {\\color{blue}{B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)}} dx dy =\\int_{\\Omega_y} {\\color{red}{B^x_{i}(x)}} {\\color{blue}{B^x_{k}(x)}} dx {\\color{red}{ B^y_{j}(y)}} {\\color{blue}{B^y_{l}(y)}} dy \\) gdzie \\( \\Omega \\) to nasza siatka prostokątna, \\( \\Omega_x \\) to brzeg siatki prostokątnej wzdłuż osi \\( x \\), \\( \\Omega_y \\) to brzeg siatki prostokątnej wzdłuż osi \\( y \\).", "Zajmijmy się teraz ciekawym przypadkiem, w którym nasza siatka obliczeniowa nie jest regularnym prostokątem, tylko rozpięta jest na przykład na rozmaitości, tak jak pokazano na Rys. 2.", "W przypadku tym mamy funkcje B-spline liniowe (pierwszego stopnia) w kierunku osi \\( x \\) oraz funkcje B-spline drugiego stopnia w kierunku osi \\( y \\). Ilustracją może być tutaj wykres przedstawiony na Rys. 2 to \\( y(y-1)(1-x) \\). Wówczas definiujemy nasze wektory węzłów w taki sam sposób, definiujemy jednowymiarowe funkcje bazowe w taki sam sposób, i następnie musimy określić transformacje z siatki prostokątnej na siatkę rozpiętą na brzegu rozmaitości. Wówczas całki, które musimy wygenerować muszą zostać policzone po brzegu rozmaitości \\( \\Omega_S \\) i musimy inaczej nazwać nasze osie \\( \\hat{x} \\) i \\( \\hat{y} \\) rozpięte na brzegu rozmaitości. \\( \\int_{\\Omega_S} {\\color{red}B^{\\hat{x}}_{i;3}(\\hat{x}) B^{\\hat{y}}_{j;3}(\\hat{y})} {\\color{blue}B^{\\hat{x}}_{k;3}(\\hat{x})B^{\\hat{y}}_{l;3}(\\hat{y})} d\\hat{x} d\\hat{y} \\) i musimy zmienić zmienne w całkach z prostokąta rozpiętego na brzegu rozmaitości na prostokącie \\( \\int_{\\Omega_S} {\\color{red}{B^x_{i}(\\hat{x}) B^y_{j}(\\hat{y})}} {\\color{blue}{B^x_{k}(\\hat{x})B^y_{l}(\\hat{y})}} d\\hat{x} d\\hat{y} = \\int_{\\Omega} {\\color{red}{B^x_{i}(x) B^y_{j}(y)}} {\\color{blue}{B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)}} |Jac Map(x,y)|dx dy \\) i tutaj pojawia się jakobian odwzorowania \\( Map(x,y) \\), które przerzuca płaski prostokąt na prostokąt rozpięty na brzegu rozmaitości. Zauważmy, że żeby zastosować algorytm szybkiego solwera zmienno-kierunkowego, jakobian tej mapy musi zostać rozdzielony na iloczyn jakobianów będących funkcją \\( x \\) i funkcją \\( y \\), czyli \\( Jac Map(x,y)=Jac Map^x(x)Jac Map^y(y) \\). W przeciwnym wypadku nie rozdzielimy całek \\( \\int_{\\Omega_S} {\\color{red}B^x_{i}(\\hat{x}) B^y_{j}(\\hat{y})} {\\color{blue}B^x_{k}(\\hat{x})B^y_{l}(\\hat{y})} d\\hat{x} d\\hat{y} = \\int_{\\Omega} {\\color{red}B^x_{i}(x) B^y_{j}(y)} {\\color{blue}B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)} |Jac Map(x,y)|dx dy =\\\\= \\int_{\\Omega} {\\color{red}B^x_{i}(x) } {\\color{blue}B^x_{k}(x)}|Jac Map^x(x)|dx \\int_{\\Omega} {\\color{red}B^y_{j}(y)} {\\color{blue}B^y_{l}(y)} |Jac Map^y(y)| dy \\). Nie jest to zawsze możliwe, i wówczas zamiast solwera zmienno-kierunkowego należy stosować solwer wielo-frontalny lub iteracyjny." ]

[]

[ "Pokażemy teraz w jaki sposób definicje funkcji bazowych można uogólnić na problemy trójwymiarowe. Rozważmy najpierw siatkę prostopadłościenną, na której rozpinamy \\( N_x \\times N_y \\times N_z=16 \\times 16 \\times 16 \\) elementów, której jeden brzeg jest równoległy do osi \\( x \\), drugi brzeg jest równoległy do osi \\( y \\), a trzeci brzeg jest równoległy do osi \\( z \\). Mamy więc \\( N_x=16 \\) elementów wzdłuż osi \\( x \\) i \\( N_y=16 \\) elementów wzdłuż osi \\( y \\) oraz \\( N_z=16 \\) elementów wzdłuż osi \\( z \\). Rozważmy ponownie problem aproksymacji bitmapy opisany szczegółowo w rozdziale pierwszym. Tym razem jednak musimy skupić się na trójwymiarowej bitmapie. Bitmapy takie są generowane na przykład podczas tomografii komputerowych głowy .", "Definiujemy następnie wektor węzłów wzdłuż osi \\( x \\) [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16] oraz identyczny wektor węzłów wzdłuż osi \\( y \\) [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16] i wzdłuż osi \\( z \\) [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16]. Wektory te definiują funkcje bazowe B-spline trzeciego stopnia o ciągłości dwa. Nasze wektory węzłów definiują następujące funkcje bazowe \\( B^x_{1;3}(x),...,B^x_{19;3}(x)\\textrm{ wzdłuż osi }x \\), \\( B^y_{1;3}(y),...,B^y_{19;3}(y)\\textrm{ wzdłuż osi }y \\), oraz \\( B^z_{1;3}(z),...,B^z_{19;3}(z)\\textrm{ wzdłuż osi }z \\), Wzory tych jednowymiarowych funkcji B-spline mogą zostać wyprowadzone zgodnie z formułą Cox-de Boor'a. Jest ich 19 w każdym kierunku, ponieważ \\( N_x+p=N_y+p=N_z+p=16+3=19 \\). Następnie nasze trójwymiarowe funkcje bazowe uzyskujemy przemnażając przez siebie wybraną jedną funkcję bazową z pierwszego zbioru, rozpiętego wzdłuż osi \\( x \\), jedną funkcję bazową z drugiego zbioru, rozpiętego wzdłuż osi \\( y \\), oraz jedną funkcję bazową z drugiego zbioru, rozpiętego wzdłuż osi \\( z \\). Możemy je uporządkować poziomami (równolegle do płaszczyzny \\( OXY \\)) i wierszami (równoległymi do osi \\( x \\)). \\( B^x_{1;3}B^y_{1,3}B^z_{1,3}, B^x_{2;3}B^y_{1,3}B^z_{1,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{1,3}B^z_{1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{1,3}B^z_{1,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{2,3}B^z_{1,3}, B^x_{2;3}B^y_{2,3}B^z_{1,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{2,3}B^z_{1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{2,3}B^z_{1,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{1,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{1,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{1,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y,3}B^z_{1,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y,3}B^z_{1,3}, ..., B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{1,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{1,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{1,3}B^z_{2,3}, B^x_{2;3}B^y_{1,3}B^z_{2,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{1,3}B^z_{2,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{1,3}B^z_{2,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{2,3}B^z_{2,3}, B^x_{2;3}B^y_{2,3}B^z_{2,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{2,3}B^z_{2,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{2,3}B^z_{2,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{2,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{2,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{2,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{2,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y,3}B^z_{2,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y,3}B^z_{2,3}, ...,B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{2,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{2,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{1,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{2;3}B^y_{1,3}B^z_{N_z,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{1,3}B^z_{N_z,3},B^x_{N_x;3}B^y_{1,3}B^z_{N_z,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{2,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{2;3}B^y_{2,3}B^z_{N_z,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{2,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{2,3}B^z_{N_z,3} \\), \\( \\cdots \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{N_z,3}, ..., B^x_{N_x-1;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y-1,3}B^z_{N_z,3} \\), \\( B^x_{1;3}B^y_{N_y,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{2;3}B^y_{N_y,3}B^z_{N_z,3}, ..., B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{N_z,3}, B^x_{N_x;3}B^y_{N_y,3}B^z_{N_z,3} \\). W ten sposób uzyskujemy bazę trójwymiarowych funkcji bazowych \\( \\{B_{i,j,k;3}(x,y,z)\\}_{i=1,...,N_x,j-1,...,N_y,k=1,...,N_z}=\\{B^x_{i;3}(x)B^y_{j;3}\\}_{i=1,...,N_x,j-1,...,N_y} =\\\\=\\{B^x_{i;3}(x)B^y_{j;3}\\}_{i=1,...,19,j-1,...,19}, \\{B^x_{i;3}(x)B^z_{j;3}\\}_{i=1,...,19,j-1,...,19,k=1,...,19 } \\) rozpiętych na prostopadłościennej siatce obliczeniowej zbudowanej z 16*16*16=4096 elementów. Możemy rozpiąć na nich aproksymację trójwymiarowej bitmapy \\( u(x,y,z) = \\sum_{i=1,j=1,k=1}^{16,16,16} u_{i,j,k} B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) B^y_{k}(z) \\) obliczając współczynniki \\( u_{i,j,k} \\) w sposób opisany w rozdziale pierwszym. W szczególności będziemy musieli wygenerować całki z iloczynów trójek funkcji B-spline \\( \\int_{\\Omega} {\\color{red}B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) B^z_{k}(z)} {\\color{blue}B^x_{l}(x)B^y_{m}(y)B^z_{n}(z)} dx dy dz \\) dla \\( i=1,..,19, j=1,...,19, k=1,...,19 \\). W przypadku funkcji bazowych rozpiętych na płaskiej siatce, całki te możemy rozbić na iloczyn trzech całek z trójek B-spline'ów w poszczególnych kierunkach. \\( \\int_{\\Omega_x} {\\color{red}B^x_{i}(x) B^y_{j}(y) B^y_{k}(z)} {\\color{blue}B^x_{l}(x)B^y_{m}(y)B^z_{n}(z)} dx dy dz= \\int_{\\Omega_y} {\\color{red}B^x_{i}(x) } {\\color{blue}B^x_{l}(x)} dx {\\color{red}B^y_{j}(y)} {\\color{blue}B^y_{m}(y)} dy {\\color{red} B^z_{k}(z)} {\\color{blue}B^z_{n}(z)} dz \\) gdzie \\( \\Omega \\) to nasza siatka prostopadłościenna, \\( \\Omega_x, \\Omega_y, \\Omega_z \\) to osie rozpięte wzdłuż brzegów siatki prostopadłościennej.", "Zauważmy, że jeśli chcemy używać innych funkcji bazowych, na przykład bazy równoważnej wielomianom Lagrange'a, cała konstrukcja pozostaje niezmieniona, jedynie definiujemy inne wektory węzłów, które dają nam inną liczbę funkcji bazowych. Na przykład w celu wygenerowania bazy równoważnej wielomianom Lagrange'a, rozpinamy wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( x \\) oraz drugi wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( y \\) i trzeci wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( z \\). Następnie generujemy funkcje bazowe zgodnie ze wzorem , i przemnażamy je przez siebie (tworzymy iloczyn tensorowy). Możemy również na przykład wygenerować wielomiany B-spline trzeciego stopnia [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( x \\), wielomiany równoważne wielomianom Lagrenge'a [0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( y \\), oraz wielomiany \"hybrydowe\" [0 0 0 0 1 2 3 4 4 4 5 6 7 8 8 8 9 10 11 12 12 12 13 14 15 16 16 16 16] wzdłuż osi \\( z \\). Następnie podobnie, generujemy funkcje bazowe zgodnie ze wzorem , i przemnażamy je przez siebie (tworzymy iloczyn tensorowy). Możliwe jest również konstruowanie siatek, w których mieszane są grupy elementów (po angielsku \"patches\") różnego rozmiaru i o różnej liczbie elementów i tworzone wektory węzłów dla każdej grupy elementów oddzielnie. Przykład pokazany został na Rys. 2." ]

[]

[ "Podczas obliczeń metodą elementów skończonych stosuje się również siatki nieregularne zbudowane z elementów trójkątnych w dwóch wymiarach lub z elementów czworościennych w trzech wymiarach. Niestety metoda tworzenia funkcji bazowych poprzez wektory węzłów nie działa na siatkach trójkątnych lub siatkach czworościennych. Przed powstaniem analizy izogeometrycznej była to najczęściej stosowana wersja metody elementów skończonych.", "Obecnie, obliczenia metodą elementów skończonych często integruje się z obiektami geometrycznymi tworzonymi w systemach CAD, i wówczas konieczność wygenerowania siatki elementów nieregularnych na obiektach geometrycznych opisanych już za pomocą funkcji B-spline i NURBS, wymaga dodatkowego narzutu pacy, oraz konieczności uzgadniania elementów na sąsiadujących obiektach geometrycznych. Na siatkach nieregularnych nie definiuję się funkcji B-spline o wyższej regularności, ze względu na fakt, iż funkcje B-spline zdefiniowane są na wielu sąsiadujących elementach prostokątnych. Na elementach trójkątnych i czworościennych definiuje się wielomiany rozpięte na elementach sąsiadujących z danym wierzchołkiem lub krawędzią. Przykładem takich funkcji są wielomiany Lagrange'a lub wielomiany hierarchiczne.", "Metoda definiowania funkcji bazowych na takich elementach jest dobrze opisana w książkach prof. Leszka Demkowicza [1][2]", "Na każdym elemencie trójkątnym zdefiniować można wielomiany pierwszego stopnia lub wielomiany wyższych stopni. Popularny sposób definiowana tych wielomianów przedstawiony jest na Rys. 1. Zaznaczony na nim trójkąt definiuję orientację trzech swoich krawędzi, co ma znaczenie przy formalnym definiowaniu funkcji bazowych i elementu skończonego.", "Mamy więc teraz następujące możliwości", "W tym celu na dowolnym elemencie trójkątnym definiujemy dwie osie układu współrzędnych \\( \\xi_1 \\) wzdłuż jednego boku trójkąta oraz \\( \\xi_2 \\) wzdłuż drugiego boku trójkąta. Definiujemy trzy funkcje tworzące tak zwany barycentryczny układ współrzędnych rozpięty na trójkącie \\( \\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2)=1-\\xi_1-\\xi_2 \\quad \\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\xi_1 \\quad \\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2)=\\xi_2 \\) osiągające maksimum równe 1 w poszczególnych wierzchołkach trójkąta, oraz 0 w pozostałych. Funkcja \\( \\lambda_1 \\) związana jest pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0) w układzie współrzędnych rozpiętym przez osie \\( \\xi_i \\textrm{ i } \\xi_2 \\).", "Funkcja \\( \\lambda_2 \\) związana jest z drugim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_1 \\). Funkcja \\( \\lambda_3 \\) związana jest z trzecim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_2 \\). Funkcje te pozwalają nam definiować nasze funkcje bazowe, które oznaczamy \\( \\psi_i \\). Zaczynamy od funkcji bazowych związanych z wierzchołkami trójkąta \\( \\psi_1(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2)=1-\\xi_1-\\xi_2 \\\\ \\psi_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\xi_1 \\\\ \\psi_3(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\xi_2 \\) Mamy więc oczywiście funkcję bazową \\( \\psi_1 \\) związaną z pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0) w układzie współrzędnych rozpiętym przez osie \\( \\xi_1 \\textrm{ i } \\xi_2 \\), funkcję bazową \\( \\psi_2 \\) związaną z drugim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_1 \\), oraz funkcje bazową \\( \\psi_3 \\) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_2 \\)", "Zbudowanie funkcji bazowych drugiego stopnia na trójkącie wymaga przemnażania przez siebie funkcji bazowych określonych na wierzchołkach. Budujemy funkcje \\( \\psi_4(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)=(1-\\xi_1-\\xi_2)\\xi_1 \\\\ \\psi_5(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2) =\\xi_1\\xi_2 \\\\ \\psi_6(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2)\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2)= \\xi_2(1-\\xi_1-\\xi_2) \\) Widać więc, że przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i drugim wierzchołkiem, \\( \\lambda_1 \\) i \\( \\lambda_2 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami.", "Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z drugim i trzecim wierzchołkiem, \\( \\lambda_2 \\) i \\( \\lambda_3 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Z kolei przemnożenie przez siebie funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i trzecim wierzchołkiem, \\( \\lambda_1 \\), i \\( \\lambda_3 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na trzeciej krawędzi trójkąta.", "Funkcji bazowa nad wnętrzem elementu definiowana jest jako iloczyn wszystkich funkcji \\( \\lambda_1 \\), \\( \\lambda_2 \\), \\( \\lambda_3 \\). \\( \\psi_7(\\xi_1,\\xi_2)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2) \\)", "Jak to wygląda w trzech wymiarach, gdzie elementy mają kształt czworościenny? W przypadku trzech wymiarów musimy rozpiąć trzy osie układu współrzędnych \\( \\xi_1, \\xi_2, \\xi_3 \\) wzdłuż trzech krawędzi czworościanu. Następnie definiujemy analogiczne cztery funkcje \\( \\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=1-\\xi_1-\\xi_2 \\xi_3 \\\\ \\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_1 \\\\ \\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_2 \\\\ \\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_3 \\) osiągające maksimum równe 1 w poszczególnych wierzchołkach trójkąta, oraz 0 w pozostałych.", "Definiujemy funkcje bazowe związane z wierzchołkami czworościanu \\( \\psi_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_4 \\\\ \\psi_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_1 \\\\ \\psi_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_2 \\\\ \\psi_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_3 \\)", "Mamy więc oczywiście funkcję bazową \\( \\psi_1 \\) związaną z pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0,0) w układzie współrzędnych rozpietym przez osie \\( \\xi_1, \\xi_2, \\xi_3 \\), funkcję bazową \\( \\psi_2 \\) związaną z drugim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_1 \\), funkcję bazową \\( \\psi_3 \\) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_2 \\), oraz funkcję bazową \\( \\psi_4 \\) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \\( \\xi_3 \\).", "Zbudowanie funkcji bazowych drugiego stopnia na czworościanie wymaga przemnażania przez siebie funkcji bazowych określonych na wierzchołkach. Budujemy funkcje krawędziowe przemnażając dwie funkcje wierzchołkowe \\( \\psi_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3)\\xi_1 \\\\ \\psi_5(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_1\\xi_2 \\\\ \\psi_6(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_2\\xi_3 \\\\ \\psi_7(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_1(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3) \\) Widać więc że przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i drugim wierzchołkiem, \\( \\lambda_1 \\) i \\( \\lambda_2 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami (stopień wielomianu to suma wszystkich wykładników potęg niezerowego jednomianu).", "Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z drugim i trzecim wierzchołkiem, \\( \\lambda_2 \\) i \\( \\lambda_3 \\) daje nam możliwość zdefiniowania funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z trzecim i czwartym wierzchołkiem, \\( \\lambda_3 \\)i \\( \\lambda_4 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Z kolei przemnożenie przez siebie funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i czwartym wierzchołkiem, \\( \\lambda_1 \\), i \\( \\lambda_5 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na trzeciej krawędzi trójkąta.", "Funkcje bazowe na ścianach elementów uzyskuje się mnożąc odpowiednie trzy funkcje bazowe z wierzchołków otaczających ścianę \\( \\psi_8(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3)\\xi_1\\xi_2 \\\\ \\psi_9(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\xi_1\\xi_2 \\xi_3 \\\\ \\psi_{10}(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3) \\xi_2\\xi_3 \\\\ \\psi_{11}(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3)\\xi_1 \\xi_3 \\) Przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, drugim i trzecim wierzchołkiem, \\( \\lambda_1 \\), \\( \\lambda_3 \\) i \\( \\lambda_3 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \\( \\psi_8 \\) - rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami.", "Podobnie przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z drugim, trzecim i czwartym wierzchołkiem, \\( \\lambda_1, \\lambda_3, \\lambda_4 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \\( \\psi_9 \\)- rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami. Przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, trzecim i czwartym wierzchołkiem, \\( \\lambda_1, \\lambda_3, \\lambda_4 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \\( \\psi_10 \\) - rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami.", "W końcu przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, drugim i czwartym wierzchołkiem, \\( \\lambda_1, \\lambda_2, \\lambda_4 \\) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \\( \\psi_11 \\)- rozpiętej na ścianie pomiedzy tymi wierzchołkami. Ostatnią funkcją bazową do zdefiniowania jest funkcja związana z wnętrzem elementu. Można ją uzyskać przemnażając przez siebie cztery funkcje bazowe wierzchołkowe \\( \\psi_{12}(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=\\lambda_1(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_2(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_3(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)\\lambda_4(\\xi_1,\\xi_2,\\xi_3)=(1-\\xi_1-\\xi_2-\\xi_3)\\xi_1 \\xi_2 \\xi_3 \\)" ]

[]

[ "W module tym prezentujemy kod w MATLABie obliczający i rysujący funkcje bazowe B-spline na podstawie zadanego wektora węzłów. Możliwym alternatywnym darmowym środowiskiem do uruchomienia kodu jest Octave.", "Po zainstalowaniu Octave otwieramy plik (pobierz kod lub zob. Załącznik 2 ). Uruchomienie kodu rozpoczyna się od procedury spline(), która ustawia przykładowy wektor węzłów knot_vector=[1,1,1,2,3,3,4,5,6,7,7,7], następnie oblicza liczbę funkcji bazowych używając procedury compute_nr_basis_functions(), oblicza stopień funkcji bazowych (jednorodny dla całego wektora węzłów) używając procedury compute_p, oraz wektor punktów x, w których policzone zostaną funkcje bazowe używając procedury mesh().", "Kod generuje wartości funkcji bazowych w tych punktach, używając procedury compute_spline() i następnie rysuje funkcje używając w pętli komendy plot. Możliwa jest modyfikacja wektora węzłów w celu generacji różnych baz." ]

[]

[ "W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy sformułowanie metody elementów skończonych, bazując na przykładzie przybliżenia bitmapy za pomocą funkcji B-spline. Nasze równanie wyglądało więc w wersji, którą nazwijmy sformułowaniem silnym w sposób następujący \\( u(x,y) \\approx BITMAP(x,y) \\) gdzie \\( u(x,y) \\) oznaczało przybliżenie bitmapy za pomocą kombinacji liniowej funkcji B-spline \\( u(x,y)=\\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\), a \\( BITMAP(x,y) \\) oznaczało mapę bitową.", "Następnie pokazaliśmy, że nasze sformułowanie silne przerobić można za pomocą mechanizmu uśredniania na postać zwaną sformułowaniem słabym lub sformułowaniem wariacyjnym: \\( \\int_{\\Omega} u(x,y) v(x,y) dxdy= \\int_{\\Omega} BITMAP(x,y) v(x,y) dxdy \\)", "W sformułowaniu słabym nasze sformułowanie silne uśredniamy w wybranych fragmentach obszaru bitmapy. W tym celu przemnażamy sformułowanie silne przez tak zwane funkcje testujące, które określają sposób liczenia średniej (na całkowujemy przykład jeśli użyjemy do tego celu funkcji B-spline, to dostaniemy rozkłady zbliżone kształtem do rozkładów Gaussa, czyli wartości ze środka obszaru będą miały największe znaczenie, a obszary coraz bardziej oddalone od punktu środkowego będą miały coraz mniejszy wpływ aż do zera) oraz całkujemy całe równanie (pamiętając o tym, że całka intuicyjnie reprezentuje próbkowanie w poszczególnych punktach z uwzględnieniem wartości i pola próbkowanego obszaru, i sumowanie wyniku).", "W module tym podamy inne przykłady zastosowań metody elementów skończonych, w których zamiast projekcji bitmapy obliczać będziemy rozwiązania różnych równań różniczkowych cząstkowych, przybliżających różne zjawiska fizyczne. W taki sam sposób jak przekształciliśmy nasze silne sformułowanie problemu projekcji bitmapy na sformułowanie słabe całkując i przemnażając przez funkcje uśredniające, tak samo zrobimy z różnymi równaniami różniczkowymi." ]

[]

[ "W module tym podam przykład zastosowania tradycyjnej metody elementów skończonych pracującej na siatkach nieregularnych do rozwiązania problemu transportu ciepła w obszarze w kształcie litery L, opisanym w module Transport ciepła za pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych. Główna różnica polega na zastosowaniu elementów trójkątnych oraz wielomianów Lagrange'a rozpiętych na elementach trójkątnych. Z punktu widzenia faktoryzacji układów równań, tradycyjna metoda elementów skończonych generuje układ równań, który posiada więcej niewiadomych niż metoda izogeometryczna. Ponadto na granicy elementów skończonych wielomiany Lagrange'a stosowane w tradycyjnej metodzie elementów skończonych są jedynie klasy \\( C^0 \\), co oznacza, że jak policzymy pochodne z rozwiązania to na krawędziach elementów pochodne te będą nieciągłe.", "Metoda izogeometryczna daje bardziej \"smukłe\" i gładkie rozwiązania, dla których układy równań mają mniej niewiadomych, i generalnie koszt faktoryzacji jest niższy, szczególnie w przypadku gdy stosujemy tak zwaną poprawioną analizę izogeometryczną (\"refined isogeometric analysis\") i rozpinamy wielomiany B-spline na grupach elementów (po angielsku taka grupa elementów nazywa się \"isogeometric patch\"), natomiast na granicy grup elementów umieszczamy \\( C^0 \\) separatory.", "Algorytm metody elementów skończonych opisać można w sposób następujący", "Zauważmy, że w algorytmie obliczamy całki po poszczególnych elementach z funkcjonału lewej i prawej strony. Innymi słowy w linii 6 liczymy \\( L(i1)+= l(\\psi^i_k)|_{E_k}=\\int_{ \\partial \\Omega_N \\cap E_k } g(x,y) v(x,y) dS \\) czyli całki po elemencie \\( E_k \\) z funkcji \\( g(x,y) v(x,y) \\) określonej na brzegu elementu \\( E_k \\) przecinającego brzeg Neumanna. Musimy więc sprawdzić 3 krawędzie elementu \\( E_k \\) oraz sprawdzić czy któraś z tych krawędzi nie leży na brzegu Neumanna, czyli czy \\( \\partial E_k \\cap \\Gamma_N \\neq \\emptyset \\) gdzie \\( \\Gamma_N = \\{(x,y):x=-1 \\cup x=1 \\cup y=1 \\cup y=-1 \\} \\). Jeśli fragment brzegu elementu leży na brzegu Neumanna, należy policzyć całkę używając jednowymiarowej kwadratury Gaussa na tym brzegu, tak jak opisano to w module \"Sformułowanie wariacyjne a całkowanie numeryczne\". Ponadto w linii 9 musimy policzyć całkę po elemencie z formy lewej strony \\( B(i1,j1)+= a(\\psi^i_k,\\psi^j_k)|_{E_k} = \\\\ \\int_{E_k} \\left(\\frac{\\partial u }{\\partial x }\\frac{\\partial v }{\\partial x } + \\frac{\\partial u }{\\partial y } \\frac{ \\partial v}{\\partial y } \\right)v(x,y) dxdy \\) Całkę tą należy policzyć, używając dwuwymiarowych kwadratur Gaussa na elemencie trójkątnym \\( E_k \\). Po wygenerowaniu układu równań i zastosowaniu solwera dokładnego dostajemy rozwiązanie przedstawione na Rys. 4." ]

[]

[ "Przyglądnijmy się teraz innej klasie problemów obliczeniowych, tak zwanemu problemowi konwekcji-dyfuzji. W problemie tym równanie różniczkowe w tak zwanej formie silnej dane jest wzorem \\( \\beta_x\\frac{\\partial u}{\\partial x }+\\beta_y\\frac{\\partial u }{\\partial y }-\\epsilon \\left(\\frac{\\partial^2 u }{\\partial x^2 }+\\frac{\\partial^2 u }{\\partial y^2 }\\right)=f(x,y) \\) Szukamy pola koncentracji, np. zanieczyszczeń \\( \\Omega\\in (x,y) \\rightarrow u(x,y) \\in R \\) na obszarze \\( \\Omega \\). Wartość \\( u(x,y) \\) oznacza koncentracje zanieczyszczeń w punkcie \\( (x,y) \\). Człon \\( \\beta_x(x,y)\\frac{\\partial u }{\\partial x }+\\beta_y(x,y)\\frac{\\partial u }{\\partial y } \\) oznacza tutaj adwekcje, czyli roznoszenie zanieczyszczeń przez wiatr. Składowe \\( (\\beta_x(x,y),\\beta_y(x,y)) \\) oznaczają składowe pola prędkości wiatru, czyli w punkcie \\( (x,y) \\) wiatr wieje w kierunku równoległym do osi \\( x \\) z prędkością \\( \\beta_x(x,y) \\) a w kierunku równoległym do osi \\( y \\) z prędkością \\( \\beta_y(x,y) \\). Z drugiej strony człon \\( \\epsilon \\left(\\frac{\\partial^2 u }{\\partial x^2 }+\\frac{\\partial^2 u }{\\partial y^2 }\\right) \\) oznacza dyfuzję, czyli roznoszenie zanieczyszczeń na zasadzie dyfuzji. Jeśli zostanę zamknięty w pokoju z palaczem, to nawet jeśli nie będzieprzeciągu, dym papierosu dotrze do mojego nosa na zasadzie mechanizmu dyfuzji. Za prędkość tej dyfuzji odpowiada współczynnik \\( \\epsilon \\). Jeśli dodatkowo w pokoju było by otwarte okna i drzwi, to dym papierosowy byłby również popychany przez wiatr wiejący z prędkością na przykład \\( (1,0) \\) (jeśli okno-drzwi leżą w płaszczyźnie równoległe do osi \\( x \\) i przeciąg wieje z prędkością 1 m/s). Prawa strona, czyli funkcja \\( f(x,y) \\) oznacza źródło zanieczyszczeń, czyli jeśli w punkcje \\( (x,y) \\) znajduje się komin który emituje zanieczyszczenie, wówczas \\( f(x,y)>0 \\), jeśli natomiast w punkcie \\( (x,y) \\) znajduje się zasysacz zanieczyszczeń (ostatnio takie zasysasze zanieczyszczeń konstrują Chińczycy w miastach) wówczas \\( f(x,y)<0 \\). Z koleji \\( f(x,y)=0 \\) oznacza że w punkcie \\( (x,y) \\) nie pojawia się ani nie ubywa zanieczyszczeń. Zauważmy że człon dyfuzji zawiera Laplasjan, a człon adwekcji, iloczyn skalarny wektora \\( \\beta \\) i wektora prędkości wiatru. Możemy więc nasz problem przepisać tak: \\( \\beta(x,y) \\cdot \\nabla u(x,y) - \\epsilon \\Delta u(x,y) = f(x,y) \\) Sformułowanie słabe uzyskuje się w sposób następujący. Całkujemy i przemnażamy nasze równanie przez wybrane funkcje \\( v(x,y) \\) zwane funkcjami testującymi których używać będziemy do uśredniania naszego równania w obszarze na którym funkcje te są określone \\( \\int_{\\Omega} \\beta(x,y) \\cdot \\nabla u(x,y) -\\int_{\\Omega} \\epsilon \\Delta u (x,y) v(x,y) dxdy = \\int_{\\Omega} f(x,y) v(x,y) dxdy \\) W podobny sposób jak miało to miejsce w przypadku problemu projekcji bitmapy, każdy wybór funkcji testującej \\( v(x,y) \\) służącej do uśredniania naszego problemu w obszarze w którym funkcja testująca jest określona, daje nam jedno równanie. Różne wybory funkcji testującej \\( v(x,y) \\) dadzą nam więc różne równania . Nasz problem który chcemy rozwiązać wygląda więc tak: Szukamy koncentracji zanieczyszczeń, funkcji \\( \\Omega \\ni (x,y) \\leftarrow u(x,y) \\in R \\) takiej że \\( \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy \\int_{\\Omega } \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial y } dxdy \\\\ -\\int_{\\Omega } \\frac{\\partial^2 u(x,y) }{\\partial x^2 } v(x,y) dxdy -\\int_{\\Omega } \\frac{\\partial^2 u(x,y) }{\\partial y^2 } v(x,y) dxdy = \\\\ \\int_{\\Omega } f(x,y) v(x,y) dxdy \\) dla dowolnych funkcji testujących \\( \\Omega \\ni (x,y) \\rightarrow v(x,y) \\in R \\) (oczywiście nasza koncentracja zanieczyszczeń oraz funkcja testująca muszą być na tyle regularne, żeby dało się policzyć całki). Oznaczamy nasz problem: Znajdź \\( \\Omega \\ni (x,y) \\rightarrow u(x,y) \\in R \\) takie że \\( a(u,v)=l(v) \\\\ a(u,v) = \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x} dxdy+ \\int_{\\Omega } \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ -\\int_{\\Omega}\\epsilon \\frac{\\partial^2 u(x,y)}{\\partial x^2 } v(x,y) dxdy -\\int_{\\Omega} \\epsilon\\frac{\\partial^2 u(x,y)}{\\partial y^2 } v(x,y) dxdy \\\\ l(v) = \\int_{\\Omega} f(x,y) v(x,y) dxdy \\) Względem członu dyfuzji stosujemy wzór na całkowanie przez części, podobnie jak dla równań transportu ciepła. Robimy to dlatego żeby zredukować stopień pochodnych operujących na polu koncentracji zanieczyszczeń. \\( a(u,v) = \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ -\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial^2 u(x,y)}{\\partial x^2 } v(x,y) dxdy -\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial^2 u(x,y)}{\\partial y^2 } v(x,y) dxdy \\\\ = \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x} \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy -\\int_{\\partial \\Omega } \\frac{\\partial u }{\\partial n } v dS \\) Zwyczajowo nasz problem adwekcji-dyfuzji, podobnie jak problem transportu ciepła, należy wyposażyć w warunki brzegowe. Dzielimy brzeg \\( \\partial \\Omega = \\Gamma_D \\cup \\Gamma_N \\) i wprowadzamy warunek brzegowy Dirichleta, na \\( \\Gamma_D \\) części brzegu \\( \\partial \\Omega \\), który mówi mi o koncentracji zanieczyszczeń na brzegu obszaru \\( u(x,y)=p(x,y) \\textrm{ dla }(x,y) \\in \\Gamma_D \\) gdzie \\( p(x,y) \\) to zadana pochodna koncentracji zanieczyszczeń w kierunku normalnym do brzegu obszaru. Ponadto wprowadzamy warunek brzegowy Neumanna, który opisuje nam prędkość zmian zanieczyszczeń na \\( \\Gamma_N \\) fragmencie brzegu \\( \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial n}=g(x,y) \\textrm{ dla }(x,y) \\in \\Gamma_N \\) gdzie \\( g(x,y) \\) to strumień stężenia zanieczyszczeń na brzegu. Równania konwekcji dyfuzji dla dużej różnicy wartości pomiędzy wektorem adwekcji a współczynnikiem dyfuzji (np. dwa rzędy wielkości lub więcej, czyli np. \\( \\beta=(1,0), \\epsilon=10^{-2} \\)) wymagają specjalnych metod stabilizacji opisanych w rozdziale piątym. Dla małych różnic wartości tradycyjna lub izogeometryczna metoda elementów skończonych działa poprawnie." ]

[]

[ "Przyglądnijmy się teraz innej klasie problemów obliczeniowych, tak zwanemu problemowi Stokes'a. Równania te opisują przepływ cieczy [1], [2]. Spróbujmy najpierw zrozumieć sens tych rówńań. W jaki sposób można opisać przepływ cieczy na obszarze dwuwymiarowym? Załóżmy że szukamy rozwiązania problemu Stokesu (problemu przepływu cieczy) na obszarze w kształcie kwadratu \\( \\Omega = [0,1]^2 \\). W każdym punkcie \\( (x,y)\\in \\Omega \\) naszego obszaru chcemy znać prędkość przepływu cieczy, która jest wektorem i każdemu punktowi przypisuje dwie współrzędne pola prędkości (prędkości w kierunku dwóch osi układu współrzędnych w tym punkcie) \\( \\Omega \\ni (x,y) \\rightarrow {\\bf u(x,y) }=(u_1(x,y),u_2(x,y))\\in R^2 \\) (gdzie pogrubione \\( {\\bf u } \\). oznacza wektor dwóch składowych) oraz pole skalarne ciśnienia, które każdemu punktowi przypisuje jedną wartość ciśnienia w tym punkcie \\( \\Omega \\ni (x,y) \\rightarrow p(x,y)\\in R \\). Mamy więc trzy niewiadome w każdym punkcie, dwie składowe prędkości oraz jedną składową ciśnienia. Potrzebujemy więc co najmniej trzech równań żeby rozwiązać nasz problem. Równanie Stokesa w ogólnej formie zapisuje się w postaci \\( - \\Delta {\\bf u } + \\nabla p = f \\). Pamiętając że pole prędkości ma dwie składowe, oraz przypominając sobie co oznacza Laplasjan oraz gradient, dostajemy dwa równania w tak zwanej formie silnej \\( -\\frac{\\partial^2 u_1(x,y)}{\\partial x^2} -\\frac{\\partial^2 u_1(x,y)}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial x } = f_1(x,y) \\) \\( -\\frac{\\partial^2 u_2(x,y)}{\\partial x^2} -\\frac{\\partial^2 u_2(x,y)}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial y } = f_2(x,y) \\) Dodatkowe trzecie równanie dostajemy zakładając pewne dodatkowe własności cieczy której przepływ chcemy obliczyć. Tradycyjnie, w równaniu Stokesa zakłada się że ciecz jest nieściśliwa, oraz że nie mamy źródeł ani ubytków cieczy w obszarze. Matematycznie zapisuje się ten warunek w postaci tak zwanej dywergencji, piszemy konkretnie że dywergencja jest zerowa \\( \\displaystyle{div} {\\bf u}=0 \\) gdzie \\( \\displaystyle{div} {\\bf u} = \\nabla \\cdot {\\bf u} = \\left( \\frac{\\partial }{\\partial x}, \\frac{\\partial }{\\partial y } \\right) \\cdot \\left(u_1,u_2 \\right) = \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial x} +\\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial y } =0 \\) Mamy więc następujący układ równań do rozwiązania \\( -\\frac{\\partial^2 u_1}{\\partial x^2} -\\frac{\\partial^2 u_1}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial p}{\\partial x } = f_1 \\) \\( -\\frac{\\partial^2 u_2}{\\partial x^2} -\\frac{\\partial^2 u_2}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial p}{\\partial y } = f_2 \\) \\( \\frac{\\partial u_1}{\\partial x} +\\frac{\\partial u_2}{\\partial y } =0 \\) Żeby rozwiązać równanie różniczkowe cząstkowe które spełnione jest na danym obszarze, musimy dodatkowo określić co dzieje się na brzegu tego obszaru. W ten sposób sprecyzujemy problem który chcemy rozwiązać. Każde inne warunki brzegowe dają nam inny problem i w konsekwencji inne rozwiązanie. W naszym przypadku wprowadzamy tak zwane warunki brzegowe Dirichleta na prędkość przepływu, które to mówią nam jakie są wartości pola prędkości na brzegu obszaru. Załóżmy że nasz obszar jest to zatoka na brzegu rzeki, która płynie jednostajnie z lewej strony na prawą, wzdłuż górnej granicy naszego obszaru \\( \\Omega \\). Zakładamy że prędkość przepływu na górnym brzegu obszaru wynosi \\( {\\bf u}(x,y) = (1,0) \\textrm{ dla } x \\in (0,1), y=1 \\). Na pozostałej częśi brzegu zakładamy że prędkość przepływu wynosi zero \\( {\\bf u}(x,y) = (0,0) \\textrm{ dla } x \\in \\{0,1\\}, y\\in (0,1) \\cup x\\in(0,1),y=0 \\). Mamy więc określone warunki brzegowe definiujące wartości pola prędkości na brzegu obszaru. Warunki takie nazywamy warunkami brzegowymi Dirichleta. W problemie Stokesa obliczamy jeszcze ciśnienie, musimy więc przyjąć jakieś założenie o ciśnieniu. Przyjmujemy warunek iż sumarycznie ciśnienie na całym obszarze jest równoważone (ciśnienie próbkowane w różnych miejscach poprzez przemnożenie przez funkcję testującą oraz odcałkowanie, daje w sumie zero) \\( \\int_{\\Omega} p(x,y) dxdy = 0 \\). Możemy teraz skonstruować tak zwane sformułowanie słabe naszego problemu, które będzie nadawać się do symulacji metodą elementów skończonych. Sformułowanie słabe uzyskuje się w sposób następujący. Całkujemy i przemnażamy nasze równanie przez wybrane funkcje zwane funkcjami testującymi których używać będziemy do uśredniania naszego równania w obszarze na którym funkcje te są określone. Główna różnica w stosunku do problemu projekcji jest taka że mamy teraz układ trzech równań, potrzebujemy więc trzech funkcji testujących, po jednej do każdego równania, oznaczamy je \\( v_1(x,y), v_2(x,y), q(x,y) \\). Przemnażamy równania i całkujemy po obszarze \\( -\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial^2 u_1(x,y)}{\\partial x^2}v_1(x,y) dxdy -\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial^2 u_1(x,y)}{\\partial y^2}v_1(x,y) dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial x }v_1(x,y) dxdy = \\int_{\\Omega} f_1(x,y) v_1(x,y) dxdy \\) \\( -\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial^2 u_2(x,y)}{\\partial x^2}v_2(x,y) dxdy -\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial^2 u_2(x,y)}{\\partial y^2}v_2(x,y) dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial y } v_2(x,y) dxdy= \\int_{\\Omega} f_2(x,y) v_2(x,y) dxdy \\) \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial x}q(x,y) +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial y }q(x,y) dxdy =0 \\) W podobny sposób jak miało to miejsce w przypadku problemu projekcji bitmapy, każdy wybór funkcji testującej \\( v(x,y) \\) służącej do uśredniania naszego problemu w obszarze w którym funkcja testująca jest określona, daje nam jedno równanie. Różne wybory funkcji testującej \\( v(x,y) : v_1(x,y),v_2(x,y),q(x,y) \\) dadzą nam więc różne równania \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial n} v_1(x,y) dS + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial x }v_1(x,y) dxdy = \\int_{\\Omega} f_1(x,y) v_1(x,y) dxdy \\) \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial y} dxdy + \\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial n} v_2(x,y) dS + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial y }v_1(x,y) dxdy = \\int_{\\Omega} f_2(x,y) v_2(x,y) dxdy \\) \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial x}q(x,y) +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial y }q(x,y) dxdy =0 \\) gdzie po całkowaniu przez części pojawiają się nowe człony - całki brzegowe liczone w kierunku prostopadłym do brzegu. W naszym problemie Stokesa związanym z obliczaniem przepływu w zatoce sąsiadującej z rzeką zakłada się że siły \\( f_1(x,y)=f_2(x,y)=0 \\). W warunku brzegowym mamy założone że prędkość na górnej krawędzi wynosi \\( {\\bf u}(x,y) = (1,0) \\textrm{ dla } x \\in (0,1), y=1 \\). Innymi słowy wprowadzamy tutaj warunek brzegowy Dirichleta na prędkość przepływu. Ze sformułowaniem tym wiąże się jeden techniczny problem. Otóż pole przepływu na górnym brzegu jest niezerowe (skierowane w prawo) natomiast na bocznych brzegach (na lewym i prawym brzegu) pole przepływu przyjmujemy równe zero. Mamy więc przeskok z zera do jeden na pierwszej współrzędnej pola prędkości. Przeskok taki po pierwsze nie jest fizyczny (nie może być tak że woda w jednym punkcie nie płynie a zaraz obok płynie całkiem szybko, przejście z \"nie płynięcia\" do \"płynięcia\" odbywa się w gładki regularny sposób. Po drugie, jeśli chcielibyśmy rozwiązanie numeryczne przybliżać za pomocą metody elementów skończonych, rozwiązanie takie jest przedstawiane jako kombinacja liniowa wielomianów ciągłych. Nie ma takich wielomianów które przeskakują z zera do jeden. Postawienie problemu w taki sposób spowoduje powstanie osobliwości numerycznych w lewym górnym i prawym górnym brzegu obszaru. Żeby tego uniknąć, w tym przypadku wykonuje się następujący trick. Przyjmuje się \\( g(x,y) = 1 \\textrm{ dla } x \\in (\\epsilon, 1-\\epsilon), y=1 \\) \\( g(x,y) = \\frac{x}{\\epsilon} \\textrm{ dla } x \\in (0,\\epsilon), y=1 \\) \\( g(x,y) = \\frac{(1-x)}{\\epsilon} \\textrm{ dla } x \\in (1-\\epsilon, 1), y=1 \\) \\( {\\bf u}(x,y)=(g(x,y),0) \\textrm{ dla } x \\in (0,1), y=1 \\) Wówczas faktycznie w rogach obszaru mamy zerową prędkość i nie ma osobliwości numerycznych w obliczeniach metodą elementów skończonych. Dokonujemy następnie tak zwanego \"przesunięcia\" naszego problemu. Poszukiwane rozwiązanie dzielimy na dwie składowe \\( {\\bf u}(x,y) = (h(x,y)+w(x,y),u_2(x,y)) \\) gdzie \\( h(x,y)=g(x,y)(1-y) \\) jest tak zwanym rozszerzeniem naszego niezerowego warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar \\( \\Omega \\). Naszego przesunięcia dokonujemy więc tak naprawdę jedynie względem pierwszej składowej pola prędkości (ponieważ druga składowa jest równa zero). Wówczas pierwsze równanie zmienia się \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial (h(x,y)+w(x,y))}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial (h(x,y)+w(x,y))}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial (h(x,y)+w(x,y))}{\\partial n} v_1(x,y) dS + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial x }v_1(x,y) dxdy = 0 \\) Człon z zadaną funkcją \\( h(x,y) \\) jest znany i możemy przenieść go na prawą stronę \\( \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial w(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial w(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial w(x,y)}{\\partial n} v_1(x,y) dS + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial p(x,y)}{\\partial x }v_1(x,y) dxdy = \\\\ = \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial n } v_1(x,y) dS \\) Wszystkie człony znajdujące się po prawej stronie potrafimy obliczyć. Z koleji niewiadomą \\( w(x,y) \\) wprowadzoną na lewej stronie możemy z powrotem oznaczyć jako \\( u_1(x,y) \\) musimy jednak pamiętać po rozwiązaniu naszego problemu Stokesa że należy do niej później dodać z powrotem człon z rozszerzeniem warunku brzegowego. Wprowadzamy oznaczenia na naszą lewą i prawą stronę \\( a({\\bf u}, {\\bf v}) =\\int_{\\Omega} \\nabla {\\bf u} : \\nabla {\\bf v}dxdy \\) gdzie \\( : \\) oznacza sumowanie wszystkich składowych \\( =\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1}{\\partial y}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial x}\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial y }\\frac{\\partial v_2}{\\partial y }dxdy \\) \\( b(p, {\\bf v}) = \\int_{\\Omega} p div {\\bf v} dxdy \\) \\( = \\int_{\\Omega}p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x} dxdy+ \\int_{\\Omega} p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } dxdy \\) \\( f({\\bf v} )= \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial n } v_1(x,y) dS \\) Nasz problem można teraz zapisać w następującej postaci \\( a({\\bf u},{\\bf v}) + b(p,{\\bf v }) = f({\\bf v}) \\quad \\forall {\\bf v} \\) \\( b(q,{\\bf u } ) = 0 \\quad \\forall q \\) Zauważmy że zastąpiliśmy układ trzech równań układem dwóch równań. Nasze dwa równania są \"zakodowane\" w pierwszym równaniu. Teraz, możemy przyjąć funkcje testujące \\( {\\bf v }=(v_1,0) \\) żeby dostać pierwsze równanie, oraz \\( {\\bf v }=(0,v_2) \\) żeby dostać drugie równanie. Mając w ten sposób opisany nasz problem, możemy teraz przyjąć że nasze poszukiwane rozwiązanie \\( ({\\bf u },p)= (u_1(x,y),u_2(x,y),p(x,y)) \\) ma człony prędkości równe zero na brzegu \\( u_1(x,y)=u_2(x,y)=0\\textrm{ dla }(x,y)\\textrm{ na }\\partial \\Omega \\). Podobnie możemy przyjąć że nasze funkcje testujące, są również równe zero na brzegu \\( v_1(x,y)=v_2(x,y)=0\\textrm{ dla }(x,y)\\textrm{ na }\\partial \\Omega \\) Określamy teraz funkcje używane do aproksymacji rozwiązania oraz do testowania. Precyzujemy jak wyglądać będzie nasza grupa elementów, oraz nasze funkcje bazowe B-spline rozpięte na elementach, podając wektor węzłów wzdluż osi \\( x \\) oraz wektor węzłów wzdłuż osi \\( y \\). Odsyłamy tutaj do rozdziału trzeciego w którym opisany jest sposób definiowania funkcji bazowych za pomocą wektorów węzłów i wielomianów B-spline. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4]. Uzyskaliśmy dwie bazy jednowymiarowych funkcji B-spline \\( \\{ B_{i,2}(x) \\}_{i=1,...,6 } \\) oraz \\( \\{B_{j,2}(y)\\}_{j=1,...,6 } \\). Następnie utworzymy z nich iloczyny tensorowe \\( B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6 \\). Zauważmy że nasz obszar \\( \\Omega \\) rozpięty jest na kwadracie \\( [0,1]^2 \\), podobnie jak nasze 6*6=36 funkcji bazowych co wynika z definicji wektora węzłów [0 0 0 1 2 2 3 4 4 4]. Przyjmujemy teraz naszą aproksymację pól prędkości \\( u_1(x,y) \\approx \\sum_{i,j=1,...,6} u_1^{i,j } B_{i,2}(x)B_{j,2}(y) \\) \\( u_2(x,y) \\approx \\sum_{i,j=1,...,6} u_2^{i,j } B_{i,2}(x)B_{j,2}(y) \\) oraz ciśnienia \\( p(x,y) \\approx \\sum_{i,j=1,...,6} p^{i,j } B_{i,2}(x)B_{j,2}(y) \\) Do testowania używamy również kombinacji liniowych funkcji B-spline \\( v_1(x,y) \\approx \\sum_{k,l=1,...,6} v_1^{k,l } B_{k,2}(x)B_{l,2}(y) \\) \\( v_2(x,y) \\approx \\sum_{k,l=1,...,6} v_2^{k,l } B_{k,2}(x)B_{l,2}(y) \\) oraz ciśnienia \\( q(x,y) \\approx \\sum_{k,l=1,...,6} q^{k,l } B_{k,2}(x)B_{l,2}(y) \\) Przyjmujemy teraz najpierw funkcje bazowe \\( ({\\bf v },q) = (v_1,0,0)=(B_{k,2}(x)B_{l,2}(y),0,0) \\textrm{ dla }k=l,...,6 \\) oraz wstawiamy do równania . Dostajemy macierze \\( \tA1_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6} \\int_{\\Omega} \\frac{B_{i,2}(x)}{\\partial x}B_{j,2}(y)\\frac{\\partial B_{k,2}(x) }{\\partial x}B_{l,2 }(y)dxdy + \\int_{\\Omega} B_{i,2}(x)\\frac{\\partial B_{j,2}(y)}{\\partial y}B_{k,2}(x)\\frac{\\partial B_{l,2}(y)}{\\partial y }dxdy \\) \\( \tB1_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6} = \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial B_{i,2}(x) }{\\partial x } B_{j,2}(y) B_{k,2}(x)B_{l,2}(y) d,6) \\) Następnie przyjmujemy funkcje bazowe \\( ({\\bf v },q) = (0,v_1,0)=(0,B_{k,2}(x)B_{l,2}(y),0) \\textrm{ dla }k=l,...,6 \\) oraz wstawiamy do równania . Dostajemy macierze \\( \tA2_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6}=\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial B_{i,2}(x)}{\\partial x} B_{j,2}(y)\\frac{\\partial B_{k,2}(x)}{\\partial x}B_{l,2}(y)dxdy + \\int_{\\Omega} B_{i,2}(x)\\frac{\\partial B_{j,2}(y)}{\\partial y }B_{k,2}(y)\\frac{\\partial B_{l,2}(x)}{\\partial y }dxdy \\) \\( \tB2_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6} =\\int_{\\Omega} B_{i,2}(x)B_{j,2}(y) B_{k,2}(x)\\frac{\\partial B_{l,2}(y)}{\\partial y } dxdy \\) Dodatkowo przyjmując funkcje bazowe \\( ({\\bf v },q) = (0,0,q)=(0,0,B_{k,2}(x)B_{l,2}(y)) \\textrm{ dla }k=l,...,6 \\) oraz wstawiamy do równania . Dostajemy macierze \\( Q1_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6} =\\int_{\\Omega } \\frac{\\partial B_{i,2}(x)}{\\partial x} B_{j,2}(y) B_{k,2}(x) B_{l,2}(y) dxdy \\) \\( Q2_{i,j=1,...,6;k,l=1,...,6} =\\int_{\\Omega} B_{i,2}(x)\\frac{\\partial B_{j,2}(y)}{\\partial y}B_{k,2 }(x)B_{l,2 }(y) dxdy \\) oraz prawą stronę \\( F1_{k,l=1,...,6}= \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial B_{k,2}(x)}{\\partial x } B_{l,2}(y)dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial n } B_{k,2}(x)B_{l,2}(y)dS \\) \\( F2_{k,l=1,...,6}= \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial y}B_{k,2}(x)\\frac{\\partial B_{l,2}(y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial n } B_{k,2}(x)B_{l,2}(y)dS \\) Nasz układ równań wygląda następująco \\( \\left( \\begin{matrix} A1 & 0 & B1 \\\\ 0 & A2 & B2 \\\\ Q1 & Q2 & 0 \\end{matrix} \\right) \\left( \\begin{matrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ p \\end{matrix} \\right) =\\left( \\begin{matrix} F1 \\\\ F2 \\\\ 0 \\end{matrix} \\right) \\) Dokładne rozwiązanie równania Stokesa wymaga dodatkowej stabilizacji równania. W kolejnych modułach omówione zostaną dwie metody stabilizacji, jedna oparta na metodzie minimalizacji reziduum, druga oparta na metodzie DG (Discontinuous Galerkin)." ]

[]

[ "W module tym przedstawimy sformułowanie silne i słabe dla równań liniowej teorii sprężystości, bardzo powszechnie używanych podczas obliczeń za pomocą metody elementów skończonych naprężeń w różnych konstrukcjach. Rozważmy dla przykładu trójwymiarową platformę podpartą pięcioma podporami stojącą na płaszczyźnie OXY, przedstawioną na rysunku 1. Platforma ta posiada swój ciężar i pojawiają się na niej pewne naprężenia wynikające z oddziaływania pola grawitacyjnego ziemi. Dla wygodniejszego sformułowania równań różniczkowych cząstkowych opisujących przemieszczenie platformy, będziemy teraz używać oznaczenia \\( (x_1,x_2,x_3) \\) w dowolnym punkcie platformy. Poszukiwanym rozwiązaniem będzie tym razem pole wektorowe przemieszczeń \\( \\Omega \\ni (x_1,x_2,x_3) \\rightarrow (u_1(x_1,x_2,x_3),u_2(x_1,x_2,x_3),u_3(x_1,x_2,x_3)) \\) Oznacza to w szczególnosci że przemieszczenia punktów platformy pod jej ciężarem, w kierunku osi \\( z \\), wynoszą \\( u_3(x_1,x_2,x_3) \\) w punkcie \\( (x_1,x_2,x_3) \\). Oczywiście pole grawitacyjne działa jedynie w kierunku osi Z, ale punkty platformy są ze sobą \"sklejone\" i jeśli punkt platformy przemieszcza się w kierunku osi Z pod wpływem ciężaru platformy, często związane jest to z przesunięciem punktu w kierunkach Y oraz Z, co opisują składowe \\( u_1(x_1,x_2,x_3) \\) oraz \\( u_2(x_1,x_2,x_3) \\). Oczywiście przewidzenie jak będą odkształcać się te punkty nie jest rzeczą prostą, i w szczególności wymaga rozwiązania skomplikowanych równań liniowej teorii sprężystości. Dla uproszczenia zapisu oraz ze względu na stosowanie tradycyjnego zapisu wprowadzamy oznaczenie na pochodne cząstkowe poszczególnych współrzędnych wektora przemieszczeń \\( u_{i,j}=\\frac{\\partial u_i}{\\partial x_j } \\) oznacza to pochodną w kierunku \\( j \\)-tym ze składowej pola wektorowego \\( i \\)-tego. W celu wyprowadzenia równań liniowej teorii sprężystości wprowadza się tak zwany tensor prędkości odkształceń \\( \\epsilon_{ij}=\\frac{\\frac{\\partial u_i}{\\partial x_j}+\\frac{\\partial u_j}{\\partial x_i}}{2}=\\frac{u_{i,j}+u_{j,i } }{2 } \\) oraz tensor naprężeń \\( \\sigma_{ij}=c_{ijkl}\\epsilon_{kl} \\) Używamy tutaj tak zwanej konwencji sumacyjnej Einsteina, w której zduplikowanie indeksów we wzorze oznacza iż sumujemy po tych indeksach czyli na przykład w równaniu spreżystości \\( \\sigma_{ij}=c_{ijkl}\\epsilon_{kl } \\) powtórzenie indeksów \\( k,l \\) oznacza sumowanie po tych indeksach \\( \\sigma_{ij}=\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{ijkl}\\epsilon_{kl } \\). Mamy tutaj czterowymiarową macierz współczynników \\( c_{ijkl},i=1,...,3;j=1,...,3,k=1,...,3;l=1,..,3 \\). Określenie tych 3*3*3*3 liczb definiuje mi jednoznacznie materiał z którego zbudowana jest analizowana przeze mnie konstrukcja (w naszym przykładzie platforma). Większość tych współczynników na szczęście będzie równa zero. Tak zwane sformułowanie silne problemu liniowej teorii sprężystości formułuje się następująco: \\( \\sigma_{ij,j}+f_i=0 \\) dla i=1,2,3, w obszarze \\( \\Omega \\). Wyraz \\( f_i \\) oznacza 3 współrzędne wektora siły działającej na naszą konstrukcję, na przykłąd będzie to siła grawitacji \\( f=(g_1(x_1,x_2,x_3),g_2(x_1,x_2,x_3),g_3(x_1,x_2,x_3)) \\) Wprowadzamy tutaj następującą konwencję. Indeksy powtórzone po przecinku \\( ij,j \\) oznaczają obliczanie pochodnej pochodne cząstkowej po indeksowanej zmiennej. Zapis \\( \\sigma_{ij,j}=\\frac{\\partial \\sigma_{ij} }{\\partial x_j } \\) oznacza więc sumę pochodnych cząstkowych z tensora naprężeń. Ponadto mamy defacto trzy równania (co ma sens ponieważ szukamy trzech współrzędnych wektora przemieszczeń). \\( \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial \\sigma_{1j}}{\\partial x_j}+f_1=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial \\sigma_{2j}}{\\partial x_j }+f_2=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial \\sigma_{3j}}{\\partial x_j }+f_3=0 \\) czyli uwzględniając defincje tensora naprężeń \\( \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{1jkl}\\epsilon_{kl})}{\\partial x_j}+f_1=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{2jkl}\\epsilon_{kl})}{\\partial x_j}+f_2=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{3jkl}\\epsilon_{kl})}{\\partial x_j }+f_3=0 \\) czyli uwzględniając definicje tensora prędkości odkształceń \\( \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{1jkl}(\\frac{u_{k,l}+u_{l,k}}{2}))}{\\partial x_j }+f_1=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{2jkl}(\\frac{u_{k,l}+u_{l,k}}{2}))}{\\partial x_j }+f_2=0 \\\\ \\sum_{j=1,2,3}\\frac{\\partial (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{3jkl}\\frac{u_{k,l}+u_{l,k}}{2})}{\\partial x_j }+f_3=0 \\) Nasze niewiadome tutaj to pole wektorowe przemieszczeń: Szukamy \\( \\Omega \\ni (x_1,x_2,x_3) \\rightarrow (u_1(x_1,x_2,x_3),u_2(x_1,x_2,x_3),u_3(x_1,x_2,x_3)) \\) Żeby rozwiązać równania liniowej teorii sprężystości na danej konstrukcji, konieczne jest zdefiniowanie warunków brzegowych, czyli określenie tego co się dzieje na brzegu konstrukcji. Na części brzegu możemy wprowadzić warunek Dirichleta, na przykład określając że podstawa konstrukcji jest przymocowana do podłoża, i dlatego przemieszczenie podstawy konstrukcji jest zerowe \\( u_1(x_1,x_2,x_3)=0, u_2(x_1,x_2,x_3)=0, u_3(x_1,x_2,x_3)=0, \\textrm{ dla } (x_1,x_2,x_3)\\in \\Gamma_D \\) Możliwe jest również określenie warunku brzegowego Neumanna \\( \\sigma_{ij}n_j = h_i \\textrm{ dla } (x_1,x_2,x_3)\\in \\Gamma_N \\) gdzie \\( n(x_1,x_2,x_3)=(n_1(x_1,x_2,x_3),n_2(x_1,x_2,x_3),n_3(x_1,x_2,x_3)) \\) oznacza wersor prostopadły do brzegu w punkcie \\( (x_1,x_2,x_3) \\), oraz \\( h=(h_1(x_1,x_2,x_3),h_2(x_1,x_2,x_3),h_3(x_1,x_2,x_3)) \\) oznacza zadaną funkcję na brzegu Neumanna \\( \\Gamma_N \\), czyli uwzględniając konwencje sumacyjną Einsteina \\( \\sigma_{11}n_2+\\sigma_{12}n_2+\\sigma_{13}n_3 = h_1 \\\\ \\sigma_{21}n_2+\\sigma_{22}n_2+\\sigma_{23}n_3 = h_2 \\\\ \\sigma_{31}n_2+\\sigma_{32}n_2+\\sigma_{33}n_3 = h_3 \\) czyli uwzględniając definicje tensora naprężeń \\( (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{11kl}\\epsilon_{kl})n_2+ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{12kl}\\epsilon_{kl})n_2+ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{13kl}\\epsilon_{kl})n_3 = h_1 \\\\ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{21kl}\\epsilon_{kl})n_2+(\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{22kl}\\epsilon_{kl})n_2+ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{23kl}\\epsilon_{kl})n_3 = h_2 \\\\ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{31kl}\\epsilon_{kl})n_2+ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{32kl}\\epsilon_{kl})n_2+ (\\sum_{k=1,...,3;l=1,...,3} c_{33kl}\\epsilon_{kl })n_3 = h_3 \\). Warunek Neumanna określa siły w równaniach teorii sprężystości Sformułowanie słabe (zwane też wariacyjnym) które nadawać się będzie do implementacji za pomocą metody elementów skończonych podajemy na podstawie książki [1] Sformułowanie słabe (wariacyjne) podane poniżej obowiązuje dla pewnej szerokiej klasy materiałów dla której własności mechaniczne da się opisać za pomocą dwóch parametrów, modułu Younga \\( E \\) oraz współczynnika Poissona \\( \\mu \\). Dla zadanego pola sił \\( \\Omega \\ni (x_1,x_2,x_3) \\rightarrow f=(g_1(x_1,x_2,x_3),g_2(x_1,x_2,x_3),g_3(x_1,x_2,x_3)) \\) oraz zadanej funkcji warunku brzegowego Neumanna \\( \\Omega \\ni (x_1,x_2,x_3) \\rightarrow h=(h_1(x_1,x_2,x_3),h_2(x_1,x_2,x_3),h_3(x_1,x_2,x_3)) \\) oraz zadanego tensora (macierzy czterowymiarowej) współczynników materiałowych \\( c_{ijkl} \\) obliczyć pole przemieszczeń materiału konstrukcji \\( \\Omega \\ni (x_1,x_2,x_3) \\rightarrow (u_1(x_1,x_2,x_3),u_2(x_1,x_2,x_3),u_3(x_1,x_2,x_3)) \\) spełniające równania liniowej sprężystości \\( a(w,u)=(w,f)+(w,h)_{\\Gamma} \\) dla dowolnych funkcji testujących \\( w=(w_1(x_1,x_2,x_3),w_2(x_1,x_2,x_3),w_3(x_1,x_2,x_3)) \\), gdzie \\( (w,f)=\\int_{\\Omega}w_1(x_1,x_2,x_3)f_1(x_1,x_2,x_3)dx+\\int_{\\Omega}w_2(x_1,x_2,x_3)f_2(x_1,x_2,x_3)dy+\\int_{\\Omega}w_3(x_1,x_2,x_3)f_3(x_1,x_2,x_3)dz \\\\ (w,h)=\\int_{\\Gamma}w_1(x_1,x_2,x_3)h_1(x_1,x_2,x_3)dS+\\int_{\\Gamma}w_2(x_1,x_2,x_3)h_2(x_1,x_2,x_3)dS+\\int_{\\Gamma}w_3(x_1,x_2,x_3)f_3(x_1,x_2,x_3)dS \\\\a(w,u)=\\int_{\\Omega}\\epsilon(w)^T D \\epsilon(u) dxdydz \\), gdzie \\( \\epsilon(u) = \\begin{bmatrix} u_{1,1} \\\\ u_{2,2} \\\\ u_{3,3} \\\\ u_{2,3}+u_{3,2} \\\\ u_{1,3}+u_{3,1} \\\\ u_{1,2}+u_{2,1} \\\\ \\end{bmatrix}, \\epsilon(w) = \\begin{bmatrix} w_{1,1} \\\\ w_{2,2} \\\\ w_{3,3} \\\\ w_{2,3}+w_{3,2} \\\\ w_{1,3}+w_{3,1} \\\\ w_{1,2}+w_{2,1} \\\\ \\end{bmatrix} \\) natomiast \\( D = \\frac{E}{(1+2\\mu)(1-2\\mu) } \\begin{bmatrix} 1-\\mu & \\mu & \\mu & 0 & 0 & 0 \\\\ \\mu & 1-\\mu & \\mu & 0 & 0 & 0 \\\\ \\mu & \\mu & 1-\\mu & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0& \\frac{1-2\\mu}{2} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0& 0 & \\frac{1-2\\mu}{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0& \\frac{1-2\\mu}{2} \\\\ \\end{bmatrix} \\) wyprowadzona jest przy założeniu że ogólny tensor własności materiału \\( c_{ijkl} \\) da się opisać za pomocą dwóch parametrów modułu Younga \\( E \\) oraz współczynnika Poissona \\( \\mu \\). Podane sformułowanie wariacyjne jest stosunkowo wygodne do implementacji. Można w tym celu zastosować izogeometryczną metodę elementów skończonych, lub klasyczną metodę elementów skończonych. Rozważmy następujący przykład." ]

[]

[ "Dla wszystkich wymienionych powyżej sformułowań wariacyjnych w celu rozwiązania ich metodą elemntów skończonych konieczne jest wygenerowanie układu równań liniowych. W szczególności konieczne jest wygenerowanie całek do układu równań liniowych. Pamiętając, że wiersze i kolumny w globalnym układzie równań odpowiadają poszczególnym funkcjom bazowym, w naszym przykładzie odpowiadają one funkcjom B-spline, generujemy następujący układ równań \\( \\begin{bmatrix} & \\color{red}{B^x_{1,p} B^y_{1,p}} & \\cdots &\\color{red}{ B^x_{N_x,p}B^y_{1,p}} \\\\ \\color{blue}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}}& a(\\color{blue}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}}, \\color{red}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}}) & \\cdots & a(\\color{blue}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}},\\color{red}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}) \\\\ \\color{blue}{ B^x_{2,p}B^y_{1,p}} & a(\\color{blue}{ B^x_{2,p}B^y_{1,p}},\\color{red}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}}) & \\cdots & a(\\color{blue}{ B^x_{2,p}B^y_{1,p}},\\color{red}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}) \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\color{blue}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p} } & a(\\color{blue}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}, \\color{red}{ B^x_{1,p}B^y_{1,p}}) & \\cdots & a(\\color{blue}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}},\\color{red}{ B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}) \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1,1} \\\\ u_{2,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{N_x,N_y } \\\\ \\end{bmatrix} \\) \\( = \\begin{bmatrix} l(B^x_1(x)*B^y_1(y)) \\\\ l(B^x_1(x)*B^y_2(y)) \\\\ \\vdots \\\\ l(B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y)) \\\\ \\end{bmatrix} \\) Funkcje B-spline które nie mają wspólnej dziedziny (które znajdują się daleko od siebie na siatce) generują zerowe całki, czyli zerowa wartości macierzy. Podczas generacji macierzy nie należy więc iterować po wierszach i kolumnach macierzy, za to należy iterować po elementach siatki obliczeniowej, oraz po funkcjach bazowych które są określone na danym elemencie. Wynikowe fragmenty całek należy dopisywać do globalnej macierzy. Wówczas to nasza generacja całek omijać będzie wszystkie niezerowe wyrazy macierzy. Algorytm zawiera sześć zagnieżdżonych pętli: 1 for \\( nex=1,N_x \\) (pętla po elementach wzdłuż osi \\( x \\)) 2 for \\( ney=1,N_y \\) (pętla po elementach wzdłuż osi \\( y \\)) 3 for \\( ibx1=1,p+1 \\) (pętla po \\( p+1 \\) B-spline elementu wzdłuż osi \\( x \\)) 4 for \\( iby1=1,p+1 \\) ( pętla po \\( p+1 \\) B-spline elementu wzdłuż osi \\( y \\)) 5 \\( i = f(nex,ibx1) \\) ( oblicz indeks B-spline wzdłuż osi \\( x \\)) 6 \\( j = f(ney,iby1) \\) ( oblicz indeks B-spline wzdłuż osi \\( y \\)) 7 \\( irow = g(nex,ibx1,ney,iby1) \\)(globalny indeks 2D B-spline'a) 8 \\( l(irow)+= l(B^x_{i,p}B^y_{j,p}) \\) 9 for \\( ibx2=1,p+1 \\) ( pętla po \\( p+1 \\) B-spline elementu wzdłuż osi \\( x \\)) 10 for \\( iby2=1,p+1 \\) (pętla po \\( p+1 \\) B-spline elementu wzdłuż osi \\( y \\)) 11 \\( k = f(nex,ibx2) \\) (oblicz indeks B-spline wzdłuż osi \\( x \\)) 12 \\( l = f(ney,iby2) \\) (oblicz indeks B-spline wzdłuż osi \\( y \\)) 13 \\( irow = g(nex,ibx2,ney,iby2) \\) (globalny indeks 2D B-spline'a) 14 \\( M(irow,icol)+= a(B^x_{i,p}B^y_{j,p},B^x_{k,p}B^y_{l,p}) \\) Funkcje \\( f(nex,ibx) \\) obliczają indeks funkcji \\( ibx \\)-tej B-spline rozpiętej na elemencie wzdłuż osi \\( x \\) numer \\( nex \\). Dla jednorodnych B-spline'ów stopnia \\( p \\) indeks ten wynosi \\( nex+ibx-1 \\). Funkcje \\( g(nex,ibx,ney,iby) \\) obliczają globalny indeks dwuwymiarowego B-spline'a. W przypadku jednorodnych funkcji B-spline wzór ten wynosi \\( irow = i*j \\) gdzie \\( i=f(nex,ibx) \\) oraz \\( j=f(ney,iby) \\). Z koleji obliczanie całek realizowane jest w ogólnym przypadku przez całkowanie numeryczne z wykorzystaniem punktów i wag kwadratury, na przykład kwadratury Gaussa. Całkę jednowymiarowaz wielomianu na przedziale da się obliczyć dokładnie jako suma wartości tego wielomianu w wybranych punktach kwadrtury rozpostartych na przedziale, przemnożonych przez odpowiednie wagi. Wyprowadzenie i teoria kwadratur numerycznych wykracza poza zakres tego podręcznika. Nazwa kwadratur Gaussa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka który wynalazł tą metodę całkowania w 1826 roku. [1] Wybór kwadratury zależy od rodzaju funkcji bazowych, i możliwa jest redukcja liczby punktów kwadratury stosując specjalne kwadratury dedykowane poszczególnym funkcjom bazowym. W ogólnym przypadku na pojedynczym elemencie funkcje bazowe są wielomianami i stosowanie kwadratur Gaussa jest uzasadnione. Poniższy przykład ilustruje tworzenia punktów i wag kwadratury Gaussa na przedziale \\( [0,1] \\) gwarantującej dokładne policzenie całki z funkcji dwuwymiarowych B-spline stopnia nie większego niż 10. m_points[1]= (1.0-0.973906528517171720077964)*0.5; m_points[2]= (1.0-0.8650633666889845107320967)*0.5; m_points[3]= (1.0-0.6794095682990244062343274)*0.5; m_points[4]= (1.0-0.4333953941292471907992659)*0.5; m_points[5]= (1.0-0.1488743389816312108848260)*0.5; m_points[6]= (1.0+0.1488743389816312108848260)*0.5; m_points[7]= (1.0+0.4333953941292471907992659)*0.5; m_points[8]= (1.0+0.6794095682990244062343274)*0.5; m_points[9]= (1.0+0.8650633666889845107320967)*0.5; m_points[10]= (1.0+0.9739065285171717200779640)*0.5; m_weights[1]=0.0666713443086881375935688*0.5; m_weights[2]=0.1494513491505805931457763*0.5; m_weights[3]=0.2190863625159820439955349*0.5; m_weights[4]=0.2692667193099963550912269*0.5; m_weights[5]=0.2955242247147528701738930*0.5; m_weights[6]=0.2955242247147528701738930*0.5; m_weights[7]=0.2692667193099963550912269*0.5; m_weights[8]=0.2190863625159820439955349*0.5; m_weights[9]=0.1494513491505805931457763*0.5; m_weights[10]=0.0666713443086881375935688*0.5; Kwadratury oryginalnie tablicowane są dla przedziału \\( [-1,1] \\) tak więc tutaj przeskalowujemy je do przedziału \\( [0,1] \\) dodając 1 do współrzędnej punktów oraz dzieląc współrzędne punktow przez 2 (czyli mnożąc przez 0.5). Wówczas całkowanie numeryczne wykonywane w linii 14 (i kolejnych) w powżzszym kodzie wymaga dwóch dodatkowych pętli po punktach i wagach kwadratury Gassua i wygląda ono następująco: 15 for \\( m=1,p/2+1 \\) (pętla po punktach kwadratury Gaussa wzdłuż osi \\( x \\) dla B-spline'ów stopnia \\( p \\)) 16 for \\( n=1,p/2+1 \\) (pętla po punktach kwadratury Gaussa wzdłuż osi \\( y \\) dla B-spline'ów stopnia \\( p \\)) 17 \\( M(irow,icol)+=\\\\ a(B^x_{i,p}(m\\_points[m])B^y_{j,p}(m\\_points[n]), B^x_{k,p}(m\\_points[m])B^y_{l,p}(m\\_points[n])) \\\\ *m\\_weights[m]*m\\_weights[n]*area \\) W szczególności dla naszego przykładowego problemu transportu ciepła na obszarze w ksztalcie litery L mamy \\( M(u,v) = \\left(\\frac{\\partial B^x_{i,p} }{\\partial x }(m\\_points[m])\\frac{\\partial B^x_{k,p} }{\\partial x }(m\\_points[m])\\right)*m\\_weights[m] \\\\ + \\left(\\frac{\\partial B^y_{j,p} }{\\partial y }(m\\_points[n]) \\frac{\\partial B^y_{l,p} }{\\partial y }(m\\_points[n]) \\right)*m\\_weights[n] \\) W powyższym wzorze obliczamy wartości pochodnych z jednowymiarowych funkcji B-spline w punktach kwadratury Gaussa \\( (m\\_points[m],m\\_points[n]) \\) przemnożone przez wagi kwadratury Gaussa \\( *m\\_weights[m]*m\\_weights[n] \\)." ]

[]

[ "Poniżej przedstawiam kod MATLABa obliczający problem transportu ciepła na obszarze w kształcie litery L.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 3.", "Kod może zostać uruchomiony w darmowym środowisku Octave. Kod uuchamia się otwierając go w Octave oraz wpisując komendę \\( heat' \\) Po chwili obliczeń kod otwiera dodatkowe okienko i rysuje w nim rozwiązanie. W linii 641 \\( knot = [0, 0, 0, 1, 2, 2, 2]; \\) znajduje się zapisany wektor węzłów [0 0 0 1 2 2 2] który używany będzie na każdym z trzech grup elementów (patchów) stosowanych do rozwiązania problemu transportu ciepła.", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Poniżej przedstawiam kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona. Przypomnijmy najpierw problem adwekcji-dyfuzji, problem modelowy Erikksona-Johnsona (opisany na przykład w dokumencie [1]) zdefiniowany na obszarze kwadratowym \\( \\Omega = [0,1]^2 \\) w następujący sposób: Szukamy funkcji \\( u \\) takiej że \\( a(u,v)=l(v) \\forall v \\) gdzie \\( a(u,v) =\\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x} \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\) \\( l(v) = \\int_{\\partial \\Omega } f(x,y) v dxdy \\) \\( f(x,y)=sin(\\pi y)(1-x) \\) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, natomiast \\( \\beta = (1,0) \\) reprezentuje prędkość wiatru wiejącego z lewej strony na prawą, natomiast \\( \\epsilon = 10^{-2} \\) oznacza współczynnik dyfuzji. Wielkość \\( Pe=1/ \\epsilon = 100 \\) nazywa sie liczbą Pecleta, i definiuje ona wrażliwość problemu adwekcji-dyfuzji. Przedstawiona tutaj definicja liczby Pecleta obowiązuje w przypadku jednostkowej prędkości wiatru \\( \\| \\beta \\|_2=\\sqrt{\\beta_x^2+\\beta^2_y}=1 \\). W ogólnym przypadku rozważa się liczbę Pecleta zdefiniowaną na poszczególnych elementach siatki zgodnie ze wzorem \\( Pe=\\| \\beta \\|_2*h/(2*\\epsilon) \\). Tak zdefiniowaną liczbę Pecleta użyć można do badania stabilności symulacji, liczba Pecleta mniejsza od jeden daje nam warunek stabilności symulacji na elemencie.", "Kod można uruchomić w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 3A.", "W linii 835 tworzony jest knot vector zbudowany z 5 elementów dla wielomianów kwadratowych \\( knot = simple\\_knot(5, 2); \\) W linii 836 ustawiany jest współczynnik dyfuzji (dla współczynnika adwekcji równego 1). \\( epsilon = 2e-2; \\) Kod może zostać uruchomiony w darmowym środowisku Octave. Kod uruchamia się otwierając go w Octave oraz wpisując komendę \\( advection' \\) Po chwili obliczeń kod otwiera dodatkowe okienko i rysuje w nim rozwiązanie numeryczne oraz dokładne. Kod oblicza również normę L2 i H1 z rozwiązania \\( Error: L2 24.00 procent, H1 72.08 procent \\) i porównuje do normy L2 i H1 z projekcji rozwiazania dokładnego na przestrzeń funkcji B-spline rozpiętych na danej siatce. \\( Best possible: L2 1.56 procent, H1 53.16 procent \\) Zauważmy że norma te nie będzie równa zero, ponieważ rozwiązanie dokładne nie jest dane funkcjami B-spline, i nawet jeśli znamy rozwiązanie dokładne, to nie jest ona zadane funkcjami B-spline, i jego projekcja na przestrzeń funkcji B-spline również jest przybliżeniem rozwiązania dokładnego. Porównanie to pokazuje jaki bład popełnia nasza metoda numeryczna, i jakie normy mogła by osiągnąć na aktualnej siatce z funkcjami B-spline. Widać że metoda Galerkina nie daje dokładnego rozwiązania.", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Algorytm eliminacji Gaussa jest podstawowym najszerzej znanym algorytmem rozwiązywania układów równań liniowych. Algorytm eliminacji, zwany algorytmem Gaussa został wynaleziony w Chinach w roku 179. W Europie algorytm zaczął być używany w roku 1771 przez Leonarda Eulera, który nazywał go najbardziej naturalnym sposobem rozwiązywania układów równań. Jest on niesłusznie nazywany algorytmem eliminacji Gaussa, od matematyka Carla Friedricha Gaussa (1777-1855), który nie żył jeszcze w roku 1771 [1].", "Algrorytm który wykonywaliśmy krok po kroku podsumować można w następujący sposób:", "Ostatni krok to uruchomienie algorytmu podstawiania wstecz, który rozwiąże nasz układ równań począwszy od ostatniego równania.", "Algorytm eliminacji Gaussa jest kosztowny. Oznacza to że dla macierzy o rozmiarze \\( N \\) wierszy i kolumn, wykona on około \\( N^3 \\) operacji. Jaką więc największą macierz możemy przetworzyć algorytmem eliminacji Gaussa w ciągu 24 godzin? Na dzień dzisiejszy (styczeń 2019) zegary procesorów mają około 3 GHz. Oznacza to iż w ciągu każdej sekundy procesor potrafi wykonać \\( 3\\times 10^9 \\) dodawań lub mnożeń. Doba ma \\( 24*60*60=86400 \\) sekund. Procesor potrafi więc wykonać \\( 86400*10^9=86400000000000 \\) operacji dodawania i mnożenia wciągu doby. Pierwiastek trzeciego stopnia z tej liczby to \\( (86400000000000)^{\\frac{1}{3}}\\approx44208 \\) tak więc największa macierz którą potrafimy przetworzyć ma rozmiar 44208. Reprezentuje ona siatkę obliczeniową o 210 elementach w każdym kierunku. Jest to więc względnie mała siatka obliczeniowa. Potrzebujemy lepszych algorytmów. Co więcej wszystkie nasze szacowania przeprowadziliśmy przy założeniu że procesor nie czeka na dane, tylko cały czas je przetwarza, oraz że posiadamy wystarczająco dużo pamięci RAM oraz optymalną strukturę cache'a procesora. Zazwyczaj sytuacji nie jest tak idealna, w praktyce więc trudno jest przetworzyć eliminacją Gaussa macierze o rozmiarze większym niż 10000 co odpowiada siatce 100 na 100.", "W przypadku wielu prawych stron, dla każdej prawej strony konieczne jest wykonywanie eliminacji Gaussa ponownie. Możliwe jest zapamiętanie liczb przez które przemnażamy prawą stronę, tak żeby wykonować eliminację tylko raz, i dla każdej nowej prawej strony wykonać jedynie update. Wykonuje to algorytm LU faktoryzacji.", "Algorytm eliminacji Gaussa nie opuszcza zer. Przemnażanie zer przez liczby niezerowe nie ma generalnie sensu, jest stratą czasu. Algorytm elimiancji Gaussa można przyspieszyć opuszczając wszystkie zera. Jeśli będziemy wiedzieć apriori gdzie w macierzy znajdują się zera, możemy je opuścić i przyspieszyć elimiancję Gaussa. To będzie przedmiotem algorytmu frontalnego i wielo-frontalnego.", "Jeśli macierz posiada strukturę produktu Kroneckera dwóch mniejszych macierzy (co miało miejsce w przykładzie z rozdziału pierwszego) wówczas możliwe jest zastosowanie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego, o liniowej złożoności obliczeniowej.", "Jeśli zadowala nas wynik z pewną dokładnością, np. 0.0001, możliwe jest obliczenie rozwiązania przybliżonego stosując tak zwane algorytmy iteracyjne. Jednakże algorytmy te nie działają dla wszystkich rodzajów macierzy." ]

[]

[ "Zacznijmy ponownie eliminacje Gaussa dla naszego przykładu, tym razem z zaminą wierszy (zwaną również \"pivotingiem\" w dosłownym tłumaczeniu z języka angielskiego).", "Algorytm elimiancji Gaussa należy wzbogacić o zamianę wierszy" ]

[]

[ "Algorytm LU faktoryzacji został wynaleziony przez polskiego matematyka Tadeusza Banachiewicza w roku 1938, co opisano w pracy [1] Zauważmy iż algorytm eliminacji Gaussa generuje macierz trójkątną górną \\( U \\). Możliwe jest również wygenerowanie macierzy trójkątnej dolnej \\( L \\) takiej że oryginalna macierz naszego problemu \\( A=LU \\). Jaka jest zaleta w posiadaniu takiej dekompozycji? Załóżmy że chcemy rozwiązać dwa problemy dla dwóch prawych stron \\( b_1, b_2 \\). Załóżmy również że na początku znamy prawą stronę \\( b_1 \\) a że drugą prawą stronę \\( b_2 \\) poznamy dopiero po rozwiązaniu problemu dla pierwszej prawej strony. Czy da się w jakiś sposób wykorzystać faktoryzację macierzy \\( A \\) wykonaną dla poprzedniej prawej strony \\( b_1 \\)? Najpierw obliczamy LU faktoryzację macierzy \\( A=LU \\) następnię mamy równanie \\( LUx=b_1 \\). Obliczamy najpierw \\( z \\) wykonując podstawianie w przód na podstawie równania \\( Lz=b_1 \\). Następnie obliczamy x rozwiązując równanie \\( Ux=z \\) przez podstawianie wstecz." ]

[]

[ "Jak przerobić algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem na algorytm LU faktoryzacji z pivotingiem? Należy wprowadzić dodatkową macierz \\( {\\bf P} \\) która będzie odpowiadać za pivoting." ]

[]

[ "Algorytm solwera frontalnego był pierwszym algorytmem modyfikującym eliminację Gaussa wykorzystującym dodatkową wiedzę o metodzie elementów skończonych. Celem modfikacji algorytmu było omijanie zer w macierzy wynikających z interakcji pomiędzy funkcjami bazowymi rozpiętymi na siatce obliczeniowej, znajdującymi się daleko od siebie. Algorytm ten został zaproponowany przez Bruce'a Irons'a w 1970 roku. Bruce Irons zdobył szeroką sławę po wynalezieniu tego algorytmu [1]. Jego wyniki naukowe tym bardziej zasługują na uznanie, ponieważ zmagał się z nieuleczalną chorobą jaką było stwardnienie rozsiane. Idea algorytmu polega na generowaniu lokalnych macierzy wynikających z interakcji funkcji bazowych na poszczególnych elementach skończonych. Zamiast generować całą macierz, cały układ równań, układamy elementy skończone w wybranej kolejności. Generujemy fragment macierzy wynikający z interakcji funkcji bazowych na pierwszym elemencie. Wiersze i kolumny macierzy elementowych odpowiadają poszczególnym funkcjom bazowym rozpostartym na danym elemencie. Wyrazy macierzy oznaczają interakcję funkcji bazowych z wiersza i kolumny (całkę z iloczynu funkcji bazowych policzoną na danym elemencie). Niektóre wiersze macierzy mogą zostać w pełni wygenerowane, niektóre jedynie częściowo, ponieważ brakować będzie pewnych kolumn wynikających z faktu iż funkcje bazowe występujące na danym elemencie rozpościerają się na sąsiednich elementach, i oddziaływują (mając wspólne nośniki dziedziny) z funkcjami bazowymi z kolejnych elementów (z kolejnych kolumn macierzy).", "Zróbmy teraz następujące obserwacje. Algorytm solwera frontalnego w przedstawionej powyżej formie pozwala jedynie na pivoting w ramach wierszy które zostały w pełni zsumowane. Jeśli macierz nie jest symetryczna i dodatnio określona stanowi to problem, i uzyskane rozwiązanie może nie być poprawne. Algorytm solwera frontalnego można uogólnić na dowolne siatki wielowymiarowe, jednakże główną jego wadą jest fakt iż rozmiar macierzy frontalnej (do której dokładamy poszczególne elementy) może rosnąć i koszt tego solwera jest duży. Rozmiar macierzy frontalnej związany jest z rozmiarem interfejsu pomiędzy dodawanymi i eliminowanymi elementami, a całą resztą siatki obliczeniowej. Interfejs ten nazywa się frontem solwera. W ogólnym przypadku rozmiar frontu zależy od rozmiaru i ksztaltu siatki obliczeniowej. Podczas przeglądania elementów siatki dwuwymiarowej wiersz po wierszu, wiersze których funkcje rozpościerają się również na kolejnych wierszach będą musiały poczekać z eliminacją do momentu w którym włączymy do macierzy frontalnej kolejny wiersz. Dlatego też rozmiar macierzy frontalnej będzie równy liczbie funkcji bazowych na przekroju siatki, co w dwóch wymiarach wynosi \\( N^{0.5} \\) gdzie \\( N \\) to liczba funkcji bazowych na siatce." ]

[]

[ "Algorytm solwera wielo-frontalnego zaproponowany został w 1987 roku jako modyfikacja algorytmu solwera frontalnego przez Iain'a Duff'a i Johna Reida [1]. Ideą algorytmu wielo-frontalnego jest wykonywanie eliminacji tak jak w algorytmie solwera frontalnego ale jednocześnie nad wieloma elementami." ]

[]

[ "Algorytm solwera zmiennokierunkowego został po raz pierwszy zaproponowany przez Jima Douglasa w 1956 roku w kontekście symulacji niestacjonarnych za pomocą metody różnic skończonych [1]. Wersję stacjonarną dla izogeometrycznej metody elementów skończonych zaproponował Longfei Gao w rozprawie doktorskiej pod kierunkiem prof. Victora Manuela Calo [2]. Rozważmy układ równań który dostaliśmy w rozdziale pierwszym (związany z problemem projekcji bitmapy). W wyniku generacji układu równień dostaliśmy tam macierz zapisaną w postaci produktu Kroneckera dwóch macierzy pięcio-przekątniowych, oraz prawą stronę policzoną z mozołem dla poszczególnych B-spline'ów testujących. \\( \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} \\\\ \\end{bmatrix} \\otimes \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1,1} \\\\ u_{2,1} \\\\ u_{3,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{k,l} \\\\ \\vdots \\\\ u_{N_{x-2},N_y} \\\\ u_{N_{x-1},N_y} \\\\ u_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_1(x)*B^y_1(y)} dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_2(x)*B^y_1(y)} dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_3(x)*B^y_1(y)} dxdy \\\\ \\vdots \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_k(x)*B^y_l(y)} dxdy \\\\ \\vdots \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-2}(x)*B^y_{N_y}(y)} dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-1}(x)*B^y_{N_y}(y)} dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y)} dxdy \\\\ \\end{bmatrix} \\) Rozwiązanie układu równań w którym macierz ma strukturę produktu Kroneckera jest możliwe w bardzo krótkim czasie. Co to znaczy w bardzo krótkim czasie? Koszt obliczeniowy wyraża się liczbą operacji takich jak mnożenie czy dodawanie liczb, koniecznych do rozwiązania układu równań. W przypadku układu równań w którym macierz ma strukturę produktu Kroneckera możliwe jest rozwiązanie układu równań za pomocą algorytmu w którym liczba operacji wynosi \\( const*N \\) gdzie N to jest liczba niewiadomych (liczba współczynników aproksymacji bitmapy na siatce, wyrażona dokładnie poprzez \\( N=N_x*N_y \\) gdzie \\( N_x,N_y \\) to rozmiary siatki, natomiast \\( const \\) oznacza pewną stałą liczbę. Algorytm stosowany w tym przypadku nazywany jest algorytmem solwera zmiennokierunkowego. Rozważamy dwa etapy procesu rozwiązania. Pierwszy etap polega na wzięciu pierwszej z podmacierzy, oraz poukładaniu wektora niewiadomych i wektora prawych stron w wiele podwektorów, po jednym wektorze dla każdej kolumny elementów siatki obliczeniowej. Zostało to zilustrowane na Rys. 1, oraz we wzorze poniżej. \\( \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} w_{1,1} & w_{1,2} & \\cdots & w_{1,N_{y-1}} & w_{1,N_y} \\\\ w_{2,1} & w_{2,2} & \\cdots & w_{2,N_{y-1}} & w_{2,N_y} \\\\ w_{3,1} & w_{3,2} & \\cdots & w_{3,N_{y-1}} & w_{3,N_y} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ w_{N_{x-2},1} & w_{N_{x-2},2} & \\cdots & w_{N_{x-2},N_{y-1}} & w_{N_{x-2},N_y} \\\\ w_{N_{x-1},1} & w_{N_{x-1},2} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-1}} & w_{N_{x-1},N_y} \\\\ w_{N_x,1} & w_{N_x,2} & \\cdots & w_{N_x,N_{y-1}} & w_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_1(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_1(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_2(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_2(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_3(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_3(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\vdots \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-2}(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-2}(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-1}(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x-1}(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x}(x)*B^y_1(y)} dxdy & \\cdots & \\int BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y)}dxdy \\\\ \\end{bmatrix} \\) Wprowadziliśmy tutaj pomocnicze niewiadome \\( w* \\) które służą do rozwiązania pierwszego układu równań. Oryginalne niewiadome \\( u* \\) dostaniemy po rozwiązaniu drugiego układu równań, w którym prawą stronę stanowić będą niewiadome pomocnicze \\( w* \\). Dostaliśmy więc układ równań z macierzą pięcio-przekątniową, o wielu prawych stronach. Każdy podwektor, każda prawa strona, odpowiada jednej kolumnie na siatce elementów, ma więc ustaloną współrzędną \\( y \\), oraz współrzędną \\( x \\) zmieniającą się od 1 do \\( N_x \\). Podobnie uporządkowane są niewiadome $u*$, w których to wierszami zmieniają się drugie indeksy, na przyklad \\( w_{1,1}, w_{1,2}, ..., w_{1,N_y} \\) natomiast w kolumnach zmieniają się pierwsze indeksy. Rozwiązujemy ten układ równań (jak to zrobić o tym za chwilę), dostajemy rozwiązania \\( w* \\) i przechodzimy do drugiego kroku algorytmu solwera zmiennokierunkowego. Drugi etap polega więc na wzięciu analogicznej drugiej macierzy produktu Kroneckera, wzięciu rozwiązań \\( w* \\) z pierwszego układu równań, poukładaniu ich zgodnie z wierszami elementów z siatki (porównaj Rys. 1, poukładaniu w podobny sposób poszukiwanych niewiadomych \\( u* \\) i na rozwiązaniu otrzymanego układu równań o wielu prawych stronach.", "\\( \t\\begin{bmatrix} \\frac{1}{20} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{13}{120} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} & \\cdots \\\\ & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\\\ & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{11}{20} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{120} \\\\ & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{60} & \\frac{1}{2} & \\frac{13}{120} \\\\ & & & \\cdots & \\frac{1}{120} & \\frac{13}{120} & \\frac{1}{20} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{2,1} & \\cdots & u_{N_{x-1},1} & u_{N_x,1} \\\\ u_{1,2} & u_{2,2} & \\cdots & u_{N_{x-1},2} & u_{N_x,2} \\\\ u_{1,3} & u_{2,3} & \\cdots & u_{N_{x-1},3} & u_{N_x,3} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ u_{1,N_{y-2}} & u_{2,N_{y-2}} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y-2}} & u_{N_{x},N_{y-2}} \\\\ u_{1,N_{y-1}} & u_{2,N_{y-1}} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y-1}} & u_{N_{x},N_{y-1}} \\\\ u_{1,N_y} & u_{2,N_y} & \\cdots & u_{N_{x-1},N_{y}} & u_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} w_{1,1} & w_{2,1} & \\cdots & w_{N_{x-1},1} & w_{N_x,1} \\\\ w_{1,2} & w_{2,2} & \\cdots & w_{N_{x-1},2} & w_{N_x,2} \\\\ w_{1,3} & w_{2,3} & \\cdots & w_{N_{x-1},3} & w_{N_x,3} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots & \\vdots \\\\ w_{1,N_{y-2}} & w_{2,N_{y-2}} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-2}} & w_{N_{x},N_{y-2}} \\\\ w_{1,N_{y-1}} & w_{2,N_{y-1}} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y-1}} & w_{N_{x},N_{y-1}} \\\\ w_{1,N_y} & w_{2,N_y} & \\cdots & w_{N_{x-1},N_{y}} & w_{N_x,N_y} \\\\ \\end{bmatrix} \\) W tym drugim układzie równań, każdy podwektor, każda prawa strona, odpowiada jednemu wierszowi na siatce elementów, ma więc ustaloną współrzędną \\( x \\), oraz współrzędną \\( y \\) zmieniającą się od 1 do \\( N_y \\). Podobnie uporządkowane są niewiadome \\( u* \\), w których to wierszami zmieniają się pierwsze indeksy, na przyklad \\( w_{1,1}, w_{2,1}, ..., w_{N_x,1} \\) natomiast w kolumnach zmieniają się drugie indeksy. Każde z powyższych równań może zostać rozwiązany teraz algorytmem LU faktoryzacji dla macierzy pasmowej." ]

[]

[ "Kiedy nasz układ równań \\( Ax=b \\) jest trudny do rozwiązania, wówczas skonstruować możemy preconditioner \\( M \\) (inną macierz) taki że jeśli przemnożymy nasze równanie z lewej strony przez \\( M^{-1} \\) czyli \\( M^{-1}Ax=M^{-1}b \\) oraz dodatkowo pomiędzy \\( Ax \\) wsadzimy \\( M^{-1}M \\) (możemy to zrobić bo \\( M^{-1}M \\) jest macierzą identycznościową), wówczas nowy układ równań \\( M^{-1} A M^{-1} M x = M^{-1} b \\) może być łatwiejszy do rozwiązania. Oczywiście wszystko zależy od sprytnej konstrukcji macierzy \\( M \\). Przykład podano w rozdziałe Solwer iteracyjny. Preconditionery dla algorytmów iteracyjnych opisane są w rodziałe 8 podręcznika Józefa Saada [1]." ]

[]

[ "Algorytmy solwerów iteracyjnych opisane zostały są w bardzo obszerny sposób w podręczniku Józefa Saada [1]. Prawdopodobnie pierwszym solwerem iteracyjnym była metoda rozwiązywania układu równań 4 na 4 zaproponowana przez Gaussa. Omawianie ogólnej rodziny algorytmów solwerów iteracyjnych wybiega poza ramy tego podręcznika. W module tym omówimy solwer iteracyjny mający zastosowanie w problemie projekcji w którym obszar ma dowolny kształt, nie będący regularnym kwadratem.", "Niech naszym przykładowym problemem do rozwiązania będzie problem projekcji dwuwymiarowej zdefiniowany na obszarze który nie ma kształtu kwadratu (na przykład problem projekcji bitmapy na pofałdowany obszar). Wówczas nasz układ równań do rozwiązania wygląda następująco \\( \t\\begin{bmatrix} \\int_{\\Omega}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}} & \\int_{\\Omega}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}} & \\cdots & \\int_{\\Omega}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}} \\\\ \\int_{\\Omega}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}} & \\int_{\\Omega}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}} & \\cdots & \\int_{\\Omega}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\int_{\\Omega}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}{B^x_{1,p}B^y_{1,p}} & \\int_{\\Omega}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}{B^x_{2,p}B^y_{1,p}} & \\cdots & \\int_{\\Omega}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}}{B^x_{N_x,p}B^y_{N_y,p}} \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} {\\color{red}u_{1,1}} \\\\ {\\color{red}u_{2,1}} \\\\ \\vdots \\\\ {\\color{red}u_{N_x,N_y}}\\\\ \\end{bmatrix} \\) \\( = \\begin{bmatrix} \\int_{\\Omega} BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_1(x)*B^y_1(y)} \\\\ \\int_{\\Omega} BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_1(x)*B^y_2(y)} \\\\ \\vdots \\\\ \\int_{\\Omega} BITMAP(x,y) {\\color{blue}B^x_{N_x}(x)*B^y_{N_y}(y)} \\\\ \\end{bmatrix} \\) gdzie \\( \\Omega \\) nie jest już kwadratem tylko naszym ``pofałdowanym'' obszarem. Wyprowadzenie tego układu równań przebiega w taki sam sposób jak opisano to w rozdziale pierwszym dla zadaniam projekcji bitmapy, jedyną różnicą jest fakt iż naszą projekcję wykonujemy teraz na \"pofałdowany\" obszar. Na przykład chcemy obliczyć i zwizualizować jak wyglądać będzie bitmapa nałożona na pofałdowany materiał (np. na zasłonę). Oczywiście dla każdej całki po obszarze \\( \\Omega \\) możemy dokonać zmiany zmiennych na obszar kwadratowy, i wtedy w całce znajdzie się jacobian tej transformacji \\( \\int_{\\Omega} {\\color{blue}B^x_{i}(x)B^y_{j}(y)} \\color{red}{B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)} dxdy = \\int_{[0,1]^2} \\color{blue}{B^x_{i}(x)B^y_{j}(y)} \\color{red}{B^x_{k}(x)B^y_{l}(y)} |Jac(x,y)| dxdy \\) Chcielibyśmy użyć do faktoryzacji naszej macierzy solwera zmiennokierunkowego, jednakże nie jest to możliwe, ponieważ nie potrafimy rozdzielić zmiennych w Jacobianie, nie wiemy jak przetworzyć \\( |Jac(x,y)|=|Jac_x(x)|*|Jac_y(y)| \\). Na szczęście możemy zastosować następujący algorytm iteracyjny z preconditionerem" ]

[]

[ "Metoda elementów skończonych służyć może do rozwiązania wielu problemów inżynerskich. Ogólny schemat działania metody jest podobny, niezależnie od rozważanego problemu. W naszym przypadku dla uproszczenia wybieramy problem projekcji bitmapy. Podstawowe etapy metody elementów skończonych wymienione są poniżej. Ostatnim etapem jest wybór algorytmu służącego do rozwiązania wygenerowanego układu równań. Algorytm ten zależy od struktury macierzy, która pośrednio zależy od rozważanego problemu inżynierskiego.", "Dla problemów dla których macierze są symetryczne i dodatnio określone, często używane są algorytmy iteracyjne bazujące na metodach Krylova, na przykład algorytm gradientów sprzężonych. Istnieją również algorytmy iteracyjne dla szerszej klasy problemów, np. algorytm GMRES. Algorytmy solwerów iteracyjnych opisane zostały są w bardzo obszerny sposób w podręczniku Józefa Saada [1]. Liczba iteracji dla solwerów iteracyjnych zależy od rodzaju rozwiązywanego problemu, od struktury i własności macierzy po dyskretyzacji. W szczególności na zbieżność solwera typu gradientów sprzężonych wpływa współczynnik uwarunkowania macierzy, czyli iloczyn modułu z największej wartości własnej macierzy i modułu z największej wartości własnej macierzy odwrotnej. Jeśli współczynnik uwarunkowania macierzy jest za duży, wówczas tworzone są tak zwane preconditionery, czyli macierze przez które przemnaża się dodatkowo nasz układ równań w taki sposób żeby rozwiązanie było takie samo, ale współczynnik uwarunkowanie macierzy był lepszy. Niestety problem doboru preconditionera jest zaleźny od rozwiązywanego problemu (nie ma uniwersalnych zawsze skutecznych algorytmów).", "Solwery dokładne z koleji potafią rozwiązać każdy problem, potrafią sfaktoryzować każdą macierz, jednak ich koszt jest zazwyczaj większy od kosztu solwerów iteracyjnych. Dla jednorodnych siatek dwuwymiarowych koszt ten jest rzędu \\( {\\cal O } ( N^{1.5 }) \\). Dla jednorodnych siatek trójwymiarowych koszt ten jest rzędu \\( {\\cal O }(N^2) \\). Wyjątkiem jest algorytm solwera zmienno-kierunkowego, którego koszt jest liniowy \\( {\\cal O}(N) \\). Algorytm solwera zmienno-kierunkowego może być zastosowany wtedy, kiedy macierz ma strukturę produktu Kroneckera. Dzieje się tak na przykład w problemie projekcji, lub podczas symulacji niestacjonarnych za pomocą metody explicite. Algorytm solwera wielo-frontalnego, jest używany dla problemów dla których macierze nie są symetryczne lub nie są dodatnio określone. Algorytm solwera wielo-frontalnego jest szczególną implementacją algorytmu eliminacji Gaussa lub LU faktoryzacji. Wersja iteracyjna algorytmu zmienno-kierunkowego, opisana w tym podręczniku używana jest do symulacji explicite na nieregularnych geometriach." ]

[]

[ "W module tym przedstawiamy kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy, stosując izogeometryczną metodę elementów skończonych. W szczególności kod ten posiada implementacje algorytmu solwera zmienno-kierunkowego. Wykonanie kodu\\ów możliwe jest również w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 4.", "W celu uruchomienia kodów, zapisujemy je w katalogu roboczym Octave. Ustawiamy zmienne ze ścieżką do pliku wejściowego w formacie tif \\( filename = 'C://Users/Maciej/Dropbox/bitmapa.tif' \\) następnie podajemy ilość elementów siatki w kierunku osi x i y, oraz stopnie funkcji B-spline w tych kierunkach \\( nx=4 \\) \\( ny=4 \\) \\( px=2 \\) \\( py=2 \\) Następnie uruchamiamy pierwszą procedure \\( bitmap\\_splitting(filename,nx,ny,px,py) \\). Kod po zbudowaniu układu równań i rozwiązaniu go rysuje projekcje bitmapy w otwartym okienku." ]

[]

[ "Podczas wykonywania obliczeń metodą elementów skończonych wykonujemy następujące czynności", "W rozdziale tym skoncentrujemy się na zagadnieniu stabilności metody elementów skończonych. Najważniejsze twierdzenie matematyczne pozwalające badać stabilność metody elementów skończonych zostało niezależnie zaproponowane przez prof. Ivo Babuśke, prof. Franco Brezzi, oraz prof. Olga Ładyżenska [1] [2]. Odkryli oni mniej więcej w tym samym czasie, niezależnie od siebie, równoważne warunki, zwane obecnie warunkiem inf-sup (\"inf-sup condition\"). Warunek inf-sup jest do dzisiaj używany przez naukowców do badania stabilności metody elementów skończonych. Warunek ten zdefiniować można w abstrakcyjnych nieskończenie wymiarowych przestrzeniach matematycznych \\( \\inf_{u \\in U } \\sup_{v \\in V } \\frac{b_h(u,v)}{\\|u\\| \\|v\\| } = \\gamma > 0 \\) lub w przestrzeniach skończenie wymiarowych, wynikających z naszego przybliżenia rozwiązania za pomocą bazy funkcji B-spline, używanej do aproksymacji i testowani rozwiązania \\( \\inf_{u \\in U } \\sup_{v \\in V } \\frac{b_h(u,v)}{\\|u\\| \\|v\\| } = \\gamma > 0 \\) Może zdażyć się że nawet jeśli matematycy udowodnili spełnienie warunku inf-sup na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych, to w momencie gdy zaczniemy rozwiązywać nasz problem w przestrzeniach skończenie wymiarowych, to warunek inf-sup nie będzie już spełniony. Na przykład, jeśli wybierzemy taką skończenie wymiarową przestrzeń testującą, że supremum z warunku inf-sup nie będzie spełnione, \\( \\inf_{u \\in U } \\sup_{v_h \\in V_h } \\frac{b_h(u,v_h)}{\\|u\\| \\|v_h\\| } = \\gamma > 0 \\) to wówczas nawet gdyby przestrzeń aproksymacyjna była nieskończenie wymiarowa, to i tak nasza symulacja będzie niestabilna. Problem którego dotyczy warunek inf-sup polega na tym, iż wybierając nasze skończenie wymiarowe zbiory (tak zwane bazy) funkcji do aproksymacji rozwiązania oraz do testowania naszych równań, nie mamy pewności czy rozwiązanie uzyskane za ich pomocą na komputerze będzie dostatecznie dokładne. Żeby to sprawdzić, należy zastosować bardzo zaawansowane narzędzia matematyczne, takie jak warunek inf-sup. Dla dużej klasy problemów rozwiązywanych na komputerach za pomocą metody elementów skończonych warunek ten jest spełniony, i uzyskujemy całkiem dokładne rozwiązania. Ale jest też dość duża klasa problemów dla których warunek inf-sup nie jest spełniony. Warunek ten napisać można w sposób następujący. Wybieramy wersję sformułowaną przez prof. Ivo Babuśkę (wszystkie wersje tego warunku opisane są w pracy Leszka Demkowicza, ICES Report 0608, 2006 \"Babuśka <=> Brezzi?\" ) [3]: \\( \\inf_{u_h \\in U_h } \\sup_{v_h \\in V_h } \\frac{b_h(u_h,v_h)}{\\|u_h\\| \\|v_h\\| } = \\gamma_h > 0 \\) Jeśli warunek ten jest spełniony, będzie dało się rozwiązać układ równań wygenerowany za pomocą metody elementów skończonych i rozwiązanie to będzie całkiem dobrym przybliżeniem idealnego rozwiązania \\( u \\approx u_h = \\sum_{i,j=1,...,6} u_{i,j} B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2 }(x) \\). Jeśli warunek ten nie jest spełniony, wówczas albo wygenerowany układ równań nie będzie możliwy do rozwiązania (na przykład algorytm eliminacji Gaussa przewróci się ponieważ na przekątnej macierzy powstanie numeryczne zero (bardzo mała liczba przez którą nie będzie się dało podzielić wiersza w macierzy), albo uzyskane rozwiązanie układu równań będzie niepoprawnym rozwiązaniem naszego problemu, np. powstaną oscylacje numeryczne). W takiej sytuacji konieczna jest stabilizacja naszego problemu, która polega na", "Wszystkie te metody stabilizacji umożliwiają matematyczne udowodnienie spełnienia warunku inf-sup. Dowody spełniania tego warunku są dość zaawansowane matematycznie, tak więc ograniczymy się jedynie do podania kilku metod stabilizacji (SUPG, minimalizacji reziduum oraz metoda DG) które gwarantują spełnianie tego warunku, ale nie podamy wyjaśnienia dlaczego ten warunek jest spełniony, ponieważ wymagałoby to wprowadzenia zaawansowanych narzędzi matematycznych. Metoda minimalizacji reziduum leży również u podstaw metody Discontinuous Petrov-Galerkin (DPG) cieszącej się dużym powodzeniem metody stabilizacji adaptacyjnych obliczeń elementami skończonymi, zaproponowanej przez prof. Leszka Demkowicza. W metodzie DPG przestrzenie aproksymacyjne i testujące są połamane, w celu umożliwienia lokalnej statycznej kondensacji na poszczególnych elementach skończonych [4] [5] [6]." ]

[]

[ "Rozważmy dla ustalenia uwagi nasz problem adwekcji-dyfuzji (obliczenia propagacji zanieczyszczeń na danym obszarze za pomocą dyfuzji oraz wiatru) \\( b(u,v)=l(v) \\\\ b(u,v) = \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x} dxdy \\int_{\\Omega } \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ \\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ l(v) = \\int_{\\Omega} f(x,y) v(x,y) dxdy \\) Oznaczamy przez \\( U \\) zbiór funkcji w którym zawiera się rozwiązanie problemu adwekcji-dyfuzji \\( u \\in U \\). Następnie przez \\( V \\) oznaczmy zbiór funkcji które używamy do testowania w naszym sformułowaniu wariacyjnym (zwanym też słabym). W rozdziale tym opiszemy za pomocą trochę abstrakcyjnego języka matematycznego jak wyprowadza się metodę minimalizacji reziduum [1]. Nasz oryginalny problem zapisać można tak: szukamy funkcji \\( u \\in U \\) takiej że \\( b(u,v)=l(v) \\) dla wszystkich funkcji testujących \\( v\\in V \\). Matematycznie można oznaczyć lewą stronę \\( Bu \\) a prawą stronę \\( l \\) wprowadzając pewne operatory matematyczne (matematycy powiedzą że \\( B : U \\rightarrow V' \\) oraz \\( \\langle Bu, v \\rangle = b(u,v) \\). Wówczas nasz problem sprowadza się do znalezienia pola skalarnego \\( u \\) takiego że \\( Bu-l=0 \\). Wyrażenie \\( r=Bu-l \\) nazywa się reziduum. Jeśli mamy jedynie rozwiązanie przybliżone, na przykład oznaczone \\( u_h \\) wówczas nasze reziduum będzie wyrażało błąd, im większe będzie reziduum tym błąd rozwiązania przybliżonego będzie większy \\( r_h=Bu_h-l \\). W jaki sposób zmierzyć błąd rozwiązania, czyli wielkość reziduum? Żeby zmierzyć jak duże jest reziduum musimy wprowadzić jakąś normę (czyli miarę wielkości) \\( r_h = \\| Bu_h-l \\| \\). Mogę teraz powiedzieć że szukamy takiego rozwiązania naszego problemu \\( u_h \\) żeby reziduum (czyli błąd) był jak najmniejszy. Matematycznie zapisuje się ten warunek w postaci minimalizacji normy \\( u_h = \\displaystyle{argmin}_{w_h \\in U } {1 \\over 2} \\| Bw_h - l \\|_{V' }^2 \\) Przed normą dopisuje się \\( 1\\over 2 \\) oraz podnosi się normę do kwadratu. Problem praktyczny jest taki że nie wiemy jak policzyć normę z różnicy \\( \\|Bw_h-l\\| \\). Norma ta mierzy bowiem odległości w abstrakcyjnej przestrzeni matematycznej \\( V' \\) (matematycy powiedzą że przestrzeń ta jest przestrzenią dualną do przestrzeni funkcji testujących). Żeby rozwiązać ten problem, wykonujemy trick matematyczny polegający na rzutowaniu normy z przestrzeni \\( V' \\) do przestrzeni testującej \\( V \\). Wprowadza się operator przerzucający przestrzeń \\( V \\) w przestrzeń \\( V' \\). Operator ten nazywamy operatorem Riesza \\( R_V \\colon V \\ni v \\rightarrow (v,.) \\in V' \\). Operator odwrotny natomiast przerzuca przestrzeń \\( V' \\) z powrotem w przestrzeń \\( V \\), czyli \\( R_V^{-1} \\colon V' \\ni (v,.) \\rightarrow v \\in V \\). Tak więc jeśli użyjemy odwrotnego operatora Riesza, przerzucimy nasz problem do przestrzeni funkcji testujących \\( V \\). Mamy więc \\( u_h = \\displaystyle{argmin}_{w_h \\in U_h} {1 \\over 2} \\| {\\color{red}{R_V^{-1}}} (Bw_h - l) \\|_{\\color{red}{V} }^2 \\). Szukamy więc punktu w którym funkcja osiąga minimum. Taki punkt osiągany jest wtedy kiedy pochodne tej funkcji są równe zero. Ponieważ mamy tutaj funkcjonał, matematycy powiedzą że szukamy takiego \\( u_h \\) w którym pochodne Gateaux są równe zero we wszystkich kierunkach \\( \\langle R_V^{-1} (Bu_h - l), R_V^{-1}(B\\, w_h) \\rangle_V = 0 \\quad \\forall \\, w_h \\in U_h \\) gdzie \\( w_h \\) oznacza wszystkie możliwe \"kierunki\" ze skończenie wymiarowej przestrzeni funkcji \\( U_h \\) (w której przy okazji szukamy rozwiązania naszego problemu adwekcji-dyfuzji). Formalnie rzecz ujmując, w tym miejscu musimy skonstruować skończenie wymiarową przestrzeń funkcji \\( U_h \\) w której będziemy szukać naszego rozwiązania. Robimy to oczywiście w naszym podręczniku stosując funkcje bazowe B-spline, rozpinając je zgodnie z wektorami węzłów wzdłuż osi x oraz wzdłuż osi y. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4]. Uzyskaliśmy dwie bazy jednowymiarowych funkcji B-spline \\( \\{ B_{i,2}(x) \\}_{i=1,...,6 } \\) oraz \\( \\{B_{j,2}(y)\\}_{j=1,...,6 } \\). Następnie utworzymy z nich iloczyny tensorowe \\( B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6 \\). Zauważmy że nasz obszar \\( \\Omega \\) rozpięty jest na kwadracie \\( [0,1]^2 \\), podobnie jak nasze 6*6=36 funkcji bazowych co wynika z definicji wektora węzłów [0 0 0 1 2 2 3 4 4 4]. Nasza przestrzeń aproksymacyjna jest więc rozpięta przez iloczyny tensorowe naszych jednowymiarowych funkcji B-spline \\( U_h = gen \\{ B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6 \\} \\). Jest więc ona przestrzenią 6*6=36 wymiarową, Mamy więc 36 kierunków (wielomianów bazowych B-spline) w których liczyć będziemy pochodne kierunkowe i będziemy je przyrównywać do zera. Oznaczamy \\( r=R_V^{-1}(Bu_h-l) \\) i wówczas nasz problem minimalizacji reziduum zapisać można w postaci \\( \\langle r , R_V^{-1} (B\\, w_h ) \\rangle = 0 \\quad \\forall \\, w_h \\in U_h \\) co jest równoznaczne \\( \\langle Bw_h, r \\rangle = 0 \\quad \\quad \\forall w_h \\in U_h. \\) Dorzucamy teraz drugie równanie, korzystając z definicji reziduum \\( r=Bu_h-l \\), przemnażam definicje reziduum przez funkcje testujące z przestrzeni funkcji testujących i dostaje równanie: \\( (r,v)_V=\\langle B u_h-l,v \\rangle \\quad \\forall v\\in V. \\) Mam więc układ równań: znajdź reziduum w nieskończenie wymiarowej przestrzeni funkcji testujących \\( r\\in V \\) oraz rozwiązania w skończenie wymiarowej przestrzeni funkcji \\( u_h \\in U_h \\) \\( (r,v)_V - \\langle Bu_h-l ,v \\rangle = 0 \\quad \\forall v\\in V \\\\ \\langle Bw_h,r\\rangle = 0 \\quad \\forall w_h \\in U_h \\) Gdybyśmy byli wstanie rozwiązać to równanie, to dostali byśmy najlepszą możliwą aproksymacje naszego problemu w przestrzei funkcji aproksymujących \\( U_h \\). Niestety nie jest to możliwe, ponieważ nieskończona przestrzeń funkcji testujących generuje nam nieskończenie wiele równań które należało by rozwiązać. Musimy więc wybrać drugą inną bazę do przybliżenia przestrzeni testowej. Tutaj pojawia się pierwsza istotna różnica metody minimalizacji reziduum z tradycyjną metodą elementów skończonych. Otóż w metodzie minimalizacji reziduum mamy dwie różne przestrzenie, jedną do aproksymacji rozwiązania, drugą do testowania.Oczywiście przestrzeń testującą również rozpinamy za pomocą funkcji B-spline. Na przykład możemy użyć takiego samego patcha elementów jak dla przestrzeni aproksymującej (ale nie jest to wymagane!), albo podnieść stopień funkcji B-spline. Precyzujemy jak wyglądać będzie nasz patch elementów oraz nasze funkcje bazowe B-spline rozpięte na elementach, podając wektor węzłów wzdluż osi \\( x \\) oraz wektor węzłów wzdłuż osi \\( y \\). Odsyłamy tutaj do rozdziału trzeciego w którym opisany jest sposób definiowania funkcji bazowych za pomocą wektorów węzłów i wielomianów B-spline. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 0 11 2 2 3 3 4 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4]. Generalnie przestrzenie testujące muszą być większe niż przestrzeń aproksymacyjna. Możemy uzyskać ten efekt zwiększając liczbę elementów lub podnosząc stopień funkcji B-spline, lub redukując ciągłość bazy funkcji B-spline, lub mieszając te trzy podejścia razem. Uzyskaliśmy dwie bazy jednowymiarowych funkcji B-spline \\( \\{ \\tilde{B}_{k,3}(x) \\}_{k=1,...,10 } \\) oraz \\( \\{\\tilde{B}_{l,3}(y)\\}_{l=1,...,10 } \\). Następnie utworzymy z nich iloczyny tensorowe \\( \\tilde{B}_{k,l;3}(x,y)=\\tilde{B}_{k,3}(x)B_{l,3}(y),k,l=1,...,10 \\). Nasza przestrzeń testujące to \\( V_h = gen \\{ \\tilde{B}_{k,l;3}(x,y)=\\tilde{B}_{k,3}(x)B_{l,3}(y),i,j=1,...,10 \\} \\). Mając dyskretną przestrzeń testującą, uzyskujemy wreszcie nasz dyskretny (czyli skończenie wymiarowy) układ równań który będziemy chcieli rozwiązać. Szukamy \\( ( r_m, u_h )_{ V_m \\times U_h } \\) \\( (r_m,v_m)_{V_m} - \\langle B u_h-l,v_m \\rangle = 0 \\quad \\forall v\\in V_m \\\\\\langle Bw_h,r_m\\rangle = 0 \\quad \\forall w_h \\in U_h \\) Pojawia się tutaj tak zwany iloczyn skalarny (wewnętrzny) w dyskretnej przestrzeni testującej \\( (*,*)_{V_m} \\). Żeby odgadnąć jaki iloczyn skalarny użyć w naszym problemie, musimy popatrzeć na nasze oryginalne równanie zapisane w formie słabej \\( b(u,v)=l(v) \\\\ b(u,v) = \\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x} v(x,y) dxdy+ \\int_{\\Omega } \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y }v(x,y) dxdy +\\\\ \\int_{\\Omega}\\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ l(v) = \\int_{\\Omega} f(x,y) v(x,y) dxdy \\) i zobaczyć jakiej formy są funkcje testujące \\( v \\) w formie \\( b(u,v) \\). Widzimy że mamy tutaj doczynienia z pochodnymi cząstkowymi \\( \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } \\), \\( \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } \\) oraz z samą funkcją \\( v(x,y) \\). Nasz produkt wewnętrzny powinien więc zawierać pochodne i wartości funkcji \\( (u,v)_{V_m} = \\int_{\\Omega} u(x,y) v(x,y) dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial x } \\frac{\\partial u(y,y) }{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial u(y,y)}{\\partial y } dxdy \\) Podsumowując, w metodzie minimalizacji reziduum, musimy zdefiniować osobną przestrzeń aproksymacyjną, oraz osobną (większą) przestrzeń testującą, oraz wybrać iloczyn wewnętrzny przestrzeni testującej. Dostajemy wówczas układ równań w którym niewiadome to nasze rozwiązanie \\( u \\) oraz dodatkowo reziduum \\( r \\). To jak dobrze działać będzie metoda minimalizacja reziduum zależy w dużej mierze od naszego wyboru przestrzeni testującej oraz iloczynu wewnętrznego. Jeśli iloczyn wewnętrzny będzie dostatecznie dokładny, oraz przestrzeń testująca będzie dostatecznie duża, wszystko będzie idealnie działać, i dostaniemy najlepsze możliwe do uzyskania rozwiązanie w przestrzeni aproksymacyjnej \\( U_h \\) (ale nie lepsze niż pozwala na to przestrzeń aproksymacyjna). Matematyczne uzasadnienie jest takie, że problem minimalizacji reziduum z nieskończenie wymiarową przestrzenią testową realizuje warunek stabilności inf-sup ze stałą równą 1. Jeśli przestrzeń testującą zawęzimy do przestrzeni skończenie wymiarowej, to warunek inf-sup może nie być już idealnie realizowany w tej przestrzeni. Zwiększanie przestrzeni testującej będzie nam poprawiać realizowalność warunku stabilności inf-sup. Nasz układ równań do rozwiązania w metodzie minimalizacji reziduum wyglada następująco \\( \\left( \\begin{matrix} G & B \\\\ B^T & 0 \\\\ \\end{matrix} \\right) \\left( \\begin{matrix} r \\\\ u \\end{matrix} \\right)= \\left( \\begin{matrix} f \\\\ 0 \\end{matrix} \\right) \\) Zobaczmy jak wygląda nasz układ równań na przykładzie konkretnych przestrzeni aproksymacyjnej i testującej." ]

[]

[ "W rozdziale tym opiszemy metodę stabilizacji równań adwekcji-dyfuzji zwaną Streamling Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) wprowadzoną przez prof. T. J. R. Hughesa. Metoda ta opisana jest na przykład w pracy [1]. Przypomnijmy najpierw problem adwekcji-dyfuzji, problem modelowy Erikksona-Johnsona, opisany na przykład w pracy [2]. Problem zdefiniowany jest na obszarze kwadratowym \\( \\Omega = [0,1]^2 \\) w następujący sposób: Szukamy funkcji \\( u \\) takiej że \\( a(u,v)=l(v) \\forall v \\) gdzie \\( a(u,v) =\\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x} \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\epsilon \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\) \\( l(v) = \\int_{\\partial \\Omega } f(x,y) v dxdy \\) \\( f(x,y)=sin(\\pi y)(1-x) \\) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, natomiast \\( \\beta = (1,0) \\) reprezentuje wiatr wiejący z lewej strony na prawą, natomiast \\( \\epsilon = 10^{-6} \\) oznacza współczynnik dyfuzji. Metoda stabilizacji SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) modyfikuje nasze równanie dodając pewne człony które nie zmieniają \"sensu\" równania, natomiast wymuszają spełnienie warunku inf-sup \\( a(u,v) +{ \\color{red}{\\sum_K (R(u)+f,\\tau \\beta\\cdot \\nabla v)_K } }=l(v)+ {\\color{blue}{\\sum_K (f,\\tau \\beta\\cdot \\nabla v)_K } } \\quad \\forall v\\in V \\) gdzie \\( R(u)=\\beta \\cdot \\nabla u + \\epsilon \\Delta u-f =\\frac{\\partial u}{\\partial x }+\\epsilon \\Delta u-f \\) reprezentuje reziduum naszego rozwiązania, czyli błąd pomiędzy lewą i prawą stroną, wynikający z dyskretyzacji naszego problemu. Innymi słowy, na poziomie ciągłym, w abstrakcyjnych nieskończenie wymiarowych przestrzeniach funkcyjnych (które teoretycznie pozwalają na dokładne przybliżenie rozwiązania) reziduum wynosi zero (w abstrakcyjnych przestrzeniach nieskończenie wymiarowych nie popełniamy błędu). Jednakże, ponieważ używamy siatki obliczeniowej i skończonej liczby funkcji aproksymacyjnych, reziduum na poziomie dyskretnym zmierzy nam błąd metody. \\( \\tau^{-1}=\\left(\\frac{\\beta_x}{h_x} + \\frac{\\beta_y}{h_y} \\right) + 3\\epsilon \\frac{1}{h_x^2+h_y^2} \\) \\( \\epsilon=10^{-6} \\) \\( \\beta = (1,0) \\) \\( h_x,h_y \\) to rozmiary elementu (nasze całki dzielimy na poszczególne elementy i na każdym elemencie liczymy całkę zmodyfikowaną z pomocą wzoru zawierającego średnicę elementu), oraz \\( (u,v)_K = \\int_K uvdx \\) oznacza iloczyn skalarny nad elementem \\( K \\)." ]

[]

[ "Rozważmy problem Stokesa, który wymaga dodatkowej stabilizacji. Zapiszmy go w postaci pojedynczego funkcjonału \\( B(({\\bf u},p),({\\bf v},q)) = L({\\bf v }) \\) gdzie \\( B(({\\bf u},p),({\\bf v},q)) = \\left( \\begin{matrix} a({\\bf u}, {\\bf v}) + b(p, {\\bf v}) \\\\ b(q, {\\bf u} ) \\\\ \\end{matrix} \\right) \\) \\( L({\\bf v }) = \\left( \\begin{matrix} f({\\bf v} \\\\ 0 \\\\ \\end{matrix} \\right) \\) oraz \\( a({\\bf u}, {\\bf v }) =\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1}{\\partial y}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial x}\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial y}\\frac{\\partial v_2}{\\partial y }dxdy \\) \\( b(p, {\\bf v }) = \\int_{\\Omega}p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x} dxdy+ \\int_{\\Omega} p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } dxdy \\) Oznaczamy przez \\( {\\bf U} \\times P \\) przestrzeń funkcji w którym poszukujemy rozwiązanie problemu Stokesa \\( ({\\bf u},p) \\in {\\bf U } \\times P \\). Następnie oznaczamy przez \\( {\\bf V } \\times Q \\) przestrzeń funkcji których używamy do testowania w naszym sformułowaniu wariacyjnym (zwanym też słabym). W rozdziale tym opiszemy za pomocą trochę abstrakcyjnego języka matematycznego jak wyprowadza się metodę minimalizacji reziduum [1]. Nasz oryginalny problem zapisać można tak: szukamy funkcji \\( ({\\bf u},p) \\in {\\bf U } \\times P \\) takich że \\( B( ({\\bf u},p),({\\bf v},q) ) = L({\\bf v }) \\) dla wszystkich funkcji testujących \\( ({\\bf v },q) \\in V\\times Q \\). Matematycznie można oznaczyć lewą stronę \\( B(u,p) \\) a prawą stronę \\( L \\) wprowadzając pewne operatory matematyczne (matematycy powiedzą że \\( B : ({\\bf U}\\times P) \\rightarrow (V\\times Q)' \\) oraz \\( \\langle B({\\bf u},p), ({\\bf v},q) \\rangle =B(({\\bf u},p),({\\bf v },q)) \\). Wówczas nasz problem sprowadza się do znalezienia \\( ({\\bf u},p) \\) takiego że \\( B({\\bf u },p)-l=0 \\). Wyrażenie to nazywa się reziduum \\( r=B({\\bf u },p)-l \\). Jeśli mamy jedynie rozwiązanie przybliżone, na przykład oznaczone \\( ({\\bf u_h },p_h) \\) wówczas nasze reziduum będzie wyrażało błąd, im większe będzie reziduum tym błąd rozwiązania przybliżonego będzie większy \\( r_h=B({\\bf u_h },p_h)-l \\).W jaki sposób zmierzyć błąd rozwiązania, czyli wielkość reziduum? Żeby zmierzyć jak duże jest reziduum musimy wprowadzić jakąś normę (czyli miarę wielkości) \\( r_h = \\| B({\\bf u_h },p_h)-l \\| \\). Mogę teraz powiedzieć że szukamy takiego rozwiązania naszego problemu \\( ({\\bf u_h },p_h) \\) żeby reziduum (czyli błąd) był jak najmniejszy. Matematycznie zapisuje się ten warunek w postaci minimalizacji normy \\( ({\\bf u_h },p_h) = \\displaystyle{argmin}_{({\\bf w_h },s_h) \\in U\\times P } {1 \\over 2} \\| B({\\bf w_h},s_h) - l \\|_{({\\bf V},Q)' }^2 \\) Przed normą dopisuje się \\( 1\\over 2 \\) oraz podnosi się normę do kwadratu. Problem praktyczny jest taki że nie wiemy jak policzyć normę z różnicy \\( \\|B({\\bf w_h },s_h)-l\\| \\). Normę tą mierzy bowiem odległości w abstrakcyjnej przestrzeni matematycznej \\( (V\\times Q)' \\) (matematycy powiedzą że przestrzeń ta jest przestrzenią dualną do przestrzeni funkcji testujących). Żeby rozwiązać ten problem, wykonujemy trick matematyczny polegający na rzutowaniu normy z przestrzeni \\( (V\\times Q)' \\) do przestrzeni testującej \\( V\\times Q \\). Wprowadza się operator przerzucający przestrzeń \\( (V\\times Q) \\) w przestrzeń \\( (V\\times Q) ' \\). Operator ten nazywamy operatorem Riesza \\( R_{(V,Q)} \\colon (V\\times Q) \\ni (v,q) \\rightarrow ( ( v,q),.) \\in (V\\times Q)' \\). Operator odwrotny natomiast przerzuca przestrzeń \\( (V\\times Q)' \\) z powrotem w przestrzeń \\( V\\times Q \\), czyli \\( R_{(V,Q)}^{-1} \\colon V' \\ni (v,.) \\rightarrow v \\in V \\). Tak więc jeśli użyjemy odwrotnego operatora Riesza, przerzucimy nasz problem do przestrzeni funkcji testujących \\( V\\times Q \\). Mamy więc \\( ({\\bf u_h},p_h) = \\displaystyle{argmin}_{({\\bf w_h },s_h) \\in (U_h\\times P_h)} {1 \\over 2} \\| {R_{(V,Q)}^{-1}} (B({\\bf w_h},s_h) - l) \\|_{V\\times P }^2 \\). Szukamy więc punktu w którym funkcja osiąga minimum. Taki punkt osiągany jest wtedy kiedy pochodne tej funkcji są równe zero. Ponieważ mamy tutaj funkcjonał, matematycy powiedzą że szukamy takiego \\( ({\\bf u_h },p_h) \\) w którym pochodne Gateaux są równe zero we wszystkich kierunkach \\( \\langle R_{(V,Q) }^{-1} (B({\\bf u_h },p_h) - l), R_{(V,Q)}^{-1 }(B,({\\bf w_h },s_h) ) \\rangle_V = 0 \\quad \\forall ({\\bf w_h },s_h) \\in U_h \\times P_h \\) gdzie \\( ({\\bf w_h},s_h) \\) oznacza wszystkie możliwe \"kierunki\" ze skończenie wymiarowej przestrzeni funkcji \\( U_h \\times P_h \\) (w której przy okazji szukamy rozwiązania naszego problemu Stokesa). Formalnie rzecz ujmując, w tym miejscu musimy skonstruować skończenie wymiarową przestrzeń funkcji \\( U_h\\times P_h \\) w której będziemy szukać naszego rozwiązania. Robimy to oczywiście w naszym podręczniku stosując funkcje bazowe B-spline, rozpinając je zgodnie z wektorami węzłów wzdłuż osi x oraz wzdłuż osi y. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4]. Uzyskaliśmy dwie bazy jednowymiarowych funkcji B-spline \\( \\{ B_{i,2}(x) \\}_{i=1,...,6 } \\) oraz \\( \\{B_{j,2}(y)\\}_{j=1,...,6 } \\). Następnie utworzymy z nich iloczyny tensorowe \\( B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6 \\). Zauważmy że nasz obszar \\( \\Omega \\) rozpięty jest na kwadracie \\( [0,1]^2 \\), podobnie jak nasze 6*6=36 funkcji bazowych co wynika z definicji wektora węzłów [0 0 0 1 2 2 3 4 4 4]. Nasza przestrzeń aproksymacyjna jest więc rozpięta przez iloczyny tensorowe naszych jednowymiarowych funkcji B-spline. Teraz mamy natomiast dwie współrzędne prędkości oraz jedną wartość skalarną ciśnienia, dostajemy więc \\( U_h \\times Q_h = gen \\{ B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=\\\\=1,...,6, B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6, B_{i,j;2}(x,y)=B_{i,2}(x)B_{j,2}(y),i,j=1,...,6 \\} \\). Oznaczamy \\( r=R_{(V,Q)}^{-1}(B({\\bf u_h },p_h)-l) \\) i wówczas nasz problem minimalizacji reziduum zapisać można w postaci \\( \\langle r , R_{(V,Q)}^{-1} (B\\, ({\\bf w_h },s_h) ) \\rangle = 0 \\quad \\forall \\, (w_h,s_h ) \\in U_h\\times P_h \\) co jest równoznaczne \\( \\langle B({\\bf w_h },s_h), r \\rangle = 0 \\quad \\quad \\forall (w_h,s_h ) \\in U_h \\times P_h. \\) Dorzucamy teraz drugie równanie, korzystając z definicji reziduum \\( r=B({\\bf u_h },p_h)-l \\), przemnażam definicje reziduum przez funkcje testujące z przestrzeni funkcji testujących i dostaje równanie: \\( (r,v)_V=\\langle B({\\bf u_h },p_h)-l,(v,q) \\rangle \\quad \\forall( v,q )\\in V\\times Q. \\) Mam więc układ równań: znajdź reziduum w nieskończenie wymiarowej przestrzeni funkcji testujących \\( r\\in V\\times Q \\) oraz rozwiązania w skończenie wymiarowej przestrzeni funkcji \\( {\\bf u_h },p_h) \\in U_h\\times P_h \\) \\( (r,v)_V - \\langle B({\\bf u_h },p_h)-l ,(v,q) \\rangle = 0 \\quad \\forall (v,q) \\in V\\times Q \\\\ \\langle B({\\bf w_h },s_h),r\\rangle = 0 \\quad \\forall (w_h,s_h) \\in U_h\\times P_h \\) Gdybyśmy byli wstanie rozwiązać to równanie, to dostali byśmy najlepszą możliwą aproksymacje naszego problemu w przestrzei funkcji aproksymujących \\( U_h\\times P_h \\). Niestety nie jest to możliwe, ponieważ nieskończona przestrzeń funkcji testujących generuje nam nieskończenie wiele równań które należało by rozwiązać. Musimy więc wybrać drugą inną bazę do przybliżenia przestrzeni testowej. Tutaj pojawia się pierwsza istotna różnica metody minimalizacji reziduum z tradycyjną metodą elementów skończonych. Otóz w metodzie minimalizacji reziduum mamy dwie różne przestrzenie, jedną do aproksymacji rozwiązania, drugą do testowania. Oczywiście przestrzeń testującą również rozpinamy za pomocą funkcji B-spline. Na przykład możemy użyć takiego samego patcha elementów jak dla przestrzeni aproksymującej (ale nie jest to wymagane!), ale podnieść stopień funkcji B-spline. Precyzujemy jak wyglądać będzie nasz patch elementów oraz nasze funkcje bazowe B-spline rozpięte na elementach, podając wektor węzłów wzdluż osi \\( x \\) oraz wektor węzłów wzdłuż osi \\( y \\). Odsyłamy tutaj do rozdziału trzeciego w którym opisany jest sposób definiowania funkcji bazowych za pomocą wektorów węzłów i wielomianów B-spline. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 1 2 3 4 4 4]. Używamy więc do aproksymacji przestrzeni kwadratowych B-spline'ów o ciągłości C1. Do testowania zwiększymy ich stopień, oraz pozostawimy ciągłość C1. Wzdłuż osi \\( x \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4], podobnie wzdłuż osi \\( y \\) wprowadzamy wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4]. Generalnie przestrzenie testujące muszą być większe niż przestrzeń aproksymacyjna. Możemy uzyskać ten efekt zwiększając liczbę elementów lub podnosząc stopień funkcji B-spline, lub redukując ciągłość bazy funkcji B-spline, lub mieszając te trzy podejścia razem. Przestrzeń aproksymacyjna powinna być podprzestrzenią przestrzeni testującej. Uzyskaliśmy dwie bazy jednowymiarowych funkcji B-spline stosowanych do testowania \\( \\{ \\tilde{B} _{k,3}(x) \\}_{k=1,...,10 } \\) oraz \\( \\{\\tilde{B}_{l,3}(y) \\}_{l=1,...,7 } \\). Następnie utworzymy z nich iloczyny tensorowe \\( \\tilde{B}_{k,l;3}(x,y)={\\tilde{B}}_{k,3}(x){\\tilde{B}}_{l,3}(y),k,l=1,...,10 \\). Nasza przestrzeń testujące, uwzględniająca dwie współrzędne funkcji testującej dla pola prędkości oraz jedną współrzedną funkcji testującej dla ciśnienia, to \\( V_h\\times Q_h = gen \\{ \\tilde{B}_{k,3}(x)\\tilde{B}_{l,3}(y),i,j=1,...,10; \\tilde{B}_{k,3}(x)\\tilde{B}_{l,3}(y),i,j=1,...,10; \\tilde{B}_{k,3}(x)B_{l,3}(y),i,j=1,...,10 \\} \\). Mając dyskretną przestrzeń testującą, uzyskujemy wreszcie nasz dyskretny (czyli skończenie wymiarowy) układ równań który będziemy chcieli rozwiązać, Szukamy \\( ( r_m, ({\\bf u_h },p_h) )_{ V_m \\times U_h \\times P_h } \\) \\( (r_m,({\\bf v_m }, q_h))_{V_m \\times Q_h } - \\langle B ({\\bf u_h },p_h)-l,({\\bf v_m }, q_m) \\rangle = 0 \\quad \\forall ({\\bf v_m },q_m) \\in V_m \\times Q_m \\\\ \\langle B({\\bf w_h }, q_h),r_m\\rangle = 0 \\quad \\forall ({\\bf w_h },q_h) \\in U_h\\times P_h \\) Pojawia się tutaj tak zwany iloczyn skalarny (wewnętrzny) w dyskretnej przestrzeni testującej \\( (*,*)_{V_m \\times Q_M } \\). Żeby odgadnąć jaki iloczyn skalarny użyć w naszym problemie, musimy popatrzeć na nasze oryginalne równanie zapisane w formie słabej \\( B( ({\\bf u}p),({\\bf v}, q)) = \\left( \\begin{matrix} a({\\bf u}, {\\bf v}) + b(p, {\\bf v}) \\\\ b(q, {\\bf u } ) \\\\ \\end{matrix} \\right) \\) i zobaczyć w jakiej formie są funkcje testujące \\( ({\\bf v },q) \\) w jej składowych \\( a({\\bf u}, {\\bf v }) =\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1}{\\partial y}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial x}\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial y}\\frac{\\partial v_2}{\\partial y }dxdy \\) \\( b(p, {\\bf v }) = \\int_{\\Omega}p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x} dxdy+ \\int_{\\Omega} p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } dxdy \\) Nasz produkt wewnętrzny powinien więc zawierać pochodne funkcji \\( v_1,v_2 \\) oraz wartości funkcji \\( q \\). \\( ( ({\\bf u },p), ({\\bf v },q))_{V_m\\times Q_m} =\\\\= \\int_{\\Omega} p(x,y) q(x,y) dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial x } \\frac{\\partial v_1(x,y) }{\\partial x }dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial y } + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial x } \\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial x }dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial y }dxdy \\) Podsumowując, w metodzie minimalizacji reziduum, musimy zdefiniować osobną przestrzeń aproksymacyjną, oraz osobną (większą) przestrzeń testującą, oraz wybrać iloczyn wewnętrzny przestrzeni testującej. Dostajemy wówczas układ równań w którym niewiadome to nasze rozwiązanie \\( ({\\bf u },p) \\) oraz dodatkowo reziduum \\( r \\). To jak dobrze działać będzie metoda minimalizacja reziduum zależy w dużej mierze od naszego wyboru przestrzeni testującej oraz iloczynu wewnętrznego. Jeśli iloczyn wewnętrzny będzie dostatecznie dokładny, oraz przestrzeń testująca będzie dostatecznie duża, wszystko będzie idealnie działać, i dostaniemy najlepsze możliwe do uzyskania rozwiązanie w przestrzeni aproksymacyjnej \\( U_h \\) (ale nie lepsze niż pozwala na to przestrzeń aproksymacyjna). Matematyczne uzasadnienie jest takie, że problem minimalizacji reziduum z nieskończenie wymiarową przestrzenią testową realizuje warunek stabilności inf-sup ze stałą równą 1. Jeśli przestrzeń testującą zawęzimy do przestrzeni skończenie wymiarowej, to warunek inf-sup może nie być już idealnie realizowany w tej przestrzeni. Zwiększanie przestrzeni testującej będzie nam poprawiać realizowalność warunku stabilności inf-sup. Nasz układ równań do rozwiązania metodzie minimalizacji reziduum wyglada następująco \\( \\left( \\begin{matrix} G & B \\\\ B^T & 0 \\\\ \\end{matrix} \\right) \\left( \\begin{matrix} r \\\\ u \\end{matrix} \\right)= \\left( \\begin{matrix} f \\\\ 0 \\end{matrix} \\right) \\) Zobaczmy jak wygląda nasz układ równań na przykładzie konkretnych przestrzeni aproksymacyjnej i testującej." ]

[]