Datasets:

Geo

/

trapeza_thematon

like 0

[ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(Α(3,-2)\\) και \\(Γ(5,2)\\). Αν το σημείο \\(Μ\\left(3,\\dfrac{1}{2}\\right)\\) είναι το μέσο της \\(ΒΓ\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Β(1,-1)\\).\nβ) Να βρείτε το μήκος της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Β(x,y)\\), τότε έχουμε \\(\\dfrac{x+5}{2}=3\\) και \\(\\dfrac{y+2}{2}=\\dfrac{1}{2}\\), οπότε \\(x=1\\) και \\(y=-1\\), άρα \\(Β(1,-1)\\).\nβ) Το μήκος της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι\n\\begin{align}(BΓ)&=\\sqrt{(5-1)^2+(2+1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{16+9}\\\\\n&=\\sqrt{25}\\\\\n&=5.\\end{align}\nγ) Η ευθεία \\(ΑΓ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(3,-2)\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ=\\frac{2+2}{5-3}=\\frac{4}{2}=2,$$\nοπότε η εξίσωσή της είναι η \\(y+2=2(x-3)\\), που γράφεται \\(y=2x-8\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες\n\\begin{align}&ε_1:8x+y-28=0,\\\\\n&ε_2:x-y+1,\\\\\n&ε_3:3x+4y+5=0.\\end{align}\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής \\(Μ\\) των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\).\nβ) Αν το σημείο τομής είναι το \\(Μ(3,4)\\) να υπολογίσετε:i. Το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΟΜ}\\), όπου \\(Ο\\) η αρχή των αξόνων.\nii. Την απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις των δύο ευθειών\n\\begin{cases}8x+y=28\\\\x-y=-1\\end{cases}\nκαι παίρνουμε \\(9x = 27\\), άρα \\(x=3\\). Αντικαθιστούμε στην \\(x-y=-1\\) το \\(x=3\\) και έχουμε \\(y=4\\). Άρα \\(Μ(3,4)\\).\nβ) i. Είναι \\(Ο(0,0)\\), άρα\n$$\\overrightarrow{OM}=(3-0, 4-0)=(3,4)$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΟΜ}|=\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5.$$\nii.\n\\begin{align}d(M,ε_3)&=\\frac{|Αx_0+Βx_0+Γ|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\\\\n&=\\frac{|3\\cdot 3+4\\cdot 4+5|}{\\sqrt{3^2+4^2}}\\\\\n&=\\frac{30}{5}\\\\\n&=6.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-3,-1)\\), \\(B(0,3)\\) και \\(M(x,y)\\) του καρτεσιανού επιπέδου \\(Oxy\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\).\nβ) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5\\).\nδ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών \\((x,y)\\) τέτοιο ώστε να ισχύει:\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}=4.$$\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι αντίστοιχα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,y_M-y_A)=(x+3,y+1),\\\\\n&\\overrightarrow{MB}=(x_B-x_M,y_B-y_M)=(-x,3-y),\\\\\n&\\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(3,4).\\end{align}\nβ) Τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι αντίστοιχα\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AM}|=\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2},\\\\\n&|\\overrightarrow{MB}|=\\sqrt{x^2+(y-3)^2},\\\\\n&|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5.\\end{align}\nγ) Για το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων ισχύει\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{MB}|\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AB}|\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&5\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5.\\end{align}\nδ) Από το (γ) ερώτημα, για οποιοδήποτε σημείο \\(M(x,y)\\) του καρτεσιανού επιπέδου ισχύει\n$$|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5,$$\nοπότε αντικαθιστώντας από το (β) ερώτημα θα έχουμε\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}\\geq 5.$$\nΟπότε δεν υπάρχει ζεύγος \\((x,y)\\) πραγματικών αριθμών ώστε να ισχύει\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}=4.$$\nΕπομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(λ,λ+1)\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(3λ,λ-1)\\) με \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), και το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της \\(ΒΓ\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΜ}=(2λ,λ)\\).\nβ) Δίνεται επιπλέον ότι \\(Β\\hat{Α}Γ=90^o\\).i. Να υπολογίσετε το \\(λ\\).\nii. Αν \\(λ=\\frac{1}{2}\\) και \\(Α\\left(2,\\dfrac{3}{2}\\right)\\), να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=\\frac{\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AΓ}}{2}\\\\\n&=\\frac{(λ,λ+1)+(3λ,λ-1)}{2}\\\\\n&=\\frac{(λ+3λ,λ+1+λ-1)}{2}\\\\\n&=\\frac{(4λ,2λ)}{2}\\\\\n&=(2λ,λ).\\end{align}\nβ) i. Αφού \\(Β\\hat{Α}Γ=90^o\\), θα είναι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΒ}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=0\\\\\n\\iff&(λ,λ+1)\\cdot(3λ,λ-1)=0\\\\\n\\iff&3λ^2+(λ-1)(λ+1)=0\\\\\n\\iff&3λ^2+λ^2-1=0\\\\\n\\iff&4λ^2=1\\\\\n\\iff&λ=\\pm\\frac{1}{2}.\\end{align}\nii. Ο ζητούμενος κύκλος διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\). Επειδή όμως η εγγεγραμμένη γωνία \\(Β\\hat{Α}Γ\\) είναι ορθή, η απέναντί πλευρά \\(ΒΓ\\) θα είναι διάμετρος του κύκλου. Το κέντρο του θα βρίσκεται στο μέσο \\(Μ(x,y)\\) της διαμέτρου \\(ΒΓ\\). Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι\n$$\\overrightarrow{AM}=(2λ,λ)=\\left(2\\cdot\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)=\\left(1,\\dfrac{1}{2}\\right)$$\nκαι \\(Α\\left(2,\\dfrac{3}{2}\\right)\\). Όμως\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n\\iff&\\left(1,\\frac{1}{2}\\right)=\\left(x_M-2,y_M-\\frac{3}{2}\\right)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_M-2=1\\\\y_M-\\frac{3}{2}=\\frac{1}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_M=3\\\\y_M=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}=2\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το κέντρο \\(Μ\\) είναι το \\((3,2)\\). Η ακτίνα θα είναι η απόσταση\n\\begin{align}(AM)&=\\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(3-2)^2+\\left(2-\\frac{3}{2}\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{1+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{1+\\frac{1}{4}}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{5}{4}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{5}}{2}.\\end{align}\nΗ εξίσωση του κύκλου με κέντρο \\((x_0,y_0)\\) και ακτίνα \\(ρ\\) δίνεται από την εξίσωση \\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=ρ^2\\). Για κέντρο το \\((3,2)\\) και ακτίνα \\(\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\) έχουμε\n\\begin{align}&(x-3)^2+(y-2)^2=\\left(\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\right)^2\\\\\n&(x-3)^2+(y-2)^2=\\frac{5}{4}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(3,2)\\) και \\(Β(-1,-6)\\). Να βρεθούν:\nα) Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).\nγ) Η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Μ\\) του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες\n$$M\\left(\\frac{3+(-1)}{2},\\frac{2+(-6)}{2}\\right)=M(1,-2).$$\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι\n$$λ_{AB}=\\frac{2-(-6)}{3-(-1)}=\\frac{8}{4}=2.$$\nγ) Επειδή η ευθεία \\(ΑΒ\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε)\\), έχουμε \\(λ_{ΑΒ}\\cdot λ_ε=-1\\). Επιπλέον, από το (β), είναι \\(λ_{AB}=2\\), άρα\n$$2\\cdot λ_ε=-1\\iff λ_ε=-\\frac{1}{2}.$$\nΕπομένως η μεσοκάθετος \\((ε)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση\n$$y+2=-\\frac{1}{2}(x-1)\\iff x+2y+3=0.$$\nΕναλλακτική λύση\nΈνα σημείο \\(M(x,y)\\) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν\n$$\\begin{align}&d(M,A)=d(M,B)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}=\\sqrt{(-1-x)^2+(-6-y)^2}\\\\\n\\iff&(3-x)^2+(2-y)^2=(1+x)^2+(6+y)^2\\\\\n\\iff&9-6x+x^2+4-4y+y^2=1+2x+x^2+36+12y+y^2\\\\\n\\iff&x+2y+3=0.\\end{align}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων \\(Oxy\\) η εξίσωση \\(3x+4y=25\\) περιγράφει τη θέση ενός αγωγού ύδρευσης. Σε αυτό το σύστημα θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα κυκλικό σιντριβάνι με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και ακτίνα \\(2\\).\nα) i. Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου που περιγράφει την θέση του σιντριβανιού;\nii. Να εξετάσετε αν ο αγωγός ύδρευσης διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού, προκειμένου να ενωθεί με αυτό.\niii. Αν ο αγωγός ύδρευσης δεν διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού, ποιο σημείο του αγωγού ύδρευσης πρέπει να ενωθεί με το κέντρο του σιντριβανιού ώστε να έχουμε την μικρότερη δυνατή απόσταση, άρα και οικονομικότερη κατασκευή;\nβ) Ο μηχανικός που θέλει να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο, κατέληξε στην εξίσωση \\(λx+y+λ-2=0\\), με \\(λ\\neq0\\). Μπορείτε να τον βοηθήσετε να βρει για ποια τιμή του \\(λ\\) ο δρόμος αυτός εφάπτεται του σιντριβανιού;" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Ο κύκλος έχει κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\). Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) είναι της μορφής \\(x^2+y^2=ρ^2\\). Επομένως η εξίσωση γίνεται \\(x^2+y^2=4\\).ii. Για να διέρχεται ο αγωγός από το κέντρο \\(Ο\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση \\(3x+4y=25\\), δηλαδή \\(3\\cdot 0+4\\cdot 0=25\\), που δεν ισχύει. Επομένως, ο αγωγός δεν διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού.iii. Για να έχουμε την ελάχιστη δυνατή απόσταση θα πρέπει να φέρουμε την κάθετη \\(ΟΑ\\) από το κέντρο \\(Ο\\) προς την ευθεία του αγωγού. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας του αγωγού είναι \\(λ_1=-\\dfrac{A}{B}=-\\dfrac{3}{4}\\). Για να είναι η \\(ΑΟ\\) κάθετη στον αγωγό πρέπει\n\\begin{align}&λ_1λ_{ΑΟ}=-1\\\\\n\\iff&-\\frac{3}{4}λ_{ΑΟ}=-1\\\\\n\\iff&λ_{ΑΟ}=\\frac{4}{3}.\\end{align}\nΗ εξίσωση της \\(ΑΟ\\) θα είναι\n\\begin{align}&y-y_0=λ_{ΑΟ}(x-x_0)\\\\\n\\iff&y-0=\\frac{4}{3}(x-0)\\\\\n\\iff&y=\\frac{4}{3}x.\\end{align}\nΤο σημείο \\(Α\\) είναι το σημείο τομής της \\(ΑΟ\\) και της ευθείας του αγωγού. Για να βρεθεί λύνουμε το σύστημά τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x+4y=25\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x+4\\frac{4}{3}x=25\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}9x+16x=75\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}25x=75\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=3\\\\y=4\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το σημείο \\(Α\\) είναι το \\((3,4)\\).\nβ) Για να εφάπτεται ο δρόμος του κυκλικού σιντριβανιού πρέπει η απόσταση του κέντρου \\(Ο\\) από την ευθεία του δρόμου να ισούται με την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή \\(d(Ο,ε) = ρ\\). Είναι\n\\begin{align}&d(O,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|λ\\cdot 0+0+λ+2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&|λ-2|=2\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&|λ-2|^2=(2\\sqrt{λ^2+1})^2\\\\\n\\iff&λ^2-4λ+4=4(λ^2+1)\\\\\n\\iff&3λ^2+4λ=0\\\\\n\\iff&λ(3λ+4)=0.\\end{align}\nΈχουμε \\(λ=0\\), που απορρίπτεται λόγω της υπόθεσης \\((λ\\neq0)\\), ή \\(λ=-\\dfrac{4}{3}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες: \\(ε_1:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_2:\\ x-2y=-2\\)\nα) Να βρείτε το κοινό τους σημείο \\(M.\\)\nβ) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1), (ε_2)\\) και \\((ε_3):\\ 3x-y=4\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) θα λύσουμε το σύστημα:\n$$\\begin{align} & \\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ x-2y=-2\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ 2x-4y=-4\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} 5y=10 \\\\ x-2y=-2\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} y=2 \\\\ x=2\\end{cases}\\end{align}$$\nΟπότε το σημείο \\(Μ\\) έχει συντεταγμένες \\(Μ(2,2).\\)\nβ) Οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) και \\((ε_3):\\ 3x-y=4\\) θα διέρχονται από το ίδιο σημείο, εάν η ευθεία \\(3x-y=4\\) διέρχεται από το \\(M(2,2)\\), δηλαδή εάν: \\(3\\cdot 2-2=4\\), που ισχύει." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε μια σύγχρονη πόλη κατασκευάζεται σιδηροδρομικό δίκτυο που περιλαμβάνει:\nτη γραμμή \\(γ_1\\), κάθε σημείο της οποίας στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων είναι της μορφής \\(Α(λ-1,\\ 2λ+1)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nτη γραμμή \\(γ_2\\), που περνάει από το σταθμό \\(Σ(-4, 2)\\) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα \\(\\vec{u}=(-1, 3)\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι γραμμές \\(γ_1\\) και \\(γ_2\\).\nβ) Η είσοδος του αθλητικού σταδίου μιας συνοικίας θα βρίσκεται στο σημείο \\(Κ(1, 1)\\) του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Οι κατασκευαστές θέλουν να συνδέσουν την είσοδο του σταδίου απ’ ευθείας με κάθετο δρόμο, με μια από τις γραμμές \\(γ_1\\) και \\(γ_2\\). Να βρείτε με ποια από τις δύο γραμμές είναι πιο συμφέρουσα η σύνδεση. Δίνεται ότι το κόστος σύνδεσης ανά μονάδα μήκους είναι το ίδιο και για τις δύο γραμμές.\nγ) Γύρω από το στάδιο θα δημιουργηθεί κυκλικό πάρκο. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που θα ορίζει το πάρκο, αν το κέντρο του είναι το σημείο \\(Κ\\) και επιπλέον ο κύκλος αυτός εφάπτεται της γραμμής \\(γ_1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(Α(λ-1, 2λ+1)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), οπότε αν \\(Α(x, y)\\) τότε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=λ-1\\\\y=2λ+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}λ=x+1\\\\y=2(x+1)+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+3\\\\λ=x+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε \\(γ_1: 2x-y+3=0\\), η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκετε η γραμμή \\(γ_1\\). Επίσης, ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος \\(\\vec{u}=(-1, 3)\\) είναι\n$$λ=\\frac{y}{x}=\\frac{3}{-1}=-3=λ_{γ_2},$$\nοπότε η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκετε η γραμμή \\(γ_2\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Σ=λ_{γ_2}(x-x_Σ)\\\\\n\\iff&y-2=-3(x+4)\\\\\n\\iff&y-2=-3x-12\\\\\n\\iff&3x+y+10=0.\\end{align}\nβ) Είναι \\(Κ(1, 1)\\), οπότε λόγω του ερωτήματος (α) είναι\n\\begin{align}d(Κ,γ_1)&=\\frac{|2\\cdot 1-1\\cdot1+3|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|4|}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d(Κ,γ_2)&=\\frac{|3\\cdot 1+1\\cdot 1+10|}{\\sqrt{3^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|14|}{\\sqrt{10}}\\\\\n&=\\frac{14}{\\sqrt{10}}\\\\\n&=\\frac{14\\sqrt{10}}{10}\\\\\n&=\\frac{7\\sqrt{10}}{5}.\\end{align}\nΕφόσον\n$$\\frac{4\\sqrt{5}}{5} < \\frac{7\\sqrt{10}}{5}\\iff d(Κ,γ_1) < d(Κ,γ_2),$$\nπροφανώς συμφέρει η σύνδεση του σταδίου με τη γραμμή \\(γ_1\\).\nγ) Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου που ορίζει το κυκλικό πάρκο γύρω από το στάδιο είναι το σημείο \\(Κ(1,1)\\). Εφόσον ο κύκλος αυτός εφάπτεται στη γραμμή \\(γ_1\\), η ακτίνα του λόγω του ερωτήματος (β), είναι \\(ρ=d(Κ,γ_1)=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}\\). Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι\n\\begin{align}&(x-1)^2+(y-1)^2=\\left(\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\right)^2\\\\\n\\iff&(x-1)^2+(y-1)^2=\\frac{16}{5}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(α,0)\\) και \\(Β(0,β)\\) με \\(α,β > 0\\) και \\(α+β=10\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\), για κάθε τιμή των \\(α\\) και \\(β\\), είναι \\(x^2+y^2-αx-(10-α)y=0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι με διάμετρο την \\(ΑΒ\\), για τις διάφορες τιμές των \\(α\\) και \\(β\\), διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, την αρχή \\(Ο\\) των αξόνων και ένα σημείο \\(Ρ\\) του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.\nγ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων όλων των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\) για τις διάφορες τιμές των \\(α\\) και \\(β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το κέντρο των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\) είναι το μέσο της \\(Μ\\), επομένως\n$$M\\left(\\frac{α+0}{2},\\frac{β+0}{2}\\right)\\iff M\\left(\\frac{α}{2},\\frac{β}{2}\\right)$$\nκαι η ακτίνα τους είναι\n$$ρ=\\frac{AB}{2}=\\frac{\\sqrt{(0-α)^2+(β-0)^2}}{2}=\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}.$$\nΕπομένως η εξίσωση των κύκλων είναι:\n\\begin{align}&\\left(x-\\frac{α}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{β}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\right)^2\\\\\n\\iff&x^2-2x\\frac{α}{2}+\\frac{α^2}{4}+y^2-2y\\frac{β}{2}+\\frac{β^2}{4}=\\frac{α^2+β^2}{2}\\\\\n\\iff&x^2+y^2-αx-βy+\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}=\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}\\\\\n\\iff&x^2+y^2-αx-βy=0 \\quad(1)\\end{align}\nΕίναι όμως \\(α+β=10\\), οπότε \\(β=10-α\\) και η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται\n$$x^2+y^2-αx-(10-α)y=0.$$\nβ) Για \\(α=1\\) έχουμε τον κύκλο:\n$$C_1: x^2+y^2-x-9y=0\\quad(2)$$\nΓια \\(α=9\\) έχουμε τον κύκλο\n$$C_2: x^2+y^2-9x-y=0\\quad(3)$$\nΘα βρούμε τα κοινά σημεία των δύο παραπάνω κύκλων, αν υπάρχουν. Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις των παραπάνω κύκλων έχουμε\n$$8x-8y=0\\iff x=y.$$\nTότε από την εξίσωση \\((3)\\) έχουμε\n\\begin{align}&x^2+x^2-9x-x=0\\\\\n\\iff&2x^2-10x=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x=5.\\end{align}\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(y=0\\) και για \\(x=5\\) έχουμε \\(y=5\\), άρα οι δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία \\(Ο(0,0)\\) και \\(Ρ(5,5)\\). Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το σημείο \\(Ρ(5,5)\\) αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση των κύκλων \\(x^2+y^2-αx-(10-α)y=0\\).\nΠράγματι, αντικαθιστώντας τις τιμές \\(x=5\\) και \\(y=5\\) έχουμε\n$$5^2+5^2-α\\cdot 5-(10-α)\\cdot 5=0\\iff 0=0.$$\nΟμοίως, όλοι οι κύκλοι διέρχονται από την αρχή των αξόνων.\nγ) Έστω τυχαίο σημείο \\(Μ(x, y)\\) είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=\\frac{α}{2}\\\\y=\\frac{β}{2}\\\\α+β=10,\\ α > 0,\\ β > 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}α=2x\\\\β=2y\\\\α+β=10,\\ α > 0,\\ β > 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&2x+2y=10\\\\\n\\iff&x+y=5.\\end{align}\nΗ παραπάνω ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία \\((5,0)\\) και \\((0,5)\\). Επειδή \\(α, β > 0\\) έχουμε\n$$α > 0\\iff 2x > 0\\iff x > 0$$\nκαι\n$$β > 0\\iff y > 0.$$\nΣυνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ\\), που ορίζεται από την ευθεία \\(x+y=5\\) με \\(x > 0\\) και \\(y > 0\\), εκτός από τα άκρα του \\(Α(5,0)\\) και \\(Β(0,5)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β}\\) με \\(|\\vec{α}|=2,|\\vec{β}|=4,(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\) και το \\(\\vec{γ}=\\vec{α}-\\vec{β}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=4\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}=0\\).\nγ) Να βρείτε τη \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{γ}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=2\\cdot 4\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=8\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=4.\\end{align}\nβ) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}&=\\vec{α}\\cdot(\\vec{α}-\\vec{β})\\\\\n&=\\vec{α}^2-\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\\\\n&=|\\vec{α}|^2-4\\\\\n&=4-4\\\\\n&=0.\\end{align}\nγ) Είναι\n$$\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}=0\\iff\\vec{α}\\perp\\vec{γ}\\iff(\\widehat{\\vec{α},\\vec{γ}})=\\frac{π}{2}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ελλείψεις \\((C_1):\\ \\dfrac{x^2}{12}+\\dfrac{y^2}{6}=1\\) και \\((C_2):\\ \\dfrac{x^2}{6}+\\dfrac{y^2}{12}=1.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α(2,2)\\) και \\(Β(-2,2)\\) ανήκουν και στις δύο ελλείψεις.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης \\((ε_1)\\) της έλλειψης \\(C_1\\) στο σημείο \\(Α\\), και η εξίσωση της εφαπτομένης \\(ε_2\\) της έλλειψης \\((C_2)\\) στο σημείο \\(Β\\) είναι αντίστοιχα \\(x+2y-6=0\\) και \\(-2x+y-6=0.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες \\((ε_1),\\) \\((ε_2)\\) είναι κάθετες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν τις εξισώσεις των δύο ελλείψεων αφού\n$$\\frac{2^2}{12}+\\frac{2^2}{6}=\\frac{4}{12}+\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}+\\frac{1}{3}=1$$\nκαι\n$$\\frac{2^2}{6}+\\frac{2^2}{12}=\\frac{4}{6}+\\frac{4}{12}=\\frac{1}{3}+\\frac{2}{3}=1.$$\nΤο σημείο \\(Β\\) είναι συμμετρικό του σημείο \\(Α\\) ως προς τον άξονα \\(y'y,\\) επομένως επίσης θα ανήκει στις δύο ελλείψεις.\nβ) Η εφαπτομένη \\((ε_1)\\) της έλλειψης \\((C_1)\\) στο σημείο \\(Α\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&\\frac{2x}{12}+\\frac{2y}{6}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x}{6}+\\frac{2y}{6}=1\\\\\n\\iff&x+2y=6\\\\\n\\iff&x+2y-6=0.\\end{align}\nΑντίστοιχα, η εφαπτομένη \\((ε_2)\\) της έλλειψης \\((C_2)\\) στο σημείο \\(Β\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&\\frac{-2x}{6}+\\frac{2y}{12}=1\\\\\n\\iff&\\frac{-2x}{6}+\\frac{y}{6}=1\\\\\n\\iff&-2x+y=6\\\\\n\\iff&-2x+y-6=0.\\end{align}\nγ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης \\((ε_1)\\) είναι \\(λ_1=-\\dfrac{1}{2}\\) και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης \\((ε_2)\\) είναι \\(λ_2=2.\\) Οι εφαπτομένες \\((ε_1),\\) \\((ε_2)\\) είναι κάθετες, εφόσον\n$$λ_1λ_2=-\\frac{1}{2}\\cdot2=-1.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\) δίνονται τα σημεία \\(A(3,4)\\), \\(B(2,1)\\), \\(Γ(3,-1)\\) και \\(Δ(4,2)\\).\nα) Να σχεδιάσετε τα παραπάνω σημεία \\(A\\), \\(B\\), \\(Γ\\) και \\(Δ\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nβ) Είναι \\(A(3,4)\\), \\(B(2,1)\\), \\(Γ(3,-1)\\) και \\(Δ(4,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\) θα είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΒ}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(2-3,1-4)\\\\\n&=(-1,-3),\\\\\n\\overrightarrow{ΔΓ}&=(x_Γ-x_Δ,y_Γ-y_Δ)\\\\\n&=(3-4,-1-2)\\\\\n&=(-1,-3).\\end{align}\nγ) Από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\overrightarrow{ΔΓ}\\). Άρα τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\) θα έχουν ίσα μέτρα και θα είναι παράλληλα χωρίς να συμπίπτουν. Επομένως οι πλευρές \\(AB\\) και \\(ΔΓ\\) του τετραπλεύρου \\(ΑΒΓΔ\\) θα είναι ίσες και παράλληλες, οπότε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση\n$$x^2+y^2-4x-8y-5=0$$\nκαι η ευθεία\n$$ε:3x-4y=μ,\\ μ\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να βρείτε το κέντρο του κύκλου και την ακτίνα του.\nβ) Αν η ευθεία \\(ε\\) τέμνει τον κύκλο σε δύο διαφορετικά σημεία \\(Α\\), \\(Β\\):i. Να αποδείξετε ότι \\(-35 < μ < 15\\).\nii. Να βρείτε για ποια τιμή του \\(μ\\) η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το κέντρο του.\niii. Να βρεθεί σημείο \\(Γ\\) του κύκλου τέτοιο ώστε το τρίγωνο \\(ΓΑΒ\\) να είναι ισοσκελές με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}&x^2+y^2-4x-8y-5=0\\\\\n\\iff&x^2-4x+4-4+y^2-8y+16-16-5=0\\\\\n\\iff&(x-2)^2+(y-4)^2=25.\\end{align}\nΆρα το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο \\(Κ(2,4)\\) και η ακτίνα του είναι \\(ρ=5\\).\nβ) i. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου του από την ευθεία \\(ε\\) είναι μικρότερη της ακτίνας του. Δηλαδή\n\\begin{align}&d(K,ε) < ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|3\\cdot2-4\\cdot4-μ|}{\\sqrt{3^2+4^2}} < 5\\\\\n\\iff&\\frac{|-10-μ|}{5} < 5\\\\\n\\iff&|μ+10| < 25\\\\\n\\iff&-25 < μ+10 < 25\\\\\n\\iff&-35 < μ < 15.\\end{align}\nii. Αν η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\) θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή\n$$3\\cdot2-4\\cdot4=μ\\iff μ=-10.$$\nΗ τιμή \\(μ=-10\\) είναι δεκτή, αφού βρίσκεται στο διάστημα \\((-35, 15)\\) που βρήκαμε στο (β.i) ερώτημα.iii. Το ζητούμενο σημείο \\(Γ\\) θα είναι η κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου \\(ΓΑΒ\\) με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\). Άρα το \\(Γ\\) θα ανήκει στη μεσοκάθετο ευθεία \\(δ\\) της χορδής \\(ΑΒ\\) που είναι ο φορέας του αποστήματος της χορδής αυτής και είναι ευθεία που διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ε\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΒ}=λ_ε=\\dfrac{3}{4}\\). Επειδή \\(δ\\perp ε\\), θα είναι\n$$λ_δ\\cdot λ_ε=-1\\iff λ_δ=-\\frac{4}{3}.$$\nΟπότε η εξίσωση της ευθείας \\(δ\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_K=-\\frac{4}{3}(x-x_K)\\\\\n\\iff&y-4=-\\frac{4}{3}(x-2)\\\\\n\\iff&3y-12=-4x+8\\\\\n\\iff&4x+3y=20.\\end{align}\nΤα σημεία τομής της ευθείας \\(δ\\) με τον κύκλο είναι τα ζητούμενα σημεία. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x^2+y^2-4x-8y-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2+\\frac{1}{9}(20-4x)^2-4x-8\\frac{1}{3}(20-4x)-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}9x^2+400+16x^2-160x-36x-480+96x-45=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-100x-125=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-4x-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=5\\\\y=0\\end{cases}\\text{ ή }\\begin{cases}x=-1\\\\y=8\\end{cases}\\end{align}\nΆρα υπάρχουν δύο σημεία του κύκλου τέτοια ώστε το τρίγωνο \\(ΓΑΒ\\) να είναι ισοσκελές με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\), τα \\(Γ(5,0)\\) και \\(Γ'(-1,8)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ρόμβος \\(ΑΒΓΔ\\) με κέντρο \\(Ο\\), πλευρά \\(4\\) και \\(\\hat{Α}=60^ο\\). Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:\nα) \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\)\nβ) \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}\\)\nγ) \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΟ}\\)\nδ) \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΒ}\\)\nε) \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α)\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}&=|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΔ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν60^ο\\\\\n&=16\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=8.\\end{align}\nβ) Τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) είναι ομόρροπα οπότε σχηματίζουν γωνία \\(0^ο\\). Οπότε,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}&=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΒΓ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν0^ο\\\\\n&=16\\cdot 1\\\\\n&=16.\\end{align}\nγ) Οι διαγώνιες του ρόμβου διχοτομούνται, οπότε \\(\\overrightarrow{ΑΟ}=\\overrightarrow{ΟΓ}\\), και τέμνονται κάθετα, οπότε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΟΓ}\\) σχηματίζουν γωνία \\(90^ο\\) και έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν. Συνεπώς\n$$\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΟ}=\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΓ}=0.$$\nδ) Το τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) είναι ισοσκελές αφού οι δυο πλευρές του είναι πλευρές του ρόμβου, με γωνία της κορυφής \\(60^ο\\). Άρα το τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) είναι ισόπλευρο με πλευρά \\(4\\). Το \\(Ο\\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου, οπότε \\(ΒΟ=ΟΔ=2\\). Άρα είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΒ}&=|\\overrightarrow{ΟΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΟΒ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΟΔ},\\overrightarrow{ΟΒ}})\\\\\n&=2\\cdot 2\\cdot συν180^ο\\\\\n&=4\\cdot (-1)\\\\\n&=-4.\\end{align}\nε) Για τη γωνία \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})\\) ισχύει\n$$(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})=(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΒΑ}})=180^ο-60^ο=120^ο.$$\nΟπότε,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}&=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΓΔ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν120^ο\\\\\n&=16\\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=-8.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(ε:-x+y-2=0\\) και τα σημεία \\(Α(-5,1)\\) και \\(Β(-3,5)\\).\nα) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου \\(Α\\) ως προς το σημείο \\(Β\\).\nβ) Να βρείτε:i. την εξίσωση της ευθείας \\(ε'\\) που διέρχεται από το \\(Β\\) και είναι κάθετη στην \\(ε\\).\nii. το σημείο τομής των ευθειών \\(ε\\) και \\(ε'\\).\niii. το συμμετρικό του σημείου \\(Β\\) ως προς την ευθεία \\(ε\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΈστω \\(Α'\\) το συμμετρικό του \\(Α\\) ως προς το \\(Β\\). Τότε το σημείο \\(Β\\) θα είναι το μέσο του \\(ΑΑ'\\), οπότε:\n\\begin{align}&x_B=\\frac{x_A+x_{A'}}{2}\\\\\n\\iff&x_{A'}=2x_B-x_A\\\\\n\\iff&x_{A'}=2\\cdot(-3)-(-5)=-1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_B=\\frac{y_A+y_{A'}}{2}\\\\\n\\iff&y_{A'}=2y_B-y_A\\\\\n\\iff&y_{A'}=2\\cdot 5-1=9.\\end{align}\nΆρα \\(Α'(-1,9)\\).\nβ) i. Είναι\n$$λ_ε=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{-1}{1}=1.$$\nκαι\n\\begin{align}&ε'\\perp ε\\\\\n\\iff&λ_{ε'}\\cdot λ_ε=-1\\\\\n\\iff&λ_{ε'}\\cdot 1=-1\\\\\n\\iff&λ_{ε'}=-1,\\end{align}\nοπότε \\(ε'\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_B=λ_{ε'}(x-x_B)\\\\\n\\iff&y-5=-1\\cdot(x+3)\\\\\n\\iff&y=-x+2.\\end{align}\nii. Έστω \\(Μ\\) το σημείο τομής των ευθειών \\(ε\\), \\(ε'\\). Οι συντεταγμένες του του \\(Μ\\) θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των \\(ε\\), \\(ε'\\). Είναι\n$$\\begin{cases}-x+y=2\\\\x+y=2\\end{cases}\\iff\\begin{cases}x=0\\\\y=2\\end{cases}$$\nάρα \\(Μ(0, 2)\\).iii. Αν \\(Β'\\) είναι το συμμετρικό του \\(Β\\) ως προς την ευθεία \\(ε\\), τότε το \\(Β'\\) είναι σημείο της ευθείας \\(ε'\\) και το \\(Μ\\) θα είναι το μέσο του \\(ΒΒ'\\), οπότε\n\\begin{align}&x_Μ=\\frac{x_Β+x_{B'}}{2}\\\\\n\\iff&x_{B'}=2x_Μ-x_Β\\\\\n\\iff&x_{B'}=2\\cdot 0-(-3)=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_Μ=\\frac{y_Β+y_{B'}}{2}\\\\\n\\iff&y_{B'}=2y-y_Β\\\\\n\\iff&y_{B'}=2\\cdot2-5=-1,\\end{align}\nάρα \\(Β'(3,-1)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1), Γ(4,-1)\\) και το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{AB}=(3,-1)\\).\nα) Να βρεθεί το σημείο \\(Β\\).\nβ) Αν \\(Β(5,0)\\):i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Α, Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.\nii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n\\iff&(3,-1)=(x_B-2,y_B-1)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B-2=3\\\\y_B-1=-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B=5\\\\y_B=0\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα \\(B(5,0)\\).\nβ) i. Είναι\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΑΓ} &=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(4-2,-1-1)\\\\\n&=(2,-2)\\end{align}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3,-1)$$\nΓια να ορίζουν τρίγωνο αρκεί: \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\neq 0\\).\nΠράγματι,\n$$\\begin{vmatrix}3&-1\\\\2&-2\\end{vmatrix}=3(-2)-2(-1)=-6+2=-4.$$\nΕπομένως, τα σημεία \\(Α, Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.ii. Το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) δίνεται από τον τύπο:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})|=\\frac{1}{2}|-4|=\\frac{1}{2}\\cdot 4=2.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,-2)\\) και \\(\\vec{β}=(1,1)\\) τα οποία έχουν κοινή αρχή το σημείο \\(Κ(2,1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι κάθετα.\nβ) Αν το σημείο \\(Α\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{α}\\), \\(Β\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{β}\\) και \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\) ένα τυχαίο σημείο της ευθείας \\(ΑΒ\\),i. να δείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι \\(Α(4,-1)\\) και \\(Β(3,2)\\).\nii. να δείξετε ότι \\(3x_Γ+y_Γ=11\\).\niii. να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\), αν ισχύει ότι το \\(Γ\\) είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) και \\(|\\overrightarrow{ΚΓ}|=\\dfrac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=2\\cdot 1+(-2)\\cdot 1=0\\), άρα τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι κάθετα.\nβ) i. Το σημείο \\(Κ(2,1)\\) είναι η αρχή και το σημείο \\(Α\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{α}=(2,-2)\\), οπότε\n$$x_Α-x_Κ=2\\iff x_Α-2=2\\iff x_Α=4$$\nκαι\n$$y_Α-y_Κ=-2\\iff y_Α-1=-2\\iff y_Α=-1.$$\nΆρα \\(Α(4,-1)\\). Το σημείο \\(Κ(2,1)\\) είναι η αρχή και το σημείο \\(Β\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{β}=(1,1)\\), οπότε\n$$x_Β-x_Κ=1\\iff x_Β-2=1\\iff x_Β=3$$\nκαι\n$$y_Β-y_Κ=1\\iff y_Β-1=1\\iff y_Β=2.$$\nΆρα \\(Β(3,2)\\).ii. Η ευθεία \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση:\n\\begin{align}&y-2=\\frac{2-(-1)}{3-4}\\cdot (x-3)\\\\\n\\iff&y-2=-3\\cdot(x-3)\\\\\n\\iff&3x+y=11.\\end{align}\nΤο σημείο \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\) είναι ένα σημείο της ευθείας \\(ΑΒ\\), άρα οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή \\(3x_Γ+y_Γ=11\\).iii. Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{ΚΓ}|=\\frac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x_Γ-2)^2+(y_Γ-1)^2}=\\frac{1}{2}\\sqrt{(3-4)^2+(2+1)^2}\\\\\n\\iff&(x_Γ-2)^2+(y_Γ-1)^2=\\frac{10}{4}\\\\\n\\overset{\\textbf{(β.ii)}}{\\iff}&(x_Γ-2)^2+(10-3x_Γ)^2=\\frac{10}{4}\\\\\n\\iff&5x_Γ^2-32x_Γ+\\frac{203}{4}=0.\\end{align}\nΗ τελευταία εξίσωση είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με \\(Δ=9 > 0\\) και ρίζες \\(x_1=\\dfrac{35}{10}=3,5\\) και \\(x_2=\\dfrac{29}{10}=2,9\\). Επειδή το \\(Γ\\) είναι εσωτερικό του τμήματος \\(ΑΒ\\), η τετμημένη του θα πρέπει να είναι μεταξύ \\(3\\) και \\(4\\). Άρα \\(x_Γ=3,5\\) και\n$$3\\cdot 3,5+y_Γ=11\\iff y_Γ=0,5.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(2λ+1)x-(λ-2)y+λ-7=0\\quad(Ε), \\text{ με }λ\\in\\mathbb{R}$$\nκαι η ευθεία \\((ζ)\\) με εξίσωση \\(6x-8y+3=0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) η εξίσωση \\((Ε)\\) παριστάνει ευθεία.\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση \\((Ε)\\), για τα διάφορα \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), διέρχονται από το ίδιο σημείο, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), ώστε ευθεία \\((ε)\\) που ορίζεται από την εξίσωση \\((Ε)\\) να είναι παράλληλη στη ευθεία \\((ζ)\\). Ποια είναι η εξίσωση της \\((ε)\\);\nδ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου \\(Μ(1,3)\\) από την ευθεία \\((ζ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε την εξίσωση\n$$(2λ+1)x-(λ-2)y+λ-7=0\\quad (Ε)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) που είναι της μορφής \\(Αx+Βy+Γ=0\\), με \\(Α=2λ+1\\) και \\(Β= λ-2\\). Οπότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}Α=0\\\\Β=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2λ+1=0\\\\λ-2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}λ=-\\frac{1}{2}\\\\λ=2\\end{cases}\\end{align}\nκαι άρα για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) είναι \\(Α\\neq0\\) ή \\(Β\\neq0\\), επομένως η εξίσωση \\((Ε)\\) παριστάνει ευθεία.\nβ) Η εξίσωση \\((Ε)\\) γράφεται\n\\begin{align}&2λx+x-λy+2y+λ-7=0\\\\\n\\iff&(2x-y+1)λ+(x+2y-7)=0.\\end{align}\nΓια να αληθεύει για κάθε \\(λ\\) η παραπάνω εξίσωση πρέπει και αρκεί:\n\\begin{align}&\\begin{cases}2x-y+1=0\\\\x+2y-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+1\\\\x+2(2x+1)-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+1\\\\x+4x+2-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=1\\\\y=3\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως, όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση \\((Ε)\\) διέρχονται από το σημείο \\(Μ(1,3)\\).\nγ) Η ευθεία \\((ζ)\\) είναι παράλληλη στο διάνυσμα \\(\\vec{δ}_1=(Β,-Α)=(-8,-6)\\). Οι ευθείες της οικογένειας ευθειών \\((Ε)\\) είναι παράλληλες στο διάνυσμα \\(\\vec{δ}_2=(Β,-Α)=(-λ+2,-2λ-1)\\). Οπότε\n\\begin{align}&\\vec{δ}_1\\parallel \\vec{δ}_2\\\\\n\\iff&\\det(\\vec{δ}_1,\\vec{δ}_2)=0\\\\\n\\iff&\\begin{vmatrix}-8&-6\\\\-λ+2&-2λ-1\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&16λ+8-6λ+12=0\\\\\n\\iff&10λ=-20\\\\\n\\iff&λ=-2.\\end{align}\nΓια \\(λ=-2\\) από την εξίσωση \\((Ε)\\) παίρνουμε \\(-3x+4y-9=0\\). Άρα \\(ε:-3x+4y-9=0\\) είναι η ζητούμενη ευθεία.\nδ) Είναι \\((ζ): 6x-8y+3=0\\), οπότε\n\\begin{align}d(M,ζ)&=\\frac{|6\\cdot1-8\\cdot3+3|}{\\sqrt{6^2+(-8)^2}}\\\\\n&=\\frac{|15|}{\\sqrt{100}}\\\\\n&=\\frac{15}{10}\\\\\n&=\\frac{3}{2}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,-3)\\) και \\(\\vec{β}=(-2,-1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\vec{u}=3\\vec{α}-5\\vec{β}\\) και \\(\\vec{v}=5\\vec{α}-9\\vec{β}\\).\nβ) Αν \\(\\vec{w}=2\\vec{u}-\\vec{v}\\), να γράψετε το \\(\\vec{w}\\) ως γραμμικό συνδυασμό των \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\).\nγ) Αν τα \\(\\vec{β}\\), \\(\\vec{w}\\), \\(\\vec{u}\\) είναι τα διανύσματα θέσης των σημείων \\(Κ\\), \\(Λ\\) και \\(Μ\\), αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{u}&=3\\vec{α}-5\\vec{β}\\\\\n&=3(1,-3)-5(-2,-1)\\\\\n&=(3,-9)-(-10,-5)\\\\\n&=(13,-4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\vec{v}&=5\\vec{α}-9\\vec{β}\\\\\n&=5(1,-3)-9(-2,-1)\\\\\n&=(5,-15)-(-18,-9)\\\\\n&=(23,-6).\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}\\vec{w}&=2\\vec{u}-\\vec{v}\\\\\n&=2(3\\vec{α}-5\\vec{β})-(5\\vec{α}-9\\vec{β})\\\\\n&=6\\vec{α}-10\\vec{β}-5\\vec{α}+9\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-\\vec{β}.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΚΛ}&=\\vec{w}-\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-\\vec{β}-\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-2\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΛΜ}&=\\vec{u}-\\vec{w}\\\\\n&=3\\vec{α}-5\\vec{β}-\\vec{α}+\\vec{β}\\\\\n&=2\\vec{α}-4\\vec{β}\\\\\n&=2(\\vec{α}-2\\vec{β})\\\\\n&=2\\cdot\\overrightarrow{ΚΛ}.\\end{align}\nΆρα τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΚΛ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΛΜ}\\) είναι παράλληλα, οπότε τα σημεία \\(Κ\\), \\(Λ\\), \\(Μ\\) είναι συνευθειακά." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C:x^2+y^2=4\\) και το σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\).\nα) i. Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α\\) είναι εξωτερικό του κύκλου \\(C\\).\nii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου \\(C\\) που διέρχονται από το σημείο \\(Α\\) και να αποδείξετε ότι είναι μεταξύ τους κάθετες.\nβ) Αν \\(Β\\), \\(Γ\\) τα σημεία επαφής του κύκλου \\(C\\) με τις εφαπτόμενες ευθείες από το σημείο \\(Α\\), να υπολογίσετε το εμβαδό του τετραπλεύρου \\(ΑΒΟΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΤο σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\) είναι εξωτερικό του κύκλου \\(C\\) γιατί είναι σημείο του θετικού ημιάξονα \\(Ox\\) με \\((ΟΑ)=2\\sqrt{2} > 2\\).\nΟι ευθείες που διέρχονται από το σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\) είναι:\n\\(\\bullet\\) Η κατακόρυφη \\(x=2\\sqrt{2}\\) που δεν είναι εφαπτομένη του κύκλου \\(C\\) γιατί \\(d(O,ε)=2\\sqrt{2}\\).\n\\(\\bullet\\) Οι ευθείες \\((ε)\\) με εξίσωση\n$$y-0=λ(x-2\\sqrt{2})$$\n$$\\iff λx-y-2λ\\sqrt{2}=0,\\ λ\\in\\mathbb{R}.$$\nΗ \\((ε)\\) είναι εφαπτομένη του \\(C\\) αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου του, \\(Ο\\), από αυτή ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Δηλαδή\n\\begin{align}&d(O,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|λ\\cdot 0-0-2λ\\sqrt{2}|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&2\\sqrt{2}|λ|=2\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&8λ^2=4λ^2+4\\\\\n\\iff&4λ^2-4=0\\\\\n\\iff&λ^2=1\\\\\n\\iff&λ=\\pm1.\\end{align}\nΓια \\(λ=1\\) είναι\n$$ε_1:y=x-2\\sqrt{2}$$\nκαι για \\(λ=-1\\) έχουμε\n$$ε_2:y=-x+2\\sqrt{2}.$$\nΠαρατηρούμε ότι οι συντελεστές διεύθυνσης \\(λ_1\\) και \\(λ_2\\) των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι \\(1\\) και \\(-1\\), αντίστοιχα, και \\(λ_1\\cdot λ_2=-1\\). Άρα οι εφαπτόμενες ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) του κύκλου από το σημείο \\(Α\\) είναι μεταξύ τους κάθετες.\nβ) Αν \\(Β\\), \\(Γ\\) τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) με τον κύκλο \\(C\\), τότε οι ακτίνες του κύκλου στα σημεία αυτά είναι κάθετες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες. Δηλαδή το τετράπλευρο \\(ΑΒΟΓ\\) έχει \\(3\\) ορθές γωνίες, οπότε είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επειδή \\(ΟΑ=ΟΒ=2\\) ως ακτίνες του κύκλου, είναι επιπλέον και ρόμβος. Επομένως το \\(ΑΒΟΓ\\) είναι τετράγωνο με πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή \\(2\\).\nΣυνεπώς \\((ΑΒΟΓ)=2^2=4\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο \\(Λ(2,6)\\) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο \\(Π(λ-1,2+λ)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) i. Αν το πλοίο κινείται ευθύγραμμα, να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του.\nii. Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι.\nβ) Αν τελικά το πλοίο δεν περάσει από το λιμάνι, να βρείτε:i. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του πλοίου από το λιμάνι.\nii. Το σημείο του καρτεσιανού επιπέδου που βρίσκεται το πλοίο όταν απέχει την ελάχιστη απόσταση από το λιμάνι." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Για το σημείο \\(Π(λ-1,2+λ)\\) έχουμε:\n$$\\begin{cases}x_Π=λ-1\\\\y_Π=2+λ\\end{cases}$$\nΑπαλείφοντας το \\(λ\\) από τις \\(2\\) εξισώσεις, έχουμε ότι \\(y_Π=x_Π+3\\). Επομένως η τροχιά του πλοίου είναι η ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x-y+3=0\\).ii. Το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του λιμανιού \\(Λ(2,6)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της τροχιάς του, δηλαδή την εξίσωση \\(x-y+3=0\\). Για \\(y=6\\) και \\(x=2\\) έχουμε\n$$2-6+3=-1\\neq0.$$\nΆρα το πλοίο δεν θα περάσει από το λιμάνι.\nβ)\ni. Η ελάχιστη απόσταση του πλοίου από το λιμάνι είναι το μήκος του κάθετου τμήματος \\(ΛΠ\\), με \\(Π\\) το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με την ευθεία \\((ζ)\\) που είναι κάθετη στην \\((ε)\\) και διέρχεται από το \\(Λ\\). Υπολογίζεται με την απόσταση του σημείου \\(Λ\\) από την \\((ε)\\). Δηλαδή\n\\begin{align}d(Λ,ε)&=\\frac{|2-6+3|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{2}}{2}.\\end{align}\nii. Η ευθεία \\((ζ)\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε)\\), άρα \\(λ_ζ\\cdot λ_ε=-1\\). Επειδή \\(λ_ε=1\\), έχουμε ότι \\(λ_ζ=-1\\) και η εξίσωση της \\((ζ)\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_Λ=-(x-x_Λ)\\\\\n\\iff&y-6=-x+2\\\\\n\\iff&x+y=8.\\end{align}\nΗ θέση του πλοίου είναι το κοινό σημείο των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ζ)\\), που προσδιορίζεται από τη λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x-y=-3\\\\x+y=8\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x=5\\\\x+y=8\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=\\frac{5}{2}\\\\y=\\frac{11}{2}\\end{cases}\\end{align}\nΆρα όταν το πλοίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από το λιμάνι, βρίσκεται στο σημείο \\(\\left(\\dfrac{5}{2},\\dfrac{11}{2}\\right)\\) του καρτεσιανού επιπέδου." } ]

[ { "from": "human", "value": "Στο χάρτη μίας πεδινής περιοχής, που είναι εφοδιασμένος με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, δύο κωμοπόλεις \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν συντεταγμένες \\(Α(3,6)\\) και \\(Β(7,-2)\\).\nα) Ανάμεσα στις δύο κωμοπόλεις, θα κατασκευαστεί ευθεία σιδηροδρομική γραμμή, κάθε σημείο της οποίας θα ισαπέχει από αυτές. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, πάνω στην οποία βρίσκεται η σιδηροδρομική γραμμή.\nβ) Πάνω στην σιδηροδρομική γραμμή θα κατασκευαστεί σταθμός \\(Σ\\), ώστε το εμβαδόν της περιοχής που ορίζεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Σ\\) να ισούται με \\(20\\) τετραγωνικές μονάδες. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σταθμού \\(Σ\\) στο χάρτη." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον τα σημεία της ευθείας \\((ε)\\) πάνω στην οποία βρίσκεται η σιδηροδρομική γραμμή ισαπέχουν από τα \\(Α\\), \\(Β\\), αυτή θα είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\). Αν \\(Μ\\) το μέσο του \\(ΑΒ\\), τότε\n\\begin{align}&x_M=\\frac{x_A+x_B}{2}=\\frac{3+7}{2}=5,\\\\\n&y_M=\\frac{y_A+y_B}{2}=2,\\end{align}\nάρα \\(Μ(5, 2)\\). Επίσης\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}=\\frac{-2-6}{7-3}=-2,$$\nοπότε\n\\begin{align}&ε\\perp ΑΒ\\\\\n\\iff&λ_ε\\cdot λ_{ΑΒ}=-1\\\\\n\\iff&λ_ε=\\frac{-1}{λ_{ΑΒ}}=\\frac{-1}{-2}=\\frac{1}{2},\\end{align}\nάρα εξίσωση της \\((ε)\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_M=λ_ε(x-x_M)\\\\\n\\iff&y-2=\\frac{1}{2}(x-5)\\\\\n\\iff&2y-4=x-5\\\\\n\\iff&x-2y-1=0.\\end{align}\nβ) Θέλουμε\n$$(ΣΑΒ) = 20\\quad (1)$$\nΑν \\(Σ(x, y)\\), τότε\n\\begin{align}&Σ\\in ε\\\\\n\\iff&x-2y-1=0\\\\\n\\iff&x=2y+1\\quad(2)\\end{align}\nοπότε \\(Σ(2y +1, y)\\). Ακόμη,\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_Β-x_Α, y_Β-y_Α)\\\\\n&= (7-3,-2-6)\\\\\n&= (4, -8)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΣ}&=(x_Σ-x_Α, y_Σ-y_Α)\\\\\n&=(2y+1-3, y-6)\\\\\n&=(2y-2, y-6),\\end{align}\nοπότε από την \\((1)\\) είναι\n\\begin{align}&\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΣ})|=20\\\\\n\\iff&|\\begin{vmatrix}4&-8\\\\2y-2&y-6\\end{vmatrix}|=40\\\\\n\\iff&|4(y-6)-(-8)(2y-2)|=40\\\\\n\\iff&|4y-24+16y-16|=40\\\\\n\\iff&|20y-40|=40\\\\\n\\iff&20|y-2|=40\\\\\n\\iff&|y-2|=2\\\\\n\\iff&y-2=\\pm2\\\\\n\\iff&y=0\\text{ ή }y=4.\\end{align}\nΓια \\(y=0\\) από την \\((2)\\) παίρνουμε \\(x=1\\). Για \\(y=4\\) από την \\((2)\\) παίρνουμε \\(x=9\\). Άρα \\(Σ(1, 0)\\) ή \\(Σ(9, 4)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,2)\\), \\(Β(3,4)\\) και \\(Γ(5,-2)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και να αποδείξετε ότι η γωνία \\(\\hat{A}\\) είναι ορθή.\nβ) Αν \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\), να βρείτε τα μέτρα των \\(\\overrightarrow{AM}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\).\nγ) Να γραφτεί το \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) ως γραμμικός συνδυασμός των \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{AM}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(5-1,-2-2)=(4,-4).$$\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=2\\cdot4+2\\cdot(-4)=0$$\nπου σημαίνει ότι \\(\\overrightarrow{AB}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\), οπότε \\(\\hat{A}=90^0\\).\nβ) Το \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\), άρα οι συντεταγμένες του είναι \\(\\left(\\dfrac{3+5}{2},\\dfrac{-2+4}{2}\\right)\\), δηλαδή \\(Μ(4,1)\\) και \\(\\overrightarrow{AM}=(3,-1)\\), άρα\n$$|\\overrightarrow{AM}|=\\sqrt{3^2+(-1)^2}=\\sqrt{10}.$$\nTo τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο στο \\(Α\\) και η \\(ΑΜ\\) είναι διάμεσος, άρα \\((ΒΓ)=2(ΑΜ)\\) και επομένως\n$$|\\overrightarrow{ΒΓ}|=2|\\overrightarrow{AM}|=2\\sqrt{10}.$$\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=2\\overrightarrow{ΜΓ}\\\\\n&=2(\\overrightarrow{MA}+\\overrightarrow{AΓ})\\\\\n&=-2\\overrightarrow{AM}+2\\overrightarrow{ΑΓ}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(-3,-1)\\) και σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(\\dfrac{3π}{4}\\).\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ε\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία \\(ε\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) είναι \\(E=8\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον η \\(ε\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(\\dfrac{3π}{4}\\), θα είναι \\(λ=εφ\\dfrac{3π}{4}=-1\\), οπότε η \\(ε\\) θα έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n&y+1=-1(x+3)\\\\\n&y=-x-3-1\\\\\n&y=-x-4.\\end{align}\nβ) Από την εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) για \\(x=0\\) έχουμε \\(y=-4\\). Επίσης για \\(y=0\\) είναι \\(x=-4\\). Άρα η \\(ε\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Κ(-4,0)\\) και τον \\(y'y\\) στο \\(Λ(0,-4)\\). Επομένως\n\\begin{align}(ΟΚΛ)&=\\frac{1}{2}(ΟΚ)\\cdot(ΟΛ)\\\\\n&=\\frac{1}{2}|x_Κ|\\cdot|y_Λ|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-4|\\cdot|-4|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 4\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 16\\\\\n&=8.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Πλανήτης κινείται πάνω σε επίπεδο, ελλειπτικά γύρω από τον ήλιο του. Στο καρτεσιανό επίπεδο ο ήλιος βρίσκεται στην εστία της έλλειψης \\(Ε(γ,0),\\) ενώ η άλλη εστία είναι στο \\(Ε'(-γ,0).\\) Η εκκεντρότητα της τροχιάς είναι \\(0,6\\) ενώ ο μεγάλος άξονας έχει μήκος \\(10.\\)\nα) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς.\nβ) Θεωρούμε ότι ο πλανήτης κινείται πάνω στην \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1.\\)i. Τη στιγμή που ο πλανήτης βρίσκεται στο σημείο \\(Γ\\left(3,\\dfrac{16}{5}\\right)\\), εκπέμπεται από αυτόν σήμα που κινείται κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς του προς τη μεριά του άξονα \\(Οy\\). Να εξετάσετε αν αυτό το σήμα θα περάσει από το σημείο \\(Δ(0,5).\\)\nii. Κομήτης κινείται στο ίδιο επίπεδο με τον πλανήτη και πάνω στην καμπύλη \\(\\dfrac{x^2}{25}-\\dfrac{y^2}{16}=1\\) με \\(x > 0.\\) Ποια είναι τα σημεία συνάντησης των δύο τροχιών;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης είναι μήκους \\(2α,\\) οπότε \\(2α =10,\\) και άρα \\(α=5.\\) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι \\(ε=\\dfrac{γ}{α}\\), οπότε\n$$\\frac{γ}{α}=0.6\\iff\\frac{γ}{5}=0.6\\iff γ=3.$$\nΌμως\n$$β^2=α^2-γ^2=5^2-3^2=25-9=16,$$\nάρα η εξίσωση της έλλειψης δίνεται από τον τύπο\n$$\\frac{x^2}{α^2}+\\frac{y^2}{β^2}=1\\iff\\frac{x^2}{25}+\\frac{y^2}{16}=1.$$\nβ) i. Η εφαπτομένη της έλλειψης σε σημείο \\((x_1,y_1)\\) δίνεται από τον τύπο \\(\\dfrac{xx_1}{α^2}+\\dfrac{yy_1}{β^2}=1.\\) Εφόσον το σημείο επαφής είναι το \\(Γ\\left(3,\\dfrac{16}{5}\\right)\\), η εξίσωση της εφαπτομένης θα γίνει\n$$\\frac{3x}{25}+\\frac{\\frac{16}{5}y}{16}=1\\iff\\frac{3x}{25}+\\frac{y}{5}=1.$$\nΓια να διέρχεται από το σημείο \\(Δ(0,5)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να την επαληθεύουν. Πράγματι,\n$$\\frac{3\\cdot0}{25}+\\frac{5}{5}=1\\iff 1=1,$$\nπου σημαίνει ότι η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο \\(Δ.\\)ii. Σημεία συνάντησης των τροχιών είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους, εφόσον υπάρχουν. Οι εξισώσεις είναι \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\) και \\(\\dfrac{x^2}{25}-\\dfrac{y^2}{16}=1.\\) Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε\n$$2\\frac{x^2}{25}=2\\iff x^2=25\\overset{x>0}{\\Longleftrightarrow} x=5$$\nΗ \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\) για \\(x=5\\) μας δίνει\n\\begin{align}&\\frac{5^2}{25}+\\frac{y^2}{16}=1\\\\\n&\\iff1+\\frac{y^2}{16}=1\\\\\n&\\iff\\frac{y^2}{16}=0\\\\\n&\\iff y=0.\\end{align}\nΣημείο συνάντησης είναι λοιπόν το \\((5,0).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1)\\), \\(Β(6,3)\\), \\(Δ(1,-2)\\) και \\(Γ(9,2)\\). Να αποδείξετε ότι:\nα) Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\((4,2)\\) και το μέσο \\(Ν\\) του τμήματος \\(ΓΔ\\) έχει συντεταγμένες \\((5,0)\\).\nβ) \\(\\overrightarrow{MN}=(1,-2)\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}=(8,4)\\).\nγ) \\(\\overrightarrow{MN}\\perp\\overrightarrow{ΔΓ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Μ(x_M,y_M)\\) και \\(Ν(x_N,y_N)\\), είναι\n\\begin{align}&x_M=\\frac{6+2}{2}=4,\\\\\n&y_M=\\frac{3+1}{2}=2\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&x_N=\\frac{9+1}{2}=5,\\\\\n&y_N=\\frac{2-2}{2}=0.\\end{align}\nβ) Είναι\n$$\\overrightarrow{MN}=(5-4,0-2)=(1,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΔΓ}=(9-1,2-(-2))=(8,4).$$\nγ) 'Εχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{MN}\\cdot\\overrightarrow{ΔΓ}&=(1,-2)\\cdot(8,4)\\\\\n&=1\\cdot8+(-2)\\cdot4\\\\\n&=8-8\\\\\n&=0.\\end{align}\nΆρα \\(\\overrightarrow{MN}\\perp\\overrightarrow{ΔΓ}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνονται τα σημεία \\(𝛢(−1,6),\\ 𝛣(1,2)\\) και \\(𝛤(3,−2).\\)\nα) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{BΓ}.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά.\nγ) Να αποδείξετε ότι το \\(Β\\) είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΓ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{AB} & =(𝑥_𝛣−𝑥_𝐴,\\ 𝑦_𝐵−𝑦_𝐴) \\\\\n&=(1−(−1),\\ 2−6)\\\\\n& =(2,−4).\\end{align}$$\nΕπίσης:\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΒΓ} & =(𝑥_𝛤−𝑥_𝛣,\\ 𝑦_𝛤−𝑦_𝛣)\\\\\n&=(3−1,\\ −2−2)\\\\\n&=(2,−4).\\end{align}$$\nβ) Από την απάντηση στο ερώτημα α) παρατηρούμε ότι \\(\\overrightarrow{AB} =\\overrightarrow{BΓ}.\\)\nΕπομένως τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και εφόσον το \\(Β\\) είναι κοινό σημείο συμπεραίνουμε ότι τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά.\nγ) Εφόσον \\(\\overrightarrow{AB} =\\overrightarrow{BΓ}\\) συμπεραίνουμε ότι το \\(Β\\) είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΓ.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(μ^2-1)x+(3μ^2-2μ-1)y-5μ^2+4μ+1=0\\quad (1)$$\nόπου \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(μ\\) η \\((1)\\) παριστάνει ευθεία \\((ε)\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(μ\\) οι ευθείες \\((ε)\\):i. είναι παράλληλες στον \\(x'x\\).\nii. είναι παράλληλες στον \\(y'y\\).\niii. διέρχονται από το \\((0,0)\\).\nγ) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες \\((ε)\\) που προκύπτουν από την \\((1)\\) διέρχονται από σταθερό σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(Αx+Βy+Γ=0\\), όπου \\(Α=μ^2-1,\\ Β=3μ^2-2μ-1\\) και \\(Γ=-5μ^2+4μ+1\\). Για να παριστάνει ευθεία πρέπει οι \\(Α,\\ Β\\) να μη γίνονται ταυτόχρονα \\(0\\). Έχουμε\n\\begin{align}&Α=0\\\\\n\\iff&μ^2-1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&Β=0\\\\\n\\iff&3μ^2-2μ-1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{3}.\\end{align}\nΣυνεπώς η \\((1)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή του \\(μ\\) εκτός από την τιμή \\(μ=1\\).\nβ) i. Για να είναι παράλληλη στον \\(x'x\\) πρέπει\n$$Α=0\\iff μ=\\pm 1.$$\nΌμως η τιμή \\(μ=1\\) απορρίπτεται από το (α), οπότε τελικά \\(μ=-1\\).ii. Για να είναι παράλληλη στον \\(y'y\\) πρέπει\n$$B=0\\iff μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{3}.$$\nH τιμή \\(μ=1\\) απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(μ=-\\dfrac{1}{3}\\).iii. Για να διέρχεται από το \\((0,0)\\) πρέπει\n\\begin{align}&Γ=0\\\\\n\\iff&-5μ^2+4μ+1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{5}.\\end{align}\nH τιμή \\(μ=1\\) και πάλι απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(μ=-\\dfrac{1}{5}\\).\nγ) Για \\(μ=-1\\) η \\((1)\\) γίνεται \\(ε_1:4y-8=0\\) ενώ για \\(μ=0\\) γίνεται \\(ε_2:-x-y+1=0\\). Οι \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) τέμνονται στο σημείο \\(Μ\\) με συντεταγμένες τη λύση του συστήματος\n$$\\begin{cases}4y-8=0\\\\-x-y+1=0\\end{cases}\\iff\\begin{cases}y=2\\\\x=-1\\end{cases}$$\nοπότε \\(Μ(-1,2)\\).\nΟι συντεταγμενες του \\(Μ\\) επαληθεύουν την \\((1)\\) για κάθε τιμή του \\(μ\\) αφού\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}(μ^2-1)\\cdot(-1)+(3μ^2-2μ-1)\\cdot 2-5μ^2+4μ+1\\\\\n&=-μ^2+1+6μ^2-4μ-2-5μ^2+4μ+1\\\\\n&=0\\end{align}\nοπότε συμπεραίνουμε ότι όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την \\((1)\\) διέρχονται από το σταθερό σημείο \\(Μ(-1,2)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,3),\\ \\vec{β} =(3,−1)\\).\nΝα υπολογίσετε:\nα) το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{β}\\) και τη γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}.\\)\nβ) το διάνυσμα \\(\\vec{γ} =2\\vec{α} - \\vec{β}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) δίνεται από τον τύπο\n\\begin{align} \\vec{α} \\cdot \\vec{β} & = x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2 \\\\\n& =1\\cdot 3+3\\cdot (−1) \\\\\n& =3−3 \\\\\n& =0\\end{align}\nΕπειδή \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{β}=0\\) αν και μόνο αν \\(\\vec{α} \\perp \\vec{β}\\), δηλαδή τα διανύσματα είναι μεταξύ τους κάθετα και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) είναι ορθή.\nβ) Δίνονται οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\), τότε:\n\\begin{align} \\vec{γ} & =2\\vec{α} - \\vec{β} \\\\\n& =2\\cdot (1,3) - (3,-1) \\\\\n& =(2,6)-(3,-1) \\\\\n& =(-1,7)\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.\ni. Αν ισχύει \\(| \\vec{α} | = λ | \\vec{β} |\\) τότε υποχρεωτικά \\(\\vec{α} \\parallel \\vec{β}\\).\nii. Η εφαπτομένη του κύκλου \\((C): x^2 + y^2 = ρ^2\\) σε ένα σημείο του \\(Α(x_1, y_1)\\), έχει εξίσωση \\(xx_1 + yy_1 = ρ^2.\\)\niii. Η διευθετούσα της παραβολής \\(y^2 =2px\\), έχει εξίσωση \\(x = - \\dfrac{𝑝}{2}\\).\niv. Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μικρότερη της μονάδας.\nv. Η εξίσωση: \\(x^2 + y^2 = α^2\\) είναι εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \\(Α(x_0, y_0)\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ\\) είναι \\(y -y_0 = λ(x -x_0).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "Απαντήσεις\nα)\ni. Λάθος\nii. Σωστό\niii. Σωστό\niv. Σωστό\nv. Λάθος\nβ) Πρόταση σελίδα 60, 61." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,-4)\\) και \\(Β(0,-2)\\).\nα) Να βρείτε το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nγ) Αν \\((ζ):y=x-4\\) και \\((ε):y=2x-6\\), τότε να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών \\((ζ)\\), \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) ισχύει\n\\begin{align}&M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2},\\frac{y_A+y_B}{2}\\right)\\\\\n\\iff&M\\left(\\frac{2+0}{2},\\frac{-4+(-2)}{2}\\right)\\\\\n\\iff&M(1,-3).\\end{align}\nβ) Η κλίση του \\(ΑΒ\\) είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{-2-(-4)}{0-2}\\\\\n&=\\frac{2}{-2}\\\\\n&=-1.\\end{align}\nΗ κλίση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του \\(ΑΒ\\) θα πρέπει να είναι \\(λ=1\\) (αφού το γινόμενο των δύο κλίσεων θα πρέπει να ισούται με \\(-1\\)). Η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) θα είναι\n\\begin{align}&y-y_M=λ\\cdot(x-x_M)\\\\\n\\iff&y-(-3)=1(x-1)\\\\\n\\iff&y+3=x-1\\\\\n\\iff&y=x-4.\\end{align}\nγ) Το σημείο τομής των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ζ)\\) θα έχει συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x-4\\\\y=2x-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x-4\\\\x-4=2x-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=-2\\\\x=2\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το σημείο τομής των δύο ευθειών είναι το σημείο \\((2,-2)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε το σημείο \\(Μ(2,1)\\).\nα) Μια ευθεία \\((ε)\\) με συντελεστή \\(λ\\) διέρχεται από το \\(Μ\\). Να βρείτε:i. Την εξίσωση της.\nii. Για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.\nβ) Έστω ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) στα σημεία \\(Α,Β\\).i. Να βρείτε, με τη βοήθεια του \\(λ\\), τα μήκη των τμημάτων \\(ΟΑ, ΟΒ\\).\nii. Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.\niii. Να υπολογίσετε, σε κάθε περίπτωση, το εμβαδό του ισοσκελούς τριγώνου που σχηματίζεται." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αφού η ευθεία διέρχεται από το \\(Μ\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ\\), η εξίσωση της είναι \\(y-1=λ(x-2)\\) που γράφεται \\(y=λx-2λ+1\\).ii. Σε κάθε περίπτωση που ισχύει \\(λ\\neq0\\) η ευθεία τέμνει και τους δυο άξονες και όταν δεν διέρχεται από την αρχή \\(Ο\\), δηλαδή όταν \\(λ\\neq\\dfrac{1}{2}\\), σχηματίζει τρίγωνο. Επομένως, η ευθεία σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες μόνο όταν \\(λ\\in\\mathbb{R}-\\left\\{0,\\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\nβ) i. Με \\(y=0\\) στην εξίσωση της ευθείας, παίρνουμε \\(x=\\dfrac{2λ-1}{λ}\\), οπότε \\(Α\\left(\\dfrac{2λ-1}{λ},0\\right)\\), ενώ με \\(x=0\\) παίρνουμε \\(y=-2λ+1\\), οπότε \\(Β(0,-2λ+1)\\). Επομένως τα μήκη των τμημάτων \\(ΟΑ, ΟΒ\\) είναι \\((ΟΑ)=\\dfrac{|2λ-1|}{|λ|}\\) και \\((ΟΒ)=|-2λ+1|=|2λ-1|\\).ii. Η ευθεία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο, μόνο όταν \\((ΟΑ)=(ΟΒ)\\). Είναι:\n\\begin{align}&(ΟΑ)=(ΟΒ)\\\\\n\\iff&\\frac{|2λ-1|}{|λ|}=|2λ-1|\\\\\n\\iff&|2λ-1|(|λ|-1)=0\\\\\n\\iff&|λ|-1=0\\end{align}\nαφού \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\). Άρα η ευθεία σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο όταν \\(λ=-1\\) ή \\(λ=1\\).iii. Αν \\(λ=-1\\), τότε \\((ΟΑ)=3\\) και \\((ΟΒ)=3\\), οπότε το εμβαδόν \\((ΟΑΒ)\\) του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι \\((ΟΑΒ)=\\dfrac{9}{2}\\).\nΑν \\(λ=1\\), τότε \\((ΟΑ)=1\\) και \\((ΟΒ)=1\\), οπότε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι \\((ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2}\\).\nΣχόλιο:\nΤο τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε η γωνία που σχηματίζει η ευθεία (υποτείνουσα) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι \\(45^\\circ\\) ή \\(135^\\circ\\). Έτσι, έχουμε \\(λ=εφ45^\\circ=1\\) ή \\(λ=εφ135^\\circ\\) που είναι οι τιμές που βρήκαμε παραπάνω." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση της έλλειψης \\(C: 16x^2+25y^2=400\\).\nα) Να βρείτε τα μήκη \\(ΒΒ'\\), \\(ΑΑ'\\) του μικρού και τον μεγάλου άξονα της έλλειψης, καθώς και τις εστίες της \\(Ε\\) και \\(Ε'\\).\nβ) Αν \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\), να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο \\(Ε'\\) και διευθετούσα την ευθεία που διέρχεται από το \\(Ε\\) και είναι παράλληλη στον άξονα \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(C: 16x^2+25y^2=400\\) ή \\(C:\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\), οπότε\n$$α^2=25\\iff α=5$$\nκαι άρα\n$$(Α'Α)=2α=2\\cdot 5=10$$\nείναι το μήκος του μεγάλου άξονα. Επίσης\n$$β^2=16\\iff β=4,$$\nάρα\n$$(Β'Β)=2β=2\\cdot 4=8$$\nείναι το μήκος του μικρού άξονα. Ακόμη\n$$γ^2=α^2-β^2=25-16=9,$$\nοπότε \\(γ=3\\). Άρα \\(Ε'(-γ,0)\\) και \\(Ε(γ,0)\\) ή \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\) είναι οι εστίες της έλλειψης.\nβ) Έχουμε \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\). Θέλουμε η \\(Ε'\\) να είναι εστία της ζητούμενης παραβολής, άρα\n$$\\frac{p}{2}=-3\\iff p=-6,$$\nκαι επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι\n\\begin{align}&y^2=2px\\\\\n\\iff&y^2=2\\cdot(-6)x\\\\\n\\iff&y^2=-12x.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1:2x+3y=5\\) και \\(ε_2:4x+6y=8\\).\nα) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) είναι παράλληλες.\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α(1,1)\\) είναι σημείο της ευθείας \\(ε_1\\).\nγ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, με \\(λ_1=-\\dfrac{2}{3}\\) και \\(λ_2=-\\dfrac{4}{6}=-\\dfrac{2}{3}\\). Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(A(1,1)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ε_1\\), αφού \\(2\\cdot 1+3\\cdot 1=5\\). Άρα το σημείο \\(A\\) ανήκει στην ευθεία \\(ε_1\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}d(A,ε_2)&=\\dfrac{|Αx_0+Βy_0+Γ|}{\\sqrt{Α^2+Β^2}}\\\\\n&=\\dfrac{|4\\cdot 1+6\\cdot 1-8|}{\\sqrt{4^2+6^2}}\\\\\n&=\\dfrac{2}{\\sqrt{52}}\\\\\n&=\\dfrac{2}{\\sqrt{4\\cdot 13}}\\\\\n&=\\dfrac{2\\sqrt{13}}{2\\sqrt{13}\\cdot\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{13}}{13},\\end{align}\nαφού \\(ε_2:4x+6y-8=0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2−4κx−2κy+4=0\\quad (1)$$\nμε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(κ\\in\\mathbb{R}\\) ώστε η εξίσωση \\((1)\\) να παριστάνει κύκλο.\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του κάθε κύκλου.\nγ) Να βρείτε την ευθεία στην οποία ανήκουν τα κέντρα των παραπάνω κύκλων.\nδ) Για \\(κ=1\\) να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του αντίστοιχου κύκλου της εξίσωσης \\((1)\\) στο σημείο \\(Γ(2,2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\) και για να παριστάνει κύκλο πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ>0\\), όπου \\(Α=-4κ, Β=-2κ\\) και \\(Γ=4\\). Άρα\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}Α^2+Β^2-4Γ\\\\\n&=16κ^2+4κ^2-16\\\\\n&=20κ^2-16\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&20κ^2-16>0\\\\\n\\iff&κ^2 > \\frac{4}{5}\\\\\n\\iff&|κ| > \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\\\\n\\iff&κ < -\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\text{ ή }κ > \\frac{2\\sqrt{5}}{5}.\\end{align}\nβ) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι μία παραμετρική εξίσωση με παράμετρο \\(κ\\) και \\(κ\\in\\left(-\\infty,-\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5},+\\infty\\right)\\). Για κάθε \\(κ\\in\\left(-\\infty,-\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5},+\\infty\\right)\\) έχουμε έναν κύκλο με κέντρο \\(Κ\\Big(-\\dfrac{Α}{2},-\\dfrac{Β}{2}\\Big)\\), δηλαδή με \\(Κ(2κ,κ)\\) και ακτίνα\n$$ρ=\\frac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}=\\frac{\\sqrt{20κ^2−16}}{2}.$$\nγ) Τα κέντρα των κύκλων που προκύπτουν από την παραμετρική εξίσωση \\((1)\\), από το ερώτημα\n(β), έχουν συντεταγμένες \\((2κ,κ)\\), δηλαδή \\(x=2κ\\) και \\(y=κ\\). Άρα\n$$x=2y\\iff x-2y=0\\quad (2),$$\nδηλαδή τα κέντρα ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση την \\((2)\\).\nδ) Για \\(κ=1\\) η εξίσωση \\((1)\\) γίνεται \\(x^2+y^2-4x-2y+4=0\\), με κέντρο \\(Κ(2,1)\\) και ακτίνα \\(ρ=1\\).\nΣε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων σχεδιάζουμε τον παραπάνω κύκλο. Η ευθεία που είναι εφαπτομένη στον κύκλο στο σημείο \\(Γ\\) είναι η ευθεία που είναι κάθετη στο τμήμα \\(ΚΓ=ρ\\) και παράλληλη στον άξονα \\(x'x\\), γιατί \\(Κ\\) και \\(Γ\\) έχουν την ίδια τετμημένη. Άρα έχει εξίσωση \\(y=2\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,4)\\), \\(Β(-1,0)\\) και \\(Γ(3,-2)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) αποτελούν κορυφές τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Αν η ευθεία \\(ΑΒ\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) σε ένα σημείο \\(Δ\\) και η ευθεία \\(ΑΓ\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) σε ένα σημείο \\(Ε\\), τότε:i. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων \\(Δ\\) και \\(Ε\\).\nii. Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=2\\overrightarrow{ΔΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}=2\\overrightarrow{EΓ}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία \\(ΔΕ\\) είναι παράλληλη της \\(ΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\) ορίζονται και είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\\frac{0-4}{-1-2}=\\frac{4}{3}$$\nκαι\n$$λ_{ΑΓ}=\\frac{y_Γ-y_A}{x_Γ-x_A}=\\frac{-2-4}{3-2}=-6.$$\nΕπειδή \\(λ_{ΑΒ}\\neq λ_{ΑΓ}\\), οι ευθείες \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\) δεν είναι παράλληλες, οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά και αποτελούν κορυφές τριγώνου.\nβ) Η ευθεία \\(ΑΒ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(\\dfrac{4}{3}\\) από το (α) ερώτημα και διέρχεται από το σημείο \\(Α(2,4)\\), άρα η εξίσωσή της είναι\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-4=\\frac{4}{3}(x-2)\\\\\n\\iff&4x-3y+4=0.\\end{align}\nΗ ευθεία \\(ΑΓ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(-6\\) από το (α) ερώτημα και διέρχεται από το σημείο \\(Γ(3,-2)\\), άρα η εξίσωσή της είναι\n\\begin{align}&y-y_Γ=-6(x-x_Γ)\\\\\n\\iff&y+2=-6(x-3)\\\\\n\\iff&6x+y-16=0.\\end{align}\ni. Στην εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ\\) θέτουμε \\(x=0\\) για να βρούμε το σημείο που τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) και έχουμε\n$$4\\cdot 0-3y+4=0\\iff y=\\frac{4}{3}.$$\nΆρα \\(Δ\\left(0,\\dfrac{4}{3}\\right)\\). Ομοίως στην εξίσωση της ευθείας \\(ΑΓ\\) θέτουμε \\(y=0\\) για να βρούμε το σημείο που τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) και έχουμε\n$$6x+0-16=0\\iff x=\\frac{8}{3}.$$\nΆρα \\(Ε\\left(\\dfrac{8}{3},0\\right)\\). ii. Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}&= \\left(0-2,\\dfrac{4}{3}-4\\right)\\\\\n&=\\left(-2,-\\dfrac{8}{3}\\right)\\\\\n&=2\\cdot \\left(-1,-\\dfrac{4}{3} \\right)\\end{align}\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΔΒ}=\\left(-1-0,0-\\dfrac{4}{3}\\right)=\\left(-1,-\\dfrac{4}{3}\\right),$$\nοπότε προφανώς \\(\\overrightarrow{AΔ}=2\\overrightarrow{ΔΒ}\\). Για τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{EΓ}\\) έχουμε\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΕ}&=\\left(\\dfrac{8}{3}-2,0-4\\right)\\\\\n&=\\left(\\dfrac{2}{3},-4\\right)\\\\\n&=2\\cdot \\left(\\dfrac{1}{3},-2\\right)\\end{align}\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΕΓ}=\\left(3-\\dfrac{8}{3},-2-0\\right)=\\left(\\dfrac{1}{3},-2\\right)$$\nκαι ισχύει επίσης ότι \\(\\overrightarrow{ΑE}=2\\overrightarrow{ΕΓ}\\).\nγ) Είναι\n$$λ_{ΔΕ}=\\dfrac{\\dfrac{4}{3}-0}{0-\\dfrac{8}{3}}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι\n$$λ_{ΒΓ}=\\dfrac{-2-0}{3+1}=-\\dfrac{2}{4}=-\\dfrac{1}{2}.$$\nΆρα \\(λ_{ΔΕ}=λ_{ΒΓ}\\), επομένως η ευθεία \\(ΔΕ\\) είναι παράλληλη της ευθείας \\(ΒΓ\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων \\(Οxy\\) θεωρούμε το τρίγωνο που ορίζεται από τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Β(κ,0)\\) και \\(Γ(0,2κ)\\) όπου \\(κ\\) θετικός πραγματικός αριθμός. Εξωτερικά του τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) κατασκευάζουμε τετράγωνα \\(ΟΒΔΕ\\) και \\(ΟΓΖΗ\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που ανήκουν τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\) και \\(ΒΖ\\).\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους του τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) που διέρχεται από το \\(Ο\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\) και το ύψος του (β) ερωτήματος διέρχονται από το ίδιο σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή τα τετράπλευρα \\(ΟΒΔΕ\\) και \\(ΟΓΖΗ\\) είναι τετράγωνα, οι συντεταγμένες των κορυφών τους είναι \\(Δ(κ,-κ)\\), \\(Ε(0,-κ)\\), \\(Ζ(-2κ,2κ)\\) και \\(Η(-2κ,0)\\).\nΗ εξίσωση της ευθείας \\(ΓΔ\\) είναι\n\\begin{align}&\\dfrac{y-2κ}{x-0}=\\dfrac{-κ-2κ}{κ-0}\\\\\n\\iff&\\dfrac{y-2κ}{x}=\\dfrac{-3κ}{κ}\\\\\n\\iff&y-2κ=-3x\\\\\n\\iff&3x+y-2κ=0,\\end{align}\nενώ η εξίσωση της ευθείας \\(ΒΖ\\) είναι\n\\begin{align}&\\dfrac{y-2κ}{x-(-2κ)}=\\dfrac{0-2κ}{κ-(-2κ)}\\\\\n\\iff&\\dfrac{y-2κ}{x+2κ}=\\dfrac{-2κ}{3κ}\\\\\n\\iff&3y-6κ=-2x-4κ\\\\\n\\iff&2x+3y-2κ=0.\\end{align}\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΒΓ\\) είναι\n$$λ_{ΒΓ}=\\frac{2κ-0}{0-κ}=-2.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) που ορίζεται από το ύψος \\(ΑΔ\\) του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) είναι κάθετη της πλευράς \\(ΒΓ\\), επομένως για τους συντελεστές διεύθυνσης τους ισχύει \\(λ_ε\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\). Άρα έχουμε\n$$λ_ε\\cdot(-2)=-1\\iff λ_ε=\\frac{1}{2}.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει μορφή \\(y=λ_ε\\cdot x\\), δηλαδή \\(y=\\dfrac{1}{2}x\\).\nγ) Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες που ορίζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\) και η ευθεία \\((ε)\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε σημείο \\(Μ\\) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις των ευθειών. Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι η τομή δύο ευθειών από τις τρεις ανήκει στην τρίτη ευθεία. Οι συντεταγμένες της τομής \\(Μ\\) των ευθειών \\((ε)\\) και \\(ΓΔ\\) δίνονται από την λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x+y-2κ=0\\\\y=\\frac{1}{2}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x+\\frac{1}{2}x-2κ=0\\\\y=\\frac{1}{2}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=\\frac{4}{7}κ\\\\y=\\frac{2}{7}κ\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως \\(Μ\\left(\\dfrac{4}{7}κ,\\dfrac{2}{7}κ\\right)\\). Το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην ευθεία που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΒΖ\\), αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Πράγματι,\n\\begin{align}&2\\cdot\\frac{4}{7}κ+3\\cdot\\frac{2}{7}κ-2κ=\\frac{8}{7}κ+\\frac{6}{7}κ-2κ\\\\\n&=\\frac{14}{7}κ-2κ\\\\\n&=2κ-2κ\\\\\n&=0.\\end{align}\nΕπομένως οι ευθείες που ορίζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\), και η ευθεία \\((ε)\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(1,3)\\) και \\(Β(-3,5).\\)\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((ΚΑ)=\\sqrt{5}.\\)\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{cases} x_K=\\dfrac{x_A+x_B}{2}=\\dfrac{1+(-3)}{2}=-1 \\\\\ny_K=\\dfrac{y_A+y_B}{2}=\\dfrac{3+5}{2}=4\\end{cases}$$\nΟπότε: \\(K(-1,4).\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align} (KA) &=\\sqrt{(x_K-x_A)^2+(y_K-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(-1-1)^2+(4-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}$$\nγ) Ο ζητούμενος κύκλος έχει κέντρο το σημείο \\(Κ(-1,4)\\) και ακτίνα την απόσταση \\((ΚΑ)=\\sqrt{5}\\), οπότε έχει εξίσωση: \\((x+1)^2+(y-4)^2=5.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2+λx+λy+λ-1=0\\quad (1)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\), ο οποίος εφάπτεται της ευθείας \\(ε:x+y+2=0\\).\nγ) Για \\(λ=1\\), στον κύκλο που προκύπτει από την εξίσωση \\((1)\\), να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του που διέρχονται από το σημείο \\(Μ\\left(-\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε την εξίσωση\n$$x^2+y^2+λx+λy+λ-1=0\\quad (1)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), για την οποία \\(Α=λ\\), \\(Β=λ\\) και \\(Γ=λ-1\\), οπότε\n\\begin{align}Α^2+Β^2-4Γ&=λ^2+λ^2-4(λ-1)\\\\\n&=2λ^2-4λ+4\\\\\n&=2(λ^2-2λ+2)>0\\end{align}\nγια κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), εφόσον η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \\(Δ=-4< 0\\). Άρα η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων που ορίζονται από την \\((1)\\), συναρτήσει του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), είναι το\n$$Κ\\left(-\\dfrac{Α}{2},-\\dfrac{Β}{2}\\right)=\\left(-\\dfrac{λ}{2},-\\dfrac{λ}{2}\\right)$$\nκαι η\n\\begin{align}ρ&=\\frac{1}{2}\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\sqrt{2(λ^2-2λ+2)}\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2},\\end{align}\nαντίστοιχα. Για να εφάπτεται ο κύκλος που ορίζεται από την \\((1)\\) της ευθείας \\(ε:x+y+2=0\\), θα πρέπει\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|-\\frac{λ}{2}-\\frac{λ}{2}+2|}{\\sqrt{1^2+1^2}}=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&\\frac{|-λ+2|}{\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&|2-λ|=\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&|2-λ|^2=\\sqrt{λ^2-2λ+2}^2\\\\\n\\iff&(2-λ)^2=λ^2-2λ+2\\\\\n\\iff&4-4λ+λ^2=λ^2-2λ+2\\\\\n\\iff&2λ=2\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΓια \\(λ = 1\\), το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου στην \\(ε\\) είναι το \\(Κ\\left(-\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα η \\(ρ=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\).\nγ) Για \\(λ=1\\), από την εξίσωση \\((1)\\) παίρνουμε τον κύκλο \\(C:x^2+y^2+x+y=0\\), που λόγω του ερωτήματος (β) έχει κέντρο το \\(K\\left(-\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Από το σημείο \\(Μ\\left(-\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) διέρχονται οι ευθείες \\(ζ\\) με εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_M=κ(x-x_M)\\\\\n\\iff&y+\\frac{1}{2}=κ(x+\\frac{3}{2})\\\\\n\\iff&2κx-2y+3κ-1=0\\end{align}\nμε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\). Η ευθεία \\(ζ\\) εφάπτεται του κύκλου \\(C\\) αν και μόνο αν\n\\begin{align}&d(K, ζ)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|2κ(-\\frac{1}{2})-2(-\\frac{1}{2})+3κ-1|}{\\sqrt{(2κ)^2+(-2)^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|2κ|}{2\\sqrt{κ^2+1}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|κ|}{\\sqrt{κ^2+1}}=\\sqrt{2}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{κ^2}{κ^2+1}=\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&2κ^2=κ^2+1\\\\\n\\iff&κ^2=1\\\\\n\\iff&κ=\\pm1.\\end{align}\nΓια \\(κ=1\\) προκύπτει η \\((ζ_1)\\) με εξίσωση\n$$2x-2y+2=0\\iff x-y+1=0,$$\nενώ για \\(κ=-1\\) προκύπτει η \\((ζ_2)\\) με εξίσωση\n$$-2x-2y-4=0\\iff x+y+2=0.$$\nΟι \\((ζ_1)\\), \\((ζ_2)\\) είναι οι ζητούμενες εφαπτόμενες του κύκλου \\(C\\) από το σημείο \\(Μ\\). Παρατηρούμε ότι η \\((ζ_2)\\) είναι η ευθεία \\((ε)\\) που δόθηκε στο ερώτημα (β), κάτι που ήταν αναμενόμενο εφόσον το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην \\((ε)\\) (οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(1,1)\\), \\(\\vec{w}=(-10,2)\\) και τα σημεία \\(Α(-1,2)\\), \\(Β(β,0)\\), \\(Γ(0,γ)\\). Τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) είναι κάθετα και το διάνυσμα \\(\\vec{w}\\) είναι παράλληλο στο διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) και να αποδείξετε ότι \\(β=1\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και να αποδείξετε ότι \\(γ=\\dfrac{9}{5}\\).\nγ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(β-(-1),0-2)=(β+1,-2).$$\nΑφού τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\), \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι κάθετα, θα ισχύει \\(\\vec{u}\\cdot\\overrightarrow{AB}=0\\). Άρα\n\\begin{align}&1\\cdot(β+1)+1\\cdot(-2)=0\\\\\n\\iff&β+1-2=0\\\\\n\\iff&β=1.\\end{align}\nβ) Οι συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(0-(-1),γ-2)=(1,γ-2).$$\nΑφού τα διανύσματα \\(\\vec{w}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) είναι παράλληλα, η ορίζουσα τους θα ισούται με μηδέν, δηλαδή\n\\begin{align}&\\begin{vmatrix}-10&2\\\\1&γ-2\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&-10(γ-2)-2\\cdot 1=0\\\\\n\\iff&γ=\\frac{9}{5}.\\end{align}\nγ) Από τα ερωτήματα (α), (β) έχουμε ότι \\(\\overrightarrow{AB}=(2,-2)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=\\left(1,-\\dfrac{1}{5}\\right)\\). Tο εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}&=2\\cdot 1+(-2)\\cdot\\left(-\\frac{1}{5}\\right)\\\\\n&=2+\\frac{2}{5}\\\\\n&=\\frac{12}{5}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(2,0)\\), \\(B(3,4)\\) και \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) i. Να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο \\(A\\) και έχουν κλίση \\(λ\\).\nii. Να αποδείξετε οτι η ευθεία, η οποία διέρχεται από το σημείο \\(A\\), έχει κλίση \\(λ\\) και απέχει απόσταση ίση με \\(1\\) από το σημείο \\(B\\), έχει εξίσωση\n$$ε: 15x-8y-30=0.$$\nβ) Να αποδείξετε οτι υπάρχει και άλλη ευθεία \\((ζ)\\), εκτός από την \\((ε)\\), η οποία διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και απέχει απόσταση ίση με \\(1\\) από το σημείο \\(Β\\).\nγ) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι ευθείες που έχουν κλίση \\(λ\\) και διέρχονται από το σημείο \\(Α(2,0)\\) ορίζονται από την εξίσωση:\n$$ε_λ:y-0=λ(x-2)\\iff λx-y-2λ=0\\quad(1)$$\nii. Για την απόσταση του σημείου \\(B\\) απο τις ευθείες \\((ε_λ)\\), είναι\n$$d(B,ε_λ)=\\frac{|3λ-4-2λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}=\\frac{λ-4}{\\sqrt{λ^2+1}}.$$\nΕπομένως, έχουμε\n\\begin{align}&d(B,ε_λ)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-4|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&|λ-4|=\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&(λ-4)^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&λ=\\frac{15}{8}.\\end{align}\nΑπο την \\((1)\\) έχουμε\n\\begin{align}&\\frac{15}{8}x-y-\\frac{30}{8}=0\\\\\n\\iff&15x-8y-30=0.\\end{align}\nβ) Από το σημείο \\(A(2,0)\\) διέρχεται επίσης η κατακόρυφη ευθεία \\((ζ)\\), για την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, με εξίσωση \\(x=2\\). Έτσι, έχουμε\n$$d(Β,ζ)=\\frac{|1\\cdot 3+0\\cdot 4-2|}{\\sqrt{1}}=1.$$\nγ) Οι ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\) τέμνονται, διότι έχουν κοινό σημείο το \\(Α\\), αλλά δεν ταυτίζονται αφού \\(λ_ε=\\frac{15}{8}\\) και \\(ζ//y'y\\). Το σημείο \\(B\\) απέχει ίση απόσταση από τις ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\), επομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας των δύο ευθειών. Επιπλέον ισχύει οτι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{4-0}{3-2}=4.$$\nΕπομένως, η μία εκ των δύο διχοτόμων \\((δ_1)\\), είναι η ευθεία \\(ΑΒ\\) με εξίσωση\n$$y-0=4(x-2)\\iff y=4x-8.$$\nΗ άλλη διχοτόμος \\((δ_2)\\) είναι κάθετη στην \\(ΑΒ\\), επομένως\n$$λ_{δ_2}\\cdot λ_{ΑΒ}=-1\\iff λ_{δ_2}=-\\frac{1}{4}.$$\nΕπιπλέον, διέρχεται από το σημείο \\(A(2,0)\\), οπότε έχει εξίσωση\n$$y-0=-\\frac{1}{4}(x-2)\\iff y=-\\frac{1}{4}x+\\frac{1}{4}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,5)\\) και \\(Δ(4,5)\\) και τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(3,-3)\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}=(3,1)\\).\nα)Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Γ\\) έχει συντεταγμένες \\(Γ(3,6)\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΓΔ}\\).\nΝα αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{AΒ}//\\overrightarrow{ΓΔ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Γ(x_{Γ},y_{Γ})\\) τότε:\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(3,1)$$\n$$\\Leftrightarrow (x_{Γ}-0,y_{Γ}-5)=(3,1)$$\n$$\\Leftrightarrow x_{Γ}=3 \\text{ και } y_{Γ}-5=1$$\n$$\\Leftrightarrow y_{Γ}=6$$\nΆρα, \\(Γ(3,6)\\).\nβ)\ni.Είναι\n$$\\overrightarrow{ΓΔ}=(4-3,5-6)$$\n$$\\Leftrightarrow \\overrightarrow{ΓΔ}=(1,-1)$$\nii.Έχουμε ότι:\n$$\\begin{align}\\det{(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΓΔ})}&=|\\array{3\\ \\ -3 \\cr 1\\ \\ -1}|\\\\\n&=3(-1)-(-3)⋅1\\\\\n&=-3+3=0 \\end{align}$$\n(Εναλλακτικά: \\(\\overrightarrow{AB}=(3,-3)=3(1,-1)=3\\overrightarrow{ΓΔ}\\).)\nΆρα, τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΔ}\\) είναι παράλληλα." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(-2,1)\\), \\(Β(1,5)\\) και \\(Γ(5,-1)\\).\nα) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή \\(Α\\). Στη συνέχεια να βρείτε το σημείο \\(Δ\\) της ευθείας \\(ΒΓ\\) από το οποίο το \\(Α\\) απέχει την ελάχιστη απόσταση.\nδ) Να βρείτε το σύνολο των σημείων \\(Μ\\) του επιπέδου για τα οποία ισχύει \\((ΜΑΒ)=\\dfrac{1}{2}(ΑΒΓ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(1-(-2),5-1)\\\\\n&=(3,4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(5-(-2),-1-1)\\\\\n&=(7,-2),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}x_{AB}&y_{AB}\\\\x_{AΓ}&y_{AΓ}\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}3&4\\\\7&-2\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3\\cdot(-2)-4\\cdot 7|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-6-28|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-34|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 34\\\\\n&=17.\\end{align}\nβ) Η ευθεία \\(ΒΓ\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_B=\\frac{y_Γ-y_B}{x_Γ-x_B}(x-x_B)\\\\\n\\iff&y-5=\\frac{-1-5}{5-1}(x-1)\\\\\n\\iff&y-5=\\frac{-6}{4}(x-1)\\\\\n\\iff&y-5=-\\frac{3}{2}(x-1)\\\\\n\\iff&2y-10=-3x+3\\\\\n\\iff&3x+2y-13=0.\\end{align}\nγ) Έστω \\(υ_α\\) το ύψος του τριγώνου από την κορυφή \\(Α\\). Είναι \\(λ_{ΒΓ}=-\\dfrac{A}{B}=-\\dfrac{3}{2}\\) και\n\\begin{align}&υ_α\\perp ΒΓ\\\\\n\\iff&λ_{υ_α}\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\\\\n\\iff&λ_{υ_α}=\\frac{-1}{λ_{ΒΓ}}=\\frac{-1}{-\\frac{3}{2}}=\\frac{2}{3}.\\end{align}\nΈτσι η εξίσωση του φορέα του \\(υ_α\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_Α=λ_{υ_α}(x-x_Α)|\\\\\n\\iff&y-1=\\frac{2}{3}(x-(-2))\\\\\n\\iff&3y-3=2x+4\\\\\n\\iff&2x-3y+7=0.\\end{align}\nΤο σημείο της ευθείας \\(ΒΓ\\) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το \\(Α\\) είναι το ίχνος, \\(Δ\\), του ύψους από το \\(Α\\) στην ευθεία \\(ΒΓ\\). Από το σύστημα των \\(ΒΓ\\), θα έχουμε\n$$\\begin{cases}3x+2y=13\\\\2x-3y=-7\\end{cases}$$\nοπότε\n\\begin{align}D=\\begin{vmatrix}3&2\\\\2&-3\\end{vmatrix}=-9-4=-13,\\\\\nD_x=\\begin{vmatrix}13&2\\\\-7&-3\\end{vmatrix}=-39+14=-25\\end{align}\nκαι\n$$D_y=\\begin{vmatrix}3&13\\\\2&-7\\end{vmatrix}=-21-26=-47,$$\nάρα η λύση του συστήματος είναι\n$$x=\\frac{D_x}{D}=\\frac{-25}{-13}=\\frac{25}{13}$$\nκαι\n$$y=\\frac{D_y}{D}=\\frac{-47}{-13}=\\frac{47}{13}.$$\nΕπομένως, \\(Δ\\left(\\dfrac{25}{13},\\dfrac{47}{13}\\right)\\) είναι το ζητούμενο σημείο της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nδ) Έστω \\(Μ(x, y)\\) σημείο του επιπέδου ώστε \\((ΜΑΒ)=\\frac{1}{2}(ΑΒΓ)\\), η οποία λόγω του ερωτήματος (α) γράφεται \\((ΜΑΒ)=\\frac{17}{2}\\). Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n&=(x-(-2),y-1)\\\\\n&=(x+2,y-1),\\end{align}\nάρα\n\\begin{align}(MAB)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}3&4\\\\x+2&y-1\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3(y-1)-4(x+2)|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3y-3-4x-8|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3y-4x-11|\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}&(MAB)=\\frac{17}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{1}{2}|3y-4x-11|=\\frac{17}{2}\\\\\n\\iff&|3y-4x-11|=17\\\\\n\\iff&3y-4x-11=\\pm 17\\\\\n\\iff&4x-3y-6=0\\text{ ή }4x-3y+28=0.\\end{align}\nΆρα το σημείο \\(Μ\\) ανήκει σε μια εκ των ευθείων \\(ε_1:4x-3y-6=0\\) και \\(ε_2:4x-3y+28=0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(A(3,-3)\\), \\(B(2,-8)\\) και \\(Γ(7,-3)\\). Να βρείτε:\nα) Την εξίσωση της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nβ) Την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το \\(Α\\) και εφάπτεται στην πλευρά \\(ΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(ΒΓ\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Γ=\\frac{y_B-y_Γ}{x_B-x_Γ}(x-x_Γ)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{-8+3}{2-7}(x-7)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{-5}{-5}(x-7)\\\\\n\\iff&y+3=x-7\\\\\n\\iff&x-y-10=0.\\end{align}\nβ) Η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι\n\\begin{align}ρ&=d(Α,ΒΓ)\\\\\n&=\\frac{|1\\cdot 3-1\\cdot(-3)-10|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-4|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{4}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=2\\sqrt{2},\\end{align}\nοπότε η ζητούμενη εξίσωση είναι\n\\begin{align}&(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=ρ^2\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y+3)^2=(2\\sqrt{2})^2\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y+3)^2=8.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται διανύσματα:\n$$\\vec{α}=3\\vec{i}+3\\sqrt{3}\\ \\vec{j},\\ \\vec{β}=\\sqrt{2}\\ \\vec{i},\\ \\vec{γ}=-3\\vec{j}\\text{ και }\\vec{δ}=(-1,1).$$\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης καθενός από τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β},\\vec{δ}\\).\nβ) Να γράψετε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β},\\vec{γ}\\) και \\(\\vec{δ}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Ox\\).\nγ) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Τα διανύσματα που δίνονται έχουν συντεταγμένες:\n$$\\vec{α}=(3, 3\\sqrt{3})$$\n$$\\vec{β}=(\\sqrt{2}, 0)$$\n$$\\vec{γ}=(0 ,-3)$$\n$$\\text{ και } \\vec{δ}=(-1, 1)$$\nα) Ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος, όταν η τετμημένη του δεν είναι μηδέν, ορίζεται ως το πηλίκο τεταγμένη του διανύσματος προς τετμημένη του διανύσματος. Οπότε\n$$λ_\\vec{α}=\\frac{3\\sqrt{3}}{3}=\\sqrt{3}$$\n$$λ_\\vec{β}=\\frac{0}{\\sqrt{2}}=0$$\n$$λ_\\vec{δ}=\\frac{1}{-1}=-1.$$\nβ) Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει ένα διάνυσμα με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος. Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\), επειδή \\(λ_\\vec{α}=\\sqrt{3}\\) (από ερώτημα (α)), θα ισχύει \\(εφω = \\sqrt{3}\\). Επιπλέον το πέρας του διανύσματος βρίσκεται στο \\(1^ο\\) τεταρτημόριο, αφού έχει θετικές συντεταγμένες, άρα \\(ω=60^ο\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{β}=(\\sqrt{2}, 0)\\) έχει τεταγμένη \\(0\\), άρα \\(\\vec{β}//x'x\\), και επειδή το \\(\\vec{β}\\) έχει θετική τετμημένη σχηματίζει με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) γωνία \\(0^ο\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{δ}=(0, -3)\\) έχει τετμημένη \\(0\\), άρα \\(\\vec{γ}//y'y\\), και επειδή το \\(\\vec{γ}\\) έχει αρνητική τεταγμένη σχηματίζει με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) γωνία \\(270^ο\\).\nΑν \\(φ\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{δ}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\), επειδή \\(λ_\\vec{δ}=-1\\) (από ερώτημα (α)), θα ισχύει \\(εφφ=-1\\). Επιπλέον το διάνυσμα έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, οπότε το πέρας του βρίσκεται στο \\(2^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(φ=135^ο\\).\nγ) Είναι:\n$$|\\vec{α}|=\\sqrt{3^2+(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{36}=6$$\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{0^2+(-3)^2}=3$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Α(α,0)\\), \\(Β\\left(\\dfrac{α}{2},β\\right)\\) και \\(Μ\\left(\\frac{α}{2},0\\right)\\), όπου \\(α,\\ β\\) σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί.\nα) Να μεταφέρετε τα παραπάνω σημεία σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Κατόπιν, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ισοσκελές και το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της βάσης \\(ΟΑ\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις των ευθειών \\(ΟΒ\\) και \\(ΑΒ\\) είναι \\(ΟΒ:\\ 2βx-αy=0\\) και \\(ΑΒ:\\ 2βx+αy-2αβ=0\\), αντίστοιχα.\nγ) Αν \\(d_1\\) είναι η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ΟΒ\\) και \\(d_2\\) η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ΑΒ\\), να αποδείξετε ότι \\(d_1=d_2\\).\nδ) Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχθεί." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού \\(β\\neq 0\\), τα σημεία \\(Ο,Α,Β\\) δεν είναι συνευθειακά. Το τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ισοσκελές με βάση \\(ΟΑ\\) αφού\n\\begin{align}(OB)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-0\\right)^2+(β-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+β^2}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-α\\right)^2+(β-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+β^2}.\\end{align}\nΕναλλακτικά, το σημείο \\(Β\\left(\\dfrac{α}{2},β\\right)\\) ανήκει στη μεσοκάθετο του \\(ΟΑ\\), οπότε ισαπέχει από τα σημεία \\(Ο\\) και \\(Α\\). Τέλος, το μέσο του \\(ΟΑ\\) είναι το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{α}{2},0\\right)\\), αφού οι συντεταγμένες του \\(Μ\\) είναι ίσες με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των \\(Ο\\) και \\(Α\\).\nβ) Είναι \\(α\\neq 0\\), οπότε\n\\begin{align}&ΟΒ:\\ y-0=\\frac{β-0}{\\frac{α}{2}-0}\\cdot(x-0)\\\\\n\\iff&y=\\frac{2β}{α}\\cdot x\\\\\n\\iff&2βx-αy=0\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&AB:\\ y-0=\\frac{β-0}{\\frac{α}{2}-α}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&y=\\frac{β}{-\\frac{α}{2}}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{2β}{α}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&2βx+αy-2αβ=0.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}d_1&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|2β\\frac{α}{2}-α\\cdot 0|}{\\sqrt{(2β)^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{α,β >0}{=}\\frac{αβ}{\\sqrt{4β^2+α^2}}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d_2&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|2β\\frac{α}{2}+α\\cdot 0-2αβ|}{\\sqrt{(2β)^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|-αβ|}{\\sqrt{4β^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{α,β >0}{=}\\frac{αβ}{\\sqrt{4β^2+α^2}},\\end{align}\nοπότε πράγματι \\(d_1=d_2\\).\nδ) Η πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που αποδείχθηκε είναι η εξής:\nΣε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, το μέσο της βάσης ισαπέχει από τις ίσες πλευρές." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(C:x^2=4y\\) και η ευθεία \\(ε:y=x-2.\\)\nα) Να βρείτε την εστία \\(Ε\\) και τη διευθετούσα \\((δ)\\) της παραβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία. Στη συνέχεια, σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \\(Oxy\\) να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις της παραβολής \\(C\\) και της ευθείας \\(ε\\).\nγ) Αν \\(Μ(x,y)\\) είναι σημείο της παραβολής, τότε:i. Nα αποδείξετε ότι η απόσταση του \\(M\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι \\(d(M,ε)=\\dfrac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}}.\\)\nii. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) της παραβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράμετρος της παραβολής είναι \\(p=2\\), άρα η εστία είναι το \\(E\\left(0,\\dfrac{p}{2}\\right)=(0,1)\\) και η εξίσωση της διευθετούσας \\(δ:y=-1.\\)\nβ) Τα κοινά σημεία της παραβολής και της ευθείας είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους\n\\begin{align}&\\begin{cases}x^2=4y\\\\y=x-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2=4(x-2)\\\\y=x-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-4x+8=0\\\\y=x-2\\end{cases}\\end{align}\nτο οποίο είναι αδύνατο εφόσον \\(Δ < 0\\). Άρα η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία.\nγ) i. Έστω σημείο \\(Μ(x,y)\\) σημείο της παραβολής, οπότε \\(Μ\\left(x,\\dfrac{1}{4}x^2\\right).\\) Η απόστασή του από την ευθεία \\(ε: x-y-2=0\\) είναι\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{|x-\\frac{1}{4}x^2-2|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{|\\frac{1}{4}x^2-x+2|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}},\\end{align}\nδιότι η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(\\dfrac{1}{4}x^2-x+2\\) είναι\n$$Δ=1-4\\cdot\\frac{1}{4}\\cdot2=-1 < 0$$\nκαι άρα \\(\\dfrac{1}{4}x^2-x+2 > 0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x.\\)ii. Είναι\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\left(\\frac{1}{2}x-1\\right)^2+1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&\\geq\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{2}}{2}.\\end{align}\nΗ απόσταση του \\(Μ\\) από την ευθεία γίνεται ελάχιστη όταν\n\\begin{align}&\\left(\\frac{1}{2}x-1\\right)^2=0\\\\\n\\iff&\\frac{1}{2}x-1=0\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}\nΕπομένως το ζητούμενο σημείο της παραβολής που απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία \\((ε)\\) είναι το \\(Μ(2,1).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τις συναρτήσεις με τύπους \\(f(x)=x^{2}-x+1\\) και \\(g(x)=\\sqrt{4x-3}\\).\nα) Να αποδείξτε ότι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει \\(f(x)\\ge \\dfrac{3}{4}\\).\nβ) Να βρείτε τη συνάρτηση \\(h=g \\circ f\\).\nγ) Αν \\(h(x)=|2x-1|\\) είναι η σύνθεση του ερωτήματος β), να υπολογίσετε το όριο \\(\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{h(x)-1}{\\sqrt{x+1}-1}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$f(x)\\ge \\dfrac{3}{4} $$\n$$\\Leftrightarrow 4(x^{2}-x+1)\\ge 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2x-1)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει. Η ισότητα \\(f(x)=\\dfrac{3}{4}\\) ισχύει μόνο όταν \\(x=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Οι συναρτήσεις έχουν αντίστοιχα πεδία ορισμού \\(\\mathbb{D}_{f}=\\mathbb{R}\\), \\(\\mathbb{D}_{g}=\\left[\\dfrac{3}{4},+\\infty\\right)\\) και η σύνθεση \\(h=g \\circ f\\) ορίζεται μόνο όταν υπάρχουν αριθμοί \\(x\\) ώστε:\n$$x\\in \\mathbb{D}_{f}\\ \\ \\text{και}\\ \\ f(x)\\in \\mathbb{D}_{g}$$\nΕίναι:\n$$\\begin{cases} x\\in \\mathbb{D}_{f} \\\\ f(x)\\in \\mathbb{D}_{g} \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\in \\mathbb{R} \\\\ f(x)\\ge \\dfrac{3}{4} \\end{cases}$$\nπου ισχύει για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) από το ερώτημα (α).\nΆρα \\(\\mathbb{D}_{h}=\\mathbb{R}\\) και:\n$$h(x)=(g\\circ f)(x)$$\n$$=g(f(x))$$\n$$=\\sqrt{4(x^{2}-x+1)-3}$$\n$$=\\sqrt{4x^{2}-4x+1}$$\n$$=\\sqrt{(2x-1)^{2}}$$\n$$=|2x-1|$$\nγ) Ισχύει: \\(\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}(2x-1)=-1 < 0\\), οπότε κοντά στο \\(x_{o}=0\\) είναι \\(2x-1 < 0\\), άρα \\(|2x-1|=-2x+1\\) και:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{h(x)-1}{\\sqrt{x+1}-1}=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{-2x+1-1}{\\sqrt{x+1}-1}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{x(\\sqrt{x+1}+1)}{(\\sqrt{x+1}-1)(\\sqrt{x+1}+1)}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{x(\\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}(\\sqrt{x+1}+1)=-4$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)}\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδειχθεί ότι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) είναι \\(f'(x)=-\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\).\nβ) Αφού πρώτα δικαιολογήσετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) αντιστρέφεται,να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το \\(\\mathbb{R}\\).\nγ) Να λυθεί η ανίσωση \\(f^{-1}(x+f(x))>x,x\\in \\mathbb{R}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) με:\n$$f'(x)=(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})'$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot (\\sqrt{x^{2}+1}-x)'$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot \\left(\\dfrac{2x}{2\\sqrt{x^{2}+1}}-1\\right)$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot \\dfrac{x-\\sqrt{x^{2}+1}}{\\sqrt{x^{2}+1}}$$\n$$=-\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}}$$\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα αφού είναι συνεχής και ισχύει \\(f'(x) < 0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Επειδή η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη (γν. φθίνουσα) είναι και \"1-1\", άρα αντιστρέφεται.\nΤο πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο τιμών \\(f(\\mathbb{R})\\) της \\(f\\).\nΕπειδή η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι το:\n$$f(\\mathbb{R})=(\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x),\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x))$$\nΕίναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})$$\nΘέτουμε \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}-x\\) με \\(u\\rightarrow +\\infty\\):\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x)= \\underset{u\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\ln{u})=+\\infty$$\nαφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}(\\sqrt{x^{2}+1}-x)=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}\\left(-x\\sqrt{1+\\dfrac{1}{x^{2}}}-x\\right)$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}\\left(-x\\left(\\sqrt{1+\\dfrac{1}{x^{2}}}+1\\right)\\right)=+\\infty$$\nΑκόμη είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})$$\nθέτουμε \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}-x>0\\) με \\(u\\rightarrow 0^{+}\\):\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x)= \\underset{u\\rightarrow 0^{+}}{\\lim}(\\ln{u})=-\\infty $$\nαφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\sqrt{x^{2}+1}-x)=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)(\\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$$\nΆρα \\(f(\\mathbb{R})=(-\\infty ,+\\infty)=\\mathbb{R}\\) οπότε \\(\\mathbb{D}_{f^{-1}}=\\mathbb{R}\\).\nγ) Με \\(x\\in \\mathbb{R}\\) έχουμε:\n$$f^{-1}(x+f(x))>x$$\nκαι επειδή η \\(f\\) είναι γν.φθίνουσα, ισοδύναμα παίρνουμε:\n$$f(f^{-1}(x+f(x))) < f(x)$$\n$$\\Leftrightarrow x+f(x) < f(x)$$\n$$\\Leftrightarrow x < 0$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\sqrt{1-\\sqrt{1-x}}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \\(D_{f}=[0,1]\\).\nβ)\ni. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι “1 – 1”.\nii. Να λύσετε την εξίσωση \\(f(f(x))=0,\\ x∈[0,1]\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται, όταν και μόνο όταν\n\\begin{cases} 1-x\\ge 0 \\\\ \\text{και } 1-\\sqrt{1-x}\\ge 0 \\end{cases}\nΕίναι λοιπόν \\(1-x≥0 \\Leftrightarrow x≤1\\) και\n\\begin{align} & 1-\\sqrt{1-x}≥0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-x}≤1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 1-x≤1 \\\\\n\\Leftrightarrow & x≥0 \\end{align}\nΕπομένως \\(0≤x≤1\\) και ως εκ τούτου \\(D_{f}=[0,1]\\).\nβ)\ni. Έστω \\(x_{1},x_{2}∈[0,1]\\) με \\(f(x_{1})=f(x_{2})\\). Θα δείξουμε ότι \\(x_{1}=x_{2}\\). Πράγματι έχουμε διαδοχικά:\n\\begin{align} & f(x_{1})=f(x_{2})\\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-\\sqrt{1-x_{1}}}=\\sqrt{1-\\sqrt{1-x_{2}}}\\\\\n\\Leftrightarrow & 1-\\sqrt{1-x_{1}}=1-\\sqrt{1-x_{2}}\\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-x_{1}}=\\sqrt{1-x_{2}}\\\\\n\\Leftrightarrow & 1-x_{1}=1-x_{2}\\\\\n\\Leftrightarrow & x_{1}=x_{2}\\end{align}\nii. Παρατηρούμε ότι \\(f(0)=0\\). Στη συνέχεια έχουμε:\n\\begin{align} f(f(x)) & =0 \\\\\n\\Leftrightarrow f(f(x)) & =f(0)\\\\\n\\overset{f: \\text{1-1}}{\\Longleftrightarrow} f(x) & =0\\\\\n\\Leftrightarrow f(x) & =f(0)\\\\\n\\overset{f: \\text{1-1}}{\\Longleftrightarrow} x& =0\\end{align}\nΕπομένως η εξίσωση \\(f(f(x))=0,\\ x∈[0,1]\\) έχει μοναδική ρίζα το \\(0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση \\(f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}\\).\nα) Να λύσετε την ανίσωση \\(f(x^{2})<f(x)\\).\nβ) Αν \\(α^{2}<α\\), τότε να αποδείξετε ότι\n$$\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}{([f(α^{2}-α)-f(0)]x)}=-∞$$\n \nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(e^{x}-1)=f(0)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε:\n$$f(x^{2})\\lt f(x)$$\n$$\\overset{f \\uparrow}{\\Leftrightarrow} x^{2}\\lt x$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x\\lt 0$$\n$$\\Leftrightarrow 0\\lt x\\lt 1$$\nβ) Είναι\n$$α^{2}\\lt α$$\n$$\\Rightarrow α^{2}-α\\lt 0$$\n$$\\overset{f \\uparrow}{\\Rightarrow} f(α^{2}-α)\\lt f(0)$$\n$$\\Rightarrow f(α^{2}-α)-f(0)\\lt 0$$\nΕπιπλέον ισχύει ότι\n$$\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}x=+∞$$\nΕπομένως, είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}([f(α^{2}-α)-f(0)]x)=-∞$$\nγ) Αφού η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα, τότε είναι και “1 – 1”. Επομένως, έχουμε\n$$f(e^{x}-1)=f(0)$$\n$$\\Leftrightarrow e^{x}-1=0$$\n$$\\Leftrightarrow e^{x}=1$$\n$$\\Leftrightarrow x=0.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\begin{cases} 1 - \\dfrac{ημx}{x},\\ x \\ne 0 \\\\ α,\\ x=0 \\end{cases}\\), η οποία είναι συνεχής στο \\(\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(f'(0)=0\\).\nγ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της \\(C_{f}\\) στο σημείο \\((0,f(0))\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(\\mathbb{R}\\) άρα και στο \\(0\\) οπότε:\n$$α=f(0)=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}f(x)$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\left(1-\\dfrac{ημx}{x}\\right)=1-1=0$$\nΣυνεπώς \\(α=0\\).\nβ) Είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\left(\\dfrac{1-\\dfrac{ημx}{x}-0}{x}\\right)$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\left(\\dfrac{x-ημx}{x^{2}}\\right)$$\n$$\\overset{\\frac{0}{0}}{=}\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\left(\\dfrac{1-συνx}{2x}\\right)=0$$\nοπότε η συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο \\(x_{o}=0\\) με \\(f'(0)=0\\).\nγ) H εφαπτομένη της \\(C_{f}\\) στο σημείο \\((0,f(0))\\) έχει εξίσωση \\(y-f(0)=f'(0)(x-0) \\Leftrightarrow y=0\\), δηλαδή είναι ο άξονας \\(xx'\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\\), \\(x∈[1,2]\\).\nα) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \\([1,2]\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\(4x^{3}-9x^{2}-2x+9\\) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα \\((1,2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \\([1,2]\\), διότι:\nείναι συνεχής στο \\([1,2]\\) ως πολυωνυμική\nείναι παραγωγίσιμη στο \\((1,2)\\) με \\(f'(x)=4x^{3}-9x^{2}-2x+9\\) και\nισχύει \\(f(1)=f(2)=6\\).\nβ) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση \\(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\\) ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \\(ξ∈(1,2)\\) τέτοιο, ώστε \\(f'(ξ)=0\\) ή ισοδύναμα \\(4ξ^{3}-9ξ^{2}-2ξ+9=0\\).\nΕπομένως, το \\(ξ∈(1,2)\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\(4x^{3}-9x^{2}-2x+9=0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}\\) μια γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο με τεταγμένη \\(3\\) και διέρχεται από το σημείο \\(A(1,\\ln{2})\\).\nα) Να βρείτε τη μονοτονία της.\nβ) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε θετικό αριθμό α ισχύει:\n$$f(α\\ln{α})\\le f(\\ln{α})$$\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(e^{x+1}+\\ln{x})=\\ln{2}\\).\nδ) Θεωρούμε τη συνάρτηση \\(g(x)=f(x)+(3-\\ln{2})x-3\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Να αιτιολογήσετε γιατί η συνάρτηση \\(g\\) δεν αντιστρέφεται." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τη συνάρτηση \\(f\\) ισχύουν \\(f(0)=3\\) και \\(f(1)=\\ln{2}\\), οπότε \\(f(0)=3>\\ln{2}=f(1)\\). Επιπλέον, η \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη και δεν είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα.\nβ) Λόγω της μονοτονίας της \\(f\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε θετικό αριθμό \\(α\\) ισχύει \\(α\\ln{α}\\ge \\ln{α}\\).\nΠραγματικά έχουμε:\nΑν \\(α>1\\), τότε \\(α-1>0\\) και \\(\\ln{α}>0\\), οπότε:\n$$(α-1)\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}-\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}>\\ln{α}$$\nΑν \\(0<α<1\\), τότε \\(α-1<0\\) και \\(\\ln{α}<0\\), οπότε:\n$$(α-1)\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}-\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}>\\ln{α}$$\nΑν \\(α=1\\), τότε το ζητούμενο γράφεται \\(0\\ge 0\\) και προφανώς ισχύει.\nγ) Με \\(x>0\\) έχουμε:\n$$f(e^{x+1}+\\ln{x})=\\ln{2} $$\n$$\\Leftrightarrow f(e^{x+1}+\\ln{x})=f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow e^{x+1}+\\ln{x}=1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nαφού η \\(f\\) ως γνησίως μονότονη είναι «1-1».\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει προφανή ρίζα τον αριθμό \\(1\\), αφού \\(e^{1-1}+\\ln{1}=e^{o}+0=1\\). Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική.\nΘεωρούμε τη συνάρτηση \\(h(x)=e^{x-1}+\\ln{x}\\), \\(x>0\\). Η \\(h\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με \\(h'(x)=e^{x-1}+\\dfrac{1}{x}>0\\) για κάθε \\(x>0\\). Άρα είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και «1-1», οπότε ο αριθμός \\(1\\) είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης.\nδ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δυο διαφορετικοί αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) ώστε \\(g(x_{1})=g(x_{2})\\). Με \\(x=0\\) στον τύπο της συνάρτησης παίρνουμε:\n$$g(0)=f(0)+(3-\\ln{2})\\cdot 0-3$$\n$$=3-3=0$$\nενώ με \\(x=1\\) παίρνουμε:\n$$g(1)=f(1)+(3-\\ln{2})\\cdot 1-3$$\n$$=\\ln{2}+3-\\ln{2}-3=0$$\nδηλαδή για τους αριθμούς \\(x_{1}=0\\) και \\(x_{2}=1\\) ισχύει \\(g(x_{1})=g(x_{2})\\).\nΆρα η συνάρτηση \\(g\\) δεν αντιστρέφεται." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δυο εταιρείες \\(Ε1\\) και \\(Ε2\\) δραστηριοποιούνται στο χώρο της γεώτρησης νερού. Η πολιτική των χρεώσεων προς τους πελάτες τους είναι διαφορετική. Η εταιρεία \\(Ε1\\) χρεώνει \\(1500\\) ευρώ για την εκπόνηση της αρχικής μελέτης και \\(200\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \\(15\\) πρώτα μέτρα. Αν δεν βρεθεί νερό μέχρι τα \\(15\\) μέτρα, τότε αλλάζει τη χρέωση από \\(200\\) σε \\(250\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μετά τα \\(15\\) πρώτα. Η \\(Ε2\\) χρεώνει \\(300\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους.\nα) Αν \\(f(x)\\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \\(Ε1\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, να βρείτε:\nΤον τύπο της συνάρτησης \\(f\\).\nΤο ποσό που θα χρεώσει η εταιρεία \\(Ε1\\) σε πελάτη που χρειάστηκε να φτάσει σε βάθος \\(12\\) μέτρων μέχρι να βρει νερό.\nΑν κάποιος πελάτης ξόδεψε για τη γεώτρησή του \\(5050\\) ευρώ, σε ποιο βάθος έφτασε;\nβ) Αν \\(g(x)\\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \\(Ε2\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \\(g\\).\nγ) Σε ποιο βάθος σταμάτησαν τη γεώτρησή τους δυο γείτονες που συνεργάστηκαν με διαφορετική εταιρεία ο καθένας τους, βρήκαν νερό στο ίδιο βάθος και πλήρωσαν ακριβώς το ίδιο ποσό;\nδ) Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής \\(x\\) (μέτρα βάθους) συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εταιρεία \\(Ε1\\) κοστολογεί με \\(200\\) ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \\(15\\) πρώτα. Για \\(x\\) μέτρα βάθους το κόστος θα είναι \\(200x\\) αυξημένο κατά \\(1500\\) ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν \\(0≤ x ≤ 15\\). Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα \\(15\\) μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει \\((x-15)250\\) για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα \\(15\\) πρώτα και \\(15 \\cdot 200+1500=4500\\) ευρώ που είναι η χρέωση των \\(15\\) πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι \\((x-15)250+4500\\) ευρώ για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους με \\(x>15\\). Οπότε:\n\\(f(x) = \\begin{cases} 1500+ 200x\\text{,}\\ \\ \\text{όταν}\\ \\ 0 ≤ x≤15 \\\\ (x-15)250+4500\\text{,}\\ \\ \\text{όταν}\\ \\ x>15 \\end{cases}\\)\nΓια \\(12\\) μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι \\(f(12) = 1500+200 \\cdot 12 = 3900\\) ευρώ.\nΜέχρι τα \\(15\\) μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι \\(4500\\) ευρώ. Οπότε \\(x>15\\). Έτσι έχουμε \\(f(x)= 5050\\) ή \\((x-15)250+4500=5050\\) ή \\(x= 17,2\\).\nβ) \\(g(x) = 300x\\) με \\(x>0\\).\nγ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του \\(x\\) ώστε να ισχύει \\(f(x) = g(x)\\) ή \\(1500+200x = 300x \\Leftrightarrow x=15\\) δεκτή (όταν \\(0<x≤15\\)) ή \\((x-15)250+4500 = 300x \\Leftrightarrow x=15\\) απορρίπτεται (όταν \\(x>15\\)).\nΆρα για γεώτρηση βάθους \\(15\\) μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του \\(x\\) (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.\nδ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος \\(f(x)\\) να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος \\(g(x)\\) της εταιρείας \\(Ε2\\). Δηλαδή να ισχύει \\(f(x) < g(x)\\), οπότε:\nΓια \\(0<x ≤15\\), \\(1500+200x <300x \\Leftrightarrow x>15\\) απορρίπτεται.\nΓια \\(x>15\\), \\((x-15)250+4500 < 300x \\Leftrightarrow x>15\\), δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\) όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από \\(15\\) μέτρα βάθους." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{4}-4x+2, x∈[0,2]\\).\nα) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης." }, { "from": "assistant", "value": "α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης \\(f\\) στο διάστημα \\([0,2]\\), είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η \\(f\\) δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με \\(f'(x)=4x^{3}-4\\) για κάθε \\(x∈[0,2]\\). Είναι:\n$$f'(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{3}-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{3}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΕπομένως, η \\(f\\) έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το \\(x_{0}=1\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:\nΒρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της \\(f\\).\nΥπολογίζουμε τις τιμές της \\(f\\) στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.\nΑπό αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της \\(f\\).\nΟι τιμές της \\(f\\) στο κρίσιμο σημείο της \\(x_{0}=1\\) και στα άκρα του διαστήματος \\([0,2]\\) είναι:\n$$f(1)=-1\\text{,}\\ \\ f(0)=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ f(2)=10$$\nΆρα, η μέγιστη τιμή της \\(f\\) στο \\([0,2]\\) είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της \\(f\\) στο \\([0,2]\\) είναι ίση με \\(-1\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται συνεχής συνάρτηση \\(f :\\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(f^{2} (x) - 5 = x^{2}\\) για κάθε \\(x \\in\\mathbb{R}\\)\n\\(f(2)=3\\)\nα) Να αποδείξετε ότι :\n\\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\\(f(x) = \\sqrt{x^{2}+ 5}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Δίνεται η συνάρτηση \\(g\\) με \\(g(x) = x^{2} – συνx\\), με \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Nα αποδείξετε ότι:\nΗ συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((-∞, 0]\\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0, +∞)\\).\nΗ εξίσωση \\(f^{2}(x) = 5 + συνx\\) έχει ακριβώς δυο ρίζες,αντίθετες μεταξύ τους, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \\((-π,π)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni.Ισχύει ότι \\(f^{2}(x) - 5 = x^{2}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\) ή \\(f^{2}(x) = x^{2} + 5\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n$$f(x) = 0 $$\n$$\\Leftrightarrow f^{2} (x) = 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+5=0\\text{,}\\ \\ \\text{αδύνατο}$$\nΟπότε \\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nii.Η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) με \\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Οπότε η \\(f\\) διατηρεί πρόσημο στο \\(\\mathbb{R}\\). Δίνεται ότι \\(f(2) = 3>0\\), οπότε η συνάρτηση \\(f\\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Ισχύει:\n$$f^{2} (x) = x^{2} + 5 $$\n$$\\Leftrightarrow |f(x)| = \\sqrt{x^{2}+ 5}$$\nκαι επειδή η \\(f\\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\), θα ισχύει \\(f(x) = \\sqrt{x^{2}+ 5}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nβ)\ni.Αν \\(g(x) = x^{2} – συνx\\), με \\(x \\in \\mathbb{R}\\), \\(g'(x) = 2x + ημx\\) και \\(g''(x) = 2 + συνx\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Παρατηρούμε ότι \\(g''(x) > 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\), αφού \\(1≤ 2 + συνx≤ 3\\), και η συνάρτηση \\(g'(x)\\) είναι συνεχής στο \\(\\mathbb{R}\\), οπότε η συνάρτηση \\(g'\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΓια \\(x < 0\\) ισχύει \\(g'(x) < g'(0) = 0\\), αφού η συνάρτηση \\(g'\\) είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για \\(x > 0\\) ισχύει \\(g'(x) > g'(0) = 0\\). Άρα για τη συνάρτηση \\(g\\) έχουμε:\n\\(g\\) συνεχής στο \\((-∞, 0]\\) με \\(g'(x) < 0\\) στο \\((-∞, 0)\\), άρα η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\((-∞, 0]\\).\nΑντίστοιχα \\(g\\) συνεχής στο \\([0, +∞)\\) με \\(g'(x) > 0\\) στο \\((0, +∞)\\), άρα η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0, +∞)\\).\n(Η συνάρτηση \\(g\\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \\(0\\) το \\(g(0) = -1\\)).\nii.Η εξίσωση \\(f^{2}(x) = 5 + συνx\\) με \\(x \\in \\mathbb{R}\\), γράφεται ισοδύναμα:\n$$x^{2} + 5 = 5 + συνx$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 $$\n$$\\Leftrightarrow g(x) = 0\\ \\ \\text{με}\\ \\ x \\in \\mathbb{R}$$\nΖητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση \\(g(x) = 0\\) έχει δύο ρίζες αντίθετες στο \\((-π,π)\\) και δεν έχει άλλες ρίζες στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΗ συνάρτηση \\(g\\) είναι συνεχής στο \\([0,π]\\), με:\n\\(g(π)= π^{2} – συνπ = π^{2} +1 >0\\)\n\\(g(0) = -συν0 = -1 <0\\)\nΗ συνάρτηση \\(g\\) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα \\([0,π]\\), οπότε η εξίσωση \\(g(x) = 0\\) έχει τουλάχιστον μια ρίζα \\(ρ \\in (0, π) ⊂(0, +∞)\\). Επιπλέον η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0, +∞)\\), οπότε η ρίζα \\(ρ\\) είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.\nΕπειδή \\(g(-ρ) = (-ρ)^2 - συν(-ρ) = ρ^2 – συνρ = g(ρ) = 0\\), άρα και το \\(-ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\(g(x)=0\\). Επειδή \\(0 < ρ < π \\Leftrightarrow -π < -ρ < 0\\), η ρίζα \\(-ρ\\) της εξίσωσης \\(g(x)=0\\) βρίσκεται στο διάστημα \\((-π, 0)\\).\nΕπιπλέον η ρίζα \\(-ρ\\) είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης \\(g(x)=0\\) στο διάστημα \\((-∞, 0]\\) αφού η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.\nΆρα η εξίσωση \\(g(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 \\Leftrightarrow f^{2} (x) = 5 + συνx\\) με \\(x \\in \\mathbb{R}\\) έχει ακριβώς δύο ρίζες αντίθετες μεταξύ τους οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \\((-π,π)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω συνάρτηση \\(f:R\\rightarrow R\\) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο, η οποία είναι κυρτή και ισχύει \\(f(1)=f'(1)=2\\).\nα) Να βρεθεί η εφαπτομένη της \\(C_{f}\\) στο σημείο \\((1,f(1))\\) και κατόπιν να αποδείξετε ότι \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\).\nβ) Να βρείτε το \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}f(x)\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι :\ni. \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}f(x)dx>1\\).\nii. \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}xf'(x)dx<1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εφαπτομένη της \\(C_{f}\\) στο σημείο της \\((1,f(1))\\) έχει εξίσωση\n$$y-f(1)=f'(1)(x-1)$$\n$$\\Leftrightarrow y-2=2x-2$$\n$$\\Leftrightarrow y=2x$$\nH \\(f\\) είναι κυρτή και επομένως η \\(C_{f}\\) είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη της με εξαίρεση το σημείο επαφής. Συνεπώς \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) και η ισότητα ισχύει μόνο για \\(x=1\\).\nβ) Είναι \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}2x=+∞\\) οπότε αφού \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) είναι και \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}f(x)=+∞\\).\nγ) Αφού \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) και η ισότητα ισχύει μόνο για \\(x=1\\) έχουμε :\ni.\n$$\\int_{0}^{1}f(x)dx>\\int_{0}^{1}2xdx=[x^{2}]_{0}^{1}=1-0=1$$\nοπότε\n$$\\int_{0}^{1}f(x)dx>1$$\nii.\n\\begin{align} \\int_{0}^{1}xf'(x)dx & =[xf(x)]_{0}^{1}-\\int_{0}^{1}f(x)dx\\\\\n& =f(1)-0-\\int_{0}^{1}f(x)dx\\\\\n&=2-\\int_{0}^{1}f(x)dx<1\\end{align}\nαφού όπως δείξαμε παραπάνω \\(\\int_{0}^{1}f(x)dx>1\\) οπότε \\(-\\int_{0}^{1}f(x)dx<-1\\) και τελικά\n$$2-\\int_{0}^{1}f(x)dx<1$$\nΣυνεπώς\n$$\\int_{0}^{1}xf'(x)dx<1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(f:(1,+\\infty)\\) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε \\(x>1\\) να ισχύει:\n$$xf(x)f'(x)=\\dfrac{1}{2} \\text{ και } f(e)=1.$$\nα) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(g(x)=f^2(x)-\\ln{x},\\quad x>1\\) είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της \\(f\\).\nΈστω \\(f(x)=\\sqrt{\\ln{x}},\\quad x>1.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A(e,0)\\) και \\(B(e,1)\\) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της \\(f\\) στο \\(Β\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>1\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{1}{x+1}\\lt f^2(x+1)-f^2(x)\\lt \\dfrac{1}{x}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για κάθε \\(x>1\\) είναι:\n\\begin{align} g'(x) & =2f(x)\\cdot f'(x)-\\dfrac{1}{x} \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =\\dfrac{1}{x} (2x\\cdot f(x)\\cdot f'(x)-1) \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =\\dfrac{1}{x} (2\\cdot \\dfrac{1}{2}-1) \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =0\\end{align}\nοπότε η \\(g\\) είναι σταθερή.\nΙσχύει \\(g(x)=c,\\quad c\\in \\Bbb{R}\\) και \\(g(e)=f^2(e)-\\ln{e} \\Rightarrow c=1-1\\Rightarrow c=0.\\)\nΆρα, \\(g(x)=0\\), οπότε \\(f(x)=\\ln{x}, \\quad x>1\\). Επιπλέον, η \\(f\\) είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και ισχύει \\(f^2(x)=\\ln{x}\\neq 0\\) για κάθε \\(x>1\\) οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο και \\(f(e)>0\\).\nΆρα, για κάθε \\(x>1\\) έχουμε \\(f(x)>0\\), οπότε \\(f(x)=\\sqrt{\\ln{x}}, \\quad x>1.\\)\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) της \\(f\\) στο \\(Β\\), διέρχεται από το \\(Α\\).\nΗ \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη με \\(f'(x)=\\dfrac{1}{2x \\sqrt{\\ln{x}}}, \\quad x>1\\) και \\(f'(e)=\\dfrac{1}{2e}\\), οπότε η εφαπτομένη της \\(C_f\\) στο \\(Β\\) έχει εξίσωση:\n\\(y-1=\\dfrac{1}{2e}(x-e)\\) δηλαδή \\(y=\\dfrac{1}{2e}x+ \\dfrac{1}{2}\\).\nΜε \\(x=-e\\) έχουμε: \\(y=-\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{2}=0\\), οπότε η εφαπτομένη της \\(C_f\\) στο \\(Β\\) διέρχεται πραγματικά από το \\(Α\\).\nγ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε \\(x>1\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{1}{x+1} \\lt \\ln{(x+1)}- \\ln{x} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\nΘεωρούμε τη συνάρτηση \\(h(x)=\\ln{x}, \\quad x>1\\) η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε διάστημα της μορφής \\([x,x+1],\\quad x>1\\).\nΕπομένως, υπάρχει \\(ξ\\in (x,x+1)\\) ώστε\n$$h'(ξ)=\\dfrac{h(x+1)-h(x)}{x+1-x}$$\n$$\\dfrac{1}{ξ}=\\ln{(x+1)}-\\ln{x}, \\quad (1)$$\nΑλλά,\n$$x\\lt ξ \\lt x+1 \\Rightarrow \\dfrac{1}{x+1} \\lt \\dfrac{1}{ξ} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\n$$\\overset{(1)}{\\Rightarrow} \\dfrac{1}{x+1} \\lt \\ln{(x+1)} - \\ln{x} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \\(f:R\\rightarrow R\\) για την οποία ισχύουν:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}}=0$$\nκαι:\n$$f'(x)=\\sqrt{x^{2}+1}\\ \\ \\text{για κάθε}\\ x∈R$$\nα)\ni.Να υπολογίσετε το:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{lnx}{x-1}}$$\nii.Να αποδείξετε ότι \\(f(1)=0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία ακριβώς ρίζα.\nγ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης \\(f\\) για κάθε \\(x∈R\\).\nδ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου \\(Ε\\), που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\), τον άξονα \\(x'x\\) και των ευθειών \\(x=0\\) και \\(x=1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni.Είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{\\dfrac{1}{x}}{1}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{1}{x}}=1$$\nii.Είναι:\n$$f(x)=f(x)\\cdot \\dfrac{x-1}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}$$\n$$=\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}$$\nΆρα:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\left(\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}\\right)}$$\n$$=\\left(\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}}\\right)\\cdot \\left(\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}\\right)$$\nΕπομένως έχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=0\\cdot 1=0$$\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(1)=0$$\n2ος τρόπος:\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=f(1)$$\nΑρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=0$$\nΘεωρούμε συνάρτηση \\(g\\) με \\(g(x)=\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\), οπότε είναι:\n$$f(x)=\\dfrac{g(x)lnx}{x-1}\\text{,}\\ \\ x∈(0,1)∪(1,+∞)$$\nΕπειδή είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{g(x)}=0$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{\\dfrac{1}{x}}{1}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{1}{x}}=1$$\nΈχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)=}\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{g(x)}\\cdot \\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{lnx}{x-1}}$$\n$$=0\\cdot 1=0$$\nβ) Το \\(1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\(f(x)=0\\), διότι \\(f(1)=0\\).\nΕπιπλέον, επειδή \\(f'(x)=\\sqrt{x^{2}+1}>0\\) για κάθε \\(x∈R\\), η \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(R\\) και ως εκ τούτου είναι «1 – 1». Επομένως η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία το πολύ ρίζα. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία ακριβώς ρίζα, το \\(1\\).\nγ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(R\\) και \\(f(1)=0\\). Επομένως, έχουμε:\n$$x>1 $$\n$$\\Leftrightarrow f(x)>f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(x)>0$$\nΚαι:\n$$x < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow f(x) < f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(x) < 0$$\nδ) Είναι \\(f(x)≤0, x∈[0,1]\\). Επομένως:\n$$Ε=\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}|f(x)|dx$$\n$$=\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}-f(x)dx$$\n$$=-\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}1\\cdot f(x)dx$$\n$$=-\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}(x)'\\cdot f(x)dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot f'(x)dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot \\sqrt{x^{2}+1}dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}2x\\cdot (x^{2}+1)^{1/2}dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}(x^{2}+1)^{1/2}\\cdot (x^{2}+1)'dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\left[\\dfrac{(x^{2}+1)^{\\dfrac{3}{2}}}{3/2}\\right]_{0}^{1}$$\n$$=-(1\\cdot 0-0\\cdot f(0))+\\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{2}{3}(2^{3/2}-1)$$\n$$=\\dfrac{1}{3}(2\\sqrt{2}-1)$$\nΣχόλιο: Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot \\sqrt{x^{2}+1}dx\\) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο αντικατάστασης, θέτοντας \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με \\(f(x)=(x-2)e^{x}+(x-1) \\ln{x}\\), \\(x \\in (0, +\\infty)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη \\(x_0\\) στο διάστημα \\((1,2)\\).\nβ) Να βρείτε την παράγωγο συνάρτηση \\(f'\\) (Μον. 3) και να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\) στο οποίο η εφαπτομένη της είναι οριζόντια (Μον. 8)\nγ) Ένας μαθητής σχεδίασε σε ένα λογισμικό τη γραφική παράσταση της \\(f\\) και διαπίστωσε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον \\(x’x\\) στο σημείο \\(x_0\\) του α) ερωτήματος αλλά και σε ένα ακόμη σημείο. Βοηθήστε το μαθητή να αποδείξει ότι πράγματι η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε δύο ακριβώς σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, άρα και στο κλειστό διάστημα \\([1,2]\\) ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική.\n\\(f(1)=(1-2)e^{1}+(1-1)\\ln1 = -e < 0\\)\n\\(f(2)=(2-2)e^{2}+(2-1)\\ln2 = \\ln2>0\\) γιατί \\(1<2\\), οπότε \\(\\ln1<\\ln2\\), αφού η \\(\\ln{x}\\) είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο \\((0, +\\infty)\\) και επειδή \\(\\ln1=0\\), έχουμε ότι \\(\\ln2>0\\).\nΆρα \\(f(1) \\cdot f(2) < 0\\), επομένως από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία τουλάχιστον ρίζα \\(x_0 \\in (1,2)\\), δηλαδή η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη \\(x_0 \\in (1,2)\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική, με:\n$$f'(x)=e^{x}+(x-2)e^{x}+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x}$$\n$$= e^{x}(1+x-2)+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x}$$\n$$= e^{x}(x-1)+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x} >=0$$\n$$= (x-1)\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)+\\ln{x}$$\nΓια να υπάρχει μοναδικό σημείο της \\(C_f\\) στο οποίο η εφαπτομένη ευθεία θα είναι οριζόντια, δηλαδή παράλληλη στον \\(x’x\\), θα πρέπει η εξίσωση \\(f'(x)=0\\) να έχει μοναδική ρίζα.\nΠαρατηρούμε ότι το \\(1\\) είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης \\(f'(x)=0\\), αφού:\n$$f'(1)=(1-1)(e+1)+\\ln1=0$$\n\\(f'(x)>0\\) γιατί για \\(x>1\\) είναι \\(\\ln{x}>0\\) και \\((x-1)\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)>0\\), αφού \\(\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)>0\\) για κάθε \\(x>0\\) και\n\\(f'(x)<0\\) γιατί για \\(0<x<1\\) είναι \\(\\ln{x}<0\\) και \\((x-1)\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)<0\\)\nΚάνοντας τον πίνακα προσήμου της \\(f'\\) έχουμε:\nΆρα η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο \\((0,1]\\) και γνησίως αύξουσα στο \\([1,+\\infty)\\).\nΕπομένως, αν \\(Δ_1= (0,1]\\), τότε \\(f(Δ_{1})=[f(1), \\lim_{x\\rightarrow 0} f(x)) = [-e,+\\infty)\\)\nΓιατί:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}{f(x)=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}{[(x-2)e^{x}+(x-1)\\ln{x}]}}=+\\infty $$\nΑφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}(x-2)e^{x}=2e^{0}=-2$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}{(x-1)\\ln{x}=-1(-\\infty)=+\\infty }$$\nΑν \\(Δ_2= [1,+\\infty)\\), τότε:\n$$f(Δ_{2})=[f(1), \\lim_{x\\rightarrow +\\infty } f(x)] = [-e,+ \\infty)$$\nΓιατί:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}{f(x)=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}{[(x-2)e^{x}+(x-1)\\ln{x}]=+\\infty }}$$\nΑφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(x-2)e^{x}=(+\\infty)\\cdot (+\\infty)=+\\infty $$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}{(x-1)\\cdot \\ln{x}}=(+\\infty)\\cdot (+\\infty)=+\\infty $$\nΤο \\(0 \\in [-e,+\\infty) = f(Δ_{1})\\), άρα υπάρχει ένα \\(x_1 \\in (0,1]\\) τέτοιο ώστε \\(f(x_{1})=0\\), το οποίο είναι και μοναδικό γιατί η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\((0,1]\\).\nΤο \\(0 \\in [-e,+\\infty) = f(Δ_{2})\\), άρα υπάρχει ένα \\(x_2 \\in [1,+\\infty)\\) τέτοιο ώστε \\(f(x_{2})=0\\), το οποίο είναι επίσης μοναδικό γιατί η \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([1,+\\infty)\\).\nΕπομένως, η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει πράγματι τον άξονα \\(x’x\\) σε δύο ακριβώς σημεία τα \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) και το \\(x_{2}\\) είναι το \\(x_{0}\\) του α) ερωτήματος." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω συνάρτηση \\(f\\) γνησίως μονότονη στο \\(\\Bbb{R}\\) της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία \\(A(3,0)\\) και \\(B(0,8)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η \\(C_f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\) και για ποιες είναι πάνω από τον \\(x'x\\).\nγ) Να λύσετε την ανίσωση \\(f(\\ln{x})>0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη στο \\(\\Bbb{R}\\) οπότε είναι ή γνησίως αύξουσα στο \\(\\Bbb{R}\\) ή γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nΕπίσης διέρχεται από τα σημεία \\(A(3,0)\\) και \\(B(0,8)\\) οπότε \\(f(3)=0\\) και \\(f(0)=8\\). Αφού \\(3>0\\) και \\(f(3)\\lt f(0)\\) η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα και άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nβ) Το σημείο \\(A(3,0)\\) της \\(C_f\\) είναι πάνω στον άξονα \\(x'x\\).\nΓια κάθε \\(x\\lt 3\\) δεδομένου ότι η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\), είναι \\(f(x)>f(3)\\Leftrightarrow f(x)>0\\) που σημαίνει ότι η \\(C_f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nΓια κάθε \\(x>3\\) δεδομένου ότι η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\), είναι \\(f(x)\\lt f(3)\\Leftrightarrow f(x)\\lt 0\\) που σημαίνει ότι η \\(C_f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Με \\(x>0\\) έχουμε ισοδύναμα\n\\begin{align} f(\\ln{x}) & >0 \\\\\n\\Leftrightarrow f(\\ln{x}) & > f(3) \\\\\n\\overset{f \\downarrow}{\\Leftrightarrow} \\ln{x} \\lt 3 \\\\\n\\Leftrightarrow 0 \\lt x \\lt e^3 \\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\begin{cases} x^{2} - 3,\\ \\text{αν}\\ x \\in [-1,2] \\\\ x - 1,\\ \\text{αν}\\ x \\in (2,5]\\end{cases}$$\nα) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση \\(x_{0}=2\\).\nγ) Να εξετάσετε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, ικανοποιεί η συνάρτηση \\(f\\) στο διάστημα \\([-1,5]\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(f\\) είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα \\([-1,2)\\), \\((2,5]\\) ως πολυωνυμική.\nΣτο \\(x_{0}=2\\) έχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}(x^{2}-3)=1$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}(x-1)=1$$\nΕπειδή:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}f(x)=1$$\nέπεται ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2}{\\lim}f(x)=1$$\n$$f(2)=2^{2}-3=1$$\nΆρα:\n$$f(2)=\\underset{x\\rightarrow 2}{\\lim}f(x)$$\nοπότε η \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(2\\).\nΕπομένως, η \\(f\\) είναι συνεχής στο \\([-1,5]\\).\nβ) Έχουμε ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{x^{2}-3-1}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}(x+2)=4$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{x-1-1}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{x-2}{x-2}=1$$\nΕίναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\ne \\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$$\nΆρα η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση \\(x_{0}=2\\).\nγ) Το θεώρημα μέσης τιμής για τη συνάρτηση \\(f\\) στο διάστημα \\([-1,5]\\) έχει τις εξής υποθέσεις:\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\([-1,5]\\).\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο \\((-1,5)\\).\nΗ υπόθεση της συνέχειας στο \\([-1,5]\\) ικανοποιείται λόγω του ερωτήματος (α) ενώ η υπόθεση της παραγωγισιμότητας στο \\((-1,5)\\) δεν ικανοποιείται λόγω του ερωτήματος (β)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln{(}x+1)-\\dfrac{x}{x+1},x>-1\\) και έστω \\(F\\) αρχική της \\(f\\) με \\(F(1)=\\ln{2}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>-1\\) ισχύει \\(f'(x)=\\dfrac{x}{(x+1)^{2}}\\) και να μελετήσετε τη συνάρτηση \\(f\\) ως προς τη μονοτονία.\nβ) Να αποδείξετε ότι η \\(F\\) είναι κυρτή στο διάστημα \\([0,+∞)\\).\nγ) i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \\(F\\) στο \\(x_{0}=1\\).\nii. Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>0\\) ισχύει \\(\\dfrac{2F(x)-1}{x}≥\\ln{4}-1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με\n$$\\begin{align} f'(x) & =\\dfrac{1}{x+1}-\\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}\\\\\n& =\\dfrac{x+1-1}{(x+1)^{2}}\\\\\n& =\\dfrac{x}{(x+1)^{2}}\\end{align}$4\nπου είναι το ζητούμενο.\nΕπειδή \\((x+1)^{2}>0\\) για κάθε \\(x>-1\\), το πρόσημο της παραγώγου της \\(f(x)\\) είναι ίδιο με το πρόσημο του x. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((-1,0]\\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0,+∞)\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(F\\) είναι παραγωγίσιμη στο \\([0,+∞)\\) με \\(F'(x)=f(x)\\) και από το ερώτημα (α) η \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0,+∞)\\). Άρα η \\(F'\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0,+∞)\\), οπότε η \\(F\\) είναι κυρτή στο διάστημα αυτό.\nγ) i. Ισχύει \\(F(1)=\\ln{2}\\) και \\(F'(1)=f(1)=\\ln{2}-\\dfrac{1}{2}\\), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \\(F\\) στο \\(x_{0}=1\\) είναι η:\n$$\\begin{align} y-\\ln{2} & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})(x-1)\\\\\n\\Leftrightarrow y & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x-\\ln{2}+\\dfrac{1}{2}+\\ln{2} \\\\\n\\Leftrightarrow y & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x+\\dfrac{1}{2}\\end{align}$$\nii. Η \\(F\\) είναι κυρτή στο \\([0,+∞)\\) οπότε η γραφική της παράσταση είναι από την εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της και πάνω. Έτσι, για την εφαπτομένη στο \\(x_{0}=1\\) έχουμε:\n$$\\begin{align} F(x)≥(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x+\\dfrac{1}{2}\\\\\n\\Rightarrow 2F(x)≥(2\\ln{2}-1)x+1 \\\\\n\\Rightarrow 2F(x)-1≥(\\ln{4}-1)x \\\\\n\\Rightarrow \\dfrac{2F(x)-1}{x}≥\\ln{4}-1\\end{align}$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{1}{e^{x}+1}, x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.\nβ) Να αιτιολογήσετε γιατί αντιστρέφεται και να βρείτε την \\(f^{-1}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για κάθε \\(x_{1},x_{2}∈R\\) με \\(x_{1}\\lt x_{2}\\) έχουμε:\n\\begin{align} & x_{1}\\lt x_{2}\\\\\n\\Rightarrow & e^{x_{1}}\\lt e^{x_{2}}\\\\\n\\Rightarrow & 0\\lt e^{x_{1}}+1\\lt e^{x_{2}}+1\\\\\n\\Rightarrow & \\dfrac{1}{e^{x_{1}}+1}>\\dfrac{1}{e^{x_{2}}+1}\\\\\n\\Rightarrow & f(x_{1})>f(x_{2})\\end{align}\nOπότε η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΕπιπλέον η \\(f\\) είναι συνεχής και\n\\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}\\dfrac{1}{e^{x}+1}=0\\), αφού \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}(e^{x}+1)=+∞\\)\n\\(\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}\\dfrac{1}{e^{x}+1}=1\\), αφού \\(\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}(e^{x}+1)=0+1=1\\)\nοπότε \\(f(\\mathbb{R})=\\Big(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}{f(x)},\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}{f(x)}\\Big)=(0,1)\\)\nβ) Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, οπότε είναι «1-1», άρα αντιστρέφεται.\nΑν \\(f(x)=y,\\ y∈(0,1)\\), τότε για οποιοδήποτε \\(x∈\\mathbb{R}\\) έχουμε:\n\\begin{align}& \\dfrac{1}{e^{x}+1}=y\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}+1=\\dfrac{1}{y}\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}=\\dfrac{1}{y}-1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}=\\dfrac{1-y}{y}\\\\\n\\Leftrightarrow & x=\\ln{\\Big(\\dfrac{1-y}{y}\\Big)}\\end{align}\nΆρα, \\(f^{-1}(x)=\\ln{\\Big( {\\dfrac{1-x}{x}} \\Big)}, x∈(0,1)\\)." } ]