Datasets:

Geo

/

trapeza_thematon

like 0

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \\(-2x^{2}+10x=12\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(\\dfrac{-2x^{2}+10x-12}{x-2}=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:\n$$-2x^{2}+10x-12=0$$\n$$\\overset{:(-2)}{\\Leftrightarrow} x^{2}-5x+6=0$$\nΓια \\(α=1\\), \\(β=-5\\) και \\(γ=6\\), βρίσκουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6$$\n$$=25-24=1>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 1}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2} =3 \\\\ \\dfrac{5-1}{2} =2 \\end{cases}$$\nβ) Πρέπει:\n$$x-2\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ne 2$$\nΤότε ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$\\dfrac{-2x^{2}+10x-12}{x-2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow -2x^{2}+10x-12=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} (x=3\\ \\text{ή}\\ x=2)$$\nΗ ρίζα \\(x=2\\) απορρίπτεται λόγω του περιορισμού. Τελικά η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την \\(x=3\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{\\sqrt{1-x}}{5}+3\\).\nα) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να υπολογίσετε το \\(f(-24)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\((1,3)\\) ανήκει στην γραφική παράσταση." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται όταν \\(1-x\\ge 0\\), δηλαδή όταν \\(x\\le 1\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(Α_{f}=(-\\infty ,1]\\).\nβ) Για \\(x=-24 <1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n$$f(-24)=\\dfrac{\\sqrt{1-(-24)}}{5}+3$$\n$$=\\dfrac{\\sqrt{25}}{5}+3=1+3=4$$\nγ) Για \\(x=1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n$$f(1)=\\dfrac{\\sqrt{1-1}}{5}+3=0+3=3$$\nΆρα το σημείο \\((1,3)\\) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\sqrt{3}-1\\) και \\(β=\\sqrt{3}+1\\).\nα) Να δείξετε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}=10$$\n(Μονάδες15)\nβ) Να δείξετε ότι:\n$$\\dfrac{β}{α}+\\dfrac{α}{β}+1=5$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}=(α+β)^{2}-αβ$$\n$$=(\\sqrt{3}-1+\\sqrt{3}+1)^{2}-(\\sqrt{3}-1)\\cdot (\\sqrt{3}+1)$$\n$$=(2\\sqrt{3})^{2}-2=10$$\nβ) Είναι:\n$$αβ=(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)$$\n$$=3-1=2$$\nοπότε:\n$$\\dfrac{β}{α}+\\dfrac{α}{β}+1=\\dfrac{β^{2}+α^{2}+αβ}{αβ}$$\n$$=\\dfrac{10}{2}=5$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=1-3x\\) και \\(g(x)=\\sqrt{x+5}\\).\nα) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(f(-1)=g(11)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\), ώστε \\(f(x)=g(4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι \\(A_f=\\mathbb{R}\\). Η συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται όταν \\(x+5\\geq 0\\), δηλαδή όταν \\(x\\geq -5\\). Οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\) είναι \\(A_g=[-5,+\\infty)\\).\nβ)\n$$f(-1)=1-3\\cdot (-1)=1+3=4$$\nκαι\n$$g(11)=\\sqrt{11+5}=\\sqrt{16}=4.$$\nΆρα \\(f(-1)=g(11)\\).\nγ) Αναζητούμε την τιμή του \\(x\\) για την οποία:\n\\begin{align}&f(x)=g(4)\\\\\n\\iff&1-3x=\\sqrt{4+5}\\\\\n\\iff&1-3x=3\\\\\n\\iff&x=-\\frac{2}{3}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση\n$$𝑓(𝑥)=\\begin{cases} 𝑥^2, \\text{αν} \\ x \\text { άρρητος} \\\\\n2𝑥, \\text{αν} \\ x \\text { ρητός} \\end{cases}$$\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(𝑓\\big(\\sqrt{2}\\big)\\) και \\(𝑓(12)\\)\nβ) Αν 𝑥 ρητός, να λύσετε την εξίσωση \\([𝑓(𝑥)]^2=4𝑥−1.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε: \\(𝑓\\big(\\sqrt{2}\\big)=\\big(\\sqrt{2}\\big)^2=2\\) και \\(𝑓(\\dfrac{1}{2})=2\\cdot \\dfrac{1}{2}=1\\).\nβ) Αν \\(𝑥\\) ρητός, τότε \\(𝑓(𝑥)=2𝑥\\), οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$(2𝑥)^2=4𝑥−1$$\n$$\\Leftrightarrow 4𝑥^2−4𝑥+1=0$$\n$$\\Leftrightarrow (2𝑥−1)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow 2𝑥−1=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{1}{2}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου \\(Α\\) με πλευρά \\(d \\ cm\\) ή πλακάκια τύπου \\(Β\\) με πλευρά \\((d+1)\\ cm\\).\nα) Να βρείτε ως συνάρτηση του \\(d\\), το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) και κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\).\nβ) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με \\(200\\) πλακάκια τύπου \\(Α\\) είτε με \\(128\\) τύπου \\(Β\\), να βρείτε:\nΤη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου.\nΤο εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν." }, { "from": "assistant", "value": "α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) είναι \\(E_{A}=d^{2}\\ cm^{2}\\).\nTο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\) είναι \\(E_{B}=(d+1)^{2}\\ cm^{2}\\).\nβ)\nΑν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι \\(Ε\\), τότε ισχύει:\n$$E=200d^{2}$$\nκαι:\n$$E=128(d+1)^{2}$$\nοπότε έχουμε:\n$$200d^{2}=128(d+1)^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d+1)^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d^{2}+2d+1) $$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16d^{2}+32d+16$$\n$$\\Leftrightarrow 9d^{2}-32d-16=0$$\nΗ τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-32)^{2}-4\\cdot 9\\cdot (-16)$$\n$$=1024+576$$\n$$=1600=40^{2}$$\nκαι ρίζες τους αριθμούς \\(d_{1}=4\\) και \\(d_{2}=-\\dfrac{4}{9}\\). Η λύση \\(d_{2}=-\\dfrac{4}{9}\\) απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα \\(d=4\\), οπότε κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) έχει πλευρά \\(4\\) και κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\) έχει πλευρά \\(5\\).\nΕίναι:\n$$E=200d^{2}$$\n$$=200\\cdot 4^{2}$$\n$$=200\\cdot 16$$\n$$=3.200\\ cm^{2}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση:\n$$Π=\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}$$\nβ) Για τις τιμές του \\(x\\) που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση:\n$$\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}=0$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράσταση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n$$\\begin{cases} x^{2}-x\\ne 0 \\\\ 1-x\\ne 0 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} x(x-1)\\ne 0 \\\\ x\\ne 1 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} x\\ne 0 \\\\ x\\ne 1 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{2x^{2}-1}{x(x-1)}-\\dfrac{1}{x-1}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-1-x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-x-1=0$$\nΗ εξίσωση \\(2x^{2}-x-1=0\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-1)^{2}-4\\cdot 2\\cdot (-1)=9>0\\) και ρίζες τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-1)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-1)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=1$$\nπου δεν είναι δεκτή, αφού \\(x\\ne 1\\).\nΆρα η εξίσωση έχει μία λύση την \\(x=-\\dfrac{1}{2}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(Α=(\\sqrt{3})^{6}\\) και \\(Β=(^3\\sqrt{3})^{6}\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(Α-Β=18\\).\nβ) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: \\(\\sqrt{3}\\), \\(^3\\sqrt{3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$Α=(\\sqrt{3})^{6}$$\n$$=((\\sqrt{3})^2)^3$$\n$$=3^{3}=27$$\nκαι:\n$$Β=(^3\\sqrt{3})^{6}$$\n$$=((^3\\sqrt{3})^{3})^{2}$$\n$$=3^{2}=9$$\nΆρα:\n$$Α-Β=27-9=18$$\nβ) Αφού οι αριθμοί \\(\\sqrt{3}\\), \\(^3\\sqrt{3}\\) είναι θετικοί θα έχουν την ίδια διάταξη και όταν υψωθούν εις την έκτη.\nΑπό το ερώτημα α) \\((\\sqrt{3})^{6}=Α=27\\) και \\((^3\\sqrt{3})^{6}=Β=9\\).\nΆρα: \\(^3\\sqrt{3}<\\sqrt{3}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(Ω\\) το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού.\nα) Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο \\(Ω\\).\nβ) Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2-2x+λ-2=0,\\ λ\\in\\mathbb{R}.$$\nΝα βρείτε: i. Το σύνολο \\(Α\\) που περιέχει ως στοιχεία τις τιμές του \\(λ\\in Ω\\), αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.\n ii. Την πραγματική τιμή του \\(λ\\), αν η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες.\nγ) Για την τιμή του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα (β.ii) να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι ενδείξεις ενός ζαριού είναι οι ακέραιες τιμές από το \\(1\\) ως το \\(6\\).\nΆρα, \\(Ω=\\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\nβ) i. Η εξίσωση \\(x^2-2x+λ-2=0\\) ως δευτεροβάθμια δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν \\(Δ < 0\\). Έχουμε\n\\begin{align}Δ&=(-2)^2-4\\cdot 1\\cdot (λ-2)\\\\\n&=4-4\\cdot λ+8\\\\\n&=12-4\\cdot λ.\\end{align}\nΆρα:\n\\begin{align}&Δ < 0\\\\\n\\iff&12-4\\cdot λ < 0\\\\\n\\iff&λ > 3\\\\\n\\iff&λ\\in(3,+\\infty),\\end{align}\nενώ επιπλέον \\(λ\\in Ω=\\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\nΤελικά προκύπτει \\(λ=4\\) ή \\(5\\) ή \\(6\\).\nΆρα το ζητούμενο σύνολο είναι \\(Α=\\{4,5,6\\}\\). ii. Έστω \\(x_1\\) και \\(x_2\\) οι ρίζες της εξίσωσης με \\(x_1\\cdot x_2=1\\).\nΣύμφωνα με τους τύπους Vieta\n$$x_1\\cdot x_2=\\frac{α}{γ}=λ-2,$$\nάρα\n$$x_1\\cdot x_2=1\\iff λ-2=1\\iff λ=3.$$\nγ) Για \\(λ=3\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&x^2-2x+1=0\\\\\n\\iff&(x-1)^2=0\\\\\n\\iff&x=1\\text{ (διπλή ρίζα)}.\\end{align}\nΆρα, η ρίζα της εξίσωσης είναι η \\(x=1\\) (διπλή)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ευθεία \\((ε): y=αx+5\\).Αν η ευθεία \\((δ): y=-3x-6\\) είναι παράλληλη στην \\((ε)\\), τότε:\nα)i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας \\((ε)\\).\nii. Να βρείτε το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον άξονα \\(x'x\\);\nβ) Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Ισχύει \\((ε) \\parallel (δ)\\) οπότε οι δύο ευθείες θα έχουν την ίδια κλίση. Η κλίση της ευθείας \\((δ)\\) είναι \\(-3\\). Άρα \\(α=-3\\), δηλαδή η κλίση της ευθείας \\((ε)\\) είναι \\(-3\\).ii. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον \\(x'x\\) είναι αμβλεία διότι η κλίση της \\((ε)\\) είναι \\(α=-3 < 0\\).\nβ) Η ευθεία \\((ε)\\) έχει εξίσωση \\(y=-3x+5\\).\nΗ ευθεία τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) σε σημείο με τεταγμένη \\(y=0\\).\nΓια \\(y=0\\) έχουμε:\n$$-3x+5=0 \\iff x=\\frac{5}{3}.$$\nΆρα, το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\((\\frac{5}{3},0)\\).\nΗ ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) σε σημείο με τετμημένη \\(x=0\\).\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(y=5\\).\nΕπομένως, το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\((0,5)\\).\nΣχόλιο ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ: Η ενδεικτική απάντηση του ΙΕΠ είναι λανθασμένη στο ερώτημα β. Ευχαριστούμε την μαθήτρια που το παρατήρησε." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ανίσωση:\n$$|x - 7|<1\\ \\ \\ \\ (I)$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x\\in (6, 8)\\).\nβ) Αν γνωρίζουμε ότι \\(k\\in (6,8)\\), να αποδείξετε ότι \\(\\dfrac{24}{k}\\in (3, 4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ανίσωση \\((I)\\) γράφεται:\n$$|x- 7|< 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < x - 7 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow 7-1 < x < 7+1$$\nΏστε:\n$$6 < x < 8 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (6, 8)$$\nβ) Είναι:\n$$k\\in (6, 8) $$\n$$\\Leftrightarrow 6 < k < 8 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{6}>\\dfrac{1}{k}>\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{24}{6}>\\dfrac{24}{k}>\\dfrac{24}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow 4 >\\dfrac{24}{k}> 3$$\nΆρα:\n$$3 <\\dfrac{24}{k}< 4 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{24}{k}\\in (3, 4)$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) (\\(\\hat{Α}=90^0\\)) με κάθετες πλευρές \\(ΑΒ=x\\) και \\(ΑΓ=y\\), έτσι ώστε \\(x+y=10\\).\nα) Να εκφράσετε το εμβαδόν \\(Ε\\) του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) ως συνάρτηση του \\(x\\) και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(Ε(x)\\).\nβ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι \\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\), να δείξετε ότι \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\), για κάθε \\(x\\in (0,10)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\in (0,10)\\) ώστε το εμβαδόν \\(Ε(x)\\) να γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\). Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι \\(x+y=10 \\Leftrightarrow y=10-x\\). Εφόσον \\(x\\) και \\(y\\) είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:\n$$\\begin{cases} x>0 \\\\ y>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x>0 \\\\ 10-x>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x>0 \\\\ x<10 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < x < 10,\\ \\ \\text{δηλαδή}\\ x\\in (0,10)$$\nΟπότε το εμβαδόν του \\(ΑΒΓ\\) τριγώνου είναι:\n\\(Ε=\\dfrac{1}{2}\\cdot ΑΒ\\cdot ΑΓ\\), δηλαδή:\n\\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}x(10-x)=\\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\), με πεδίο ορισμού το διάστημα \\((0,10)\\).\nβ) Έχουμε:\n$$Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\le \\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow -x^{2}+10x-25\\le 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}\\ge 0,\\ \\ \\text{που ισχύει για κάθε}\\ x\\in (0,10)$$\nγ) Το εμβαδόν \\(Ε(x)\\) γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:\n$$Ε(x)=\\dfrac{25}{2}$$\n$$\\overset{(β)}{ \\Leftrightarrow} (x-5)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=5$$\nΓια \\(x=5\\), είναι και \\(y=10-x=10-5=5\\), οπότε \\(ΑΒ=ΑΓ=5\\) και το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\dfrac{1}{2}(3+\\sqrt{5})\\) και \\(β=\\dfrac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\).\nα) Να υπολογίσετε το άθροισμα \\(α+β\\) και το γινόμενο \\(α\\cdot β\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α^2+β^2=7\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}α+β&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5})+\\frac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5}+3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{6}{2}\\\\\n&=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}α\\cdot β&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5})\\frac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{4}(3^2-\\sqrt{5}^2)\\\\\n&=\\frac{1}{4}(9-5)\\\\\n&=\\frac{4}{4}\\\\\n&=1.\\end{align}\nΆρα, \\(α+β=3\\) και \\(α\\cdot β=1\\).\nβ) Έχουμε:\n\\begin{align}α^2+β^2&=\\frac{1}{4}(3+\\sqrt{5})^2+\\frac{1}{4}(3-\\sqrt{5})^2\\\\\n&=\\frac{1}{4}(9+5+6\\sqrt{5}+9+5-6\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{4}\\cdot 28\\\\\n&=7\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο.\nΥπόδειξη για εναλλακτική λύση.\nΤο ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας\n$$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Στην Α’ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται τον Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα:\n«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε \\(x\\) σειρές με \\(x-1\\) μαθητές σε κάθε σειρά. Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε \\(x+3\\) σειρές με \\(x-3\\) μαθητές σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής».\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\).\nβ) Να αποδείξετε η Α΄ τάξη έχει \\(90\\) μαθητές.\nγ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω \\(90\\) μαθητές σε \\(ν\\) ομάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε \\(2\\) μαθητές και σε κάθε επόμενη ομάδα να πηγαίνουν \\(2\\) παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιμή του \\(ν\\), δηλαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν." }, { "from": "assistant", "value": "α) Στην πρώτη περίπτωση το πλήθος των μαθητών είναι \\(x(x - 1)\\) ενώ στη δεύτερη \\((x + 3)(x - 3) - 1\\). Άρα πρέπει:\n$$\\begin{align}&x(x - 1) = (x + 3)(x - 3) - 1 \\\\\n\\iff&x^2 - x = x^2 - 3^2 - 1 \\\\\n\\iff&- x = - 9 - 1 \\\\\n\\iff&x = 10\\end{align}$$\nβ) Αντικαθιστούμε στον τύπο \\(x(x - 1)\\) που δίνει το πλήθος των μαθητών όπου x = 10 και βρίσκουμε:\n$$10(10 - 1) = 10 \\cdot 9 = 90$$\nΆρα, οι μαθητές της Α τάξης είναι 90.\nγ) Το πλήθος των μαθητών στις \\(ν\\) ομάδες εργασίας είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_1 = 2\\), διαφορά \\(ω = 2\\) και άθροισμα \\(S_ν = 90\\). Οπότε, από τον τύπο:\n$$S_ν =\\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν - 1)ω]$$\nέχουμε ότι:\n$$\\begin{align}&90 = \\dfrac{ν}{2}[2 \\cdot 2 + (ν - 1)2] \\\\\n\\iff&90 = \\dfrac{ν}{2}(4 + 2ν - 2) \\\\\n\\iff&90 = 2ν + ν^2 - ν \\\\\n\\iff&ν^2 + ν - 90 = 0\\end{align}$$\nΗ τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \\(ν\\) με \\(α=1\\), \\(β=1\\), και \\(γ=-90\\). Η διακρίνουσα είναι:\n$$\\begin{align}Δ &= β^2 - 4αγ \\\\\n&= 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (- 90) \\\\\n&= 1 + 360 \\\\\n&= 361 > 0\\end{align}$$\nκαι έχει ρίζες τις:\n$$\\begin{align}ν_{1,2} &= \\dfrac{-β\\pm\\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{361}}{2\\cdot1}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm19}{2}\\\\\n&=\\begin{cases}\\dfrac{-1+19}{2}=9\\\\ \\dfrac{-1-19}{2}=-10\\end{cases}\\end{align}$$\nΗ τιμή \\(ν = - 10\\) απορρίπτεται διότι \\(ν\\in\\mathbb{N}\\). Άρα θα δημιουργηθούν \\(ν = 9\\) ομάδες εργασίας." } ]

[ { "from": "human", "value": "Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των \\(21\\ \\text{€}\\) ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο \\(30\\) μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει \\(51\\) θέσεις.\nΘέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερα από τον προηγούμενο.\nα) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.\nβ) Αν, για κάθε \\(ν\\le 51\\) ο αριθμός \\(α_{ν}\\) εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί \\(α_{1},α_{2},...,α_{51}\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nγ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο \\(51ος\\) επιβάτης.\nδ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε \\(30\\) εισιτήρια στην τιμή των \\(21\\ \\text{€}\\) ανά εισιτήριο.\n(Δίνεται: \\(\\sqrt{10201}=101\\))" }, { "from": "assistant", "value": "Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερο από τον προηγούμενο.\nα) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει \\(3+0,5=3,5\\ \\text{€}\\), ο τρίτος θα πληρώσει \\(3,5+0,5=4\\ \\text{€}\\) και ο τέταρτος θα πληρώσει \\(4+0,5=4,5\\ \\text{€}\\).\nβ) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί \\(α_{1},α_{2},...,α_{51}\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \\(α_{1}=3\\) και \\(ω=0,5\\).\nγ) Ο \\(51ος\\) επιβάτης θα πληρώσει \\(α_{51}=3+(51-1)\\cdot 0,5=28\\ \\text{€}\\).\nδ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{ν}>30\\cdot 21\\). Είναι:\n$$S_{ν}>30\\cdot 21 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}[2\\cdot 3+(ν-1)\\cdot 0,5]>630$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}\\left(6+\\dfrac{ν-1}{2}\\right)>630 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}\\left(\\dfrac{12+ν-1}{2}\\right)>630$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν(ν+11)}{4}>630 $$\n$$\\Leftrightarrow ν^{2}+11ν-2520>0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΤο τριώνυμο \\(ν^{2}+11ν-2520>0\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=11^{2}-4(-2520)=10201$$\nκαι ρίζες τους αριθμούς \\(ν=45\\), \\(ν=-56\\) που απορρίπτεται.\nΕπομένως η ανίσωση \\((1)\\) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο \\(ν\\) με \\(ν>45\\), οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον \\(46\\) εισιτήρια." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x+\\frac{1}{x}\\) και \\(g(x)=x-\\frac{1}{x},\\ x\\neq0\\).\nα) Να βρείτε την τιμή της παράστασης\n$$A=f(2)+g(2)-f\\left(\\frac{1}{2}\\right)-g\\left(\\frac{1}{2}\\right)$$\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((f(x))^2-(g(x))^2=4\\) για οποιοδήποτε αριθμό \\(x\\) με \\(x\\neq 0\\).\nγ) Θεωρούμε την ευθεία \\(y=α,\\ α\\in\\mathbb{R}\\). Αν η ευθεία έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), να αποδείξετε ότι \\(|α|\\geq 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}A&=2+\\frac{1}{2}+2-\\frac{1}{2}-\\left(\\frac{1}{2}+2\\right)-\\left(\\frac{1}{2}-2\\right)\\\\\n&=4-\\frac{1}{2}-2-\\frac{1}{2}+2\\\\\n&=4-1\\\\\n&=3\\end{align}\nβ) Για οποιοδήποτε αριθμό \\(x\\) με \\(x\\neq 0\\) έχουμε:\n\\begin{align}&(f(x))^2-(g(x))^2\\\\\n=&\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^2-\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)^2\\\\\n=&\\left(x+\\frac{1}{x}+x-\\frac{1}{x}\\right)\\left(x+\\frac{1}{x}-x+\\frac{1}{x}\\right)\\\\\n=&2x\\cdot\\frac{2}{x}\\\\\n=&4\\end{align}\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων της ευθείας με τη γραφική παράσταση της fκαθορίζεται από το πλήθος λύσεων της εξίσωσης \\(f(x)=α\\), οπότε αν η ευθεία έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(f\\), η εξίσωση \\(f(x)=α\\) έχει πραγματικές λύσεις. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=α\\\\\n\\iff&x+\\frac{1}{x}=α\\\\\n\\iff&x^2+1=αx\\\\\n\\iff&x^2-αx+1=0\\end{align}\nΗ εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις, οπότε ισχύει \\(Δ\\geq0\\). Έτσι, έχουμε:\n\\begin{align}&Δ=α^2-4\\geq0\\\\\n\\Rightarrow&α^2\\geq4\\\\\n\\Rightarrow&\\sqrt{α^2}\\geq\\sqrt{4}\\\\\n\\Rightarrow&|α|\\geq 2,\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Κ=\\dfrac{\\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}-\\dfrac{\\sqrt{x^{2}-6x+9}}{x-3}$$\nα) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει o αριθμός \\(x\\), ώστε η παράσταση \\(Κ\\) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.\nβ) Αν \\(-2 < x < 3\\), να αποδείξετε ότι η παράσταση \\(Κ\\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \\(x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$Κ=\\dfrac{\\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}−\\dfrac{\\sqrt{x^{2}−6x+9}}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{\\sqrt{(x+2)^{2}}}{x+2}−\\dfrac{\\sqrt{(x−3)^{2}}}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{|x+2|}{x+2}−\\dfrac{|x−3|}{x−3}$$\nΗ παράσταση \\(Κ\\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:\n$$\\begin{cases} x + 2 \\ne 0 \\\\ x − 3 \\ne 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x \\ne − 2 \\\\ x \\ne 3 \\end{cases}$$\nΟπότε πρέπει \\(x\\ne −2,3\\).\nβ) Ισχύει ότι: \\(−2 < x < 3\\), οπότε \\(x+2 > 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x−3 < 0\\).\nΆρα \\(|x+2|=x+2\\) και \\(|x−3|=−(x−3)\\).\nΟπότε:\n$$K=\\dfrac{|x+2|}{x+2}−\\dfrac{|x−3|}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{x+2}{x+2}−\\dfrac{−(x−3)}{x−3}$$\n$$=1+1=2$$\nπου είναι ανεξάρτητη του \\(x\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα σημεία \\(Α(2,1),\\ Β(1,5),\\ Γ(27,50)\\) και την ευθεία \\((ε):\\ y=λx-3.\\) Αν το σημείο \\(Α\\) είναι πάνω στην ευθεία, τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(λ=2.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Β\\) είναι πάνω στην ευθεία. Κατόπιν να εξετάσετε αν και το σημείο \\(Γ\\) είναι πάνω στην ίδια ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το σημείο \\(Α\\) είναι πάνω στην ευθεία, οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της. Έτσι, έχουμε: \\(2λ-3=1\\), οπότε \\(2λ=4\\), άρα \\(λ=2.\\)\nβ) Θα αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες του \\(Β\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας που είναι η \\((ε):\\ y=2x-3.\\)\nΜε \\(x=-1\\) έχουμε: \\(y=2(-1)-3=-2-3=-5\\), οπότε το σημείο \\(Β\\) είναι πάνω στην ευθεία \\((ε).\\)\nΕξετάζουμε αν το \\(Γ\\) είναι πάνω στην \\((ε).\\)\nΜε \\(x=27\\) έχουμε: \\(y=2\\cdot 27-3=54-3=51\\neq 50\\), οπότε το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην ευθεία \\((ε).\\) Άρα, το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην ίδια ευθεία με τα \\(Α\\) και \\(Β.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν γνωρίζουμε ότι ο \\(𝑥\\) είναι πραγματικός αριθμός με \\(3≤𝑥≤5\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(𝑥−5≤0<𝑥−2.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(|𝑥 − 2| − |𝑥 − 5| =2.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού \\(3≤𝑥≤5\\), θα έχουμε \\(𝑥−5≤5−5\\), άρα \\(𝑥−5≤0\\).\nΑκόμα \\(3≤𝑥\\), οπότε \\(3−2≤𝑥−2\\), άρα \\(1≤𝑥−2 \\Leftrightarrow 𝑥−2>0\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι αν \\(𝑦≥0\\), τότε \\(|𝑦|=𝑦\\), ενώ αν \\(𝑦≤0\\), τότε \\(|𝑦|=− 𝑦\\).\nΈτσι η δοθείσα εξίσωση γράφεται \\(𝑥−2−(5−𝑥)=2\\), άρα \\(𝑥−2−5+𝑥=2\\), οπότε \\(2𝑥=9.\\)\nΤελικά \\(𝑥=\\dfrac{9}{2}\\), λύση η οποία είναι δεκτή, αφού \\(\\dfrac{9}{2}=4,5 \\in [3,5]\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(2x^2-x-1\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση \\(x(1-2x)\\leq -1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή \\(α=2, β=-1\\) και \\(γ=-1\\) η διακρίνουσα είναι\n$$Δ= (-1)^2-4\\cdot 2\\cdot (-1)=9 > 0.$$\nΤο τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες:\n$$x_1=\\frac{-(-1)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=\\frac{4}{4}=1$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-1)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=-\\frac{2}{4}=-\\frac{1}{2}.$$\nΕπομένως το τριώνυμο γίνεται\n\\begin{align}&\\phantom{=}2x^2-x-1\\\\\n&=2(x-1)\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=(x-1)(2x+1)\\end{align}\nΆρα έχουμε\n$$2x^2-x-1=(x-1)(2x+1).$$\nβ) Η ανίσωση γίνεται\n\\begin{align}&x(1-2x)\\leq-1\\\\\n\\iff&-2x^2+x+1\\leq 0\\\\\n\\iff&2x^2-x-1\\geq 0.\\end{align}\nΈχουμε να λύσουμε ανίσωση δευτέρου βαθμού.\nΠαρατηρούμε πως το τριώνυμο της ανίσωσης είναι το τριώνυμο του πρώτου ερωτήματος. Άρα μηδενίζεται για \\(x_1=1\\) και \\(x_2=-\\frac{1}{2}\\) και επειδή \\(α=2 > 0\\) προκύπτει:\nΣύμφωνα με τον πίνακα προσήμων το τριώνυμο θα είναι ομόσημο του \\(α\\), δηλαδή θετικό για \\(x\\leq-\\frac{1}{2}\\) ή \\(x\\geq 1\\).\nΟι λύσεις της ανίσωσης είναι \\(x\\in(-\\infty,-\\frac{1}{2}]\\cup [1,+\\infty)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θέμα 2\nΔίνεται μία πρόοδος \\(α_ν\\) με πρώτους όρους \\(2,\\ 2\\sqrt{2},\\ 4,\\ 4\\sqrt{2},\\dots\\)\nα) Να εξετάσετε αν η \\(α_ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος.\nβ) Να αποδείξετε ότι η \\(α_ν\\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το \\(ν\\)-οστό της όρο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να αποτελούν οι \\(α_1,\\ α_2,\\ α_3,\\dots\\) διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου θα έπρεπε να έχουν την ιδιότητα \\(α_2=\\frac{α_1+α_3}{2}\\).\nΔηλαδή ισοδύναμα\n$$2\\sqrt{2}=\\frac{2+4}{2}\\iff\\sqrt{2}=\\frac{3}{2},$$\nτο οποίο δεν ισχύει, διότι ο \\(\\sqrt{2}\\) δεν είναι ρητός, ενώ ο \\(\\frac{3}{2}\\) είναι ρητός.\nβ) Για την πρόοδο \\((α_ν)\\) ισχύει ότι\n$$\\frac{α_2}{α_1}=\\frac{2\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$\\frac{α_3}{α_2}=\\frac{4}{2\\sqrt{2}}=\\frac{2}{\\sqrt{2}}=\\frac{2\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2},$$\nοπότε αποτελεί γεωμετρική πρόοδο με λόγο \\(λ=\\sqrt{2}\\).\nΕφόσον η \\((α_ν)\\) αποτελεί γεωμετρική πρόοδο, ο \\(ν\\)-οστός της όρος θα έχει τη μορφή \\(α_ν=α_1\\cdot λ^{ν-1}\\), όπου \\(α_1,\\ λ\\) ο πρώτος όρος και ο λόγος της προόδου αντίστοιχα.\nΕπειδή \\(α_1=2,\\ λ=\\sqrt{2}\\) ο \\(ν\\)-οστός όρος είναι:\n$$α_ν=2\\cdot(\\sqrt{2})^{ν-1}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν \\(0<α<1\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(0<α^3<α\\).\nβ) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:\n$$0, α^3, 1, α, \\dfrac{1}{α}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$0<α<1$$\n$$\\overset{\\cdot α^{2}>0}{\\Leftrightarrow}0<α^{3}<α^{2}\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$0<α<1$$\n$$\\overset{\\cdot α>0}{\\Leftrightarrow }0<α^{2}<α\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΑπό \\((1)\\) και \\((2)\\) έχουμε \\(0<α^{3}<α\\).\nβ) Από το δεδομένο και το α) ερώτημα έχουμε \\(0<α^{3}<α<1\\). Επιπλέον επειδή ο \\(α\\) είναι θετικός αριθμός, ομόσημος του \\(1\\) δηλαδή, έχουμε ισοδύναμα:\n$$α<1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{α}>1$$\nΤελικά:\n$$0<α^{3}<α<1<\\dfrac{1}{α}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν ο πραγματικός αριθμός xικανοποιεί τη σχέση: \\(|x+1|\\lt 2,\\)\nα) Να δείξετε ότι \\(x\\in (-3,1)\\)\nβ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \\(K=\\dfrac{|x+3|+|x-1|}{4}\\), είναι αριθμός ανεξάρτητος του \\(x.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|x+1|\\lt 2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2\\lt x+1\\lt 2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2-1\\lt x+1-1\\lt 2-1 $$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (-3,1)$$\nβ) Από το ερώτημα α) ισχύει ότι:\n$$-3\\lt x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt x \\text{ και } x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x+3>0 \\text{ και } x-1\\lt 0$$\nΆρα:\n$$|x+3|=x+3 \\text{ και } |x-1|=-(x-1)=1-x$$\nΤότε:\n$$K=\\dfrac{|x+3|+|x-1|}{4}=\\dfrac{x+3+1-x}{4}=\\dfrac{4}{4}=1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$2x^{2}−5βx+2β^{2}=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nμε παράμετρο \\(β>0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις: \\(x_{1}=2β\\) και \\(x_{2}=\\dfrac{β}{2}\\).\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(β\\), \\(x_{2}\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−5β)^{2}−4\\cdot 2\\cdot 2β^{2}$$\n$$=25β^{2}−16β^{2}$$\n$$=9β^{2}>0$$\nαφού: \\(β>0\\).\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{−β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{−(−5β)\\pm \\sqrt{9β^{2}}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5β\\pm 3β}{4}$$\nοπότε:\n$$x_{1}=\\dfrac{5β+3β}{4}=2β$$\nκαι:\n$$x_{2}=\\dfrac{5β−3β}{4}=\\dfrac{β}{2}$$\nΣημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:\nΗ \\(x_{1}=2β\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$2(2β)^{2}−5β(2β)+2β^{2}=8β^{2}−10β^{2}+2β^{2}=0$$\nΟμοίως, η \\(x_{2}=\\dfrac{β}{2}\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$2(\\dfrac{β}{2})^{2}−5β(\\dfrac{β}{2})+2β^{2}=2\\dfrac{β^{2}}{4}−5\\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$\n$$=\\dfrac{β^{2}}{2}−5\\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$\n$$=\\dfrac{−4β^{2}}{2}+2β^{2}=0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1}\\ne x_{2}\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(2β\\), \\(β\\), \\(\\dfrac{β}{2}\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, διότι:\n$$\\dfrac{β}{2β}=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$\\dfrac{\\dfrac{β}{2}}{β}=\\dfrac{β}{2β}=\\dfrac{1}{2}$$\nδηλαδή ο λόγος των όρων με τη σειρά που δίνονται είναι σταθερός ίσος με \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(𝛢=𝛼^2+𝛽^2\\) και \\(𝛣=2𝛼𝛽, \\ α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές των \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\) για τις οποίες \\(𝛢=0\\).\nβ) Nα αποδείξετε ότι \\(𝛢−𝛣≥0\\) για κάθε \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\).\nγ) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\) ώστε να ισχύει \\(𝛢−𝛣=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να ισχύει για την παράσταση \\(Α\\) ότι: \\(𝛢=0\\), πρέπει \\(𝛼^2+𝛽^2=0\\) που ισχύει αν και μόνο αν \\(𝛼=0\\) και \\(𝛽=0\\).\nβ) Είναι: \\(𝛢−𝛣=𝛼^2+𝛽^2−2𝛼𝛽=(𝛼−𝛽)^2≥0\\), που ισχύει για το τετράγωνο κάθε αριθμού.\nγ) 'Έχουμε: \\(𝛢−𝛣=0\\Leftrightarrow (𝛼−𝛽)^2=0 \\Leftrightarrow 𝛼−𝛽=0 \\Leftrightarrow 𝛼=𝛽\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) ισχύει \\(α>β\\), με \\(β>1\\) και \\(α>1\\),τότε:\nα) Να δείξετε ότι:\n$$\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}=2$$\nβ) Να δείξετε ότι:\n$$α+β>\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(α>β\\) και ισοδύναμα \\(α-β>0\\), οπότε \\(|α-β|=α-β\\).\nΕπίσης \\(α>1\\) ισοδύναμα \\(1-α<0\\), οπότε \\(|1-α|=α-1\\).\nΆρα:\n$$\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}=\\dfrac{α-β}{α-β}-\\dfrac{α-1}{1-α}$$\n$$=1+\\dfrac{1-α}{1-α}=1+1=2$$\nβ) Είναι \\(α>1\\) και \\(β>1\\), οπότε \\(α+β>1+1\\), δηλαδή \\(α+β>2\\) και από το α) ερώτημα έχουμε ότι:\n$$α+β>\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: \\(A=x^{3}-x^{2}+3x-3\\).\nβ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f(x)=\\dfrac{3}{x}\\) και \\(g(x)=x^{2}-x+3\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το \\(Α(1,3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$A=x^{3}-x^{2}+3x-3$$\n$$= x^{2}(x-1)+3(x-1)$$\n$$= (x-1)(x^{2}+3)$$\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \\(Α=\\mathbb{R}^{*}=\\mathbb{R}-\\{0\\}\\) και η συνάρτηση \\(g\\) το σύνολο \\(Β=\\mathbb{R}\\).\nΤα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:\n$$\\begin{cases} y = f (x) \\\\ y = g(x) \\end{cases}$$\nΈχουμε:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3}{x}=x^{2}-x+3 $$\n$$\\Leftrightarrow 3=x(x^{2}-x+3) $$\n$$\\Leftrightarrow 3=x^{3}-x^{2}+3x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+3x-3=0$$\n$$\\overset{(a)}{ \\Leftrightarrow } \\\\ (x-1)(x^{2}+3)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0\\ \\text{ή}\\ x^{2}+3=0\\ \\text{αδύνατη}$$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΓια \\(x=1\\) είναι \\(f(1)=3\\).\nΆρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) είναι το \\(Α(1,3)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\),..., \\(ν\\).\nβ) Να βρείτε πόσοι από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους έχουν άθροισμα \\(45\\).\n(Μονάδες13)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ακολουθία των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\), ..., \\(ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(α_{1}=1\\), \\(ω=1\\) και \\(α_{ν}=ν\\). Άρα το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων αυτής, είναι:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (α_{1}+α_{ν})$$\nδηλαδή:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+ν)$$\nβ) Ψάχνουμε το πλήθος \\(ν\\) των όρων που έχουν άθροισμα \\(45\\), δηλαδή το \\(ν\\) ώστε \\(S_{ν}=45\\), δηλαδή \\(\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+ν)=45\\), οπότε \\(ν\\cdot (ν+1)=90\\). Οι δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με \\(90\\) είναι οι αριθμοί \\(9\\) και \\(10\\) (δηλαδή \\(ν=9\\) και \\(ν+1=10\\)). Άρα το άθροισμα των \\(9\\) πρώτων φυσικών αριθμών είναι ίσο με \\(45\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x, y\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{4x+5y}{x-4y}=-2$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(y=2x.\\)\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$A=\\dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} \\dfrac{4x+5y}{x-4y} & =-2 \\\\ \\Leftrightarrow 4x+5y & = -2 (x-4y) \\\\ \\Leftrightarrow 4x+5y & = -2x +8y \\\\ \\Leftrightarrow 6x & = 3y \\\\ \\Leftrightarrow y & = 2x \\end{align}$$\nβ) Για \\(y = 2x\\) η παράσταση \\(Α\\) γράφεται:\n$$\\begin{align} A & = \\dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy} \\\\ & = \\dfrac{2x^{2}+3(2x)^{2}+x \\cdot (2x)}{x \\cdot (2x)} \\\\ & = \\dfrac{2x^{2}+3 \\cdot 4 x^{2}+2 \\cdot x^2}{2 \\cdot x^{2}} \\\\ & = \\dfrac{16x^{2}}{2 x^{2}} \\\\ & = 8 \\end{align}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δυο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν πάνω σε μπλουζάκια και ίδρυσαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω διαδικτύου. Σε διάστημα ενός μηνός τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για \\(x\\) μπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση \\(K(x)=12,5x+120\\) και τα έσοδα από την πώληση τους (σε ευρώ), από τη συνάρτηση \\(E(x)=15,5x\\).\nα) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Τι εκφράζει ο αριθμός \\(12,5\\) και τι ο αριθμός \\(15,5\\) στο πλαίσιο του προβλήματος;\nγ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση).\nδ) Αν πουλήσουν \\(60\\) μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν η εταιρεία δεν κατασκευάσει μπλουζάκια (κατασκευάσει \\(0\\) μπλουζάκια), τότε έχουμε \\(K(0)=120\\ \\text{€}\\). Επομένως η εταιρεία, χωρίς να κατασκευάζει μπλουζάκια, έχει (πάγια) έξοδα \\(120\\ \\text{€}\\).\nβ) Η μοναδιαία μεταβολή του \\(x\\), δηλαδή αν τα μπλουζάκια που κατασκευάζονται αυξηθούν κατά \\(1\\ \\text{€}\\) (από \\(x\\) γίνουν \\(x+1\\)), θα προκαλέσει σταθερή μεταβολή \\(12,5\\ \\text{€}\\) στο κόστος κατασκευής και σταθερή μεταβολή στα έσοδα \\(15,5\\ \\text{€}\\). Δηλαδή,\n$$K(x+1)-K(x)=12,5$$\nκαι\n$$E(x+1)-E(x)=15,5$$\nγ) Τα μπλουζάκια που πρέπει να πωληθούν ώστε τα έσοδα να είναι ίσα με τα έξοδα είναι η λύση της εξίσωσης \\(E(x)=K(x)\\). Είναι:\n$$E(x)=K(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 15,5x=12,5x+120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=120 $$\n$$\\Leftrightarrow x=40$$\nΕπομένως, για να μην μπαίνει μέσα η επιχείρηση, πρέπει να πουλήσει \\(40\\) μπλουζάκια.\nδ) Αν πουλήσουν \\(60\\) μπλουζάκια τα έσοδα θα είναι\n$$E(60)=15,5\\cdot 60=930\\ \\text{€}$$\nκαι τα έξοδα \\(K(60)=12,5\\cdot 60+120=870\\ \\text{€}\\).\nΕπομένως το κέρδος τους θα είναι \\(930-870=60\\ \\text{€}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{3}−16x}{x−4}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) και να αποδείξετε ότι, για τα \\(x\\) που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει ότι \\(f(x)=x^{2}+4x\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(f(x)=32\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει: \\(x-4\\ne 0\\Leftrightarrow x\\ne 4\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης \\(f\\) μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις γίνεται:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{x^{3}-16x}{x-4}\\\\\n&=\\dfrac{x(x^{2}-16)}{x-4}\\\\\n&=\\dfrac{x(x-4)(x+4)}{x-4}\\\\\n&=x(x+4)\\\\\n& =x^{2}+4x \\end{align}$$\nβ) Είναι:\n$$f(x)=32$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4x=32$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4x-32=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}+4x-32\\) έχει \\(α=1\\), \\(β= 4\\), \\(γ=-32\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-32)=16+128=144>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}\\\\\n&=\\dfrac{-4\\pm \\sqrt{144}}{2\\cdot 1}\\\\\n&=\\dfrac{-4\\pm 12}{2}\\\\\n&=\\begin{cases} \\dfrac{-4+12}{2}=4 \\\\ \\dfrac{-4-12}{2}=-8 \\end{cases} \\end{align}$$\nΕπειδή η \\(f\\) ορίζεται στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{4\\}\\), δεκτή είναι μόνο η τιμή \\(x=-8\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(Α=\\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}\\), \\(α>0\\). Να αποδείξετε ότι:\nα) \\(α^{3}+2α^{2}+9α+18=(α^{2}+9)(α+2)\\).\nβ) Για κάθε \\(α>0\\) ισχύει\n\\(Α=\\dfrac{α^{2}+9}{α}\\).\n\\(Α\\ge 6\\). Πότε ισχύει η ισότητα \\(Α=6\\) ;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α^{3}+2α^{2}+9α+18=α^{2}(α+2)+9(α+2)$$\n$$=(α+2)(α^{2}+9)$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ)\nΙσχύει: \\(α^{2}+2α=α(α+2)\\), οπότε με \\(α>0\\) έχουμε:\n$$Α=\\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}+9)(α+2)}{α(α+2)}$$\n$$=\\dfrac{α^{2}+9}{α}$$\nΕπειδή \\(α>0\\) για την απόδειξη της \\(Α\\ge 6\\), δηλαδή της \\(\\dfrac{α^{2}+9}{α}\\ge 6\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(α^{2}+9\\ge 6α\\), ή αρκεί \\(α^{2}-6α+9\\ge 0\\), που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα \\((α-3)^{2}\\ge 0\\).\nΗ ισότητα \\(Α=6\\) ισχύει μόνο όταν \\((α-3)^{2}=0\\), δηλαδή μόνο όταν \\(α=3\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "ΘEMA 4\nα) Να λύσετε την ανίσωση:\n$$|x-1|\\leq 3\\quad (1).$$\nβ) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης \\(|x-1|\\).\nγ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς \\(x\\) που ικανοποιούν την ανίσωση \\((1)\\).\nδ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς \\(x\\) που ικανοποιούν την ανίσωση\n$$||x|-1|\\leq 3.$$\nΝα αιτιολογήσετε την απάντηση σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&|x-1|\\leq 3\\\\\n\\iff&-3\\leq x-1\\leq 3\\\\\n\\iff&-2\\leq x\\leq 4.\\end{align}\nβ) Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης \\((1)\\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών απεικονίζεται ως εξήσ:\nΣτον άξονα των πραγματικών αριθμών βλέπουμε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), οι οποίοι απέχουν από το \\(1\\) απόσταση μικρότερη ή ίση του \\(3\\).\nγ) Οι ακέραιοι που ικανοποιούν την ανίσωση \\((1)\\) είναι οι:\n$$-2, -1, 0, 1, 2, 3\\text{ και }4.$$\nδ) Θέτουμε \\(|x|=ω\\) και η ανίσωση γίνεται \\(|ω-1|\\leq 3\\). Από το\n(γ) ερώτημα γνωρίζουμε ότι την επαληθεύουν οι ακέραιοι \\(-2, -1, 0, 1, 2, 3\\) και \\(4\\). Δεδομένου ότι \\(ω=|x|\\geq 0\\), δεκτοί είναι οι ακέραιοι:\n$$0, 1, 2, 3\\text{ και }4.$$\nΣυνεπώς:\n\\begin{align}&|x|=0\\iff x=0,\\\\\n&|x|=1\\iff x=\\pm 1,\\\\\n&|x|=2\\iff x=\\pm 2,\\\\\n&|x|=3\\iff x=\\pm 3\\text{ και}\\\\\n&|x|=4\\iff x=\\pm 4.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το σημείο \\(M(3,4)\\).\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το \\(M\\) και από το \\(O(0,0)\\).\nβ) Δίνεται το σημείο \\(N(-3,λ)\\) με \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), το οποίο ανήκει στην ευθεία \\(OM\\).\ni. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nii. Αν \\(N(-3,-4)\\) να εξετάσετε αν τα σημεία \\(M,\\ N\\) είναι συμμετρικά ως προς το \\(O\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η κλίση της ευθείας \\(OM\\) είναι \\(α=\\dfrac{4-0}{3-0}=\\dfrac{4}{3}\\) και η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση \\(y=\\dfrac{4}{3}x\\).\nβ)\ni. Το σημείο \\(N\\) ανήκει στην ευθεία \\(OM\\) οπότε οι συντεταγμένες του \\(N\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(OM\\), δηλαδή ισχύει ότι:\n$$λ=\\dfrac{4}{3}\\cdot(-3)\\iff λ=-4.$$\nii. Τα σημεία \\(M(3,4)\\) και \\(N(-3,-4)\\) έχουν αντίθετες συντεταγμένες, οπότε είναι συμμετρικά ως προς το \\(O\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται πραγματικός αριθμός \\(x\\), για τον οποίο ισχύει:\n$$|x+2| < 1 $$\nΝα δείξετε ότι:\nα)\n$$ -3 < x < -1 $$ \nβ)\n$$|2x+4| < 2$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$ |x+2| < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < x+2 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1-2 < x+2-2 < 1-2 $$\n$$\\Leftrightarrow -3 < x < -1$$\nβ) Έχουμε διαδοχικά:\n$$-3 < x < -1$$\nπολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης με το \\(2\\), οπότε:\n$$-6<2x<-2$$\nπροσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης το \\(4\\) και έχουμε:\n$$-2<2x+4<2$$\nοπότε τελικά:\n$$|2x+4|<2$$\nΕναλλακτικά, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης \\(|x+2|<1\\) με το \\(2\\) και έχουμε:\n$$2\\cdot |x+2|<2\\cdot 1$$\nοπότε:\n$$|2\\cdot (x+2)|<2$$\nκαι τελικά:\n$$|2x+4|<2$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Κ=\\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$\nα) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(2x^{2}-3x-2\\).\nβ) Για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ορίζεται η παράσταση \\(Κ\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nγ) Να απλοποιήσετε την παράσταση \\(Κ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}-3x-2\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=-3\\), \\(γ=-2\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-3)^{2}-4\\cdot 2\\cdot (-2)$$\n$$=9+16=25>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{β^{2}-4αγ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 5}{4}=\\begin{cases}\\dfrac{3+5}{4} & =2 \\\\ \\dfrac{3-5}{4} & = - \\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$\nΤότε:\n$$2x^{2}-3x-2=2\\left(x-\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right)(x-2)$$\n$$=(2x+1)(x-2)$$\nβ) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση \\(Κ\\) πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή:\n$$2x^{2}-3x-2\\ne 0$$\n$$\\overset{α)}{ \\Leftrightarrow } (2x+1)(x-2)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2x+1\\ne 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-2\\ne 0) $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne -\\dfrac{1}{2}\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne 2)$$\nγ) Για \\(x\\ne -\\dfrac{1}{2}\\) και \\(x\\ne 2\\) ισχύει ότι:\n$$Κ=\\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$\n$$=\\dfrac{(x-2)^{2}}{(2x+1)(x-2)}$$\n$$=\\dfrac{x-2}{2x+1}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(G\\), με \\(G(x)=\\dfrac{2x+3}{x-4}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(G\\) για \\(x=2,\\ x=0,\\ x=-\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση \\(G\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) που αντιστοιχίζεται, μέσω της \\(G\\), στο \\(3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}G(2)&=\\frac{2\\cdot 2+3}{2-4}\\\\\n&=\\frac{4+3}{-2}\\\\\n&=-\\frac{7}{2},\\\\ \\\\\nG(0)&=\\frac{2\\cdot 0+3}{0-4}\\\\\n&=-\\frac{3}{4},\\\\ \\\\\nG\\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)&=\\frac{2\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)+3}{-\\frac{1}{2}-4}\\\\\n&=\\frac{-1+3}{-\\frac{9}{2}}\\\\\n&=\\frac{2}{-\\frac{9}{2}}\\\\\n&=-\\frac{4}{9}.\\end{align}\nβ) Η συνάρτηση δεν ορίζεται για \\(x=4\\), διότι η τιμή αυτή του \\(x\\) μηδενίζει τον παρονομαστή του κλάσματος στον τύπο της συνάρτησης.\nγ) Αναζητούμε την τιμή του \\(x\\neq 4\\) για την οποία:\n\\begin{align}&G(x)=3\\\\\n\\iff&\\frac{2x+3}{x-4}=3\\\\\n\\iff&2x+3=3(x-4)\\\\\n\\iff&2x+3=3x-12\\\\\n\\iff&x=15.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος \\(x\\) εκατοστά και πλάτος \\(y\\) εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη \\(x\\) και \\(y\\) ισχύει: \\(4\\le x\\le 7\\) και \\(2\\le y\\le 3\\) τότε:\nα) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.\nβ) Αν το \\(x\\) μειωθεί κατά \\(1\\) και το \\(y\\) τριπλασιαστεί, και να είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου,τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η περίμετρος ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι \\(Π = 2x + 2y\\). Τότε:\n$$4 \\le x \\le 7 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 \\cdot 4 \\le 2x \\le 2 \\cdot 7 $$\n$$\\Leftrightarrow 8 \\le 2x \\le 14\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$2 \\le y \\le 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 \\cdot 2 \\le 2y \\le 2 \\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 4 \\le 2y \\le 6\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) και βρίσκουμε:\n$$8+ 4 \\le 2x + 2y \\le 14 + 6 $$\n$$\\Leftrightarrow 12 \\le Π \\le 20$$\nβ) Αν το \\(x\\) μειωθεί κατά \\(1\\) και το \\(y\\) τριπλασιαστεί η νέα περίμετρος θα είναι:\n$$P = 2(x - 1) + 2 \\cdot 3y $$\n$$= 2x + 6y - 2$$\nΤότε:\n$$2 \\le y \\le 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 6 \\cdot 2 \\le 6y \\le 6 \\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 12 \\le 6y \\le 18$$\n$$\\Leftrightarrow 12 - 2 \\le 6y - 2 \\le 18 - 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 10 \\le 6y - 2 \\le 16\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \\((1)\\) και \\((3)\\) και βρίσκουμε:\n$$8 + 10 \\le 2x + 6y - 2 \\le 14 + 16 $$\n$$\\Leftrightarrow 18 \\le P \\le 30$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις \\(Α=\\dfrac{−α}{β}\\), \\(Β=α^{2}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών \\(α\\), \\(β\\) οι αλγεβρικές παραστάσεις \\(Α\\), \\(Β\\) είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του \\(0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\) είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι αντίστροφοι." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο αριθμός \\(Α=\\dfrac{-α}{β}\\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του \\(0\\). Δηλαδή, αρκεί να ισχύει \\(β\\ne 0\\).\nΟ αριθμός \\(Β=α^{2}\\) ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του \\(α\\in R\\).\nΓια να μην είναι μηδέν οι \\(Α\\), \\(Β\\), αρκεί και \\(α\\ne 0\\).\nβ) Δύο αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\) λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει \\(Α+Β=0\\).\nΙσχύουν ισοδύναμα:\n$$A+Β=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow a=0\\ \\ \\text{ή}\\ \\ αβ-1=0$$\nΌμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι \\(α\\ne 0\\) , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι \\(αβ=1\\), το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι αντίστροφοι." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\) είναι \\(α_{2}=κ^{2}\\) και \\(α_{3}=(κ+1)^{2}\\), όπου \\(κ\\) ακέραιος με \\(κ>1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι περιττός αριθμός.\nβ) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι \\(α_{1}=2\\), τότε:\nΝα βρείτε την τιμή του \\(κ\\) και να αποδείξετε ότι \\(ω=7\\).\nΝα εξετάσετε αν ο αριθμός \\(72\\) είναι όρος της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου ισχύει ότι:\n$$ω=α_{3}-α_{2}=(κ+1)^{2}-κ^{2}$$\n$$=κ^{2}+2κ+1-κ^{2}=2κ+1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΆρα, η διαφορά \\(ω\\) είναι περιττός αριθμός.\nβ)\nΈχουμε ότι:\n$$α_{2}=α_{1}+ω $$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} κ^{2}=2+2κ+1 $$\n$$\\Leftrightarrow κ^{2}-2κ-3=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-3)=16>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$κ_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-2)\\pm \\sqrt{16}}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{2+4}{2}=3 \\\\ \\dfrac{2-4}{2}=-1 \\end{cases}$$\nΗ τιμή \\(κ=-1\\) απορρίπτεται γιατί \\(κ>1\\). Άρα, \\(κ=3\\). Οπότε, από τη σχέση \\((1)\\) έχουμε:\n$$ω=2\\cdot 3+1=7$$\nΓια να είναι ο \\(72\\) όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \\(ν\\) τέτοιος ώστε:\n$$α_{ν}=72 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+(ν-1)7=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+7ν-7=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 7ν=77 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=11$$\nΆρα, ο αριθμός \\(72\\) είναι ο 11ος όρος της προόδου." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \\(x\\), ώστε οι αριθμοί \\(x+2,\\ x+1,\\ 3x+2\\), με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nβ) Για \\(x=-1\\), να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x+2, x+1, 3x+2\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν\n$$2(x+1)=(3x+2)+(x+2)$$\nοπότε ισοδύναμα έχουμε:\n$$2x+2=4x+4$$\n$$\\Leftrightarrow -2x=2$$\n$$\\Leftrightarrow x=-1$$\nβ) Για \\(x=-1\\), οι διαδοχικοί όροι της προόδου είναι \\(-1+2,  -1+1,  3\\cdot (-1)+2\\), δηλαδή \\(1,\\ 0,\\ -1\\).\nΗ διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι: \\(ω=0-1=-1\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=4x+2\\) και \\(g(x)=x^{2}-9\\) με πεδίο ορισμού το \\(\\mathbb{R}\\).\nα) βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(g\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \\((3,0)\\) και \\((-3,0)\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.\nδ) Να βρείτε συνάρτηση \\(h\\) της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το σημείο \\(A(0,3)\\) και τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(g\\) σε ένα σημείο του ημιάξονα \\(Ox\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(g\\) με τον άξονα \\(x'x\\) προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης \\(g(x)=0\\). Είναι:\n$$g(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=-3 \\\\ x=3 \\end{cases}$$\nΕπομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα \\(M(-3,0)\\) και \\(N(3,0)\\).\nβ) Είναι:\n$$f(3)=4\\cdot 3+2=14\\ne 0$$\nκαι\n$$f(-3)=4\\cdot (-3)+2=-10\\ne 0$$\nΕπομένως, η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \\(M(-3,0)\\) και \\(N(3,0)\\).\nγ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο \\((x_{o},0)\\) του άξονα \\(x'x\\) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις \\(C_{f}\\) , \\(C_{g}\\) των \\(f\\), \\(g\\). Τότε ισχύει:\n$$\\begin{cases} f(x_{o})=0 \\\\ g(x_{o})=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 4x_{o}+2=0 \\\\ x_{o}^{2}=9 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{o}=-\\dfrac{1}{2} \\\\ x_{o}=\\pm 3 \\end{cases}$$\nπου είναι άτοπο. Άρα οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(x'x\\).\nΈστω ότι οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(y'y\\). Τότε έχουμε:\n$$f(0)=g(0) $$\n$$\\Leftrightarrow 2=-9$$\nπου είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(y'y\\).\nδ) Η γραφική παράσταση της \\(h\\) είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής \\(h(x)=αx+β\\), \\(α\\), \\(β\\in \\mathbb{R}\\). Η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,3)\\), οπότε έχουμε:\n$$h(0)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 0+β=3 $$\n$$\\Leftrightarrow β=3$$\nΕπομένως έχουμε \\(h(x)=αx+3\\), \\(α\\in \\mathbb{R}\\). Επιπλέον, η γραφική παράσταση της \\(h\\) τέμνει την γραφική παράσταση της \\(g\\) σε σημείο του ημιάξονα \\(Οx\\) οπότε ισχύει:\n$$h(3)=g(3) $$\n$$\\Leftrightarrow 3α+3=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α=-1$$\nΤελικά η συνάρτηση h έχει τύπο \\(h(x)=-x+3\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε:\n\\(α+ β=12\\) και \\(α^{2}+β^{2}=272\\)\nα) Με τη βοήθεια της ταυτότητας \\((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\\), να δείξετε ότι:\n\\(α\\cdot β=-64\\)\nβ) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(α,\\ β\\).\nγ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς \\(α,\\ β.\\)\n(Μονάδες07)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αντικαθιστώντας στην ταυτότητα \\((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\\) τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:\n$$12^2 = 272 + 2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ = – 128$$\n$$\\Leftrightarrow αβ = – 64$$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \\(x^2 – Sx + P = 0\\) με\n\\(S = α + β = 12\\) και \\(Ρ = αβ= – 64\\)\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^2 – 12x – 64 = 0$$\nγ) Για \\(α = 1,\\ β = – 12\\) και \\(γ = – 64\\), βρίσκουμε:\n\\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 12)^2 – 4 \\cdot 1 \\cdot (– 64) = 144 + 256 = 400 > 0.\\)\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n\\begin{align} x_{1,2} &= \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α} \\\\\n& =\\dfrac{-(-12)\\pm \\sqrt{400}}{21} \\\\\n& =\\dfrac{12\\pm 20}{2} \\\\\n& =\\begin{cases} \\dfrac{12+20}{2}=16 \\\\ \\dfrac{12-20}{2}=-4 \\end{cases}\\end{align}\nΆρα είναι:\n\\((α = 16 \\text{ και } β = -4) \\text{ ή } (α = -4 \\text{ και } β = 16)\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Αν \\(α<0\\), να δείξετε ότι: \\(α+\\dfrac{1}{α}\\le -2\\).\nβ) Αν \\(α<0\\), να δείξετε ότι: \\(|α|+\\left|\\dfrac{1}{α}\\right|\\ge 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α+\\dfrac{1}{α}\\le -2$$\n$$\\overset{α<0}{ \\Leftrightarrow } α^{2}+α\\cdot \\dfrac{1}{α}\\ge -2α$$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}+1+2α\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (α+1)^{2}\\ge 0\\text{ , που ισχύει.}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|α|+\\left|\\dfrac{1}{α}\\right|\\ge 2$$\n$$\\overset{α<0}{ \\Leftrightarrow } -α-\\dfrac{1}{α}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow α+\\dfrac{1}{α}\\le -2$$\nπου από το α) ερώτημα ισχύει για κάθε \\(α<0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(x,y\\) πραγματικοί αριθμοί. Ορίζουμε:\n$$Α=2(x+y)^2−(x−y)^2−6xy−y^2$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Α = x^2\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι o αριθμός \\(B=2\\cdot 2022^2−2020^2−6\\cdot 2021−1\\) είναι ίσος με το τετράγωνο φυσικού αριθμού τον οποίο να προσδιορίσετε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$A=2(x+y)^2−(x−y)^2−6xy−y^2$$\n$$A=2(x^2+2xy+y^2)−(x^2−2xy+y^2)−6xy−y^2$$\n$$A=2x^2+4xy+2y^2−x^2+2xy-y^2−6xy−y^2$$\n$$A= 𝑥^2$$\nβ) Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε στην α) όπου \\(x = 2021\\) και \\(y=1\\) προκύπτει ότι το αριστερό μέλος είναι της μορφής: \\(2(x^2+2xy+y^2)−(x^2−2xy+y^2)−6xy−y^2\\) άρα θα είναι ίσο με το \\(Α\\), επομένως και ίσο με το \\(𝑥^2=2021^2\\) επομένως ο ζητούμενος φυσικός είναι ο \\(2021\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$g(x)=\\frac{x}{x^2+2}+\\sqrt{x-1}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\).\nβ) Να βρείτε (εφόσον ορίζονται) τις τιμές της συνάρτησης \\(g\\) για \\(x=1,\\ x=-2,\\ x=2\\).\nγ) Τέμνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) τον \\(y'y\\) άξονα;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται όταν \\(x-1\\ge0\\), δηλαδή όταν \\(x\\ge1\\), γιατί \\(x^2+2\\neq 0\\) για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A_g=[1,+\\infty)\\).\nβ) Για \\(x=1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι: \\(g(1)=\\dfrac{1}{1+2}+\\sqrt{1-1}=\\dfrac{1}{3}.\\)\nΔεν ορίζεται η τιμή της συνάρτησης για \\(x=-2\\), διότι \\(-2 \\notin A_g\\).\nΓια \\(x=2\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n\\(g(2)=\\dfrac{2}{2^2+2}+\\sqrt{2-1}=\\)\n\\(=\\dfrac{2}{6}+\\sqrt{1}=\\dfrac{1}{3}+1=\\dfrac{4}{3}\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) δεν τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα, διότι το \\(0\\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις \\(A=α^2+4α+5\\) και \\(B=(2β+1)^2-1\\), με \\(α,β\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι για κάθε \\(α,β\\in\\mathbb{R}\\) ισχύει \\(A=(α+2)^2+1\\).\nβ) i. Να δείξετε ότι \\(A+B\\geq 0\\).\nii. Για ποιες τιμές των \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\) ισχύει \\(A+B=0\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος της ισότητας έχουμε:\n\\begin{align}(α+2)^2+1&=α^2+4α+4+1\\\\\n&=α^2+4α+5\\\\\n&=A.\\end{align}\nβ) i. Ισοδύναμα έχουμε ότι:\n\\begin{align}&A+B\\geq 0\\\\\n\\iff&(α+2)^2+1+(2β+1)^2-1\\geq 0\\\\\n\\iff&(α+2)^2+(2β+1)^2\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει ως άθροισμα τετραγώνων.ii. Από το ερώτημα (β.i) βλέπουμε ότι η ισότητα ισχύει για\n$$(α+2)^2+(2β+1)^2=0$$\nη οποία ισχύει για:\n\\begin{align}&\\{(α+2)^2=0\\text{ και }(2β+1)^2=0\\} \\\\\n\\iff& \\{α=-2\\text{ και }β=-\\frac{1}{2}\\}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}+3x+2\\) και \\(g(x)=x+1\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\)\nα) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.\nβ) Δίνεται η συνάρτηση \\(h(x)=x+a\\). Να δείξετε ότι:\nΑν \\(a>1\\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(h\\) έχουν δύο κοινά σημεία.\nΑν \\(a<1\\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(h\\) δεν έχουν κοινά σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) αποτελούν λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Τότε:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x+1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-1$$\nΆρα οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το \\(A(-1,g(-1))\\) δηλαδή το \\(A(-1,0)\\). (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).\nβ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{h}\\) είναι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=h(x)\\). Δηλαδή:\n$$f(x)=h(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+a$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+(2-a)=0,\\ \\ a\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=2^{2}-4\\cdot 1\\cdot (2-a)$$\n$$=4-8+4a$$\n$$=4a-4$$\n$$=4(a-1)$$\nΑν \\(a>1\\) τότε \\(Δ>0\\) και η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(h\\) έχουν δύο κοινά σημεία.\nΑν \\(a<1\\) τότε \\(Δ<0\\) και η εξίσωση \\((1)\\) δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(h\\) δεν έχουν κοινά σημεία." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{x-4}+\\sqrt{6-x}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=5\\), να αποδείξετε ότι: \\(A^{2}+A-6=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$\\begin{cases} x-4\\ge 0 \\\\ \\text{και } 6-x\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και } -x\\ge -6 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και } x\\le 6 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le x\\le 6$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [4,6]$$\nβ) Για \\(x=5\\) είναι:\n$$A=\\sqrt{5-4}+\\sqrt{6-5}=\\sqrt{1}+\\sqrt{1}=1+1=2$$\nΕπομένως\n$$A^{2}+A-6=2^{2}+2-6=4+2-6=0$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι \\((2+\\sqrt{5})^{2}=9+4\\sqrt{5}\\) και \\((1-\\sqrt{5})^{2}=6-2\\sqrt{5}\\).\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να δείξετε ότι \\(\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}+\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}=1+2\\sqrt{5}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ότι:\n$$(2+\\sqrt{5})^{2}=2^{2}+2\\cdot 2\\cdot \\sqrt{5}+(\\sqrt{5})^{2}$$\n$$=4+4\\sqrt{5}+5=9+4\\sqrt{5}$$\nκαι:\n$$(1-\\sqrt{5})^{2}=1^{2}-2\\sqrt{5}+(\\sqrt{5})^{2}$$\n$$=1-2\\sqrt{5}+5=6-2\\sqrt{5}$$\nβ) Από το ερώτημα α) προκύπτει ότι:\n$$\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}+\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2+\\sqrt{5})^{2}}+\\sqrt{(1-\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2+\\sqrt{5}|+|1-\\sqrt{5}|$$\nΑλλά:\n$$1<5 $$\n$$\\Rightarrow 1<\\sqrt{5} $$\n$$\\Rightarrow 1-\\sqrt{5}<0$$\nΟπότε:\n$$|1-\\sqrt{5}|=\\sqrt{5}-1$$\nΆρα:\n$$|2+\\sqrt{5}|+|1-\\sqrt{5}|=2+\\sqrt{5}+\\sqrt{5}-1$$\n$$=1+2\\sqrt{5}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με τύπο \\(f(x)=\\dfrac{1}{x^{2}-1}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού \\(α\\), ώστε το σημείο \\(Μ\\left(α,\\dfrac{1}{8}\\right)\\) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$x^{2}-1\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)(x+1)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1\\ne 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x+1\\ne 0) $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne 1\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne -1)$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{-1,1\\}\\).\nβ) Το σημείο \\(Μ\\left(α,\\dfrac{1}{8}\\right)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\) αν και μόνο αν:\n$$f(α)=\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{α^{2}-1}=\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}-1=8 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α-3)(α+3)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α-3=0\\ \\ \\text{ή}\\ \\ α+3=0) $$\n$$\\Leftrightarrow (α=3\\ \\ \\text{ή}\\ \\ α=-3)$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει \\(20\\) κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του \\(Α\\). Η πρώτη κυψέλη απέχει \\(1\\) μέτρο από την αποθήκη \\(Α\\), η δεύτερη \\(4\\) μέτρα από το \\(Α\\), η τρίτη \\(7\\) μέτρα από το \\(Α\\) και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη \\(Α\\), \\(3\\) επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.\nα) Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη \\(Α\\) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;\nβ) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη \\(Α\\) είναι η \\(20η\\) κυψέλη;\nγ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη συλλέγει το μέλι, από μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει στην αποθήκη \\(Α\\).\nΠοια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την \\(3η\\) κυψέλη;\nΠοια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις \\(20\\) κυψέλες;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αποστάσεις \\((α_{i}),i=1,2,3,...,20\\) των κυψελών \\(K_{1},K_{2},K_{3},K_{4},...,K_{20}\\) από την αποθήκη \\(Α\\) διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό \\(3\\). Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_{1}=1\\) (η απόσταση της κυψέλης \\(Κ_{1}\\) από την αποθήκη \\(Α\\)) και διαφορά \\(ω=3\\) (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$\n$$=1+(ν-1)3$$\n$$=3ν-2$$\nβ) Αναζητούμε τον όρο \\(α_{20}\\). Είναι:\n$$α_{20}=3\\cdot 20-2=58\\ m$$\nγ)\nΟι διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:\n$$Α\\rightarrow Κ_{1}\\rightarrow Α$$\n$$ Α\\rightarrow Κ_{2}\\rightarrow Α$$\n$$Α\\rightarrow Κ_{3}\\rightarrow Α$$\nΆρα θα διανύσει απόσταση:\n$$(1+1)+(4+4)+(7+7)=24\\ \\text{μέτρα}$$\nΕφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:\n$$(1+1)+(4+4)+(7+7)+...+(58+58)=$$\n$$(1+4+7+...+58)+(1+4+7+...+58)=2S_{20}$$\nΤελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:\n$$2S_{20}=2\\cdot \\dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$\n$$=20(1+58)$$\n$$=20\\cdot 59$$\n$$=1.180\\ \\text{μέτρα}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2-2|κ| x-2\\) και η ευθεία \\(ε: y=2x-κ^2,\\ κ \\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(κ \\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(f\\) σε δύο σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(κ\\).\nγ) Για \\(κ = -3\\) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την γραφική παράσταση της \\(f\\).\nδ) Αν \\(Α\\) και \\(Β\\) τα σημεία τομής του ερωτήματος (γ), να βρείτε την απόσταση \\((ΑΒ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει \\(Δ=4κ^2+8 > 0\\), άρα η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Τα σημεία τομής έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης\n\\begin{align}&f(x)=y\\\\\n\\iff&x^2-2|κ|x-2=2x-κ^2\\\\\n\\iff&x^2-2(|κ|+1)x+κ^2-2=0.\\end{align}\nΒρίσκουμε\n\\begin{align}Δ&=4(|κ|+1)^2-4(κ^2-2)\\\\\n&=4(2|κ|+3)>0\\end{align}\nγια κάθε \\(κ \\in\\mathbb{R}\\). Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(f\\) σε δύο σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(κ\\).\nγ) Για \\(κ = -3\\),\n$$f(x)=x^2-6x-2$$\nκαι\n$$y=2x-9.$$\nΛύνουμε την εξίσωση\n$$f(x)=y\\iff x^2-8𝑥+7=0$$\nΈχουμε\n$$Δ=(-8)^2-4\\cdot 7=64-28=36$$\nκαι\n$$x_{1,2}=\\frac{8\\pm 6}{2}.$$\nΆρα \\(x_1 = 1\\) και \\(x_2=7\\).\nΤα σημεία τομής είναι \\(Α(1,-7)\\) και \\(Β(7, 5)\\).\nδ) Είναι\n\\begin{align}(ΑΒ)&= \\sqrt{(1-7)^2+(-7-5)^2}\\\\\n&=\\sqrt{36+144}\\\\\n&=\\sqrt{180}\\\\\n&=6\\sqrt{5}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι \\(2<\\sqrt{5}\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((2 -\\sqrt{5})^{2}=9 - 4\\sqrt{5}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(\\sqrt{9 - 4\\sqrt{5}}=\\sqrt{5}\\) \\(– 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Καθώς είναι \\(2=\\sqrt{4}\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(\\sqrt{4}<\\sqrt{5}\\), το οποίο όμως είναι αληθές αφού \\(4<5\\).\nβ) Εφαρμόζοντας την ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς, παίρνουμε\n\\begin{align} (2 -\\sqrt{5})^{2} & =2^{2}- 2\\cdot \\sqrt{5}\\cdot 2+(\\sqrt{5})^{2}\\\\\n& =5 - 4\\sqrt{5}+4\\\\\n&=9 - 4\\sqrt{5}\\end{align}\nγ) Με χρήση των ερωτημάτων α) και β) έχουμε:\n\\begin{align} \\sqrt{9 - 4\\sqrt{5}} &=\\sqrt{(2 -\\sqrt{5})^{2}}\\\\\n& =|2 -\\sqrt{5}| \\\\\n& =\\sqrt{5} – 2 \\end{align}\nαφού \\(2<\\sqrt{5} \\Leftrightarrow 2 -\\sqrt{5}<0.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω πραγματικοί αριθμοί \\(κ, λ\\) (\\(κ\\neq0, λ\\neq0\\) και \\(λ\\neq1\\)). Θεωρούμε τους αριθμούς \\(\\frac{κ}{λ},κ,κ\\cdot λ\\).\nα) Να αποδείξετε ότι οι τρεις αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τριών είναι πάντα διάφορο του μηδενός.\nγ) Αν οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ},κ\\cdot λ\\), (\\(κ>0\\), \\(λ\\neq0\\) και \\(λ\\neq1\\)) είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^2+10x+16=0\\) να βρείτε τους αριθμούς \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να είναι οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\) διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει το γινόμενο πρώτου επί τον τρίτο να ισούται με το τετράγωνο του δευτέρου. Πράγματι\n$$\\frac{κ}{λ}\\cdot(κ\\cdot λ)=\\frac{κ\\cdot κ\\cdot λ}{λ}=κ^2.$$\nΆρα ισχύει.\nβ) Οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\) έχουν άθροισμα:\n\\begin{align}&\\frac{κ}{λ}+κ+κ\\cdot λ\\\\\n=&\\frac{κ+κλ+κλ^2}{λ}\\\\\n=&\\frac{κ\\cdot(1+λ+λ^2)}{λ}\\\\\n=&\\frac{κ}{λ}\\cdot(1+λ+λ^2)\\end{align}\nΠροφανώς \\(\\frac{κ}{λ}\\neq0\\).\nΟπότε για να έχουν άθροισμα διάφορο του μηδενός αρκεί \\(λ^2+λ+1\\neq0\\).\nΠράγματι το τριώνυμο \\(λ^2+λ+1\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=1^2-4\\cdot 1\\cdot 1=1-4=-3< 0.$$\nΆρα \\(λ^2+λ+1\\neq 0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\).\nγ) Για την εξίσωση δευτέρου βαθμού \\(x^2+10x+16=0\\) το γινόμενο των ριζών ισούται με\n$$P=\\frac{γ}{α}=\\frac{16}{1}=16.$$\nΌμως από το (α) έχουμε \\(\\frac{κ}{λ}\\cdot(κ\\cdot λ)=κ^2\\).\nΟπότε\n$$κ^2=16 \\iff |κ|=4 \\iff κ=4$$\nαφού \\(κ>0\\).\nΓια την εξίσωση δευτέρου βαθμού \\(x^2+10x+16=0\\) το άθροισμα των ριζών ισούται με\n$$S=-\\frac{β}{α}=-\\frac{10}{1}=-10.$$\nΟπότε έχουμε:\n\\begin{align}&\\frac{4}{λ}+4λ=-10\\\\\n\\iff&4+4λ^2=-10λ\\\\\n\\iff&4+4λ^2+10λ=0\\\\\n\\iff&2λ^2+5λ+2=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα \\(Δ\\) είναι\n$$Δ=5^2-4\\cdot 2\\cdot 2=25-16=9>0,$$\nοπότε έχουμε δύο ρίζες\n\\begin{align}&λ_{1,2}=\\frac{-β\\pm\\sqrt{Δ}}{2\\cdot α}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\frac{-5\\pm\\sqrt{9}}{2\\cdot2}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\frac{-5\\pm3}{4}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\begin{cases}\\frac{-5-3}{4}\\\\\\frac{-5+3}{4}\\end{cases}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\begin{cases}-2\\\\-\\frac{1}{2}\\end{cases}\\text{ δεκτές}.\\end{align}\nΕπομένως για \\(λ=-2\\) οι αριθμοί είναι \\(-2,4,-8\\), ενώ για \\(λ=-\\frac{1}{2}\\) οι αριθμοί είναι \\(-8,4,-2\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1=0\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\).\nα) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα \\(Δ\\) της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του \\(λ\\), δηλαδή σταθερή.\nβ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με \\(2\\) μονάδες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1\\) έχει \\(α=λ\\), \\(β=2λ-1\\), \\(γ=λ-1\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=(2λ-1)^{2}-4λ(λ-1)=$$\n$$=4λ^{2}-4λ+1-4λ^{2}+4λ=1$$\nΆρα, η διακρίνουσα \\(Δ\\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \\(λ\\).\nβ) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(2λ-1)\\pm \\sqrt{1}}{2λ}$$\n$$=\\dfrac{1-2λ\\pm 1}{2λ}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{2-2λ}{2λ}=\\dfrac{1-λ}{λ} \\\\ \\\\ \\dfrac{-2λ}{2λ}=-1 \\end{cases}$$\nγ) Η απόσταση των ριζών \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:\n$$|x_{2}-x_{1}|=\\left|-1-\\dfrac{1-λ}{λ}\\right|$$\nΟπότε πρέπει:\n$$\\left|-1-\\dfrac{1-λ}{λ}\\right|=2$$\n$$ \\Rightarrow \\left|\\dfrac{-λ-1+λ}{λ}\\right|=2$$\n$$\\Rightarrow \\left|\\dfrac{1}{λ}\\right|=2$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} \\dfrac{1}{λ}=2 \\\\ \\\\ \\dfrac{1}{λ}=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases}λ=\\dfrac{1}{2} \\\\ \\\\ λ=-\\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=αx-α+2\\) και \\(g(x)=x^{2}-α+3\\) με \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,2)\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(α\\).\nβ) Αν οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \\(1\\), τότε:\nΝα αποδείξετε ότι \\(α=2\\).\nΓια \\(α=2\\) υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.\nγ) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \\(x^{2}-αx+1=0\\) και στη συνέχεια ότι για \\(α=3\\), \\(α=-2\\), \\(α=1\\) έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημεία τομής." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1, 2)\\) αν και μόνο αν \\(f(1)=2\\).\nΕίναι \\(f(1)=α\\cdot 1-α+2=2\\) για κάθε \\(α\\in \\mathbb{R}\\), οπότε πράγματι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,2)\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(α\\).\nβ) Αφού οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \\(1\\), ισχύει ότι: \\(f(1)=g(1)\\).\nΕίναι\n$$f(1)=g(1) $$\n$$\\Leftrightarrow α-α+2=1^{2}-α+3 $$\n$$\\Leftrightarrow α=2$$\nΓια \\(α=2\\) έχουμε \\(f(x)=2x-2+2=2x\\) και \\(g(x)=x^{2}-2+3=x^{2}+1\\)\nΗ συνάρτηση \\(f\\) έχει πεδίο ορισμού το \\(Α=R\\) και η \\(g\\) το \\(Β= \\mathbb{R}\\). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\) και \\(C_{g}\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Είναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=x^{2}+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΕπομένως δεν υπάρχει άλλο κοινό σημείο εκτός από αυτό με τετμημένη \\(1\\).\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow αx-α+2=x^{2}-α+3 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-αx+1=0$$\nΗ παραπάνω εξίσωση είναι 2ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσάς της:\n$$Δ=(-α)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 1=α^{2}-4$$\nΓια \\(α=3\\) είναι \\(Δ=3^{2}-4=9-4=5>0\\) οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.\nΓια \\(α=-2\\) είναι \\(Δ=(-2)^{2}-4=4-4=0\\) οπότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο.\nΓια \\(α=1\\) είναι \\(Δ=1^{2}-4=1-4=-3<0\\) οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία." } ]

[ { "from": "human", "value": "Υποθέτουμε ότι κάθε κεφάλαιο που κατατίθεται σε έναν λογαριασμό μιας τράπεζας, αυξάνεται στο τέλος κάθε έτους κατά \\(ε\\)% (το επίσημο επιτόκιο αύξησης που δίνει δηλαδή η τράπεζα είναι \\(ε\\)%).\nα) Αποδείξτε ότι αν καταθέσουμε στη συγκεκριμένη τράπεζα κεφάλαιο \\(x\\) € με επιτόκιο \\(ε\\)%, ύστερα από δύο έτη θα εισπράξουμε κεφάλαιο \\(x\\cdot \\Big( 1+\\dfrac{ε}{100}\\Big)^2\\) €.\nβ) Ένα κεφάλαιο \\(15.000\\) € το χωρίζουμε σε δύο ποσά. Το ένα από τα δύο, κατατέθηκε σε μια τράπεζα \\(Α\\) με επιτόκιο \\(2\\)% και το άλλο, κατατέθηκε σε μια άλλη τράπεζα \\(Β\\) με επιτόκιο \\(3\\)%. Ύστερα από \\(2\\) χρόνια, εισπράχθηκε, με βάση το (α) ερώτημα, και από τις δύο τράπεζες συνολικό κεφάλαιο \\(15.811\\) €. Ονομάζουμε \\(y\\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\).\ni) Να αποδείξετε ότι το ποσό \\(y\\) είναι λύση της εξίσωσης\n$$(1,03^2-1,02^2)\\cdot y=15.811-15.000\\cdot1,02^2.$$\nii) Να βρείτε το κεφάλαιο που κατατέθηκε σε κάθε τράπεζα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν καταθέσουμε στην τράπεζα κεφάλαιο \\(x\\) € με επιτόκιο \\(ε\\)%, τότε στο τέλος του \\(1^\\text{ου}\\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι\n$$x+\\frac{ε}{100}\\cdot x=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big).$$\nΣτο τέλος του \\(2^\\text{ου}\\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι\n\\begin{align}&\\phantom{=}x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)+\\frac{ε}{100}\\cdot x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100} \\Big)\\\\\n&=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)\\cdot\\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)\\\\\n&=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)^2.\\end{align}\nβ) i. Αφού ονομάζουμε \\(y\\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\), έχουμε ότι \\(15.000-y\\) θα είναι το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Α\\). Σύμφωνα με το (α) ερώτημα το ποσό που θα υπάρχει στην τράπεζα \\(Β\\) μετά από δύο έτη θα είναι\n$$y\\cdot \\Big(1+\\frac{3}{100}\\Big)^2=y\\cdot 1,03^2,$$\nενώ το αντίστοιχο ποσό στην τράπεζα \\(Α\\) θα είναι\n$$(15.000-y)\\Big(1+\\frac{2}{100}\\Big)^2=(15.000-y)\\cdot1,02^2.$$\nΟπότε, θα πρέπει να ισχύει\n\\begin{align}&y\\cdot 1,03^2+(15.000-y)\\cdot 1,02^2=15.811\\\\\n\\iff& y\\cdot1,03^2-y\\cdot1,02^2+15.000\\cdot1,02^2=15.811\\\\\n\\iff& y\\cdot(1,03^2-1,02^2)=15.811-15.000\\cdot 1,02^2.\\end{align}\nii. Η προηγούμενη εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&y\\cdot(1,03-1,02)\\cdot(1,03+1,02)=15811-15.000\\cdot1,0404\\\\\n\\iff& y\\cdot 0,01\\cdot 2,05=15.811-15.606\\\\\n\\iff& y=\\frac{205}{0,01\\cdot2,05}=\\frac{2.050.000}{205}=10.000.\\end{align}\nΆρα το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\) ήταν \\(10.000\\) €, ενώ στην τράπεζα \\(Α\\) είναι \\(5.000\\) €." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(Κ=2α^{2}+β^{2}+9\\) και \\(Λ=2α(3-β)\\), όπου \\(α\\), \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(Κ-Λ=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\\).\nβ) Να δείξετε ότι: \\(Κ\\ge Λ\\), για κάθε τιμή των \\(α\\), \\(β\\).\nγ) Για ποιες τιμές των \\(α\\), \\(β\\) ισχύει η ισότητα \\(Κ=Λ\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$Κ-Λ=2α^{2}+β^{2}+9-2α(3-β)$$\n$$= 2α^{2}+β^{2}+9-(6α-2αβ)$$\n$$=α^{2}+α^{2}+β^{2}+9-6α+2αβ$$\n$$=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)$$\nβ) Ισοδύναμα και διαδοχικά ισχύει ότι:\n$$Κ\\ge Λ $$\n$$\\Leftrightarrow Κ-Λ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}\\ge 0$$\nτο οποίο ισχύει για κάθε τιμή των \\(α\\), \\(β\\).\nγ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:\n$$Κ=Λ $$\n$$\\Leftrightarrow Κ-Λ=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} (α+β)^{2}=0 \\\\ (α-3)^{2}=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α+β=0 \\\\ α-3=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α=-β \\\\ α=3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α=3 \\\\ β=-3 \\end{cases}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Ένα παιχνίδι στον υπολογιστή έχει επίπεδα δυσκολίας. Ένας παίκτης έχει καθορισμένο χρόνο για να ολοκληρώσει κάθε επίπεδο. Στο επίπεδο \\(1\\) (το πιο εύκολο επίπεδο) ο παίκτης έχει χρονικό όριο \\(300\\) δευτερολέπτων για να το ολοκληρώσει. Στο επίπεδο \\(4\\) το χρονικό όριο είναι \\(255\\) δευτερόλεπτα. Οι μέγιστοι επιτρεπόμενοι χρόνοι σε κάθε επίπεδο αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.\nα) Να υπολογίσετε τη διαφορά \\(ω\\) της αριθμητικής προόδου. Τι δηλώνει η διαφορά \\(ω\\) στο πλαίσιο του προβλήματος;\n + 4)\nβ) Το τελευταίο επίπεδο έχει χρονικό όριο \\(45\\) δευτερολέπτων. Να βρείτε τον αριθμό των επιπέδων στο παιχνίδι.\nγ) Να βρείτε τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι.\nδ) Ένας παίκτης ολοκληρώνει το επίπεδο \\(1\\) σε \\(147\\) δευτερόλεπτα, το επίπεδο \\(2\\) σε \\(150\\) δευτερόλεπτα, το επίπεδο \\(3\\) σε \\(153\\) και κάθε φορά που ανεβαίνει επίπεδο χρειάζεται \\(3\\) επιπλέον δευτερόλεπτα. Μέχρι ποιο επίπεδο θα προλάβει να παίξει; Θα ολοκληρώσει το παιχνίδι;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το χρονικό όριο του επιπέδου \\(1\\) είναι \\(α_1=300\\) δευτερόλεπτα και του επιπέδου \\(4\\) είναι \\(α_4=255\\) δευτερόλεπτα. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο γενικός όρος δίνεται από τη σχέση:\n\\begin{align}&α_ν=α_1+(ν-1)ω\\\\\n\\Rightarrow&α_4=α_1+3ω\\\\\n\\Rightarrow&255=300+3ω\\\\\n\\Rightarrow&ω=-15.\\end{align}\nΑυτό σημαίνει ότι όσο αυξάνει το επίπεδο δυσκολίας (από \\(1\\) σε \\(2\\), από \\(2\\) σε \\(3\\), από \\(3\\) σε \\(4\\), κ.ο.κ) το χρονικό όριο που έχει ο παίκτης για να το ολοκληρώσει ελαττώνεται (σταθερά) κατά \\(15\\) δευτερόλεπτα κάθε φορά.\nβ) Αν τα επίπεδα είναι στο σύνολό τους \\(ν\\), τότε \\(α_ν=45\\) (το τελευταίο επίπεδο έχει χρονικό όριο \\(45\\) δευτερολέπτων) και ζητάμε την τιμή του \\(ν\\). Συνεπώς,\n\\begin{align}&α_ν=45\\\\\n\\iff&α_1+(ν-1)ω=45\\\\\n\\iff&300+(ν-1)(-15)=45\\\\\n\\iff&300-15ν+15=45\\\\\n\\iff&15ν=270\\\\\n\\iff&ν=18\\end{align}\nΆρα το παιχνίδι ολοκληρώνεται σε \\(18\\) επίπεδα.\nγ) Ο μέγιστος επιτρεπόμενος χρόνος που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι θα προκύψει αν προσθέσουμε το μέγιστο χρονικό όριο και των \\(18\\) επιπέδων του παιχνιδιού, δηλαδή\n$$α_1+α_2+\\dots+α_{18}=S_{18}.$$\nΣτην αριθμητική πρόοδο ισχύει η σχέση:\n\\begin{align}&S_ν=\\frac{ν}{2}(α_1+α_ν)\\\\\n\\Rightarrow&S_{18}=\\frac{18}{2}(α_1+α_{18})\\\\\n\\Rightarrow&S_{18}=9(300+45)=9\\cdot 345=3105.\\end{align}\nΟ μέγιστος χρόνος που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι είναι \\(3105\\) δευτερόλεπτα (δηλαδή \\(51\\) λεπτά και \\(45\\) δευτερόλεπτα).\nδ) Αν \\(β_1=147\\) είναι ο χρόνος που χρειάζεται ο παίκτης για να ολοκληρώσει το επίπεδο \\(1\\), \\(β_ν\\) είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρώσει το επίπεδο \\(ν\\) και \\((β_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(β_1=147\\) και \\(ω=3\\). Θέλουμε να ελέγξουμε αν ο χρόνος που χρειάζεται ο παίκτης για να ολοκληρώσει κάθε επίπεδο είναι μικρότερος ή ίσος από τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο κάθε επιπέδου.\nΘέλουμε τη μέγιστη τιμή του \\(ν\\in\\mathbb{N}\\), ώστε \\(β_ν\\leq α_ν\\).\nΔηλαδή:\n\\begin{align}&147+(ν-1)3\\leq 300+(ν-1)(-15)\\\\\n\\iff&144+3ν\\leq 315-15ν\\\\\n\\iff&18ν\\leq 171\\\\\n\\iff&ν\\leq\\frac{171}{18}\\\\\n\\iff&ν\\leq 9,5\\end{align}\nΆρα η μέγιστη τιμή του \\(ν\\) είναι \\(9\\), που σημαίνει ότι ο παίκτης, με το ρυθμό που παίζει, θα ολοκληρώσει μόνο \\(9\\) από τα \\(18\\) επίπεδα του παιχνιδιού." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\dfrac{2𝑥}{𝑥−1}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) με τους άξονες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(𝑓\\) ορίζεται αν και μόνον αν \\(𝑥−1≠0 \\Leftrightarrow 𝑥≠1\\), άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓\\) είναι \\(𝛢=\\Bbb{R}−\\set{1}.\\)\nβ) Το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) μόνο όταν \\(𝑓(2)=4.\\)\nΕίναι: \\(𝑓(2)=\\dfrac{2\\cdot2}{2}−1=4\\), άρα το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\) λύνουμε την εξίσωση: \\(𝑓(𝑥)=0 \\Leftrightarrow \\dfrac{2𝑥}{𝑥−1}=0 \\Leftrightarrow 2𝑥=0\\Leftrightarrow 𝑥=0\\)\nΆρα η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) τέμνει και τους δύο άξονες στο κοινό τους σημείο \\(𝛰(0,0).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\) ,\\(8\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\), ώστε οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά \\(ω\\) αυτής της προόδου;\nβ) Να βρείτε τον αριθμό \\(x\\), ώστε οι \\(2\\), \\(x\\) ,\\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος \\(λ\\) αυτής της προόδου;\nγ) Αν \\((α_{ν})\\) είναι η αριθμητική πρόοδος \\(2,5,8,11,...\\) και \\((β_{ν})\\) η γεωμετρική πρόοδος \\(2,4,8,16,...\\) τότε να βρείτε:\nΤο άθροισμα \\(S_ν\\) των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\).\nΤην τιμή του \\(ν\\), ώστε για το άθροισμα \\(S_ν\\) του γi) ερωτήματος να ισχύει:\n$$2\\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Oι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν \\(2x=8+2\\), δηλαδή \\(2x=10\\) και τελικά \\(x=5\\). H διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι \\(ω=5-2=3\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(x^{2}=2\\cdot 8\\), δηλαδή \\(x^{2}=16\\) και τελικά \\(x=\\pm 4\\).\nΓια \\(x=-4\\), ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=\\dfrac{-4}{2}=-2\\), ενώ για \\(x=4\\) ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=\\dfrac{4}{2}=2\\).\nγ) Αν \\((α_{ν})\\) είναι η αριθμητική πρόοδος \\(2,5,8,11,...\\) και \\((β_{ν})\\) η γεωμετρική πρόοδος \\(2,4,8,16,...\\) τότε:\nΤο άθροισμα \\(S_ν\\) των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) με \\(α_{1}=2\\) και \\(ω=3\\), είναι:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (2\\cdot 2+(ν-1)\\cdot 3)$$\n$$=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+3ν)$$\n$$=\\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}$$\nΟ 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου \\((β_{ν})\\) με 1ο όρο \\(β_{1}=2\\) και λόγο \\(λ=2\\) είναι:\n$$β_{7}=2\\cdot 2^{1}=2\\cdot 2^{6}=2^{7}=128$$\nΈχουμε ισοδύναμα:\n$$2\\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$\nΔηλαδή:\n$$2\\cdot \\left(\\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}+24\\right)=128$$\nOπότε:\n$$3ν^{2}+ν-80=0$$\nΤο τριώνυμο \\(3ν^{2}+ν-80\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=1^{2}-4\\cdot 3\\cdot (-80)=961>0\\), οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:\n\\(ν_{1}=\\dfrac{-1-\\sqrt{961}}{2\\cdot 3}=\\dfrac{-1-31}{6}=-\\dfrac{16}{3}\\), που απορρίπτεται γιατί \\(ν\\in N\\).\n\\(ν_{2}=\\dfrac{-1+\\sqrt{961}}{2\\cdot 3}=\\dfrac{-1+31}{6}=5\\).\nΤελικά \\(ν=5\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^{2}-2λx+4λ+5=0\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν \\(λ=-2\\) και όταν \\(λ=3\\).\nβ)\nΝα αποδείξετε ότι αν \\(λ=5\\), τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.\nΝα εξετάσετε αν υπάρχει άλλη τιμή του \\(λ\\), ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.\nγ) Αν ισχύει \\(|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5,λ\\in \\mathbb{R}-\\{-1,5\\}\\) να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}-2λx+4λ+5=0\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=4λ^{2}-16λ-20=4(λ^{2}-4λ-5)$$\nΌταν \\(λ=-2\\), τότε:\n$$Δ=4(4+8-5)=28>0$$\nοπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.\nΌταν \\(λ=3\\), τότε:\n$$Δ=4(9-12-5)=-32<0$$\nοπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.\nβ)\nΌταν \\(λ=5\\) η εξίσωση έχει διακρίνουσα \\(Δ=4(25-20-5)=0\\), οπότε έχει μια διπλή ρίζα.\nΗ εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει \\(Δ=0\\). Είναι:\n$$Δ=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-4λ-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=5\\ \\text{ή}\\ λ=-1$$\nΕπομένως, εκτός από την περίπτωση \\(λ=5\\) που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν \\(λ=-1\\).\nγ) Ισχύει:\n$$|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5$$\n$$=-(λ^{2}-4λ-5),\\ λ\\in \\mathbb{R}-\\{-1,5\\}$$\nοπότε ο αριθμός \\(λ^{2}-4λ+5\\) είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα \\(Δ=4(λ^{2}-4λ-5)\\) είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}\\) και \\(g(x)=λx+(1-λ),x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(λ\\ne 0\\), παράμετρος.\nα) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.\nβ) Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό;\nγ) Αν \\(λ\\ne 2\\) και \\(x_{1},x_{2}\\) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\), να βρείτε την τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ώστε να ισχύει \\((x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Είναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=λx+1-λ $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-λx+λ-1=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-λ)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (λ-1)$$\n$$=λ^{2}-4λ+4$$\n$$=(λ-2)^{2}\\ge 0$$\nγια κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\). Επομένως η \\((1)\\) έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(λ\\), οπότε οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν, για κάθε τιμή του \\(λ\\), ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.\nβ) Η \\((1)\\) έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:\n$$Δ=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-2)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=2$$\nΓια \\(λ=2\\), η εξίσωση γίνεται:\n$$x^{2}-2x+1=0$$\nη οποία έχει μοναδική λύση \\(x=1\\).\nΤότε \\(f(1)=1\\), άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το \\((1,1)\\).\nγ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:\n$$S=x_{1}+x_{2}$$\n$$=-\\dfrac{β}{α}=λ$$\nοπότε με \\(λ\\ne 2\\) είναι:\n$$(x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2 $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-|λ|+2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |λ|^{2}-|λ|+2=0$$\nΘέτουμε \\(|λ|=κ,κ>0\\) και η εξίσωση γράφεται:\n$$κ^{2}-κ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow κ=2\\ \\text{ή}\\ κ=-1\\ \\ \\text{(απορρίπτεται)}$$\nΆρα, \\(|λ|=2 \\Leftrightarrow -λ=2\\) ή \\(λ=2\\), που απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(λ=-2\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος \\(y\\) (σε \\(cm\\)) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή \\(t\\) (σε \\(sec\\)) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: \\(y=60t-5t^{2}\\).\nα) Μετά πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;\nβ) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \\(y=175\\ m\\);\nγ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Όταν η σφαίρα επανέλθει στο έδαφος θα ισχύει \\(y=0\\). Είναι:\n$$y=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t(12-t)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow t=0\\ \\text{ή}\\ t=12$$\nΓια \\(t=0\\ sec\\) η σφαίρα βρίσκεται στην αρχή της κίνησης οπότε η τιμή \\(t=0\\) απορρίπτεται. Άρα η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος μετά από \\(t=12\\ sec\\).\nβ) Ισχύει:\n$$y=175 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=175 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+175=0$$\n$$\\Leftrightarrow t^{2}-12t+35=0 $$\n$$\\Leftrightarrow t=5\\ \\text{ή}\\ t=7$$\nΆρα η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \\(175\\ m\\) τις χρονικές στιγμές \\(5\\ sec\\) και \\(7\\ sec\\).\nγ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\) όταν \\(y>100\\). Είναι:\n$$y>100 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}>100 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+100 < 0$$\n$$\\Leftrightarrow t^{2}-12t+20 < 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < t < 10$$\nΆρα η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\) μεταξύ των χρονικών στιγμών \\(2\\ sec\\) και \\(10\\ sec\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν είναι \\(A=\\sqrt[3]{5},\\ B=\\sqrt{3},\\ Γ=\\sqrt[6]{5}\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α\\cdot Β\\cdot Γ=\\sqrt{15}\\).\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \\(Α,\\ Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align} A\\cdot B\\cdot Γ & =\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n& =5^{\\frac{1}{3}}\\cdot \\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{6}} \\\\\n& =\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{6}} \\\\\n& =\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{3}{6}}\\\\\n&=\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{2}}\\\\\n&=\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n&=\\sqrt{15}\\end{align}\nβ) Είναι:\n$$ A =\\sqrt[3]{5}=5^{\\frac{1}{3}}=5^{\\frac{2}{6}}=\\sqrt[6]{5^{2}}=\\sqrt[6]{25}$$\nκαι\n$$B=\\sqrt{3}=3^{\\frac{1}{2}}=3^{\\frac{3}{6}}=\\sqrt[6]{3^{3}}=\\sqrt[6]{27}$$\nΙσχύει ότι:\n$$25 \\lt 27$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{25}\\lt \\sqrt[6]{27}$$\n$$\\Leftrightarrow A\\lt B$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{4}-8x^{2}-9=0$$\nΝα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.\nβ) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε την εξίσωση: \\(x^{4}+βx^{2}+γ=0\\) \\((1)\\) με παραμέτρους \\(β,γ\\in \\mathbb{R}\\).\nΝα δείξετε ότι αν \\(γ<0\\), τότε:\n\\(β^{2}-4γ>0\\)\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Θέτοντας στην εξίσωση \\(x^{4}-8x-9=0\\) όπου \\(x^{2}=u\\ge 0\\), γίνεται:\n$$u^{2}-8u-9=0$$\nΤο τριώνυμο έχει \\(α=1\\), \\(β=-8\\), \\(γ=-9\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-8)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-9)=64+39=100>0$$\nΟι ρίζες του είναι οι:\n$$u_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-8)\\pm \\sqrt{100}}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{8+10}{2}=\\dfrac{18}{2}=9>0\\ \\ \\text{δεκτή} \\\\ \\dfrac{8-10}{2}=\\dfrac{-2}{2}=-1<0\\ \\ \\text{απορρίπτεται} \\end{cases}$$\nΌμως έχουμε:\n$$x^{2}=u $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{9} $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 3$$\nβ) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση \\(x^{4}-βx^{2}+γ=0\\), αν θέσουμε όπου \\(x^{2}=u\\) με \\(u\\ge 0\\), ισοδύναμα γίνεται:\n$$u^{2}+βu+γ=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα \\(Δ=β^{2}-4γ\\), με \\(β^{2}\\ge 0\\) και \\(γ<0\\) οπότε \\(-γ>0\\).\nΣυνεπώς, \\(Δ>0\\) ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.\nΕπειδή \\(Δ>0\\) το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες \\(u_{1},u_{2}\\). Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι \\(Ρ=\\dfrac{γ}{α}=γ<0\\). Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.\nΈστω:\n\\(\\begin{cases} u_{1}<0\\ \\text{,}\\ &\\text{απορρίπτεται} \\\\ u_{2}>0\\ \\text{,}\\ &\\text{δεκτή} \\end{cases}\\).\nΤότε έχουμε:\n$$x^{2}=u_{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{u_{2}}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$2x^{2}-5x+2=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}-5x+2\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 2\\cdot 2$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-5)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5-3}{4}=\\dfrac{1}{2}$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-5)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5+3}{4}=2$$\nβ) Δεδομένου ότι \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\), δηλαδή οι αριθμοί \\(\\dfrac{1}{2}\\), \\(1\\), \\(2\\), με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(1^{2}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 2\\), που ισχύει." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έχουμε μπροστά μας τη λίστα με τα ονοματεπώνυμα των μαθητών ενός τμήματος της Α΄ Λυκείου ενός Γενικού Λυκείου.\nΣχηματίζουμε τα σύνολα \\(Α\\), με στοιχεία τα μικρά ονόματα μαθητών της Α΄ τάξης ενός Γενικού Λυκείου και \\(Β\\) με στοιχεία τα επώνυμα μαθητών της Α΄ τάξης του ίδιου Γενικού Λυκείου.\nΟρίζουμε την αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) σύμφωνα με την οποία αντιστοιχούμε κάθε μικρό όνομα μαθητή στο επώνυμό του και την \\(g:B→A\\) με την οποία αντιστοιχούμε σε κάθε επώνυμο μαθητή το μικρό του όνομα.\nα) Να εξετάσετε αν η αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) ορίζει πάντα συνάρτηση από το σύνολο \\(Α\\) στο σύνολο \\(Β.\\)\nβ) Να προσδιορίσετε υπό ποιες προϋποθέσεις η αντιστοίχιση \\(g:Β→Α\\) αποτελεί συνάρτηση από το σύνολο \\(Β\\) στο σύνολο \\(Α\\) και να προσδιορίσετε ποια είναι η εξαρτημένη και ποια η ανεξάρτητη μεταβλητή." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) δεν αποτελεί πάντα συνάρτηση από το σύνολο \\(Α\\) στο \\(Β\\), καθώς μπορεί να υπάρχουν μαθητές με το ίδιο όνομα και διαφορετικό επώνυμο. Δηλαδή να αντιστοιχίζεται ένα στοιχείο του συνόλου \\(Α\\) σε περισσότερα από ένα στοιχεία του συνόλου \\(Β\\).\nβ) Η αντιστοίχιση από το σύνολο \\(Β\\) στο σύνολο \\(Α\\) θα αποτελεί συνάρτηση, αν κάθε επώνυμο στο σύνολο \\(Β\\) αντιστοιχίζεται σε μοναδικό όνομα στο σύνολο \\(Α\\), δηλαδή δεν υπάρχουν μαθητές με ίδιο επώνυμο. Σε αυτήν την περίπτωση η ανεξάρτητη μεταβλητή θα είναι το επώνυμο του μαθητή και η εξαρτημένη μεταβλητή θα είναι το όνομά του." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με: \\(f(x)=\\begin{cases} 2x-5\\ \\text{,}\\ &x\\le 3 \\\\ x^{2}\\ \\text{,}\\ &3<x<10 \\end{cases}\\)\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(f(-1)\\), \\(f(3)\\) και \\(f(5)\\).\nβ) Διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nγ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον \\(y'y\\) άξονα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$f(-1)=2(-1)-5=-7$$\n$$\\Rightarrow f(3)=2\\cdot 3-5=1$$\n$$\\Rightarrow f(5)=5^{2}=25$$\nβ) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων, πρέπει \\(f(0)=0\\).\nΌμως \\(f(0)=2\\cdot 0-5=-5\\ne 0\\), οπότε η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.\nγ) Για τον \\(y'y\\) άξονα είναι \\(x=0\\) και \\(f(0)=2\\cdot 0-5=-5\\), οπότε το σημείο τομής με τον \\(y'y\\) άξονα είναι το \\((0,-5)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Η αλγεβρική παράσταση \\(Κ\\), που εκφράζει το άθροισμα των αποστάσεων του αριθμού \\(x\\) από τους αριθμούς \\(2\\) και \\(-1\\), πάνω στον άξονα είναι:\nΑ. \\(K=|x+1|+|x-2|\\)\nΒ. \\(K=|x-1|+|x+2|\\)\nΓ. \\(K=(|x|+1)+(|x|-2)\\)\nΝα γράψετε στο τετράδιό σας τη σωστή παράσταση και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Αν είναι \\(K=|x+1| + |x-2|\\) τότε:\ni) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Κ\\) όταν \\(x=\\dfrac{3}{2}\\).\nii) Αν \\(x>2\\) να γράψετε χωρίς απόλυτο την παράσταση \\(Κ\\) και να αποδείξετε ότι \\(K>3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η αλγεβρική παράσταση \\(Κ\\), που εκφράζει το άθροισμα των αποστάσεων του αριθμού \\(x\\) από τους αριθμούς \\(2\\) και \\(-1\\), πάνω στον άξονα είναι η \\(K=|x+1| + |x-2|\\) διότι το \\(|x+1|\\) δηλώνει την απόσταση του \\(x\\) από το \\(-1\\) και το \\(|x-2|\\) την απόσταση του \\(x\\) από το \\(2\\).\nβ) Είναι \\(K=|x+1| + |x-2|\\) τότε:\ni) για \\(x=\\dfrac{3}{2}\\) γίνεται:\n$$K=|\\dfrac{3}{2}+1|+|\\dfrac{3}{2}−2|$$\n$$=\\dfrac{5}{2}+|\\dfrac{−1}{2}|$$\n$$=\\dfrac{6}{2}=3$$\nii) Αφού είναι \\(x>2\\) τότε \\(x-2 > 0\\) και \\(x+1 > 0\\) οπότε η παράσταση \\(Κ\\) γίνεται:\n$$K=x+1+x−2=2x−1$$\nΑκόμη έχουμε:\n$$x>2 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x>4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x−1>3 $$\n$$\\Leftrightarrow K>3$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός \\(x\\), να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό \\(λ\\) που προκύπτει από τη σχέση:\n$$λ=(2x+5)^{2}-8x\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Αν ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\) είναι ο \\(-5\\), ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\);\nβ) Αν ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) είναι ο \\(20\\), ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\);\nγ)\nΝα δείξετε ότι η σχέση \\((1)\\) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:\n$$4x^{2}+12x+(25-λ)=0$$\nΝα αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\), ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) δεν μπορεί να είναι ίσος με \\(5\\).\nΝα προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \\(x=-5\\) και βρίσκουμε:\n$$λ=(2\\cdot (-5)+5)^{2}-8\\cdot (-5)$$\n$$=(-10+5)^{2}+40$$\n$$=(-5)^{2}+40$$\n$$=25+40=65$$\nβ) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \\(λ=20\\) και έχουμε:\n$$20=(2x+5)^{2}-8x$$\nή ισοδύναμα:\n$$20=4x^{2}+20x+25-8x$$\nκαι τελικά:\n$$4x^{2}+12x+5=0$$\nΤο τριώνυμο \\(4x^{2}+12x+5\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=12^{2}-4\\cdot 4\\cdot 5$$\n$$=144-80=64>0$$\nκαι ρίζες:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-12\\pm \\sqrt{64}}{2\\cdot 4}$$\n$$=\\dfrac{-12\\pm 8}{8}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{-12+8}{8}=-\\dfrac{1}{2} \\\\ \\\\ \\dfrac{-12-8}{6}=-\\dfrac{5}{2} \\end{cases}$$\nγ)\nΗ σχέση \\((1)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$λ=(2x+5)^{2}-8x $$\n$$\\Leftrightarrow λ=4x^{2}+20x+25-8x $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+(25-λ)=0\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΓια να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) να είναι \\(5\\), με βάση τη σχέση \\((2)\\) θα πρέπει να υπάρχει \\(x\\) τέτοιος ώστε:\n$$4x^{2}+12x+(25-5)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+20=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+5=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}+3x+5\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=3^{2}-4\\cdot 1\\cdot 5=9-20=-11<0\\). Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του \\(x\\) δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) να είναι \\(5\\).\nΟι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός \\(λ\\), είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση \\((2)\\) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν \\(Δ\\ge 0\\) όπου \\(Δ\\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(4x^{2}+12x+(25-λ)\\). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:\n$$ Δ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 12^{2}-4\\cdot 4\\cdot (25-λ)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 144-400+16λ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 16λ\\ge 256 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ge 16$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης \\(f\\).\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για \\(x\\in \\mathbb{R}\\) με:\n$$x – 3 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne 3$$\nΆρα, το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α = \\mathbb{R}-{3}.\\)\nβ) Θα παραγοντοποιήσουμε το \\(x^2 – 5x + 6.\\)\nΤο τριώνυμο \\(x^2 – 5x + 6\\) έχει \\(α = 1,\\ β = – 5,\\ γ = 6\\) και διακρίνουσα:\n\\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 5)^2 – 4\\cdot 1 \\cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0\\)\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n\\begin{align} x_{1,2} & = \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{21}\\\\\n&=\\dfrac{5\\pm 1}{2}\\\\\n&=\\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2}=3 \\\\ \\dfrac{5-1}{2}=2 \\end{cases} \\end{align}\nΤότε:\n$$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)$$\nΓια \\(x\\ne 3\\) ο τύπος της \\(f\\) γράφεται:\n$$f(x) = \\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x – 2.$$\nγ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x) = 0 \\Leftrightarrow x – 2 = 0 \\Leftrightarrow x = 2$$\nΆρα η \\(C_f\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στo σημείo \\(Α(2, 0).\\)\nΕπίσης έχουμε: \\(f(0) = 0 – 2 = – 2\\)\nΆρα η \\(C_f\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0, – 2).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=\\sqrt{x^2-4x-5}\\) και \\(g(x)=|x+3|\\).\nΝα βρείτε:\nα) τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\).\nγ) τις τετμημένες των σημείων της \\(C_f\\) που βρίσκονται κάτω από την \\(C_g\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για \\(x^2-4x-5\\geq0\\) με \\(x\\in\\mathbb{R}\\). Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα\n$$Δ=(-4)^2-4(-5)=36>0$$\nεπομένως έχει δύο άνισες ρίζες\n$$x_1=\\frac{-(-4)+6}{2}=5$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-4)-6}{2}=-1.$$\nΤο \\(α=1>0\\) και προκύπτει:\nΣύμφωνα με τον πίνακα προσήμων η ανίσωση \\(𝑥^2-4x-5\\geq0\\) αληθεύει για \\(x\\leq-1\\) ή \\(x\\geq5\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι \\(A_f=(-\\infty,-1]\\cup[5,+\\infty)\\).\nΗ συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(g\\) είναι \\(A_g=\\mathbb{R}\\).\nβ) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των \\(C_f\\) και \\(C_g\\) θα λύσουμε την εξίσωση \\(f(x)=g(x)\\), και θα προκύψουν οι κοινές τετμημένες τους. Έχουμε:\n\\begin{align}&\\sqrt{x^2-4x-5}=|x+3|\\\\\n\\iff&x^2-4x-5=|x+3|^2\\\\\n\\iff&x^2-4𝑥-5=x^2+6𝑥+9\\\\\n\\iff&-10𝑥=14\\\\\n\\iff&x=-\\frac{7}{5}.\\end{align}\nΆρα οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν ένα κοινό σημείο το \\((-\\frac{7}{5}, \\frac{8}{5})\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων της \\(C_f\\) που βρίσκονται κάτω από την \\(C_g\\) προκύπτουν από την λύση της ανίσωσης\n\\begin{align}&\\sqrt{x^2-4x-5}< |x+3|\\\\\n\\iff&x^2-4x-5< |x+3|^2\\\\\n\\iff&x^2-4𝑥-5\\lt x^2+6𝑥+9\\\\\n\\iff&-10x<14\\\\\n\\iff&x>-75.\\end{align}\nΕπειδή έχουμε τον περιορισμό \\(x\\leq-1\\) ή \\(x\\geq5\\), τελικά \\(x\\in\\left(-\\frac{7}{5},-1\\right]\\cup[5,+\\infty)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση: \\(x^{2}-(λ-1)x+6=0,(1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το \\(λ\\).\nβ) Για \\(λ=2\\) να λύσετε την εξίσωση (1)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον η εξίσωση: \\(x^{2}-(λ-1)x+6=0,\\ (1)\\) έχει λύση το \\(1\\), ισχύει ότι:\n$$1^{2}-(λ-1)\\cdot 1+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow 1-λ+1+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow 8-λ=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ=8$$\nβ) Για \\(λ=2\\) η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται:\n$$x^{2}-(2-1)x+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x+6=0$$\nΗ διακρίνουσα, με \\(α=1,\\ β=-1,\\ γ=6\\) γίνεται:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6=1-24=-23\\lt 0$$\nΆρα η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες για \\(λ=2\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\((ε): y=-\\frac{1}{2}x+4\\).\nα) i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας \\((ε)\\).\n ii. Είναι οξεία ή αμβλεία η γωνία \\(ω\\) που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον \\(x'x\\) άξονα;\nβ) Να εξετάσετε ποια από τα σημεία \\(Α(6, 1),\\ Β(-2, 3)\\) και \\(Γ(8, 0)\\) είναι σημεία της ευθείας \\((ε)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(k\\in\\mathbb{R}\\) ώστε το σημείο \\((k, 5)\\) να είναι σημείο της ευθείας \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η κλίση της ευθείας είναι \\(α=-\\frac{1}{2}\\).ii. Επειδή \\(α < 0\\) ισχύει \\(\\text{εφ}ω < 0\\), οπότε η γωνία \\(ω\\) είναι αμβλεία.\nβ) Θα εξετάσουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Α\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot 6+4=-3+4=1\\), άρα το \\(Α\\) είναι σημείο της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Β\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot(-2)+4=1+4=5\\), άρα το \\(Β\\) δεν είναι σημείο της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Γ\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot 8+4=-4+4=0\\), άρα το \\(Γ\\) είναι σημείο της ευθείας.\nγ) Θα πρέπει:\n\\begin{align}&5=-\\frac{1}{2}\\cdot k+4\\\\\n\\iff&1=-\\frac{1}{2}\\cdot k\\\\\n\\iff&2=-k\\\\\n\\iff&k=-2.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}+β\\), \\(g(x)=x+β\\), όπου \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(β\\) σταθερός πραγματικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \\(g(x)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{3β}{2}, -3-\\dfrac{β}{2}\\right)\\).\nα) Να αποδείξτε ότι \\(β=-1\\).\nβ) Για \\(β=-1\\):\n(i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f(x)\\) με τους άξονες \\(x'x\\), \\(y'y\\).\n(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g(x)\\).\n(iii) Να λύσετε την εξίσωση: \\(\\dfrac{f(x)}{g(x)}+\\dfrac{g(x)}{f(x)}=3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) θα πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση \\(y=g(x)\\), άρα θα ισχύει:\n$$g(\\dfrac{3β}{2})=-3-\\dfrac{β}{2}$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{3β}{2}+β=-3-\\dfrac{β}{2}$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{3β}{2}+\\dfrac{β}{2}+β=-3$$\n$$\\Rightarrow 3β=-3$$\n$$\\Rightarrow β=-1$$\nβ) Για \\(β=-1\\):\n(i) Είναι \\(f(x)=x^{2}-1\\). Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\), έχουν τεταγμένη μηδέν, οπότε οι τετμημένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης \\(y=f(x)=0\\), άρα \\(x^{2}-1=0\\) οπότε \\(x^{2}=1\\). Τελικά \\(x=1,x=-1\\).\nΆρα τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) είναι τα \\(Α(1, 0)\\) και \\(Β(-1, 0)\\).\nΕπίσης \\(f(0)=0^{2}-1=-1\\), άρα το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\(Γ(0, -1)\\).\n(ii) Θέλουμε να ισχύει \\(f(x)<g(x)\\) δηλαδή \\(x^{2}-1<x-1\\) άρα \\(x^{2}-x<0\\) ή \\(x(x-1)<0\\). Είναι φανερό ότι το πολυώνυμο \\(x^{2}-x=x(x-1)\\) έχει ως ρίζες τους αριθμούς μηδέν και \\(1\\), αφού για αυτές τις τιμές μηδενίζεται.\nΔημιουργούμε τον πίνακα προσήμου, παρατηρώντας ότι ο συντελεστής του \\(x^{2}\\) είναι \\(α=1>0\\).\nΔιαπιστώνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του \\(x\\) μεταξύ \\(0\\) και \\(1\\), δηλαδή \\(0<x<1\\).\n(iii) Η εξίσωση γράφεται:\n$$\\dfrac{x^{2}-1}{x-1}+\\dfrac{x-1}{x^{2}-1}=3$$\nΠρέπει \\(x-1\\ne 0\\) και \\(x^{2}-1\\ne 0\\).\nΈτσι, για \\(x\\ne 1\\) και \\(x\\ne -1\\), η εξίσωση γράφεται:\n$$\\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=3$$\nάρα:\n$$x+1+\\dfrac{1}{x+1}=3 $$\n$$\\Leftrightarrow (x+1)^{2}+1=3(x+1) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+1+1=3x+3 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$$\nάρα:\n$$x=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{5}}{2}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} x=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} \\\\ \\\\ x=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2} \\end{cases}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(A=(\\sqrt{2})^{6}\\) και \\(B=(\\sqrt[3]{2})^{6}\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(A-B=4\\).\nβ) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:\n$$\\sqrt{2},\\ 1,\\ \\sqrt[3]{2}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} A-B & =(\\sqrt{2})^{6}-(\\sqrt[3]{2})^{6}\\\\\n& =\\Big[ (\\sqrt{2})^{2} \\big]^{3}-\\Big[ (\\sqrt[3]{2})^{3} \\Big]^{2}\\\\\n& =2^{3}-2^{2}\\\\\n& =8-4 \\\\\n& =4\\end{align}$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$1\\lt 2$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{1} \\lt \\sqrt[3]{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 1\\lt \\sqrt[3]{2}, \\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι\n$$A-B=4>0$$\n$$\\Leftrightarrow A>B$$\n$$\\Leftrightarrow (\\sqrt{2})^{6}>(\\sqrt[3]{2})^{6}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{2}>\\sqrt[3]{2}, \\ \\ \\ \\ (2)$$\nΑπό τις ανισώσεις \\((1), (2)\\) βρίσκουμε:\n$$1\\lt \\sqrt[3]{2}\\lt \\sqrt{2}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Αν για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(|2x-1|<1\\), τότε:\nα) Να δείξετε ότι \\(0<x<1\\).\nβ) Να βάλετε σε αύξουσα διάταξη τους αριθμούς \\(1,x,x^{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x-1|<1$$\nοπότε:\n$$-1<2x-1<1$$\nπροσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης το \\(1\\) και έχουμε:\n$$0<2x<2$$\nδιαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το \\(2\\) και τελικά:\n$$0 < x < 1$$\nβ) Από το α) ερώτημα, έχουμε \\(0<x<1\\), οπότε και \\(0<x^{2}<1\\). Πρέπει να βρούμε τη σχέση του \\(x\\) με τον \\(x^{2}\\). Θα πάρουμε τη διαφορά τους \\(x^{2}-x\\) και θα βρούμε το πρόσημό της. Το τριώνυμο \\(x^{2}-x=x(x-1)\\) έχει ρίζες \\(x_{1}=0\\) και \\(x_{2}=1\\). Δεδομένου ότι \\(0<x<1\\), μας ενδιαφέρει το πρόσημο του τριωνύμου στο διάστημα εντός των ριζών του. Στο διάστημα αυτό το τριώνυμο είναι αρνητικό. Δηλαδή \\(x^{2}-x<0\\) για \\(x\\in (0,1)\\). Οπότε \\(x^{2}<x\\).\nΤελικά, \\(x^{2}<x<1\\).\nΕναλλακτικά, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της \\(0<x<1\\) με \\(x>0\\), οπότε προκύπτει: \\(0<x^{2}<x\\) και τελικά \\(x^{2}<x<1\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(κx+3=2x\\), με παράμερο \\(κ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να λύσετε την εξίσωση για \\(κ=1\\) και για \\(κ=3\\).\nβ) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση είναι αδύνατη για \\(κ=2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Θα λύσουμε την εξίσωση \\(κx+3=2x\\) για \\(κ=1\\), οπότε:\n$$x+3=2x \\Leftrightarrow x=3$$\nΓια \\(κ=3\\) έχουμε:\n$$3x+3=2x \\Leftrightarrow x=-3$$\nβ) Για \\(κ=2\\) η εξίσωση γίνεται:\n$$2x+3=2x \\Leftrightarrow 0x=3$$\nπου είναι αδύνατη." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=|x-1|+|y-3|\\) με \\(x, y\\) πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: \\(1<x<4\\) και \\(2<y<3\\).\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) \\(A=x-y+2\\).\nβ) \\(0<A<4\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$1\\lt x\\lt 4$$\n$$\\Leftrightarrow 1\\lt x \\text{ και } x\\lt 4$$\n$$\\Leftrightarrow x-1>0 \\text{ και } x-4 \\lt 0$$\nΆρα \\(|x-1|=x-1\\).\nΙσχύει ακόμα:\n$$2\\lt y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\lt y \\text{ και } y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow y-2>0 \\text{ και } y-3\\lt 0$$\nΆρα \\(|y-3|=-(y-3)=3-y\\).\nΤότε:\n$$\\begin{align} A & = |x-1|+|y-3|\\\\\n& = x-1+3-y\\\\\n&= x-y+2\\end{align}$$\nβ) Είναι \\(1\\lt x\\lt 4\\ \\ \\ \\ (1)\\) και:\n$$2\\lt y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow -2>-y>-3$$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt -y\\lt -2$$\n$$\\Leftrightarrow -3+2\\lt -y+2\\lt -2+2$$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt -y+2\\lt 0 \\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1), (2)\\) και βρίσκουμε:\n$$1-1\\lt x-y+2\\lt 4+0$$\n$$\\Leftrightarrow 0\\lt x-y+2\\lt 4$$\nΆρα \\(0\\lt A\\lt 4\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(x^2-x-6=0\\).\nβ) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο αριθμό \\(κ\\) ώστε οι αριθμοί \\(κ-2,\\ κ,\\ 2κ+3\\) να είναι διαδοχικοί όροι σε μια γεωμετρική πρόοδο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση έχει συντελεστές \\(α=1,\\ β=-1,\\ γ=-6\\), και διακρίνουσα\n$$Δ=(-1)^2-4\\cdot(-6)=25 > 0$$\nοπότε έχει άνισες ρίζες που είναι οι αριθμοί\n\\begin{align}&x_{1,2}=\\frac{1\\pm 5}{2}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_1=\\frac{6}{2}=3\\\\x_2=-\\frac{4}{2}=-2\\end{cases}.\\end{align}\nβ) Οι αριθμοί \\(κ-2,\\ κ,\\ 2κ+3,\\ κ\\in\\mathbb{Z}\\) με \\(κ > 0\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, μόνο όταν κανένας από αυτούς δεν είναι \\(0\\) και ισχύει:\n\\begin{align}&κ^2=(2κ+3)(κ-2)\\\\\n\\iff&κ^2=2κ^2-4κ-6+3κ\\\\\n\\iff&κ^2-κ-6=0\\\\\n\\iff&κ=3\\text{ ή }κ=-2\\text{ (από το ερώτημα (α))}.\\end{align}\nΗ τιμή \\(κ=-2\\) απορρίπτεται αφού πρέπει \\(κ > 0\\), ενώ η τιμή \\(κ=3\\) είναι δεκτή. Άρα \\(κ=3\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται πραγματικός αριθμός \\(x\\) για τον οποίο ισχύει: \\(|x-2|<3\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(-1<x<5\\).\nβ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Κ=\\dfrac{|x+1|+|x-5|}{3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|x-2| < 3$$\n$$\\Leftrightarrow -3 < x-2 < 3$$\n$$\\Leftrightarrow -3+2 < x-2+2 < 3+2$$\n$$\\Leftrightarrow -1 < x < 5$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$-1 < x < 5$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} -1 < x \\\\ x < 5 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 0 < x+1 \\\\ x-5 < 0 \\end{cases}$$\nΆρα:\n$$|x+1|=x+1$$\nκαι:\n$$|x-5|=-(x-5)=5-x$$\nΤότε:\n$$Κ=\\dfrac{|x+1|+|x-5|}{3}$$\n$$=\\dfrac{x+1+5-x}{3}$$\n$$=\\dfrac{6}{3}=2$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Ένας χώρος δεξίωσης γάμων διαφημίζεται ως εξής. Το κόστος για \\(50\\) καλεσμένους είναι \\(6.560\\) ευρώ, ενώ για \\(100\\) καλεσμένους είναι \\(11.910\\) ευρώ. Επιπλέον, μόνο για τη δέσμευση του χώρου πρέπει ο ενδιαφερόμενος να πληρώσει ένα πάγιο ποσό, ακόμα κι αν τελικά δεν γίνει η δεξίωση. Υποθέτουμε ότι οι τιμές του κόστους για τους καλεσμένους είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\).\nα) Να δείξετε ότι το κόστος για \\(ν\\) καλεσμένους είναι\n$$α_ν=107ν+1.210\\quad (1).$$\nβ) Να ερμηνεύσετε τη σημασία i. του αριθμού \\(1.210\\) στη σχέση \\((1)\\).\n ii. της διαφοράς \\(ω=107\\) της προόδου στο πλαίσιο του προβλήματος.\nγ) Να υπολογίσετε το κόστος για \\(80\\) καλεσμένους." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το κόστος για \\(50\\) καλεσμένους είναι \\(6.560\\) ευρώ, δηλαδή:\n$$α_{50}=6.560.$$\nΤο κόστος για \\(100\\) καλεσμένους είναι \\(11.910\\) ευρώ, δηλαδή:\n$$α_{100}=11.910.$$\nΟπότε:\n$$\\begin{cases}α_1+49ω=6.560\\\\α_1+99ω=11.910\\end{cases}$$\nΑφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη έχουμε:\n$$50ω=5.350\\iff ω=107.$$\nΆρα\n\\begin{align}&α_1+49ω=6.560\\\\\n\\iff&α_1+49\\cdot 107=6.560\\\\\n\\iff&α_1+5.243=6.560\\\\\n\\iff&α_1=1.317.\\end{align}\nΣυνεπώς το κόστος για \\(ν\\) καλεσμένους είναι:\n\\begin{align}α_ν&=α_1+(ν-1)\\cdot ω\\\\\n&=1.317+(ν-1)\\cdot 107\\\\\n&=107ν+1.210.\\end{align}\nβ) i. Όπως δείξαμε στο (α) ερώτημα, \\(α_ν=107ν+1.210\\) είναι το κόστος για \\(ν\\) καλεσμένους. Ακόμα και αν δεν εμφανιστεί καλεσμένος στο γάμο, ο χώρος δεξίωσης θα κοστίσει στους ενδιαφερόμενους \\(1.210\\) ευρώ. ii. Έχουμε:\n\\begin{align}α_1&=107\\cdot 1+1210\\\\\nα_2&=107\\cdot 2+1.210\\\\\n&=α_1+107\\\\\nα_3&=107\\cdot 3+1.210\\\\\n&=107\\cdot (2+1)+1.210\\\\\n&=107\\cdot 2+1.210+107\\\\\n&=α_2+107,\\text{ κοκ.}\\end{align}\nΟπότε κάθε φορά που το πλήθος των καλεσμένων αυξάνει κατά ένα άτομο το κόστος της δεξίωσης του γάμου θα αυξάνει κατά \\(107\\) ευρώ.\nγ) Το κόστος για \\(80\\) καλεσμένους θα είναι\n$$α_{80}=107\\cdot 80+1.210=9.770$$\nευρώ." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(x^{2}-3x-4=0\\ \\ \\ \\ (1)\\)\nβ) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) για τους οποίους ισχύει: \\(α^{2}-3αβ-4β^{2}=0\\).\nΝα αποδείξετε ότι ο αριθμός \\(\\dfrac{α}{β}\\) είναι λύση της εξίσωσης \\((1)\\).\nΝα αιτιολογήσετε γιατί ο \\(α\\) είναι τετραπλάσιος του \\(β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-3x-4\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-3\\), \\(γ=-4\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-3)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-4)$$\n$$=9+16=25>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 5}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{3+5}{2}=4 \\\\ \\\\ \\dfrac{3-5}{2}=-1 \\end{cases}$$\nβ)\nΟ αριθμός \\(\\dfrac{α}{β}\\) είναι λύση της εξίσωσης \\((1)\\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:\n$$(\\dfrac{α}{β})^{2}-3\\dfrac{α}{β}-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{α^{2}}{β^{2}}-3\\dfrac{α}{β}-4=0 $$\n$$\\overset{β \\ne 0}{\\Leftrightarrow} α^{2}-3αβ-4β^{2}=0$$\nτο οποίο ισχύει από την υπόθεση.\nΣτο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \\((1)\\) είναι οι \\(x_{1}=4\\) και \\(x_{2}=-1\\).\nΕπίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός \\(\\dfrac{α}{β}\\) είναι λύση της εξίσωσης \\((1)\\). Οπότε, πρέπει:\n$$\\dfrac{α}{β}=4\\ \\ \\text{ή}\\ \\ \\dfrac{α}{β}=-1$$\nΕπειδή οι \\(α\\), \\(β\\) είναι ομόσημοι, η περίπτωση \\(\\dfrac{α}{β}=-1\\) απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:\n$$\\dfrac{α}{β}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow α=4β$$\nδηλαδή, ο \\(α\\) είναι τετραπλάσιος του \\(β\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο: \\(x^{2}+βx+β^{2}\\), όπου \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα \\(Δ\\) του τριωνύμου.\nβ)\ni. Αν \\(β≠0\\), τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;\nii. Πως αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν \\(β=0\\) ;\nγ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0$$\n \n για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α,\\ β$ που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα $0$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: \\(Δ=β^{2}-4⋅1⋅β^{2}=-3β^{2}\\)\nβ)\ni. Για \\(β≠0\\) ισχύει ότι: \\(Δ=-3β^{2}\\lt 0.\\)\nΕπειδή ο συντελεστής του \\(x^{2}\\) είναι \\(1>0\\), το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nii. Για \\(β=0\\) είναι \\(Δ=0\\), οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\), αφού για \\(x=0\\) μηδενίζεται.\nγ) Το τριώνυμο \\(α^{2}+αβ+β^{2}\\) προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για \\(x=α\\). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:\nΠερίπτωση 1η\nΑν \\(β≠0\\) τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$\nΠερίπτωση 2η\nΑν \\(β=0\\) (οπότε \\(α≠0\\) ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του οποίου η περίμετρος είναι \\(Π=14 \\ cm\\) και μια διαγώνιος \\(δ=5 \\ cm\\).\nα)\nΜε χρήση της ταυτότητας \\((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\\), να δείξετε ότι για το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ισχύει \\(Ε=12 \\ cm^{2}\\).\nΝα αιτιολογήσετε γιατί οι διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-7x+12=0\\).\nΝα βρείτε τις διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του ορθογωνίου.\nβ) Να δείξετε ότι ένα ορθογώνιο με περίμετρο \\(Π=14 \\ cm\\) πρέπει να έχει εμβαδόν \\(Ε\\le \\dfrac{49}{4}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΗ περίμετρος του ορθογωνίου είναι \\(Π=2κ+2λ\\), οπότε:\n$$2κ+2λ=14 $$\n$$\\Leftrightarrow κ+λ=7$$\nΕπίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) βρίσκουμε ότι\n$$κ^{2}+λ^{2}=δ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow κ^{2}+λ^{2}=25$$\nΑπό την ταυτότητα \\((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\\), έχουμε ότι:\n$$7^{2}=25+2κλ $$\n$$\\Leftrightarrow 2κλ=49-25 $$\n$$\\Leftrightarrow κλ=12$$\nΆρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \\(Ε=κλ=12\\ cm\\).\nΔύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-7x+12=0\\) αν και μόνο αν έχουν άθροισμα \\(S=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{(-7)}{1}=7\\) και γινόμενο \\(P=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{12}{1}=12\\). Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-7x+12\\) έχει διακρίνουσα\n$$Δ=(-7)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 12$$\n$$=49-48=1$$\nκαι ρίζες\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-7)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{7+1}{2}=4 \\\\ \\dfrac{7-1}{2}=3 \\end{cases}$$\nΆρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \\(3\\ cm\\) και \\(4\\ cm\\).\nβ) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο \\(Π=14\\) και εμβαδόν \\(Ε\\) έχουν άθροισμα \\(S=7\\) και γινόμενο \\(P=Ε\\). Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης\n$$x^{2}-7x+E=0$$\nΗ εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει\n$$Δ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (-7)^{2}-4\\cdot 1\\cdot Ε\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 49-4Ε\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow Ε\\le \\dfrac{49}{4}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x^2-1}{x^2-x},\\ x\\neq0, \\ x\\neq1.\\)\nα) Nα δείξετε ότι \\(A=\\dfrac{x+1}{x}.\\)\nβ)\ni. Nα βρείτε για ποια τιμή του \\(x\\) η παράσταση \\(A\\) μηδενίζεται.\nii. Μπορεί η παράσταση \\(A\\) να πάρει την τιμή \\(2\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align} A & =\\frac{x^2-1}{x^2-x} \\\\\n& =\\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} \\\\\n& =\\frac{x+1}{x}\\end{align}\nβ)\ni. Πρέπει να βρούμε την τιμή του \\(x\\) για την οποία \\(A=0\\), δηλαδή \\(\\dfrac{x+1}{x}=0\\), που συμβαίνει όταν \\(x+1=0\\), δηλαδή όταν \\(x=-1.\\)\nii. Για να πάρει η παράσταση \\(A\\) την τιμή \\(2\\), πρέπει να ισχύουν ισοδύναμα:\n$$\\frac{x+1}{x}=2$$\n$$\\Leftrightarrow x+1=2x$$\n$$x=1,$$\nπου δεν είναι αποδεκτή τιμή για το \\(x.\\)\nΆρα, η παράσταση \\(A\\) δεν μπορεί να πάρει την τιμή \\(2.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Η Μαρία αγόρασε ένα βιβλίο που το διάβασε δυο φορές γιατί της άρεσε πολύ! Την πρώτη φορά, διάβασε την 1η ημέρα \\(1\\) σελίδα, την 2η ημέρα \\(3\\) σελίδες και γενικά κάθε ημέρα διάβαζε \\(2\\) σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη. Τη δεύτερη φορά άλλαξε τρόπο διαβάσματος. Διάβασε την 1η ημέρα \\(13\\) σελίδες, την 2η ημέρα \\(11\\) σελίδες και γενικά κάθε ημέρα διάβαζε \\(2\\) σελίδες λιγότερες από την προηγούμενη. Η Μαρία παρατήρησε ότι και τις δυο φορές χρειάστηκε ακριβώς το ίδιο πλήθος ημερών για να διαβάσει το βιβλίο.\nα) i. Να δείξετε ότι το πλήθος των σελίδων του βιβλίου που διάβαζε κάθε ημέρα την πρώτη φορά είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\) της οποίας να βρείτε το γενικό τύπο \\(α_ν\\), αν ως πρώτο όρο της θεωρήσουμε το πλήθος των σελίδων που διάβασε την πρώτη μέρα.\nii. Να δείξετε ότι το πλήθος των σελίδων του βιβλίου που διάβαζε κάθε ημέρα τη δεύτερη φορά είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((β_ν)\\) της οποίας να βρείτε το γενικό τύπο \\(β_ν\\), αν ως πρώτο όρο της θεωρήσουμε το πλήθος των σελίδων που διάβασε την πρώτη μέρα.\nβ) Να δείξετε ότι η Μαρία χρειάστηκε \\(7\\) ημέρες για να διαβάσει το βιβλίο.\nγ) Να βρείτε πόσες σελίδες έχει το βιβλίο.\nδ) Να δείξετε ότι \\(α_ν=β_{8-ν}\\) για κάθε \\(ν=1,2,\\dots,7\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος αφου κάθε όρος της, πέραν του 1ου, προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του αριθμού \\(2\\), με \\(α_1=1\\) και \\(ω=2\\) οπότε ο γενικός της όρος είναι\n\\begin{align}α_ν&=α_1+(ν-1)\\cdot ω\\\\\n&=1+(ν-1)\\cdot 2\\\\\n&=1+2ν-2\\\\\n&=2ν-1.\\end{align}\nii. Η ακολουθία \\((β_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος αφού κάθε όρος της, πέραν του 1ου, προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του αριθμού \\(-2\\), με \\(β_1=13\\) και \\(ω=-2\\) οπότε ο γενικός της όρος είναι\n\\begin{align}β_ν&=β_1+(ν-1)\\cdot ω\\\\\n&=13+(ν-1)\\cdot(-2)\\\\\n&=13-2ν+2\\\\\n&=15-2ν.\\end{align}\nβ) Έστω ότι διάβασε το βιβλίο σε \\(ν\\) μέρες. Τότε\n$$α_1+α_2+\\dots+α_ν=β_1+β_2+\\dots+β_ν$$\nδηλαδή:\n\\begin{align}&\\frac{(2\\cdot 1+(ν-1)\\cdot 2)\\cdotν}{2}=\\frac{(2\\cdot 13+(ν-1)\\cdot(-2))\\cdot ν}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{(2+2ν-2)\\cdot ν}{2}=\\frac{(26-2ν+2)\\cdot ν}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{2ν\\cdot ν}{2}=\\frac{(28-2ν)\\cdot ν}{2}.\\end{align}\nΑφού \\(ν\\neq 0\\), θα είναι\n\\begin{align}&2ν=28-2ν\\\\\n\\iff& 4ν=28\\\\\n\\iff& ν=7\\end{align}\nγ) Προφανώς ανεξάρτητα από τον τρόπο που διάβασε το βιβλίο, το πλήθος των σελίδων του βιβλίου είναι το\n$$S_7=\\frac{(2\\cdot 1+(7-1)\\cdot 2)\\cdot 7}{2}=49.$$\nδ) Για κάθε \\(ν=1,2,\\dots,7\\), είναι\n\\begin{align}β_{8-ν}&=β_1+(8-ν-1)\\cdot(-2)\\\\\n&=13-16+2ν+2\\\\\n&=2ν-1\\\\\n&=α_ν.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α\\), \\(β\\), \\(γ\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει \\(α < 0 < β < γ\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί ο αριθμός \\(Α=α(α-β)(γ-β)β\\) είναι θετικός.\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α+|α-β|+|γ-β|-γ=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τις \\(α < β\\) και \\(β < γ\\) προκύπτουν αντίστοιχα ότι \\(α-β < 0\\) και \\(γ-β > 0\\), οπότε \\((α-β)(γ-β) < 0\\). Επιπλέον, \\(αβ < 0\\) οπότε το γινόμενό τους \\(α(α-β)(γ-β)β\\), που είναι ο αριθμός \\(Α\\), είναι θετικό.\nβ) Επειδή \\(α-β<0\\) και \\(γ-β>0\\) έχουμε:\n$$|α-β|=-α+β$$\nκαι:\n$$|γ-β|=γ-β$$\nοπότε:\n$$α+|α-β|+|γ-β|-γ=α-α+β+γ-β-γ=0$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ώστε οι αριθμοί: \\(x\\), \\(2x+1\\), \\(5x+4\\), με την σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν:\ni. \\(x=1\\)\nii. \\(x=-1\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x\\), \\(2x+1\\), \\(5x+4\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2x+1)^{2}=x\\cdot (5x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+1=5x^{2}+4x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow (x=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=1)$$\nβ)\ni. Για \\(x=1\\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:\n$$1, 3, 9$$\nΟ λόγος \\(λ\\) είναι:\n$$λ=\\dfrac{3}{1}=3$$\nii. Για \\(x=-1\\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:\n$$-1,-1,-1$$\nΟ λόγος \\(λ\\) είναι:\n$$λ=\\dfrac{-1}{-1}=1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\), με παράμετρο \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=2x-α\\), για κάθε \\(x\\) που ανήκει στο πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(α\\in \\mathbb{R}\\), αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,-1)\\).\nδ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει \\(2x-3\\ne 0 \\Leftrightarrow 2x\\ne 3 \\Leftrightarrow x\\ne \\dfrac{3}{2}\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(Α_{f}=\\big(-\\infty ,\\frac{3}{2}\\big)\\cup \\big(\\frac{3}{2},+\\infty\\big)\\).\nβ) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης \\(f\\). Έχουμε:\n$$\\begin{align} 4x^{2}-2(α+3)x+3α & =4x^{2}-2αx-6x+3α \\\\\n&=2x(2x-α)-3(2x-α)\\\\\n&=(2x-α)(2x-3)\\end{align}$$\nΆρα:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\\\\n&=\\dfrac{(2x-α)(2x-3)}{2x-3}\\\\\n&=2x-α, \\text{ για κάθε } x\\ne \\dfrac{3}{2}\\end{align}$$\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,-1)\\), δηλαδή \\(f(1)=-1\\),οπότε \\(2\\cdot 1-α=-1\\) και τελικά \\(α=3\\).\nδ) Η γραφική παράσταση της \\(f(x)=2x-α\\) είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη \\(\\dfrac{3}{2}\\), δηλαδή του σημείου \\(\\big(\\frac{3}{2},3-α\\big)\\).\nΑν \\(α=3\\), η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον \\(x'x\\) άξονα (το σημείο \\(\\big(\\frac{3}{2},0\\big)\\) δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\)). Τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο \\((0,-3)\\), γιατί \\(f(0)=2\\cdot 0-α=-α=-3\\).\nΑν \\(α\\ne 3\\) :\nΓια \\(y=0\\) έχουμε \\(0=2x-α \\Leftrightarrow x=\\dfrac{α}{2}\\) και η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στο σημείο \\(Α\\big(\\frac{α}{2},0\\big)\\).\nΓια \\(x=0\\), έχουμε \\(y=2\\cdot 0-α=-α\\) και η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον τον \\(y'y\\) άξονα στο \\(Β(0,-α)\\).\nΕιδικά στην περίπτωση που \\(α=0\\), τα παραπάνω σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν συντεταγμένες \\((0,0)\\), οπότε η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-4}{x}\\), \\(x\\ne 0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση \\(C_{f}\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,3)\\).\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Β(-4,-3)\\) είναι σημείο της \\(C_{f}\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης \\(C_{f}\\) της f με την ευθεία \\(y=3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(f(4)=3\\).\nΜε \\(x=4\\) έχουμε:\n$$f(4)=\\dfrac{4^{2}-4}{4}$$\n$$=\\dfrac{16-4}{4}$$\n$$=\\dfrac{12}{4}=3$$\nΟπότε η \\(C_{f}\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,3)\\).\nβ) Ισχύει:\n$$f(-4)=\\dfrac{(-4)^{2}-4}{-4}$$\n$$=\\dfrac{16-4}{-4}$$\n$$=-\\dfrac{12}{4}=-3$$\nΟπότε και το σημείο \\(Β(-4,-3)\\) είναι πάνω στην \\(C_{f}\\).\nγ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=3\\).\nΜε \\(x\\ne 0\\) έχουμε:\n$$f(x)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}-4}{x}=3 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4=3x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0$$\nΗ τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς \\(-1\\) και \\(4\\). Επιπλέον, \\(f(-1)=3\\) και \\(f(4)=3\\), οπότε τα αντίστοιχα σημεία της \\(C_{f}\\) έχουν τεταγμένη \\(y=3\\).\nΕπομένως, τα κοινά σημεία της \\(C_{f}\\) με την ευθεία είναι το \\(Α(4,3)\\) και το \\(Γ(-1,3)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) των θετικών περιττών αριθμών: \\(1\\), \\(3\\), \\(5\\) ,\\(7\\) , \\(...\\)\nα)\ni. Να γράψετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου.\nii. Να βρείτε τον τριακοστό της όρο.\nβ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των \\(30\\) πρώτων όρων της προόδου ισούται με \\(30^{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=1\\) και η διαφορά της:\n$$ω=α_{2}-α_{1}$$\n$$=3-1=2$$\nii. Ο τριακοστός όρος της προόδου είναι:\n$$α_{30}=α_{1}+29ω$$\n$$=1+29\\cdot 2$$\n$$=1+58=59$$\nβ) Έχουμε:\n$$S_{30}=\\dfrac{30}{2}\\cdot (a_{1}+α_{30})$$\n$$=15\\cdot (1+59)$$\n$$=15\\cdot 60$$\n$$=900=30^{2}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ-1)x -2λ +2=0.\\)\nα)\ni. Να λύσετε την εξίσωση για \\(λ=-2.\\)\nii. Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\) για τις οποίες το \\(x=1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης.\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(𝜆\\in \\Bbb{R}\\) για τις οποίες η εξίσωση είναι ταυτότητα." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Για \\(λ=-2\\) η εξίσωση γίνεται \\(−3x+6=0\\Leftrightarrow −3x=−6 \\Leftrightarrow x=2.\\)\nΆρα η λύση της εξίσωσης είναι \\(x=2.\\)\nii. Για \\(x=1\\) η εξίσωση γίνεται:\n$$(λ−1)1−2λ+2=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ−1−2λ+2=0$$\n$$\\Leftrightarrow −𝜆+1=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$\nβ) Για να έχουμε ταυτότητα η εξίσωση θα είναι της μορφής \\(0x=0\\), δηλαδή \\(λ-1=0\\) και \\(2λ-2=0\\), επομένως οι δύο εξισώσεις (ως προς \\(λ\\)) συναληθεύουν για \\(λ=1.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Μια γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) έχει πρώτο όρο \\(α_{1}=4\\), λόγο \\(λ>0\\) και \\(\\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=2\\).\nβ) Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.\nγ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n$$\\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{α_{1}\\cdot λ^{2}}{α_{1}}=4$$\n$$\\Rightarrow λ^{2}=4$$\n$$\\Rightarrow λ=\\pm 2$$\nΕπειδή \\(λ>0\\), θα είναι: \\(λ=2\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{10}=α_{1}\\cdot λ^{9}$$\n$$=4\\cdot 2^{9}$$\n$$=4\\cdot 512$$\n$$=2048$$\nγ) Έχουμε:\n$$S_{10}=α_{1}\\cdot \\dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$\n$$=4\\cdot \\dfrac{2^{10}-1}{2-1}$$\n$$=4\\cdot 1023$$\n$$=4092$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\dfrac{𝑥−1}{\\sqrt{𝑥}−1}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Μ(4,3)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Ν(-1,-2)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει και αρκεί να ισχύει: \\(𝑥≥0\\) και \\(\\sqrt{𝑥}−1≠0 \\Leftrightarrow \\sqrt{𝑥}≠1\\Leftrightarrow 𝑥≠1.\\)\nΆρα το πεδίο ορισμού είναι το \\(Α = [0,1)\\cup (1,+∞).\\)\nβ) Έχουμε: \\(𝑓(4)=\\dfrac{3}{\\sqrt{4}−1}=3\\), άρα το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Το \\(𝑥=−1\\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nΆρα το σημείο \\(Ν\\) δεν μπορεί να ανήκει στη γραφική της παράσταση." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α\\), \\(β\\), \\(γ\\), \\(δ\\) με \\(β\\ne 0\\) και \\(δ\\ne γ\\) ώστε να ισχύουν:\n$$\\dfrac{α+β}{β}=4$$\nκαι:\n$$\\dfrac{γ}{δ-γ}=\\dfrac{1}{4}$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=3β\\) και \\(δ=5γ\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:\n$$Π=\\dfrac{αγ+βγ}{βδ-βγ}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\dfrac{α+β}{β}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow α+β=4β $$\n$$\\Leftrightarrow α=3β$$'\nκαι:\n$$\\dfrac{γ}{δ-γ}=\\dfrac{1}{4} $$\n$$\\Leftrightarrow 4γ=δ-γ $$\n$$\\Leftrightarrow δ=5γ$$\nβ) Για \\(α=3β\\) και \\(δ=5γ\\) η παράσταση \\(Π\\) γράφεται:\n$$Π=\\dfrac{αγ+βγ}{βδ-βγ}$$\n$$=\\dfrac{(3β)γ+βγ}{β(5γ)-βγ}$$\n$$=\\dfrac{3βγ+βγ}{5βγ-βγ}$$\n$$=\\dfrac{4βγ}{4βγ}=1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) για την οποία ισχύει:\n$$α_{4}-α_{2}=10$$\nα) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=5\\).\nβ) Αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με \\(33\\), να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n$$α_{4}-α_{2}=10$$\n$$\\Rightarrow (α_{1}+3ω)-(α_{1}+ω)=10$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+3ω-α_{1}-ω=10$$\n$$\\Rightarrow ω=5$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α_{1}+α_{2}+α_{3}=33$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+(α_{1}+ω)+(α_{1}+2ω)=33$$\n$$\\Rightarrow 3α_{1}+3ω=33$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+ω=11$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+5=11$$\n$$\\Rightarrow α_{1}=6$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α\\), \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:\n$$α\\cdot β=4\\ \\ \\text{και}\\ \\ α^{2}β+αβ^{2}=20$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(α+β=5\\).\nΒ) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) και να τους βρείτε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α^{2}β+αβ^{2}=20 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ(α+β)=20 $$\n$$\\Leftrightarrow 4(α+β)=20 $$\n$$\\Leftrightarrow α+β=5$$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:\n$$x^{2}-Sx+P=0$$\nμε:\n$$S=α+β=5\\ \\ \\text{και}\\ \\ P=α\\cdot β=4$$\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}-5x+4=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-5x+4\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-5\\), \\(γ=4\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 4$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{9}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 3}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+3}{2}=4 \\\\ \\dfrac{5-3}{2}=1 \\end{cases}$$" } ]