Datasets:

Geo

/

trapeza_thematon

like 0

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x+2}{x^{2}-x-6}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να δείξετε ότι: \\(f(2)+f(4)=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-x-6\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-1\\), \\(γ=-6\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)$$\n$$=1+24=25>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 5}{2}$$\n$$=\\cases{\\dfrac{1+5}{2} =3 \\\\ \\dfrac{1-5}{2} = - 2}$$\nΠρέπει:\n$$x^{2}-x-6\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne -2\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne 3)$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{-2,3\\}\\).\nβ) Είναι:\n$$f(2)=\\dfrac{2+2}{2^{2}-2-6}$$\n$$=\\dfrac{4}{4-2-6}$$\n$$=\\dfrac{4}{-4}=-1$$\nκαι:\n$$f(4)=\\dfrac{4+2}{4^{2}-4-6}$$\n$$=\\dfrac{6}{16-4-6}$$\n$$=\\dfrac{6}{6}=1$$\nΆρα:\n$$f(2)+f(4)=-1+1=0$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω \\(x,y\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:\n$$(x+4y)(x+y)=9xy$$\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni.\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nii.\n$$y=\\dfrac{x}{2}$$\nβ) Να αποδείξετε ότι:\n$$(2y-\\dfrac{x}{2})^{2}+(2y+\\dfrac{x}{2})^{2}=10y^{2}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Από τη δοσμένη ισότητα με πράξεις έχουμε:\n$$x^{2}+4xy+xy+4y^{2}-9xy=0$$\nοπότε:\n$$x^{2}+4y^{2}-4xy=0$$\nδηλαδή:\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nii. Είναι:\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nοπότε:\n$$2y-x=0$$\nάρα:\n$$y=\\dfrac{x}{2}$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\dfrac{x}{2}=y\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΜε τη βοήθεια της \\((1)\\) έχουμε:\n$$(2y-\\dfrac{x}{2})^{2}+(2y+\\dfrac{x}{2})^{2}=(2y-y)^{2}+(2y+y)^{2}$$\n$$=y^{2}+(3y)^{2}$$\n$$=y^{2}+9y^{2}$$\n$$=10y^{2}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Αν οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \\(x\\).\nβ) Αν οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \\(x\\).\nγ) Να βρεθεί ο αριθμός \\(x\\) ώστε οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) να είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$x=\\dfrac{4-x+2}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=6-x $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nβ) Οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$x^{2}=(4-x)\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=8-2x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=2^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-8)$$\n$$=4+32=36>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-2\\pm \\sqrt{36}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{-2\\pm 6}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{-2+6}{2} =2 \\\\ \\dfrac{-2-6}{2} = - 4 \\end{cases}$$\nγ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε \\(x=2\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(|x-2|=3\\).\n(Μονάδες10)\nβ) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.\n(Μονάδες15)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x-2|=3$$\n$$x-2=-3 \\text{ ή } x-2=3$$\n$$x=-1 \\text{ ή } x=5$$\nβ) Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=5\\) είναι η \\(x^{2}-Sx+P=0\\), όπου\n$$S=x_{1}+x_{2}=-1+5=4$$\nκαι\n$$P=x_{1}\\cdot x_{2}=(-1)\\cdot 5=-5$$\nΆρα \\(x^{2}-4x-5=0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται:\nΓια το πρόγραμμα \\(Α\\) πρέπει να καταθέσει τον \\(1ο\\) μήνα \\(1\\) ευρώ, το \\(2ο\\) μήνα \\(2\\) ευρώ, τον \\(3ο\\) μήνα \\(4\\) ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.\nΓια το πρόγραμμα \\(Β\\) πρέπει να καταθέσει τον \\(1ο\\) μήνα \\(100\\) ευρώ, το \\(2ο\\) μήνα \\(110\\) ευρώ, τον \\(3ο\\) μήνα \\(120\\) ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά \\(10\\) ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.\nα) Να βρείτε:\nτο ποσό \\(α_{ν}\\) που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον \\(ν^ο\\) (νιοστό) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\).\nτο ποσό \\(β_{ν}\\) που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον \\(ν^ο\\) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\).\nτο ποσό \\(Α_{ν}\\) που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\).\nτο ποσό \\(Β_{ν}\\) που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\).\nβ)\nΤι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους \\(6\\) μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα;\nΑν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε \\(12\\) μήνες, με ποιο από τα δύο προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι:\nτο πρόγραμμα \\(Α\\) περιγράφεται από μια γεωμετρική πρόοδο με \\(α_{1}=1\\), \\(α_{2}=2\\), \\(α_{3}=4\\) και \\(λ=2\\). Ισχύει επομένως ότι:\n$$α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{1}$$\n$$=1\\cdot 2^{1}=2^{1}$$\nτο πρόγραμμα \\(Β\\) περιγράφεται από μια αριθμητική πρόοδο με \\(β_{1}=100\\), \\(β_{2}=110\\), \\(β_{3}=120\\) και \\(ω=10\\). Ισχύει επομένως ότι:\n$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)\\cdot ω$$\n$$=100+(ν-1)\\cdot 10$$\n$$=100+10ν-10$$\n$$=10ν+90$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\) θα είναι:\n$$Α_{ν}=α_{1}\\cdot \\dfrac{λ^{ν}-1}{λ-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{2^{ν}-1}{2-1}$$\n$$=2^{ν}-1$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\) θα είναι:\n$$Β_{ν}=\\dfrac{(β_{1}+β_{ν})\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{(100+10ν+90)\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{(10ν+190)\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{10ν^{2}+190ν}{2}$$\n$$=5ν^{2}+95ν$$\nβ)\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\), μετά από \\(6\\) μήνες, είναι:\n$$Α_{6}=2^{6}-1=63\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\), μετά από \\(6\\) μήνες, είναι:\n$$Β_{6}=5\\cdot 6^{2}+95\\cdot 6=180+570=750\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\), μετά από \\(12\\) μήνες, είναι:\n$$Α_{12}=2^{12}-1=4095\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\), μετά από \\(12\\) μήνες:\n$$Β_{12}=5\\cdot 12^{2}+95\\cdot 12=720+1140=1860\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπομένως, ακολουθώντας το πρόγραμμα \\(Α\\), θα έχει συγκεντρώσει μεγαλύτερο ποσό." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{1-x}-\\sqrt[4]{x^{4}}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=-3\\) να αποδείξετε ότι \\(A^{3}+A^{2}+A+1=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$\\begin{cases} 1-x\\ge 0 \\\\ \\text{και } x^{4}\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} -x\\ge -1\\\\ \\text{και } x\\in \\mathbb{R} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\le 1 \\\\ \\text{και } x\\in \\mathbb{R}\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 1$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (-\\infty ,1]$$\nβ) Για \\(x=-3\\), είναι:\n$$\\begin{align} A & =\\sqrt{1-(-3)}-\\sqrt[4]{(-3)^{4}}\\\\\n& =\\sqrt{1+3}-\\sqrt[4]{3^{4}}\\\\\n&=\\sqrt{4}-3 \\\\\n& =2-3 \\\\\n&=-1\\end{align}$$\nΤότε:\n$$\\begin{align} A^{3}+A^{2}+A+1 & =(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1\\\\\n& =-1+1-1+1\\\\\n& =0\\end{align}$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε μια αίθουσα θεάτρου με \\(20\\) σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων. Η \\(1η\\) σειρά έχει \\(16\\) καθίσματα και η \\(7η\\) σειρά έχει \\(28\\) καθίσματα.\nα) Να δείξετε ότι οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά αυτής της προόδου.\nβ) Να βρείτε τον γενικό όρο της προόδου.\nγ) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο;\nδ) Αν στην \\(1η\\) σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν \\(6\\) κενά καθίσματα, στη \\(2η\\) υπάρχουν \\(9\\) κενά καθίσματα, στην \\(3η\\) υπάρχουν \\(12\\) κενά καθίσματα και γενικά τα κενά καθίσματα κάθε σειράς, από τη \\(2η\\) και μετά, είναι κατά \\(3\\) περισσότερα από αυτά της προηγούμενης, τότε:\nΝα βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα.\nΝα βρείτε πόσοι είναι οι θεατές." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή το πλήθος των καθισμάτων της κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων \\(ω\\), οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) με \\(α_{1}=16\\) και διαφορά \\(ω\\).\nΕίναι:\n$$α_{7}=28 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(7-1)ω=28 $$\n$$\\Leftrightarrow 16+6ω=28 $$\n$$\\Leftrightarrow 6ω=12 $$\n$$\\Leftrightarrow ω=2$$\nΆρα \\(α_{1}=16\\) και \\(ω=2\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=16+(ν-1)\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=16+2ν-2 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=2ν+14\\ \\text{με}\\ 1\\le ν\\le 20$$\nγ) Το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου είναι:\n$$S_{20}=\\dfrac{20}{2}[2α_{1}+(20-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10(2\\cdot 16+19\\cdot 2) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10(32+38) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10\\cdot 70 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=700$$\nδ) Ο αριθμός των κενών καθισμάτων σε κάθε σειρά είναι αριθμητική πρόοδος \\((β_{ν})\\) με \\(β_{1}=6\\) και \\(ω=3\\). Ο ν-οστός όρος που εκφράζει το πλήθος των κενών καθισμάτων είναι:\n$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=6+(ν-1)\\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=6+3ν-3 $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=3ν+3$$\nΆρα \\(β_{ν}=3ν+3\\) με \\(1\\le ν\\le 11\\) (διότι τα κενά καθίσματα δε μπορεί να είναι περισσότερα από τα καθίσματα της κάθε σειράς, δηλαδή πρέπει \\(β_{ν}\\le α_{ν} \\Leftrightarrow ν\\le 11\\))\nΌλα τα καθίσματα θα είναι κενά της ν-οστής σειράς, όταν:\n$$β_{ν}=α_{ν} $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν+3=2ν+14 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=11$$\nΆρα από την \\(11η\\) σειρά μέχρι την \\(20η\\), όλα τα καθίσματα είναι κενά.\nΤο πλήθος των κενών καθισμάτων στις \\(10\\) πρώτες σειρές είναι:\n$$S_{10}'=\\dfrac{10}{2}[2β_{1}+(10-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=5(2\\cdot 6+9\\cdot 3) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=5\\cdot 39 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=195$$\nΤο πλήθος των καθισμάτων στις πρώτες \\(10\\) σειρές είναι:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}[2α_{1}+(10-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=5(2\\cdot 16+9\\cdot 2) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=5\\cdot 50 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=250$$\nΟ αριθμός των θεατών που κάθονται στις πρώτες \\(10\\) θέσεις είναι:\n$$S_{10}-S_{10}'=250-195=55$$\nΑυτός είναι και ο συνολικός αριθμός θεατών, αφού από την \\(11η\\) σειρά και μετά όλα τα καθίσματα είναι κενά." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\\(α_{ν}\\)) με \\(α_{3}=10\\) και \\(α_{20}=61\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=4\\) και η διαφορά είναι \\(ω=3\\).\nβ) Να εξετάσετε αν ο αριθμός \\(333\\) είναι όρος της προόδου.\nγ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \\(x\\) και \\(y\\) της παραπάνω προόδου (\\(α_{ν}\\)), τέτοιοι ώστε να ισχύει: \\(\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=10 \\\\ α_{20}=61 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}+2ω=10 \\\\ α_{1}+19ω=61 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(-)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} 17ω=51 \\\\ α_{1}+2ω=10 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} ω=3 \\\\ α_{1}=4 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_{ν}=333 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=333 $$\n$$\\Leftrightarrow 4+(ν-1)\\cdot 3=333 $$\n$$\\Leftrightarrow (ν-1)=\\dfrac{329}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{332}{3}\\notin \\mathbb{N}$$\nΣυνεπώς ο \\(333\\) δεν είναι όρος της προόδου.\nγ) Εάν οι \\(x\\) και \\(y\\) είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου (\\(α_{ν}\\)) και εφόσον:\n$$\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=2y < 3y $$\n$$\\Leftrightarrow x < y$$\nθα ισχύει \\(y=x+3\\). Οπότε:\n$$\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{2}=\\dfrac{x+3}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=2x+6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=6$$\nΌμως ο \\(x=6\\) δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:\n$$α_{ν}=6 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=6 $$\n$$\\Leftrightarrow 4+(ν-1)\\cdot 3=6 $$\n$$\\Leftrightarrow (ν-1)=\\dfrac{2}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{5}{3}\\notin \\mathbb{N}$$\nΆρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \\(x\\) και \\(y\\) της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει \\(\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε τις εξισώσεις \\(x^{2}=1\\) και \\(x^{2}=9\\).\nβ) Να διατάξετε τις λύσεις των εξισώσεων του α) ερωτήματος σε αύξουσα σειρά και στη συνέχεια:\ni. να δείξετε ότι με αυτή τη σειρά αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) της οποίας να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\).\nii. να δείξετε ότι ο αριθμός \\(46\\) δεν αποτελεί όρο της προόδου \\((α_{ν})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}=1\\) έχει λύσεις τις \\(x=1\\) ή \\(x=-1\\) ενώ η εξίσωση \\(x^{2}=9\\) έχει λύσεις τις \\(x=3\\) ή \\(x=-3\\).\nβ) Οι λύσεις των εξισώσεων του α) ερωτήματος σε αύξουσα σειρά είναι \\(-3\\), \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\).\ni. Αφού \\(3-1=1-(-1)=-1-(-3)=2\\) οι αριθμοί \\(-3\\), \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) με διαφορά \\(ω=2\\).\nii. Αφού η αριθμητική πρόοδος έχει διαφορά \\(ω=2\\) και περιέχει τους περιττούς όρους \\(1\\) και \\(3\\), όλοι οι όροι της προόδου θα είναι περιττοί και επομένως ο \\(46\\) δεν αποτελεί όρο της προόδου \\((α_{ν})\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(K=2a^{2}+β^{2}\\) και \\(Λ=2αβ\\), όπου \\(α,\\ β \\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Κ\\ge Λ,\\) για κάθε τιμή των \\(α,β\\).\nβ) Για ποιες τιμές των \\(α,\\ β\\) ισχύει η ισότητα \\(Κ=Λ;\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύουν:\n$$\\begin{align} & Κ\\ge Λ \\\\\n\\Leftrightarrow & Κ−Λ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 2α^{2}+β^{2}−2αβ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+α^{2}+β^{2}−2αβ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}\\ge 0 \\end{align}$$\nη οποία ισχύει για κάθε \\(α,\\ β\\in \\mathbb{R}\\).\nΆρα \\(Κ\\ge Λ,\\) για κάθε τιμή των \\(α,\\ β\\).\nβ) Εκτελώντας τις πράξεις όπως στο (α) ερώτημα έχουμε ότι:\n$$\\begin{align} & Κ=Λ \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}=0\\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}=0 \\text{ και } (α−β)^{2}=0\\\\\n\\Leftrightarrow & α=0 \\text{ και } α=β\\end{align}$$\nΟπότε \\(Κ=Λ\\) αν και μόνο αν \\(α=β=0\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Το ποσό που θα πληρώσει (σε ευρώ) ένας κάτοικος μιας πόλης \\(Α\\) ο οποίος καταναλώνει \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού σε ένα χρόνο, δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$f(x)=\\begin{cases} 0,5x+12, &\\text{αν}\\ 0\\le x\\le 30 \\\\ 0,7x+6, &\\text{αν}\\ x>30 \\end{cases}$$\nα) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει κάποιος αν:\nέλλειπε από το σπίτι του και δεν έχει καταναλώσει καθόλου νερό,\nέχει καταναλώσει \\(10\\) κυβικά μέτρα νερού,\nέχει καταναλώσει \\(50\\) κυβικά μέτρα νερού.\nβ) Σε μια άλλη πόλη \\(Β\\), το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση \\(x\\) κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο:\n$$g(x)=12+0,6x,\\ \\text{για}\\ x\\ge 0$$\nΈνας κάτοικος της πόλης \\(Α\\) και ένας κάτοικος της πόλης \\(Β\\) κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά μέτρα νερού. Αν ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο ποσό στο λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλης \\(Β\\), να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από \\(60\\) κυβικά μέτρα νερού." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΑν κάποιος λείπει από το σπίτι του έχει καταναλώσει \\(x=0\\) κυβικά μέτρα νερού. Επειδή \\(0\\in [0,30]\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=12+0,5x\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(0)=12+0,5\\cdot 0=12\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπειδή \\(10\\in [0,30]\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=12+0,5x\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(10)=12+0,5\\cdot 10=12+5=17\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπειδή \\(50\\in (30,+\\infty)\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=0,7x+6\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(50)=0,7\\cdot 50+6=35+6=41\\ \\text{ευρώ}$$\nβ) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:\nΟ κάτοικος της πόλης \\(Α\\) κατανάλωσε \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού με \\(x\\in [0,30]\\). Επειδή ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:\n$$f(x)>g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 12+0,5x>12+0,6x $$\n$$\\Leftrightarrow 12-12>0,6x-0,5x $$\n$$\\Leftrightarrow 0>0,1x $$\n$$\\Leftrightarrow x < 0$$\nΆτοπο διότι \\(x\\in [0,30]\\).\nΕπομένως ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) δεν μπορεί να κατανάλωσε από \\(0\\) έως \\(30\\) κυβικά μέτρα νερού.\nΟ κάτοικος της πόλης \\(Α\\) κατανάλωσε \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού, με \\(x\\in (30,+\\infty)\\), Επειδή ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:\n$$f(x)>g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 0,7x+6>12+0,6x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,7x-0,6x>12-6 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,1x>60 $$\n$$\\Leftrightarrow x>60$$\nΕπομένως, τόσο ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) όσο και αυτός της πόλης \\(Β\\) κατανάλωσαν περισσότερα από \\(60\\) κυβικά μέτρα νερού." } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \\(x,y\\) ισχύει:\n$$(x-1)^2+(y+4)^2=x^2+y^2-2x+8y+17$$\nβ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) και \\(y\\) ώστε:\n$$x^2+y^2-2x+8y+17=0.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να αποδείξουμε την ζητούμενη ισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε ευθεία απόδειξη. Έχουμε λοιπόν:\n$$(x-1)^2+(y+4)^2 =(x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)$$\n$$=x^2+y^2-2x+8y+17$$\nβ) Έχουμε διαδοχικά:\n$$x^2+y^2-2x+8y+17=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow}(x-1)^2+(y+4)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^2=0 \\text{ και }(y+4)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0 \\text{ και }y+4=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=1 \\text{ και } y=-4$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{|x-1|-|3-3x|+|2x-4|}{2}\\).\nα) Να δείξτε ότι \\(f(x)=d(x,2)-d(x,1)\\).\nβ) Αν τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς \\(1\\) και \\(2\\), να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) και να προσδιορίσετε τη λύση της.\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\dfrac{|x-1|-|3-3x|+|2x-4|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{|x-1|-3|1-x|+2|x-2|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{|x-1|-3|x-1|+2|x-2|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{2|x-2|-2|x-1|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{2(|x-2|-|x-1|)}{2}\\\\\n&=|x-2|-|x-1|\\\\\n&=d(x,2)-d(x,1).\\end{align}\nβ) Η εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&d(x,2)-d(x,1)=0\\\\\n\\iff&d(x,2)=d(x,1).\\end{align}\nΑν \\(M\\) το σημείο του άξονα που αντιστοιχεί στη λύση \\(x\\) της παραπάνω εξίσωσης, αυτό θα πρέπει να ισαπέχει από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) και κατά συνέπεια θα είναι το μέσο του τμήματος \\(AB\\). Άρα \\(x=\\dfrac{3}{2}\\).\nγ) Έχουμε\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&|x-2|=|x-1|\\\\\n\\iff&x-2=x-1\\text{ ή }x-2=-x+1\\\\\n\\iff&0x-2=-1\\text{ ή }2x=3\\\\\n\\iff&0x=1\\text{ ή }x=\\frac{3}{2}.\\end{align}\nΗ πρώτη εξίσωση είναι αδύνατη. Άρα \\(x=\\dfrac{3}{2}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) και τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΒΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΕ}\\) τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{ΒΔ}=\\overrightarrow{ΒΑ}+\\overrightarrow{BΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΕ}=\\overrightarrow{ΓΑ}+\\overrightarrow{ΓΒ}\\).\nα) i. Να δείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{ΒΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}=\\overrightarrow{ΓΒ}\\).\nii. Να δείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}\\) είναι αντίθετα.\nβ) Να δικαιολογήσετε γιατί τα σημεία \\(A\\), \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΒΔ}=\\overrightarrow{AB}+(\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{ΒΓ})=\\overrightarrow{ΒΓ}\\quad(1)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AE}=\\overrightarrow{ΑΓ}+\\overrightarrow{ΓΕ}=\\overrightarrow{ΑΓ}+(\\overrightarrow{ΓΑ}+\\overrightarrow{ΓΒ})=\\overrightarrow{ΓΒ}\\quad(2)$$\nii. Από τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) συμπεραίνουμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=-\\overrightarrow{ΑΕ}\\), δήλαδη τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) είναι αντίθετα.\nβ) Από το (α) ερώτημα είναι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=(-1)\\overrightarrow{ΑΕ}\\), οπότε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}\\) είναι παράλληλα. Επιπλέον έχουν κοινό σημείο το \\(Α\\), άρα τα \\(Α\\), \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι συνευθειακά." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,3), Β(-2,2)\\) και η ευθεία \\(ε: 3x+y+α=0\\) με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από το σημείο \\(Β\\).\nβ) Για ποιες τιμές του \\(α\\) η απόσταση \\(ΑΒ\\) είναι ίση με την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε\\);\nγ) Για \\(α=4\\) να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\), όπου \\(Γ\\) το σημείο τομής της ευθείας \\(ε\\) με τον άξονα \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Κάνουμε αντικατάσταση τις συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) στο τύπο της απόστασης\n$$(ΑΒ)=\\sqrt{(3-2)^2+(-2-1)^2}=\\sqrt{10}.$$\nβ) Για να βρούμε τη τιμή του \\(α\\) θα λύσουμε την εξίσωση που προέρχεται από τη ισότητα\n\\begin{align}&(ΑΒ)=d(A,ε)\\\\\n\\iff&(ΑΒ)=\\frac{|Αx_0+By_0+Γ|}{\\sqrt{Α^2+Β^2}}\\\\\n\\iff&\\sqrt{10}=\\frac{|6+α|}{\\sqrt{10}}\\\\\n\\iff&|α+6|=10\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-16.\\end{align}\nγ) Για \\(α=4\\) η ευθεία \\(ε\\) γίνεται\n$$ε: 3x+y+4=0.$$\nΗ ευθεία τέμνει τον \\(y'y\\) για \\(x=0\\). Άρα, το σημείο τομής της \\(ε\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\((0,-4)\\). Άρα \\(Γ(0,-4)\\). Επίσης, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}\\). Είναι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(-3,-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(-1,-7)\\). Από το τύπο του εμβαδού τριγώνου \\((ΑΒΓ)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{AΓ})|\\) υπολογίζουμε ότι\n\\begin{align}(ΑΒΓ)&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}-3&-1\\\\-1&-7\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 20\\\\\n&=10\\text{ τετραγωνικές μονάδες}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,1)\\) και \\(Β(2,3)\\).\nα) i) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β.\\)\nii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι η \\((ε): y=2x−1.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Γ(2^{100},5)\\) ανήκει στην ευθεία \\((ε).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) i) Η ευθεία που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β\\) θα έχει εξίσωση: \\(y=λx+b\\) αφού \\(x_A≠x_B.\\)\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι\n$$\\begin{align}λ_{ΑΒ} & =\\dfrac{y_B−y_A}{x_B−x_A} \\\\\n& =\\dfrac{3−1}{2−1} \\\\\n&=\\dfrac{2}{1}\\\\\n&=2.\\end{align}$$\nΆρα η ευθεία θα είναι της μορφής \\(y=2x+b.\\)\nii) Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) θα έχουμε: \\(1=2\\cdot 1+b \\Leftrightarrow b=−1\\).\nΕπομένως, η εξίσωση της ευθείας θα είναι η \\((ε):\\ y=2x−1.\\)\nβ) Αντικαθιστώντας την τεταγμένη του σημείου \\(Γ\\) στην εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) έχουμε: \\(5=2x−1\\Leftrightarrow x=3≠2^{100}\\)\nΆρα το σημείο \\(Γ\\) δεν ανήκει στην \\((ε).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \\(Α(-8, 1),\\ Β(4, 5)\\) και \\(Γ(-4, 9)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(K\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Μα δείξετε ότι ο κύκλος (\\(C\\)) που έχε κέντρο το σημείο \\(Κ\\) κα διάμετρο το τμήμα \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Γ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (\\(C\\))." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\(\\Bigg( \\dfrac{x_A+x_B}{2}, \\dfrac{y_A+y_B}{2} \\Bigg)\\).\nΆρα \\(Κ\\Bigg( \\dfrac{-8+4}{2}, \\dfrac{1+5}{2} \\Bigg) = (-2, 3).\\)\nβ) Αρκεί να δείξουμε ότι, το μέσο \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) απέχει από το σημείο \\(Γ\\) απόσταση ίση με το μισό του τμήματος \\(ΑΒ\\). Δηλαδή \\(ΚΓ = \\dfrac{ΑΒ}{2}\\).\nΤο μήκος του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ΑΒ) & = \\sqrt{(-8-4)^2+(1-5)^2} \\\\\n& = \\sqrt{144+16} \\\\\n& = \\sqrt{160} \\\\\n& = 4 \\sqrt{10} \\end{align}$$\nΤο μήκος του τμήματος \\(ΚΓ\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ΚΓ) & = \\sqrt{(-2+4)^2+(3-9)^2} \\\\\n& = \\sqrt{4+36} \\\\\n& = \\sqrt{40} \\\\\n& = 2 \\sqrt{10} \\\\\n& = \\dfrac{AB}{2}. \\end{align}$$\nγ) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο \\(Κ(-2,3)\\) και η ακτίνα του \\(ρ= \\dfrac{ΑΒ}{2}=2 \\sqrt{10}\\).\nΆρα η εξίσωση του κύκλου είναι \\((C):\\ (x+2)^2 + (y-3)^2 = 40\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα σημεία \\(Α(-1,2)\\), \\(Β(3,2)\\), \\(Γ(1,4)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nΈστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι η ευθεία \\(ε:y=x+1\\).\nγ) Να βρείτε σημείο \\(Κ\\) στην μεσοκάθετο της πλευράς \\(ΒΓ\\) που ισαπέχει από τα \\(Α\\), \\(Β\\).\nδ) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(4,0)\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}=(2,2)\\), και επειδή\n$$\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})=\\begin{vmatrix}4&0\\\\2&2\\end{vmatrix}=8\\neq0,$$\nτα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά, οπότε ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Η πλευρά \\(ΒΓ\\) έχει μέσο το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{3+1}{2},\\dfrac{2+4}{2}\\right)\\), δηλαδή το \\(Μ(2,3)\\), και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_{BΓ}=\\frac{4-2}{1-3}=\\frac{2}{-2}=-1,$$\nοπότε η μεσοκάθετος \\((ε)\\) της \\(ΒΓ\\) διέρχεται από το \\(Μ\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ=1\\). Επομένως, η εξίσωσης της ευθείας \\((ε)\\) είναι\n$$y-3=x-2\\iff y=x+1.$$\nγ) Έστω \\(K(x,y)\\) το σημείο της μεσοκάθετης που ισαπέχει από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\). Με \\(y=x+1\\), έχουμε\n\\begin{align}&(KA)=(KB)\\\\\n\\iff&(KA)^2=(KB)^2\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(x-1)^2=(x-3)^2+(x-1)^2\\\\\n\\iff&x^2+2x+1=x^2-6x+9\\\\\n\\iff&8x=8\\\\\n\\iff&x=1,\\end{align}\nοπότε \\(y=2\\). Άρα, \\(K(1,2)\\).\nδ) Το σημείο \\(Κ\\), από τον τρόπο προσδιορισμού του, ισαπέχει από τις κορυφές \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) του τριγώνου, άρα είναι το περίκεντρό του. Σε ότι αφορά στην ακτίνα \\(ρ\\) του περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει\n\\begin{align}ρ&=(KA)\\\\\n&=\\sqrt{(-1-1)^2+(2-2)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4}\\\\\n&=2.\\end{align}\nΕπομένως, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) έχει εξίσωση\n$$(x-1)^2+(y-2)^2=4.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x(x-4)+y(y-2)=2(x+y-4)\\quad(1)$$\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\sqrt{5}\\).\nβ) Δίνονται τα σημεία \\(Α(4,4)\\) και \\(Β(2,0)\\).i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου.\nii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου οι οποίες είναι παράλληλες στη διάμετρο \\(ΑΒ\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ώστε η ευθεία \\((η)\\) με εξίσωση \\(y=λx+4\\) να τέμνει τον παραπάνω κύκλο σε δύο σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) ώστε \\((ΓΔ)=\\sqrt{20}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η δοθείσα γράφεται:\n\\begin{align}&x^2-4x+y^2-2y=2x+2y-8\\\\\n\\iff&x^2-6x+y^2-4y=-8\\\\\n\\iff&x^2-2\\cdot 3\\cdot x+3^2+y^2-2\\cdot 2\\cdot y+2^2=3^2+2^2-8\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y-2)^2=5\\quad (2)\\end{align}\nΆρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\sqrt{5}\\).\nβ) i. Η \\((2)\\) για \\(x=4\\) και \\(y=4\\) δίνει\n$$(4-3)^2+(4-2)^2=5\\iff 1^2+2^2=5$$\nπου ισχύει. Επίσης η \\((2)\\) για \\(x=2\\) και \\(y=0\\) δίνει\n$$(2-3)^2+(0-2)^2=5\\iff 1^2+2^2=5$$\nπου ισχύει. Συνεπώς τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι πάνω στον κύκλο. Για να είναι αντιδιαμετρικά αρκεί το κέντρο \\(Κ\\) να είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΒ\\). Πράγματι,\n\\begin{align}&x_K=\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\\n\\iff&3=\\frac{4+2}{2}\\\\\n\\iff&3=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_K=\\frac{y_A+y_B}{2}\\\\\n\\iff&2=\\frac{4+0}{2}\\\\\n\\iff&2=2\\end{align}\nπου ισχύουν.ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέτρου \\(ΑΒ\\) είναι \\(λ=\\dfrac{0-4}{2-4}=2\\). Άρα και οι ζητούμενες εφαπτόμενες έχουν κλίση \\(2\\). Έστω\n$$ε:y=2x+β\\iff 2x-y+β=0$$\nη εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου. Για να εφάπτεται στον κύκλο αρκεί\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|2\\cdot 3-2+β|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&|β+4|=5\\\\\n\\iff&β+4=\\pm 5\\\\\n\\iff&β=1\\text{ ή }β=-9.\\end{align}\nΕπομένως οι εφαπτόμενες του κύκλου οι οποίες είναι παράλληλες στη διάμετρο \\(ΑΒ\\) έχουν εξισώσεις \\(ε_1: y=2x+1\\) και \\(ε_2: y=2x-9\\).\nγ) Ισχύει\n$$(ΓΔ)=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}=2ρ.$$\nΑυτό σημαίνει ότι τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) είναι αντιδιαμετρικά, δηλαδή η ευθεία \\((η)\\) πρέπει να διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Άρα αντικαθιστώντας στην εξίσωση της \\((η)\\) τις συντεταγμένες του κέντρου \\(x=3\\) και \\(y=2\\) έχουμε\n$$2=3λ+4\\iff λ=-\\frac{2}{3}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(x-3λ)^2+(y+2λ)^2=1\\quad(1)$$\nόπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), και η ευθεία\n$$ε:2x+3y=0.$$\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) τα κέντρα των κύκλων που προκύπτουν από την \\((1)\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ε\\).\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) που απέχουν μεταξύ τους \\(2\\) μονάδες και έχουν μεσοπαράλληλο την ευθεία \\(ε\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που προκύπτουν από την \\((1)\\) εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες.\nδ) Να βρείτε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου δύο απέναντι πλευρές ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\), αντίστοιχα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\((1)\\) για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3λ,-2λ)\\) που ανήκει στην ευθεία \\(ε\\), αφού\n$$2\\cdot 3λ+3\\cdot(-2λ)=6λ-6λ=0.$$\nβ) Αν \\(Μ(x,y)\\) τυχαίο σημείο μιας εκ των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), τότε\n\\begin{align}&d(M,ε)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|2x+3y|}{\\sqrt{2^2+3^2}}=1\\\\\n\\iff&|2x+3y|=\\sqrt{13},\\end{align}\nοπότε \\(2x+3y=\\sqrt{13}\\) ή \\(2x+3y=-\\sqrt{13}\\), που είναι οι ζητούμενες εξισώσεις των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\).\nγ) Αφού τα κέντρα \\(Κ(3λ,-2λ)\\) όλων των κύκλων που προκύπτουν από την \\((1)\\) ανήκουν στην \\(ε\\), δηλαδή στη μεσοπαράλληλο των \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), έχουμε ότι\n$$d(K,ε_1)=d(K,ε_2)=1=ρ.$$\nΣυνεπώς όλοι οι κύκλοι που προκύπτουν από την \\((1)\\) αφάπτονται στις ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\).\nδ) Ένα τετράγωνο του οποίου οι δύο απέναντι πλευρές ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) θα έχει μήκος πλευράς ίσο με την απόσταση των \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), δηλαδή \\(2\\). Συνεπώς το εμβαδόν του θα είναι ίσο με \\(4\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) με εξισώσεις \\(x-3y=4\\) και \\(9x+3y=6\\) αντίστοιχα.\nα) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) τέμνονται στο σημείο \\(Α(1,-1)\\).\nγ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(x-3y-4=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_1=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{1}{-3}=\\frac{1}{3}.$$\nΗ ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση \\(9x+3y-6=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_2=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{9}{3}=-3.$$\nΠαρατηρούμε ότι \\(λ_1λ_2=\\dfrac{1}{3}(-3)=-1\\). Άρα, οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, οπότε\n$$10x=10\\iff x=1.$$\nΑντικαθιστούμε στην εξίσωση \\(9x+3y=6\\) και έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&9+3y=6\\\\\n\\iff&3y=-3\\\\\n\\iff&y=-1.\\end{align}\nΆρα, το σημείο τομής των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι το \\(Α(1,-1)\\).\nγ) Γνωρίζουμε ότι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο \\(Α(x_0,y_0)\\) και είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\) έχει εξίσωση \\(x=x_0\\). Επομένως, η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι \\(x=1\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,2)\\) και \\(\\vec{β}=(2,3)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος \\(\\vec{γ}\\).\nγ) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+\\vec{β}=2 \\cdot (1,2) + (2,3)=(2+2,4+3)=(4,7)\\).\nβ) Έχουμε: \\(|\\vec{γ}|=\\sqrt{4^2+7^2}=\\sqrt{16+49}=\\sqrt{65}\\).\nγ) Βρίσκουμε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{γ}=(1,2) \\cdot (4,7)= 1 \\cdot 4 + 2 \\cdot 7 = 18\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι εξισώσεις\n$$λx+(λ-1)y-4=0\\quad(1)$$\nκαι\n$$(3λ+1)x-2λy-7=0\\quad(2)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) παριστάνουν ευθείες για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), ώστε οι ευθείες με εξισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) να είναι μεταξύ τους κάθετες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) αποτελεί εξίσωση ευθείας αν και μόνο αν\n\\begin{align}&λ\\neq 0\\text{ ή }λ-1\\neq0\\\\\n\\iff&λ\\neq0\\text{ ή }λ\\neq 1.\\end{align}\nΆρα, επειδή δεν υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία να μηδενίζεται και ο συντελεστής του \\(x\\) και ο συντελεστής του \\(y\\), η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\). Ομοίως η εξίσωση \\((2)\\) αποτελεί εξίσωση ευθείας αν και μόνο αν\n\\begin{align}&3λ+1\\neq0\\text{ ή }-2λ\\neq0\\\\\n\\iff&λ\\neq-\\frac{1}{3}\\text{ ή }λ\\neq0.\\end{align}\nΆρα επειδή και πάλι δεν υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία να μηδενίζεται και ο συντελεστής του \\(x\\) και ο συντελεστής του \\(y\\), η εξίσωση \\((2)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Έστω \\(\\vec{δ}_1=(λ-1,-λ)\\) ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την \\((1)\\) και \\(\\vec{δ}_2=(-2λ,-3λ-1)\\) ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την \\((2)\\). Οι ευθείες αυτές είναι κάθετες αν και μόνο αν\n\\begin{align}&\\vec{δ}_1\\perp\\vec{δ}_2\\\\\n\\iff&\\vec{δ}_1\\cdot\\vec{δ}_2=0\\\\\n\\iff&(λ-1)(-2λ)-λ(-3λ-1)=0\\\\\n\\iff&-2λ^2+2λ+3λ^2+λ=0\\\\\n\\iff&λ^2+3λ=0\\\\\n\\iff&λ(λ+3)=0\\\\\n\\iff&λ=0\\text{ ή }λ=-3.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) θεωρούμε τα σημεία \\(A(-2,-2)\\), \\(B(0,-4)\\) και την παραβολή \\(y^2=4x\\).\nα) Να βρείτε την παράμετρο, την εστία και την διευθετούσα της παραβολής.\nβ) Να βρείτε το σημείο \\(Μ\\) της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην \\(ΑΒ\\).\nγ) Αν \\(Μ(1,-2)\\) και \\(Κ\\) είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης ευθείας του προηγούμενου ερωτήματος με τον άξονα \\(x'x\\), να δείξετε ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΜΚ\\) είναι παραλληλόγραμμο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γενική μορφή της εξίσωσης της παραβολής είναι \\(y^2=2px\\). Για την \\(y^2=4x\\) θα έχουμε ότι \\(2p=4\\), οπότε είναι \\(p=2\\). Η εστία της \\(Ε\\) είναι το σημείο \\(\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)=(1,0)\\).\nΗ διευθετούσα \\((δ)\\) έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}\\), δηλαδή \\(x=-1\\).\nβ) Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της \\(Μ(x_1,y_1)\\) δίνεται από την εξίσωση \\(yy_1=p(x+x_1)\\), δηλαδή \\(yy_1=2(x+x_1)\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, όταν αυτός ορίζεται, είναι \\(λ_1=\\dfrac{2}{y_1}\\), ενώ ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(ΑΒ\\) είναι\n$$λ_2=\\frac{-4-(-2)}{0-(-2)}=\\frac{-2}{2}=-1.$$\nΓια να είναι η εφαπτομένη παράλληλη στην \\(ΑΒ\\) πρέπει \\(λ_1=λ_2\\) ή \\(\\dfrac{2}{y_1}=-1\\), άρα \\(y_1=-2\\). Επειδή όμως το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην παραβολή, θα επαληθεύει την εξίσωσή της, δηλαδή \\(y_1^2=4x_1\\). Αντικαθιστούμε και έχουμε \\((-2)^2=4x_1\\), άρα \\(x_1=1\\). Επομένως το σημείο \\(Μ\\) θα είναι το \\((1,-2)\\).\nγ)\nΗ εφαπτομένη ευθεία \\((ε)\\) της παραβολής στο σημείο της \\(Μ(1,-2)\\) θα είναι\n\\begin{align}&yy_1=2(x+x_1)\\\\\n\\iff&-2y=2(x+1)\\\\\n\\iff&-y=x+1\\\\\n\\iff&x+y+1=0.\\end{align}\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της με τον \\(x'x\\), βάζουμε όπου $y=0 και έχουμε \\(x=-1\\). Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\(Κ(-1.0)\\). Από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε ότι \\(ΚΜ\\parallel ΑΒ\\). Επιπλέον,\n\\begin{align}(ΚΜ)&=\\sqrt{(x_M-x_K)^2+(y_M-y_K)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{8}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}(ΑΒ)&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(0-(-2))^2+(-4-(-2))^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{8}.\\end{align}\nΤα τμήματα \\(ΑΒ\\) και \\(ΚΜ\\) είναι ίσα και παράλληλα, επομένως το τετράπλευρο \\(ΑΒΜΚ\\) είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2+(4-2k)x-2(1+k)y+5-2k=0\\quad(1)$$\nόπου \\(k\\in(0,+\\infty)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(M(k-2,k+1)\\) και ακτίνα \\(k\\sqrt{2}\\) για κάθε \\(k > 0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(M\\) ανήκει σε μια σταθερή ευθεία για κάθε \\(k > 0\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε):y=-x-1\\) είναι εφαπτομένη του παραπάνω κύκλου για κάθε \\(k > 0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Παρατηρούμε ότι η \\((1)\\) είναι στη μορφή \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\), με\n\\begin{align} &\\phantom{{}={}}Α^2+Β^2-4Γ\\\\\n&=(4-2k)^2+[-2(1+k)]^2-4\\cdot(5-2k)\\\\\n&=16-16k+4k^2+4+8k+4k^2-20+8k\\\\\n&=8k^2.\\end{align}\nΑφού \\(Α^2+Β^2-4Γ > 0\\), η \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με ακτίνα\n$$ρ=\\frac{\\sqrt{8k^2}}{2}=\\frac{2\\sqrt{2}k}{2}=k\\sqrt{2}$$\nκαι κέντρο\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}Μ\\left(-\\frac{Α}{2} ,-\\frac{Β}{2}\\right)\\\\\n&=Μ\\left(-\\frac{4-2κ}{2}, -\\frac{-2(1+k)}{2}\\right)\\\\\n&=Μ(k-2,k+1).\\end{align}\nΚαθώς η παράμετρος \\(k\\) παίρνει άπειρες τιμές, έχουμε άπειρους κύκλους.\nβ) Ας είναι \\(x\\) η τετμημένη των σημείων \\(Μ\\) και \\(y\\) η τεταγμένη των σημείων \\(Μ\\). Τότε \\(x=k-2, y=k+1\\), ώστε \\(y=(x+2)+1\\). Άρα \\(y=x+3\\), η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα σημεία \\(Μ\\).\nγ) Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση των κέντρων \\(Μ\\) από την σταθερή ευθεία \\((ε):x+y+1=0\\) ισούται με την ακτίνα. Πράγματι\n\\begin{align}d(Μ,ε)&=\\frac{|1(k-2)+1(k+1)+1|}{\\sqrt{1^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|2k|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=k\\sqrt{2}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες\n$$ε_1: y=\\frac{2}{3}x+1$$\nκαι\n$$ε_2: x=\\frac{3}{2}y+9.$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(ε_1\\parallel ε_2\\).\nβ) Να υπολογίσετε την απόσταση των ευθειών \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$ε_1: y=\\frac{2}{3}x+1$$\nμε \\(λ_{ε_1}=\\dfrac{2}{3}\\). Επίσης, η εξίσωση της \\((ε_2)\\) γράφεται\n\\begin{align}&x=\\frac{3}{2}y+9\\\\\n\\iff&2x=3y+18\\\\\n\\iff&2x-3y-18=0,\\end{align}\nμε\n$$λ_{ε_2}=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{2}{-3}=\\frac{2}{3}.$$\nΟπότε \\(λ_{ε_1}=λ_{ε_2}\\), άρα \\(ε_1\\parallel ε_2\\).\nβ) Από την εξίσωση της \\(ε_1\\), για \\(x = 3\\) βρίσκουμε \\(y = 3\\), οπότε συμπεραίνουμε ότι \\(Α(3,3)\\in ε_1\\), επομένως\n\\begin{align}d(ε_1, ε_2)&=d(Α, ε_2)\\\\\n&=\\frac{|2\\cdot 3-3\\cdot 3-18|}{\\sqrt{2^2+(-3)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-21|}{\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{21}{\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{21\\sqrt{13}}{13}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο \\(ΑΒΓΔ\\) και έστω \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\vec{β}\\). Τα σημεία \\(Ε\\) και \\(Ζ\\) είναι τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{AE}=-\\dfrac{1}{2}\\cdot\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AZ}=\\dfrac{1}{3}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{EZ}=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\dfrac{1}{3}\\vec{β}\\) και \\(\\overrightarrow{ZΓ}=\\vec{α}+\\dfrac{2}{3}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ZΓ}=2\\overrightarrow{EZ}\\).\nγ) Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Ζ\\), \\(Ε\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού είναι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\vec{β}\\), έχουμε ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΖ}\\) γράφονται\n$$\\overrightarrow{AE}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\overrightarrow{AB}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AZ}=\\frac{1}{3}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}=\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}.$$\nTότε για τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΕΖ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΖΓ}\\) έχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{EZ}&=\\overrightarrow{AZ}-\\overrightarrow{AE}\\\\\n&=\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}-(-\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α})\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΖΓ}&=\\overrightarrow{AΓ}-\\overrightarrow{AZ}\\\\\n&=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΑΔ}-\\overrightarrow{AZ}\\\\\n&=\\vec{α}+\\vec{β}-\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\cdot\\vec{β}.\\end{align}\nβ) Επειδή \\(\\overrightarrow{ΕΖ}=\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\) και \\(\\overrightarrow{ΖΓ}=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\vec{β}\\), έχουμε ότι\n$$\\overrightarrow{ΖΓ}=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\cdot\\vec{β}=2\\left(\\frac{1}{2}\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\vec{β}\\right)=2\\overrightarrow{EZ}.$$\nγ) Επειδή είναι \\(\\overrightarrow{ΖΓ}//\\overrightarrow{ΕΖ}\\) και τα διανύσματα έχουν κοινό άκρο το σημείο \\(Ζ\\), έχουμε το συμπέρασμα ότι τα σημεία \\(Ζ\\), \\(Ε\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\((C)\\) με εξίσωση:\n$$y^2=x\\quad(1)$$\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας \\(Ε\\) και την εξίσωση της διευθετούσας \\((δ)\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α(1,-1)\\)\tείναι σημείο της παραβολής.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο της \\(Α(1,-1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρχικά υπολογίζουμε την παράμετρο \\(p\\) της παραβολής. Είναι\n$$2p=1\\iff p=\\frac{1}{2}.$$\nΗ εστία \\(Ε\\) της παραβολής έχει συντεταγμένες \\(E\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)=\\left(\\dfrac{1}{4},0\\right)\\). Η διευθετούσα \\((δ)\\) της παραβολής έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}=-\\dfrac{1}{4}\\).\nβ) Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της παραβολής. Για \\(x=1\\) και \\(y=-1\\) είναι \\((-1)^2=1\\). Η τελευταία ισότητα είναι αληθής, οπότε το σημείο \\(Α\\) είναι σημείο της παραβολής.\nγ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής \\(y^2=2px\\) στο σημείο της \\(Α(x_1,y_1)\\) είναι \\(yy_1=p(x+x_1)\\). Αφού δίνεται \\(Α(1,-1)\\), η ζητούμενη εξίσωση θα είναι\n$$-1\\cdot y=\\frac{1}{2}(x+1)\\iff\tx+2y+1=0.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^2+y^2-2x+4y=-1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(M(3,2)\\) βρίσκεται έξω από τον κύκλο.\nγ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το \\(Μ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&x^2-2x+1+y^2+4y+4=4\\\\\n\\iff&(x-1)^2+(y+2)^2=4\\end{align}\nοπότε παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(K(1,-2)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\((ΚΜ) > ρ\\). Πραγματικά, είναι\n$$(ΚΜ)=\\sqrt{(3-1)^2+(2+2)^2}=\\sqrt{20}>2$$\nοπότε το \\(Μ\\) βρίσκεται έξω από τον κύκλο.\nγ) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το \\(Μ\\) είναι:\n\\(\\bullet\\) Η κατακόρυφη ευθεία \\(x=3\\). Η ευθεία αυτή απέχει από το κέντρο του κύκλου απόσταση\n$$d=\\frac{|1-3|}{\\sqrt{1+0}}=2=ρ.$$\nΆρα η κατακόρυφη ευθεία \\(x=3\\) εφάπτεται στον κύκλο.\n\\(\\bullet\\) Όλες οι μη κατακόρυφες ευθείες που είναι της μορφής \\(y-2=λ(x-3)\\), δηλαδή \\(λx-y-3λ+2=0\\). Μια τέτοια ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, μόνο όταν η απόσταση \\(d\\) του κέντρου \\(Κ\\) από αυτή είναι ίση με την ακτίνα \\(ρ\\). Είναι:\n\\begin{align}&d=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ+2-3λ+2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|-2λ+4|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&λ^2-4λ+4=λ^2+1\\\\\n\\iff&λ=\\frac{3}{4}\\end{align}\nΕπομένως η άλλη εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από το \\(Μ\\) είναι η \\(y-2=\\dfrac{3}{4}(x-3)\\) που γράφεται \\(y=\\dfrac{3}{4}x-\\dfrac{1}{4}\\).\nΣυμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι κοινές εφαπτόμενες των δυο κύκλων είναι οι ευθείες με εξισώσεις \\(x=3\\) και \\(y=\\dfrac{3}{4}x-\\dfrac{1}{4}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(0,2)\\), \\(B(3,0)\\) και \\(Γ(1,1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nβ) i. Να εξετάσετε αν τα σημεία \\(A\\), \\(B\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.\nii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Oι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3-0,0-2)=(3,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(1-0,1-2)=(1,-1).$$\nβ) i. Η ορίζουσα των διανυσμάτων είναι\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\\\\n&=\\begin{vmatrix}3&-2\\\\1&-1\\end{vmatrix}\\\\\n&=-3+2\\\\\n&=-1.\\end{align}\nΓια να ορίζεται τρίγωνο πρέπει τα διανύσματα να μην είναι παράλληλα, διαφορετικά τα τρία σημεία θα είναι συνευθειακά. Αφού λοιπόν \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\neq 0\\), έχουμε ότι τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.ii. Αφού είναι \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})=-1\\), το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-1|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\text{ τ.μ.}\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Υποθέτουμε, ότι σε ένα επίπεδο που έχουμε εφοδιάσει με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, κινούνται δύο σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\). Κάθε χρονική στιγμή \\(t\\), με \\(t\\geq 0\\), η θέση του πρώτου σημείου είναι \\(Α(t-1, 2t-1)\\) και του δευτέρου \\(Β(3t-1,-4t-1)\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο σημεία.\nβ) Υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο σημεία ταυτίζονται;\nγ) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σημείων την χρονική στιγμή \\(t=2\\).\nδ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή \\(t\\) κατά την οποία η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε: 4x+3y+7=0\\) ισούται με \\(6\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(Α(t-1,2t-1)\\), \\(t\\geq 0\\). Αν \\(Α(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=t-1\\\\y=2t-1\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=x+1\\\\y=2(x+1)-1\\\\x+1\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=x+1\\\\y=2x+1\\\\x\\geq -1\\end{cases}\\end{align}\nάρα το σημείο \\(Α\\) κινείται στην ημιευθεία\n$$ε_1: y=2x+1\\text{ με } x\\geq -1.$$\nΕπίσης έχουμε \\(Β(3t-1,-4t-1)\\), \\(t\\geq 0\\). Αν \\(Β(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=3t-1\\\\y=-4t-1\\\\t\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\y=-4\\frac{x+1}{3}-1\\\\\\frac{x+1}{3}\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\3y=-4x-7\\\\x\\geq-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\4x+3y+7=0\\\\x\\geq-1\\end{cases}\\end{align}\nάρα το σημείο \\(Β\\) κινείται στην ημιευθεία\n$$ε_2: 4x+3y+7=0,\\text{ με } x\\geq -1.$$\nβ) Αν υπάρχει χρονική στιγμή \\(t\\geq 0\\), κατά την οποία τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) ταυτίζονται θα είναι\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_Α=x_Β\\\\y_Α=y_Β\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t-1=3t-1\\\\2t-1=-4t-1\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=0\\\\t=0\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&t=0,\\end{align}\nάρα τη χρονική στιγμή \\(t=0\\) τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) ταυτίζονται.\nγ) Για \\(t=2\\) είναι \\(Α(1, 3)\\) και \\(Β(5, -9)\\), οπότε\n\\begin{align}(ΑΒ)&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(5-1)^2+(-9-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4^2+(-12)^2}\\\\\n&=\\sqrt{16+144}\\\\\n&=\\sqrt{160}\\\\\n&=4\\sqrt{10}.\\end{align}\nδ) Eίναι\n\\begin{align}&d(Α, ε) = 6\\\\\n\\iff&\\frac{|4\\cdot(t-1)+3\\cdot(2t-1)+7|}{\\sqrt{4^2+3^2}}=6\\\\\n\\iff&\\frac{|10t|}{5}=6\\\\\n\\iff&|10t|=30\\\\\n\\iff&|t|=3\\\\\n\\iff&t=\\pm3,\\end{align}\nαλλά \\(t\\geq 0\\), οπότε \\(t=3\\) είναι η ζητούμενη χρονική στιγμή." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο κύκλοι με εξισώσεις\n$$C_1: (x-2)^2+(y-3)^2=8$$\nκαι\n$$C_2: (x-7)^2+(y+2)^2=18.$$\nα) Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντρου \\((ΚΛ)\\), όπου \\(Κ\\), \\(Λ\\) τα κέντρα των κύκλων \\(C_1\\), \\(C_2\\), αντίστοιχα. Ακολούθως να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.\nβ) i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΚΛ\\).\nii. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) και το σημείο επαφής των δύο κύκλων.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των κύκλων." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο κύκλος \\(C_1\\) έχει κέντρο \\(Κ(2,3)\\) και ακτίνα \\(ρ_1=2\\sqrt{2}\\), ενώ ο κύκλος \\(C_2\\) κέντρο \\(Λ(7,-2)\\) και ακτίνα \\(ρ_2=3\\sqrt{2}\\). Οπότε έχουμε\n\\begin{align}(KΛ)&=\\sqrt{(7-2)^2+(-2-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5^2+5^2}\\\\\n&=5\\sqrt{2}.\\end{align}\nΑκόμα\n$$ρ_1+ρ_2=2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}=5\\sqrt{2},$$\nδηλαδή \\((ΚΛ)=ρ_1+ρ_2\\). Αφού η διάκεντρος των δύο κύκλων είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων τους, οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.\nβ) i. Έχουμε\n$$λ_{ΚΛ}=\\frac{-2-3}{7-2}=-1,$$\nοπότε\n$$KΛ: y-3=-1(x-2)\\iff y=-x+5.$$\nii. Θα βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\). Έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}(x-2)^2+(y-3)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-2)^2+(-x+2)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-2)^2=4\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-2=\\pm 2\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\text{ ή }x=0\\\\y=1\\text{ ή }y=5\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε τα κοινά σημεία της \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) είναι τα \\(Α(4,1)\\) και \\(Α'(0,5)\\). Αντίστοιχα έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}(x-7)^2+(y+2)^2=18\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-7)^2+(-x+7)^2=18\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-7)^2=9\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-7=\\pm 3\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\text{ ή }x=10\\\\y=1\\text{ ή }y=-5\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε τα κοινά σημεία της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_2\\) είναι τα \\(Α(4,1)\\) και \\(Α΄΄(10,-5)\\). Η κοινή λύση και των δύο συστημάτων είναι το ζητούμενο σημείο επαφής των δύο κύκλων. Αλλά το κοινό σημείο της ευθείας και με τους δύο κύκλους είναι το \\(A(4,10)\\), οπότε αυτό είναι και το σημείο επαφής.\nΕναλλακτική λύση:\nΒρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) λύνοντας το σύστημα\n\\begin{cases}(x-2)^2+(y-3)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\nκαι βρίσκουμε, όπως και στον προηγούμενο τρόπο λύσης, τα σημεία \\(Α(4,1)\\) και \\(Α'(0,5)\\). Έχουμε\n$$\\overrightarrow{ΚΛ}=(7-2,-2-3)=(5,-5)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΚΑ}=(4-2,1-3)=(2,-2),$$\nδηλαδή \\(\\overrightarrow{KA}=\\dfrac{2}{5}\\overrightarrow{ΚΛ}\\), οπότε το \\(Α\\), ως εσωτερικό σημείο του \\(ΚΛ\\), είναι το μοναδικό ζητούμενο σημείο επαφής.\nγ) Η κοινή εσωτερική εφαπτομένη \\((η)\\) των δύο κύκλων είναι κάθετη στην ευθεία \\(ΚΛ\\) και διέρχεται από το σημείο επαφής \\(Α(4,1)\\). Στο ερώτημα (β.i) έχουμε βρει ότι \\(λ_{ΚΛ}=-1\\), οπότε\n\\begin{align}&λ_{η}\\cdot λ_{ΚΛ}=-1\\\\\n\\iff&λ_η\\cdot (-1)=-1\\\\\n\\iff&λ_η=1,\\end{align}\nκαι η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων έχει εξίσωση\n$$η: y-1=1(x-4)\\iff y=x-3.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται η παραβολή \\(y^2=2px\\) και η έλλειψη \\(\\dfrac{x^2}{α^2}+\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\).\nα) Αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\), να βρείτε:i. Την εξίσωση της παραβολής.\nii. Την εστία \\(Ε\\) της παραβολής.\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης με κέντρο το \\(Ο\\), αν η μια εστία της είναι το σημείο \\(Ε(1,0)\\) και ο μεγάλος άξονας της έχει μήκος ίσο με \\(4\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η παραβολή \\(y^2=2px\\) διέρχεται από το \\(Α(1,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή\n$$2^2=2p\\cdot 1\\iff 4=2p\\iff p=2.$$\nΕπομένως,\n$$y^2=2\\cdot 2x\\iff y^2=4x.$$\nii. Η εστία \\(Ε\\) της παραβολής είναι \\(Ε\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)\\), δηλαδή \\(Ε(1,0)\\).\nβ) Μία από τις εστίες της έλλειψης είναι το σημείο \\(Ε(γ,0)\\) και ο μεγάλος άξονας έχει μήκος \\(2α\\). Αφού η εστία είναι το σημείο \\(Ε(1,0)\\), έχουμε ότι \\(γ=1\\). Επειδή ο μεγάλος άξονας έχει μήκος ίσο με \\(4\\), έχουμε ότι \\(2α=4\\), οπότε \\(α=2\\). Είναι\n\\begin{align}β^2&=α^2-γ^2\\\\\n&=2^2-1^2\\\\\n&=4-1\\\\\n&=3.\\end{align}\nΟπότε, η εξίσωση της έλλειψης γίνεται\n$$\\frac{x^2}{2^2}+\\frac{y^2}{3}=1\\iff\\frac{x^2}{4}+\\frac{y^2}{3}=1.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε διανύσματα \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) τέτοια ώστε \\(|\\vec{α}|=3,\\ |\\vec{β}|=4\\) και \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\).\nα) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε τα \\(\\vec{α}^2\\) και \\(\\vec{β}^2\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι\n$$(3\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot (\\vec{α}-3\\vec{β})=15.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) δίνεται από το τύπο\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}||\\vec{β}|συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=3\\cdot 4\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=12\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=6.\\end{align}\nΆρα \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=6\\).\nβ)\n$$\\vec{α}^2=|\\vec{α}|^2=3^2=9$$\nκαι\n$$\\vec{β}^2=|\\vec{β}|^2=4^2=16.$$\nγ)\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}(3\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot(\\vec{α}-3\\vec{β})\\\\\n&=3\\vec{α}^2-\\vec{β}\\cdot\\vec{α}-9\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+3\\vec{β}^2\\\\\n&=3\\vec{α}^2-10\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+3\\vec{β}^2\\\\\n&=3\\cdot 9-10\\cdot 6+3\\cdot 16\\\\\n&=15.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1: 3x-y=5\\) και \\(ε_2:x-y+1=0\\).\nα) Να βρεθεί το σημείο τομής τους \\(Μ\\).\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \\(Μ(3,4)\\) και είναι κάθετη στην \\((ε_2)\\).\nγ) Να βρεθεί ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε το σημείο τομής λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3(y-1)-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3y-3-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2y=8\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=4\\\\x=3\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το σημείο τομής είναι το \\(Μ(3,4)\\).\nβ) Η ζητούμενη ευθεία είναι κάθετη στην \\((ε_2)\\), οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής της ζητούμενης ευθείας και της \\((ε_2)\\) θα είναι \\(-1\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\((ε_2)\\) είναι\n$$λ_2=-\\frac{A}{B}=-\\frac{1}{-1}=1.$$\nΕπομένως ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ\\) της ζητούμενης ευθείας θα είναι \\(-1\\). Η ευθεία διέρχεται από το \\(Μ(3,4)\\), οπότε η εξίσωση θα είναι\n\\begin{align}&y-y_o=λ(x-x_o)\\\\\n\\iff&y-4=-1(x-3)\\\\\n\\iff&y=-x+7.\\end{align}\nγ) Ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\(Αx+Βy+Γ=0\\) είναι το \\(\\vec{δ}=(Β,-Α)\\), οπότε για την ευθεία \\(3x-y-5=0\\) ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν είναι το \\(\\vec{δ}=(-1,-3)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Οι κορυφές \\(Α\\), \\(Γ\\) ενός τετραγώνου \\(ΑΒΓΔ\\) είναι τα σημεία \\((1,4)\\) και \\((3,0)\\), αντιστοίχως.\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΓ\\) γράφεται στη μορφή \\(y-2=\\dfrac{1}{2}(x-2).\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΓ\\) γράφεται στη μορφή \\((x-2)^2+(y-2)^2=5.\\)\nγ) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών \\(Β\\), \\(Δ\\) του τετραγώνου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Κ\\) του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΓ\\) έχει συντεταγμένες\n$$x_K=\\frac{x_A+x_Γ}{2}=\\frac{1+3}{2}=2$$\nκαι\n$$y_K=\\frac{y_A+y_Γ}{2}=\\frac{4+0}{2}=2.$$\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\) είναι ίσος με\n$$λ_1=\\frac{4-0}{1-3}=-2,$$\nκατά συνέπεια η μεσοκάθετος του τμήματος \\(ΑΓ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_2=\\dfrac{1}{2}.\\) Άρα η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος \\(ΑΓ\\) είναι\n$$y-2=\\frac{1}{2}(x-2).$$\nβ) Το κέντρο του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\) είναι το σημείο \\(Κ(2,2)\\) και η ακτίνα του είναι ίση με\n\\begin{align}ρ&=(ΑΚ)\\\\\n&=\\sqrt{(1-2)^2+(4-2)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}\nΕπομένως η εξίσωση του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\) είναι\n$$(x-2)^2+(y-2)^2=5.$$\nγ) Οι ζητούμενες κορυφές \\(Β\\), \\(Δ\\) του τετραγώνου \\(ΑΒΓΔ\\) ισαπέχουν από τα σημεία \\(Α\\), \\(Γ\\) και βλέπουν το \\(ΑΓ\\) υπό ορθή γωνία, άρα είναι τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος \\(ΑΓ\\) και του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\). Λύνουμε το σύστημα:\n$$\\begin{cases}y-2=\\frac{1}{2}(x-2)\\quad&(1)\\\\(x-2)^2+(y-2)^2=5\\quad&(2)\\end{cases}$$\nΗ εξίσωση \\((2)\\) με τη βοήθεια της \\((1)\\) γράφεται\n\\begin{align}&(x-2)^2+\\frac{1}{4}(x-2)^2=5\\\\\n\\iff&4(x-2)^2+(x-2)^2=20\\\\\n\\iff&5(x-2)^2=20\\\\\n\\iff&(x-2)^2=4\\\\\n\\iff&x-2=\\pm2\\\\\n\\iff&x=4\\text{ ή }x=0.\\end{align}\nΓια \\(x=4\\) βρίσκουμε \\(y=3\\) και για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=1.\\) Επομένως οι ζητούμενες κορυφές είναι τα σημεία \\((4,3)\\) και \\((0,1).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(-2,3)\\), \\(B(0,8)\\), \\(Γ(5,3)\\) και \\(Δ(10,5)\\). Να υπολογίσετε:\nα) το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}\\).\nβ) τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΓΔ}\\) με τον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(0+2,8-3)\\\\\n&=(2,5).\\end{align}\nΕπίσης:\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΓΔ}&=(x_Δ-x_Γ,y_Δ-y_Γ)\\\\\n&=(10-5,5-3)\\\\\n&=(5,2).\\end{align}\nΟπότε:\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}&=(2,5)\\cdot(5,2)\\\\\n&=2\\cdot 5+5\\cdot 2\\\\\n&=10+10\\\\\n&=20.\\end{align}\nβ) Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{u}\\) με τον άξονα \\(x'x\\), τότε \\(λ_\\vec{u}=εφω\\). Είναι\n$$\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΓΔ}=(2,5)+(5,2)=(7,7),$$\nάρα\n$$λ_\\vec{u}=\\frac{y_\\vec{u}}{x_\\vec{u}}=\\frac{7}{7}=1.$$\nΕπομένως \\(εφω=1\\), άρα \\(ω=\\dfrac{π}{4}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές \\(Α(1,7), Β(-1,5)\\) και \\(Γ(3,3)\\).\nα) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Αν \\(Μ\\) είναι το μέσο της πλευράς \\(ΒΓ\\), τότε να υπολογίσετε: i. Τις συντεταγμένες του \\(Μ\\). ii. Την εξίσωση της διαμέσου \\(ΑΜ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΒΓ})|$$\nόπου\n$$\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(-1-1,5-7)=(-2,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΒΓ}=(x_Γ-x_B,y_Γ-y_B)=(3+1,3-5)=(4,-2).$$\nΟπότε:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\begin{vmatrix}-2&-2\\\\4&-2\\end{vmatrix}|=\\frac{1}{2}|4+8|=6.$$\nβ) i. Το μέσο \\(Μ\\) της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι:\n$$M\\left(\\frac{x_B+x_Γ}{2},\\frac{y_B+y_Γ}{2}\\right)=(1,4).$$\nii. Παρατηρούμε ότι για τα σημεία \\(Α\\) και \\(Μ\\) είναι \\(x_Μ=x_A=1\\). Επομένως, η ευθεία \\(ΑΜ\\) είναι κατακόρυφη (δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας), οπότε έχει εξίσωση \\(x=1\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνονται τα σημεία \\(Α(1,-1)\\), \\(Β(2,2)\\) και \\(Γ(μ-1,3μ-2)\\), \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), το σημείο \\(Γ\\) κινείται στην ευθεία \\(ε: y=3x+1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι κορυφές τριγώνου.\nγ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι σταθερό.\nδ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Β\\) και από τις οποίες το σημείο \\(Α\\) απέχει απόσταση ίση με \\(1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), είναι \\(Γ(μ-1,3μ-2)\\), οπότε αν \\(Γ(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=μ-1\\\\y=3μ-2\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}μ=x+1\\\\y=3(x+1)-2\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=3x+1\\\\μ=x+1\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\end{align}\nεπομένως το σημείο \\(Γ\\) κινείται στην ευθεία \\(ε:y=3x+1\\).\nβ) Είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}\\\\\n&=\\frac{2-(-1)}{2-1}\\\\\n&=3\\\\\n&=λ_ε,\\end{align}\nάρα \\(ΑΒ//ε\\). Επιπλέον, για \\(x=1\\) και \\(y=-1\\) από την εξίσωση της \\((ε)\\) παίρνουμε \\(-1=3\\cdot1+1\\), που δεν ισχύει. Άρα το σημείο \\(Α\\) δεν ανήκει στην ευθεία \\(ε\\), αφού οι συντεταγμένες του δεν ικανοποιούν την εξίσωσή της. Οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά. Επομένως, καθώς το μ διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι κορυφές τριγώνου.\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(2-1,2-(-1))\\\\\n&=(1,3)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(μ-1-1,3μ-2-(-1))\\\\\n&=(μ-2,3μ-1),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}1&3\\\\μ-2&3μ-1\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|1(3μ-1)-3(μ-2)|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3μ-1-3μ+6|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|5|\\\\\n&=\\frac{5}{2},\\end{align}\nσταθερό για κάθε \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nΕναλλακτικά: Λόγω των ερωτημάτων (α) και (β), το ύψος του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) από την κορυφή του \\(Γ\\) στην \\(ΑΒ\\), έχει σταθερό μήκος, ίσο με την απόσταση των παραλλήλων ευθειών \\((ε)\\) και \\(ΑΒ\\). Επίσης το μήκος του \\(ΑΒ\\) είναι σταθερό, οπότε το εμβαδό του τριγώνου είναι σταθερό.\nδ) Από το σημείο \\(Β(2,2)\\) διέρχονται οι ευθείες \\(δ':x=2\\) και \\((δ)\\) με εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Β=λ(x-x_Β)\\\\\n\\iff&y-2=λ(x-2)\\\\\n\\iff&λx-y+2-2λ=0.\\end{align}\nΕίναι\n$$d(A,δ')=|2-x_Α|=|2-1|= 1,$$\nοπότε η ευθεία \\(δ':x=2\\) αποτελεί μια λύση στο πρόβλημα. Θα αναζητήσουμε αν στην οικογένεια ευθειών \\(δ\\) υπάρχει και άλλη ευθεία που να αποτελεί λύση στο πρόβλημα. Είναι\n\\begin{align}d(A,δ)&=\\frac{|λ\\cdot1-1\\cdot(-1)+2-2λ|}{\\sqrt{λ^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|λ+1+2-2λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}\\\\\n&=\\frac{|3-λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}.\\end{align}\nΘέλουμε\n\\begin{align}&d(A,δ)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|3-λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&|3-λ|=\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&|3-λ|^2=\\sqrt{λ^2+1}^2\\\\\n\\iff&(3-λ)^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&9-6λ+λ^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&6λ=8\\\\\n\\iff&λ=\\frac{8}{6}=\\frac{4}{3}.\\end{align}\nΓια \\(λ=\\dfrac{4}{3}\\), η ευθεία \\((δ)\\) με εξίσωση\n$$\\frac{4}{3}x-y+2-2\\frac{4}{3}=0\\iff 4x-3y-2=0$$\nαποτελεί μία ακόμη λύση στο πρόβλημα." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$(y-1)^2=(3+x)(1-x)\\quad(1)$$\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Η αρχή \\(Ο(0,0)\\) των αξόνων είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Η ευθεία\t\\(ε:x+y=2\\) είναι\tτέμνουσα του κύκλου \\((Κ,R)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται διαδοχικά\n\\begin{align}&(y-1)^2=(3+x)(1-x)\\\\\n\\iff&(y-1)^2=3-3x+x-x^2\\\\\n\\iff&(y-1)^2=3-2x-x^2\\\\\n\\iff&(x^2+2x+1)+(y-1)^2=4\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(y-1)^2=4.\\end{align}\nΆρα, η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\)\tκαι ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Υπολογίζουμε την απόσταση \\(ΟΚ\\) της αρχής \\(Ο(0,0)\\) των αξόνων από το κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}(OK)&=\\sqrt{(x_K-x_O)^2+(y_K-y_O)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2} < R=2.\\end{align}\nΆρα, η αρχή \\(Ο\\) των αξόνων είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Υπολογίζουμε την απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) του κύκλου από την ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x+y-2=0\\). Είναι\n\\begin{align}d(K,ε)&=\\frac{|-1+1-2|}{\\sqrt{1^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{2}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\sqrt{2} < R=2.\\end{align}\nΆρα, η ευθεία \\((ε)\\) είναι τέμνουσα του κύκλου \\((Κ,R)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) με κορυφή \\(Α(1,4)\\). Η πλευρά \\(ΑΔ\\) έχει εξίσωση \\(3x-2y+5=0\\) και η διαγώνιος \\(ΒΔ\\) έχει εξίσωση \\(y=x+2\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η κορυφή \\(Δ\\) έχει συντεταγμένες \\(Δ(-1,1)\\).\nβ) Αν οι διαγώνιοι \\(ΑΓ\\) και \\(ΒΔ\\) του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, να βρείτε την εξίσωση της διαγωνίου \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες της κορυφής \\(Δ\\) προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών \\(ΑΔ\\) και \\(ΒΔ\\) που διέρχονται από το σημείο αυτό:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x-2y+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x-2(x+2)+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x-2x-4+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-1\\\\y=1\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Δ(-1,1)\\).\nβ) Οι διαγώνιοι \\(ΑΓ\\), \\(ΒΔ\\) του τετραπλεύρου \\(ΑΒΓΔ\\) τέμνονται κάθετα, οπότε οι συντελεστές διεύθυνσης \\(λ_{ΑΓ}\\), \\(λ_{Β∆}\\) των διαγωνίων έχουν γινόμενο ίσο με \\(-1\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΓ} \\cdot λ_{ΒΔ} = -1\\). Όμως από την εξίσωση της διαγωνίου \\(ΒΔ\\) προκύπτει ότι \\(λ_{ΒΔ}=1\\), άρα \\(λ_{ΑΓ}=-1\\).\nΗ εξίσωση της διαγωνίου \\(ΑΓ\\) είναι επομένως\n\\begin{align}&y-y_A=λ_{ΑΓ}(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-4=-1(x-1)\\\\\n\\iff&x+y-5=0.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δύο εργοστάσια \\(A\\) και \\(B\\) τα οποία σε ένα σύστημα συντεταγμένων έχουν συντεταγμένες \\(A(2,1)\\), \\(B(4,3)\\), βρίσκονται κοντά σε μια ακτή που πρόκειται να κατασκευαστεί μια αποβάθρα και θα εξυπηρετεί τα δύο εργοστάσια.\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που συνδέει τα δύο εργοστάσια.\nβ) Αν η ακτή είναι ευθύγραμμη με εξίσωση \\(ε:y=2x-7\\), να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της ακτής στο οποίο πρέπει να τοποθετηθεί η αποβάθρα ώστε να απέχει εξ ίσου από τα δύο εργοστάσια.\nγ) Αν το ζητούμενο σημείο του ερωτήματος (β) είναι \\(N(4,1)\\), να βρείτε πόσο απέχει το κάθε εργοστάσιο από το σημείο αυτό." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση της ευθείας \\(AB\\) που συνδέει τα δύο εργοστάσια είναι\n\\begin{align}&y-1=\\frac{3-1}{4-2}\\cdot (x-2)\\\\\n\\iff&y-1=1\\cdot (x-2)\\\\\n\\iff&y=x-1.\\end{align}\nβ) Το σημείο της ακτής που απέχει εξ ίσου από τα δύο εργοστάσια είναι το σημείο τομής της ευθύγραμμης ακτής με τη μεσοκάθετο της \\(AB\\). Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου \\(M(x_M,y_M)\\) της \\(AB\\). Είναι \\(x_M=\\dfrac{2+4}{2}=3\\) και \\(y_M=\\dfrac{1+3}{2}=2\\). Άρα \\(M(3,2)\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(AB\\) είναι \\(λ=1\\). Η μεσοκάθετος \\(ε'\\) της \\(ΑΒ\\) θα έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ'\\) για τον οποίο θα ισχύει\n$$λ\\cdot λ'=-1\\iff λ'=-1.$$\nΕπομένως η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\(ε'\\) είναι\n$$y-2=-1(x-3)\\iff y=-x+5.$$\nΛύνουμε το σύστημα:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=2x-7\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x-7=-x+5\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x=12\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\\\y=1\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το \\(N(4,1)\\).\nγ) Η απόσταση του καθενός από τα δύο εργοστάσια από το σημείο \\(N\\) της ακτής είναι\n\\begin{align}(BN)&=(AN)\\\\\n&=\\sqrt{(2-4)^2+(1-1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+0^2}\\\\\n&=2.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) και σημείο του επιπέδου \\(Μ\\), τέτοιο ώστε\n$$\\overrightarrow{AB}-2\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{0}.$$\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Β\\), \\(Γ\\), \\(Μ\\) είναι συνευθειακά.\nβ) Να αποδείξετε ότι το \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\).\nγ) Έστω πραγματικοί αριθμοί \\(κ\\), \\(λ\\) τέτοιοι ώστε \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=κ\\) και \\(\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}=λ\\). Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι για τα μη παράλληλα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\), \\(\\overrightarrow{AB}\\) ισχύει ότι \\(κ\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\), τότε:i. Να αποδείξετε ότι \\(κ=λ=0\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Να προσδιορίσετε την ορθή γωνία και τις πλευρές που είναι ίσες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει \\(μ\\in\\mathbb{R}\\) έτσι ώστε \\(\\overrightarrow{BΓ}=μ\\overrightarrow{BM}\\). Πράγματι, θεωρώντας το \\(Β\\) ως σημείο αναφοράς, είναι:\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}-2\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{0}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}-2(\\overrightarrow{BM}-\\overrightarrow{BA})+(\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BA})=\\vec{0}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}+2\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BA}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BΓ}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΒΓ}=2\\overrightarrow{BM}.\\end{align}\nβ) Το \\(Μ\\) είναι το μέσο του τμήματος \\(ΒΓ\\), διότι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{BΓ}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BM}=\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΜΓ}=\\overrightarrow{BM}.\\end{align}\nγ) i. Επειδή τα σημεία \\(A\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) ως κορυφές τριγώνου δεν είναι συνευθειακά, έχουμε ότι τα μη μηδενικά διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) δεν είναι παράλληλα. Είναι \\(κ\\overrightarrow{AΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\). Αν \\(κ\\neq 0\\), τότε\n\\begin{align}&κ\\overrightarrow{AΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AΓ}=\\frac{λ}{κ}\\overrightarrow{AB}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{ΑΓ}\\parallel \\overrightarrow{AB}.\\end{align}\nΑν \\(λ\\neq 0\\), τότε\n\\begin{align}&κ\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\overrightarrow{ΑΒ}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AB}=\\frac{κ}{λ}\\overrightarrow{AΓ}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AΓ}\\parallel \\overrightarrow{AB}.\\end{align}\nΕπομένως πρέπει \\(κ=λ=0\\).ii) Είναι:\n$$\\begin{cases}\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\\\\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{BΓ}=0\\end{cases}\nΑφού \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\) έπεται ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι κάθετα. Επομένως, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^o\\). Αφού \\(\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{BΓ}\\), έπεται ότι η διάμεσος \\(ΑΜ\\) του ορθογώνιου τριγώνου είναι κάθετη στην πλευρά \\(ΒΓ\\), δηλαδή είναι και ύψος. Ως εκ τούτου το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με \\(AB=AΓ\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\((ε_1), (ε_2)\\) και \\((ε_3)\\) με εξισώσεις \\(x-2y=-1\\), \\(2x+y=4\\) και \\(y=-1\\) αντίστοιχα.\nα) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\)\tκαι \\((ε_2)\\)\tτέμνονται στο σημείο \\(Α\\left(\\dfrac{7}{5},\\dfrac{6}{5}\\right)\\).\nγ) Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(x-2y+1=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_1=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{1}{-2}=\\frac{1}{2}.$$\nΗ ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση \\(2x+y-4=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_2=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{2}{1}=-2.$$\nΠαρατηρούμε ότι \\(λ_1λ_2=\\dfrac{1}{2}(-2)=-1\\). Άρα, οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Για το σημείο τομής των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\), λύνουμε αρχικά την εξίσωση \\(x-2y+1=0\\) ως προς \\(x\\), οπότε \\(x=2y-1\\). Αντικαθιστούμε στην εξίσωση \\(2x+y-4=0\\) και έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&2(2y-1)+y-4=0\\\\\n\\iff&4y-2+y-4=0\\\\\n\\iff&5y=6\\\\\n\\iff&y=\\frac{6}{5}.\\end{align}\nΤότε είναι\n$$x=\\frac{12}{5}-1=\\frac{7}{5}.$$\nΆρα, το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι \\(Α\\left(\\dfrac{7}{5},\\dfrac{6}{5}\\right)\\).\nγ) Η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\) με εξίσωση \\(y+1=0\\) είναι\n$$d(Α,ε_3)=\\frac{|0\\cdot\\frac{7}{5}+\\frac{6}{5}+1|}{\\sqrt{0^2+1^2}}=\\frac{11}{5}$$." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^2+y^2-x-y-\\frac{7}{2}=0\\quad(1)$$\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(K\\left(\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το\tσημείο \\(Α\\left(\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{3}{2}\\right)\\) είναι σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\((Κ,R)\\) στο \\(Α\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0,$$\nμε \\(Α=-1\\), \\(Β=-1\\), \\(Γ=-\\dfrac{7}{2}\\). Είναι\n$$Α^2+Β^2-4Γ=1+1+14=16 > 0,$$\nεπομένως η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο\n$$K\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)$$\nή\n$$K\\left(\\frac{1}{2},\\frac{1}{2}\\right)$$\nκαι ακτίνα\n\\begin{align}R&=\\frac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{16}}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου, αφού\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2+\\left(-\\frac{3}{2}\\right)^2-\\frac{1}{2}-\\left(-\\frac{3}{2}\\right)-\\frac{7}{2}\\\\\n&=\\frac{1}{4}+\\frac{9}{4}-\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}-\\frac{7}{2}\\\\\n&=\\frac{10}{4}-\\frac{5}{2}\\\\\n&=0.\\end{align}\nΆρα, το σημείο \\(Α\\) είναι σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Η εφαπτομένη του κύκλου \\((Κ,R)\\) στο \\(Α\\) είναι κάθετη στην ακτίνα \\(ΚΑ\\). Αφού είναι \\(x_K=x_A\\), η ακτίνα \\(ΚΑ\\) είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\), οπότε η εφαπτομένη του κύκλου στο \\(Α\\) θα είναι παράλληλη στον άξονα \\(x'x\\). Άρα, θα έχει εξίσωση \\(y=y_A=-\\dfrac{3}{2}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-2,0)\\) και \\(Β(2,-2)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(Κ\\) και το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Να δείξετε ότι ο κύκλος \\(C\\) με διάμετρο \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση \\(C:x^2+(y+1)^2=5\\).\nγ) Να δείξετε ότι τα σημεία \\(M(x,y)\\) του επιπέδου για τα οποία \\((AMB)=5\\) ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1:x+2y-3=0\\) και \\(ε_2:x+2y+7=0\\).\nδ) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\) εφάπτονται του κύκλου \\(C\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(K\\) του τμήματος \\(AB\\) έχει συντεταγμένες \\(\\left(\\dfrac{-2+2}{2},\\dfrac{0-2}{2}\\right)\\), δηλαδή \\((0,-1)\\). Το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι\n\\begin{align}|\\overrightarrow{AB}|&=\\sqrt{(2-(-2))^2+(-2-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{20}\\\\\n&=2\\sqrt{5}.\\end{align}\nβ) Ο κύκλος \\(C\\) με διάμετρο \\(AB\\) έχει κέντρο \\(K(0,-1)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\dfrac{|\\overrightarrow{AB}|}{2}=\\sqrt{5}\\). Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι\n$$C:x^2+(y+1)^2=5.$$\nγ) Έστω \\(M(x,y)\\). Τότε \\((ABM)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|\\) με \\(\\overrightarrow{AM}=(x+2,y)\\) και \\(\\overrightarrow{AB}=(4,-2)\\). Οπότε:\n\\begin{align}&\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|=5\\\\\n\\iff&|\\!\\begin{vmatrix}4&-2\\\\x+2&y\\end{vmatrix}|=10\\\\\n\\iff&|4y+2(x+2)|=10\\\\\n\\iff&\\begin{cases}4y+2x+4=10\\\\\\text{ή}\\\\4y+2x+4=-10\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x+4y-6=0\\\\\\text{ή}\\\\2x+4y+14=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x+2y-3=0\\\\\\text{ή}\\\\x+2y+7=0\\end{cases}\\end{align}\nδ) Για να εφάπτονται οι \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\) στο κύκλο \\(C\\) πρέπει\n$$d(K,ε_1)=d(K,ε_2)=\\sqrt{5}.$$\nΕίναι\n\\begin{align}d(K,ε_1)&=\\frac{|0+2(-1)-3|}{\\sqrt{1^2+2^2}}\\\\\n&=\\frac{5}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\sqrt{5}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d(K,ε_1)&=\\frac{|0+2(-1)+7|}{\\sqrt{1^2+2^2}}\\\\\n&=\\frac{5}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Μία φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο \\(A(2,3)\\) και προσπίπτουσα στην ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x+y+1=0\\), μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο \\(M(1,1)\\).\nα) i. Να αποδείξετε ότι η προβολή του σημείου \\(A\\) πάνω στην ευθεία \\((ε)\\) είναι το σημείο \\(Π(-1,0)\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου \\(A\\) ως προς την ευθεία \\((ε)\\), είναι το σημείο \\(Α'(-4,-3)\\).\nβ) i. Αν γνωρίζετε ότι η ανακλώμενη ακτίνα είναι η ευθεία \\((ε_2)\\), η οποία διέρχεται από τα σημεία \\(Α'\\), \\(Σ\\), \\(Μ\\), τότε να βρείτε την εξίσωσή της.\nii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου πρόσπτωσης \\(Σ\\) της φωτεινής ακτίνας \\((ε_1)\\) πάνω στην ευθεία \\((ε)\\).\nγ) Αν \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\), τότε να βρείτε την εξίσωση της προσπίπτουσας ακτίνας \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αφού η κλίση της \\((ε)\\) είναι \\(λ_ε=-1\\), έχουμε \\(λ_{ΑΠ}=1\\) γιατί η \\(ΑΠ\\) είναι κάθετη στην \\((ε)\\). Έτσι, η \\(ΑΠ\\) έχει εξίσωση \\(y-3=1\\cdot (x-2)\\), δηλαδή\n$$ΑΠ:y=x+1.$$\nΟι συντεταγμένες του σημείου \\(Π\\) προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x+1\\\\x+y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+1\\\\2x+2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=0\\\\x=-1\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως, \\(Π(-1,0)\\).ii. Το \\(Π\\) είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος \\(AA'\\), και ως εκ τούτου είναι\n\\begin{align}&\\begin{cases}\\dfrac{x+2}{2}=-1\\\\\n\\dfrac{y+3}{2}=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-4\\\\y=-3\\end{cases}\\end{align}\nδηλαδή \\(A'(-4,-3)\\).\nβ) i. Η \\((ε_2)\\) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α'(-4,-3)\\) και \\(Μ(1,1)\\), δηλαδή έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-1=\\dfrac{-3-1}{-4-1}(x-1)\\\\\n\\iff&4x-5y+1=0.\\end{align}\nii. Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Σ\\), δηλαδή του σημείου πρόσπτωσης της φωτεινής ακτίνας πάνω στην ευθεία \\((ε)\\), προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ε_2)\\):\n\\begin{align}&\\begin{cases}x+y+1=0\\\\4x-5y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}-4x-4y-4=0\\\\4x-5y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x+y+1=0\\\\-9y-3=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-\\dfrac{1}{3}+1=0\\\\y=-\\dfrac{1}{3}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-\\dfrac{2}{3}\\\\y=-\\dfrac{1}{3}\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\).\nγ) Η \\((ε_1)\\) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α(2,3)\\) και \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\), δηλαδή έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-3=\\dfrac{3+\\frac{1}{3}}{2+\\frac{2}{3}}(x-2)\\\\\n\\iff&5x-4y+2=0.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \\(Α(1,1), Β(4,4)\\) και \\(Γ(3,1)\\).\nα) Να δείξετε ότι τα σημεία αυτά ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Να δείξετε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος \\(ΒΓ\\) είναι η ευθεία \\(ε: y=-\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{11}{3}\\).\nγ) Να βρείτε σημείο \\(Κ\\) της ευθείας \\((ε)\\) του (β) ερωτήματος τέτοιο ώστε \\((ΚΑ)=(ΚΒ)\\). Τι ιδιότητα έχει το σημείο \\(Κ\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Θα δείξουμε ότι τα σημεία \\(Α,Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά. Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{4-1}{4-1}=1$$\nκαι\n$$λ_{ΒΓ}=\\frac{1-4}{3-4}=3.$$\nΑφού \\(λ_{ΑΒ}\\neq λ_{ΒΓ}\\), τα σημεία \\(Α,Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά.\nβ) Για το μέσον \\(Μ\\) της \\(ΒΓ\\) έχουμε\n$$x_Μ=\\frac{x_Β+x_Γ}{2}=\\frac{4+3}{2}=\\frac{7}{2}$$\nκαι\n$$y_M=\\frac{y_Β+y_Γ}{2}=\\frac{4+1}{2}=\\frac{5}{2}.$$\nΆρα \\(Μ\\left(\\dfrac{7}{2},\\dfrac{5}{2}\\right)\\). Ακόμα,\n\\begin{align}&λ_ε\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\\\\n\\iff&λ_ε\\cdot 3=-1\\\\\n\\iff&λ_ε=-\\frac{1}{3}.\\end{align}\nΈχουμε\n$$ε:y-\\frac{5}{2}=-\\frac{1}{3}(x-\\frac{7}{2})\\iff y=-\\frac{1}{3}x+\\frac{11}{3}.$$\nγ) Το σημείο \\(Κ(x,y)\\) ανήκει στην ευθεία \\((ε)\\) αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του απαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα \\(Κ\\left(x,-\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{11}{3}\\right)\\). Έχουμε\n\\begin{align}&(ΚΑ)=(ΚΒ)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2+\\left(1+\\frac{1}{3}x-\\frac{11}{3}\\right)^2}=\\sqrt{(x-4)^2+\\left(4+\\frac{1}{3}x-\\frac{11}{3}\\right)^2}\\\\\n\\iff&(x-1)^2+\\left(\\frac{1}{3}x-\\frac{8}{3}\\right)^2=(x-4)^2+\\left(\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{3}\\right)^2\\\\\n\\iff&(x-4)^2-(x-1)^2=\\left(\\frac{1}{3}x-\\frac{8}{3}\\right)^2-\\left(\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{3}\\right)^2\\\\\n\\iff&-3(2x-5)=-3\\left(\\frac{2}{3}x-\\frac{7}{3}\\right)\\\\\n\\iff&2x-5=\\frac{2}{3}x-\\frac{7}{3}\\\\\n\\iff&6x-15=2x-7\\\\\n\\iff&4x=8\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}\nΟπότε\n$$y=-\\frac{1}{3}\\cdot 2+\\frac{11}{3}=3,$$\nδηλαδή \\(Κ(2,3)\\).\nΤο \\(Κ(2,3)\\) ως σημείο της μεσοκαθέτου του \\(ΒΓ\\) ισαπέχει από τα άκρα του, \\(Β\\) και \\(Γ\\). Επιπλέον, \\((ΚΑ)=(ΚΒ)\\). Άρα τελικά \\((ΚΑ)=(ΚΒ)=(ΚΓ)\\), οπότε το σημείο \\(Κ\\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω κύκλος \\(C\\) με κέντρο \\(K(1,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\) και ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(3x+4y-1=0\\).\nα) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου \\(C.\\)\nβ) Να δείξετε ότι η απόσταση του κέντρου \\(K(1, 2)\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι ίση με \\(2.\\)\nγ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) εφάπτεται στον κύκλο \\(C.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(C:\\ (x-1)^2+(y-2)^2=4.\\)\nβ) Είναι \\(d(K,ε)=\\dfrac{|3\\cdot 1+4\\cdot 2-1|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=2\\)\nγ) Αφού \\(d(K,ε)=2=ρ\\) η ευθεία \\((ε)\\) εφάπτεται στον κύκλο \\(C.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C:\\ x^2+y^2-2x-4y+1=0\\) με κέντρο \\(K(1,2)\\) και η ευθεία \\((ε):\\ 3x+4y+1=0.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου \\(C\\) είναι \\(ρ=2\\). \nβ) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι \\(\\dfrac{12}{5}\\).\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί η ευθεία \\((ε)\\) και ο κύκλος \\(C\\) δεν έχουν κοινά σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{align} ρ & =\\dfrac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{(-2)^2+(-4)^2-4\\cdot 1}}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}$$\nβ) Είναι\n$$d(Κ,ε)=\\dfrac{|3\\cdot 1+4\\cdot 2+1|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=\\dfrac{12}{5}.$$\nγ) Αφού \\(d(Κ,ε)=\\dfrac{12}{5}>ρ\\) η ευθεία \\((ε)\\) και ο κύκλος \\(C\\) δεν έχουν κοινά σημεία." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,3), Β(-2,2)\\) και η ευθεία \\((ε): 3x+y+α=0\\), με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποια τιμή του \\(α\\), η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από το σημείο \\(Β\\) είναι ίση με την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε)\\).\nβ) Για α=4:i. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\), όπου \\(Γ\\) το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με τον άξονα \\(y'y\\).\nii. Να βρείτε το σημείο της ευθείας \\((ε)\\) που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων." }, { "from": "assistant", "value": "α) Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε\n\\begin{align}&(ΑΒ)=d(A,ε)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(-2-1)^2+(2-3)^2}=\\frac{|3\\cdot 1+1\\cdot 3+α|}{\\sqrt{3^2+1^2}}\\\\\n\\iff&\\sqrt{10}=\\frac{|6+α|}{\\sqrt{10}}\\\\\n\\iff&|α+6|=10\\\\\n\\iff&α+6=10\\text{ ή }α+6=-10\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-16.\\end{align}\nβ) Για \\(α=4\\) έχουμε \\(ε: 3x+y+4 =0\\).i. Η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Γ\\) και για \\(x=0\\) έχουμε \\(y=-4\\). Επομένως, οι συντεταγμένες του \\(Γ\\) είναι \\((0,-4)\\). Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(-3,-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(-1,-7)\\). Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου \\((ΑΒΓ)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\) υπολογίζουμε ότι\n\\begin{align}(ΑΒΓ)&=\\frac{1}{2}|\\begin{vmatrix}-3&-1\\\\-1&-7\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 20\\\\\n&=10\\text{ τετραγωνικές μονάδες.}\\end{align}\nii.\nΣχεδιάζουμε σε ένα σύστημα αξόνων την ευθεία \\((ε)\\) και το σημείο που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων, είναι το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με την ευθεία \\((δ)\\) που είναι κάθετη στην \\((ε)\\) και διέρχεται από το \\(Ο\\).\nΓια να υπολογίσουμε το ζητούμενο σημείο αρκεί να βρούμε την εξίσωση της ευθείας \\((δ)\\) και να λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων. Επειδή \\(λ_ε=-3\\) και \\(λ_ε\\cdot λ_δ=-1\\), έχουμε \\(λ_δ=\\dfrac{1}{3}\\). Η ευθεία \\((δ)\\) διέρχεται από το \\((0,0)\\), άρα \\(δ:y=\\dfrac{1}{3}x\\). Από τη λύση του συστήματος\n\\begin{cases}3x+y+4 =0\\\\y=\\frac{1}{3}x\\end{cases}\nβρίσκουμε το κοινό σημείο \\(\\left(-\\dfrac{6}{5},-\\dfrac{2}{5}\\right)\\), που είναι το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\), με μοναδιαία διανύσματα των αξόνων \\(x'x\\), \\(y'y\\) τα \\(\\vec{i}\\), \\(\\vec{j}\\), αντίστοιχα, τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν διανύσματα θέσεως \\(\\overrightarrow{OA}=3\\vec{i}+2\\vec{j}\\) και \\(\\overrightarrow{OB}=6\\vec{i}-\\vec{j}.\\) Έστω \\(Μ\\) ένα σημείο τέτοιο ώστε \\(\\overrightarrow{OM}=\\frac{1}{5}(2\\overrightarrow{OA}-\\overrightarrow{OB}).\\)\nα) Να δείξετε ότι:i. \\(\\overrightarrow{AB}=3\\vec{i}-3\\vec{j}.\\)\nii. \\(\\overrightarrow{OM}=\\vec{j}.\\)\nβ) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{OM}.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:i.\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=\\overrightarrow{OB}-\\overrightarrow{OA}\\\\\n&=6\\vec{i}-\\vec{j}-(3\\vec{i}+2\\vec{j})\\\\\n&=6\\vec{i}-\\vec{j}-3\\vec{i}-2\\vec{j}\\\\\n&=3\\vec{i}-3\\vec{j}.\\end{align}\nii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{OM}&=\\frac{1}{5}(2\\overrightarrow{OA}-\\overrightarrow{OB})\\\\\n&=\\frac{1}{5}(2(3\\vec{i}+2\\vec{j})-(6\\vec{i}-\\vec{j}))\\\\\n&=\\frac{1}{5}(6\\vec{i}+4\\vec{j}-6\\vec{i}+\\vec{j})\\\\\n&=\\frac{1}{5}5\\vec{j}\\\\\n&=\\vec{j}.\\end{align}\nβ) Για τα μοναδιαία διανύσματα \\(\\vec{i}\\) και \\(\\vec{j}\\) ισχύουν \\(\\vec{i}\\cdot\\vec{j}=0\\) και \\(\\vec{j}^2=1\\). Επομένως,\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{OM}&=(3\\vec{i}-3\\vec{j})\\cdot\\vec{j}\\\\\n&=3\\vec{i}\\cdot\\vec{j}-3\\vec{j}^2\\\\\n&=3\\cdot 0-3\\cdot 1\\\\\n&=-3.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(-1,3)\\), \\(\\vec{β}=(-2,-\\dfrac{1}{2})\\) και \\(\\vec{v}=(x^2,x-1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{u}=\\vec{α}-2\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(3,4)\\) και \\(\\vec{v}\\) είναι κάθετα.\nγ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους τα διανύσματα \\(\\vec{v}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι συγγραμμικά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{u}&=\\vec{α}-2\\vec{β}\\\\\n&=(-1,3)-2(-2,-\\frac{1}{2})\\\\\n&=(-1,3)+(4,1)\\\\\n&=(-1+4,3+1)\\\\\n&=(3,4).\\end{align}\nβ) Για να είναι κάθετα τα διανύσματα θα πρέπει το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή\n\\begin{align}&\\vec{u}\\cdot\\vec{v}=0\\\\\n\\iff&(3,4)\\cdot(x^2,x-1)=0\\\\\n\\iff&3x^2+4(x-1)=0\\\\\n\\iff&3x^2+4x-4=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα είναι \\(64\\) και οι ρίζες \\(x=\\dfrac{2}{3}\\) και \\(x=-2\\).\nγ) Για να είναι τα διανύσματα \\(\\vec{v}\\) και \\(\\vec{β}\\) συγγραμμικά πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών τους να είναι μηδέν. Είναι\n\\begin{align}&\\begin{vmatrix}x^2&x-1\\\\-2&-\\frac{1}{2}\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&-\\frac{1}{2}x^2-(-2)(x-1)=0\\\\\n\\iff&-\\frac{1}{2}x^2+2x-2\\\\\n\\iff&x^2-4x+4=0\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση:\n$$\\frac{x^2}{9}+\\frac{y^2}{4}=1\\quad(1)$$\nα) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας, τις συντεταγμένες:i. των σημείων που η έλλειψη τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\),ii. των εστιών \\(Ε\\) και \\(Ε'\\) της έλλειψης.\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,4)\\) και εφάπτονται στη καμπύλη που περιγράφει η εξίσωση \\((1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}+\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\), όπου \\(α^2= 9\\) και \\(β^2=4\\).i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \\(x'x\\) θέτουμε στην εξίσωση \\((1)\\) \\(y=0\\). Έτσι έχουμε\n$$\\frac{x^2}{9}=1$$\n$$\\iff x^2=9$$\n$$\\iff x=\\pm3.$$\nΤα σημεία τομής με τον άξονα \\(x'x\\) είναι, λοιπόν, τα σημεία \\(Κ(3,0)\\) και \\(Κ'(-3,0)\\). Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \\(y'y\\) θέτουμε στην εξίσωση \\((1)\\) \\(x=0\\). Έτσι έχουμε\n$$\\frac{y^2}{4}=1$$\n$$\\iff y^2=4$$\n$$\\iff y=\\pm2.$$\nΕπομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα \\(y'y\\) είναι τα σημεία \\(B(0,2)\\) και \\(Β'(0,-2)\\).ii. Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα \\(x'x\\). Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες \\(Ε(γ,0)\\) και \\(Ε'(-γ,0)\\), όπου \\(γ=\\sqrt{α^2-β^2}=\\sqrt{5}\\). Άρα οι εστίες της, \\(Ε\\) και \\(Ε'\\), έχουν συντεταγμένες \\(Ε(\\sqrt{5},0)\\) και \\(Ε'(-\\sqrt{5},0).\\)\nβ)\nΤο σημείο \\(Α(0,4)\\) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα \\(y'y\\) και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στα σημεία \\(Β(0,2)\\) και \\(Β'(0,-2)\\). Θεωρούμε \\(Μ(x_1, y_1)\\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης \\((ε)\\) στο σημείο \\(Μ\\) θα είναι της μορφής\n$$\\frac{xx_1}{9}+\\frac{yy_1}{4}=1\\iff 4xx_1+9yy_1=36.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,4)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\). Ισχύει δηλαδή\n$$4\\cdot0 x_1 +9\\cdot 4y_1 = 36\\iff y_1 = 1.$$\nΕπιπλέον, το σημείο \\(Μ(x_1, y_1)\\) είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση \\((1)\\). Άρα ισχύει\n\\begin{align}&\\frac{x_1^2}{9}+\\frac{y_1^2}{4}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x_1^2}{9}+\\frac{1^2}{4}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x_1^2}{9}=\\frac{3}{4}\\\\\n\\iff&x_1=\\pm\\frac{3\\sqrt{3}}{2}.\\end{align}\nΓια \\(x_1=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(y_1=1\\), έχουμε την εφαπτόμενη \\((ε_1)\\) με εξίσωση\n$$4\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x+9y=36\\iff 2\\sqrt{3}+3y=12.$$\nΓια \\(x_1=-\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(y_1=1\\), έχουμε την εφαπτόμενη \\((ε_2)\\) με εξίσωση\n$$4\\left(-\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)x+9y=36\\iff -2\\sqrt{3}x+3y=12.$$\nΆρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,4)\\) είναι οι:\n$$2\\sqrt{3}+3y=12$$\n$$\\text{και } -2\\sqrt{3}x+3y=12$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,3)\\), \\(Β(3,4)\\) και \\(Γ(1,0)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γωνία \\(B\\hat{A}Γ\\) είναι ορθή.\nβ) Να βρείτε το μέσο \\(Κ\\) της υποτείνουσας \\(ΒΓ\\) του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(3-0,4-3)\\\\\n&=(3,1)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(1-0,0-3)\\\\\n&=(1,-3).\\end{align}\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=3\\cdot 1+1\\cdot(-3)=3-3=0,$$\nάρα \\(\\overrightarrow{AB}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\) ή \\(Β\\hat{A}Γ=90^ο\\).\nβ) Το σημείο \\(Κ\\) που είναι το μέσο του τμήματος \\(ΒΓ\\) θα έχει συντεταγμένες\n$$\\left(\\frac{x_B+x_Γ}{2},\\frac{y_B+y_Γ}{2}\\right)=\\left(\\frac{3+1}{2},\\frac{4+0}{2}\\right)=(2,2).$$\nγ) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι η γωνία \\(Β\\hat{A}Γ\\) είναι ορθή και τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) είναι σημεία του ζητούμενου κύκλου, άρα η γωνία \\(Β\\hat{A}Γ\\) είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο, συνεπώς η υποτείνουσα \\(ΒΓ\\) του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) θα είναι διάμετρος του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}(ΒΓ)&=\\sqrt{(x_Γ-x_B)^2+(y_Γ-y_B)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-3)^2+(0-4)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4+16}\\\\\n&=\\sqrt{20}\\\\\n&=2\\sqrt{5}.\\end{align}\nΌμως \\(ΒΓ=2R\\), άρα \\(2R=2\\sqrt{5}\\) ή \\(R=\\sqrt{5}\\). Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) θα έχει ακτίνα \\(R\\) και κέντρο το σημείο \\(Κ\\) του ερωτήματος (β), επομένως η εξίσωσή του θα είναι\n$$(x-2)^2+(y-2)^2=5.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση:\n$$\\frac{x^2}{4}-y^2=1\\quad(1)$$\nα) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας,:i. τις συντεταγμένες των εστιών της,ii. την εκκεντρότητά της,iii. και τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής.\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) που εφάπτεται στην υπερβολή στο σημείο της \\(Α\\left(\\sqrt{5},\\dfrac{1}{2}\\right).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η υπερβολή με εξίσωση \\(\\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\\) έχει \\(α^2=4\\) και \\(β^2=1\\). Οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα \\(x'x\\) και έχουν συντεταγμένες \\(Ε(γ, 0)\\) και \\(Ε'(-γ, 0)\\), όπου \\(γ=\\sqrt{α^2+β^2}=\\sqrt{5}\\).i. Οι εστίες της υπερβολής έχουν συντεταγμένες \\(Ε(\\sqrt{5},0)\\) και \\(Ε'(-\\sqrt{5},0)\\).ii. Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι \\(ε=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}\\).iii. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι \\(y=\\dfrac{β}{α}x=\\dfrac{1}{2}x\\) και \\(y=-\\dfrac{β}{α}x=-\\dfrac{1}{2}x\\).\nβ) Η εξίσωση της εφαπτόμενης της υπερβολής στο σημείο της με συντεταγμένες \\((x_1, y_1)\\) θα έχει τη μορφή\n$$\\frac{xx_1}{4}-yy_1=1\\iff xx_1-4yy_1=4.$$\nΟπότε για \\(x_1=\\sqrt{5}\\) και \\(y_1=\\dfrac{1}{2}\\) θα έχουμε την \\((ε)\\) με εξίσωση\n$$\\sqrt{5}x-4\\frac{1}{2}y=4\\iff \\sqrt{5}x-2y=4.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-1,5),\\ Β(3,3)\\). Να υπολογίσετε:\nα) Τις συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ.\\)\nγ) Την εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$Μ\\left( \\dfrac{x_Α+x_Β}{2},\\dfrac{y_Α+y_Β}{2}\\right)=(1,4)$$\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι: \\(λ_{ΑΒ}=\\dfrac{y_B−y_A}{x_B−x_A}=\\dfrac{3−5}{3−(−1)}=\\dfrac{−2}{4}=−\\dfrac{1}{2}\\)\nγ) Για τη μεσοκάθετο \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) ισχύει:\n$$η\\perp ΑΒ$$\n$$λ_η\\cdot λ_{ΑΒ}=−1$$\nΕπομένως, \\(λ_η=2\\). Η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$y−y_Μ=λ_η (x−x_M)$$\n$$\\Rightarrow y−4=2(x−1)$$\n$$\\Rightarrow y=2x+2$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(y^2=4x\\), το σημείο της \\(Μ\\left(\\dfrac{1}{4},1\\right)\\) και η ευθεία \\(ε\\) του επιπέδου με εξίσωση \\(ε:\\dfrac{x}{3}-\\dfrac{y}{4}+1=0\\).\nα) i. Να δείξετε ότι η ευθεία \\(ε\\) δεν έχει κοινά σημεία με την παραβολή και να βρείτε την απόστασή του σημείου \\(Μ\\) από την \\(ε\\).\nii. Αν η ευθεία \\(ε\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) στα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) αντίστοιχα, να δείξετε ότι \\((ΜΓΔ)=5\\) τ.μ.\nβ) i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ζ\\) που εφάπτεται της παραβολής και είναι παράλληλη στην ευθεία \\(ε\\).\nii. Ποια είναι η απόσταση των ευθειών \\(ζ\\) και \\(ε\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής \\(y^2=4x\\) και της ευθείας \\(\\dfrac{x}{3}-\\dfrac{y}{4}+1=0\\) είναι αδύνατο. Είναι:\n\\begin{align}&\\begin{cases}\\frac{x}{3}-\\frac{y}{4}+1=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}4x-3y+12=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y^2-3y+12=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\end{align}\nΗ δευτέρου βαθμού εξίσωση \\(y^2-3y+12=0\\) δεν έχει πραγματικές ρίζες, αφού \\(Δ=9-48< 0\\), και άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο. Η εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) ισοδύναμα γράφεται \\(4x-3y+12=0\\), άρα\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{|4\\cdot\\frac{1}{4}-3\\cdot 1+12|}{\\sqrt{4^2+3^2}}\\\\\n&=\\frac{10}{5}\\\\\n&=2.\\end{align}\nii. Τα σημεία τομής της ευθείας \\(ε\\) με τους άξονες τα βρίσκουμε θέτοντας \\(y=0\\) και \\(x=0\\) στην εξίσωσή της.\nΓια \\(y=0\\) έχουμε \\(\\dfrac{x}{3}=-1\\) ή \\(x=-3\\), άρα \\(Γ(-3,0)\\).\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(\\dfrac{y}{4}=1\\) ή \\(y=4\\), άρα \\(Δ(0,4)\\).\nΓια το εμβαδό του τριγώνου \\(ΜΓΔ\\) θα βρούμε το μήκος του τμήματος \\(ΓΔ\\) γιατί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτό είναι η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ε\\). Έχουμε\n\\begin{align}(ΓΔ)&=\\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}\\\\\n&=\\sqrt{9+16}\\\\\n&=\\sqrt{25}\\\\\n&=5.\\end{align}\nΆρα\n\\begin{align}(MΓΔ)&=\\frac{1}{2}(ΓΔ)\\cdot d(M,ε)\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\\\\n&=5\\ \\text{τ.μ.}\\end{align}\nβ) i. Η εφαπτομένη \\(ζ\\) της παραβολής σε τυχαίο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) με \\(y_1\\neq 0\\) έχει εξίσωση\n$$yy_1=2(x+x_1)\\iff y=\\frac{2}{y_1}x+\\frac{2x_1}{y_1}$$\nμε συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_ζ=\\dfrac{2}{y_1}\\). Η ευθεία \\(ε\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_ε=\\frac{4-0}{0-(-3)}=\\frac{4}{3}.$$\nΓια να είναι η ευθεία \\(ε\\) παράλληλη της εφαπτομένης \\(ζ\\) πρέπει και αρκεί\n\\begin{align}&λ_ζ=λ_ε\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}=\\frac{2}{y_1}\\\\\n\\iff&y_1=\\frac{3}{2}.\\end{align}\nΤο σημείο \\((x_1,y_1)\\) επαληθεύει την εξίσωση της παραβολής, επομένως\n\\begin{align}&y_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1=\\frac{9}{16}.\\end{align}\nΓια \\(x_1=\\dfrac{9}{16}\\), \\(y_1=\\dfrac{3}{2}\\) η εφαπτομένη \\(ζ\\) που είναι παράλληλη της ευθείας \\(ε\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y=\\frac{2}{y_1}x+\\frac{2x_1}{y_1}\\\\\n\\iff&y=\\frac{2}{\\frac{3}{2}}x+\\frac{2\\cdot\\frac{9}{16}}{\\frac{3}{2}}\\\\\n\\iff&16x-12y+9=0.\\end{align}\nii. Για να βρούμε την απόσταση των ευθειών \\(ζ\\) και \\(ε\\), αρκεί να βρούμε ένα σημείο, έστω \\(Κ\\), της \\(ζ\\) και να υπολογίσουμε την απόσταση του σημείου αυτού από την ευθεία \\(ε\\). Θέτοντας \\(x=0\\) στην εξίσωση της ευθείας \\(ζ\\) έχουμε \\(y=\\dfrac{9}{12}=\\dfrac{3}{4}\\). Άρα το σημείο \\(Κ\\) της ευθείας \\(ζ\\) είναι το \\(Κ\\left(0,\\dfrac{3}{4}\\right)\\). Η εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) είναι \\(4x-3y+12=0\\), επομένως\n\\begin{align}d(ζ,ε)&=d(K,ε)\\\\\n&=\\frac{|4\\cdot 0-3\\cdot\\frac{3}{4}+12|}{\\sqrt{4^2+(-3)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-\\frac{9}{4}+\\frac{48}{4}|}{\\sqrt{25}}\\\\\n&=\\frac{\\frac{39}{4}}{5}\\\\\n&=\\frac{39}{20}.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=λ(x-2)+λ-2\\), \\(λ\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)\\).\nα) Να βρείτε τις ευθείες που προκύπτουν όταν \\(λ=1\\) και όταν \\(λ=2\\). Κατόπιν να βρείτε το κοινό σημείο \\(Μ\\) των δυο ευθειών.\nΈστω \\(Μ(1,-2)\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την \\((1)\\) για τις διάφορες τιμές του \\(λ\\), διέρχονται από το \\(Μ\\).\nγ) Να βρείτε:\nτα σημεία τομής \\(Α\\), \\(Β\\) της ευθείας \\((1)\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγια ποιες τιμές του \\(λ\\) το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι ίσο με \\(\\dfrac{1}{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(λ=1\\) έχουμε:\n$$y=x-2+1-2 $$\n$$\\Rightarrow y=x-3$$\nενώ με \\(λ=2\\) έχουμε:\n$$y=2x-4$$\nΟι συντεταγμένες του \\(Μ\\) προκύπτουν από τη λύση του αντίστοιχου συστήματος. Είναι:\n$$\\begin{cases} y=x-3 \\\\ y=2x-4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=x-3 \\\\ x-3=2x-4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ y=x-3 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ y=-2 \\end{cases}$$\nΕπομένως το κοινό σημείο των δυο ευθειών είναι το \\(Μ(1,-2)\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες του \\(Μ\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Με \\(x=1\\) η εξίσωση γράφεται:\n$$y=λ(1-2)+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-λ+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-2$$\nοπότε πραγματικά κάθε ευθεία που προκύπτει από την δοσμένη εξίσωση διέρχεται από το \\(Μ\\).\nγ)\nΜε \\(y=0\\) στην δοσμένη εξίσωση παίρνουμε:\n$$λ(x-2)+λ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λx-λ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λx=λ+2 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{λ+2}{λ}$$\nΠροφανώς \\(λ\\ne 0\\), αφού με \\(λ=0\\) η εξίσωση είναι αδύνατη.\nΜε \\(x=0\\) στη δοσμένη εξίσωση παίρνουμε:\n$$y=-2λ+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-λ-2$$\nΕπομένως η ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(A(0,-λ-2)\\) και τον \\(x'x\\) στο σημείο \\(B\\left(\\dfrac{λ+2}{λ},0\\right)\\).\nΙσχύει:\n$$(ΟΑ)=|-λ-2|=|λ+2|$$\n$$(ΟΒ)=\\left|\\dfrac{λ+2}{λ}\\right|=\\dfrac{|λ+2|}{|λ|}$$\nκαι το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι:\n$$(ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2}(ΟΑ)(ΟΒ)$$\n$$=\\dfrac{1}{2}\\dfrac{|λ+2|^{2}}{|λ|}$$\nΈτσι, έχουμε:\n$$(ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}\\dfrac{|λ+2|^{2}}{|λ|}=\\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (λ+2)^{2}=|λ|$$\nΑν \\(λ>0\\), τότε έχουμε:\n$$λ^{2}+4λ+4=λ $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}+3λ+4=0$$\nπου δεν έχει πραγματικές ρίζες.\nΑν \\(λ<0\\), τότε έχουμε:\n$$λ^{2}+4λ+4=-λ $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}+5λ+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ λ=-4$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται o κύκλος \\(𝐶:\\ (𝑥−1)^2+(𝑦−2)^2=4\\) και η ευθεία \\((𝜀):\\ 3𝑥−4𝑦=8.\\)\nα) Να βρείτε το κέντρο \\(𝛫\\) του κύκλου \\(𝐶\\) και την ακτίνα του.\nβ) Αν \\(𝛫(1,2)\\), να δείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του κύκλου \\(𝐶\\) από την ευθεία \\((𝜀)\\) είναι \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{13}{5}.\\)\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο κύκλος \\(𝐶\\) έχει κέντρο \\(𝛫(1,2)\\) και ακτίνα \\(𝜌=2.\\)\nβ) Έχουμε: \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{|3−8−8|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=\\dfrac{13}{\\sqrt{25}}=\\dfrac{13}{5}.\\)\nγ) Αφού \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{13}{5}>2\\), η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα. Άρα ευθεία και κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,-1)\\) και \\(\\vec{β}=(-3,2)\\).\nα) Να υπολογίσετε το γινόμενο \\(\\vec{α}\\cdot(2\\vec{α}-\\vec{β})\\).\nβ) Να βρείτε το διάνυσμα \\(\\vec{γ}=(x,y)\\) όταν \\(\\vec{γ}\\perp\\vec{α}\\) και \\(|\\vec{γ}|=\\sqrt{5}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}2\\vec{α}-\\vec{β}&=2\\cdot(2,-1)-(-3,2)\\\\\n&=(4,-2)+(3,-2)\\\\\n&=(7,-4),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot(2\\vec{α}-\\vec{β})&=(2,-1)\\cdot(7,-4)\\\\\n&=14+4\\\\\n&=18.\\end{align}\nβ) Έχουμε \\(\\vec{γ}=(x,y)\\) και\n\\begin{align}&\\vec{γ}\\perp\\vec{α}\\\\\n\\iff&\\vec{γ}\\cdot\\vec{α}=0\\\\\n\\iff&(x,y)\\cdot(2,-1)=0\\\\\n\\iff&2x-y=0\\\\\n\\iff&y=2x.\\quad(1)\\end{align}\nΛόγω της \\((1)\\), είναι \\(\\vec{γ}=(x,2x)\\). Έτσι,\n\\begin{align}&|\\vec{γ}|=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&\\sqrt{x^2+4x^2}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&\\sqrt{5x^2}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&5x^2=5\\\\\n\\iff&x^2=1\\\\\n\\iff&x=\\pm 1.\\end{align}\nΓια \\(x=-1\\) είναι \\(\\vec{γ}=(-1,-2)\\), ενώ για \\(x=1\\) έχουμε \\(\\vec{γ}=(1,2)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\), \\(\\vec{β}\\) και \\(\\vec{γ}\\), για τα οποία ισχύουν \\(|\\vec{α}|=4\\), \\(|\\vec{β}|=5\\), \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{2π}{3}\\) και \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+3\\vec{β}\\). Να υπολογίσετε:\nα) Το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) το μέτρο του διανύσματος \\(\\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=4\\cdot 5\\cdot συν\\frac{2π}{3}\\\\\n&=20\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=-10.\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}&\\vec{γ}=2\\vec{α}+3\\vec{β}\\\\\n\\implies&\\vec{γ}^2=(2\\vec{α}+3\\vec{β})^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4\\vec{α}^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+9\\vec{β}^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4|\\vec{α}|^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+9|\\vec{β}|^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4\\cdot 4^2+12\\cdot(-10)+9\\cdot 5^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=64-120+225\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=169\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|=13.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(3,3)\\) και \\(\\vec{β}=(-\\sqrt{3},1)\\).\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) καθώς και τη γωνία που σχηματίζει το καθένα από αυτά με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να βρείτε τη γωνία \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(λ_\\vec{α}=\\dfrac{3}{3}=1\\) και \\(λ_\\vec{β}=\\dfrac{1}{-\\sqrt{3}}=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\). Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) και \\(φ\\) η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\), τότε \\(εφω=λ_\\vec{α}=1\\) και \\(εφφ=λ_\\vec{β}=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) βρίσκεται στο \\(1^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(ω=45^ο\\) και το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) βρίσκεται στο \\(2^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(φ=150^ο\\).\nβ) Η γωνία \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\) ισούται με τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) αν αφαιρέσουμε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με τον \\(x'x\\).\nΔηλαδή \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=150^o-45^o=105^o\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\((C)\\) που έχει εξίσωση:\n$$y^2=4x\\quad (1).$$\nα) Να σχεδιάσετε πρόχειρα την παραπάνω παραβολή και να γράψετε τις συντεταγμένες της εστίας της \\(Ε\\) και την εξίσωση της διευθετούσας \\((δ)\\).\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,2)\\) και εφάπτονται στην παραβολή που περιγράφει η εξίσωση \\((1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Η εξίσωση \\((1)\\) της παραβολής είναι της μορφής \\(y2=2px\\), όπου \\(2p=4\\), άρα \\(p=2\\). Η εξίσωση αυτής της μορφής παριστάνει τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται σε παραβολή με εστία στον άξονα \\(x'x\\).\nα)\nΤα σημεία του επιπέδου που επαληθεύουν την εξίσωση \\((1)\\) βρίσκονται σε μια παραβολή. Η εστία \\(Ε\\) της παραβολής \\((C)\\) έχει συντεταγμένες \\(Ε\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)\\) και η διευθετούσα της, \\((δ)\\), έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}\\). Επειδή \\(p=2\\), η εστία έχει συντεταγμένες \\(Ε(1,0)\\) και η διευθετούσα \\((δ)\\) έχει εξίσωση \\(δ:x=-1\\).\nβ)\nΤο σημείο \\(Α(0,2)\\) είναι εξωτερικό σημείο της παραβολής, αφού είναι σημείο στον άξονα \\(y'y\\) και η παραβολή που μας δόθηκε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \\(x'x\\) και μοναδικό κοινό σημείο με τον άξονα \\(y'y\\) την κορυφή της \\(Ο(0,0).\\) Θεωρούμε \\(Μ(x_1,y_1)\\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο \\(Μ\\) θα είναι της μορφής \\(yy_1=p(x+x_1)\\), και επειδή \\(p=2\\), η εφαπτόμενη θα είναι \\(ε:yy_1=2(x+x_1)\\). Η ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της. Ισχύει δηλαδή\n$$2y_1=2(0+x_1)\\iff y_1=x_1.$$\nΕπιπλέον, το σημείο \\(Μ(x_1, y_1)\\) είναι σημείο της παραβολής, οπότε ικανοποιεί την εξίσωση \\((1)\\). Άρα\n\\begin{align}&y_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1(x_1-4)=0\\\\\n\\iff&x_1=0\\text{ ή }x_1=4.\\end{align}\nΓια \\(x_1=0\\) έχουμε \\(y_1=0\\), οπότε η εφαπτόμενη έχει εξίσωση\n$$0=2(x+0)\\iff x = 0,$$\nδηλαδή είναι ο άξονας \\(y'y.\\) Για \\(x_1=4\\) έχουμε \\(y_1=4\\), οπότε η εφαπτόμενη έχει εξίσωση\n\\begin{align}&4y=2(x + 4)\\\\\n\\iff&2y=x+4\\\\\n\\iff&x-2y+4=0.\\end{align}\nΆρα οι δύο εφαπτόμενες της παραβολής που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,2)\\) είναι οι \\(x=0\\) (άξονας \\(y'y\\)) και η ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x-2y+4=0.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο \\(Ο\\) θεωρούμε κύκλο \\((C)\\) και ευθεία \\((ε)\\) με εξισώσεις\n$$x^2+y^2-9x-3y+10=0\\quad (1)$$\nκαι\n$$4x+3y-10=0\\quad (2)$$\nαντίστοιχα.\nα) i. Να βρείτε το κέντρο \\(Κ\\) και την ακτίνα \\(R\\) του κύκλου \\((C)\\).\nii. Να υπολογίσετε την απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) και να αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\) σε δύο σημεία.\niii. Να προσδιορίσετε τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) στα οποία η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\).\nβ) Αν είναι \\(Α(1,2)\\) και \\(Β(4,-2)\\), τότε: i. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}\\).\nii. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Ο\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0,$$\nμε \\(Α=-9\\), \\(Β=-3\\), \\(Γ=10\\) και\n$$Α^2+Β^2-4Γ=81+9-40=50>0.$$\nΕπομένως, το κέντρο του κύκλου είναι\n$$Κ\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)=\\left(\\frac{9}{2},\\frac{3}{2}\\right)$$\nκαι η ακτίνα του\n$$R=\\frac{\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}}{2}=\\frac{\\sqrt{50}}{2}=\\frac{5\\sqrt{2}}{2}.$$\nΕναλλακτική λύση (με συμπλήρωση τετραγώνου)\nΗ εξίσωση \\((1)\\) γράφεται ισοδύναμα\n\\begin{align}&x^2+y^2-9x-3y+10=0\\\\\n\\iff&x^2-2\\cdot\\frac{9}{2}x+\\left(\\frac{9}{2}\\right)^2+y^2-2\\cdot\\frac{3}{2}y+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2-10\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{81}{4}+\\frac{9}{4}-\\frac{40}{4}\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{50}{4}\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\right)^2.\\end{align}\nii. Η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι\n\\begin{align}d(K,ε)&=\\frac{|4\\cdot\\frac{9}{2}+3\\cdot\\frac{3}{2}-10|}{\\sqrt{4^2+3^2}}\\\\\n&=\\frac{|\\frac{25}{2}|}{5}\\\\\n&=\\frac{5}{2} < \\frac{5\\sqrt{2}}{2}=R.\\end{align}\nΆρα, η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\) σε δύο σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).iii. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων \\((1)\\) και \\((2)\\). Η εξίσωση \\((2)\\) γίνεται\n$$3y=10-4x\\iff y=\\frac{10-4x}{3}.$$\nΑντικαθιστούμε στην εξίσωση \\((1)\\), οπότε έχουμε διαδοχικά:\n\\begin{align}&x^2+\\left(\\frac{10-4x}{3}\\right)^2-9x-3\\left(\\frac{10-4x}{3}\\right)+10=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-9x-(10-4x)+10=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-9x+4x=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-5x=0\\\\\n\\iff&9x^2+(100-80x+16x^2)-45x=0\\\\\n\\iff&25x^2-125x+100=0\\\\\n\\iff&x^2-5x+4=0\\quad(3)\\end{align}\nΟι λύσεις της εξίσωσης \\((3)\\) είναι \\(x=1\\), \\(x=4\\).\nΓια \\(x=1\\) είναι \\(y=2\\), ενώ για \\(x=4\\) είναι \\(y=-2\\).\nΆρα, τα σημεία τομής της ευθείας \\((ε)\\) και του κύκλου \\((C)\\) είναι \\(Α(1,2)\\) και \\(Β(4,-2)\\).\nβ) i. Είναι\n$$\\overrightarrow{OA}=(x_A-x_O,y_A-y_O)=(1,2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{OB}=(x_B-x_O,y_B-y_O)=(4,-2).$$\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=1\\cdot 4+2\\cdot(-2)=0.$$\nii.\nΑφού είναι \\(\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=0\\), η γωνία \\(A\\hat{O}B\\) θα είναι ορθή. Επομένως, ο κύκλος με διάμετρο \\(ΑΒ\\) είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΟΑΒ\\). Συνεπώς, διέρχεται από το σημείο \\(Ο\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\), \\(\\vec{β}\\) με \\(|\\vec{α}|=2\\), \\(|\\vec{β}|=4\\), \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\), και τα διανύσματα \\(\\vec{γ}=\\vec{α}-\\vec{β}\\) και \\(\\vec{δ}=2\\vec{α}+\\vec{β}\\).\nα) Να βρείτε το \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε το \\(\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}\\).\nγ) Να βρείτε τα \\(|\\vec{γ}|\\), \\(|\\vec{δ}|\\).\nδ) Να βρείτε τη γωνία \\((\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=2\\cdot 4\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=4.\\end{align}\nβ) Είναι\n\\begin{align}\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}&=(\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot(2\\vec{α}+\\vec{β})\\\\\n&=2\\vec{α}^2+\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-2\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-\\vec{β}^2\\\\\n&=2|\\vec{α}|^2-\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-|\\vec{β}|^2\\\\\n&=2\\cdot 2^2-4-4^2\\\\\n&=-12.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}|\\vec{γ}|^2&=\\vec{γ}^2\\\\\n&=(\\vec{α}-\\vec{β})^2\\\\\n&=\\vec{α}^2-2\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+\\vec{β}^2\\\\\n&=12,\\end{align}\nοπότε\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}.$$\nΕπίσης\n\\begin{align}|\\vec{δ}|^2&=\\vec{δ}^2\\\\\n&=(2\\vec{α}+\\vec{β})^2\\\\\n&=4\\vec{α}^2+4\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+\\vec{β}^2\\\\\n&=48,\\end{align}\nοπότε\n$$|\\vec{δ}|=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}.$$\nδ) Είναι\n\\begin{align}συν(\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})&=\\frac{\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}}{|\\vec{γ}|\\cdot|\\vec{δ}|}\\\\\n&=\\frac{-12}{2\\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{1}{2},\\end{align}\nοπότε \\((\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})=\\dfrac{2π}{3}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C: x^2+y^2=1\\).\nα) Αν \\(Α\\) και \\(Α'\\) είναι τα σημεία τομής του κύκλου \\(C\\) με τους ημιάξονες \\(Ox\\) και \\(Οx'\\), αντίστοιχα, τότε:i. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Α'\\) είναι \\(Α(1,0)\\) και \\(Α'(-1,0)\\).\nii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) που διέρχεται από το \\(Α\\) και σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(150^ο\\).\nβ) Αν η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\(C\\) και στο σημείο \\(Β\\), να αποδείξετε ότι η χορδή \\(ΑΒ\\) έχει μήκος \\(\\sqrt{3}\\).\nγ) Αν η ευθεία \\((ε)\\) έχει εξίσωση \\(y=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}(x-1)\\), να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ζ)\\) που διέρχεται από τα σημεία \\(Α'\\) και \\(Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Τα σημεία τομής του κύκλου \\(C\\) με τους ημιάξονες \\(Ox\\) και \\(Ox'\\) έχουν τεταγμένη μηδέν. Επομένως, για \\(y=0\\) έχουμε\n$$x^2=1\\iff x=\\pm1.$$\nΆρα \\(Α'(-1,0)\\) και \\(Α(1,0)\\).ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\((ε)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,0)\\) είναι\n$$λ_ε=εφ150^ο=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}.$$\nΟπότε η εξίσωση της \\((ε)\\) είναι\n$$y-0=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-1)\\iff y=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-1).$$\nβ) Αν \\(ΟΚ\\) το απόστημα της χορδής \\(ΑΒ\\), τότε\n\\begin{align}OK&=d(O,ε)\\\\\n&=\\dfrac{|-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\cdot 0-0+\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|}{\\sqrt{\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|}{\\sqrt{\\dfrac{12}{9}}}\\\\\n&=\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}}{2\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{2}.\\end{align}\nΑν \\(ΑΚ=μ=\\dfrac{AB}{2}\\), με Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΟΑΚ\\) έχουμε\n\\begin{align}&OK^2+μ^2=ΟΑ^2\\\\\n\\iff&μ^2=1-\\frac{1}{4}\\\\\n\\iff&μ^2=\\frac{3}{4}\\\\\n\\iff&μ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}.\\end{align}\nΆρα\n$$ΑΒ=2μ=\\sqrt{3}.$$\nγ) Η γωνία \\(\\widehat{A'BA}\\) είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, άρα \\(Α'Β\\perp BA\\), δηλαδή \\(ζ\\perp ε\\). Οπότε\n$$λ_ζ=-\\frac{1}{λ_ε}=\\frac{3}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{3}$$\nκαι η εξίσωση της \\((ζ)\\) είναι\n$$y-0=\\sqrt{3}(x+1)\\iff y=\\sqrt{3}(x+1).$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-3,2),\\ Β(1,6)\\) και \\(Γ(-13,-7).\\)\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β\\) έχει εξίσωση \\(y=x+5.\\)\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ=\\frac{6-2}{1+3}=1$$\nβ) Η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ=1\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α\\), οπότε έχει εξίσωση \\(y-2=1\\cdot (x+3)\\) δηλαδή είναι η \\(y=x+5.\\)\nγ) Το σημείο \\(Γ\\) είναι πάνω στην ευθεία \\(ΑΒ\\) μόνο όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ.\\)\nΜε \\(x=-13\\) στον τύπο της ευθείας \\(ΑΒ\\) έχουμε:\n$$y=-13+5=-8\\neq -7=y_Γ$$\nΆρα το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην \\(ΑΒ.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(1,0)\\) και \\(Β(0,-1)\\), και ο κύκλος \\(c_1\\) με εξίσωση\n$$c_1:\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\frac{1}{2}\\right)^2=2.$$\nα) Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων \\(N(x,y)\\) του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν τη σχέση \\(\\overrightarrow{NA^2}-\\overrightarrow{NB^2}=4\\) ανήκουν στην ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(y=-x-2\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων \\(P\\) του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση\n$$2x^2+2y^2+10x+14y+21=0$$\nανήκουν σε κύκλο \\(c_2\\) κέντρου \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνας \\(R=2\\sqrt{2}\\).\nγ)\nΝα αποδείξετε ότι οι δύο κύκλοι, \\(c_1\\) και \\(c_2\\), εφάπτονται εξωτερικά και στη συνέχεια να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση των σημείων τους.\nΝα αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) είναι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων \\(c_1\\) και \\(c_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Θεωρούμε σημείο \\(N(x,y)\\) του επιπέδου. Είναι \\(\\overrightarrow{NA}=(1-x,-y)\\) και \\(\\overrightarrow{NB}=(-x,-1-y)\\), οπότε ισχύει\n\\begin{align}&\\overrightarrow{NA^2}-\\overrightarrow{NB^2}=4\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{NA}|^2-|\\overrightarrow{NB}|^2=4\\\\\n\\iff&(1-x)^2+y^2-x^2-(1+y)^2=4\\\\\n\\iff&x+y+2=0.\\end{align}\nΆρα τα ζητούμενα σημεία \\(N\\) ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση \\((ε):y=-x-2\\).\nβ) Έστω σημείο \\(P(x,y)\\) του επιπέδου. Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, ισχύει\n\\begin{align}&2x^2+2y^2+10x+14y+21=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2+5x+7y+\\frac{21}{2}=0\\\\\n\\iff&x^2+2x\\frac{5}{2}+\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2+y^2+2y\\frac{7}{2}+\\left(\\frac{7}{2}\\right)^2\\\\\n& =-\\frac{21}{2}+\\frac{25}{4}+\\frac{49}{4}\\\\\n\\iff& c_2: \\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^2+\\left(y+\\frac{7}{2}\\right)^2=8.\\end{align}\nΆρα τα σημεία \\(P\\) ανήκουν πράγματι σε κύκλο \\(c_2\\) με κέντρο \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\sqrt{2}\\).\n2ος τρόπος:\nΈχουμε\n\\begin{align}&2x^2+2y^2+10x+14y+21=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2+5x+7y+\\frac{21}{2}=0.\\end{align}\nΑλλά:\n$$5^2+7^2-4\\cdot\\frac{21}{2}=32 > 0$$\nεπομένως η εξίσωση παραστάνει πράγματι κύκλο, με κέντρο \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\sqrt{2}\\).\nγ)\nΟι κύκλοι \\(c_1\\) και \\(c_2\\) εφάπτονται εξωτερικά, διότι έχουν διάκεντρο\n\\begin{align}δ&=(ΚΛ)\\\\\n&=\\sqrt{\\left(\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{5}{2}\\right)^2+\\left(\\dfrac{-1}{2}+\\dfrac{7}{2}\\right)^2}\\\\\n&=3\\sqrt{2}\\end{align}\nκαι ισχύει \\(δ=ρ+R\\).\nΆρα η ελάχιστη απόσταση των σημείων των δύο κύκλων είναι μηδέν και η μέγιστη απόσταση είναι ίση με \\(ΣΤ=ΣΖ+ΖΤ=2ρ+2R=6\\sqrt{2}\\).\nΕίναι\n$$d(K,ε)=\\frac{|\\dfrac{1}{2}-\\dfrac{1}{2}+2|}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{2}=ρ$$\nκαι\n$$d(Λ,ε)=\\frac{|-\\dfrac{5}{2}-\\dfrac{7}{2}+2|}{\\sqrt{2}}=2\\sqrt{2}=R.$$\nΆρα η ευθεία \\((ε)\\) είναι η ζητούμενη κοινή εφαπτομένη." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων \\(Oxy\\), η εξίσωση ευθείας\n$$ε_λ:λx+(1-λ)y+2=0,$$\nόπου \\(λ\\) αριθμός που μεταβάλλεται στο \\(\\mathbb{R}\\), παριστάνει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος \\(Φ\\). Ακόμη δίνεται ότι ένα φορτηγό πλοίο είναι αγκυροβολημένο στο σημείο \\(O(0,0)\\).\nα) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου \\(Φ\\).\nii. Να εξετάσετε αν υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο.\nβ) Ένα ρυμουλκό πλοίο \\(P\\) βρίσκεται βόρεια του φάρου \\(Φ\\). Η φωτεινή ακτίνα που φωτίζει το \\(P\\) έχει εξίσωση \\(x+y+4=0\\). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(P\\) όταν είναι γνωστό ότι η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να διανύσει το ρυμουλκό πλοίο για να πάει προς το αγκυροβολημένο φορτηγό πλοίο είναι ίση με \\(4\\) μονάδες μήκους." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Όλες οι φωτεινές ακτίνες που παριστάνει η εξίσωση \\(ε_λ\\) διέρχονται από το φάρο \\(Φ\\). Επομένως οι συντεταγμένες του φάρου \\(Φ(x_Φ,y_Φ)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(ε_λ\\) για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\). Δηλαδή είναι:\n\\begin{align}&λx_Φ+(1-λ)y_Φ+2=0\\\\\n\\iff&λx_Φ+y_Φ-λy_Φ+2=0\\\\\n\\iff&(x_Φ-y_Φ)λ+y_Φ+2=0\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ-y_Φ=0\\\\y_Φ+2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ=y_Φ\\\\y_Φ=-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ=-2\\\\y_Φ=-2\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε οι συντεταγμένες του φάρου είναι \\(Φ(-2,-2)\\).\nΔεύτερος τρόπος:\nΓνωρίζουμε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο \\(Φ\\). Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του φάρου αρκεί να βρούμε το σημείο τομής δυο ευθειών της οικογένειας \\(ε_λ\\). Μια ευθεία της οικογένειας \\(ε_λ\\) προκύπτει για \\(λ=1\\) με εξίσωση\n$$1x+(1-1)y+2=0\\iff x+2=0$$\nκαι μια άλλη προκύπτει για \\(λ=0\\) με εξίσωση\n$$0x+(1-0)y+2=0\\iff y+2=0.$$\nΓια την εύρεση του κοινού σημείου \\(Φ\\) των ευθειών με εξισώσεις \\(x+2=0\\) και \\(y+2=0\\), επιλύουμε το σύστημα\n$$\\begin{cases}y+2=0\\\\x+2=0\\end{cases}\\iff\\begin{cases}y=-2\\\\x=-2\\end{cases}$$\nΆρα οι συντεταγμένες του φάρου είναι \\(Φ(-2,-2)\\).ii. Έστω ότι υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο. Άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός \\(λ\\) ώστε η \\(ε_λ\\) να διέρχεται από το \\(O(0,0)\\). Τότε οι συντεταγμένες του \\(O(0,0)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(ε_λ\\). Έχουμε\n$$λ\\cdot 0+(1-λ)\\cdot 0+2=0\\iff 2=0,$$\nάτοπο. Οπότε δεν υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο.\nβ) Αν είναι \\(P(x_P,y_P)\\) τότε ισχύει\n$$y_P > y_Φ\\iff y_P > -2$$\nαφού το ρυμουλκό πλοίο \\(P\\) βρίσκεται βόρεια του φάρου \\(Φ\\). Επειδή το σημείο \\(P\\) ανήκει στην ευθεία με εξίσωση \\(x+y+4=0\\), ισχύει\n$$x_P+y_P+4=0\\iff x_P=-4-y_P.$$\nΟπότε είναι \\(P(-4-y_P,y_P)\\) με \\(y_P > -2\\). Η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να διανύσει το ρυμουλκό πλοίο για να πάει προς το αγκυροβολημένο φορτηγό πλοίο είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(PO\\) με μήκος \\(4\\) μονάδες. Είναι\n\\begin{align}&PO=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x_O-x_P)^2+(y_O-y_P)^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(0-(-4-y_P))^2+(0-y_P)^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(4+y_P)^2+y_P^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{2y_P^2+8y_P+16}=4\\\\\n\\iff&\\left(\\sqrt{2y_P^2+8y_P+16}\\right)^2=4^2\\\\\n\\iff&2y_P^2+8y_P+16=16\\\\\n\\iff&2y_P^2+8y_P=0\\\\\n\\iff&2y_P(y_P+4)=0\\\\\n\\iff&2y_P=0\\text{ ή }y_P+4=0\\\\\n\\iff&y_P=0\\text{ ή }y_P=-4.\\end{align}\nΔεκτή είναι μόνο η \\(y_P=0 > -2\\) αφού \\(-4 < -2\\). Ακόμη είναι\n$$x_P=-4-y_P=-4-0=-4.$$\nΤελικά, οι συντεταγμένες του ρυμουλκού πλοίου είναι \\(P(-4,0)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(3,2α)\\), \\(Β(4,α)\\), \\(Γ(α+1,1-α)\\) και \\(Δ(α,1)\\), με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: i. Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχει εξίσωση \\(y=-αx+5α\\).\n ii. Τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν \\(α=\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\).\n iii. Το τετράπλευρο \\(ABΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο όταν \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\).\nβ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει πραγματικός αριθμός \\(α\\) ώστε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) να είναι τετράγωνο.\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) i) Ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ\\) της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α(3,2α)\\) και \\(Β(4,α)\\) είναι\n\\begin{align}λ&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{α-2α}{4-3}\\\\\n&=\\frac{-α}{1}\\\\\n&=-α,\\end{align}\nοπότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-2α=-α(x-3)\\\\\n\\iff&y-2α=-αx+3α\\\\\n\\iff&y=-αx+5α.\\end{align}\nii) Τα σημεία \\(Γ(α+1,1-α)\\) και \\(Δ(α,1)\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της, \\(y=-αx+5α\\). Έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&1-α=-α(α+1)+5α\\\\\n\\iff&1-α=-α^2-α+5α\\\\\n\\iff&α^2-5α+1=0\\\\\n\\iff&α=\\frac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&1=-α\\cdot α+5α\\\\\n\\iff&1=-α^2+5α\\\\\n\\iff&α^2-5α+1=0\\\\\n\\iff&α=\\frac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}.\\end{align}\niii) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(4-3,α-2α)\\\\\n&=(1,-α)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΔΓ}&=(x_Γ-x_Δ,y_Γ-y_Δ)\\\\\n&=(α+1-α,1-α-1)\\\\\n&=(1,-α).\\end{align}\nΠαρατηρούμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\overrightarrow{ΔΓ}=(1,-α)\\). Όμως από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι, όταν \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\), τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) δεν ανήκουν στην ευθεία \\(AB\\). Τότε, επειδή \\(\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{ΓΔ}\\), τα ευθύγραμμα τμήματα \\(AB\\) και \\(ΔΓ\\) θα είναι παράλληλα και θα έχουν ίσα μήκη, οπότε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο.\nβ) Έστω ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι τετράγωνο για κάποιο \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\). Τότε θα έχουμε \\(|\\overrightarrow{AΒ}|=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\). Από το προηγούμενο ερώτημα είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(1,-α)\\), άρα\n$$|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{1^2+(-α)^2}=\\sqrt{1+α^2}.$$\nΕπίσης είναι\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=(x_Δ-x_A,y_Δ-y_A)=(α-3,1-2α),$$\nάρα\n\\begin{align}|\\overrightarrow{ΑΔ}|&=\\sqrt{(α-3)^2+(1-2α)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5α^2-10α+10}.\\end{align}\nΕπομένως θα έχουμε\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AB}|=|\\overrightarrow{AΔ}|\\\\\n\\iff&\\sqrt{1+α^2}=\\sqrt{5α^2-10α+10}\\\\\n\\iff&5α^2-10α+10=1+α^2\\\\\n\\iff&4α^2-10α+9=0.\\end{align}\nΗ τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα\n\\begin{align}Δ&=(-10)^2-4\\cdot 4\\cdot 9\\\\\n&=-44 < 0,\\end{align}\nάρα δεν έχει πραγματικές ρίζες. Οπότε δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός \\(α\\) ώστε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) να είναι τετράγωνο. Επομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$(x-1)(x+3)+(y+1)(y-3)=-4\\quad(1)$$\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) i. Να βρείτε τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) του κύκλου \\((Κ,R)\\) τα οποία έχουν τετμημένη ίση με \\(-1\\).\nii. Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται διαδοχικά:\n\\begin{align}&(x-1)(x+3)+(y+1)(y-3)=-4\\\\\n\\iff&(x^2+3x-x-3)+(y^2-3y+y-3)=-4\\\\\n\\iff&x^2+2x+y^2-2y=2\\\\\n\\iff&(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=4\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(y-1)^2=2^2\\quad(2)\\end{align}\nΆρα, η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) i. Για \\(x=-1\\), η εξίσωση \\((2)\\) γίνεται\n\\begin{align}&(-1+1)^2+(y-1)^2=2^2\\\\\n\\iff&(y-1)^2=4\\\\\n\\iff&y-1=\\pm2\\\\\n\\iff&y=3\\text{ ή }y=-1.\\end{align}\nΕπομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι \\(Α(-1,-1)\\) και \\(Β(-1,3)\\).\nii. Τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) βρίσκονται στην ευθεία \\(x=-1\\), η οποία διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Επομένως, τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τετράγωνο \\(ΑΒΓΟ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(0,4)\\), \\(Β(4,4)\\), \\(Γ(4,0)\\), \\(Ο(0,0)\\). Στην διαγώνιο \\(ΑΓ\\) παίρνουμε σημείο \\(Ζ\\) τέτοιο ώστε \\(\\overrightarrow{ΑΖ}=\\dfrac{3}{4}\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Επίσης, θεωρούμε το μέσο \\(Δ\\) της \\(ΒΓ\\).\nα) Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Δ\\).\nii. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Ζ\\).\nβ) Αν το σημείο \\(Δ\\) είναι το \\((4,2)\\) και το σημείο \\(Ζ\\) το \\((3,1)\\), να αποδείξετε ότι η ευθεία \\(ΖΔ\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Δ\\) του \\(ΒΓ\\) δίνονται από τους τύπους\n\\begin{align}x_Δ&=\\frac{x_Γ+x_B}{2}\\\\\n&=\\frac{4+4}{2}\\\\\n&=4\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}y_Δ&=\\frac{y_Γ+y_B}{2}\\\\\n&=\\frac{4+0}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}\nΕπομένως, είναι \\(Δ(4,2)\\).ii. Έστω \\(Ζ(x,y)\\). Τότε\n\\begin{align}\\overrightarrow{AZ}&=(x_Z-z_A,y_Z-y_A)\\\\\n&=(x-0,y-4)\\\\\n&=(x,y-4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(4-0,0-4)\\\\\n&=(4,-4).\\end{align}\nΌμως \\(\\overrightarrow{AZ}=\\dfrac{3}{4}\\overrightarrow{ΑΓ}\\), άρα\n$$(x,y-4)=\\frac{3}{4}(4,-4)=(3,-3).$$\nΕπομένως \\(x=3\\) και \\(y-4=-3\\), δηλαδή \\(y=1\\). Άρα είναι \\(Ζ(3,1)\\).\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΖ}=(3,-3)\\). Επιπλέον,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ZΔ}&=(x_Δ-x_Z,y_Δ-y_Z)\\\\\n&=(4-3,2-1)\\\\\n&=(1,1).\\end{align}\nΕπομένως είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AZ}\\cdot\\overrightarrow{ZΔ}&=(3,3)\\cdot(1,-1)\\\\\n&=3-3\\\\\n&=0\\end{align}\nκαι άρα τα διανύσματα είναι κάθετα. Το ίδιο θα ισχύει και για τους φορείς τους, δηλαδή η \\(ΑΓ\\) είναι κάθετη στην \\(ΖΔ\\).\nΕναλλακτική λύση:\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΖ\\) είναι\n$$λ_{ΑΖ}=\\frac{y_Z-y_A}{x_Z-x_A}=\\frac{1-4}{3-0}=-1.$$\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΖΔ\\) είναι\n$$λ_{ΖΔ}=\\frac{y_Δ-y_Z}{x_Δ-x_Z}=\\frac{2-1}{4-3}=1.$$\nΕπειδή \\(λ_{AZ}\\cdot λ_ΖΔ=-1\\), οι ευθείες \\(ΑΖ\\) και \\(ΖΔ\\) είναι κάθετες." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται το σημείο \\(Α(4,-2)\\) και η ευθεία \\((ε_1)\\) με εξίσωση \\(x-y+2=0\\). Να βρείτε:\nα) Την ευθεία \\((ε_2)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε_1)\\).\nβ) Το σημείο τομής \\(Β\\) των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2):y=-x+2\\).\nγ) Το συμμετρικό \\(Γ\\) του σημείου \\(Α\\) ως προς την ευθεία \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(y=x+2\\), συνεπώς έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_1=1\\). Η ευθεία \\((ε_2)\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε_1)\\), συνεπώς το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των δύο ευθειών θα ισούται με \\(-1\\), άρα \\(λ_2=-1\\). Επιπλέον, η ευθεία \\((ε_2)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α\\), άρα η εξίσωσή της θα είναι\n$$\\begin{align}&y-y_A=λ_2\\cdot(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-(-2)=-1\\cdot(x-4)\\\\\n\\iff&y+2=-x+4\\\\\n\\iff&y=-x+2.\\end{align}$$\nΆρα η εξίσωση της ευθείας (\\(ε_2\\)) είναι \\(y=-x+2\\).\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής \\(Β\\) των δύο ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x+2\\\\y=-x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+2\\\\x+2=-x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+2\\\\2x=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2\\\\x=0\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Β(0,2)\\).\nγ) Αν \\(Γ\\) είναι το συμμετρικό του \\(Α\\) ως προς το \\(Β\\), τότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά και μάλιστα το \\(Β\\) είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΓ\\), άρα θα ισχύει:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_B=\\dfrac{x_A+x_Γ}{2}\\\\y_B=\\dfrac{y_A+y_Γ}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=\\dfrac{4+x_Γ}{2}\\\\2=\\dfrac{-2+y_Γ}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Γ=-4\\\\y_Γ=6\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε το συμμετρικό του σημείο \\(Α\\) ως προς την ευθεία \\((ε_1)\\), που ταυτίζεται με το συμμετρικό του ως προς το σημείο \\(Β\\), είναι το σημείο \\(Γ(-4,6)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) πλευράς \\(10\\) και το μέσο \\(Μ\\) της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nα) Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών:i. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΓ}})\\).ii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\).iii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})\\).iv. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΒΜ},\\overrightarrow{ΓΜ}})\\).v. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})\\).\nβ) Να υπολογιστούν τα εσωτερικά γινόμενα:i. \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}\\).ii. \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΑ}\\).iii. \\(\\overrightarrow{ΓΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΒ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΓ}})=60^\\circ\\).ii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})=90^\\circ\\).iii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})=\\widehat{xΑΜ}=180^\\circ-30^\\circ=150^\\circ\\), καθώς η διάμεσος προς τη βάση είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής.iv. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΒΜ},\\overrightarrow{ΓΜ}})=180^\\circ\\).v. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})=0^\\circ\\).\nβ) Τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}, \\overrightarrow{ΑΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) είναι \\(10\\) αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Για το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\) έχουμε από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΑΜΓ\\):\n\\begin{align}&ΑΜ^2=ΑΓ^2-ΜΓ^2\\\\\n\\iff&ΑΜ^2=10^2-5^2=75\\\\\n\\iff&ΑΜ^2=25\\cdot 3\\\\\n\\iff&ΑΜ=5\\sqrt{3}.\\end{align}\ni.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}&=|\\overrightarrow{ΑΜ}||\\overrightarrow{ΒΓ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν90^\\circ\\\\\n&=0.\\end{align}\nii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΑ}&=|\\overrightarrow{ΑΜ}||\\overrightarrow{ΓΑ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν150^\\circ\\\\\n&=50\\sqrt{3}\\cdot(-\\frac{\\sqrt{3}}{2})\\\\\n&=75.\\end{align}\niii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΓΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΒ}&=|\\overrightarrow{ΓΜ}||\\overrightarrow{ΓΒ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν0^\\circ\\\\\n&=5\\cdot 10\\cdot 1\\\\\n&=50.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\).\nβ) Δίνεται ο κύκλος \\(x^2+y^2=5\\).i. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενής του στο σημείο \\(Α\\).\nii. Να βρεθεί το σημείο \\(Β\\), το οποίο είναι αντιδιαμετρικό του \\(Α\\) σε αυτόν τον κύκλο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) είναι \\(x^2+y^2=ρ^2\\ (1)\\), όπου \\(ρ\\) η ακτίνα του κύκλου. Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του \\(Α\\) να επαληθεύουν την εξίσωση \\((1)\\), δηλαδή \\(1^2+2^2=ρ^2\\), άρα \\(ρ^2=5\\). Οπότε, η \\((1)\\) γίνεται:\n$$x^2+y^2=5.$$\nβ) i. Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\((1)\\) στο σημείο του \\(A(x_1,y_1)\\) είναι:\n$$xx_1+yy_1=ρ^2\\quad(2)$$\nΈτσι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\(x^2+y^2=5\\) στο σημείο του \\(A(1,2)\\) θα είναι \\(x+2y=5\\). ii. Για να είναι το σημείο \\(Β\\) αντιδιαμετρικό του \\(Α\\), θα πρέπει το κέντρο \\(Ο\\) να είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΒ\\). Επομένως θα ισχύουν:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_0=\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\y_0=\\frac{y_A+y_B}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=\\frac{1+x_B}{2}\\\\0=\\frac{2+y_B}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=1+x_B\\\\0=2+y_B\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B=-1\\\\y_B=-2\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα είναι \\(Β(-1,-2)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) θεωρούμε τα σημεία \\(Μ(x,y)\\), \\(Α(-1,0)\\), \\(Β(1,0)\\) για τα οποία ισχύει\n$$\\overrightarrow{AM}^2+\\overrightarrow{BM}^2=9|\\overrightarrow{AB}|.$$\nα) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \\(Μ\\) είναι ο κύκλος με εξίσωση \\(x^2+y^2=8\\).\nβ) Έστω \\(Γ\\) και \\(Δ\\) δύο σημεία του κύκλου τέτοια ώστε \\(ΓΔ^2=32\\).i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία.\nii. Αν το σημείο \\(Μ\\) κινείται στον κύκλο, να υπολογίσετε το \\(\\overrightarrow{MΓ}\\cdot\\overrightarrow{ΜΔ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n&=(x-(-1),y-0)\\\\\n&=(x+1,y),\\\\\n|\\overrightarrow{AM}|&=\\sqrt{(x+1)^2+y^2},\\\\\n\\overrightarrow{BM}&=(x_M-x_B,y_M-y_B)\\\\\n&=(x-1,y-0)\\\\\n&=(x-1,y),\\\\\n|\\overrightarrow{BM}|&=\\sqrt{(x-1)^2+y^2},\\\\\n|\\overrightarrow{AB}|&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+0}\\\\\n&=2\\end{align}\nκαι άρα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}^2+\\overrightarrow{BM}^2=9|\\overrightarrow{AB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AM}|^2+|\\overrightarrow{BM}|^2=9\\cdot 2\\\\\n\\iff&\\left(\\sqrt{(x+1)^2+y^2}\\right)^2+\\left(\\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\right)^2=18\\\\\n\\iff&x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2=18\\\\\n\\iff&2x^2+2y^2+2=18\\\\\n\\iff&x^2+y^2=8.\\end{align}\nβ) i. Για τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) του κύκλου ισχύει \\(Γ∆^2=32\\), δηλαδή\n$$ΓΔ=\\sqrt{32}=\\sqrt{16\\cdot 2}=4\\sqrt{2}.$$\nΗ εξίσωση του κύκλου είναι \\(x^2+y^2=8\\), οπότε η ακτίνα του \\(ρ\\) είναι \\(ρ=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}\\) και το κέντρο του το \\(Ο(0,0)\\). Παρατηρούμε ότι \\(ΓΔ=2ρ\\), οπότε τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) είναι αντιδιαμετρικά και επομένως η διάμετρος \\(ΓΔ\\) θα διέρχεται από το κέντρο \\(Ο\\) του κύκλου.ii. Αφού η \\(ΓΔ\\) είναι διάμετρος και το σημείο \\(Μ\\) είναι σημείο του κύκλου, τότε \\(Γ\\hat{Μ}∆=90^o\\) γιατί είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Επειδή τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΜΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{Μ∆}\\) είναι κάθετα, το εσωτερικό τους γινόμενο θα ισούται με μηδέν." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,-1)\\), \\(Β(λ,1)\\) και \\(Γ(λ-2,λ-3)\\), όπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) ώστε:i. Tα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) να είναι κορυφές τριγώνου.\nii. Το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) να είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\).\nβ) Για \\(λ=-2\\), να βρείτε:i. Το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nii. Το εμβαδό του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Για να σχηματίζουν τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) τρίγωνο θα πρέπει να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή αλλιώς τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) να μην είναι παράλληλα. Είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(λ, 1+1)=(λ, 2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(λ-2, λ-3+1)=(λ-2, λ-2).$$\nΓνωρίζουμε ότι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}//\\overrightarrow{AΓ}\\\\\n\\iff&\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})=0\\\\\n\\iff&\\begin{vmatrix}λ&2\\\\λ-2&λ-2\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&λ(λ-2)-2(λ-2)=0\\\\\n\\iff&(λ-2)^2=0\\\\\n\\iff&λ=2.\\end{align}\nΔηλαδή τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι παράλληλα αν και μόνο αν \\(λ=2\\). Οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε τιμή του \\(λ\\) που είναι διαφορετική από το \\(2\\). ii. Αν το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\), το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}\\) θα ισούται με μηδέν. Όμως\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=0\\\\\n\\iff&λ(λ-2)+2(λ-2)=0\\\\\n\\iff&(λ+2)(λ-2)=0\\\\\n\\iff&λ+2=0\\text{ ή }λ-2=0\\\\\n\\iff&λ=-2\\text{ ή }λ=2.\\end{align}\nΣτο ερώτημα (α.i) δείξαμε ότι για \\(λ=2\\) τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) δεν ορίζουν τρίγωνο, οπότε το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\) μόνο για την τιμή \\(λ=-2\\).\nβ) Για \\(λ=-2\\), έχουμε \\(\\overrightarrow{AB}=(-2, 2)\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}=(-4, -4)\\) και από ερώτημα (α.ii) τα σημεία \\(Α(0, -1)\\), \\(Β(-2, 1)\\) και \\(Γ(-4, -5)\\) ορίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με \\(\\hat{A}=90^ο\\). i. \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\).ii. Είναι\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}-2&2\\\\-4&-4\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 16\\\\\n&=8.\\end{align}\nΒ’ τρόπος:\nΕίναι\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\cdot |\\overrightarrow{AΓ}|.$$\nΈχουμε\n$$|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΑΓ}=\\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=4\\sqrt{2},$$\nοπότε\n$$(AΒΓ)=\\frac{1}{2}2\\sqrt{2}\\cdot4\\sqrt{2}=8.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,3)\\), \\(\\vec{β}=(-1,1)\\) και \\(\\vec{γ}=(-5,-5)\\).\nα) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(|\\vec{γ}|=5|\\vec{β}|\\).\nγ) Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\), \\(μ\\) ώστε το διάνυσμα \\(\\vec{γ}\\) να γραφεί στη μορφή \\(\\vec{γ}=λ\\vec{α}+μ\\vec{β}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τη γωνία \\(ω\\) που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι\n$$εφω=\\frac{y_{\\vec{β}}}{x_{\\vec{β}}}=\\frac{1}{-1}=-1.$$\nΑφού είναι \\(x_\\vec{β} < 0\\) και \\(y_\\vec{β} > 0\\), για τη γωνία \\(ω\\) θα ισχύει \\(\\dfrac{π}{2} < ω < π\\). Άρα,\n$$ω=π-\\frac{π}{4}=\\frac{3π}{4}.$$\nβ) Είναι\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{x_\\vec{γ}^2+y_\\vec{γ}^2}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$|\\vec{β}|=\\sqrt{x_\\vec{β}^2+y_\\vec{β}^2}=\\sqrt{2}.$$\nΕπομένως, \\(|\\vec{γ}|=5|\\vec{β}|\\).\nγ) Ζητάμε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\), \\(μ\\) για τους οποίους ισχύει η ισότητα\n$$\\vec{γ}=λ\\vec{α}+μ\\vec{β}.$$\nΈχουμε\n\\begin{align}&(-5,-5)=λ(2,3)+μ(-1,1)\\\\\n\\iff&(-5,-5)=(2λ-μ,3λ+μ).\\end{align}\nΕπομένως, είναι\n$$2λ-μ=-5\\quad(1)$$\nκαι\n$$3λ+μ=-5.\\quad(2)$$\nΜε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι\n$$5λ=-10\\iff λ=-2.$$\nΑντικαθιστούμε στην \\((2)\\), οπότε\n$$3\\cdot(-2)+μ=-5\\iff μ=-5+6=1.$$\nΆρα, το διάνυσμα \\(\\vec{γ}\\) γράφεται ως εξής:\n$$\\vec{γ}=-2\\vec{α}+\\vec{β}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Έστω υπερβολή \\(C\\) με κέντρο το \\((0,0)\\), εστίες πάνω στον άξονα \\(xx'\\) της οποίας το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο.\nα) Να βρείτε:\nτις εξισώσεις των ασυμπτώτων της \\(C\\).\nτην εκκεντρότητα της \\(C\\).\nβ) Αν η υπερβολή διέρχεται από το σημείο \\((2,0)\\) και \\((ζ)\\) τυχαίαευθεία παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \\(C\\) (που δεν ταυτίζεται με κάποια από αυτές),\nνα δείξετε ότι η \\((ζ)\\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \\(C\\).\nείναι η ευθεία \\((ζ)\\) εφαπτόμενη της \\(C\\); Αιτιολογείστε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η υπερβολή \\(C\\) έχει κέντρο το \\((0,0)\\) και εστίες στον άξονα \\(xx'\\), οπότε θα έχει ασύμπτωτες της μορφής \\(y=\\dfrac{β}{α}x , y=-\\dfrac{β}{α}x\\). Αφού το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι \\(α=β\\) δηλαδή είναι ισοσκελής υπερβολή. Συνεπώς:\nοι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής \\(C\\) είναι \\(y=x,y=-x\\).\nγια την εκκεντρότητα \\(ε\\) της \\(C\\) ισχύει ότι \\(ε^{2}=1+(\\dfrac{β}{α})^{2}=1+1=2\\) και επειδή \\(ε>0\\) έχουμε τελικά ότι \\(ε=\\sqrt{2}\\).\nβ) Αφού η \\((ζ)\\) είναι παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \\(C\\), θα έχει εξίσωση της μορφής \\(y=x+κ\\) ή \\(y=-x+κ\\) με \\(κ≠0\\). Η ισοσκελής υπερβολή \\(C\\) θα έχει εξίσωση της μορφής \\(x^{2}-y^{2}=α^{2}\\). Αφού διέρχεται από το σημείο \\((2,0)\\) έχουμε ότι:\n$$2^{2}-0^{2}=α^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 4=α^{2}$$\n$$\\overset{α>0}{\\Leftrightarrow }α=2$$\nΤο πλήθος των κοινών σημείων της \\(C\\) και της ευθείας \\((ζ)\\) είναι ίδιο με το πλήθος των λύσεων καθενός από τα συστήματα \\(\\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\\\ y=x+κ\\end{cases}\\) και \\(\\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\\\ y= - x+κ\\end{cases}\\).\nΛύνουμε το 1ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:\n$$x^{2}-(x+κ)^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}-2xκ-κ^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow -2xκ=4+κ^{2}$$\n$$\\overset{κ≠0}{\\Leftrightarrow }x=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$\nκαι από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:\n$$y=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$\nΟμοίως λύνουμε το 2ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:\n$$x^{2}-(-x+κ)^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}+2xκ-κ^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow 2xκ=4+κ^{2}$$\n$$\\overset{κ≠0}{\\Leftrightarrow }x=\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$\nκαι από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:\n$$y=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$\nΣε κάθε περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι η \\((ζ)\\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \\(C\\).\nΕπειδή σε κάθε περίπτωση η μοναδική λύση του συστήματος προέκυψε από εξίσωση 1ου βαθμού και όχι από 2ου με διακρίνουσα \\(0\\), η ευθεία \\((ζ)\\) δεν είναι εφαπτόμενη της \\(C\\). Απλά την τέμνει σε ένα σημείο χωρίς όμως το σημείο αυτό να είναι σημείο επαφής. Δηλαδή η \\((ζ)\\) διαπερνά τη \\(C\\).\nΣημείωση: το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει για κάθε υπερβολή και ευθεία παράλληλη σε κάποια από τις ασύμπτωτες και όχι μόνο για τις ισοσκελείς." } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(A(-1,5)\\) και \\(B(2,1)\\). Αν οι πλευρές \\(ΑΓ\\) και \\(ΒΓ\\) βρίσκονται πάνω στις ευθείες \\(ε_1:\\ y=-x+4\\) και \\(ε_2:\\ y=-\\dfrac{1}{2}x+2\\) αντίστοιχα, τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Γ(4,0).\\)\nβ) Να βρείτε:\nτο συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\)\nτην εξίσωση του ύψους \\(ΒΔ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "**α)**Το σημείο \\(Γ\\) είναι το σημείο τομής των \\(ε_1,\\ ε_2\\) και προσδιορίζεται από τη λύση του αντίστοιχου συστήματος. Είναι:\n$$\\begin{align} & \\begin{cases} y=-x+4 \\\\ y=-\\dfrac{1}{2} x+2 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -x+4 =-\\dfrac{1}{2} x+2 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -2x+8 =-x+4 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -x=4-8 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} x=4 \\\\ y=0 \\end{cases} \\end{align}$$\nΟπότε \\(Γ(4,0).\\)\nβ) i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\) είναι:\n$$λ_{ΑΓ}=\\dfrac{0-5}{4+1}=-1$$\nTo ύψος \\(ΒΔ\\) είναι κάθετο στην πλευρά \\(ΑΓ\\), οπότε:\n$$λ_{ΒΔ} \\cdot λ_{ΑΓ}=-1 \\overset{(i)}{\\Rightarrow} λ_{ΒΔ}=1$$\nΕπομένως, η εξίσωση του ύψους \\(ΒΔ\\) είναι:\n$$y-1=1\\cdot (x-2)\\Leftrightarrow y=x-1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε την ευθεία \\(ε:3x-4y=0\\) και το σημείο \\(Α(-2,1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία είναι \\(2\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας \\((η)\\) κάθετης στην \\((ε)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο \\(Α\\) και εφάπτεται στην ευθεία \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η απόσταση του σημείου \\((x_0,y_0)\\) από την ευθεία \\(Αx+Βy+Γ=0\\) δίνεται από τον τύπο\n$$d=\\frac{|Ax_0+By_0+Γ|}{\\sqrt{A^2+B^2}}.$$\nΕπομένως έχουμε\n\\begin{align}d(A,ε)&=\\frac{|3\\cdot(-2)-4\\cdot 1|}{\\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}\\\\\n&=\\frac{|-10|}{\\sqrt{25}}\\\\\n&=\\frac{10}{5}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Η ζητούμενη ευθεία \\((η)\\) είναι κάθετη στην \\((ε)\\), οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης της \\((η)\\) και της \\((ε)\\) θα είναι \\(-1\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\((ε)\\) είναι\n$$λ_2=-\\frac{Α}{B}=-\\frac{3}{-4}=\\frac{3}{4}.$$\nΕπομένως ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ_η\\) της ζητούμενης ευθείας \\((η)\\) θα είναι \\(-\\dfrac{4}{3}\\).\nΗ ευθεία διέρχεται από το \\(Α(-2,1)\\), οπότε η εξίσωσή της θα είναι\n\\begin{align}&y-y_o=λ_η(x-x_o)\\\\\n\\iff&y-1=-\\frac{4}{3}(x+2)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{4}{3}x-\\frac{8}{3}+1\\\\\n\\iff&y=-\\frac{4}{3}x-\\frac{5}{3}.\\end{align}\nγ) Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο \\((x_0,y_0)\\) και ακτίνα \\(ρ\\) είναι η:\n$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=ρ^2\\quad(1).$$\nΓια να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία \\((ε)\\), θα πρέπει η απόσταση του κέντρου του \\(Α\\) από την \\((ε)\\) να ισούται με την ακτίνα \\(ρ\\). Στο ερώτημα (α) βρήκαμε ότι η απόσταση του \\(Α\\) από την \\((ε)\\) είναι \\(2\\), επομένως \\(ρ=2\\) και η \\((1)\\) γίνεται\n\\begin{align}&(x-(-2))^2+(y-1)^2=2^2\\\\\n\\iff&(x+2)^2+(y-1)^2=4.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2-4αx-4αy=0\\quad(1)$$\nόπου \\(α\\) είναι πραγματικός αριθμός.\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\) για τις οποίες η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο.\nβ) Να προσδιορίσετε το κέντρο \\(Κ\\) και την ακτίνα \\(R\\) των κύκλων ως συνάρτηση του \\(α\\).\nγ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για τις διάφορες τιμές του \\(α\\) του ερωτήματος (α).\nδ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του \\(α\\) ώστε ο αντίστοιχος κύκλος που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\) να εφάπτεται στον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Ax+By+Γ=0$$\nμε \\(Α=-4α\\), \\(Β=-4α\\) και \\(Γ=0\\). Για να παριστάνει κύκλο θα πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ>0\\). Είναι\n$$A^2+B^2-4Γ=16α^2+16α^2=32α^2,$$\nεπομένως θα πρέπει \\(α^2>0\\). Η τελευταία σχέση ικανοποιείται αν και μόνο αν \\(α\\neq 0\\).\nβ) Τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση \\((1)\\) για \\(α\\neq0\\) είναι\n$$K\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)=(2α,2α)$$\nκαι η ακτίνα\n\\begin{align}R&=\\frac{\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{32α^2}}{2}\\\\\n&=\\frac{4\\sqrt{2}|α|}{2}\\\\\n&=2\\sqrt{2}|α|.\\end{align}\nγ) Για τα κέντρα των κύκλων έχουμε:\n$$\\begin{cases}x=2α\\\\y=2α\\\\α\\neq 0\\end{cases}$$\nΕπομένως, τα κέντρα των κύκλων κινούνται πάνω στην ευθεία \\(y=x\\) με εξαίρεση το σημείο \\(Ο(0,0)\\), αφού είναι \\(x\\neq 0\\) και \\(y\\neq 0\\).\nδ) Για να εφάπτεται κάποιος από τους κύκλους που ορίζονται από την εξίσωση \\((1)\\) στον άξονα \\(x'x\\), θα πρέπει να ισχύει \\(|y_K|=R\\). Έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&|2α|=2\\sqrt{2}|α|\\\\\n\\iff&|α|=\\sqrt{2}|α|\\\\\n\\iff&|α|(1-\\sqrt{2})=0\\\\\n\\iff&α=0.\\end{align}\nΌμως \\(α\\neq 0\\), οπότε δεν υπάρχει τιμή του \\(α\\) ώστε ο αντίστοιχος κύκλος που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\) να εφάπτεται στον άξονα \\(x'x\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,1), Β(5,5)\\).\nα) Αν για το σημείο \\(Μ(x,y)\\) ισχύει \\(\\overrightarrow{ΑΜ}^2+\\overrightarrow{ΒΜ}^2=32\\), να αποδείξετε ότι:i. Το σημείο \\(Μ\\) βρίσκεται πάνω στην καμπύλη με εξίσωση\n$$x^2+y^2-6x-6y+10=0.\\quad(1)$$\nii. Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο.\nβ) Αν το κέντρο του κύκλου είναι το \\(Κ(3,3)\\) και η ακτίνα του \\(ρ=2\\sqrt{2\\):i. Nα διερευνήσετε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία \\(ε:λx+y=2\\) εφάπτεται του κύκλου \\((1)\\).\nii. Υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία η ευθεία \\((ε)\\) σχηματίζει με την \\(ΑΒ\\) γωνία \\(45^ο\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι \\(\\overrightarrow{ΑΜ}=(x-1,y-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΜ}=(x-5,y-5)\\). Άρα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΜ}^2+\\overrightarrow{ΒΜ}^2=32\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2}^2=32\\\\\n\\iff&x^2-2x+1+y^2-2y+1+x^2-10x+25+y^2-10y+25=32\\\\\n\\iff&2x^2+2y^2-12x-12y+20=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2-6x-6y+10=0.\\quad(1)\\end{align}\nii. Για να παριστάνει η εξίσωση \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\) κύκλο θα πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ > 0\\). Από την \\((1)\\) έχουμε \\(Α=-6, Β =-6\\) και \\(Γ=10\\). Συνεπώς\n$$Α^2+Β^2-4Γ=6^2+6^2-4\\cdot 10=32 > 0.$$\nΕπομένως πρόκειται περί κύκλου.\nβ) i. Για να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία, πρέπει η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία να ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|3λ+3-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\sqrt{2}\\\\\n\\iff&|3λ+1|=2\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&(3λ+1)^2=8(λ^2+1)\\\\\n\\iff&9λ^2+6λ+1=8λ^2+8\\\\\n\\iff&λ^2+6λ-7=0.\\end{align}\nΥπολογίζουμε τις ρίζες και έχουμε \\(λ=-7\\) και \\(λ=1\\). ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(ΑΒ\\) είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}=\\frac{5-1}{5-1}=1.$$\nΈνα διάνυσμα παράλληλο στην \\(ΑΒ\\) είναι το \\(\\vec{δ}_1=(1,1)\\) ενώ ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\((ε)\\) είναι το \\(\\vec{δ}_2=(1,-λ)\\). Η γωνία των δύο ευθειών είναι η γωνία των δύο διανυσμάτων που είναι παράλληλα σε αυτές. Έχουμε\n\\begin{align}&συν(\\widehat{\\vec{δ}_1,\\vec{δ}_2})=συν45^ο\\\\\n\\iff&\\frac{\\vec{δ}_1\\cdot\\vec{δ}_2}{|\\vec{δ}_1||\\vec{δ}_2|}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{(1,1)\\cdot(1,-λ)}{\\sqrt{1^2+1^2}\\sqrt{1^2+λ^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{1-λ}{\\sqrt{2}\\sqrt{1+λ^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&2(1-λ)=\\sqrt{2}\\sqrt{2}\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\iff&2(1-λ)=2\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\iff&1-λ=\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\implies&(1-λ)^2=(\\sqrt{1+λ^2})^2,\\ (2)\\\\\n\\iff&1-2λ+λ^2=1+λ^2\\\\\n\\iff&λ=0.\\end{align}\nΕφόσον \\(λ=0 < 1\\), η συνεπαγωγή που δίνει τη σχέση \\((2)\\) είναι και αυτή ισοδυναμία, οπότε έχουμε το ζητούμενο." } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε την οικογένεια των ευθειών\n$$ε_α:(α-4)x-2αy+α+4=0,\\ α\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να βρείτε τις ευθείες που προκύπτουν όταν \\(α=0\\) και όταν \\(α=1\\) και κατόπιν να προσδιορίσετε το κοινό τους σημείο \\(Μ\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το \\(Μ\\).\nγ) Έστω ότι μια ευθεία της παραπάνω οικογένειας τέμνει τους θετικούς ημιάξονες \\(Οx, Οy\\) στα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) αντίστοιχα.i. Να αποδείξετε ότι \\(0\\lt α\\lt 4\\).\nii. Να βρείτε για ποια τιμή του \\(α\\) ισχύει \\((ΟΑ)=2(ΟΒ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(α=0\\) έχουμε\n$$ε_0:-4x+4=0\\iff x=1,$$\nενώ με \\(α=1\\) έχουμε\n$$ε_1:-3x-2y+5=0.$$\nΤο κοινό τους σημείο προσδιορίζεται από τη λύση του συστήματος\n$$\\begin{cases}x=1\\\\3x+2y=5\\end{cases}$$\nΕύκολα βρίσκουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι η \\(x=1\\) και \\(y=1\\). Άρα οι ευθείες \\(ε_0,ε_1\\) τέμνονται στο σημείο \\(M(1,1)\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο \\(M(1,1)\\). Με \\(x=y=1\\) η αρχική εξίσωση γράφεται \\(α-4-2α+α+4=0\\) και προφανώς ισχύει. Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σημείο \\(Μ\\).\nγ) i. Οι ευθείες που προκύπτουν όταν \\(α=4\\) ή \\(α=0\\) δεν τέμνουν και τους δυο άξονες αφού η πρώτη είναι παράλληλη στον \\(x΄x\\) και η δεύτερη στον \\(y΄y\\). Έτσι, βρίσκουμε τα κοινά σημεία των ευθειών της οικογένειας με τους άξονες, όταν \\(α\\neq 0\\) και \\(α\\neq 4\\). Με \\(x=0\\) έχουμε \\(y=\\dfrac{α+4}{2α}\\), ενώ με \\(y=0\\) έχουμε \\(x=-\\dfrac{α+4}{α-4}\\), οπότε τα κοινά σημεία με τους άξονες είναι τα \\(Α\\left(\\dfrac{α+4}{4-α},0\\right)\\) και \\(Β\\left(0,\\dfrac{α+4}{0}\\right)\\). Τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) βρίσκονται στους θετικούς ημιάξονες, μόνο όταν\n$$\\frac{α+4}{4-α}\\gt 0\\quad (1)$$\nκαι\n$$\\frac{α+4}{2α}\\gt 0.\\quad (2)$$\nΕίναι:\n\\begin{align}\n(1) \\iff&(α+4)(4-α)\\gt 0\\\\\n\\iff&α^2-16\\lt 0\\\\\n\\iff&α^2\\lt 16\\\\\n\\iff&-4\\lt α\\lt 4,\\end{align}\nμε \\(α\\neq0\\), και\n\\begin{align}\n(2)\\iff&2α(α+4)\\gt 0\\\\\n\\iff&α\\lt -4\\text{ ή }α\\gt 0,\\end{align}\nμε \\(α\\neq4\\). Η συναλήθευση των δυο αποτελεσμάτων δίνει \\(0\\lt α\\lt 4\\) που είναι το ζητούμενο.ii. Όταν \\(0\\lt α\\lt 4\\), τα σημεία \\(Α, Β\\) είναι στους θετικούς ημιάξονες, οπότε \\((ΟΑ)=\\dfrac{α+4}{4-α}\\) και \\((ΟΒ)=\\dfrac{α+4}{2α}\\). Επομένως\n\\begin{align}&(ΟΑ)=2(ΟΒ)\\\\\n\\iff&\\frac{α+4}{4-α}=2\\frac{α+4}{2α}\\\\\n\\iff&α=4-α\\\\\n\\iff&α=2.\\end{align}" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνονται τα σημεία \\(Α(2,4), Β(11,5), Γ(3,7)\\) και ένα σημείο \\(Δ\\) ώστε το \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) να είναι ίσο με το άθροισμα των \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες:\nα) των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nβ) του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\).\nγ) του σημείου \\(Δ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τις συντεταγμένες του \\(\\overrightarrow{ΑB}\\) είναι:\n$$\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_Β-x_Α,y_Β-y_Α)=(11-2,5-4)=(9,1).$$\nΌμοια:\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(x_Γ-x_A, y_Γ-y_A)=(3-2,7-4)=(1,3).$$\nβ) Το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) είναι ίσο με το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}+\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Άρα\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{ΑΒ}+\\overrightarrow{ΑΓ}=(9+1,1+3)=(10,4).$$\nγ) Έχουμε \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=(x_Δ-x_Α ,y_Δ−y_Α)\\). Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) και τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\), η τελευταία ισότητα γίνεται:\n\\begin{align}&(10,4)=(x_Δ-2, y_Δ-4)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Δ-2=10\\\\y_Δ-4=4\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Δ=12\\\\y_Δ=8\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα \\(Δ(12,8)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(2,1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(3,-1).\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}=(1,-2).\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ} \\perp \\overrightarrow{ΒΓ}.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι: \\(|\\overrightarrow{ΑΒ}| = |\\overrightarrow{ΒΓ}|.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΒΓ} & = \\overrightarrow{AΓ} -\n\\overrightarrow{AB} \\\\\n& = (3,-1) - (2,1) \\\\\n& = (1,-2). \\end{align}$$\nβ) Είναι:\n$$\\overrightarrow{ΑΒ} \\cdot \\overrightarrow{ΒΓ} = (2,1)\\cdot (1,2)=2-2=0$$\nγ) Είναι\n$$|\\overrightarrow{ΑΒ}|=\\sqrt{2^2+1^2}=\\sqrt{5}$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΒΓ}|=\\sqrt{1^2+(-2)^2}=\\sqrt{5}$$\nOπότε: \\(|\\overrightarrow{ΑΒ}| = |\\overrightarrow{ΒΓ}|.\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνεται η παραβολή με εξίσωση \\(x^2=12y\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο \\(E(0,3)\\) και να βρείτε τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη \\(3\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι εφαπτομένες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) της παραβολής στα σημεία \\(Α(6,3)\\) και \\(Β(-6,3)\\), αντίστοιχα, έχουν εξισώσεις \\(y=x-3\\) και \\(y=-x-3\\).\nγ) Να βρείτε το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για την παραβολή \\(x^2=12y\\) ή \\(x^2=2\\cdot 6y\\) είναι \\(p=6\\), άρα η εστία της είναι το \\(E\\left(0,\\dfrac{p}{2}\\right)\\) ή \\(E(0,3)\\). Το σημείο \\((x_0,3)\\) ανήκει στην παραβολή, άρα\n\\begin{align}&x_0^2=12\\cdot 3\\\\\n\\iff&x_0^2=36\\\\\n\\iff&x_0=\\pm6.\\end{align}\nΕπομένως \\(A(6,3)\\) και \\(B(-6,3)\\) είναι τα ζητούμενα σημεία.\nβ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) έχει εξίσωση \\(xx_1=p(y+y_1)\\). Για την \\((ε_1)\\) με σημείο επαφής το \\(A(6,3)\\) αντικαθιστούμε ως \\(x_1\\) και \\(y_1\\) τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) και \\(p=6\\), άρα έχουμε\n\\begin{align}&6x=6(y+3)\\\\\n\\iff&6x=6y+18\\\\\n\\iff&x=y+3\\\\\n\\iff&y=x-3.\\end{align}\nΑντίστοιχα, για την \\((ε_2)\\) με σημείο επαφής το \\(Β(-6,3)\\) αντικαθιστούμε ως \\(x_1\\) και \\(y_1\\) τις συντεταγμένες του σημείου \\(B\\) και \\(p=6\\). Έτσι έχουμε\n\\begin{align}&-6x=6(y+3)\\\\\n\\iff&-6x=6y+18\\\\\n\\iff&-x=y+3\\\\\n\\iff&y=-x-3.\\end{align}\nγ) Βρίσκουμε το σημείο τομής των \\((ε_1): y=x-3\\) και \\((ε_2): y=-x-3\\) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x-3\\\\y=-x-3\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x-3\\\\2y=-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}-3=x-3\\\\y=-3\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=0\\\\y=-3\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι το σημείο \\((0,-3)\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(2,5), Β(3,6)\\) και \\(Γ(-1,-2)\\).\nα) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους που άγεται από το \\(Α\\).\nγ) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η ευθεία \\(ΑΒ\\) με τον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΒΓ\\) θα είναι:\n\\begin{align}λ_{ΒΓ}&=\\frac{y_Γ-y_B}{x_Γ-x_B}\\\\\n&=\\frac{-2-6}{-1-3}\\\\\n&=\\frac{-8}{-4}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Έστω \\(ΑΚ\\) το ύψος από το \\(Α\\). Τότε \\(AK\\perp ΒΓ\\), οπότε \\(λ_{ΑΚ}λ_{ΒΓ}=-1\\). Άρα\n$$λ_{ΑΚ}\\cdot 2=-1\\iff λ_{ΑΚ}=-\\frac{1}{2}.$$\nΗ εξίσωση της ευθείας \\(ΑΚ\\) θα είναι:\n\\begin{align}&y-y_A=λ_{AK}(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-5=-\\frac{1}{2}(x-2)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{1}{2}x+1+5\\\\\n\\iff&y=-\\frac{1}{2}x+6.\\end{align}\nγ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{6-5}{3-2}\\\\\n&=\\frac{1}{1}\\\\\n&=1\\end{align}\nκαι ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η \\(ΑΒ\\) με τον \\(xx'\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΒ}=εϕω=1\\), άρα \\(ω=\\dfrac{π}{4}\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1)\\) και \\(Β(6,7)\\) του καρτεσιανού επιπέδου \\(Οxy.\\)\nα) Να σχεδιάσετε το διάνυσμα \\(\\vec{AB}.\\)\nβ) Αν \\(\\vec{v}=\\vec{AB}\\) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{v}.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(−8,−12)\\) και \\(\\vec{v}\\) του β) ερωτήματος είναι αντίρροπα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Σχεδιάζουμε τους άξονες του καρτεσιανού επιπέδου και τα δύο σημεία \\(𝛢(2,1)\\) και \\(𝛣(6,7).\\) Στη συνέχεια σχεδιάζουμε το διάνυσμα \\(\\vec{AB}\\) με αρχή το \\(Α\\) και πέρας το \\(Β.\\)\nβ)\n$$\\begin{align} \\vec{v}=\\vec{AB} & =(𝑥_𝛣−𝑥_𝛢, 𝑦_𝛣−𝑦_𝐴) \\\\\n& =(6−2,\\ 7−1)\\\\\n&=(4,\\ 6).\\end{align}$$\nγ) Παρατηρούμε ότι:\n$$\\begin{align} \\vec{u} & =(−8,−12)\\\\\n& =(−2\\cdot 4,\\ −2\\cdot 6) \\\\\n&=−2\\cdot (4,\\ 6)\\\\\n&=−2\\cdot \\vec{v}.\\end{align}$$\nΕφόσον υπάρχει αρνητικός πραγματικός αριθμός \\(𝜆=−2\\), ώστε \\(\\vec{u}=𝜆\\cdot \\vec{v}\\), τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\) και \\(\\vec{v}\\) είναι αντίρροπα." } ]

[ { "from": "human", "value": "Η υπερβολή \\(C\\) έχει εστίες τα σημεία \\(Ε(5,0)\\), \\(Ε'(-5,0)\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,0)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει εκκεντρότητα \\(\\dfrac{5}{4}\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της \\(C\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της \\(C\\) στο σημείο της \\(Μ(5,\\dfrac{9}{4})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(C\\) έχει εστίες τα σημεία \\(Ε(5,0)\\), \\(Ε'(-5,0)\\) οπότε έχει εξίσωση της μορφής \\(\\dfrac{x^{2}}{α^{2}}-\\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\\) και \\(γ=5\\). Αφού διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,0)\\) έχουμε ότι:\n$$\\dfrac{4^{2}}{α^{2}}-\\dfrac{0^{2}}{β^{2}}=1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{16}{α^{2}}=1$$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}=16$$\nκαι επειδή \\(α>0\\) έχουμε τελικά ότι \\(α=4\\). Συνεπώς έχει εκκεντρότητα:\n$$ε=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{5}{4}$$\nβ) Από τη σχέση \\(γ^{2}=α^{2}+β^{2}\\) έχουμε ότι:\n$$5^{2}=4^{2}+β^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow β^{2}=9$$\nκαι επειδή \\(β>0\\) έχουμε \\(β=3\\).\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$\\dfrac{x^{2}}{16}-\\dfrac{y^{2}}{9}=1$$\nγ) Η εφαπτόμενη στο \\(Μ(5,\\dfrac{9}{4})\\) έχει εξίσωση:\n$$\\dfrac{5⋅x}{16}-\\dfrac{\\dfrac{9}{4}⋅y}{9}=1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{5x}{16}-\\dfrac{y}{4}=1$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Α(α,0)\\) και \\(Β(0,β)\\), όπου \\(α,β >0\\).\nα) Να βρείτε συναρτήσει των \\(α,β\\)i. τις συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nii. την απόσταση \\((ΟΜ)\\).\nβ) Αν \\((ΟΜ)=\\dfrac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\), τότε:i. να αποδείξετε ότι \\((ΟΜ)=\\dfrac{(ΑΒ)}{2}\\).\nii. να γράψετε την πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που έχει αποδειχθεί.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι \\(Μ\\left(\\dfrac{α}{2},\\dfrac{β}{2}\\right)\\).ii. Η απόσταση \\((ΟΜ)\\) είναι\n\\begin{align}(OM)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-0\\right)^2+\\left(\\frac{β}{2}-0\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2+β^2}{4}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}.\\end{align}\nβ) i. Είναι\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{(α-0)^2+(0-β)^2}\\\\\n&=\\sqrt{α^2+β^2}\\\\\n&=2\\cdot(OM),\\end{align}\nάρα \\((ΟΜ)=\\dfrac{(AB)}{2}\\).ii. Η πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που έχει αποδειχθεί είναι η εξής:\nΣε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας.\nγ) Αφού\n$$(OM)=\\frac{(AB)}{2}=(AM)=(BM),$$\nσυμπεραίνουμε ότι το σημείο \\(Μ\\) ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) και επομένως είναι το κέντρο του ζητούμενου περιγεγραμμένου κύκλου. Επίσης, η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι η \\((ΟΜ)=\\dfrac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\). Συνεπώς, ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση\n$$\\left(x-\\frac{α}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{β}{2}\\right)^2=\\frac{α^2+β^2}{4}.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{α}\\) με \\(|\\vec{α}|=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(|\\vec{β}|=\\dfrac{1}{2}\\) και \\(|3\\vec{α}+2\\vec{β}|=|\\vec{α}-2\\vec{β}|\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\dfrac{3}{8}\\).\nβ) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Έχουμε:\n\\begin{align}&|\\vec{α}|=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\quad &(1)\\\\\n&|\\vec{β}|=\\frac{1}{2}\\quad &(2)\\\\\n&|3\\vec{α}+2\\vec{β}|=|\\vec{α}-2\\vec{β}|\\quad &(3)\\end{align}\nα) Από την \\((3)\\) έχουμε\n\\begin{align}&|3\\vec{α}+2\\vec{β}|^2=|\\vec{α}-2\\vec{β}|^2\\\\\n\\iff&(3\\vec{α}+2\\vec{β})^2=(\\vec{α}-2\\vec{β})^2\\\\\n\\iff&9\\vec{α}^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+4\\vec{β}^2=\\vec{α}^2-4\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+4\\vec{β}^2\\\\\n\\iff&16\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-8\\vec{α}^2\\\\\n\\iff&\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\frac{1}{2}\\vec{α}^2=-\\frac{1}{2}|\\vec{α}|^2.\\end{align}\nΗ τελευταία σχέση, λόγω της \\((1)\\), δίνει\n$$\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2=-\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{3}{4}=-\\frac{3}{8}.$$\nβ) Είναι\n$$συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\frac{\\vec{α}\\cdot\\vec{β}}{|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|}.$$\nΗ τελευταία ισότητα λόγω του ερωτήματος (α) και των \\((1)\\), \\((2)\\) δίνει\n\\begin{align}συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})&=\\dfrac{-\\dfrac{3}{8}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}}\\\\\n&=-\\frac{3\\cdot 4}{8\\cdot\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{3}{2\\cdot\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\end{align}\nάρα \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{5π}{6}\\) ή \\(150^o\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η υπερβολή \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) με ασύμπτωτη την \\(y=\\dfrac{3}{4}x.\\) Η απόσταση των κορυφών της, \\(Α\\) και \\(Α',\\) είναι \\(8\\).\nα) i. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής.\nii. Ποιες είναι οι εστίες της υπερβολής;\nβ) Να βρείτε την εφαπτομένη της \\(\\dfrac{x^2}{16}-\\dfrac{y^2}{9}=1\\) στο σημείο της \\(\\left(5,\\dfrac{9}{4}\\right).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι η \\(y=\\dfrac{β}{α}x\\) και η \\(y=-\\dfrac{β}{α}x.\\) Εφόσον η \\(y=\\dfrac{3}{4}x\\) είναι ασύμπτωτη και \\(α, β > 0\\), έχουμε ότι\n$$\\frac{β}{α}=\\frac{3}{4}\\iff 4β=3α\\iff β=\\frac{3}{4}α.$$\nΗ απόσταση των κορυφών της \\(ΑΑ'\\) είναι ίση με \\(2α\\), οπότε\n$$2α=8\\iff α=4.$$\nΆρα έχουμε \\(β=\\dfrac{3}{4}\\cdot 4=3.\\) Επομένως η εξίσωση της υπερβολής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) γίνεται \\(\\dfrac{x^2}{4^2}-\\dfrac{y^2}{3^2}=1\\) ή \\(\\dfrac{x^2}{16}-\\dfrac{y^2}{9}=1.\\)ii. Είναι \\(α^2+β^2=γ^2\\) και από το (α.i) ερώτημα έχουμε ότι \\(α=4\\) και \\(β=3\\). Επομένως\n$$4^2+3^2=γ^2\\iff γ^2=25\\overset{γ>0}{\\Leftrightarrow} γ=5.$$\nΟι εστίες είναι της μορφής \\(Ε(γ,0)\\) και \\(Ε'(-γ,0)\\), επομένως \\(Ε(5,0)\\) και \\(Ε'(-5,0).\\)\nβ) Η εφαπτόμενη της υπερβολής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) στο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) δίνεται από τον τύπο\n$$\\frac{xx_1}{α^2}-\\frac{yy_1}{β^2}=1\\iff\\frac{xx_1}{16}-\\frac{yy_1}{9}=1.$$\nΣτο σημείο \\(\\left(5,\\dfrac{9}{4}\\right)\\) θα έχουμε\n$$\\frac{5x}{16}-\\frac{\\frac{9}{4}y}{9}=1\\iff \\frac{5x}{16}-\\frac{y}{4}=1.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) και \\(Δ,Ε\\) σημεία εσωτερικά των πλευρών \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\), αντίστοιχα, τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{AB}=κ\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\cdot\\overrightarrow{AE}\\), όπου \\(κ\\) και \\(λ\\) θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν \\(\\overrightarrow{AB}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{β}\\), τότε:\nα) Να εκφράσετε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) ως γραμμικό συνδυασμό των \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\).\nβ) i. Αν \\(κ=λ\\), να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\parallel \\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=κ\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\).\nii. Aν \\(κ=λ=2\\), να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) και να διατυπώσετε λεκτικά ποιο γνωστό θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχθεί." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΔΕ}&=\\overrightarrow{ΔΑ}+\\overrightarrow{AE}\\\\\n&=-\\frac{1}{κ}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{λ}\\cdot\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{ΑΓ}\\\\\n&=-\\vec{α}+\\vec{β}.\\end{align}\nβ) i. Αν \\(κ=λ\\) τότε\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=-\\vec{α}+\\vec{β}\\\\\n&=κ(-\\frac{1}{κ}\\vec{α}+\\frac{1}{κ}\\vec{β})\\\\\n&=κ\\cdot\\overrightarrow{ΔΕ}\\end{align}\nάρα \\(\\overrightarrow{ΒΓ}//\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=κ\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\).ii.\nΑν \\(κ=λ=2\\), τότε τα σημεία \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι τα μέσα των \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\), αντίστοιχα, και δείξαμε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\parallel \\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=2\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\), επομένως \\(ΔΕ\\parallel ΒΓ\\) και \\(ΒΓ=2\\cdot ΔΕ\\). Αποδείξαμε δηλαδή ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ισούται με το μισό της τρίτης πλευράς." } ]

[ { "from": "human", "value": "Τα σημεία \\(Α(-7.-1)\\) και \\(Β(3,-5)\\) είναι σημεία ενός κύκλου \\(C\\) κέντρου \\(Κ\\). Το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της χορδής \\(ΑΒ\\) και μια ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Κ\\) και \\(Μ\\).\nα) Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\).\nii. Την εξίσωση της ευθείας \\(ΚΜ\\).\nβ) Αν από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου διέρχεται η ευθεία \\(δ:x+y=-12\\), τότε:i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\).\nii. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου \\(C\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\(Μ\\left(\\dfrac{-7+3}{2},\\dfrac{-1-5}{2}\\right)=(-2,3)\\).ii. Το τμήμα \\(ΚΜ\\) ενώνει το κέντρο του κύκλου με το μέσο \\(Μ\\) της χορδής \\(ΑΒ\\), οπότε είναι το απόστημα της χορδής και \\(ΚΜ\\perp ΑΒ\\). Οπότε \\(λ_{ΑΒ}\\cdot λ_{ΚΜ}=-1\\). Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{-5+1}{3+7}=-\\frac{2}{5},$$\nεπομένως \\(λ_{ΚΜ}=\\dfrac{5}{2}\\). Η εξίσωση της ευθείας \\(ΚΜ\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_M=\\frac{5}{2}(x-x_M)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{5}{2}(x+2)\\\\\n\\iff&2y+6=5x+10\\\\\n\\iff&5x-2y+4=0.\\end{align}\nβ) i. Το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου ανήκει στην ευθεία \\((δ)\\) και στην ευθεία \\(ΚΜ\\). Άρα η τομή των δύο ευθειών, δηλαδή η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεών τους, θα είναι οι συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\). Έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}5x-2y=-4\\\\x+y=-12\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}5x-2y=-4\\\\2x+2y=-24\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}7x=-28\\\\x+y=-12\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-4\\\\y=-8\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Κ(-4,-8)\\).ii. Αρκεί να βρούμε την ακτίνα του κύκλου που είναι το μήκος του τμήματος \\(ΚΑ\\). Είναι\n\\begin{align}(KA)&=\\sqrt{(-4+7)^2+(-8+1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{9+49}\\\\\n&=\\sqrt{58}.\\end{align}\nΕπομένως, η εξίσωση του κύκλου είναι\n$$C:(x+4)^2+(y+8)^2=58.$$" } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(C:\\ y^2 = 8x\\).\nα) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της \\(\\left(\\dfrac{1}{8} ,1\\right)\\) είναι παράλληλη στην ευθεία \\((ε): 8x – 2y + 3 = 0.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(C:\\ y^2 = 2\\cdot 4x\\), οπότε \\(p = 4\\), άρα \\(Ε\\left( \\dfrac{p}{2} , 0\\right) = (2 , 0)\\) είναι η εστία και \\((δ):\\ x = - \\dfrac{p}{2} \\Leftrightarrow x = - 2\\), είναι η διευθετούσα.\nβ) Η εφαπτομένη της παραβολής \\(C\\) στο \\(\\left(\\dfrac{1}{8} ,1\\right)\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ε_1):\\ & yy_1 = p(x + x_1) \\\\\n\\Leftrightarrow (ε_1):\\ & y\\cdot 1 = 4\\left(x + \\dfrac{1}{8}\\right) \\\\\n\\Leftrightarrow (ε_1):\\ & y = 4x + \\dfrac{1}{2} \\text{ με } 𝜆_{𝜀_1}=4 \\end{align}$$\nΕπίσης για την ευθεία \\((ε):\\ 8x – 2y + 3 = 0\\) είναι: \\(𝜆_𝜀 =-\\dfrac{Α}{Β} = -\\dfrac{8}{−2} =4.\\)\nΟπότε \\(𝜆_{𝜀_1}= 𝜆_𝜀\\) επομένως: \\((ε_1)\\parallel (ε).\\)" } ]

[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με \\(Α(-2,5),\\ Β(7,8),\\ Γ(1,-4).\\)\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}.\\)\nβ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AΓ}.\\)\nγ) Να βρείτε, σε μοίρες, την κυρτή γωνία \\(B\\hat{A}Γ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}\\):\n$$\\overrightarrow{AB}=(7 –(–2),8 – 5)=(9,3)$$\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(1 –(–2),– 4 – 5)=(3,–9)$$\nβ) Σύμφωνα με την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου, θα έχουμε:\n$$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AΓ}\n=9 \\cdot 3+3\\cdot (− 9)=27 − 27=0.$$\nγ) Αν \\(θ=(\\widehat{\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ}})=Β\\hat{A}Γ\\), γνωρίζουμε ότι\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=|\\overrightarrow{AB}||\\overrightarrow{ΑΓ}|συνθ,$$\nάρα \\(συνθ=0\\). Αλλά \\(0\\leq θ\\leq π\\), έτσι \\(θ=90^ο\\)." } ]

[ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\) τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχουν διανύσματα θέσεως\n$$\\overrightarrow{OA}=2\\vec{i}+λ\\vec{j}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{OB}=(λ+1)\\vec{i}+(λ+3)\\vec{j},$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι\n$$\\overrightarrow{AB}=(λ-1)\\vec{i}+3\\vec{j}.$$\nβ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nγ) Για ποιές τιμές του \\(λ\\) η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι ίση με \\(5\\);\nδ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει πραγματικός αριθμός \\(λ\\) τέτοιος ώστε η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) να παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή.\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=\\overrightarrow{OB}-\\overrightarrow{OA}\\\\\n&=(λ+1)\\vec{i}+(λ+3)\\vec{j}-2\\vec{i}-λ\\vec{j}\\\\\n&=(λ+1-2)\\vec{i}+(λ+3-λ)\\vec{j}\\\\\n&=(λ-1)\\vec{i}+3\\vec{j}.\\end{align}\nβ) Η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι ίση με\n\\begin{align}(AB)&=|\\overrightarrow{AB}|\\\\\n&=\\sqrt{(λ-1)^2+3^2}\\\\\n&=\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\end{align}\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}&(AB)=5\\\\\n\\iff&\\sqrt{(λ-1)^2+3^2}=5\\\\\n\\iff&(λ-1)^2+9=25\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=16\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=4^2\\\\\n\\iff&λ-1=\\pm 4\\\\\n\\iff&λ=5\\text{ ή }λ=-3.\\end{align}\nδ) Για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\) έχουμε\n\\begin{align}&(λ-1)^2\\geq 0\\\\\n\\iff&(λ-1)^2+9\\geq 9\\\\\n\\iff&\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\geq\\sqrt{9}\\\\\n\\iff&(AB)\\geq 3,\\end{align}\nόπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν\n\\begin{align}&(λ-1)^2=0\\\\\n\\iff&λ-1=0\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΆρα, για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\neq 1\\) η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι \\((AB) > 3\\). Όταν \\(λ=1\\) η απόσταση των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι \\((ΑΒ)=3\\) και αυτή είναι η μικρότερη δυνατή τιμή της.\n(Άλλος τρόπος: Η απόσταση των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) γράφεται\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\\\\n&=\\sqrt{λ^2-2λ+10},\\ λ\\in\\mathbb{R}\\end{align}\nκαι παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή όταν το τριώνυμο \\(λ^2-2λ+10\\) παρουσιάζει ελάχιστο, το οποίο συμβαίνει διότι ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι \\(1 > 0\\). Συγκεκριμένα, συμβαίνει όταν \\(λ=-\\dfrac{β}{2α}\\). Είναι \\(α=1\\), \\(β=-2\\) και \\(γ=10\\), οπότε το τριώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο για \\(λ=-\\dfrac{-2}{2\\cdot1}=1\\).)\nΕπομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής." } ]

[ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,5)\\) και \\(Β(6,-1)\\).\nα) i. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(AB\\) είναι το σημείο \\(M(3,2)\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης ευθείας \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{-1-5}{6-0}=-1.$$\nii. Aν \\(M(x_M,y_M)\\), ισχύει:\n$$\\begin{cases}x_M=\\dfrac{x_A+x_B}{2}=3\\\\y_M=\\dfrac{y_A+y_B}{2}=2\\end{cases}$$\nβ) Η μεσοκάθετη ευθεία \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ(3,2)\\) και έχει κλίση \\(λ\\), η οποία προκύπτει από την εξίσωση\n$$λ\\cdot λ_{ΑΒ}=-1$$\n$$\\iff λ\\cdot(-1)=-1\\iff λ=1.$$\nΕπομένως η εξίσωσή της είναι η\n$$y-2=1\\cdot(x-3)\\iff y=x-1.$$" } ]