conversations
listlengths 2
2
|
|---|
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με:\n$$f(x)=\\begin{cases} 2x-5, x \\le 3 \\\\ x^2, 3 < x < 10 \\end{cases}$$\nα) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(f(-1)\\), \\(f(-3)\\) και \\(f(5)\\).\nγ) Διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nδ) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\) που έχει τεταγμένη \\(y=21\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι σε μορφή διαστήματος το εξής:\n$$A=[-\\infty ,10)$$\nβ) Έχουμε:\n$$f(-1)=2(-1)-5=-7$$\n$$f(3)=2\\cdot 3-5=1$$\n$$f(5)=5^{2}=25$$\nγ) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων, πρέπει \\(f(0)=0\\). Όμως \\(f(0)=2\\cdot 0-5=-5\\ne 0\\), οπότε η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.\nδ) Έχουμε δυο περιπτώσεις:\n\\(y=f(x)=21 \\Leftrightarrow 2x-5=21 \\Leftrightarrow 2x=26 \\Leftrightarrow x=13\\notin (-\\infty ,3]\\)\n\\(y=f(x)=21 \\Leftrightarrow x^{2}=21 \\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{21}\\). Από τις δυο αυτές τιμές του \\(x\\) δεκτή είναι η \\(\\sqrt{21}\\) διότι \\(\\sqrt{21}\\in (3,10)\\).\nΚατά συνέπεια το ζητούμενο σημείο είναι \\((\\sqrt{21},21)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\begin{cases} 2x-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ x^{2}+1\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\\)\nα) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(f(-1)\\) και \\(f(1)\\).\nβ) Για \\(x\\ge 0\\) να λύσετε την ανίσωση: \\(f(x)\\ge 2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι: \\(-1<0\\), άρα:\n$$f(-1)=2\\cdot (-1)-1$$\n$$=-2-1=-3$$\nΕίναι: \\(1>0\\), άρα:\n$$f(1)=1^{2}+1=2$$\nβ) Αφού \\(x\\ge 0\\) τότε:\n$$f(x)\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}\\ge 1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{x^{2}}\\ge 1 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|\\ge 1$$\nΕπομένως: \\(x\\le -1\\) ή \\(x\\ge 1\\) και \\(x\\ge 0\\).\nΆρα \\(x\\ge 1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α , β\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει ότι: \\(|α-2|<1\\) και \\(|β-3|\\le 2\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(1<α<3\\).\nβ) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο \\(β\\).\nγ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \\(2α-3β\\).\nδ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \\(\\dfrac{α}{β}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|α-2|<1$$\n$$\\Rightarrow -1<α-2<1$$\n$$\\Rightarrow -1+2<α<1+2$$\n$$\\Rightarrow 1<α<3$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|β-3|\\le 2$$\n$$\\Rightarrow -2\\le β-3\\le 2$$\n$$\\Rightarrow 3-2\\le β\\le 3+2$$\n$$\\Rightarrow 1\\le β\\le 5$$\nγ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \\(2α-3β\\) = \\(2α+(-3β)\\).\nΑπό τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:\n\\(1<α<3\\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \\(2\\) έχουμε:\n$$2<2α<6\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι \\(1\\le β\\le 5\\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \\(-3\\) έχουμε: \\(-3\\cdot 1\\ge -3β\\ge -3\\cdot 5\\) και ισοδύναμα:\n$$-15\\le -3β\\le -3\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε τις \\((1)\\) και \\((2)\\) κατά μέλη, οπότε:\n$$-13<2α+(-3β)<3$$\n$$\\Rightarrow -13<2α-3β<3$$\nδ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \\(\\dfrac{α}{β}=α\\cdot \\dfrac{1}{β}\\).\nΑπό τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:\n$$1<α<3\\ \\ \\ \\ (3)$$\nκαι \\(1\\le β\\le 5\\), οπότε ισοδύναμα \\(\\dfrac{1}{1}\\ge \\dfrac{1}{β}\\ge \\dfrac{1}{5}\\), δηλαδή:\n$$\\dfrac{1}{5}\\le \\dfrac{1}{β}\\le 1\\ \\ \\ \\ (4)$$\nΠολλαπλασιάζουμε τις \\((3)\\) και \\((4)\\) κατά μέλη, οπότε: \\(1\\cdot \\dfrac{1}{5}<α\\cdot \\dfrac{1}{β}<3\\cdot 1\\), δηλαδή \\(\\dfrac{1}{5}<\\dfrac{α}{β}<3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι ανισώσεις \\(|x-1|< 2\\) και \\(x^2-3x+2\\geq0\\).\nα) Να βρείτε τις λύσεις τους.\nβ) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \\(x\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).\nγ) i. Αν οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\), είναι και ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) κοινή τους λύση;\nii. Αν οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \\(ρ_1\\in(1,1]\\) και \\(ρ_2\\in[2,3)\\), είναι και ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) κοινή τους λύση;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}&|x-2|< 2\\\\\n\\iff&-2< x-1< 2\\\\\n\\iff&-1< x< 3.\\end{align}\nΓια να λύσουμε την ανίσωση \\(x^2-3x+2\\geq0\\), θα βρούμε πρώτα τις ρίζες \\(x_1\\) και \\(x_2\\) του τριωνύμου. Έχουμε λοιπόν\n$$x_1+x_2=\\frac{-β}{α}=3$$\nκαι\n$$x_1\\cdot x_2=\\frac{γ}{α}=2,$$\nοπότε \\(x_1=1\\) και \\(x_2=2\\).\nΣτη συνέχεια κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου για το τριώνυμο \\(x^2-3x+2\\), με \\(α=1>0\\):\nΟπότε η ανίσωση αληθεύει για \\(x\\in(-\\infty,1]\\cup[2,+\\infty)\\).\nβ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών,\nβλέπουμε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \\(x\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).\nγ) Εφόσον οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των ανισώσεων, θα ισχύει \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).i. Αν \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\), τότε:\n$$\\begin{cases}-1< ρ_1\\leq1\\\\-3<3ρ_2\\leq3\\end{cases}$$\nκαι προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:\n$$-4<ρ_1+3ρ_2\\leq4,$$\nσυνεπώς\n$$-1<\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\leq1$$\nκαι ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) είναι κοινή λύση των ανισώσεων.ii. Αν \\(ρ_1\\in(-1,1]\\) και \\(ρ_2\\in[2,3)\\), τότε:\n$$\\begin{cases}-1<ρ_1\\leq1\\\\6\\leq3ρ_2<9\\end{cases}$$\nκαι προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:\n$$5<ρ_1+3ρ_2<10,$$\nσυνεπώς\n$$\\frac{5}{4}<\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}<\\frac{5}{2}$$\nκαι ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) είναι κοινή λύση των ανισώσεων μόνο εάν\n$$2\\leq\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}<\\frac{5}{2}$$."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\\(α_ν\\)) με διαφορά \\(ω\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}}=2\\).\nβ) Αν \\(α_{15}-α_{9}=18\\), να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}} = \\dfrac{α_{1}+(15-1)ω-[α_{1}+(9-1)ω]}{α_{1}+(10-1)ω-[α_{1}+(7-1)ω]} $$\n$$= \\dfrac{α_{1}+14ω-α_{1}-8ω}{α_{1}+9ω-α_{1}-6ω} $$\n$$= \\dfrac{6ω}{3ω} $$\n$$= 2$$\nβ) Έχουμε:\n$$\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{18}{α_{1}+9ω-α_{1}-6ω} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{18}{3ω} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow 18=6 ω $$\n$$\\Leftrightarrow ω =3 $$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-5|x|+6}{|x|-3}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in Α\\) ισχύει \\(f(x)=|x|-2\\).\nγ) Για \\(x\\in Α\\), να λύσετε την εξίσωση \\((f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Πρέπει:\n$$|x|-3\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|\\ne 3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ne 3 \\\\ \\text{και} \\\\ x\\ne -3 \\end{cases}$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\nβ) Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση:\n$$x^{2}-5|x|+6=|x|^{2}-5|x|+6$$\nΘέτουμε \\(|x|=y\\ \\ (1)\\) και η παράσταση \\(|x|^{2}-5|x|+6\\) γίνεται: \\(y^{2}-5y+6\\)\nΤο τριώνυμο \\(y^{2}-5y+6\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6$$\n$$=25-24=1>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$y_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}=\\dfrac{5\\pm 1}{2} $$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} y_{1} = \\dfrac{5+1}{2} = \\dfrac{6}{2} =3 \\\\ \\\\ y_{2} = \\dfrac{5-1}{2} = \\dfrac{4}{2} =2 \\end{cases}$$\nΈτσι το τριώνυμο \\(y^{2}-5y+6\\) γίνεται:\n$$y^{2}-5y+6=(y-2)(y-3)$$\nκαι επομένως:\n$$|x|^{2}-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)$$\nΤελικά ο τύπος της \\(f\\) γίνεται:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-5|x|+6}{|x|-3}$$\n$$=\\dfrac{(|x|-2)(|x|-3)}{|x|-3}=|x|-2$$\nγια κάθε \\(x\\in Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\nγ) Η εξίσωση \\((f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\\) με \\(f(x)=|x|-2\\) γράφεται:\n$$(|x|-2+2)^{2}-4(|x|-2)-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+8-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+3=0$$\nΘέτουμε \\(|x|=z \\ \\ (2)\\) και βρίσκουμε:\n$$z^{2}-4z+3=0$$\nΤο τριώνυμο \\(z^{2}-4z+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-4)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 3$$\n$$=16-12=4>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$z_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-4)\\pm \\sqrt{4}}{2\\cdot 1} =\\dfrac{4\\pm 2}{2} $$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} z_{1} = \\dfrac{4+2}{2} = \\dfrac{6}{2} =3 \\\\ \\\\ z_{2} = \\dfrac{4-2}{2} = \\dfrac{2}{2} =1 \\end{cases}$$\nΤότε από την ισότητα \\((2)\\) βρίσκουμε:\n$$z=3 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=3 \\\\ x=-3 \\end{cases}$$\nοι οποίες όμως απορρίπτονται αφού δεν ανήκουν στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\n$$z=1 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ x=-1 \\end{cases}$$\nοι οποίες είναι δεκτές αφού ανήκουν στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=(x-1)^{2}-4\\) και \\(g(x)=|x-1|+2\\) με \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\) αν και μόνο αν \\(f(x)>0\\), οπότε ισοδύναμα έχουμε:\n$$(x-1)^{2}-4>0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}>4 $$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{(x-1)^{2}}>4 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|>2$$\nΗ τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:\n$$x-1<-2\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x-1>2$$\nαπό όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:\n$$x<-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x>3$$\nβ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\) αν και μόνο αν:\n$$g(x)>0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|+2>0$$\nτο οποίο ισχύει για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) αφού \\(|x-1|\\ge 0\\) και \\(2>0\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\), προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}-4=|x-1|+2$$\nη οποία γράφεται:\n$$|x-1|^{2}-4=|x-1|+2 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|^{2}-|x-1|-6=0$$\nΣτην τελευταία σχέση θέτουμε \\(|x-1|=y\\), οπότε η εξίσωση γράφεται:\n$$y^{2}-y-6=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)$$\n$$=1+24=25>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$y_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 5}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+5}{2}=3 \\\\ \\dfrac{1-5}{2}=-2 \\end{cases}$$\nΆρα για \\(y=|x-1|\\) έχουμε:\n\\(|x-1|=3 \\Leftrightarrow (x-1=3\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x-1=-3) \\Leftrightarrow x=4\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=-2\\)\n\\(|x-1|=-2\\) που είναι αδύνατη\nΘέτοντας \\(x=4\\) στον τύπο της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκουμε:\n$$g(4)=|4-1|+2$$\n$$=|3|+2=5$$\nΘέτοντας \\(x=-2\\) στον τύπο της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκουμε:\n$$g(-2)=|-2-1|+2$$\n$$=|-3|+2$$\n$$=3+2=5$$\nΆρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι τα:\n$$Α(-2,5)\\ \\ \\text{και}\\ \\ Β(4,5)$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\frac{x^7-x}{x^3-x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^4+x^2+1\\) για κάθε \\(x\\in A\\).\nδ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση \\(f(x)=3\\) έχει λύση στο σύνολο \\(A\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί\n\\begin{align}&x^3-x\\neq 0 \\\\\n\\iff& x(x^2-1)\\neq0\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x^2-1\\neq0\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x^2\\neq1\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x\\neq\\pm1\\end{align}\nΣυνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το σύνολο\n\\begin{align}A&=\\mathbb{R}-\\{-1,0,1\\}\\\\\n&=(-\\infty,-1)\\cup(-1,0)\\cup(0,1)\\cup(1,+\\infty).\\end{align}\nβ) Επειδή το \\(0\\notin A\\) η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν έχει κοινό σημείο με τον \\(y'y\\).\nΟι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον \\(x'x\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) με \\(x\\in A\\). Είναι\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&x^7-x=0\\\\\n\\iff&x(x^6-1)=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x^6-1=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x^6=1\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x=\\pm1.\\end{align}\nΕπειδή \\(0\\notin A, -1\\notin A, 1\\notin A\\) η εξίσωση \\(f(x)=0\\) είναι αδύνατη στο σύνολο \\(A\\) και επομένως η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν έχει κοινό σημείο με τον \\(x'x\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x^7-x}{x^3-x}\\\\\n&=\\frac{x(x^6-1)}{x(x^2-1)}\\\\\n&=\\frac{(x^2)^3-1}{x^2-1}\\\\\n&=\\frac{(x^2-1)(x^4+x^2+1)}{x^2-1}\\\\\n&=x^4+x^2+1\\end{align}\nγια κάθε \\(x\\in A\\).\nδ) Είναι\n\\begin{align}&f(x)=3\\\\\n\\iff&x^4+x^2+1=3\\\\\n\\iff&x^4+x^2-2=0.\\end{align}\nΘέτουμε \\(x^2=ω\\) και η εξίσωση γίνεται \\(ω^2+ω^2-2=0\\) που έχει ρίζες τις \\(ω=1\\) και \\(ω=-2\\) αφού \\(S=-\\frac{β}{α}=-1\\) και \\(P=\\frac{γ}{α}=-2\\).\nΓια \\(ω=1\\) έχουμε\n$$x^2=1\\iff x=\\pm 1$$\nπου όμως δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού \\(A\\).\nΓια \\(ω=-2\\) έχουμε \\(x^2=-2\\) που είναι αδύνατη.\nΣυνεπώς η εξίσωση \\(f(x)=3\\) δεν έχει λύση στο σύνολο \\(A\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο (\\(α_ν\\)) δίνονται \\(α_{1}=41\\) και \\(α_{6}=26\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι ίση με \\(-3\\).\nβ) Να βρείτε το θετικό ακέραιο \\(ν\\), ώστε \\(α_{ν}=ν\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$α_{6}=41+(6-1)ω$$\n$$\\Leftrightarrow 41+5ω=26$$\n$$\\Leftrightarrow ω = - 3$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_ν = ν $$\n$$\\Leftrightarrow α_1 + (ν - 1)ω = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 41 + (ν - 1)(- 3) = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 41 - 3ν + 3 = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 44 = 4ν $$\n$$\\Leftrightarrow ν = 11$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(|α-1|-3)x=α+2\\quad (1),$$\nμε παράμετρο \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση για \\(α=0\\) και \\(α=5\\).\nβ) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\) ισχύει \\(|α-1|=3\\).\nii. Να λύσετε την εξίσωση \\((1)\\) για τις τιμές του \\(α\\) που βρήκατε στο ερώτημα (β.i)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για \\(α=0\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|0-1|-3)\\cdot x=0+2\\\\\n\\iff&(1-3)\\cdot x=2\\\\\n\\iff&-2x=2\\\\\n\\iff& x=-1.\\end{align}\nΓια \\(α=5\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|5-1|-3)\\cdot x=5+2\\\\\n\\iff&(4-3)\\cdot x=7\\\\\n\\iff& x=7.\\end{align}\nβ) i. Είναι\n\\begin{align}&|α-1|=3\\\\\n\\iff&α-1=3\\text{ ή }α-1=-3\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-2.\\end{align}\nii. Για \\(α=4\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|4-1|-3)\\cdot x=4+2\\\\\n\\iff&0\\cdot x=6,\\end{align}\nπου είναι αδύνατη.\nΓια \\(α=-2\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|-2-1|-3)\\cdot x=-2+2\\\\\n\\iff&0\\cdot x=0,\\end{align}\nπου είναι ταυτότητα (Έχει άπειρες λύσεις ως προς \\(x\\))."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \\(3x-1\\lt x+9\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση \\(2-\\dfrac{x}{2}\\le x+\\dfrac{1}{2}\\).\nγ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να τις γράψετε σε μορφήδιαστήματος."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$3x-1\\lt x+9$$\n$$\\Leftrightarrow 3x-x \\lt 1+9$$\n$$\\Leftrightarrow 2x\\lt 10$$\n$$\\Leftrightarrow x\\lt 5$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$2-\\dfrac{x}{2}\\le x+\\dfrac{1}{2}$$\n$$\\overset{(\\cdot 2)}{\\Leftrightarrow} 4-x\\le 2x+1$$\n$$3x\\ge 3$$\n$$x\\ge 1$$\nγ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, βλέπουμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) είναι οι πραγματικοί αριθμοί \\(x\\) για του οποίους ισχύει \\(x\\in [1,5)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4)\\ \\ \\ \\ (1)$$\nμε παράμετρο \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις: \\(x_{1}=β−2\\) και \\(x_{2}=β+2\\).\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(β\\), \\(x_{2}\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}−2βx+β^{2}−4\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−2β)^{2}−4\\cdot 1\\cdot (β^{2}−4)$$\n$$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{−β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{2β\\pm 4}{2}$$\nοπότε έχουμε:\n$$x_{1}=β+2\\ \\ \\text{,}\\ \\ x_{2}=β−2$$\nΣημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:\nΗ \\(x_{1}=β+2\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$\nΟμοίως η \\(x_{2}=β−2\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$\nΣυνεπώς, η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\), με \\(x_{1}\\ne x_{2}\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(β-2\\), \\(β\\), \\(β+2\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: \\(β-(β-2) = 2\\) και \\((β+2) – β = 2\\), δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: \\(ω = 2\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=αx+β\\), η οποία έχει κλίση \\(-2\\) και διέρχεται από το σημείο \\((1, 1).\\)\nα) Να βρείτε τις τιμές των \\(α\\) και \\(β.\\)\nβ) Να βρείτε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον άξονα \\(y'y.\\)\nγ) Να χαράξετε σε σύστημα συντεταγμένων την παραπάνω ευθεία."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η ευθεία έχει κλίση \\(α=-2\\), οπότε η εξίσωσή της γίνεται \\(y=-2x+β\\).\nΗ ευθεία διέρχεται από τη σημείο \\((1, 1)\\), οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Δηλαδή: \\(1=-2 \\cdot 1+β \\Leftrightarrow β=3.\\)\nΆρα η εξίσωση της ευθείας είναι: \\(y=-2x+3\\).\nβ) Η ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\((0, 3)\\), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε: \\(y=-2\\cdot 0+3=3\\).\nγ) Παίρνουμε στο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία \\((1, 1)\\) και \\((0, 3)\\) και χαράζουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-1}{x-2}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ)\ni. Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(f(x)=0\\).\nii. Να βρείτε τις τιμές \\(f(0)\\) και \\(f(3)\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$x-2\\ne 0 \\Leftrightarrow x\\ne 2$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι \\(Α=\\mathbb{R}-\\{2\\}\\).\nβ)\ni. Έχουμε ισοδύναμα:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}-1}{x-2}=0$$\n$$\\overset{x\\ne 2}{ \\Leftrightarrow } x^{2}-1=0$$\nοπότε:\n$$x^{2}=1$$\nκαι τελικά:\n$$x=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=1$$\nΆρα για \\(x=-1\\) και \\(x=1\\), \\(f(x)=0\\).\nii. Έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0^{2}-1}{0-2}=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$f(3)=\\dfrac{3^{2}-1}{3-2}=8$$\nγ) Από το βi ερώτημα έχουμε \\(f(-1)=0\\) και \\(f(1)=0\\). Από το βii ερώτημα έχουμε \\(f(0)=\\dfrac{1}{2}\\).\nΆρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στα σημεία \\((-1,0)\\) και \\((1,0)\\) και τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\(\\left(0,\\dfrac{1}{2}\\right)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \\(x,y\\) ισχύει:\n$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x+6y+10$$\n(Μονάδες12)\nβ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x,\\ y\\), ώστε:\n$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$$\n(Μονάδες13)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{align} (x-1)^{2}+(y+3)^{2} & =(x^{2}-2x+1)+(y^{2}+6y+9)\\\\\n& =x^{2}+y^{2}-2x+6y+10\\end{align}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=0$$\n$$x-1=0 \\text{ και } y+3=0$$\n$$x=1 \\text{ και } y=-3$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με λόγο \\(λ\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(α_{3}=4,α_{5}=16\\) και \\(λ>0\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) και τον λόγο \\(λ\\) της προόδου.\nβ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία \\((β_{ν})\\), με \\(β_{ν}=\\dfrac{1}{α_{ν}}\\), \\(ν=1,2,3,..\\) είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της \\((α_{ν})\\).\nγ) Αν \\(S_{10}\\) είναι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) και \\(S_{10}'\\) το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((β_{ν})\\) αντίστοιχα, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:\n$$S_{10}'=\\dfrac{1}{2^{9}}S_{10}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με λόγο \\(λ\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(α_{3}=4,α_{5}=16\\) και \\(λ>0\\).\nα) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=4 \\\\ α_{5}=16 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}\\cdot λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{4}=16 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(÷)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{2}=4 \\end{cases}$$\n$$\\overset{λ>0}{\\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}\\cdot 2^{2}=4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}=1 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε:\n$$\\dfrac{β_{ν+1}}{β_ν}=\\dfrac{\\dfrac{1}{α_{ν+1}}}{\\dfrac{1}{α_{ν+1}}}$$\n$$=\\dfrac{α_ν}{α_{ν+1}}=\\dfrac{1}{\\dfrac{α_{ν+1}}{α_ν}}=\\dfrac{1}{λ}$$\nοπότε \\((β_{ν})\\), με \\(β_{ν}=\\dfrac{1}{α_{ν}}\\), \\(ν=1,2,3,..\\) είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο \\(β_{1}=\\dfrac{1}{α_{1}}=1\\) και λόγο τον αντίστροφο του λόγου της \\((α_{ν})\\), δηλαδή \\(λ'=\\dfrac{1}{2}\\).\nγ) Εφόσον \\(S_{10}\\) είναι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\), έχουμε:\n$$S_{10}=α_{1}\\dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{2^{10}-1}{2-1}=2^{10}-1$$\nΤο άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((β_{ν})\\) είναι:\n$$S_{10}'=β_{1}\\dfrac{(λ')^{10}-1}{λ'-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{10}-1}{\\dfrac{1}{2}-1}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{1}{2^{10}}-1}{-\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{1-2^{10}}{2^{10}}}{-\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}}{\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{2\\cdot (2^{10}-1)}{2^{10}}$$\n$$=\\dfrac{1}{2^{9}}S_{10}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α\\) και \\(β\\) για τους οποίους ισχύει:\n$$(α-1)(1-β)>0$$\nα) Να δείξετε ότι το \\(1\\) είναι μεταξύ των \\(α\\) και \\(β\\).\n(Μονάδες13)\nβ) Αν επιπλέον \\(|β-α|=4\\), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης\n$$Κ=|α-1|+|1-β|$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αφού \\((α-1)(1-β)>0\\), οι \\((α-1)\\) και \\((1-β)\\) είναι ομόσημοι, οπότε:\n$$\\begin{cases} α-1>0 \\\\ \\text{και} \\\\ 1-β>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α>1 \\\\ \\text{και} \\\\ β<1 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow β<1<α$$\nή\n$$\\begin{cases} α-1<0 \\\\ \\text{και} \\\\ 1-β<0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α<1 \\\\ \\text{και} \\\\ β>1 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow α<1<β$$\nΣε κάθε περίπτωση το \\(1\\) είναι μεταξύ των \\(α\\) και \\(β\\).\nβ) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:\nΑν \\(β<1<α\\), τότε:\n\\(0<α-1 \\Rightarrow |α-1|=α-1\\),\n\\(0<1-β \\Rightarrow |1-β|=1-β\\) και\n\\(β-α<0 \\Rightarrow |β-α|=α-β\\) άρα,\n\\(|β-α|=4 \\Leftrightarrow α-β=4\\).\nΟπότε: \\(Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4\\).\nΑν \\(α<1<β\\), τότε:\n\\(α-1<0 \\Rightarrow |α-1|=1-α\\),\n\\(1-β<0 \\Rightarrow |1-β|=β-1\\) και\n\\(β-α>0 \\Rightarrow |β-α|=β-α\\) άρα,\n\\(|β-α|=4 \\Leftrightarrow β-α=4\\).\nΟπότε: \\(Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(B=\\sqrt[5]{(x-2)^{5}}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Β\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=4\\), να αποδείξετε ότι: \\(B^{2}+6B=B^{4}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Πρέπει:\n$$(x-2)^{5}\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-2\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [2,+\\infty)$$\nβ) Για \\(x=4\\), είναι:\n$$B=\\sqrt[5]{(4-2)^{5}}=\\sqrt[5]{2^{5}}=2$$\nΤότε:\n$$B^{2}+6B=2^{2}+6\\cdot 2$$\n$$=4+12=16=2^{4}=B^{4}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\nα) Για \\(1 < x < 2\\), να δείξετε ότι: \\(Α=2x-3\\).\nβ) Για \\(x<1\\), να δείξετε ότι η παράσταση \\(Α\\) έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του \\(x\\)), την οποία και να προσδιορίσετε."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει ότι:\n$$ 1 < x < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow (1 < x\\ \\ \\text{και}\\ \\ x < 2) $$\n$$\\Leftrightarrow (0 < x-1\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-2 < 0)$$\nΤότε:\n$$|x-1|=x-1$$\nκαι:\n$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$\nΆρα:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\n$$=x-1-(2-x)$$\n$$=x-1-2+x=2x-3$$\nβ) Για \\(x<1\\) είναι:\n$$|x-1|=-(x-1)=1-x$$\nκαι:\n$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$\nΕπομένως:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\n$$=1-x-(2-x)$$\n$$=1-x-2+x=-1\\ \\text{, σταθερή}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-2x-3}{x+1}\\) με \\(x\\ne -1\\).\nα) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι \\(f(x)=x-3\\) για κάθε \\(x\\ne -1\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,-4)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να απλοποιήσουμε τον τύπο της συνάρτησης παραγοντοποιούμε το τριώνυμο \\(x^{2}-2x-3\\).\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^{2}-2x-3\\) είναι: \\(Δ=4-4\\cdot (-3)=16\\).\nκαι οι ρίζες:.\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{2\\pm 4}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=3\\ \\text{και}\\ x_{2}=-1$$\nΆρα:\n$$x^{2}-2x-3=(x+1)\\cdot (x-3)$$\nΕπομένως έχουμε:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-2x-3}{x+1}$$\n$$=\\dfrac{(x+1)\\cdot (x-3)}{x+1}$$\n$$=x-3$$\nβ) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) από το σημείο \\(Α(1,-4)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση της συνάρτησης. Δηλαδή θα πρέπει \\(f(1)=-4\\).\nΕίναι \\(f(1)=-2\\ne -4\\). Άρα το σημείο \\(Α(1,-4)\\) δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ορθογώνιο μήκους \\(α\\), πλάτους \\(β\\) και εμβαδού \\(Ε\\). Οι αριθμοί \\(α\\) ,\\(Ε\\), \\(β\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.\nα) Να υπολογίσετε την τιμή του εμβαδού \\(Ε\\).\nβ) Αν \\(Ε=1\\) και \\(α+β=10\\),\nνα κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \\(α\\) και \\(β\\).\nνα βρείτε τις διαστάσεις \\(α\\) και \\(β\\) του ορθογωνίου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις \\(α\\) και \\(β\\) είναι:\n$$Ε=α\\cdot β\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΟι αριθμοί \\(α\\), \\(Ε\\), \\(β\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(Ε^{2}=α\\cdot β\\), οπότε λόγω \\((1)\\):\n$$Ε^{2}=Ε$$\nΔηλαδή:\n$$Ε^{2}-Ε=0$$\nΟπότε:\n$$Ε(Ε-1)=0$$\nΚαι επειδή \\(Ε\\ne 0\\):\n$$Ε=1$$\nβ)\nΤο άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι \\(S=α+β=10\\) και το γινόμενο των ριζών είναι \\(P=αβ=Ε=1\\). Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \\(α\\) και \\(β\\) είναι η:\n$$x^{2}-Sx+P=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+1=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-10x+1\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-10)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 1=96>0\\), οπότε η εξίσωση \\(x^{2}-10x+1=0\\) έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-10)-\\sqrt{96}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10-\\sqrt{16\\cdot 6}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10-4\\sqrt{6}}{2}$$\n$$=5-2\\sqrt{6}>0$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-10)+\\sqrt{96}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10+\\sqrt{16\\cdot 6}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10+4\\sqrt{6}}{2}$$\n$$=5+2\\sqrt{6}>0$$\nΆρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \\(α=5-2\\sqrt{6}\\) και \\(β=5+2\\sqrt{6}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη \\(x\\) και \\(y\\), για τα οποία ισχύουν:\n$$|x-3|\\le 2\\ \\ \\text{και}\\ \\ |y-6|\\le 4$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(1\\le x\\le 5\\) και \\(2\\le y\\le 10\\).\nβ) Να βρείτε την μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις \\(2x\\) και \\(y\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει ότι:\n$$|x−3|\\le 2 $$\n$$\\Leftrightarrow −2\\le x−3\\le 2 $$\n$$\\Leftrightarrow −2+3\\le x\\le 2+3 $$\n$$\\Leftrightarrow 1\\le x\\le 5$$\n$$|y−6|\\le 4 $$\n$$\\Leftrightarrow −4\\le y−6\\le 4 $$\n$$\\Leftrightarrow −4+6\\le y\\le 4+6 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\le y\\le 10$$\nβ) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις \\(2x\\) και \\(y\\) είναι \\(Π=4x+2y\\).\nΑπό το α) ερώτημα έχουμε:\n$$1\\le x\\le 5 $$\n$$\\Leftrightarrow 1\\cdot 4\\le 4x\\le 5\\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le 4x\\le 20\\ \\ \\ \\ (1)$$\n$$2\\le y\\le 10 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\cdot 2\\le 2y\\le 10\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le 2y\\le 20\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((2)\\) έχουμε:\n$$4+4\\le 4x+2y\\le 20+20 $$\n$$\\Leftrightarrow 8\\le Π\\le 40$$\nΣυνεπώς, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι \\(8\\), όταν \\(x=1\\), \\(y=2\\) και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι \\(40\\), όταν \\(x=5\\), \\(y=10\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\begin{cases} x^{2}-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ 2x+2\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές \\(f(3)\\) και \\(f(-3)\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) για τις οποίες ισχύει: \\(f(x)=8\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή \\(3>0\\), είναι:\n$$f(3)=2\\cdot 3+2=8$$\nΑφού \\(-3<0\\), είναι:\n$$f(-3)=(-3)^{2}-1=8$$\nβ) Για \\(x<0\\) είναι:\n$$f(x)=x^{2}-1$$\nΆρα:\n$$f(x)=8 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-1=8 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 3$$\nΔεκτή τιμή: \\(x=-3 < 0\\).\nΓια \\(x>0\\) είναι:\n$$f(x)=2x+2$$\nΆρα:\n$$f(x)=8 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+2=8 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3$$\nΔεκτή τιμή, αφού \\(x=3>0\\).\nΕπομένως η \\(f(x)=8\\) ισχύει για \\(x=-3\\) και \\(x=3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση \\(f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}\\) με τύπο \\(f(x)=-x+\\sqrt{2},\\ x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(f(0),\\ f(\\sqrt{2}),\\ f(-\\sqrt{2}),\\ [f(-\\sqrt{2})]^2\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε: \\(f(0)=-0+\\sqrt{2}=\\sqrt{2}\\).\n\\(f(\\sqrt{2})=-\\sqrt{2}+\\sqrt{2}=0\\).\n\\(f(-\\sqrt{2})=-(-\\sqrt{2})+\\sqrt{2}=\\sqrt{2}+\\sqrt{2}=2\\sqrt{2}\\).\n\\([f(-\\sqrt{2})]^2=(2\\sqrt{2})^2=2^2\\cdot(\\sqrt{2})^2=4\\cdot 2=8\\).\nβ) Για \\(x=0\\), έχουμε βρει από το (α) ερώτημα \\(y=f(0)=\\sqrt{2}\\), ενώ για \\(y=0\\) παίρνουμε\n$$0=-x+\\sqrt{2}\\iff x=\\sqrt{2},$$\nδηλαδή \\(f(\\sqrt{2})=0\\), τιμή που βρέθηκε στο (α) ερώτημα.\nΈτσι, βρήκαμε τα σημεία \\(B(0,\\sqrt{2})\\) και \\(A(\\sqrt{2},0)\\), τα οποία είναι αυτά στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τους άξονες \\(y'y\\) και \\(x'x\\) αντίστοιχα.\nΠαρατηρούμε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι της μορφής \\(y=f(x)=αx+β\\) με \\(x\\in\\mathbb{R},\\ (α\\cdot β\\neq 0)\\) οπότε η γραφική της παράσταση θα είναι μια ευθεία που δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων και επομένως αρκεί να σχεδιάσουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ανίσωση\n$$|x-1|\\leq 3\\quad (1).$$\nα) Να λύσετε την ανίσωση \\((1)\\).\nβ) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης \\((1)\\).\nγ) Να βρείτε μία ανίσωση \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού που να έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την \\((1)\\).\nδ) Να δείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά \\(8\\) δεν ξεπερνάει το διπλάσιό του, τότε η απόστασή του από το \\(1\\) δεν ξεπερνάει το \\(3\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι\n\\begin{align}&|x-1|\\leq 3\\\\\n\\iff&-3\\leq x-1\\leq 3\\\\\n\\iff&-2\\leq x\\leq 4,\\end{align}\nδηλαδή \\(x\\in[-2,4]\\).\nβ) Οι ακέραιες λύσεις στο διάστημα \\([-2,4]\\) είναι οι\n$$-2,\\ -1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4.$$\nγ) Αναζητούμε ένα τριώνυμο με ρίζες \\(-2\\) και \\(4\\) του οποίου το πρόσημο να είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου.\nΤο άθροισμα των ριζών είναι \\(S=-2+4=2\\), το γινόμενο των ριζών είναι \\(P=-2\\cdot 4=-8\\), οπότε ένα τριώνυμο είναι το\n$$x^2-S\\cdot x+P=x^2-2\\cdot x-8$$\nκαι αφού θέλουμε το πρόσημό του να είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή αρνητικό, έχουμε τελικά ότι η ζητούμενη ανίσωση είναι η\n$$x^2-2x-8\\leq 0.$$\nδ) Έστω λοιπόν ένας αριθμός \\(x\\) του οποίου το τετράγωνο ελαττωμένο κατά \\(8\\) δεν ξεπερνάει το διπλάσιό του, δηλαδή\n$$x^2-8\\leq 2x\\iff x^2-2x-8\\leq 0.$$\nΤότε όπως δείξαμε στο (γ) ερώτημα για αυτόν τον αριθμό \\(x\\) θα ισχύει ισοδύναμα ότι \\(|x-1|\\leq 3\\), δηλαδή η απόστασή του από το \\(1\\) δεν ξεπερνάει το \\(3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$αx^2-2αx-2α-2=0,\\text{ με }α\\in\\mathbb{R}^*\\quad (1).$$\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\in\\mathbb{R}^*\\) για τις οποίες η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζα το \\(3\\).\nβ) Για \\(α=2\\) να λύσετε την εξίσωση \\((1)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για \\(x=3\\) η εξίσωση \\((1)\\) γίνεται:\n\\begin{align}&α\\cdot 3^2-2α\\cdot 3-2α−2=0\\\\\n\\iff&9α-6α-2α-2=0\\\\\n\\iff&α=2.\\end{align}\nΆρα \\(α=2\\).\nβ) Στη σχέση \\((1)\\) αντικαθιστούμε το \\(α=2\\) και προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση \\(2x^2-4x-6=0 \\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\\), με \\(α=1,\\ β=-2\\) και \\(γ=-3\\).\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα\n$$Δ=2^2-4\\cdot(-3)\\cdot1=16 > 0$$\nοπότε έχει δύο άνισες ρίζες\n$$x_1=\\frac{-(-2)+4}{2}=3$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-2)-4}{2}=-1.$$\nΆρα η εξίσωση έχει λύσεις \\(x=-1\\) ή \\(x=3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(y\\), για τους οποίους ισχύει: \\(|y-2|<1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(y\\in (1,3)\\).\nβ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Κ=\\dfrac{|y-1|+|y-3|}{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|y-2|<1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < y-2 < 1$$\n$$\\Leftrightarrow -1+2 < y-2+2 < 1+2$$\n$$\\Leftrightarrow 1 < y < 3$$\n$$\\Leftrightarrow y\\in (1,3)$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$1 < y < 3$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 1 < y \\\\ y < 3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 0 < y-1 \\\\ y-3 < 0 \\end{cases}$$\nΆρα:\n$$|y-1|=y-1$$\nκαι:\n$$|y-3|=-(y-3)=3-y$$\nΤότε:\n$$Κ=\\dfrac{|y-1|+|y-3|}{2}$$\n$$=\\dfrac{y-1+3-y}{2}$$\n$$=\\dfrac{2}{2}=1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με τύπο \\(f(x)=\\dfrac{x^2-x}{x^2-3x+2}\\).\nα) i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(A\\) της συνάρτησης \\(f\\).\n ii. Να δείξετε ότι \\(f(x)=\\dfrac{x}{x-2}\\) για κάθε \\(x\\in A\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η ευθεία \\(y=1\\) έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(|f(x)|\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) i. Η συνάρτηση ορίζεται για τις τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}\\), για τις οποίες ισχύει\n$$x^2-3x+2\\neq 0\\quad (1).$$\nΤο τριώνυμο \\(x^2-3x+2\\) έχει \\(α=1, β=-3, γ=2\\) και\n\\begin{align}Δ&=β^2-4αγ\\\\\n&=(-3)^2-4\\cdot 1\\cdot 2\\\\\n&=1 > 0.\\end{align}\nΟι ρίζες του είναι\n$$x_1=\\frac{-β-\\sqrt{Δ}}{2α}=1$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-β+\\sqrt{Δ}}{2α}=2.$$\nΆρα η \\((1)\\) ισχύει για \\(x\\neq 1\\) και \\(x\\neq 2\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A=\\mathbb{R}-\\{1,2\\}\\). ii. Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x^2-x}{x^2-3x+2}\\\\\n&=\\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)}\\\\\n&=\\frac{x}{x-2},\\ x\\in\\mathbb{R}-\\{1,2\\}.\\end{align}\nβ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων, αν αυτά υπάρχουν, θα είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n\\begin{align}&|f(x)|=1\\\\\n\\iff&|\\frac{x}{x-2}|=1\\\\\n\\iff&\\frac{x}{x-2}=1\\text{ ή }\\frac{x}{x-2}=-1\\\\\n\\iff&x=x-2\\text{ ή }x=-(x-2)\\\\\n\\iff&0x=-2\\text{ (αδύνατη) ή }x=1\\text{ (απορρίπτεται)}.\\end{align}\nΣυνεπώς η ευθεία \\(y=1\\) δεν έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(|f(x)|\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\) με την ιδιότητα \\(5 < x < 10\\),\nα) να γράψετε τις παραστάσεις \\(|x-5|\\) και \\(|x-10|\\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$Α=\\dfrac{|x-5|}{x-5}+\\dfrac{|x-10|}{x-10}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει ότι:\n$$5 < x < 10 $$\n$$\\Leftrightarrow (5 < x\\ \\ \\text{και}\\ \\ x < 10) $$\n$$\\Leftrightarrow (0 < x-5\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-10 < 0)$$\nΤότε:\n$$|x-5|=x-5$$\nκαι:\n$$|x-10|=-(x-10)$$\nβ) Είναι:\n$$Α=\\dfrac{|x-5|}{x-5}+\\dfrac{|x-10|}{x-10}$$\n$$=\\dfrac{x-5}{x-5}+\\dfrac{-(x-10)}{x-10}$$\n$$=1+(-1)=0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου \\((α_ν)\\):\n$$\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2},\\ \\dfrac{81}{2},\\ \\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}.$$\nα) Να αποδείξετε ότι:i. Οι παραπάνω όροι δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nii.\\(\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^7\\).\nβ) Αν \\(α_7=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}\\), να βρεθεί ο \\(ν\\)-οστός όρος της γεωμετρικής προόδου.\nγ) Αν \\(α_1=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(λ=\\sqrt{3}\\), να αποδείξετε ότι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου \\((α_ν)\\) είναι ίσο με \\(\\dfrac{(\\sqrt{3})^{11}-\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}-2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) i. Οι αριθμοί αυτοί δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, καθώς θα έπρεπε να ισχύει \\(2β=α+γ\\), δηλαδή:\n$$81=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}=54\\sqrt{3},$$\nεπομένως \\(\\dfrac{81}{54}=\\sqrt{3}\\), το οποίο δεν ισχύει αφού \\(\\sqrt{3}\\) άρρητος, ενώ ο \\(\\dfrac{81}{54}\\) είναι ρητός, άρα δεν μπορούν να είναι ίσοι.ii. Οι δύο αριθμοί είναι θετικοί, άρα για να είναι ίσοι αρκεί τα τετράγωνά τους να είναι ίσα μεταξύ τους:\n\\begin{align}&\\left(\\frac{27\\sqrt{3}}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{1}{2}(\\sqrt{3})^7\\right)^2\\\\\n\\iff&\\frac{27^2\\cdot3}{4}=\\frac{1}{4}(\\sqrt{3})^{14}\\\\\n\\iff&\\frac{3^6\\cdot3}{4}=\\frac{1}{4}\\cdot3^7,\\end{align}\nτο οποίο ισχύει.\nβ) Η γεωμετρική πρόοδος θα έχει σταθερό λόγο:\n$$λ=\\dfrac{\\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}}{\\dfrac{81}{2}}=\\sqrt{3}.$$\nΟ \\(ν\\)-οστός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι\n$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α_1(\\sqrt{3})^{ν-1}.$$\nΌμως, εφόσον, ισχύει ότι\n$$α_7=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3}^7)$$\nέχουμε ότι\n$$α_1(\\sqrt{3})^{7-1}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^7,$$\nοπότε\n$$α_1=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^{8-7}=\\dfrac{1}{2}\\sqrt{3}.$$\nΣυνεπώς, ισχύει ότι \\(α_1=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), άρα ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι\n$$α_ν=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot(\\sqrt{3})^{ν-1}=\\dfrac{(\\sqrt{3})^ν}{2}.$$\nγ) Για το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου ισχύει ότι:\n\\begin{align}S_{10}&=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}^{10}-1}{\\sqrt{3}-1}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{3}^{11}-\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}-2}.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα εργοστάσιο κατασκευής πολυτελών αυτοκινήτων κατασκευάζει ένα νέο μοντέλο. Τον πρώτο μήνα κατασκευάστηκαν \\(5\\) τέτοια οχήματα. Στη συνέχεια όμως, κάθε μήνα κατασκευάζονταν \\(13\\) νέα οχήματα.\nα) Πόσα αυτοκίνητα θα είναι κατασκευασμένα συνολικά στο τέλος κάθε μήνα στο διάστημα του πρώτου εξαμήνου;\nβ) Να αιτιολογήσετε γιατί ο συνολικός αριθμός των αυτοκινήτων που είναι κατασκευασμένα στο τέλος κάθε μήνα αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.\nγ) Πόσα αυτοκίνητα κατασκευάστηκαν τα τέσσερα πρώτα χρόνια;\nδ) Μετά από πόσους μήνες θα έχει κατασκευαστεί το \\(250^\\text{ο}\\) αυτοκίνητο;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Στο τέλος του \\(1^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(5\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(2^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(18\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(3^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(31\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(4^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(44\\) αυτοκίνητα. Στο τέλος του \\(5^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(57\\) αυτοκίνητα και στο τέλος του \\(6^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(70\\) αυτοκίνητα.\nβ) Τα αυτοκίνητα που είναι κατασκευασμένα στο τέλος κάθε μήνα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_1=5\\) και διαφορά \\(ω=13\\) (τα αυτοκίνητα που κατασκευάζονται κάθε μήνα αυξάνονται σταθερά κατά \\(13\\)).\nγ) Τα τέσσερα πρώτα χρόνια (στο τέλος του \\(48^\\text{ου}\\) μήνα δηλαδή) θα έχουν κατασκευαστεί\n$$α_{48}=α_1+47ω=5+47\\cdot 13=616$$\nαυτοκίνητα.\nδ) Ζητάμε τον φυσικό αριθμό \\(ν\\) για τον οποίο ισχύει\n\\begin{align}&α_ν\\geq 250\\\\\n\\iff&5+(ν-1)13\\geq 250\\\\\n\\iff&ν-1\\geq \\frac{245}{13}\\\\\n\\iff&ν\\geq \\frac{245}{13}+1\\\\\n\\iff&ν\\geq 19+\\frac{11}{13}.\\end{align}\nΟπότε, μετά από \\(20\\) μήνες θα έχει κατασκευαστεί το \\(250^\\text{ο}\\) αυτοκίνητο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο \\(1^{ος}\\) όρος μιας αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) ισούται με \\(2\\) και ο \\(3^{ος}\\) όρος ισούται με \\(8\\).\nα) Να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nβ) Αν είναι \\(ω=3\\), να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με \\(35\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{3}=8\\), δηλαδή\n$$α_{1}+2ω=8$$\n$$\\Rightarrow 2+2ω=8$$\n$$\\Rightarrow ω=3$$\nβ) Θα πρέπει να βρούμε τον φυσικό αριθμό \\(ν\\), ώστε:\n$$α_{ν}=35$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+(ν-1)ω=35$$\n$$\\Rightarrow 2+(ν-1)\\cdot 3=35$$\n$$\\Rightarrow 3\\cdot (ν-1)=33$$\n$$\\Rightarrow ν-1=11$$\n$$\\Rightarrow ν=12$$\nΕπομένως ο \\(12^{ος}\\) όρος της προόδου είναι \\(35\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει \\(|x-4|<2\\).\nβ) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό \\(x\\) του οποίου η απόσταση από το \\(4\\) πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από \\(2\\).\nΝα δείξετε ότι \\(3x-4>0\\).\nΝα αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού \\(x\\) από το \\(4\\) είναι μεγαλύτερη του \\(2\\) και μικρότερη του \\(14\\).\nΝα βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της απόστασης του \\(3x\\) από το \\(19\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$ |x-4|<2 $$\n$$\\Rightarrow -2 < x-4 < 2$$\n$$\\Rightarrow 4-2 < x < 2+4$$\n$$\\Rightarrow 2 < x < 6$$\nΆρα \\(x\\in (2,6)\\).\nβ) Πάνω στο άξονα των πραγματικών αριθμών η απόσταση του \\(x\\) από το \\(4\\) είναι μικρότερη από \\(2\\), δηλαδή:\nΆρα \\(2<x<6\\).\nΈχουμε:\n$$2 < x < 6$$\n$$\\Rightarrow 2\\cdot 3 < 3x < 6\\cdot 3$$\n$$\\Rightarrow 6 < 3x < 18$$\n$$\\Rightarrow 6-4 < 3x-4 < 18-4$$\n$$\\Rightarrow 2 < 3x-4 < 14$$\nκαι συνεπώς \\(3x-4>0\\).\nΘα δείξουμε ότι \\(2<d(3x,4)<14\\).\nΙσχύει ότι \\(d(3x,4)=|3x-4|\\overset{(i)}{=}3x-4\\). Από το βi) ερώτημα \\(2<3x-4<14\\), οπότε \\(2<d(3x,4)<14\\).\nΗ απόσταση του \\(3x\\) από το \\(19\\) συμβολίζεται \\(d(3x,19)=|3x-19|\\).\nΑπό το βi) ερώτημα έχουμε \\(2<3x-4<14\\) οπότε αφαιρούμε από τα μέλη της ανίσωσης \\(15\\) και έχουμε: \\(-13<3x-19<-1\\), δηλαδή \\(3x-19<0\\). Οπότε \\(d(3x,19)=|3x-19|=-3x+19\\).\nΈχουμε \\(-13<3x-19<-1\\), δηλαδή \\(13>-3x+19>1\\) οπότε \\(1<d(3x,19)<13\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(Κ=|x+1|+2\\), όπου \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(Κ=\\begin{cases} x+3\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x\\ge -1 \\\\ 1-x\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x<-1 \\end{cases}\\).\nβ)\ni. Να λυθεί η εξίσωση \\(|x-2|=4\\).\nii. Να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Κ\\) αν ο αριθμός \\(x\\) είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για \\(x\\ge -1\\) είναι \\(x+1\\ge 0\\), οπότε:\n$$|x+1|+2=x+1+2$$\n$$=x+3$$\nΓια \\(x<-1\\) είναι \\(x+1<0\\), οπότε:\n$$|x+1|+2=-(x+1)+2$$\n$$=-x-1+2$$\n$$=1-x$$\nΆρα, τελικά \\(Κ=\\begin{cases} x+3\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x\\ge -1 \\\\ 1-x\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x<-1 \\end{cases}\\).\nβ)\ni. Είναι:\n$$|x-2|=4 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x-2=4 \\\\ \\text{ή} \\\\ x-2=-4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=6 \\\\ \\text{ή} \\\\ x=-2 \\end{cases} $$\nii.\nΓια \\(x=6>-1\\) είναι \\(Κ=6+3=9\\).\nΓια \\(x=-2<-1\\) είναι \\(Κ=1-(-2)=1+2=3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x}{x^3-2x^2+x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=\\dfrac{1}{(x-1)^2}\\), για κάθε \\(x\\in Α\\).\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=1\\).\nδ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) είναι πάνω από την ευθεία \\(y=1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n\\begin{align}&x^3-2x^2+x\\neq 0\\\\\n\\iff&x(x^2-2x+1)\\neq 0\\\\\n\\iff&x(x-1)^2\\neq 0\\\\\n\\iff&x\\neq 0\\text{ και }x\\neq 1.\\end{align}\nΆρα \\(A=\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\).\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x}{x^3-2x^2+x}\\\\\n&=\\frac{x}{x(x-1)^2}\\\\\n&=\\frac{1}{(x-1)^2}\\end{align}\nγια κάθε \\(x\\in A\\).\nγ) Για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\) η εξίσωση γίνεται\n\\begin{align}&f(x)=1\\\\\n\\iff&\\frac{1}{(x-1)^2}=1\\\\\n\\iff&(x-1)^2=1\\\\\n\\iff&x-1=\\pm 1\\\\\n\\iff&x=2\\text{ ή }x=0\\text{ (απορρίπτεται)}.\\end{align}\nΆρα έχει μοναδική λύση την \\(x=2\\).\nδ) Αναζητούμε τις τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\) για τις οποίες ισχύει:\n\\begin{align}&f(x) > 1\\\\\n\\iff&\\frac{1}{(x-1)^2}>1\\\\\n\\iff&(x-1)^2 < 1\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2} < \\sqrt{1}\\\\\n\\iff&|x-1| < 1\\\\\n\\iff&-1 < x-1 < 1\\\\\n\\iff&0 < x < 2\\end{align}\nκαι επειδή \\(x\\neq 1\\), έχουμε τελικά ότι \\(x\\in(0,1)\\cup(1,2)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0\\), \\((1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), για τις οποίες η \\((1)\\) είναι εξίσωση \\(2ου\\) βαθμού.\nβ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \\((1)\\) παίρνει τη μορφή: \\(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \\((1)\\) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.\nδ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της \\((1)\\), αν αυτή είναι \\(2ου\\) βαθμού."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι \\(2ου\\) βαθμού, αν και μόνο αν:\n$$λ^{2}-λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(λ-1)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne 0 \\ \\text{και}\\ λ\\ne 1$$\nβ) Με \\(λ\\ne 0\\) και \\(λ\\ne 1\\) έχουμε:\n$$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(λ-1)x^{2}-(λ-1)(λ+1)x+λ-1=0$$\n$$\\overset{λ\\ne 1}{\\Leftrightarrow }λx^{2}-(λ+1)x+1=0$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nγ) Με \\(λ\\ne 0\\) και \\(λ\\ne 1\\) η εξίσωση \\(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\\) έχει διακρίνουσα\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=[-(λ+1)]^{2}-4\\cdot λ\\cdot 1$$\n$$=λ^{2}+2λ+1-4λ$$\n$$=(λ-1)^{2}>0$$\nΕπομένως η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.\nδ) Οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{λ+1\\pm \\sqrt{(λ-1)^{2}}}{2λ}$$\n$$=\\dfrac{λ+1\\pm (λ-1)}{2λ}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{λ+1+λ-1}{2λ}=1 \\\\ \\\\ \\dfrac{λ+1-λ+1}{2λ}=\\dfrac{1}{λ} \\end{cases}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Αν \\(α,β\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\), να δείξετε ότι:\n$$\\left|\\dfrac{α}{β}\\right|+\\left|\\dfrac{β}{α}\\right|\\ge 2\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Πότε ισχύει η ισότητα στην \\((1)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\left|\\dfrac{α}{β}\\right|+\\left|\\dfrac{β}{α}\\right|\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{|α|}{|β|}+\\dfrac{|β|}{|α|}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{|α|^{2}+|β|^{2}}{|α|\\cdot |β|}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}\\ge 2|α|\\cdot |β|$$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}-2|α|\\cdot |β|\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (|α|-|β|)^{2}\\ge 0\\ \\ \\ \\text{που ισχύει}$$\nβ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:\n$$|α|-|β|=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|=|β|$$\nδηλαδή αν και μόνο αν \\(α=β\\) ή \\(α=-β\\) (δηλαδή όταν οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι ίσοι ή αντίθετοι)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f,\\) με\n$$f(x)=\\begin{cases} 8-x,\\ \\text{ αν } x\\lt 0 \\\\ 2x+5,\\ \\text{ αν } x\\ge 0 \\end{cases}$$\nα) Να δείξετε ότι \\(f(-5)=f(4)\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R},\\) ώστε \\(f(x)=9\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$f(-5)=8-(-5)=8+5=13$$\nκαι\n$$f(4)=2\\cdot 4+5=8+5=13.$$\nΆρα \\(f(-5)=f(4)\\).\nβ) Για \\(x\\lt 0\\) είναι:\n$$\\begin{align} & f(x)=9\\\\\n\\Leftrightarrow & 8-x=9 \\\\\n\\Leftrightarrow & -x=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & x=-1. \\end{align}$$\nΓια \\(x\\ge 0\\) είναι:\n$$\\begin{align} & f(x)=9\\\\\n\\Leftrightarrow & 2x+5=9 \\\\\n\\Leftrightarrow & 2x=4 \\\\\n\\Leftrightarrow & x=2. \\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) (\\(A=90^0\\)) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη \\(x\\) και \\(y\\) τέτοια, ώστε \\(x+y=10\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση του \\(x\\) δίνεται από τον τύπο \\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\\) με \\(x\\in (0,10)\\).\nβ)\nΝα αποδείξετε ότι \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\) για κάθε \\(x\\in (0,10)\\).\nΓια ποια τιμή του \\(x\\) το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\);\nγ) Αν \\(x=5\\), ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος του τρίγωνου ως προς τις πλευρές του;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή \\(x\\) και \\(y\\) είναι μήκη πλευρών έχουμε \\(x>0\\) και \\(y>0\\) με \\(x+y=10 \\Leftrightarrow y=10-x\\).\nΑπό τον τύπο του εμβαδού τριγώνου έχουμε:\n$$Ε(x)=\\dfrac{1}{2}x\\cdot y$$\n$$=\\dfrac{1}{2}x\\cdot (10-x)$$\n$$=\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})$$\nμε \\(x\\in (0,10)\\).\nβ)\nΑρκεί να αποδείξουμε την σχέση \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\) για κάθε \\(x\\in (0,10)\\), αρκεί:\n$$\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\\le \\dfrac{25}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 10x-x^{2}\\le 25$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}\\ge 0$$\nισχύει για \\(x\\in (0,10)\\).\nTο εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\) για \\(x=5\\) γιατί:\n$$Ε(x)=\\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})=\\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=5$$\nγ) Όταν \\(x=5\\) τότε \\(y=5\\), άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε αριθμητική πρόοδο \\((α_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^*\\) με \\(α_3=8\\) και \\(α_{11}=32\\) και την αριθμητική πρόοδο \\((β_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^*\\) που περιέχει τους περιττούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του \\(56\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α_1=2\\) και \\(ω=3\\).\nβ) Να βρείτε αν ο αριθμός \\(β_2\\) περιέχεται στην πρώτη πρόοδο.\nγ) Αν το άθροισμα των \\(2ν\\) πρώτων όρων της \\((α_ν)\\) είναι ίσο με το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((β_ν)\\) να βρείτε τον αριθμό \\(ν\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύουν \\(α_3=8\\) και \\(α_{11}=32\\), οπότε\n$$α_1+ω=8\\quad (1)$$\nκαι\n$$α_1+10ω=32\\quad (2).$$\nΑν από την \\((2)\\) αφαιρέσουμε την \\((1)\\) βρίσκουμε\n$$8ω=24\\iff ω=3.$$\nΜε αντικατάσταση στην \\((1)\\) παίρνουμε\n$$α_1+6=8\\iff α_1=2$$\nβ) Η πρόοδος \\((β_ν)\\) έχει πρώτο όρο \\(β_1=57\\) και διαφορά \\(ω'=2\\) οπότε \\(β_2=57+2=59\\) και\n\\begin{align}&α_ν=β_2\\\\\n\\iff&α_1+(ν-1)ω=59\\\\\n\\iff&2+3(ν-1)=59\\\\\n\\iff&3ν=60\\\\\n\\iff&ν=20.\\end{align}\nΕπομένως ο εικοστός όρος της πρώτης προόδου είναι ίσος με τον δεύτερο όρο της δεύτερης.\nγ) Το άθροισμα των \\(2ν\\) πρώτων όρων της \\((α_ν)\\) είναι ίσο με το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((β_ν)\\), οπότε έχουμε\n$$[2α_1+(2ν-1)\\cdot 3]\\cdot\\frac{2ν}{2}=[2β_1+(ν-1)\\cdot 2]\\cdot\\frac{ν}{2},$$\nαπ’ όπου, με αντικατάσταση των πρώτων όρων, παίρνουμε\n\\begin{align}&2\\cdot2+(2ν-1)\\cdot3=2(57+ν-1)\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&4+6ν-3=57+ν-1\\\\\n\\iff&5ν=55\\\\\n\\iff&ν=11.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε μια γραπτή εξέταση \\(100\\) ερωτήσεων Σ-Λ (Σωστό - Λάθος) σε κάποιο Πανεπιστήμιο, κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με \\(1\\) μονάδα και κάθε λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται με \\(-\\frac{1}{3}\\) της μονάδας (για κάθε τριάδα λανθασμένων απαντήσεων αφαιρείται μια μονάδα).\nα) Να αποδείξετε ότι αν ένας φοιτητής απαντήσει σωστά σε \\(x\\) από τις \\(100\\) ερωτήσεις, τότε η βαθμολογία του \\(E(x)\\) δίνεται από τον τύπο \\(E(x)=\\frac{4}{3}(x-25)\\).\nβ) Ένας φοιτητής βαθμολογήθηκε με \\(88\\). Πόσες ήταν οι σωστές και πόσες οι λανθασμένες απαντήσεις που έδωσε;\nγ) Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός φοιτητή δεν μπορεί να είναι ίση με \\(50\\). Πόσες σωστές απαντήσεις πρέπει να δώσει ένας φοιτητής για να πάρει βαθμολογία μεγαλύτερη από τη βάση που είναι \\(50\\);\nδ) Το άθροισμα των επιδόσεων δυο φοιτητών ήταν \\(140\\). Πόσες ήταν οι λανθασμένες απαντήσεις και των δυο μαζί;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αν το πλήθος των σωστών απαντήσεων είναι \\(x\\), τότε το πλήθος των λανθασμένων απαντήσεων είναι \\(100-x\\). Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ο φοιτητής θα πάρει \\(x\\) βαθμούς για τις σωστές απαντήσεις και θα του αφαιρεθούν (αρνητική βαθμολογία) \\(\\frac{1}{3}(100-x)\\) βαθμοί για τις λανθασμένες απαντήσεις.\nΈτσι, η τελική βαθμολογία του θα είναι\n\\begin{align}E(x)&=x-\\frac{1}{3}(100-x)\\\\\n&=\\frac{3x-(100-x)}{3}\\\\\n&=\\frac{4x-100}{3}\\\\\n&=\\frac{4}{3}(x-25)\\end{align}\nόπου \\(x\\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων.\nβ) Είναι:\n\\begin{align}&E(x)=88\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25)=88\\\\\n\\iff&\\frac{x-25}{3}=22\\\\\n\\iff&x-25=66\\\\\n\\iff&x=91.\\end{align}\nΆρα, ο φοιτητής που βαθμολογήθηκε με \\(88\\), απάντησε σωστά σε \\(91\\) ερωτήσεις και λανθασμένα σε \\(9\\) ερωτήσεις.\nγ) Έστω ότι η βαθμολογία ενός φοιτητή που απάντησε σωστά σε \\(x\\) ερωτήσεις είναι ίση με \\(50\\).\nΤότε έχουμε:\n\\begin{align}&E(x)=50\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25)=50\\\\\n\\iff&4x-100=150\\\\\n\\iff&4x=250\\\\\n\\iff&x=\\frac{125}{2}\\end{align}\nπου είναι άτοπο, αφού ο αριθμός \\(x\\), που παριστάνει το πλήθος των σωστών απαντήσεων, είναι ακέραιος. Επομένως η βαθμολογία ενός φοιτητή δεν μπορεί να είναι ίση με \\(50\\).\nΈνας φοιτητής θα πάρει βαθμολογία μεγαλύτερη από τη βάση, μόνο όταν \\(E(x) > 50\\). Είναι:\n\\begin{align}&E(x) > 50\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25) > 50\\\\\n\\iff&4x-100 > 150\\\\\n\\iff&4x > 250\\\\\n\\iff&x > \\frac{125}{2}=62,5.\\end{align}\nΕπομένως η βαθμολογία ενός φοιτητή είναι μεγαλύτερη του \\(50\\) μόνο όταν απαντήσει σωστά σε \\(63\\) τουλάχιστον ερωτήσεις.\nδ) Έστω ότι το πλήθος των σωστών απαντήσεων των φοιτητών είναι \\(x_1, x_2\\) αντίστοιχα. Τότε έχουμε:\n\\begin{align}&E(x_1)+E(x_2)=140\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x_1-25)+\\frac{4}{3}(x_2-25)=140\\\\\n\\iff&4x_1-100+4x_2-100=420\\\\\n\\iff&4(x_1+x_2)=620\\\\\n\\iff&x_1+x_2=155.\\end{align}\nΕπομένως, οι δυο φοιτητές απάντησαν σωστά σε \\(155\\) από τις \\(200\\) ερωτήσεις τους και λανθασμένα στις υπόλοιπες \\(200-155=45\\) ερωτήσεις."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του \\(x\\), οι αριθμοί \\(x+4\\), \\(2-x\\), \\(6-x\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Αν \\(x=5\\) και ο \\(6-x\\) είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, να βρείτε:\nτο λόγο \\(λ\\) της γεωμετρικής προόδου.\nτον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Οι αριθμοί \\(x+4\\), \\(2-x\\), \\(6-x\\), είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2-x)^{2}=(6-x)\\cdot (x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4-4x+x^{2}=6x+24-x^{2}-4x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-6x-20=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-3)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-10)$$\n$$=9+40=49>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{49}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 7}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{3+7}{2}=5 \\\\ \\dfrac{3-7}{2}=-2 \\end{cases}$$\nβ) Για \\(x=5\\):\n$$α_{4}=6-x=1$$\n$$α_{3}=2-x=-3$$\n$$α_{2}=x+4=9$$\nΟ λόγος είναι \\(λ=\\dfrac{α_{4}}{α_{3}}=-\\dfrac{1}{3}\\).\nΕίναι:\n$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1} $$\n$$\\Leftrightarrow 9=α_{1}(-\\dfrac{1}{3}) $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-27$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν είναι \\(Α=2-\\sqrt{3}\\), \\(Β=2+\\sqrt{3}\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(A\\cdot B=1\\).\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Π=Α^{2}+Β^{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n\\begin{align} A\\cdot B & =(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})\\\\\n& =2^{2}-(\\sqrt{3})^{2}\\\\\n& =4-3 \\\\\n&=1\\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n\\begin{align} Π & =A^{2}+B^{2}\\\\\n&=(2-\\sqrt{3})^{2}+(2+\\sqrt{3})^{2}\\\\\n&=2^{2}-2\\cdot 2\\sqrt{3}+(\\sqrt{3})^{2}+2^{2}+2\\cdot 2\\sqrt{3}+(\\sqrt{3})^{2}\\\\\n&=4+3+4+3\\\\\n&=14\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α)\nΝα βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\), ορίζεται η παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x}{x-|x|}\\).\nΓια τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση \\(Α\\), να δείξετε ότι \\(Α=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Για \\(x<0\\), να λύσετε την εξίσωση: \\(\\dfrac{x^{3}}{x-|x|}=\\dfrac{3}{2}x+2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\nΗ παράσταση ορίζεται όταν \\(x-|x|\\ne 0\\), δηλαδή όταν \\(|x|\\ne x\\) και τελικά όταν \\(x<0\\).\n\\(Α=\\dfrac{x}{x-|x|}=\\dfrac{x}{x-(-x)}=\\dfrac{x}{2x}=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Για \\(x<0\\), έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\dfrac{x^{3}}{x-|x|}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{x-|x|}\\cdot x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow Α\\cdot x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2$$\n$$\\overset{α)ii}{\\Leftrightarrow}\\dfrac{1}{2}x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-1,x=4$$\nΔεκτή είναι η λύση \\(x=-1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\\), με παράμετρο \\(α\\ne 0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: \\(Δ=(α^{2}+1)^{2}\\).\nβ) Να βρείτε τις ρίζες \\(ρ_{1}\\) και \\(ρ_{2}\\) της εξίσωσης, ως συνάρτηση του \\(α\\).\nΑν οι ρίζες της εξίσωσης είναι \\(ρ_{1}=α\\) και \\(ρ_{2}=-\\dfrac{1}{α}\\),\nγ) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\) ώστε \\(|ρ_{1}-ρ_{2}|=2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α\\), με \\(α\\ne 0\\) είναι:\n$$Δ=[-(α^{2}-1)]^{2}-4\\cdot α\\cdot (-α)$$\n$$=(α^{2}-1)^{2}+4α^{2}$$\n$$=α^{4}-2α^{2}+1+4α^{2}$$\n$$=α^{4}+2α^{2}+1$$\n$$=(α^{2}+1)^{2}$$\nβ) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι \\(Δ>0\\) για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \\(α\\), οπότε η εξίσωση \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\\) έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:\n$$ρ_{1}=\\dfrac{-[-(α^{2}-1)]+\\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}-1)+(α^{2}+1)}{2α}=α$$\n$$ρ_{2}=\\dfrac{-[-(α^{2}-1)]-\\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}-1)-(α^{2}+1)}{2α}=-\\dfrac{1}{α}$$\nγ) Έχουμε:\n$$|ρ_{1}-ρ_{2}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |α-(-\\dfrac{1}{α})|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |α+\\dfrac{1}{α}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |\\dfrac{α^{2}+1}{α}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}+1=2|α| $$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}-2|α|+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (|α|-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|=1 $$\n$$\\Leftrightarrow α=\\pm 1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=αx+β\\), όπου \\(α,β\\) πραγματικοί αριθμοί.\nα) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Α(1,6)\\), \\(Β(-1,4)\\), να βρείτε τις τιμές των \\(α\\), \\(β\\).\nβ) Αν \\(α=1\\) και \\(β=5\\), να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,6)\\) αν και μόνο αν:\n$$f(1)=6$$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 1+β=6$$\n$$\\Leftrightarrow α+β=6$$\n$$\\Leftrightarrow β=6-α,\\ (1)$$\nΗ γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Β(-1,4)\\) αν και μόνο αν:\n$$f(-1)=4$$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot (-1)+β=4$$\n$$\\Leftrightarrow -α+β=4$$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} -α+6-α=4$$\n$$\\Leftrightarrow -2α=-2$$\n$$\\Leftrightarrow α=1$$\nΑντικαθιστούμε την τιμή \\(α=1\\) στη σχέση \\((1)\\) και βρίσκουμε:\n$$β=6-1$$\n$$\\Leftrightarrow β=5$$\nβ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_{f}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x+5=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=-5$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Α(-5,0)\\).\nΕπίσης έχουμε:\n$$f(0)=0+5=5$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Β(0,5)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$A=(\\sqrt{x-4}+\\sqrt{x+1})\\cdot (\\sqrt{x-4}-\\sqrt{x+1})$$\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση \\(Α\\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \\(x\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Πρέπει να ισχύει\n$$\\begin{cases} x-4\\ge 0 \\\\ \\text{και } x+1\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και }x\\ge -1\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow x\\ge 4 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [4,+\\infty)$$\nβ) Είναι:\n$$\\begin{align} A & =(\\sqrt{x-4}+\\sqrt{x+1})\\cdot (\\sqrt{x-4}-\\sqrt{x+1})\\\\\n& =(\\sqrt{x-4})^{2}-(\\sqrt{x+1})^{2}\\\\\n& =x-4-(x+1) \\\\\n& =x-4-x-1 \\\\\n& =-5\\end{align}$$\nΕπομένως πράγματι η παράσταση \\(Α\\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \\(x\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί \\(κ-2\\), \\(2κ\\) και \\(7κ+4\\), \\(κ\\in Ν\\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου \\((α_{ν})\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(κ=4\\) και να βρείτε το λόγο \\(λ\\) της προόδου.\nβ)\nΝα εκφράσετε τον \\(2^ο\\) όρο, τον \\(5^ο\\) και τον \\(4^ο\\) όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του \\(α_{1}\\).\nΝα αποδείξετε ότι \\(α_{2}+α_{5}=4(α_{1}+α_{4})\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Οι αριθμοί \\(κ-2\\), \\(2κ\\) και \\(7κ+4\\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2κ)^{2}=(κ-2)\\cdot (7κ+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4κ^{2}=7κ^{2}+4κ-14κ-8 $$\n$$\\Leftrightarrow 3κ^{2}-10κ-8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-10)^{2}-4\\cdot 3\\cdot (-8)$$\n$$=100+96=196>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$κ_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-10)\\pm \\sqrt{196}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{10\\pm 14}{6}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{10+14}{6}=4 \\\\ \\dfrac{10-14}{6}=-\\dfrac{2}{3} \\end{cases}$$\nΗ τιμή \\(κ=-\\dfrac{2}{3}<0\\) απορρίπτεται. Άρα \\(κ=4\\).\nΓια \\(κ=4\\) οι αριθμοί γράφονται \\(2\\), \\(8\\), \\(32\\) οπότε ο λόγος είναι:\n$$λ=\\dfrac{8}{2}=4$$\nβ)\nΕίναι:\n$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1}=4α_{1}$$\n$$α_{4}=α_{1}λ^{4-1}=α_{1}4^{3}=64α_{1}$$\n$$α_{5}=α_{1}λ^{5-1}=α_{1}4^{4}=256α_{1}$$\nΙσχύει ότι:\n$$α_{2}+α_{5}$$\n$$=4α_{1}+256α_{1}$$\n$$=4(α_{1}+64α_{1})$$\n$$=4(α_{1}+α_{4})$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{1}{x^2+1}\\) και η ευθεία \\(y=α,α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι αν \\(0 < α < 1\\), τότε η \\(C_f\\) έχει με την ευθεία δυο κοινά σημεία των οποίων να βρείτε τις τετμημένες.\nγ) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει: \\(|xf(x)|\\leq\\dfrac{1}{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\) έχουμε \\(x^2+1 > 0\\), οπότε \\(\\dfrac{1}{x^2+1} > 0\\), δηλαδή \\(f(x) > 0\\), η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση \\(f(x)=α\\) έχει δυο λύσεις και να τις προσδιορίσουμε. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=α\\\\\n\\iff&\\frac{1}{x^2+1}=α\\\\\n\\overset{α\\neq 0}{\\iff}&x^2+1=\\frac{1}{α}\\\\\n\\iff&x^2=\\frac{1}{α}-1\\quad (1)\\end{align}\nκαι επειδή \\(0 < α < 1\\), έχουμε \\(\\dfrac{1}{α}>1\\) οπότε \\(\\frac{1}{α}-1 > 0\\).\nΕπομένως η \\((1)\\) έχει δυο (αντίθετες) λύσεις, τις \\(x_1=\\sqrt{\\dfrac{1}{α}-1}\\) και \\(x_2=-\\sqrt{\\dfrac{1}{α}-1}\\) που είναι και οι τετμημένες των κοινών σημείων τους.\nγ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι\n\\begin{align}&|\\frac{x}{x^2+1}|\\leq\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|x|}{x^2+1}\\leq\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&2|x|\\leq x^2+1 \\\\\n\\iff & x^2-2|x|+1 \\ge 0 \\\\\n\\iff & |x|^2-2|x|+1\\ge 0 \\\\\n\\iff & (|x|-1)^2\\ge 0.\\end{align}\nπου ισχύει."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα ελικόπτερο απογειώνεται από το ελικοδρόμιο και το ύψος του \\(Y_1(t)\\), σε μέτρα, από την επιφάνεια της θάλασσας τα πρώτα \\(5\\) λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$Y_1(t)=150+50t, \\ \\ \\ t\\in[0,5]$$\nΤα επόμενα πέντε λεπτά κινείται σε σταθερό ύψος και στη συνέχεια κατεβαίνει αργά για δέκα λεπτά ακόμα, μέχρι να επιστρέψει στο ελικοδρόμιο. Το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας τα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$Y_2(t)=650-25t$$\nα) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας βρίσκεται το ελικοδρόμιο;\nβ) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας πετάει το ελικόπτερο από το \\(5^ο\\) μέχρι το \\(10^ο\\) λεπτό της κίνησής του;\nγ) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(Y_2(t)\\), και να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η απόσταση του ελικοπτέρου από τη θάλασσα είναι \\(250\\) μέτρα.\nδ)\ni. Στα πρώτα \\(5\\) λεπτά της κίνησής του, πόσα μέτρα ανεβαίνει το ελικόπτερο κάθε λεπτό που περνάει;\nii. Στα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του πόσα μέτρα κατεβαίνει το ελικόπτερο κάθε λεπτό που περνάει;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Την χρονική στιγμή \\(t=0\\) το ελικόπτερο βρίσκεται στο ελικοδρόμιο το οποίο είναι \\(Y_1(0)=150\\) μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.\nβ) Μετά από \\(5\\) λεπτά, το ελικόπτερο θα βρίσκεται σε ύψος \\(Y_1(5)=150+50\\cdot5=400\\) μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Άρα θα πετάει σταθερά στο ύψος αυτό για χρόνο \\(t\\in[5,10]\\).\nγ) Το ελικόπτερο κατεβαίνει από το \\(10^ο\\) λεπτό μέχρι να φτάσει πάλι στο ελικοδρόμιο. Θα φτάσει στο ελικοδρόμιο μετά από 10 λεπτά, επομένως το πεδίο ορισμού της \\(Y_2(t)\\) είναι το διάστημα [10, 20].\nΣε ύψος \\(250\\) μέτρων από τη επιφάνεια της θάλασσας θα βρίσκεται και όταν ανεβαίνει και όταν επιστέφει στο ελικοδρόμιο. Δηλαδή θα βρούμε τη χρονική στιγμή κατά την οποία:\n$$Y_1\\left(t\\right)=250\\Leftrightarrow150+50t=250\\Leftrightarrow t=2\\ \\text{λεπτά}$$\n$$\\text{καί}\\ \\ Y_2\\left(t\\right)=250\\Leftrightarrow650-25t=250\\Leftrightarrow t=16\\ \\text{λεπτά}$$\nδ)\ni. Όταν ανεβαίνει το ελικόπτερο, παρατηρούμε ότι κάθε λεπτό που περνάει (μέχρι το \\(5^ο\\) λεπτό της κίνησής του) το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας αυξάνει σταθερά κατά \\(50\\) μέτρα, αφού:\n$$Y_1\\left(t+1\\right)-Y_1\\left(t\\right)=\\left[150+50\\left(t+1\\right)\\right]-\\left(150+50t\\right)=50\\ \\ \\text{μέτρα}$$\nii. Όταν επιστρέφει το ελικόπτερο στη βάση του, παρατηρούμε ότι κάθε λεπτό που περνάει (από το \\(10^ο\\) μέχρι το \\(20^ο\\) λεπτό της κίνησής του) το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας μειώνεται σταθερά κατά \\(25\\) μέτρα, αφού:\n$$Y_2\\left(t+1\\right)-Y_2\\left(t\\right)=\\left[650-25\\left(t+1\\right)\\right]-\\left(650-25t\\right)=-25\\ \\ \\text{μέτρα}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(x^{2}-1=0\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει: \\(|x|+x=0\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει: \\(|x|+|x^{2}-1|+x=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$x^{2}-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 1$$\nβ) Ισχύει ότι \\(|x|\\ge -x\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Η ισότητα ισχύει για \\(x\\le 0\\). Άρα,\n$$|x|+x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=-x $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 0$$\nγ) Δεδομένου ότι \\(|x^{2}-1|\\ge 0\\) και \\(|x|\\ge -x \\Leftrightarrow |x|+x\\ge 0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\), έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x|+|x^{2}-1|+x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x^{2}-1|+(|x|+x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\{|x^{2}-1|=0\\ \\text{και}\\ |x|+x=0\\}$$\n$$\\overset{α),β)}{\\Leftrightarrow }\\{x=\\pm 1\\ \\text{και}\\ x\\le 0\\}$$\nΆρα \\(x=-1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x+2}{\\sqrt{9-x^{2}}}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες.\nγ) Αν \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα \\(Α\\) και \\(Β\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:\n$$9-x^{2}>0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}<9 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3 < x < 3 $$\nΆρα, \\(A_{f}=(-3,3)\\).\nβ) Η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) μόνο όταν για κάποιο \\(x\\in A_{f}\\) ισχύει \\(f(x)=0\\). Είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x+2}{\\sqrt{9-x^{2}}}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x+2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-2$$\nΕπομένως η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(A(-2,0)\\).\nΕπίσης έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0+2}{\\sqrt{9-0}}=\\dfrac{2}{3}$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0,\\dfrac{2}{3})\\).\nγ) Έστω \\((ε):y=αx+β\\) η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:\n$$α=\\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2}{3}-0}{0-(-2)}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2}{3}}{2}=\\dfrac{1}{3}$$\nΆρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:\n$$(ε):y=\\dfrac{1}{3}x+β$$\nΕπιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(-2,0)\\), οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:\n$$0=\\dfrac{1}{3}(-2)+β $$\n$$\\Leftrightarrow β-\\dfrac{2}{3}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow β=\\dfrac{2}{3}$$\nΕπομένως η εξίσωση της ευθείας είναι \\((ε):y=\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{2}{3}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(x^{2}-5x+6\\)\nβ) Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}$$\nΝα βρείτε τι πεδίο ορισμού \\(Α\\) της συνάρτησης.\nΝα αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in A\\) ισχύει\n$$f(x)=\\dfrac{1}{x-3}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-5x+6\\) έχει \\(α=1,\\ β=-5,\\ γ=6\\) και διακρίνουσα\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6=25-24=1>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}\\\\\n& = \\dfrac{5\\pm 1}{2}\\\\\n& = \\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2} \\\\ \\dfrac{5-1}{2} \\end{cases}\\\\\n& = \\begin{cases} \\dfrac{6}{2} \\\\ \\dfrac{4}{2} \\end{cases} \\\\\n& = \\begin{cases} 3 \\\\ 2 \\end{cases} \\end{align}$$\nΤότε:\n$$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$$\nβ)\nΠρέπει:\n$$x^{2}-5x+6\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)(x-3)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-2\\ne 0 \\text{ και } x-3\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ne 2 \\text{ και } x\\ne 3$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το \\(A=\\mathbb{R}-\\{2,3\\}\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης \\(f\\) γράφεται:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}\\\\\n& =\\dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}\\\\\n& =\\dfrac{1}{x-3}\\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση: \\(x^{2}-2x+λ=0\\), με παράμετρο \\(λ<1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) διαφορετικές μεταξύ τους.\nβ) Να δείξετε ότι: \\(x_{1}+x_{2}=2\\).\nγ) Αν για τις ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) ισχύει επιπλέον \\(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\\), τότε:\nΝα δείξετε ότι: \\(x_{1}-x_{2}=4\\).\nΝα βρείτε τις ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) και η τιμή του \\(λ\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot λ$$\n$$=4-4λ>0$$\nαφού:\n$$λ<1$$\n$$\\overset{\\cdot (-4)}{ \\Leftrightarrow }-4λ>-4$$\n$$\\overset{(+4)}{ \\Leftrightarrow }4-4λ>0$$\nΆρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) διαφορετικές μεταξύ τους.\nβ) Έχουμε: \\(x_{1}+x_{2}=S=\\dfrac{-β}{α}=\\dfrac{-(-2)}{1}=2\\).\nγ)\nΈχουμε \\(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\\), οπότε:\n$$\\begin{cases} x_{1}-2=x_{2}+2 \\\\ ή \\\\ x_{1}-2=-x_{2}-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\\\ ή \\\\ x_{1}+x_{2}=0 \\end{cases}$$\nπου απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.\nΆρα \\(x_{1}-x_{2}=4\\).\nΑπό τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε \\(x_{1}+x_{2}=2\\) και \\(x_{1}-x_{2}=4\\). Άρα:\n$$\\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\\\ x_{1}+x_{2}=2 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(+)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} 2x_{1}=6 \\\\ x_{1}+x_{2}=2 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{1}=3 \\\\ x_{2}=-1 \\end{cases}$$\nΤο γινόμενο των ριζών είναι \\(P=\\dfrac{γ}{α}=λ\\), οπότε \\(λ=x_{1}x_{2}=-3\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{9-x^2}{3-|x|}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\).\nβ) Για τις τιμές του \\(x\\) που ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) να δείξετε ότι \\(f(x)=3+|x|\\).\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τους άξονες.\nδ) Αν \\(g(x)=3-x^2\\) να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις \\(C_f\\) και \\(C_g\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί να ισχύει:\n$$3-|x|\\neq 0$$\nΕπειδή ισχύει\n\\begin{align}&3-|x|=0\\\\\n\\iff&-|x|=-3\\\\\n\\iff&|x|=3\\\\\n\\iff&x=\\pm 3\\end{align}\nγια να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί \\(x\\neq\\pm 3\\).\nΕπομένως, η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για\n\\(x\\in(-\\infty,-3)\\cup(-3,3) \\cup(3,+\\infty)\\).\nβ) Για \\(x\\in(-\\infty,-3)\\cup(-3,3)\\cup(3,+\\infty)\\) η συνάρτηση \\(f\\) παίρνει τη μορφή\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{9-x^2}{3-|x|}\\\\\n&=\\frac{3^2-|x|^2}{3-|x|}\\\\\n&=\\frac{(3+|x|)(3-|x|)}{3-|x|}\\\\\n&=3+|x|.\\end{align}\nγ) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τον άξονα \\(x’x\\) λύνουμε την εξίσωση\n$$f(x)=0\\iff 3+|x|=0\\iff |x|=-3$$\nη οποία είναι αδύνατη. Επομένως, η γραφική παράσταση \\(C_f\\) δεν τέμνει τον άξονα \\(x'x\\).\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της \\(C_f\\) με τον άξονα \\(y’y\\) πρέπει να βρούμε το \\(f(0)\\).\nΙσχύει \\(f(0)=3+|0|=3\\). Άρα, το σημείο τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\(Α(0,3)\\).\nδ) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\) λύνουμε την εξίσωση:\n\\begin{align}&g(x)=f(x)\\\\\n\\iff&-x^2+3=3+|x|\\\\\n\\iff&-|x|^2+3-3-|x|=0\\\\\n\\iff&|x|^2+|x|=0\\end{align}\nΕπειδή \\(|x^2|\\geq0\\) και \\(|x|\\geq0\\) ισχύει \\(|x|^2+|x|=0\\) αν και μόνο αν \\(x=0\\). Άρα το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\) είναι το \\((0, 3)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι :\n$$Δ=(\\sqrt{3}+1)^{2}$$\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το αρχικό τριώνυμο."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}\\) έχει συντελεστές \\(a=-1\\), \\(β=\\sqrt{3}-1\\), \\(γ=\\sqrt{3}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(\\sqrt{3}-1)^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot \\sqrt{3}$$\n$$=\\sqrt{3}^{2}-2\\sqrt{3}+1^{2}+4\\sqrt{3}$$\n$$=\\sqrt{3}^{2}+2\\sqrt{3}+1^{2}$$\n$$=(\\sqrt{3}+1)^{2}>0$$\nβ) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(\\sqrt{3}-1)\\pm \\sqrt{(\\sqrt{3}+1)^{2}}}{2\\cdot (-1)}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1-\\sqrt{3}+\\sqrt{3}+1}{-2} &=-1 \\\\ \\dfrac{1-\\sqrt{3}+\\sqrt{3}+1}{-2} &= \\sqrt{3} \\end{cases}$$\nΕπομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:\n$$-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}=-(x-(-1))(x-\\sqrt{3})$$\n$$=-(x+1)(x-\\sqrt{3})$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θέμα 4\nΣε ένα γήπεδο καλαθοσφαίρισης, σε μία από τις κερκίδες του, η οποία διαθέτει \\(40\\) σειρές καθισμάτων, στη 10η σειρά υπάρχουν \\(50\\) καθίσματα. Μετά την πρώτη σειρά κάθε επόμενη διαθέτει \\(2\\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά.\nα) Αν \\(α_ν\\) το πλήθος των καθισμάτων της \\(ν\\)-οστής σειράς, τότε να αποδείξετε ότι \\(α_ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_1\\) και τη διαφορά \\(ω\\).\nβ) Να υπολογίσετε το σύνολο των καθισμάτων που διαθέτει η συγκεκριμένη κερκίδα.\nγ) Αν για λόγους ασφαλείας σε έναν αγώνα επιτρέπεται να καθίσουν θεατές μόνο στις περιττές σειρές καθισμάτων της κερκίδας, να βρείτε πόσους καθήμενους θεατές θα χωρέσει αυτή η κερκίδα."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει ότι \\(α_{ν+1}=α_ν+2\\), άρα είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά \\(ω=2\\). Σε μία αριθμητική πρόοδο ισχύει ότι:\n\\begin{align}&α_ν=α_1+(ν-1)ω\\\\\n\\implies& α_{10}=α_1+9ω\\\\\n\\implies&α_1=α_{10}-9ω=50-9\\cdot 2=32.\\end{align}\nΣυνεπώς ισχύει ότι \\(α_1=32\\) και \\(ω=2\\).\nβ) Σε μία αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της είναι ίσο με:\n$$S_ν=\\frac{ν}{2}(2α_1+(ν-1)ω).$$\nΕπομένως για \\(ν = 40\\) έχουμε:\n\\begin{align}S_{40}&=\\frac{40}{2}(2\\cdot 32+39\\cdot 2)\\\\\n&=20(64+78)\\\\\n&=20\\cdot 142\\\\\n&=2840.\\end{align}\nΣυνεπώς, το σύνολο των καθισμάτων της κερκίδας είναι \\(2840\\).\nγ) Η 1η σειρά καθισμάτων έχει \\(32\\) καθίσματα, η 2η \\(34\\) και η 3η \\(36\\). Αν οι θεατές μπορούν να καθίσουν μόνο στις περιττές σειρές καθισμάτων, τότε δημιουργείται μία αριθμητική πρόοδος με \\(β_1=α_1, β_2=α_3,\\dots\\) με πρώτο όρο \\(β_1=32\\) και διαφορά \\(δ=4\\). Το πλήθος των όρων αυτής της αριθμητικής προόδου που πρέπει να καταμετρηθεί είναι οι \\(20\\) πρώτοι όροι, καθώς σε \\(40\\) σειρές καθισμάτων οι μισές θα είναι περιττές. Οπότε το πλήθος των θεατών που μπορούν να καθίσουν στην κερκίδα είναι:\n\\begin{align}S_{20}&=\\frac{20}{2}(2\\cdot 32+19\\cdot 4)\\\\\n&=10(64+76)\\\\\n&=10\\cdot 140\\\\\n&=1400.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(y=-\\dfrac{1}{2}x-2\\) και μια ευθεία \\((ε_2)\\) διέρχεται από το σημείο Α (-4, 1) και είναι παράλληλη στην \\((ε_1)\\).\nα) Να γράψετε την κλίση της ευθείας \\((ε_1)\\) και το σημείο τομής της ευθείας αυτής με τον άξονα \\(y'y\\).\n( \nβ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία \\((ε_2)\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε_2)\\). Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τους άξονες;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η κλίση της ευθείας \\((ε_1)\\) είναι \\(a_1=-\\dfrac{1}{2}\\) και η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα \\(y’y\\) στο σημείο (0, -2), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=-\\dfrac{1}{2}\\cdot0-2=-2\\).\nβ) Η ευθεία \\((ε_2)\\) είναι παράλληλη στην \\((ε_1)\\), οπότε έχει κλίση \\(a_2=-\\dfrac{1}{2}\\). Επομένως η εφαπτομένη της γωνίας \\(ω\\) που σχηματίζει η ευθεία \\((ε_2)\\) με τον \\(x'x\\) άξονα ισούται με \\(-\\dfrac{1}{2}\\) \\(\\left(εφω=-\\dfrac{1}{2}\\right)\\).\nγ) Η ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση: \\(y=-\\dfrac{1}{2}x+β\\) και διέρχεται από το σημείο Α (-4, 1), οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή:\n$$1=-\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(-4\\right)+β\\ \\Leftrightarrow\\ 1=2+β\\ \\Leftrightarrow\\ β=-1$$\nΆρα η ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση: \\(y=-\\dfrac{1}{2}x-1\\).\nΗ ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο (0, -1), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=-\\dfrac{1}{2}\\cdot0-1=-1\\) και τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο (2,0), αφού για \\(y=0\\) έχουμε:\n$$0=-\\dfrac{1}{2}x-1\\ \\Leftrightarrow$$\n$$1=-\\dfrac{1}{2}x\\ \\Leftrightarrow$$\n$$2=-x\\ \\Leftrightarrow$$\n$$x=-2$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε τις συναρτήσεις:\n$$f(x)=x^{2}+1$$\nκαι\n$$g(x)=x+α$$\nμε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Για \\(α=1\\), να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\), οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε δύο σημεία.\nγ) Για \\(α>1\\), να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι ομόσημες ή ετερόσημες."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για \\(α=1\\) ο τύπος της συνάρτησης \\(g\\) γίνεται: \\(g(x)=x+1, x\\in \\mathbb{R}\\).\nΟι συναρτήσεις \\(f\\) και \\(g\\) έχουν πεδίο ορισμού το \\(\\mathbb{R}\\). Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών τους παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1=x+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=0 \\\\ x-1=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=0 \\\\ x=1 \\end{cases}$$\nΕπίσης:\n$$g(0)=0+1=1$$\nκαι\n$$g(1)=1+1=2$$\nΆρα τα σημεία τομής είναι τα \\(Α(0,g(0))\\) και \\(Β(1,g(1))\\) δηλαδή τα \\(Α(0,1)\\) και \\(Β(1,2)\\).\nβ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε δύο σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1=x+α$$\nέχει δύο άνισες λύσεις (που θα είναι οι τετμημένες \\(x_{1},x_{2}\\) των σημείων αυτών).\nΔηλαδή αν και μόνο αν η εξίσωση:\n$$x^{2}-x+1-α=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nέχει δύο άνισες ρίζες.\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^{2}-x+1-α\\) είναι:\n$$Δ=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (1-α)=$$\n$$=1-4+4α=4α-3$$\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν:\n$$Δ>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4α-3>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4α>3 $$\n$$\\Leftrightarrow α>\\dfrac{3}{4}$$\nγ) Επειδή \\(α>1>\\dfrac{3}{4}\\), η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες, τις \\(x_{1},x_{2}\\). Το γινόμενό τους είναι:\n$$P=x_{1}x_{2}$$\n$$=\\dfrac{γ}{α}=1-α$$\nΑλλά, \\(α>1 \\Rightarrow 1-α<0\\), δηλαδή \\(P<0\\). Οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι ετερόσημες."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση:\n\\(x^{2}-x+λ-λ^{2}=0\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)\\)\nα) Να βρείτε τη διακρίνουσα \\(Δ\\) της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο άνισες ρίζες;\nγ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης \\((1)\\), να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) ισχύει \\(0 < d(x_{1},x_{2}) < 2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-1\\), \\(γ=λ-λ^{2}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (λ-λ^{2})$$\n$$=1-4λ+4λ^{2}$$\n$$=(1-2λ)^{2}\\ge 0,\\ \\ \\text{για κάθε}\\ λ\\in \\mathbb{R}$$\nΕπειδή \\(Δ\\ge 0\\), για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), η εξίσωση \\(x^{2}-x+λ-λ^{2}\\) = 0 έχει πραγματικές ρίζες.\nβ) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:\n$$Δ>0 $$\n$$\\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 1-2λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne \\dfrac{1}{2}$$\nγ) Οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{(1-2λ)^{2}}}{2}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm (1-2λ)}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+1-2λ}{2}=1-λ \\\\ \\dfrac{1-1+2λ}{2}=λ \\end{cases}$$\nΈχουμε ότι:\n$$0 < d(x_{1}, x_{2}) < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |x_{1}-x_{2}| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |1-λ-λ| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |1-2λ| < 2 $$\nΔηλαδή:\n$$0<|1-2λ| $$\n$$\\Leftrightarrow 1-2λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2λ\\ne \\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne \\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$|1-2λ|<2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2<1-2λ<2 $$\n$$\\Leftrightarrow -3<-2λ<1 $$\n$$\\Leftrightarrow -\\dfrac{1}{2}<λ<\\dfrac{3}{2}$$\nΟπότε, τελικά:\n$$λ\\in (-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2})\\cup (\\dfrac{1}{2},\\dfrac{3}{2})$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\\ \\ \\ (1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), η \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες.\nβ) Αν \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), τότε:\nΝα βρείτε το \\(S=x_{1}+x_{2}\\).\nΝα βρείτε το \\(P=x_{1}\\cdot x_{2}\\) ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού \\(λ\\).\nγ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\) είναι ο αριθμός \\(2+\\sqrt{3}\\) τότε:\nνα αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\) είναι ο αριθμός \\(2-\\sqrt{3}\\),\nνα βρείτε τον αριθμό \\(λ\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο: \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-4\\), \\(γ=2-λ^{2}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-4)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (2-λ^{2})$$\n$$=16-8+4λ^{2}$$\n$$=8+4λ^{2}$$\nΕίναι \\(Δ=8+4λ^{2}>0\\) για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\) οπότε η εξίσωση \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε\n\\(S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{-4}{1}=4\\)\n\\(P=x_{1}\\cdot x_{2}=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{2-λ^{2}}{1}=2-λ^{2}\\)\nγ) Έστω \\(x_{1}=2+\\sqrt{3}\\) και \\(x_2\\) η ζητούμενη ρίζα. Τότε:\nΑπό το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:\n$$x_{1}+x_{2}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+\\sqrt{3}+x_{2}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=4-2-\\sqrt{3} $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=2-\\sqrt{3}$$\nΑπό το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:\n$$x_{1}\\cdot x_{2}=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3})=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2^{2}-\\sqrt{3}^{2}=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 4-3=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=\\pm 1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\) ισχύουν: \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{25}=α_{12}+39\\).\nα) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=3\\).\nβ) Να βρείτε ποιός όρος της προόδου είναι ίσος με \\(152\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$α_{25}=α_{12}+39 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(25-1)ω=α_{1}+(12-1)ω+39 $$\n$$\\Leftrightarrow 24ω=11ω+39 $$\n$$\\Leftrightarrow 13ω=39 $$\n$$\\Leftrightarrow ω=3$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$α_{ν}=152 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+(ν-1)\\cdot 3=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+3ν-3=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν=153 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=51$$\nΆρα ο \\(51^{ος}\\) όρος της προόδου είναι ίσος με \\(152\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο:\n$$2x^{2}+x-1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι ρίζες του τριωνύμου \\((1)\\), να βρείτε την τιμή των παραστάσεων \\(x_{1}+x_{2}\\), \\(x_{1}x_{2}\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{1}}+\\dfrac{1}{x_{2}}\\).\nβ) Αν \\(\\dfrac{1}{x_{1}}=-1\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}=2\\), να βρείτε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις \\(\\dfrac{1}{x_{1}}\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}+x-1\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=1\\) και \\(γ=-1\\). Οπότε το άθροισμα των ριζών του είναι:\n$$x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι το γινόμενό τους:\n$$x_{1}x_{2}=\\dfrac{γ}{α}=-\\dfrac{1}{2}$$\nΕπίσης, έχουμε ότι:\n$$\\dfrac{1}{x_{1}}+\\dfrac{1}{x_{2}}=\\dfrac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\\dfrac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}$$\n$$=\\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\\dfrac{-\\dfrac{1}{2}}{-\\dfrac{1}{2}}=1$$\nβ) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(\\dfrac{1}{x_{1}}=-1\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}=2\\), είναι η \\(x^{2}-Sx+P=0\\), με \\(S=-1+2=1\\) και \\(P=(-1)\\cdot 2=-2\\).\nΆρα, μια εξίσωση είναι η: \\(x^{2}-x-2=0\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) για την οποία ισχύει ότι: \\(α_{1}=19\\) και \\(α_{10}-α_{6}=24\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=6\\).\nβ) Να βρείτε τον \\(α_{20}\\).\nγ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(20\\) πρώτων όρων της προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$α_{10}-α_{6}=24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(10-1)ω-[α_{1}+(6-1)ω]=24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+9ω-α_{1}-5ω=24 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ω=24 \\Leftrightarrow ω=6$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_{20}=α_{1}+(20-1)ω$$\n$$=19+19\\cdot 6$$\n$$=19+114=133$$\nγ) Ισχύει ότι:\n$$S_{20}=\\dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$\n$$=10(19+133)$$\n$$=10\\cdot 152=1520$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(|2x+4|=10\\).\n(Μονάδες9)\nβ) Nα λύσετε την ανίσωση: \\(|x-5|>1\\).\nγ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\n(Μονάδες7)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x+4|=10$$\n$$2x+4=10 \\text{ ή } 2x+4=-10$$\n$$2x=6 \\text{ ή } 2x=-14$$\n$$x=3 \\text{ ή } x=-7$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x-5|>1$$\n$$x-5\\lt -1 \\text{ ή } x-5>1$$\n$$x\\lt 4 \\text{ ή } x>6$$\nγ) Οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος, διότι και οι δυο είναι αριθμοί μικρότεροι του \\(4\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση:\n$$f(x)=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{1+(x+2)x}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.\nγ) Αν είναι \\(f(x)=x+2,\\ x\\neq -1\\), τότε: i. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει η γραφική παράσταση της \\(f\\) τη γραφική παράσταση της \\(g(x)=x^2\\).\n ii. Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\), για τις οποίες, η γραφική παράσταση της \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της \\(g\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n\\begin{align}&1+(x+2)x\\neq0\\\\\n\\iff&x^2+2x+1\\neq0\\\\\n\\iff&(x+1)^2\\neq0\\\\\n\\iff&x\\neq -1.\\end{align}\nΆρα \\(A_f=\\mathbb{R}-\\{-1\\}\\).\nβ) Έχουμε:\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{1+(x+2)x}\\\\\n&=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{(x+1)^2}\\\\\n&=x+2\\end{align}\nκαι η γραφική της παράσταση είναι ευθεία με εξίσωση \\(y=x+2\\) και \\(x\\neq -1\\).\nγ) i. Η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(g\\) σε σημεία των οποίων οι τετμημένες είναι λύσεις της εξίσωσης \\(x+2=x^2\\), για \\(x\\neq -1\\).\nΈχουμε λοιπόν\n$$x+2=x^2\\iff x^2-x-2=0$$\nπου είναι εξίσωση \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με ρίζες που έχουν άθροισμα \\(-\\frac{-1}{1}=1\\) και γινόμενο \\(\\frac{-2}{1}=-2\\). Επομένως, \\(x_1=2\\) και \\(x_2=-1\\) (απορρίπτεται).\nΆρα, οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο, το \\((2,4)\\), αφού \\(f(2)=g(2)=4\\). ii. H γραφική παράσταση της \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της \\(g\\) για τις τιμές του \\(x\\) οι οποίες είναι λύσεις της ανίσωσης:\n$$x+2 > x^2\\iff x^2-x-2 < 0.$$\nΗ ανίσωση είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με \\(α=1>0\\) και ρίζες \\(x_1=2\\) και \\(x_2=-1\\), οπότε αληθεύει για \\(x\\in(-1,2)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την ανίσωση: \\(\\ -\\dfrac{3-2x}{7}\\geq 5\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \\(|-x-1|\\leq 23\\).\nγ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) H δοθείσα ανίσωση γράφεται \\(\\dfrac{-(3-2x)}{7} \\geq 5\\) οπότε\n$$\\frac{2x-3}{7}\\geq 5\\iff 2x-3\\geq 35,$$\nάρα\n$$2x\\geq 38\\iff x\\geq 19.$$\nβ) Καθώς οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές, η δοθείσα ανίσωση γράφεται ισοδύναμα\n\\begin{align}&|x + 1| \\leq 23\\\\\n\\iff&-23\\leq x+1\\leq 23\\\\\n\\iff&-23-1\\leq x\\leq 23-1\\\\\n\\iff&-24\\leq x\\leq 22.\\end{align}\nγ) Παριστάνουμε τις λύσεις των δύο παραπάνω ανισώσεων στον ίδιο άξονα, απ΄όπου προκύπτει ότι \\(19\\leq x\\leq 22\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "*α) Να λύσετε την εξίσωση \\(|2x-1|=3\\).\nβ) Αν \\(α,\\ β\\) με \\(α<β\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση \\(αx^{2}+βx+3=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|2x–1|=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2x–1=3 \\text{ ή } 2x–1=–3$$\n$$\\Leftrightarrow 2x=4 \\text{ ή } 2x=–2$$\n$$\\Leftrightarrow x=2 \\text{ ή } x=–1$$\nβ) Είναι \\(α = – 1\\) και \\(β = 2.\\) Τότε η εξίσωση γράφεται:\n$$–x^{2}+2x+3=0$$\nΓια \\(α = – 1,\\ β = 2\\) και \\(γ = 3\\), βρίσκουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=2^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot 3=4+12=16>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-2\\pm \\sqrt{16}}{2\\cdot (-1)}\\\\\n& =\\dfrac{-2\\pm 4}{-2}\\\\\n&= \\begin{cases} \\dfrac{2}{-2} = - 1 \\\\ \\dfrac{-6}{-2} =3 \\end{cases} \\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2-6x+λ=0\\quad(1)$$\nόπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) εξίσωση \\((1)\\) έχει πραγματικές ρίζες.\nβ) Αν δύο πραγματικοί αριθμοί \\(α\\) και \\(β\\) έχουν σταθερό άθροισμα \\(6\\) και γινόμενο \\(α\\cdot β=λ\\), τότε:i. Να δείξετε ότι \\(α\\cdot β\\leq 9\\).\nii. Να δείξετε ότι \\(α\\cdot β=9\\) αν και μόνο αν \\(α=β\\).\nγ) Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διαστάσεις \\(α,\\ β\\) και περίμετρο \\(12\\), μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα \\(Δ=36-4λ\\) και για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί \\(Δ\\geq0\\) ισοδύναμα \\(36-4λ\\geq0\\) οπότε \\(-4λ\\geq-36\\) και τελικά \\(λ\\leq9\\).\nβ) i. Αφού οι πραγματικοί αριθμοί \\(α, β\\) έχουν σταθερό άθροισμα \\(6\\) και γινόμενο \\(λ\\) θα είναι ρίζες της \\((1)\\) και αυτό όπως δείξαμε στο (α) ερώτημα συμβαίνει αν και μόνο αν\n$$λ\\leq9\\iff α\\cdot β\\leq9.$$\nii. Αφού οι πραγματικοί αριθμοί \\(α, β\\) είναι ρίζες της \\((1)\\), θα είναι \\(α=β\\) αν και μόνο αν η \\((1)\\) έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή ισοδύναμα αν \\(Δ=0\\) δηλαδή \\(36-4λ=0\\) οπότε \\(-4λ=-36\\) και τελικά \\(λ=9\\) πράγμα που σημαίνει ότι \\(α\\cdot β=9\\).\nγ) Έστω \\(α, β\\) οι διαστάσεις τυχαίου ορθογωνίου παραλληλογράμμου με περίμετρο 12. Τότε \\(2α+2β=12\\) δηλαδή \\(α+β=6\\). Το εμβαδόν τους είναι ίσο με \\(α\\cdot β\\). Δείξαμε στο (β) ερώτημα ότι αν για δυο πραγματικούς αριθμούς \\(α, β\\) ισχύει ότι \\(α+β=6\\), τότε \\(α\\cdot β\\leq 9\\) και μάλιστα \\(α\\cdot β=9\\) αν και μόνο αν \\(α=β\\).\nΣυνεπώς η μεγαλύτερη τιμή του εμβαδού είναι \\(9\\) και αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή αν και μόνο αν είναι τετράγωνο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω \\(α,\\ β,\\ γ\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν \\(α+β+γ=0\\) και \\(αβγ\\neq0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι\n\\(β+γ=-α\\).\n\\(\\dfrac{α^2}{β+γ}=-α\\).\nβ) Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα \\(\\dfrac{β^2}{γ+α},\\ \\dfrac{γ^2}{α+β}\\) και να αποδείξετε ότι\n$$\\frac{α^2}{β+γ}+\\frac{β^2}{γ+α}+\\frac{γ^2}{α+β}=0.$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) i. Από την ισότητα \\(α+β+γ=0\\), προκύπτει ότι \\(β+γ=-α\\), που είναι το ζητούμενο.ii. Mε τη βοήθεια του προηγούμενου υποερωτήματος, έχουμε:\n$$\\frac{α^2}{β+γ}=\\frac{α^2}{-α}=-α.$$\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\frac{α^2}{β+γ}=-α.$$\nΟμοίως, από τη δοσμένη ισότητα παίρνουμε \\(γ+α=-β\\) και \\(α+β=-γ\\), οπότε\n$$\\frac{β^2}{γ+α}=\\frac{β^2}{-β}=-β$$\nκαι\n$$\\frac{γ^2}{α+β}=\\frac{γ^2}{-γ}=-γ.$$\nΕπομένως,\n\\begin{align}&\\phantom{=}\\frac{α^2}{β+γ}+\\frac{β^2}{γ+α}+\\frac{γ^2}{α+β}\\\\\n&=-α-β-γ\\\\\n&=-(α+β+γ)\\\\\n&=0\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί:\n$$Α=\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}} \\text{ και }Β=\\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$A+B=3 \\text{ και } A\\cdot B=\\dfrac{1}{2}$$\nβ) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(Α,\\ Β\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} A+B & =\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}}+\\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}\\\\\n& =\\dfrac{3+\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}+\\dfrac{3-\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{3-\\sqrt{7}+3+\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{6}{3^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}\\\\\n&=\\dfrac{6}{9-7}\\\\\n&=\\dfrac{6}{2} \\\\\n&=3 \\end{align}\nΙσχύει ότι:\n\\begin{align} A\\cdot B & =\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}}\\cdot \\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{1}{3^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{9-7}\\\\\n&=\\dfrac{1}{2} \\end{align}\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:\n$$x^{2}-Sx+P=0$$\nμε\n$$S=A+B=3 \\text{ και }P=Α\\cdot B=\\dfrac{1}{2}$$\nΤελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}-3x+\\dfrac{1}{2}=0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\cases{2x+4,\\ x < 0 \\\\ x - 1,\\ x \\ge 0}\\)\nα) Να δείξετε ότι: \\(f(-1)=f(3)\\).\nβ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\), ώστε: \\(f(x)=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$f(-1)=2\\cdot (-1)+4=-2+4=2$$\nκαι:\n$$f(3)=3-1=2$$\nΆρα:\n$$f(-1)=f(3)$$\nβ) Για \\(x<0\\) είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=-4 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-2$$\nΓια \\(x\\ge 0\\) είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=3x^2+6αx+6β,\\ α,β\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$f(α)+f(β)\\geq β^2-36.$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές των \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\) για τις οποίες ισχύει\n$$f(α)+f(β)=β^2-36.$$\nγ) Αν \\(α=2\\) και \\(β=-6\\): i. Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=6x\\).\n ii. Αν \\(x_1,x_2\\) οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (γ.i), να δείξετε ότι ισχύει:\n$$\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}=\\frac{1}{6}.$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}&f(α)+f(β)\\geq α^2-36\\\\\n\\iff&3α^2+6α^2+6β+3β^2+6αβ+6β\\geq β^2-36\\\\\n\\iff&9α^2+2β^2+6αβ+12β+36\\geq 0\\\\\n\\iff&(9α^2+β^2+6αβ)+(β^2+12β+36)\\geq 0\\\\\n\\iff&(3α+β)^2+(β+6)^2\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει σαν άθροισμα τετραγώνων.\nβ) Βάσει του ερωτήματος (α), έχουμε:\n\\begin{align}&f(α)+f(β)\\geq β^2-36\\\\\n\\iff&(3α+β)^2+(β+6)^2\\geq 0\\end{align}\nγια κάθε \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\). Η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν \\(3α+β=0\\) και \\(β+6=0\\).\nΆρα \\(β=-6\\) και \\(α=2\\).\nγ) Για \\(α=2\\) και \\(β=-6\\) i. Λύνουμε την εξίσωση:\n\\begin{align}&f(x)=6x\\\\\n\\iff&3x^2+12x-36=6x\\\\\n\\iff&3x^2+12x-36-6x=0\\\\\n\\iff&3x^2+6𝑥-36=0\\\\\n\\iff&x^2+2x-12=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^2+2x-12\\) είναι:\n$$Δ=4+48=52=4\\cdot 13$$\nκαι οι ρίζες:\n\\begin{align}&x_{1,2}=\\frac{-2\\pm 2\\sqrt{13}}{2}\\\\\n\\iff&x_1=-1+\\sqrt{13}\\text{ και }x_2=-1-\\sqrt{13}.\\end{align}\nii. Ισχύει ότι:\n$$\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}=\\frac{x_1+x_2}{x_1\\cdot x_2}=\\frac{-2}{-12}=\\frac{1}{6},$$\nαφού \\(x_1+x_2=-2\\) και \\(x_1\\cdot x_2=-12\\).\nΕναλλακτικά:\n\\begin{align}\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}&=\\frac{1}{-1+\\sqrt{13}}+\\frac{1}{-1-\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{-1-\\sqrt{13}-1+\\sqrt{13}}{(-1-\\sqrt{13})\\cdot(-1+\\sqrt{13})}\\\\\n&=\\frac{-2}{1-13}\\\\\n&=\\frac{-2}{-12}\\\\\n&=\\frac{1}{6}.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε ότι \\(x^{2}+4x+5>0\\), για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\).\nβ) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:\n$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4|$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}+4x+5\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=4\\), \\(γ=5\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\\cdot 1\\cdot 5$$\n$$=16-20=-4 < 0$$\nΕπειδή \\(α=1>0\\), ισχύει ότι: \\(x^{2}+4x+5>0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\).\nβ) Είναι:\n$$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}\\ge 0$$\nΤότε:\n$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4| $$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} Β=x^{2}+4x+5-(x^{2}+4x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow Β=x^{2}+4x+5-x^{2}-4x-4 $$\n$$\\Leftrightarrow B=1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω \\(α\\) ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει \\(α=|3\\sqrt{2}-4|+2|\\sqrt{2}-2|\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=\\sqrt{2}\\). (Θεωρήστε ότι \\(\\sqrt{2}=1,41\\))\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι \\(α^{3}=2α\\).\nγ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης \\(Α=α^{3}+(α-1)^{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Με \\(\\sqrt{2}=1,41\\) έχουμε \\(3\\sqrt{2}>4\\), οπότε \\(3\\sqrt{2}-4>0\\), άρα \\(|3\\sqrt{2}-4|=3\\sqrt{2}-4\\).\nΕπίσης \\(\\sqrt{2}-2<0\\), οπότε \\(|\\sqrt{2}-2|=-\\sqrt{2}+2\\).\nΈχουμε λοιπόν:\n$$α=3\\sqrt{2}-4+2(2-\\sqrt{2})$$\n$$=3\\sqrt{2}-4+4-2\\sqrt{2}=\\sqrt{2}$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) έχουμε:\n$$α^{3}=α^{2}α=2α$$\nγ) Αφού \\(α^{3}=2α\\), έχουμε:\n$$Α=α^{3}+(α-1)^{2}$$\n$$=2α+α^{2}-2α+1$$\n$$=α^{2}+1=2+1=3$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:\n$$Α=\\big(\\sqrt{2}\\big)^{6},\\ B=\\big(\\sqrt[3]{3}\\big)^{6},\\ Γ=\\big(\\sqrt[6]{6}\\big)^{6}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(A+Β+Γ=23\\)\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: \\(\\sqrt[3]{3}\\) και \\(\\sqrt[6]{6}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} A+Β+Γ & =\\big(\\sqrt{2}\\big)^{6}+\\big(\\sqrt[3]{3}\\big)^{6}+\\big(\\sqrt[6]{6}\\big)^{6}\\\\\n&=\\Big(2^{\\frac{1}{2}}\\Big)^{6}+\\Big(3^{\\frac{1}{3}}\\Big)^{6}+\\Big(6^{\\frac{1}{6}}\\Big)^{6}\\\\\n&= 2^{\\frac{6}{2}}+3^{\\frac{6}{3}}+6^{\\frac{6}{6}}\\\\\n&=8+9+6\\\\\n&=23\\end{align}$$\nβ) Ισχύουν:\n$$\\sqrt[3]{3}=3^{\\frac{1}{3}}=3^{\\frac{2}{6}}=\\sqrt[6]{3^2}=\\sqrt[6]{9}$$\nΑκόμα:\n$$6\\lt 9$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{6}\\lt \\sqrt[6]{9}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{6}\\lt \\sqrt[3]{3}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2+x+1,\\ x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \\(α\\neq -\\frac{1}{2}\\), τα σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τετμημένες \\(α\\) και \\(-α-1\\) έχουν την ίδια τεταγμένη.\nγ) Θεωρούμε μεταβλητό σημείο \\(Μ\\) της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τετμημένη \\(β > 0\\). Από το \\(Μ\\) φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) και έστω \\(Α\\) και \\(Δ\\) τα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τους άξονες, όπου το \\(Α\\) ανήκει στον \\(x'x\\) και το \\(Δ\\) στον \\(y'y\\).\nΑποδείξτε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου \\(ΟΑΜΔ\\) είναι \\((\\sqrt{2}(β+1))^2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(f(x) > 0\\) για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\), αφού \\(f(x)\\) είναι οι τεταγμένες των σημείων της γραφικής παράστασης της \\(f\\).\nΠαρατηρούμε ότι ο τύπος \\(f(x)\\) της συνάρτησης είναι ένα τριώνυμο με διακρίνουσα\n$$Δ=1^2-4\\cdot 1\\cdot 1=-3 \\lt 0,$$\nάρα το τριώνυμο θα γίνεται ομόσημο του \\(α=1 > 0\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(x\\), δηλαδή πάντα θετικό.\nΕπομένως: \\(x^2+x+1 > 0\\) για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει \\(f(-α-1)=f(α)\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(α\\neq-\\frac{1}{2}\\). Πράγματι:\n\\begin{align}f(-α-1)&=(-α-1)^2+(-α-1)+1\\\\\n&=α^2+2α+1-α\\\\\n&=α^2+α+1\\\\\n&=f(α).\\end{align}\nγ) Έστω \\(Μ(β,f(β))\\) και \\(Α, Δ\\) οι προβολές του \\(Μ\\) στους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) αντίστοιχα. Τότε είναι \\(Α(β,0)\\) και \\(Δ(0,f(β))\\). Η περίμετρος \\(Ρ\\) του ορθογωνίου \\(ΟΑΜΔ\\) θα είναι:\n\\begin{align}P&=2β+2f(β)\\\\\n&=2(β+f(β))\\\\\n&=2(β+β^2+β+1)\\\\\n&=2(β^2+2β+1)\\\\\n&=2(β+1)^2\\\\\n&=(\\sqrt{2}(β+1))^2.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}-μx-2, μ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(μ\\in \\mathbb{R}\\) για τις οποίες οι αριθμοί \\(x=-2\\) και \\(x=3\\) βρίσκονται εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) ενώ ο \\(x=1\\) βρίσκεται εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\).\nγ) Αν επιπλέον οι τιμές \\(f(-2), f(1), f(3)\\) με τη σειρά που δίνονταιαποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε:\ni. Να βρείτε τις τιμές του \\(μ\\).\nii. Για \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n\\(Δ=(-μ)^{2}-4\\cdot 1 \\cdot (-2)=μ^{2}+8>0\\) για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nΆρα η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Είναι:\n$$f(-2)=4+2μ-2=2μ+2$$\n$$f(1)=1-μ-2=-μ-1$$\n$$f(3)=9-3μ-2=7-3μ$$\nΓια να βρίσκονται τα \\(x=-2\\) και \\(x=3\\) εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) ενώ το \\(x=1\\) εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\), θα πρέπει να ισχύει:\n$$\\begin{cases} f(-2)>0 \\\\ f(1)\\lt 0 \\\\ f(3)>0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2μ+2>0 \\\\ - μ-1 \\lt 0 \\\\ 7-3μ>0\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} μ>-1 \\\\ μ>-1 \\\\ μ\\lt \\dfrac{7}{3} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt μ\\lt \\dfrac{7}{3}$$\nγ) Για να είναι τα \\(f(-2), f(1), f(3)\\) με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει να ισχύει:\n$$(f(1))^{2}=f(-2)\\cdot f(3)$$\n$$\\Leftrightarrow (-μ-1)^{2}=(2μ+2)\\cdot (7-3μ)$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)^{2}-2(μ+1)\\cdot (7-3μ)=0$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)\\cdot (μ+1-14+6μ)=0$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)\\cdot (7μ-13)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow μ=-1 \\text{ ή } 7μ-13=0$$\n$$\\Leftrightarrow μ=-1 \\text{ ή } μ=\\dfrac{13}{7}$$\nΆρα \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) αφού \\(μ\\in \\Big(-1,\\frac{7}{3}\\Big)\\).\nΓια \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) είναι:\n$$f(-2)=\\dfrac{26}{7}+2=\\dfrac{40}{7}$$\n$$f(1)=-\\dfrac{13}{7}-1=-\\dfrac{20}{7}$$\n$$\\text{ και } f(3)=7-\\dfrac{39}{7}=\\dfrac{10}{7}$$\nΆρα ο λόγος της προόδου θα είναι:\n$$λ=\\dfrac{-\\dfrac{20}{7}}{\\dfrac{40}{7}}=-\\dfrac{1}{2}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να δείξετε ότι \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nΔίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\left|\\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\\right|\\).\nβ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(Α\\).\nγ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^{2}+2x+4\\) για κάθε \\(x\\in Α\\).\nδ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(g\\), όπου \\(g(x)=6x\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$x^{2}+2x+4=x^{2}+2x+1+3$$\n$$=(x+1)^{2}+3>0$$\nΓια κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nΕναλλακτικά, το τριώνυμο \\(x^{2}+2x+4\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=-12<0\\), οπότε είναι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ομόσημο του \\(α=1>0\\), δηλαδή \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για κάθε \\(x\\ne 2\\), οπότε \\(Α=(-\\infty ,2)\\cup (2,+\\infty)\\).\nγ) Είναι:\n$$f(x)=\\left|\\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\\right|$$\n$$=\\left|\\dfrac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}\\right|$$\n$$=|x^{2}+2x+4|=x^{2}+2x+4$$\nΑφού δείξαμε στο α) ερώτημα ότι \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Συνεπώς \\(f(x)=x^{2}+2x+4\\) για κάθε \\(x\\in Α\\).\nδ) Το πεδίο ορισμού της \\(g\\) είναι το \\(R\\). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f,g\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\) με \\(x\\ne 2\\).\nΕίναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=6x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+4-6x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nΗ λύση \\(x=2\\) που βρήκαμε απορρίπτεται οπότε οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινά σημεία."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε αριθμητική πρόοδο (\\(α_ν\\)) με διαφορά \\(ω = 4\\), ισχύει: \\(α_{6}+α_{11}=40\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου.\nβ) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$α_{6}+α_{11}=40 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(6-1)ω+α_{1}+(11-1)ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+5ω+10ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+15ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+15\\cdot 4=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+60=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}=-20$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-10$$\nβ) Έχουμε:\n$$S_{v} =0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} [2α_{1}+(v-1)ω] =0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} [2(-10)+( v -1)4]=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} (-20+4 v -4)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow -24+4 v =0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4 v =24 $$\n$$\\Leftrightarrow v =6$$\nΆρα πρέπει να προσθέσουμε τους πρώτους έξι όρους ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με μηδέν."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε τις εξισώσεις\n$$3x^{2}-14x+8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι\n$$8x^{2}-14x+3=0\\ \\ \\ \\ (2)$$\n(Μονάδες10)\nβ) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης \\((2)\\) είναι οι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης \\((1)\\) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής:\n$$αx^{2}+βx+γ=0\\ \\ \\ \\ (3)$$\nκαι\n$$γx^{2}+βx+α=0\\ \\ \\ \\ (4)$$\nμε\n$$α\\cdot γ\\ne 0$$\nΝα αποδείξετε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:\nΑν ο αριθμός \\(ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((3)\\) και \\(α\\cdot γ\\ne 0\\), τότε\n\\(ρ\\ne 0\\).\n\\(\\dfrac{1}{ρ}\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((4)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(3x^{2}-14x+8\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-14)^{2}-4\\cdot 3\\cdot 8$$\n$$=196-96=100>0$$\nοπότε η εξίσωση \\(3x^{2}-14x+8=0\\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-14)+\\sqrt{100}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{14+10}{6}=4$$\nκαι\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-14)-\\sqrt{100}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{14-10}{6}=\\dfrac{4}{6}=\\dfrac{2}{3}$$\nΤο τριώνυμο \\(8x^{2}-14x+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-14)^{2}-4\\cdot 8\\cdot 3$$\n$$=196-96=100>0$$\nοπότε η εξίσωση \\(8x^{2}-14x+3=0\\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-14)+\\sqrt{100}}{2\\cdot 8}$$\n$$=\\dfrac{14+10}{16}=\\dfrac{24}{16}=\\dfrac{3}{2}$$\nκαι\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-14)-\\sqrt{100}}{2\\cdot 8}$$\n$$=\\dfrac{14-10}{16}=\\dfrac{4}{16}=\\dfrac{1}{4}$$\nβ) Ο αριθμός \\(ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((3)\\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:\n$$αρ^{2}+βρ+γ=0\\ \\ \\ \\ (5)$$\nΕάν \\(ρ=0\\), τότε από την σχέση \\((5)\\) προκύπτει \\(γ=0\\), που είναι άτοπο, αφού \\(α\\cdot γ\\ne 0\\). Άρα \\(ρ\\ne 0\\).\nΟ \\(\\dfrac{1}{ρ}\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((4)\\) αν και μόνο αν\n$$γ(\\dfrac{1}{ρ})^{2}+β\\cdot \\dfrac{1}{ρ}+α=0$$\n$$\\overset{(\\cdot ρ^{2})}{ \\Longleftrightarrow }γ+βρ+αρ^{2}=0$$\nπου ισχύει λόγω της σχέσης \\((5)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί : \\(x^{2}+5,\\ x^{2}+x,\\ 2x+4\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nα) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού \\(x\\).\nβ) Αν \\(x=3\\) και ο αριθμός \\(x^{2}+5\\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:\ni. τη διαφορά \\(ω\\) της αριθμητικής προόδου,\nii. τον πρώτο όρο της προόδου,\niii. το άθροισμα \\(S=α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Οι αριθμοί: \\(x^{2}+5,x^{2}+x, 2x+4\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, οπότε ισχύει η σχέση:\n$$2(x^{2}+x)=(2x+4)+(x^{2}+5)$$\nΈχουμε ισοδύναμα:\n$$2x^{2}+2x=x^{2}+2x+9$$\n$$x^{2}=9$$\n$$x=3 \\text{ ή } x=-3$$\nβ)\ni. Αν ο αριθμός \\(x^{2}+5\\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, τότε ο \\(x^{2}+x\\) θα είναι ο 5ος όρος της.\nΆρα για \\(x=3\\), \\(α_{4}=3^{2}+5=14\\) και \\(α_{5}=3^{2}+3=12\\).\nΟπότε \\(ω=α_{5}-α_{4}=12-14=-2\\)\nii. Ισχύει \\(α_{4}=α_{1}+3ω\\), δηλαδή \\(14=α_{1}+3\\cdot (-2)\\), οπότε \\(α_{1}=20\\).\niii. Το ζητούμενο άθροισμα είναι:\n$$\\begin{align} S & =α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\\\\\n&=\\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{24}\\Big)-\\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{14}\\Big)\\\\\n& =S_{24}-S_{14}\\\\\n&=\\dfrac{24}{2}\\cdot \\Big[2\\cdot 20+23\\cdot (-2)\\Big]-\\dfrac{14}{2}\\cdot \\Big[2\\cdot 20+13\\cdot (-2)\\Big] \\\\\n&=12\\cdot (40-46)-7\\cdot (40-26)\\\\\n&=-170\\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=αx+β,\\) με \\(α,β\\in \\mathbb{R}\\) για την οποία ισχύει:\n$$f(0)=5 \\text{ και } f(1)=3$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=-2\\) και \\(β = 5.\\)\nβ) Να βρείτε τα σημεία, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει ότι:\n$$f(0)=5 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 0+β=5$$\n$$\\Leftrightarrow β=5, \\\\\\ (1)$$\nΑκόμα:\n$$f(1)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 1+β=3 $$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} α+5=3$$\n$$\\Leftrightarrow α=-2.$$\nΟπότε: \\(α=-2\\) και \\(β=5\\).\nβ) Ο τύπος της \\(f\\) γίνεται: \\(f(x)=-2x+5\\).\nΓια τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_{f}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow -2x+5=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{5}{2}$$\nΟπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Α\\Big(\\dfrac{5}{2},0\\Big)\\).\nΕπίσης έχουμε: \\(f(0)=0+5=5\\), οπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Β(0,5)\\).\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\), οπότε είναι:"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Η απόσταση \\(y\\) (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μία πόλη \\(Α\\), μετά από \\(x\\) λεπτά, δίνεται από τη σχέση:\n$$y=35+0,8x$$\nα) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη \\(Α\\) μετά από \\(25\\) λεπτά;\nβ) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει \\(75\\) χιλιόμετρα από την πόλη \\(Α\\);"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να βρούμε την απόσταση του αυτοκινήτου μετά από \\(25\\) λεπτά θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(x=25\\) και βρίσκουμε:\n$$y=35+0,8\\cdot 25$$\n$$\\Leftrightarrow y=35+20$$\n$$\\Leftrightarrow y=55 \\text{ χιλιόμετρα}$$\nβ) Για να βρούμε τα λεπτά που θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει \\(75\\) χιλιόμετρα από την πόλη \\(Α\\) θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(y=75\\) και βρίσκουμε:\n$$75=35+0,8x$$\n$$\\Leftrightarrow 40=0,8x$$\n$$\\Leftrightarrow x=50 \\text{ λεπτά}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$x^{2}-2x-3=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-2x-3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-3)$$\n$$=4+12=16>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-2)-\\sqrt{16}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2-4}{2}=-1$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-2)+\\sqrt{16}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2+4}{2}=3$$\nβ) Δεδομένου ότι \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\), δηλαδή οι αριθμοί \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\), με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν \\(2\\cdot 1=-1+3\\), που ισχύει."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι πλευρές \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\\), με \\(λ\\in (0,2)\\).\nα) Να βρείτε\nτην περίμετρο \\(Π\\) του ορθογωνίου.\nτο εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(Ε\\le 1\\), για κάθε \\(λ\\in (0,2)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in (0,2)\\) για την οποία το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(1\\). Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\\) έχει ρίζες \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) με άθροισμα:\n$$S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{-2}{1}=2$$\nκαι γινόμενο:\n$$P=x_{1}x_{2}=\\dfrac{λ(2-λ)}{1}=λ(2-λ)$$\nH περίμετρος \\(Π\\) του ορθογωνίου είναι:\n$$Π=2x_{1}+2x_{2}$$\n$$=2(x_{1}+x_{2})$$\n$$=2\\cdot 2=4$$\nTο εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \\(λ\\) είναι:\n$$Ε=x_{1}x_{2}=λ(2-λ), λ\\in (0,2)$$\nβ) Έχουμε:\n$$Ε\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(2-λ)\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-2λ+1\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-1)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει για κάθε \\(λ\\in (0,2)\\).\nγ) Το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(1\\), αν και μόνο αν:\n$$Ε=1$$\n$$\\overset{(β)}{ \\Leftrightarrow }(λ-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$\nΓια \\(λ=1\\), η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \\(4\\) και το εμβαδόν του \\(1\\), οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς \\(x_{1}=x_{2}=1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α,\\ β\\) με \\(α=1+\\sqrt{2}\\) και \\(β=1-\\sqrt{2}\\).\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Α=α^2-β^2\\).\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Β=\\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\).\nγ) Αν \\(Α=4\\sqrt{2}\\) και \\(Β=2\\), να δείξετε ότι\n$$\\sqrt{α^2-β^2} > \\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}.$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε\n\\begin{align}Α&=α^2-β^2\\\\\n&=(α-β)(α+β)\\\\\n&=(1+\\sqrt{2}-1+\\sqrt{2})\\cdot (1+\\sqrt{2}+1-\\sqrt{2})\\\\\n&=2\\sqrt{2}\\cdot 2\\\\\n&=4\\sqrt{2}.\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}Β&=\\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\\\\n&=|α|-|β|\\\\\n&=(1+\\sqrt{2})-(\\sqrt{2}-1)\\\\\n&=1+\\sqrt{2}-\\sqrt{2}+1\\\\\n&=2.\\end{align}\nγ) Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&\\sqrt{α^2-β^2} > \\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\\\\n\\overset{\\textbf{(α), (β)}}{\\iff}&\\sqrt{Α} > Β\\\\\n\\iff&\\sqrt{4\\sqrt{2}} > 2\\\\\n\\overset{(...)^2>(...)^2}{\\Longleftrightarrow}&4\\sqrt{2} > 4\\\\\n\\iff&\\sqrt{2} > 1\\\\\n\\iff&2 > 1,\\end{align}\nπου ισχύει."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν \\(α\\) και \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί με \\(2\\le α\\le 4\\) και \\(-4\\le β\\le -3\\), να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:\nα) \\(α+2β\\).\nβ) \\(α-β\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$2\\le α\\le 4\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-4\\le β\\le -3$$\n$$\\Rightarrow -4\\cdot 2\\le β\\cdot 2\\le -3\\cdot 2$$\n$$\\Rightarrow -8\\le 2β\\le -6\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((2)\\), και έχουμε:\n$$2-8\\le α+2β\\le 4-6$$\n$$\\Rightarrow -6\\le α+2β\\le -2$$\nβ) Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη, η παράσταση \\(α-β\\) γράφεται \\(α-β=α+(-β)\\).\nΕίναι:\n$$2\\le α\\le 4\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-4\\le β\\le -3$$\nοπότε πολλαπλασιάζουμε με \\((-1)\\) τα μέλη της ανισότητας και αυτή αλλάζει φορά:\n$$-4\\cdot (-1)\\ge β\\cdot (-1)\\ge -3\\cdot (-1)$$\n$$\\Rightarrow 4\\ge -β\\ge 3$$\n$$\\Rightarrow 3\\le -β\\le 4\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((3)\\), και έχουμε:\n$$2+3\\le α-β\\le 4+4$$\n$$\\Rightarrow 5\\le α-β\\le 8$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(1−𝑥,\\ \\dfrac{𝑥}{2},\\ 2𝑥 - 1,\\ 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω αριθμοί, με αυτή τη σειρά, είναι πάντοτε διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(𝑥\\), αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά ω αυτής της προόδου είναι \\(5\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί \\(α, β, γ\\), με αυτή τη σειρά, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, αν και μόνον αν ισχύει \\(𝛽 − 𝛼 = 𝛾 - 𝛽\\).\nΈτσι, θα πρέπει να ισχύει ότι\n$$\\dfrac{𝑥}{2} − (1 − 𝑥) = 2𝑥 − 1 − \\dfrac{𝑥}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{2}-1+x=\\dfrac{3x}{2}-1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3x}{2}-1=\\dfrac{3x}{2}-1,\\ \\text{που ισχύει}$$\nβ) Πρέπει να ισχύει:\n$$\\dfrac{3x}{2}-1=5$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3𝑥}{2}=6$$\n$$\\Leftrightarrow 3𝑥=12$$\n$$\\Leftrightarrow 𝑥=4.$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2-4x+5,\\ x\\in\\mathbb{R}\\) και η ευθεία \\(y=2x+β,\\ β\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(f(2+x)=f(2-x)\\).\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(A=f(3,52)-f(0,52)+f(3,48)-f(0,48)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με την ευθεία, όταν \\(β=-5\\).\nδ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του \\(β\\), ώστε η \\(C_f\\) να έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\) έχουμε:\n\\begin{align}f(2+x)&=(2+x)^2-4(2+x)+5\\\\\n&=x^2+4x+4-4x-8+5\\\\\n&=x^2+1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}f(2-x)&=(2-x)^2-4(2-x)+5\\\\\n&=x^2-4x+4+4x-8+5\\\\\n&=x^2+1\\end{align}\nοπότε \\(f(2+x)=f(2-x)\\).\nβ) Με \\(x=1,52\\) η ισότητα του ερωτήματος (α) δίνει\n\\begin{align}&f(2+1,52)=f(2-1,52)\\\\\n\\iff& f(3,52)-f(0,48)=0\\quad (1)\\end{align}\nενώ με \\(x=1,48\\) δίνει\n\\begin{align}&f(2+1,48)=f(2-1,48)\\\\\n\\iff& f(3,48)-f(0,52)=0\\quad (2)\\end{align}\nΜε τη βοήθεια των \\((1)\\) και \\((2)\\) παίρνουμε:\n\\begin{align}A&=f(3,52)-f(0,52)+f(3,48)-f(0,48)\\\\\n&=f(3,52)-f(0,48)+f(3,48)-f(0,52)\\\\\n&=0.\\end{align}\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων της \\(C_f\\) με την ευθεία είναι ίσο με το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης \\(f(x)=2x+β\\). Με \\(x=-5\\) έχουμε:\n\\begin{align}&f(x)=2x-5\\\\\n\\iff&x^2-4x+5=2x-5\\\\\n\\iff&x^2-6x+10=0\\end{align}\nπου είναι αδύνατη αφού έχει διακρίνουσα \\(Δ=36-40=4< 0\\).\nΆρα η \\(C_f\\) δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία, όταν \\(β=-5\\).\nδ) Η \\(C_f\\) έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία \\(y=2x+β\\), μόνο όταν η εξίσωση \\(f(x)=2x+β\\) έχει μια τουλάχιστον λύση. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=2x+β\\\\\n\\iff&x^2-4x+5=2x+β\\\\\n\\iff&x^2-6x+5-β=0\\end{align}\nΗ εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση μόνο όταν η αντίστοιχη διακρίνουσα είναι μη αρνητική. Είναι:\n\\begin{align}&Δ\\geq 0\\\\\n\\iff&36-4(5-β)\\geq 0\\\\\n\\iff&9-5+β\\geq 0\\\\\n\\iff&β\\geq -4.\\end{align}\nοπότε η ζητούμενη μικρότερη τιμή του \\(β\\) είναι η τιμή \\(β=-4\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει: \\(d(2x,3)=3-2x\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\).\nβ) Αν \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\), να αποδείξετε ότι η παράσταση: \\(Κ=|2x-3|-2|3-x|\\) είναι ανεξάρτητη του \\(x\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$d(2x,3)=3-2x $$\n$$\\Leftrightarrow |2x-3|=3-2x $$\n$$\\Leftrightarrow |2x-3|=-(2x-3)\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΓνωρίζουμε ότι:\n$$|α|=-α $$\n$$\\Leftrightarrow α\\le 0$$\nΤότε από τη σχέση \\((1)\\) ισοδύναμα βρίσκουμε:\n$$|2x-3|=-(2x-3) $$\n$$\\Leftrightarrow 2x-3\\le 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le \\dfrac{3}{2}$$\nβ) Επειδή ισχύει \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\) είναι \\(2x-3\\le 0\\) και \\(3-x>0\\). Τότε:\n$$|2x-3|=-(2x-3)\\ \\ \\text{και}\\ \\ |3-x|=3-x$$\nΕπομένως η παράσταση \\(Κ\\) γράφεται:\n$$Κ=|2x-3|-2|3-x|$$\n$$=-(2x-3)-2(3-x)$$\n$$=3-2x-6+2x=-3$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=αx+β\\).\nα) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(α\\) και \\(β\\) αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(45^ο\\) και διέρχεται από το σημείο \\(A(0, 3)\\).\nβ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\) και κ αν η ευθεία \\(y=λx+κ\\) είναι παράλληλη με την ευθεία \\(y=x+3\\) και τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο με τετμημένη \\(2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αφού η ευθεία \\(y=αx+β\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(45^o\\) ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(α\\) θα ισούται με \\(α=\\text{εφ}(45^o)\\). Άρα \\(α=1\\), οπότε η ευθεία παίρνει τη μορφή \\(y=x+β\\).\nΑφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,3)\\) θα ισχύει\n$$3=0+β\\iff β=3.$$\nΆρα η ευθεία είναι η \\(y=x+3\\).\nβ) Αφού οι ευθείες \\(y=x+3\\) και \\(y=λx+κ\\) είναι παράλληλες θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, άρα \\(λ=1\\). Οπότε η ευθεία παίρνει τη μορφή \\(y=x+κ\\).\nΑφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Β(2,0)\\) θα ισχύει\n$$0=2+κ\\iff κ=-2.$$\nΆρα η ζητούμενη ευθεία είναι η \\(y=x-2\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω \\(α,\\ β\\) πραγματικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, για τους οποίους ισχύουν \\(α^2=2α+β\\) και \\(β^2=2β+α.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni. \\(α^2-β^2=α-β.\\)\nii. \\(α+β=1.\\)\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α=α^2+β^2.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\ni. Αν αντικαταστήσουμε τα \\(α^2,\\ β^2\\) από τις δοσμένες ισότητες, βρίσκουμε ότι:\n$$α^2-β^2=2α+β-2β-α=α-β$$\nii. H τελευταία ισότητα γράφεται:\n$$(α-β)(α+β)=α-β.$$\nΑλλά, \\(α-β\\neq 0\\), αφού οι αριθμοί \\(α,\\ β\\) είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, οπότε παίρνουμε \\(α+β=1\\), που είναι το ζητούμενο.\nβ) Όπως προηγουμένως, έχουμε:\n\\begin{align} Α & =α^2+β^2 \\\\\n&= 2α+β+2β+α \\\\\n&=3α+3β \\\\\n&=3(α+β) \\\\\n&=3\\cdot 1 \\\\\n&=3 \\end{align}\nαφού \\(α+β=1.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), \\(y\\) ισχύει η σχέση:\n$$(x- 2y)^{2}- 2(3 - 2xy)= 5y^{2}– 1$$\nα) Να αποδείξετε ότι:\n$$x^{2}-y^{2}= 5$$\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$P=(x+y)^{3}(x - y)^{3}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ανοίγοντας τις παρενθέσεις στη δοθείσα ισότητα, έχουμε:\n$$x^{2}- 4xy+4y^{2}- 6+4xy=5y^{2} - 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4y^{2}- 5y^{2}=6 - 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=5$$\nβ) Παρατηρούμε ότι:\n$$Ρ=[(x+y)(x - y)]^{3}$$\n$$=(x^{2}-y^{2})^{3}$$\n$$=5^{3}=125$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι παραστάσεις\n$$A=\\frac{-x^2+4|x|-3}{|x|-1}$$\nκαι\n$$B=\\frac{x^2-4|x|+4}{|x|-2}.$$\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}\\) ορίζονται οι παραστάσεις \\(Α\\) και \\(Β\\);\nβ) Να δείξετε ότι \\(A=3-|x|\\) και \\(B=|x|-2\\).\nγ) Να λύσετε την ανίσωση:\n$$B-A < 2d(x,4)-5$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται όταν:\n\\begin{align}&|x|-1\\neq 0\\\\\n\\iff&|x|\\neq1\\\\\n\\iff&x\\neq\\pm1\\end{align}\nκαι η παράσταση \\(Β\\) όταν:\n\\begin{align}&|x|-2\\neq0\\\\\n\\iff&|x|\\neq2\\\\\n\\iff&x\\neq\\pm2\\end{align}\nβ) Έχουμε:\n$$-x^2+4|x|-3=-|x|^2+4|x|-3.$$\nΘέτουμε \\(ω=|x|\\), οπότε\n$$-|x|^2+4|x|-3=-ω^2+4ω-3,$$\nπου είναι τριώνυμο με ρίζες των οποίων το άθροισμα είναι\n$$-\\frac{β}{α}=-\\frac{4}{-1}=4$$\nκαι το γινόμενο είναι\n$$-\\frac{γ}{α}=\\frac{-3}{-1}=3,$$\nοπότε \\(ω_1=3\\) και \\(ω_2=1\\). Άρα\n$$-ω^2+4ω-3=-(ω-1)(ω-3)$$\nκαι\n$$-|x|^2+4|x|-3=-(|x|-1)(|x|-3).$$\nΣυνεπώς:\n\\begin{align}A&=\\frac{-x^2+4|x|-3}{|x|-1}\\\\\n&=\\frac{-(|x|-1)(|x|-3)}{(|x|-1)}\\\\\n&=3-|x|.\\end{align}\nΓια την παράσταση \\(B\\) έχουμε:\n\\begin{align}B&=\\frac{x^2-4|x|+4}{|x|-2}\\\\\n&=\\frac{|x|^2-4|x|+4}{|x|-2}\\\\\n&=\\frac{(|x|-2)^2}{(|x|-2)}\\\\\n&=|x|-2.\\end{align}\nγ) Η ανίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&B-A < 2d(x,4)-5\\\\\n\\iff&|x|-2-3+|x| < 2|x-4|-5\\\\\n\\iff&2|x|-5 < 2|x-4|-5\\\\\n\\iff&|x| < |x-4|\\\\\n\\iff&|x|^2 < |x-4|^2\\\\\n\\iff&x^2 < (x-4)^2\\\\\n\\iff&x^2 < x^2-8x+16\\\\\n\\iff&x < 2\\end{align}\nΔεδομένου ότι για να έχει νόημα η ανίσωση πρέπει \\(x\\neq\\pm1\\) και \\(x\\neq\\pm2\\), τελικά η ανίσωση αληθεύει για\n$$x\\in(-\\infty,-2)\\cup(-2,-1)\\cup(-1,1)\\cup(1,2).$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α,β≠0\\), ισχύει ότι:\n$$(α+β)\\Big(\\dfrac{1}{α}+\\dfrac{1}{β}\\Big)=4$$\nτότε να αποδείξετε ότι:\nα) \\(\\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2.\\)\nβ) \\(α=β.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Κάνοντας πράξεις στη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά:\n$$α\\cdot \\frac{1}{α}+α\\cdot \\dfrac{1}{β}+β \\cdot \\dfrac{1}{α}+β \\cdot \\dfrac{1}{β}=4$$\n$$\\Leftrightarrow 1+ \\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}+1=4$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2$$\nτο οποίο είναι το ζητούμενο.\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2$$\n$$\\Leftrightarrow α^2+β^2=2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow α^2-2αβ+β^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow (α-β)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow α-β=0$$\n$$\\Leftrightarrow α=β$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \\(x^{2}-5x-6<0\\).\nβ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \\(Κ=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}+5\\cdot \\dfrac{46}{47}-6\\) αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nγ) Αν \\(α\\in (-6,6)\\), να βρείτε το πρόσημο της παράστασης \\(Λ=α^{2}-5|α|-6\\) αιτιολογώντας την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-5x-6\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)=49>0\\). Το άθροισμα των ριζών του είναι \\(S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{-5}{1}=5\\) και το γινόμενό τους είναι \\(P=x_{1}x_{2}=\\dfrac{-6}{1}=-6\\), οπότε οι ρίζες είναι \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=6\\).\nO πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι:\nΆρα η ανίσωση \\(x^{2}-5x-6<0\\) αληθεύει για \\(x\\in (-1,6)\\).\nβ) Έχουμε \\(-1<-\\dfrac{46}{47}<6\\).\nΟ αριθμός \\(Κ\\) γράφεται:\n\\(Κ=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}+5\\cdot \\dfrac{46}{47}-6=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}-5\\cdot \\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)-6\\), οπότε είναι η τιμή του τριωνύμου \\(x^{2}-5x-6\\) για \\(x=-\\dfrac{46}{47}\\).\nΣυνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι ο αριθμός \\(Κ\\) είναι αρνητικός.\nγ) Αν \\(α\\in (-6,6)\\), έχουμε \\(-6<α<6 \\Leftrightarrow |α|<6 \\Leftrightarrow 0\\le |α|<6\\).\nΗ παράσταση \\(Λ=α^{2}-5|α|-6\\) γράφεται \\(Λ=|α|^{2}-5|α|-6\\), που είναι η τιμή του τριωνύμου \\(x^{2}-5x-6\\) για \\(x=|α|\\).\nΣυνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι \\(Λ<0\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει \\(9\\) θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει \\(12\\) θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \\(360\\) θερμίδες.\nα) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο \\(32\\) λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά \\(360\\) θερμίδες;\nβ) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες.\nΑν \\(x\\) είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες είναι: \\(f(x)=30-\\dfrac{3}{4}x\\).\nΝα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β (i), στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος.\nγ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ο αθλητής όταν κολυμπάει ύπτιο, καίει \\(9\\) θερμίδες το λεπτό. Άρα σε \\(32\\) λεπτά θα έχει κάψει \\(9\\cdot 32=288\\) θερμίδες.\nΟ αθλητής όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει \\(12\\) θερμίδες το λεπτό. Αν υποθέσουμε ότι κολυμπάει με αυτό το στυλ \\(x\\) λεπτά, τότε θα κάψει \\(12\\cdot x\\) θερμίδες. Επειδή ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \\(360\\) θερμίδες, ισχύει:\n$$288+12x=360 $$\n$$\\Leftrightarrow 12x=72 $$\n$$\\Leftrightarrow x=6$$\nΆρα ο αθλητής πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα \\(6\\) λεπτά.\nβ)\nΈστω \\(x\\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο και \\(y\\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει πεταλούδα. Τότε, για να κάψει \\(360\\) θερμίδες κολυμπώντας και με τα δυο στυλ, πρέπει να ισχύει:\n$$9x+12y=360 $$\n$$\\Leftrightarrow 12y=360-9x $$\n$$\\Leftrightarrow y=30-\\dfrac{3}{4}x$$\nΆρα \\(f(x)=30-\\dfrac{3}{4}x\\).\nΕπειδή οι \\(x\\), \\(f(x)\\) είναι μεταβλητές χρόνου, πρέπει: \\(x\\ge 0\\) και \\(f(x)\\ge 0\\). Έτσι, έχουμε:\n$$f(x)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 30-\\dfrac{3}{4}x\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3}{4}x\\le 30 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\le 120 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 40$$\nοπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: \\(A_{f}=[0,40]\\).\nγ) Η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο της με τεταγμένη \\(y=0\\), δηλαδή \\(f(x)=0\\). Είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 30-\\dfrac{3}{4}x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=120 $$\n$$\\Leftrightarrow x=40$$\nΕπομένως η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(A(40,0)\\). Επιπλέον:\n$$f(0)=30-\\dfrac{3}{4}\\cdot 0=30$$\nοπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0,30)\\).\nΗ γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ\\) (τμήμα της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\)). Επομένως είναι:\nΤο σημείο \\(Α\\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει πεταλούδα χρειάζεται \\(40\\) λεπτά ύπτιο για να κάψει \\(360\\) θερμίδες ενώ το σημείο \\(Β\\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει ύπτιο χρειάζεται \\(30\\) λεπτά πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν \\(204800\\) βακτήρια. Μετά από \\(1\\) ώρα υπάρχουν \\(102400\\) βακτήρια, μετά από \\(2\\) ώρες υπάρχουν \\(51200\\) βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.\nα) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από \\(6\\) ώρες;\nβ) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν \\(3200\\), ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για \\(5\\) ώρες. Συμβολίζουμε με \\(β_{ν}\\) το πλήθος των βακτηρίων \\(ν\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (\\(ν\\le 5\\)).\nΝα δείξετε ότι η ακολουθία \\((β_{ν})\\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.\nΝα εκφράσετε το πλήθος \\(β_{ν}\\) των βακτηρίων συναρτήσει του \\(ν\\).\nΠόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό \\(3\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου \\((α_{ν})\\) με πρώτο όρο \\(α_{1}=102400\\) και λόγο \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\).\nα) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο \\(α_{ν}=α_{1}λ^{ν-1}\\) και είναι:\n$$α_{ν}=102400\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{ν-1}$$\nΜετά από \\(6\\) ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:\n$$α_{6}=102400\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{5}$$\n$$=102400\\cdot \\dfrac{1}{32}=3200$$\nβ)\nΜετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία \\((β_{ν})\\) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο \\(λ=3\\) και πρώτο όρο \\(β_{1}=3200\\cdot 3=9600\\).\nΕίναι:\n$$β_{ν}=β_{1}λ^{ν-1}$$\n$$=9600\\cdot 3^{ν-1},ν\\le 5$$\nΟ αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό \\(3\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:\n$$β_{3}=9600\\cdot 3^{3-1}$$\n$$=9600\\cdot 3^{2}=86.400$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του \\(y\\) ισχύει:\n\\(|y-3|\\lt 1\\).\nβ) Αν για τους \\(x,y\\) ισχύουν \\(1\\lt x \\lt 3\\) και \\(2\\lt y\\lt 4\\), τότε να αποδείξετε ότι \\(3\\lt x+y\\lt 7\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|y-3| \\lt1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt y-3\\lt 1$$\n$$\\Leftrightarrow -1+3\\lt y\\lt 1+3$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\lt y\\lt 4$$\nβ) Έχουμε τις σχέσεις:\n$$\\begin{cases} 1\\lt x\\lt 3 \\\\ 2\\lt y\\lt 4 \\end{cases}$$\nτις οποίες προσθέτουμε κατά μέλη και βρίσκουμε:\n$$1+2\\lt x+y \\lt 3+4 $$\n$$\\Leftrightarrow 3\\lt x+y\\lt 7$$"
}
] |