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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | have zu : extChartAt I z z ∈ u := by
simp only [mem_inter_iff, mem_extChartAt_target, true_and_iff, mem_preimage,
PartialEquiv.left_inv _ (mem_extChartAt_source I z), zt, ← hu] | case nonconst.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | case nonconst.intro.intro.intro
X : Type
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
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U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
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cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst.intro.intro.intro
X : Type
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rcases Metric.isOpen_iff.mp uo _ zu with ⟨r, rp, ru⟩ | case nonconst.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
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T : Type
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ot : IsOpen t
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uo : IsOpen u
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⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
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ot : IsOpen t
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hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
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r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst.intro.intro.intro
X : Type
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S : Type
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ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
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hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | generalize ha : extChartAt I z z + r / 2 = a | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
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inst✝¹ : TopologicalSpace U
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cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
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hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
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r : ℝ
rp : r > 0
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⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
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U : Type
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inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
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t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
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cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
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hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
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⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | have au : a ∈ u := by
rw [← ha]; apply ru; simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, add_sub_cancel_left]
simp only [map_div₀, Complex.abs_ofReal, abs_of_pos rp, Complex.abs_two]; exact half_lt_self rp | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
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cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
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ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
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cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
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zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | use (extChartAt I z).symm a | case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z | case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rw [← hu] at au | case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ u
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | use ts au.2 | case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ∈ s ∧ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rw [← (PartialEquiv.injOn _).ne_iff ((extChartAt I z).map_target au.1) (mem_extChartAt_source I z)] | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a) ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a ≠ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rw [PartialEquiv.right_inv _ au.1, ← ha] | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a) ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm a) ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | simp only [Ne, add_right_eq_self, div_eq_zero_iff, Complex.ofReal_eq_zero, bit0_eq_zero,
one_ne_zero, or_false_iff, rp.ne', not_false_iff] | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ¬(False ∨ 2 = 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ≠ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | norm_num | case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ¬(False ∨ 2 = 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
au : a ∈ (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t
⊢ ¬(False ∨ 2 = 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rw [← hu] | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
⊢ IsOpen u | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
⊢ IsOpen ((extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
⊢ IsOpen u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | exact (continuousOn_extChartAt_symm I z).isOpen_inter_preimage (isOpen_extChartAt_target _ _) ot | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
⊢ IsOpen ((extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
⊢ IsOpen ((extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | simp only [mem_inter_iff, mem_extChartAt_target, true_and_iff, mem_preimage,
PartialEquiv.left_inv _ (mem_extChartAt_source I z), zt, ← hu] | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | rw [← ha] | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ a ∈ u | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ a ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | apply ru | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ u | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, add_sub_cancel_left] | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ Complex.abs (↑r / 2) < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 ∈ ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | simp only [map_div₀, Complex.abs_ofReal, abs_of_pos rp, Complex.abs_two] | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ Complex.abs (↑r / 2) < r | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ r / 2 < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ Complex.abs (↑r / 2) < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_id | [320, 1] | [342, 64] | exact half_lt_self rp | case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ r / 2 < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
z : S
s : Set S
sz : s ∈ 𝓝 z
t : Set S
ts : t ⊆ s
ot : IsOpen t
zt : z ∈ t
u : Set ℂ
hu : (extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z).symm ⁻¹' t = u
uo : IsOpen u
zu : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z ∈ u
r : ℝ
rp : r > 0
ru : ball (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z) r ⊆ u
a : ℂ
ha : ↑(extChartAt 𝓘(ℂ, ℂ) z) z + ↑r / 2 = a
⊢ r / 2 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | use fa.holomorphicAt I I | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : orderAt f z ≠ 0
⊢ NontrivialHolomorphicAt f z | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : orderAt f z ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : orderAt f z ≠ 0
⊢ NontrivialHolomorphicAt f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | contrapose h | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : orderAt f z ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ¬∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z
⊢ ¬orderAt f z ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : orderAt f z ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | simp only [Filter.not_frequently, not_not] at h ⊢ | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ¬∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z
⊢ ¬orderAt f z ≠ 0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
⊢ orderAt f z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ¬∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w ≠ f z
⊢ ¬orderAt f z ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | have fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z :=
hasFPowerSeriesAt_const.congr (Filter.EventuallyEq.symm h) | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
⊢ orderAt f z = 0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ orderAt f z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
⊢ orderAt f z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | simp only [fp.orderAt_unique] | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ orderAt f z = 0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ orderAt f z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | by_contra p0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
⊢ (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | have b := FormalMultilinearSeries.apply_order_ne_zero' p0 | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
⊢ False | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
b : constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z) (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order ≠ 0
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | nontrivialHolomorphicAt_of_order | [345, 1] | [353, 89] | simp only [constFormalMultilinearSeries_apply p0, Ne, eq_self_iff_true, not_true] at b | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
b : constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z) (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order ≠ 0
⊢ False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
fa : AnalyticAt ℂ f z
h : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 z, f x = f z
fp : HasFPowerSeriesAt f (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)) z
p0 : ¬(constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order = 0
b : constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z) (constFormalMultilinearSeries ℂ ℂ (f z)).order ≠ 0
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.pow_iff | [367, 1] | [371, 69] | refine ⟨?_, (nontrivialHolomorphicAtPow d0).comp⟩ | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z ↔ NontrivialHolomorphicAt f z | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z ↔ NontrivialHolomorphicAt f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.pow_iff | [367, 1] | [371, 69] | have pa : HolomorphicAt I I (fun z ↦ z ^ d) (f z) := HolomorphicAt.pow holomorphicAt_id | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.pow_iff | [367, 1] | [371, 69] | intro h | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z → NontrivialHolomorphicAt f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.pow_iff | [367, 1] | [371, 69] | refine (NontrivialHolomorphicAt.anti ?_ pa fa).2 | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt f z | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
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d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.pow_iff | [367, 1] | [371, 69] | exact h | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s : Set ℂ
f : S → ℂ
z : S
d : ℕ
fa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) f z
d0 : 0 < d
pa : HolomorphicAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (fun z => z ^ d) (f z)
h : NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
⊢ NontrivialHolomorphicAt (fun z => f z ^ d) z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.congr | [374, 1] | [378, 31] | use n.holomorphicAt.congr e | X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ NontrivialHolomorphicAt g z | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ ∃ᶠ (w : S) in 𝓝 z, g w ≠ g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ NontrivialHolomorphicAt g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.congr | [374, 1] | [378, 31] | refine n.nonconst.mp (e.mp (eventually_of_forall fun w ew n ↦ ?_)) | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ ∃ᶠ (w : S) in 𝓝 z, g w ≠ g z | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n✝ : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
w : S
ew : f w = g w
n : f w ≠ f z
⊢ g w ≠ g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ ∃ᶠ (w : S) in 𝓝 z, g w ≠ g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | NontrivialHolomorphicAt.congr | [374, 1] | [378, 31] | rwa [← ew, ← e.self_of_nhds] | case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n✝ : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
w : S
ew : f w = g w
n : f w ≠ f z
⊢ g w ≠ g z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n✝ : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
w : S
ew : f w = g w
n : f w ≠ f z
⊢ g w ≠ g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | generalize ht : {x | f =ᶠ[𝓝 x] g} = t | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | suffices h : s ⊆ interior t by
simp only [subset_interior_iff_mem_nhdsSet, ← Filter.eventually_iff, ← ht] at h
exact h.mp (eventually_of_forall fun _ e ↦ e.self_of_nhds) | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ⊆ interior t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply sp.relative_clopen | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ⊆ interior t | case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
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f g : M → N
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s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ t ⊆ interior t
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
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inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
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inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ closure t ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
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s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
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sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ⊆ interior t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | simp only [subset_interior_iff_mem_nhdsSet, ← Filter.eventually_iff, ← ht] at h | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
h : s ⊆ interior t
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
h : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
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inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
h : s ⊆ interior t
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact h.mp (eventually_of_forall fun _ e ↦ e.self_of_nhds) | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
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s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
h : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
h : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [← ht] | case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ t).Nonempty | case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
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inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact e | case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}).Nonempty | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | intro x ⟨_, xt⟩ | case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ t ⊆ interior t | case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ t
⊢ x ∈ interior t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ t ⊆ interior t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | simp only [mem_interior_iff_mem_nhds, ← ht] at xt ⊢ | case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ t
⊢ x ∈ interior t | case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} ∈ 𝓝 x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ t
⊢ x ∈ interior t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact xt.eventually_nhds | case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} ∈ 𝓝 x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
left✝ : x ∈ s
xt : x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} ∈ 𝓝 x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | intro x ⟨xs, xt⟩ | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ closure t ⊆ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : x ∈ closure t
⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ closure t ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [mem_closure_iff_frequently] at xt | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : x ∈ closure t
⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : x ∈ closure t
⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | have ex' : ∃ᶠ y in 𝓝 x, f y = g y := by
rw [← ht] at xt; exact xt.mp (eventually_of_forall fun _ e ↦ e.self_of_nhds) | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
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inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
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E : Type
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F : Type
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A : Type
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B : Type
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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N : Type
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f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | have ex : f x = g x :=
tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq (fa _ xs).continuousAt (ga _ xs).continuousAt ex' | case cl
X : Type
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S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
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inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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E : Type
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F : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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B : Type
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inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
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B : Type
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
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xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | generalize hd : (fun y : E ↦
extChartAt K (f x) (f ((extChartAt J x).symm y)) -
extChartAt K (g x) (g ((extChartAt J x).symm y))) = d | case cl
X : Type
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S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
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J : ModelWithCorners ℂ E A
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K : ModelWithCorners ℂ F B
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M : Type
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
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F : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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B : Type
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K : ModelWithCorners ℂ F B
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N : Type
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ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
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E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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f g : M → N
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t : Set M
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⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | generalize hz : extChartAt J x x = z | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
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F : Type
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
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d
⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
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S : Type
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T : Type
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f g : M → N
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d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ x ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
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U : Type
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E : Type
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F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
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inst✝ : T2Space N
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fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
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t : Set M
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x : M
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(fun y =>
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⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | suffices h : d =ᶠ[𝓝 z] 0 by
simp only [← hz, ← extChartAt_map_nhds' J x, Filter.eventually_map, Filter.EventuallyEq,
← ht] at h ⊢
refine
h.mp (((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp ?_)
apply ((fa _ xs).continuousAt.eventually_mem ((isOpen_extChartAt_source _ _).mem_nhds
(mem_extChartAt_source K (f x)))).mp
apply ((ga _ xs).continuousAt.eventually_mem ((isOpen_extChartAt_source _ _).mem_nhds
(mem_extChartAt_source K (g x)))).mp
refine eventually_of_forall fun y gm fm m e ↦ ?_
rw [← hd, Pi.zero_apply, sub_eq_zero, (extChartAt J x).left_inv m, ex] at e
rw [ex] at fm; exact (extChartAt K (g x)).injOn fm gm e | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
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fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
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↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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⊢ x ∈ t | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
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U : Type
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s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
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F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | have d0 : ∃ᶠ y in 𝓝 z, d =ᶠ[𝓝 y] 0 := by
rw [← hz]
have xt' : ∃ᶠ y in 𝓝 x, (extChartAt J x).symm (extChartAt J x y) ∈ t := by
apply xt.mp
apply ((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp
refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_; rw [(extChartAt J x).left_inv m]; exact e
apply (Filter.Tendsto.frequently (p := fun y ↦ (extChartAt J x).symm y ∈ t)
(continuousAt_extChartAt J x) xt').mp
apply ((isOpen_extChartAt_target J x).eventually_mem (mem_extChartAt_target J x)).mp
refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_; simp only [← ht] at e
apply ((continuousAt_extChartAt_symm'' J m).eventually e).mp
refine eventually_of_forall fun z e ↦ ?_; simp only at e
simp only [← hd, Pi.zero_apply, sub_eq_zero, ex, e] | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s✝ : Set ℂ
E : Type
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
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K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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N : Type
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | case cl
X : Type
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
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F : Type
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A : Type
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inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | have da : AnalyticAt ℂ d z := by rw [← hd, ← hz]; exact (fa _ xs).2.sub (ga _ xs).2 | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
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A : Type
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ga : HolomorphicOn J K g s
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | case cl
X : Type
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S : Type
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T : Type
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
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A : Type
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | clear hd ex ex' xt t e fa ga f g xs hz x sp ht | case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
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F : Type
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A : Type
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J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
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x : M
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ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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d : E → F
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↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rcases da.exists_ball_analyticOn with ⟨r, rp, da⟩ | case cl
X : Type
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S : Type
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s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
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inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da : AnalyticAt ℂ d z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | case cl.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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N : Type
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z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
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cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
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cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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M : Type
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N : Type
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s : Set M
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z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da : AnalyticAt ℂ d z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rcases Filter.frequently_iff.mp d0 (isOpen_ball.mem_nhds (mem_ball_self rp)) with ⟨z0, m0, ze⟩ | case cl.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
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cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
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s✝ : Set ℂ
E : Type
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F : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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B : Type
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K : ModelWithCorners ℂ F B
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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s : Set M
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z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
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S : Type
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F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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M : Type
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z0 : E
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⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl.intro.intro
X : Type
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S : Type
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E : Type
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inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
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inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine eventually_nhds_iff.mpr ⟨_, ?_, isOpen_ball, mem_ball_self rp⟩ | case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0 | case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
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inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ ∀ x ∈ ball z r, d x = 0 x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact da.eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero (convex_ball _ _).isPreconnected m0 ze | case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ ∀ x ∈ ball z r, d x = 0 x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ ∀ x ∈ ball z r, d x = 0 x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [← ht] at xt | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact xt.mp (eventually_of_forall fun _ e ↦ e.self_of_nhds) | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | simp only [← hz, ← extChartAt_map_nhds' J x, Filter.eventually_map, Filter.EventuallyEq,
← ht] at h ⊢ | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : (𝓝 z).EventuallyEq d 0
⊢ x ∈ t | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ x ∈ {x | ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, f x = g x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : (𝓝 z).EventuallyEq d 0
⊢ x ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine
h.mp (((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp ?_) | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ x ∈ {x | ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, f x = g x} | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ x ∈ {x | ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, f x = g x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply ((fa _ xs).continuousAt.eventually_mem ((isOpen_extChartAt_source _ _).mem_nhds
(mem_extChartAt_source K (f x)))).mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply ((ga _ xs).continuousAt.eventually_mem ((isOpen_extChartAt_source _ _).mem_nhds
(mem_extChartAt_source K (g x)))).mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
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inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
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ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
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inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
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s✝ : Set ℂ
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ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
g x_1 ∈ (extChartAt K (g x)).source →
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source →
d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
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S : Type
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t : Set M
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x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source → d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine eventually_of_forall fun y gm fm m e ↦ ?_ | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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T : Type
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U : Type
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
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h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
g x_1 ∈ (extChartAt K (g x)).source →
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source →
d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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hd :
(fun y =>
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⊢ f y = g y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
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S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
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A : Type
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B : Type
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hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
g x_1 ∈ (extChartAt K (g x)).source →
f x_1 ∈ (extChartAt K (f x)).source →
x_1 ∈ (extChartAt J x).source →
d (↑(extChartAt J x) x_1) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) x_1) → f x_1 = g x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [← hd, Pi.zero_apply, sub_eq_zero, (extChartAt J x).left_inv m, ex] at e | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
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S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
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inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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hd :
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d
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h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
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m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
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K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (f x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : d (↑(extChartAt J x) y) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) y)
⊢ f y = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [ex] at fm | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (f x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (g x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
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gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (f x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact (extChartAt K (g x)).injOn fm gm e | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (g x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
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gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (g x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [← hz] | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
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ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
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hd :
(fun y =>
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z : E
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⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | have xt' : ∃ᶠ y in 𝓝 x, (extChartAt J x).symm (extChartAt J x y) ∈ t := by
apply xt.mp
apply ((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp
refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_; rw [(extChartAt J x).left_inv m]; exact e | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
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fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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(fun y =>
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z : E
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⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
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inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
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sp : IsPreconnected s
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x : M
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d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply (Filter.Tendsto.frequently (p := fun y ↦ (extChartAt J x).symm y ∈ t)
(continuousAt_extChartAt J x) xt').mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
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inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
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inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
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s✝ : Set ℂ
E : Type
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inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
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ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
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xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
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inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
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inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
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F : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
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B : Type
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply ((isOpen_extChartAt_target J x).eventually_mem (mem_extChartAt_target J x)).mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
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M : Type
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
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x : M
xs : x ∈ s
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ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
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s✝ : Set ℂ
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F : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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ex : f x = g x
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d
z : E
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xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x),
x_1 ∈ (extChartAt J x).target → ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
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ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
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d
z : E
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xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_ | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x),
x_1 ∈ (extChartAt J x).target → ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
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f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ t
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
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f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x),
x_1 ∈ (extChartAt J x).target → ↑(extChartAt J x).symm x_1 ∈ t → (𝓝 x_1).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | simp only [← ht] at e | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ t
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ t
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply ((continuousAt_extChartAt_symm'' J m).eventually e).mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 y, f (↑(extChartAt J x).symm x_1) = g (↑(extChartAt J x).symm x_1) → d x_1 = 0 x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq d 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine eventually_of_forall fun z e ↦ ?_ | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 y, f (↑(extChartAt J x).symm x_1) = g (↑(extChartAt J x).symm x_1) → d x_1 = 0 x_1 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝¹ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z✝ : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z✝
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e✝ : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
z : E
e : f (↑(extChartAt J x).symm z) = g (↑(extChartAt J x).symm z)
⊢ d z = 0 z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 y, f (↑(extChartAt J x).symm x_1) = g (↑(extChartAt J x).symm x_1) → d x_1 = 0 x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | simp only [← hd, Pi.zero_apply, sub_eq_zero, ex, e] | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝¹ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z✝ : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z✝
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e✝ : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
z : E
e : f (↑(extChartAt J x).symm z) = g (↑(extChartAt J x).symm z)
⊢ d z = 0 z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝¹ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z✝ : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z✝
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e✝ : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
z : E
e : f (↑(extChartAt J x).symm z) = g (↑(extChartAt J x).symm z)
⊢ d z = 0 z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply xt.mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
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inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
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s : Set M
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x : M
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⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t | X : Type
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S : Type
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
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S : Type
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(fun y =>
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | apply ((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
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T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
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U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
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inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
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J : ModelWithCorners ℂ E A
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inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ (extChartAt J x).source → x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
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S : Type
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z : E
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_ | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
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F : Type
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e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
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x : M
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xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
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(fun y =>
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d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ (extChartAt J x).source → x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
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f✝ : ℂ → ℂ
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E : Type
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F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
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B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
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M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
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f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
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m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
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T : Type
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ (extChartAt J x).source → x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [(extChartAt J x).left_inv m] | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
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inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
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U : Type
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E : Type
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inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
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fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
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t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
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f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
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x : M
xs : x ∈ s
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ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
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(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ y ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact e | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ y ∈ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ y ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | rw [← hd, ← hz] | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ d z | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y)))
(↑(extChartAt J x) x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ d z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean | HolomorphicOn.eq_of_locally_eq | [397, 1] | [449, 99] | exact (fa _ xs).2.sub (ga _ xs).2 | X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y)))
(↑(extChartAt J x) x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ
(fun y =>
↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y)))
(↑(extChartAt J x) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | set n : ℕ+ := ⟨d, lt_of_lt_of_le (by norm_num) d2⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | have two : Nontrivial (rootsOfUnity n ℂ) := by
rw [← Fintype.one_lt_card_iff_nontrivial, Complex.card_rootsOfUnity]
simp only [PNat.mk_coe, n]; exact lt_of_lt_of_le (by norm_num) d2 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
two : Nontrivial ↥(rootsOfUnity n ℂ)
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | rcases two with ⟨⟨a, am⟩, ⟨b, bm⟩, ab⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
two : Nontrivial ↥(rootsOfUnity n ℂ)
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a : ℂˣ
am : a ∈ rootsOfUnity n ℂ
b : ℂˣ
bm : b ∈ rootsOfUnity n ℂ
ab : ⟨a, am⟩ ≠ ⟨b, bm⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
two : Nontrivial ↥(rootsOfUnity n ℂ)
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | simp only [Ne, Subtype.mk_eq_mk, mem_rootsOfUnity, PNat.mk_coe] at am bm ab | case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a : ℂˣ
am : a ∈ rootsOfUnity n ℂ
b : ℂˣ
bm : b ∈ rootsOfUnity n ℂ
ab : ⟨a, am⟩ ≠ ⟨b, bm⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a : ℂˣ
am : a ∈ rootsOfUnity n ℂ
b : ℂˣ
bm : b ∈ rootsOfUnity n ℂ
ab : ⟨a, am⟩ ≠ ⟨b, bm⟩
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | by_cases a1 : a = 1 | case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : ¬a = 1
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.intro.mk.intro.mk
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | norm_num | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
⊢ 0 < 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
⊢ 0 < 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | rw [← Fintype.one_lt_card_iff_nontrivial, Complex.card_rootsOfUnity] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ Nontrivial ↥(rootsOfUnity n ℂ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < ↑n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ Nontrivial ↥(rootsOfUnity n ℂ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | simp only [PNat.mk_coe, n] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < ↑n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < ↑n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | exact lt_of_lt_of_le (by norm_num) d2 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | norm_num | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
⊢ 1 < 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | use b | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | rw [a1] at ab | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬a = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | constructor | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1 | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1
case h.right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 ∧ ↑b ^ d = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | simp only [ne_eq, Units.val_eq_one, Ne.symm ab, not_false_eq_true] | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ≠ 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multiple.lean | exist_root_of_unity | [36, 1] | [49, 91] | simp only [PNat.mk_coe, n] at bm | case h.right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ^ d = 1 | case h.right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ d = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ^ d = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
inst✝³ : AnalyticManifold I S
T : Type
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ T
inst✝ : AnalyticManifold I T
d : ℕ
d2 : 2 ≤ d
n : ℕ+ := ⟨d, ⋯⟩
a b : ℂˣ
am : a ^ ↑n = 1
bm : b ^ ↑n = 1
ab : ¬1 = b
a1 : a = 1
⊢ ↑b ^ d = 1
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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