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2.09M
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|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Holomorphic.lean | contDiffAt_iff_analytic_at2 | [58, 1] | [66, 45] | intro a | case mpr
Eβ : Type
instββΈ : NormedAddCommGroup Eβ
instββ· : NormedSpace β Eβ
instββΆ : CompleteSpace Eβ
F : Type
instββ΅ : NormedAddCommGroup F
instββ΄ : NormedSpace β F
instβΒ³ : CompleteSpace F
E : Type
f : β Γ β β E
x : β Γ β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
n : ββ
n1 : 1 β€ n
β’ AnalyticAt β f x β ContDiffAt β n f x | case mpr
Eβ : Type
instββΈ : NormedAddCommGroup Eβ
instββ· : NormedSpace β Eβ
instββΆ : CompleteSpace Eβ
F : Type
instββ΅ : NormedAddCommGroup F
instββ΄ : NormedSpace β F
instβΒ³ : CompleteSpace F
E : Type
f : β Γ β β E
x : β Γ β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
n : ββ
n1 : 1 β€ n
a : AnalyticAt β f x
β’ ContDiffAt β n f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
Eβ : Type
instββΈ : NormedAddCommGroup Eβ
instββ· : NormedSpace β Eβ
instββΆ : CompleteSpace Eβ
F : Type
instββ΅ : NormedAddCommGroup F
instββ΄ : NormedSpace β F
instβΒ³ : CompleteSpace F
E : Type
f : β Γ β β E
x : β Γ β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
n : ββ
n1 : 1 β€ n
β’ AnalyticAt β f x β ContDiffAt β n f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Holomorphic.lean | contDiffAt_iff_analytic_at2 | [58, 1] | [66, 45] | exact a.contDiffAt.of_le le_top | case mpr
Eβ : Type
instββΈ : NormedAddCommGroup Eβ
instββ· : NormedSpace β Eβ
instββΆ : CompleteSpace Eβ
F : Type
instββ΅ : NormedAddCommGroup F
instββ΄ : NormedSpace β F
instβΒ³ : CompleteSpace F
E : Type
f : β Γ β β E
x : β Γ β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
n : ββ
n1 : 1 β€ n
a : AnalyticAt β f x
β’ ContDiffAt β n f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
Eβ : Type
instββΈ : NormedAddCommGroup Eβ
instββ· : NormedSpace β Eβ
instββΆ : CompleteSpace Eβ
F : Type
instββ΅ : NormedAddCommGroup F
instββ΄ : NormedSpace β F
instβΒ³ : CompleteSpace F
E : Type
f : β Γ β β E
x : β Γ β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
n : ββ
n1 : 1 β€ n
a : AnalyticAt β f x
β’ ContDiffAt β n f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | rcases x with β¨x, mβ© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball (βx) r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball (βx) r)).EventuallyEq g f | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball (βx) r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball (βx) r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | simp only [Subtype.coe_mk] | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r)).EventuallyEq g f | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball (ββ¨x, mβ©) r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | rcases b.point m with β¨g, pg, eβ© | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | case mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pg : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | rcases Metric.eventually_nhds_iff_ball.mp pg with β¨r, rp, pgβ© | case mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pg : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | case mk.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pg : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | rcases Filter.frequently_iff.mp e (Metric.ball_mem_nhds _ rp) with β¨y, yb, ys, eβ© | case mk.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | case mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
e : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | use g, r, rp, fun z zr β¦ pg z zr | case mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β g r, 0 < r β§ (β z β Metric.ball x r, p g z) β§ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | simp only [Filter.EventuallyEq, Filter.eventually_iff, mem_nhdsSet_iff_forall] | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β x_1 β s β© Metric.ball x r, {x | g x = f x} β π x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ (πΛ’ (s β© Metric.ball x r)).EventuallyEq g f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | intro z β¨zs, zrβ© | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β x_1 β s β© Metric.ball x r, {x | g x = f x} β π x_1 | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ {x | g x = f x} β π z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
β’ β x_1 β s β© Metric.ball x r, {x | g x = f x} β π x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | simp only [β Filter.eventually_iff] | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ {x | g x = f x} β π z | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ {x | g x = f x} β π z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | rcases local_preconnected_nhdsSet (b.convex.inter (convex_ball _ _)).isPreconnected n with
β¨u, uo, iu, up, ucβ© | case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | have eq := b.unique uo uc (fun _ m β¦ (up m).1) (fun _ m β¦ (up m).2) β¨y, iu β¨ys, ybβ©, eβ© | case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
eq : EqOn g f u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact eq.eventuallyEq_of_mem (uo.mem_nhds (iu β¨zs, zrβ©)) | case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
eq : EqOn g f u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
n : {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s β© Metric.ball x r β u
up : u β {z | p g z β§ p f z}
uc : IsPreconnected u
eq : EqOn g f u
β’ βαΆ (x : E) in π z, g x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | refine Filter.inter_mem ?_ ?_ | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r) | case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p g z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p f z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ {z | p g z β§ p f z} β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact nhdsSet_mono (inter_subset_right _ _)
(Filter.mem_of_superset isOpen_ball.mem_nhdsSet_self pg) | case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p g z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p g z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact nhdsSet_mono (inter_subset_left _ _) b.start | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p f z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
g : E β Ξ±
pgβ : βαΆ (z : E) in π x, p g z
eβ : βαΆ (z : E) in π x, z β s β§ g z = f z
r : β
rp : r > 0
pg : β y β Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y β Metric.ball x r
ys : y β s
e : g y = f y
z : E
zs : z β s
zr : z β Metric.ball x r
β’ (fun z => p f z) β πΛ’ (s β© Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | refine b.compact.elim_finite_subcover (fun x : closure s β¦ Metric.ball (x : E) (b.r x))
(fun _ β¦ isOpen_ball) ?_ | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β c, closure s β β x β c, Metric.ball (βx) (b.r x) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ closure s β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β c, closure s β β x β c, Metric.ball (βx) (b.r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | intro x m | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ closure s β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ x β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ closure s β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | exact mem_iUnion_of_mem β¨x, mβ© (mem_ball_self (b.rp β¨x, mβ©)) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ x β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β closure s
β’ x β β i, (fun x => Metric.ball (βx) (b.r x)) i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.yt | [114, 1] | [115, 96] | simp only [Base.t, Base.y, mem_iUnionβ, mem_iUnion] at m β’ | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
m : z β b.t
β’ z β Metric.ball (β(b.y m)) (b.r (b.y m)) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
mβ : z β b.t
m : β i, β (_ : i β b.c), z β Metric.ball (βi) (b.r i)
β’ z β Metric.ball (β(choose β―)) (b.r (choose β―)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
m : z β b.t
β’ z β Metric.ball (β(b.y m)) (b.r (b.y m))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.yt | [114, 1] | [115, 96] | exact choose_spec (choose_spec m) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
mβ : z β b.t
m : β i, β (_ : i β b.c), z β Metric.ball (βi) (b.r i)
β’ z β Metric.ball (β(choose β―)) (b.r (choose β―)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
mβ : z β b.t
m : β i, β (_ : i β b.c), z β Metric.ball (βi) (b.r i)
β’ z β Metric.ball (β(choose β―)) (b.r (choose β―))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases x0 with β¨x0, m0β© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
x0 x1 : β(closure s)
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
ne : β z, z β ball (βx0) r0 β© ball (βx1) r1
β’ β w, w β s β© ball (βx0) r0 β© ball (βx1) r1 | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
x1 : β(closure s)
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1
β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
x0 x1 : β(closure s)
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
ne : β z, z β ball (βx0) r0 β© ball (βx1) r1
β’ β w, w β s β© ball (βx0) r0 β© ball (βx1) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases x1 with β¨x1, m1β© | case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
x1 : β(closure s)
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1
β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
x1 : β(closure s)
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1
β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (βx1) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [Subtype.coe_mk] | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
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Ξ± : Type
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β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
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β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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β’ β w, w β s β© ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have x01 : βx1 - x0β < r0 + r1 := by
rcases ne with β¨z, m0, m1β©; simp only [mem_ball, dist_eq_norm] at m0 m1
calc βx1 - x0β
_ = βz - x0 - (z - x1)β := by abel_nf
_ β€ βz - x0β + βz - x1β := (norm_sub_le _ _)
_ < r0 + r1 := add_lt_add m0 m1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
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Ξ± : Type
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ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
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x0 : E
m0 : x0 β closure s
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ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
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m0 : x0 β closure s
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ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) := by
intro x a b ap bp; have rnz := (add_pos ap bp).ne'
calc (a / (a + b)) β’ x - x
_ = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x := by simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz]
_ = -((b / (a + b)) β’ x) := by rw [β sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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c : Convex β s
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r0p : 0 < r0
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x0 : E
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x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
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r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
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m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
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x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a := by
intro a ap; apply lt_of_lt_of_le (mul_lt_mul_of_pos_left x01 (div_pos ap (add_pos r0p r1p)))
rw [div_mul_cancelβ _ (add_pos r0p r1p).ne'] | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have f : βαΆ p : E Γ E in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s := by
simp only [nhds_prod_eq]; rw [Prod.frequently (p := fun x β¦ x β s) (q := fun x β¦ x β s)]
use mem_closure_iff_frequently.mp m0, mem_closure_iff_frequently.mp m1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases(f.and_eventually e).exists with β¨β¨z0, z1β©, β¨m0, m1β©, mβ© | case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | refine β¨_, β¨?_, m.1β©, m.2β© | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ β w, w β s β© ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
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STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
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Ξ± : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | apply c m0 m1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
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case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
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case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
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STATE:
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STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
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E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ 0 β€ r0 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ 0 β€ r0 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [β add_div, add_comm r1 r0, div_self (add_pos r0p r1p).ne'] | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
fβ : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
f : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (z0, z1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 β s
m1 : (z0, z1).2 β s
β’ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases ne with β¨z, m0, m1β© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1 | case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0
m1 : z β ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [mem_ball, dist_eq_norm] at m0 m1 | case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0
m1 : z β ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1 | case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : βz - x0β < r0
m1 : βz - x1β < r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : z β ball (ββ¨x0, m0ββ©) r0
m1 : z β ball (ββ¨x1, m1ββ©) r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | calc βx1 - x0β
_ = βz - x0 - (z - x1)β := by abel_nf
_ β€ βz - x0β + βz - x1β := (norm_sub_le _ _)
_ < r0 + r1 := add_lt_add m0 m1 | case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : βz - x0β < r0
m1 : βz - x1β < r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : βz - x0β < r0
m1 : βz - x1β < r1
β’ βx1 - x0β < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | abel_nf | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : βz - x0β < r0
m1 : βz - x1β < r1
β’ βx1 - x0β = βz - x0 - (z - x1)β | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0β : x0 β closure s
x1 : E
m1β : x1 β closure s
z : E
m0 : βz - x0β < r0
m1 : βz - x1β < r1
β’ βx1 - x0β = βz - x0 - (z - x1)β
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | intro x a b ap bp | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
β’ β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
β’ β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have rnz := (add_pos ap bp).ne' | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b β 0
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | calc (a / (a + b)) β’ x - x
_ = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x := by simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz]
_ = -((b / (a + b)) β’ x) := by rw [β sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b β 0
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
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c : Convex β s
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r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b β 0
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
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ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
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rnz : a + b β 0
β’ (a / (a + b)) β’ x - x = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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Ξ± : Type
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ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
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β’ (a / (a + b)) β’ x - x = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [β sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | E : Type
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Ξ± : Type
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β’ (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x = -((b / (a + b)) β’ x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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r0 r1 : β
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m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
x : E
a b : β
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b β 0
β’ (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) β’ x = -((b / (a + b)) β’ x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | intro a ap | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
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f : E β Ξ±
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r0 r1 : β
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x0 : E
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m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
β’ β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
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x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
ap : 0 < a
β’ a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
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c : Convex β s
r0 r1 : β
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x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
β’ β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | apply lt_of_lt_of_le (mul_lt_mul_of_pos_left x01 (div_pos ap (add_pos r0p r1p))) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
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z : E
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x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
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β’ a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
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f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
ap : 0 < a
β’ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) β€ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
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r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
ap : 0 < a
β’ a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [div_mul_cancelβ _ (add_pos r0p r1p).ne'] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
ap : 0 < a
β’ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) β€ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
a : β
ap : 0 < a
β’ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) β€ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | refine ContinuousAt.eventually_mem ?_ ((isOpen_ball.inter isOpen_ball).mem_nhds ?_) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2) (x0, x1)
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ (r1 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | exact ((continuous_fst.const_smul _).add (continuous_snd.const_smul _)).continuousAt | case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2) (x0, x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2) (x0, x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [mem_inter_iff, mem_ball, dist_eq_norm, β sub_add_eq_add_sub _ x0 _,
add_sub_assoc _ _ x1] | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ (r1 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1 | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ (r1 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ (x0, x1).2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | nth_rw 1 [add_comm r0 r1] | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1 | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r1 + r0)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [sub _ r0p r1p, sub _ r1p r0p] | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r1 + r0)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1 | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β-((r0 / (r1 + r0)) β’ x0) + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + -((r1 / (r0 + r1)) β’ x1)β < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β(r1 / (r1 + r0)) β’ x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§
β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + ((r0 / (r0 + r1)) β’ x1 - x1)β < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [add_comm r1 r0, neg_add_eq_sub, β sub_eq_add_neg, β smul_sub, norm_smul,
Real.norm_eq_abs, abs_div, abs_of_pos r0p, abs_of_pos r1p, abs_of_pos (add_pos r0p r1p),
norm_sub_rev (x0 : E) x1] | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β-((r0 / (r1 + r0)) β’ x0) + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + -((r1 / (r0 + r1)) β’ x1)β < r1 | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ r0 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r0 β§ r1 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ β-((r0 / (r1 + r0)) β’ x0) + (r0 / (r0 + r1)) β’ x1β < r0 β§ β(r1 / (r0 + r1)) β’ x0 + -((r1 / (r0 + r1)) β’ x1)β < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | use le r0p, le r1p | case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ r0 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r0 β§ r1 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
β’ r0 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r0 β§ r1 / (r0 + r1) * βx1 - x0β < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [nhds_prod_eq] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π x0 ΓΛ’ π x1, p.1 β s β§ p.2 β s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), p.1 β s β§ p.2 β s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [Prod.frequently (p := fun x β¦ x β s) (q := fun x β¦ x β s)] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π x0 ΓΛ’ π x1, p.1 β s β§ p.2 β s | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ (βαΆ (a : E) in π x0, a β s) β§ βαΆ (b : E) in π x1, b β s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ βαΆ (p : E Γ E) in π x0 ΓΛ’ π x1, p.1 β s β§ p.2 β s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | use mem_closure_iff_frequently.mp m0, mem_closure_iff_frequently.mp m1 | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ (βαΆ (a : E) in π x0, a β s) β§ βαΆ (b : E) in π x1, b β s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
c : Convex β s
r0 r1 : β
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 β closure s
x1 : E
m1 : x1 β closure s
ne : β z, z β ball (ββ¨x0, m0β©) r0 β© ball (ββ¨x1, m1β©) r1
x01 : βx1 - x0β < r0 + r1
sub : β (x : E) {a b : β}, 0 < a β 0 < b β (a / (a + b)) β’ x - x = -((b / (a + b)) β’ x)
le : β {a : β}, 0 < a β a / (r0 + r1) * βx1 - x0β < a
e : βαΆ (p : E Γ E) in π (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) β’ p.1 + (r0 / (r0 + r1)) β’ p.2 β ball x0 r0 β© ball x1 r1
β’ (βαΆ (a : E) in π x0, a β s) β§ βαΆ (b : E) in π x1, b β s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | intro z β¨zt, mβ© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
β’ EqOn b.u (b.g x) (b.t β© Metric.ball (βx) (b.r x)) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.u z = b.g x z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
β’ EqOn b.u (b.g x) (b.t β© Metric.ball (βx) (b.r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | simp only [Base.u, zt, dif_pos] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.u z = b.g x z | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.g (b.y β―) z = b.g x z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.u z = b.g x z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | refine b.unique (isOpen_ball.inter isOpen_ball)
((convex_ball _ _).inter (convex_ball _ _)).isPreconnected
(fun _ m β¦ b.gp _ (inter_subset_left _ _ m)) (fun _ m β¦ b.gp _ (inter_subset_right _ _ m))
?_ β¨b.yt zt, mβ© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.g (b.y β―) z = b.g x z | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ b.g (b.y β―) z = b.g x z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | rcases b.convex.inter_ball (b.y zt) x (b.rp _) (b.rp _) β¨_, β¨b.yt zt, mβ©β© with β¨w, mβ© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1 | case intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
mβ : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
w : E
m : w β s β© Metric.ball (β(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) β© Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
m : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | exact β¨w, β¨m.1.2, m.2β©, _root_.trans ((b.gf _).self_of_nhdsSet β¨m.1.1, m.1.2β©)
((b.gf x).self_of_nhdsSet β¨m.1.1, m.2β©).symmβ© | case intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
mβ : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
w : E
m : w β s β© Metric.ball (β(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) β© Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
x : β(closure s)
z : E
zt : z β b.t
mβ : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
w : E
m : w β s β© Metric.ball (β(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) β© Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ β x_1 β Metric.ball (β(b.y β―)) (b.r (b.y β―)) β© Metric.ball (βx) (b.r x), b.g (b.y β―) x_1 = b.g x x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | simp only [Filter.EventuallyEq, Filter.eventually_iff, mem_nhdsSet_iff_forall] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ (πΛ’ s).EventuallyEq b.u f | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β s, {x | b.u x = f x} β π x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ (πΛ’ s).EventuallyEq b.u f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | intro z m | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β s, {x | b.u x = f x} β π x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ {x | b.u x = f x} β π z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β s, {x | b.u x = f x} β π x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | simp only [β Filter.eventually_iff] | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ {x | b.u x = f x} β π z | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ {x | b.u x = f x} β π z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | set x : closure s := β¨z, subset_closure mβ© | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | have zs : z β Metric.ball (x : E) (b.r x) := mem_ball_self (b.rp x) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | have ug := (b.ug x).eventuallyEq_of_mem ((b.ot.inter isOpen_ball).mem_nhds
β¨b.cover (subset_closure m), zsβ©) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
ug : (π z).EventuallyEq b.u (b.g x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | exact ug.trans ((b.gf x).filter_mono (nhds_le_nhdsSet β¨m, zsβ©)) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
ug : (π z).EventuallyEq b.u (b.g x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
zβ : E
b : Base p s f
z : E
m : z β s
x : β(closure s) := β¨z, β―β©
zs : z β Metric.ball (βx) (b.r x)
ug : (π z).EventuallyEq b.u (b.g x)
β’ βαΆ (x : E) in π z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | apply Filter.eventually_of_mem (b.ot.mem_nhdsSet.mpr b.cover) | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ βαΆ (z : E) in πΛ’ (closure s), p b.u z | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β b.t, p b.u x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ βαΆ (z : E) in πΛ’ (closure s), p b.u z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | intro x m | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β b.t, p b.u x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ p b.u x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
β’ β x β b.t, p b.u x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | refine b.congr (b.gp (b.y m) (b.yt m)) ?_ | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ p b.u x | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ (π x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ p b.u x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | exact ((b.ug _).eventuallyEq_of_mem ((b.ot.inter isOpen_ball).mem_nhds β¨m, b.yt mβ©)).symm | E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ (π x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
Ξ± : Type
p : (E β Ξ±) β E β Prop
s : Set E
f : E β Ξ±
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x β b.t
β’ (π x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | rw [summable_iff_vanishing_norm] | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
β’ Summable fun n => f n z | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < Ξ΅ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
β’ Summable fun n => f n z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | intro e ep | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < Ξ΅ | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < Ξ΅
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | rcases h e ep with β¨m, hmβ© | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e | case intro
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | use Finset.range m | case intro
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β (t : Finset β), Disjoint t (Finset.range m) β βt.sum fun i => f i zβ < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β s, β (t : Finset β), Disjoint t s β βt.sum fun i => f i zβ < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | intro A d | case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β (t : Finset β), Disjoint t (Finset.range m) β βt.sum fun i => f i zβ < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
d : Disjoint A (Finset.range m)
β’ βA.sum fun i => f i zβ < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β (t : Finset β), Disjoint t (Finset.range m) β βt.sum fun i => f i zβ < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | calc βA.sum (fun n β¦ f n z)β
_ β€ A.sum (fun n β¦ βf n zβ) := by bound
_ < e := hm _ _ (late_iff_disjoint_range.mpr d) zs | case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
d : Disjoint A (Finset.range m)
β’ βA.sum fun i => f i zβ < e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
d : Disjoint A (Finset.range m)
β’ βA.sum fun i => f i zβ < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_summable | [47, 1] | [54, 55] | bound | f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
d : Disjoint A (Finset.range m)
β’ βA.sum fun n => f n zβ β€ A.sum fun n => βf n zβ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
z : β
zs : z β s
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
d : Disjoint A (Finset.range m)
β’ βA.sum fun n => f n zβ β€ A.sum fun n => βf n zβ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | rw [Metric.uniformCauchySeqOn_iff] | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ UniformCauchySeqOn (fun N z => N.sum fun n => f n z) atTop s | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ UniformCauchySeqOn (fun N z => N.sum fun n => f n z) atTop s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | intro e ep | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅ | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | rcases h e ep with β¨m, hmβ© | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | use Finset.range m | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β m_1 β₯ Finset.range m, β n β₯ Finset.range m, β x β s, dist (m_1.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β N, β m β₯ N, β n β₯ N, β x β s, dist (m.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | intro A HA B HB z zs | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β m_1 β₯ Finset.range m, β n β₯ Finset.range m, β x β s, dist (m_1.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
HA : A β₯ Finset.range m
B : Finset β
HB : B β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (A.sum fun n => f n z) (B.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
β’ β m_1 β₯ Finset.range m, β n β₯ Finset.range m, β x β s, dist (m_1.sum fun n => f n x) (n.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_uniform_cauchy_series | [57, 1] | [67, 51] | calc dist (A.sum fun n β¦ f n z) (B.sum fun n β¦ f n z)
_ β€ (A β B).sum fun n β¦ abs (f n z) := symmDiff_bound _ _ _
_ < e := hm (A β B) z (symmDiff_late HA HB) zs | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
HA : A β₯ Finset.range m
B : Finset β
HB : B β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (A.sum fun n => f n z) (B.sum fun n => f n z) < e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e
A : Finset β
HA : A β₯ Finset.range m
B : Finset β
HB : B β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (A.sum fun n => f n z) (B.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rw [HasUniformSum, Metric.tendstoUniformlyOn_iff] | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ HasUniformSum f (tsumOn f) s | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ HasUniformSum f (tsumOn f) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | intro e ep | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅ | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
β’ β Ξ΅ > 0, βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < Ξ΅
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rcases h (e / 4) (by linarith) with β¨m, hmβ© | f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rw [Filter.eventually_atTop] | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β a, β b β₯ a, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ βαΆ (n : Finset β) in atTop, β x β s, dist (tsumOn f x) (n.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | use Finset.range m | case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β a, β b β₯ a, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β b β₯ Finset.range m, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β a, β b β₯ a, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | intro N Nm z zs | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β b β₯ Finset.range m, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (tsumOn f z) (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
β’ β b β₯ Finset.range m, β x β s, dist (tsumOn f x) (b.sum fun n => f n x) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rw [tsumOn] | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (tsumOn f z) (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (β' (n : β), f n z) (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (tsumOn f z) (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | generalize G : tsum (fun n β¦ f n z) = g | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (β' (n : β), f n z) (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
β’ dist (β' (n : β), f n z) (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | have S : Summable (fun n β¦ f n z) := uniformVanishing_to_summable zs h | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | have GS : HasSum (fun n β¦ f n z) g := by rw [β G]; exact Summable.hasSum S | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | clear S | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
S : Summable fun n => f n z
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rw [HasSum] at GS | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : Filter.Tendsto (fun s => s.sum fun b => f b z) atTop (π g)
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : HasSum (fun n => f n z) g
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rw [Metric.tendsto_atTop] at GS | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : Filter.Tendsto (fun s => s.sum fun b => f b z) atTop (π g)
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : β Ξ΅ > 0, β N, β n β₯ N, dist (n.sum fun b => f b z) g < Ξ΅
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : Filter.Tendsto (fun s => s.sum fun b => f b z) atTop (π g)
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Series.lean | uniformVanishing_to_tendsto_uniformly_on | [70, 1] | [103, 25] | rcases GS (e / 4) (by linarith) with β¨M, HMβ© | case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : β Ξ΅ > 0, β N, β n β₯ N, dist (n.sum fun b => f b z) g < Ξ΅
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | case h.intro
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : β Ξ΅ > 0, β N, β n β₯ N, dist (n.sum fun b => f b z) g < Ξ΅
M : Finset β
HM : β n β₯ M, dist (n.sum fun b => f b z) g < e / 4
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
f : β β β β β
s : Set β
h : UniformVanishing f s
e : β
ep : e > 0
m : β
hm : β (N : Finset β) (z : β), Late N m β z β s β (N.sum fun n => Complex.abs (f n z)) < e / 4
N : Finset β
Nm : N β₯ Finset.range m
z : β
zs : z β s
g : β
G : β' (n : β), f n z = g
GS : β Ξ΅ > 0, β N, β n β₯ N, dist (n.sum fun b => f b z) g < Ξ΅
β’ dist g (N.sum fun n => f n z) < e
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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