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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [not_forall, not_not] at re ⊢ | case neg
S : Type
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s : Super f d a
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
⊢ ¬∀ (x : ℕ), (c, (f c)^[x] z) ∉ s.near | case neg
S : Type
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | by_cases za : z = a | case neg
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case neg
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STATE:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z) :=
compl_singleton_mem_nhds
(by simp only [za, Ne, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff]) | case neg
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⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases (Filter.hasBasis_iff.mp (compact_basis_nhds (c, z)) ({(c, a)}ᶜ)).mp sn with
⟨u, ⟨un, uc⟩, ua⟩ | case neg
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
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⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro
S : Type
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u : Set (ℂ × S)
ua : u ⊆ {(c, a)}ᶜ
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
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⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
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S : Type
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
ua : u ⊆ {(c, a)}ᶜ
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro
S : Type
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
ua : u ⊆ {(c, a)}ᶜ
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases s.barrier (uᶜ) uc.isClosed.isOpen_compl (Set.mem_compl ua) with ⟨t, b⟩ | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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uc : IsCompact u
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⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
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u : Set (ℂ × S)
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uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
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uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases en with ⟨n, h⟩ | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
en : ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
en : ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases eventually_nhds_iff.mp h with ⟨v, vh, vo, vc⟩ | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
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t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have ev : ∀ᶠ p : ℂ × S in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ := by
simp only [Filter.eventually_iff, Set.setOf_mem_eq]
exact Filter.inter_mem un ((vo.prod isOpen_univ).mem_nhds (Set.mk_mem_prod vc (Set.mem_univ _))) | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
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rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
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vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
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t : Set (ℂ × S)
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rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
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h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have ef : ∃ᶠ p in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n := by
refine (re.and_eventually ev).mp (eventually_of_forall ?_)
intro ⟨e, z⟩ ⟨zy, m⟩
simp only [Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod, Set.mem_univ, and_true_iff] at m
exact vh e m.2 z m.1 zy | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
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ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
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vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases b.mem_fast.mp (ef.mem_of_closed (b.closed_fast _)) with ⟨n, _, r⟩ | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
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n✝ : ℕ
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v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n✝
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n✝
n : ℕ
left✝ : n < n✝
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact ⟨n, b.near r⟩ | case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
n✝ : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n✝
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n✝
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n✝
n : ℕ
left✝ : n < n✝
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
n✝ : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n✝
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n✝
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
ef : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n✝
n : ℕ
left✝ : n < n✝
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ t
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | use 0 | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢ ∃ x, (c, (f c)^[x] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [za, Function.iterate_zero_apply, s.mem_near c] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [za, Ne, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
⊢ (c, z) ≠ (c, a) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
⊢ (c, z) ≠ (c, a)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases exists_pow_lt_of_lt_one rp y1 with ⟨k, ky⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
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b : Barrier s c uᶜ t
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rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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rp : r > 0
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k : ℕ
ky : y ^ k < r
⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
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u : Set (ℂ × S)
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t : Set (ℂ × S)
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rp : r > 0
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⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases Filter.exists_le_of_tendsto_atTop (Nat.tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt s.d1) 0 k
with ⟨n, _, nk⟩ | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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k : ℕ
ky : y ^ k < r
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⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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s : Super f d a
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
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rp : r > 0
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k : ℕ
ky : y ^ k < r
⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | use n | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s : Super f d a
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
⊢ ∃ n, ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | refine b.barrier.mp (eventually_of_forall fun e h z m py ↦ ?_) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
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⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
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z : S
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py : s.potential e z ≤ y
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
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⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases h z (not_mem_compl_iff.mpr m) za with ⟨o, oh⟩ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
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z : S
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py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | by_cases no : n ≤ o | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : ¬n ≤ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | by_cases r : ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
⊢ Attracts (f e) z a | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ¬∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [not_exists] at r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ¬∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ¬∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rw [s.potential_eq_one r] at py | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : 1 ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | linarith | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : 1 ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : 1 ≤ y
r : ∀ (x : ℕ), (e, (f e)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rcases r with ⟨n, r⟩ | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n✝ : ℕ
left✝ : n✝ ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n✝
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
n : ℕ
r : (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
r : ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact s.attracts r | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n✝ : ℕ
left✝ : n✝ ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n✝
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
n : ℕ
r : (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r✝ : ℝ
rp : r✝ > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r✝ ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r✝
n✝ : ℕ
left✝ : n✝ ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n✝
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
n : ℕ
r : (e, (f e)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Attracts (f e) z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have pyo : s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o := by bound | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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y : ℝ
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
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k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
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uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
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rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
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h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rw [← s.potential_eqn_iter o] at pyo | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
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h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
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py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
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pyo : s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
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nk : k ≤ d ^ n
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z : S
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za : Attracts (f e) z a
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pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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u : Set (ℂ × S)
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b : Barrier s c uᶜ t
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n : ℕ
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za : Attracts (f e) z a
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oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have ryo : r ≤ y ^ d ^ o := _root_.trans (rt _ _ oh) pyo | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
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inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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STATE:
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S : Type
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t : Set (ℂ × S)
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have kdo : k ≤ d ^ o := _root_.trans nk (Nat.pow_le_pow_of_le_right s.dp no) | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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t : Set (ℂ × S)
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rp : r > 0
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
ryo : r ≤ y ^ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | have ryk : r ≤ y ^ k :=
_root_.trans ryo (pow_le_pow_of_le_one (_root_.trans s.potential_nonneg py) y1.le kdo) | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
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o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
ryo : r ≤ y ^ d ^ o
kdo : k ≤ d ^ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
ryo : r ≤ y ^ d ^ o
kdo : k ≤ d ^ o
ryk : r ≤ y ^ k
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s : Super f d a
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
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py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
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pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
ryo : r ≤ y ^ d ^ o
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | linarith | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
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b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
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rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
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e : ℂ
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za : Attracts (f e) z a
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pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
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ryk : r ≤ y ^ k
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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c✝ : ℂ
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s : Super f d a
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y1 : y < 1
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
pyo : s.potential e ((f e)^[o] z) ≤ y ^ d ^ o
ryo : r ≤ y ^ d ^ o
kdo : k ≤ d ^ o
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | bound | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : n ≤ o
⊢ s.potential e z ^ d ^ o ≤ y ^ d ^ o | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
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h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [not_le] at no | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
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py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : ¬n ≤ o
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
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za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : o < n
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
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nk : k ≤ d ^ n
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | rw [b.mem_fast] | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
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ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
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rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
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h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
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o : ℕ
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⊢ (e, z) ∈ b.fast n | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : o < n
⊢ ∃ n_1 < n, (e, (f e)^[n_1] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : o < n
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | use o, no, oh | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
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e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : o < n
⊢ ∃ n_1 < n, (e, (f e)^[n_1] z) ∈ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za✝ : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
k : ℕ
ky : y ^ k < r
n : ℕ
left✝ : n ≥ 0
nk : k ≤ d ^ n
e : ℂ
h : ∀ (z : S), (e, z) ∉ uᶜ → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
z : S
m : (e, z) ∈ u
py : s.potential e z ≤ y
za : Attracts (f e) z a
o : ℕ
oh : (e, (f e)^[o] z) ∈ t
no : o < n
⊢ ∃ n_1 < n, (e, (f e)^[n_1] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [Filter.eventually_iff, Set.setOf_mem_eq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
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t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
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n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ u ∩ v ×ˢ univ ∈ 𝓝 (c, z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
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n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact Filter.inter_mem un ((vo.prod isOpen_univ).mem_nhds (Set.mk_mem_prod vc (Set.mem_univ _))) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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u : Set (ℂ × S)
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h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ u ∩ v ×ˢ univ ∈ 𝓝 (c, z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
⊢ u ∩ v ×ˢ univ ∈ 𝓝 (c, z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | refine (re.and_eventually ev).mp (eventually_of_forall ?_) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ b.fast n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
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v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∀ (x : ℂ × S), s.potential x.1 x.2 ≤ y ∧ x ∈ u ∩ v ×ˢ univ → x ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
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v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | intro ⟨e, z⟩ ⟨zy, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∀ (x : ℂ × S), s.potential x.1 x.2 ≤ y ∧ x ∈ u ∩ v ×ˢ univ → x ∈ b.fast n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
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m : (e, z) ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
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h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
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vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
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ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ ∀ (x : ℂ × S), s.potential x.1 x.2 ≤ y ∧ x ∈ u ∩ v ×ˢ univ → x ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | simp only [Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod, Set.mem_univ, and_true_iff] at m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
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sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
e : ℂ
z : S
zy : s.potential (e, z).1 (e, z).2 ≤ y
m : (e, z) ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
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h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
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vo : IsOpen v
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e : ℂ
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zy : s.potential (e, z).1 (e, z).2 ≤ y
m : (e, z) ∈ u ∧ e ∈ v
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
e : ℂ
z : S
zy : s.potential (e, z).1 (e, z).2 ≤ y
m : (e, z) ∈ u ∩ v ×ˢ univ
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Continuous.potential | [362, 1] | [422, 22] | exact vh e m.2 z m.1 zy | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
e : ℂ
z : S
zy : s.potential (e, z).1 (e, z).2 ≤ y
m : (e, z) ∈ u ∧ e ∈ v
⊢ (e, z) ∈ b.fast n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝¹ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
y : ℝ
y1 : y < 1
re : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), s.potential x.1 x.2 ≤ y
za : ¬z✝ = a
sn : {(c, a)}ᶜ ∈ 𝓝 (c, z✝)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, z✝)
uc : IsCompact u
ua : (c, a) ∉ u
t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c uᶜ t
r : ℝ
rp : r > 0
rt : ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
n : ℕ
h : ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∈ u → s.potential e z ≤ y → (e, z) ∈ b.fast n
v : Set ℂ
vh : ∀ x ∈ v, ∀ (z : S), (x, z) ∈ u → s.potential x z ≤ y → (x, z) ∈ b.fast n
vo : IsOpen v
vc : c ∈ v
ev : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, z✝), p ∈ u ∩ v ×ˢ univ
e : ℂ
z : S
zy : s.potential (e, z).1 (e, z).2 ≤ y
m : (e, z) ∈ u ∧ e ∈ v
⊢ (e, z) ∈ b.fast n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | by_cases ne : tᶜ = ∅ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ¬tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | replace ne := Set.Nonempty.image (s.potential c) (nonempty_iff_ne_empty.mpr ne) | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ¬tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : ¬tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have pos : ∀ p : ℝ, p ∈ s.potential c '' tᶜ → 0 ≤ p := by
intro p m; simp only [mem_image] at m; rcases m with ⟨z, _, e⟩; rw [← e]
exact s.potential_nonneg | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ) := bddBelow_def.mpr ⟨0, pos⟩ | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | generalize hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have qt : ∀ z, s.potential c z < q → z ∈ t := by
intro z i; contrapose i; simp only [not_lt, ← hq]; apply csInf_le below
simp only [mem_image]; use z, i | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use q, qp, qt | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
qp : 0 < q
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
qp : 0 < q
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use 1, zero_lt_one | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [compl_empty_iff] at ne | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : tᶜ = ∅
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [ne] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ univ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact subset_univ _ | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ univ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : t = univ
⊢ {z | s.potential c z < 1} ⊆ univ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | intro p m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : p ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 ≤ p | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
⊢ ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] at m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : p ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 ≤ p | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = p
⊢ 0 ≤ p | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : p ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 ≤ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rcases m with ⟨z, _, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = p
⊢ 0 ≤ p | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ p | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
m : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = p
⊢ 0 ≤ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [← e] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ p | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact s.potential_nonneg | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ s.potential c z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
p : ℝ
z : S
left✝ : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = p
⊢ 0 ≤ s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | intro z i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
⊢ ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : s.potential c z < q
⊢ z ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
⊢ ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | contrapose i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : s.potential c z < q
⊢ z ∈ t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ¬s.potential c z < q | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : s.potential c z < q
⊢ z ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [not_lt, ← hq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ¬s.potential c z < q | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ sInf (s.potential c '' tᶜ) ≤ s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ¬s.potential c z < q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | apply csInf_le below | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ sInf (s.potential c '' tᶜ) ≤ s.potential c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ s.potential c z ∈ s.potential c '' tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ sInf (s.potential c '' tᶜ) ≤ s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ s.potential c z ∈ s.potential c '' tᶜ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ s.potential c z ∈ s.potential c '' tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | use z, i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = s.potential c z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
z : S
i : z ∉ t
⊢ ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [← hq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < q | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have mc := csInf_mem_closure ne below | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [IsClosed.closure_eq] at mc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
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below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ IsClosed (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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o : IsOpen t
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] at mc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rcases mc with ⟨z, m, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [← e] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | contrapose m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < s.potential c z | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : ¬0 < s.potential c z
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | replace m := le_antisymm (not_lt.mp m) s.potential_nonneg | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : ¬0 < s.potential c z
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : ¬0 < s.potential c z
⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [m, not_mem_compl_iff] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact mem_of_mem_nhds n | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact (o.isClosed_compl.isCompact.image (Continuous.potential s).along_snd).isClosed | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ IsClosed (s.potential c '' tᶜ) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ IsClosed (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases mem_nhds_iff.mp n with ⟨t', tt, o, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases s.potential_basis' c (o.mem_nhds m) o with ⟨p, pp, sub⟩ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | use p, pp, _root_.trans sub tt | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro z zp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | have za := le_antisymm zp s.potential_nonneg | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | simp only [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at za | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [za, Function.iterate_zero_apply] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | use s.mem_near c | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro k _ | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [s.iter_a] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | exact s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | intro z zp | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN c p n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN c p n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | rcases nice z zp with ⟨m, nc⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | use s.iter_stays_near' m n01, fun k n1k ↦ nc k (_root_.trans n01 n1k) | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | have et : ∀ᶠ z in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 := by
apply
(mfderiv_ne_zero_eventually (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).along_snd
(s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)).mp
apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp
refine eventually_of_forall fun z m nc ↦ ?_; use m, nc | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases et.exists_mem with ⟨t, m, h⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases s.potential_basis c m with ⟨q, qp, qt⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | clear et m | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases exists_pow_lt_of_lt_one qp p1 with ⟨n, pq⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | use n | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | intro z m | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | replace m : ∀ k, n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q := by
intro k nk; refine lt_of_le_of_lt ?_ pq; simp only [s.potential_eqn_iter]
have dn := (Nat.lt_pow_self s.d1 k).le
apply _root_.trans (pow_le_pow_of_le_one s.potential_nonneg s.potential_le_one dn)
refine _root_.trans (pow_le_pow_left s.potential_nonneg m _) ?_
exact pow_le_pow_of_le_one (_root_.trans s.potential_nonneg m) p1.le nk | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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