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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro c cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r0, r0p, r0s⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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s : Set ℂ
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rcases fs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, sm⟩ | case intro.intro
S : Type
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
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r1p : 0 < r1
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | have r01p : min r0 r1 > 0 := by bound | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
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r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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c : ℂ
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r0 : ℝ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | exists min r0 r1, r01p | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
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r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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h : Set.EqOn g f s
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro t tp tr | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | specialize sm t tp (lt_of_lt_of_le tr (by bound)) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | have hs : (fun u ↦ f (circleMap c t u)) =ᵐ[volume.restrict itau]
fun u ↦ g (circleMap c t u) := by
rw [Filter.EventuallyEq]; rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau]
apply Filter.eventually_of_forall
intro u _; apply h.symm
apply _root_.trans r0s interior_subset
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp]
exact lt_of_lt_of_le tr (by bound) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
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r1 : ℝ
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t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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r0 : ℝ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [average_eq] at sm ⊢ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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t : ℝ
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hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r1p : 0 < r1
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t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rwa [← h.symm (interior_subset cs), ← integral_congr_ae hs] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
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r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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r1p : 0 < r1
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sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : Set ℂ
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c : ℂ
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r0p : r0 > 0
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ min r0 r1 > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ min r0 r1 > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
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sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [Filter.EventuallyEq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
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r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
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r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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h : Set.EqOn g f s
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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F : Type
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply Filter.eventually_of_forall | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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r1 : ℝ
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tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | case hp
S : Type
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T : Type
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro u _ | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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c : ℂ
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r0 : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | case hp
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
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r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
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r01p : min r0 r1 > 0
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply h.symm | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u) | case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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h : Set.EqOn g f s
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r0 : ℝ
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
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⊢ circleMap c t u ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply _root_.trans r0s interior_subset | case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
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⊢ circleMap c t u ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp] | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
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a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0 | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | exact lt_of_lt_of_le tr (by bound) | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r1 : ℝ
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t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
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⊢ t < r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | intro c r _ _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | rw [average_eq] | S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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STATE:
S : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | simp [← smul_assoc, smul_eq_mul] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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⊢ a = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | field_simp [NiceVolume.itau.real_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ((↑volume itau).toReal⁻¹ * (↑volume itau).toReal) • a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ a = ((↑volume itau).toReal⁻¹ * (↑volume itau).toReal) • a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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gh : HarmonicOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t) | S : Type
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STATE:
S : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | simp [fh.mean c r rp cs, gh.mean c r rp cs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s : Set ℂ
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⊢ (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | rw [Average.sub ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)
((gh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) - ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) =
⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) - ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) =
⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | intro c cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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fs : SubharmonicOn f s
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⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases fs.submean' c cs with ⟨r0, r0p, r0m⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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H : Type
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r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases gs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, r1m⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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r0 : ℝ
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r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r2, r2p, r2s⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
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r1 : ℝ
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r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | set r := min r0 (min r1 r2) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have rr1 : r ≤ r1 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
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r0 : ℝ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have rr2 : r ≤ r2 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
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fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | use r | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | use by bound | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | intro u up ur | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have us : closedBall c u ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball (lt_of_lt_of_le ur (by bound)))
(_root_.trans r2s interior_subset) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
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r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rw [Average.add ((fs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)
((gs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have m0 := r0m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound)) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have m1 := r1m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound)) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | exact add_le_add m0 m1 | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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c : ℂ
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r0 : ℝ
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r1 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ min r1 r2 ≤ r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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r1 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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⊢ min r1 r2 ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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rr1 : r ≤ r1
⊢ min r1 r2 ≤ r2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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r2p : r2 > 0
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rr1 : r ≤ r1
⊢ min r1 r2 ≤ r2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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r0 : ℝ
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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r0p : 0 < r0
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
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⊢ r ≤ r2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ r ≤ r2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ r ≤ r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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r1 : ℝ
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up : 0 < u
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us : closedBall c u ⊆ s
⊢ r ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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r2 : ℝ
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r1 : ℝ
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r2 : ℝ
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m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ r ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | have nh := HarmonicOn.sub (HarmonicOn.const 0) fh | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
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⊢ HarmonicOn (-f) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
⊢ HarmonicOn (-f) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (-f) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | have e : (fun _ : ℂ ↦ (0 : E)) - f = -f := by ext; simp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
⊢ HarmonicOn (-f) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
e : (fun x => 0) - f = -f
⊢ HarmonicOn (-f) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ HarmonicOn (-f) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | rwa [← e] | S : Type
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nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
e : (fun x => 0) - f = -f
⊢ HarmonicOn (-f) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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e : (fun x => 0) - f = -f
⊢ HarmonicOn (-f) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | ext | S : Type
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⊢ ((fun x => 0) - f) x✝ = (-f) x✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
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fh : HarmonicOn f s
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⊢ (fun x => 0) - f = -f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | simp | case h
S : Type
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⊢ ((fun x => 0) - f) x✝ = (-f) x✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | have e : f + g = f - -g := by ext; simp | S : Type
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⊢ HarmonicOn (f + g) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ HarmonicOn (f + g) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | rw [e] | S : Type
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F : Type
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ HarmonicOn (f - -g) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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gh : HarmonicOn g s
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⊢ HarmonicOn (f + g) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | exact fh.sub gh.neg | S : Type
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T : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f - -g) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → E
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fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f - -g) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | ext | S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
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gh : HarmonicOn g s
⊢ f + g = f - -g | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
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gh : HarmonicOn g s
⊢ f + g = f - -g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | simp | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
x✝ : ℂ
⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
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f g : ℂ → E
s : Set ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const_mul | [197, 1] | [202, 97] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const_mul | [197, 1] | [202, 97] | rw [average_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const_mul | [197, 1] | [202, 97] | simp_rw [← smul_eq_mul, integral_smul, smul_comm _ a, ← average_eq, ← fh.mean c r rp cs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | intro c cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | rcases fs.submean' c cs with ⟨r, rp, rm⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fs : SubharmonicOn f s
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cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | use r, rp | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | intro s sp sr | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | specialize rm s sp sr | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
smul_eq_mul] at rm ⊢ | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | calc a * f c
_ ≤ a * ((volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by bound
_ = (volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by ring
_ = (volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, a * f (circleMap c s t) := by
rw [integral_mul_left] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | ring | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.constMul | [205, 1] | [217, 35] | rw [integral_mul_left] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | have h := Complex.circleIntegral_sub_inv_smul_of_differentiable_on_off_countable
Set.countable_empty (Metric.mem_ball_self rp) fa.continuousOn ?_ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | simp_rw [circleIntegral, deriv_circleMap, circleMap_sub_center, smul_smul, mul_comm _ I] at h | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | field_simp [circleMap_ne_center rp.ne'] at h | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [← smul_smul, IsUnit.smul_left_cancel (Ne.isUnit Complex.I_ne_zero)] at h | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le] at h | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [average_eq, itau, h] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | simp only [gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_pos_iff_of_pos_left, not_lt, ge_iff_le, MeasurableSet.univ,
Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, Real.volume_Ioc, sub_zero, mul_nonneg_iff_of_pos_left] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [ENNReal.toReal_ofReal Real.two_pi_pos.le] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [← smul_assoc, Complex.real_smul] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | field_simp [Real.pi_ne_zero] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | intro z zs | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | rw [Set.diff_empty] at zs | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.circle_mean_eq | [220, 1] | [234, 69] | exact (fa z (Metric.ball_subset_closedBall zs)).differentiableAt | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.harmonicOn | [237, 1] | [239, 70] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.harmonicOn | [237, 1] | [239, 70] | rw [(fa.mono cs).circle_mean_eq rp] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.linear | [242, 1] | [248, 31] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.linear | [242, 1] | [248, 31] | rw [average_linear_comm ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.linear | [242, 1] | [248, 31] | rw [fh.mean c r rp cs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.re | [251, 1] | [252, 95] | simp only [← Complex.reCLM_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.re | [251, 1] | [252, 95] | exact fh.linear _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.conj | [255, 1] | [256, 91] | simp only [← conjCLM_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.conj | [255, 1] | [256, 91] | exact fh.linear _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
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H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r, rp, rs⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | use r, rp | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | intro t tp tr | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
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t : ℝ
tp : 0 < t
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⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | rw [average_eq] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
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⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
c : ℂ
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fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | have fg : ∀ (u) (_ : u ∈ itau), f c ≤ f (circleMap c t u) := fun _ _ ↦ fm _ | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
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tp : 0 < t
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fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Minimum.submean | [264, 1] | [276, 65] | have ss : closedBall c t ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
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tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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fc : ContinuousOn f s
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fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
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rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
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Subsets and Splits
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