v1v1d/Latexify_v1_clean · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 43 1.19k	text stringlengths 25 1.67k
	e ^ { - \beta { \cal F } ( \beta ) } = \mathrm { T r } ( e ^ { - \beta \hat { H } } ) ~ ~ ~ ,
	\begin{array} { l l } { \Gamma ^ { + } \theta = 0 , \qquad } & { x ^ { + } = \tau p ^ { + } , } \\ { e = 1 , \qquad } & { \Lambda ^ { i } = 0 , } \\ { A ^ { 2 } = 1 , \qquad } & { A ^ { i } = 0 , } \\ { B ^ { 2 } = 1 , \qquad } & { B ^ { i } = 0 , } \\ \end{array}
	\ell \sigma n _ { D } \sim \sigma N _ { D } / \ell ^ { 2 } \ll 1 .
	D = \left( \begin{array} { c c } { I _ { N \times N } } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { N + 1 } } \\ \end{array} \right) .
	\widetilde { \eta } _ { ( s ) } ^ { N } = \widetilde { \eta } _ { ( s ) } ^ { ( n , m ) } = H _ { p q } ^ { N } \: \eta _ { ( s ) } ^ { p } \otimes \kappa ^ { q } \; \; \; \; \; H ^ { N } = \sigma _ { 2 } H _ { N } ^ { * } \sigma _ { 2 }
	N _ { 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{matrix} { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{matrix} \right) , \qquad N _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{matrix} { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{matrix} \right) ,
	\ \Lambda = - \int _ { x ^ { \prime } } ^ { x } \left( A _ { \mu } ^ { E } + A _ { \mu } ^ { H } \right) d x ^ { \mu } .
	\left\{ \mu ^ { - 1 } \left( - \sqrt { - 1 } c ^ { 2 } \right) \cap \mathcal { S } \right\} / \mathcal { G } \, .
	1 = \bar { u } _ { + i } \gamma _ { + } u _ { + i } = \bar { u } _ { - i } \gamma _ { - } u _ { - i } = 2 \bar { u } _ { + - } u _ { -- } = - 2 \bar { u } _ { + + } u _ { - + } = - 2 \bar { u } _ { - + } u _ { + + } = 2 \bar { u } _ { -- } u _ { + - }
	\gamma ^ { a } \hat { \nabla } _ { a } \epsilon = 0 ,
	D \Psi ^ { - b } + 2 D \Phi _ { 1 } \Psi ^ { - b } = \mu _ { b } , \qquad \bar { D } \bar { \Psi } ^ { + b } + 2 \bar { D } \Phi _ { 1 } \bar { \Psi } ^ { + b } = \nu _ { b } .
	{ \cal J } _ { i } ^ { 0 } \equiv - \frac \partial { \partial x } \Phi ^ { i } - 2 \varepsilon ^ { i j k } \Phi ^ { j } \Pi _ { k } = - \sqrt { 1 - { \varphi } ^ { 2 } } \; \varpi _ { i } - \varepsilon ^ { i j k } \varphi ^ { j } \varpi _ { k } \equiv J _ { i } ^ { 0 } .
	\frac { 1 6 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { ( d - 1 ) ^ { 2 } L _ { p } ^ { 2 ( 3 - d ) } } < 1 ,
	G = ^ { * } R _ { \mu \nu \rho \sigma } { } ^ { * } R ^ { \mu \nu \rho \sigma }
	J _ { a } = - \frac { i } { 2 } ( \sigma _ { a } ) _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \pi ^ { \beta } + i \xi _ { a } p _ { z } - \frac { s } { 2 } \partial \xi _ { a } - i \bar { \xi } _ { a } p _ { \bar { z } } - \frac { s } { 2 } \bar { \partial } \bar { \xi } _ { a } \; .
	\Lambda _ { N } \mid _ { \partial D } ( \theta ) = e ^ { i N \theta } , N \in { \bf Z - \{ } 0 { \bf \} . }
	\left( \frac { \partial { \it L } } { \partial ( \partial _ { \alpha } \phi _ { a } ( x ) ) } \right) ( x ) \| _ { x \epsilon \partial \Sigma } = 0 ,
	D _ { \alpha } D _ { \alpha } \phi = - 2 ( m ^ { 2 } - \phi \phi ^ { \dagger } ) \phi .
	S _ { E } = - \frac { \Lambda } { 8 \pi G _ { d } } V _ { d } ( M ) ,
	( L _ { \beta } ^ { A } ) = \left( \begin{array} { c c c } { \nu _ { e } } & { e _ { L } } & { e _ { R } } \\ { \nu _ { \mu } } & { \mu _ { L } } & { \mu _ { R } } \\ { \nu _ { \tau } } & { \tau _ { L } } & { \tau _ { R } } \\ \end{array} \right) ~ .
	\mathcal { C } ( \{ \lambda _ { k } \} ) ~ = ~ \left( \begin{array} { l l l l } { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) 1 } & { ( 1 + \lambda _ { 2 } ) 1 } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { N } ) 1 } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) 1 } & { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) 1 } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { N } ) 1 } \\ { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { ( 1 + \lambda _ { 2 } ) \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { 2 } } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { 2 } } \\ { \ \ \ \ \ \ \vdots } & { \ \ \ \ \ \ \vdots } & { } & { \ \ \ \ \ \ \vdots } \\ { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { N - 2 } } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 2 } ^ { N - 2 } } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { N - 2 } } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { N - 2 } } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 2 } ^ { N - 2 } } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { N - 2 } } \\ \end{array} \right) ~ .
	\phi ^ { ( e ) } \colon \bigotimes _ { f \in e _ { + } } \rho _ { f } \to \bigotimes _ { f \in e _ { - } } \rho _ { f } .
	{ \frac { 1 } { g _ { 4 } ( \Lambda ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 } ^ { \ast } } } < 0 ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ( \mu ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ^ { \ast } } } < 0 ~ .
	{ A _ { T , i } ^ { a } } { ( x ) } = ( { \delta _ { i j } } - \frac { \partial _ { i } \partial _ { j } } { \nabla ^ { 2 } } ) { A _ { j } ^ { a } } { ( x ) }
	\nu = - \beta \, , \ \ \ \ ( \beta - 1 ) ( R + \bar { q } ) = 0 \, , \ \ \ \, b e t a + \delta = \bar { q } \, \overline { { R } } \, ,
	\xi ^ { - 1 } ( x ) = \int { \frac { d ^ { D } k } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } e ^ { i k x } \xi ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) , \quad \xi ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) = \int d ^ { D } x e ^ { - i k x } \xi ^ { - 1 } ( x ) ,
	\tilde { \gamma } _ { b } ^ { \alpha \beta } m ^ { b a } E _ { a } ^ { \underline { \beta } } v _ { \underline { \beta } , \beta q } = 0 = \tilde { \gamma } _ { b } ^ { \alpha \beta } m ^ { b a } \nabla _ { \beta q } E _ { a } ^ { \underline { b } } u _ { \underline { b } } ^ { ~ i } ,
	S ^ { \mu \nu } ( P + P _ { - } ) _ { \nu } = 0
	\mathrm { t r } ( t _ { a } t _ { b } t _ { c } ) = \frac { 1 } { 2 } ( T _ { b } ) _ { a c }
	\frac { d x _ { i } } { d s } = \left[ H , x _ { i } \right] = - 2 i \Pi _ { i } \mathbf { \ , \ } \frac { d \Pi _ { i } } { d s } = \left[ H , \Pi _ { i } \right] = - 2 i e F _ { i j } \Pi _ { j } \ ,
	\tau _ { 2 } ( a ^ { 0 } , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) = 2 \pi i \sum _ { n _ { 0 } + n _ { 1 } + n _ { 2 } = 0 \atop m _ { 0 } + m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } ( n _ { 1 } m _ { 2 } - n _ { 2 } m _ { 1 } ) \, a _ { n _ { 0 } , m _ { 0 } } ^ { 0 } a _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } } ^ { 1 } a _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } ^ { 2 } \, .
	\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q \; q ^ { 4 } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - q - \theta } } \left[ \mathrm { e } ^ { 2 q t _ { 1 } - q - \theta } - \mathrm { e } ^ { - 2 q t _ { 1 } } \right] = 0 \; .
	S _ { - } ^ { \alpha \beta } ( x ) = \epsilon _ { A B } \psi _ { A } ^ { \alpha } ( x ) \psi _ { B } ^ { \beta } ( x ) = ( S _ { + } ^ { \beta \alpha } ( x ) ) ^ { \dagger } ~ ~ ,
	D _ { L ( R ) } \phi _ { L ( R ) } ^ { A } = d \phi _ { L ( R ) } ^ { A } - \epsilon ^ { A B C } \omega _ { L ( R ) } ^ { B } \phi _ { L ( R ) } ^ { C } .
	\mu ( z ) = \frac { w _ { \bar { z } } } { w _ { z } } \mathrm { ~ . } \tag { 6 . 1 1 }
	h _ { \mu \nu } ~ = ~ g _ { \mu \nu } - \eta _ { \mu \nu } ~ , \qquad \mathrm { a n d } \qquad h ~ = ~ \eta ^ { \mu \nu } h _ { \mu \nu } ~ .
	[ \Gamma _ { q _ { 0 } } ] ^ { - 1 } = [ \Gamma _ { q _ { 0 } } ^ { - 1 } ] ,
	\{ \phi _ { r } \, , \phi _ { s } \} = c _ { \ r s } ^ { q } \, \phi _ { q } \, .
	\Bigr [ A _ { l } j _ { l } ( k r ) + B _ { l } n _ { l } ( k r ) \Bigr ] _ { \partial M } = 0 ,
	d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) d { \vec { x } } ^ { 2 } \ ,
	V ( u , v ) = < \lambda , \omega : g ( u , v ) : \lambda , - \omega > ,
	\sigma ( { \cal M } _ { 4 } ) = - \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { 4 } } R _ { b } ^ { a } \wedge R _ { a } ^ { b } .
	Z ( g ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } z _ { n } g ^ { n } \ .
	{ \cal L } _ { 3 } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 6 m _ { e } ^ { 4 } } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac { 7 \alpha ^ { 2 } } { 9 0 m _ { e } ^ { 4 } } F _ { \mu \nu } F _ { \sigma \tau } F ^ { \mu \sigma } F ^ { \nu \tau } ,
	b _ { i } = E ( x _ { i } + \delta ) - E ( x ) , \; \; \; \; \; \; a _ { i , j } = E ( x _ { i } + \delta , x _ { j } + \delta ) - E ( x ) - b _ { i } - b _ { j }
	\int _ { \gamma } { \frac { d x } { \sqrt { P _ { 2 g + 2 } ( x ) } ( x - \lambda _ { m } ) } } = { \frac { 1 } { \hat { P } _ { 2 g + 1 } ^ { ( m ) } ( \lambda _ { m } ) } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 g } a _ { i } ( \lambda ) K _ { i } ( \lambda ) ,
	\partial _ { + 2 } \psi _ { + } ^ { m } = ( e _ { + 2 } + f _ { + 2 } ) \psi _ { + } ^ { m } + d _ { + } \lambda _ { + } \sigma ^ { m } \lambda _ { + } , \ \partial _ { - 2 } \psi _ { - } ^ { m } = ( e _ { - 2 } + f _ { - 2 } ) \psi _ { - } ^ { m } + d _ { - } \lambda _ { - } \sigma ^ { m } \lambda _ { - } .
	R _ { M N P Q } ^ { ( 5 ) } = - { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } ( g _ { M P } ^ { ( 5 ) } g _ { N Q } ^ { ( 5 ) } - g _ { M Q } ^ { ( 5 ) } g _ { N P } ^ { ( 5 ) } ) ,
	Q [ K _ { 1 } Q K _ { 2 } - K _ { 2 } Q K _ { 1 } ] Q = [ u _ { 1 } d _ { 2 } - u _ { 2 } d _ { 1 } ] \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { u _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } & { 0 } \\ \end{array} \right)
	\frac { \langle R ^ { 2 } \rangle - \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } { \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } \sim ( g N { \cal H } _ { 4 } ^ { - 1 / 4 } ) ^ { 2 / ( 3 - p ) } f _ { p + 4 } ^ { 2 } ,
	\int _ { { \cal { C } } _ { i } } { \nu } = \int _ { X } { \omega _ { i } \wedge \nu }
	d s ^ { 2 } = H ^ { - 1 / 2 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { \parallel } ^ { 2 } ) + H ^ { 1 / 2 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } ) ,
	\left\langle 0 \right\| F _ { n } ^ { 1 2 } ( t ) F _ { n ^ { \prime } } ^ { 1 2 } ( t ^ { \prime } ) \left\| 0 \right\rangle = \frac { 1 } { t } \delta _ { n , - n ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) .
	\lambda _ { 2 } ^ { l o c . } ( a ) = \sum _ { j } \lambda _ { 2 } ^ { ( 2 j ) } ( a ) ( g _ { a } ^ { \mu \nu } p _ { \nu } ) ^ { j }
	\left( e _ { 0 } \wedge e _ { 9 } \right) \cdot \varepsilon = \varepsilon ~ ,
	g _ { -- } = g _ { - i } = 0 , \ \ \ g _ { - + } = e ^ { \psi / 2 } .
	{ \partial ^ { + + } } ^ { 2 } { \bar { G } } ^ { -- } - 2 { \xi ^ { + + } } ^ { 2 } { \bar { G } } ^ { -- } e ^ { 2 \lambda \omega } = 0 \,
	c h a n g e d - \frac { b _ { 0 } + \tilde { b } _ { 0 } } { L _ { 0 } + \tilde { L } _ { 0 } }
	\left( 1 + N e ^ { 2 \phi } \right) \partial ^ { 2 } \rho - \partial ^ { 2 } \phi + ( \partial \phi ) ^ { 2 } + \Lambda e ^ { 2 \rho } = 0 ;
	\frac { r } { 2 } < s < \frac { r } { \sqrt { 3 } }
	\delta _ { \alpha } X ^ { M } = \alpha X ^ { M } , \quad \delta _ { \alpha } e = 4 \alpha e , \quad \delta _ { \alpha } K = - 2 \alpha K + \left\{ X ^ { M } , \frac 1 e \left\{ \alpha , X _ { M } \right\} \right\}
	A \rightarrow A - P D ( V ) , \ \ \ C \rightarrow C + d P D ( V ) ,
	\sigma _ { P } \lambda = - \lambda \sigma _ { P } = \frac { 1 } { 2 } \, \vec { \sigma } \cdot ( \vec { P } \times \vec { L } - \vec { L } \times \vec { P } ) - \frac { i \mu } { r } \lambda P _ { 5 }
	[ A , \Phi ] = [ A , \Phi ^ { \prime } ] = [ D , \Phi ] = [ D , \Phi ^ { \prime } ] = 0 \, ,
	d s ^ { 2 } = - r ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac { 1 } { V ( r ) } d r ^ { 2 } + V ( r ) d \phi ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } ( d \theta ^ { i } ) ^ { 2 } .
	L \{ { \bf E } , { \bf B } \} = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } x \left( { \bf E } ^ { 2 } - c ^ { 2 } { \bf B } ^ { 2 } \right)
	P _ { A B C D } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \epsilon _ { A B C D E F G H } \bar { P } ^ { E F G H } \ .
	\partial _ { t } B _ { m } = 2 A _ { m } , \quad \partial _ { t } C _ { m } = 2 u A _ { m } , \quad \partial _ { t } A _ { m } = - 2 y ^ { 2 } B _ { m } + 2 u C _ { m } - 2 R _ { m } ( u ) .
	d \omega = \mp \beta \omega ^ { 2 } \sqrt { \alpha ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } d \xi ,
	{ \cal E } _ { 0 } ( \beta _ { 1 i j ^ { \prime } } ) = 5 ~ , ~ ~ ~ { \cal E } _ { 0 } ( \bar { \beta } _ { 1 i j ^ { \prime } } ) = 7 ~ .
	S = - \frac { 1 } { 2 } \int d \tau d \sigma T ( \sigma ) \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X _ { \mu } ,
	\gamma ^ { 0 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { \sigma _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { 3 } } \\ \end{array} \right) \ , \quad \gamma ^ { 1 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { i \sigma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma _ { 1 } } \\ \end{array} \right) \ , \quad \gamma ^ { 2 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { i \sigma _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma _ { 2 } } \\ \end{array} \right) ~ .
	0 = \pi _ { 1 } ( M _ { 0 } ) \rightarrow \pi _ { 1 } ( M _ { 0 } / H ) \rightarrow \pi _ { 0 } ( H ) \rightarrow \pi _ { 0 } ( M _ { 0 } ) = 0 .
	{ \frac { f ( \xi ) } { 3 ( 1 + \xi ) } } = - { \frac { \xi g ( \xi ) } { 3 ( 1 + \xi ) } } \equiv h ( \xi ) \; .
	[ { \mit \Psi } ( u , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) , { \mit \Psi } ^ { \dagger } ( u , x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } , p ^ { \prime \prime } ) ] = \delta ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) \, \delta ( y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } ) \, \delta ( p ^ { \prime } - p ^ { \prime \prime } ) ,
	\chi = 4 + 2 ( h ^ { 1 , 1 } + h ^ { 1 , 3 } ) + h ^ { 2 , 2 } - 4 h ^ { 1 , 2 } .
	{ \nabla } ^ { 2 } l n { \rho } _ { \pm } = { \pm } { \frac { 4 } { \kappa } } { \rho } _ { \pm } ,
	q _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i = j ~ } } \\ { q , } & { \mathrm { ~ i > j ~ } } \\ { q ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i < j ~ } } \\ \end{array} \right.
	S _ { t _ { \mu } + \frac { 2 \pi } { e L _ { \mu } } m _ { \mu } } ( x ) = e ^ { \frac { 2 \pi i } { L _ { 1 } } m _ { 1 } x _ { 1 } + \frac { 2 \pi i } { L _ { 2 } } m _ { 2 } x _ { 2 } } S _ { t } ( x ) ,
	a _ { + } ^ { 2 } \xi _ { z } ^ { + } \equiv a _ { - } ^ { 2 } \xi _ { z } ^ { - } \equiv \xi
	[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { * 2 } } } + k ^ { 2 } ] H _ { k } ^ { O U T } ( r ^ { * } ) = 0 .
	K ^ { a } = J ^ { a b } \frac { \delta h } { \delta u ^ { b } } .
	( H - p _ { 1 0 } ) ^ { \prime } = \frac { R _ { 1 0 } ^ { \prime } } { R _ { 1 0 } } ( H - p _ { 1 0 } ) = M R _ { 1 0 } ^ { \prime } { \cal H } \ .
	G ( \widetilde { q } , q , t ) = F ( q , \widetilde { q } , t ) ^ { \dagger } .
	\Omega = \Omega _ { \gamma } + \Omega _ { \gamma ^ { \perp } } ~ .
	\delta G + \delta \hat { F } = P _ { 1 } \left( \delta \theta \right) + P _ { 2 } \left( \theta \delta \theta \right) ,
	T \rightarrow T _ { 0 } + { \delta } T
	\| \tilde { Z } _ { 1 , 2 } \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 } \left[ \tilde { \cal Q } ^ { 2 } + \tilde { \cal P } ^ { 2 } \pm 2 \left( \tilde { \cal Q } ^ { 2 } \tilde { \cal P } ^ { 2 } - ( \tilde { \cal Q } \tilde { \cal P } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] \ ,
	\epsilon _ { 0 } = \frac { 1 } { 8 r ^ { 2 } } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { K = 1 } ^ { \infty } c _ { K } g ^ { K } ( r ^ { 2 } ) ^ { 2 K }
	V ^ { \dagger } \, \Upsilon _ { l \, m } ^ { \pm } = \frac 1 { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { c } { \sqrt { \frac { l + m } { 2 l } } \, Y _ { l ^ { - } m ^ { - } } \pm \sqrt { \frac { l - m + 1 } { 2 l + 2 } } \, Y _ { l ^ { + } m ^ { - } } } \\ { \sqrt { \frac { l - m } { 2 l } } \, Y _ { l ^ { - } m ^ { + } } \mp \sqrt { \frac { l + m + 1 } { 2 l + 2 } } \, Y _ { l ^ { + } m ^ { + } } } \\ \end{array} \right) = \frac 1 { \sqrt 2 } \left( \Omega _ { l , \, l ^ { - } , \, m } \mp \Omega _ { l , \, l ^ { + } , \, m } \right) .
	D _ { 1 } \delta _ { a , b } \delta _ { c d } C _ { b c } + D _ { 2 } \delta _ { a , d } \delta _ { b , c } C _ { a b }
	\langle \, T _ { -- } \, \rangle = - \, \frac { 1 } { 2 4 \pi } \, \{ z ^ { + } \, , \: z ^ { - } \} _ { S } = - \, \frac { \gamma } { 2 4 \pi } \, ( \frac { \partial _ { - } ^ { 2 } z ^ { + } } { \partial _ { - } z ^ { + } } ) ^ { 2 } \, .
	D _ { - } A ^ { - } = \frac { 1 } { D _ { - } } [ ( \kappa - D _ { 2 } ) D _ { - } A ^ { \perp } + 2 g \bar { \Psi } \gamma ^ { + } \Psi ] \, .
	\begin{array} { l l } { \alpha ^ { + } = e ^ { - \phi } ( - y ^ { 2 } d x + d y ) \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { + } = e ^ { \bar { \phi } } d \bar { x } } \\ { \alpha ^ { - } = e ^ { \phi } d x \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { - } = e ^ { - \bar { \phi } } ( - \bar { y } ^ { 2 } d \bar { x } + d \bar { y } ) } \\ { \alpha ^ { 3 } = - 2 y d x + d \phi \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { 3 } = 2 \bar { y } d \bar { x } - d \bar { \phi } . } \\ \end{array}
	t \left( a , \Theta \right) \rightarrow t \left( a ^ { ^ { \prime \prime } } , \Theta ^ { ^ { \prime \prime } } \right) = h ^ { - 1 } t \left( b , \kappa \right) \, t \left( a , \Theta \right) ,
	\beta ( Q ^ { 2 } ) = Q ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \frac { d s } { ( s + Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \beta _ { s } ( s ) \, .
	d \Omega _ { ( p - k , k ) } ^ { \alpha _ { p } } + s \Omega _ { ( p - k + 1 , k - 1 ) } ^ { \alpha _ { p } } = 0 ,
	\phi _ { k } : = \langle \chi _ { k } \rangle = \frac { \delta W _ { k } } { \delta j } ,
	\tilde { F } _ { l } , \tilde { G } _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { - i k ^ { \prime } A _ { F , G } j _ { l } ( k ^ { \prime } r ) j _ { l } ( k ^ { \prime } r ^ { \prime } ) , } & { r , r ^ { \prime } < a } \\ { - i k B _ { F , G } h _ { l } ( k r ) h _ { l } ( k r ^ { \prime } ) , } & { r , r ^ { \prime } > a } \\ \end{array} \right.
	S = - \frac { Q ^ { 2 } } { { ( 4 \pi ) } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 8 } z V D ^ { \alpha } \bar { D } ^ { 2 } D _ { \alpha } \Box V

e ^ { - \beta { \cal F } ( \beta ) } = \mathrm { T r } ( e ^ { - \beta \hat { H } } ) ~ ~ ~ ,

\begin{array} { l l } { \Gamma ^ { + } \theta = 0 , \qquad } & { x ^ { + } = \tau p ^ { + } , } \\ { e = 1 , \qquad } & { \Lambda ^ { i } = 0 , } \\ { A ^ { 2 } = 1 , \qquad } & { A ^ { i } = 0 , } \\ { B ^ { 2 } = 1 , \qquad } & { B ^ { i } = 0 , } \\ \end{array}

\ell \sigma n _ { D } \sim \sigma N _ { D } / \ell ^ { 2 } \ll 1 .

D = \left( \begin{array} { c c } { I _ { N \times N } } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { N + 1 } } \\ \end{array} \right) .

\widetilde { \eta } _ { ( s ) } ^ { N } = \widetilde { \eta } _ { ( s ) } ^ { ( n , m ) } = H _ { p q } ^ { N } \: \eta _ { ( s ) } ^ { p } \otimes \kappa ^ { q } \; \; \; \; \; H ^ { N } = \sigma _ { 2 } H _ { N } ^ { * } \sigma _ { 2 }

N _ { 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{matrix} { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{matrix} \right) , \qquad N _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{matrix} { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{matrix} \right) ,

\ \Lambda = - \int _ { x ^ { \prime } } ^ { x } \left( A _ { \mu } ^ { E } + A _ { \mu } ^ { H } \right) d x ^ { \mu } .

\left\{ \mu ^ { - 1 } \left( - \sqrt { - 1 } c ^ { 2 } \right) \cap \mathcal { S } \right\} / \mathcal { G } \, .

1 = \bar { u } _ { + i } \gamma _ { + } u _ { + i } = \bar { u } _ { - i } \gamma _ { - } u _ { - i } = 2 \bar { u } _ { + - } u _ { -- } = - 2 \bar { u } _ { + + } u _ { - + } = - 2 \bar { u } _ { - + } u _ { + + } = 2 \bar { u } _ { -- } u _ { + - }

\gamma ^ { a } \hat { \nabla } _ { a } \epsilon = 0 ,

D \Psi ^ { - b } + 2 D \Phi _ { 1 } \Psi ^ { - b } = \mu _ { b } , \qquad \bar { D } \bar { \Psi } ^ { + b } + 2 \bar { D } \Phi _ { 1 } \bar { \Psi } ^ { + b } = \nu _ { b } .

{ \cal J } _ { i } ^ { 0 } \equiv - \frac \partial { \partial x } \Phi ^ { i } - 2 \varepsilon ^ { i j k } \Phi ^ { j } \Pi _ { k } = - \sqrt { 1 - { \varphi } ^ { 2 } } \; \varpi _ { i } - \varepsilon ^ { i j k } \varphi ^ { j } \varpi _ { k } \equiv J _ { i } ^ { 0 } .

\frac { 1 6 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { ( d - 1 ) ^ { 2 } L _ { p } ^ { 2 ( 3 - d ) } } < 1 ,

G = ^ { * } R _ { \mu \nu \rho \sigma } { } ^ { * } R ^ { \mu \nu \rho \sigma }

J _ { a } = - \frac { i } { 2 } ( \sigma _ { a } ) _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \pi ^ { \beta } + i \xi _ { a } p _ { z } - \frac { s } { 2 } \partial \xi _ { a } - i \bar { \xi } _ { a } p _ { \bar { z } } - \frac { s } { 2 } \bar { \partial } \bar { \xi } _ { a } \; .

\Lambda _ { N } \mid _ { \partial D } ( \theta ) = e ^ { i N \theta } , N \in { \bf Z - \{ } 0 { \bf \} . }

\left( \frac { \partial { \it L } } { \partial ( \partial _ { \alpha } \phi _ { a } ( x ) ) } \right) ( x ) | _ { x \epsilon \partial \Sigma } = 0 ,

D _ { \alpha } D _ { \alpha } \phi = - 2 ( m ^ { 2 } - \phi \phi ^ { \dagger } ) \phi .

S _ { E } = - \frac { \Lambda } { 8 \pi G _ { d } } V _ { d } ( M ) ,

( L _ { \beta } ^ { A } ) = \left( \begin{array} { c c c } { \nu _ { e } } & { e _ { L } } & { e _ { R } } \\ { \nu _ { \mu } } & { \mu _ { L } } & { \mu _ { R } } \\ { \nu _ { \tau } } & { \tau _ { L } } & { \tau _ { R } } \\ \end{array} \right) ~ .

\mathcal { C } ( \{ \lambda _ { k } \} ) ~ = ~ \left( \begin{array} { l l l l } { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) 1 } & { ( 1 + \lambda _ { 2 } ) 1 } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { N } ) 1 } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) 1 } & { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) 1 } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { N } ) 1 } \\ { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { ( 1 + \lambda _ { 2 } ) \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { 2 } } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { 2 } } \\ { \ \ \ \ \ \ \vdots } & { \ \ \ \ \ \ \vdots } & { } & { \ \ \ \ \ \ \vdots } \\ { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { N - 2 } } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 2 } ^ { N - 2 } } & { \cdots } & { ( 1 + \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { N - 2 } } \\ { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 1 } ^ { N - 2 } } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { 2 } ^ { N - 2 } } & { \cdots } & { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \lambda _ { N } ^ { N - 2 } } \\ \end{array} \right) ~ .

\phi ^ { ( e ) } \colon \bigotimes _ { f \in e _ { + } } \rho _ { f } \to \bigotimes _ { f \in e _ { - } } \rho _ { f } .

{ \frac { 1 } { g _ { 4 } ( \Lambda ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 } ^ { \ast } } } < 0 ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ( \mu ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ^ { \ast } } } < 0 ~ .

{ A _ { T , i } ^ { a } } { ( x ) } = ( { \delta _ { i j } } - \frac { \partial _ { i } \partial _ { j } } { \nabla ^ { 2 } } ) { A _ { j } ^ { a } } { ( x ) }

\nu = - \beta \, , \ \ \ \ ( \beta - 1 ) ( R + \bar { q } ) = 0 \, , \ \ \ \, b e t a + \delta = \bar { q } \, \overline { { R } } \, ,

\xi ^ { - 1 } ( x ) = \int { \frac { d ^ { D } k } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } e ^ { i k x } \xi ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) , \quad \xi ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) = \int d ^ { D } x e ^ { - i k x } \xi ^ { - 1 } ( x ) ,

\tilde { \gamma } _ { b } ^ { \alpha \beta } m ^ { b a } E _ { a } ^ { \underline { \beta } } v _ { \underline { \beta } , \beta q } = 0 = \tilde { \gamma } _ { b } ^ { \alpha \beta } m ^ { b a } \nabla _ { \beta q } E _ { a } ^ { \underline { b } } u _ { \underline { b } } ^ { ~ i } ,

S ^ { \mu \nu } ( P + P _ { - } ) _ { \nu } = 0

\mathrm { t r } ( t _ { a } t _ { b } t _ { c } ) = \frac { 1 } { 2 } ( T _ { b } ) _ { a c }

\frac { d x _ { i } } { d s } = \left[ H , x _ { i } \right] = - 2 i \Pi _ { i } \mathbf { \ , \ } \frac { d \Pi _ { i } } { d s } = \left[ H , \Pi _ { i } \right] = - 2 i e F _ { i j } \Pi _ { j } \ ,

\tau _ { 2 } ( a ^ { 0 } , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) = 2 \pi i \sum _ { n _ { 0 } + n _ { 1 } + n _ { 2 } = 0 \atop m _ { 0 } + m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } ( n _ { 1 } m _ { 2 } - n _ { 2 } m _ { 1 } ) \, a _ { n _ { 0 } , m _ { 0 } } ^ { 0 } a _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } } ^ { 1 } a _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } ^ { 2 } \, .

\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q \; q ^ { 4 } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - q - \theta } } \left[ \mathrm { e } ^ { 2 q t _ { 1 } - q - \theta } - \mathrm { e } ^ { - 2 q t _ { 1 } } \right] = 0 \; .

S _ { - } ^ { \alpha \beta } ( x ) = \epsilon _ { A B } \psi _ { A } ^ { \alpha } ( x ) \psi _ { B } ^ { \beta } ( x ) = ( S _ { + } ^ { \beta \alpha } ( x ) ) ^ { \dagger } ~ ~ ,

D _ { L ( R ) } \phi _ { L ( R ) } ^ { A } = d \phi _ { L ( R ) } ^ { A } - \epsilon ^ { A B C } \omega _ { L ( R ) } ^ { B } \phi _ { L ( R ) } ^ { C } .

\mu ( z ) = \frac { w _ { \bar { z } } } { w _ { z } } \mathrm { ~ . } \tag { 6 . 1 1 }

h _ { \mu \nu } ~ = ~ g _ { \mu \nu } - \eta _ { \mu \nu } ~ , \qquad \mathrm { a n d } \qquad h ~ = ~ \eta ^ { \mu \nu } h _ { \mu \nu } ~ .

[ \Gamma _ { q _ { 0 } } ] ^ { - 1 } = [ \Gamma _ { q _ { 0 } } ^ { - 1 } ] ,

\{ \phi _ { r } \, , \phi _ { s } \} = c _ { \ r s } ^ { q } \, \phi _ { q } \, .

\Bigr [ A _ { l } j _ { l } ( k r ) + B _ { l } n _ { l } ( k r ) \Bigr ] _ { \partial M } = 0 ,

d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) d { \vec { x } } ^ { 2 } \ ,

V ( u , v ) = < \lambda , \omega : g ( u , v ) : \lambda , - \omega > ,

\sigma ( { \cal M } _ { 4 } ) = - \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { 4 } } R _ { b } ^ { a } \wedge R _ { a } ^ { b } .

Z ( g ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } z _ { n } g ^ { n } \ .

{ \cal L } _ { 3 } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 6 m _ { e } ^ { 4 } } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac { 7 \alpha ^ { 2 } } { 9 0 m _ { e } ^ { 4 } } F _ { \mu \nu } F _ { \sigma \tau } F ^ { \mu \sigma } F ^ { \nu \tau } ,

b _ { i } = E ( x _ { i } + \delta ) - E ( x ) , \; \; \; \; \; \; a _ { i , j } = E ( x _ { i } + \delta , x _ { j } + \delta ) - E ( x ) - b _ { i } - b _ { j }

\int _ { \gamma } { \frac { d x } { \sqrt { P _ { 2 g + 2 } ( x ) } ( x - \lambda _ { m } ) } } = { \frac { 1 } { \hat { P } _ { 2 g + 1 } ^ { ( m ) } ( \lambda _ { m } ) } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 g } a _ { i } ( \lambda ) K _ { i } ( \lambda ) ,

\partial _ { + 2 } \psi _ { + } ^ { m } = ( e _ { + 2 } + f _ { + 2 } ) \psi _ { + } ^ { m } + d _ { + } \lambda _ { + } \sigma ^ { m } \lambda _ { + } , \ \partial _ { - 2 } \psi _ { - } ^ { m } = ( e _ { - 2 } + f _ { - 2 } ) \psi _ { - } ^ { m } + d _ { - } \lambda _ { - } \sigma ^ { m } \lambda _ { - } .

R _ { M N P Q } ^ { ( 5 ) } = - { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } ( g _ { M P } ^ { ( 5 ) } g _ { N Q } ^ { ( 5 ) } - g _ { M Q } ^ { ( 5 ) } g _ { N P } ^ { ( 5 ) } ) ,

Q [ K _ { 1 } Q K _ { 2 } - K _ { 2 } Q K _ { 1 } ] Q = [ u _ { 1 } d _ { 2 } - u _ { 2 } d _ { 1 } ] \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { u _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } & { 0 } \\ \end{array} \right)

\frac { \langle R ^ { 2 } \rangle - \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } { \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } \sim ( g N { \cal H } _ { 4 } ^ { - 1 / 4 } ) ^ { 2 / ( 3 - p ) } f _ { p + 4 } ^ { 2 } ,

\int _ { { \cal { C } } _ { i } } { \nu } = \int _ { X } { \omega _ { i } \wedge \nu }

d s ^ { 2 } = H ^ { - 1 / 2 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { \parallel } ^ { 2 } ) + H ^ { 1 / 2 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } ) ,

\left\langle 0 \right| F _ { n } ^ { 1 2 } ( t ) F _ { n ^ { \prime } } ^ { 1 2 } ( t ^ { \prime } ) \left| 0 \right\rangle = \frac { 1 } { t } \delta _ { n , - n ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) .

\lambda _ { 2 } ^ { l o c . } ( a ) = \sum _ { j } \lambda _ { 2 } ^ { ( 2 j ) } ( a ) ( g _ { a } ^ { \mu \nu } p _ { \nu } ) ^ { j }

\left( e _ { 0 } \wedge e _ { 9 } \right) \cdot \varepsilon = \varepsilon ~ ,

g _ { -- } = g _ { - i } = 0 , \ \ \ g _ { - + } = e ^ { \psi / 2 } .

{ \partial ^ { + + } } ^ { 2 } { \bar { G } } ^ { -- } - 2 { \xi ^ { + + } } ^ { 2 } { \bar { G } } ^ { -- } e ^ { 2 \lambda \omega } = 0 \,

c h a n g e d - \frac { b _ { 0 } + \tilde { b } _ { 0 } } { L _ { 0 } + \tilde { L } _ { 0 } }

\left( 1 + N e ^ { 2 \phi } \right) \partial ^ { 2 } \rho - \partial ^ { 2 } \phi + ( \partial \phi ) ^ { 2 } + \Lambda e ^ { 2 \rho } = 0 ;

\frac { r } { 2 } < s < \frac { r } { \sqrt { 3 } }

\delta _ { \alpha } X ^ { M } = \alpha X ^ { M } , \quad \delta _ { \alpha } e = 4 \alpha e , \quad \delta _ { \alpha } K = - 2 \alpha K + \left\{ X ^ { M } , \frac 1 e \left\{ \alpha , X _ { M } \right\} \right\}

A \rightarrow A - P D ( V ) , \ \ \ C \rightarrow C + d P D ( V ) ,

\sigma _ { P } \lambda = - \lambda \sigma _ { P } = \frac { 1 } { 2 } \, \vec { \sigma } \cdot ( \vec { P } \times \vec { L } - \vec { L } \times \vec { P } ) - \frac { i \mu } { r } \lambda P _ { 5 }

[ A , \Phi ] = [ A , \Phi ^ { \prime } ] = [ D , \Phi ] = [ D , \Phi ^ { \prime } ] = 0 \, ,

d s ^ { 2 } = - r ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac { 1 } { V ( r ) } d r ^ { 2 } + V ( r ) d \phi ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } ( d \theta ^ { i } ) ^ { 2 } .

L \{ { \bf E } , { \bf B } \} = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } x \left( { \bf E } ^ { 2 } - c ^ { 2 } { \bf B } ^ { 2 } \right)

P _ { A B C D } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \epsilon _ { A B C D E F G H } \bar { P } ^ { E F G H } \ .

\partial _ { t } B _ { m } = 2 A _ { m } , \quad \partial _ { t } C _ { m } = 2 u A _ { m } , \quad \partial _ { t } A _ { m } = - 2 y ^ { 2 } B _ { m } + 2 u C _ { m } - 2 R _ { m } ( u ) .

d \omega = \mp \beta \omega ^ { 2 } \sqrt { \alpha ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } d \xi ,

{ \cal E } _ { 0 } ( \beta _ { 1 i j ^ { \prime } } ) = 5 ~ , ~ ~ ~ { \cal E } _ { 0 } ( \bar { \beta } _ { 1 i j ^ { \prime } } ) = 7 ~ .

S = - \frac { 1 } { 2 } \int d \tau d \sigma T ( \sigma ) \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X _ { \mu } ,

\gamma ^ { 0 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { \sigma _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { 3 } } \\ \end{array} \right) \ , \quad \gamma ^ { 1 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { i \sigma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma _ { 1 } } \\ \end{array} \right) \ , \quad \gamma ^ { 2 } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { i \sigma _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma _ { 2 } } \\ \end{array} \right) ~ .

0 = \pi _ { 1 } ( M _ { 0 } ) \rightarrow \pi _ { 1 } ( M _ { 0 } / H ) \rightarrow \pi _ { 0 } ( H ) \rightarrow \pi _ { 0 } ( M _ { 0 } ) = 0 .

{ \frac { f ( \xi ) } { 3 ( 1 + \xi ) } } = - { \frac { \xi g ( \xi ) } { 3 ( 1 + \xi ) } } \equiv h ( \xi ) \; .

[ { \mit \Psi } ( u , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) , { \mit \Psi } ^ { \dagger } ( u , x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } , p ^ { \prime \prime } ) ] = \delta ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) \, \delta ( y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } ) \, \delta ( p ^ { \prime } - p ^ { \prime \prime } ) ,

\chi = 4 + 2 ( h ^ { 1 , 1 } + h ^ { 1 , 3 } ) + h ^ { 2 , 2 } - 4 h ^ { 1 , 2 } .

{ \nabla } ^ { 2 } l n { \rho } _ { \pm } = { \pm } { \frac { 4 } { \kappa } } { \rho } _ { \pm } ,

q _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i = j ~ } } \\ { q , } & { \mathrm { ~ i > j ~ } } \\ { q ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i < j ~ } } \\ \end{array} \right.

S _ { t _ { \mu } + \frac { 2 \pi } { e L _ { \mu } } m _ { \mu } } ( x ) = e ^ { \frac { 2 \pi i } { L _ { 1 } } m _ { 1 } x _ { 1 } + \frac { 2 \pi i } { L _ { 2 } } m _ { 2 } x _ { 2 } } S _ { t } ( x ) ,

a _ { + } ^ { 2 } \xi _ { z } ^ { + } \equiv a _ { - } ^ { 2 } \xi _ { z } ^ { - } \equiv \xi

[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { * 2 } } } + k ^ { 2 } ] H _ { k } ^ { O U T } ( r ^ { * } ) = 0 .

K ^ { a } = J ^ { a b } \frac { \delta h } { \delta u ^ { b } } .

( H - p _ { 1 0 } ) ^ { \prime } = \frac { R _ { 1 0 } ^ { \prime } } { R _ { 1 0 } } ( H - p _ { 1 0 } ) = M R _ { 1 0 } ^ { \prime } { \cal H } \ .

G ( \widetilde { q } , q , t ) = F ( q , \widetilde { q } , t ) ^ { \dagger } .

\Omega = \Omega _ { \gamma } + \Omega _ { \gamma ^ { \perp } } ~ .

\delta G + \delta \hat { F } = P _ { 1 } \left( \delta \theta \right) + P _ { 2 } \left( \theta \delta \theta \right) ,

T \rightarrow T _ { 0 } + { \delta } T

| \tilde { Z } _ { 1 , 2 } | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 } \left[ \tilde { \cal Q } ^ { 2 } + \tilde { \cal P } ^ { 2 } \pm 2 \left( \tilde { \cal Q } ^ { 2 } \tilde { \cal P } ^ { 2 } - ( \tilde { \cal Q } \tilde { \cal P } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] \ ,

\epsilon _ { 0 } = \frac { 1 } { 8 r ^ { 2 } } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { K = 1 } ^ { \infty } c _ { K } g ^ { K } ( r ^ { 2 } ) ^ { 2 K }

V ^ { \dagger } \, \Upsilon _ { l \, m } ^ { \pm } = \frac 1 { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { c } { \sqrt { \frac { l + m } { 2 l } } \, Y _ { l ^ { - } m ^ { - } } \pm \sqrt { \frac { l - m + 1 } { 2 l + 2 } } \, Y _ { l ^ { + } m ^ { - } } } \\ { \sqrt { \frac { l - m } { 2 l } } \, Y _ { l ^ { - } m ^ { + } } \mp \sqrt { \frac { l + m + 1 } { 2 l + 2 } } \, Y _ { l ^ { + } m ^ { + } } } \\ \end{array} \right) = \frac 1 { \sqrt 2 } \left( \Omega _ { l , \, l ^ { - } , \, m } \mp \Omega _ { l , \, l ^ { + } , \, m } \right) .

D _ { 1 } \delta _ { a , b } \delta _ { c d } C _ { b c } + D _ { 2 } \delta _ { a , d } \delta _ { b , c } C _ { a b }

\langle \, T _ { -- } \, \rangle = - \, \frac { 1 } { 2 4 \pi } \, \{ z ^ { + } \, , \: z ^ { - } \} _ { S } = - \, \frac { \gamma } { 2 4 \pi } \, ( \frac { \partial _ { - } ^ { 2 } z ^ { + } } { \partial _ { - } z ^ { + } } ) ^ { 2 } \, .

D _ { - } A ^ { - } = \frac { 1 } { D _ { - } } [ ( \kappa - D _ { 2 } ) D _ { - } A ^ { \perp } + 2 g \bar { \Psi } \gamma ^ { + } \Psi ] \, .

\begin{array} { l l } { \alpha ^ { + } = e ^ { - \phi } ( - y ^ { 2 } d x + d y ) \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { + } = e ^ { \bar { \phi } } d \bar { x } } \\ { \alpha ^ { - } = e ^ { \phi } d x \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { - } = e ^ { - \bar { \phi } } ( - \bar { y } ^ { 2 } d \bar { x } + d \bar { y } ) } \\ { \alpha ^ { 3 } = - 2 y d x + d \phi \ } & { \ \bar { \alpha } ^ { 3 } = 2 \bar { y } d \bar { x } - d \bar { \phi } . } \\ \end{array}

t \left( a , \Theta \right) \rightarrow t \left( a ^ { ^ { \prime \prime } } , \Theta ^ { ^ { \prime \prime } } \right) = h ^ { - 1 } t \left( b , \kappa \right) \, t \left( a , \Theta \right) ,

\beta ( Q ^ { 2 } ) = Q ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \frac { d s } { ( s + Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \beta _ { s } ( s ) \, .

d \Omega _ { ( p - k , k ) } ^ { \alpha _ { p } } + s \Omega _ { ( p - k + 1 , k - 1 ) } ^ { \alpha _ { p } } = 0 ,

\phi _ { k } : = \langle \chi _ { k } \rangle = \frac { \delta W _ { k } } { \delta j } ,

\tilde { F } _ { l } , \tilde { G } _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { - i k ^ { \prime } A _ { F , G } j _ { l } ( k ^ { \prime } r ) j _ { l } ( k ^ { \prime } r ^ { \prime } ) , } & { r , r ^ { \prime } < a } \\ { - i k B _ { F , G } h _ { l } ( k r ) h _ { l } ( k r ^ { \prime } ) , } & { r , r ^ { \prime } > a } \\ \end{array} \right.

S = - \frac { Q ^ { 2 } } { { ( 4 \pi ) } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 8 } z V D ^ { \alpha } \bar { D } ^ { 2 } D _ { \alpha } \Box V