v1v1d/Latexify_v1_clean · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 43 1.19k	text stringlengths 25 1.67k
	\hat { H } _ { 0 } \; \vert p _ { j } \rangle = M _ { j } \; \vert p _ { j } \rangle \; , \; \; j = 1 , 2 \; .
	\beta _ { 0 0 } = \sum _ { \rho = 0 } ^ { N } \frac { \left( \eta _ { 0 \rho } \right) ^ { 2 } } { 4 } \left[ \left( \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } - \frac { \Omega _ { \rho } } { \omega } \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega _ { \rho } t } + \left( \frac { \Omega _ { \rho } } { \tilde { \omega } } - \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } \right) \mathrm { e } ^ { - i \Omega _ { \rho } t } \right] \; .
	\{ Q , Q ^ { + } \} = H _ { S S } , \qquad [ Q , H _ { S S } ] = 0 , \qquad [ Q ^ { + } , H _ { S S } ] = 0 , \; \; \; \; Q ^ { 2 } = { Q ^ { + } } ^ { 2 } = 0
	\overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) = \overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) _ { \cal X } + \overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) _ { \overline { { \cal Y } } } \; ,
	\sigma _ { n } ^ { x } \sigma _ { n + 1 } ^ { x } - \sigma _ { n } ^ { y } \sigma _ { n + 1 } ^ { y } \propto V _ { 2 , 0 } ^ { ( + ) }
	A _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 m } \epsilon _ { \mu \nu \rho } F ^ { \nu \rho } .
	( M ^ { 3 } ) ^ { [ I \| J ] } = \frac { 1 } { 2 } ( M ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 5 d + 8 ) M ^ { I J }
	\int _ { \Sigma } F \wedge \bar { G } = \sum _ { m } \int _ { \sigma _ { m } } F \wedge d \Psi _ { m } = \sum _ { m } \int _ { \partial \sigma _ { m } } F \wedge \Psi _ { m } .
	i \hbar \dot { \bar { \zeta } } = ( \ _ { q } < T _ { i } ^ { - } T _ { i } ^ { + } > _ { q } - \ _ { q } < T _ { i } ^ { - } > _ { q } \ _ { q } < T _ { i } ^ { + } > _ { q } ) ^ { - 1 } \partial _ { \zeta } { \cal H } .
	\Gamma = { \frac { G } { T } } = - S + { \frac { M } { T } } - N ^ { a } { \frac { \mu _ { a } } { T } } \ .
	R _ { 1 } ^ { \prime } + ( \frac { 4 } { r } + \frac { f ^ { \prime } } { f } - \phi ^ { \prime } ) R _ { 1 } = - 2 ( \Lambda - \Lambda _ { \phi } ) \phi ^ { \prime } \; .
	{ \frac { d \phi _ { p } } { d t } } \longrightarrow - i p \phi _ { p } , \ p \rightarrow \infty .
	x _ { 0 } ( u + 2 \omega _ { 1 } , w ) = x _ { 0 } ( u , w ) .
	J _ { 0 } = \tilde { Q } _ { 0 } - \frac { \tilde { c } } { 2 4 } = \frac { { \cal A } } { 8 \pi G } \frac { \kappa } { \alpha + \Omega } .
	I _ { 0 } ^ { ( 2 n ) } = \frac { l } { d - 2 n } F _ { 2 n } [ \gamma ] .
	\partial _ { i } c ( g ) = - { \cal G } _ { i j } \beta ^ { j } ( g ) \quad ,
	T _ { M N } ^ { ( F ) } = { \frac { 1 } { 2 d ! } } ( F _ { M M _ { 1 } \ldots M _ { d } } F _ { N } ^ { M _ { 1 } \ldots M _ { d } } - { \frac { 1 } { 2 ( d + 1 ) } } g _ { M N } F ^ { 2 } ) e ^ { - \alpha \phi }
	\mathrm { R e s } _ { s = 1 / 2 - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k - 1 / 2 } = \frac { ( 2 k - 1 ) ! ! \, q ^ { k } } { k ! \, 2 ^ { k } } , \, m b o x { R e s } _ { s = - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k } = 0 , \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots ,
	\epsilon ^ { 0 } = \partial _ { + } \phi u ( z ^ { + } ) + T _ { 0 } \partial _ { + } u ( z ^ { + } )
	{ R _ { i } } ^ { k } = - { \delta _ { i } } ^ { k } \left[ { \frac { 1 } { R } } ~ { \frac { d ^ { 2 } R } { d t ^ { 2 } } } + { \frac { D - 2 } { R ^ { 2 } } } \left( { \frac { d R } { d t } } \right) ^ { 2 } \right]
	\delta ( D ^ { i } ) ^ { \beta \gamma } = n _ { \rho \sigma } ^ { \beta \gamma } ~ ( D ^ { i } ) ^ { \rho \sigma }
	m _ { 1 } = { \frac { < 1 \| { \cal N } _ { M } [ H ] \| 1 > } { < 1 \| 1 > } } - \int _ { x } { \cal V } ( \varphi _ { 0 } ) = \sqrt { p ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ( \varphi _ { 0 } ) } \; ,
	( \Psi _ { 0 } ^ { \prime } , r ^ { \kappa } Q _ { \hat { \beta } } ^ { ( 1 ) } r ^ { - \kappa } \Psi _ { 0 } ) = 0 \quad .
	d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 k \| y \| } \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + d y ^ { 2 } ,
	2 N - 2 + \left( \frac { n } { 2 R } - R m \right) ^ { 2 } = 2 \tilde { N } - 2 + \left( \frac { n } { 2 R } + R m \right) ^ { 2 } = 0 .
	\frac { d A _ { 0 } } { d r } = \{ A _ { 0 } , A _ { 1 } \} _ { - } ,
	{ \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d \rho ^ { 2 } } } + { \frac { 3 } { \rho } } { \frac { d \varphi } { d \rho } } = { \frac { d U ( \varphi ) } { d \varphi } } ,
	S _ { f , m } ( n _ { m } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \, \eta .
	( \phi ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( \phi ^ { N + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } .
	[ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] = - S _ { 3 } \, , \qquad [ S _ { 2 } , S _ { 3 } ] = S _ { 1 } \, , \qquad [ S _ { 3 } , S _ { 1 } ] = S _ { 2 } \, ,
	k _ { \alpha } k _ { \beta } \bar { \Pi } ^ { \mu \nu , \alpha \beta } \left( k \right) = - \frac { \kappa ^ { 2 } } 4 k ^ { 2 } T _ { \left( 0 \right) } ^ { \mu \nu } ,
	\begin{array} { c } { { \cal L } = < \Psi , \not \! \partial _ { 1 , 9 } \Psi > } \\ { = < \rho _ { + } \Psi + \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { + } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { - } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { - } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { + } \Psi ) > } \\ { = < \rho _ { + } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { + } \Psi ) > + < \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { - } \Psi ) > } \\ { + < \rho _ { + } \Psi , { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { - } \Psi ) > + < \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { + } \Psi ) > } \\ \end{array}
	x p _ { n } = p _ { n + 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { 2 } } f _ { 3 j - 1 } ( n ) p _ { n + 1 - 3 j } ,
	\gamma _ { p q } ( \theta , \rho ) = \tilde { \gamma } _ { p q } ( \theta ) + \rho ^ { 2 } h _ { p q } ( \theta ) + O ( \rho ^ { 4 } ) ~ ~ ~ ,
	z _ { l } \pm i \gamma \qquad \mathrm { w i t h ~ r e s i d u e } \quad \mp i .
	S _ { \Omega ^ { \prime } , \Omega } x \Omega = x ^ { * } \Omega , \, \, x \in M
	\gamma = { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } , \quad \beta = { \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } .
	\int [ d \delta { \hat { g } } ] e ^ { - \| \delta { \hat { g } } \| ^ { 2 } / 2 } \equiv \prod _ { \sigma } \int [ d \delta { \hat { g } } ] _ { \sigma } e ^ { - \| \delta { \hat { g } } \| _ { \sigma } ^ { 2 } / 2 } = 1 = J _ { M } ( { \cal \phi } , { \hat { g } } ) \int [ d \delta { \cal \phi } ] _ { e ^ { \phi } { \hat { g } } } \int [ d \delta \eta ] _ { \hat { g } } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l e ^ { - \| \delta { \hat { g } } \| ^ { 2 } / 2 } \quad ,
	B = v ^ { 2 } \sum _ { n } { } ^ { \prime } \, \| n \rangle \langle n \| + { \frac { 1 } { \theta } } \displaystyle { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } } \, [ q _ { n } - q _ { n + 1 } - \theta v ^ { 2 } ( p - 1 ) ] \mid n p + m \, \rangle \langle \, n p + m \mid \, ,
	S _ { 0 } ^ { L } \left[ \varphi , \bar { \varphi } , A ^ { \mu } \right] = \int \mathrm { d }
	K ( x , y , t ) + 2 e ^ { - 8 t - x - y } + 2 \int _ { x } ^ { \infty } d z \, K ( x , z , t ) e ^ { - 8 t - y - z } = 0
	1 6 \pi ^ { 2 } A _ { 2 } = \int _ { M } b _ { 2 } \; d V + \int _ { \partial M } c _ { 2 } \; d \Sigma \; .
	{ \cal H } = { \cal H } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 ( g \chi ) ^ { 2 } } \left( G ^ { a } G ^ { a } - G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } G ^ { a } - G ^ { a } G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } \right) \ ,
	\left( h ( x ) n ^ { i } \; + \; f _ { j } ^ { i } ( x ) n ^ { j } \right) \ \nabla _ { i } \; \varphi ^ { r } \ = \ 0
	{ \cal S } _ { \infty } = \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { { \omega ^ { ( k + 3 ) } } ^ { k - 1 } \wedge \omega ^ { F _ { 0 } } } \right\} \wedge d y .
	\left\| \mu _ { j } ( w ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) \right\| ^ { 2 } = \frac { 2 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } w ^ { 2 } } { \sqrt { \lambda ( 1 , ( \frac { m _ { 1 } } { w } ) ^ { 2 } , ( \frac { m _ { 2 } } { w } ) ^ { 2 } ) } }
	\biggl [ { \frac { \delta W _ { T } [ \phi ; G ( k ) ] } { \delta G ( k ) } } \biggr ] _ { G ( k ) = D _ { T } ( \phi ; k ) } = 0 ~ ,
	\sqrt { \frac { \pi } { 2 } } ~ \omega ^ { 3 / 2 } ~ \frac { \alpha } { 2 } ~ = ~ K ~ E ~ .
	N _ { 1 } \sim \sigma , \quad N _ { 2 } \sim \sigma ^ { 3 } , \quad R ^ { 2 } \sim \sigma \quad \textrm { f o r } \quad \sigma \to \infty
	m _ { 2 } = 0 \ , \qquad ( e ^ { - 2 \phi } ) _ { \mathrm { f i x } } = \left\| { \frac { n _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \right\| = \left\| { \frac { \xi } { m } } \right\| = ( e ^ { - 2 \phi } ) _ { \mathrm { m i n } } \ , \qquad ( a ) _ { \mathrm { f i x } } = { \frac { n _ { 1 } } { m _ { 1 } } } = - { \frac { e } { m } } = ( a ) _ { \mathrm { m i n } } \ .
	( \mathrm { M a s s } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 6 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \hat { \alpha } ^ { a } ( I + L ) _ { a b } \hat { \alpha } ^ { b } = { \frac { 1 } { 8 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } ( \hat { \alpha } _ { R } ) ^ { 2 } ~ ,
	\{ x _ { 1 } , x _ { 2 } \} = \frac { \theta } { m ^ { * } } , \qquad \{ x _ { i } , p _ { j } \} = \frac { \delta _ { i j } } { m ^ { * } } , \qquad \{ p _ { 1 } , p _ { 2 } \} = \frac { B } { m ^ { * } } .
	\beta ^ { 2 } < 8 \pi \quad { \mathrm { a n d } } \quad \left\| \Re e \, a \beta \right\| < 4 \pi \, ,
	S _ { 1 } ( x _ { 1 } ) = \lambda + S _ { 1 } ( r ( \lambda ) ) ,
	g ^ { 1 } = g \otimes { \bf 1 } , \; \; \; g ^ { 2 } = { \bf 1 } \otimes g ,
	{ ( 2 + K ) W _ { 2 + K } ( x ) } = ( 2 + K ) { \sum _ { l = 0 } ^ { \left[ \frac { K + 2 } { 2 } \right] } \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { l ! } \times \frac { ( K + 1 - l ) ! } { ( K + 2 - 2 l ) ! } x ^ { K + 2 - 2 l } } \, .
	\begin{array} { l } { V _ { N L } = - \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } \partial _ { x } - 2 u \phi ( y _ { 3 } ) y _ { 1 } e ^ { 2 y _ { 2 } } \partial _ { u } + \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } y _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { y _ { 1 } } } \\ { \qquad \qquad + [ f _ { 2 } ( y _ { 3 } ) - y _ { 1 } \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } ] \partial _ { y _ { 2 } } + f _ { 3 } ( y _ { 3 } ) \partial _ { y _ { 3 } } . } \\ \end{array} \tag { 3 . 4 8 }
	\delta A \; \; = \; \; { \cal { Y } } _ { [ p , q ] } \circ \left( \, d \alpha ^ { p - 1 , q } + { \tilde { d } } { \tilde { \alpha } } ^ { p , q - 1 } \, \right)
	\frac { \tilde { E } _ { q n j } ^ { D } - E _ { q n j } ^ { D } } { E _ { q n j } ^ { D } } \sim \frac { ( R _ { 0 } / a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( \mu ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } } ,
	[ \delta _ { t } , I _ { a } \otimes 1 + ( 1 - t ) \; 1 \otimes i _ { a } ] = L _ { a } \otimes 1 + 1 \otimes { \cal L } _ { a }
	U ^ { T } ( \phi , \chi ) = U ( \phi , \chi ) + \frac { T ^ { 2 } } { 2 4 } ( U _ { \phi \phi } + U _ { \chi \chi } ) ~ .
	G _ { { \cal D } } ( \theta = 0 ) = [ 2 , 2 , a ] \frac { V ^ { \{ \mu _ { 1 } } \ldots V ^ { \mu _ { s } \} } } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 - \frac { d - s } { 2 } } ( x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - s } { 2 } } } \; .
	{ \cal { Z } } ( \tau { } ) = { \cal { N } } \int { \hat { \cal { D } } } A \frac { 1 } { { \mathrm { V o l } } G } e ^ { - I _ { \tau } { } ( A ) }
	P ^ { b - c } = \mathrm { T r } ( e ^ { i \theta ( H + P ) ^ { b - c } } ) = \left( \eta ( \theta ) \right) ^ { 2 }
	F _ { \mu } = \nabla _ { \nu } h _ { \mu } ^ { ~ \nu } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \mu } h - \frac { 2 \xi \varphi } { \alpha ( \varphi ) } \nabla _ { \mu } \phi
	F ^ { ( - ) } ( t ; q ^ { \prime } , q ) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { - i t } { 2 q ^ { \prime } q } \right) ^ { n } \frac { \Gamma ( \lambda + n ) } { n ! \Gamma ( \lambda - n ) } .
	[ L _ { B } ( m ) , \pi ( z ) ] = z ^ { m } ( z \partial _ { z } + ( m + 1 ) ) \pi ( z )
	E = T _ { q } H ( \rho ) ^ { k _ { 3 } - \frac { p k _ { 1 } } { 2 } } V _ { { \bf S } ^ { q } } ( R ) ,
	\Gamma _ { \nu } \Gamma _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } \Gamma _ { \nu } = ( - 1 ) ^ { ( n + 1 ) } ( 1 0 - 2 n ) \Gamma _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } }
	N - A = \mathrm { r a n k } \left\\| \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \dot { q } _ { i } \partial \dot { q } _ { j } } \right\\| .
	P _ { n } ^ { i } [ E , \phi _ { 1 } , . . . \phi _ { n } ] ( c _ { 1 } , . . . c _ { n } ) = \int _ { \gamma _ { n } } d x ^ { a } E ^ { b i } \epsilon _ { a b }
	\left( Q _ { 2 } + \frac { \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle } { \| \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle \| } \bar { Q } _ { \dot { 2 } } \right) \| \mathrm { B P S } \rangle = 0 .
	O ^ { L , \bar { L } } \cdot O ^ { L , \bar { L } } = [ O ^ { L , \bar { L } } ] ~ + ~ [ I ] ~ + . . .
	\begin{array} { c c } { \left[ L _ { 3 } , D ^ { \pm } \right] = } & { \pm D ^ { \pm } } \\ { \left[ \frac { \Sigma _ { 3 } } { 2 } , D ^ { \pm } \right] = } & { \mp D ^ { \pm } } \\ { \left[ D ^ { + } , D ^ { - } \right] = } & { 2 \left( \frac { \Sigma _ { 3 } } { 2 } \right) \ . } \\ \end{array}
	{ \cal R } = K ^ { i } K _ { i } - K ^ { a b \, i } K _ { a b \, i } \, .
	\begin{array} { l } { \delta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } h _ { \alpha \beta } = g ( \xi _ { \alpha \kappa } h _ { \kappa \beta } + \xi _ { \beta \kappa } h _ { \kappa \alpha } ) } \\ \end{array}
	\varepsilon ^ { \mu \nu } \rightarrow \varepsilon ^ { \prime \mu \nu } = { \Lambda ^ { \mu } } _ { \rho } { \Lambda ^ { \nu } } _ { \sigma } \varepsilon ^ { \rho \sigma }
	\phi _ { m } = \phi _ { m } ^ { \dagger } = \bar { B } _ { m } ^ { \dagger } + \sum _ { w } X _ { m \bar { w } } B ^ { w } , \; \; \; \; \; \; \bar { B } _ { m } ^ { \dagger } = B _ { n } ^ { \dagger } ( E ^ { - 1 } ) _ { n m } .
	x \equiv \frac { E - M } { M } \simeq \frac { a V } { ( 8 \pi ) ^ { 4 } M ^ { 5 } } ,
	S _ { t } ^ { t } = \frac { 2 } { R } \left( h _ { M i n k } ^ { - 1 / 2 } ( R ) - h _ { S c h } ^ { - 1 / 2 } ( R ) \right) .
	H ~ = ~ - J \sum _ { i j } \Psi _ { i } ^ { \dagger } \Psi _ { j } + { \frac { 1 } { 2 } } r \sum _ { i j } \left( \Psi _ { i } ^ { \dagger } \Psi _ { j } \right) ^ { 2 }
	\widetilde { j } _ { \mu } ^ { 0 } = \overline { { U } } _ { j } \gamma _ { \mu } \frac 1 2 ( 1 - \gamma _ { 5 } ) U _ { j } -
	( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) \widetilde { X } X { \widetilde X } \widetilde { X } = c ( b - a ) { \widetilde X } \widetilde { X } \: \mathrm { T r } X \widetilde { X } ,
	\varphi ( 0 ) = \frac { 1 } { \omega _ { d } } \sum _ { \gamma \in \Gamma } \int _ { S _ { \infty } ^ { d } } d \omega ( x ^ { \prime } ) \left( \frac { 1 - \left\| \gamma ( 0 ) \right\| ^ { 2 } } { \left\| \gamma ( 0 ) - x ^ { \prime } \right\| ^ { 2 } } \right) ^ { d } \chi ( x ^ { \prime } ) , \tag { 5 . 1 8 }
	x = u _ { + } + u _ { - } \, , \; \; y = u _ { + } u _ { - } .
	K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } I _ { 2 n } = \int d ^ { 4 } \theta \frac { d ^ { 4 } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } k ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 n } { \Big ( - \frac { g ^ { 2 } \| \phi \| ^ { 2 } } { K _ { \Phi \bar { \Phi } } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \Big ) } ^ { n }
	\nabla ^ { 2 } \varphi - \frac { 1 } { 3 } e ^ { 2 \varphi } F ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial P \left( \varphi \right) } { \partial \varphi } \, = \, 0 \ ,
	d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = H _ { F } ^ { - 1 } [ - d t ^ { 2 } + d w ^ { 2 } + ( H _ { W } - 1 ) ( d t - d w ) ^ { 2 } ] + d z _ { 1 } ^ { 2 } + \ldots + d z _ { 8 } ^ { 2 } ,
	\alpha _ { 1 } = - \alpha _ { 2 } c \; , \alpha _ { 2 } = - \alpha _ { 3 } a \; , \alpha _ { 3 } = - \alpha _ { 1 } b
	{ \cal E } \; = \; - { \frac { 1 } { 8 \pi d } } \; \left[ L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 2 } ) - L i _ { 2 } ( - { \cal R } ^ { 2 } ) \right] \ \; = \; - { \frac { 1 } { 8 \pi d } } \; [ 2 \; L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 4 } ) ] \ .
	\frac { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } { A ^ { \prime } } = ( \rho z ) ^ { \prime } \equiv F ^ { \prime } ,
	\vec { \nabla } \times \vec { B } - { \frac { \partial \vec { E } } { \partial t } } = \vec { J } _ { e } ~ ~ ~ ~ ~ \vec { \nabla } \times \vec { E } + { \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } } = - \vec { J } _ { m } .
	\sigma ^ { \prime } ( t ) = { \frac { d } { d t } } e ^ { \Phi ( t ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { ( 1 - u ) \Phi ( t ) } { \frac { d \Phi ( t ) } { d t } } e ^ { u \Phi ( t ) } d u \ .
	\begin{array} { c } { A _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n > k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } \\ { B _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n \leq k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } \\ \end{array}
	R _ { ( 5 ) } = { \frac { i } { 2 } } \hat { E } ^ { \hat { \underline { \alpha } } } \wedge \hat { E } ^ { \hat { \underline { \beta } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 3 } } } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 2 } } } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 1 } } } } } ( \Gamma _ { { \underline { { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } } } } } I ) _ { \hat { \underline { { \alpha } } } \hat { \underline { { \beta } } } } + { \frac { 1 } { 5 ! } } E ^ { { \underline { { a _ { 5 } } } } } \wedge . . . \wedge E ^ { { \underline { { a _ { 1 } } } } } R _ { \underline { { a } } _ { 1 } . . . \underline { { a } } _ { 5 } }
	\partial _ { \mu } \widetilde \sigma ( x ) = \widetilde \partial _ { \mu } \sigma ( x ) ,
	I _ { n , m } ( x ) = ( - 1 ) ^ { m } { \frac { { { x ^ { \frac { { n + m } } { 2 } } } e x p ( - x / 2 ) } } { \sqrt { \Gamma ( 1 + n ) \Gamma ( 1 + m ) } } } \; , \;
	\eta _ { a b } ^ { i } = \epsilon _ { i a b 4 } - \delta _ { i a } \delta _ { 4 b } + \delta _ { i b } \delta _ { 4 a }
	d s ^ { 2 } = \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } ( d t ^ { 2 } - d z ^ { 2 } - d x ^ { i } d x ^ { i } ) \right] + \gamma _ { \mu \nu } ( z , x , t ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu }
	\Psi _ { i } ^ { \prime } ( V ) = K _ { i j } { \Psi } _ { j } ( V ) ,

\hat { H } _ { 0 } \; \vert p _ { j } \rangle = M _ { j } \; \vert p _ { j } \rangle \; , \; \; j = 1 , 2 \; .

\beta _ { 0 0 } = \sum _ { \rho = 0 } ^ { N } \frac { \left( \eta _ { 0 \rho } \right) ^ { 2 } } { 4 } \left[ \left( \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } - \frac { \Omega _ { \rho } } { \omega } \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega _ { \rho } t } + \left( \frac { \Omega _ { \rho } } { \tilde { \omega } } - \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } \right) \mathrm { e } ^ { - i \Omega _ { \rho } t } \right] \; .

\{ Q , Q ^ { + } \} = H _ { S S } , \qquad [ Q , H _ { S S } ] = 0 , \qquad [ Q ^ { + } , H _ { S S } ] = 0 , \; \; \; \; Q ^ { 2 } = { Q ^ { + } } ^ { 2 } = 0

\overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) = \overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) _ { \cal X } + \overline { { { \cal { A } } _ { i } ^ { \gamma } } } ( { \bf { r } } ) _ { \overline { { \cal Y } } } \; ,

\sigma _ { n } ^ { x } \sigma _ { n + 1 } ^ { x } - \sigma _ { n } ^ { y } \sigma _ { n + 1 } ^ { y } \propto V _ { 2 , 0 } ^ { ( + ) }

A _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 m } \epsilon _ { \mu \nu \rho } F ^ { \nu \rho } .

( M ^ { 3 } ) ^ { [ I | J ] } = \frac { 1 } { 2 } ( M ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 5 d + 8 ) M ^ { I J }

\int _ { \Sigma } F \wedge \bar { G } = \sum _ { m } \int _ { \sigma _ { m } } F \wedge d \Psi _ { m } = \sum _ { m } \int _ { \partial \sigma _ { m } } F \wedge \Psi _ { m } .

i \hbar \dot { \bar { \zeta } } = ( \ _ { q } < T _ { i } ^ { - } T _ { i } ^ { + } > _ { q } - \ _ { q } < T _ { i } ^ { - } > _ { q } \ _ { q } < T _ { i } ^ { + } > _ { q } ) ^ { - 1 } \partial _ { \zeta } { \cal H } .

\Gamma = { \frac { G } { T } } = - S + { \frac { M } { T } } - N ^ { a } { \frac { \mu _ { a } } { T } } \ .

R _ { 1 } ^ { \prime } + ( \frac { 4 } { r } + \frac { f ^ { \prime } } { f } - \phi ^ { \prime } ) R _ { 1 } = - 2 ( \Lambda - \Lambda _ { \phi } ) \phi ^ { \prime } \; .

{ \frac { d \phi _ { p } } { d t } } \longrightarrow - i p \phi _ { p } , \ p \rightarrow \infty .

x _ { 0 } ( u + 2 \omega _ { 1 } , w ) = x _ { 0 } ( u , w ) .

J _ { 0 } = \tilde { Q } _ { 0 } - \frac { \tilde { c } } { 2 4 } = \frac { { \cal A } } { 8 \pi G } \frac { \kappa } { \alpha + \Omega } .

I _ { 0 } ^ { ( 2 n ) } = \frac { l } { d - 2 n } F _ { 2 n } [ \gamma ] .

\partial _ { i } c ( g ) = - { \cal G } _ { i j } \beta ^ { j } ( g ) \quad ,

T _ { M N } ^ { ( F ) } = { \frac { 1 } { 2 d ! } } ( F _ { M M _ { 1 } \ldots M _ { d } } F _ { N } ^ { M _ { 1 } \ldots M _ { d } } - { \frac { 1 } { 2 ( d + 1 ) } } g _ { M N } F ^ { 2 } ) e ^ { - \alpha \phi }

\mathrm { R e s } _ { s = 1 / 2 - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k - 1 / 2 } = \frac { ( 2 k - 1 ) ! ! \, q ^ { k } } { k ! \, 2 ^ { k } } , \, m b o x { R e s } _ { s = - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k } = 0 , \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots ,

\epsilon ^ { 0 } = \partial _ { + } \phi u ( z ^ { + } ) + T _ { 0 } \partial _ { + } u ( z ^ { + } )

{ R _ { i } } ^ { k } = - { \delta _ { i } } ^ { k } \left[ { \frac { 1 } { R } } ~ { \frac { d ^ { 2 } R } { d t ^ { 2 } } } + { \frac { D - 2 } { R ^ { 2 } } } \left( { \frac { d R } { d t } } \right) ^ { 2 } \right]

\delta ( D ^ { i } ) ^ { \beta \gamma } = n _ { \rho \sigma } ^ { \beta \gamma } ~ ( D ^ { i } ) ^ { \rho \sigma }

m _ { 1 } = { \frac { < 1 | { \cal N } _ { M } [ H ] | 1 > } { < 1 | 1 > } } - \int _ { x } { \cal V } ( \varphi _ { 0 } ) = \sqrt { p ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ( \varphi _ { 0 } ) } \; ,

( \Psi _ { 0 } ^ { \prime } , r ^ { \kappa } Q _ { \hat { \beta } } ^ { ( 1 ) } r ^ { - \kappa } \Psi _ { 0 } ) = 0 \quad .

d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 k | y | } \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + d y ^ { 2 } ,

2 N - 2 + \left( \frac { n } { 2 R } - R m \right) ^ { 2 } = 2 \tilde { N } - 2 + \left( \frac { n } { 2 R } + R m \right) ^ { 2 } = 0 .

\frac { d A _ { 0 } } { d r } = \{ A _ { 0 } , A _ { 1 } \} _ { - } ,

{ \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d \rho ^ { 2 } } } + { \frac { 3 } { \rho } } { \frac { d \varphi } { d \rho } } = { \frac { d U ( \varphi ) } { d \varphi } } ,

S _ { f , m } ( n _ { m } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \, \eta .

( \phi ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( \phi ^ { N + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } .

[ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] = - S _ { 3 } \, , \qquad [ S _ { 2 } , S _ { 3 } ] = S _ { 1 } \, , \qquad [ S _ { 3 } , S _ { 1 } ] = S _ { 2 } \, ,

k _ { \alpha } k _ { \beta } \bar { \Pi } ^ { \mu \nu , \alpha \beta } \left( k \right) = - \frac { \kappa ^ { 2 } } 4 k ^ { 2 } T _ { \left( 0 \right) } ^ { \mu \nu } ,

\begin{array} { c } { { \cal L } = < \Psi , \not \! \partial _ { 1 , 9 } \Psi > } \\ { = < \rho _ { + } \Psi + \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { + } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { - } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { - } \Psi ) + { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { + } \Psi ) > } \\ { = < \rho _ { + } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { + } \Psi ) > + < \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 1 , 3 } ( \rho _ { - } \Psi ) > } \\ { + < \rho _ { + } \Psi , { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { - } \Psi ) > + < \rho _ { - } \Psi , { \not \! \partial } _ { 0 , 6 } ( \rho _ { + } \Psi ) > } \\ \end{array}

x p _ { n } = p _ { n + 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { 2 } } f _ { 3 j - 1 } ( n ) p _ { n + 1 - 3 j } ,

\gamma _ { p q } ( \theta , \rho ) = \tilde { \gamma } _ { p q } ( \theta ) + \rho ^ { 2 } h _ { p q } ( \theta ) + O ( \rho ^ { 4 } ) ~ ~ ~ ,

z _ { l } \pm i \gamma \qquad \mathrm { w i t h ~ r e s i d u e } \quad \mp i .

S _ { \Omega ^ { \prime } , \Omega } x \Omega = x ^ { * } \Omega , \, \, x \in M

\gamma = { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } , \quad \beta = { \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } .

\int [ d \delta { \hat { g } } ] e ^ { - | \delta { \hat { g } } | ^ { 2 } / 2 } \equiv \prod _ { \sigma } \int [ d \delta { \hat { g } } ] _ { \sigma } e ^ { - | \delta { \hat { g } } | _ { \sigma } ^ { 2 } / 2 } = 1 = J _ { M } ( { \cal \phi } , { \hat { g } } ) \int [ d \delta { \cal \phi } ] _ { e ^ { \phi } { \hat { g } } } \int [ d \delta \eta ] _ { \hat { g } } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l e ^ { - | \delta { \hat { g } } | ^ { 2 } / 2 } \quad ,

B = v ^ { 2 } \sum _ { n } { } ^ { \prime } \, | n \rangle \langle n | + { \frac { 1 } { \theta } } \displaystyle { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } } \, [ q _ { n } - q _ { n + 1 } - \theta v ^ { 2 } ( p - 1 ) ] \mid n p + m \, \rangle \langle \, n p + m \mid \, ,

S _ { 0 } ^ { L } \left[ \varphi , \bar { \varphi } , A ^ { \mu } \right] = \int \mathrm { d }

K ( x , y , t ) + 2 e ^ { - 8 t - x - y } + 2 \int _ { x } ^ { \infty } d z \, K ( x , z , t ) e ^ { - 8 t - y - z } = 0

1 6 \pi ^ { 2 } A _ { 2 } = \int _ { M } b _ { 2 } \; d V + \int _ { \partial M } c _ { 2 } \; d \Sigma \; .

{ \cal H } = { \cal H } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 ( g \chi ) ^ { 2 } } \left( G ^ { a } G ^ { a } - G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } G ^ { a } - G ^ { a } G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } \right) \ ,

\left( h ( x ) n ^ { i } \; + \; f _ { j } ^ { i } ( x ) n ^ { j } \right) \ \nabla _ { i } \; \varphi ^ { r } \ = \ 0

{ \cal S } _ { \infty } = \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { { \omega ^ { ( k + 3 ) } } ^ { k - 1 } \wedge \omega ^ { F _ { 0 } } } \right\} \wedge d y .

\left| \mu _ { j } ( w ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) \right| ^ { 2 } = \frac { 2 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } w ^ { 2 } } { \sqrt { \lambda ( 1 , ( \frac { m _ { 1 } } { w } ) ^ { 2 } , ( \frac { m _ { 2 } } { w } ) ^ { 2 } ) } }

\biggl [ { \frac { \delta W _ { T } [ \phi ; G ( k ) ] } { \delta G ( k ) } } \biggr ] _ { G ( k ) = D _ { T } ( \phi ; k ) } = 0 ~ ,

\sqrt { \frac { \pi } { 2 } } ~ \omega ^ { 3 / 2 } ~ \frac { \alpha } { 2 } ~ = ~ K ~ E ~ .

N _ { 1 } \sim \sigma , \quad N _ { 2 } \sim \sigma ^ { 3 } , \quad R ^ { 2 } \sim \sigma \quad \textrm { f o r } \quad \sigma \to \infty

m _ { 2 } = 0 \ , \qquad ( e ^ { - 2 \phi } ) _ { \mathrm { f i x } } = \left| { \frac { n _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \right| = \left| { \frac { \xi } { m } } \right| = ( e ^ { - 2 \phi } ) _ { \mathrm { m i n } } \ , \qquad ( a ) _ { \mathrm { f i x } } = { \frac { n _ { 1 } } { m _ { 1 } } } = - { \frac { e } { m } } = ( a ) _ { \mathrm { m i n } } \ .

( \mathrm { M a s s } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 6 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \hat { \alpha } ^ { a } ( I + L ) _ { a b } \hat { \alpha } ^ { b } = { \frac { 1 } { 8 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } ( \hat { \alpha } _ { R } ) ^ { 2 } ~ ,

\{ x _ { 1 } , x _ { 2 } \} = \frac { \theta } { m ^ { * } } , \qquad \{ x _ { i } , p _ { j } \} = \frac { \delta _ { i j } } { m ^ { * } } , \qquad \{ p _ { 1 } , p _ { 2 } \} = \frac { B } { m ^ { * } } .

\beta ^ { 2 } < 8 \pi \quad { \mathrm { a n d } } \quad \left| \Re e \, a \beta \right| < 4 \pi \, ,

S _ { 1 } ( x _ { 1 } ) = \lambda + S _ { 1 } ( r ( \lambda ) ) ,

g ^ { 1 } = g \otimes { \bf 1 } , \; \; \; g ^ { 2 } = { \bf 1 } \otimes g ,

{ ( 2 + K ) W _ { 2 + K } ( x ) } = ( 2 + K ) { \sum _ { l = 0 } ^ { \left[ \frac { K + 2 } { 2 } \right] } \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { l ! } \times \frac { ( K + 1 - l ) ! } { ( K + 2 - 2 l ) ! } x ^ { K + 2 - 2 l } } \, .

\begin{array} { l } { V _ { N L } = - \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } \partial _ { x } - 2 u \phi ( y _ { 3 } ) y _ { 1 } e ^ { 2 y _ { 2 } } \partial _ { u } + \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } y _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { y _ { 1 } } } \\ { \qquad \qquad + [ f _ { 2 } ( y _ { 3 } ) - y _ { 1 } \phi ( y _ { 3 } ) e ^ { 2 y _ { 2 } } ] \partial _ { y _ { 2 } } + f _ { 3 } ( y _ { 3 } ) \partial _ { y _ { 3 } } . } \\ \end{array} \tag { 3 . 4 8 }

\delta A \; \; = \; \; { \cal { Y } } _ { [ p , q ] } \circ \left( \, d \alpha ^ { p - 1 , q } + { \tilde { d } } { \tilde { \alpha } } ^ { p , q - 1 } \, \right)

\frac { \tilde { E } _ { q n j } ^ { D } - E _ { q n j } ^ { D } } { E _ { q n j } ^ { D } } \sim \frac { ( R _ { 0 } / a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( \mu ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } } ,

[ \delta _ { t } , I _ { a } \otimes 1 + ( 1 - t ) \; 1 \otimes i _ { a } ] = L _ { a } \otimes 1 + 1 \otimes { \cal L } _ { a }

U ^ { T } ( \phi , \chi ) = U ( \phi , \chi ) + \frac { T ^ { 2 } } { 2 4 } ( U _ { \phi \phi } + U _ { \chi \chi } ) ~ .

G _ { { \cal D } } ( \theta = 0 ) = [ 2 , 2 , a ] \frac { V ^ { \{ \mu _ { 1 } } \ldots V ^ { \mu _ { s } \} } } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 - \frac { d - s } { 2 } } ( x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - s } { 2 } } } \; .

{ \cal { Z } } ( \tau { } ) = { \cal { N } } \int { \hat { \cal { D } } } A \frac { 1 } { { \mathrm { V o l } } G } e ^ { - I _ { \tau } { } ( A ) }

P ^ { b - c } = \mathrm { T r } ( e ^ { i \theta ( H + P ) ^ { b - c } } ) = \left( \eta ( \theta ) \right) ^ { 2 }

F _ { \mu } = \nabla _ { \nu } h _ { \mu } ^ { ~ \nu } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \mu } h - \frac { 2 \xi \varphi } { \alpha ( \varphi ) } \nabla _ { \mu } \phi

F ^ { ( - ) } ( t ; q ^ { \prime } , q ) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { - i t } { 2 q ^ { \prime } q } \right) ^ { n } \frac { \Gamma ( \lambda + n ) } { n ! \Gamma ( \lambda - n ) } .

[ L _ { B } ( m ) , \pi ( z ) ] = z ^ { m } ( z \partial _ { z } + ( m + 1 ) ) \pi ( z )

E = T _ { q } H ( \rho ) ^ { k _ { 3 } - \frac { p k _ { 1 } } { 2 } } V _ { { \bf S } ^ { q } } ( R ) ,

\Gamma _ { \nu } \Gamma _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } \Gamma _ { \nu } = ( - 1 ) ^ { ( n + 1 ) } ( 1 0 - 2 n ) \Gamma _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } }

N - A = \mathrm { r a n k } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \dot { q } _ { i } \partial \dot { q } _ { j } } \right\| .

P _ { n } ^ { i } [ E , \phi _ { 1 } , . . . \phi _ { n } ] ( c _ { 1 } , . . . c _ { n } ) = \int _ { \gamma _ { n } } d x ^ { a } E ^ { b i } \epsilon _ { a b }

\left( Q _ { 2 } + \frac { \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle } { | \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle | } \bar { Q } _ { \dot { 2 } } \right) | \mathrm { B P S } \rangle = 0 .

O ^ { L , \bar { L } } \cdot O ^ { L , \bar { L } } = [ O ^ { L , \bar { L } } ] ~ + ~ [ I ] ~ + . . .

\begin{array} { c c } { \left[ L _ { 3 } , D ^ { \pm } \right] = } & { \pm D ^ { \pm } } \\ { \left[ \frac { \Sigma _ { 3 } } { 2 } , D ^ { \pm } \right] = } & { \mp D ^ { \pm } } \\ { \left[ D ^ { + } , D ^ { - } \right] = } & { 2 \left( \frac { \Sigma _ { 3 } } { 2 } \right) \ . } \\ \end{array}

{ \cal R } = K ^ { i } K _ { i } - K ^ { a b \, i } K _ { a b \, i } \, .

\begin{array} { l } { \delta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } h _ { \alpha \beta } = g ( \xi _ { \alpha \kappa } h _ { \kappa \beta } + \xi _ { \beta \kappa } h _ { \kappa \alpha } ) } \\ \end{array}

\varepsilon ^ { \mu \nu } \rightarrow \varepsilon ^ { \prime \mu \nu } = { \Lambda ^ { \mu } } _ { \rho } { \Lambda ^ { \nu } } _ { \sigma } \varepsilon ^ { \rho \sigma }

\phi _ { m } = \phi _ { m } ^ { \dagger } = \bar { B } _ { m } ^ { \dagger } + \sum _ { w } X _ { m \bar { w } } B ^ { w } , \; \; \; \; \; \; \bar { B } _ { m } ^ { \dagger } = B _ { n } ^ { \dagger } ( E ^ { - 1 } ) _ { n m } .

x \equiv \frac { E - M } { M } \simeq \frac { a V } { ( 8 \pi ) ^ { 4 } M ^ { 5 } } ,

S _ { t } ^ { t } = \frac { 2 } { R } \left( h _ { M i n k } ^ { - 1 / 2 } ( R ) - h _ { S c h } ^ { - 1 / 2 } ( R ) \right) .

H ~ = ~ - J \sum _ { i j } \Psi _ { i } ^ { \dagger } \Psi _ { j } + { \frac { 1 } { 2 } } r \sum _ { i j } \left( \Psi _ { i } ^ { \dagger } \Psi _ { j } \right) ^ { 2 }

\widetilde { j } _ { \mu } ^ { 0 } = \overline { { U } } _ { j } \gamma _ { \mu } \frac 1 2 ( 1 - \gamma _ { 5 } ) U _ { j } -

( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) \widetilde { X } X { \widetilde X } \widetilde { X } = c ( b - a ) { \widetilde X } \widetilde { X } \: \mathrm { T r } X \widetilde { X } ,

\varphi ( 0 ) = \frac { 1 } { \omega _ { d } } \sum _ { \gamma \in \Gamma } \int _ { S _ { \infty } ^ { d } } d \omega ( x ^ { \prime } ) \left( \frac { 1 - \left| \gamma ( 0 ) \right| ^ { 2 } } { \left| \gamma ( 0 ) - x ^ { \prime } \right| ^ { 2 } } \right) ^ { d } \chi ( x ^ { \prime } ) , \tag { 5 . 1 8 }

x = u _ { + } + u _ { - } \, , \; \; y = u _ { + } u _ { - } .

K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } I _ { 2 n } = \int d ^ { 4 } \theta \frac { d ^ { 4 } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } k ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 n } { \Big ( - \frac { g ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } } { K _ { \Phi \bar { \Phi } } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \Big ) } ^ { n }

\nabla ^ { 2 } \varphi - \frac { 1 } { 3 } e ^ { 2 \varphi } F ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial P \left( \varphi \right) } { \partial \varphi } \, = \, 0 \ ,

d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = H _ { F } ^ { - 1 } [ - d t ^ { 2 } + d w ^ { 2 } + ( H _ { W } - 1 ) ( d t - d w ) ^ { 2 } ] + d z _ { 1 } ^ { 2 } + \ldots + d z _ { 8 } ^ { 2 } ,

\alpha _ { 1 } = - \alpha _ { 2 } c \; , \alpha _ { 2 } = - \alpha _ { 3 } a \; , \alpha _ { 3 } = - \alpha _ { 1 } b

{ \cal E } \; = \; - { \frac { 1 } { 8 \pi d } } \; \left[ L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 2 } ) - L i _ { 2 } ( - { \cal R } ^ { 2 } ) \right] \ \; = \; - { \frac { 1 } { 8 \pi d } } \; [ 2 \; L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } L i _ { 2 } ( { \cal R } ^ { 4 } ) ] \ .

\frac { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } { A ^ { \prime } } = ( \rho z ) ^ { \prime } \equiv F ^ { \prime } ,

\vec { \nabla } \times \vec { B } - { \frac { \partial \vec { E } } { \partial t } } = \vec { J } _ { e } ~ ~ ~ ~ ~ \vec { \nabla } \times \vec { E } + { \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } } = - \vec { J } _ { m } .

\sigma ^ { \prime } ( t ) = { \frac { d } { d t } } e ^ { \Phi ( t ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { ( 1 - u ) \Phi ( t ) } { \frac { d \Phi ( t ) } { d t } } e ^ { u \Phi ( t ) } d u \ .

\begin{array} { c } { A _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n > k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } \\ { B _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n \leq k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } \\ \end{array}

R _ { ( 5 ) } = { \frac { i } { 2 } } \hat { E } ^ { \hat { \underline { \alpha } } } \wedge \hat { E } ^ { \hat { \underline { \beta } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 3 } } } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 2 } } } } } \wedge E ^ { { \underline { { c _ { 1 } } } } } ( \Gamma _ { { \underline { { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } } } } } I ) _ { \hat { \underline { { \alpha } } } \hat { \underline { { \beta } } } } + { \frac { 1 } { 5 ! } } E ^ { { \underline { { a _ { 5 } } } } } \wedge . . . \wedge E ^ { { \underline { { a _ { 1 } } } } } R _ { \underline { { a } } _ { 1 } . . . \underline { { a } } _ { 5 } }

\partial _ { \mu } \widetilde \sigma ( x ) = \widetilde \partial _ { \mu } \sigma ( x ) ,

I _ { n , m } ( x ) = ( - 1 ) ^ { m } { \frac { { { x ^ { \frac { { n + m } } { 2 } } } e x p ( - x / 2 ) } } { \sqrt { \Gamma ( 1 + n ) \Gamma ( 1 + m ) } } } \; , \;

\eta _ { a b } ^ { i } = \epsilon _ { i a b 4 } - \delta _ { i a } \delta _ { 4 b } + \delta _ { i b } \delta _ { 4 a }

d s ^ { 2 } = \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } ( d t ^ { 2 } - d z ^ { 2 } - d x ^ { i } d x ^ { i } ) \right] + \gamma _ { \mu \nu } ( z , x , t ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu }

\Psi _ { i } ^ { \prime } ( V ) = K _ { i j } { \Psi } _ { j } ( V ) ,