v1v1d/Latexify_v1_clean · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 43 1.19k	text stringlengths 25 1.67k
	\frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { d c } c ^ { - 1 } \left( 1 - e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \frac { c } { 1 + c } } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( n + 1 ) ! } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d z \frac { z ^ { n } } { 1 - z } .
	{ \frac { 1 } { 4 } } \, ( \alpha ^ { 2 } \, + \, 1 ) = \frac { \alpha ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \, + \, 1 }
	\Psi _ { - e , p , x } = \sum _ { p , r = 1 , 2 } b _ { r } ( \vec { p } ) u ^ { ( r ) } ( \vec { p } ) e ^ { i p x }
	f _ { \delta } ( \xi ) = \xi _ { 1 } ^ { 4 } + a _ { 0 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { 3 } + \xi _ { 2 } ^ { 6 }
	{ \cal B } _ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i j k } { \cal F } _ { j k } = - { \frac { r _ { i } } { g r ^ { 3 } } }
	N ( - F - C ) = { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A ^ { \prime } \sigma \| _ { \pi ^ { * } { \cal S } } - B ^ { \prime } F ) , \quad A ^ { \prime } \geq 0 , B ^ { \prime } > 0
	\int _ { 0 } ^ { T } d \tau \psi _ { \mu } \psi _ { \nu } \omega _ { \mu \nu } = - T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ^ { \cdot } ( \psi \cdot \dot { x } ) + T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ( \dot { \psi } \cdot \dot { x } ) + { \frac { T } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \dot { x } \cdot \ddot { x }
	\begin{array} { r l c r l } { \left[ H , \hat { A } _ { i j } \right] } & { = - \frac { 4 } { 3 } \hat { A } _ { i j } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { i j } \right] } & { = \frac { 4 } { 3 } \hat { A } ^ { i j } } \\ { \left[ H , \hat { A } _ { \kappa \rho } \right] } & { = - \frac { 2 } { 3 } \hat { A } _ { \kappa \rho } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { \kappa \rho } \right] } & { = \frac { 2 } { 3 } \hat { A } ^ { \kappa \rho } } \\ { \left[ H , \hat { A } _ { i \kappa } \right] } & { = - \hat { A } _ { i \kappa } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { i \kappa } \right] } & { = \hat { A } ^ { i \kappa } \, . } \\ \end{array}
	[ \delta ( \varepsilon _ { 1 } ) , \delta ( \varepsilon _ { 2 } ) ] A _ { \mu i } = D _ { \mu i } ^ { j } ( P ^ { m n } { } _ { , j } \varepsilon _ { 1 n } \varepsilon _ { 2 m } ) - ( \epsilon ^ { \nu \rho } D _ { \rho } X ^ { j } ) \epsilon _ { \nu \mu } P ^ { m n } { } _ { , j i } \; \varepsilon _ { 1 n } \varepsilon _ { 2 m }
	{ \hat { Q } } = { \hat { \psi } } ^ { \mu } { \hat { p } } _ { \mu } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } ,
	Q = { \frac { \partial } { \partial \theta } } + i \overline { { \theta } } \partial _ { 0 } \quad , \quad \overline { { Q } } = - { \frac { \partial } { \partial \overline { { \theta } } } } - i \theta \partial _ { 0 } \quad ,
	\Phi = \int d t \, t \, v ^ { \dagger } v + \sum _ { j } t _ { j } S _ { j } ^ { \dagger } S _ { j }
	G _ { \beta } ( \vec { x } , \tau ) = { \frac { 1 } { V } } \sum _ { \vec { p } } { \frac { 1 } { 2 E _ { p } } } \left[ { \frac { e ^ { i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { 1 - e ^ { - \beta E _ { p } } } } + { \frac { e ^ { - i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { e ^ { \beta E _ { p } } - 1 } } \right] \; .
	\lambda ( t ) = t ^ { k } , \qquad v ( t ) = { \frac { \mu } { t ^ { k } } } , \qquad x ( t ) = y ( t ) = 0 .
	t ( x ) Q ( x ) = a ( x ) Q ( x + i ) + b ( x ) Q ( x - i ) ,
	\sigma _ { n } = f ( n ) \sigma _ { F } , \ \ \ \ \ \ 1 < f ( n ) < n
	\psi _ { \pm } ( z ) = ( z ( 1 - z ) ) ^ { - 1 / 8 } \sqrt { 1 \pm \sqrt { 1 - z } } .
	{ \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } \left( { \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } \left[ { \cal K } _ { 0 } ^ { b } ( { \bf r } ) + j _ { 0 } ^ { b } ( { \bf r } ) \right] \right) + { \cal L } _ { ( 1 ) } ^ { b s } { \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } j _ { 0 } ^ { s } ( { \bf r } ) = - { \cal L } _ { ( 2 ) } ^ { b s } { \cal K } _ { 0 } ^ { s } ( { \bf r } ) \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \;
	{ \cal Z } \propto \int \! \left[ d z ( t ) d \alpha ( t ) \right] \, e ^ { - N s _ { \mathrm { e f f } } [ z , \alpha ] } \, ,
	\beta _ { D } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( D - 1 ) ( D - 2 ) } } \, .
	\langle A ( \zeta ) \rangle = \lambda ^ { n } \left[ a _ { 0 } ( v ) + \lambda a _ { 1 } ( v ) + \lambda ^ { 2 } a _ { 2 } ( v ) + \cdots \right] \, ,
	K = \frac { 9 } { 4 } U ^ { 3 } + 3 T ^ { 2 } U - W ^ { 3 } \; .
	\left[ \begin{matrix} { { \overline { \psi } } _ { r } } & { 0 } \\ \end{matrix} \right] \equiv { { \overline { \Psi } } _ { L } } _ { r } , \qquad \left[ \begin{matrix} { { \overline { \phi } } _ { s } } & { 0 } \\ \end{matrix} \right] \equiv { { \overline { \Phi } } _ { L } } _ { s } ;
	V ^ { ( 0 ) } = { \frac { m } { 2 } } \left[ p _ { i } ( t ) p ^ { i } ( t ) + \omega ^ { 2 } q _ { i } ( t ) q ^ { i } ( t ) \right] + e A _ { 0 } ( t , \vec { q } ) + 2 \theta \int \, d ^ { 2 } x \, \epsilon _ { i j } \partial ^ { i } A ^ { j } ( t , \vec { x } ) A _ { 0 } ( t , \vec { x } ) \; .
	x y - ( - 1 ) ^ { ( \| x \| + 1 ) ( \| y \| + 1 ) } y x = ( - 1 ) ^ { \| x \| } ( d ( x \circ y ) - d x \circ y - ( - 1 ) ^ { \| x \| } x \circ d y ) .
	\chi _ { 1 } = \Theta _ { 1 } , ~ ~ \chi _ { 2 } = \Theta _ { 2 } , ~ ~ \chi _ { 3 } = z _ { 1 } + z _ { 1 } ^ { * }
	J _ { \mu \nu } [ \xi \| s ] = \tilde { g } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \dot { \xi } ^ { \sigma } ( s ) [ \bar { \psi } ( \xi ( s ) ) \gamma ^ { \rho } T ^ { i } \psi ( \xi ( s ) ) ] \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \tau _ { i } \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) ,
	U = \left( \frac { \partial U _ { B } } { \partial \psi } \right) ^ { 2 } - U _ { B } ^ { 2 } .
	\eta _ { 1 } ( v - \frac { m - 1 } { 2 } ) \xi _ { 1 } ( v - \frac { m - 2 } { 2 } ) \cdots \xi _ { m - 1 } ( v ) \eta _ { m - 1 } ( v + \frac { 1 } { 2 } ) = ( x ^ { 2 r } ; x ^ { 2 r } ) _ { \infty } ^ { 3 ( m - 1 ) } c _ { m } \eta _ { m } ( v )
	\bar { a } = A \; \; \mathrm { a n d } \; \; \psi = B \| t \| ^ { \frac { 1 } 2 { } }
	\langle 0 \mid \phi ^ { n } \mid 0 \rangle = \int d q \; \rho ( q ) q ^ { n }
	\begin{array} { c c } { \langle \psi _ { 1 } ^ { I _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \psi _ { n } ^ { I _ { n } } ( x _ { n } ) \rangle = 0 ~ ~ ~ ~ } & { ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f ~ ~ ~ } \displaystyle { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \kappa _ { i } \neq 0 } \, . } \\ \end{array}
	< q \| \hat { p } _ { \alpha } \| q ^ { \prime } > = \frac { - i \hbar } { g ^ { 1 / 4 } ( q ) } \frac { \partial } { \partial q ^ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { g ^ { 1 / 4 } ( q ) } \delta ^ { ( n ) } ( q - q ^ { \prime } ) \right) + \frac { 1 } { \sqrt { g ( q ) } } \, A _ { \alpha } ( q ) \delta ^ { ( n ) } ( q - q ^ { \prime } ) \ \ ,
	\left\{ \varphi _ { \alpha } , \varphi _ { \beta } \right\} = - C _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \varphi _ { \gamma } .
	A _ { i } ^ { ( 1 ) } = \frac { h ^ { 2 } k _ { i } - ( k . h ) h _ { i } } { k ^ { 2 } h ^ { 2 } - ( k . h ) ^ { 2 } } \, , \, \, \, \, A _ { i } ^ { ( 2 ) } = \frac { k ^ { 2 } h _ { i } - ( k . h ) k _ { i } } { k ^ { 2 } h ^ { 2 } - ( k . h ) ^ { 2 } } \, .
	\\| \psi \\| ^ { 2 } { } ~ = ~ - { \frac { 1 } { 2 \pi G } } { \bar { \cal C } } ^ { ( \bar { k } ) } { \cal C } ^ { ( \bar { k } ) } \int _ { S _ { \infty } ^ { 2 } } d S ^ { \underline { { i } } } \, V ^ { - 1 } \partial _ { \underline { { i } } } V { } ~ = ~ 4 M _ { A D M } \\| c \\| ^ { 2 } \, ,
	\delta S _ { 2 } = \mathrm { t o t a l ~ d e r i v a t i v e }
	\zeta ^ { \mu } = \sigma ^ { \mu \nu } p _ { \nu } .
	\sqrt { s } E - J = \sum _ { n } \left[ e ^ { U _ { 0 } } \frac { s } { J } N _ { n } ^ { r , \omega } \| n \| + \sqrt { 1 + e ^ { 2 U _ { 0 } } \frac { s ^ { 2 } } { J ^ { 2 } } n ^ { 2 } } N _ { n } ^ { y } \right] ,
	p = \frac { [ f + g ] ^ { 1 / 3 } } { k _ { ( 5 ) } ^ { 2 } \sqrt { \| \dot { f } \dot { g } \| } } \left[ \frac { \ddot { g } } { \dot { g } } - \frac { \ddot { f } } { \dot { f } } \right] - \frac { 1 } { 3 } \rho .
	f ( z ) = \alpha \prod _ { i = 1 , 2 } ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } \tilde { f } _ { 4 } ( z ) \, , \quad g ( z ) = \prod _ { i = 1 , 2 } ( z - z _ { i } ) ^ { 3 } \tilde { g } _ { 6 } ( z ) \, ,
	\frac { 1 } { g _ { c } ^ { 2 } ( M _ { c } ) } = R e \left( \frac { 1 } { g _ { h } ^ { 2 } ( M _ { c } ) } \right) - \frac { 2 t _ { 2 } ( A ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathrm { l n } g _ { c } ( M _ { c } )
	{ \cal H } _ { q } = { \cal H } \oplus { \cal M } _ { q } ^ { 2 }
	\mathrm { k e r } ( C _ { u } ^ { \dagger } ) \simeq H _ { u } = ( T _ { u } P ) ^ { \mathrm { h o r i z o n t a l } } ,
	\langle \varphi ^ { 2 } \rangle _ { M } ^ { \mathrm { t h } } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \left( \omega ^ { 2 } + 2 m \omega \right) ^ { 1 / 2 } d \omega } { e ^ { ( m + \omega ) / T } - 1 } , \quad T = \frac { 1 } { 2 \pi \xi }
	+ \frac { \hbar } { 8 \pi ^ { 2 } } \alpha ^ { 4 } \phi _ { c } ^ { 4 } \sum _ { N = m + 1 } ^ { \infty } \frac { K _ { 2 } \left( 2 N \alpha a \phi _ { c } \right) } { \left( N \alpha a \phi _ { c } \right) ^ { 2 } } ,
	g ^ { \pm } = { \frac { \sqrt { 8 - c } } { 8 \sqrt { 6 } } } \pm \sqrt { h + 1 / 4 8 - c / 2 4 } { } ~ .
	( { } ^ { ( 3 ) } \bigtriangleup A ) _ { k } = { \frac { \partial ^ { 2 } A _ { k } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { } ^ { ( 2 ) } \bigtriangleup A ) _ { k } - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } A _ { k } + { \frac { 2 } { r } } \partial _ { k } A _ { r } .
	{ \textstyle \frac { 1 } { 1 8 } } ( d x x x ) ^ { 2 } \, g _ { A E } \, g _ { B F } \, g _ { C G } \, \frac { \partial } { \partial x ^ { D } } C ^ { E F G } = - 6 g _ { D F } \, E _ { A B C E } ^ { F } \, x ^ { E } = 6 g _ { E } \, E _ { A B C D } ^ { E } \ .
	M ^ { 2 } = m _ { D } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { m _ { D } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) .
	f ( x ) \star g ( x ) = \left[ e ^ { { \frac { i } { 2 } } \theta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } ^ { ( \zeta ) } \partial _ { \nu } ^ { ( \eta ) } } f ( x + \zeta ) g ( x + \eta ) \right] _ { \zeta = 0 = \eta }
	\{ Q _ { 1 } ^ { + } , Q _ { 1 } ^ { - } \} = \int { \frac { d z } { 2 \pi i } } e ^ { - \phi } \psi ^ { + } ( z ) .
	c ( v ) ^ { 2 } + ( v , v ) = 0 \qquad v \in T ^ { * } M \ .
	a _ { l } = \displaystyle \frac { 1 } { 4 } ( l - 2 ) ^ { - 2 } - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 8 } \displaystyle \frac { 2 l - 3 } { ( l - 1 ) ^ { 3 } ( l - 2 ) ^ { 3 } } + 0 ( x ^ { 4 } ) ,
	\hat { \cal S } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \hat { g } } e ^ { - 2 \phi } \left\{ \hat { R } + \hat { \kappa } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - \frac 1 { 1 2 } \hat { H } _ { [ 3 ] } ^ { 2 } - \hat { U } \right\} ,
	\overline { { \beta } } ( \overline { { g } } ) = \beta ^ { ( 1 ) } \; \overline { { g } } .
	{ \cal E _ { C } ^ { \mathrm { \tiny ~ b a r e } } } [ \phi _ { 0 } ] \sim \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \| E _ { j } - \omega \| \, .
	D _ { a } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta ) = i e \left[ \Gamma _ { \alpha \beta } ( \eta _ { 1 } , \eta ) \delta ( \eta - \eta _ { 2 } ) - \Gamma _ { \alpha \beta } ( \eta , \eta _ { 2 } ) \delta ( \eta - \eta _ { 1 } ) \right] .
	\int d ^ { D } p \, \, \, \frac { \partial } { \partial p _ { \lambda } } \left( p _ { \tau } \, \, \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } p \cdot R \cdot p } \right) = 0 .
	( { \frac { 1 } { \hat { \omega } } } \gamma ^ { 0 } \hat { \pi } _ { k } \Sigma ^ { k } - s ) _ { \alpha _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime } } { \bf \Psi } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { a } ^ { \prime } \ldots \alpha _ { N } } = 0 \; , \quad a = 1 , \ldots , N \; .
	\delta \ddot { \phi } _ { \vec { k } } + 2 \frac { \dot { a } } { a } \delta \dot { \phi } _ { \vec { k } } + k ^ { 2 } \delta \phi _ { \vec { k } } = 0 .
	I = \int \sqrt { - g } L ( \mathbf { A } , \mathbf { F } ) d ^ { 4 } x
	\ddot { \vec { f } } \ \ - \ \ \vec { f } ^ { \ \prime \prime } \ \ = \ \ 0 \ .
	k = \pm \omega \frac { \sqrt { 1 - \psi ^ { 2 } + \chi ^ { 2 } } \pm \psi \chi } { 1 - \psi ^ { 2 } } .
	\partial A _ { L } ^ { a } = \partial A _ { R } ^ { a } + \partial \partial ^ { * } \omega ^ { a } + { \cal O } ( g )
	\left( \hat { K } _ { x y } + \hat { K } _ { z t } \right) \Phi = 0 , \quad \hat { K } _ { x y } \Phi = \lambda \Phi = - \hat { K } _ { z t } \Phi
	\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } f ( n ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( n ) e ^ { 2 \pi i q n } \, d n .
	\frac { \delta C ( \kappa ) } { \delta \sigma ( x ) } \| _ { \sigma = 0 } = + 2 \kappa ^ { 2 } \sqrt { g ( x ) } \Psi _ { \kappa } ( x ) - 2 \int d \mu C ( \mu ) \Psi _ { \kappa } ( x ) \Psi _ { \mu } ( x ) \, \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } \sqrt { g ( x ) }
	T _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } \frac { \partial } { \partial \xi _ { i } } + E _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \; \; T _ { - } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } ^ { 2 } .
	\Psi ^ { ( + ) } ( { \bf r } ) \stackrel { \scriptscriptstyle ( r \rightarrow \infty ) } { \sim } e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf r } } + f _ { k } ^ { ( D ) } ( \Omega ^ { ( { D } ) } ) \, e ^ { i \gamma _ { { D } } } \, \frac { e ^ { i k r } } { r ^ { ( { D } - 1 ) / 2 } } \; ,
	d s ^ { 2 } = X ( \frac { d \eta ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } - \frac { d \mu ^ { 2 } } { 1 - \mu ^ { 2 } } ) - ( 1 - \mu ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } [ \chi d y ^ { 2 } + \frac { 1 } { \chi } ( d x - \lambda d y ) ^ { 2 } ] .
	\mu _ { n } ^ { ( N ) } = - \sum _ { k = n + 1 } ^ { N - 1 } \mu _ { k } ^ { ( N ) } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = n } ^ { N - 1 } \sum _ { p = 1 } ^ { N - k - 1 } K _ { k , k + p } \quad ( n \leq N - 2 ) .
	\Gamma _ { B L } / N _ { F } \approx M \chi _ { C S } = 7 - 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ( \alpha _ { W } T ) ^ { 4 }
	d s ^ { 2 } ( { \cal M } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) = \frac { d g _ { 2 } d \overline { { g _ { 2 } } } } { ( 1 - g _ { 2 } \overline { { g _ { 2 } } } ) ^ { 2 } } ,
	\frac { 1 } { 2 } \left\{ \sigma _ { \mu \nu } , \sigma _ { \alpha \beta } \right\} = \delta _ { \mu \alpha } \delta _ { \nu \beta } - \delta _ { \mu \beta } \delta _ { \nu \alpha } + i \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \gamma _ { 5 } .
	S _ { Y M } = \int d ^ { d } x \, \left( - \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \right) F _ { \mu \nu } * F ^ { \mu \nu } \, ,
	( \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } + q ) ( D - 2 ) = d ^ { 2 }
	\frac { \delta < H _ { \phi ^ { 3 } } ^ { \theta } > } { \delta G ( k ) } = \frac { 1 6 \pi ^ { 4 } \theta ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \frac { \delta z } { \delta G ( k ) } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } [ 1 - K ^ { 2 } ( p ) ( p ^ { 2 } + \lambda \eta ^ { 2 } ) ]
	\delta = \frac { 1 } { \pi } \int _ { \pi } ^ { \pi } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) S ^ { 2 } + ( 1 - r ^ { 2 } ) W ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } \right]
	a _ { 0 } ( t ) = a _ { \star } ( \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \rho _ { \star } ) ^ { q } \left( { \frac { 1 } { 7 2 q ^ { 2 } } } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \sigma t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 q } } t \right) ^ { q }
	{ \cal L } _ { e f f } ^ { f e r } = i \sqrt { 2 } \widetilde \psi _ { + } ^ { \dagger } \partial _ { + } \widetilde \psi _ { + } - e \sqrt { 2 } \widetilde { \psi _ { + } } ^ { \dagger } \widetilde { \psi } _ { + } \widetilde { V } _ { + } ^ { \prime } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \widetilde \xi ^ { \dagger } \left( \frac { 1 } { i \partial _ { - } - e V _ { - } ^ { C o u l } } \ast \widetilde \xi \right) - \frac 1 2 \frac { e ^ { 2 } } { 4 L ^ { 2 } } \widetilde \Gamma ^ { i } \left( { \cal G } _ { ( \perp ) } [ \widetilde { \cal M } _ { C o u l } ^ { 2 } ] \ast \widetilde \Gamma ^ { i } \right) \ ,
	\lambda \approx \frac { ( D - 2 ) \pi } { 2 4 \rho ^ { 2 } } - \frac { ( D - 2 ) \pi } { 1 2 \rho ^ { 3 } } \mu , \qquad s \rightarrow \infty .
	\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - 1 - s } = \zeta ( s + 1 )
	L \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } L } \left\{ L ^ { - \sigma } F ( L p ) \right\} = L ^ { - \sigma } G ( L p ) .
	\rho = \frac { I _ { 1 } ( 2 \beta ) } { I _ { 0 } ( 2 \beta ) } .
	d _ { H } { \frac { \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 3 } } { \beta _ { 0 } } } = 2 \left( 1 + \sqrt { 1 + { \frac { 8 } { Q ^ { 2 } } } } \right) \left[ { \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 1 - { \frac { 4 } { Q ^ { 2 } } } } } } - { \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 1 - { \frac { 2 } { Q ^ { 2 } } } } } } \right] > 0
	S _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { 1 - l o o p } } [ X , \xi ] = - \sum _ { i < j } t r \bigl ( \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 4 } } { 4 } + \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 8 } } { 8 } \bigr ) .
	\partial _ { + } T _ { -- } ^ { \prime } = 0 , \qquad \partial _ { - } T _ { + + } ^ { \prime } = 0 .
	\frac { \partial L _ { 0 } ^ { m } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } = \frac { \partial ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } \; \frac { \partial [ ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } { \partial ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } } \; \frac { \partial L _ { 0 } ^ { m } } { \partial [ ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } .
	\left[ \delta B _ { 1 } , \, B _ { 1 } ^ { \dagger } \right] - \left[ B _ { 1 } , \, \delta B _ { 1 } ^ { \dagger } \right] + \left[ \delta B _ { 2 } , \, B _ { 2 } ^ { \dagger } \right] - \left[ B _ { 2 } , \, \delta B _ { 2 } ^ { \dagger } \right] + \delta I I ^ { \dagger } - I \delta I ^ { \dagger } + \delta J ^ { \dagger } J - J ^ { \dagger } \delta J = 0 \, .
	\bar { P } _ { \sigma } ^ { ( \pm ) } = ( 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } ) ( 2 - 2 { \frac { \omega } { v } } + \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \mp s \sqrt { 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } } \; ( 2 - \omega v x ^ { 2 } ) { \frac { M \omega } { p _ { \perp } } } \, ,
	M _ { A B } = \left( \begin{matrix} { \varepsilon _ { a b c d } } & { 0 } \\ { 0 } & { i ( C \gamma _ { 5 } ) _ { i j } } \\ \end{matrix} \right) ,
	H _ { 0 } = P _ { 0 } ^ { - } = { \frac { 1 } { m } } \int d { \bf x } \sum _ { M = 1 } ^ { \infty } a _ { M } ^ { \dagger } ( { \bf x } ) { \frac { ( - \nabla ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) } { 2 M } } a _ { M } ( { \bf x } ) .
	S = \int \left( \frac { R } { 1 6 \pi G } - \frac { 1 } { 2 e } \mathrm { T r } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } ( D _ { \mu } \Phi D ^ { \mu } \Phi ) \right) \sqrt { - g } d ^ { 4 } x \
	\stackrel { \sim } { I } = I - \frac 1 { 4 \pi } \int _ { \partial \mathcal { M } _ { \infty } } d ^ { n } x
	\gamma _ { i } \equiv \Pi _ { 0 i } = 0 ,
	\psi ( \bar { q } , 1 ) \equiv \psi ( \bar { q } ) , \quad \psi ( \bar { q } , - 1 ) \equiv \psi ( \bar { q } + 2 \pi ) , \qquad \bar { q } \in [ 0 , 2 \pi ]
	\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { n ! } } \equiv 0 .
	\begin{array} { c c c c c c c } { } & { } & { } & { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { } & { 0 \! } & { } & { \! 0 } & { } & { } \\ { } & { 0 \! } & { } & { h ^ { 1 , 1 } } & { } & { \! 0 } & { } \\ { 1 \! } & { } & { h ^ { 1 , 2 } \! } & { } & { \! h ^ { 1 , 2 } } & { } & { \! 1 } \\ { } & { 0 \! } & { } & { h ^ { 1 , 1 } } & { } & { \! 0 } & { } \\ { } & { } & { 0 \! } & { } & { \! 0 } & { } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } & { } & { } & { } \\ \end{array} \ ,
	y ^ { \mu } = x ^ { \mu } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \, \zeta ^ { \mu } .

\frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { d c } c ^ { - 1 } \left( 1 - e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \frac { c } { 1 + c } } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( n + 1 ) ! } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d z \frac { z ^ { n } } { 1 - z } .

{ \frac { 1 } { 4 } } \, ( \alpha ^ { 2 } \, + \, 1 ) = \frac { \alpha ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \, + \, 1 }

\Psi _ { - e , p , x } = \sum _ { p , r = 1 , 2 } b _ { r } ( \vec { p } ) u ^ { ( r ) } ( \vec { p } ) e ^ { i p x }

f _ { \delta } ( \xi ) = \xi _ { 1 } ^ { 4 } + a _ { 0 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { 3 } + \xi _ { 2 } ^ { 6 }

{ \cal B } _ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i j k } { \cal F } _ { j k } = - { \frac { r _ { i } } { g r ^ { 3 } } }

N ( - F - C ) = { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A ^ { \prime } \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } - B ^ { \prime } F ) , \quad A ^ { \prime } \geq 0 , B ^ { \prime } > 0

\int _ { 0 } ^ { T } d \tau \psi _ { \mu } \psi _ { \nu } \omega _ { \mu \nu } = - T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ^ { \cdot } ( \psi \cdot \dot { x } ) + T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ( \dot { \psi } \cdot \dot { x } ) + { \frac { T } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \dot { x } \cdot \ddot { x }

\begin{array} { r l c r l } { \left[ H , \hat { A } _ { i j } \right] } & { = - \frac { 4 } { 3 } \hat { A } _ { i j } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { i j } \right] } & { = \frac { 4 } { 3 } \hat { A } ^ { i j } } \\ { \left[ H , \hat { A } _ { \kappa \rho } \right] } & { = - \frac { 2 } { 3 } \hat { A } _ { \kappa \rho } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { \kappa \rho } \right] } & { = \frac { 2 } { 3 } \hat { A } ^ { \kappa \rho } } \\ { \left[ H , \hat { A } _ { i \kappa } \right] } & { = - \hat { A } _ { i \kappa } } & { \phantom { S p a c e } } & { \left[ H , \hat { A } ^ { i \kappa } \right] } & { = \hat { A } ^ { i \kappa } \, . } \\ \end{array}

[ \delta ( \varepsilon _ { 1 } ) , \delta ( \varepsilon _ { 2 } ) ] A _ { \mu i } = D _ { \mu i } ^ { j } ( P ^ { m n } { } _ { , j } \varepsilon _ { 1 n } \varepsilon _ { 2 m } ) - ( \epsilon ^ { \nu \rho } D _ { \rho } X ^ { j } ) \epsilon _ { \nu \mu } P ^ { m n } { } _ { , j i } \; \varepsilon _ { 1 n } \varepsilon _ { 2 m }

{ \hat { Q } } = { \hat { \psi } } ^ { \mu } { \hat { p } } _ { \mu } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } ,

Q = { \frac { \partial } { \partial \theta } } + i \overline { { \theta } } \partial _ { 0 } \quad , \quad \overline { { Q } } = - { \frac { \partial } { \partial \overline { { \theta } } } } - i \theta \partial _ { 0 } \quad ,

\Phi = \int d t \, t \, v ^ { \dagger } v + \sum _ { j } t _ { j } S _ { j } ^ { \dagger } S _ { j }

G _ { \beta } ( \vec { x } , \tau ) = { \frac { 1 } { V } } \sum _ { \vec { p } } { \frac { 1 } { 2 E _ { p } } } \left[ { \frac { e ^ { i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { 1 - e ^ { - \beta E _ { p } } } } + { \frac { e ^ { - i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { e ^ { \beta E _ { p } } - 1 } } \right] \; .

\lambda ( t ) = t ^ { k } , \qquad v ( t ) = { \frac { \mu } { t ^ { k } } } , \qquad x ( t ) = y ( t ) = 0 .

t ( x ) Q ( x ) = a ( x ) Q ( x + i ) + b ( x ) Q ( x - i ) ,

\sigma _ { n } = f ( n ) \sigma _ { F } , \ \ \ \ \ \ 1 < f ( n ) < n

\psi _ { \pm } ( z ) = ( z ( 1 - z ) ) ^ { - 1 / 8 } \sqrt { 1 \pm \sqrt { 1 - z } } .

{ \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } \left( { \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } \left[ { \cal K } _ { 0 } ^ { b } ( { \bf r } ) + j _ { 0 } ^ { b } ( { \bf r } ) \right] \right) + { \cal L } _ { ( 1 ) } ^ { b s } { \nabla } ^ { 2 } \frac { 1 } { { \phi } ( r ) } j _ { 0 } ^ { s } ( { \bf r } ) = - { \cal L } _ { ( 2 ) } ^ { b s } { \cal K } _ { 0 } ^ { s } ( { \bf r } ) \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \;

{ \cal Z } \propto \int \! \left[ d z ( t ) d \alpha ( t ) \right] \, e ^ { - N s _ { \mathrm { e f f } } [ z , \alpha ] } \, ,

\beta _ { D } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( D - 1 ) ( D - 2 ) } } \, .

\langle A ( \zeta ) \rangle = \lambda ^ { n } \left[ a _ { 0 } ( v ) + \lambda a _ { 1 } ( v ) + \lambda ^ { 2 } a _ { 2 } ( v ) + \cdots \right] \, ,

K = \frac { 9 } { 4 } U ^ { 3 } + 3 T ^ { 2 } U - W ^ { 3 } \; .

\left[ \begin{matrix} { { \overline { \psi } } _ { r } } & { 0 } \\ \end{matrix} \right] \equiv { { \overline { \Psi } } _ { L } } _ { r } , \qquad \left[ \begin{matrix} { { \overline { \phi } } _ { s } } & { 0 } \\ \end{matrix} \right] \equiv { { \overline { \Phi } } _ { L } } _ { s } ;

V ^ { ( 0 ) } = { \frac { m } { 2 } } \left[ p _ { i } ( t ) p ^ { i } ( t ) + \omega ^ { 2 } q _ { i } ( t ) q ^ { i } ( t ) \right] + e A _ { 0 } ( t , \vec { q } ) + 2 \theta \int \, d ^ { 2 } x \, \epsilon _ { i j } \partial ^ { i } A ^ { j } ( t , \vec { x } ) A _ { 0 } ( t , \vec { x } ) \; .

x y - ( - 1 ) ^ { ( | x | + 1 ) ( | y | + 1 ) } y x = ( - 1 ) ^ { | x | } ( d ( x \circ y ) - d x \circ y - ( - 1 ) ^ { | x | } x \circ d y ) .

\chi _ { 1 } = \Theta _ { 1 } , ~ ~ \chi _ { 2 } = \Theta _ { 2 } , ~ ~ \chi _ { 3 } = z _ { 1 } + z _ { 1 } ^ { * }

J _ { \mu \nu } [ \xi | s ] = \tilde { g } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \dot { \xi } ^ { \sigma } ( s ) [ \bar { \psi } ( \xi ( s ) ) \gamma ^ { \rho } T ^ { i } \psi ( \xi ( s ) ) ] \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \tau _ { i } \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) ,

U = \left( \frac { \partial U _ { B } } { \partial \psi } \right) ^ { 2 } - U _ { B } ^ { 2 } .

\eta _ { 1 } ( v - \frac { m - 1 } { 2 } ) \xi _ { 1 } ( v - \frac { m - 2 } { 2 } ) \cdots \xi _ { m - 1 } ( v ) \eta _ { m - 1 } ( v + \frac { 1 } { 2 } ) = ( x ^ { 2 r } ; x ^ { 2 r } ) _ { \infty } ^ { 3 ( m - 1 ) } c _ { m } \eta _ { m } ( v )

\bar { a } = A \; \; \mathrm { a n d } \; \; \psi = B | t | ^ { \frac { 1 } 2 { } }

\langle 0 \mid \phi ^ { n } \mid 0 \rangle = \int d q \; \rho ( q ) q ^ { n }

\begin{array} { c c } { \langle \psi _ { 1 } ^ { I _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \psi _ { n } ^ { I _ { n } } ( x _ { n } ) \rangle = 0 ~ ~ ~ ~ } & { ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f ~ ~ ~ } \displaystyle { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \kappa _ { i } \neq 0 } \, . } \\ \end{array}

< q | \hat { p } _ { \alpha } | q ^ { \prime } > = \frac { - i \hbar } { g ^ { 1 / 4 } ( q ) } \frac { \partial } { \partial q ^ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { g ^ { 1 / 4 } ( q ) } \delta ^ { ( n ) } ( q - q ^ { \prime } ) \right) + \frac { 1 } { \sqrt { g ( q ) } } \, A _ { \alpha } ( q ) \delta ^ { ( n ) } ( q - q ^ { \prime } ) \ \ ,

\left\{ \varphi _ { \alpha } , \varphi _ { \beta } \right\} = - C _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \varphi _ { \gamma } .

A _ { i } ^ { ( 1 ) } = \frac { h ^ { 2 } k _ { i } - ( k . h ) h _ { i } } { k ^ { 2 } h ^ { 2 } - ( k . h ) ^ { 2 } } \, , \, \, \, \, A _ { i } ^ { ( 2 ) } = \frac { k ^ { 2 } h _ { i } - ( k . h ) k _ { i } } { k ^ { 2 } h ^ { 2 } - ( k . h ) ^ { 2 } } \, .

\| \psi \| ^ { 2 } { } ~ = ~ - { \frac { 1 } { 2 \pi G } } { \bar { \cal C } } ^ { ( \bar { k } ) } { \cal C } ^ { ( \bar { k } ) } \int _ { S _ { \infty } ^ { 2 } } d S ^ { \underline { { i } } } \, V ^ { - 1 } \partial _ { \underline { { i } } } V { } ~ = ~ 4 M _ { A D M } \| c \| ^ { 2 } \, ,

\delta S _ { 2 } = \mathrm { t o t a l ~ d e r i v a t i v e }

\zeta ^ { \mu } = \sigma ^ { \mu \nu } p _ { \nu } .

\sqrt { s } E - J = \sum _ { n } \left[ e ^ { U _ { 0 } } \frac { s } { J } N _ { n } ^ { r , \omega } | n | + \sqrt { 1 + e ^ { 2 U _ { 0 } } \frac { s ^ { 2 } } { J ^ { 2 } } n ^ { 2 } } N _ { n } ^ { y } \right] ,

p = \frac { [ f + g ] ^ { 1 / 3 } } { k _ { ( 5 ) } ^ { 2 } \sqrt { | \dot { f } \dot { g } | } } \left[ \frac { \ddot { g } } { \dot { g } } - \frac { \ddot { f } } { \dot { f } } \right] - \frac { 1 } { 3 } \rho .

f ( z ) = \alpha \prod _ { i = 1 , 2 } ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } \tilde { f } _ { 4 } ( z ) \, , \quad g ( z ) = \prod _ { i = 1 , 2 } ( z - z _ { i } ) ^ { 3 } \tilde { g } _ { 6 } ( z ) \, ,

\frac { 1 } { g _ { c } ^ { 2 } ( M _ { c } ) } = R e \left( \frac { 1 } { g _ { h } ^ { 2 } ( M _ { c } ) } \right) - \frac { 2 t _ { 2 } ( A ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathrm { l n } g _ { c } ( M _ { c } )

{ \cal H } _ { q } = { \cal H } \oplus { \cal M } _ { q } ^ { 2 }

\mathrm { k e r } ( C _ { u } ^ { \dagger } ) \simeq H _ { u } = ( T _ { u } P ) ^ { \mathrm { h o r i z o n t a l } } ,

\langle \varphi ^ { 2 } \rangle _ { M } ^ { \mathrm { t h } } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \left( \omega ^ { 2 } + 2 m \omega \right) ^ { 1 / 2 } d \omega } { e ^ { ( m + \omega ) / T } - 1 } , \quad T = \frac { 1 } { 2 \pi \xi }

+ \frac { \hbar } { 8 \pi ^ { 2 } } \alpha ^ { 4 } \phi _ { c } ^ { 4 } \sum _ { N = m + 1 } ^ { \infty } \frac { K _ { 2 } \left( 2 N \alpha a \phi _ { c } \right) } { \left( N \alpha a \phi _ { c } \right) ^ { 2 } } ,

g ^ { \pm } = { \frac { \sqrt { 8 - c } } { 8 \sqrt { 6 } } } \pm \sqrt { h + 1 / 4 8 - c / 2 4 } { } ~ .

( { } ^ { ( 3 ) } \bigtriangleup A ) _ { k } = { \frac { \partial ^ { 2 } A _ { k } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { } ^ { ( 2 ) } \bigtriangleup A ) _ { k } - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } A _ { k } + { \frac { 2 } { r } } \partial _ { k } A _ { r } .

{ \textstyle \frac { 1 } { 1 8 } } ( d x x x ) ^ { 2 } \, g _ { A E } \, g _ { B F } \, g _ { C G } \, \frac { \partial } { \partial x ^ { D } } C ^ { E F G } = - 6 g _ { D F } \, E _ { A B C E } ^ { F } \, x ^ { E } = 6 g _ { E } \, E _ { A B C D } ^ { E } \ .

M ^ { 2 } = m _ { D } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { m _ { D } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) .

f ( x ) \star g ( x ) = \left[ e ^ { { \frac { i } { 2 } } \theta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } ^ { ( \zeta ) } \partial _ { \nu } ^ { ( \eta ) } } f ( x + \zeta ) g ( x + \eta ) \right] _ { \zeta = 0 = \eta }

\{ Q _ { 1 } ^ { + } , Q _ { 1 } ^ { - } \} = \int { \frac { d z } { 2 \pi i } } e ^ { - \phi } \psi ^ { + } ( z ) .

c ( v ) ^ { 2 } + ( v , v ) = 0 \qquad v \in T ^ { * } M \ .

a _ { l } = \displaystyle \frac { 1 } { 4 } ( l - 2 ) ^ { - 2 } - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 8 } \displaystyle \frac { 2 l - 3 } { ( l - 1 ) ^ { 3 } ( l - 2 ) ^ { 3 } } + 0 ( x ^ { 4 } ) ,

\hat { \cal S } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \hat { g } } e ^ { - 2 \phi } \left\{ \hat { R } + \hat { \kappa } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - \frac 1 { 1 2 } \hat { H } _ { [ 3 ] } ^ { 2 } - \hat { U } \right\} ,

\overline { { \beta } } ( \overline { { g } } ) = \beta ^ { ( 1 ) } \; \overline { { g } } .

{ \cal E _ { C } ^ { \mathrm { \tiny ~ b a r e } } } [ \phi _ { 0 } ] \sim \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } | E _ { j } - \omega | \, .

D _ { a } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta ) = i e \left[ \Gamma _ { \alpha \beta } ( \eta _ { 1 } , \eta ) \delta ( \eta - \eta _ { 2 } ) - \Gamma _ { \alpha \beta } ( \eta , \eta _ { 2 } ) \delta ( \eta - \eta _ { 1 } ) \right] .

\int d ^ { D } p \, \, \, \frac { \partial } { \partial p _ { \lambda } } \left( p _ { \tau } \, \, \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } p \cdot R \cdot p } \right) = 0 .

( { \frac { 1 } { \hat { \omega } } } \gamma ^ { 0 } \hat { \pi } _ { k } \Sigma ^ { k } - s ) _ { \alpha _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime } } { \bf \Psi } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { a } ^ { \prime } \ldots \alpha _ { N } } = 0 \; , \quad a = 1 , \ldots , N \; .

\delta \ddot { \phi } _ { \vec { k } } + 2 \frac { \dot { a } } { a } \delta \dot { \phi } _ { \vec { k } } + k ^ { 2 } \delta \phi _ { \vec { k } } = 0 .

I = \int \sqrt { - g } L ( \mathbf { A } , \mathbf { F } ) d ^ { 4 } x

\ddot { \vec { f } } \ \ - \ \ \vec { f } ^ { \ \prime \prime } \ \ = \ \ 0 \ .

k = \pm \omega \frac { \sqrt { 1 - \psi ^ { 2 } + \chi ^ { 2 } } \pm \psi \chi } { 1 - \psi ^ { 2 } } .

\partial A _ { L } ^ { a } = \partial A _ { R } ^ { a } + \partial \partial ^ { * } \omega ^ { a } + { \cal O } ( g )

\left( \hat { K } _ { x y } + \hat { K } _ { z t } \right) \Phi = 0 , \quad \hat { K } _ { x y } \Phi = \lambda \Phi = - \hat { K } _ { z t } \Phi

\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } f ( n ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( n ) e ^ { 2 \pi i q n } \, d n .

\frac { \delta C ( \kappa ) } { \delta \sigma ( x ) } | _ { \sigma = 0 } = + 2 \kappa ^ { 2 } \sqrt { g ( x ) } \Psi _ { \kappa } ( x ) - 2 \int d \mu C ( \mu ) \Psi _ { \kappa } ( x ) \Psi _ { \mu } ( x ) \, \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } \sqrt { g ( x ) }

T _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } \frac { \partial } { \partial \xi _ { i } } + E _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \; \; T _ { - } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } ^ { 2 } .

\Psi ^ { ( + ) } ( { \bf r } ) \stackrel { \scriptscriptstyle ( r \rightarrow \infty ) } { \sim } e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf r } } + f _ { k } ^ { ( D ) } ( \Omega ^ { ( { D } ) } ) \, e ^ { i \gamma _ { { D } } } \, \frac { e ^ { i k r } } { r ^ { ( { D } - 1 ) / 2 } } \; ,

d s ^ { 2 } = X ( \frac { d \eta ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } - \frac { d \mu ^ { 2 } } { 1 - \mu ^ { 2 } } ) - ( 1 - \mu ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } [ \chi d y ^ { 2 } + \frac { 1 } { \chi } ( d x - \lambda d y ) ^ { 2 } ] .

\mu _ { n } ^ { ( N ) } = - \sum _ { k = n + 1 } ^ { N - 1 } \mu _ { k } ^ { ( N ) } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = n } ^ { N - 1 } \sum _ { p = 1 } ^ { N - k - 1 } K _ { k , k + p } \quad ( n \leq N - 2 ) .

\Gamma _ { B L } / N _ { F } \approx M \chi _ { C S } = 7 - 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ( \alpha _ { W } T ) ^ { 4 }

d s ^ { 2 } ( { \cal M } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) = \frac { d g _ { 2 } d \overline { { g _ { 2 } } } } { ( 1 - g _ { 2 } \overline { { g _ { 2 } } } ) ^ { 2 } } ,

\frac { 1 } { 2 } \left\{ \sigma _ { \mu \nu } , \sigma _ { \alpha \beta } \right\} = \delta _ { \mu \alpha } \delta _ { \nu \beta } - \delta _ { \mu \beta } \delta _ { \nu \alpha } + i \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \gamma _ { 5 } .

S _ { Y M } = \int d ^ { d } x \, \left( - \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \right) F _ { \mu \nu } * F ^ { \mu \nu } \, ,

( \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } + q ) ( D - 2 ) = d ^ { 2 }

\frac { \delta < H _ { \phi ^ { 3 } } ^ { \theta } > } { \delta G ( k ) } = \frac { 1 6 \pi ^ { 4 } \theta ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \frac { \delta z } { \delta G ( k ) } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } [ 1 - K ^ { 2 } ( p ) ( p ^ { 2 } + \lambda \eta ^ { 2 } ) ]

\delta = \frac { 1 } { \pi } \int _ { \pi } ^ { \pi } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) S ^ { 2 } + ( 1 - r ^ { 2 } ) W ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } \right]

a _ { 0 } ( t ) = a _ { \star } ( \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \rho _ { \star } ) ^ { q } \left( { \frac { 1 } { 7 2 q ^ { 2 } } } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \sigma t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 q } } t \right) ^ { q }

{ \cal L } _ { e f f } ^ { f e r } = i \sqrt { 2 } \widetilde \psi _ { + } ^ { \dagger } \partial _ { + } \widetilde \psi _ { + } - e \sqrt { 2 } \widetilde { \psi _ { + } } ^ { \dagger } \widetilde { \psi } _ { + } \widetilde { V } _ { + } ^ { \prime } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \widetilde \xi ^ { \dagger } \left( \frac { 1 } { i \partial _ { - } - e V _ { - } ^ { C o u l } } \ast \widetilde \xi \right) - \frac 1 2 \frac { e ^ { 2 } } { 4 L ^ { 2 } } \widetilde \Gamma ^ { i } \left( { \cal G } _ { ( \perp ) } [ \widetilde { \cal M } _ { C o u l } ^ { 2 } ] \ast \widetilde \Gamma ^ { i } \right) \ ,

\lambda \approx \frac { ( D - 2 ) \pi } { 2 4 \rho ^ { 2 } } - \frac { ( D - 2 ) \pi } { 1 2 \rho ^ { 3 } } \mu , \qquad s \rightarrow \infty .

\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - 1 - s } = \zeta ( s + 1 )

L \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } L } \left\{ L ^ { - \sigma } F ( L p ) \right\} = L ^ { - \sigma } G ( L p ) .

\rho = \frac { I _ { 1 } ( 2 \beta ) } { I _ { 0 } ( 2 \beta ) } .

d _ { H } { \frac { \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 3 } } { \beta _ { 0 } } } = 2 \left( 1 + \sqrt { 1 + { \frac { 8 } { Q ^ { 2 } } } } \right) \left[ { \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 1 - { \frac { 4 } { Q ^ { 2 } } } } } } - { \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 1 - { \frac { 2 } { Q ^ { 2 } } } } } } \right] > 0

S _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { 1 - l o o p } } [ X , \xi ] = - \sum _ { i < j } t r \bigl ( \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 4 } } { 4 } + \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 8 } } { 8 } \bigr ) .

\partial _ { + } T _ { -- } ^ { \prime } = 0 , \qquad \partial _ { - } T _ { + + } ^ { \prime } = 0 .

\frac { \partial L _ { 0 } ^ { m } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } = \frac { \partial ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } \; \frac { \partial [ ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } { \partial ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } } \; \frac { \partial L _ { 0 } ^ { m } } { \partial [ ( \dot { x } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } .

\left[ \delta B _ { 1 } , \, B _ { 1 } ^ { \dagger } \right] - \left[ B _ { 1 } , \, \delta B _ { 1 } ^ { \dagger } \right] + \left[ \delta B _ { 2 } , \, B _ { 2 } ^ { \dagger } \right] - \left[ B _ { 2 } , \, \delta B _ { 2 } ^ { \dagger } \right] + \delta I I ^ { \dagger } - I \delta I ^ { \dagger } + \delta J ^ { \dagger } J - J ^ { \dagger } \delta J = 0 \, .

\bar { P } _ { \sigma } ^ { ( \pm ) } = ( 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } ) ( 2 - 2 { \frac { \omega } { v } } + \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \mp s \sqrt { 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } } \; ( 2 - \omega v x ^ { 2 } ) { \frac { M \omega } { p _ { \perp } } } \, ,

M _ { A B } = \left( \begin{matrix} { \varepsilon _ { a b c d } } & { 0 } \\ { 0 } & { i ( C \gamma _ { 5 } ) _ { i j } } \\ \end{matrix} \right) ,

H _ { 0 } = P _ { 0 } ^ { - } = { \frac { 1 } { m } } \int d { \bf x } \sum _ { M = 1 } ^ { \infty } a _ { M } ^ { \dagger } ( { \bf x } ) { \frac { ( - \nabla ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) } { 2 M } } a _ { M } ( { \bf x } ) .

S = \int \left( \frac { R } { 1 6 \pi G } - \frac { 1 } { 2 e } \mathrm { T r } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } ( D _ { \mu } \Phi D ^ { \mu } \Phi ) \right) \sqrt { - g } d ^ { 4 } x \

\stackrel { \sim } { I } = I - \frac 1 { 4 \pi } \int _ { \partial \mathcal { M } _ { \infty } } d ^ { n } x

\gamma _ { i } \equiv \Pi _ { 0 i } = 0 ,

\psi ( \bar { q } , 1 ) \equiv \psi ( \bar { q } ) , \quad \psi ( \bar { q } , - 1 ) \equiv \psi ( \bar { q } + 2 \pi ) , \qquad \bar { q } \in [ 0 , 2 \pi ]

\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { n ! } } \equiv 0 .

\begin{array} { c c c c c c c } { } & { } & { } & { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { } & { 0 \! } & { } & { \! 0 } & { } & { } \\ { } & { 0 \! } & { } & { h ^ { 1 , 1 } } & { } & { \! 0 } & { } \\ { 1 \! } & { } & { h ^ { 1 , 2 } \! } & { } & { \! h ^ { 1 , 2 } } & { } & { \! 1 } \\ { } & { 0 \! } & { } & { h ^ { 1 , 1 } } & { } & { \! 0 } & { } \\ { } & { } & { 0 \! } & { } & { \! 0 } & { } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } & { } & { } & { } \\ \end{array} \ ,

y ^ { \mu } = x ^ { \mu } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \, \zeta ^ { \mu } .