Datasets:
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lean_github

Dataset card Data Studio Files Community
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https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact tendsto_nhdsWithin_congr (fun t m ↦ (e t m).symm) Complex.continuous_abs.continuousWithinAt
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) e : βˆ€ y ∈ t, (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y ⊒ Tendsto (s.potential c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (Complex.abs x))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) e : βˆ€ y ∈ t, (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y ⊒ Tendsto (s.potential c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (Complex.abs x)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
intro y m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) ⊒ βˆ€ y ∈ t, (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) ⊒ βˆ€ y ∈ t, (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
simp only [Function.comp]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.potential c (r c y) = Complex.abs y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (s.potential c ∘ r c) y = Complex.abs y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact (g.eqn.self_of_nhdsSet (c, y) ⟨rfl, m⟩).potential
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.potential c (r c y) = Complex.abs y
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.potential c (r c y) = Complex.abs y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
refine eq_of_nhds_neBot (cp.map ?_ (Filter.tendsto_map' ?_))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ b c z = x ^ d ^ n
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (b c) z case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ b c z = x ^ d ^ n TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
rw [← hb]
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (b c) z
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (s.bottcherNearIter n c) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (b c) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact (s.bottcherNearIter_holomorphic m).along_snd.continuousAt
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (s.bottcherNearIter n c) z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ ContinuousAt (s.bottcherNearIter n c) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
have e : βˆ€ y, y ∈ t β†’ (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n := by intro y m simp only [Function.comp, ← hb, ← hn] exact (g.eqn.self_of_nhdsSet (c, y) ⟨rfl, m⟩).eqn
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n))
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b e : βˆ€ y ∈ t, (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact tendsto_nhdsWithin_congr (fun t m ↦ (e t m).symm) (continuous_pow _).continuousWithinAt
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b e : βˆ€ y ∈ t, (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b e : βˆ€ y ∈ t, (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n ⊒ Tendsto (b c ∘ r c) (𝓝[t] x) (𝓝 (x ^ d ^ n)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
intro y m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ βˆ€ y ∈ t, (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b ⊒ βˆ€ y ∈ t, (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n TACTIC:
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
simp only [Function.comp, ← hb, ← hn]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c y) = y ^ d ^ s.np c p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ (b c ∘ r c) y = y ^ d ^ n TACTIC:
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[289, 1]
[359, 65]
exact (g.eqn.self_of_nhdsSet (c, y) ⟨rfl, m⟩).eqn
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c y) = y ^ d ^ s.np c p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p za : 0 < Complex.abs x t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• nc : mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[n] z) β‰  0 m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b y : β„‚ m : y ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c y) = y ^ d ^ s.np c p TACTIC:
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[289, 1]
[359, 65]
apply eqn_near ian
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s n (fun e y => i e (y ^ d ^ n)) y
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (x ^ d ^ n))) ∈ s.near case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (i y.1 (y.2 ^ d ^ n))) = y.2 ^ d ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s n (fun e y => i e (y ^ d ^ n)) y TACTIC:
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[289, 1]
[359, 65]
simp only [←bz]
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (x ^ d ^ n))) ∈ s.near
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (b c z))) ∈ s.near
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (x ^ d ^ n))) ∈ s.near TACTIC:
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
rw [ib.self_of_nhds]
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (b c z))) ∈ s.near
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (c, z).2) ∈ s.near
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (i c (b c z))) ∈ s.near TACTIC:
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[289, 1]
[359, 65]
exact m
case h.left.mem S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ (c, (f c)^[n] (c, z).2) ∈ s.near
no goals
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refine (pt.eventually bi).mp (eventually_of_forall ?_)
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (i y.1 (y.2 ^ d ^ n))) = y.2 ^ d ^ n
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), b (x.1, x.2 ^ d ^ n).1 (i (x.1, x.2 ^ d ^ n).1 (x.1, x.2 ^ d ^ n).2) = (x.1, x.2 ^ d ^ n).2 β†’ s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (i x.1 (x.2 ^ d ^ n))) = x.2 ^ d ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (i y.1 (y.2 ^ d ^ n))) = y.2 ^ d ^ n TACTIC:
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intro _ bi
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), b (x.1, x.2 ^ d ^ n).1 (i (x.1, x.2 ^ d ^ n).1 (x.1, x.2 ^ d ^ n).2) = (x.1, x.2 ^ d ^ n).2 β†’ s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (i x.1 (x.2 ^ d ^ n))) = x.2 ^ d ^ n
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : b (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (i (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2) = (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2 ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n
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simp only [← hb] at bi
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : b (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (i (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2) = (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2 ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : s.bottcherNearIter n x✝.1 (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n)) = x✝.2 ^ d ^ n ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : b (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (i (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).1 (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2) = (x✝.1, x✝.2 ^ d ^ n).2 ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact bi
case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : s.bottcherNearIter n x✝.1 (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n)) = x✝.2 ^ d ^ n ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.loc S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) x✝ : β„‚ Γ— β„‚ bi : s.bottcherNearIter n x✝.1 (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n)) = x✝.2 ^ d ^ n ⊒ s.bottcherNear x✝.1 ((f x✝.1)^[n] (i x✝.1 (x✝.2 ^ d ^ n))) = x✝.2 ^ d ^ n TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
have ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y ↦ (r c y, i c (y ^ d ^ n)) := by apply cp.prod; refine Filter.Tendsto.mono_left ?_ nhdsWithin_le_nhds have ic := ian.along_snd.continuousAt simp only [ContinuousAt, ←bz] at ic; rw [ib.self_of_nhds] at ic exact ic
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
have inj := (@Filter.Eventually.frequently _ _ ne _ (Filter.Eventually.filter_mono inf_le_left (ba.along_snd.local_inj nc))).filter_mono inf_le_right
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : S Γ— S) in Filter.map (fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n))) (𝓝[t] x), s.bottcherNearIter n c x.1 = s.bottcherNearIter n c x.2 β†’ x.1 = x.2 ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y TACTIC:
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
simp only [Filter.frequently_map, frequently_nhdsWithin_iff] at inj
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : S Γ— S) in Filter.map (fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n))) (𝓝[t] x), s.bottcherNearIter n c x.1 = s.bottcherNearIter n c x.2 β†’ x.1 = x.2 ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : S Γ— S) in Filter.map (fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n))) (𝓝[t] x), s.bottcherNearIter n c x.1 = s.bottcherNearIter n c x.2 β†’ x.1 = x.2 ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
apply inj.mp
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ t ∧ i c (y ^ d ^ n) = r c y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
apply ((continuousAt_const.prod (continuousAt_pow _ _)).eventually bi).mp
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
apply eventually_of_forall
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
simp only [← hb, ← hn]
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p β†’ (s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), b (c, x ^ d ^ n).1 (i (c, x ^ d ^ n).1 (c, x ^ d ^ n).2) = (c, x ^ d ^ n).2 β†’ (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ n) = r c x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
intro x bi ⟨inj, m⟩
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p β†’ (s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t ⊒ βˆ€ (x : β„‚), s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p β†’ (s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p)) ∧ x ∈ t β†’ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
refine ⟨m, (inj ?_).symm⟩
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ x ∈ t ∧ i c (x ^ d ^ s.np c p) = r c x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
simp only [bi]
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p))
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = x ^ d ^ s.np c p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) TACTIC:
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact (g.eqn.self_of_nhdsSet ⟨c, x⟩ (mk_mem_prod rfl m)).eqn
case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = x ^ d ^ s.np c p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right.hp S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x✝ : β„‚ ax : Complex.abs x✝ ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x✝ ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x✝) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x✝ n : β„• m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x✝ ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x✝ ^ d ^ n) bi✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x✝)) (𝓝 (c, x✝ ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x✝) ne : MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x✝) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) inj✝ : βˆƒαΆ  (x : β„‚) in 𝓝 x✝, (s.bottcherNearIter n c (r c x) = s.bottcherNearIter n c (i c (x ^ d ^ n)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ n)) ∧ x ∈ t x : β„‚ bi : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) = x ^ d ^ s.np c p inj : s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = s.bottcherNearIter (s.np c p) c (i c (x ^ d ^ s.np c p)) β†’ r c x = i c (x ^ d ^ s.np c p) m : x ∈ t ⊒ s.bottcherNearIter (s.np c p) c (r c x) = x ^ d ^ s.np c p TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
apply cp.prod
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝[t] x) (𝓝 z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ MapClusterPt (z, z) (𝓝[t] x) fun y => (r c y, i c (y ^ d ^ n)) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
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refine Filter.Tendsto.mono_left ?_ nhdsWithin_le_nhds
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝[t] x) (𝓝 z)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝[t] x) (𝓝 z) TACTIC:
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[289, 1]
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have ic := ian.along_snd.continuousAt
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : ContinuousAt (fun y => i c (y ^ d ^ n)) x ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z) TACTIC:
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simp only [ContinuousAt, ←bz] at ic
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : ContinuousAt (fun y => i c (y ^ d ^ n)) x ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
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rw [ib.self_of_nhds] at ic
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : Tendsto (fun y => i c (y ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 (i c (b c z))) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : Tendsto (fun y => i c (y ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 (c, z).2) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : Tendsto (fun y => i c (y ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 (i c (b c z))) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.point
[289, 1]
[359, 65]
exact ic
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : Tendsto (fun y => i c (y ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 (c, z).2) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z✝ : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s x : β„‚ ax : Complex.abs x ≀ p t : Set β„‚ := ball 0 p xt : x ∈ closure t z : S za : 0 < s.potential c z cp : MapClusterPt z (𝓝[t] x) (r c) pz : s.potential c z = Complex.abs x n : β„• m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near hn : s.np c p = n b : β„‚ β†’ S β†’ β„‚ hb : s.bottcherNearIter n = b bz : b c z = x ^ d ^ n post : Postcritical s c z ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (c, z) nc : mfderiv I I (s.bottcherNearIter n c) z β‰  0 i : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S ia : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry i) (c, x ^ d ^ n) bi : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x ^ d ^ n), b x.1 (i x.1 x.2) = x.2 ib : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— S) in 𝓝 (c, z), i x.1 (b x.1 x.2) = x.2 pt : Tendsto (fun p => (p.1, p.2 ^ d ^ n)) (𝓝 (c, x)) (𝓝 (c, x ^ d ^ n)) ian : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e y => i e (y ^ d ^ n)) (c, x) ic : Tendsto (fun y => i c (y ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 (c, z).2) ⊒ Tendsto (fun x => i c (x ^ d ^ n)) (𝓝 x) (𝓝 z) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
have ba := s.bottcherNearIter_holomorphic e0.self_of_nhds.near
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
have inj := ba.local_inj' (eqn_noncritical e0 x0)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r0 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
nth_rw 2 [r01] at inj
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r0 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r0 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
have t : Tendsto (fun x : β„‚ Γ— β„‚ ↦ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) := continuousAt_fst.prod (e0.self_of_nhds.holo.continuousAt.prod e1.self_of_nhds.holo.continuousAt)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
apply (t.eventually inj).mp
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
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[362, 1]
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refine e0.mp (e1.mp (eventually_of_forall fun x e1 e0 inj ↦ ?_))
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r0 y e1 : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s n r1 y r01 : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 x0 : x.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x.1, r0 x.1 x.2) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, (s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
specialize inj _
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
simp only [Prod.fst]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n x.1 (r0 x.1 x.2) = s.bottcherNearIter n x.1 (r1 x.1 x.2) S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
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S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n x.1 (r0 x.1 x.2) = s.bottcherNearIter n x.1 (r1 x.1 x.2) S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNearIter n (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ s.bottcherNearIter n x.1 (r0 x.1 x.2) = s.bottcherNearIter n x.1 (r1 x.1 x.2) S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
simp only [uncurry, Prod.fst, Prod.snd, Prod.ext_iff] at inj
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqn_unique
[362, 1]
[375, 74]
exact inj
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S x✝ : β„‚ Γ— β„‚ e0✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r0 y e1✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x✝, Eqn s n r1 y r01 : r0 x✝.1 x✝.2 = r1 x✝.1 x✝.2 x0 : x✝.2 β‰  0 ba : HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry (s.bottcherNearIter n)) (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2), s.bottcherNearIter n p.1 p.2.1 = s.bottcherNearIter n p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 x✝) (𝓝 (x✝.1, r0 x✝.1 x✝.2, r1 x✝.1 x✝.2)) x : β„‚ Γ— β„‚ e1 : Eqn s n r1 x e0 : Eqn s n r0 x inj : r0 x.1 x.2 = r1 x.1 x.2 ⊒ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
set u := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x}
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x ne : βˆƒ x ∈ t, uncurry r1 x = uncurry r2 x ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x ne : βˆƒ x ∈ t, uncurry r1 x = uncurry r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x ne : βˆƒ x ∈ t, uncurry r1 x = uncurry r2 x ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
replace ne : (t ∩ u).Nonempty := ne
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x ne : βˆƒ x ∈ t, uncurry r1 x = uncurry r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x ne : βˆƒ x ∈ t, uncurry r1 x = uncurry r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
have op : t ∩ u βŠ† interior u := by intro ⟨c, x⟩ ⟨mt, mu⟩; rw [mem_interior_iff_mem_nhds] by_cases x0 : x = 0; exact ((e1 _ mt).start x0).trans ((e2 _ mt).start x0).symm exact eqn_unique (e1 _ mt).eqn (e2 _ mt).eqn mu x0
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
have cl : t ∩ closure u βŠ† u := by intro x ⟨mt, mu⟩; simp only [mem_setOf, mem_closure_iff_frequently, mem_inter_iff] at mu ⊒ exact tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq (e1 _ mt).holo.continuousAt (e2 _ mt).holo.continuousAt mu
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u cl : t ∩ closure u βŠ† u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
exact _root_.trans (pre.relative_clopen ne op cl) interior_subset
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u cl : t ∩ closure u βŠ† u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u cl : t ∩ closure u βŠ† u ⊒ EqOn (uncurry r1) (uncurry r2) t TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
intro ⟨c, x⟩ ⟨mt, mu⟩
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty ⊒ t ∩ u βŠ† interior u
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ (c, x) ∈ interior u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty ⊒ t ∩ u βŠ† interior u TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
rw [mem_interior_iff_mem_nhds]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ (c, x) ∈ interior u
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ (c, x) ∈ interior u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
by_cases x0 : x = 0
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
exact ((e1 _ mt).start x0).trans ((e2 _ mt).start x0).symm
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
exact eqn_unique (e1 _ mt).eqn (e2 _ mt).eqn mu x0
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty c x : β„‚ mt : (c, x) ∈ t mu : (c, x) ∈ u x0 : Β¬x = 0 ⊒ u ∈ 𝓝 (c, x) TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
intro x ⟨mt, mu⟩
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u ⊒ t ∩ closure u βŠ† u
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : x ∈ closure u ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u ⊒ t ∩ closure u βŠ† u TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
simp only [mem_setOf, mem_closure_iff_frequently, mem_inter_iff] at mu ⊒
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : x ∈ closure u ⊒ x ∈ u
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : βˆƒαΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, x ∈ u ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : x ∈ closure u ⊒ x ∈ u TACTIC:
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eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
exact tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq (e1 _ mt).holo.continuousAt (e2 _ mt).holo.continuousAt mu
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : βˆƒαΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, x ∈ u ⊒ x ∈ u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : βˆƒαΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, x ∈ u ⊒ x ∈ u TACTIC:
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Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
by_cases pos : p0 < 0
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have m : (c, (0 : β„‚)) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall (0 : β„‚) p0 := mem_domain c (not_lt.mp pos)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
refine HolomorphicOn.eq_of_locally_eq g0.holo (g1.holo.mono (domain_mono _ p01)) (domain_preconnected _ _) ⟨(c, 0), m, ?_⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have t : ContinuousAt (fun x : β„‚ Γ— β„‚ ↦ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) := continuousAt_fst.prod ((g0.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m)).self_of_nhds.holo.continuousAt.prod (g1.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet (domain_mono c p01 m))).self_of_nhds.holo.continuousAt)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
simp only [ContinuousAt, g0.zero, g1.zero] at t
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have inj := (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).local_inj' (s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
refine ((t.eventually inj).and (g0.start.and g1.start)).mp (eventually_of_forall ?_)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
intro ⟨e, y⟩ ⟨inj, s0, s1⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
exact inj (s0.trans s1.symm)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
simp only [Metric.closedBall_eq_empty.mpr pos, singleton_prod, image_empty, nhdsSet_empty, Filter.EventuallyEq, Filter.eventually_bot]
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
set n := s.np c p
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r', Grow s c p (s.np c p) r'
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r', Grow s c p (s.np c p) r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have m0 : (c, (0 : β„‚)) ∈ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p : Set (β„‚ Γ— β„‚)) := by simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, mem_ball_self g.pos]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use curry b.u
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact { nonneg := g.pos.le zero := by rw [curry, b.uf.self_of_nhdsSet m0, uncurry, g.zero] start := by refine g.start.mp ((b.uf.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m0)).mp (eventually_of_forall ?_)) intro x e b; simp only [curry, uncurry, Prod.mk.eta] at e ⊒; rw [e]; exact b eqn := by have fp := b.up simp only [closure_prod_eq, closure_singleton, closure_ball _ g.pos.ne'] at fp exact fp.mp (eventually_of_forall fun x e ↦ e.eqn.self_of_nhds) }
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [closure_prod_eq, closure_ball _ g.pos.ne', closure_singleton]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact isCompact_singleton.prod (isCompact_closedBall _ _)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro r0 r1 x e0 r01
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f_1 g : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {x : β„‚ Γ— β„‚}, Eqns s n r (curry f_1) x β†’ (𝓝 x).EventuallyEq f_1 g β†’ Eqns s n r (curry g) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f_1 g : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {x : β„‚ Γ— β„‚}, Eqns s n r (curry f_1) x β†’ (𝓝 x).EventuallyEq f_1 g β†’ Eqns s n r (curry g) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact e0.congr (by simp only [Function.uncurry_curry, r01])
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.uncurry_curry, r01]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Filter.eventually_iff]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p), Eqns s n r (curry (uncurry r)) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p), Eqns s n r (curry (uncurry r)) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [mem_nhdsSet_iff_forall]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro x m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact (g.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m)).eventually_nhds.mp (eventually_of_forall fun y e ↦ { eqn := e start := by simp only [Function.curry_uncurry, Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff] })
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.curry_uncurry, Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry (curry (uncurry r))) (uncurry r)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry (curry (uncurry r))) (uncurry r) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro ⟨c', x⟩ m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {x : β„‚ Γ— β„‚}, x ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) β†’ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {x : β„‚ Γ— β„‚}, x ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) β†’ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [closure_prod_eq, closure_ball _ g.pos.ne', closure_singleton, mem_prod_eq, mem_singleton_iff, mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero] at m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have ct : Tendsto (fun x ↦ (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) := continuousAt_const.prod continuousAt_id
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
by_cases x0 : x β‰  0
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [m.1]
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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[436, 1]
[498, 74]
rcases g.point m.2 with ⟨r', e, rr⟩
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use uncurry r'
case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
constructor
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have t : ContinuousAt (fun y : β„‚ Γ— β„‚ ↦ y.2) (c, x) := continuousAt_snd
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine e.eventually_nhds.mp ((t.eventually_ne x0).mp (eventually_of_forall ?_))
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro y y0 e
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact { eqn := e start := fun h ↦ (y0 h).elim }
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine ct.frequently (rr.mp (eventually_of_forall ?_))
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro x ⟨m, e⟩
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff]
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ x ∈ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x) TACTIC: