url
stringclasses 147
values | commit
stringclasses 147
values | file_path
stringlengths 7
101
| full_name
stringlengths 1
94
| start
stringlengths 6
10
| end
stringlengths 6
11
| tactic
stringlengths 1
11.2k
| state_before
stringlengths 3
2.09M
| state_after
stringlengths 6
2.09M
| input
stringlengths 73
2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | have pos : 0 < sSup t := lt_csSup_of_lt above start pos0 | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | by_cases missing : sSup t ∈ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | by_cases post : sSup t < s.p c | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : ¬sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | simp only [not_lt] at post | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : ¬sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : ¬sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | intro p p0 lt | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases exists_lt_of_lt_csSup ne (lt_of_lt_of_le lt post) with ⟨q, m, pq⟩ | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
q : ℝ
m : q ∈ t
pq : p < q
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact m.2 _ p0 pq.le | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
q : ℝ
m : q ∈ t
pq : p < q
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0✝ : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0✝
g0 : Grow s c p0✝ 0 r0
start : p0✝ ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : s.p c ≤ sSup t
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
lt : p < s.p c
q : ℝ
m : q ∈ t
pq : p < q
⊢ ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | intro p m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
⊢ ∀ p ∈ t, p < 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
⊢ p < 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
⊢ ∀ p ∈ t, p < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases self m with ⟨r, g⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
⊢ p < 1 | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c p (s.np c p) r
⊢ p < 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
⊢ p < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact g.p1 | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c p (s.np c p) r
⊢ p < 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
p : ℝ
m : p ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c p (s.np c p) r
⊢ p < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | use g0.nonneg | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
⊢ p0 ∈ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p0 → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
⊢ p0 ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | intro q q0 qp | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p0 → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p0 → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | use r0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ Grow s c q (s.np c q) r0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact (g0.anti q0 qp).mono (Nat.zero_le _) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ Grow s c q (s.np c q) r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p0
⊢ Grow s c q (s.np c q) r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases self missing with ⟨r, g⟩ | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases g.open with ⟨p, sp, g'⟩ | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | suffices m : p ∈ t by linarith [le_csSup above m] | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | use g'.self_of_nhds.nonneg | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ p ∈ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | intro q q0 qp | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | by_cases le : q ≤ sSup t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact missing.2 _ q0 le | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | use r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | simp only [not_le] at le | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ Grow s c q (s.np c q) r | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : sSup t < q
⊢ Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : ¬q ≤ sSup t
⊢ Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact (g'.self_of_nhds.anti q0 qp).mono (s.np_mono c le.le (lt_of_le_of_lt qp g'.self_of_nhds.p1)) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : sSup t < q
⊢ Grow s c q (s.np c q) r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
qp : q ≤ p
le : sSup t < q
⊢ Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | linarith [le_csSup above m] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
m : p ∈ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∈ t
r : ℂ → ℂ → S
g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
p : ℝ
sp : sSup t < p
g' : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r
m : p ∈ t
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exfalso | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | apply missing | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ False | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ sSup t ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | use pos.le | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ sSup t ∈ t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ sSup t → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ sSup t ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | intro q q0 le | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ sSup t → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ sSup t → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | by_cases lt : q < sSup t | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | have eq := le_antisymm le (not_lt.mp lt) | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rw [eq] | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | clear eq lt le q0 q | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : ¬q < sSup t
eq : q = sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases exists_seq_tendsto_sSup ne above with ⟨p, mono, tend, sub⟩ | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), p n ∈ t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | simp only [Set.range_subset_iff, mem_setOf, t] at sub | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), p n ∈ t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), p n ∈ t
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | set pr := fun k ↦ choose (self (sub k)) | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | have pg : ∀ k, Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) := fun k ↦
(choose_spec (self (sub k))).mono
(s.np_mono c (le_csSup above (sub k)) (lt_of_lt_of_le post s.p_le_one)) | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases join_r s pg mono tend with ⟨r, loc⟩ | case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
r : ℂ → ℂ → S
loc : ∀ (k : ℕ) (x : ℂ), Complex.abs x < p k → (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k))
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact (joined_growOpen s pg tend post pos loc).grow | case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
r : ℂ → ℂ → S
loc : ∀ (k : ℕ) (x : ℂ), Complex.abs x < p k → (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k))
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
p : ℕ → ℝ
mono : Monotone p
tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t))
sub : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ p n ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p n → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
pr : ℕ → ℂ → ℂ → S := fun k => choose ⋯
pg : ∀ (k : ℕ), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k)
r : ℂ → ℂ → S
loc : ∀ (k : ℕ) (x : ℂ), Complex.abs x < p k → (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k))
⊢ ∃ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | rcases exists_lt_of_lt_csSup ne lt with ⟨q', ⟨_, m⟩, qq⟩ | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
q' : ℝ
qq : q < q'
left✝ : 0 ≤ q'
m : ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ q' → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.grow | [579, 1] | [618, 23] | exact m _ q0 qq.le | case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
q' : ℝ
qq : q < q'
left✝ : 0 ≤ q'
m : ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ q' → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
t : Set ℝ := {p | 0 ≤ p ∧ ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ p → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r}
self : ∀ {p : ℝ}, p ∈ t → ∃ r, Grow s c p (s.np c p) r
t1 : ∀ p ∈ t, p < 1
above : BddAbove t
p0 : ℝ
r0 : ℂ → ℂ → S
pos0 : 0 < p0
g0 : Grow s c p0 0 r0
start : p0 ∈ t
ne : t.Nonempty
pos : 0 < sSup t
missing : sSup t ∉ t
post : sSup t < s.p c
q : ℝ
q0 : 0 ≤ q
le : q ≤ sSup t
lt : q < sSup t
q' : ℝ
qq : q < q'
left✝ : 0 ≤ q'
m : ∀ (q : ℝ), 0 ≤ q → q ≤ q' → ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
⊢ ∃ r, Grow s c q (s.np c q) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | generalize hr : (fun {c p} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c) ↦ choose (s.grow _ h.1 h.2)) = r | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | have g : ∀ {c p} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) := by
intro c p h; rw [← hr]; exact choose_spec _ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | clear hr | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | generalize hray : (fun c x : ℂ ↦
if h : abs x < s.p c then r ⟨Complex.abs.nonneg _, h⟩ c x else a) = ray | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | use ray | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
⊢ ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) ray | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
⊢ ∃ r, ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | intro c p p0 h | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
⊢ ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) ray | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
c : ℂ
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
h : p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ray | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
⊢ ∀ (c : ℂ) (p : ℝ), 0 ≤ p → p < s.p c → Grow s c p (s.np c p) ray
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | exact (g ⟨p0, h⟩).congr (loc ⟨p0, h⟩).symm | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
c : ℂ
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
h : p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ray | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
loc : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
c : ℂ
p : ℝ
p0 : 0 ≤ p
h : p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ray
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | intro c p h | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
⊢ ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) (r h) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
⊢ ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rw [← hr] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) (r h) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose ⋯) h) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) (r h)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | exact choose_spec _ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose ⋯) h) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
hr : (fun {c} {p} h => choose ⋯) = r
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose ⋯) h)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | intro c p h | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
⊢ ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
⊢ ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rcases(g h).open with ⟨q', pq', gh⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rcases exists_between (lt_min pq' h.2) with ⟨q, pq, qlo⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rcases lt_min_iff.mp qlo with ⟨qq', qs⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | have q0 : 0 ≤ q := _root_.trans h.1 pq.le | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | replace gh := gh.mp (eventually_of_forall fun c' g ↦ g.anti q0 qq'.le) | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
gh : ∀ᶠ (c' : ℂ) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h)
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | clear qlo qq' pq' q' | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q' : ℝ
pq' : p < q'
q : ℝ
pq : p < q
qlo : q < min q' (s.p c)
qq' : q < q'
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rcases eventually_nhds_iff.mp gh with ⟨t0, gh, ot0, ct0⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | rcases eventually_nhds_iff.mp (s.lowerSemicontinuous_p _ _ qs) with ⟨t1, lo, ot1, ct1⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | refine eventually_nhdsSet_iff_exists.mpr
⟨(t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q, (ot0.inter ot1).prod isOpen_ball, ?_, ?_⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ {c} ×ˢ closedBall 0 p ⊆ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ ∀ x ∈ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q, uncurry ray x = uncurry (r h) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ (𝓝ˢ ({c} ×ˢ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | exact prod_mono (singleton_subset_iff.mpr ⟨ct0, ct1⟩) (Metric.closedBall_subset_ball pq) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ {c} ×ˢ closedBall 0 p ⊆ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ {c} ×ˢ closedBall 0 p ⊆ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | intro ⟨e, x⟩ ⟨⟨et0, et1⟩, xq⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ ∀ x ∈ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q, uncurry ray x = uncurry (r h) x | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : (e, x).1 ∈ t0
et1 : (e, x).1 ∈ t1
xq : (e, x).2 ∈ ball 0 q
⊢ uncurry ray (e, x) = uncurry (r h) (e, x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
⊢ ∀ x ∈ (t0 ∩ t1) ×ˢ ball 0 q, uncurry ray x = uncurry (r h) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | simp only [uncurry] at et0 et1 xq ⊢ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : (e, x).1 ∈ t0
et1 : (e, x).1 ∈ t1
xq : (e, x).2 ∈ ball 0 q
⊢ uncurry ray (e, x) = uncurry (r h) (e, x) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : x ∈ ball 0 q
⊢ ray e x = r h e x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : (e, x).1 ∈ t0
et1 : (e, x).1 ∈ t1
xq : (e, x).2 ∈ ball 0 q
⊢ uncurry ray (e, x) = uncurry (r h) (e, x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | simp only [mem_ball, Complex.dist_eq, sub_zero] at xq | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : x ∈ ball 0 q
⊢ ray e x = r h e x | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
⊢ ray e x = r h e x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : x ∈ ball 0 q
⊢ ray e x = r h e x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | have hx : 0 ≤ abs x ∧ abs x < s.p e := ⟨Complex.abs.nonneg _, _root_.trans xq (lo _ et1)⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
⊢ ray e x = r h e x | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ ray e x = r h e x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
⊢ ray e x = r h e x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | simp only [← hray, dif_pos hx.2] | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ ray e x = r h e x | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ r ⋯ e x = r h e x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ ray e x = r h e x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | refine ((g hx).unique (gh _ et0) xq.le).self_of_nhdsSet (x := ⟨e, x⟩) ⟨rfl, ?_⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ r ⋯ e x = r h e x | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ (e, x).2 ∈ closedBall 0 (Complex.abs x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ r ⋯ e x = r h e x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Grow.lean | Super.has_ray | [625, 1] | [654, 45] | simp only [mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero, le_refl] | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ (e, x).2 ∈ closedBall 0 (Complex.abs x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
p✝ : ℝ
s✝ : Super f d a
r✝ : ℂ → ℂ → S
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
r : {c : ℂ} → {p : ℝ} → 0 ≤ p ∧ p < s.p c → ℂ → ℂ → S
g : ∀ {c : ℂ} {p : ℝ} (h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
ray : ℂ → ℂ → S
hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r ⋯ c x else a) = ray
c : ℂ
p : ℝ
h : 0 ≤ p ∧ p < s.p c
q : ℝ
pq : p < q
qs : q < s.p c
q0 : 0 ≤ q
gh✝ : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h)
t0 : Set ℂ
gh : ∀ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h)
ot0 : IsOpen t0
ct0 : c ∈ t0
t1 : Set ℂ
lo : ∀ x ∈ t1, q < s.p x
ot1 : IsOpen t1
ct1 : c ∈ t1
e x : ℂ
et0 : e ∈ t0
et1 : e ∈ t1
xq : Complex.abs x < q
hx : 0 ≤ Complex.abs x ∧ Complex.abs x < s.p e
⊢ (e, x).2 ∈ closedBall 0 (Complex.abs x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | clear n0s n1s n0 n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ ∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
⊢ ∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ ∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | intro n0 n1 n01 n0s _ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
⊢ ∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
⊢ ∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [← Nat.sub_add_cancel n01] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | have m : ∀ k, (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near := by
intro k; rw [Nat.add_comm]
simp only [Function.iterate_add, s.iter_stays_near n0s k, Function.comp] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | generalize hk : n1 - n0 = k | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (k + n0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n1 - n0 + n0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [Nat.add_comm] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (k + n0) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (k + n0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | clear hk | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
hk : n1 - n0 = k
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | induction' k with k h | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k) | case zero
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + 0)
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + (k + 1)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | by_cases n01 : n0 ≤ n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | case pos
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
case neg
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : ¬n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | exact h n01 n0s n1s | case pos
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | exact (h (not_le.mp n01).le n1s n0s).symm | case neg
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : ¬n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
n1s : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
h :
∀ {n0 n1 : ℕ},
n0 ≤ n1 → (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near → (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near → s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
n01 : ¬n0 ≤ n1
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | intro k | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
⊢ ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [Nat.add_comm] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[k + n0] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | simp only [Function.iterate_add, s.iter_stays_near n0s k, Function.comp] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[k + n0] z) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
k : ℕ
⊢ (c, (f c)^[k + n0] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | simp only [Nat.zero_eq, add_zero] | case zero
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | simp only [Nat.add_succ, Function.iterate_succ', Super.potential', Function.comp] | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + (k + 1)) | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c (f c ((f c)^[n0 + k] z))) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + (k + 1))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [s.bottcherNear_eqn (m k)] | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c (f c ((f c)^[n0 + k] z))) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹ | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z) ^ d) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c (f c ((f c)^[n0 + k] z))) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [pow_succ' _ (n0 + k), mul_inv, Complex.abs.map_pow, Real.rpow_mul, ← Real.rpow_natCast _ d] | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z) ^ d) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹ | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
((Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ ↑d) ^ (↑d)⁻¹) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z) ^ d) ^ (↑d ^ (n0 + k).succ)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | rw [← Real.rpow_mul (Complex.abs.nonneg _) _ d⁻¹,
mul_inv_cancel (s.superAtC.s (Set.mem_univ c)).drz, Real.rpow_one] | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
((Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ ↑d) ^ (↑d)⁻¹) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
((Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ ↑d) ^ (↑d)⁻¹) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | exact h | case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0] z)) ^ (↑d ^ n0)⁻¹ =
Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ (↑d ^ (n0 + k))⁻¹
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq' | [58, 1] | [78, 19] | bound | case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ.hx
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
z : S
n0 n1 : ℕ
n01 : n0 ≤ n1
n0s : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
a✝ : (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near
m : ∀ (k : ℕ), (c, (f c)^[n0 + k] z) ∈ s.near
k : ℕ
h : s.potential' c z n0 = s.potential' c z (n0 + k)
⊢ 0 ≤ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n0 + k] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq | [85, 1] | [89, 45] | have h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near := ⟨k,ks⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential c z = s.potential' c z k | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential c z = s.potential' c z k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential c z = s.potential' c z k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq | [85, 1] | [89, 45] | simp only [Super.potential, h, dif_pos] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential c z = s.potential' c z k | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z (Nat.find ⋯) = s.potential' c z k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential c z = s.potential' c z k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq | [85, 1] | [89, 45] | exact s.potential_eq' (Nat.find_spec h) ks | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z (Nat.find ⋯) = s.potential' c z k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
k : ℕ
ks : (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
h : ∃ k, (c, (f c)^[k] z) ∈ s.near
⊢ s.potential' c z (Nat.find ⋯) = s.potential' c z k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.abs_bottcherNear | [92, 1] | [97, 50] | simp only [s.potential_eq r, Super.potential'] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) = s.potential c z ^ d ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) = (Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) ^ (↑d ^ n)⁻¹) ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) = s.potential c z ^ d ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.abs_bottcherNear | [92, 1] | [97, 50] | rw [← Real.rpow_natCast, ← Real.rpow_mul (Complex.abs.nonneg _), Nat.cast_pow, inv_mul_cancel,
Real.rpow_one] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) = (Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) ^ (↑d ^ n)⁻¹) ^ d ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ ↑d ^ n ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) = (Complex.abs (s.bottcherNear c ((f c)^[n] z)) ^ (↑d ^ n)⁻¹) ^ d ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.abs_bottcherNear | [92, 1] | [97, 50] | exact pow_ne_zero _ (Nat.cast_ne_zero.mpr s.d0) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ ↑d ^ n ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
r : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
⊢ ↑d ^ n ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_a | [100, 1] | [103, 60] | have r : (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near := by simp only [Function.iterate_zero, s.mem_near, id] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ s.potential c a = 0 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
r : (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near
⊢ s.potential c a = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ s.potential c a = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_a | [100, 1] | [103, 60] | simp only [s.potential_eq r, Super.potential', Function.iterate_zero, id, s.bottcherNear_a,
Complex.abs.map_zero, pow_zero, inv_one, Real.rpow_one] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
r : (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near
⊢ s.potential c a = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
r : (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near
⊢ s.potential c a = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_a | [100, 1] | [103, 60] | simp only [Function.iterate_zero, s.mem_near, id] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ (c, (f c)^[0] a) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_one | [106, 1] | [108, 87] | simp only [Super.potential, not_exists.mpr a, not_false_iff, dif_neg, and_false_iff] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z : S
d n : ℕ
s : Super f d a✝
a : ∀ (n : ℕ), (c, (f c)^[n] z) ∉ s.near
⊢ s.potential c z = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z : S
d n : ℕ
s : Super f d a✝
a : ∀ (n : ℕ), (c, (f c)^[n] z) ∉ s.near
⊢ s.potential c z = 1
TACTIC:
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.