Datasets:
pkuAI4M
/
lean_github

Dataset card Data Studio Files Community
1
url
stringclasses
147 values
commit
stringclasses
147 values
file_path
stringlengths
7
101
full_name
stringlengths
1
94
start
stringlengths
6
10
end
stringlengths
6
11
tactic
stringlengths
1
11.2k
state_before
stringlengths
3
2.09M
state_after
stringlengths
6
2.09M
input
stringlengths
73
2.09M
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
rcases xm with ⟨xz, xc⟩
case h.refine_1 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) x ∈ c ⊒ x ∈ u \ t
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ c ⊒ x ∈ u \ t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_1 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) x ∈ c ⊒ x ∈ u \ t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
replace xc := cs xc
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ c ⊒ x ∈ u \ t
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) ⊒ x ∈ u \ t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ c ⊒ x ∈ u \ t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
simp only [mem_diff, mem_inter_iff, mem_preimage, PartialEquiv.map_source _ xz, true_and_iff, PartialEquiv.left_inv _ xz] at xc
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) ⊒ x ∈ u \ t
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : x ∈ u ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u \ t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) ⊒ x ∈ u \ t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
exact xc
case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : x ∈ u ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u \ t
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_1.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c x : S xz : x ∈ (extChartAt I z).source xc : x ∈ u ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u \ t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
rw [e]
case h.refine_2 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c ∈ 𝓝[tᢜ] z
case h.refine_2 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ↑(extChartAt I z).symm '' c ∈ 𝓝[tᢜ] z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_2 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c ∈ 𝓝[tᢜ] z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
convert Filter.image_mem_map cn
case h.refine_2 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ↑(extChartAt I z).symm '' c ∈ 𝓝[tᢜ] z
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_2 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ↑(extChartAt I z).symm '' c ∈ 𝓝[tᢜ] z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
have ee : ⇑(extChartAt I z).symm = (extChartAt' I z).symm := rfl
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z)
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
rw [ee, (extChartAt' I z).symm.map_nhdsWithin_eq (mem_extChartAt_target I z), ← ee]
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z)
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt' I z).symm.source ∩ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) z)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = Filter.map (↑(extChartAt I z).symm) (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
simp only [extChartAt', PartialHomeomorph.symm_source, PartialEquiv.left_inv _ (mem_extChartAt_source I z), compl_inter, inter_union_distrib_left, inter_compl_self, empty_union, image_inter]
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt' I z).symm.source ∩ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) z)
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt' I z).symm.source ∩ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) z) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
apply nhdsWithin_eq_nhdsWithin (mem_extChartAt_source I z) (isOpen_extChartAt_source I z)
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] z
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source = ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ 𝓝[tᢜ] z = 𝓝[↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ)] z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
apply Set.ext
case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source = ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ βˆ€ (x : S), x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source = ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
intro x
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ βˆ€ (x : S), x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm ⊒ βˆ€ (x : S), x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
simp only [mem_inter_iff, mem_compl_iff, mem_image, mem_preimage]
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source ↔ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x ∈ tᢜ ∩ (extChartAt I z).source ↔ x ∈ ↑(extChartAt I z).symm '' ((extChartAt I z).target ∩ (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ) ∩ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
constructor
case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source ↔ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source ↔ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
intro ⟨xt, xz⟩
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
refine ⟨⟨extChartAt I z x, ?_⟩, xz⟩
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (↑(extChartAt I z) x ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) = x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
simp only [PartialEquiv.left_inv _ xz, xt, PartialEquiv.map_source _ xz, not_false_iff, and_self_iff, eq_self_iff_true]
case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (↑(extChartAt I z) x ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) = x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h.mp X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S xt : x βˆ‰ t xz : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ (↑(extChartAt I z) x ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm (↑(extChartAt I z) x) = x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
intro ⟨⟨y, ⟨⟨yz, yt⟩, yx⟩⟩, _⟩
case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S y : β„‚ yz : y ∈ (extChartAt I z).target yt : ↑(extChartAt I z).symm y βˆ‰ t yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x right✝ : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S ⊒ (βˆƒ x_1, (x_1 ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 βˆ‰ t) ∧ ↑(extChartAt I z).symm x_1 = x) ∧ x ∈ (extChartAt I z).source β†’ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
simp only [← yx, yt, PartialEquiv.map_target _ yz, not_false_iff, true_and_iff]
case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S y : β„‚ yz : y ∈ (extChartAt I z).target yt : ↑(extChartAt I z).symm y βˆ‰ t yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x right✝ : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.e'_5.h.mpr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ee : ↑(extChartAt I z).symm = ↑(extChartAt' I z).symm x : S y : β„‚ yz : y ∈ (extChartAt I z).target yt : ↑(extChartAt I z).symm y βˆ‰ t yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x right✝ : x ∈ (extChartAt I z).source ⊒ x βˆ‰ t ∧ x ∈ (extChartAt I z).source TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
rw [e]
case h.refine_3 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ IsPreconnected ((extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c)
case h.refine_3 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ IsPreconnected (↑(extChartAt I z).symm '' c)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_3 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ IsPreconnected ((extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
apply cp.image
case h.refine_3 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ IsPreconnected (↑(extChartAt I z).symm '' c)
case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ContinuousOn (↑(extChartAt I z).symm) c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_3 X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ IsPreconnected (↑(extChartAt I z).symm '' c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
apply (continuousOn_extChartAt_symm I z).mono
case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ContinuousOn (↑(extChartAt I z).symm) c
case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ c βŠ† (extChartAt I z).target
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ ContinuousOn (↑(extChartAt I z).symm) c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.complexManifold
[51, 1]
[110, 89]
exact _root_.trans cs (_root_.trans (diff_subset _ _) (inter_subset_left _ _))
case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ c βŠ† (extChartAt I z).target
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.refine_3.hf X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S t : Set S h : βˆ€ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) z : S u : Set S zt : z ∈ t un : u ∈ 𝓝 z m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z) c : Set β„‚ cs : c βŠ† ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t) cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᢜ] ↑(extChartAt I z) z cp : IsPreconnected c e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c ⊒ c βŠ† (extChartAt I z).target TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [isPreconnected_iff_subset_of_disjoint] at sc ⊒
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : IsPreconnected s so : IsOpen s ts : Nonseparating t ⊒ IsPreconnected (s \ t)
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t ⊒ βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s \ t βŠ† u βˆͺ v β†’ s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : IsPreconnected s so : IsOpen s ts : Nonseparating t ⊒ IsPreconnected (s \ t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro u v uo vo suv duv
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t ⊒ βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s \ t βŠ† u βˆͺ v β†’ s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t ⊒ βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s \ t βŠ† u βˆͺ v β†’ s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
generalize hf : (fun u : Set X ↦ u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  y in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have mono : βˆ€ u, u βŠ† f u := by rw [← hf]; exact fun _ ↦ subset_union_left _ _
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have mem : βˆ€ {x u c}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u := by intro x u c m xt cn cu; rw [← hf]; right; use m, xt simp only [Filter.eventually_iff, setOf_mem_eq]; exact Filter.mem_of_superset cn cu
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have cover : s βŠ† f u βˆͺ f v := by intro x m by_cases xt : x βˆ‰ t; exact union_subset_union (mono _) (mono _) (suv (mem_diff_of_mem m xt)) simp only [not_not] at xt rcases ts.loc x s xt (so.mem_nhds m) with ⟨c, cst, cn, cp⟩ have d := inter_subset_inter_left (u ∩ v) cst; rw [duv, subset_empty_iff] at d cases' isPreconnected_iff_subset_of_disjoint.mp cp u v uo vo (_root_.trans cst suv) d with cu cv exact subset_union_left _ _ (mem m xt cn cu) exact subset_union_right _ _ (mem m xt cn cv)
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have fdiff : βˆ€ {u}, f u \ t βŠ† u := by intro u x m; simp only [mem_diff, mem_union, mem_setOf, ← hf] at m simp only [m.2, false_and_iff, and_false_iff, or_false_iff, not_false_iff, and_true_iff] at m exact m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have fnon : βˆ€ {x u}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  y in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u := by intro x u o m; simp only [mem_union, mem_setOf, ← hf] at m cases' m with xu m; exact (o.eventually_mem xu).filter_mono nhdsWithin_le_nhds; exact m.2.2
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… := by contrapose duv; simp only [← ne_eq, ← nonempty_iff_ne_empty] at duv ⊒ rcases duv with ⟨x, m⟩; simp only [mem_inter_iff] at m have b := ((so.eventually_mem m.1).filter_mono nhdsWithin_le_nhds).and ((fnon uo m.2.1).and (fnon vo m.2.2)) simp only [eventually_nhdsWithin_iff] at b rcases eventually_nhds_iff.mp b with ⟨n, h, no, xn⟩ rcases ts.dense.exists_mem_open no ⟨_, xn⟩ with ⟨y, yt, yn⟩ use y; simp only [mem_inter_iff, mem_diff, ← mem_compl_iff]; specialize h y yn yt exact ⟨⟨h.1,yt⟩,h.2.1,h.2.2⟩
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
cases' sc (f u) (f v) (fopen uo) (fopen vo) cover disj with su sv
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
left
case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
case inl.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact _root_.trans (diff_subset_diff_left su) fdiff
case inl.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inl.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… su : s βŠ† f u ⊒ s \ t βŠ† u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
right
case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v
case inr.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† u ∨ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact _root_.trans (diff_subset_diff_left sv) fdiff
case inr.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† v
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u disj : s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… sv : s βŠ† f v ⊒ s \ t βŠ† v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [← hf]
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ βˆ€ (u : Set X), u βŠ† (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact fun _ ↦ subset_union_left _ _
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ βˆ€ (u : Set X), u βŠ† (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f ⊒ βˆ€ (u : Set X), u βŠ† (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro u o
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u ⊒ βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u)
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ IsOpen (f u)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u ⊒ βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [isOpen_iff_eventually]
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ IsOpen (f u)
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ βˆ€ x ∈ f u, βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ IsOpen (f u) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro x m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ βˆ€ x ∈ f u, βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u ⊒ βˆ€ x ∈ f u, βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
by_cases xu : x ∈ u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
by_cases xt : x βˆ‰ t
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [not_not] at xt
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have n := m
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_union, xt, xu, false_or_iff, true_and_iff, mem_setOf, eventually_nhdsWithin_iff, ← hf] at n
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
refine (so.eventually_mem n.1).mp (n.2.eventually_nhds.mp (eventually_of_forall fun y n m ↦ ?_))
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s ⊒ y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
by_cases yt : y ∈ t
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s ⊒ y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ f u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s ⊒ y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_union, mem_setOf, eventually_nhdsWithin_iff, ← hf]
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ f u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ u ∨ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ f u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
right
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ u ∨ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
case pos.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ u ∨ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
use m, yt, n
case pos.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y ∈ t ⊒ y ∈ s ∧ y ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact mono _ (n.self_of_nhds yt)
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m✝ : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x ∈ t n✝ : x ∈ s ∧ βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u y : X n : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 y, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ u m : y ∈ s yt : y βˆ‰ t ⊒ y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [← hf]
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact (o.eventually_mem xu).mp (eventually_of_forall fun q m ↦ subset_union_left _ _ m)
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
contrapose xu
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t xu : Β¬βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u ⊒ Β¬x βˆ‰ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xu : x βˆ‰ u xt : x βˆ‰ t ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
clear xu
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t xu : Β¬βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u ⊒ Β¬x βˆ‰ u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t ⊒ Β¬x βˆ‰ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t xu : Β¬βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝 x, y ∈ f u ⊒ Β¬x βˆ‰ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_union, mem_setOf, xt, false_and_iff, and_false_iff, or_false_iff, ← hf] at m
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t ⊒ Β¬x βˆ‰ u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ Β¬x βˆ‰ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X m : x ∈ f u xt : x βˆ‰ t ⊒ Β¬x βˆ‰ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [not_not]
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ Β¬x βˆ‰ u
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ Β¬x βˆ‰ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact m
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ x ∈ u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u u : Set X o : IsOpen u x : X xt : x βˆ‰ t m : x ∈ u ⊒ x ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro x u c m xt cn cu
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) ⊒ βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) ⊒ βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [← hf]
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
right
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
use m, xt
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}
case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u} TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [Filter.eventually_iff, setOf_mem_eq]
case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ u ∈ 𝓝[tᢜ] x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact Filter.mem_of_superset cn cu
case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ u ∈ 𝓝[tᢜ] x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) x : X u c : Set X m : x ∈ s xt : x ∈ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cu : c βŠ† u ⊒ u ∈ 𝓝[tᢜ] x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro x m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u ⊒ s βŠ† f u βˆͺ f v
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u ⊒ s βŠ† f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
by_cases xt : x βˆ‰ t
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact union_subset_union (mono _) (mono _) (suv (mem_diff_of_mem m xt))
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [not_not] at xt
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : Β¬x βˆ‰ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rcases ts.loc x s xt (so.mem_nhds m) with ⟨c, cst, cn, cp⟩
case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have d := inter_subset_inter_left (u ∩ v) cst
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) βŠ† s \ t ∩ (u ∩ v) ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rw [duv, subset_empty_iff] at d
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) βŠ† s \ t ∩ (u ∩ v) ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) βŠ† s \ t ∩ (u ∩ v) ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
cases' isPreconnected_iff_subset_of_disjoint.mp cp u v uo vo (_root_.trans cst suv) d with cu cv
case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg.intro.intro.intro.inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact subset_union_left _ _ (mem m xt cn cu)
case neg.intro.intro.intro.inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cu : c βŠ† u ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact subset_union_right _ _ (mem m xt cn cv)
case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u x : X m : x ∈ s xt : x ∈ t c : Set X cst : c βŠ† s \ t cn : c ∈ 𝓝[tᢜ] x cp : IsPreconnected c d : c ∩ (u ∩ v) = βˆ… cv : c βŠ† v ⊒ x ∈ f u βˆͺ f v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro u x m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v ⊒ βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ f u \ t ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v ⊒ βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_diff, mem_union, mem_setOf, ← hf] at m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ f u \ t ⊒ x ∈ u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : (x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u) ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ f u \ t ⊒ x ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [m.2, false_and_iff, and_false_iff, or_false_iff, not_false_iff, and_true_iff] at m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : (x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u) ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ u ⊒ x ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : (x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u) ∧ x βˆ‰ t ⊒ x ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ u ⊒ x ∈ u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v u : Set X x : X m : x ∈ u ⊒ x ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
intro x u o m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u ⊒ βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u ⊒ βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_union, mem_setOf, ← hf] at m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ f u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
cases' m with xu m
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ u ∨ x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact (o.eventually_mem xu).filter_mono nhdsWithin_le_nhds
case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inl X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u xu : x ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact m.2.2
case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u✝ v : Set X uo : IsOpen u✝ vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u✝ βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u✝ ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u✝ βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u x : X u : Set X o : IsOpen u m : x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
contrapose duv
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ…
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : Β¬s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ Β¬s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ…
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v duv : s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u ⊒ s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [← ne_eq, ← nonempty_iff_ne_empty] at duv ⊒
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : Β¬s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ Β¬s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ…
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : (s ∩ (f u ∩ f v)).Nonempty ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : Β¬s ∩ (f u ∩ f v) = βˆ… ⊒ Β¬s \ t ∩ (u ∩ v) = βˆ… TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rcases duv with ⟨x, m⟩
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : (s ∩ (f u ∩ f v)).Nonempty ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∩ (f u ∩ f v) ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u duv : (s ∩ (f u ∩ f v)).Nonempty ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_inter_iff] at m
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∩ (f u ∩ f v) ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∩ (f u ∩ f v) ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
have b := ((so.eventually_mem m.1).filter_mono nhdsWithin_le_nhds).and ((fnon uo m.2.1).and (fnon vo m.2.2))
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝[tᢜ] x, x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [eventually_nhdsWithin_iff] at b
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝[tᢜ] x, x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝[tᢜ] x, x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rcases eventually_nhds_iff.mp b with ⟨n, h, no, xn⟩
case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
rcases ts.dense.exists_mem_open no ⟨_, xn⟩ with ⟨y, yt, yn⟩
case intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case intro.intro.intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
use y
case intro.intro.intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ y ∈ s \ t ∩ (u ∩ v)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (s \ t ∩ (u ∩ v)).Nonempty TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
simp only [mem_inter_iff, mem_diff, ← mem_compl_iff]
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ y ∈ s \ t ∩ (u ∩ v)
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ y ∈ s \ t ∩ (u ∩ v) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
specialize h y yn yt
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n h : y ∈ s ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X h : βˆ€ x ∈ n, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.open_diff
[115, 1]
[169, 61]
exact ⟨⟨h.1,yt⟩,h.2.1,h.2.2⟩
case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n h : y ∈ s ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S s t : Set X sc : βˆ€ (u v : Set X), IsOpen u β†’ IsOpen v β†’ s βŠ† u βˆͺ v β†’ s ∩ (u ∩ v) = βˆ… β†’ s βŠ† u ∨ s βŠ† v so : IsOpen s ts : Nonseparating t u v : Set X uo : IsOpen u vo : IsOpen v suv : s \ t βŠ† u βˆͺ v f : Set X β†’ Set X hf : (fun u => u βˆͺ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t ∧ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u}) = f mono : βˆ€ (u : Set X), u βŠ† f u fopen : βˆ€ {u : Set X}, IsOpen u β†’ IsOpen (f u) mem : βˆ€ {x : X} {u c : Set X}, x ∈ s β†’ x ∈ t β†’ c ∈ 𝓝[tᢜ] x β†’ c βŠ† u β†’ x ∈ f u cover : s βŠ† f u βˆͺ f v fdiff : βˆ€ {u : Set X}, f u \ t βŠ† u fnon : βˆ€ {x : X} {u : Set X}, IsOpen u β†’ x ∈ f u β†’ βˆ€αΆ  (y : X) in 𝓝[tᢜ] x, y ∈ u x : X m : x ∈ s ∧ x ∈ f u ∧ x ∈ f v b : βˆ€αΆ  (x : X) in 𝓝 x, x ∈ tᢜ β†’ x ∈ s ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v n : Set X no : IsOpen n xn : x ∈ n y : X yt : y ∈ tᢜ yn : y ∈ n h : y ∈ s ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v ⊒ (y ∈ s ∧ y ∈ tᢜ) ∧ y ∈ u ∧ y ∈ v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.empty
[172, 1]
[174, 96]
simp only [compl_empty, dense_univ]
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S ⊒ Dense βˆ…αΆœ
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S ⊒ Dense βˆ…αΆœ TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
Nonseparating.empty
[172, 1]
[174, 96]
simp only [mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, forall_const, imp_true_iff]
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S ⊒ βˆ€ (x : X) (u : Set X), x ∈ βˆ… β†’ u ∈ 𝓝 x β†’ βˆƒ c βŠ† u \ βˆ…, c ∈ 𝓝[βˆ…αΆœ] x ∧ IsPreconnected c
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S ⊒ βˆ€ (x : X) (u : Set X), x ∈ βˆ… β†’ u ∈ 𝓝 x β†’ βˆƒ c βŠ† u \ βˆ…, c ∈ 𝓝[βˆ…αΆœ] x ∧ IsPreconnected c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/AnalyticManifold/Nonseparating.lean
IsPreconnected.ball_diff_center
[177, 1]
[196, 44]
by_cases rp : r ≀ 0
X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S a : β„‚ r : ℝ ⊒ IsPreconnected (ball a r \ {a})
case pos X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S a : β„‚ r : ℝ rp : r ≀ 0 ⊒ IsPreconnected (ball a r \ {a}) case neg X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S a : β„‚ r : ℝ rp : Β¬r ≀ 0 ⊒ IsPreconnected (ball a r \ {a})
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: X : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace X Y : Type inst✝³ : TopologicalSpace Y S : Type inst✝² : TopologicalSpace S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S a : β„‚ r : ℝ ⊒ IsPreconnected (ball a r \ {a}) TACTIC: