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|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | simp only [xb, yb, ContinuousMap.coe_add, Pi.add_apply, eq_self_iff_true, forall_const] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
x y : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
y' : ℂ → ℂ
yh : HarmonicOn y' (closedBall c r)
yb : ∀ (t : Real.Angle), y t = y' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (x + y) t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) + y' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
x y : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
y' : ℂ → ℂ
yh : HarmonicOn y' (closedBall c r)
yb : ∀ (t : Real.Angle), y t = y' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (x + y) t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) + y' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | intro a x xe | case smul
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
⊢ ∀ (a : ℂ) (x : C(Real.Angle, ℂ)), Extendable x c r → Extendable (a • x) c r | case smul
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
xe : Extendable x c r
⊢ Extendable (a • x) c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case smul
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
⊢ ∀ (a : ℂ) (x : C(Real.Angle, ℂ)), Extendable x c r → Extendable (a • x) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | rcases xe with ⟨x', xh, xb⟩ | case smul
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
xe : Extendable x c r
⊢ Extendable (a • x) c r | case smul.intro.mk
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ Extendable (a • x) c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case smul
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
xe : Extendable x c r
⊢ Extendable (a • x) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | use fun z ↦ a * x' z | case smul.intro.mk
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ Extendable (a • x) c r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ HasExtension (a • x) (fun z => a * x' z) c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case smul.intro.mk
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ Extendable (a • x) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | exact
{ gh := xh.const_mul _
b := by
simp only [xb, ContinuousMap.coe_smul, Pi.smul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul,
eq_self_iff_true, forall_const] } | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ HasExtension (a • x) (fun z => a * x' z) c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
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x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ HasExtension (a • x) (fun z => a * x' z) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | fourierExtend | [609, 1] | [630, 46] | simp only [xb, ContinuousMap.coe_smul, Pi.smul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul,
eq_self_iff_true, forall_const] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
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x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (a • x) t = a * x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
rp : r > 0
s : f ∈ Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
a : ℂ
x : C(Real.Angle, ℂ)
x' : ℂ → ℂ
xh : HarmonicOn x' (closedBall c r)
xb : ∀ (t : Real.Angle), x t = x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (a • x) t = a * x' (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | set s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range (@fourier (2 * π))) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
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c : ℂ
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⊢ Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
⊢ Extendable f c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | have se : ∀ f, f ∈ s.carrier → Extendable f c r := fun f fs ↦ fourierExtend rp fs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
⊢ Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | have ce : ∀ f, f ∈ closure s.carrier → Extendable f c r := IsClosed.extendable se rp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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r : ℝ
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c : ℂ
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s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | have e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier := rfl | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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r : ℝ
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c : ℂ
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s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | rw [e, @span_fourier_closure_eq_top _ (fact_iff.mpr Real.two_pi_pos)] at ce | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ closure s.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | apply ce | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ⊤.carrier | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | simp only [Submodule.mem_carrier] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ⊤.carrier | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ↑⊤ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ⊤.carrier
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuousExtend | [633, 1] | [639, 55] | trivial | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ↑⊤ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c✝ : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
c : ℂ
rp : r > 0
s : Submodule ℂ C(Real.Angle, ℂ) := Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
se : ∀ f ∈ s.carrier, Extendable f c r
ce : ∀ f ∈ ⊤.carrier, Extendable f c r
e : closure s.carrier = s.topologicalClosure.carrier
⊢ f ∈ ↑⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | have cm : c ∈ s := cs (Metric.mem_closedBall_self (by linarith)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | have rm : c + r ∈ s := cs (by
simp only [abs_of_pos rp, Metric.mem_closedBall, dist_self_add_left,
Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_ofReal, le_refl]) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | have e : c = c + r := ss cm rm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
e : c = c + ↑r
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | simp [rp.ne'] at e | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
e : c = c + ↑r
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
rm : c + ↑r ∈ s
e : c = c + ↑r
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | linarith | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subsingleton | [644, 1] | [653, 27] | simp only [abs_of_pos rp, Metric.mem_closedBall, dist_self_add_left,
Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_ofReal, le_refl] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
⊢ c + ↑r ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
ss : s.Subsingleton
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
cm : c ∈ s
⊢ c + ↑r ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | by_cases rp : r ≤ 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : ¬r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | simp only [not_le] at rp | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : ¬r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : ¬r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | generalize hf' : (fun t : Real.Angle ↦ f (c + r * t.toCircle)) = f' | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rcases continuousExtend ⟨f', fc'⟩ c rp with ⟨g, e⟩ | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case neg.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | use g, e.gh | case neg.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | intro z zs | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case right
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | generalize hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z' | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = g z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
⊢ f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | have za' : abs z' = 1 := by
simp only [mem_sphere_iff_norm, Complex.norm_eq_abs] at zs
simp only [zs, abs_of_pos rp, inv_mul_cancel rp.ne', AbsoluteValue.map_mul, map_inv₀,
Complex.abs_ofReal, ← hz'] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
⊢ f z = g z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
⊢ f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
⊢ f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rcases mem_addCircle_iff_abs.mp za' with ⟨t, tz⟩ | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
⊢ f z = g z | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
⊢ f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | have rr : c + r * t.toCircle = z := by rw [← tz, ← hz']; exact rri rp _ | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ f z = g z | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | nth_rw 2 [← rr] | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g z | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g (c + ↑r * ↑t.toCircle) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rw [← e.b t] | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g (c + ↑r * ↑t.toCircle) | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = { toFun := f', continuous_toFun := fc' } t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = g (c + ↑r * ↑t.toCircle)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | simp only [← hf', rr, ContinuousMap.coe_mk] | case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = { toFun := f', continuous_toFun := fc' } t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
rr : c + ↑r * ↑t.toCircle = z
⊢ f z = { toFun := f', continuous_toFun := fc' } t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | use f | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ HarmonicOn f (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | use HarmonicOn.subsingleton (Metric.subsingleton_closedBall _ rp) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ HarmonicOn f (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ HarmonicOn f (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | intros | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
z✝ : ℂ
a✝ : z✝ ∈ sphere c r
⊢ f z✝ = f z✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rfl | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
z✝ : ℂ
a✝ : z✝ ∈ sphere c r
⊢ f z✝ = f z✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : r ≤ 0
z✝ : ℂ
a✝ : z✝ ∈ sphere c r
⊢ f z✝ = f z✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rw [← hf'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous f' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous f'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | apply fc.comp_continuous | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)
case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ ∀ (x : Real.Angle), c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle x) ∈ sphere c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | exact continuous_const.add
(continuous_const.mul (continuous_subtype_val.comp AddCircle.continuous_toCircle)) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Continuous fun t => c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | simp only [mem_sphere_iff_norm, add_sub_cancel_left, Complex.norm_eq_abs,
AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, abs_coe_circle, mul_one, abs_eq_self] | case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ ∀ (x : Real.Angle), c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle x) ∈ sphere c r | case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Real.Angle → 0 ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ ∀ (x : Real.Angle), c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle x) ∈ sphere c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | intro _ | case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Real.Angle → 0 ≤ r | case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
x✝ : Real.Angle
⊢ 0 ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
⊢ Real.Angle → 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | bound | case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
x✝ : Real.Angle
⊢ 0 ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
x✝ : Real.Angle
⊢ 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | simp only [mem_sphere_iff_norm, Complex.norm_eq_abs] at zs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
⊢ Complex.abs z' = 1 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ Complex.abs z' = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
⊢ Complex.abs z' = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | simp only [zs, abs_of_pos rp, inv_mul_cancel rp.ne', AbsoluteValue.map_mul, map_inv₀,
Complex.abs_ofReal, ← hz'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ Complex.abs z' = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ Complex.abs z' = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | rw [← tz, ← hz'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ c + ↑r * ↑t.toCircle = z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ c + ↑r * ((↑r)⁻¹ * (z - c)) = z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ c + ↑r * ↑t.toCircle = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_complex | [656, 1] | [679, 77] | exact rri rp _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ c + ↑r * ((↑r)⁻¹ * (z - c)) = z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℂ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
rp : 0 < r
f' : Real.Angle → ℂ
hf' : (fun t => f (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))) = f'
fc' : Continuous f'
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension { toFun := f', continuous_toFun := fc' } g c r
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
z' : ℂ
hz' : (↑r)⁻¹ * (z - c) = z'
za' : Complex.abs z' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tz : z' = ↑t.toCircle
⊢ c + ↑r * ((↑r)⁻¹ * (z - c)) = z
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | generalize hf' : (fun z ↦ (f z : ℂ)) = f' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | have fc' : ContinuousOn f' (sphere c r) := by
rw [← hf']; exact Complex.continuous_ofReal.comp_continuousOn fc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | rcases continuous_to_harmonic_complex fc' with ⟨g, gh, b⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | use fun z ↦ (g z).re, gh.re | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = (g z).re | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
TACTIC:
|
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = (g z).re | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = (g z).re | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = (g z).re
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | simp only [← b z zs, Complex.ofReal_re, ← hf'] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = (g z).re | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = (g z).re
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | rw [← hf'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn f' (sphere c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn (fun z => ↑(f z)) (sphere c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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H : Type
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn f' (sphere c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | continuous_to_harmonic_real | [682, 1] | [689, 61] | exact Complex.continuous_ofReal.comp_continuousOn fc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn (fun z => ↑(f z)) (sphere c r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn (fun z => ↑(f z)) (sphere c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rcases continuous_to_harmonic_real (fs.cont.mono Metric.sphere_subset_closedBall) with ⟨g, gh, fg⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | generalize hd : (fun z ↦ f z - g z) = d | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have ds : SubharmonicOn d (closedBall c r) := by rw [← hd]; apply fs.add gh.neg.subharmonicOn | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have dz : ∀ z, z ∈ sphere c r → d z = 0 := by intro z zs; rw [← hd]; simp only [fg z zs, sub_self] | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have dz' : ∀ᵐ t, t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0 := by
apply ae_of_all; intro t _; apply dz
simp only [mem_sphere_iff_norm, circleMap_sub_center, Complex.norm_eq_abs, abs_circleMap_zero,
abs_eq_self]
linarith | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rcases ds.maximum_principle (isCompact_closedBall _ _) ⟨c, Metric.mem_closedBall_self rp.le⟩
with ⟨w, wf, wm⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [frontier_closedBall _ rp.ne'] at wf | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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rp : r > 0
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
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d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have fd : f = fun z ↦ d z + g z := by funext z; rw [← hd]; simp only [sub_add_cancel] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp_rw [fd, Average.add (ds.cont.integrableOn_sphere rp) (gh.cont.integrableOn_sphere rp)] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
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w : ℂ
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [← gh.mean c r rp (subset_refl _), add_le_add_iff_right] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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d : ℂ → ℝ
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [average_congr_on NiceVolume.itau dz', average_zero] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← dz w wf] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ 0 | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply wm (Metric.mem_closedBall_self rp.le) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn d (closedBall c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn d (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply fs.add gh.neg.subharmonicOn | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | intro z zs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ d z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ d z = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ d z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [fg z zs, sub_self] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply ae_of_all | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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H : Type
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0 | case a
S : Type
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F : Type
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | intro t _ | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0 | case a
S : Type
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply dz | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0 | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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H : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [mem_sphere_iff_norm, circleMap_sub_center, Complex.norm_eq_abs, abs_circleMap_zero,
abs_eq_self] | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | linarith | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | funext z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f = fun z => d z + g z | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f = fun z => d z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [sub_add_cancel] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | constructor | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s ↔ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s ↔ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro fs c r rp cs | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact (fs.mono cs).submean rp | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro sm | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact
{ cont := fc
submean' := by
intro c ci
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c ci with ⟨r, rp, rs⟩
use r, rp; intro t tp tr; apply sm c t tp
exact _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset) } | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro c ci | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c ci with ⟨r, rp, rs⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | use r, rp | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro t tp tr | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | apply sm c t tp | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, smul_eq_mul] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (z : ℂ) in closedBall c r, f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [Complex.volume_closedBall' rp.le, fubini_ball fs.cont] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have m : (fun s ↦ (2 * π * s) • f c) ≤ᵐ[volume.restrict (Ioc 0 r)] fun s ↦
s • ∫ t : ℝ in Set.Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) := by
rw [Filter.EventuallyLE]; rw [ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc]; apply ae_of_all; intro s sr
simp only [Set.mem_Ioc] at sr
have e := (fs.mono (Metric.closedBall_subset_closedBall sr.2)).submean sr.1
rw [smul_eq_mul, ← itau]
simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
itau_real_volume, smul_eq_mul] at e
generalize hi : ∫ t in itau, f (circleMap c s t) = i
rw [hi] at e
calc 2 * π * s * f c
_ ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) := by bound
_ = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i := by ring_nf
_ ≤ s * i := by field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have im := integral_mono_ae ?_ ?_ m | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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c : ℂ
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case refine_3
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
case refine_1
S : Type
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T : Type
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => (2 * π * s) • f c) (volume.restrict (Ioc 0 r))
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [Filter.EventuallyLE] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc 0 r), (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc 0 r), (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc 0 r), (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply ae_of_all | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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