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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | intro s sr | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : s ∈ Ioc 0 r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [Set.mem_Ioc] at sr | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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s : ℝ
sr : s ∈ Ioc 0 r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
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rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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sr : s ∈ Ioc 0 r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have e := (fs.mono (Metric.closedBall_subset_closedBall sr.2)).submean sr.1 | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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rp : r > 0
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⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [smul_eq_mul, ← itau] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
itau_real_volume, smul_eq_mul] at e | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | generalize hi : ∫ t in itau, f (circleMap c s t) = i | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [hi] at e | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | calc 2 * π * s * f c
_ ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) := by bound
_ = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i := by ring_nf
_ ≤ s * i := by field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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sr : 0 < s ∧ s ≤ r
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e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
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⊢ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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s : ℝ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i ≤ s * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i ≤ s * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | generalize hi : ∫ s in Ioc 0 r, s • ∫ t in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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rp : r > 0
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(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
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i : ℝ
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⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H : Type
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
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im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [hi] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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H : Type
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
i : ℝ
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
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⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
i : ℝ
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | clear hi m | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [← intervalIntegral.integral_of_le rp.le, Algebra.id.smul_eq_mul,
intervalIntegral.integral_mul_const, intervalIntegral.integral_const_mul, integral_id,
zero_pow, Ne, bit0_eq_zero, Nat.one_ne_zero, not_false_iff, tsub_zero] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [intervalIntegral.integral_const_mul] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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r : ℝ
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rp : r > 0
i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
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T : Type
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E : Type
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [integral_id, ne_eq, zero_pow, sub_zero] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf at im ⊢ | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | calc f c
_ = π⁻¹ * r⁻¹^2 * (π * r^2 * f c) := by ring_nf; field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne']
_ ≤ π⁻¹ * r⁻¹^2 * i := by bound | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π * π⁻¹ * r ^ 2 * r⁻¹ ^ 2 * f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π * π⁻¹ * r ^ 2 * r⁻¹ ^ 2 * f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π * π⁻¹ * r ^ 2 * r⁻¹ ^ 2 * f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c) ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c) ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply Continuous.integrableOn_Ioc | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => (2 * π * s) • f c) (volume.restrict (Ioc 0 r)) | case refine_1.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => (2 * π * s) • f c) (volume.restrict (Ioc 0 r))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | continuity | case refine_1.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.hf
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine IntegrableOn.mono_set ?_ Set.Ioc_subset_Icc_self | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r)) | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
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T : Type
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⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply ContinuousOn.integrableOn_Icc | case refine_2
S : Type
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⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume | case refine_2.hf
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⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply ContinuousOn.smul continuousOn_id | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp_rw [← intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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rp : r > 0
m :
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine ContinuousOn.intervalIntegral ?_ isCompact_Icc Real.two_pi_pos.le | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [uncurry, Set.Icc_prod_Icc] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π)) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine fs.cont.comp (Continuous.continuousOn (by continuity)) ?_ | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | intro (a,b) ts | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [ge_iff_le, Prod.mk_le_mk, gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_nonneg_iff_of_pos_left,
not_and, not_le, Prod.mk_lt_mk, Set.mem_Icc] at ts | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [Metric.mem_closedBall, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_nonneg ts.1.1, ts.2.1] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | continuity | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℂ → ℝ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun a => circleMap c a.1 a.2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun a => circleMap c a.1 a.2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have pc : ContinuousOn (fun z ↦ (f z, g z)) s := fs.cont.prod gs.cont | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have mc : ContinuousOn (fun z ↦ Max.max (f z) (g z)) s := continuous_max.comp_continuousOn pc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [subharmonicOn_iff_submean mc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s → Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s → Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s → Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have pi : IntegrableOn (fun t ↦ (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau := by
refine ContinuousOn.integrableOn_sphere (f := fun z ↦ (f z, g z)) ?_ rp
exact pc.mono cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | refine _root_.trans ?_ (ConvexOn.map_set_average_le convexOn_max continuous_max.continuousOn
isClosed_univ ?_ ?_ ?_ pi ?_) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤
case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ
case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | refine ContinuousOn.integrableOn_sphere (f := fun z ↦ (f z, g z)) ?_ rp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact pc.mono cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | apply max_le_max | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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c : ℂ
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have e : ∀ p : ℝ × ℝ, p.fst = ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ p := fun p ↦ by
simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [e] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [← average_linear_comm pi] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (fs.mono cs).submean rp | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have e : ∀ p : ℝ × ℝ, p.snd = ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ p := fun p ↦ by
simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | case refine_1.a
S : Type
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
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⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [e] | case refine_1.a
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cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [← average_linear_comm pi] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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rp : r > 0
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | case refine_1.a
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (gs.mono cs).submean rp | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [Ne, Measure.restrict_eq_zero] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0 | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact NiceVolume.itau.ne_zero | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact NiceVolume.itau.ne_top | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [Set.mem_univ, Filter.eventually_true] | case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (mc.mono cs).integrableOn_sphere rp | case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | induction' n with n h | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s | case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | simp only [fs 0, partialSups_zero] | case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | simp only [partialSups_succ] | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | exact h.max (fs (n + 1)) | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [subharmonicOn_iff_submean gc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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⊢ SubharmonicOn g s | S : Type
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fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ SubharmonicOn g s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
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gc : ContinuousOn g s
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have sm := fun n ↦ ((fs n).mono cs).submean rp | S : Type
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | S : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have r0 : 0 ≤ r := rp.le | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have cts : ∀ t, circleMap c r t ∈ s := fun _ ↦ cs (circleMap_mem_closedBall _ r0 _) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | S : Type
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S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact le_of_tendsto_of_tendsto' (ft c (cs (Metric.mem_closedBall_self r0))) mt sm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
mt : Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
mt : Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp_rw [average_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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g : ℂ → ℝ
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fm : Monotone f
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⊢ Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | S : Type
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⊢ Tendsto (fun n => (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop
(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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⊢ Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply Filter.Tendsto.const_smul | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
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STATE:
S : Type
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(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | set b' := fun z ↦ |f 0 z| + |g z| | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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S : Type
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T : Type
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STATE:
case hf
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | set b := fun t ↦ b' (circleMap c r t) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r) :=
ContinuousOn.add ((fs 0).mono cs).cont.abs (gc.mono cs).abs | case hf
S : Type
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T : Type
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H : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
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E : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have fcc : ∀ n, Continuous fun t ↦ f n (circleMap c r t) := fun n ↦
((fs n).cont.mono cs).comp_continuous (continuous_circleMap _ _) fun t ↦
circleMap_mem_closedBall _ r0 _ | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply tendsto_integral_of_dominated_convergence b | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau)
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro n | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact (fcc n).aestronglyMeasurable | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact bc'.integrableOn_sphere rp | case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro n | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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s : Set ℂ
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
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rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
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n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
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r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply ae_of_all | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro t _ | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | generalize hz : circleMap c r t = z | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have zs : z ∈ s := by rw [← hz]; apply cts | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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c : ℂ
r : ℝ
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [Real.norm_eq_abs] | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
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t : ℝ
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⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r : ℝ
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t : ℝ
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hz : circleMap c r t = z
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⊢ |f n z| ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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s : Set ℂ
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r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [abs_le] | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
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t : ℝ
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⊢ |f n z| ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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⊢ -b t ≤ f n z ∧ f n z ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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c : ℂ
r : ℝ
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ |f n z| ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | constructor | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
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⊢ -b t ≤ f n z ∧ f n z ≤ b t | case hf.h_bound.a.left
S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
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case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ f n z ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ f n z ∧ f n z ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [← hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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n : ℕ
t : ℝ
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z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ z ∈ s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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t : ℝ
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z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ circleMap c r t ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply cts | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ circleMap c r t ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ circleMap c r t ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | calc -b t
_ ≤ -(|f 0 z| + 0) := by rw [←hz]; bound
_ = -|f 0 z| := by simp only [add_zero]
_ ≤ f 0 z := (neg_abs_le _)
_ ≤ f n z := fm (by simp only [zero_le']) _ | case hf.h_bound.a.left
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ f n z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a.left
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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fm : Monotone f
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ f n z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [←hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 z| + 0) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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z : ℂ
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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fm : Monotone f
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 z| + 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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E : Type
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
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c : ℂ
r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp only [add_zero] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -(|f 0 z| + 0) = -|f 0 z| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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g : ℂ → ℝ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -(|f 0 z| + 0) = -|f 0 z|
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp only [zero_le'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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t : ℝ
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⊢ 0 ≤ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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⊢ 0 ≤ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have mn : Monotone fun n ↦ f n z := fun _ _ ab ↦ fm ab z | case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ f n z ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a.right
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | calc f n z
_ ≤ g z := Monotone.ge_of_tendsto (f := fun n ↦ f n z) mn (ft z zs) n
_ ≤ |g z| := le_abs_self _
_ = 0 + |g z| := by ring
_ ≤ b t := by rw [← hz]; apply add_le_add; apply abs_nonneg; apply le_refl | case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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t : ℝ
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z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
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mn : Monotone fun n => f n z
⊢ f n z ≤ b t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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t : ℝ
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z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ f n z ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | ring | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H : Type
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t : ℝ
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g z| = 0 + |g z|
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Subsets and Splits
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