url
stringclasses 147
values | commit
stringclasses 147
values | file_path
stringlengths 7
101
| full_name
stringlengths 1
94
| start
stringlengths 6
10
| end
stringlengths 6
11
| tactic
stringlengths 1
11.2k
| state_before
stringlengths 3
2.09M
| state_after
stringlengths 6
2.09M
| input
stringlengths 73
2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [← hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g z| ≤ b t | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g (circleMap c r t)| ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g z| ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply add_le_add | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g (circleMap c r t)| ≤ b t | case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g (circleMap c r t)| ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply abs_nonneg | case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply le_refl | case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply ae_of_all | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x))) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro t _ | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact ft _ (cts _) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t))) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have gc := fa.continuousOn.maxLog_norm b | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have ft := fun z (_ : z ∈ s) ↦ duals_lim_tendsto_maxLog_norm b (f z) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have fs : ∀ n, SubharmonicOn (fun z ↦ partialSups (fun k ↦ maxLog b ‖duals k (f z)‖) n) s := by
intro m; apply SubharmonicOn.partialSups; intro n; simp_rw [Complex.norm_eq_abs]
exact ((duals n).comp_analyticOn fa).maxLogAbsSubharmonicOn b | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | refine SubharmonicOn.monotone_lim fs ?_ ft gc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro m | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | apply SubharmonicOn.partialSups | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro n | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | simp_rw [Complex.norm_eq_abs] | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | exact ((duals n).comp_analyticOn fa).maxLogAbsSubharmonicOn b | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro a b ab z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | simp only [Complex.norm_eq_abs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | apply (partialSups _).monotone ab | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Filter.limsup_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ limsup (fun n => f n) atTop = -liminf (fun n => -f n) atTop | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ limsup (fun n => f n) atTop = -liminf (fun n => -f n) atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Filter.liminf_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Real.sInf_def] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | have ns : -{a | ∀ᶠ n in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ n in atTop, f n ≤ a} := by
apply Set.ext
simp only [Set.mem_neg, Set.mem_setOf_eq, neg_le_neg_iff, iff_self_iff, forall_const] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp_rw [← ns] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp only [neg_neg] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | apply Set.ext | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp only [Set.mem_neg, Set.mem_setOf_eq, neg_le_neg_iff, iff_self_iff, forall_const] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | rw [ENNReal.forall_ennreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (e : ℝ≥0∞), p e | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (e : ℝ≥0∞), p e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | refine ⟨?_, pi⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | rw [NNReal.forall] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | simpa only [← ENNReal.ofReal_eq_coe_nnreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | contrapose h | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ∀ c < a, c ≤ b
⊢ a ≤ b | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ∀ c < a, c ≤ b
⊢ a ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | simp only [not_forall, not_le, exists_prop] at h ⊢ | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | rcases exists_between h with ⟨x, bx, xa⟩ | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | exact ⟨x, xa, bx⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | constructor | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop ↔ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop ↔ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro h d dc | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rw [Filter.liminf_eq, le_sSup_iff, upperBounds] at h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [Filter.eventually_atTop, ge_iff_le, Set.mem_setOf_eq, forall_exists_index] at h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | specialize h d | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | contrapose h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [dc, not_forall, not_le, exists_prop, and_true_iff, Filter.eventually_atTop,
ge_iff_le, not_exists] at h ⊢ | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d) | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro a n an | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rcases h n with ⟨m, nm, fmd⟩ | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d | case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | exact _root_.trans (an m nm) fmd.le | case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro h | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rw [Filter.liminf_eq, le_sSup_iff, upperBounds] | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [Filter.eventually_atTop, ge_iff_le, Set.mem_setOf_eq, forall_exists_index] | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro a ah | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | apply le_of_lt_imp_le | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro d dc | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rcases Filter.eventually_atTop.mp (h d dc) with ⟨n, hn⟩ | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a | case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | exact ah n hn | case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg | [901, 1] | [904, 68] | apply (ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff _).mpr | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ ENNReal.ofReal (-y) < ENNReal.ofReal (-x) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ ENNReal.ofReal (-y) < ENNReal.ofReal (-x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg | [901, 1] | [904, 68] | simp only [xy, neg_lt_neg_iff] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg | [901, 1] | [904, 68] | simp only [xn, Right.neg_pos_iff] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply ENNReal.measurable_ofReal.aemeasurable.comp_aemeasurable | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => ENNReal.ofReal (-f z)) (volume.restrict s) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => -f z) (volume.restrict s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => ENNReal.ofReal (-f z)) (volume.restrict s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply fs.cont.neg.aemeasurable sm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => -f z) (volume.restrict s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => -f z) (volume.restrict s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s →
ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s →
ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [← ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ENNReal.ofReal (∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r))
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [← ENNReal.ofReal_mul] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ENNReal.ofReal (∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ENNReal.ofReal (∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply ENNReal.ofReal_le_ofReal | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [integral_neg, mul_neg] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply neg_le_neg | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [←Complex.volume_closedBall' rp.le, ←smul_eq_mul, ←setAverage_eq] | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℂ) in closedBall c r, f x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact (fs.mono cs).submean_disk rp | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℂ) in closedBall c r, f x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℂ) in closedBall c r, f x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact (fs.mono cs).cont.neg.integrableOn_closedBall | case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [Filter.EventuallyLE] | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_closedBall] | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply Filter.eventually_of_forall | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | intro z zs | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | simp only [Pi.zero_apply, Right.nonneg_neg_iff] | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact fn z (cs zs) | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | NNReal.pi_eq_ofReal_pi | [934, 1] | [935, 54] | rw [←NNReal.coe_real_pi, ENNReal.ofReal_coe_nnreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
⊢ ↑pi = ENNReal.ofReal π | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
⊢ ↑pi = ENNReal.ofReal π
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro d dc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | by_cases dz : d = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have dp : d > 0 := pos_iff_ne_zero.mpr dz | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have drp : d.toReal > 0 := ENNReal.toReal_pos dz df | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rcases exists_between dc with ⟨e, de, ec⟩ | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have ep : e > 0 := _root_.trans de dp | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have ez : e ≠ 0 := pos_iff_ne_zero.mp ep | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have ef : e ≠ ⊤ := ne_top_of_lt ec | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have erp : e.toReal > 0 := ENNReal.toReal_pos ez ef | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply ck.induction_on (p := fun s ↦ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (z : ℂ), z ∈ s → f n z ≥ d) | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.he
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄,
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) →
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro z zs | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior z (ks zs) with ⟨r, rp, rs⟩ | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | generalize hr2 : r / 2 = r2 | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | generalize hr1 : r2 * Real.sqrt (d.toReal / e.toReal) = r1 | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have dep : d.toReal / e.toReal > 0 := div_pos drp erp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r2p : r2 > 0 := by rw [← hr2]; exact half_pos rp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1p : r1 > 0 := by rw [← hr1]; exact mul_pos r2p (Real.sqrt_pos_of_pos (div_pos drp erp)) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r12 : r1 < r2 := by
rw [← hr1]; apply mul_lt_of_lt_one_right r2p; rw [Real.sqrt_lt dep.le zero_le_one]
simp only [one_pow]
apply (div_lt_one erp).mpr; exact (ENNReal.toReal_lt_toReal df ef).mpr de | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1r : r1 < r := by apply _root_.trans r12; rw [← hr2]; exact half_lt_self rp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1s : closedBall z r1 ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball r1r) (_root_.trans rs interior_subset) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) := by
rw [← ENNReal.ofReal_mul (by bound : π * r1 ^ 2 ≥ 0), ← hr1, mul_pow, Real.sq_sqrt dep.le]
have smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal := by
calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹
_ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) := by simp_rw [mul_inv]
_ = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) := by ring_nf
_ = d.toReal / e.toReal := by simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne',
mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one]
rw [smash, ENNReal.ofReal_div_of_pos erp, ENNReal.ofReal_toReal df, ENNReal.ofReal_toReal ef]
rw [ENNReal.mul_div_cancel' ez ef] | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have s12 : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 := by
intro w wr; apply Metric.closedBall_subset_closedBall'
simp only [dist_comm, Metric.mem_closedBall, le_sub_iff_add_le] at wr; rwa [add_comm] | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r2s : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall w r2 ⊆ s := by
intro w ws; refine _root_.trans ?_ (_root_.trans rs interior_subset)
simp only [Complex.dist_eq, ← hr2, Metric.mem_closedBall] at ws ⊢
apply Metric.closedBall_subset_ball'; simp only [Complex.dist_eq]
calc r / 2 + abs (w - z)
_ ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) := by bound
_ = r - r1 := by ring_nf
_ < r := sub_lt_self _ r1p | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.