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https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	set fi := fun z ↦ atTop.liminf fun n ↦ f n z	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have fm : ∀ n, _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) := fun n ↦ AEMeasurable.mono_set r1s (fs n).AEMeasurable	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have fatou' := @lintegral_liminf_le' _ _ (volume.restrict (closedBall z r1)) f fm	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have im := @set_lintegral_mono_aEMeasurable _ _ (closedBall z r1) (fun _ ↦ c) _ measurableSet_closedBall fun _ zs ↦ fc _ (r1s zs)	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, (fun x => c) x ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [lintegral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, Set.univ_inter] at im	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, (fun x => c) x ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, (fun x => c) x ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have vec : e * volume (closedBall z r1) < c * volume (closedBall z r1) := haveI n := NiceVolume.closedBall z r1p (ENNReal.mul_lt_mul_right n.ne_zero n.ne_top).mpr ec	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have fatou := le_liminf.simple.mp (_root_.trans im fatou') (e * volume (closedBall z r1)) vec	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [Complex.volume_closedBall, NNReal.pi_eq_ofReal_pi, ←ENNReal.ofReal_pow r1p.le, ←ENNReal.ofReal_mul' Real.pi_nonneg, mul_comm _ π] at fatou	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	clear fatou' im fc vec	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou' : ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤ liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	use closedBall z (r2 - r1), mem_nhdsWithin_of_mem_nhds (Metric.closedBall_mem_nhds _ (by bound))	case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	refine fatou.mp (Filter.eventually_of_forall ?_)	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ (x : ℕ), e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro n fn w ws	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ (x : ℕ), e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ f n w ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ ∀ (x : ℕ), e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	calc d _ = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) := by rw [rde] _ = e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ := by rw [mul_assoc] _ ≤ (∫⁻ v in closedBall z r1, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ := (ENNReal.mul_right_mono fn) _ ≤ (∫⁻ v in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ := (ENNReal.mul_right_mono (lintegral_mono_set (s12 w ws))) _ = ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ v in closedBall w r2, f n v := by rw [mul_comm] _ ≤ f n w := (fs n).supmean w r2 r2p (r2s w ws)	case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ f n w ≥ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ f n w ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [dz, ge_iff_le, zero_le', imp_true_iff, Filter.eventually_atTop, exists_const]	case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : d = 0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : d = 0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [Set.mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, Filter.eventually_atTop, imp_true_iff, exists_const]	case neg.intro.intro.he S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.he S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro k0 k1 k01 h1	case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	refine h1.mp (Filter.eventually_of_forall ?_)	case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0, f x z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact fun n a1 z z0 ↦ a1 z (k01 z0)	case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0, f x z ≥ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hmono S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ k01 : k0 ⊆ k1 h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0, f x z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro k0 k1 h0 h1	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 ⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	refine (h0.and h1).mp (Filter.eventually_of_forall ?_)	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), ((∀ z ∈ k0, f x z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f x z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro n h z zs	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), ((∀ z ∈ k0, f x z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f x z ≥ d	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ∪ k1 ⊢ f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d ⊢ ∀ (x : ℕ), ((∀ z ∈ k0, f x z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f x z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	cases' zs with zs zs	case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ∪ k1 ⊢ f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hunion.inl S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ⊢ f n z ≥ d case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ∪ k1 ⊢ f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact h.1 z zs	case neg.intro.intro.hunion.inl S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ⊢ f n z ≥ d case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d	case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion.inl S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k0 ⊢ f n z ≥ d case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact h.2 z zs	case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.hunion.inr S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 k0 k1 : Set ℂ h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d n : ℕ h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d z : ℂ zs : z ∈ k1 ⊢ f n z ≥ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [← hr2]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 ⊢ r2 > 0	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 ⊢ r / 2 > 0	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 ⊢ r2 > 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact half_pos rp	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 ⊢ r / 2 > 0	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 ⊢ r / 2 > 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [← hr1]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 ⊢ r1 > 0	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt > 0	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 ⊢ r1 > 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact mul_pos r2p (Real.sqrt_pos_of_pos (div_pos drp erp))	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt > 0	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt > 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [← hr1]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ r1 < r2	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt < r2	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ r1 < r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	apply mul_lt_of_lt_one_right r2p	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt < r2	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ (d.toReal / e.toReal).sqrt < 1	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt < r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [Real.sqrt_lt dep.le zero_le_one]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ (d.toReal / e.toReal).sqrt < 1	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1 ^ 2	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ (d.toReal / e.toReal).sqrt < 1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [one_pow]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1 ^ 2	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1 ^ 2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	apply (div_lt_one erp).mpr	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal < e.toReal	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal / e.toReal < 1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact (ENNReal.toReal_lt_toReal df ef).mpr de	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal < e.toReal	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 ⊢ d.toReal < e.toReal TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	apply _root_.trans r12	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r1 < r	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r2 < r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r1 < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [← hr2]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r2 < r	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r / 2 < r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r2 < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	exact half_lt_self rp	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r / 2 < r	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 ⊢ r / 2 < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [← ENNReal.ofReal_mul (by bound : π * r1 ^ 2 ≥ 0), ← hr1, mul_pow, Real.sq_sqrt dep.le]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	have smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal := by calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ _ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) := by simp_rw [mul_inv] _ = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) := by ring_nf _ = d.toReal / e.toReal := by simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne', mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [smash, ENNReal.ofReal_div_of_pos erp, ENNReal.ofReal_toReal df, ENNReal.ofReal_toReal ef]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * (d / e)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [ENNReal.mul_div_cancel' ez ef]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * (d / e)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal ⊢ d = e * (d / e) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	bound	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * r1 ^ 2 ≥ 0	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * r1 ^ 2 ≥ 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ _ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) := by simp_rw [mul_inv] _ = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) := by ring_nf _ = d.toReal / e.toReal := by simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne', mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp_rw [mul_inv]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	ring_nf	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne', mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s ⊢ d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro w wr	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) ⊢ ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) ⊢ ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	apply Metric.closedBall_subset_closedBall'	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ r1 + dist z w ≤ r2	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [dist_comm, Metric.mem_closedBall, le_sub_iff_add_le] at wr	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ r1 + dist z w ≤ r2	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : dist z w + r1 ≤ r2 ⊢ r1 + dist z w ≤ r2	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ r1 + dist z w ≤ r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rwa [add_comm]	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : dist z w + r1 ≤ r2 ⊢ r1 + dist z w ≤ r2	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) w : ℂ wr : dist z w + r1 ≤ r2 ⊢ r1 + dist z w ≤ r2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	intro w ws	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 ⊢ ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ s	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 ⊢ ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	refine _root_.trans ?_ (_root_.trans rs interior_subset)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ s	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ ball z r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [Complex.dist_eq, ← hr2, Metric.mem_closedBall] at ws ⊢	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ ball z r	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ closedBall w (r / 2) ⊆ ball z r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ closedBall w r2 ⊆ ball z r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	apply Metric.closedBall_subset_ball'	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ closedBall w (r / 2) ⊆ ball z r	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + dist w z < r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ closedBall w (r / 2) ⊆ ball z r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	simp only [Complex.dist_eq]	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + dist w z < r	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + dist w z < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	calc r / 2 + abs (w - z) _ ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) := by bound _ = r - r1 := by ring_nf _ < r := sub_lt_self _ r1p	case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	bound	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 + (r / 2 - r1)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	ring_nf	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + (r / 2 - r1) = r - r1	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 w : ℂ ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1 ⊢ r / 2 + (r / 2 - r1) = r - r1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	bound	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ 0 < r2 - r1	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a ⊢ 0 < r2 - r1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [rde]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [mul_assoc]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) = e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) = e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SuperharmonicOn.hartogs	[941, 1]	[1036, 52]	rw [mul_comm]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ (∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ = ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ s k : Set ℂ c : ℝ≥0∞ fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s d : ℝ≥0∞ dc : d < c dz : ¬d = 0 dp : d > 0 df : d ≠ ⊤ drp : d.toReal > 0 e : ℝ≥0∞ de : d < e ec : e < c ep : e > 0 ez : e ≠ 0 ef : e ≠ ⊤ erp : e.toReal > 0 z : ℂ zs : z ∈ k r : ℝ rp : r > 0 rs : ball z r ⊆ interior s r2 : ℝ hr2 : r / 2 = r2 r1 : ℝ hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1 dep : d.toReal / e.toReal > 0 r2p : r2 > 0 r1p : r1 > 0 r12 : r1 < r2 r1r : r1 < r r1s : closedBall z r1 ⊆ s rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a n : ℕ fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a w : ℂ ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1) ⊢ (∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ = ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	by_cases bc : b ≤ c	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : ¬b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	simp only [not_le] at bc	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : ¬b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : ¬b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	generalize hf' : (fun n z ↦ f n z - b) = f'	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	generalize hg : (fun n z ↦ ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have fs' : ∀ n, SubharmonicOn (f' n) s := by rw [← hf']; exact fun n ↦ (fs n).add (HarmonicOn.const _).subharmonicOn	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have fn' : ∀ n z, z ∈ interior s → f' n z ≤ 0 := fun n z zs ↦ by simp only [← hf', fb n z (interior_subset zs), sub_nonpos]	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have gs : ∀ n, SuperharmonicOn (g n) (interior s) := by rw [← hg]; exact fun n ↦ ((fs' n).mono interior_subset).neg (fn' n) measurableSet_interior	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have gc : ∀ z, z ∈ interior s → (atTop.liminf fun n ↦ g n z) ≥ ENNReal.ofReal (b - c) := by intro z zs; specialize fc z (interior_subset zs); refine le_liminf.simple.mpr ?_ intro d dc have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc have dc' : b - d.toReal > c := by calc b - d.toReal _ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal := sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b _ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le] _ = c := by ring_nf refine (fc _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_); intro n fb calc g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) := by simp only [← hg, ← hf', neg_sub] _ ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) := by bound _ = ENNReal.ofReal d.toReal := by ring_nf _ = d := by rw [ENNReal.ofReal_toReal df]	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have ks' := ks	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rw [← interior_interior] at ks'	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior s ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have h := SuperharmonicOn.hartogs gs gc ck ks'	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	intro d dc	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) := by rw [ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff (sub_pos.mpr bc)]; simpa only [sub_lt_sub_iff_left]	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	refine (h _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_)	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	intro n hn z zk	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ hn : ∀ z ∈ k, g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) z : ℂ zk : z ∈ k ⊢ f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	specialize hn z zk	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ hn : ∀ z ∈ k, g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) z : ℂ zk : z ∈ k ⊢ f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) ⊢ f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ hn : ∀ z ∈ k, g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) z : ℂ zk : z ∈ k ⊢ f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	simp only [← hg, ← hf', neg_sub, ge_iff_le] at hn	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) ⊢ f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z) ⊢ f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d) ⊢ f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rw [ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff (sub_nonneg.mpr (fb n z (interior_subset (ks zk))))] at hn	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z) ⊢ f n z ≤ d	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : b - d ≤ b - f n z ⊢ f n z ≤ d	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z) ⊢ f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rwa [← sub_le_sub_iff_left]	case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : b - d ≤ b - f n z ⊢ f n z ≤ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) ks' : k ⊆ interior (interior s) h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d d : ℝ dc : d > c dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) n : ℕ z : ℂ zk : z ∈ k hn : b - d ≤ b - f n z ⊢ f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	exact fun d dc ↦ Filter.eventually_of_forall fun n z zk ↦ _root_.trans (fb n z (_root_.trans ks interior_subset zk)) (_root_.trans bc dc.le)	case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : b ≤ c ⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rw [← hf']	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	exact fun n ↦ (fs n).add (HarmonicOn.const _).subharmonicOn	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g ⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	simp only [← hf', fb n z (interior_subset zs), sub_nonpos]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s n : ℕ z : ℂ zs : z ∈ interior s ⊢ f' n z ≤ 0	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s n : ℕ z : ℂ zs : z ∈ interior s ⊢ f' n z ≤ 0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rw [← hg]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	exact fun n ↦ ((fs' n).mono interior_subset).neg (fn' n) measurableSet_interior	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 ⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	intro z zs	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) ⊢ ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) ⊢ ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	specialize fc z (interior_subset zs)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	refine le_liminf.simple.mpr ?_	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	intro d dc	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d ⊢ ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	have dc' : b - d.toReal > c := by calc b - d.toReal _ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal := sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b _ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le] _ = c := by ring_nf	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	refine (fc _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_)	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ (x : ℕ), f x z ≤ b - d.toReal → d ≤ g x z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	intro n fb	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ (x : ℕ), f x z ≤ b - d.toReal → d ≤ g x z	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c n : ℕ fb : f n z ≤ b - d.toReal ⊢ d ≤ g n z	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c ⊢ ∀ (x : ℕ), f x z ≤ b - d.toReal → d ≤ g x z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	calc g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) := by simp only [← hg, ← hf', neg_sub] _ ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) := by bound _ = ENNReal.ofReal d.toReal := by ring_nf _ = d := by rw [ENNReal.ofReal_toReal df]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c n : ℕ fb : f n z ≤ b - d.toReal ⊢ d ≤ g n z	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c n : ℕ fb : f n z ≤ b - d.toReal ⊢ d ≤ g n z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	calc b - d.toReal _ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal := sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b _ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le] _ = c := by ring_nf	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - d.toReal > c	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - d.toReal > c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal = b - (b - c)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal = b - (b - c) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	ring_nf	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - (b - c) = c	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ ⊢ b - (b - c) = c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git	0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9	Ray/Hartogs/Subharmonic.lean	SubharmonicOn.hartogs	[1043, 1]	[1090, 30]	simp only [← hg, ← hf', neg_sub]	S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c n : ℕ fb : f n z ≤ b - d.toReal ⊢ g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z)	no goals	Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℕ → ℂ → ℝ s k : Set ℂ c b : ℝ fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b ck : IsCompact k ks : k ⊆ interior s bc : c < b f' : ℕ → ℂ → ℝ hf' : (fun n z => f n z - b) = f' g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞ hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0 gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) z : ℂ zs : z ∈ interior s fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d d : ℝ≥0∞ dc : d < ENNReal.ofReal (b - c) df : d ≠ ⊤ dc' : b - d.toReal > c n : ℕ fb : f n z ≤ b - d.toReal ⊢ g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) TACTIC:

Subsets and Splits

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