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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | apply (fa.continuousAt.eventually_mem ((isOpen_extChartAt_source J (f x)).mem_nhds
(mem_extChartAt_source J (f x)))).eventually_nhds.mp | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
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inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, HolomorphicAt I J f y | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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G C : Type
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H D : Type
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M : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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x : M
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, (∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | apply ((isOpen_extChartAt_source I x).eventually_mem (mem_extChartAt_source I x)).mp | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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x : M
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, (∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | 𝕜 : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
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x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, (∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | apply ((continuousAt_extChartAt I x).eventually
((isOpen_analyticAt _ _).eventually_mem (holomorphicAt_iff.mp fa).2)).mp | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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f : M → N
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
↑(_root_.extChartAt I x) x_1 ∈
{x_2 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_2} →
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
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fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | refine eventually_of_forall fun y a m fm ↦ ?_ | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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inst✝ : ChartedSpace D P
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⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
↑(_root_.extChartAt I x) x_1 ∈
{x_2 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_2} →
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1 | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a :
↑(_root_.extChartAt I x) y ∈
{x_1 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_1}
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x,
↑(_root_.extChartAt I x) x_1 ∈
{x_2 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_2} →
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(∀ᶠ (x_2 : M) in 𝓝 x_1, f x_2 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source) → HolomorphicAt I J f x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | rw [mem_setOf] at a | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a :
↑(_root_.extChartAt I x) y ∈
{x_1 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_1}
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a :
↑(_root_.extChartAt I x) y ∈
{x_1 | AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) x_1}
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | have h := a.holomorphicAt (modelWithCornersSelf 𝕜 E) (modelWithCornersSelf 𝕜 F) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | clear a | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
a : AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y)
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | have h' := (HolomorphicAt.extChartAt_symm (PartialEquiv.map_source _ fm.self_of_nhds)).comp_of_eq
(h.comp (HolomorphicAt.extChartAt m)) ?_ | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
h' :
HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ HolomorphicAt I J f y
case refine_1
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y) =
↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f y) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | swap | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
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HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ HolomorphicAt I J f y
case refine_1
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inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
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↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f y) | case refine_1
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case refine_2
𝕜 : Type
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h' :
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y
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
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y
⊢ HolomorphicAt I J f y
case refine_1
𝕜 : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | simp only [Function.comp, PartialEquiv.left_inv _ m] | case refine_1
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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⊢ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) y) =
↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f y)
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ HolomorphicAt I J f y | case refine_2
𝕜 : Type
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E A : Type
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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y
⊢ HolomorphicAt I J f y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
𝕜 : Type
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↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f y)
case refine_2
𝕜 : Type
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y
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | apply h'.congr | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
h' :
HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
h' :
HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ HolomorphicAt I J f y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | clear h h' | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
h' :
HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
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inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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cm : AnalyticManifold I M
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x : M
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y : M
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fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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inst✝ : ChartedSpace D P
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f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
h :
HolomorphicAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm)
(↑(_root_.extChartAt I x) y)
h' :
HolomorphicAt I J
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
y
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | simp only [Function.comp] | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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f : M → N
x : M
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m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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inst✝³ : K.Boundaryless
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f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
((↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))
f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | apply ((isOpen_extChartAt_source I x).eventually_mem m).mp | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
f | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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H D : Type
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M : Type
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N : Type
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O : Type
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inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y,
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(fun x_2 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_2)))))
x_1 =
f x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ (𝓝 y).EventuallyEq
(fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | refine fm.mp (eventually_of_forall fun z mf m ↦ ?_) | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y,
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(fun x_2 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_2)))))
x_1 =
f x_1 | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m✝ : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
z : M
mf : f z ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
m : z ∈ (_root_.extChartAt I x).source
⊢ (fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
z =
f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y,
x_1 ∈ (_root_.extChartAt I x).source →
(fun x_2 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_2)))))
x_1 =
f x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicAt.eventually | [608, 1] | [624, 68] | simp only [PartialEquiv.left_inv _ m, PartialEquiv.left_inv _ mf] | case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m✝ : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
z : M
mf : f z ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
m : z ∈ (_root_.extChartAt I x).source
⊢ (fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
z =
f z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
y : M
m✝ : y ∈ (_root_.extChartAt I x).source
fm : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 y, f x_1 ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
z : M
mf : f z ∈ (_root_.extChartAt J (f x)).source
m : z ∈ (_root_.extChartAt I x).source
⊢ (fun x_1 =>
↑(_root_.extChartAt J (f x)).symm
(↑(_root_.extChartAt J (f x)) (f (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(_root_.extChartAt I x) x_1)))))
z =
f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | isOpen_holomorphicAt | [627, 1] | [628, 62] | rw [isOpen_iff_eventually] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
⊢ IsOpen {x | HolomorphicAt I J f x} | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
⊢ ∀ x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}, ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
⊢ IsOpen {x | HolomorphicAt I J f x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | isOpen_holomorphicAt | [627, 1] | [628, 62] | intro x fa | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
⊢ ∀ x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}, ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x} | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
⊢ ∀ x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}, ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | isOpen_holomorphicAt | [627, 1] | [628, 62] | exact fa.eventually | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : x ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, y ∈ {x | HolomorphicAt I J f x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HasMFDerivAt.prod | [631, 1] | [636, 43] | simp only [HasMFDerivAt, ModelWithCorners.range_eq_univ, hasFDerivWithinAt_univ] at fh gh ⊢ | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
fh : HasMFDerivAt I J f x df
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
gh : HasMFDerivAt I K g x dg
⊢ HasMFDerivAt I (J.prod K) (fun y => (f y, g y)) x (df.prod dg) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousAt (fun y => (f y, g y)) x ∧
HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
fh : HasMFDerivAt I J f x df
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
gh : HasMFDerivAt I K g x dg
⊢ HasMFDerivAt I (J.prod K) (fun y => (f y, g y)) x (df.prod dg)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HasMFDerivAt.prod | [631, 1] | [636, 43] | use fh.1.prod gh.1 | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousAt (fun y => (f y, g y)) x ∧
HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x) | case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousAt (fun y => (f y, g y)) x ∧
HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HasMFDerivAt.prod | [631, 1] | [636, 43] | exact fh.2.prod gh.2 | case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
g : M → O
x : M
df : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (f x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (g x)
fh : ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I J x f) df (↑(extChartAt I x) x)
gh : ContinuousAt g x ∧ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I K x g) dg (↑(extChartAt I x) x)
⊢ HasFDerivAt (writtenInExtChartAt I (J.prod K) x fun y => (f y, g y)) (df.prod dg) (↑(extChartAt I x) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | tangentSpace_prod | [639, 1] | [641, 27] | simp only [TangentSpace] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x : M
y : N
⊢ TangentSpace (I.prod J) (x, y) = (TangentSpace I x × TangentSpace J y) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x : M
y : N
⊢ TangentSpace (I.prod J) (x, y) = (TangentSpace I x × TangentSpace J y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | set fst := ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
(df0.comp (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)) +
df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z))) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
(df0.comp fst + df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
(df0.comp (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)) +
df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | set snd := ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
(df0.comp fst + df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z))) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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G C : Type
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I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
(df0.comp fst + df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | generalize hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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F B : Type
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have fh := fd.hasMFDerivAt | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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STATE:
𝕜 : Type
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E A : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | rw [hdf] at fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
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E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
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inst✝² : ChartedSpace C O
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cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z))
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | suffices e : df = df0.comp fst + df1.comp snd by rw [e] at fh; exact fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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G C : Type
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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⊢ df = df0.comp fst + df1.comp snd | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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F B : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | apply ContinuousLinearMap.ext | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ df = df0.comp fst + df1.comp snd | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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⊢ ∀ (x : TangentSpace (J.prod K) (y, z)), df x = (df0.comp fst + df1.comp snd) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ df = df0.comp fst + df1.comp snd
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | intro ⟨u, v⟩ | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
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G C : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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cm : AnalyticManifold I M
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cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
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co : AnalyticManifold K O
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cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
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fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ ∀ (x : TangentSpace (J.prod K) (y, z)), df x = (df0.comp fst + df1.comp snd) x | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
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G C : Type
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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P : Type
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y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
⊢ df (u, v) = (df0.comp fst + df1.comp snd) (u, v) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
⊢ ∀ (x : TangentSpace (J.prod K) (y, z)), df x = (df0.comp fst + df1.comp snd) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | simp only [Function.uncurry_apply_pair, ContinuousLinearMap.add_apply,
ContinuousLinearMap.comp_apply] | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
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inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
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cn : AnalyticManifold J N
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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𝕜 : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ df (u, v) = (df0.comp fst + df1.comp snd) (u, v)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have hu : ∀ u : TangentSpace J y, df (u, 0) = df0 u := by
intro u
have d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x ↦ (x, z)) y
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𝕜 : Type
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𝕜 : Type
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⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have hv : ∀ v : TangentSpace K z, df (0, v) = df1 v := by
intro v
have d : HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x ↦ (y, x)) z (df.comp
((0 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y).prod
(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)))) :=
fh.comp z ((hasMFDerivAt_const _ _ _ _).prod (hasMFDerivAt_id _ _))
rw [hasMFDerivAt_unique fh1 d]
refine Eq.trans (congr_arg _ ?_) (ContinuousLinearMap.comp_apply _ _ _).symm
refine Eq.trans ?_ (ContinuousLinearMap.prod_apply _ _ _).symm
simp only [Prod.mk.injEq]
exact ⟨(ContinuousLinearMap.zero_apply _).symm, rfl⟩ | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
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hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
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STATE:
case h
𝕜 : Type
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E A : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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G C : Type
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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u : F
v : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have e : (u, v) = (u, 0) + (0, v) := by simp only [Prod.mk_add_mk, add_zero, zero_add] | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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P : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
e : (u, v) = (u, 0) + (0, v)
⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | nth_rw 1 [e] | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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F B : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
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⊢ df (u, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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⊢ df ((u, 0) + (0, v)) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | rw [map_add] | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
e : (u, v) = (u, 0) + (0, v)
⊢ df (u, 0) + df (0, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
e : (u, v) = (u, 0) + (0, v)
⊢ df ((u, 0) + (0, v)) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | exact congr_arg₂ _ (hu u) (hv v) | case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
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G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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M : Type
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
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y : N
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fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
e : (u, v) = (u, 0) + (0, v)
⊢ df (u, 0) + df (0, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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P : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
e : (u, v) = (u, 0) + (0, v)
⊢ df (u, 0) + df (0, v) = df0 (fst (u, v)) + df1 (snd (u, v))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | rw [e] at fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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e : df = df0.comp fst + df1.comp snd
⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | exact fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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inst✝ : ChartedSpace D P
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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⊢ HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) (df0.comp fst + df1.comp snd) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | intro u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
⊢ ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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z : O
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fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
⊢ df (u, 0) = df0 u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
⊢ ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x ↦ (x, z)) y
(df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0)) :=
fh.comp y ((hasMFDerivAt_id _ _).prod (hasMFDerivAt_const _ _ _ _)) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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G C : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
⊢ df (u, 0) = df0 u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ df (u, 0) = df0 u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
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G C : Type
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
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I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
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u : TangentSpace J y
⊢ df (u, 0) = df0 u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | simp only [hasMFDerivAt_unique fh0 d] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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G C : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝ : ChartedSpace D P
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
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d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ df (u, 0) = df0 u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²² : TopologicalSpace A
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ df (u, 0) = (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0)) u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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u✝ : F
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d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ df (u, 0) = df0 u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | refine Eq.trans (congr_arg _ ?_) (ContinuousLinearMap.comp_apply _ _ _).symm | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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F B : Type
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G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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⊢ df (u, 0) = (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0)) u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0) u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
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G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ df (u, 0) = (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0)) u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | refine Eq.trans ?_ (ContinuousLinearMap.prod_apply _ _ _).symm | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
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G C : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0) u | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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H D : Type
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M : Type
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
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u✝ : F
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u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u, 0 u) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0) u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | simp only [ContinuousLinearMap.zero_apply, Prod.mk.injEq, and_true] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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u✝ : F
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d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u, 0 u) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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u✝ : F
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u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ u = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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cm : AnalyticManifold I M
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inst✝ : ChartedSpace D P
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fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ (u, 0) = ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u, 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | exact rfl | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²³ : CompleteSpace E
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H D : Type
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
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inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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f : N → O → P
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
v : G
u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ u = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
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fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u✝ : F
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u : TangentSpace J y
d : HasMFDerivAt J L (uncurry f ∘ fun x => (x, z)) y (df.comp ((ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)).prod 0))
⊢ u = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace J y)) u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | intro v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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cm : AnalyticManifold I M
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inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝ : ChartedSpace D P
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
⊢ ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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M : Type
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
⊢ df (0, v) = df1 v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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G C : Type
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⊢ ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | have d : HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x ↦ (y, x)) z (df.comp
((0 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y).prod
(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)))) :=
fh.comp z ((hasMFDerivAt_const _ _ _ _).prod (hasMFDerivAt_id _ _)) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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⊢ df (0, v) = df1 v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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H D : Type
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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⊢ df (0, v) = df1 v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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⊢ df (0, v) = df1 v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | rw [hasMFDerivAt_unique fh1 d] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
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M : Type
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ df (0, v) = df1 v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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⊢ df (0, v) = (df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)))) v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
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G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ df (0, v) = df1 v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | refine Eq.trans (congr_arg _ ?_) (ContinuousLinearMap.comp_apply _ _ _).symm | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ df (0, v) = (df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)))) v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ (0, v) = (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))) v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
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ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
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HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ df (0, v) = (df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)))) v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | refine Eq.trans ?_ (ContinuousLinearMap.prod_apply _ _ _).symm | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ (0, v) = (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))) v | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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G C : Type
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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inst✝ : ChartedSpace D P
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
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u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ (0, v) = (0 v, (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ (0, v) = (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))) v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | simp only [Prod.mk.injEq] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
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⊢ (0, v) = (0 v, (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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H D : Type
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
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HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
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⊢ 0 = 0 v ∧ v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
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f : N → O → P
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z : O
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ (0, v) = (0 v, (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | exact ⟨(ContinuousLinearMap.zero_apply _).symm, rfl⟩ | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
y : N
z : O
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ 0 = 0 v ∧ v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
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inst✝ : ChartedSpace D P
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y : N
z : O
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v✝ : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
v : TangentSpace K z
d :
HasMFDerivAt K L (uncurry f ∘ fun x => (y, x)) z
(df.comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z))))
⊢ 0 = 0 v ∧ v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace K z)) v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_uncurry | [645, 1] | [686, 35] | simp only [Prod.mk_add_mk, add_zero, zero_add] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
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inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
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hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
⊢ (u, v) = (u, 0) + (0, v) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
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P : Type
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inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
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y : N
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fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z)
df0 : TangentSpace J y →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun x => f x z) y df0
df1 : TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace L (f y z)
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun x => f y x) z df1
fst : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace J y :=
ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
snd : TangentSpace J y × TangentSpace K z →L[𝕜] TangentSpace K z :=
ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J y) (TangentSpace K z)
df : TangentSpace (J.prod K) (y, z) →L[𝕜] TangentSpace L (uncurry f (y, z))
hdf : mfderiv (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) = df
fh : HasMFDerivAt (J.prod K) L (uncurry f) (y, z) df
u : F
v : G
hu : ∀ (u : TangentSpace J y), df (u, 0) = df0 u
hv : ∀ (v : TangentSpace K z), df (0, v) = df1 v
⊢ (u, v) = (u, 0) + (0, v)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_comp2 | [689, 1] | [701, 11] | have fh := (fd.hasMFDerivAt_uncurry fh0 fh1).comp x (gh.prod hh) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
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M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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inst✝ : ChartedSpace D P
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df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
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F B : Type
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M : Type
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
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((df0.comp (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))) +
df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x)))).comp
(dg.prod dh))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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f : N → O → P
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dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (g x)
gh : HasMFDerivAt I J g x dg
dh : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (h x)
hh : HasMFDerivAt I K h x dh
df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_comp2 | [689, 1] | [701, 11] | simp only [ContinuousLinearMap.add_comp, ContinuousLinearMap.comp_assoc,
ContinuousLinearMap.fst_comp_prod, ContinuousLinearMap.snd_comp_prod] at fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
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H D : Type
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inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
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((df0.comp (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))) +
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(dg.prod dh))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
g : M → N
h : M → O
x : M
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (g x, h x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (g x)
gh : HasMFDerivAt I J g x dg
dh : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (h x)
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df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
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df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
HasMFDerivAt I L (uncurry f ∘ fun y => (g y, h y)) x
(df0.comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)) +
df1.comp ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
g : M → N
h : M → O
x : M
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (g x, h x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (g x)
gh : HasMFDerivAt I J g x dg
dh : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (h x)
hh : HasMFDerivAt I K h x dh
df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun y => f y (h x)) (g x) df0
df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
HasMFDerivAt I L (uncurry f ∘ fun y => (g y, h y)) x
((df0.comp (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))) +
df1.comp (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x)))).comp
(dg.prod dh))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | MDifferentiableAt.hasMFDerivAt_comp2 | [689, 1] | [701, 11] | exact fh | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
g : M → N
h : M → O
x : M
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (g x, h x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (g x)
gh : HasMFDerivAt I J g x dg
dh : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (h x)
hh : HasMFDerivAt I K h x dh
df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun y => f y (h x)) (g x) df0
df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
HasMFDerivAt I L (uncurry f ∘ fun y => (g y, h y)) x
(df0.comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)) +
df1.comp ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O → P
g : M → N
h : M → O
x : M
fd : MDifferentiableAt (J.prod K) L (uncurry f) (g x, h x)
dg : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace J (g x)
gh : HasMFDerivAt I J g x dg
dh : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace K (h x)
hh : HasMFDerivAt I K h x dh
df0 : TangentSpace J (g x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh0 : HasMFDerivAt J L (fun y => f y (h x)) (g x) df0
df1 : TangentSpace K (h x) →L[𝕜] TangentSpace L (f (g x) (h x))
fh1 : HasMFDerivAt K L (fun y => f (g x) y) (h x) df1
fh :
HasMFDerivAt I L (uncurry f ∘ fun y => (g y, h y)) x
(df0.comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)) +
df1.comp ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace J (g x)) (TangentSpace K (h x))).comp (dg.prod dh)))
⊢ HasMFDerivAt I L (fun y => f (g y) (h y)) x (df0.comp dg + df1.comp dh)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | hasMFDerivAt_iff_hasFDerivAt' | [705, 1] | [715, 51] | simp only [HasMFDerivAt, ModelWithCorners.range_eq_univ, hasFDerivWithinAt_univ,
writtenInExtChartAt, extChartAt_eq_refl, Function.comp, PartialEquiv.refl_coe,
PartialEquiv.refl_symm, id] | 𝕜 : Type
inst✝³⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³¹ : CompleteSpace E
inst✝³⁰ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²⁷ : CompleteSpace F
inst✝²⁶ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝²³ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝²² : NormedAddCommGroup H
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝²⁰ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M
N : Type
J✝ : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁵ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁴ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝¹³ : J✝.Boundaryless
inst✝¹² : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J✝ N
inst✝¹¹ : K.Boundaryless
inst✝¹⁰ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁹ : L.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A E
inst✝⁵ : AnalyticManifold I E
inst✝⁴ : ExtChartEqRefl I
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝³ : J.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace B F
inst✝¹ : AnalyticManifold J F
inst✝ : ExtChartEqRefl J
f : E → F
x : E
f' : E →L[𝕜] F
⊢ HasMFDerivAt I J f x f' ↔ HasFDerivAt f f' x | 𝕜 : Type
inst✝³⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³¹ : CompleteSpace E
inst✝³⁰ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²⁷ : CompleteSpace F
inst✝²⁶ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝²³ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝²² : NormedAddCommGroup H
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝²⁰ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M
N : Type
J✝ : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁵ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁴ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝¹³ : J✝.Boundaryless
inst✝¹² : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J✝ N
inst✝¹¹ : K.Boundaryless
inst✝¹⁰ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁹ : L.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A E
inst✝⁵ : AnalyticManifold I E
inst✝⁴ : ExtChartEqRefl I
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝³ : J.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace B F
inst✝¹ : AnalyticManifold J F
inst✝ : ExtChartEqRefl J
f : E → F
x : E
f' : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (fun x => f x) f' x ↔ HasFDerivAt f f' x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝³⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³¹ : CompleteSpace E
inst✝³⁰ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²⁷ : CompleteSpace F
inst✝²⁶ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝²³ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝²² : NormedAddCommGroup H
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝²⁰ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M
N : Type
J✝ : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁵ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁴ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝¹³ : J✝.Boundaryless
inst✝¹² : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J✝ N
inst✝¹¹ : K.Boundaryless
inst✝¹⁰ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁹ : L.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A E
inst✝⁵ : AnalyticManifold I E
inst✝⁴ : ExtChartEqRefl I
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝³ : J.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace B F
inst✝¹ : AnalyticManifold J F
inst✝ : ExtChartEqRefl J
f : E → F
x : E
f' : E →L[𝕜] F
⊢ HasMFDerivAt I J f x f' ↔ HasFDerivAt f f' x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | hasMFDerivAt_iff_hasFDerivAt' | [705, 1] | [715, 51] | exact ⟨fun x ↦ x.2, fun d ↦ ⟨d.continuousAt, d⟩⟩ | 𝕜 : Type
inst✝³⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³¹ : CompleteSpace E
inst✝³⁰ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²⁷ : CompleteSpace F
inst✝²⁶ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝²³ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝²² : NormedAddCommGroup H
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝²⁰ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M
N : Type
J✝ : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁵ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁴ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝¹³ : J✝.Boundaryless
inst✝¹² : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J✝ N
inst✝¹¹ : K.Boundaryless
inst✝¹⁰ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁹ : L.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A E
inst✝⁵ : AnalyticManifold I E
inst✝⁴ : ExtChartEqRefl I
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝³ : J.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace B F
inst✝¹ : AnalyticManifold J F
inst✝ : ExtChartEqRefl J
f : E → F
x : E
f' : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (fun x => f x) f' x ↔ HasFDerivAt f f' x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝³⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³¹ : CompleteSpace E
inst✝³⁰ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²⁷ : CompleteSpace F
inst✝²⁶ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝²³ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝²² : NormedAddCommGroup H
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝²⁰ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M
N : Type
J✝ : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁵ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁴ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝¹³ : J✝.Boundaryless
inst✝¹² : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J✝ N
inst✝¹¹ : K.Boundaryless
inst✝¹⁰ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁹ : L.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A E
inst✝⁵ : AnalyticManifold I E
inst✝⁴ : ExtChartEqRefl I
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝³ : J.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace B F
inst✝¹ : AnalyticManifold J F
inst✝ : ExtChartEqRefl J
f : E → F
x : E
f' : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousAt f x ∧ HasFDerivAt (fun x => f x) f' x ↔ HasFDerivAt f f' x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | generalize ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
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cn : AnalyticManifold J N
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co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | have o : IsOpen t := by rw [← ht]; exact isOpen_holomorphicAt | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
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inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | have sub : s ⊆ t := by rw [← ht]; exact fa | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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inst✝ : ChartedSpace D P
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f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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F B : Type
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inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
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G C : Type
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
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L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
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f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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F B : Type
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G C : Type
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H D : Type
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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inst✝ : ChartedSpace D P
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s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | replace fa : HolomorphicOn I J f t := by
simp only [HolomorphicOn, mem_setOf_eq, imp_self, implies_true, ← ht] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | refine ContinuousOn.mono ?_ (preimage_mono sub) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
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H D : Type
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
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sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | apply (fa.smoothOn.contMDiffOn.continuousOn_tangentMapWithin le_top o.uniqueMDiffOn).congr | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ EqOn (tangentMap I J f) (tangentMapWithin I J f t) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ ContinuousOn (tangentMap I J f) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | intro x m | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ EqOn (tangentMap I J f) (tangentMapWithin I J f t) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t) | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
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inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝¹ : L.Boundaryless
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f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x ∈ Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
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inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
⊢ EqOn (tangentMap I J f) (tangentMapWithin I J f t) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | simp only [mem_preimage] at m | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x ∈ Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
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O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
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cm : AnalyticManifold I M
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inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x.proj ∈ t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
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F B : Type
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inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
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G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
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inst✝² : ChartedSpace C O
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inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x ∈ Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | rw [tangentMapWithin_eq_tangentMap (o.uniqueMDiffOn _ m) (fa _ m).mdifferentiableAt] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x.proj ∈ t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
fa : HolomorphicOn I J f t
x : TangentBundle I M
m : x.proj ∈ t
⊢ tangentMap I J f x = tangentMapWithin I J f t x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | rw [← ht] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ IsOpen t | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ IsOpen {x | HolomorphicAt I J f x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ IsOpen t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | exact isOpen_holomorphicAt | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ IsOpen {x | HolomorphicAt I J f x} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
⊢ IsOpen {x | HolomorphicAt I J f x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | rw [← ht] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ t | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ {x | HolomorphicAt I J f x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | exact fa | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ {x | HolomorphicAt I J f x} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ {x | HolomorphicAt I J f x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap | [719, 1] | [729, 87] | simp only [HolomorphicOn, mem_setOf_eq, imp_self, implies_true, ← ht] | 𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ HolomorphicOn I J f t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ HolomorphicOn I J f t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | extChartAt_symm_map_nhds' | [757, 1] | [761, 66] | convert extChartAt_symm_map_nhds (mem_extChartAt_target I x) | 𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝 (↑(extChartAt I x) x)) = 𝓝 x | case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ x = ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝 (↑(extChartAt I x) x)) = 𝓝 x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | extChartAt_symm_map_nhds' | [757, 1] | [761, 66] | simp only [PartialEquiv.left_inv _ (mem_extChartAt_source I x)] | case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ x = ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ x = ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | have p := Module.punctured_nhds_neBot 𝕜 E (extChartAt I x x) | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : (𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x).NeBot
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | simp only [← Filter.frequently_true_iff_neBot, frequently_nhdsWithin_iff, ←
extChartAt_symm_map_nhds' I x, Filter.frequently_map, true_and_iff,
mem_compl_singleton_iff] at p ⊢ | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : (𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x).NeBot
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∃ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), ↑(extChartAt I x).symm a ≠ x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
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inst✝⁶ : ChartedSpace B N
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inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : (𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x).NeBot
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | apply p.mp | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
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inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∃ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), ↑(extChartAt I x).symm a ≠ x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
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inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
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inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
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inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
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inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
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inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
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J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
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K : ModelWithCorners 𝕜 G C
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P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
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inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∃ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), ↑(extChartAt I x).symm a ≠ x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | apply ((isOpen_extChartAt_target I x).eventually_mem (mem_extChartAt_target I x)).mp | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
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inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x),
x_1 ∈ (extChartAt I x).target → x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | refine eventually_of_forall fun y m h ↦ ?_ | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
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N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
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inst✝⁶ : ChartedSpace B N
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inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x),
x_1 ∈ (extChartAt I x).target → x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : y ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm y ≠ x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
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inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x),
x_1 ∈ (extChartAt I x).target → x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | contrapose h | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : y ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm y ≠ x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ¬↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
⊢ ¬y ≠ ↑(extChartAt I x) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : y ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | simp only [not_not] at m h ⊢ | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ¬↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
⊢ ¬y ≠ ↑(extChartAt I x) x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ¬↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
⊢ ¬y ≠ ↑(extChartAt I x) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | nth_rw 2 [← h] | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) x | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot | [765, 1] | [775, 34] | rw [PartialEquiv.right_inv _ m] | 𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ↑(extChartAt I x).symm y = x
⊢ y = ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | mfderiv_comp' | [778, 1] | [790, 40] | apply mfderiv_comp | 𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I'' (fun x => g (f x)) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x) | case hg
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
case hf
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => f x) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I'' (fun x => g (f x)) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | mfderiv_comp' | [778, 1] | [790, 40] | repeat assumption | case hg
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
case hf
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => f x) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hg
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
case hf
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => f x) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean | mfderiv_comp' | [778, 1] | [790, 40] | assumption | case hf
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
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M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type
inst✝ : TopologicalSpace M''
cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => f x) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
𝕜✝ : Type
inst✝³⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ A : Type
inst✝³⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝³⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝³⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝³⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³³ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝³² : CompleteSpace F
inst✝³¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝²⁸ : TopologicalSpace C
H✝ D : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜✝ H✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ A
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜✝ F B
inst✝²³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜✝ G C
inst✝²² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜✝ H✝ D
inst✝²¹ : TopologicalSpace P
inst✝²⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝¹⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝¹⁸ : J.Boundaryless
inst✝¹⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝¹⁶ : K.Boundaryless
inst✝¹⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹⁴ : L.Boundaryless
inst✝¹³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
cs : ChartedSpace H M
E' : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
cs' : ChartedSpace H' M'
E'' : Type
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H'' : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace H''
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M'' : Type
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cs'' : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
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g : M' → M''
sm : SmoothManifoldWithCorners I M
sm' : SmoothManifoldWithCorners I' M'
sm'' : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => f x) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | rcases h with ⟨a1, nm⟩ | ⟨a0, a1, mn⟩ | α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 ≤ a ∧ n ≤ m ∨ 0 ≤ a ∧ a ≤ 1 ∧ m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 ≤ a ∧ n ≤ m ∨ 0 ≤ a ∧ a ≤ 1 ∧ m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | exact pow_le_pow_right a1 nm | case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | exact pow_le_pow_of_le_one a0 a1 mn | case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | rcases h with ⟨x1, yz⟩ | ⟨x0, x1, zy⟩ | α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
h : 1 ≤ x ∧ y ≤ z ∨ 0 < x ∧ x ≤ 1 ∧ z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
h : 1 ≤ x ∧ y ≤ z ∨ 0 < x ∧ x ≤ 1 ∧ z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | exact Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le x1 yz | case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | exact Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge x0 x1 zy | case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_ofNat_lt | [14, 1] | [18, 84] | rw [←Real.exp_one_pow a] | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
h0 : autoParam (2.7182818286 ^ a < b) _auto✝
⊢ (↑a).exp < b | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
h0 : autoParam (2.7182818286 ^ a < b) _auto✝
⊢ exp 1 ^ a < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
h0 : autoParam (2.7182818286 ^ a < b) _auto✝
⊢ (↑a).exp < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_ofNat_lt | [14, 1] | [18, 84] | exact _root_.trans (pow_lt_pow_left Real.exp_one_lt_d9 (Real.exp_nonneg _) a0) h0 | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
h0 : autoParam (2.7182818286 ^ a < b) _auto✝
⊢ exp 1 ^ a < b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
h0 : autoParam (2.7182818286 ^ a < b) _auto✝
⊢ exp 1 ^ a < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_neg_ofNat_lt | [20, 1] | [26, 13] | rw [Real.exp_neg, inv_lt, ←Real.exp_one_pow a] | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ (-↑a).exp < b | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ b⁻¹ < exp 1 ^ a
case ha
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 < (↑a).exp
case hb
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ (-↑a).exp < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_neg_ofNat_lt | [20, 1] | [26, 13] | exact _root_.trans h0 (pow_lt_pow_left Real.exp_one_gt_d9 (by norm_num) a0) | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ b⁻¹ < exp 1 ^ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ b⁻¹ < exp 1 ^ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_neg_ofNat_lt | [20, 1] | [26, 13] | norm_num | a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 ≤ 2.7182818283 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 ≤ 2.7182818283
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Specific.lean | exp_neg_ofNat_lt | [20, 1] | [26, 13] | exact Real.exp_pos _ | case ha
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 < (↑a).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case ha
a : ℕ
b : ℝ
a0 : autoParam (a ≠ 0) _auto✝
b0 : autoParam (0 < b) _auto✝
h0 : autoParam (b⁻¹ < 2.7182818283 ^ a) _auto✝
⊢ 0 < (↑a).exp
TACTIC:
|
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