file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
list | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
list |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
|
Stream'.WSeq.seq_destruct_nil
|
[] |
[
644,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
643,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
|
Cardinal.cantorFunctionAux_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "c : ℝ\nf✝ g : ℕ → Bool\nn : ℕ\nf : ℕ → Bool\n⊢ cantorFunctionAux c f 0 = bif f 0 then 1 else 0",
"tactic": "cases h : f 0 <;> simp [h]"
}
] |
[
86,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
85,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm.lean
|
BilinForm.comp_symmCompOfNondegenerate_apply
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type ?u.1833309\nM : Type ?u.1833312\ninst✝¹⁷ : Semiring R\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝¹⁵ : Module R M\nR₁ : Type ?u.1833348\nM₁ : Type ?u.1833351\ninst✝¹⁴ : Ring R₁\ninst✝¹³ : AddCommGroup M₁\ninst✝¹² : Module R₁ M₁\nR₂ : Type ?u.1833960\nM₂ : Type ?u.1833963\ninst✝¹¹ : CommSemiring R₂\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁹ : Module R₂ M₂\nR₃ : Type ?u.1834150\nM₃ : Type ?u.1834153\ninst✝⁸ : CommRing R₃\ninst✝⁷ : AddCommGroup M₃\ninst✝⁶ : Module R₃ M₃\nV : Type u_2\nK : Type u_1\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : AddCommGroup V\ninst✝³ : Module K V\nB : BilinForm R M\nB₁✝ : BilinForm R₁ M₁\nB₂✝ : BilinForm R₂ M₂\nM₂' : Type ?u.1835958\ninst✝² : AddCommMonoid M₂'\ninst✝¹ : Module R₂ M₂'\ninst✝ : FiniteDimensional K V\nB₁ B₂ : BilinForm K V\nb₂ : Nondegenerate B₂\nv : V\n⊢ ↑(↑toLin B₂) (↑(symmCompOfNondegenerate B₁ B₂ b₂) v) = ↑(↑toLin B₁) v",
"tactic": "erw [symmCompOfNondegenerate, LinearEquiv.apply_symm_apply (B₂.toDual b₂) _]"
}
] |
[
1555,
79
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1552,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
|
AffineSubspace.comap_top
|
[
{
"state_after": "k : Type u_1\nV₁ : Type u_2\nP₁ : Type u_3\nV₂ : Type u_4\nP₂ : Type u_5\nV₃ : Type ?u.601866\nP₃ : Type ?u.601869\ninst✝⁹ : Ring k\ninst✝⁸ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁷ : Module k V₁\ninst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₂\ninst✝⁴ : Module k V₂\ninst✝³ : AffineSpace V₂ P₂\ninst✝² : AddCommGroup V₃\ninst✝¹ : Module k V₃\ninst✝ : AffineSpace V₃ P₃\nf : P₁ →ᵃ[k] P₂\n⊢ ↑(comap f ⊤) = ↑⊤",
"state_before": "k : Type u_1\nV₁ : Type u_2\nP₁ : Type u_3\nV₂ : Type u_4\nP₂ : Type u_5\nV₃ : Type ?u.601866\nP₃ : Type ?u.601869\ninst✝⁹ : Ring k\ninst✝⁸ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁷ : Module k V₁\ninst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₂\ninst✝⁴ : Module k V₂\ninst✝³ : AffineSpace V₂ P₂\ninst✝² : AddCommGroup V₃\ninst✝¹ : Module k V₃\ninst✝ : AffineSpace V₃ P₃\nf : P₁ →ᵃ[k] P₂\n⊢ comap f ⊤ = ⊤",
"tactic": "rw [← ext_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "k : Type u_1\nV₁ : Type u_2\nP₁ : Type u_3\nV₂ : Type u_4\nP₂ : Type u_5\nV₃ : Type ?u.601866\nP₃ : Type ?u.601869\ninst✝⁹ : Ring k\ninst✝⁸ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁷ : Module k V₁\ninst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₂\ninst✝⁴ : Module k V₂\ninst✝³ : AffineSpace V₂ P₂\ninst✝² : AddCommGroup V₃\ninst✝¹ : Module k V₃\ninst✝ : AffineSpace V₃ P₃\nf : P₁ →ᵃ[k] P₂\n⊢ ↑(comap f ⊤) = ↑⊤",
"tactic": "exact preimage_univ (f := f)"
}
] |
[
1634,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1632,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
|
Ideal.Filtration.Stable.inter_right
|
[] |
[
420,
23
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
418,
1
] |
Mathlib/Data/Rel.lean
|
Rel.image_core_gc
|
[] |
[
257,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
256,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean
|
Set.Iic_union_Ico_eq_Iio
|
[] |
[
1485,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1483,
1
] |
Mathlib/Algebra/Group/WithOne/Basic.lean
|
WithOne.lift_coe
|
[] |
[
77,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
76,
1
] |
Mathlib/RingTheory/TensorProduct.lean
|
Algebra.TensorProduct.productMap_apply_tmul
|
[
{
"state_after": "R : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\nS : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : Semiring A\ninst✝⁴ : Semiring B\ninst✝³ : CommSemiring S\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Algebra R B\ninst✝ : Algebra R S\nf : A →ₐ[R] S\ng : B →ₐ[R] S\na : A\nb : B\n⊢ ↑(AlgHom.comp\n (algHomOfLinearMapTensorProduct (LinearMap.mul' R S)\n (_ : ∀ (a₁ a₂ b₁ b₂ : S), a₁ * a₂ * (b₁ * b₂) = a₁ * b₁ * (a₂ * b₂))\n (_ : ∀ (r : R), ↑(algebraMap R S) r * 1 = ↑(algebraMap R S) r))\n (map f g))\n (a ⊗ₜ[R] b) =\n ↑f a * ↑g b",
"state_before": "R : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\nS : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : Semiring A\ninst✝⁴ : Semiring B\ninst✝³ : CommSemiring S\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Algebra R B\ninst✝ : Algebra R S\nf : A →ₐ[R] S\ng : B →ₐ[R] S\na : A\nb : B\n⊢ ↑(productMap f g) (a ⊗ₜ[R] b) = ↑f a * ↑g b",
"tactic": "unfold productMap lmul'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\nS : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : Semiring A\ninst✝⁴ : Semiring B\ninst✝³ : CommSemiring S\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Algebra R B\ninst✝ : Algebra R S\nf : A →ₐ[R] S\ng : B →ₐ[R] S\na : A\nb : B\n⊢ ↑(AlgHom.comp\n (algHomOfLinearMapTensorProduct (LinearMap.mul' R S)\n (_ : ∀ (a₁ a₂ b₁ b₂ : S), a₁ * a₂ * (b₁ * b₂) = a₁ * b₁ * (a₂ * b₂))\n (_ : ∀ (r : R), ↑(algebraMap R S) r * 1 = ↑(algebraMap R S) r))\n (map f g))\n (a ⊗ₜ[R] b) =\n ↑f a * ↑g b",
"tactic": "simp"
}
] |
[
966,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
964,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
|
ADEInequality.admissible_E'3
|
[] |
[
139,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
138,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
|
MeasureTheory.volume_pi_pi
|
[] |
[
682,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
680,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Hom/Ring.lean
|
OrderRingIso.coe_toRingEquiv
|
[] |
[
420,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
419,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
|
multiplicity.finite_int_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a b : ℤ\n⊢ Finite a b ↔ _root_.Int.natAbs a ≠ 1 ∧ b ≠ 0",
"tactic": "rw [finite_int_iff_natAbs_finite, finite_nat_iff, pos_iff_ne_zero, Int.natAbs_ne_zero]"
}
] |
[
341,
89
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
340,
1
] |
Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
|
TrivSqZeroExt.inl_nat_cast
|
[] |
[
533,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
532,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Basic.lean
|
Subsemigroup.ext
|
[] |
[
139,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
138,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
|
MeasureTheory.NullMeasurable.congr
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.25082\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.25091\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ninst✝ : MeasurableSpace γ\nf : α → β\nμ : Measure α\ng : α → β\nhf : NullMeasurable f\nhg : f =ᵐ[μ] g\ns : Set β\nhs : MeasurableSet s\nx : α\nhx : f x = g x\n⊢ x ∈ f ⁻¹' s ↔ x ∈ g ⁻¹' s",
"tactic": "rw [mem_preimage, mem_preimage, hx]"
}
] |
[
438,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
435,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
|
Complex.I_im
|
[] |
[
308,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
307,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
|
Real.rpow_logb
|
[
{
"state_after": "b x y : ℝ\nb_pos : 0 < b\nb_ne_one : b ≠ 1\nhx : 0 < x\n⊢ abs x = x",
"state_before": "b x y : ℝ\nb_pos : 0 < b\nb_ne_one : b ≠ 1\nhx : 0 < x\n⊢ b ^ logb b x = x",
"tactic": "rw [rpow_logb_eq_abs b_pos b_ne_one hx.ne']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "b x y : ℝ\nb_pos : 0 < b\nb_ne_one : b ≠ 1\nhx : 0 < x\n⊢ abs x = x",
"tactic": "exact abs_of_pos hx"
}
] |
[
107,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
105,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
|
SimpleGraph.IsSRGWith.compl
|
[] |
[
178,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
173,
1
] |
Mathlib/Algebra/CovariantAndContravariant.lean
|
rel_of_act_rel_act
|
[] |
[
225,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
224,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
|
Matrix.StdBasisMatrix.mul_left_apply_same
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "l : Type ?u.31097\nm : Type ?u.31100\nn : Type u_1\nR : Type ?u.31106\nα : Type u_2\ninst✝⁴ : DecidableEq l\ninst✝³ : DecidableEq m\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Semiring α\ni j : n\nc : α\ni' j' : n\ninst✝ : Fintype n\nb : n\nM : Matrix n n α\n⊢ (stdBasisMatrix i j c ⬝ M) i b = c * M j b",
"tactic": "simp [mul_apply, stdBasisMatrix]"
}
] |
[
178,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
177,
1
] |
Mathlib/Data/IsROrC/Basic.lean
|
IsROrC.conj_eq_iff_re
|
[] |
[
429,
27
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
428,
1
] |
Mathlib/Data/UnionFind.lean
|
UnionFind.rank_lt
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nself : UnionFind α\ni : ℕ\nh : i < Array.size self.arr\nm : UFModel (Array.size self.arr)\nhm : UFModel.Models self.arr m\n⊢ self.arr[i].parent ≠ i → rank self i < rank self self.arr[i].parent",
"state_before": "α : Type u_1\nself : UnionFind α\ni : ℕ\nh : i < Array.size self.arr\n⊢ self.arr[i].parent ≠ i → rank self i < rank self self.arr[i].parent",
"tactic": "let ⟨m, hm⟩ := self.model'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nself : UnionFind α\ni : ℕ\nh : i < Array.size self.arr\nm : UFModel (Array.size self.arr)\nhm : UFModel.Models self.arr m\n⊢ self.arr[i].parent ≠ i → rank self i < rank self self.arr[i].parent",
"tactic": "simpa [hm.parent_eq, hm.rank_eq, rank, size, h, (m.parent ⟨i, h⟩).2] using m.rank_lt ⟨i, h⟩"
}
] |
[
204,
94
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
201,
1
] |
Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
|
Function.Commute.symm
|
[] |
[
111,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
110,
1
] |
Mathlib/Topology/Sequences.lean
|
subset_seqClosure
|
[] |
[
85,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
84,
1
] |
Mathlib/Data/List/Basic.lean
|
List.reduceOption_cons_of_some
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.348712\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type x\nl₁ l₂ : List α\nx : α\nl : List (Option α)\n⊢ reduceOption (some x :: l) = x :: reduceOption l",
"tactic": "simp only [reduceOption, filterMap, id.def, eq_self_iff_true, and_self_iff]"
}
] |
[
3420,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
3418,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Lemmas.lean
|
mul_lt_of_le_of_lt_one_of_pos
|
[] |
[
714,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
712,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/LocallyFinite.lean
|
Finset.Ico_filter_lt
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.137301\nα : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na✝ b✝ a b c : α\n⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)",
"tactic": "cases le_total b c with\n| inl h => rw [Ico_filter_lt_of_right_le h, min_eq_left h]\n| inr h => rw [Ico_filter_lt_of_le_right h, min_eq_right h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nι : Type ?u.137301\nα : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na✝ b✝ a b c : α\nh : b ≤ c\n⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)",
"tactic": "rw [Ico_filter_lt_of_right_le h, min_eq_left h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nι : Type ?u.137301\nα : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na✝ b✝ a b c : α\nh : c ≤ b\n⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)",
"tactic": "rw [Ico_filter_lt_of_le_right h, min_eq_right h]"
}
] |
[
791,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
788,
1
] |
Std/Data/RBMap/Lemmas.lean
|
Std.RBNode.WF.depth_bound
|
[] |
[
92,
42
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
91,
1
] |
Mathlib/Order/WithBot.lean
|
WithTop.some_lt_some
|
[] |
[
1061,
13
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1060,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Operations.lean
|
Submonoid.map_strictMono_of_injective
|
[] |
[
432,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
431,
1
] |
Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
|
MvPolynomial.aeval_algebraMap_eq_zero_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_4\nA : Type u_1\nB : Type u_2\nσ : Type u_3\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : CommSemiring A\ninst✝⁶ : CommSemiring B\ninst✝⁵ : Algebra R A\ninst✝⁴ : Algebra A B\ninst✝³ : Algebra R B\ninst✝² : IsScalarTower R A B\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B\ninst✝ : Nontrivial B\nx : σ → A\np : MvPolynomial σ R\n⊢ ↑(aeval (↑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ ↑(aeval x) p = 0",
"tactic": "rw [aeval_algebraMap_apply, Algebra.algebraMap_eq_smul_one, smul_eq_zero,\n iff_false_intro (one_ne_zero' B), or_false_iff]"
}
] |
[
67,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
64,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Lemmas.lean
|
lt_mul_of_one_lt_right
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\na b c d : α\ninst✝³ : MulOneClass α\ninst✝² : Zero α\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : PosMulStrictMono α\nha : 0 < a\nh : 1 < b\n⊢ a < a * b",
"tactic": "simpa only [mul_one] using mul_lt_mul_of_pos_left h ha"
}
] |
[
698,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
697,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
|
AddSubgroup.toIntSubmodule_toAddSubgroup
|
[] |
[
412,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
410,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
|
MeasureTheory.lintegral_max
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ (∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\n⊢ (∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ",
"tactic": "have hm : MeasurableSet { x | f x ≤ g x } := measurableSet_le hf hg"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ ((∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ) =\n (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ (∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ",
"tactic": "rw [← lintegral_add_compl (fun x => max (f x) (g x)) hm]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ ((∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ) =\n (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {a | f a ≤ g a}ᶜ, f x ∂μ",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ ((∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ) =\n (∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ) + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ",
"tactic": "simp only [← compl_setOf, ← not_le]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x} → max (f x) (g x) = g x\n\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.1029220\nγ : Type ?u.1029223\nδ : Type ?u.1029226\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\nf g : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nhm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}\n⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x}ᶜ → max (f x) (g x) = f x",
"tactic": "exacts [ae_of_all _ fun x => max_eq_right (a := f x) (b := g x),\n ae_of_all _ fun x (hx : ¬ f x ≤ g x) => max_eq_left (not_le.1 hx).le]"
}
] |
[
1250,
74
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1242,
1
] |
Mathlib/Data/Int/Cast/Lemmas.lean
|
Int.cast_ite
|
[] |
[
70,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
68,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
|
iSup_le_iff
|
[] |
[
904,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
903,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
|
Derivation.coe_smul
|
[] |
[
241,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
240,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
|
MonovaryOn.sum_mul_comp_perm_le_sum_mul
|
[] |
[
355,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
353,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
|
CategoryTheory.GrothendieckTopology.sheafifyMap_sheafifyLift
|
[
{
"state_after": "case a\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w\ninst✝² : Category D\ninst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : Cover J X), HasMultiequalizer (Cover.index S P)\ninst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\nP Q R : Cᵒᵖ ⥤ D\nη : P ⟶ Q\nγ : Q ⟶ R\nhR : Presheaf.IsSheaf J R\n⊢ toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w\ninst✝² : Category D\ninst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : Cover J X), HasMultiequalizer (Cover.index S P)\ninst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\nP Q R : Cᵒᵖ ⥤ D\nη : P ⟶ Q\nγ : Q ⟶ R\nhR : Presheaf.IsSheaf J R\n⊢ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = sheafifyLift J (η ≫ γ) hR",
"tactic": "apply J.sheafifyLift_unique"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w\ninst✝² : Category D\ninst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : Cover J X), HasMultiequalizer (Cover.index S P)\ninst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\nP Q R : Cᵒᵖ ⥤ D\nη : P ⟶ Q\nγ : Q ⟶ R\nhR : Presheaf.IsSheaf J R\n⊢ toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ",
"tactic": "rw [← Category.assoc, ← J.toSheafify_naturality, Category.assoc, toSheafify_sheafifyLift]"
}
] |
[
597,
92
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
593,
1
] |
Mathlib/Topology/Constructions.lean
|
Continuous.prod_map
|
[] |
[
435,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
433,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
|
Matrix.toSquareBlockProp_def
|
[] |
[
210,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
207,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Image.lean
|
Set.image_subset_iff
|
[] |
[
477,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
476,
1
] |
Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
|
InfHom.id_comp
|
[] |
[
610,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
610,
9
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Ring.lean
|
RingHom.mk_coe
|
[] |
[
546,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
545,
1
] |
Mathlib/Data/List/Perm.lean
|
List.replicate_perm
|
[] |
[
205,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
203,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupPower/Order.lean
|
pow_lt_one_iff
|
[] |
[
256,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
255,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
|
MeasureTheory.set_integral_eq_zero_of_forall_eq_zero
|
[] |
[
285,
66
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
283,
1
] |
Mathlib/Data/List/Sort.lean
|
List.Sorted.rel_nthLe_of_le
|
[] |
[
129,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
127,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
|
DoubleQuot.quotLeftToQuotSupₐ_toRingHom
|
[] |
[
685,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
683,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
|
Int.map_floor
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type u_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝⁴ : LinearOrderedRing α\ninst✝³ : LinearOrderedRing β\ninst✝² : FloorRing α\ninst✝¹ : FloorRing β\ninst✝ : RingHomClass F α β\na✝ : α\nb : β\nf : F\nhf : StrictMono ↑f\na : α\nn : ℤ\n⊢ ↑n ≤ ↑f a ↔ ↑n ≤ a",
"tactic": "rw [← map_intCast f, hf.le_iff_le]"
}
] |
[
1535,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1534,
1
] |
Std/Data/RBMap/Alter.lean
|
Std.RBNode.Ordered.zoom
|
[] |
[
292,
50
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
289,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
|
padicValRat.div
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "p : ℕ\nhp : Fact (Nat.Prime p)\nq r : ℚ\nhq : q ≠ 0\nhr : r ≠ 0\n⊢ padicValRat p (q / r) = padicValRat p q - padicValRat p r",
"tactic": "rw [div_eq_mul_inv, padicValRat.mul hq (inv_ne_zero hr), padicValRat.inv r, sub_eq_add_neg]"
}
] |
[
319,
94
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
317,
11
] |
Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
|
Function.Injective2.left
|
[] |
[
930,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
929,
11
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
|
Stirling.tendsto_self_div_two_mul_self_add_one
|
[
{
"state_after": "n : ℕ\nhn : n ≥ 1\n⊢ (2 + 1 / ↑n)⁻¹ = (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) n",
"state_before": "⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) atTop (𝓝 (2 + 0)⁻¹)",
"tactic": "refine' (((tendsto_const_div_atTop_nhds_0_nat 1).const_add (2 : ℝ)).inv₀\n ((add_zero (2 : ℝ)).symm ▸ two_ne_zero)).congr' (eventually_atTop.mpr ⟨1, fun n hn => _⟩)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : ℕ\nhn : n ≥ 1\n⊢ (2 + 1 / ↑n)⁻¹ = (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) n",
"tactic": "rw [add_div' (1 : ℝ) 2 n (cast_ne_zero.mpr (one_le_iff_ne_zero.mp hn)), inv_div]"
}
] |
[
229,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
220,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
|
Cardinal.eq_aleph'_of_eq_card_ord
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "o : Ordinal\nho : ord (card o) = o\n⊢ ord (aleph' (↑alephIdx.relIso (card o))) = o",
"tactic": "simpa using ho"
}
] |
[
365,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
364,
1
] |
Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
|
exists_norm_eq_iInf_of_complete_convex
|
[
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "let δ := ⨅ w : K, ‖u - w‖"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "letI : Nonempty K := ne.to_subtype"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have zero_le_δ : 0 ≤ δ := le_ciInf fun _ => norm_nonneg _"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have δ_le : ∀ w : K, δ ≤ ‖u - w‖ := ciInf_le ⟨0, Set.forall_range_iff.2 fun _ => norm_nonneg _⟩"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖ := fun w hw => δ_le ⟨w, hw⟩"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nexists_seq : ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have exists_seq : ∃ w : ℕ → K, ∀ n, ‖u - w n‖ < δ + 1 / (n + 1) := by\n have hδ : ∀ n : ℕ, δ < δ + 1 / (n + 1) := fun n =>\n lt_add_of_le_of_pos le_rfl Nat.one_div_pos_of_nat\n have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)\n let w : ℕ → K := fun n => Classical.choose (h n)\n exact ⟨w, fun n => Classical.choose_spec (h n)⟩"
},
{
"state_after": "case intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nexists_seq : ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "rcases exists_seq with ⟨w, hw⟩"
},
{
"state_after": "case intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (nhds δ) := by\n have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (nhds δ) := tendsto_const_nhds\n have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (nhds δ) := by\n convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat\n simp only [add_zero]\n exact tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le h h' (fun x => δ_le _) fun x => le_of_lt (hw _)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "rcases cauchySeq_tendsto_of_isComplete h₁ (fun n => Subtype.mem _) seq_is_cauchy with\n ⟨v, hv, w_tendsto⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ ∃ v, v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "use v"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "use hv"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖ :=\n Continuous.comp continuous_norm (Continuous.sub continuous_const continuous_id)"
},
{
"state_after": "case this\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n\ncase intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\nthis : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "have : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (nhds ‖u - v‖)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\nthis : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"state_before": "case this\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n\ncase intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\nthis : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "convert Tendsto.comp h_cont.continuousAt w_tendsto"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nseq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)\nv : F\nhv : v ∈ K\nw_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)\nh_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖\nthis : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)\n⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖",
"tactic": "exact tendsto_nhds_unique this norm_tendsto"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"tactic": "have hδ : ∀ n : ℕ, δ < δ + 1 / (n + 1) := fun n =>\n lt_add_of_le_of_pos le_rfl Nat.one_div_pos_of_nat"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"tactic": "have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nw : ℕ → ↑K := fun n => Classical.choose (_ : ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1))\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"tactic": "let w : ℕ → K := fun n => Classical.choose (h n)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nhδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nw : ℕ → ↑K := fun n => Classical.choose (_ : ∃ i, ‖u - ↑i‖ < δ + 1 / (↑n + 1))\n⊢ ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)",
"tactic": "exact ⟨w, fun n => Classical.choose_spec (h n)⟩"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)",
"tactic": "have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (nhds δ) := tendsto_const_nhds"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\nh' : Tendsto (fun n => δ + 1 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)",
"tactic": "have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (nhds δ) := by\n convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat\n simp only [add_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\nh' : Tendsto (fun n => δ + 1 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)",
"tactic": "exact tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le h h' (fun x => δ_le _) fun x => le_of_lt (hw _)"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\n⊢ δ = δ + 0",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun n => δ + 1 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 δ)",
"tactic": "convert h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nh : Tendsto (fun x => δ) atTop (𝓝 δ)\n⊢ δ = δ + 0",
"tactic": "simp only [add_zero]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\n⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\n⊢ CauchySeq fun n => ↑(w n)",
"tactic": "rw [cauchySeq_iff_le_tendsto_0]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\n⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "let b := fun n : ℕ => 8 * δ * (1 / (n + 1)) + 4 * (1 / (n + 1)) * (1 / (n + 1))"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n) ∧\n (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "use fun n => sqrt (b n)"
},
{
"state_after": "case left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n\n\ncase right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n) ∧\n (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nn : ℕ\n⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n\n\ncase right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n\n\ncase right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "intro n"
},
{
"state_after": "case right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nn : ℕ\n⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b n)) n\n\ncase right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "exact sqrt_nonneg _"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ↑(w n) ↑(w m) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N) ∧\n Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
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},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "let half := 1 / (2 : ℝ)"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "let div := 1 / ((N : ℝ) + 1)"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have :\n 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) :=\n calc\n 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=\n by ring\n _ =\n absR (2 : ℝ) * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR (2 : ℝ) * ‖u - half • (wq + wp)‖) +\n ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by\n rw [_root_.abs_of_nonneg]\n exact zero_le_two\n _ =\n ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ +\n ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=\n by simp [norm_smul]\n _ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ := by\n rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←\n one_add_one_eq_two, add_smul]\n simp only [one_smul]\n have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm\n have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n show u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)\n abel\n rw [eq₁, eq₂]\n _ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) := parallelogram_law_with_norm ℝ _ _"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖ := by\n rw [smul_add]\n apply δ_le'\n apply h₂\n repeat' exact Subtype.mem _\n repeat' exact le_of_lt one_half_pos\n exact add_halves 1"
},
{
"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have eq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by\n simp_rw [mul_assoc]\n gcongr"
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"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
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"tactic": "have eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div :=\n le_trans (le_of_lt <| hw q) (add_le_add_left (Nat.one_div_le_one_div hq) _)"
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"state_after": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
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"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ dist ↑(w p) ↑(w q) ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "rw [dist_eq_norm]"
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{
"state_after": "case right.left.hb\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N * (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "apply nonneg_le_nonneg_of_sq_le_sq"
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{
"state_after": "case right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ b✝ N\n\ncase right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ b✝ N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N * (fun n => sqrt (b✝ n)) N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "rw [mul_self_sqrt]"
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{
"state_after": "case right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ b✝ N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ ≤ b✝ N\n\ncase right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ b✝ N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "calc\n ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by\n simp [← this]\n _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr\n _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr\n _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring"
},
{
"state_after": "case right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.left.h\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ b✝ N\n\ncase right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "positivity"
},
{
"state_after": "case right.right.hg\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)\n\ncase right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto b atTop ?m.157009\n\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Filter ℝ",
"state_before": "case right.right\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => sqrt (b n)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "apply Tendsto.comp (f := b) (g := sqrt)"
},
{
"state_after": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have eq₁ : Tendsto (fun n : ℕ => 8 * δ * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by\n convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (8 * δ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat\n simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have : Tendsto (fun n : ℕ => (4 : ℝ) * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by\n convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (4 : ℝ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat\n simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\neq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "have eq₂ :\n Tendsto (fun n : ℕ => (4 : ℝ) * (1 / (n + 1)) * (1 / (n + 1))) atTop (nhds (0 : ℝ)) := by\n convert this.mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat\n simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\neq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 0 + 0",
"state_before": "case right.right.hf\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\neq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto b atTop (𝓝 0)",
"tactic": "convert eq₁.add eq₂"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\neq₂ : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 0 + 0",
"tactic": "simp only [add_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ 0 ≤ 2",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖",
"tactic": "rw [_root_.abs_of_nonneg]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ 0 ≤ 2",
"tactic": "exact zero_le_two"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖",
"tactic": "simp [norm_smul]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ * ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖2 • (u - half • (wq + wp))‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖",
"tactic": "rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←\n one_add_one_eq_two, add_smul]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ * ‖1 • u + 1 • u - 1 • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =\n ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖",
"tactic": "simp only [one_smul]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"tactic": "have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm"
},
{
"state_after": "case eq₂\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ u + u - (wq + wp) = a + b\n\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"tactic": "have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b"
},
{
"state_after": "case eq₂\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)\n\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"state_before": "case eq₂\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ u + u - (wq + wp) = a + b\n\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"tactic": "show u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"state_before": "case eq₂\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\n⊢ u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)\n\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"tactic": "abel"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\neq₁ : wp - wq = a - b\neq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b\n⊢ ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u + u - (↑(w q) + ↑(w p))‖ + ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ * ‖↑(w p) - ↑(w q)‖ =\n ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) + (u - ↑(w p))‖ +\n ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖ * ‖u - ↑(w q) - (u - ↑(w p))‖",
"tactic": "rw [eq₁, eq₂]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ δ ≤ ‖u - (half • wq + half • wp)‖",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖",
"tactic": "rw [smul_add]"
},
{
"state_after": "case a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half • wq + half • wp ∈ K",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ δ ≤ ‖u - (half • wq + half • wp)‖",
"tactic": "apply δ_le'"
},
{
"state_after": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ wq ∈ K\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ wp ∈ K\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"state_before": "case a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half • wq + half • wp ∈ K",
"tactic": "apply h₂"
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{
"state_after": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"state_before": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ wq ∈ K\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ wp ∈ K\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"tactic": "repeat' exact Subtype.mem _"
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{
"state_after": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"state_before": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ 0 ≤ half\n\ncase a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"tactic": "repeat' exact le_of_lt one_half_pos"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"tactic": "exact add_halves 1"
},
{
"state_after": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"state_before": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"tactic": "exact Subtype.mem _"
},
{
"state_after": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"state_before": "case a.a\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\n⊢ half + half = 1",
"tactic": "exact le_of_lt one_half_pos"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ 4 * ((⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) * ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) ≤\n 4 * (‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖",
"tactic": "simp_rw [mul_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\n⊢ 4 * ((⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) * ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖) ≤\n 4 * (‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖ * ‖u - (1 / 2) • (↑(w q) + ↑(w p))‖)",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case right.left.hb\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 0 ≤ (fun n => sqrt (b✝ n)) N",
"tactic": "exact sqrt_nonneg _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖",
"tactic": "simp [← this]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤\n 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb✝ : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\np q N : ℕ\nhp : N ≤ p\nhq : N ≤ q\nwp : F := ↑(w p)\nwq : F := ↑(w q)\na : F := u - wq\nb : F := u - wp\nhalf : ℝ := 1 / 2\ndiv : ℝ := 1 / (↑N + 1)\nthis : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)\neq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₁ : 4 * δ * δ ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖\neq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div\neq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div\n⊢ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ = 8 * δ * div + 4 * div * div",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "case right.right.hg\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nthis : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))\n⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)",
"state_before": "case right.right.hg\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)",
"tactic": "have : Tendsto sqrt (nhds 0) (nhds (sqrt 0)) := continuous_sqrt.continuousAt"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nthis : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))\n⊢ 0 = sqrt 0",
"state_before": "case right.right.hg\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nthis : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))\n⊢ Tendsto sqrt ?m.157009 (𝓝 0)",
"tactic": "convert this"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\nthis : Tendsto sqrt (𝓝 0) (𝓝 (sqrt 0))\n⊢ 0 = sqrt 0",
"tactic": "exact sqrt_zero.symm"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ 0 = 8 * δ * 0",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (8 * δ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\n⊢ 0 = 8 * δ * 0",
"tactic": "simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 4 * 0",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "convert(@tendsto_const_nhds _ _ _ (4 : ℝ) _).mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 4 * 0",
"tactic": "simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 0 * 0",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "convert this.mul tendsto_one_div_add_atTop_nhds_0_nat"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.e'_3\n𝕜 : Type ?u.9703\nE : Type ?u.9706\nF : Type u_1\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝ : InnerProductSpace ℝ F\nK : Set F\nne : Set.Nonempty K\nh₁ : IsComplete K\nh₂ : Convex ℝ K\nu : F\nδ : ℝ := ⨅ (w : ↑K), ‖u - ↑w‖\nthis✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne\nzero_le_δ : 0 ≤ δ\nδ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖\nδ_le' : ∀ (w : F), w ∈ K → δ ≤ ‖u - w‖\nw : ℕ → ↑K\nhw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)\nnorm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)\nb : ℕ → ℝ := fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))\neq₁ : Tendsto (fun n => 8 * δ * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\nthis : Tendsto (fun n => 4 * (1 / (↑n + 1))) atTop (𝓝 0)\n⊢ 0 = 0 * 0",
"tactic": "simp only [MulZeroClass.mul_zero]"
}
] |
[
198,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
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https://github.com/leanprover-community/mathlib4
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[
77,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Basic.lean
|
SubgroupClass.coe_zpow
|
[] |
[
306,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
305,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Basic.lean
|
Nat.add_def
|
[] |
[
277,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
276,
1
] |
Std/Data/String/Lemmas.lean
|
String.foldl_eq
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nf : α → Char → α\ns : String\na : α\n⊢ foldl f a s = List.foldl f a s.data",
"tactic": "simpa using foldlAux_of_valid f [] s.1 [] a"
}
] |
[
690,
46
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
689,
1
] |
Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
|
CircleDeg1Lift.semiconj_of_isUnit_of_translationNumber_eq
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nf g : CircleDeg1Lift\nf₁ f₂ : CircleDeg1Liftˣ\nh : τ ↑f₁ = τ ↑f₂\n⊢ ∃ F, Semiconj ↑F ↑↑f₁ ↑↑f₂",
"state_before": "f g f₁ f₂ : CircleDeg1Lift\nh₁ : IsUnit f₁\nh₂ : IsUnit f₂\nh : τ f₁ = τ f₂\n⊢ ∃ F, Semiconj ↑F ↑f₁ ↑f₂",
"tactic": "rcases h₁, h₂ with ⟨⟨f₁, rfl⟩, ⟨f₂, rfl⟩⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nf g : CircleDeg1Lift\nf₁ f₂ : CircleDeg1Liftˣ\nh : τ ↑f₁ = τ ↑f₂\n⊢ ∃ F, Semiconj ↑F ↑↑f₁ ↑↑f₂",
"tactic": "exact units_semiconj_of_translationNumber_eq h"
}
] |
[
1022,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1019,
1
] |
Mathlib/Order/Disjoint.lean
|
Prod.codisjoint_iff
|
[] |
[
597,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
595,
11
] |
Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
|
ProbabilityTheory.kernel.lintegral_piecewise
|
[
{
"state_after": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nι : Type ?u.1467338\nmα : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nκ η : { x // x ∈ kernel α β }\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s\na : α\ng : β → ℝ≥0∞\n⊢ (∫⁻ (b : β), g b ∂if a ∈ s then ↑κ a else ↑η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂↑κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂↑η a",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nι : Type ?u.1467338\nmα : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nκ η : { x // x ∈ kernel α β }\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s\na : α\ng : β → ℝ≥0∞\n⊢ (∫⁻ (b : β), g b ∂↑(piecewise hs κ η) a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂↑κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂↑η a",
"tactic": "simp_rw [piecewise_apply]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nι : Type ?u.1467338\nmα : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nκ η : { x // x ∈ kernel α β }\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s\na : α\ng : β → ℝ≥0∞\n⊢ (∫⁻ (b : β), g b ∂if a ∈ s then ↑κ a else ↑η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂↑κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂↑η a",
"tactic": "split_ifs <;> rfl"
}
] |
[
650,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
648,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Image.lean
|
Set.exists_subset_range_and_iff
|
[
{
"state_after": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.75177\nι : Sort ?u.75180\nι' : Sort ?u.75183\nf✝ : ι → α\ns t : Set α\nf : α → β\np : Set β → Prop\n⊢ (∃ s, s ⊆ range f ∧ p s) ↔ ∃ a, a ∈ 𝒫 range f ∧ p a",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.75177\nι : Sort ?u.75180\nι' : Sort ?u.75183\nf✝ : ι → α\ns t : Set α\nf : α → β\np : Set β → Prop\n⊢ (∃ s, s ⊆ range f ∧ p s) ↔ ∃ s, p (f '' s)",
"tactic": "rw [← exists_range_iff, range_image]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.75177\nι : Sort ?u.75180\nι' : Sort ?u.75183\nf✝ : ι → α\ns t : Set α\nf : α → β\np : Set β → Prop\n⊢ (∃ s, s ⊆ range f ∧ p s) ↔ ∃ a, a ∈ 𝒫 range f ∧ p a",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
809,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
807,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace.lean
|
measurable_of_measurable_union_cover
|
[
{
"state_after": "case h.e'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.70127\nδ : Type ?u.70130\nδ' : Type ?u.70133\nι : Sort uι\ns✝ t✝ u✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nf : α → β\ns t : Set α\nhs : MeasurableSet s\nht : MeasurableSet t\nh : univ ⊆ s ∪ t\nhc : Measurable fun a => f ↑a\nhd : Measurable fun a => f ↑a\nu : Set β\nhu : MeasurableSet u\n⊢ f ⁻¹' u = Subtype.val '' ((fun a => f ↑a) ⁻¹' u) ∪ Subtype.val '' ((fun a => f ↑a) ⁻¹' u)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.70127\nδ : Type ?u.70130\nδ' : Type ?u.70133\nι : Sort uι\ns✝ t✝ u✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nf : α → β\ns t : Set α\nhs : MeasurableSet s\nht : MeasurableSet t\nh : univ ⊆ s ∪ t\nhc : Measurable fun a => f ↑a\nhd : Measurable fun a => f ↑a\nu : Set β\nhu : MeasurableSet u\n⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' u)",
"tactic": "convert (hs.subtype_image (hc hu)).union (ht.subtype_image (hd hu))"
},
{
"state_after": "case h.e'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.70127\nδ : Type ?u.70130\nδ' : Type ?u.70133\nι : Sort uι\ns✝ t✝ u✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nf : α → β\ns t : Set α\nhs : MeasurableSet s\nht : MeasurableSet t\nh : univ ⊆ s ∪ t\nhc : Measurable fun a => f ↑a\nhd : Measurable fun a => f ↑a\nu : Set β\nhu : MeasurableSet u\n⊢ f ⁻¹' u = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' u)) ∪ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' u))",
"state_before": "case h.e'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.70127\nδ : Type ?u.70130\nδ' : Type ?u.70133\nι : Sort uι\ns✝ t✝ u✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nf : α → β\ns t : Set α\nhs : MeasurableSet s\nht : MeasurableSet t\nh : univ ⊆ s ∪ t\nhc : Measurable fun a => f ↑a\nhd : Measurable fun a => f ↑a\nu : Set β\nhu : MeasurableSet u\n⊢ f ⁻¹' u = Subtype.val '' ((fun a => f ↑a) ⁻¹' u) ∪ Subtype.val '' ((fun a => f ↑a) ⁻¹' u)",
"tactic": "change f ⁻¹' u = (↑) '' ((↑) ⁻¹' (f ⁻¹' u) : Set s) ∪ (↑) '' ((↑) ⁻¹' (f ⁻¹' u) : Set t)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.70127\nδ : Type ?u.70130\nδ' : Type ?u.70133\nι : Sort uι\ns✝ t✝ u✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nmβ : MeasurableSpace β\nf : α → β\ns t : Set α\nhs : MeasurableSet s\nht : MeasurableSet t\nh : univ ⊆ s ∪ t\nhc : Measurable fun a => f ↑a\nhd : Measurable fun a => f ↑a\nu : Set β\nhu : MeasurableSet u\n⊢ f ⁻¹' u = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' u)) ∪ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' u))",
"tactic": "rw [image_preimage_eq_inter_range, image_preimage_eq_inter_range, Subtype.range_coe,\n Subtype.range_coe, ← inter_distrib_left, univ_subset_iff.1 h, inter_univ]"
}
] |
[
601,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
595,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
|
Equiv.Perm.isCycleOn_one
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.1635260\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.1635266\nf g : Perm α\ns t : Set α\na b x y : α\n⊢ IsCycleOn 1 s ↔ Set.Subsingleton s",
"tactic": "simp [IsCycleOn, Set.bijOn_id, Set.Subsingleton]"
}
] |
[
764,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
763,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
|
compactSpace_uniformity
|
[] |
[
68,
65
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
67,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
|
Finset.sup_induction
|
[
{
"state_after": "case empty\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ ∅ → p (f b)\n⊢ p (sup ∅ f)\n\ncase cons\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (sup (cons c s hc) f)",
"state_before": "F : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)\n⊢ p (sup s f)",
"tactic": "induction' s using Finset.cons_induction with c s hc ih"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case empty\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ ∅ → p (f b)\n⊢ p (sup ∅ f)",
"tactic": "exact hb"
},
{
"state_after": "case cons\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (f c ⊔ sup s f)",
"state_before": "case cons\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (sup (cons c s hc) f)",
"tactic": "rw [sup_cons]"
},
{
"state_after": "case cons.a\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (f c)\n\ncase cons.a\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (sup s f)",
"state_before": "case cons\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (f c ⊔ sup s f)",
"tactic": "apply hp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons.a\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (f c)",
"tactic": "exact hs c (mem_cons.2 (Or.inl rfl))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons.a\nF : Type ?u.75184\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.75193\nι : Type ?u.75196\nκ : Type ?u.75199\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : OrderBot α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf g : β → α\na : α\np : α → Prop\nhb : p ⊥\nhp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)\nhs✝ : ∀ (b : β), b ∈ s✝ → p (f b)\nc : β\ns : Finset β\nhc : ¬c ∈ s\nih : (∀ (b : β), b ∈ s → p (f b)) → p (sup s f)\nhs : ∀ (b : β), b ∈ cons c s hc → p (f b)\n⊢ p (sup s f)",
"tactic": "exact ih fun b h => hs b (mem_cons.2 (Or.inr h))"
}
] |
[
245,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
238,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
|
bound
|
[
{
"state_after": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis : Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)\n⊢ ∀ {ε : ℝ}, ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\n⊢ ∀ {ε : ℝ}, ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "have := bound' hnorm"
},
{
"state_after": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\n⊢ ∀ {ε : ℝ}, ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis : Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)\n⊢ ∀ {ε : ℝ}, ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "simp [Tendsto, nhds] at this"
},
{
"state_after": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\n⊢ ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\n⊢ ∀ {ε : ℝ}, ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "intro ε hε"
},
{
"state_after": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\n⊢ ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "p : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\n⊢ ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "cases' this (ball 0 ε) (mem_ball_self hε) isOpen_ball with N hN"
},
{
"state_after": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\n⊢ ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\n⊢ ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "exists N"
},
{
"state_after": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\nn : ℕ\nhn : n ≥ N\n⊢ ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"state_before": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\n⊢ ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "intro n hn"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\np : ℕ\ninst✝ : Fact (Nat.Prime p)\nF : Polynomial ℤ_[p]\na : ℤ_[p]\nhnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ ^ 2\nhnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0\nthis :\n ∀ (i : Set ℝ),\n 0 ∈ i →\n IsOpen i → ∃ a_3, ∀ (b : ℕ), a_3 ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ i\nε : ℝ\nhε : ε > 0\nN : ℕ\nhN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ b ∈ ball 0 ε\nn : ℕ\nhn : n ≥ N\n⊢ ‖Polynomial.eval a (↑Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε",
"tactic": "simpa [abs_of_nonneg T_nonneg] using hN _ hn"
}
] |
[
363,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
356,
9
] |
Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
|
Units.copy_eq
|
[] |
[
175,
9
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
174,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
|
SimpleGraph.Subgraph.top_adj
|
[] |
[
360,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
359,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
MetricSpace.ext
|
[
{
"state_after": "case mk\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\nm' : MetricSpace α\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ mk eq_of_dist_eq_zero✝ = m'",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\nm m' : MetricSpace α\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ m = m'",
"tactic": "cases m"
},
{
"state_after": "case mk.mk\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ mk eq_of_dist_eq_zero✝¹ = mk eq_of_dist_eq_zero✝",
"state_before": "case mk\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\nm' : MetricSpace α\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ mk eq_of_dist_eq_zero✝ = m'",
"tactic": "cases m'"
},
{
"state_after": "case mk.mk.e_toPseudoMetricSpace\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ toPseudoMetricSpace✝¹ = toPseudoMetricSpace✝",
"state_before": "case mk.mk\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ mk eq_of_dist_eq_zero✝¹ = mk eq_of_dist_eq_zero✝",
"tactic": "congr"
},
{
"state_after": "case mk.mk.e_toPseudoMetricSpace.h\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist",
"state_before": "case mk.mk.e_toPseudoMetricSpace\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ toPseudoMetricSpace✝¹ = toPseudoMetricSpace✝",
"tactic": "ext1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk.mk.e_toPseudoMetricSpace.h\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.547543\nι : Type ?u.547546\ninst✝ : PseudoMetricSpace α✝\nα : Type u_1\ntoPseudoMetricSpace✝¹ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝¹ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\ntoPseudoMetricSpace✝ : PseudoMetricSpace α\neq_of_dist_eq_zero✝ : ∀ {x y : α}, dist x y = 0 → x = y\nh : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist\n⊢ PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist",
"tactic": "assumption"
}
] |
[
2829,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2827,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
|
Filter.tendsto_diag
|
[] |
[
213,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
212,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.subset_append_right
|
[] |
[
251,
100
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
251,
9
] |
Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
|
CategoryTheory.Functor.toEventualRanges_nonempty
|
[
{
"state_after": "J : Type u\ninst✝² : Category J\nF : J ⥤ Type v\ni✝ j✝ k : J\ns : Set (F.obj i✝)\ninst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J\nh✝ : IsMittagLeffler F\ninst✝ : ∀ (j : J), _root_.Nonempty (F.obj j)\nj i : J\nf : i ⟶ j\nh : eventualRange F j = range (F.map f)\n⊢ _root_.Nonempty ((toEventualRanges F).obj j)",
"state_before": "J : Type u\ninst✝² : Category J\nF : J ⥤ Type v\ni j✝ k : J\ns : Set (F.obj i)\ninst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J\nh : IsMittagLeffler F\ninst✝ : ∀ (j : J), _root_.Nonempty (F.obj j)\nj : J\n⊢ _root_.Nonempty ((toEventualRanges F).obj j)",
"tactic": "let ⟨i, f, h⟩ := F.isMittagLeffler_iff_eventualRange.1 h j"
},
{
"state_after": "J : Type u\ninst✝² : Category J\nF : J ⥤ Type v\ni✝ j✝ k : J\ns : Set (F.obj i✝)\ninst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J\nh✝ : IsMittagLeffler F\ninst✝ : ∀ (j : J), _root_.Nonempty (F.obj j)\nj i : J\nf : i ⟶ j\nh : eventualRange F j = range (F.map f)\n⊢ _root_.Nonempty ↑(range (F.map f))",
"state_before": "J : Type u\ninst✝² : Category J\nF : J ⥤ Type v\ni✝ j✝ k : J\ns : Set (F.obj i✝)\ninst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J\nh✝ : IsMittagLeffler F\ninst✝ : ∀ (j : J), _root_.Nonempty (F.obj j)\nj i : J\nf : i ⟶ j\nh : eventualRange F j = range (F.map f)\n⊢ _root_.Nonempty ((toEventualRanges F).obj j)",
"tactic": "rw [toEventualRanges_obj, h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "J : Type u\ninst✝² : Category J\nF : J ⥤ Type v\ni✝ j✝ k : J\ns : Set (F.obj i✝)\ninst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J\nh✝ : IsMittagLeffler F\ninst✝ : ∀ (j : J), _root_.Nonempty (F.obj j)\nj i : J\nf : i ⟶ j\nh : eventualRange F j = range (F.map f)\n⊢ _root_.Nonempty ↑(range (F.map f))",
"tactic": "infer_instance"
}
] |
[
316,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
312,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
|
intervalIntegral.smul_integral_comp_mul_right
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.14827562\n𝕜 : Type ?u.14827565\nE : Type u_1\nF : Type ?u.14827571\nA : Type ?u.14827574\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : CompleteSpace E\ninst✝ : NormedSpace ℝ E\na b c✝ d : ℝ\nf : ℝ → E\nc : ℝ\n⊢ (c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c)) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x",
"tactic": "by_cases hc : c = 0 <;> simp [hc, integral_comp_mul_right]"
}
] |
[
711,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
709,
1
] |
Mathlib/Data/List/Sigma.lean
|
List.exists_of_mem_keys
|
[] |
[
66,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
63,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
|
Set.image_neg_Iio
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedAddCommGroup α\na b c : α\n⊢ Neg.neg '' Iio a = Ioi (-a)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
300,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
300,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
|
Set.iUnion_of_singleton_coe
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.166144\nγ : Type ?u.166147\nι : Sort ?u.166150\nι' : Sort ?u.166153\nι₂ : Sort ?u.166156\nκ : ι → Sort ?u.166161\nκ₁ : ι → Sort ?u.166166\nκ₂ : ι → Sort ?u.166171\nκ' : ι' → Sort ?u.166176\ns : Set α\n⊢ (⋃ (i : ↑s), {↑i}) = s",
"tactic": "simp"
}
] |
[
1310,
92
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1310,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Prod.lean
|
Set.empty_prod
|
[
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.6918\nδ : Type ?u.6921\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\na : α\nb : β\nx✝ : α × β\n⊢ x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.6918\nδ : Type ?u.6921\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\na : α\nb : β\n⊢ ∅ ×ˢ t = ∅",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.6918\nδ : Type ?u.6921\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\na : α\nb : β\nx✝ : α × β\n⊢ x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅",
"tactic": "exact false_and_iff _"
}
] |
[
119,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
117,
1
] |
Mathlib/Init/Data/Nat/Bitwise.lean
|
Nat.shiftl_zero
|
[] |
[
200,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
199,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
|
strictMono_iff_map_neg
|
[] |
[
273,
68
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
272,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
|
self_eq_neg
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.296154\nR : Type ?u.296157\nk : Type ?u.296160\nS : Type ?u.296163\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.296169\nM₃ : Type ?u.296172\nι : Type ?u.296175\ninst✝⁴ : Semiring R\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : CharZero R\nv : M\n⊢ v = -v ↔ v = 0",
"tactic": "rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]"
}
] |
[
694,
65
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
693,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean
|
RingEquiv.map_sub
|
[] |
[
573,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
572,
11
] |
Mathlib/Data/Set/Basic.lean
|
Set.nonempty_compl
|
[] |
[
1692,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1691,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Commensurable.lean
|
Commensurable.refl
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝ : Group G\nH : Subgroup G\n⊢ Commensurable H H",
"tactic": "simp [Commensurable]"
}
] |
[
47,
87
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
47,
11
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
|
intervalIntegral.mul_integral_comp_mul_add
|
[] |
[
267,
35
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
265,
1
] |
Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
|
neg_div_self
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.38671\nβ : Type ?u.38674\nK : Type u_1\ninst✝ : DivisionRing K\na✝ b c d a : K\nh : a ≠ 0\n⊢ -a / a = -1",
"tactic": "rw [neg_div, div_self h]"
}
] |
[
149,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
149,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
|
Zsqrtd.isUnit_iff_norm_isUnit
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "d✝ d : ℤ\nz : ℤ√d\n⊢ IsUnit z ↔ IsUnit (norm z)",
"tactic": "rw [Int.isUnit_iff_natAbs_eq, norm_eq_one_iff]"
}
] |
[
604,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
603,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineEquiv.lean
|
AffineEquiv.toEquiv_refl
|
[] |
[
313,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
312,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Linear/Yoneda.lean
|
CategoryTheory.whiskering_linearYoneda
|
[] |
[
75,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
73,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/Complex.lean
|
MeasureTheory.ComplexMeasure.absolutelyContinuous_eNNReal_iff
|
[
{
"state_after": "case mp\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : c ≪ᵥ μ\n⊢ ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\n\ncase mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\n⊢ c ≪ᵥ μ",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\n⊢ c ≪ᵥ μ ↔ ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ",
"tactic": "constructor <;> intro h"
},
{
"state_after": "case mp.right\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑(↑im c) i = 0",
"state_before": "case mp.right\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : c ≪ᵥ μ\n⊢ ↑im c ≪ᵥ μ",
"tactic": "intro i hi"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.right\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑(↑im c) i = 0",
"tactic": "simp [h hi]"
},
{
"state_after": "case mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑c i = 0",
"state_before": "case mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\n⊢ c ≪ᵥ μ",
"tactic": "intro i hi"
},
{
"state_after": "case mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑0 + ↑0 * Complex.I = 0\n\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ (↑c i).im = 0\n\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ (↑c i).re = 0",
"state_before": "case mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑c i = 0",
"tactic": "rw [← Complex.re_add_im (c i), (_ : (c i).re = 0), (_ : (c i).im = 0)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑0 + ↑0 * Complex.I = 0\n\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ (↑c i).im = 0\n\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ (↑c i).re = 0",
"tactic": "exacts [by simp, h.2 hi, h.1 hi]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.103329\nm : MeasurableSpace α\nc : ComplexMeasure α\nμ : VectorMeasure α ℝ≥0∞\nh : ↑re c ≪ᵥ μ ∧ ↑im c ≪ᵥ μ\ni : Set α\nhi : ↑μ i = 0\n⊢ ↑0 + ↑0 * Complex.I = 0",
"tactic": "simp"
}
] |
[
125,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
119,
1
] |
Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
|
Finset.prod_add
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∏ a in s, (f a + g a) = ∏ a in s, ∑ p in {True, False}, if p then f a else g a",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : (a : α) → a ∈ s → Prop) (ha : a ∈ pi s fun x => {True, False}),\n (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a ha ∈ powerset s",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ (∏ x in filter (fun a_1 => a ↑a_1 (_ : ↑a_1 ∈ s)) (attach s), f ↑x) *\n ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n (∏ a in (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a) *\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ (∏ a_1 in attach s, if a ↑a_1 (_ : ↑a_1 ∈ s) then f ↑a_1 else g ↑a_1) =\n (∏ a in (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a) *\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"tactic": "rw [prod_ite]"
},
{
"state_after": "case e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun a_1 => a ↑a_1 (_ : ↑a_1 ∈ s)) (attach s), f ↑x =\n ∏ a in (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a\n\ncase e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ (∏ x in filter (fun a_1 => a ↑a_1 (_ : ↑a_1 ∈ s)) (attach s), f ↑x) *\n ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n (∏ a in (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a) *\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"tactic": "congr 1"
},
{
"state_after": "case e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"state_before": "case e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun a_1 => a ↑a_1 (_ : ↑a_1 ∈ s)) (attach s), f ↑x =\n ∏ a in (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a\n\ncase e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"tactic": "exact prod_bij'\n (fun a _ => a.1) (by simp; tauto) (by simp)\n (fun a ha => ⟨a, (mem_filter.1 ha).1⟩) (fun a ha => by simp at ha; simp; tauto)\n (by simp) (by simp)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∏ x in filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s), g ↑x =\n ∏ a in s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a",
"tactic": "exact prod_bij'\n (fun a _ => a.1) (by simp) (by simp)\n (fun a ha => ⟨a, (mem_sdiff.1 ha).1⟩) (fun a ha => by simp at ha; simp; tauto)\n (by simp) (by simp)"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : α) (b : a_1 ∈ s),\n a a_1 (_ : ↑{ val := a_1, property := b } ∈ s) → ∀ (h : ↑{ val := a_1, property := b } ∈ s), a a_1 h",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun a_2 => a ↑a_2 (_ : ↑a_2 ∈ s)) (attach s)),\n (fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : α) (b : a_1 ∈ s),\n a a_1 (_ : ↑{ val := a_1, property := b } ∈ s) → ∀ (h : ↑{ val := a_1, property := b } ∈ s), a a_1 h",
"tactic": "tauto"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun a_2 => a ↑a_2 (_ : ↑a_2 ∈ s)) (attach s)),\n f ↑a_1 = f ((fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ ∀ (h : a ∈ s), a✝ a h\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha✝ ∈ filter (fun a => a✝ ↑a (_ : ↑a ∈ s)) (attach s)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha : a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha ∈ filter (fun a => a✝ ↑a (_ : ↑a ∈ s)) (attach s)",
"tactic": "simp at ha"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ ∀ (h : a ∈ s), a✝ a h\n⊢ a✝ a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ ∀ (h : a ∈ s), a✝ a h\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha✝ ∈ filter (fun a => a✝ ↑a (_ : ↑a ∈ s)) (attach s)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ ∀ (h : a ∈ s), a✝ a h\n⊢ a✝ a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)",
"tactic": "tauto"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun a_2 => a ↑a_2 (_ : ↑a_2 ∈ s)) (attach s)),\n (fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) ((fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha)\n (_ : (fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝) =\n a_1",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : α) (ha : a_1 ∈ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝),\n (fun a_2 x => ↑a_2) ((fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) a_1 ha)\n (_ :\n (fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) a_1 ha ∈\n filter (fun a_2 => a ↑a_2 (_ : ↑a_2 ∈ s)) (attach s)) =\n a_1",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)),\n (fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)),\n g ↑a_1 = g ((fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ (a ∈ s → ∃ x, ¬a✝ a x)\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha✝ ∈ filter (fun x => ¬a✝ ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha : a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha ∈ filter (fun x => ¬a✝ ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)",
"tactic": "simp at ha"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ (a ∈ s → ∃ x, ¬a✝ a x)\n⊢ ¬a✝ a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ (a ∈ s → ∃ x, ¬a✝ a x)\n⊢ (fun a ha => { val := a, property := (_ : a ∈ s) }) a ha✝ ∈ filter (fun x => ¬a✝ ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝¹ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na✝ : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a✝ ∈ pi s fun x => {True, False}\na : α\nha✝ : a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a✝ x✝\nha : a ∈ s ∧ (a ∈ s → ∃ x, ¬a✝ a x)\n⊢ ¬a✝ a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)",
"tactic": "tauto"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : { x // x ∈ s }) (ha : a_1 ∈ filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)),\n (fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) ((fun a_2 x => ↑a_2) a_1 ha)\n (_ : ↑a_1 ∈ s \\ filter (fun a_2 => ∀ (h : a_2 ∈ s), a a_2 h) s) =\n a_1",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\na : (a : α) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ pi s fun x => {True, False}\n⊢ ∀ (a_1 : α) (ha : a_1 ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝),\n (fun a_2 x => ↑a_2) ((fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) a_1 ha)\n (_ :\n (fun a_2 ha => { val := a_2, property := (_ : a_2 ∈ s) }) a_1 ha ∈\n filter (fun x => ¬a ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)) =\n a_1",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : Finset α) (ha : a ∈ powerset s), (fun t x a x => a ∈ t) a ha ∈ pi s fun x => {True, False}",
"tactic": "simp [Classical.em]"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : (a : α) → a ∈ s → Prop),\n (∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ s), a a_1 h ∨ ¬a a_1 h) →\n ∀ (a_1 : α) (a_2 : a_1 ∈ s), (a_1 ∈ s ∧ ∀ (h : a_1 ∈ s), a a_1 h) ↔ a a_1 a_2",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : (a : α) → a ∈ s → Prop) (ha : a ∈ pi s fun x => {True, False}),\n (fun t x a x => a ∈ t) ((fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) a ha)\n (_ : filter (fun a_1 => ∀ (h : a_1 ∈ s), a a_1 h) s ∈ powerset s) =\n a",
"tactic": "simp [Function.funext_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : (a : α) → a ∈ s → Prop),\n (∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ s), a a_1 h ∨ ¬a a_1 h) →\n ∀ (a_1 : α) (a_2 : a_1 ∈ s), (a_1 ∈ s ∧ ∀ (h : a_1 ∈ s), a a_1 h) ↔ a a_1 a_2",
"tactic": "tauto"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : Finset α), a ⊆ s → ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ s ∧ (a_1 ∈ s → a_1 ∈ a) ↔ a_1 ∈ a",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : Finset α) (ha : a ∈ powerset s),\n (fun f x => filter (fun a => ∀ (h : a ∈ s), f a h) s) ((fun t x a x => a ∈ t) a ha)\n (_ : (fun a_1 x => a_1 ∈ a) ∈ pi s fun x => {True, False}) =\n a",
"tactic": "simp [Finset.ext_iff, @mem_filter _ _ (id _)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nb : β\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommSemiring β\nf g : α → β\ns : Finset α\n⊢ ∀ (a : Finset α), a ⊆ s → ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ s ∧ (a_1 ∈ s → a_1 ∈ a) ↔ a_1 ∈ a",
"tactic": "tauto"
}
] |
[
158,
66
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
131,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean
|
RingEquiv.toOpposite_symm_apply
|
[] |
[
410,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
409,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
|
LieIdeal.comap_map_le
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI I₂ : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\n⊢ I ≤ comap f (map f I)",
"tactic": "rw [← map_le_iff_le_comap]"
}
] |
[
856,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
856,
1
] |
Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
|
sdiff_eq_symm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type ?u.30443\nw x y z : α\ninst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α\nhy : y ≤ x\nh : x \\ y = z\n⊢ x \\ z = y",
"tactic": "rw [← h, sdiff_sdiff_eq_self hy]"
}
] |
[
389,
35
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
388,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
|
PrimeSpectrum.basicOpen_mul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nf g : R\n⊢ ↑(basicOpen (f * g)) = ↑(basicOpen f ⊓ basicOpen g)",
"tactic": "simp [zeroLocus_singleton_mul]"
}
] |
[
803,
66
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
802,
1
] |
Mathlib/Topology/Separation.lean
|
RegularSpace.inf
|
[
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : RegularSpace α\na : α\ns : Set α\nX : Type u_1\nt₁ t₂ : TopologicalSpace X\nh₁ : RegularSpace X\nh₂ : RegularSpace X\n⊢ RegularSpace X",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : RegularSpace α\na : α\ns : Set α\nX : Type u_1\nt₁ t₂ : TopologicalSpace X\nh₁ : RegularSpace X\nh₂ : RegularSpace X\n⊢ RegularSpace X",
"tactic": "rw [inf_eq_iInf]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : RegularSpace α\na : α\ns : Set α\nX : Type u_1\nt₁ t₂ : TopologicalSpace X\nh₁ : RegularSpace X\nh₂ : RegularSpace X\n⊢ RegularSpace X",
"tactic": "exact regularSpace_iInf (Bool.forall_bool.2 ⟨h₂, h₁⟩)"
}
] |
[
1628,
56
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1625,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
|
Set.union_iUnion
|
[] |
[
540,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
539,
1
] |
Mathlib/Order/Zorn.lean
|
IsChain.exists_maxChain
|
[
{
"state_after": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\nH : ∃ m, m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ c ⊆ m ∧ ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → m ⊆ a → a = m\n⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M\n\ncase refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\n⊢ ∀ (c_1 : Set (Set α)),\n c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} →\n IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 →\n Set.Nonempty c_1 → ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ c_1 → s ⊆ ub",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\n⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M",
"tactic": "have H := zorn_subset_nonempty { s | c ⊆ s ∧ IsChain r s } ?_ c ⟨Subset.rfl, hc⟩"
},
{
"state_after": "case refine_1.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\n⊢ ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ cs → s ⊆ ub",
"state_before": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\n⊢ ∀ (c_1 : Set (Set α)),\n c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} →\n IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 →\n Set.Nonempty c_1 → ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ c_1 → s ⊆ ub",
"tactic": "rintro cs hcs₀ hcs₁ ⟨s, hs⟩"
},
{
"state_after": "case refine_1.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\n⊢ IsChain r (⋃₀ cs)",
"state_before": "case refine_1.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\n⊢ ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ cs → s ⊆ ub",
"tactic": "refine'\n ⟨⋃₀cs, ⟨fun _ ha => Set.mem_sUnion_of_mem ((hcs₀ hs).left ha) hs, _⟩, fun _ =>\n Set.subset_sUnion_of_mem⟩"
},
{
"state_after": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\n⊢ r y z ∨ r z y",
"state_before": "case refine_1.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\n⊢ IsChain r (⋃₀ cs)",
"tactic": "rintro y ⟨sy, hsy, hysy⟩ z ⟨sz, hsz, hzsz⟩ hyz"
},
{
"state_after": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nhyz : y ≠ z\nhsz : sy ∈ cs\nhzsz : z ∈ sy\n⊢ r y z ∨ r z y\n\ncase refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\nhsseq : sy ≠ sz\n⊢ r y z ∨ r z y",
"state_before": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\n⊢ r y z ∨ r z y",
"tactic": "obtain rfl | hsseq := eq_or_ne sy sz"
},
{
"state_after": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\nhsseq : sy ≠ sz\nh : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sy sz\n⊢ r y z ∨ r z y\n\ncase refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\nhsseq : sy ≠ sz\nh : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sz sy\n⊢ r y z ∨ r z y",
"state_before": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\nhsseq : sy ≠ sz\n⊢ r y z ∨ r z y",
"tactic": "cases' hcs₁ hsy hsz hsseq with h h"
},
{
"state_after": "case refine_2.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\nM : Set α\nleft✝ : c ⊆ M\nhM₀ : IsChain r M\nhM₁ : c ⊆ M\nhM₂ : ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → M ⊆ a → a = M\n⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M",
"state_before": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\nH : ∃ m, m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ c ⊆ m ∧ ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → m ⊆ a → a = m\n⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M",
"tactic": "obtain ⟨M, ⟨_, hM₀⟩, hM₁, hM₂⟩ := H"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_2.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\nM : Set α\nleft✝ : c ⊆ M\nhM₀ : IsChain r M\nhM₁ : c ⊆ M\nhM₂ : ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → M ⊆ a → a = M\n⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M",
"tactic": "exact ⟨M, ⟨hM₀, fun d hd hMd => (hM₂ _ ⟨hM₁.trans hMd, hd⟩ hMd).symm⟩, hM₁⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nhyz : y ≠ z\nhsz : sy ∈ cs\nhzsz : z ∈ sy\n⊢ r y z ∨ r z y",
"tactic": "exact (hcs₀ hsy).right hysy hzsz hyz"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.18779\nr : α → α → Prop\nc : Set α\nhc : IsChain r c\ncs : Set (Set α)\nhcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}\nhcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs\ns : Set α\nhs : s ∈ cs\ny : α\nsy : Set α\nhsy : sy ∈ cs\nhysy : y ∈ sy\nz : α\nsz : Set α\nhsz : sz ∈ cs\nhzsz : z ∈ sz\nhyz : y ≠ z\nhsseq : sy ≠ sz\nh : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sy sz\n⊢ r y z ∨ r z y",
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215,
1
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