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null	null	経済は誰のもの？経済は全ての人間のために存在する、全ての人間の共有物です。国会議員だけのものでも、社長だけのものでも、大人だけのものでもありません。なぜなら、経済を作っているのが全ての人間だからです。経済主体家計・企業・政府という３つの経済主体によって国民経済が成り立っています。国民経済は同じ経済体制をとる１国内での経済活動のことです。また、自国の国民経済と外国の国民経済が物や金の取引をすることを貿易といいます。家計家計は欲望の充足を図るために消費・貯蓄をする主体です。企業に労働や資本などを提供し、その対価として受け取る賃金や利子などの所得を貯蓄にまわしたり、企業が生産した財物を消費したりするのに使います。家計は、企業に比べ弱い立場にありました。そこで、アメリカ合衆国大統領リチャード・ニクソン(R. M. Nixon)は1969年の特別教書で消費者の4つの権利を提唱しました。 - 安全な商品を提供される権利 - 商品に関する情報を知らされる権利 - 商品を自由に選ぶ権利 - 消費者が意見を政策に反映させる権利日本には消費者である家計を保護するために消費者保護基本法（1968年制定）があります。しかし、消費者保護基本法は表現が抽象的で、懲罰既定が無かったため他の先進国に比べて消費者保護行政に遅れをとりました。現在、製造物責任法（1995年施行）、消費者契約法（2001年施行）などの立法とともに、消費者保護行政や消費者教育が重要視されています。消費者問題食品・医薬品の欠陥は後を絶ちません。安全な商品商品の安全性を分かりやすく消費者に示すため、様々な基準が定められています。ただし、これらの基準が変わっても商品を販売できなくなるということはありません。 - 日本工業規格：工業標準化法（1949年制定）に基づく鉱工業製品の基準。合格するとJISマークをつけられる。 - 日本農林規格：農林物資の規格化及び品質表示の適正化に関する法律（1950年公布）に基づく建材や加工食料品の基準。合格するとJASマークをつけられる。 - グッドデザイン賞：財団法人日本産業デザイン振興会が主催する。受賞するとGマークをつけられる。 - おもちゃの安全基準：社団法人日本玩具協会のおもちゃの安全基準（1971年制定）に基づく玩具の基準。合格するとST（安全玩具）マークをつけられる。 - ウールマーク：ザ・ウールマーク・カンパニー（国際羊毛事務局）が定めた国際基準。消費者保護行政企業企業は生産をする主体です。家計から提供された労働や資本を活用して、財物の生産手段を組み立て、生産します。生産した財物は販売し、利潤を得ます。企業は利潤追求の度合いの強さ、あるいは公共性の高さから公企業・公私合同企業・私企業の３つに分けられています。 - 公企業：政府が出資・貸し付けをして設立した法人。 - 日本郵政公社、林野、国立印刷局。 - 公団：政府、地方自治体などが出資して設立する特殊法人形態の公共法人。日本道路公団、首都高速道路公団、阪神高速道路公団、本州四国連絡橋公団などで、多くは廃止・民営化が進められています。 - 地方公営企業：地方公共団体が経営する企業。上下水道、電気、交通、ガスの各事業や公立病院など。 - 公私合同企業 - 株式会社形態：日本たばこ産業株式会社(JT)、日本電信電話株式会社(NTT)、国際電信電話株式会社(KDD、現KDDI)など - 特殊法人形態：日本銀行、日本赤十字社、 - 私企業株式会社の仕組み株式（株）を発行して資金を集める企業形態を株式会社といいます。株式会社では他の企業と異なり、必ず所有（所有者・株主）と経営（経営者）が分離されています。世界で最初の株式会社は、17世紀にイギリスやオランダ、フランスに設立された東インド会社と見られています。東インド会社は東南アジアなどの地域で入手した香辛料を船でヨーロッパに運び売っていました。この船を建造するための資金が必要になったため、利潤を出資額に応じて出資者に分配する仕組みを編み出し、これを条件にした資金調達に成功したのです。もし利潤が無ければ出資者には分配金どころか出資金も帰ってきませんが、それ以上の損失はありません。これを有限責任といい、出資者を有限責任社員といいます。現代では株式をできるだけ多くの人に購入してもらうため、ほとんどの株式のやりとりが証券会社を通されています。証券会社は顧客（株を買う人）の注文を受け株式市場で買い集めます。株式市場には、それぞれの株式市場の上場条件を満たした、株式を買ってもらいたいと思っている株式会社が上場しています。最近の株式市場は、制度変更やインターネット証券の普及から個人投資家が増加しており、株式会社側も自社の株式に対する個人投資家の見方を気にするようになっています。大企業と中小企業全国におよそ510万社ある企業のうち99.4%が中小企業です。w:中小企業基本法では中小企業を次のように定義しています。資本金従業員数製造業 3億円以下 300人以下卸売業 1億円以下 100人以下小売業 5000万円以下 50人以下サービス業 5000万円以下 100人以下なお、製造業・卸売業は20人以下、小売業・サービス業では、5人以下の企業を小規模企業者と定義しています。中小企業は下請け、輸出（繊維・雑貨・精密機械等）、小売りをする企業が多く、現代経済には欠かせない存在となっています。しかし、大企業との間で所得・生産性・賃金面での格差が大きく、日本企業における二重構造として問題になっています。＊日本では、企業復興の名のもと、小泉内閣から１円株式会社、有限会社の廃止が決まった。有限会社は存在してる有限会社は存命とし、社の改変は自己資金に基ずくものとし、１円株式会社は、株式が１０００万資本から１円に改変された。＊現代の企業近年の企業の合併と買収(M&A、Mergers and Acquisitions)は、一部門の専門性を高めるため他部門を売ったり、不得意分野を買い入れるなどどちらの企業も得をすることが多くなっています。2005年には株式会社ライブドアによる株式会社ニッポン放送の合併と買収が注目を集めました。企業の社会的責任特に大企業には社会的責任(Corporate Social Responsibility)があるという考え方のもと、利潤を追求せずに社会的活動を行うことが求められています。アメリカ合衆国では企業の社会的貢献（フィロソピー(philanthropy)）の一環として芸術・文化活動を支援する取り組み（メセナ(mecenat)）が一般化しています。政府政府は経済活動を調整する主体です。家計と企業から租税を徴収し、教育・社会保障などの公共サービスを社会全体に提供します。また、租税の徴収により所得の再分配も行います。
null	null	経済学/経済とは何か/そもそも経済学とはそもそも経済学とは、何を考える学問なのだろうか。ひと言でいえば、「様々な人や組織（＝経済主体。家計、企業、政府など）が市場でモノ（＝財、サービス）やお金を交換しあう行動（＝経済活動）を、ある仮説をもとにモデル化し、シンプルかつ論理的に説明しようとする学問」である。経済学は、経済主体が経済的に合理的な行動をすると想定している。平たくいえば、「人は常に正しく損得を計算して行動するだろう」ということである。もちろん、我々もよく知っているとおり、人間は必ずしも常に経済的な動機のみで合理的に行動するわけではない。しかし世の中全体を長い間観察していくと、多くの経済活動は経済的な意味での合理的な行動を想定することで説明がつく。「一番安い買い物をしたい」＝合理的では合理的な行動とはいったい何か？正しく定義すると、合理的行動とは、「ある経済的な目的を達成するために、与えられた制約の中でもっとも望ましい行為を選択する行動（＝最適化行動）」となる。たとえば隣合わせで 2 軒並んでいるスーパーで、1 本 100 円のニンジンと 1 本 50 円のニンジンが売られていれば、誰であろうと 50 円のほうを買うだろう。しかし 100 円のスーパーが家の目の前にあって、50 円のスーパーは車で片道 1 時間もかかる遠いところにあったらどうなるだろう？この場合 50 円のニンジンを買おうと遠出する者は、まずいないであろう。普段の何気ない買い物ひとつとっても、我々は自分の使える時間やガソリン代といったお金の制約の中で最も安い買い物をする、という望ましい行動を選択しているのである。経済学は、「制約付の最大化問題を用いて分析する学問」といわれている。そのために、経済活動を分析するにあたって、経済主体の行動にいくつか前提を置いている。まず、それぞれの経済主体は経済活動の目的が何かを正確にわかっているということ。そして、経済主体がそれぞれの目的ごとの重要性を正しく理解していて、目的ごとにきちんと優先順位をつけているということである。しかし、経済主体が目的について合理的な判断ができたとしても、行動を自分できめられなければ、目的を実現するための経済活動はできない。そこで経済学では、人々が自分の意思で自分にとって望ましいと思う行動をする、と考える。誰かから強制されて無理やりモノを買わされたり、自分の仕事を何にするかを無理やり周りに決められたりすることはない。ちょっと硬い言い方をすると、経済主体は「主体的な意思決定をしている。」と考える。行動は「インセンティブ」によって決まるこの、経済主体の主体的な意思決定を考えるときに重要なキーワードとなるのが「インセンティブ（誘因）」である。インセンティブがあると、ある選択をする意欲が高まる。たとえば、もらえる給料が高くなれば、より働こうという意欲が刺激されるだろう。しかし企業が残業代を支払わないで残業を求めても、これは働く側のインセンティブを無視した要求だからうまくいかない。また、政府が法律で雇用を強制しても、採算に見合わなければ実現しないだろう。これも、企業の側に雇用を行うインセンティブがないからである。
null	null	経済学/経済とは何か/ミクロ経済学とマクロ経済学経済学は、大きく二つの専門分野に分かれている。「ミクロ経済学」と「マクロ経済学」である。ミクロ経済学がひとつひとつの経済主体を個々に分析対象とするのに対して、マクロ経済学は国民経済全体を大きくひとくくりにして分析対象とする点で違いがある。ミクロ経済学では、個々の家計や企業など個別（ミクロ）の経済主体の行動分析から始めて、市場全体の需要と供給の分析に積み上げて経済を説明しようとする。この後にも詳しく説明するように、家計であれば予算制約のもとで「効用」（簡単に言えば満足感のこと）を最大化するように行動すると考える。企業であれば、生産制約のもとで「利潤」（要は儲けのこと）を最大にするように行動すると考える。ミクロ経済学は、個々の経済主体の主体的な最適化行動を前提として、ある個別の市場でどんな経済活動が行われているかを分析したり、産業の間の関連を考えたりするものである。マクロ経済学とはなにかこれに対してマクロ経済学では、個々の経済主体のミクロ的な行動よりも、物価、インフレーションや失業、国民総生産の決定、経済成長など国民経済全体（マクロ）の経済の動きに関心を寄せる。日本経済全体では景気がどう変動するか、経済成長はどの程度実現するか、失業やデフレはどう克服できるか、世界金融危機はなぜ生じるのか、など、暮らしに密着した経済現象を取り上げる。ミクロとマクロはお互いが補い合う関係にある。マクロ的な分析を用いる場合であっても、ある程度ミクロ的な基礎（個々の経済主体の最適化行動を前提とした分析）が重要視される。
null	null	経済学/経済とは何か/企業の目的企業は、労働者を雇用して機械などの資本設備を用い生産活動を行う経済主体である。市場では数多くの企業が競争しているが、その最大の目的はいうまでもなく利潤の追求、つまり儲けをより大きくすることである。こういい切ると、「いや、企業の目的は従業員にいっぱい給料を払って幸せにすることじゃないか」とか「企業の目的は株主の利益確保だ」という意見が出る。また「企業は社会的責任を果たすからこそ存在意義がある」という人もいるだろう。確かにこれらの意見も間違いではない。これらもすべて企業の目的ということができる。企業の目的は長期的に利益を出すことしかし結局は、企業の目的は長期的な利潤の追求といって間違いはないだろう。なぜなら、利潤が獲得できるからこそ従業員の経済的な要求に対応でき、社会的な貢献も可能になり、株主の配当にも応えていくことができるからである。企業の社会的貢献も、採算を度外視して行われるわけではない。社会的な貢献をすることでその企業に対する消費者のイメージがよくなれば、有利な立場で製品を販売できるし、また労働雇用においても優秀な人材を確保しやすくなる。従って企業の社会的な貢献は長期的な利潤の追求と矛盾しないのである。こう考えていくと、その他の目的、たとえば長期的なシェアの拡大なども、長期的な利潤追求の一つの手段であると解釈できる。そこで、ここから先は単純にして明快な目的である「利潤の追求」という基準で企業の行動原理を説明してゆく。
null	null	経済学/経済とは何か/供給曲線次のような曲線を考えてみる。ある財（例えばリンゴ）の販売価格と企業が供給したい数量との関係をまとめる。縦軸に価格、横軸に数量を取り、販売価格と企業の供給量の関係を図で表したものが、供給曲線である。家計の需要曲線と同様の手法で企業の供給曲線を描いてみると、右上がりの曲線になる。企業は市場で成立する価格のもとで、この供給曲線上の生産量を市場に供給する！賃金が上がるとリンゴの供給は減る企業が生産するある財（リンゴ）の供給は、その財（リンゴ）の価格以外の経済変数としてはどのようなものに依存しているのだろうか。リンゴの限界的な生産コストに影響を与えるような経済変数が変化すれば、もちろん限界コストも変化するので、同じリンゴの価格のもとでも企業の供給したい数量は変化する。生産コストに影響する要因として重要なものは、生産要素の価格である。例えば賃金が上昇すれば生産コストも上昇するので、いままでよりも限界コストが上昇する。すると、いままでと同じ市場価格では採算がとれなくなるから、その財（リンゴ）の供給は減少するだろう。その財（リンゴ）の供給曲線は左上方に押し上げられる。これが供給曲線のシフトである。また、天候不順や予想外の技術的なトラブルなどが発生して、いままでよりもある財（リンゴ）を生産するのにコストがかかりすぎる場合にも、供給曲線は左上方にシフトする。
null	null	経済学/経済とは何か/価格と需要と供給の関係さきほど、モノの値段は需要と供給の相対的な関係で決まる、ということを話した。需要曲線と供給曲線が交わって価格が決まるというグラフは、初等中等教育できっと多くの人が目にしたことがあるだろう。しかし、ある財の需要量と供給量はあらかじめ決まっているわけではない。需要量と供給量もまた、価格の変化から影響を受ける。そこで、価格が家計の消費行動にどんな影響を与えるのか、考えてみることにする。リンゴを何個買えば得になる？まず、価格が需要に与える影響とはどのようなものだろうか。家計が、ある財（例えばリンゴ）を購入する場合を想定する。その財の 1 単位あたりのコストが、その財の価格（例えばリンゴ 1 個 100 円）になる。一人一人の消費者から見ると、価格は売る側によってあらかじめ決められている。したがって、リンゴの市場価格は、消費者が買う量とは無関係に決まる。経済学的な言い方をすると、「市場価格は購入量とは独立の一定値を取る」わけである。この場合、家計は、「ある与えられた価格のもとで、どれだけの総コストをかけてその財を購入し、消費するべきか」、という意思決定の問題に直面することになる。簡単にいえば「リンゴを買うときに、いったい何個買うのが一番得になるか」ということである。このことを考えるには、まず「限界」という概念を理解しておくことが必要である。「限界」とは、増加分のこと。ミクロ経済学では「限界」という概念がとても重要である。数学の得意な人には「微分」という概念が近いというとイメージしやすいかもしれない。限界コストとは何か例えば、1 個 100 円のリンゴを、すでにあなたが 3 個購入していたとする。もう 1 個追加でリンゴを買うことがあなたにとって得になるか損になるかを、この限界概念を適用して考えてみよう。あなたはすでに 3 個のリンゴを購入しているので、もう 1 個リンゴを追加して購入すると、購入総金額は 300 円から 400 円に増える。このとき、限界購入金額はいくらか。限界購入金額は、1 単位だけ余計にその財を購入したときにかかる総コストの増加分（＝限界コスト＝総コストの微分）を意味する。このときの限界購入金額は、400 - 300 = 100 円。このように、限界購入金額の 100 円は、リンゴの価格に等しくなる。つまり、価格はその財を消費する際の限界コストの指標になる。限界メリットとは何か一方、ある消費財の購入量を拡大すると、購入総コストが増加するが、消費から得られる満足度も増加する。要は、リンゴ 2 個よりも 3 個買うほうが満足度が高くなる、ということである。しかし、リンゴを買うたびに、リンゴを 1 個買うことで得られる満足度は少なくなる。例えば 1 個目を買うことで得られる満足度が 200 としたら、2 個目を買うことで得られる満足度は 180、3 個は 150 とすくなくなっていく。このように、財をひとつ買うごとで得られる満足度を金銭的な大きさに置きなおしたものを限界メリットという。もちろん限界メリットは消費者の頭の中での主観的な評価だが、ここでは金銭で表示できると考える。最適な消費行動とはこのように見たとき、最適な消費決定の条件は、限界メリットと限界コストが一致することである。さきほどの例であれば、リンゴを購入する際の限界コスト（＝総コストの微分＝価格）は何個目でも 100 円である。もしあなたが 3 個目のリンゴを買ってたべたときの限界メリットが 150 円だとすると、100 個だしても得られる満足度のほうが高いのだから、あなたの得になる。しかしさらにもう 1 個、4 個目のリンゴを購入したときの限界的なメリットが 50 円だとしたらどうだろうか。限界的なコストよりも得られる満足度は低いから、買うのは損。つまり、家計にとってはリンゴ 100 円で 3 個まで購入し、4 個目は購入しないのが最も望ましい消費行動ということになる。価格があがると需要は下がるそれでは、リンゴの価格が 200 円に上昇した場合、消費行動にはどのような影響がでるだろうか。価格が 200 円に上がれば、限界コストも 200 円に上昇する。したがって、2 個目ですでに限界メリットよりも高くなり、家計にとっては損することになる。リンゴの価格が 200 円に上がった場合、リンゴの購入は 1 個までに抑えたほうがいいことになる。このように消費行動を分析すると、リンゴの価格が上昇すると限界コストが上昇するので、リンゴの需要は減少すると予想できる。こうした価格と購入したい量（需要量）との組み合わせを、縦軸に価格、横軸に数量を取る図で表したのが需要曲線である。アルフレッド・マーシャル新古典派を代表する英経済学者。我々が現在もよく目にする供給需要曲線の形式は、彼によって確立されたもの。ケインズやピグーを育てた師匠でもある。
null	null	経済学/経済とは何か/価格変化と代替効果リンゴの価格が変化したときの、リンゴの消費量に与える効果を考えてみよう。リンゴの価格が低下すればミカンよりもリンゴを購入することが相対的に有利になるから、リンゴの消費が増加する。これを代替効果と呼ぶ。リンゴの価格が低下すると、リンゴの限界デメリット曲線は下方にシフトし、リンゴの購入量は増加する。同時にリンゴの価格が低下すれば、リンゴの購入量を元のままに維持したとき、他の財に回せる資金は増加する。相対的に可処分所得が増えるから、リンゴの価格の低下は所得の拡大と同じ効果を持つ。そのため限界メリット曲線は上方にシフトする。正常財の価格が低下すると、限界デメリット曲線は下方のシフトし、限界メリット曲線は上方のシフトする。それにつれて均衡点は右方に移動する。つまりリンゴの消費量は増加することになる。均衡点の移動を二つの動きに分解してみよう。限界デメリット曲線の下方シフトによる効果が代替効果、限界メリット曲線の上方シフトによる効果が所得効果になる。このように価格変化は代替効果と所得効果に分解できる。代替効果は実質的な所得が変化しないときの価格変化の動きであり、プラスになる。所得効果は正常財であればプラスであるが、劣等財の場合にはマイナスになる。正常財であれば、その財の価格が低下すると、必ずその財の購入量は増加する。しかし、所得効果がマイナスの劣等財の場合は、価格が低下したとき、代替効果を所得効果が相殺する方向に働くので、総合すると効果がどうなるかを確定できない。飢饉でじゃがいも以外の食べ物が値下がりした？所得効果がマイナスの劣等財では、その財の価格の下落により、その財の需要が減少することもあり得る。こうした財はギッフェン財と呼ばれている。その財の価格が低下すると実質的な所得が増加するため、劣等財であれば、所得効果からはその財の需要が減少する。これに対して、代替効果からは、価格の低下によってその財に対する需要は増加する。このとき、代替効果よりも所得効果の方が大きければ、価格の低下によって需要は減少する。 1845 年のアイルランドでは、飢饉でジャガイモの価格が上昇した。このとき、経済的余裕のない家計は他の財（パンや肉）に対する支出を減らしてジャガイモの支出を増やしたので、他の財の価格が下がったのである。価格の低下と需要の減少が同時に起こったわけである。代替財と補完財リンゴの需要は、所得やリンゴの価格だけではなく、他の財、特に果物の価格によっても変わる。例えばミカンの値段が上昇すると、リンゴの需要は刺激される。これはリンゴのミカンに対する相対的な価格が下落し、ミカンと比べて相対的にリンゴが安くなるからである。このような、他財の価格の変動による需要の変化をクロスの代替効果という。ミカンの価格の上昇はミカンからリンゴへの需要の代替を引き起こすため、このような関係の財は代替財と呼ばれる。一方、例えば紅茶とレモン、パンとバター、野球用具のボールとバットなどでセットで需要される財は、そのうちのひとつの財の価格が上昇すると、両方の財の需要が減少する。例えばバターが値上がりすると、バターの需要が減少するだけでなくパンの需要も減少する。このような関係にある二つの財は補完財と呼ばれる。
null	null	経済学/経済とは何か/利潤の最大化ここまで企業の生産活動と費用の関係を見てきた。これらの話を前提にして、完全競争市場において企業がどのように利潤最大化行動をとるのか、考えてみよう。利潤は、売り上げから生産費を差し引いた残りであった。これがどうすれば最大になるかを考える。例えばある財を y、その市場価値を p とする。このとき売上額（＝販売収入）は生産量×市場価格つまり py になる。話をわかりやすくするために、ここでは市場の規模はとても小さく、市場価格 p のもとでいくらでも生産物を販売できると想定される。つまり作った分だけ市場で売れるとする。そうすると、売上額 py は、生産量 y に単純に比例して増加する。売上額 py と総費用曲線 c(y) を同一グラフに描くと、限界費用は逓増（だんだん増える）ので総費用曲線の傾きは次第に大きくなっていく。この総費用曲線と売上額の線の垂直距離の差が利潤に相当する。「限界収入＝限界費用」が利益最大点利潤は生産量 y とともに変化し、y が小さいときに増加するが、 y が大きくなると減少に転じる。利潤が最大になる生産量をとすると、が企業の最適点になる。だから企業はがもっとも大きくなる生産量を選択することになる。要は限界収入と限界費用が一致する点では、これ以上生産を増やすことも減らすことも企業の利益にならない[1]。ここが企業の主体的な均衡点（＝利潤最大点）となる。これが企業の利潤最大条件である。 - ^ 利益とすると、が極値をとるとき、
null	null	経済学/経済とは何か/家計の消費 2014 年 4 月に消費税率が 5% から 8% に引き上げられたとき、缶ビールや車、家電、住宅などの駆け込み購入が生じて 3 月の消費は大きく増加し、その反動で 4 月になって消費は大きく減少した。このように家計はいろいろなモノ（＝財やサービス）を消費して、経済的な満足度を高める消費活動を行います。ある時点の消費量が増加すれば、その時点での効用水準（消費から得られる満足度）も増加する。しかし、消費が増えるにつれ、効用が増える程度はだんだんと小さくなる。その財の消費量の増加分とその財の消費から得られる効用の増加分との比率を限界効用（すなわち「効用の微分」）という。すでに出た限界メリットと似た概念であるが、限界メリットは効用をお金で評価したものであり、限界効用は効用を主観的に評価したものである。 - 限界効用＝効用の増加分／消費の増加分この式は、モノ 1 単位分だけ消費が増加したとき、そのモノからどの程度効用が追加的に増加するかを示している。たとえばブランドバックを 1 個買って（消費の増加分）、その日の気分がウキウキだった（効用の増加分）。その満足感の増加分が、限界効用である。限界効用逓減の法則限界効用には、次のような特徴がある。 ①限界効用はプラスである ②限界効用は提言する（＝だんだんと減る）財を消費すると必ず満足が得られる。最初に少しだけ消費したときは、その財が新鮮に感じられるから、満足の増加も大きいだろう。つまり限界効用が大きい状態である。しかし、同じ財をたくさん消費したあとでは、その財の追加的な消費はあまり新鮮には感じられなくなる。その財の消費にかなり飽きがきた状態では、追加的な消費から得られる効用の増加分も、最初ほど大きくはない。つまり限界効用はプラスであり、その財の消費とともに次第に減少していくといえるのである。これを経済学では、限界効用逓減の法則という。「逓減」というのは普段まず使わない言葉であるが、要は「だんだんと減る」ということである。ビール 1 杯目の満足度は、だんだん減っていくこの法則は、皆さんもきっと日常生活でよく感じるのではないだろうか。例えば、仕事帰りの居酒屋で、まずはよく冷えたビールで乾杯。きっと信じられないくらいとてもおいしく感じるだろう。しかし、2 杯目、3 杯目とお代わりをしていくと、最初の 1 杯目ほどのおいしさは感じなくなってくるだろう。それで、だんだんチューハイを頼んだり、ハイボールを頼んだりするはず（なかには乾杯からお開きまでビール一筋という無類のビール党の方もいるが……）。なお、限界効用が低下しても、その財を消費することが得られる満足度の全体量は増加している。つまり、消費量の増加とともに効用水準自体は増大する。限界効用は、効用が増えるスピードについての概念で、限界効用が小さくなると効用が拡大するテンポは小さくなるが、必ずしも効用全体の量が低下することを意味しない。リンゴとミカンで考える家計の効用最大化それでは家計の効用最大化行動を、ある予算制約の範囲内でリンゴとミカンという二つの財をどう購入するかという配分問題で考えてみよう。おさらいになるが、家計にとって効用が最大になるのは、限界メリットと限界デメリットの均衡点であった。つまり消費の主体的な均衡点は、選択対象となっているものを追加的に拡大したときの追加的なメリットと追加的なデメリットが一致する点に求められる。リンゴの消費量が増加すれば、効用水準も増加する。そして、効用の増加のスピード（＝限界効用・効用の微分）はプラスになるが、消費量が大きいほどそのスピードは小さくなる。リンゴの消費から得られる効用曲線は右上がりですが、その傾き（＝限界効用＝効用の微分）はだんだんと小さくなる。つまり限界効用は逓減する（限界効用逓減の法則）。リンゴの消費を 1 単位拡大することの追加的なメリットは、リンゴの消費から得られる限界効用である。限界効用は逓減しますから、追加的なメリットもリンゴの消費とともに減少する。限界メリット曲線は右下がりの曲線となる。一方でリンゴの消費の限界的なデメリットは、リンゴの消費を拡大することで他の財・サービスの購入に回す資金量が減少することである。リンゴの価格が 1 個 100 円とすれば、もう 1 個追加にリンゴを購入すれば、他の財・サービスに回せる資金が 100 円少なくなる。だから、限界デメリットはリンゴの価格と同じになる。限界デメリット曲線はリンゴの市場価格で与えられ、水平となる。主体的な均衡点（最適な消費を決める点）は、限界メリット曲線と限界デメリット曲線との交点である。交点より左側では、リンゴを追加的に購入するメリットの方がデメリットよりも大きいから、リンゴの購入を拡大することが望ましい。逆に交点の右側では、リンゴの購入の追加的拡大のデメリットのほうがメリットよりも大きいため、リンゴの購入を減らす方が望ましいことになる。
null	null	経済学/経済とは何か/希少性と価格経済学では、「希少性」という考え方が重要である。希少性とは、社会的な必要性の高さのことである。希少性は、「需要」と「供給」の相対的な大きさで決まる。皆が必要とする（需要が高い）ものであっても、ありふれた（供給が豊富な）モノであれば、希少性は下がる。例えば、水はヒトの生存に絶対に必要であるが、もし街中で水道水のペットボトル 1 本を 1000 円で売っているのを見かけたら、きっと「高い」と思うだろう。しかし、砂漠で道に迷って喉がカラカラの状態であればどうだろうか？この場合は 1 万円出してでも買いたいと思うかもしれない。実際、中東の産油国に行くと、石油よりも水の希少性のほうが高かったりするものである。モノの値段は需要と供給で決まるある財・サービスに対して世の中の人々の評価が高まると、その財の需要が増加する。これが価格の上昇を引き起こし、新しい企業がその財の市場に参入するインセンティブ（誘因）を与えることになる。その結果、その財の供給が増加する。このようにして、社会的な必要性の高い財・サービスの生産に、より多くの資源が投下されることになるのである。また、供給のための「費用（コスト）」の変化も、同じく社会的な必要性を反映する。需要が大きいままであれば、どんなにコストがかかってもその財を生産することが望ましいことになる。しかし、価格が上昇して需要が減少するなら、価格の上昇によって他の財へと需要が逃げていく。この場合、高いコストをかけてまでその財を生産するのは社会的に意味がないことになる。
null	null	経済学/経済とは何か/所得効果給料が増えて所得が増加し、消費全体に回せる資金量が増加したとする。消費全体の資金量＝所得が増加すれば、消費量も拡大する。所得効果は消費を刺激する。通常の消費財は所得効果がプラスで、こうした財を正常財あるいは上級財と呼ぶ。リンゴの消費量がもとのまま、所得が拡大したとする。これは、リンゴ以外の財・サービスの消費量が増加することを意味する。つまり、ミカンの消費量が拡大する。これはリンゴの限界効用にも影響を与える。今までよりもミカンの消費量が多くなれば、リンゴがより新鮮に感じられ、ミカンの消費量が拡大する前よりは、同じリンゴの消費から得られる限界効用は増加する。その結果、リンゴの限界メリット曲線は上方にシフトするのである。つまり所得の増加で他の財の消費を増加させることができれば、当該財の消費も増やしたくなる。毎日ご飯と味噌汁ばかりでは飽きるが、時々パン食もあれば、ご飯がよりおいしく感じるだろう。このような所得の変化による限界メリット曲線のシフトが、所得効果である。米は正常財、麦は劣等財財・サービスによっては所得が増えると消費が減り、限界メリット曲線が下にシフトする可能性もある。そのような財は、劣等財あるいは下級財という。例えば主食としての米は正常財であるが、麦（やジャガイモ）などは劣等財である。所得の低いときはジャガイモや麦飯を食べるが、所得が増えると麦飯ではなく白米を食べるようになる。所得が増えると消費が減るため、主食としての麦は劣等財ということになるのである。
null	null	経済学/経済とは何か/機会費用経済学では、「費用（コスト）」の概念も重要である。費用とは、何らかの経済行為をする際にかかる損失のこと。当たり前のことだが、どんな経済活動にも費用（コスト）はかかる。例えば、家計が消費する（モノを買う）際には、市場価格で消費する財を購入する必要がある。その購入費用は、家計にとって消費行為にかかる損失＝費用になる。また、企業が生産活動を行うときには、労働、資本などの生産要素に支払う金額（賃金や利子）が、企業にとっての費用になる。費用には目にみえないものもあるこれに対して、「機会費用」というものがある。これは、見えない形でかかる費用である。例えば、企業が自分で準備した資金で投資をするとする。自前ですでに用意してある資金なのだから、投資をする際に損は発生していないように見える。しかし、もし企業が投資をする代わりに、その資金を誰かに貸していたらどうなるのだろうか。この場合、金利という形で何かしら利益が得られたはずである。収入の機会があるにもかかわらず、それを利用しないで他のことに資金を回す場合、実際にはそれだけの収入をあきらめたことになる。機会費用は、経済主体の状況によって異なる。例えば、A 氏、B 氏が裁判員裁判のために仕事を 1 日犠牲にしたとする。 A 氏の日当は 1 万円、B 氏の日当が 2 万円とすると、裁判員になって仕事を休んだ際の機会費用は A 氏が 1 万円、B 氏が 2 万円になり、日当の高い B 氏のほうが機会費用が高くなる。つまり、同じ日当であれば機会費用の高い人ほど裁判員になりたがらない、ということが予想できる。
null	null	経済学/経済とは何か/生産関数まず、企業の生産活動について考えよう。企業の生産活動を理論的に式に置き換えようとするときに重要な概念となるのが、生産関数である。生産関数とは、生産需要（労働力や資本など）と生産物との技術的な関係を表したものである。例えばある企業について、一定の効率的な企業経営が行われていて、生産要素と生産水準との間に安定的な技術的関係（＝生産工程）が導出されているとする。このときの生産要素と生産量との関係を表しているのが生産関数のグラフである。生産関数のグラフは労働（変数 x）というひとつの生産要素を投入してある生産物を作るときの生産量（変数 y）の変化を示している。限界生産逓減の法則生産関数のグラフは、x の増加とともに y も増加するが、その増加の大きさである曲線の傾きが次第に小さくなっていくのがわかる。ある生産要素の投入量 x が増大すると生産量 y も増加するが、ある一つの生産要素のみを投入し続けていくと限界生産（生産要素を増やしたときに追加的に増える生産量＝生産量の微分）はだんだんと減っていく。これを限界生産逓減の法則という。労働投入 x = 1 のとき生産 y = 10 であったとして、労働を追加的に 1 単位増加させて x = 2 とすると生産 y = 15 となったとしよう。この場合労働の限界生産は 15 - 10 = 5 となる。さらに x = 2 から労働のんみ追加的に 1 単位増加させたとき、生産 y = 18 に拡大したとする。このときの労働の限界生産は 18 - 15 = 3 である。このように労働のみを増やしていくだけでは、生産の拡大は場は次第に小さくなっていくだろう。
null	null	経済学/経済とは何か/費用曲線次に費用について考えてみよう。利潤（儲け）は、収入から費用を差し引いた金額で定義される。だから、企業が利潤を最大化するためには、費用を最小化しなければならない。企業は利潤を最大化する前提として、生産にかかる費用を最小にして、より効率的に生産をする必要がある。どこまで生産量を拡大するかは利潤最大化行動の結果として決まるが、どの水準の生産量であっても、それを生産するのにかかる費用をできるだけ小さくすることは常に企業の利益に合致する。生産量が増加すると、総費用も増加する企業が各生産水準で費用を最小化する行動を取ることを前提とすると、生産量と最小化された費用との間には、ある一定の関係があることがわかる。この関係を示しているのが、（総）費用曲線である。生産量が増加すると、それを生産するために要する（最小化された）総費用も増加する。だから、総費用曲線は右上がりになる。しかも、その傾きは次第に急になる。つまり、生産量が小さいうちは追加的な生産に必要な費用はそれほど大きくないが、生産量が拡大するにつれて追加的な生産に要する費用も大きくなるからである。そして、総費用曲線の傾きが限界費用になる。限界生産が逓減すると、限界費用曲線は右上がりになる。例えば労働者の働く時間が長時間になると、生産の増加スピードは下がります。しかし、賃金は時間当たりで一定額を支払うことが普通だから、仕事時間が増える分だけ総支払額が増加して、企業にとっては費用がより増大する結果となるからである。
null	null	経済学/経済とは何か/需要・供給の弾力性例えば、もし読者が会社で値段を決める担当だったとしたら、「この商品を何円値上げしたら、買ってくれるお客さんはどれくらい減ってしまうのか」という判断は、まさに死活問題であろう。こうしたことを判断するのに重要なのが、需要曲線・供給曲線の傾きである。経済学ではこれらの曲線が急であるのか、あるいは緩やかであるのかを判断するために、弾力性という概念を用いる。需要の弾力性とは需要の弾力性とは、価格が 1% 上昇したときに需要が何 % 減少するかを示したものである。 - 需要の価格弾力性＝需要の減少幅(%)／価格の上昇幅(%) となる。例えば、価格が 10 から 50 に 40 増加したとき、需要が 5 から 4 に 1 だけ減少するとしたら、価格の上昇幅は 400% (40/10 = 4) で、需要の減少幅は 20% (1/5 = 0.2)。したがって、価格弾力性は 20/400 = 0.05 となる。弾力性が 1 よりも大きな曲線は、価格が変化したときに需要量がそれ以上に変化するので、弾力的な需要曲線と呼ばれる。この場合、需要曲線の傾きは緩やかになる。逆に、弾力性が 1 よりも小さい曲線は、価格が変化したときに需要量はそれほど変化しないので、非弾力的な需要曲線と呼ばれる。この場合、需要曲線の傾きは急になる。弾力的な財、非弾力的な財価格に対して需要が弾力的な財は、贅沢品に多くみられる。例えば、宝石は日常生活で特に必要なものではないのだから、価格が高ければ無理して買おうとまでは思わない人が多いだろう。しかし、価格が安くなれば買いたいと思う家計が増える。価格が低下すれば需要は大きく増加し、逆に、価格が上昇すれば需要は大きく落ち込むことになる。価格に対して需要は弾力的である。趣味などの嗜好品で、しかし他に似たような代替品が多くあり得るようなもの、例えばゴルフ用品、テニス用品などのスポーツ用品も価格の弾力性が高くなる。代替的、競争的な財が他にたくさんあると、ある財の価格が少しでも上がると、需要は他の財に逃げていきやすくなる。逆にその財の価格が下がれば、その財に対する需要は大きく増加する。価格弾力性がかなり高いことになる。一方、非弾力的な財の代表は生活必需品、かつ、他に似たような財がないために、あまり代替の利かないものである。例えば塩。料理に塩は必要不可欠だから、値段が高くなっても買わないわけにはいかない。また、塩のかわりに砂糖を使うわけにもいかないので、代替が利かない。逆に、たとえ塩が安くなったとしても、塩だけを大量に買うメリットはあまりないだろう。だから、塩の価格が変動しても料理に使われる塩の消費量はほとんど変化しない。つまり、塩の価格弾力性はかなり小さいということになる。また、特殊な用途に限定されている財も価格段両性が低くなる。例えば、専門性の高い学術書は、その分野の専門の研究者や図書館くらいしか需要がない。価格が安くなっても一般の読書がそうした本を購入する要因はほとんどない。逆に、価格が高くても、専門の研究者や図書館にとっては必要と判断すれば買わざるを得ない。このように代替性の利かない財は弾力性がかなり小さくなる。供給の弾力性とは需要の弾力性と同様に、供給の弾力性という考え方もある。供給の弾力性は、価格が 1% 上昇するときに供給が何 % 増加するかで定義できる。つまり、 - 供給の弾力性＝供給の増加の幅(%) ／価格の上昇の幅 (%) となる。例えば、価格が 100 円から 200 円に 100 円だけ上昇したときに、供給も 1 から 2 に 1 だけ増加するとすれば、価格の上昇幅（比率）は、(200-100)/100 = 1 で、供給の増加幅（比率）は (2-1)/1 = 1、供給の弾力性は 1/1 = 1、つまり 1 となる。供給の弾力性が大きいほど、価格が上昇したときに供給量が大きく増加するので、供給曲線は緩やかになります。逆に、供給の弾力性が小さい場合には、価格が上昇してもあまり供給量は増えず、供給曲線の傾きは急になる。一般的に、短期的な需要あるいは供給の変化は、価格の変化に比べて小さくなる。コーヒーの値段が上がっても、コーヒー愛好家が急に紅茶に乗り換えるのは難しいかもしれない。企業の方も、価格が上昇したからといって、すぐに供給を拡大させるには生産能力的にも限界があるだろう。しかし、長期的には価格の変化に対して消費者が他の似た代替財を見つけることは簡単であるし、企業の方も生産能力を拡大させることがより可能になる。したがって短期的には非弾力的な需要あるいは供給も、長期的にはより弾力的になる。その結果、短期より長期で考えるほうが、需要曲線も供給曲線もその傾きは緩やかになる。需要や供給の弾力性を議論するときには、短期か長期かの区別が重要なのである。
null	null	経済学/経済とは何か/需要曲線それでは、需要曲線とはどんな特徴があるのか見ていく。価格が上昇するほど需要は小さくなり、価格が下がれば需要量は大きくなる。したがって、縦軸に価格、横軸に需要量を取ると、需要曲線は右下がりの曲線として描ける。通常、需要曲線は右下がりであるが、その形状はいろいろな形があり得る。例えば漸近線が直角の双曲線が一例となる。可処分所得が増えるとリンゴの需要は増える需要は、家計の可処分所得（実際に消費に回せる所得）にも依存する。皆、貰っているお給料が増えて懐具合がよくなると、いままで買っていなかったモノをかいたくなるだろう。それと同じことである。さきほどのリンゴの例でいえば、可処分所得が増えると、家計は同じ価格であっても前よりもたくさんリンゴを買いたいと思うだろう。例えばリンゴの価格が 100 円の場合、3 個ではなく 5 個解体と思うとする。すると、先に描いた需要曲線は右方に移動するように見える。この新しい需要曲線は古い需要曲線よりも右上方に押し上げられている。この需要曲線の移動を、需要曲線のシフトという。可処分所得以外にも、ある財と競合関係にあるような財の価格も需要に影響する。例えば、ミカンなど他の果物の価格はリンゴの需要に影響する。また、ある財の嗜好の変化も同じように需要に影響する。
null	null	経済学現代経済の仕組み経済主体とその活動経済は誰のもの？経済は全ての人間のために存在する、全ての人間の共有物です。国会議員だけのものでも、社長だけのものでも、大人だけのものでもありません。なぜなら、経済を作っているのが全ての人間だからです。経済主体家計・企業・政府という３つの経済主体によって国民経済が成り立っています。国民経済は同じ経済体制をとる１国内での経済活動のことです。また、自国の国民経済と外国の国民経済が物や金の取引をすることを貿易といいます。家計家計は欲望の充足を図るために消費・貯蓄をする主体です。企業に労働や資本などを提供し、その対価として受け取る賃金や利子などの所得を貯蓄にまわしたり、企業が生産した財物を消費したりするのに使います。家計は、企業に比べ弱い立場にありました。そこで、アメリカ合衆国大統領リチャード・ニクソン(R. M. Nixon)は1969年の特別教書で消費者の4つの権利を提唱しました。 - 安全な商品を提供される権利 - 商品に関する情報を知らされる権利 - 商品を自由に選ぶ権利 - 消費者が意見を政策に反映させる権利日本には消費者である家計を保護するために消費者保護基本法（1968年制定）があります。しかし、消費者保護基本法は表現が抽象的で、懲罰既定が無かったため他の先進国に比べて消費者保護行政に遅れをとりました。現在、製造物責任法（1995年施行）、消費者契約法（2001年施行）などの立法とともに、消費者保護行政や消費者教育が重要視されています。消費者問題食品・医薬品の欠陥は後を絶ちません。安全な商品商品の安全性を分かりやすく消費者に示すため、様々な基準が定められています。ただし、これらの基準が変わっても商品を販売できなくなるということはありません。 - 日本産業規格 - 産業標準化法（1949年制定）に基づく鉱工業製品の基準。合格するとJISマークをつけられる。かつては日本工業規格と称し根拠法も工業標準化法と称していたが[1]、標準化対象に「データ、サービス等」を追加することとなった[2]。 - 日本農林規格 - 農林物資の規格化及び品質表示の適正化に関する法律（1950年公布）に基づく建材や加工食料品の基準。合格するとJASマークをつけられる。 - グッドデザイン賞 - 財団法人日本産業デザイン振興会が主催する。受賞するとGマークをつけられる。 - おもちゃの安全基準 - 玩具安全基準（ST基準） - 社団法人日本玩具協会のおもちゃの安全基準（1971年制定）に基づく玩具の基準。合格するとST（安全玩具）マークをつけられる。 - ウールマーク - ザ・ウールマーク・カンパニー（国際羊毛事務局）が定めた国際基準。消費者保護行政企業企業は生産をする主体です。家計から提供された労働や資本を活用して、財物の生産手段を組み立て、生産します。生産した財物は販売し、利潤を得ます。企業は利潤追求の度合いの強さ、あるいは公共性の高さから公企業・公私合同企業・私企業の３つに分けられています。 - 公企業：政府が出資・貸し付けをして設立した法人。 - 日本郵政公社、林野、国立印刷局。 - 公団：政府、地方自治体などが出資して設立する特殊法人形態の公共法人。日本道路公団、首都高速道路公団、阪神高速道路公団、本州四国連絡橋公団などで、多くは廃止・民営化が進められています。 - 地方公営企業：地方公共団体が経営する企業。上下水道、電気、交通、ガスの各事業や公立病院など。 - 公私合同企業 - 株式会社形態：日本たばこ産業株式会社(JT)、日本電信電話株式会社(NTT)、国際電信電話株式会社(KDD、現KDDI)など - 特殊法人形態：日本銀行、日本赤十字社、 - 私企業株式会社の仕組み株式（株）を発行して資金を集める企業形態を株式会社といいます。株式会社では他の企業と異なり、必ず所有（所有者・株主）と経営（経営者）が分離されています。世界で最初の株式会社は、17世紀にイギリスやオランダ、フランスに設立された東インド会社と見られています。東インド会社は東南アジアなどの地域で入手した香辛料を船でヨーロッパに運び売っていました。この船を建造するための資金が必要になったため、利潤を出資額に応じて出資者に分配する仕組みを編み出し、これを条件にした資金調達に成功したのです。もし利潤が無ければ出資者には分配金どころか出資金も帰ってきませんが、それ以上の損失はありません。これを有限責任といい、出資者を有限責任社員といいます。現代では株式をできるだけ多くの人に購入してもらうため、ほとんどの株式のやりとりが証券会社を通されています。証券会社は顧客（株を買う人）の注文を受け株式市場で買い集めます。株式市場には、それぞれの株式市場の上場条件を満たした、株式を買ってもらいたいと思っている株式会社が上場しています。最近の株式市場は、制度変更やインターネット証券の普及から個人投資家が増加しており、株式会社側も自社の株式に対する個人投資家の見方を気にするようになっています。大企業と中小企業全国におよそ510万社ある企業のうち99.4%が中小企業です。w:中小企業基本法では中小企業を次のように定義しています。なお、製造業・卸売業は20人以下、小売業・サービス業では、5人以下の企業を小規模企業者と定義しています。中小企業は下請け、輸出（繊維・雑貨・精密機械等）、小売りをする企業が多く、現代経済には欠かせない存在となっています。しかし、大企業との間で所得・生産性・賃金面での格差が大きく、日本企業における二重構造として問題になっています。 - ※ 日本では、企業復興の名のもと、小泉内閣から１円株式会社、有限会社の廃止が決まった。有限会社は存在してる有限会社は存命とし、社の改変は自己資金に基ずくものとし、１円株式会社は、株式が１０００万資本から１円に改変された。現代の企業近年の企業の合併と買収(M&A、Mergers and Acquisitions)は、一部門の専門性を高めるため他部門を売ったり、不得意分野を買い入れるなどどちらの企業も得をすることが多くなっています。2005年には株式会社ライブドアによる株式会社ニッポン放送の合併と買収が注目を集めました。企業の社会的責任特に大企業には社会的責任(Corporate Social Responsibility)があるという考え方のもと、利潤を追求せずに社会的活動を行うことが求められています。アメリカ合衆国では企業の社会的貢献（フィロソピー(philanthropy)）の一環として芸術・文化活動を支援する取り組み（メセナ(mecenat)）が一般化しています。政府政府は経済活動を調整する主体です。家計と企業から租税を徴収し、教育・社会保障などの公共サービスを社会全体に提供します。また、租税の徴収により所得の再分配も行います。 - ^ “今後の基準認証の在り方”. 経済産業省 (2017年10月11日). 2021年7月30日閲覧。 - ^ “JIS法改正（産業標準化法）”. 経済産業省. 2018年12月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年7月30日閲覧。
null	null	経済学現代経済の仕組み財政税金，払わなきゃ駄目？払ってください。あなたが払わなければならない税金の額はあなたの収入によって決まっているはずです。なぜなら，税金は高所得者から低所得者に移すお金だからです。高所得であればあるほど払わなければならない税金は増えるわけです。ただし，消費税やたばこ税などの間接税はこの決まりに反しています。財政とは政府がする経済活動のことを財政といいます。リチャード・マスグレイブ(Richard Abel Musgrave)は著書『財政理論(The Theory of Public Finance 1959)』で財政の機能を資源の分配，所得再分配，経済の安定化という３つに分類しました。どれも市場の失敗を補う機能です。19世紀までは財政は必要最低限度にされてきましたが，現代では財政規模は大きくなり，問題化しやすくなっています。財政の仕組み租税や予算などの原則は，日本国憲法第７章財政で定められています。租税財政政策資源の分配機能資本主義経済では市場を通じて資源を再配分しますが，公共財は市場を通じて取引されるのではありません。したがって，公共財は政府を介して配分されなければなりません。所得再分配機能市場が所得を公平に分配することはできません。政府が，高所得者には所得税などの累進課税を，低所得者には社会保障などの租税の振替支出をすることで所得を均衡にしようとする財政の機能のことです。経済の安定化機能市場経済では景気の変動に波があり，非常に不安定です。経済の安定化機能または景気調節機能といいます。
null	null	経済学現代経済の仕組み金融機関とその働きどうやって銀行は儲けている？銀行は私たち（顧客）が口座に預けたお金を、仕事をするためにお金が必要な企業に貸します。企業は借りたお金に利子をつけて銀行に返します。銀行はこの利子で儲けているのです。そして銀行は利子の一部を私たちの口座に返します。一連のやり取りは現金ではなく、口座の上で行われます。資金の循環と金融資本貨幣貨幣の役割には、次の4つがあります。 - 価値尺度… - 交換（流通）手段… - 支払い手段… - 価値蓄蔵手段… 通貨（流通貨幣）の種類には次の３つがあります。 - 現金通貨…日本銀行券（紙幣）、補助貨幣（硬貨） - 預金通貨…普通預金、当座預金、小切手 - 準通貨…定期預金現金通貨と預金通貨の２つを「Ｍ１」、これに準通貨を加えた３つを「Ｍ２」といいます。Ｍはマネーサプライ（通貨供給量）のことです。日本は、1931年に金本位制（金貨と兌換紙幣（だかんしへい）の併用）から管理通貨制度（不換紙幣）に移行しました。金融とは資本主義社会では、家計・企業・政府の３つの主体が活動しています。この３主体の間に財が行き交っています。これら財物の仲介役となるのが貨幣です。これに加え、貨幣にはもう一つの役割があります。それが「金融」という、貨幣の融通（貸し借り）をすることです。資金の余裕者（お金持ち）が資金を必要とする者に資金を貸すのですが、この時、金融機関を介す場合と介さない場合とがあります。いずれの場合も、資金は他人資本となります。直接金融資金の余裕者と企業の間での貸し借りで、余裕者は企業へ株式・社債の購入によって交付し、企業は余裕者へ資金を渡します。アメリカは、直接金融中心です。間接金融個人・企業と金融機関の間での貸し借りで、個人・企業は金融機関へ預金し、金融機関は（別の）個人・企業へ貸し付けをします。日本は、以前から間接金融中心でしたが、近年、直接金融が増えつつあります。銀行と信用創造信用創造は預金創造、通貨創造ともいい、銀行が預金額の一部（支払準備金）を残して預金額以上を貸し付けることを指します。信用創造は景気変動の要因の一つです。信用創造された額は次の計算式で求められます。 - 最初の預金額×（1÷支払準備率）－最初の預金額＝信用創造された額つまり、支払準備率が20%のとき、Aから預金された5000万円から支払準備金1000万円を除いた4000万円をZ銀行がBに貸し出し、Bはその金をY銀行に預金し……というモデルでは、 - 5000（万円）×（1÷）－5000（万円）＝2億円となり、2億円創造されたことになります。金融機関金融機関は次の種類があります。金融政策金融政策は、日銀政策委員会がマネーサプライを操作することによって実行されます。これにより、物価・景気・為替の安定が保たれています。金融政策には次の３種類があります。 - 公開市場操作（オープン・マーケット・オペレーション） - 支払準備率操作（預金準備率操作） - 公定歩合政策（金利政策）日本では、これまで公定歩合政策がとられてきましたが、2001年3月19日からゼロ金利政策をとり、公開市場操作（量的緩和策）を採用しています。これからの金融日本では金融再編（銀行の吸収・合併）が進んでいます。金融再編によって誕生した巨大な金融グループはメガバンクと呼ばれ、資産規模としては海外のメガバンクに並んでいます。しかし、海外の銀行に比べ、日本の銀行は収入の多くを受信授信業務で生まれる利ざやに頼っており、不良債権処理を進めつつ、収益構造の改善をしなければならなくなっています。
null	null	社会主義経済とは 20世紀には資本主義の矛盾をとこうという試みがありました。それが社会主義経済(socialism)です。社会主義の特徴は次の通りです。 - 資本家が労働者を搾取する仕組みをやめることをめざします。 - 私有財産を否定：生産手段は社会（国家や協同組合など）の所有としています。 - 国家による資源・労働力の計画配分：何をどれだけ作るかを国家が決めます。社会主義経済の理論と実践史空想的社会主義近代的な社会主義論が生まれたのは産業革命以降です。その代表的な理論家・実践者がフーリエ、サン=シモン、オーウェンの三名です。彼らは後にエンゲルスから「空想的社会主義」と呼ばれました(『空想から科学へ』)。そのため、現代でも彼らは空想的社会主義者と呼ばれているのですが、ソ連型社会主義の崩壊・中国の社会主義市場経済が事実上の新自由主義経済へと舵を切っている現在、再評価が始まっています。マルクスとエンゲルス 1867年、ドイツの経済学者・哲学者カール・マルクス(Karl Heinrich Marx)は著書『資本論』で、資本主義の持つ固有の矛盾が将来新しい社会体制を生むと指摘しました。同じくドイツの経済学者・哲学者のフリードリヒ・エンゲルス(Friedrich Engels)も著書『家族・私有財産・国家の起源』などで社会主義・共産主義を唱えました。ロシア革命と社会主義諸国の成立マルクスらの理論を背景として、1917年にロシア革命でソビエト社会主義政権が誕生しました。ロシアは1921年から新経済政策（ネップ、Новая экономическая политика）を推進し、1928年にソビエト連邦は第一次５カ年計画による社会主義経済の導入を進めました。これに続き、1945年に次々と独立したアジアや東ヨーロッパの国々、さらに1949年に成立した中国でも社会主義経済が導入されました。社会民主主義現在の社会主義経済社会主義経済の国は減ってるの？減っています。世界で最初の社会主義経済の国だったソビエト社会主義共和国連邦が、不景気から脱出できなくなってしまったため1991年に社会主義経済をやめました。ヨーロッパで社会主義経済をとる国はもうありませんが、朝鮮民主主義人民共和国やキューバ共和国では社会主義経済体制が続いています。また、中華人民共和国やベトナム社会主義共和国、ラオス人民民主共和国も社会主義国ですが、市場経済も取り入れ近年はその割合が高まっています。ただし、中南米ではアメリカ合衆国による新自由主義に基づく政治・経済への介入への反発から、21世紀に入ると反米左派政権が成立し、主要企業(特に石油などの鉱産資源)の国有化や格差是正など、経済政策の一部に社会主義政策を導入している国も現れるようになりました。それらの国々の中には、チリのように政治の安定と経済成長に成果を上げたところもあれば、ベネズエラのように政治経済の混乱に陥っている国もあります。中国の経済体制 1997年、香港がイギリスから中国に返還されました。このときから中国は一国二制度という制度が続いています。一国二制度は、中国という１つの国でありながら香港を資本主義経済の区域として同居させる制度のことです。中国は1978年からトン・シアオピン(鄧小平)による社会主義国でありながら市場経済化を徐々に進め、積極的に海外資本を導入する開放政策を進めています。これは1993年の憲法改正で社会主義市場経済と明文化されました。ソビエト連邦が政治改革から経済改革を目指したのに対し、中国は経済改革から政治改革を目指しているといえます。ただ、社会主義市場経済の位置づけは、社会主義経済や資本主義経済に並ぶ経済体制のひとつなのか、社会主義経済から資本主義経済へ移行する途中の形なのかで意見が分かれています。修正資本主義他方、資本主義経済の体制でも、貧富の格差・失業などに代表される「市場の失敗」の解消のため社会主義的政策を導入することがあります。例としては、以下のようなものがあげられます。 - 電気・ガス・水道や鉄道に代表される公共交通機関やその他の社会的インフラなど、国民生活に欠かせない財やサービスを提供する企業は国営ないし公営企業とする。 - 経済政策における計画経済の導入(例:戦前日本におけるw:経済新体制確立要綱)。あるいは、省庁による業界のコントロール(例:w:護送船団方式)。 - 直接税における累進課税の強化と再分配。 - 福祉政策の充実。こうした試みは1980年代に入るとアメリカのレーガノミクス、イギリスのサッチャリズムに典型的な新自由主義政策によって転換していきました。しかし、2000年代には格差の拡大などを背景として新自由主義が批判されるようになると、福祉政策や富裕層への課税などの政策が見直される国もあります。理論マルクス経済学現在の社会主義経済とその理論は、大なり小なりマルクス経済学の影響下にあります。そのため、社会主義経済について知るために、まずマルクス経済学の理論を押さえておきましょう。また、参考までに以下のリンクも掲載します。『資本論』意外かもしれませんが、『資本論』にて社会主義や共産主義についてはほとんど語られていません。そのため、「『資本論』は社会主義・共産主義の経典云々」のような記述があるテキストや書評は「私『資本論』読んだことありません」宣言です。そういう本を買ってしまったら速攻で古本屋に叩き売るか資源ごみとしてリサイクルに出した方がいくらかマシです。そもそも、『資本論』の第一の目的は資本主義の仕組みの分析です。そして資本主義の終焉も資本主義に内在する矛盾の増大による「自壊」として論じられています。宇野学派宇野学派は宇野弘蔵の弟子たちによって形成された研究学派です。マルクス経済学から社会主義イデオロギーを排除したものであるため、厳密には社会主義経済学には含めませんが、マルクス経済学を語るうえでは欠かせません。そのため、ここで紹介しておきましょう。社会主義論政治、社会、哲学など、経済以外の点については次が基礎文献となるでしょう。 - 『経済学・哲学草稿』『ドイツ・イデオロギー』など、初期マルクスの著作 - 『経済学批判要綱』 - 『ゴータ綱領批判』 - 『空想から科学へ』『家族・私有財産・国家の起源』などエンゲルスの著作初期マルクス『経済学批判要綱』通称「グルントリッセ」（独: Grundrisse）。ある意味、初期マルクスと後期マルクスをつなぐものであり、これを非常に重視する研究者もいます。『ゴータ綱領批判』マルクスの社会主義論が語られているのは、この『ゴータ綱領批判』の方です。『ゴータ綱領批判』とは、当時のドイツ社会民主労働党が作成した綱領案をマルクスが批評した「ドイツ労働者党綱領評注」、およびそれに関連する手紙をさします。エンゲルスソ連型社会主義論レーニンスターリン中国毛沢東主義鄧小平理論参考文献古典 - マルクス『資本論』 - マルクス『ゴーダ綱領批判・エルフルト綱領批判』 - レーニン『帝国主義論』宇野理論 - 宇野弘蔵『経済原論』 - 宇野弘蔵『経済学』 - 大内力『国家独占資本主義』その他 - 小澤光利「理論経済学――マルクス経済学入門」[1] - 崎山政毅『資本』(岩波書店, 2004年) - デヴィッド・ハーヴェイ『〈資本論〉入門』(森田成也・中村好孝訳, 作品社, 2011年) - デヴィッド・ハーヴェイ『資本の〈謎〉――世界金融恐慌と21世紀資本主義』(森田成也・大屋定晴・中村好孝・新井田智幸訳, 作品社, 2012年)
null	null	言葉の変化？資本主義経済、社会主義経済の理解が進むにつれて、これらの言葉自体が実態を表さないと考える人が多くなりました。現代の経済学(Economics)においては、これらの言葉はあまり使用頻度が高いとはいえません。しかしながら、現在のさまざまの国の経済システムを考えると、何らかの分類が出来ると多くの人は考えるでしょう。この項目では、資本主義経済ではなく分権的市場経済(decentralized market economy)、社会主義ではなく中央集権的計画経済(central planned economy)と呼ばれるようになった理由を考えます。分権的市場経済資本主義経済と呼ばれてきた経済システムでは、市場を用いて財・サービスの分配が行われています。市場では、人々は自分の好きな価格で財・サービスを取引できます。誰か他人が、ある財・サービスを取引している価格が気に入らないとしても、あなたはその取引に介入することが出来ません。または、誰か特権的な人が、価格や取引量を決めているわけでもありません。全ての人が、ある財・サービスを買うため（あるいは、売るために）市場に行き、自分の意思で取引をします。時には、自分の要求に合致する価格でないために、買わない（売らない）という自由もあります。このような市場があり、そこで購入した場合にのみ、財・サービスを使用する権利を得るというルールに従う経済システムが資本主義経済と呼ばれていることが分かるでしょう。しかし、このようなルールは、資本（ここでは、工場の機械設備を思い浮かべてください）とは特別に関係はないと、容易に気がつきます。したがって、資本主義経済という用語が実態を表していないと考えられるわけです。いわゆる資本主義経済において、重要な要素は市場であると考えられます。したがって市場経済と呼んだとしても、それほど大きな問題ではないと考えられます。しかし、市場の特徴としても特に重要であると考えられる分権性から、分権的市場経済と呼びます。どのような意味で分権的なのかを、次の社会主義経済との比較をしながら、後の節で考えましょう。中央集権的計画経済かつて社会主義経済と呼ばれた経済システムをもつ国は少なくなってきました。それらの多くの国が、市場による財・サービスの分配を取り入れています。それでは、財・サービスの価格や取引量の決定を市場にまかせない場合、どのような方法があるでしょうか。考えられる選択肢には、誰か特権的な人が財・サービスの価格と取引量を決定するというものがあるでしょう。取引量を決定するのは困難をともないますが、通常は供給量（生産量）を決定してしまうことで、経済全体の取引量を決定することが出来ます。多くの社会主義経済では、政府によって価格や生産量の計画が決定されて、それに基づいて生産と販売が行われていました。このような事前に計画された価格と生産量に基づいて経済活動（生産活動）が決まるという意味で計画経済と呼ばれます。この計画は、経済全体の情報を集約し、適切に決定される必要があります。その役割を政府が担うことになりますが、その政府の役割を表す言葉として中央集権的という言葉を使います。計画経済では、経済の労働量、資本量、需要量を、さまざまな情報から計算し、実行可能な計画を決定する政府が、経済の中で特別な役割を果たすことになります。このような政府を持ち、計画にしたがって財・サービスを分配することを中央集権的計画経済と呼ぶわけです。分権的市場経済と中央集権的計画経済計画経済と市場経済の大きな違いは、計画経済が計画する人を必要とすることです。計画する人は政府と考えられます。政府は経済の中で特別な役割を持つ主体となります。これに対して、市場経済はどうでしょうか。全ての財・サービスが市場で取引されているとすると、経済的に特別な主体は必要ありません。市場が最終的に、ある財・サービスを利用する人を決定すると考えれば（それは市場で購入した人であることはすでに述べました）、全ての人は市場に参加して取引するという意味において特別な人は存在しません。極端なケースであれば、政府も市場参加者の一人ということになります。それでは、市場経済では、どのような要因で最終的な財・サービスの使用者を決定するのでしょうか。うまくいくかどうかは別にして、市場は参加者が持っている需要と供給の合計によって価格と取引量が決定するメカニズムを持っているので、市場の参加者の意思によって、その財・サービスを使用できる人、できない人が決まっていると考えられます。全ての人は市場の参加者であり、特別な人を考えなくてもよいという点が、市場経済の大きな特徴であると考えられるわけです。特別な権力を持つ人を考えないという点を強調するために分権的市場経済と呼びます。中央集権的計画経済は、現代の経済システムとしては少数派になりつつありますが、分権的市場経済を分析する上で、考察の対象としては重要です。市場経済の分権的な特徴を理解するためには、中央集権的計画経済との比較が理解を助けていることからも分かるでしょう。また、分権的市場経済がどのようなときにメリットがあり、どのようなときにデメリットがあるかを考える上でも、中央集権的計画経済が達成できることを基準にする場合もあります。したがって、分権的市場経済に関心がある人も中央集権的計画経済をよく理解する必要があるでしょう。現実の経済システムこのように経済の分類を整理すると、実態にのっとった理解を深めることが出来るでしょう。しかし、ある経済は分権的市場経済か中央集権的計画経済かを単純に分類することが出来るでしょうか。日本の経済は、基本は分権的市場経済です。しかし、政府は単なる市場参加者以上の意味を持っています。法律を作って税を課したり、企業や家計の経済行動に規制をかけることができます。その意味で、計画性もある経済です。逆に中央集権的計画経済であったとしても、すべての財・サービスを完全に計画することは不可能でしょう。大きな工場などで作られる財などが計画の中心であったと考えられます。そのように考えると、分権的市場経済と中央集権的計画経済は両極端を表す言葉で、多くの経済はその中間的な経済システムを持っていると考えられます。したがって、現実の経済を考える上では、分権的市場経済としての側面、中央集権的計画経済としての側面が、それぞれどの程度なのかを考えることが重要といえるでしょう。
null	null	お金が一番大切ってこと？資本主義社会でお金が大切なのは間違いありません。資本主義とは現在、日本やヨーロッパ、アメリカなどの多くの国で採られている経済制度が資本主義(Capitalism)経済です。資本主義経済では国家が経済に介入せず経済活動を市場に任せています。資本主義は3つの基礎の上に成り立っています。1つは、すべての財と労働力が商品とする全面的な商品経済社会、2つ目は生産のための工場・機械・土地などを私有財産とする私有財産制度です。3つ目は、市場は需要と供給によって調整されるので、利潤を追求する経済活動は自由にして構わないという考え方です。資本主義の成立と発展資本主義経済発祥の地はグレートブリテンおよび北部アイルランド連合王国を中心とした西ヨーロッパです。なぜ西ヨーロッパで資本主義経済が発達したのでしょうか。 15世紀〜18世紀初め資本主義以前の経済は農業を基本とする自給自足、つまり商人と地主を中心とする経済でした。この社会の中で資本を蓄積する人が現れました。西ヨーロッパ諸国ではこの人々が市民革命を起こし、当時の絶対王政を崩しました。これにより、自由な経済活動と財産権が保障されるようになりました。つまり、市民革命が無ければ、資本主義は成立しなかったといえます。 18世紀〜19世紀前半 18世紀から19世紀にかけて近代市民革命が相次ぎました。その中でもイギリスの産業革命は工業の機械化を進め、産業資本主義経済への転換のきっかけとなりました。これはアダム・スミス(Adam Smith)が著書『諸国民の富』(『国富論』)で説いた「自由主義に基づく生産の重要性」を原理とした個人の利潤追求に国家が一切介入しない自由放任主義でした。 19世紀後半〜20世紀 19世紀後半にはイギリスを追い抜こうとしたアメリカ合衆国やドイツ連邦共和国で大企業による生産の集中が続きました。これを独占資本主義経済といいます。競合他社の息の根を止めるために、赤字になってまで商品を安価で売り続ける大企業による市場の独占が続きました。こうして資本主義の発展してきたヨーロッパ諸国がアフリカ・アジア・ラテンアメリカで植民地獲得競争を繰り広げました。その結果が1914年に勃発した第一次世界大戦です。 1929年のアメリカニューヨークウォール街の株価大暴落に端を発した1930年代の世界大恐慌では、社会主義経済体制のソビエト社会主義共和国連邦を除き、世界中で企業の倒産や失業者が多く発生しました。世界大恐慌について、イギリスの経済学者ジョン・メイナード・ケインズ(John Maynard Keynes)は著書『雇用・利子および貨幣の一般理論』(1936年刊)で「有効需要が不十分である」と指摘し、国家による適切な有効需要操作、すなわち公共事業により失業を解消でき、企業による自由な経済活動を侵害することも無いとする修正資本主義経済を主張しました。有効需要というのは、購買力を伴った需要のことです。世界大恐慌から抜け出すため、1933年にアメリカではニューディール（新規蒔き直し）政策が実施されました。ニューディール政策では社会改革立法が行われ、社会保障法(Social Security Act)、農業調整法(Agricultural Adjustment Act)、全国産業復興法(National Industrial Recovery Act)、全国労働関係法(National Labor Relations Act)が制定されました。また、失業者対策としてテネシー川流域開発公社(Tennessee Valley Authority)を設立しました。一方、日本では世界大恐慌を含む経済政策の失敗から軍部が台頭し、日中戦争（抗日戰争）や第二次世界大戦へとつながっていきました。第二次世界大戦後は、現代資本主義経済が続いています。これは、私的な利潤追求をする民間部門と公共事業や社会保障制度を整備し社会全体の利益となるよう活動する公共部門が併存する混合経済です。しかし、大量生産・大量消費・大量廃棄などの問題は解決されていません。資本主義的矛盾世界大恐慌からもわかるように、資本主義経済にはいくつかの問題があります。これらは資本主義的矛盾といわれています。 - 過剰生産：需要（市場の消費量）予測を誤るとものが余ることになります。 - 失業 - 貧困市場の失敗 - 公共財：国の防衛，警察・消防等は，国民に必要なサービスでありながら市場に存在していないものです。 - 独占または寡占 - 平均費用逓減 - 外部経済 - 外部不経済（外部負経済）例：公害 - 情報の非対称性
null	null	経済学現代経済の変容経済の変容経済とは何かそもそも「経済」とは？経済は、欲求を満たすための人間と人間の結びつきのこと。一人じゃできないことも、みんなとならできるという考え方のこと。人間と経済私たち人間は、自然と社会の２つの環境の下で生きています。人間は自然環境から生きるために必要なものを得たり、自然環境に手を加えて必要なものを作らせたりしています。一方でこのような活動をすることにより人間どうしの結びつき（社会関係）が生まれ、維持されてきています。自然環境と社会環境は似通った部分もありますが、全く異なる部分もあります。経済は、社会環境の一部で、人間が社会環境の下で生きて行くために必要な活動（経済活動）とその活動の結びつきのことです。人間はあらゆる財を無限に欲しがります。これを経済的欲望といいます。しかし、現代社会では経済的欲望をすべて一人で、つまり、社会関係を断ち切って満たすことはできません。より多くの経済的欲望を満たそうとしたら、より多くの人と社会関係を築く高度な仕組みが必要になります。それに、いくら社会関係を築いても自然には限界があります（経済資源の希少性）。いかにして限りある資源を効率よく多くの人に分配すれば良いのでしょうか。これまで、多くの人間たちがこれらの経済問題を解決しようと奮闘してきました。そして、奮闘することによって色々な経済の仕組み（経済体制）が築かれてきたのです。財物経済学では、人に満足ないし不満足をもたらす（なんらかの経済的効用をもつ）ものを財または財物といいます。財物は次のように分類できます。 - プラスの財 - 自由財・・・空気、日光など。 - 経済財 - 有形財・・・衣食住の生活を支える物資のことです。 - 無形財・・・用益（サービス）のこと。医療、教育、輸送、販売などの活動。 - マイナスの財・・・廃棄物（ごみ）など。財物の数量には限りがあります。これを、財物の希少性といいます。これが原因で様々な経済問題が発生しています。経済循環現代の経済は、家計・企業・政府の３つの経済主体から成り立っています。３つの経済主体の間の財物の流れは、次のように整理することができます。 - 拡大再生産・・・黒字の状態です。企業が利潤の一部を資本の提供者にまわした上で、残りを新しい設備投資に使うことをいいます。一般的には、経済成長につながります。 - 単純再生産・・・収入と支出が拮抗している状態です。企業が利潤をすべて原材料費などにまわし、設備投資に使う分が無いことをいいます。 - 縮小再生産・・・赤字の状態です。企業の利潤が資本を下回ることをいいます。このような経済循環を支える経済の仕組みのことを経済体制といいます。
null	null	経済学社会保障制度労働過労死は誰のせい？日本では、深夜まで残業し周囲に愚痴を漏らさないというのが美徳だと言われてきました。働き過ぎて身体に疲労がたまり病気になったり、あるいは働くことを苦にして自殺したりする人がいます。その責任は、原因が働く環境にあるのですから働く環境を管理する雇用主にあります。しかし、厚生労働省の労災認定基準には不備も多く議論されています。参照労働基本権日本国憲法第２７条では、「国民は、勤労の権利を有し、義務を負ふ」と勤労の権利を定めています。また、第２８条では、「勤労者の団結する権利」と「団体交渉」する権利、「団体行動をする権利」が保障されています。勤労の権利と労働三権を合わせて労働基本権といいます。労働基本権を守るためにいくつかの法律が定められ、労働の近代化に欠かせない存在となっています。また、労働者を保護するための法律として労働基準法、家内労働法、労働者派遣事業法、最低賃金法などがあります。労働基準法勤労権と必要最低限度の勤労条件について定めているのが労働基準法(1947年)です。労働基準法の主な内容は次の通りです。労働協約や就業規則などは労働基準法に反してはいけません。 - 週１日以上、または４週間に４日以上の休日を与えなければなりません。 - 毎月１回以上賃金を支払わなければなりません。 - 男女同一賃金の原則を定めています。 - 休憩時間は自由に過ごさせなければなりません。 - 生理日に働けないときは休業できます。 - 出産前後に休暇をとれます。 - 国籍や社会的身分を理由として、労働条件を変えることは禁止しています。 - 身体の自由を奪って強制労働させることを禁じています。 - 児童の雇用を禁止しています。小・中学生を雇えません。 - 労働者が公民権（選挙権）を行使するのを雇用主が妨げてはならないとしています。就業時間中であっても選挙に行けるようにしなければなりません。 - 労働基準局の設置を求めています。これに基づき労働基準監督署が設置されています。労働組合法団結権・団体交渉権について定めているのが労働組合法です。労働組合法第２条では、労働組合を「労働者が主体となつて自主的に労働条件の維持改善その他経済的地位の向上を図ることを主たる目的として組織する団体」と定めています。労働関係調整法団体行動権（争議権あるいはストライキ権）について定めているのが労働関係調整法です。
null	null	経済学社会保障制度成立と発展思いついたのは誰？初めて実行したのはドイツのビスマルクです。1883年に始まった制度で、働く人が怪我や病気をしたときに治療費を国が払う仕組みでした。社会保障制度の成立鉄血宰相と評されたドイツ帝国の初代宰相オットー・エドヴァルド・レオポルト・フォン・ビスマルク(Otto Eduard Leopold Fürst von Bismarck)は、1883年に疾病保険法『アメとムチの政策』で、労働災害・疫病などについての社会保障制度を提唱しました。その後、アメリカ合衆国では1935年に大統領のフランクリン・デラノ・ルーズベルト(Franklin Delano Roosevelt)が世界恐慌解消のために社会保障法(Social Security Act)を制定しました。1936年に老齢年金・失業保険などの社会保障制度が開始されました。また、1942年にグレートブリテンおよび北部アイルランド連合王国の経済学者ウィリアム・ヘンリー・ベバリッジ(William Henry Beveridge)が『社会保険及び関連事業に関する報告書』(Social Insurance and Allied Services, 1942.)（『ベバリッジ報告』(Beveridge Report)）を発表し、社会保険を中心とする3つの柱の組み合わせによって社会保障制度を確立すべきだとしました。なお、『ベバリッジ報告』は、完全雇用の実現が必要だとするケインズの主張を継ぎました。 - 社会保険：保険料を強制的に徴収 - 国民扶助：保険料の徴収はなし - 任意保険：加入は自由日本での成立日本では、1874年に極貧者や疫病者を救済する恤救規則（じっきゅうきそく）という慈善的な事業が始まりました。社会保障制度の発展第二次世界大戦後、労働党は『ベバリッジ報告』に基づき「ゆりかごから墓場まで(cradle-to-grave security)」という標語を掲げ、社会保障制度を整備しました。
null	null	経済学社会保障制度日本の社会保障制度とその内容・課題日本の社会保障制度の位置社会保障制度のあり方は、大きく次の２つに分けられます。 - 「イギリス・北欧型」（単一保障） - 「ヨーロッパ大陸型」（所得比例保障）日本は、２つの中間を執っています。日本国憲法第２５条では、「健康で文化的な最低限度の生活を営む権利」（生存権）が保障され、責務を国が負う事が明記されています。日本の社会保障制度の内容 - 社会保険 - 医療保険・・・1961年から国民皆保険制となりました。 - 雇用（失業）保険 - 労働災害保険 - 年金保険・・・1961年から国民皆年金制を開始、1985年に公的年金の一元化（基礎年金の導入）がなされました。 - 介護保険・・・2000年4月に開始しました。 - 公的扶助・・・生活保護法を中心に保障していますが、この内容を巡って朝日訴訟などの訴訟もありました。 - 社会福祉・・・児童福祉法・身体障害者福祉法・老人福祉法などを中心に保障しています。 - 公衆衛生・・・結核（保健所の設置）・エイズ予防・清掃・下水道整備などをしています。日本の社会保障制度の課題日本政府は、1973年に「福祉元年」声明を発表しました。現在、政府は日本が少子高齢社会であることから自助努力を強調し、次のような福祉理念の見直しを求めています。 - 「ノーマライゼーション」・・・障害者・高齢者と健常者の共生社会 - 「バリアフリー社会」これらの実行にはボランティア活動の推進が欠かせません。
null	null	経済統計経済統計（けいざいとうけい、Economic Stastics）とは、経済学をマクロ面で分析し、分析した内容を数理統計学やSNA，産業連関分析などの方法で、実際の経済のあり方を明らかにするものである。経済産業省のホームページなどには、こうした経済統計を利用した統計が載っており、経済政策の決定にも役立てられている。この経済統計のフリー教科書では、経済統計の基本的内容を確認することを目標としたい。教科書の目次第Ⅰ部 - 第1章経済統計と経済分析 - 第2章 SNA - 第3章物価指数とデフレーター - 第4章産業連関表 - 第5章 GDP統計 - 第6章季節調整および季節調整済み指数（四半期・月次統計）第Ⅱ部 - 第1章工業統計 - 第2章家計調査 - 第3章労働力統計 - 第4章毎月勤労統計 - 第5章国際収支 - 第6章財政・金融統計 - 第7章生産動態統計 - 第8章景気動向指数参考文献 - 作間逸男[編]『経済統計学』SNAが分かる有斐閣アルマ
null	null	はじめにきわめて多くの物体が関わる現象では既存の力学などは表わすことが出来ない現象が見えて来ることがある。統計力学ではこのような多くの物体が関わる現象を扱う。ただし、流体のように動きのある物体は扱わず、主に定常状態、ある状態が実現されてから十分に時間が経ったとしても依然として系がその状態にとどまっている、という状態で物体系がどのような状態になろうとするかを扱う。例えば、ある速度で動きまわっている気体g1と、別の速度で動いている気体 g2を取りだして、それらを互いに混ぜ合わせたとする。これらは混ぜ合わせてから十分に時間が経ったとき、(外界との相互作用を無視すれば)ある一定のg1とg2が最初に持っていた速度の中間あたりの何らかの速度を持っている状態になると考えられる。この最後の状態を定常状態と呼び、その状態にいたるまでに通過する状態のことを非定常状態と呼ぶ。本項では、特にこのような定常状態で実現される状態について扱う。
null	null	カノニカル集合ミクロカノニカル集合の章で、 2準位系について計算を行ない、エネルギーとして、を得た。ここでこの式は、ある1つの粒子についてエネルギーが低い方の状態が持つエネルギーを、エネルギーが高い方の状態が持つエネルギーをとすると、と解釈できる。この式をただ1つの粒子についてのエネルギーの式と解釈するなら、と読むことも出来る。これはつまり、ある1つの粒子を取ったときその粒子は自分が取り得るそれぞれの状態を取るのだが、その状態の起こり得る確率はその状態が持つエネルギーが Eであったなら、温度Tでは、に比例するということを述べている。このことは、もちろんただ1つの粒子については熱平衡状態ということが起こり得ない。もともと熱平衡状態ということは多くの物体が集まったときそれらの相互作用を通じて達成されるものであったのでこれは不可能である。しかし、各々の粒子が持つ各々の状態が何か非常に多くの状態を持つ個別の物体系と他の粒子と関係すること無く相互作用をしているのなら、その状態は丁度上で多くの粒子との相互作用を通じて熱平衡状態に到ったときに実現される確率と同じ確率でその状態にいるように見えることが期待される。よって、上の熱平衡の結果を通じて得た式をただ1つの粒子の状態についての起こり得る確率についての式として扱うという解釈は、正しいことが期待される。ここで述べた、最初に考えていた粒子系のもつ状態の全体とそれぞれの状態を熱平衡に追いやるための非常に多くの状態群を合わせたものをカノニカル集合と呼ぶ。また、カノニカル集合の中で、最初からあった粒子系の持つ状態の全体に含まれない状態群を熱浴と呼ぶ。カノニカル集合の計算法を用いると、上の2準位系のエネルギーは非常に簡単に求めることが出来る。つまり物体系の全ての状態を考えて、それぞれの状態にその状態が持つエネルギーがEであったなら、だけの重みをつけて状態をたし合わせればよい。このことを模式的に、と書くことがある。このときtrは、全ての状態についてかっこ内のオペレータの期待値を取って足し合わせることを意味している。分母は規格化のためにつけた。例えば、分子のオペレーターが1であるとき、左辺は1の期待値なので 1とならなければならない。よって分母の値が規格化として定まる。特に分母の値は分配関数と呼ばれ通常Zで書かれる。この量は物体系の熱力学的性質の情報の全てを保持しており、重要な物理量であり、後の章で詳しく扱われる。上の例では、となり分母を除けばミクロカノニカル集合の場合の計算結果と一致する。ただし、計算の途中でとおいた。また、計算の中では温度でZの微分を行なうなどややテクニカルなことをやっているが後にこれらの計算法を体系的に扱う。 (いつになるかは分からないが...。) きちんとカノニカル集合の計算とミクロカノニカル集合の計算を一致させること。 (パッチが欲しい...。)) ミクロカノニカル集合の計算と比べてカノニカル集合の計算はより簡単であるので通常はこちらが用いられる。
null	null	ミクロカノニカル集合ミクロカノニカル集合の定義ある物体系を取りだして、その物体全体としてある一定のエネルギー Eを取る状態だけを取りだしたとき、その状態の集まりをその物体系のミクロカノニカル集合という。例えば、N個の理想気体が集まったとき、そのうちの1つだけがとなるようなvを満たし、他の物体が静止しているとき、この物体系はエネルギーEのミクロカノニカル集合に含まれる。ミクロカノニカル集合は結局のところ物体系の内でエネルギーの合計値が一定になる部分だけを取りだした部分である。エントロピーの統計力学的な定義熱力学ではエントロピーをある系に対してdQだけの熱が流れ込んだとき、その系はだけのエントロピーを受け取ったものと定義した。このとき、エントロピーは系の乱雑さの指標となる。つまり、物体系を放置して外界との接触を断ったとき、系の中の状態の変化は、系内の乱雑さをより増やす方向に進むのである。例えば、コーヒーとミルクを混ぜたとき、2種の飲み物が混ざるのは、お互いがより多くの場所を占めようとして動きまわった結果と取ることが出来る。実際にはどちらの液体も何らかの分子からなっており、それらは熱を持っている以上常に微小な運動を行なっており、最初にかたまっていたものは(ここではコーヒーに注ぎこまれたミルク)は速やかにコーヒー全体にいきわたってしまい、再び同じ位置に戻って来ることは出来なくなるのである。 (粒子の分子が行なう微細な運動を歴史的な事情からブラウン運動と呼ぶ。) このことは、熱力学の第2法則の説明と見ることが出来る。つまり、ある物体系がある他の物体系と相互作用するとき、それらを合わせた全系では、それらが取りうる状態が最も多くなるように運動が行なわれるである。先ほどのコーヒーとミルクの例では、ミルクの分子にしてみれば、コーヒーの分子とミルクの分子の相互作用は、それらの距離が互いに分子半径程度になるまでは無視できるほど弱いので、(このことは、コーヒーとミルクの分子が互いに電気的に中正であることによる。(多分です。化学科の人がいたらコメントをお願いします。) )それらの運動は互いに無視することができ、結局ミルクの運動は真空(?)に保たれた箱の中に理想気体が放たれたときと同じ情况であると考えることが出来る。このとき理想気体は速やかに箱全体に広がるが、このことは理想気体全体が取りうる状態の数を増やしている。つまり、理想気体内のここの粒子に取って自分が占めうる場所が放たれる前と比べて増えているわけであり、これは自分が取りうる状態が増えたものと解釈できる。つまり、運動は結局物体が取りうる状態数が増える方向に進むのであり、これはエントロピーの定義と一致している。つまり、エントロピー状態数のように考えることが出来る。しかし、これらの状態数の数は非常に多くのものになりうる。このことは、ある1molの理想気体を取りだしたとき、その中には個もの粒子が含まれていることから明白である。これらの状態数を簡便に扱うために、エントロピーSは状態数wを用いて、と定義することが一般的である。ここで、はボルツマン定数といい、次元は [J/K]である。としたとき、次元が整合的になっていることに注意。等重率の仮定ある物体系を取ったとき、それらの内でエネルギーが等しいものは全て等しい確率で実現されるという仮定を等重率の仮定と呼ぶ。これらはつまり、あるミクロカノニカル集合を取ったとき、それらの全ての状態が等しい確率で実現されるということを要求している。これらは非常に数多くの物体系が互いに頻繁にお互いのエネルギーを交換しているとき、うまく実現されうると考えられる。ただし、ある1つの物体を除いて全ての物体が静止しているという極端な情况もおこり得ることを予測してしまうように思える。実際そのとおりなのだがこれらは等重率の仮定をおいてもやはり非常に起こりづらくなっている。例えば、ある100個の物体がそれぞれ100個のエネルギーが異なる状態を占め得るとし、それぞれの物体が取り得る状態のもつエネルギーは互いに同じであるものとし、エネルギーごとの間隔も同じであるものとする。このとき、エネルギーを100単位これらの間で分けるとき、ある1つが全てのエネルギーを受け取る場合の数は 100個の物体についてそれらが起こり得るので100通りであるが、 100個の物体が1個ずつ分けあう場合の数は、最初の1単位を受け取る仕方が100通り、次が99通り、次が98通りというように数えて行くと、100!だけあることが分かる。つまり、等重率の仮定をおくと1つの粒子が全てのエネルギーを 1つの粒子が持って行くような極端な場合が排除されるので合理的な仮定と呼ぶことが出来る。また、エネルギーだけによって物体系の取り得る状態が決まるという非常にわかりやすい描像が得られる。ミクロカノニカル集合による温度の計算計算の準備熱力学的な関係から、温度はによって定められる。ミクロカノニカル集合を用いて計算を行なう場合、ある物体系を取ってその物体系の状態からあるエネルギーEに対応するミクロカノニカル集合を取りだしたとき、その状態数を数えることで物体のエントロピーが得られる。つまり、あるEに対するエントロピーTが決まるので、それを用いて温度を計算することが出来、ある物理系の状態を定めたときのエネルギーの値を計算することが出来るのである。これらの計算ではしばしばスターリングの公式が用いられる。この式は、で与えられる。この式はガンマ関数に複素関数の最急降下法を適用することで得ることができるが、数値的には簡単に確認することが出来る。確認するためのコードの例はこのようになる。この例はpythonを用いた。 #stirling fomula number _of _ns =5 from math import log class stirling: def _ _init _ _(self): pass #will give n ln n - n. def n _ln _n _minus _n(self,n): return n log(n) - n #will give ln n!. def ln _factorial(self,n): factorial=1 for i in range (1,n+1): factorial= i return log(factorial) #Then try to print out the result. def output(self): for i in range(number _of _ns): n = 10**i print "%s for n" % n print "%s for nln-n" % self.n _ln _n _minus _n(n) print "%s for ln n!" % self.ln _factorial(n) #If not used by unittest module or PyUnit, please #try to use that. if _ _name _ _ == " _ _main _ _": stirling = stirling() stirling.output() (他の言語で書いた例もあるとおもしろいかも。) 結果としては、 10 for n 13.0258509299 for nln-n 15.1044125731 for ln n! 100 for n 360.517018599 for nln-n 363.739375556 for ln n! 1000 for n 5907.75527898 for nln-n 5912.12817849 for ln n! 10000 for n 82103.4037198 for nln-n 82108.9278368 for ln n! 特にnが大きくなるにつれてお互いの値が近づいて行く様子に注目して欲しい。特にnが程度ならこの近似はきわめて良いと考えられる。 2準位系を用いた例特に、ある粒子が2つの状態しか持たない例を考える。これは古典的には粒子の状態はx,pのそれぞれについて連続的になっているので起こり得ない状態だが、量子系では、粒子の状態は離散的になっているのでいろいろな情况で実現される。例えば、水素原子のまわりに束縛された粒子は 1つの量子数で代表されるエネルギー準位を持っているが、温度が十分低いときには、そのエネルギー準位のうちで一番低い準位と2番目に低い準位だけに電子が入る可能性があり、他の準位は無視できることがある。(それらはエネルギーが高すぎて到底外界からの熱エネルギーでは励起されることが出来ない。) - (TODO 選択則はどうなる?) この場合にはほとんど2準位だけが重要となっているのである。このとき、エネルギーが低い方の状態のエネルギーを0,エネルギーが高い方の状態のエネルギーをとおく。 N個の粒子がこのような状態のどちらかだけを取り、これらが互いにおおよそ独立であり、しかし、熱平衡にいたる程度には相互作用しあうという情况があったなら、これらの系のエントロピーはエネルギーに対して、(M個の粒子だけが高いエネルギー状態にいることに対応。) で与えられる。これらをスターリングの公式を用いて変形すると、が得られる。よって、が得られるが、この式から、が得られる。これをEについて解くと、よって、が得られる。これによって、ある温度Tが与えられたときのエネルギーが求められた。この式ではTがきわめて大きいとき、が得られる。この式は、温度が高いときには全ての粒子がエネルギーが高い状態にたたき上げられているように見えるという物理的意味を持っている。 (?) ( - FIXME ここは間違い。後にカノニカル集合を用いて計算すると全ての状態のうちで半分だけが叩き上げられるように見えることが分かる。 Tが大きくなる近似はとする近似なので、この結果は当然である。 ) また、Tが0に近いときには、(Tは[K]で測っているので 0より小さくはなれないことに注意。) が得られるが、これは全ての状態がエネルギーの低い方の状態 (ここではエネルギー0としている。)に存在していることを示している。このことは、低温では外部から流れ込むエネルギーが準位間の遷移を可能にするほど大きくないという解釈が出来る。 ( - こちらはok ) ラグランジュの未定乗数法 (未記述)
null	null	統計学基礎/仮説検定世の中には、無数の異なったデータの種類に対して、無数の異なった検定方法があります。検定をするにあたっては、自分がどんな種類のデータを持っているかを理解することです。変数は量的でしょうか、それとも質的でしょうか？どんな検定がどんなタイプのデータに向いているかは、データのサイズであったり、分布や尺度の種類に左右されます。加えて、データの標本がどのように異なりうるかを理解することは重要です。量的データのを特徴づける3つの主な要素は、中心、広がり、形状です。ほとんどの人が「検定」を行うとき、「中心を表す代表値」をテストしがちです。なぜでしょう？今、あなたは2つのデータセットを持っていて、それらが異なるものか否かを知りたいと思っているとしましょう。これをテストする1つの方法は、それらの中心（例えば、それらの平均値）が異なるか否かを調べることでしょう。 2つの左右対称なベル型のカーブと、それらの中央にまっすぐに引かれた直線（このページに表示してあります）をイメージしてください。もし一方の標本が他方と大幅に異なっていれば（値が非常に大きく出ている、等）、平均値は典型的な異なりを見せるでしょう。だから、2つの標本が異なっているかを見るための検定では、普通は2つの平均値を比較します。 2つの中央値（メディアン、これも中心を表す代表値）を比較することもできます。また時には、2つの標本が同じ広がり（分散）を持っているかを知るために検定を行いたいということもあるかもしれません。中心を表す代表値、広がりを表す代表値、etc. の統計値は別々の分布に従うため、異なる検定手法がなされ、活用されなければなりません。最後に。大半の人は仮説検定の結果をある特定の数値―p値によって要約します。もしp値が有意水準（普通はですが、科学の他の分野、例えば医学ではもっと低い水準であることもあります）を下回っていたら、帰無仮説は棄却されます。しかし、これは対立仮説を受容するということを意味してはいません。p値は本質的には、極めて観測されにくいような検定統計量の値が得られる確率です。もしp値が有意水準よりも大きかったら、帰無仮説の棄却に失敗したということですが、これは帰無仮説が正しいことを意味しているのではありません。
null	null	統計学基礎/単回帰分析単回帰分析のアルゴリズム定義 - 目的 - データ解析に関するサイトや書籍で学んだ統計解析の概念を確認するための定義式を作成した。これは、「分かる・できる！」シリーズのセミナーや教科書などで難解な数式を避けた解説がされた場合、その詳細な部分を補うためにも役立つ。 - 対象読者 - データ解析手法の概念を理解したい人や、サイト訪問者全般が対象となる。 - アルゴリズム定義式 - モデル - 因果関係モデルは、現在最も分かりやすく、一般的なモデルである。 - このモデルの作成には、従属変数（被説明変数）と独立変数（説明変数）が必要である。 - 結果として得られるモデル式は、従属変数を Y、独立変数を X とすると、 - Y = a * X + b - と表される。この式は、独立変数が原因で従属変数が結果となる因果関係モデルが構築されることを意味する。ここで、X と Y はそれぞれ入力データの実績値のベクトルを表し、a と b は回帰係数であり、Y の理論値と実績値の乖離（＝残差）が最小となるように計算される。 - 回帰係数（＝回帰パラメータ） - 回帰係数の計算アルゴリズムは、以下の通りである。 - a = Σ((Xi - Xの平均) * (Yi - Yの平均)) / Σ((Xi - Xの平均)の二乗) - b = Yの平均 - a * Xの平均 - モデル評価指標 - モデルそのものを評価する指標は、以下の通りである。 - 決定係数：(Σ(Yの予測値i - Yの平均)の二乗) / (Σ(Yi - Yの平均)の二乗) - 重相関係数：決定係数の平方根
null	null	統計学基礎/序文序統計学は、実験によって得られるデータを処理し、実験結果と考えられる要因との相関を明らかにしたり、理論分野や次の実験計画への橋渡しをするための学問です。古典的な物理学のように僅かなパラメータによって結果が得られる場合よりも、経済学や生物学のように非常に多くの要因に左右され、厳密な数式で表現することが不可能であり、一意的な結果を予測できない現象を扱う分野で特に強力な道具になります。統計学は数学の一分野である確率論と混同されることがありますが、現代の確率論は公理系を土台とした純粋数学の一分野として構築され、「確率」という言葉の実際的な意味は特に考える必要はありません。一般の方々が思い描く「確率」のイメージは、統計学のことを指すことが多いです。例えば、ある賭事の結果の確率を知りたい場合、現代の確率論のテキストを読もうとすると、数学の素養がない人にとっては非常に難解なものになり、危険を伴うことがあります。確率論と統計学は相補的な部分も少なくありませんが、統計学の問題意識は実際の問題解決方法の近くにあり、実際的な手法を提供します。確率論は偶然の積み重ねが引き起こす結果を理論的に説明します。乱暴な言い方かもしれませんが、確率論は原因からの出発であるのに対し、統計学は結果からの出発とも言えます。そのため、統計学ではよく現れる典型的な実験結果である確率分布の形を、初期の頃にいくつか示すことがあります。真面目な学生は、その意味のわからない確率分布の羅列に戸惑い、統計学嫌いになることもあります。しかしながら、それらの重要性を述べることが統計学の教科書の役割の一つでもあるため、理解を急がず、そういう関数や積分がよく使われるんだな程度に留め、勉強を進めていただきたいと思います。統計学は、集められたデータから有用な情報を抽出し、それに基づいて未知の事象を予測するための手法を提供します。統計学は、科学的な研究においても社会的な問題においても、有用な分析手法として広く利用されています。統計学はまた、確率論を基礎としているため、理論的な側面も持っています。統計学は、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。
null	null	標本空間と事象ある実験を行ったときに、起こり得る全ての結果の集合を標本空間、または全事象という。標本空間の要素（元）を標本点、標本空間の部分集合を事象という。 - 事象に含まれる標本点の数は有限個かも知れないし、無限個かもしれない。例コイン投げコイン投げを1回行った時に、起こり得る結果は{表}がでるか{裏}がでるかのいずれかである。この場合、標本点は{表}と{裏}であり、標本空間は{表、裏}となる。事象の定義は、標本空間の部分集合なので、∅、{表}、{裏}、{表、裏}の4つになる。特に空集合∅も事象（空事象という）である。コイン投げを2回行うとどうなるだろうか？標本点は1回目に何が出たか？2回目に何が出たか？という情報を持たされる。1回目と2回目で表と裏どちらが出たかを表すために（1回目、2回目）の形で書くと、標本空間は{（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）}となる。事象は、 - ∅ 、 {（表、表）}、 {（表、裏）}、 {（裏、表）}、 {（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）}、 {（表、表）、（裏、表）}、 {（表、表）、（裏、裏）}、 {（表、裏）、（裏、表）}、 {（表、裏）、（裏、裏）}、 {（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、表）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）} の、合計16個ということになる。 - 一般にn個の要素がある集合の部分集合は2n個あるので、標本点が4個であれば24=16個というように計算できる。事象の種類コイン投げの例で並べた事象を眺めてみると、標本点の数が0個（空事象）～4個（全事象）まで様々だが、特に標本点が1個の事象を根元事象、標本点が2個以上の事象を複合事象という。毎回このように、事象を書くたびに{…}のように標本点を並べたりするのは大変なので、事象A={…}のように記号を用いて事象を表し、 Aという記号を用いて説明することも多い。標本空間（全事象）は、 Ω と書く。事象の扱い方事象の演算事象は標本空間の部分集合であると定義したので、集合同士の演算というものが可能である。ここでは、事象Aと事象Bを考える。 - 和集合 A ∪ B を和事象という。 - 積集合 A ∩ B を積事象という。 - 差集合 A - B を差事象という。 - 余集合 Ac を余事象という。 - 補集合をとるための全集合は、標本空間（全事象）とする。このように「事象」という言葉を定義はしたものの、それは、「集合」と何ら変わりはない。排反事象積事象 A ∩ B が空集合となるとき、 AとBは排反事象であるという。重なりが無いとはどういうことかと考えると、事象は標本点の集合なので、共通の標本点を含まない事象同士の事であり、このような事象同士の関係を背反であると言う。集合について（復習） - これは、集合について知らない人、或いは、忘れかけてる人のために補足するための項目です。 - まだ予定です。
null	null	統計学基礎/確率確率の導入確率とは確率という言葉は, 今日ではいろいろな場面で使われる. 降水確率や, 合格確率, 事故の起きる確率, 宝くじの当選確率などその使われ方は多岐に渡る. 大抵の場合確率何％（パーセント）というように, パーセント表示されるが, ％とは本来per centつまり100あたりいくらか？という値を示す記号である. 例えば, 降水確率で考えてみると, 降水確率40％とは, 同じような天気図になった日が100日あったとしたら, その内40日は雨が降るということになる. 100日あたり40日ということは, 1日あたり 40/100=0. 4 の割合で起きていることになる. 必ず雨が降ると言われている100％であれば, 100÷100=1の割合で起きるということで, 必ず降らないと言われる0％であれば, 0÷100=0 の割合で起きるという予測になる. つまり確率というのは0から1までの値を取る. 確率というのはこのように「ある物事が起こる割合」として考えられる. 割合と確率標本空間で定義したとおり, 標本空間や事象というのは「起こりうる結果（標本点）の集合」だった. ある事象Aが起こる確率 P(A) とは, 実験を沢山繰り返した時に, Aが起こる割合の事である. 例えば, コイン投げであれば, 表が出る確率は1/2である. 1回コインを投げて表が出たとすると, 全1回の試行中, 1回表が出たので, 表が出た割合は1÷1=1になる. もう1回投げて, また表が出たとすると, 表が出ている割合は2÷2=1である. 全然, 1/2と違うのではないか？と思われるかも知れない. しかし重要なのは「沢山」繰り返した時にということである. コイン投げを10回,100回と繰り返すと、限りなく1/2に近づくのである。確率の公理記号の定義 - Ωを標本空間, Aを事象とする. - P(x) は, 事象 x を独立変数とし, 実数値を取る関数とする. - A1, A2, …は事象の列とする. 確率の公理次の3つの式の事を確率の公理という. - P1 : 任意の事象Aに対し 0 ≤ P(A) ≤ 1 - P2 : P(Ω)=1 - P3 : A1, A2, … が互いに背反事象であるとき ( σ-加法性) これらの性質を持つ P(x) の事を確率（確率測度）という. 最初についてる P1 , P2 , P3 は, これから説明するための便宜上の番号である. P1 の式は, 確率は 0 から 1 までの値を取るという意味である. 説明したとおり確率というのは, 実験回数に対してその事象が起きている「割合」である. 世の中には「合格確率 120 ％」のような変な言葉もあるが, 同じような実力の人が 100 人集まって入学試験などを受験して 120 人合格するなどという変なことはない. 100 人しか受験していないのなら, 合格する人数の最大値も 100 人ですし, 割合の最大値も 1 である. P2 の式を見てください. 標本空間 Ω は起こり得る全ての結果の集合なので, 実験を何度繰り返しても, Ω に含まれる標本点のうちのどれか 1 つが「必ず」起きている. したがって, 標本空間という事象が起きる確率は 1 となる. P3 の式が一番分かりにくいかもしれない. 「 σ -加法性（しぐまかほうせい）」という難しい名前もついている. - 総和記号が分かりにくいと思う人は - P(A1 ∪ A2 ∪ … )=P(A1)+P(A2)+… - という式だと思うとよい. 背反事象とは何だったか思い出すと, Aj ∩ Ak = φ の時, 即ち, Ajと Akに重なりが無いとき, この Ajと Akは背反事象になる. 互いに背反とはどういう意味なのかといえば, j ≠ k の時 Ajと Akが背反事象, 即ち, どの 2 つの事象を取ったとしても, 互いに重ならないという意味である. 左辺にあるはAkに重なりが無いので, それぞれのAkに含まれる標本点は, この和集合を取るという操作で重なり無く足され, という一つの集合になる. 右辺は, 各Akに与えられた確率P(Ak)をそのまま足しなさいという意味である. 重なりが無いからこそ足せるのである. 重なりがあると簡単には足せない. - 背反事象で無い場合の確率の和の取り方は, また後ほど説明する. 確率の応用たった3つの確率の公理からいろいろな事が分かる. 空事象の確率まず A1 = Ω ととり, k ≥ 2 のときは Ak = φ とする. この時, P3 の式は - P(Ω)=P(Ω)+P(φ)+P(φ) … だから, P1 , P2 の条件より, P(φ )=0 とわかる. - P3 の条件について少し補足する. 任意の事象xに対して x ∩ φ = φ である. つまり, 空事象と他の事象の共通部分（積事象）は, 空事象である. 空事象同士の共通部分も空事象である. これは, 空事象と任意の事象xは背反事象であることを示している. したがって, P3 の条件を満たし, P3 の式が使えるということになる. 有限加法性まずは, P(φ )=0 という式が得られた. これから, P3 の式についてもう少し条件を厳しくして k > n のときは Ak = φ とすると, P3 は次のように書き換えられる. - P4 : A1, A2, … , An が互いに背反事象であるとき（有限加法性） k > n のときは, P(Ak )= P(φ) =0 であることを使った. なんだか回りくどいことをしてると思われるかもしれないが, 数学では最初に決めておく約束事は少ない方がよく, その少ない約束事からいかに多くの事実を導き出せるか？ということが数学の面白さでもある. 差事象と補事象差事象 A - B について (A - B) ∪ (A ∩ B) = A かつ (A - B) ∩ (A ∩ B) = φ なので - P(A)=P(A - B)+P(A ∩ B) - P(A - B)=P(A)-P(A ∩ B) となる. ここで, A ⊇ B であれば A ∩ B=B なので - P(A)=P(A - B)+P(B) ≥ P(B) となる. また, A = Ω であれば, 差事象 Ω - B は, 事象Bの補事象 Bc の事なので - P(Bc)=P(Ω)-P(B) = 1-P(B) となる. ここまで来て, 勘の良い方は気付くかも知れないが - P(Bc)= 1-P(B) ≥ 0 より - P(B) ≤ 1 である. この不等式を導くまで, P1 の不等式 0 ≤ P(A) ≤ 1 は, 左側の不等号しか使ってないことに注目すると, P1 の右側の不等号は余分ということで, P1 は次のようにも書き換えられる. - P1′: 任意の事象Aに対し P(A) ≥ 0 和事象 A ∪ B = (A - B) ∪ B かつ (A - B) ∩ B = φ ですから和事象 A ∪ B について - P(A ∪ B) = P(A - B)+P(B) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B) となる. この式は加法定理とも呼ばれる. - 特にAとBが背反事象であるときにP(A∩B)=P(φ)=0 なので, これは有限加法性 P4 の式になる. 条件付き確率定義 P(A)>0 のときを条件付き確率という. P(B\|A)は, 全事象をΩ からAに取り替えたときの事象Bの起きる確率と考えることができる. 即ち, P(B\|A)は事象Aが必ず起きるという条件の元での事象Bの起きる確率である. このとき, Aは全事象と考えるのだからである. これは, 確率の公理の P2 に当たる式になる. Aを固定したとき P(x\|A)という関数が P1 や P3 も満たし, 確率となることが分かる. 乗法定理定義式の分母を払った等式 - P(A∩ B) = P(A)P(B\|A) を乗法定理と言う. 条件付き確率の定義では P(A)>0 を仮定したが, このように見てみると P(A) ≥ 0 に拡張しても問題ないと分かる. 定義の項では, 何故このような細かい条件をつけたりしたのかと言えば, 割り算において 0 で割るという操作は認められてないためである. 分数の分母に 0 が来ることは避けなければならない. 独立性事象AとBが - P(A ∩ B)=P(A)P(B) を満たすときAとBは独立であると言う. 0< P(A)<1 のときとなる. ここで, - P(Ac∩ B) = P(B)-P(A∩ B) - = P(B)-P(A)P(B) = (1-P(A))P(B) - = P(Ac)P(B) となるので結局つまり, Bの起きる確率はAが起きたかどうかに寄らないということである. P(A) = 1 or 0 の時は, A が必ず起きたり, 必ず起きなかったりするので, この場合 B の起きる確率と A は関係しない. ベイズの定理見た目が全く同じ箱が 2 つある. 箱1 と箱2とする. - 箱1には赤玉が 9 個, 白玉が 1個 - 箱2には赤玉が 2 個, 白玉が 8個入っているとする. どちらの箱か分からないが, 手を入れて玉を一つだけ取りだしてみると赤い玉だった. この場合, 選んだ箱が箱1である確率はいくつだろうか？箱を選ぶ確率はどちらも等しく(1/2) であるとする. 箱1の方が赤玉が出やすそうであるので, 箱1の方を選んでいた可能性は高そうだろう. すなわち, 赤玉が出たという事が決定した後では, 箱1と箱2のどちらを選んだか？という確率は等しくなさそうである. このような確率をどのように調べたらいいだろうか？というのがこの節の目的である. B1, B2, … , Bn が互いに背反事象で, B1∪B2∪…∪Bn = Ωであるとする. の2つの式から, とわかる. これをベイズの定理という. この式の右辺の分子の意味は, Biが起きてAが起きる確率である. それをP(A)で割っている. すなわち A が結果として起きたときに, Bi が起きている確率という意味である. P(Bi)を事前確率, P(Bi\|A)を事後確率という. 最初の問題に戻ると, 箱i を選ぶという事象を Bi, 赤玉が出るという事象を A とする. となり, 箱1を選んでいた確率は, ほぼ 0.82 くらいと言えるのである. もう一つ、ベイズの定理を知らないと正しい判断が出来ない例を挙げておこう。「10000人に1人の割合でかかる病気がある。また、その病気にかかっているかどうかを判別するためのある検査は、99パーセントの精度を持っている。もし、あなたがこの検査で病気にかかっているといわれたとき、あなたが病気である確率はどのくらいだろうか？」おそらく、ベイズの定理を知らないと99パーセントと答えてしまうのではないだろうか。ここで、実際に、ベイズの定理を用いて計算してみて欲しい。病気にかかっていないのに検査が間違えたという可能性のほうが高く、正しくは1パーセントにも満たないということが分かるだろう。
null	null	確率変数とはコイン投げの表と裏などのように, 言葉で事象を表すのは不便なので確率変数というものを導入する. 例えば, - X({表})=1 - X({裏})=0 などのように決める. このように標本空間上で定義された実数値関数 X を確率変数という. 標本点に対して確率が与えられていたことを考えれば, 確率変数のそれぞれの値に対しても確率が与えられているということになる. 即ち, 確率変数は, その取る値が確率的に決まる変数とも言える. 確率変数を用いることにより, これまでP({表})=1/2 などと書いていた所は, P(X=1)=1/2 のように書ける. このように, 言葉ではなく実数値で事象を表現することにより数学的にはとても扱い易いものとなる. サイコロであれば, 確率変数は {1,2,3,4,5,6}の6つの値を取る. 気温などであれば, 10度, 20度のような値もあれば, 9.87度のように中途半端な値もあり連続な値を取るとしてよいといえる. コイン投げやサイコロのように飛び飛びの値を取る場合の確率変数を離散型確率変数や離散確率変数という. 一方, 連続な値を取る確率変数を連続型確率変数や連続確率変数という. 離散型確率変数の取る値は有限個とは限らず, 可算無限個（自然数の個数）の場合もある. 確率質量関数 {xi}(1≤i<∞)を値に取る離散型確率変数 X があるとき, - f(xi) = P(X=xi) によって関数 f を定義することができる. この f を確率質量関数という. 確率によって定義されていることから - f(xi) ≥ 0 でなければならないことが分かる. 確率密度関数離散型の場合と同じように、連続型を定義するためには, 連続型確率変数 X に対してを満たす関数fを考えればよい. この f を確率密度関数という. - 離散型と違って連続型の確率の足し合わせはΣではなく積分で表されていることに注意. 離散型と同じように, 確率で定義されていることから, - f(x) ≥ 0 でなければならないことが分かる. 累積分布関数 f を確率質量関数や確率密度関数としてによって定義される関数 F(x)を, fの累積分布関数や分布関数と呼ぶ. この累積分布関数を用いればと表すことができる. 離散型確率変数に対する累積分布関数は連続型確率変数に対する累積分布関数はと表現できる. 累積分布関数の値が分かれば P(a < X ≤ b) の値が計算できるので, 累積分布関数の値を数表にまとめておき, 確率の計算を行うということがしばしば行われる. 期待値と分散 fを確率質量関数とするとき、を期待値といい、を分散という。分散については、が成り立つので、これを用いて計算してもよい。同様に、fを確率密度関数とするとき、を期待値といい、を分散という。分散については離散型のときと同様に、が成り立つので、これを用いて計算してもよい。
null	null	一様分布をを満たす定数とする。を満たすに対し、と定める。このとき、を満たすので、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。正規分布実数に対し、と定める。このときとするとであり、と極座標変換するとなので、である。であることと併せて、であることがわかる。すなわち、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、（標準）正規分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。ガンマ分布を正の定数とする。正の数に対し、と定める。ただし、はガンマ関数である。このとき、であるから、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。ベータ分布を正の定数とする。を満たすに対し、と定める。ただし、はベータ関数である。このとき、であるから、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。期待値E(X)は、であるから、これを整理するとが得られる。分散V(X)は、であるから、これを整理するとが得られる。指数分布を正の定数とする。正の数に対し、と定めると、なので、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。カイ二乗分布を正整数の定数とする。正の数に対し、と定める。ただし、はガンマ関数である。このとき、なので、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。 t分布を4以上の自然数とする。実数に対して、と定める。ただし、はガンマ関数である。このとき、と置換するとなので、である。ただし、途中補遺で導いた式でとした式を用いた。この計算より、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。ここで、とおくと、であり、よりである。また、である。よって、である。ただし、途中補遺で導いた式でとした式を用いた。 F分布を正整数の定数とし、特には4より大きいとする。正の数に対し、と定める。ただし、はベータ関数である。このとき、と置くと、であり、であることに注意すると、なので、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。期待値E(X)は、である。ここで、先ほどの置換をするとであることに注意すると、である。分散V(X)は、である。同様に、先ほどの置換をするとである。パレート分布をの定数とする。を満たす実数に対し、と定めると、なので、このは確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。期待値E(X)は、である。分散V(X)は、である。補遺：ガンマ関数とベータ関数正の数に対して、積分をガンマ関数という。この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。のそれぞれが収束することを示せばよい。については、においてよりであり、であるから、は収束する。については、であることに注意すると、ある正の数が存在してにおいてであるから、であり、であるから、は収束する。ガンマ関数について、が成り立つ。このことと、であることを合わせると、自然数に対してはであることがわかる。正の数に対して、積分をベータ関数という。この積分は一見すると通常の積分であるが、またはのときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。のそれぞれが収束することを示せばよい。については、においてよりであり、であるから、は収束する。については、においてよりであり、であるから、は収束する。ガンマ関数とベータ関数の間には、という関係式が成り立つ。 - （証明） - 両辺ともに - という積分と等しくなることを示す。 - ベータ関数について、 - においてとするとであるから、 - である。 - ガンマ関数について、 - において、と変数変換すると、であるから、 - である。ここでさらにとすると、であるから、 - であることがわかるので、以上より - である。// ここで、得られた関係式にを代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ - であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、 - とすると - とするとなども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。
null	null	二項分布 1 回の試行で得られる結果が、α、β の2種類あるとする。ここで1回の試行で α が得られる確率を θ とする。 n 回試行した時に α が k 回出る確率を f(k) とすると、と表すことができる。この分布を二項分布という。ただし、は n 個から k 個を選ぶ組合せの数（二項係数）である。二項分布という名前は、この二項係数にちなんでいる。また n, θ (および1-θ)は定数である。このようなパラメータのことを母数という。θを母比率という。n，θが与えられれば，この分布は確定するので、この分布を B(n,θ) と表す。このは、二項定理によりを満たすので、確かに確率質量関数となっている。期待値 E(X)は、である。分散 V(X)はである。負の二項分布を自然数の定数とし、をを満たす実数の定数とする。0以上の整数に対し、と定める。ただし、は二項係数である。このが確率質量関数であることは、以下のように確かめられる。級数の両辺を階微分すると、であるから、両辺にを代入してをかけると、を得る。以上により、このが確率質量関数であることが確かめられた。この確率質量関数によって定まる確率分布を、負の二項分布という。期待値 E(X)は、であるから、これを整理すると、を得る。分散 V(X)は、であるから、これを整理すると、を得る。ポアソン分布を正の定数とする。0以上の整数に対し、と定める。このとき、を満たすので、このは確率質量関数である。この確率質量関数によって定まる確率分布を、ポアソン分布という。期待値 E(X)は、である。分散 V(X)は、である。超幾何分布は自然数の定数で、を満たすとする。を満たす自然数の定数に対し、と定める。ただし、などは二項係数である。このが確率質量関数であることは、以下のように確かめられる。についての恒等式の両辺を展開したときのの項の係数を考えると、右辺の係数は二項定理によりである。一方左辺の係数は、である。よって、 - である。以上により、このが確率質量関数であることが確かめられた。この確率質量関数によって定まる確率分布を、超幾何分布という。期待値 E(X)は、である。ただし、6行目ではとした。分散 V(X)はである。ただし、7行目ではとした。
null	null	統語論統語論は文を対象とし - 語と形態素を結びつけてさらにそれを再配置し、それによって音声解釈と意味解釈がどのように対応させられるかを研究する分野です。〈解釈の機能〉 - さらに、幼児の言語獲得、第二言語獲得の基礎理論ともなります。〈げん(原・言)語獲得〉 - … 直接構成素分析直接構成素分析（Immediate Constituent Analysis）は文を、それを直接構成する要素に順次わけていき、それを文を構成する最小要素である語・形態素にたどり着くまで続け、最小要素が文を構成するステップを示します。例を見てみましょう。 - The girl kissed the boy suddenly はまず - The girl+kissed the boy suddenly
null	null	緊急避難緊急避難の意義緊急避難は、違法性阻却事由のひとつである。すなわち、緊急避難の要件を満たす行為は、構成要件に該当しても、違法性を阻却され、犯罪として成立しない。緊急避難の要件は刑法37条に定義されている。 - 自己又は他人の生命、身体、自由又は財産に対する現在の危難を避けるため、やむを得ずにした行為は、これによって生じた害が避けようとした害の程度を超えなかった場合に限り、罰しない。ただし、その程度を超えた行為は、情状により、その刑を減軽し、又は免除することができる。 - 前項の規定は、業務上特別の義務がある者には、適用しない。正当防衛が「不正対正」の関係であるのに対し、緊急避難は「正対正」の関係であるといわれる。緊急避難によって侵害される法益は、違法な侵害者の法益ではなく、それ自体正当な法益である。したがって緊急避難は、これによって、侵害される法益よりも大きな法益が守られるという理由なくして正当化することはできない。これが、緊急避難には法益の均衡が必要とされるといわれるゆえんである。緊急避難の要件危難の現在性危難が現在し、または、間近に押し迫っていること
null	null	総合原価計算における完成品総合原価と期末仕掛品原価原価計算基準第二章実際原価の計算第四節原価の製品別計算二四総合原価計算における完成品総合原価と期末仕掛品原価単純総合原価計算、等級別総合原価計算および組別総合原価計算は、いずれも原価集計の単位が期間生産量であることを特質とする。すなわち、いずれも継続製造指図書に基づき、一期間における生産量について総製造費用を算定し、これを期間生産量に分割負担させることによつて完成品総合原価を計算する点において共通する。したがつて、これらの原価計算を総合原価計算の形態と総称する。総合原価計算における完成品総合原価と期末仕掛品原価は、次の手続により算定する。 (一) まず、当期製造費用および期首仕掛品原価を、原則として直接材料費と加工費とに分け、期末仕掛品の完成品換算量を直接材料費と加工費とについて算定する。 - 期末仕掛品の完成品換算量は、直接材料費については、期末仕掛品に含まれる直接材料消費量の完成品に含まれるそれに対する比率を算定し、これを期末仕掛品現在量に乗じて計算する。加工費については、期末仕掛品の仕上り程度の完成品に対する比率を算定し、これを期末仕掛品現在量に乗じて計算する。 (二) 次いで、当期製造費用及び期首仕掛品原価を、次のいずれかの方法により、完成品と期末仕掛品とに分割して、完成品総合原価と期末仕掛品原価とを計算する。 - 当期の直接材料費総額（期首仕掛品および当期製造費用中に含まれる直接材料費の合計額）および当期の加工費総額（期首仕掛品および当期製造費用中に含まれる加工費の合計額）を、それぞれ完成品数量と期末仕掛品の完成品換算量との比により完成品と期末仕掛品とにあん分して、それぞれ両者に含まれる直接材料費と加工費とを算定し、これをそれぞれ合計して完成品総合原価および期末仕掛品原価を算定する（平均法）。 - 期首仕掛品原価は、すべてこれを完成品の原価に算入し、当期製造費用を、完成品数量から期首仕掛品の完成品換算量を差し引いた数量と期末仕掛品の完成品換算量との比により、完成品と期末仕掛品とにあん分して完成品総合原価および期末仕掛品原価を算定する（先入先出法）。 - 期末仕掛品の完成品換算量のうち、期首仕掛品の完成品換算量に相当する部分については、期首仕掛品原価をそのまま適用して評価し、これを超過する期末仕掛品の完成品換算量と完成品数量との比により、当期製造費用を期末仕掛品と完成品とにあん分し、期末仕掛品に対してあん分された額と期首仕掛品原価との合計額をもつて、期末仕掛品原価とし、完成品にあん分された額を完成品総合原価とする（後入先出法）。 - 全三号の方法において、加工費について期末仕掛品の完成品換算量を計算することが困難な場合には、当期の加工費総額は、すべてこれを完成品に負担させ、期末仕掛品は、直接材料費のみをもつて計算することができる。 - 期末仕掛品は、必要ある場合には、予定原価又は正常原価をもつて評価することができる。 - 期末仕掛品の数量が毎期ほぼ等しい場合には、総合原価の計算上これを無視し、当期製造費用をもつてそのまま完成品総合原価とすることができる。
null	null	線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。クラメルの公式という、線形方程式は、を用いて、 - と表すことができる。クラメルの公式とは、行列Aのj列目がになっている行列を用いて、この線形方程式の解は、である。というものである。証明この線形方程式は、と表すことができる。を左からかければ、である。線形代数学/余因子行列で求めた式を用いれば、展開すれば、この行列のj行目は、なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目がになっている行列をj列目で、余因子展開したものと一致する。よって、である。演習問題以下の一次連立方程式を解け。 (1) (2)( は互いに異なる実数) 解答・解説 (1) のとき、クラメルの公式より、の場合は、のときのみ解が存在し、その解はを満たす全体。 (2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、
null	null	複素数の概念は既知のものとした。ただし、複素数のことを知らない読者は、複素数に関する記述を読み飛ばしたとしても差し支えない。ベクトルベクトルの定義単一の数で表現される量をスカラーとよぶ。それに対して、n個の数を縦に並べて、括弧でかこんだものをn次列ベクトルとよび、次のように書く。また、これを、横に並べたものをn次行ベクトルとよび、次のように書く。をベクトルの成分(element)と呼び、特にをaの第k成分と呼ぶ。なお、ここで並べた「数」は、体の元のことを指すが、体のことを知らなければ、実数や、複素数のことであると思って差し支えない。成分がすべて実数のベクトルを実ベクトルと言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを複素ベクトルと言う。 Kを成分とするn次列ベクトル全体の集合をで表す。のときは実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、のときは複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。相等関係 2つのn次列ベクトルが「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、 - のときなお、2つのn次行ベクトルについても同様に定義される。 2つのn次列ベクトルについて、ベクトルの和を次のように定義する。スカラー乗法またn次列ベクトルと定数について、ベクトルの定数倍を次のように定義する。零ベクトルベクトルの成分がすべて0であるベクトルを零ベクトルという。逆ベクトルベクトルのすべての成分にマイナス1をかけたベクトルをの逆ベクトルという。ノルムベクトルの大きさをノルムといい、次のように定義する。座標に対する長さをn次行ベクトルで一般化したものがノルムであるとも解釈でき、実際に3次行ベクトルのノルムはそのベクトルを空間に描いた際の長さとなる。ベクトルの演算の性質ベクトルの演算では以下の性質が成り立つ。 - (交換法則) - (結合法則) - - - - - - ただし、をベクトル、をスカラーとする。一次従属と一次独立スカラーλ, μ, ν, ...とベクトルa, b, c, ...があるとする。つまりあるベクトルがその他のベクトルの組み合わせで表せるならば、それは一次従属であるという。逆にこの式においてスカラー量が全て0でないと成り立たないならば一次独立であるという。助変数表示平面上の直線以後、特に空間ベクトルについて議論する。まずは、二次元空間上の直線を、助変数を用いて現すことを考える。とすると、一般の直線は下の式で表される。成分を用いて書けば、である。成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。また、aをこの直線の方向ベクトルという。方向ベクトルはこの直線と平行なベクトルである。もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、方向ベクトルはノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。例題を助変数表示にせよ。 - x=2t+1とすると、 - よって、演習ベクトル表示は座標表示に、座標表示はベクトル表示にせよ 1.6x-3y=9.5 2.x=a 3. 4. 空間内の直線平面内の直線はという式で表された。しかし、空間においてという式の表す図形は平面である。直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。式で書けば、となる。この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。連立方程式を解く要領で (但し,は定数) と書けることはすぐわかる。この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。これが空間内の直線の助変数表示である。例題を助変数表示にせよ。 - x=tとすると、 - 2y+3z=-t+4 - 6y+7z=-5t+8 これを解いて、よって、演習 1. を助変数表示にせよ空間内の平面前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。今度は2つの助変数s,tを導入することで、同様にしてと表せる。これを平面の助変数表示という。例題 - x=3t+1,y=3sとすると、 - 3z=5-2(3t+1)-3s⇔ - よって、演習 1.2x-y+3z=1を助変数表示にせよ 2. を、直交座標表示で表せ。まとめ 1. 平面上の直線のベクトル表示 2. 空間内の直線のベクトル表示 3. 空間内の平面のベクトル表示演習 1. - 二点P,Qの位置ベクトルをp,qとすると、線分PQ上の点の位置ベクトルは - t1p+t2q, t1+t2=1, t1,t2≧0 - の形で表される。これを証明せよ。 2. - 三点の位置ベクトルをx1,x2,x3とすると、 - この三点が構成する三角形内の任意の点は、 - t1x1+t2x2+t3x3, t1+t2+t3=1, t1,t2,t3≧0 と表される。これを証明せよ。法線ベクトル平面上の直線 - ax+by=c を考える。この直線の方向ベクトルはである。ここで、というベクトルを考えると、なので、aとこの直線は直交する。このaをこの直線の法線ベクトル（normal vector）という。例5.1 l:x=at+x1 という直線を考える。平面内の1点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。この垂線の長さを求めよう。 pをPの位置ベクトル、x0をP'の位置ベクトルとすると、垂線の長さは - \|\|p-x0\|\| で与えられる。まずはx0を他のベクトルを用いて表そう。P'はl上の点なので、x=x0をlの式に代入すると - x0=at+x1 - p-x0=p-at-x1 となる。このベクトルがaと直交するので - (a,p-x0)=(a,p)-(a,a)t-(a,x1)=0 これを代入して - をえる。あとは自分自身との内積を計算するだけである。落ち着いて計算すればと計算される。空間内の直線についても、同じ事である。演習 1. - 空間内の平面の場合についても同様に考えられる。 - F:ax+by+cz=d - を平行移動し、原点を通る平面 - F0:ax+by+cz=0 - とすれば、 - F:(a,x)=d - F0:(a,x)=0 - であるから、aはF0故にFと垂直である。この時aをF0の法線ベクトルと言う。 - さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。垂線の足をP'とする。 - x0:Pの位置ベクトル,x'0:P'の位置ベクトル - とするとき、\|\|x0-x'0\|\|を求めよ。 2. - 平面Fの法線ベクトルaと平面F'の法線ベクトルa'の交角を平面Fと平面F'の交角と言う - F:x+2y+2z=3 - F':3x+3y=1 - の交角を求めよ。ベクトルには方向が伴っているので、純粋なかけ算をすることは難しい。そこでまず2次元もしくは3次元ベクトルで考え、ベクトル間の角度θを用いてとするとの方向成分がスカラーで出てくる。ここで内積を以下のように定義する。また、それぞれ直角な単位ベクトルで各ベクトルを分解して考えると、一般に内積の性質 - 二次の行列式定義(7.1) , , の時、をAの行列式（determinant）という。次の性質は簡単に証明できる。 a,bが線形独立⇔det(a,b)≠0 det(a,b)=-det(b,a) det(a+b,c)=det(a,c)+det(b,c) det(ca,b)=det(a,cb)=cdet(a,b) \|AB\|=\|A\|\|B\| ここで、a,bが線形独立とは、a,bが平行でないことを表す。平行四辺形の面積関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。 aとbの張る平行四辺形の面積を求める。二ベクトルの交角をθとする。 bを底辺においたとき、高さは\|\|a\|\|sinθなので、求める面積Sは S=\|\|a\|\|\|\|b\|\|sinθ ⇔S2=\|\|a\|\|2\|\|b\|\|2 -\|\|a\|\|2\|\|b\|\|2cos2θ =\|\|a\|\|2\|\|b\|\|2-(a,b)2 よって、 (7.1) 演習 , とすれば、. これを証明せよ。内積が有るなら外積もあるのでは？と思った読者待望の部ではないだろうか。（余談）定義(7.2) cは次の4条件を満たすとき、a,bの外積（exterior product）、あるいはベクトル積（vector product）と呼ばれ,a×b=cと表記される。 (i) a,bと直交する。 (ii) a,bは線形独立 (iii) a,b,cは右手系をなす。 (iv) \|\|c\|\|が平行四辺形の面積ここで、右手系とは、R3の単位ベクトルe1〜３が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。定理(7.3) 右手座標系で、 , とすると、 (7.2) (証明) 三段構成でいく。 (i)cと、aとbと直交することを示す。要するに、 (c,b)=0且(c,a)＝0を示す。 (ii)\|\|c\|\|が平行四辺形の面積Sであることをを証明。 (iii)c,a,bが、右手座標系であることを証明。 (i)は計算するだけなので演習とする。 (ii) \|\|c\|\|2=(bc'-b'c)2+(ac'-a'c)2+(bc'-b'c)2 =(a2+b2+c2)(a'2+b'2+c'2)-(a a'+bb'+cc')2=\|\|a\|\|^2\|\|b\|\|^2-(a,b)^2 \|\|c\|\|≧0より、式(7.1)から、 (iii) a=e1, b=e2ならば、式(7.2)は両辺ともe3である。e１,e2を、線形独立性を崩さずに移すと、 a,b,cは右手系のまま移る。もし、左手系なら、その瞬間\|\|c\|\|=0となり、(中間値の定理)a、bは平行になるから、線形独立が崩れたことになる。＃外積に関して、次の性質が成り立つ。 a×b=-b×a c(a×b)=ca×b=a×cb a×(b1+b2)= 'a×b1+a'b2 (a1+a2)×b= 'a1×b+a2'b 三次の行列式定義(7.4) , , の時、をAの行列式という。二次の時と同様、 - a,b,cのどれか二つの順序を交換すればdet(a,b,c)の符号は変わる。絶対値は変わらない。 - det(a+a',b,c)=det(a,b,c)+det(a,b,c) b,cに関しても同様 b,cに関しても同様一番下は、大変面倒だが、確かめられる。例題次の二直線は捩れの位置（同一平面上にない関係)にある。この二直線に共通法線が一本のみあることをしめし、最短距離も求めよ l:x=at+x1 l':x=bs+x2 l.l'上の点P,Qの位置ベクトルを p=at+x1 q=bs+x2とすると、 PQ⊥l,l'⇔(a,p-q)=(b,p-q)=0 これを式変形して、 (a,p-q)= (a,at+x1-bs-x2) =(a,a)t-(a,b)s+ (a,x1-x2)=0 ⇔(a,a)t-(a,b)s=(a,x2-x1 (7.3) 同様に、 (b,a)t-(b,b)s=(b,x2-x1 (7.4) (7.3),(7.4)をt,sに関する連立一次方程式だと考えると、この方程式は、ちょうど一つの解の組(t0,s0)が存在する。 ∵ a//b(a,bは平行、の意味)a,b≠oより、 ≠0 あとは後述する、連立二次方程式の解の公式による。(演習1) at0+x1,bs0+x2を位置ベクトルとする点をP0,Q0とおけば、P0Q0が、唯一の共通法線である。この線分P0Q0の長さは、l,l'間の最短距離である。そこで、（第一章「ベクトル」参照） P1:x1を位置ベクトルとする点 Q1:x2の位置ベクトルとする点とすれば、 =([x1+t0a]-[x1]) ”P0の位置ベクトル↑ ↑P1の位置ベクトル” +c+["x1"-"(x1+t0a)"] ”Q1の位置ベクトル↑ ↑Q0の位置ベクトル” =c+t0a-s0b よって、 (c,x2-x1)=(c,c)+t0(c,a)-s0(c,b) a,bとcが垂直なので、(b,c)=(a,c)=0. すなわち、(c,x2-x1)=(c,c) c=k(a×b) (k≠0) c≠oより、求める距離\|\|c\|\|は、演習 1. - 二元一次連立方程式 - ≠0の時、 - の一般解が、 - , である事を示せ 2. - 多面体Pの二頂点を結ぶ線分上の全ての点がやはりPに含まれる時、Pは凸多面体と呼ばれる。 - Pのk個の頂点Pi(i=1,2,...,k;k(∈N)>3)の位置ベクトルをviとすると、P内の任意の点の位置ベクトルvが、下の式で表せることを証明せよ。 - , ti≧0, - このようなvのことを、xiの凸結合と言う 3. - P1(x1,y1),P2(x2,y2)を通る直線の式は、 - と表せる。これを示せ。 4. :空間において、(a,x)=0への折り返しの変換に対応する行列を求めよ 5. : - を示せ。 6. :\|\|x\|\|=\|\|y\|\|=\|\|z\|\|=1の時、det(a,b,c)の最大最小を求めよ。 7. - (1) - (a×b)×c=-(b,c)a+(a,c)b - (2) - (a×b)×c+(b×c)×a+(c×a)×b=o - を、R3について証明せよ。このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、行列を読まれる事を勧める。今までの内容と、密接に関係している。もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。参考文献:東京大学出版会『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著スカラー・ベクトル三重積この節は書きかけです。この節を編集してくれる方を心からお待ちしています。ベクトル関数この節は書きかけです。この節を編集してくれる方を心からお待ちしています。この節は現在執筆中です。概要は物理数学I_ベクトル解析を参照してください。線型代数学でいう「空間」や「次元」は、物理的な意味の「空間」や「次元」のうち、一部の性質だけを取り出して定義した抽象的な概念である。したがって、大枠では類似しているが、物理的なイメージばかりを気にしすぎると細部の印象が異なることがある。たとえば、物理においてしばしば「空間3次元、時間1次元、合わせて4次元の線型空間である時空」を考えるが、数学的な意味での4次元線型空間は空間と時間という意味合いを持ってはおらず、単に一次独立なベクトルが4本取れるというだけの意味である。4次元線型空間の中でさらに特殊な性質を仮定したものを「ミンコフスキー空間」といい、これはただの4次元線型空間よりもより4次元時空の性質を反映したモデルだが、それでも数学的なモデルに過ぎないことに変わりはない。一般に数学的な概念は、その定義を作る際には物理などのイメージを元に概念を作ることが多いが、ひとたび定義されたあとはそのイメージから離れて定義のみを基に議論を進めることができる。これが数学を発展させる原動力であり、また数学が汎用的に役に立つ理由である。しかし、数学の持つこのような特性は、初学者にとってはわかりにくく感じられるだろう。以上で述べたことは線型代数学に限った話ではないが、抽象的な数学理論に初めて本格的に触れるのが線型代数学という学生も多いだろうから、ここで述べておく。
null	null	実ベクトルに対し、内積と定義する。 (記号が変わっただけで、高校で習った内積と同じである。) 内積については、以下の性質が成り立つ。 - - - - ただし、を実ベクトル、を実数とする。証明 - - - は実数なので、よって等号成立は、つまりのときノルムをのノルムという。ノルムについては以下の性質が成り立つ。 - - - (シュワルツの不等式) - (三角不等式) ただしを実ベクトル、を実数とする。証明 - なので等号成立はつまり、のとき - - について考える。内積の性質を使うと、であるので、である。を変数、を定数とし、2次方程式を考える。この二次方程式は常に0以上で下に凸であるので、2次方程式の判別式は0以下である。なので、判別式整理すれば、よって - である。であることと、3.よりなので、よって
null	null	ある線型変換に対して、のような元が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような（固有値・固有ベクトル）について議論をする。注意ここから先の議論は全て複素数体上の議論である。はじめに本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。定理（代数学の基本定理）複素数係数の任意のn次多項式は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。証明は複素解析学#リウヴィルの定理を参照のこと。固有値・固有ベクトルまず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。定義上の線型空間、とする。このとき、がの関係をみたすとき、を固有値（eigen value）、を固有ベクトル（eigen vector）という。では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？まずは、の線型変換である行列について考えてみよう。行列の場合まず、固有多項式を次のように定義する。固有多項式定義に対してをの固有多項式（eigen polynomial）という。また、をの重複度（multiplicity）という。 2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。すると、次の定理が成り立つ。定理が固有値は固有多項式の根（証明）に対して、が固有値であるとする。このとき、をみたす、が存在する。上の式を書き直すと、であるから、の階数がｎより小さいということと同値である。つまり、でなければならない。以上をまとめると、が固有値が非自明な解をもつ。 □ 行列の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列の固有値と固有ベクトルを求める。なので、方程式を解いて、行列の固有値は1と3である。次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、を満たすベクトルを求めれば良い。に対応する固有ベクトルは、であることから、を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは及び、これを任意の定数倍したものである。に対応する固有ベクトルは、であることから、を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは及び、これを任意の定数倍したものである。右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトルに平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトルに平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。次に、固有空間を以下のように定義する。固有空間定義のに対する固有空間（eigen space）とはで表わされる部分空間のことである。この定義から明らかなように、が固有値はでない元を持ち、それらはすべて固有ベクトルである。一般の線型変換の場合上の線型空間、をの基底、に対しては固有値であるとする。また、に対するの表現行列をとする。このとき、行列の場合と同様に、を充たすが存在する。の恒等変換（identity transformation）をとすると、と変形できる。これは、と同値である。の表現行列はであるから、以上より、の固有値はの固有多項式の根であることがわかる。また、正則行列に対してより、固有多項式はの基底の取り方によらない。固有空間固有空間も行列の場合と同様に定義される。定義のに対する固有空間とはで表わされる部分空間のことである。固有空間の和最後に、次の命題を証明しておく。命題はの相異なる固有値とする。このとき、（証明）はをみたすとする。この等式に、を作用させると、左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、したがって、この行列は正則。よって、 □
null	null	をK上のベクトル空間とする。が次の２つをみたすとき、はの基底であるという。１）は線型独立。２）任意のの元はの線型結合で表わされる。つまり一言でいえば、任意のの元はの線型結合によって一意的に表わされる、ということである。を考えてみよう。このとき、はの基底となっている。また、などとしてもの基底となっている。このように、基底となるベクトルの組み合わせは無数に存在する。しかし、ベクトルの個数には変化がない。このことは、次の項目「次元」と関係している。次の定理は次元の概念を与えてくれる。をK上のベクトル空間とする。、がどちらもの基底であるとする。このとき、である。（証明）まず、次の補題を示す。補題が次の2式をみたすとする。このとき、であり、は正則。この定理から、基底をなすベクトルの個数は基底によらず不変であることがわかった。そこで、次元を次のように定義する。をK上の線型空間とする。の基底をなすベクトルの数をの次元といい、と書く。（dimは dimensionの略）また、有限個のベクトルで基底がつくられるとき、有限次元であるという。（そうでない場合は無限次元）
null	null	このページでは、線型方程式序論で書いたような線型方程式の解の求め方や、その性質について議論する。線型方程式の解拡大係数行列線型方程式序論で書いたように、という線型方程式は、を用いて、 - と書くことができる。ここで、とおくと、は、となり、移項すれば、である。つまり、方程式は、と書きなおせる。このとき、を拡大係数行列という。方程式の変形次に、この方程式を解く際にどのような操作が許されるか考えよう。まず、基本行列を左からかける、つまり左基本変形に対して方程式の解が不変であることは明らかであろう。この操作は、高校までの連立方程式を解くときの操作に対応している。これ以外の操作として、第n+1列を除いた列の交換を考えてみよう。第i列と第j列を入れ替えたとき、元の方程式と同値な方程式を得るには未知数と未知数を入れ替えればよい。実際、であるから、が分かれば、これの第i行と第j行を入れ替えるだけで、元の方程式の解になる。この操作は足し算の順番を入れ替えることに対応している。ここで、上の式と同様にしてが正則だとすると、となるので、を求めてもよいのだが、を右基本変形するたびにその行列を記録してあとからその積を求めなければならない。なので、上に書いた操作だけで求められるのならそちらの方がよいことはわかるであろう。以上をまとめて、 - に左基本変形を施す。 - のn+1列目を除く列の交換を行う。という操作だけを許すことにしよう。解の存在条件定理は上の2種類の操作によって以下の形にできる。ここで、はと1対1に対応している。（証明）証明方法は階数のページのものとほとんど同じである。のときは求めたい形になっている。のときであったとすると、第i行の倍を第k行に加えることでを得る。次に第i行を倍して第1行と第i行を入れ替え、さらに第1列と第j列を入れ替えることで、を得る。ここで、以下なら、同様の操作を繰り返せば帰納的に求めたい形になる。また、はに基本変形を施して得られたものであるから、でなければならない□ この式を連立方程式の形に書きなおすと、これから、次の定理が成り立つことが分かる。定理 - が解を持つ（証明） - が解を持つに関しては、が解となっている。その他は自明であろう□ 一般解上の連立方程式の形から、を任意の数とし、とすると、未知数を並び換えて、の順番にすればの一般解となる。演習問題次の線型方程式系の解を求めよ。 (1) (2) 解答・解説 (1) (2) を任意定数として、この解は幾何学的には、の平面であり、表示は一意的ではない。例えば、も同じ解となる。一般解の性質線型独立な解の個数
null	null	線型変換単位ベクトル次の2つの2次元ベクトルを、R2の単位ベクトル（unit vector）という。 , また、次の3つの3次元ベクトルをR3の単位ベクトルという。 , , 平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。このような性質を指して、単位ベクトルの組はR2(R3)の基底（basis）であるという。 R2の線型変換行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、 (6.1) のことである。同時に行列との掛け算を対してベクトルとの掛け算は、と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。例えば、は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。よって、x=B(Ax)=(BA)x 行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。 A(BC)=(AB)C (6.2) 特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR2の変換TA:x→Ax(「TAはxのAxへの変換」と言う意味）の線型性（linearity）と言う。一般にR2変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR2の線型変換（linear transformation）という。一般に次の定理が成り立つ。定理(6.1) TをR2上の変換とするとき、 Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax (証明) は既に示した。を示す。単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）とする。任意の Tは線型変換なので、とすれば、 Tx=Ax ♯ Aによって引き起こされる変換をTAと書くこともある。行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、特にOと書く。 - 写像をで与える。この写像は線形写像である。この写像はベクトルの成分を倍にする。 - 写像についてが成り立つ。 - 写像についてが成り立つ。例全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列（rotation matrix）と呼ばれる。対応する行列はである。演習 1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ 2.TBTA=TBAを示せ。 3. Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時とすると、Tに対応する行列を求めよ 4. (a,b)=0,a,b≠o S:aへの射影子, T:bへの射影子とする。この時次の三つを証明せよ。 (1)T^2=S (2)TS=ST=O (3)任意のxに対して、Tx+Sx=x R3の線型変換前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、に対しては、が、とにたいしては、 (i,j=1,2,3) が定義されている。次のような性質がある。 (AB)x=A(Bx), (AB)C=A(BC) A(x+y)=Ax+By, A(cx)=(Ac)x (6.3) R3における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。 T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx) 前部とまったく同様に次の定理が導ける定理(6.2) R3においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax Aによって引き起こされる変換をTAと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、Oと書く。例 y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は演習 1.定理(6.2)を証明せよ 2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か (1) (2) (3) 3. , この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。 4. bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx: x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ (1)T2=T (2)TS=ST=O (3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x
null	null	内積があるのなら外積があってもいいのでは，と思っている人もいることだろう．単に「外積」と呼ばれることもある，3次元実数ベクトルについての外積，すなわち「ベクトル積」を紹介する．定義3 外積のベクトル，に関して、を次で定める．ベクトル積は 3 次元ベクトルの場合のみについて定義される演算である。定義のとおりだが、実際の計算は図に示したように第 1 成分を下に付け加え， ×の形に積を取り，使っていない成分に押し込むという感じで技化しておくとよい．ベクトル積に関して次の計算法則が成り立つ．交換法則が成り立たないことに注意する．でとを入れ替えると，符号が逆になる．定理4 ベクトル積の計算法則 (1) (2) (3) (4) 証明 (1) ，にて． (2) ．同様に． (3) ，，にて． (4) 2次元ベクトル，3次元ベクトルの内積は，図形的な解釈が可能であった．ベクトル積が図形的には何を表しているかを紹介する．定理5 ベクトル積の意味 (1) は，，の両方と直交する． (2) とが張る平行四辺形の面積は， (3) ，，が張る平行六面体の体積は，証明，とする． (1) との内積をとる．．同様に．よって，は，の両方と直交する． (2) ，のなす角をとすると，内積の性質より，を底辺としたときのの高さをとすると，と表されるので，，まただから，なぜならばよって， (3) とする．，が張る平面を平行四辺形の底面としてみたときのの高さを，とのなす角をとすると，は，が張る平行四辺形に垂直なので，だから，．演習1. ，，のとき， (1) を求めよ． (2) の両方と直交する単位ベクトルを求めよ． (3) とするとき，三角錐の体積を求めよ．解答例 (1) ． . (2) はとに垂直なので，を単位化する. ．(解となるベクトルは二つ） (3) が張る平行六面体の体積は，が張る平行四辺形の面積を，が張る平行四辺形を底面として見たときの平行六面体の高さをとするとであり，（三角錐の体積）．
null	null	次に行列どうしの積について説明する．行列の積は少々面倒である．成分ごとに積というわけにはいかない．行列の積の基本は，次のような1行からなる行列と1列からなる行列の計算のしかたである．左の行列を列ベクトルとしてみれば，この計算はちょうど列ベクトルどうしの内積の値に等しくなる． 2 行の行列と 1 列の行列の積は次のようにして計算する．左の行列を行にわけて計算するところがポイントである． 2 次の正方行列どうしの積，(2, 3) 型行列と (3, 2) 型行列の積はつぎのようになる．左の行列は行に分け，右の行列は列に分けて計算する．ここまでの例で一般の行列の積の計算の要領をわかっていただけたものと思う．一般の行列の積に関してまとめると次のようになる．定義7 行列の積を型行列，を型行列とすると，は型行列であり，成分はの第行との第列の積である．行列の積が計算できるためには，の列のサイズとの行のサイズが一致しなければならないことに注意する．なお，この定義によると 1 列の行列と 1 行の行列の積は，となる．左の行列の行で，右の行列を列に分けると１つずつの成分で行，列を構成することになってしまうのでこうなるわけである．盲点になっている人がいるので念のため．こうして定義された行列の積について，次のような計算法則が成り立つ．定理7 行列の積の計算法則 (1) (結合則） (2a) (2b) (分配則） (3) 証明以下、行列の第行第列成分を，これと並行に成分の表示方法として，行列の各成分をと表示するものとする． (1) 行列の積のすべてが定義できるものと仮定する．定理7 より、よって、の添え字は内側のの添え字（従属変数）と関係ない。）同様に、の添え字は内側のの添え字（従属変数）と関係ない。） (2a) 行列の積が定義可能であると仮定する． (2b) 行列の積が定義可能であると仮定する． (3) を零行列とし、行列の積およびのいずれも定義可能であると仮定する．行列の積の計算練習を行う．
null	null	n 次正方行列 A があるとします。 n 次正則行列 P を上手くとり、 P とその逆行列とをそれぞれ右と左から掛けることで（このようにサンドイッチにすることを相似変換といいます）、のように n 次上三角行列 U にすることを、行列 A の三角化といいます。対角化はできる場合とできない場合がありましたが、三角化に関しては、成分が複素数でもよい（実数にこだわらない）ならば、常に可能であることがわかっています。三角化も対角化と同じく、固有値と深い関係があります。三角化の手順次の行列の三角化を試みます。まず、固有値と固有ベクトルを求めてみましょう（なぜそうするのかは後で明かされます）。固有値をとすると、固有方程式は - - よって、とします。に対応した固有ベクトルをとすると、ここで、1行目と3行目は同値なので、x , y , z に対する独立な1次条件式は2つです。よって、に対する固有空間の次元は1です[1]。スカラー倍を除いた唯一の固有ベクトルは、例えば、のようにとれます。ここで、もう一方の固有値のことはいったん忘れて、と線形独立な列ベクトル2本を何でもいいから持ってきます。例えば、これらを横に並べて3次の正方行列を作ります。は正則行列なので逆行列が存在します。そこでを作ると、1列目は (1,1) 成分を除いて0になります。つまり、1列目に限っては「上三角化」ができたということです。これを確かめるため、行列を単位ベクトルに（左から）掛けることで1列目だけを取り出すと、 - 実際計算してみると、 - 次は、右下の2×2の小行列に注目します。ここまでの流れと全く同じようにして、2次正則行列を使って、この小行列を1列目に限っては「上三角化」ができることがわかります。手順は全く同じなので省略すると、例えば、のようにとると、となるので、これを3次行列に「拡大」して、とすれば、 - - "" は、計算すればわかる何らかの定数です（上三角化が完了したことに注意を向けたかったのであえて明示しませんでした）。これら2段階を組み合わせれば、まさに行いたかった三角化が達成されます。つまり、とおけば、 - - 一般の場合上記の長い例題で行った手順は、行列がどんな大きさであろうと実行できます。標語的に書けば、「 n 次正方行列の1列目だけを上三角化」→「 (n-1) 次正方行列の1列目だけを上三角化」→ … →「2次正方行列の1列目だけを上三角化」と (n-1) 回の同様な作業を反復して、出てきた正則行列をすべて掛け合わせれば、必ず上三角化ができるわけです。この証明をきちんと書き下すには数学的帰納法を使う必要がありますが、何をすべきかはほとんど明らかになっているので明記はしないでおきます。 - ^ 固有方程式における重複度2を下回ってしまったので、この時点で、対角化は不可能だということがわかります。詳しくは、「固有値と固有ベクトル」、「行列の対角化」等を参照のこと。
null	null	n 次正方行列 A があるとします。 n 次正則行列 P を上手くとって、 P とその逆行列とをそれぞれ右と左から掛けて（このようにサンドイッチにすることを相似変換といいます）、のように n 次対角行列 D にすることを、行列 A の対角化といいます。対角化はできる場合とできない場合があるので、できる場合を対角化可能といいます。後に理由が明らかになりますが、対角化のことを固有値分解とも言います。対角化は固有値と非常に深い関係があるのです。対角化可能であるための必要十分条件定義式を成分で表示してみると、両辺に左からPを掛けると: ここで、Pを列ベクトルを並べて表記するととなるので、定義式は次のように書き直すことができます。つまり、P の構成する各列ベクトルは Aの固有ベクトルであり、対応する対角成分はその固有ベクトルに対応する固有値になっているのです。行列 P が正則であることは、これらの固有ベクトルが線形独立である（＝ n次元ベクトル空間の基底になっている）ことを意味します（「行列のランク」で習ったことを思い出しましょう）。ここまでの議論は完全に逆向きにたどることができます。つまり、行列Aの固有ベクトルだけで n 次元ベクトル空間の基底が構成できるならば、それら縦ベクトルを横に並べた行列 P は正則行列となり、が成り立ち、 D の対角成分には A の固有値が並ぶのです。これが対角化できるためのひとつの必要十分条件です。同時に、実際に対角化を行うための手順にもなっています。計算例次の行列は対角化可能かどうか判断し、可能な場合は対角化しなさい。固有値と固有ベクトルを計算すると、 - 固有ベクトルを並べたの行列式は0でないため、これを使って対角化できます。実際に計算すると、 -
null	null	このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。 2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。数ベクトルのノルム・内積ノルムベクトルには大きさも定義される。ふつうそれはで表され、と定義される。これをaのノルム（norm）と言う。例演習 - 次のベクトルのノルムを求めよ - ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。をaとbの内積（inner product）という。特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。 - (a,a)=\|\|a\|\|2 - aとbが直交する⇔(a,b)=0[1] - c(a,b)=(ca,b)=(a,cb) - (a,b+c)=(a,b)+(a,c) - (a+b,c)=(a,c)+(b,c) - (a,b)=(b,a) - \|\|a\|\|+\|\|b\|\|≧\|\|a+b\|\|（三角不等式） - \|(a,b)\|≦\|\|a\|\|\|\|b\|\|(シュワルツの不等式） - ^ なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。演習空間ベクトルとのなす角がであり、かつとのなす角がであるようなノルムが1のベクトルを求めよ。注）そのようなベクトルはただひとつではない。上の線型空間でのノルム・内積次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。をまたは上の線型空間とする。（以下、は一般の体ではなく、実数体または複素数体を指すことにする）に対して、の元をかえすような演算が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、を内積という。 - （Ⅰ） - （Ⅱ） - （はの複素共役） - （Ⅲ） - （Ⅳ） - が成り立つのは、のときに限る。また、で定義される量をxのノルムという。このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。１．のとき、とすれば、これは内積になっている。２．のとき、とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）３．{上連続な関数} , は上連続な関数のとき、とすれば、これは内積になっている。三角不等式・シュワルツの不等式ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。定理に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。（１）（シュワルツの不等式）等号が成り立つのは、と書ける場合のみ。（２）等号が成り立つのは、実数を用いて、と書ける場合のみ。（証明）（１）とするとここで、とおけば、両辺をで割り、正の平方根をとれば、となる。等号が成り立つのは、すなわち、となるときだから、と書ける。逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□ （２）したがって、正の平方根をとればとなる。 1つ目の等号はが非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号はと書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数を用いて、と書けるときのみ等号が成立する□ 基底の直交化正規直交系計量ベクトル空間のベクトルが互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、であるとき、ベクトルは正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。正規直交基底計量ベクトル空間の正規直交系が、であるとき、は、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。グラム・シュミットの直交化法計量ベクトル空間の線形独立なベクトルを使って正規直交系を作ることができる。とすると、は互いに直行するベクトルとなる。とすると、は正規直交系となる。これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。種々の特徴的な変換随伴変換ユニタリ変換と直交変換エルミート変換と対称変換
null	null	この章では逆行列の性質について議論する。なお、行列の四則演算（和、積など）については行列概論を参照のこと。逆行列の定義定義1.1.2 行列が逆行列をもつときは正則（regular）である、という。逆行列という言い方のほうが馴染みがあるかもしれないが、線形代数学では、正則（せいそく）という言い方をよくするので慣れてもらいたい。逆行列の性質逆行列の一意性 1.1.3の証明の逆行列としての他にが存在したとするとを左からかければ ∴ である。□ 逆行列であるための条件証明は後述する。（定理1.1.4の証明の手段として、まず、これから説明する定理1.1.5と補題1.1.6を先に証明する。）逆行列に関する演算逆行列であるための条件の証明ここから先は行列の基本変形を理解しているものとして話を進める。まず、次の補題を示す。補題1.1.6の証明 - の逆行列をとすると、 - したがって、が成り立つので、は正則。□ - は、の逆行列である。したがって、は正則。□ それでは、定理1.1.4を証明することにする。定理1.1.4の証明数学的帰納法で示す。のとき、行列はただの数字となるので、正しい。のとき定理は正しいと仮定する。がをみたしているとき、なので、基本行列の積が存在して、 - と変形できる。（ただし）また、とおけば、（ただし） - より - となる。ここで、帰納法の仮定と補題よりは正則。は正則。（ただし）は正則だからも正則。以上よりのときも定理は正しい。のときも同様である。□ 逆行列の求め方以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。なぜなら、仮に行列が正則であるとすれば、このとき、正則の定義より、関係式をみたす基本行列の積の行列ととが、それぞれ存在する。は、それぞれ正則だから - ,およびが成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが分かる。すなわち、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。以上のことから次の定理が成り立つ。定理1.1.7 仮に行列が正則行列のとき、を左基本変形することで以下の行列を得たとする。 - （ただし）このとき、である。の逆行列を求めよ。解法の手順 - まずを用意する。 - （第2行の-2倍を第1行に、2倍を第3行に加える） - （第2行と第1行を入れ替える） - （第2行を第1行に加え、第2行の2倍を第3行に加える） - （第3行を第2行に加え、さらに第2行を－1倍する）よって逆行列は、練習問題逆行列を以下の（１）,（２）の行列について求めよ。（１）（２）答え（１）（２）
null	null	はじめに「線型代数学」という教程では、実数体、あるいは複素数体上の行列や線型方程式などの具体的な対象を扱うことが主である。しかし、実は線型代数学という分野はその範囲にとどまるものではなく、一般の体上においてより一般的な議論を行うことが可能である。そしてその一般論は、より抽象的な数学を学ぶ上での基礎の基礎となるものである。この項目では、そのような一般の体上の線型空間に関する一般論を述べる。線型空間の定義線型空間の公理以下、特に断りなければを体（field）とする。一般の体をよく知らない場合には、をなどに読み替えても概ね差し支えない。一般の体上の線型空間（linear space）またはベクトル空間とは、次の公理を満たすような集合（set）のことである。公理を体、を集合とする。の元どうしの演算「+」と、の元に対するの元によるスカラー倍「・」が定められていて、次の条件のすべてを満たすとき、はの上の線型空間であるという。 - (加法の結合律) - (加法の可換律) - (加法単位元の存在) - (加法逆元の存在) - (加法に対するスカラー乗法の分配律) - (体の加法に対するスカラー乗法の分配律) - (体の乗法とスカラー乗法の両立条件) - (スカラー乗法の単位元の存在) これを線型空間の公理という。の元をベクトルという。公理3の「0」をの零元という。公理4のは「」と書き、これをの逆元という。以下、特に断りなければこの本の中ではは体、は線型空間であると約束する。公理から出発するのは抽象的で少しわかりにくいかもしれないが、公理だけから議論をはじめると、この公理を満たすものすべてについて同時に議論することができ、便利である。しかしもちろんこの公理を満たすような具体的な集合にはどのようなものがあるかを知ることも重要である。いくつか例を挙げる。例は通常の演算によって線型空間である。特に、次元ユークリッド空間は線型空間である。例係数の多項式の集合は通常の演算によって線型空間である。例実数上の無限回微分可能な実数値関数全体の集合は線型空間である。例は線型空間である。より一般に、体の拡大があるとき、は線型空間である。問上に挙げた例が線型空間の公理を満たすことを確かめよ。定義とするとき。 - をの線形結合(linear combination)または一次結合という。定義ベクトルに対して、を満たすが以外、存在しないとき、は線形独立(linearly independent)または一次独立であるという。 - ベクトルが線形独立でないとき、は線形従属(linearly dependent)または一次従属であるという。定義上のベクトル空間の部分集合に対し、 - をが上で生成する部分空間といい、をこの部分空間の生成系という。命題が線形独立であることと、が線形独立かつ、であることは同値である。証明まずは、が線形独立ならば、が線形独立かつ、であることを示す。 - とする。このとき、である。が線形独立なので、である。よって、は線形独立である。 - と仮定すると、と表すことができる。移項して、となる。は線形独立なので、各係数は0になるはずだが、の係数は-1なので矛盾。よって - 次に、が線形独立かつ、ならば、は線形独立であることを示す。 - とする。と仮定すると、となるが、なので、矛盾。よってであるから、となるが、は線形独立なので、となる。よっては線形独立。// 基底と次元少し具体的な線型空間について考察してみる。において、次の3本のベクトルの組は特別な意味を持っている。特別とはどういうことかといえば、の任意のベクトルxは、みなこのベクトルのスカラー倍によってと表すことができ、またこの表し方は一意的ということである。一般の線型空間においてもこのようなベクトルの組があれば便利である。そのようなものがあるとき、このベクトルの組に特別な名前をつけよう。定義をの元の組とする。の任意の元に対し、となるの元の組が一意に存在するとき、はの基底（basis）であるという。注意すべきなのは、基底は一つの線型空間に対し一組とは限らないということである。たとえば、先ほどのもの基底であるが、一方もの基底である。命題がの基底であることと、かつが線形独立であることは同値である。証明まずは、がの基底であるなら、かつが線形独立であることを証明する。 - は明らかである。を任意にとると、がの基底であることから、をつかってと表すことができるので、である。よって、であるから、である。 - とする。このとき、両辺を2倍するととなるが、が成り立たないと仮定するとのうちのいずれかは成り立つ。これはがの基底であることに反するので、である。よって、は線形独立である。 - 次に、かつが線形独立ならばがの基底であることを証明する。 - のとき、任意のはと表せる。と表すことができるとすると、となる。ところが、は線形独立なので、である。よってとなり、表し方は一意であることが分かった。すなわち、がの基底である。// 命題とをの基底とすると、つまり、（もし基底が存在すれば）基底の元の数は一定である。言い換えると、基底の元の数は各線形空間に固有の数値である。そこで、この数に名前をつけることにする。定義というの基底が存在するとき、をの次元（dimension）といいであらわす。このときは次元線型空間であるという。自然数が存在するとき、は有限次元であるという。そのようなが存在しないときは、は無限次元であるといい。と書く。なお、線型空間の次元は、であるとする。実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる基底が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初の以外は無限次元の線型空間であるが、にはという基底がある。の基底やの上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。部分空間線型空間の部分集合がまた線型空間になっていることがある。そのとき、この部分集合を線型部分空間（あるいは単に部分空間）という。正確に書けば以下のとおりである。定義が次の性質を満たすとき、はの線型部分空間（linear subspace）であるという。 - - 公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。なぜならば、空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。命題を線型空間、をの線型部分空間とするとき、線型写像線型写像の定義近代的な数学は、ある性質を満たす集合と、その集合たちの間の写像（mapping）とを調べることを基礎として発展してきた。ここでも、線型空間から線型空間への写像について調べてみる。先ほどと同様にして、どのような写像を調べる対象とするか、公理的に与える。線形写像（linear mapping）を以下のように定義する。定義 ,を体における線型空間とする。写像が次の性質を満たすとき、は線型写像であるという。 - 少し例を見てみよう。例 Aをm×n行列とする。は線型写像である。例は線型写像である。例（微分）は線型写像である。問これらが線形写像であることを確かめよ。 kerとim からへの線型写像があるとき、その写像に付随して自然にの部分空間との部分空間が定まる。それがここで挙げるkerとimである。定義を線型写像とする。 - をの核(kernel)という。これはの部分空間である。 - をの像(image)という。これはの部分空間である。をの階数(rank)といい、であらわす。すぐにわかることとして、まずが全射(surjection)であるということは、の像がと一致することと同値である。また、線型写像が単射(injection)であることは、核が0のほかに元を持たないことと同値である。命題線型写像が単射 - （証明） - に0でない元があると仮定すると、かつであり、は単射でない。 - 逆に、と仮定する。とするとであり、は線型写像なのでである。と仮定したので、すなわちである。よっては単射である。□ 行列表示有限次元線型空間の間の線型写像は、基底をとることにより、有限サイズの行列によって表示することができる。つまり、有限次元線型空間の間の線型写像について調べることは、先ほど例として最初にあげたベクトルの行列倍という線型写像を調べることに帰着できる。まず、線型写像は基底の行き先を決めることによって決まることを示しておく。命題 ,を線型空間とし、をの基底、をの元とする。このとき、線型写像であって、を満たすものが唯ひとつ存在する。 - （証明） - の任意の元はを用いてと一意に表せる。ここで写像を - で定めれば、確かに条件を満たす線型写像となっている。逆に、が条件を満たす線型写像であるとすると、線型写像の公理から - となって、先の写像と一致する。□ この命題によって、次のような行列と線型写像とが1対1に対応することがわかる。定義 ,を線型空間とし、をの基底、をの基底とする。線型写像が - - を満たすとき、行列をの行列表示という。和空間と共通部分を部分空間とする。このとき、をとの和空間という。をとの共通部分という。双対空間双対空間の定義線型写像の集合もまた線型空間となる。ここではそのような線型空間を扱うことにする。定義上のベクトル空間からへの線型写像の全体は線形写像は次の加法とスカラー倍により線型空間となる。をの双対空間(dual space)という。双対空間はもとの空間に付随して自然に定まる線型空間である。ゆえに、下で見るようにの性質をかなり受け継いでいる。双対基底の基底をひとつ定めると、その基底に付随してにも自然に基底が定まる。命題をVの基底とすると、に対して - （クロネッカーのデルタ）を満たすようなが一意的に存在し、はの基底となる。このようにして定まるの基底をの双対基底（dual basis）と呼ぶ。双対写像からへの線型写像があるとき、この写像に付随してからへの線型写像が定まる。（向きが逆になっていることに注意）命題を線型写像とする。写像は線型写像である。このようにして定まる写像をの双対写像(dual mapping)と呼ぶ。商空間線型空間をその部分空間で「割る」ことによって新たな線型空間を作ることができる。これを商空間という。具体的には、次のような同値関係を考え、これで元の線型空間を割った商集合に対して線型空間としての構造を入れることにする。同値関係とそれで割った商集合については集合論に記載があるのでここでは繰り返さない。定義を線型空間、をその部分空間とする。このとき、上の同値関係「～」を次で定め、この関係によって割った商集合をと書く。問この関係「～」が同値関係であることを確かめよ。関係「～」が同値関係であることが確かめられれば、晴れては集合として正当化されたことになる。この商集合への標準的な全射によるの像をと書くことにする。標準的な全射が全射であることから、の任意の元はあるの元を用いてとあらわせることを注意しておく。次にこの集合に線型空間の構造を与えたい。そのためには、この集合の元同士の「足し算」と、の元をかける「スカラー倍」の定義を与えればよい。もっとも安直に考えるならば、 - としたいところである。実際このようにするのであるが、ここでひとつ注意しなければならないのは、この演算が「定義になっている」かどうかである（きちんと定義になっていることをしばしば「well-definedである」という。定着した日本語訳は残念ながら存在しない）。どういうことかというと、次のことを確かめなければならない。今までわれわれが知っていた演算については、これは当たり前の事実である。しかし、われわれは今新しい演算を定義しようとしているのであるから、この新しい演算が「まともな」定義であることを確かめなければならない。このことに注意する必要がある。これは特に今の場合に限らず商集合になんらかの構造を入れようとするときには必ず気をつけなければならないことである。 well-definedであることを確かめなければならないということはなかなか理解しがたいかもしれないが、実際にwell-definedであることを確かめるのは容易であるので読者に任せる。問上で定義した演算がwell-definedであることを確かめよ。 - （ヒント：示すべきことをもっと直接的に書き下せば、である）問この演算によってが線型空間になっていることを確かめよ。問標準的な全射は線型写像であることを示せ。商空間の基底双対空間においては、元の空間の基底に対応した基底を自然に取ることができた。商空間においても、ある意味で同様のことができる。命題を有限次元線型空間、をその部分空間とし、はの基底であり、しかもそのうち最初の個はの基底であるとする。このとき、はの基底。 - （証明） - を任意に取る。とかける。このとき、の定義から - と表示できる。あとはこの表示の一意性を言えばよい。とすると、。これより系商空間と線型写像線型写像があるとき、そのkernelはの部分空間だったので、割った商空間を考えることができる。ここではこの商空間と元の線型写像とについて調べる。補題 V,Wを線型空間、を線型写像とする。このとき、として写像を定めるとこれはwell-defined。 - （証明）を示せばよい。とはすなわちのことなので、f(x-x')=0。すなわちf(x)-f(x')=0である。定理（準同型定理）上で定めたは同型。 - （証明）全射性は自明なので単射性を示す。とすると、f(x)=0なので、。すなわち商空間においてである。これはということに他ならず、したがっては単射である。系（次元定理） ,が有限次元線型空間のとき、
null	null	を互いに重複しないように、にうつす操作をn次の置換という。置換によってiがうつされる行き先をと表す。置換は、次のように、上にもとの元を、下の行き先を並べて表現される。これは、行列と同じ表現だが、行列ではないことに注意する。例えば、 1を2に、2を3に、3を1にうつす置換は、3次の置換であり、となり、この置換は、と表せる。単位置換のように、すべての整数が変化しない置換のことを単位置換という。逆置換ある置換に対し、を逆置換という。置換全体の集合 n次の置換全体の集合をと表す。例えば、である。 n次の置換全体の集合の個数がであることは自明であろう。置換の合成置換に対し、置換の合成をと定める。これは、に対し、と表記することもできる。こうすると、記述量が少なくなり、便利だろう。置換の性質置換について、以下の性質が成り立つ。 - - - 証明 - に対し、よって、である。 - に対し、よってである。 - に対し、よってである。のように、iとjだけを交換する置換を互換という。任意の置換は互換の積で表すことができ、互換の個数の偶奇は互換のとり方によらず、同じであるという性質がある。置換を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数個の置換を偶置換、奇数個の置換を奇置換という。 - 証明をの符号という。行列式行列に対して、をAの行列式という。 ※ とは、にの元をすべて代入して足し合わせろという意味である。たとえば、のとき、とは同じ意味である。 2次正方行列の行列式を求めてみよう。行列式の定義に当てはめると、である。であるから行列式はである。 3次の行列式では、となる。これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶもので、右図のように斜めに数を乗じたものの和と考えることができる。例えば、第1項は、1行1列のから、3行3列のまでを右下に向かって順に乗じたものに等しい。また、次のは、1行2列のから始めて、右下に向かって順に乗じたものに等しい。2行3列のの次は端を突き抜けて、3行1列のに至る。第3項も同様である。 4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下（右図では右上）に向かって乗じて、符号を反転したものである。以降の行列ではこのような簡単な計算法は得られない。項の数は行列で個であるため、大きな行列について計算機を使わずに行列式を計算するのは困難である。行列式の基本性質行列式について成り立つ性質のうち、以下の4つは基本的である。 - - - - 単位行列の行列式は1。 1. と 2. の性質を合わせて「列についての多重線型性」という。3. の性質は「列についての交代性」という。一般に任意の正方行列についてであるから、これらの性質は行についても成り立つ。 - 証明 - よって証明された。 - よって証明された。 - n次の置換にの互換を合成した置換をとする。このときである。もしが奇置換であればは偶置換、が偶置換であればは奇置換であるからである。ゆえによって証明された。 - 行列式を計算すると、対角成分の積の項が1、それ以外の項は0になることから直ちに得られる。 - (転置についての不変性) 任意の置換とその逆置換について符号は等しいから、として以下のように示される。任意の正方行列に対してある実数を対応付ける作用のうち、この4つの性質を全て満たすのは行列式だけであり、この性質を定義として行列式を導出できる。
null	null	逆行列の一般型逆行列は、で書かれる。ここでCは、Aの余因子行列である。導出第l行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 , (は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。よって求める行列 ACは、となり、は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので実用的な計算には用いられない。実用的な計算にはガウスの消去法が用いられることが多い。
null	null	線型代数学/序論 < 線型代数学（線形代数学はじめにから転送）線形代数学を学ぶ意味線形代数学は、多くの理工系の大学において必修とされている、数学の中でもとても重要な分野である。ここでは、線形代数学を学ぶ意味について述べる。線形代数学とは、端的に言えば、「まっすぐなもの」を扱う方法を学ぶ分野である。「曲がったもの」の扱いは難しいが、「まっすぐなもの」については美しい理論ができあがっており、その理論に基づけば、簡単に正しく扱うことができる。世の中にあるものの多くは「まっすぐ」ではないが、近似的には「まっすぐ」とみなすことができることはしばしばある。そのような場合、曲がったまま扱うのは難しくても、「まっすぐ」に近似した上で線形代数学の理論を適用すると簡単に扱えることがある。例えば、曲がったグラフに接線を引く微分操作は、このような扱いの代表例である。線形代数学で学ぶ内容上に書いたような「まっすぐなもの」の集合を線形空間と言う。また、線形空間から線形空間への「まっすぐな」写像を線形写像という。線形代数学の理論によると、多くの線形空間では、基底を取ることによって、元はベクトルで、線形写像は行列で表せることがわかっている。そこで、まずは行列の扱い方を学び、その基本を一通り習得した後、線形空間や線形写像についての一般論を学ぶ。その一般論を用いると、より高度な行列の扱い方を知ることができる。その中でもジョルダン標準形の理論は実用上も重要な理論である。本書で用いる記号定義0.0.1 「ものの集まり」を集合という。集合を構成するものを元または要素という。a が集合Aの元であることをで表す。以下、おもな集合を挙げる。本書では今後断りなしにこれらの記号を用いる。定義0.0.2 - = {実数} ; 実数全体の集合。 - = {自然数} ; 自然数全体の集合。 - = {整数} ; 整数全体の集合。 - = {複素数} = ; 複素数全体の集合。 - = {有理数} = ; 有理数全体の集合。 - ; 任意の体。体というのは、四則演算に対して閉じている集合。本書では特に断りのない限り、またはとする。量化記号については、詳しくはこちらを参照してほしい。 - ^ 「任意の」と「すべての」は本質的には全く同じことである。すべてのものについて成り立つなら、任意のものについても成り立つし、任意のものについて成り立つなら、すべてのものの中から選んだ全部のものについても成り立つ。よってすべてのものについて成り立つ。
null	null	余因子行列余因子正方行列に対して、行列の行目と列目を取り除いて得られる行列をと表す。このとき、をの余因子という。 - 例の余因子は、である。余因子展開次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。ただし、は次正方行列である。これを、余因子展開という。証明とする、このとき、である、ここで、行列の列目は、と表すことができ、 (1)式は、と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、である。ここで、について考える。この行列の行目と、行目を入れ替る。行目と、行目を入れ替える。・・・行目と、行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は倍されるのだった。この操作では、回の入れ替えを行うので、この式は、倍されている。次に、同じように、列目と、列目を入れ替える。列目と、列目を入れ替える。・・・列目と、列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。であることについての説明は不要であろう。これを、行列式の定義に従って展開する。一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、と一致する。よって、この行列式は、である。これを、(2)式に代入すれば、となり、証明された。これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。余因子行列をAの余因子行列という。余因子行列には、以下の性質がある。証明なので、行列の成分は、である。 (i)のとき - (1)式は、行列の列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式はのとき、である。 (ii)のとき - 行列の列目が行列の列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。 - この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。 - 同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、のとき、0である。まとめると、である。よってである。同様の議論を行えば、も導くことができる。逆行列の計算のときが存在するので、にを右からかけで割れば、である事がわかる。
null	null	とを自然数とする。個の数を、括弧で囲んだ中に次のように縦に個、横に個、表のように並べて書いたものを、行列の行列(matrix)と言う。(m×n)-行列とも言う。この行列を構成するを行列の成分(element)と言う。横に並んだ一列を行(row)、縦に並んだ一列を列(column)と言う。上から番目の行を第行といい、左から番目の列を第列と言う。行列内の第行、第列に位置する成分を、この行列の-成分と言う。行列Aの成分が、である行列をと書く。行列の第k列の列ベクトルをとする。行列は、この列ベクトルを用いて、行列は、と表すこともできる。同じように、行列の第k行の行ベクトルをとしたとき。行列は、この行ベクトルを用いて、行列は、と表すこともできる。成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、の場合、(n×n)-行列を特にn次正方行列と呼ぶ。相等関係 2つの(m×n)-行列に関し、とが等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、 - のとき、 2個のm行n列行列とについて、行列の和 A+B を次のように定義する。 , のとき、のとき、と表現することもできる。スカラー乗法また、行列と定数について、行列の定数倍を次のように定義する。のとき、特に、のとき、をと書く。また、をと書く。２個の行列とについて、Aの列数とBの行数が同じでの場合に、行列の積を次のように定義する。 , のとき、AとBの積ABを - によってと定める。この定義は難しく見えるが、行列の行目の行ベクトルと、行列の列目の列ベクトルの内積が行列の成分になっているだけである。行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。(m×n)-行列と(n×l)-行列の間にのみ定義されているのである。例題次の計算をせよ。 - 解答例題行列、行列、行列について、を証明せよ。 - 解答ここでは、行列の成分をと表すことにする。よって、零行列行列成分が全て0の行列を零行列（zero matrix）といい、と書く。特に(m×n)-行列であることを明示する場合には、0m,nと書き、n次正方行列であることを明示する場合には0nと書く。任意の行列に、適当な零行列をかけると、常に零行列が得られる。零行列は、実数における0に似ている。単位行列に対して、成分を、次正方行列の対角成分（diagonal element）という。行列の対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列を単位行列（elementary matrix、あるいはidentity matrix）といい、やと表す。が明らかである場合にはしばしば省略して、やと表すこともある。クロネッカーのデルタを使うと. 行列の演算の性質を任意の行列、を任意の定数、を零行列、を単位行列とすると、以下の関係が成り立つ。 - 結合法則: - 交換法則: - - - - - - - - - - 転置行列に対してをの転置行列（transposed matrix）と言い、やと表す。つまりとは、の縦横をひっくり返した行列である。以下のような性質が成り立つ。 - - - - 証明とする。 - 転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻る。 - の成分はであり、の成分はである。 - の成分はであり、の成分はであるから。 - の成分はなので、の成分はである。次に、の成分はの成分はであるので、の成分はであるから。ただし、をの列数とする。複素行列ある行列Aのすべての成分の複素共役を取った行列を、複素共役行列（complex conjugate matrix）という。以下のような性質がある。 - - - 一番最後の式には注意せよ。とりあえず、ここで一休みして、演習をやろう。演習 - 1.定理(1.5.1)を証明せよ - 2.計算せよ - (1) - (2) - (3) - (4) - () 3. - 対角成分1が全て1それ以外の成分が全て0のn次正方行列2を、単位行列と言い、Enと書く。つまり、 - , - このδi,jを、クロネッカーのデルタ（Kronecker delta）と言う、またはクロネッカーの記号と言う。この時、次のことを示せ。 - (1)のとき、AX=E2を満たすXは存在しない - (2)の時、(1)の定義で、BX=AとなるXが存在しない。 - また、YB=Aを満たすYが無数に存在する。 - (3)n次行列(n次正方行列)Aのある列が全て0なら、AX=Eを満たすXは存在しない。 - 1対角成分:n次正方行列A=(ai,j)で、(i=1,2,...,n;j=1,2,...,n)ai,i=a1,1,a2,2,...,an,nのこと - 2n次正方行列:行と、列の数が同じnの時の行列区分けは、 , , とすることで、一般に、定義(2.1)行列の区分け (l,m)型行列A=(ai,j)をp-1本の横線とq-1本の縦線でp×qの島に分けて、上からs番目、左からt番目の行列をAs,tとおいて、とすることを、行列の区分けと言う。定理(2.2) 同様に区画された同じ型の、 , がある。この時、 (2.3) (s=1,2,...,p;u=1,2,...,r) (証明) - (i) - As,tを(ls,mt),Bt,uを(mt,nu)とすると、As,tBt,uは、tと関係なく、(ls,mt)型行列であるから、それらの和Cs,uも(ls,mt)型行列である。よって、(2.3)は意味を成す。 - (ii) - Aを(l,m)Bを(m,n)型、(2.3)の両辺の対応する成分を(α,β)、 - , - . - とおけば、Cs,uの(α,β)成分とCの(i,k)成分,As,tBt,uは等しく、それは - であり且 - ⇔の(α,β)成分= - (i),(ii)より、定理(2.2)は証明された。例 - p=q=r=2とすると、 (2.4) - A2,1,B2,1=Oとすると、(2.4)右辺は - と、区分けはこの時威力を発揮する。A1,2,B1,2=Oならさらに威力を発揮する。例 - 単位行列Enをn個の縦ベクトルに分割したときの、そのベクトルをn項単位ベクトルと言う。これは、ベクトルの項でのべた、2,3次における単位ベクトルの定義の一般化である。Eのことを単位行列と言う意味が分かっただろうか。ここでAを、(l,m)型Bを(m,n)型と定義しなおし、 - B=(b1,b2,...,bn) - とすると、 - AB=(Ab1,Ab2,...,Abn) - この事実は、定理(2.2)の特殊化である。縦ベクトルx=(xi)は、 x=x1e1+x2e2+...+xkek と表す事が出来るが、一般に x1a1+x2a2+...+xkak をa1,a2,...,akの線型結合と言う。演習計算せよ (1) (2) 逆行列となる行列が存在すれば、をの逆行列といい、と表す。また、に逆行列が存在すれば、を正則行列といい、逆行列はただ一通りに決まる。証明 - に逆行列が存在すると仮定すると。 - が成り立つので、 - よってとなるので、逆行列が存在すれば、ただ一通りに決まる。逆行列については、以下の性質が成り立つ。 - 証明 - の逆行列は、定義から、となるであるが、にを代入すると成り立っているので、である。 - の逆行列は、となるであるが、にを代入すると、 - - - となり、式が成り立っているのでである。定義(3.2.4)対称区分け正方行列を一辺が等しい正方形の島に区分けするとき、この区分けを対称区分けと言う。簡単な証明で「定理(3.2.5) 対称区分けで、において、A1,1とA2,2が正則ならば、Aも正則である。」及び次のことが言える。「対称区分けで、 A=(Ai,j)で、(i,j=1,2,...n)ならば、Aが正則である必要十分条件は、Aiがすべて正則である事である」その逆行列は、次のように与えられる。また、(3.2.5)の逆行列A-1は、である。行列の累乗行列の累乗は、を正則行列、を自然数とし、次のように定義される。 - - 行列の累乗には以下の性質がある。 - - - のときただし:を正則行列、を自然数とする。証明 - なので、隣り合うAとBを入れ替えていくとこれを続けると、となる。その他正方行列(ai,j)において、ai,iを対角成分と言う。また、対角成分以外が全て0である正方行列のことを対角行列（diagonal matrix）と言う。対角行列が正則であるための、必要十分条件は、対角成分が全て0でないということである。4章で示される。対角行列の中でも更にスカラー行列と呼ばれるものがある。それはcE(c≠0)の事である。勿論Eはc=1の時のスカラー行列で、対角行列である。また、スカラー行列cEを任意行列Aに掛けると、CAとでる。対角行列が定義されたので、固有和が定義できる。定義(3.2.6)固有和または跡（trace） - 正方行列Aの固有和 - TrA - とは、対角成分の総和である。次のような性質がある Tr(cA)=cTrA, Tr(A+B)=TrA+TrB, Tr(AB)=Tr(BA)
null	null	ここでは、基本変形と階数について議論する。特に、階数は線型代数学では非常に重要な概念であるので十分理解されたい。基本行列以下の3種の行列,を基本行列（fundamental matrix）という。 - - （n次単位行列の第i行と第j行を入れ替えたもの。） - - （n次単位行列の第i行をC倍したもの） - - （n次単位行列の第i行、第j列をCに置き換えたもの）左（右）から基本行列をかけることを左（右）基本変形（fundamental operation）という。左（右）からP(i,j),Q(i;c),R(i,j;c)をかけるということことは、それぞれ - 第i行（列）と第j行（列）を入れ替える。 - 第i行（列）をc倍する。 - 第j行（列）のc倍を第i行（列）に加える。という操作を行うことに対応する。 - 例である。基本行列の正則性基本行列は正則である。実際、である。定理と定義は基本変形によって以下の形に一意的に変形できる。このとき、rを行列Aの階数（rank）といい、などと書く。（証明）のときは上の形になっている。以下、とする。今、としても一般性は失われない。まず、を左からかけるととなる。次に、を右からかけるととなる。そして、を左から、を右からかけ、さらにを左からかければ、となる。なら上と同じ操作をすれば、帰納的に求めたい形になる。（一意性）以下とする。 Aに基本変形を施して以下の２つの形になったとする。ここで、基本変形の正則性から、正則行列が存在して、したがってが成り立つ。これから、は正則だから ∴ □ またこのことから、において - は正則であることが分かる。の階数を求めよ。（第１行の２倍を第３行に加える）（第２行の２倍を第１行に、１倍を第３行に加える）（第１列の－１倍と第２列の－１倍を第３列に加える）したがって、この行列の階数は２である。□ 練習問題以下の１～４の行列の階数を求めよ。（１）（２）（３）（４）答え：（１）…３（２）…４（３）…３（４）…２
null	null	線形代数学/逆行列の一般型 < 線形代数学（線形代数学逆行列の一般型から転送）線型代数学 > 逆行列の一般型逆行列の一般型逆行列は、で書かれる。ここでCは、Aの余因子行列である。導出第l行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 , (は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。よって求める行列 ACは、となり、は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので実用的な計算には用いられない。実用的な計算にはガウスの消去法が用いられることが多い。
null	null	刑法総論刑法総論の教科書。刑法総論は序論、犯罪論、刑罰論で構成され、犯罪論内部では構成要件論、違法性論、責任論、罪数論で構成される。ここでは犯罪論を中心に解説する。犯罪論体系の意味罪刑法定主義：刑法の自由保障機能法律主義遡及処罰の禁止罪刑法定主義の原則によれば、行為後に成立した法規を遡って適用することは許されない。日本国憲法第39条は、遡及処罰の禁止の原則を掲げている。（「何人も、実行のときに適法であった行為又は既に無罪とされた行為については、刑事上の責任を問はれない。又、同一の犯罪について、重ねて刑事上の責任を問はれない。」）この原則を、事後法の禁止ともいう。刑罰法規は、それが施行された時以後の犯罪に対してのみ適用される。限時法類推解釈の禁止類推解釈を認めるか否かについては、激しい対立がある。拡張解釈と類推解釈とは、どのように区別されるのだろうか。拡張解釈とは、法規によって示された概念を可能な限り拡張して解釈する方法をいう。それに対して、類推解釈とは、法規の意味するところを超えて解釈することをいう。拡張解釈は許されるが、類推解釈は許されないと解されている。なぜなら類推解釈は、罪刑法定主義の原則に反することになるからである。実体的デュープロセス明確性の理論構成要件論構成要件概論主体論法人の犯罪能力身分犯間接正犯行為論不作為犯不作為犯とは、ある一定の行為をしないことによって犯罪となるものをいう。例えば、不退去罪（刑法130条後段）、保護責任者遺棄罪（同218条後段）などである。これらの犯罪を、真正不作為犯という。これらの犯罪に対して、構成要件が作為の形式で規定されている場合にある一定の不作為が実行行為となる犯罪のことを不真正不作為犯という。例えば、嬰児の母親が殺害の意図をもって授乳しないことにより嬰児を餓死させた場合などである。通説・判例によれば不真正不作為犯は認められるが、これが実行行為として認められるためには、不作為があくまでも法律上の義務に違反するものでなければならない。因果関係条件関係相当因果関係結果的加重犯客体論：保護法益結果侵害犯と危険犯結果犯と単純行為犯即成犯・継続犯・状態犯主観的構成要件要素目的犯・傾向犯・表現犯主観的違法要素違法性論行為無価値論·結果無価値論概要数ある刑法学の論点の中でも、現在最も激しく、極めて多くの論点に関係してくるものである。すなわち、刑法における違法性は法益を侵害したという結果の無価値（及びその危険性）によるもの（結果無価値論）か、それとも行為の反規範性に求める（行為無価値論）のか、である。ただし、日本においては純粋な行為無価値一元論はほとんど主張されておらず、結果無価値一元論と、結果無価値に加えて行為無価値も併せて考慮する結果無価値・行為無価値二元論の対立となっている。議論の歴史本来はドイツで成立した議論である。ヴェルツェルにより従前の刑法体系を結果無価値論と名付けてこれを批判し、自らの立場を行為無価値論として社会的価値観を基礎に刑法を解釈すべしと主張された。その後戦後の新憲法を背景に、平野博士によって団藤博士を始めとする従前の刑法体系を価値の押し付け的な行為無価値論であるとして批判し、刑法の違法性はあくまで結果無価値によるべきとする論が展開された。行為無価値論の代表とされた団藤博士や大塚博士らがそれぞれ主に主観主義刑法、目的的行為論等との論議に目を向け、積極的に結果無価値論に対する反論をしてこなかったために結果無価値論は隆盛し学会において多数説化する。とりわけ東京大学においては、早世した藤木博士の後任に結果無価値論者の内藤が招かれたことによって、実務は未だいわゆる行為無価値論（正確には結果無価値・行為無価値二元論）を採るにもかかわらず、刑法講座は全て結果無価値論者で占められる事態となり理論と実務の乖離が進んでしまう。その後大谷教授や前田教授らによる対立の止揚が試みられる一方で、山口教授による平野説を基本とした結果無価値の徹底的な純化も図られた。戦後隆盛した結果無価値論が一応の到達点を見たこと、ロースクールの開講によって学者といえども実務の実態を無視できなくなったことなどから、今後議論の方向性が変化するとも考えられる。代表的立場単に結果無価値論、行為無価値論と呼ぶことが多いが、完全な二項対立ではないことに注意すべきである。 - 関西結果無価値一元論 - 二元的結果無価値論 - 前田、木村等。前田教授は結果無価値論の代表的論者と言われる事が多いが、行為無価値論に立つ藤木博士の実質的犯罪論の立場を受け継ぎつつも行為無価値的な判例を結果無価値的に読み替えようとする立場であるため結果無価値論の中でも異端であり、典型的な結果無価値論とは異なる。 - 二元的行為無価値論 - 一元的行為無価値論議論の構造違法性阻却事由 - 正当行為 - 正当防衛 - 緊急避難正当行為 - 法令による正当化 - 被害者の意思による正当化被害者の承諾・同意正当防衛緊急避難過剰防衛·過剰避難 - 過剰防衛 - 過剰避難違法性阻却事由の錯誤誤想防衛·誤想避難 - 誤想防衛 - 誤想避難誤想過剰防衛等 - 誤想過剰防衛責任責任論道義的責任と社会的責任 - 道義的責任 - 社会的責任行為責任と人格責任 - 行為責任 - 人格責任責任能力心神喪失・心神耗弱原因において自由な行為刑事未成年者故意 - 犯罪体系上の故意の位置づけ - 構成要件的故意 - 構成要件的事実の錯誤違法性の意識 - 違法性の意識の要否と位置づけ - 違法性の錯誤 - 幻覚犯
null	null	刑罰論（罰金から転送）法学＞刑事法＞刑法＞刑法概論＞関係諸法等 (刑事法)＞行刑法＞刑罰論・刑罰の種類刑罰論総論刑罰の機能 - 刑法の本質のひとつは、個人の報復権の国家への委譲であり、その意味では応報的であることが求められる。それと同時に、一般人への警告機能として一般予防機能、刑罰の執行（行刑）を通じて犯罪者の再犯を抑止する特別予防機能が期待される。なお、行刑を通じて犯罪者を一般社会から隔離する機能（隔離機能）も認められるが、これは副次的なものであり、刑罰の本質的目的としがたい。刑罰の分類 - 刑罰は講学以下のものに分類される。なお、現行刑法に定めのないものについては、刑罰の一覧に詳しい。 - 生命刑 : 行為者の生命を奪うもの。方法としては死刑のみ。 - 身体刑 : 行為者の身体に対する苦痛、身体の完全性を欠くことによるもの。歴史的には、死刑とともに刑罰の主流をなしており、鞭打ち等身体に苦痛を加えるもの（笞刑、杖刑）、身体の一部を切断するもの（宮刑、断手）、入れ墨等様々なバリエーションがあり、十分な威嚇効果を有していたが、近代において、その残虐性が非難されほとんどの国家で刑罰として廃止された。しかしながら、現在においても、一部のイスラム国家に残る。また、米国等先進諸国において、性犯罪者に対し、判決において断種等が言い渡されることがあるが、これは刑罰論とは別の文脈で議論すべきものである（刑事政策の範疇ではある）。 - 自由刑 : 行為者を拘禁し、自由を剥奪するもの（追放刑を含む場合もある）。日本の刑法においては、懲役、禁錮及び拘留が規定されている。その他、諸外国において、週末拘禁や自宅禁錮等の制度がある。 - 追放刑 : 行為者に一定区域への移動を禁じ、移動・居住の自由を剥奪するもの。歴史的には職業の拠点を失うこととなり、厳刑のひとつであったが、近代にいたりその効果が低下した。諸外国においては、国外追放を刑罰として有する国もある。なお、日本における、日本に生活の拠点を有する外国籍者に対する国外退去処分は、追放刑同様の効果をもたらすが、刑罰とされていないため刑事手続きによらない。従って、刑事手続き上の保証も与えられておらず問題視する向きもある。 - 名誉刑 : 行為者の名誉・身分を剥奪するもの。爵位剥奪、江戸時代における非人手下等がその例である。また、江戸時代の「晒し」等、市中において犯罪者として衆目に晒される刑も、名誉刑のひとつといえる。歴史的に、名誉＝職業であったことも多く、名誉剥奪が経済的打撃を与えることもあった。しかしながら、現在においては、多くの近代国家において封建的身分制度は存在しておらず、名誉は主観的な問題であり、一般的な刑罰効果を評価することは難しい。この観点からは、マスコミの犯罪報道は実質的な名誉刑に相当しているとも言えるが、やはり刑事手続きの外にあり、刑事政策上問題がないとは言えない。 - 財産刑 : 行為者の財産を剥奪するもの。日本の刑法においては、主刑として罰金及び科料が、付加刑として没収が規定されている。 - 現在の日本の刑法においては、その制定時から身体刑、追放刑及び名誉刑は採用されていない。これは、身体刑の不採用は近代市民主義の帰結であり、追放刑・名誉刑は刑法制定当時の日本においてはすでに、刑罰としての実効性を失っていたためと思われる。主刑と付加刑残虐な刑罰の禁止死刑作成中、w:死刑を参照。懲役（2022年改正により「拘禁刑」）作成中、w:懲役を参照。禁錮（2022年改正により廃止）作成中、w:禁錮を参照。拘留作成中、w:拘留を参照。罰金作成中、w:罰金を参照。科料作成中、w:科料を参照。没収作成中、w:没収を参照。
null	null	羅馬史略羅馬史畧羅馬史略（羅馬史畧、ろーましりゃく）は、明治初期の1874年～1875年（明治7～8年）に日本の文部省が発行した古代ローマ史の教科書。全10巻で、英米の複数の著述家などが著した英語の著作をもとに、英学などを修めて当時の文部省職員であった大槻文彦（1847-1928、国語学者として著名）が翻案したものである。『羅馬史略』という書名は「ローマ史の概略」あるいは「概説ローマ史」というような意味である。内容の範囲は、伝承上の初代王であるロームルスによる建国（紀元前8世紀）から、東ローマ帝国の滅亡（1453年）までの約2200年間に及ぶ。古代ローマ史だけで10巻もの教科書が発行された背景には、当時の明治政府が国民への西洋事情の啓蒙を急いでいたという時流があったのであろう。明治初期の著作全般にいえることであるが、近代日本語の口語文が確立する前の文語文で書かれ、漢字・仮名ともに現代では用いられない特殊な字体も見られるため、大戦後の現代日本人には甚だ読みづらい代物である。ここでは、ローマ史のハイライトというべき題材を選び、読みづらい日本語文語文を判読しつつ、明治維新期の日本政府が教育しようとしていたローマ史を読み解く。『羅馬史略』という書名は「ローマ史の概略」あるいは「概説ローマ史」というような意味である。内容の範囲は、伝承上の初代王であるロームルスによる建国（紀元前8世紀）から、東ローマ帝国の滅亡（1453年）までの約2200年間に及ぶ。古代ローマ史だけで10巻もの教科書が発行された背景には、当時の明治政府が国民への西洋事情の啓蒙を急いでいたという時流があったのであろう。明治初期の著作全般にいえることであるが、近代日本語の口語文が確立する前の文語文で書かれ、漢字・仮名ともに現代では用いられない特殊な字体も見られるため、大戦後の現代日本人には甚だ読みづらい代物である。ここでは、ローマ史のハイライトというべき題材を選び、読みづらい日本語文語文を判読しつつ、明治維新期の日本政府が教育しようとしていたローマ史を読み解く。各巻の内容羅馬史略の読解 - 巻之五 - /塞撒ガ髙盧ヲ征伐スル事（カエサルがガリアを征伐する事） (2023-03-19) （2022年8月18日より） - /塞撒不列顛ヲ進略スル事（カエサルがブリタンニアを侵略する事） (2024-01-12) （2023年3月26日より）付録 - /漢語表記について (2022-08-22) （2022年8月22日より）
null	null	羅馬史略/漢語表記について『羅馬史略』など明治初期の書物において、西洋の固有名詞（地名や人名）を表記するにあたっては、中国の漢語（漢文）にならった当て字の漢字表記と、カタカナによる表記が混在していた。特に慣用化した固有名詞については、決まった漢字表記が用いられていた。それらの漢字表記は、漢語（漢文）の表記を踏襲したものもあれば、英語などの発音に日本人の訳者が漢字を当てたものもある。（編集中）脚注 - ^ ラテン語のローマ国家の国号は senātus populusque Rōmānus「ローマの元老院と人民」。また、ローマ帝国（Roman Empire）に当たる表現として Imperium Romanum「ローマの支配圏」などがある。 - ^ 英語の Cæsar という綴りが「セサル」と解されたのであろう。
null	null	条文（地域計画） - 第十四条都道府県は、海岸漂着物対策を総合的かつ効果的に推進するため必要があると認めるときは、基本方針に基づき、単独で又は共同して、海岸漂着物対策を推進するための計画（以下この条及び次条第二項第一号において「地域計画」という。）を作成するものとする。 - ２地域計画には、次の事項を定めるものとする。 - 一海岸漂着物対策を重点的に推進する区域及びその内容 - 二関係者の役割分担及び相互協力に関する事項 - 三海岸漂着物対策の実施に当たって配慮すべき事項その他海岸漂着物対策の推進に関し必要な事項 - ３都道府県は、地域計画を作成しようとするときは、あらかじめ、住民その他利害関係者の意見を反映させるため必要な措置を講ずるものとする。 - ４都道府県は、地域計画を作成しようとするときは、あらかじめ、関係する地方公共団体及び海岸管理者等の意見を聴かなければならない。 - ５都道府県は、地域計画を作成しようとする場合において、次条第一項の協議会が組織されているときは、あらかじめ、当該地域計画に記載する事項について当該協議会の協議に付さなければならない。 - ６都道府県は、地域計画を作成したときは、遅滞なく、これを公表しなければならない。 - ７第三項から前項までの規定は、地域計画の変更について準用する。
null	null	（海岸漂着物対策活動推進員等） - 第十六条都道府県知事は、海岸漂着物対策の推進を図るための活動に熱意と識見を有する者を、海岸漂着物対策活動推進員として委嘱することができる。 - ２都道府県知事は、海岸漂着物対策の推進を図るための活動を行う民間の団体を、海岸漂着物対策活動推進団体として指定することができる。 - ３海岸漂着物対策活動推進員及び海岸漂着物対策活動推進団体は、次に掲げる活動を行う。 - 一海岸漂着物対策の重要性について住民の理解を深めること。 - 二住民又は民間の団体に対し、その求めに応じて海岸漂着物等の処理等のため必要な助言をすること。 - 三海岸漂着物対策の推進を図るための活動を行う住民又は民間の団体に対し、当該活動に関する情報の提供その他の協力をすること。 - 四国又は地方公共団体が行う海岸漂着物対策に必要な協力をすること。
null	null	条文（処理の責任等） - 第十七条海岸管理者等は、その管理する海岸の土地において、その清潔が保たれるよう海岸漂着物等の処理のため必要な措置を講じなければならない。 - ２海岸管理者等でない海岸の土地の占有者（占有者がない場合には、管理者とする。以下この条において同じ。）は、その占有し、又は管理する海岸の土地の清潔が保たれるよう努めなければならない。 - ３市町村は、海岸漂着物等の処理に関し、必要に応じ、海岸管理者等又は前項の海岸の土地の占有者に協力しなければならない。 - ４都道府県は、海岸管理者等又は第二項の海岸の土地の占有者による海岸漂着物等の円滑な処理が推進されるよう、これらの者に対し、必要な技術的な助言その他の援助をすることができる。
null	null	美術教育はじめに美術教育は非常に重要である。さまざまなイメージをふくらませ、創造性の高い職業(工業、科学、文学、芸術など)に必要不可欠である。また、美術はいくつかの専門分野に分かれるが、これは、個々の脳の特性によって理解することができる。主に具象的、抽象的な表現があるが、具象的な表現が得意な人は右脳の働きが活発で、また、抽象的表現が得意な人は左脳の働きが活発な傾向がある。したがって、具象的な絵画や彫塑などが得意な人は空間認識能力、予測能力が高く、また、抽象的なデザインなどが得意な人は言語能力、数学的論理能力が高い。美術的才能を磨くことによって、多方面の才能(科学、文学、商業など)を容易に伸ばすことにつながる。美術教育の意義とは複合的には五感を使うのであるが、主に、目で見る判断能力、手を使った製造能力の2つの能力を磨くことになる。目と手を使って感じ取りながら表現を行う行為は、幼児教育から必要であり、もっとも原始的であり、もっとも有効な手段となる。最近の教育界の動向としては、芸術教育を減らす方向に進んでいるが、このことが逆に子供の全体的に物事をとらえる力をなくし、数学(算数)・理科嫌いを助長しているといわれている[要出典]。美術の構造と学習道具、媒体筆紙貼る粘土撮る表現方法平面(2次元) 描写色彩平面デザイン版画漫画立体(3次元) 彫塑立体デザイン複合(2～3次元) 絵本映画コンピュータグラフィック
null	null	群論代数学入門の群に関する項である。Wikipediaの方にも詳細な記述があるが、百科事典という性格上、個々の例について深い解説を与えることはできない。ここでは、初学者でもわかりやすいよう、個々の例について深い解説を与えながら見ていこうと思う。導入二項演算集合Aと写像があるとき、を上の二項演算という。に対して、通常をとかく。が写像であるとは、任意のに対してが定まるということである。このことを強調した表現として、Aは演算について閉じているということがある。例任意の2つの整数の足し算は、整数になる。つまり、足し算は、整数の集合上の二項演算である。一方、整数の割り算は二項演算ではない。1÷2=1/2は整数ではないから、整数は割り算について閉じていない。代数構造集合Gに演算が定まっているとき、とかく。集合と演算の組を代数系あるいは代数構造という。代数構造の例定義は大げさだが、既に我々は代数構造の例を十分すぎるほど知っている。いくつか挙げてみる。整数の集合において通常の足し算+は演算であり、は代数構造である。実数の集合において通常の掛け算は演算であり、は代数構造である。これから我々はこのようなよく知っている代数構造の抽象的な性質だけを抜き出して調べることで、同じ抽象的性質を持つより複雑な代数構造も含めて統一的に性質を調べていこうとしている。結合則と半群さて、ここからは、代数構造にルールを付け加えていくと、どうなるかを考えてみよう。代数構造(G,·)があるとする。このとき、結合則とは、次のルールのことをいう。 ∀ a,b,c ∈ Gについて、 a · (b · c) = (a · b) · c 結合則が成り立つ代数構造のことを、半群（semi group）という。半群とは集合 S と二項演算 "•" の組 (S, •) であって、二項演算 • が以下の条件 - 演算が閉じている - S の各元 a, b に対して、演算結果 a • b は再び S に属する。 - 結合律 - S の各元 a, b, c に対して、等式 (a • b) • c = a • (b • c) が満たされる。がともに成立するものを言う。結合則は、成り立つ場合もあるし、成り立たない場合ももちろんある。やはり、例を考えてみよう。結合則が成り立つ例自然数の集合をN、足し算を + とする。代数構造(N,+)について、結合則が成り立つことは、直感的に明らかだろう。例えば、6 + ( 3 + 2 ) = ( 6 + 3 ) + 2 = 11 である。これを、あえて証明したいと思った場合は、まず、すべての自然数が、1+1+1+...+1 の形に書けることを示し、次に、1+1+...+1 の列に対して、結合則が成り立つことを示せばよい。結合則が成り立たない例自然数の集合をN、引き算を − とする。代数構造(N,−)について、結合則は成り立たない。なぜなら、6 − ( 3 − 2 ) = 6 − 1 = 5 であるのに対し、( 6 − 3 ) − 2 = 3 − 2 = 1 であるから、6 − ( 3 − 2 ) ≠ ( 6 − 3 ) − 2 となる。単位元とモノイドもう一つ、単位元というものを考えてみよう。代数構造(G,·)があるとする。このとき、単位元とは、次のような元をいう。 ∃ e ∈ Gがあって、∀ x ∈ Gについて、 e · x = x · e = x となるとき、eを単位元（identity element）という。結合則が成り立ち、単位元が存在する代数構造(G,·)を、モノイド（monoid）という。例えば、足し算の単位元は、0である。掛け算の単位元は、1である。単位元も、必ずしも存在するとは限らない。単位元がない場合自然数の集合をN、足し算を+とする。自然数の集合ということは、1以上の整数であるから、0は含まないので、この場合、代数構造(N,+)には、単位元がないことになる。単位元がある場合自然数の集合N、足し算を+とする。先ほどは、0がなかったので、次の性質を満たす、0という数を考える。 ∀ x ∈ Nに対して、 x + 0 = 0 + x = x そして、Nに{0}を加えた集合、N ∪ {0}を考える。このとき、ようやく、足し算に単位元ができて、代数構造(N ∪ {0},+)には、単位元があることになる。いわゆる、インドにおける0の発見とは、まさしくこのことである。それまでの、単位元のなかった足し算に、0という単位元を導入する作業が、0の発見であったといえる。群さて、ようやく群の話題にうつろう。群とは、モノイドにさらにもう一つ逆元というものを導入した代数構造である。逆元今、代数構造(G,·)があり、Gには単位元e ∈ Gが定義されているとする。あるx ∈ Gに対する逆元x−1とは、 x · x−1 = x−1 · x = e となるようなx−1 ∈ Gのことである。逆元は常にあるとは限らない。逆元が存在する元と存在しない元がともに混在している代数構造も考えられる。逆元が存在しない例自然数の集合をN、足し算を+とする。自然数の集合に単位元0を加えた代数構造 (N ∪ {0} , +) について考える。このとき、どのようなk ∈ Nをとってきたとしても、 k + x = x + k = 0 となるようなxは負の数になってしまうため、x ∉ N ∪ {0}であり、 0 以外のすべての元について逆元は存在しない。群の定義さて、群とは、任意の元について逆元の定義されたモノイドだった。すなわち、まとめると、次の1から3を満たす代数構造(G,·)を群と呼ぶ。 1.単位元の存在あるe ∈ Gがあって、∀ x ∈ Gに対して、 e · x = x · e = x が成り立つ。 2.逆元の存在 ∀ x ∈ Gに対して、∃ x−1 ∈ Gが存在して、 x · x−1 = x−1 · x=e である。 3.結合則 ∀ a,b,c ∈ Gに対して、 a · (b · c) = (a · b) · c が成り立つ。これらに加えてさらに 4.交換法則 ∀ a,b ∈ G に対してa · b=b · a が成り立つ群を特に可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）という。群に関する基本的な定理これだけからいくつかの基本的な定理を見出すことができる。単位元の一意性単位元が存在すれば、それは代数構造(G,·)の中にただ一つ存在する。証明： e,e’ ∈ Gを単位元とし、e ≠ e’とする。単位元の定義より、 ∀ x ∈ Gに対して、x · e = e · x = x ∀ y ∈ Gに対して、y · e’ = e’ · y = y xは任意だから、x=e’,y=eとおいてもよいので、そうおけば、 e’ · e = e = e’ これは、e ≠ e’に反する。故に、単位元e∈ Gは、存在すれば、ただ一つ存在する。逆元の一意性群(G,·)について考える。元x∈ Gに対する逆元x−1もまた、存在すればGの中にただ一つ存在する。証明群x∈Gの逆元が二つあったと仮定し、それらをaとbとおく。 a,b∈ Gかつa ≠ bである。逆元の定義から - x · a = a · x=e - x · b = b · x=e が成り立つ。このとき、Gは群だから、結合則が成り立つことに注意すると a = a · e = a · ( x · b ) = ( a · x ) · b = e · b = b よって、a=b。これは、a ≠ bに反す。矛盾。よって、群Gについて、xの逆元があれば、xの逆元は一意。逆元の逆元は、もとの元群(G,·)について考える。 x ∈ Gの逆元x−1があるとき、xの逆元の逆元、すなわち、(x−1)−1=xである。証明： x · x−1 = x−1 · x=e である。これはxの逆元がx−1であることを示しているが、同時にx−1の逆元がxであることを示しているとも取ることができる。 (x−1)−1を考えると、(x−1)−1はx−1の逆元であるから、 x−1 · (x−1)−1 =e が成り立つ。先ほど示したように、逆元の一意性より、x−1の逆元は存在すればただ一つである。(x−1)−1もxも、x−1の逆元であるということは、 (x−1)−1=x でなければならない。群の例群の公理だけからわかることについてみてきたが、その公理を満たすような対象として具体的にどのようなものがあるかということも重要である。ここではそのような例を挙げてみる。まず、代数構造の例として述べた2つの例についてみてみよう。ここで挙げた2つのうち、は群である。一方で、は群ではない。0の逆元が存在しないからである。一方、は積を演算として群である。これらの群はアーベル群である。一方、次のような群の例もある。集合X上の全単射をすべて集めた集合をSym(X)とする。Sym(X)は写像の合成を演算として群になる。単位元は恒等写像、逆元は逆写像である。これは一般にアーベル群にはならない。特にのとき、Sym(X)をと書き、これをn次の対称群（symmetric group）という。対称群の元のうち、をに、をに写し、他の元は動かさない写像を、と表記する。このような元を巡回置換（permutation）と呼ぶ。対称群の元はいくつかの巡回置換の積として表される。特にの巡回置換を互換（transposition）と呼ぶ。巡回置換はいくつかの互換の積として表されるので、結局対称群の元はいくつかの互換の積として表される。群の言葉を使わずに言えば、すべての並べ替えはあみだくじを使って実現することができる。たとえば、は1を3に、3を2に、2を4に、4を1に写す巡回置換である。は5を3に、3を5に写す互換である。部分群部分群群Gが与えられたとき、群Gの部分群H ⊂ Gとは、集合として、H ⊂ Gであり、なおかつ、Hが群であるものを指す。すなわち、 a ∈ H , b ∈ H ⇒ a · b ∈ H a ∈ H ⇒ a-1 ∈ H e ∈ H ただし、eは、Hの単位元である。簡単に証明できる事柄として、Gの単位元とHの単位元は一致する。なぜなら、Gの単位元をeGとすれば、∀ a ∈ Hに対して、 eG · a = a · eG = a が成り立つ。これは、eGがHの単位元であることも示しており、Hは群だから、単位元を含むので、eG ∈ H。群の部分集合が部分群であることを判定するには、定義に戻ってもよいが、下のような簡便な判定法がある。群Gの空でない部分集合Hが部分群あるための必要十分条件は a ∈ H , b ∈ H ⇒ a · b-1 ∈ H 必要性は明らかだろう。十分性は以下のように示される。a ∈ Hとすると、条件より、a · a-1 = e ∈ Hである。よってa ∈ Hかつe ∈ Hなので、条件よりe · a-1 = a-1 ∈ Hである。最後に、a ∈ H , b ∈ Hとすると、b ∈ Hよりb-1∈ Hなので、a · ( b-1 ) -1 = a · b ∈ H。よってHはGの部分群である。生成元と巡回群群Gの部分集合Sは、一般に部分群になるとは限らない。しかし、Sの元とその逆元をいくつか掛け合わせた元全体、すなわちはGの部分群になる。これをSが生成する部分群という。特にのときSをGの生成系といい、Sの元をGの生成元という。ただ一つの元からなる生成系を持つ群を巡回群（cyclic group）という。巡回群は明らかにアーベル群である。例互換の全体は対称群の生成系である。正規部分群群Gの部分群Hがさらに下の条件を満たすとき、Hは正規部分群（normal subgroup）であるといい、と書く。 g ∈ G , h ∈ H ⇒ g · h · g-1 ∈ H 明らかにアーベル群の部分群は必ず正規部分群であるが、アーベル群でない群の部分群は、一般に正規部分群になるとは限らない。そのほかに、次のような例がある。例上でみたように、n次対称群の任意の元はいくつかの互換の積として表せる。その表し方は一意ではないが、積として表すときに用いる互換の個数が偶数か奇数かは表し方によらず元のみによってきまることが知られており、偶数個で表せる元を偶置換（even permutation）と呼び、奇数個で表せる元を奇置換（odd permutation）と呼ぶ。偶置換の全体は明らかに正規部分群となる。これをn次交代群（alternating group）といい、と書く。正規部分群による商群 Gを群、Hをその部分群とする。Gに次のような同値関係を与える。に対し、これが同値関係であることの確認は容易なので読者に任せる。 aの同値類は、である。とすれば、となるので、となる。これを、と書く。 Gをこの同値関係で割った商集合をと書き、GのHによる左剰余類と呼ぶ。さて、せっかく群を群で割った商集合を考えているのだから、その商集合にも群の構造が入れば便利である。実はこの商集合には、HがGの正規部分群ならば、次のような自然な演算によって群の構造を入れることができる。このようにして定義した群を、GをHで割った商群とか、剰余群という。剰余群の単位元は、aHの逆元はである。これが群であることを示さなくてはならないが、その前に正規部分群ならばこの演算がwell-definedであることを示さなくてはならない。つまり、を示す必要がある。、すなわちを仮定すると、なので、である。これでwell-defined性を確かめることができた。あとは群になることを確かめることになるが、これはほとんど自明なので読者自ら試みるとよい。準同型と準同型定理ここで紹介する準同型定理は、群の基本的な定理である。群論を学ぶからには、よく理解し、使いこなせるようになるべきである。準同型写像これまではひとつの群についてばかり考えてきたが、ここでは2つの群の間の写像について考えよう。 Gと G' を群とする。写像が準同型写像である（あるいは単に準同型である）とは、次の条件を満たすことである。準同型であって特に全単射なものを同型という。少し紛らわしい表現だが、Gから G' への同型写像があるときこの2つの群は同型であるといい、と書く。明らかに準同型となる例として、部分群からもとの群への包含写像は単射な準同型であり、特に群の恒等写像は同型である。また、準同型の合成は準同型であり、同型の逆写像は同型である。以上から、2つの群が同型であるという関係は同値関係であることがわかる。を準同型とするとき、をfの像(image)といい、をfの核(kernel)という。imageはG'の、kernelはGの部分群であることはすぐわかる。特にkernelは正規部分群でもあることがわかる。準同型は必ず単位元を単位元にうつす。すなわち、である。また、準同型が単射であることは、と同値である。この事実は準同型の単射性の判定を簡便にするためにしばしば役立つ。群GからG自身への同型写像をGの自己同型という。任意の群に対して自己同型は必ず存在する（恒等写像）。また、Gの自己同型全体をAutGと書くことにすると、この集合は写像の合成を演算として群となることがわかる（確かめよ）。これをGの自己同型群という。群の準同型定理次に述べるのが、準同型定理といわれるものである。定理 GとHを群、を全射な群の準同型とするとき、この定理は、何か得体の知れない群に接したときの対処法としてとても有用である。すなわち、得体の知れない群が現れたときには、とりあえずよく知っている群からの全射を構成することさえできれば、よく知っている群の商群として理解できるということである。（証明）とする。をで定める。まず、これがwell-definedであることを示す。とすると、なので、。よってなのではwell-defined。が準同型であること・全射であることは、が準同型・全射であることから明らか。単射性を示す。を示せばよい。であるとすると、なので、。よってa～なので、。すなわちである。 // 準同型定理の応用例として、同型定理と呼ばれる以下の命題たちを証明してみよう。定理群G,G' に対し、HはGの部分群、NはGの正規部分群、H' はG' の正規部分群とする。 - (1)を全射準同型とするとき、であり、 - (2)はGの部分群、であり、 - (3)HはGの正規部分群、NはHの部分群でもあるとすると、であり、（証明） - (1)fと標準全射とを合成した全射準同型に準同型定理を用いればよい。 - (2)HNがGの部分群、NがHNの正規部分群であることは明らかなので、包含写像と標準全射を合成した全射準同型に準同型定理を用いればよい。 - (3)全射準同型に準同型定理を用いればよい。// Sylowの定理準同型定理は一般の群について成り立つ重要な定理であったが、特に群の位数が有限である場合に限ると、さらに興味深い結果が表れてくる。次は、そのような結果の代表的なものであるSylowの定理について述べる。剰余類別さきほど商群を定義するときに、群をその部分群で割った商集合を考え、商集合の各元を剰余類と呼んだ。ここで、当たり前であるが、剰余類をすべて直和するともとの群になる、ということに注意しよう。すなわち、各剰余類の元をすべて集めると、もとの群の元をすべて（重複なく）集めることができているのである。この事実から、さらに考察を進めると、次の命題が成り立つことがわかる。ここで、「#」は、集合の濃度をあらわすものとする。命題 Gを群、H,KをGの部分群でとすると、系 Gを群、HをGの部分群とすると、。特に、Gが有限群のとき、その部分群の位数はGの位数の約数。部分群の位数はもとの群の位数の約数、という事実はLagrangeの定理と呼ばれる。もっとも、Lagrangeの時代にはまだ人類は群という概念を知らなかったので、Lagrangeはこのような近代的な形の命題を考えたわけではない。 Sylowの定理 Sylowの定理について述べる前に、まずはいくつか言葉の定義をしておく。定義 Gを群、HとH'をGの部分群とする。あるが存在してとなるとき、HとH'は共役であるという。この言葉を使うと、部分群が正規部分群であるとは、自らと共役な群は自分自身しかない、ということである。定義位数がある素数pの冪である群を、p群という。定義 Gを有限群とする。Gの位数がと素因数分解されるとき、位数がの部分群のことを、pi-Sylow部分群（Sylow-pi部分群とも）という。以上の準備のもとで、Sylowの定理のステートメントを述べることができる。定理(Sylow) - 有限群Gは、任意の素数pに対してp-Sylow部分群を持つ。 - Gのp部分群はあるp-Sylow部分群に含まれる。 - p-Sylow部分群は互いに共役である。 - Sylow-p部分群の数をpで割った余りは1である。群の直積と半直積 2つの群G,Hがあるとき、これをもとにして新たな群を作ることを考えよう。直積最も単純なのは、GとHの集合としての直積に次のようにして演算を与えることであろう。このように定めると確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これをGとHの直積（direct product）といい、で表す。半直積上記のようにして直積集合に群の構造が入ることがわかったが、これに加えて群準同型があるときには、これとは別の方法で群構造を入れることができる。具体的には、演算を次のように定める。このようにして定めると、確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これをGとHの半直積といい、と書く。特にを、任意のhに対しては恒等写像、と定めると、この作用に関する半直積は直積と一致する。すなわち半直積は直積をより一般化した概念であり、これを考えることにより、直積だけを考えるよりもより多くの構造を考える余地ができる、といえる。例 Gを位数nの巡回群、Hを位数2の巡回群（生成元をiとする）とし、をで定めるとき、半直積を正2面体群という。これは正n角形の回転と裏返しによって自分自身に写す写し方全体からなる群になっている。完全系列群と準同型からなる列があり、 - すべてのiについてが満たされるとき、この列は完全系列であるという。最初と最後が単位元のみの群であるような完全系列で、考える意味のある最も「短い」列はどのような列だろうか。が完全であるとする。このとき、であるから、Gは単位元のみからなる群である。一方、が完全であるとすると、なのでは単射、なのでは全射、よってである。以上の例は自明であり、考えても面白くない。よって、非自明な完全系列で最も短いものは、5個の群からなる列であろう。この5個の群からなる列が完全であるのは、は単射、は全射、が満たされるときである。このとき、この列を短完全系列という。短完全系列が存在するとき、群をのによる拡大という。短完全系列に対してさらに、が恒等写像になるような単射があるとき、この短完全系列は分裂するという。前節でみた半直積は群の拡大の例であり、その短完全系列は分裂する。すなわち、次が成り立つ。命題群と準同型の列は完全系列であり、この完全系列は分裂する。ただし、とする。証明は定義を確認するだけである。可解群と冪零群群Gの元に対し、をxとyの交換子（commutator）という。 Gの部分群H,Kに対し、部分群をと定める。これをHとKの交換子群（commutator group）という。この交換子群を用いて、部分群の列が次のように帰納的に定義される。 - このように定めたについて、あるkが存在してとなるとき、Gは可解群であるという。また、次のようにして部分群の列が定まる。 - このように定めたについて、あるkが存在してとなるとき、Gは冪零群であるという。例定義より明らかに、であることがわかる。すなわちなので、冪零群は可解群である。また、が部分群のとき、なのも明らかである。つまり、冪零群の部分群は冪零群、可解群の部分群は可解群である。アーベル群の交換子は必ず単位元になるので、アーベル群は可解群でも冪零群でもある。対称群の可解性対称群がいつ可解になるか、詳しく調べてみよう。まず、次の命題が成り立つ。補題のとき、はn以下の相異なる自然数である。 - （証明） - なので、 - - - なので、 - したがって、命題 - （証明） - のとき、である。以下とする。 - 交換子の定義より、は明らかなので、逆向きの包含関係を示す。 - なので、である。したがって上の補題より、であり、すなわち系が可解が可解。つまり、対称群が可解かどうかを調べるには、交代群が可解かどうかを調べればよい。ここからは、具体的なnについて調べてみよう。まず、の場合を考える。命題はの部分群であり、 - 証明は具体的に交換子を計算するだけである。対称群の計算練習としてちょうどよいので省略する。なお、このVのことをクラインの四元群という。系は可解群。系は可解群。 - （証明）はの部分群なので、可解である。ではの場合はどうなのだろうか？結論から言えば、次のことが成り立つ。命題 - （証明） - は明らかなので逆向きの包含関係を示す。3文字からなる巡回置換が偶置換の交換子として表せることを見ればよいが、実際、を5以下の相異なる自然数とするとき、 - であることが計算によってわかる。したがって、である。系は可解群ではない。系は可解群ではない。 - （証明）とすると、はの部分群である。したがって、が可解ならばは可解となり、矛盾する。つまり、対称群はのとき可解群、のとき非可解群となることがわかった。具体的な群について長々と考察してきたのを訝しく思う読者がいるかもしれないので、この事実の背景についても少し説明しておく。二次方程式の解はとなることはよく知っているだろう（現行の日本の教育課程では中学校3年生で学習することになっている）。日本の初等中等教育では学習しないが、実は三次方程式や四次方程式にも、このような（平方根、立方根などの冪根と四則演算だけを用いた）公式を作ることが可能である。しかし、実は五次以上の方程式の解は一般には冪根のみでは表すことはできない。このことと、四次以下の対称群は可解だが五次以上の対称群は非可解であるということは、密接なかかわりがあり、このことの研究が群論自体が生まれるきっかけともなっている（そもそも「可解群」という名の由来はこの事実である）。このあたりの詳しい事情については群論の範疇ではなくなるので、興味のある読者は体論およびガロア理論の項目を参照のこと。これらの項目にも今は記述が無いが、いずれ書かれるだろう。
null	null	群馬大対策本項は、群馬大学の入学試験対策に関する事項である。群馬大学は群馬県前橋市に拠点を置く総合大学である。文系は共同教育学部、社会情報学部、理系は理工学部と医学部を有する。大学入試共通テスト医学部を除き、大学入試共通テストの配点割合が高いため、共通テスト対策を中心にするとよい。医学部医学科は配点割合が共通テスト：2次試験＝1:1である。 2次試験試験前期試験について記述する。英語社会情報学部と理工学部で課される。問題が社会情報学部と理工学部で異なる。社会情報学部 120分で大問3題出題される。長文読解問題2題と和文英訳1題が課される。長文問題は内容説明、下線部和訳、内容一致問題、空欄に適切な語を適切な形に直す等、読解だけでなく知識問題も含まれている。したがって知識問題と読解両方対策するとよい。和文英訳問題は英訳にふさわしい日本語に直す必要があるため、過去問演習を通じて研究するとよい。理工学部 50分で大問3題出題される。文法、語法、イディオム等の4択問題と誤り指摘問題の組み合わせた大問1題、長文読解問題1題、英文の空欄に入る単語（単語の最初のアルファベット指定）を書く問題1題が出題される。文法、語法、イディオム等の4択問題と誤り指摘問題と長文問題はマーク式解答の問題、単語を書く問題が記述式問題である。学校で配布される文法、語法問題集や、過去のセンター試験の過去問、併願している私立大の過去問と本学の過去問で演習して形式に慣れておくとよい数学社会情報学部、理工学部、医学部医学科で課される。問題が社会情報学部、理工学部、医学部医学科で異なる。社会情報学部出題範囲は数ⅠⅡABである。試験時間は120分で大問5題出題される。数Bの空間ベクトル、数Ⅱの微分・積分が毎年出題される。それ以外の分野は年度によって出題される分野が一定せず、融合問題の形でさまざまな分野が出題されるため、満遍なく、分野の穴を作らないように対策する必要がある。証明問題、グラフの図示等の問題が出題されるため、過去問や標準的な入試問題集などで演習しておくとよい。理工学部出題範囲は数ⅠⅡⅢABである。試験時間は120分で大問5題出題される。数Bの空間ベクトル、数Ⅲの極限、微分、積分が毎年出題される。それ以外の分野は年度によって出題される分野が一定せず、融合問題の形でさまざまな分野が出題されるため、満遍なく、分野の穴を作らないように対策する必要がある。証明問題、グラフの図示等の問題が出題されるため、過去問や標準的な入試問題集などで演習しておくとよい。文字計算等を含めやや計算量が多い出題傾向にあるので、計算練習は怠らずに毎日時間を作って計算練習をしておくとよい。医学部医学科出題範囲は数ⅠⅡⅢABである。試験時間は120分で大問5題出題される。数Bの空間ベクトル、数Ⅲの極限、微分、積分が毎年出題される。それ以外の分野は年度によって出題される分野が一定せず、融合問題の形でさまざまな分野が出題されるため、満遍なく、分野の穴を作らないように対策する必要がある。ほかの学部の問題と比べて、証明問題、論証問題の割合が高く、タフな計算力と発想力が必要な問題が出題されるため、過去問や他大学の医学部医学科専用問題の過去問等で難度の高い問題で演習しておくとよい。理科理工学部と医学部医学科で課される。理工学部は学科によって物理、化学から1科目選択と物理、化学、生物から1科目選択と異なる。医学部医学科は物理、化学の2科目が課される。医学部医学科の物理、化学は試験時間の関係から理工学部の問題の一部の小問をカットして出題される。物理理工学部の試験時間が120分で大問3題出題され、運動力学、電磁気学は必ず1題出題され、その他の分野から1題出題される。大問は2つのテーマに分かれて出題される。大問1題中の小問が非常に多いため、時間不足になりがちである。医学部医学科は120分で物理と化学の2科目が課され、物理は理工学部と同様3題出題され、出題分野は理工学部と同様である。理工学部の問題から一部の小問をカットされているのにも関わらず問題量が多く、時間不足に陥りやすいため、注意が必要である。化学理工学部の試験時間が120分で大問5題出題される。1つの大問は2つのテーマに分けて出題される。理論分野、理論分野と無機化学分野の融合、有機化学分野が1つの大問の中に入る問題構成である。1つの大問中に小問が多く、知識、実験内容の現象説明問題、計算問題、化学反応式等、一般的な国公立大2次試験であるといえる。問題量が多いため、時間不足になりがちである。医学部医学科は大問4題出題され、理工学部から大問1題をカットして出題される。出題分野、大問構成は理工学部と同じであるが、物理と合わせて120分の試験時間のため、時間不足に陥りやすいため注意が必要である。生物理工学部の一部学科のみ選択できる。試験時間が120分で大問4題出題される。大問は2つのテーマに分かれて出題される。大問1題中の小問が非常に多く、用語を答える問題から、実験考察の論述、計算問題、図示問題等色々問われるため、時間不足になりがちである。計算問題において途中の計算過程まで全て記述する必要があるため、記述対策を怠らないようにしよう。医学部小論文医学部医学科で課される。試験時間90分で、医療系の英語の課題文の内容一致問題、内容説明、英文和訳、空欄補充の問題は通常の英語の問題である。英文のテーマに沿って日本語で意見を論述する問題が2問含まれ、この2問が小論文分野である。医療系の英文に慣れること、意見型の小論文対策をしておこう。学校の先生及び塾、予備校等で答案を添削してもらうとよい。
null	null	日本国内で義肢や装具の装着部位の採寸・採型、製作及び身体への適合を行うのに必要な免許を義肢装具士養成所において1年以上の専門教育と実習が必要となるため義肢装具士養成課程のある大学で4年間、短期大学で3年間、専門学校で2年間ないし3年間受講して義肢装具士国家試験に合格し取得する試験である。実技試験は行われず義肢装具士養成所内部の実技や臨床実習で採点される。試験の内容出題範囲は以下の通り - 臨床医学大要（臨床神経学、整形外科学、リハビリテーション医学、理学療法・作業療法、臨床心理学及び関係法規を含む。） - 義肢装具工学（図学・製図学、機構学、制御工学、システム工学及びリハビリテーション工学） - 義肢装具材料学（義肢装具材料力学を含む。） - 義肢装具生体力学 - 義肢装具採型・採寸学及び義肢装具適合学
null	null	条文（現況の届出） - 第5条 - 老齢福祉年金の受給権者は、老齢福祉年金所得状況届に、第2条第2項各号に掲げる書類を添えて、毎年八月十一日から九月十日までの間に、これを厚生労働大臣に提出しなければならない。ただし、老齢福祉年金の額の全部につき支給を停止されているとき、旧法第六十六条第一項若しくは第二項の規定によつてその年の七月まで老齢福祉年金の額の全部につき支給を停止されている場合であつて、当該支給停止の事由がなお継続するとき、又は老齢福祉年金裁定請求書に添えて前年の所得に関する老齢福祉年金所得状況届が既に提出されているときは、この限りでない。解説参照条文判例 - [](最高裁判例 )[[]],[[]]
null	null	聖書ヘブライ語入門/はじめに「聖書ヘブライ語」という場合の聖書とは，ユダヤ教の正典とされ，プロテスタント教会で「旧約聖書」と呼ばれているものである．ただしこの聖書はヘブライ語だけで書かれているのではない．全体の 1 パーセントあまりに当たる部分，すなわち創世記 3147 の中の二つの単語，エレミア書1011，ダニエル書24－728，エズラ書48－618， 712-26 は，ヘブライ語とは別のアラム語で書かれているので，この入門の対象外である．このアラム語―—厳密には聖書アラム語—―はヘブライ語と同じ文字で書かれているので，聖書ヘブライ語を学んだ人には朗読することができる．しかし理解するためには，ヘブライ語とは多少異なる文法と辞書とを必要とする．いずれ取り上げられると思われる．ところで，いま「文法と辞書」としたが，普通は目に見える書物の形をとった文法書・辞書を考えるのだが，そして外国語の場合確かに我々はそういう書物の助けを借りて学びかつ理解することが多いのだが，ここではむしろ，その言語を母語とする人々の頭の中にある一連の規則を指している．例えば我々日本語を母語とする者は，我々の脳裏に刻み込まれた日本語の文法と辞書を，ほとんど無意識のうちにめくりながら，日本語を話し，読み，理解しているのである．だから，どんな言語にも必ず，そういった意味での文法と辞書があるわけである．それでは聖書ヘブライ語の場合，その文法・辞書はどのような人々の頭の中にあったものなのか？実はこれは非常に難しい問題である．もし聖書が一人の人によって書かれたものであるのなら，その著者の文法・辞書を考えればよいわけだが，例えば創世記にしろヨブ記にしろ，現在は一つの形をとっている書物でも，実際は何人もの人によって書かれたものであることは，今ではほとんど常識と言っていいだろう．これら著書たちの出身地の違いは当然方言差を示していたはずだし，さらに，書かれた時代も，聖書のなかで一番古い資料と一番新しい資料との間には千年ほどの開きがある，と言われている．千年も経てば，どんな言語でもお互いに通じ合えないくらい違ったものになるのが普通である．ところが不思議なことに，我々が手にするヘブライ語聖書は，そのように顕著な方言差・時代差を示しているようには見えない．これはいったいどういうことなのだろうか．ヘブライ語聖書の本文は，ユダヤ教伝承学者の手によって，紀元100年頃に最終的に確定されたといわれるが，そこに至る過程で，素材・資料，著述，編集，等いくつもの段階で何人もの人の手が加えられていくうちに，その言語がかなりの程度，画一化された，と考えざるを得ない．とすれば，最終的な聖書本文確定の作業に当たった伝承学者の頭の中にあったものが，聖書ヘブライ語の文法・辞書であった，ということに一応はなるだろう．しかし一方，その時代には，ヘブライ語はもやは日常の言語ではなくなっていたのだから，彼らのヘブライ語の知識―—つまり文法と辞書—―自体，伝承に基づく，多少とも擬古的・人工的なものであったことは容易に推定できる．その知識に基づく彼らの聖書解釈は，彼ら自身の言語たるアラム語やその他の言語で書き記され，またヘブライ語そのものも，聖書ヘブライ語を規範として，ユダヤ教共同体の中で，文字言語として，様々な作品を生みつつ，その生命を保ってきた．こうして二千年来伝えられてきたヘブライ語の知識と，西欧の学会においても近世以降盛んになったヘブライ語研究によって，聖書ヘブライ語の理解は次第に深められ，伝承本文（マソラ・テキスト）以前のヘブライ語の姿も，ある程度明らかにされるようになった．それには「七十人訳」を始めとする古代語訳との照合による本文批判学，アッカド語・アラビア語・ウガリド語など，ヘブライ語と親戚関係にある所謂セム諸語の比較言語学的研究，そして近年目覚ましい展開を繰り広げている文法理論研究の成果が，あずかっていることはいうまでもない．この入門では，そういったヘブライ語学の成果をふまえた上で，聖書ヘブライ語の文法を構成している一連の規則を，できるだけ平易な形で記述する．言語学の専門用語はなるべく使わないようにこころがけ，やむを得ず使うときには，日本語などを例にとって説明する．専門用語を多く用いれば，記述が簡単，明確になって，著者としてはずっと楽なのではあるが．一方、伝統的なヘブライ語の文法用語は，他の文法書を参照するときに必要と思われるので，煩をいとわず紹介し，言語現象一般と関連させつつ説明する．「ヘブライ語は難しい」といわれる．本当に難しいのか，どこが難しいのか．まず第一の難関は文字とその発音である．見慣れない字形，その上下に細々と付いた様々の補助記号は、確かに見るだけで頭も痛くなろう。言葉は音によって意味を表す仕組みであるから、まず耳で覚え、その上でそれを文字で書く術を習うのが普通だが，我々の場合は聖書を「読む」のが目的だから，文字はどうしても覚えなければならない．しかしヘブライ文字は22種類．ローマ字よりも覚えやすい理屈である．発音符号も実際覚えなければならないのは十余りである．ヘブライ語の仕組みに慣れてきたら母音記号はむしろ邪魔者にみえてくるはず．実際の発音も，ヘブライ語をしゃべろうというわけではないし，第一，上に述べたことからもある程度は推測できるだろうが，ダビデやエレミヤの口から出たはずのヘブライ語を再現することは非常に困難である．だから我流の発音でもよいだろう．とはいえ，喉音の豊かなセム語独特の音声は一度ぜひ耳にしてほしい．残念ながら現代ヘブライ語では殆どきかれなくなったが，アラビア語にはよく保存されている．次に単語の活用．これはギリシア語などに比べるとずっと単純．名詞の変化はなく，動詞の「時制」は2種類だけで，接続法などもない．英語の be, is, was，ギリシア語の λέγω, εἴρω, εἶπον のように，全く異なる語根が一つの動詞の活用表を構成している，というようなこともなく，不規則動詞のように見えるのも，実は音便の結果に過ぎない．単語同士を結合して文をつくるための規則，すなわち統辞法も，西欧諸語にくらべて非常に簡単，とはいえ本当は簡単だから難しいのだが．ヘブライ語の文法は西欧語よりも日本語に似たところが多いと思うことがある．
null	null	聖書ヘブライ語入門/ダゲシュ・母音記号/ティベリア式マソラ記号完全表記と不完全表記で挙げた母音字による母音表記のうち， (2)「一つの母音字の母音としての音価が一つだけでないこと」と (3)「同じ母音が別々の文字であらわされること」は他の言語の表記法にもみられるものであるが， (1)「同一文字が子音・母音の二重の音価を持っていること」 (4)「同一の語でありながら完全表記と不完全表記とが共存すること」 (5)「すべての母音が表記されるのではないこと」はこの母音表記法が間に合わせ的な方法であることによる．いずれにしても，もともと子音だけを表記すれば事足りたのは，ヘブライ語の仕組みの然らしめるところであって，ヘブライ語を知っている者にとっては、これで十分なのである。事実，現代ヘブライ語でも，依然としてこの表記法が守られているのである．さて古代ヘブライ語は，紀元前 6 世紀頃から次第に，日常生活における主役の座をアラム語に譲り始め，紀元 3 世紀には完全に姿を消してしまった．そうでなくても聖書ヘブライ語はユダヤ人にとってますます古い言語になっていった．そしてその表記法が上に述べたような欠陥を含むものである以上，聖書本文についていくつもの可能な読みのどれが正しいのかという問題が起こってくる．こうして，読みの曖昧さを除去し発音を明確に伝承するため，発音符号を本文に付けようという試みが，パレスチナやバビロニアのユダヤ教伝承学者（マソレト）の間でなされ，三つの方式が今日に伝えられている．そのうち，8－10世紀にティベリア (Tiberias, ヨハネ福音書623 に言及されているガリラヤ湖西岸の都市．2 世紀末以来ユダヤ教学者の一大中心地であった）の伝承学者たちが考案した，ティベリア式と呼ばれるマソラ（ מַסּוֹרָה 《伝承》）符号は，母音だけでなく，子音の発音や礼拝の際の朗唱のための音調までも，詳細に規定したものである．こうして本文の読みを一義的に決定することによって彼らは聖書に対する解釈をも示したのであった．いずれにせよ，現存の聖書写本中，全巻完備した最古の写本たるレニングラード本(Codex Leningradensis(1008-9)) は，ティベリア式マソラ符号をそなえたもので，現在我々が用いる刊本（例えば Biblia Hebraica Stuttgartensia (1967-77) はこれに拠っているし，ヘブライ文字による現代ヘブライ語の表記で母音を明示する場合もティベリア式の母音符号を用いる．ティベリア式符号は，アクセント符号まで含めると，全部で数十種にのぼるが，是非知っていなければぬものは，それほど多くない．
null	null	聖書ヘブライ語入門/分詞(1)/分詞の名詞的機能 12.4 詞の名詞的機能分詞は、動名詞とも言われるように、動詞の働きの一部を兼ね備えた名詞である。従って、これまれに学んだ名詞の文法的機能はすべて備えている。例えば文1の הַהׂלֵךְ は יהוה を述部とする主部の働きをしている―この場合、名詞句は二つとも定だから同定文（4.3.2）であるが。文2 の צׂעֲקִים、文3 の עֹבְרִים、文4 の אָרוּר、文5 の בְּרוּךְ、文6 の כְתוּבָה はそれぞれ、文2 の דּמֵי אָחִיךָ、文3 の אַתֶּם、文4 、文5 の אַתָּה、文6 の הִיא を主部とする述部であり、文3 の הַיּּׂשְׁבִים はその前の אֲחֵיכֶם を修飾している。その際、各分詞の性・数はそれぞれ相手の性・数と一致している。このように修飾の働きを持ち、同じ語幹から複数形と女性形が規則的に作られる、という点で、分詞は形容詞的である。これは、分詞が動詞から規則的に派生することに由来する。すなわち、動詞の表す行為は、形容詞の表す性質・属性と同じく、必ずその主体となる人なり物なりの存在を前提とするから、その人なり物なりを表す被修飾語を必要とすることが多いのである。述部として機能し易いのも同じ理由による。単独に名詞として用いられることについては、הַיָּשָׁר《直（すぐ）き者》と הַהׂלֵךְ《行く者》とを比較せよ。分詞はさらに連語句を構成し、人称代名詞を接尾することができる。一方分詞は、動詞と違って、行為が完了か未完了か、過去か未来かについての情報は含んでいない（ギリシア語等の分詞のような、現在・アオリスト・完了の対立は無い）。能動分詞はその主体が「…している」または「…しようとしている」状態にあることを表し、受動分詞は「…された」状態を表す、と言えよう。この点でも分詞は形容詞と同質である。すなわち、動詞が行為を主体の「動き」において動的なものとして表現するのに対し、分詞は行為をその主体の「状態」として静的に把えるのである。
null	null	聖書ヘブライ語入門/分詞(1)/語根 12.3 語根名詞の型については 4.5 にて簡単に述べた。例えば文1 の הׂלֵךְ は CōCēC（C は子音を表す）という型に属し、文2 の צׂעֲקִים、文3 の עֹבְרִים と יׂשְׁבִים の単数形（צׂעֵק,עׂבֵר,יׂשֵׁב）も同じ型である。この型に属する語は、基本形能動分詞と呼ばれる文法的特徴を共有している（基本形については、後で動詞を学ぶときに詳しく述べる）。分詞は動詞から派生される名詞の一つであるが、例えば英語の能動現在分詞 going が動詞語幹 go に -ing を接尾して作られるのに対し、ヘブライ語では、例えば h-l-k のように原則として三個の子音の不連続な列をなす語根と CōCēC という型を組み合わせて作るのである。語根や型を抽象するのは、それらが意味と関係しているからである。すでに学んだ名詞を例にとれば、עֶ֫בֶד, מֶ֫לֶךְ, דֶּ֫רֶךְ, אֶ֫רֶץ はいずれも、CéCeC という型に属し、この型は形容詞的な働きをしない名詞（5.4 参照．例えば חָכָם《賢い、賢人》と מֶ֫לֶךְ を比較せよ）を表している。それでは語根の意味は？少し先取りして動詞も含めて、同じ語根を共有する語を調べて見よう。この左右三対の語はそれぞれ הלך、צעק、ישׁב という形を共有し、それと平行して《歩く》、《叫ぶ》、《坐る》という意味を共有している。すなわち הלך、צעק、ישׁב という語根がそれぞれ《歩く》、《叫ぶ》、《坐る》という意味と結びついている、と考えることができる。このようにヘブライ語の語根は辞書的意味（個々の項目ごとに記憶されている意味）をあらわす。一方、型は上述のように、能動完了動詞とか能動分詞といった、文法的意味を表す。一般に名詞の型は生産的ではない。すなわち任意の型と任意の語根を組み合わせさえすれば次々に名詞が作られていく、というわけではない。例えば דָּבָר《言葉》という名詞は CāCāC という型に属するが、この型を הלך、צעק という語根に適用して הָלָךְ, צָעָק という名詞を随意に作るということはできない。逆に言えば、ある名詞の意味をその語根と型との意味から十分に予測するということはできない。これに反し、分詞は動詞語根さえ与えられれば随意に作ることができる。従って例えば אשׁם《罪を犯す》という語根を分詞に当てはめて作った אֹשֵׁם が聖書に現れないのは、偶然にすぎない。こういうことから、辞書（とくに Zorell, Baumgartner などの新しいもの）では、一般の名詞は、たとい動詞と語根を共有するものであっても、独立の見出し語として扱われる一方、分詞は כּׂהֵן《祭司》のように語根を共有する語が無く完全に名詞と化してしまっている語は別として、動詞語根の見出しの下で処理される。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(1)/前置詞、前置詞句 10.4 前置詞、前置詞句前置詞は名詞句の前に置かれて、その名詞句と文中の他の名詞句または動詞句との意味的関係を表す語である。日本語の格助詞（ガ、ハ、ノ、ヲ、ニ、ヘ、ト、ヨリ、カラ、デ等）にほぼ該当するが、ヘブライ語では、既に見たように、ガ、ハに当たる形式はなく、ノは前置詞で示される場合もあるが、多くは連語句によって表される。なお、いうまでもないことだが、ヘブライ語の前置詞が日本語の格助詞と一対一に対応するわけではない。前置詞とそれに支配された名詞句とによって構成された句を前置詞と呼ぶ。これは便宜的な名称であって、名詞句が名詞と同じ働きを持つ句であるようにして前置詞句全体が前置詞と同じ働きをするわけではない。文1 の לְיהוה 、文2 の לְךָ （代名詞も名詞句に属する）、文3 の בַּמִּקְנֶה בַּכֶּ֫סֶף וּבַזָּהָב 、文4 の בְּתוֹךְ הַגָּן 、文5 の מִבְּשָׂרִי 、文6 の מִמֶּנִּי はいずれも前置詞句である。前置詞句は、文1 、文3 、文5 、文6 では他の名詞句を修飾しつつそれと統合されて、もう一つ上位の名詞句を構成している。文2 、文4 では前置詞句が他の名詞句と〈主―述〉の関係で統合されている。このような機能は、既に学んだように、名詞句の機能そのものである。従って前置詞句は名詞句の一種であり、前置詞は名詞の一種だと見ることができる。ただし、これは性・数の標識を持たず、連語形として用いられる名詞であり、意味的には、上述のように、それ自体では存在しない、関係概念を表す点が特徴的である。例えば文2 の לְ を仮に《所有》という名詞と考えると、 כֹּחַ לְךָ という文は《力は汝の所有》→《力は汝のもの》＝《力が汝にある》となり、 כֹּחַ לְךָ という名詞句は《汝の所有なる力》＝《汝の力》となる。聖書ヘブライ語における各前置詞の意味を一義的に定義することはできない。 לְ をニとしたように、一応それに近い日本語の助詞を引き当てるならば、 בְּ は「存在の場」を表すニ、 מִן は「原点、出発点」を表すヨリ、カラということになろう。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(1)/前置詞の形 10.5 前置詞の形 10.5.1 לְ や בְּ のように一字で書かれる前置詞は、冠詞の ה や接続詞の ו と同じく、その次に来る語との間を空けずに続けて書かれ、その母音が後続の音の影響を受ける。次の課で学ぶ前置詞 כְּ もこの点では同じである。すなわち、 10.5.1.1 冠詞 ה の前では、冠詞の h がその直後の母音（= v) と前置詞の母音 (= v') とに挟まれて消失し、そのため v' と v とが連続するので3.1 の規則(2)に従って v'v は v となり、結果として冠詞の h を前置詞の子音に置き換えた形になる。例えば בְּהַדָּבָר bəhaddābār→ bəaddābār → baddābār בַּדָּבָר לְהָאָדָם ləhā'ādām → ləā'ādām → lā'ādām לָאָדָם כְּהֶעָפָר kəhe`āp̄ār → kəe`āp̄ār → ke`āp̄ār כֶּעָפָר 《塵の如く》 לְהַיְלָדִים ləhaylādīm → laylādīm לַיְלָדִים (4.4.1.3参照。) 10.5.1.2 直後にシェワーを含む音節 Cə が続くと、CəCə → CiC (7.5.6) だから、前置詞の母音は i になり名詞の最初の ə は消失する（すなわち、有音シェワーが無音シェワーに変わる）。例えば לְבְרִית ləbərīt → librīt לִבְרִית《契約に》。さらに名詞の語頭子音が y のときは Cəyə → Ciy → Cī。例えば * בְּיְהוּדָה → בִּיְהוּדָה → בִּיהוּדָה bīhūdā 《ユダで》(6.5.(2)参照)。ついでながら yəhūdā の h も母音に挟まれているから実際には殆ど発音されず、yəhūdā → yūdā となる。ラテン語では Iuda で、我々もユダと言う。ただし我々が kawae を「川へ」と書くように、綴字には ה が残されている。 10.5.1.3 直後に複合シェワーの付いた喉音が来ると、וְ の場合(6.5.(3))と同じく複合シェワーの母音に同化される。例えば、 * בְּחֲלוֹם → בַּחֲלוֹם baḥalōm《夢に》 * כְּאֳנִיָּה → כָּאֳנִיָּה ko'onīyyā《船のように》 * לְאֱכֹל → לֶאֱכׂל le'ekōl《食べるのに》ただし אֱלׂהִים の前では、* וְאֱלֹהִים が וֵאלֹהִים wēlōhīm となる (6.5.(3))。 10.5.2 מִן がこの形で現れるのは冠詞の前に限られ、マッケーフ ־(3.2.2)でつないで書かれる。例： מִן־הַמֶּ֫לֶךְ min hammélek。それ以外では、min の語末の n が次の子音（すなわち名詞の語頭子音）に完全同化し、二重子音が生じる。ヘブライ文字では מן の ן が消えて מ だけになるので、 לְ や בְּ と同じく(10.5.1) 次の語を続けて書かれ、その最初の字に強ダゲシュが付く。例えば * מִן־קוֹל min qōl → miqqōl מִקּוֹל 、* מִן־דָּבָר min dābār → middābār מִדָּבָל 。その際 miyyə → mī- (10.5.1.2参照)。例： מִן־יְרוּשָׁלִַם → * מִיְּרוּשָׁלִַם → מִירוּשָׁלִַם mīrūšalayim 10.5.2.1 既に見たように、r および喉音は二重子音とならない、したがって ר、א、ה、ח、ע にはダゲシュは付かない (2.3) から、これらの音で始まる語の前に מִן が来るときは、 מֵ mē という形をとる。例えば * מִן־רׂאשׁ min rōš → mirrōš → mērōš מֵרׂאשׁ 《頭から》、 מִן־עוֹלָם min `ōlām → mi``ōlām → mē`ōlām מֵעוֹלָם 。これは冠詞が、例えば * הַרֹּאשׁ となる代わりに הָרֹאשׁ となった(4.4.1) のと、同じ現象で、一般に代償延長と呼ばれる。ただし冠詞の前では、この規則にしたがって מֵהַמֶּ֫לֶךְ となることも、あるいは上に述べたように מִן־הַמֶּ֫לֶךְ となることも可能。 10.5.3 前置詞は、上に述べたように、名詞句の連語形の一種であるから、人称代名詞の前に置かれるとき、人称代名詞は接尾形を取る(9.4参照)。ל、ב、מן、כ に人称代名詞の接尾した形を下に掲げる。既に学んだ名詞接尾形 (9.4) と比較して、異同を確認せよ。名詞接尾形からの類推による判定はできるはずである。מן、כ は複数二・三人称以外では מִמְּ ～ מִמֶּנ mim(men)-、 כָּמ֫וֹ kāmō- という語幹を取っており、また מן の単・三・男と複・一は偶然に同形である。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(1)/構文説明 10.3 構文解説文1 の主部は אַנְשֵׁי סְדֹם で、 רָעִים 以下が述部であるが、その構造については以下 3 通りの解釈が可能である。 (1) לְיהוה 《ヤハウェに対し》は חַטָּאִים だけを修飾し、 מְאֹד は述部全体を修飾する。すなわち [ מְאֹד ] [( לְיהוה חַטָּאִים )וְ( רָעִים )]。 (2) לְיהוה も מְאֹד もともに חַטָּאִים だけを修飾する。すなわち [(לְיהוה מְאֹד) חַטָּאִים]וְ [רָעִים] (3) לְיהוה も מְאֹד もともに רָעִים וְחַטָּאִים を修飾する。すなわち [לְיהוה מְאֹד] [רָעִים וְחַטָּאִים] 協会訳(創世記1313)等は第 2 の、上の訳は第 3 の解釈にしたがうもの。文2 は二つ節から成る（節とは文より小さく句より大きい言語単位。このように文と同じ形をしていることが多いが、文の一部をなしているため、文と区別して節と呼ぶ）。第一の節の主部は אַתָּה 、述部は עַם רַב である。 עַם は集合名詞（個物―この場合は人―の集合を表す名詞）であるから、 רַב という形容はその構成要素に対するもの、すなわち《多くの民族》ではなく《多数の人々から成る民族》ということ。《多くの民族》は複数形 עַמִּים רַבִּים で表される。第二の節は接続詞 וְ に導かれた従属節で名詞句 כֹחַ גָּדוֹל と לְךָ とから成る。 לְךָ は文1 に出た前置詞 לְ に二人称男性単数接尾代名詞 ךָ が付いた形。文1 の לְיהוה が修飾句として機能しているのに対し、ここの לְךָ は述部として機能している。לְ の意味は日本語のニに近い。ただし לְ は前置詞であるのに対し、ニは後置詞で、この点でもヘブライ語と日本語は対蹠的である。文3 では前置詞 בְּ と名詞とが結合した前置詞句（10.4参照）が三つ並べられて、述部の中心たる כָּבֵד を修飾している。例えば英語などのように、同じ前置詞の繰り返しを避けて最初の一つだけで済ますということは、ヘブライ語ではしないのが原則である。これは連語句において同じ連語が繰り返されるということ（7.4.2）と同類の規則であって、同格関係にある二つの名詞句においても守られることがある。例えば文4 は名詞句 עֵץ הַחַיִּים と前置詞句 בְּתוֹךְ הַגָּן とから成る。文2 におけると同じく、名詞句と前置詞句が〈主―述〉の関係で統合された名詞文である（前置詞句については 10.4参照。文5 の主部は指示詞 זאׁת 。この文だけでは分からないが、創世記2章の文脈では「女」を指しているから女性形なのである。 הַפַּ֫עַם は時を表す副詞で、 בָּשָׂר מִבְּשָׂרִי が述部である。ここでは、前置詞 מִן と בְּשָׂרִי とが結合した前置詞句が בָּשָׂר を修飾している。文6 の主部は אַתָּה 、述部は צַדִּיק מִמֶּנִּי 。 צַדִּיק אַתָּה 《きみは正しい》だけでも文として成立するが、 צַדִּיק はこの場合相対的な概念を表しているので、比較の基準として מִמֶּנִּי 《私より》を補っているのである。この מִמֶּנִּי は文5 にあった前置詞 מִן に接尾人称代名詞の נִי 《私》が付いた形であり、英語の than I に相当するわけだが、形容詞の方は英語のように more や -er を付けたり、better のような「比較級」に変化することはない。ついでながら最上級という文法範疇も、ヘブライ語には無い。この点、ヘブライ語は英語などより(מִן)日本語に近い。例：
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(1)/練習/解答 (1) 1. あなた様は私どもの中でイスラエルの君です。 2. （この）預言者の言葉は（その）祭司の言葉よりよい。 3. ダビデの息子アブサロムに美しい妹がいて、その名をタマルという。 4. まっすぐな人々には知恵は金銀より尊い。 5. 彼の父の家には奴隷がたくさん居る。 6. 私は彼らからずいぶん遠い所にいる。 7. 我ヤハウェは汝に対し神である。 (2) א.חׇכָם הָעֶבֶד מֵהַמֶּלֶךְ ב. לִי בֵּן וּבַת ג.בַּגָּן הַזֶּה עֵצִים רַבִּים ד. קְטַנָּה אִמִּי מֵאָבִי ה. קְשֵׁה־עׂרֶף הַנַּעַר לְאָבִיהוּ ו. בְּבֵית הַמֶּלֶךְ אֲמָהוֹת יָפוֹת
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(2)/יֵשׁ אֵין 11.6 יֵשׁ אֵין יֵשׁ は「存在」を意味する語で、述部の働きをし、その主部をなす名詞句によって表されたものが現に存在することを示す。しかし文法的にみて動詞ではなく、過去とか未来といった時制の意味を含まず、発話の時点において存在することを言うだけだから、「ある、いる、存在する」のように訳する他はない。聖書では会話とか、一般的真理を述べる知恵文学に多く現れるのも、そのためであろう。この点で、יֵשׁ を含まない名詞文、例えば文2 が、過去の物語の文脈におかれていればそれに依存して、「…大きな石があった」と訳さなければならないのとは、事情を異にする。 יֵשׁ に対し אֵין はその否定、すなわち「非存在」を意味する。יֵשׁ を אֵין に置き換えると、存在の否定を表すわけである。名詞文の述語として機能するが、一般の名詞のように性・数・定―不定に関して変化することはない。例えば יֵשׁ מֶ֫לֶךְ《ある一人の王がいる》 יֵשׁ בַּ֫יִת《ある一軒の家がある》 יֵשׁ נַעֲרָה《一人の若い女がいる》 יֵשׁ מְלָכִים《何人かの王がいる》 יֵשׁ עֵצִים《何本か樹がある》 אֵין מֶ֫לֶךְ《一人の王もいない》 אֵין נָשִׁים《女たちはいない》 אָכֵן יֵשׁ יהוה בַּמָּקוֹם הַזֶּה《本当にこの場所にはヤハウェが居給う》 אֵין מֶ֫לֶךְ לָנוּ《我々には王が無い》聖書に אֵין は 800 回近く現れるのに対し、יֵשׁ は 140 回しか現れない。存在するということは、מֶ֫לֶךְ לָנוּ《我々には王がある》のように יֵשׁ なしでも表されるけれども、存在しないということは אֵין 以外に表現の方法が無いからである。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(2)/前置詞の説明 11.4 前置詞の説明文1 の前置詞 אֶלは「方向」を表し、我々のヘに近い。そしてヘがニと殆ど同義的であるように אֶל は 10.3 で学んだ לְ と意味の重なる部分があるが、לְ ほど多義的ではない。לְ は、10.3 で見た「所有」の意味からもうかがえるように、総じて対象（この場合、前置詞の支配する名詞によって表されるもの）と主体（この場合、その前置詞句と結合された名詞句によってあらわされるもの）との密着関係を表す。従って方向を表す文脈（名詞文では主体の表す意味によって判断される）においては、לְ がその対象を接近し得る目標として捉えるのに対し、אֶל は対象への志向性を意味する、と考えられる。文2、文3の前置詞 עַל の基本的な意味は「上」であるが、英語の on のように、様々の派生的意味においても用いられる。文3の前置詞 כְּ はだいたい主体と対象との「類似」を表し、英語の前置詞では as が一番これに近い、と考えられる。文4の前置詞 עַדは、מִןが原点・起点を表すのに対し「到達点」を表し、日本語のマデが一番近い。מִן と組になって「…から…まで」を表すとき、ここのように עַד の前に接続詞 וְ が置かれることがあるが、これは義務的ではない。例えば מִנֶּגֶב וְעַד־בֵּית־אֵל 《ネゲブからべテルまで》 מִן־הַבֶּטֶן עַד־יוֹם מוֹתוֹ 《（母の）胎から死の日まで》 מִנָּבִיא וְעַד־כּׂהֵן 《預言者から祭司に至るまで》 מִטּוֹב עַד־רַע 《善から悪まで→善も悪も》文5の עִם は、日本語の助詞のうちではトに一番近く、対象が主体の相手であること（「神我らと共に」「敵との戦い」）、ひいては同時性（「トンネルを抜けると…」）まで表す。しかし「…と言う」のようには用いられない。文6の אִתִּי は אֶת に一人称単数代名詞が接尾した形だが、אֶת は対象が主体のそばにいるという関係を表すと考えられ、やはりトに近いが、עִם のような同時性の意味はない。文7の תַּחַת は「下」で、独立においても用いられる名詞であるが、圧倒的に多くの場合、連語形で他の名詞の前に置かれ、前置詞として機能している。「代わり」を意味することもある。例えば זֶרַע אַחֵר תַּחַת הֶבֶל 《アベルの代わりの別の子種》文8の בֵּין は「あいだ」という名詞で、前置詞としては、多くの場合ここの例のように בֵּין を繰り返して וְ で結合される。だから直訳すれば「イスラエルの間とペリシテ人の間」ということになる。以上に見たように、ヘブライ語の前置詞が日本語の名詞で訳されるとき、その連語的性格は日本語訳にもそのまま反映する。例えば בֶּן הָאִישׁ 《その男の息子》 אֶת הָאִישׁ 《その男のそば》しかし日本語の名詞句は格助詞なしでは文中で機能しないのが普通だから、この場合ニやヲ等を添える必要があるのに対し、ヘブライ語にはそのような、いわば純粋の、格助詞は存在しないのである。このことは、例えば例文5で「この四十年」という名詞句がそのままで副詞句の働きをすること（この点は日本語も同じ）、属格関係が連語句で表現されること、そして、〈主部-述部〉関係や、同格関係が何ら表面的な標示なしに表されることと、関連しているのである。例えば דָּוִד בֶּן־הָאִישׁ 《その男の息子ダビデ》または《その男の息子は（が）ダビデだ》、 דָּוִד אֶת־הָאִישׁ 《その男のそばのダビデ》または《その男のそばにダビデがいる》。
null	null	11.5 接尾人称代名詞の付いた形この表を、名詞に接尾する人称代名詞についての 9.4.1 の記述と照合すると、例えば次のことが分かる（ここでは接尾人称代名詞を接尾辞と略称する）。 (1) עִם、אֶת の全接尾辞と בֵּין の単数接尾辞は Ⅰ類、すなわち単数名詞に付く接尾辞である。 (2) עִם の語幹は עִמּ `imm- 6.4.2、אֶת の語幹は אִתּ 'itt- だから、これらは אֵם《母》、לֵב《心》と同型の名詞で、אֶת は אֵת の連語形である。 (3) בֵּין の複数接尾辞と אֶל、עַל、עַד、תַּחַת の全接尾辞はⅡ類、すなわち複数名詞に付く接尾辞である。 (4) 従って、これらの前置詞に接尾辞が付いた形は実は בֵּינִים、אֵלִים、עָלִים、עָדִים、*תַּחְתִּים という複数名詞に接尾辞が付いた形である。実際、これらから導きだされる複数連語形のうち、אֱלֵי、עֲלֵי、עֲדֵי という形は、主に詩文に、それぞれ אֶל、עַל、עַד と同じ意味を担って用いられている。これらの複数独立形から אֵל、עָל、עָד という単数独立形が再構されるが、אֶל、עַל、עַד はそれらの連語形である。（תַּחַת については「セゴール名詞」の項で述べる。）二文字以上で書かれる前置詞は次の語との間を空けて書かれ、三字から成る、以外はマッケーフで連結されるのが普通であるが、その際、語形に変化を受けることはない。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(2)/構文説明 11.3 構文説明ここでは先ず，前課の文1について試みたように、括弧を用いて各文の構文を図示してみよう． 1. [(אֱלׂהֵ֫נוּ יהוה)אֶל־]P [עֵינֵ֫ינוּ]S 2. [גְּדׂלָה אֶ֫בֶן]S [(הבְּאֵר פִּ) עַל]P 3. [(אָדָם כְּמַרְאֵה) דְּמוּת]S [( דְּמוּת הַכִּסֵּא) עַל]P 4. [אֵל]P [אַתָּה]S [(עוׂלָם עַד)וְ (מֵעוֹלָם)]A 5. [עִמְּךָ]P [ יהוה אֱלׂהֶ֫יךָ]S [(אַרְבָּעִים שָׁנָה)זֶה]A 6. [(בְּנֵי־חַ֫יִל) (חֲמִשִּׁים אִישׁ)]S [(אִתִּי) יֵשׁ]P 7. [תַּחַת הַשֶּׁ֫מֶשׁ]A [כָּל־חָדָשׁ]S [אֵין]P 8. [( יְמֵי שָׁוּל) כּׂל]A [(בֵּין יִשְׂרָאֵל וּבֵין פְּלִשְׁתִּים) הַמִּלְחָמָה]S [חֲזָקָה]P この図で同種類の括弧にくくられているものは何らかの句―ここでは名詞句または前置詞句―をなし、括弧の右の記号は句の機能を示す（S:主部、P:述部、A:副詞句）。副詞句はもちろん述部の中にふくまれているのであるが、ここでは便宜上こうした。
null	null	聖書ヘブライ語入門/前置詞(2)/練習/解答解答 (1) א. この言葉はたいへん君に近く、君の口と心とにある。 ב. ヤハウェはすべての神々の上にいます大王である。 ג. そしてヤハウェの栄光のさまはイスラエル人には火山の噴火のように見える。（＝イスラエルの息子たちの目に山頂の火のようである。） ד. この人たちは私たちと一緒に居て平穏です。 ה. これが私と君たちとの契約の印である。 ו. 私どもには年老いた父と幼い弟がいます。 ז. パンも水もない、この地の飢餓がひどいからだ。 ח. 神われらと共にいます。 (2) 1.לִי אֵין כֶּסֶף וְאֵין זָהָב 2.עִמֶּךָ דְבַר הָאֱלהִׁים 3.הַטָּאִים כָּל אֲנָשִׁים לֵאלהִׁים מֵאִישׁ וְעַד־אִשָּׁה 4.אֵין נָבִין כְּמׂשֶׁה בְּיִשׂרָאֵל 5.קָרוׂב לָנוּ הָאֱלהִׁים בְּיוׂם צָרָה
null	null	聖書ヘブライ語入門/名詞文・主述統合・冠詞・名詞の型/名詞の型 4.5 名詞の型ヘブライ語の固有名詞以外の名詞語幹（性・数を表す接尾辞を除いた部分）は，殆どすべて二音節以下の長さで，一音節語の多くは閉音節である． 4.2の単語のうち אֱלהִׁים だけが三音節語であるが，これは אֱלוֹהַּ 《神》に男性複数接尾辞が付いた形であるから，例外ではない．単語の形は、いうまでもなく音節構造の規則3.1 に従って結合された子音と母音とでできているが、その語幹において各子音の間に如何なる母音が如何なる順序で配列されているか、によって大体その単語の型がきまる。単語の型が意味との関連において最も規則的な体系を示すのは動詞の場合であるが、名詞についてもいくつかの型を抽出することができる。たとえば4.2の単語は、その型に従って、次のように分類される（C は子音を表す）： (1)CōC טוֹב ṭōḇ קוֹל qōl (2)CāCāC דׇּבׇר dāḇār חָכָם ḥāḵām אָדׇם 'ādām אׇפׇר 'āp̄ār (3)CéCeC מֶ֫לֶךְ mélek (4)CāCōC גׇּדוֹל gādōl これらは名詞の代表的な型の一部である。名詞の認定は、型によって行うことができる。
null	null	聖書ヘブライ語入門/名詞文・主述統合・冠詞・名詞の型/練習 4.7 練習 (解答) (1) 日本語に訳せ .א. חׇכׇם הׇעֶ֫בֶד .ב. וְהַזׇּהׇב טוֹב .ג. קׇטוֹן הַבַּ֫יִת .ד. הַנַּ֫עַר הַמֶּ֫לֶךְ .ה. גׇדוֹל הַנׇּהׇר (2)ヘブライ語に訳せ 1. その家は良い。 2. その少年は賢い。 3．その言葉は金だ。 4. そしてその王は大きい。 5. その河は小さい。 4.7 練習 (解答) (1) 日本語に訳せ .א. חׇכׇם הׇעֶ֫בֶד .ב. וְהַזׇּהׇב טוֹב .ג. קׇטוֹן הַבַּ֫יִת .ד. הַנַּ֫עַר הַמֶּ֫לֶךְ .ה. גׇדוֹל הַנׇּהׇר (2)ヘブライ語に訳せ 1. その家は良い。 2. その少年は賢い。 3．その言葉は金だ。 4. そしてその王は大きい。 5. その河は小さい。
null	null	聖書ヘブライ語入門/名詞文・主述統合・冠詞・名詞の型/練習/解答 (1) א.その奴隷は賢い。 ב.そしてその金は良い。 ג.その家は小さい。 ד.その少年こそ王である。 ה.その河は大きい。 (2) 1. טוֹב הַבַּ֫יִת 2. חׇכׇם הַנַּ֫עַר 3. זׇהׇב הַדׇּבׇר 4. וְהַמֶּ֫לֶךְ גׇּדוֹל 5. קׇטוֹן הַנׇּהׇר (1) א.その奴隷は賢い。 ב.そしてその金は良い。 ג.その家は小さい。 ד.その少年こそ王である。 ה.その河は大きい。 (2) 1. טוֹב הַבַּ֫יִת 2. חׇכׇם הַנַּ֫עַר 3. זׇהׇב הַדׇּבׇר 4. וְהַמֶּ֫לֶךְ גׇּדוֹל 5. קׇטוֹן הַנׇּהׇר
null	null	聖書ヘブライ語入門/女性形・形容詞/名詞と形容詞 5.4. 名詞と形容詞単語の型と意味との関係で顕著なことは、טוֹב《良い》、חׇכׇם《賢い》のような、意味の面からは形容詞の部類に入る単語が、4.5で見たように、名詞（例えば קוֹל《声》、דׇּבׇר《言葉》と同じ型を取っていることである。日本語では形容詞は「活用」を行うなど名詞とは形の上からも区別されるのであるが、ヘブライ語ではこのように形態的には名詞と区別されず（もっとも CéCeC 型など、形容詞には無い型もあるが）、ユダヤ人文法家も品詞を名詞、動詞、小辞の三つに分類し、形容詞は名詞の下に分類したのであった。この講座でも、誤解の生じない限り、名詞（句）と形容詞（句）を特に区別していない。実際、意味的に形容詞と見なし得る語も、例えば חׇכׇם《賢い、賢人》のように、冠詞をつけることなしに、我々の所謂名詞としても用いられる。 קׇטוֹן הַבַּ֫יִת のような文も、《その家はちいさなものだ》と考えれば、名詞・形容詞の区別はヘブライ語では本質的なものでないことが分かるであろう。הַבַּ֫יִת הַקׇּטוֹן のような修飾部も、《その家、すなわちその小さなもの》と考えれば、定／不定の一致についても一つの示唆が得られよう。一方、形容詞的意味を持った名詞は、ヘブライ語の場合でも、修飾語として機能し易いとか、同じ語幹から男性形も女性形も作られることが多い、といった特徴を備えていることはたしかである。そのような一群の名詞を、便宜上形容詞と呼ぶこともある。
null	null	聖書ヘブライ語入門/女性形・形容詞/性 5.5. 性性は日本語には無い文法範疇の一つである（4.3.1)。ヘブライ語の名詞はすべて、テクストの中では、男性または女性の標識を帯びて現れる。ドイツ語やギリシア語と違って中性（男性でも女性でもない性）というものは無い。敢えて「性」と呼ぶのは、この文法上の区別が、 נַ֫עַר《若い男》― נַעֲרׇה《若い女》のように、人間を表す名詞において自然的な性別と一致するからである。形態上は、男性形のゼロ（すなわち、例えばギリシア語の男性語尾-ος に見られるような積極的な形をとらない）に対し、女性形は -ā, -at, -et 等の接尾辞によって明示される。性と数の標識が常に一つに融合していることは上に述べた（5.3)。ここに挙げた形はすべて単数系である。明示的な女性接尾辞を備えていない名詞はすべて男性である、とは限らない。たとえば עִיר《町》が女性名詞であることのように性が文法範疇だというのは、性が、例えば女性名詞の表すものは女性的な性質を含んでいるといった（そういうこともあるかも知れないが、それは別問題である）、個々の単語だけの問題ではなく、二つ以上の語が統合される場合に一致（＝呼応）という形で必ず表面化することだからである。女性形でないにも拘らず女性扱いされる名詞は、他に יׇד《手》、דֶּ֫רֶךְ《道》、עַ֫יִן《目》、אֹ֫זֶן《耳》、אֶ֫רֶץ《地》、חֶ֫רֶב《剣》、נֶ֫פֶשׁ《魂》、רוּחַ《霊》等がある。しかし我々のテクストでは、少数ながら、これらが男性扱いされている例もある。また、自然的な性別と文法的な性別は大体一致しているが、これもすべての形で明示されているとは限らない。例えば、 אׇב 《父》― אַם 《母》、 תַּ֫יִשׁ《雄山羊》― עַז《雌山羊》、 חֲמוֹר《雄ロバ》― אׇתוֹן《雌ロバ》、 אַ֫יִל《雄羊》― רׇחֵל《雌羊》語幹に -ā などの接尾辞を付けて女性形を作るとき、アクセント（強勢の置かれる位置）が移動するため、それに伴って語幹の母音が変化する語がある。その規則は、複数接尾辞の付く時の規則と同じであるから、次の課でまとめて述べる。
null	null	聖書ヘブライ語入門/女性形・形容詞/構文の説明 5.3 構文の説明文1 は4.1の例文3の主部 הַמֶּ֫לֶךְ を女性名詞 המַּלְכׇּה に変えた文である。主部の性が男性から女性に変わったので、性・数一致の規則に従って、述部の性も女性形 חֲכׇמׇה に変わっている。女性形であることは ה ׇ (-ā) という接尾辞が示している。数は単数のままで変わらない。といっても、性の標識とは別に数の標識があって、これが変わらない、ということではない。性・数の標識は常に融合しており、分離することができない。例えば טוֹב ṭōḇ (男性・単数） טוֹבִים ṭōḇīm (男性・複数) טוֹבׇה ṭōḇā (女性・単数） טוֹבוֹת ṭōḇōt (女性・複数）のようである。文2 は二つの名詞文を接続詞 וְ で連結した文である。 וְ に導かれる従属文（ここでは、厳密には従属節）では、主・述の順序が逆になっている（4.3.3)。主部の הָאִישׁ は男性、הׇאִשׇּׁה は女性であるから、述部のそれぞれ一致して男性の עֶבֶד、女性の אׇמׇה となっている。文3 の主部は הַבַּיִת 述部は קׇטוֹן וְיׇפֶה である。この述部はこれまでの名詞句と異なり、二つの名詞を接続詞 וְ で連結した句である。このように名詞句は、その名詞句の構造が許す限り、名詞を連結することによって、いくらでも拡張することができる。この方法で述部を拡張するとき、主部との文法的一致は各語ごとに守られる。すなわち文4 のように、主部が女性名詞の הָעִיר に変わると述部の名詞は二つとも女性形に変わる。文5 では、 יׇפֶה が述部， הַבַּיִת הַקׇּטוֹן が主部である。この第二の名詞句の中心は הַבַּיִת で、これを後続の הַקׇּטוֹן が修飾している。それは הַקׇּטוֹן が הַבַּיִת と性・数だけでなく、冠詞付きという点でも、一致していることから、分かるのである。冠詞付きの名詞を固有名詞等とともに定、定でない名詞を不定という。この הַבַּיִת と הַקׇּטוֹן のように、＜被修飾部-修飾部＞として統合された名詞句は、原則として、性・数だけでなく、定／不定に関しても一致する。中心となる名詞句が不定ならば、原則として、修飾部も冠詞をとらない、例えば בַּיִת קׇטוֹן 《ある一軒の小さな家》。定／不定は、このようにヘブライ語の文法規範のひとつであるが、意味の面からは、既にに述べたように(4.3.2)、その指示対象が読者（＝聞き手）にとって既知の事項（＝旧情報）であるか否かを示す。文6の主部 הָעִיר הַקְּטַנָּה וְהַיָּפָה では、הׇעִיר が中心で、これを後続の名詞句 הַקְּטַנָּה וְהַיָּפָה が修飾している。この名詞句を文4と比べると文4の主部・述部が、この名詞句ではそれぞれ被修飾部・修飾部になっていることが分かる。ただし、修飾部は被修飾部と定／不定に関しても一致しなければならないから、接続詞 וְ で連結された二つの名詞が、それぞれ冠詞を取っている。この点を除けば、同じ名詞句が文4では述部として、ここでは修飾部として、機能しているわけである。
null	null	聖書ヘブライ語入門/接尾人称代名詞/指示詞 9.3 指示詞聖書ヘブライ語の指示詞には、日本語のコレ《話し手に近い物》、ソレ《話し相手に近い物》、アレ《両者に遠い物》のような対立も、また英語の this - that のようないわゆる近称―遠称の対立もない。指す物の性・数によって זֶה 男性・単数 ― זאׁת 女性・単数 ― אֵ֫לֶּה 複数が区別されるだけである（この他にも若干の異形はある）。文1, 文3, 文8 では指示詞が名詞句を成している。主語か述語かということは、これらの文がいずれも同定文であるため、決定できない。指示詞は当然、定名詞に相当するからである。（例えば、文1 は「私の契約のしるしはこれだ」とも訳せる。）一方文2 の指示詞 זֶה は、 נַעַר 《若者》が他の若者ではなく、話し手の指さしている若者であることを、示している。このような場合、指示詞は名詞の前に置かれることもある（サムエル記上1755 では בֶּן־מִי־זֶה הנַּ֫עַר となっている。ついでながら、この文脈では「あの若者は…」と訳すべきであろう）が、後に置かれる例が多い。その際、 הָאִישׁ הַזֶּה 《こ（そ・あ）の男》 הָאִשָּׁה הַזּאׁת 《こ（そ・あ）の女》 הַיְלָדִים הָאֵ֫לֶּה 《こ（そ・あ）の子供たち》のように、指示詞と名詞は性・数・定／不定において一致する。すなわち<被修飾部―修飾部>の構造を取る。そして הָאַנָשִׁים הַיְשָׁרִים וְהַצַּדִּיקִים הָאֵ֫לֶּה 《こ（そ・あ）の直く正しい男達》のように修飾部の最後に置かれる。 - 9.3.1 指示詞と人称代名詞の違い
null	null	聖書ヘブライ語入門/接尾人称代名詞/指示詞/指示詞と人称代名詞の違い 9.3.1 指示詞と人称代名詞の違い文6 の名詞句 הַיּוֹם הַהוּא 《その日》では、前の課で学んだ人称代名詞 הוּא が、文2 の指示詞 זֶה のように、その前の名詞を修飾している。このように三人称自立代名詞は、指示詞と同じ働きをするように見え、また同じく「それ」とか「これ」と訳されるため、人称代名詞としてだけでなく、指示詞としても扱われることが多い。ある人々は、 זֶה 、 זאׁת 、 אֵ֫לֶּה は近称 (this, dies-) で、 הוּא 、 הִיא 、 הֵם 、 הֵ֫נָּה は遠称 (that jen-) だ、と言う。しかし前にのべたように(8.3.2)、三人称代名詞は、ある名詞句を受けてその「代」わりに用いられる言語手段であり、従って何を指すかは文脈から明らかであるのに対し、指示詞は、物や人を直接指さしながら用いられるものであるから、それが何を指すかはその言語行為の場に居合わせなければ分からないのである。（我々のテクストでは、前後の説明から、それが分かることが多い。例えば上に引用したサムエル記上1755 では、この文の前に「サウルは、ダビデがかのペリシテ人にたち向かおうとして出て行くのをみて、将軍ブネルに言った」とある。一方、例えば創世記2633 などの「この日（ הַיּוֹם הַזֶּה まで）」の「この日」（＝「今日」）とは何時なのか、この記事が書かれた時点ということの他はわからない。指示詞と三人称代名詞とのことのような違いを、次の文で確認されたい―「（私が指示して）これ( זֶה )はお前と一緒に行くのだ、と私がお前に言う者、その者( הוּא )がお前と一緒に行くのだ…」（士師記74)。
null	null	聖書ヘブライ語入門/接尾人称代名詞/接尾人称代名詞 9.4 接尾人称代名詞接尾人称代名詞の形は、名詞、前置詞等に接尾する場合と、動詞に接尾する場合とで、多少の相違はあるが、基本的には同じである。下に基本形（共時的に体系をなすものとして再構した形）と、実際に名詞語幹に接尾する形とを、並べて表示する。接尾形は自立形と末尾部分の同じものが多く、このことから、名詞の後に置かれてこれを限定した自立人称代名詞が、その語頭部分を落として名詞に接合するに至った（דְּבַר אֲנִי→דּבָרִי)、と推定することができる。自立形が主格を表すのに対し、名詞に付く接尾形は、連語句における限定語と同じく、属格を表す（《私の言葉》）。人称代名詞は文法的に定である（8.3.2）から、接尾人称代名詞は冠詞と同じく限定辞であって（4.4 参照）、これが接尾した名詞は、定名詞を限定語とする連語句と同じく、定として扱われ（7.3 参照）、これを修飾する形容詞や指示詞は冠詞をとるけれども、これ自身に冠詞が付くことはない。例えば אֵשֶׁת הַמֶּלֶךְ הַיָּפָה 《王の美しい妻》の הַמֶּלֶךְ を代名詞化すると אִשְׁתּוֹ הַיָּפָה 《彼の美しい妻》となる。 הָאִשְׁתּוׂ は * הָאֵשֶׁת הַמֶּלֶךְ と同様に非文法的である。 - 9.4.1 接尾人称代名詞による名詞の語形変化
null	null	聖書ヘブライ語入門/接尾人称代名詞/接尾人称代名詞/接尾人称代名詞による名詞の語形変化 9.4.1 接尾人称代名詞による名詞の語形変化接尾人称代名詞は、例によって名詞語幹の音変化を惹き起こすが、その際の規則は、複数接尾辞が付く場合のそれと同じである。ただし女性複数接尾辞 וֹת (-ōt) 以外の性・数接尾辞は、あらかじめ次のように変形ないし削除される。女性単数接尾辞 -ā → -āt 例： תּוֹרָה 《律法》→ תּוֹרָת (連語形と同じ）男性複数接尾辞 -īm は削除例： דְּבָרִים → דְּבָר 、 בָּנִים → בָּנ この後、6.4 および 7.5.6 の音規則が適用される。すなわち、 (1)不変化型：例えば קוֹל (6.4.1)、 בָּנ (6.4.1)、 גִּבּוֹר (6.4.5)、 בְּרִית (6.4.6)、 דְּבָר (← דְּבָרִים 、上記参照)(6.4.6)。 (2)変化型：例えば עַם → עַמּ (6.4.2)《民》、 דָּבָר → דְּבָר (6.4.3)、 אֲדָמָה → אֲדָמָת → אֲדְמָת (6.4.3)→ אַדְמָת (7.5.6)《土地》、 אוֹיֵב → אוֹיְב (6.4.7)(= * אוֹיְבְ )→ אוֹיִב (7.5.6)、 שָׂדֶה → שָׂד (6.4.8)《野》 (6.4.4) の規則は適用されない。この CV́CVC 型の、所謂セゴール名詞については課を改めて学ぶ。このようにして出来た一連の連語形に、接尾人称代名詞が付く（実際は、逆に接尾辞が付いた結果、名詞の形が変わるのであるが）。すなわち単数名詞には上の表の I 類の、複数名詞には II 類の接尾辞が付き、その際、I 類の二人称複数形 (-kem, -ken)、II 類の二・三人称複数形 (-ēkem, -ēken, -ēhem, -ēhen) の前では 7.5 の規則も適用される。代表的な名詞について、その結果を下に表示する。括弧でくくったのは、我々のテクストたる聖書に例証されず、上の規則に従って想定した形。例証される形のうち שׂדֵהוּ は、上の規則からは שָׂדוֹ が期待されるもの。テクストには上の表にない異形（例えば בְּנוֹתֵיהֶם の異形 בְּנֹתׇם ）も現れる。ともあれ、この表はモデルとして見て頂きたい。上記の規則から導き出せない「不規則形」を二、三挙げておく。 אָב 《父》、 אָח 《兄弟》の単数は、第二子音以外は全く同じ、連：אֲבִי 、単： אָבִי 、 אָבִיךָ 、 אָבִיךְ 、 אָבִיו (および אָבִיהוּ )、 אָבִיהָ 、複： אָבִ֫ינוּ 、 אֲבִיכֶם 、‥‥ אֲבִיהֶם 、 אָב の複数は אָבוֹת 、接尾辞の付いた形は בָּנוֹת と同じ（ただし *אְ→אֲ)。 אָח の複数は接尾辞が付くと、 אַחַי 、 אַחֶ֫יךָ 、‥‥ אֶחָיו ‥‥ אֲחֵיכֶם となる。 אֲחוֹת 《姉妹》はこれが単数の形で、I 類を取る。その複数は同じ形に II 類を接尾する（ただし極めて不規則）。反対に אֱלֹהִים は意味は単数でも形に従って II 類を取る。 אֵם 《母》の語幹は אִמּ imm- （ חֵץ 《矢》、 לֵב 《心》、 אֵשׁ 《火》も同様）。同様にして כֹּל 《すべて》、 חֹק 《定め》の語幹は כֻּל kull-、 חֻקּ ḥuqq-（ עַץ 《木》、 אֵל 《神》、 קוֹל 、 טוֹב は語幹も不変。この種の名詞の共時的体系については後述）。
null	null	聖書ヘブライ語入門/接尾人称代名詞/練習 9.6 練習（解答) (1)日本語に訳せ א. יהוה הַצַּדִּיק וַאֲנִי וְעַמִּי הָרְשָׁעִים ב. הִיא לֹא אִשְׁתִּי וְאָנֹכִי לֹא אִישׇׁהּ ג. וּמִצְרַיִם אָדָם וְלֹא אֵל וְסוּסֵיהֶם בָּשָׂר וְלֹא רוּחַ ד. הָאִישׁ הזֶּה אָבִיךָ וְהָאִשָּׁה הַזּאׁת הִיא אִמְּךָ (2)ヘブライ語に訳せ 1. あれは私の妻の妹だ。大そう賢い。 2. あの大きな馬は私の兄の馬です。 3. この若い女は誰の娘か。それはあなたの婢（＝女奴隷）の娘です。
null	null	聖書ヘブライ語入門/暗誦2 語註 שְׁמַע は「聞く」という意味の動詞の男性・二人称・単数の命令形。命令の対象は ישראל 、多くの場合このように後置される。 וְאָהַבְתָּ は「愛する」という動詞の男性・二人称・単数のワウ完了形。 אֵת は原則として目的格の定名詞句の前に置かれる助詞。 בְּ はここでは「をもって」と訳される前置詞。 כָּל kol は כּוֹל 《すべて》の連語形。 לֵבָב 《心》、 נֶפֶשׁ ( נַפְשׁ )《のど、魂、存在》、 מְאֹד （名詞としては）《力》。 מְאֹדֶֽךָ は ־ְךָ の休止形(3.2.3）。第二行目は 9.1の例文7 と同じであるが、訳はわざと変えてみた。性・数を等しくする四個の名詞を並べたこの表現は、その構文からして様々な解釈が可能である。 אֶחָד を יהוה に対する修飾部として「唯一なるヤハフェ」と読むためには、原則的には הָאֶחָד となっていなければならない。しかし יהוה האחד なる表現は聖書に無く、 יהוה אחד も管見の限りではゼカリア149にあるのみ。しかしこの文のような表現こそ論理学的な主―述関係から把えることは一方的なのではないだろうか（4.3.2参照）。その意味で Martin Buber のドイツ語訳（1868改訂)における ER unser Gott, ER Einer! (Buber は יהוה を常に ER と訳する）という訳は示唆的である。
null	null	聖書ヘブライ語入門/自立人称代名詞/練習 8.5 練習 (解答） (1) 日本語に訳せ א. בְּרוּכִים אַתֶּם בְּנֵי יִשְׂרָאֵל ב. אֲנִי יַהְוֶה הָאֱלֹהִים וְלֹא אִישׁ ג. מַלְאֲכֵי הָאֱלֹהִים הֵם ד. אֵם יְלָדִים חֲכָמִים הִיא ה. בַּת־שֶׁבַע הִיא אֵם שְׁלֹמֹה ו. מֹשֶׁה הוּא עֶבֶד הָאֱלֹהִים ז. אַתָּה הָאִישׁ (2) ヘブライ語に訳せ 1. 彼女は小さな娘だ。 2. その女はあなただ。 3. 私は塵だ、人でない。 4. お前はその男の息子ではない。この「聖書ヘブライ語入門」で、例文や練習問題として挙げた文は、聖書に頻繁に現れる単語を、ヘブライ語聖書から帰納された文法に従って組み合わせたものであって、そのままの形では聖書に見出されないものもある。また、聖書からの引用も、説明上必要な場合は別として、あえて出典を明記しない。

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