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|---|---|---|---|---|---|
2023-07-07T00:00:00 | f6920c9aefd1444ba933779be100be30 | 1 | short_answer | 给定矩形$$ABCD$$，$$AB=63$$，$$BC=448$$．点$$E$$，$$F$$分别在$$AD$$，$$BC$$边上，使得$$AE=CF=84$$．$$\triangle BEF$$的内接圆与$$EF$$相切与点$$P$$，$$\triangle DEF$$的内接圆与$$EF$$相切与点$$Q$$．试求$$PQ$$的长度． | [
"竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 55812c9e78c54dc6bb0faef0ba7fc169 | 2 | short_answer | 萌萌月考语文、英语、数学、物理、政治五门功课总分是$$440$$分，已知前三门平均分$$90$$分，后三门平均分$$88$$分，萌萌数学考了多少分？ | [
"知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 00f83fc1ab194d95a29747cc874b31b1 | 1 | short_answer | 试求$$\underbrace{12345678901234567890\cdots 1234567890}_{2020位数}$$中，由左边数第$$517$$个数字是多少？（2020年华夏杯二年级竞赛决赛（全国赛区）第$$16$$题） | [
"拓展思维->思想->对应思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | f091573667b6491db678276c4143eb0f | 2 | short_answer | 计算：$$\frac{1949\times 2012}{1949+{{1949}^{2}}}+\frac{1949\times2012}{1950+{{1950}^{2}}}+\frac{1949\times 2012}{1951+{{1951}^{2}}}+\frac{1949\times2012}{1952+{{1952}^{2}}}+\ldots +\frac{1949\times 2012}{2011+{{2011}^{2}}}$$．(2019.JX) | [
"课内体系->思想->整体思想",
"拓展思维->能力->逻辑分析"
] |
2023-07-07T00:00:00 | cff030e5988947bcbde4d57377e477a6 | 3 | short_answer | 甲、乙、丙三辆车同时从$$A$$地出发到$$B$$地去，出发后$$12$$分甲车超过了一名长跑运动员，又过了$$4$$分后，乙车也超过这名运动员，又过了$$4$$分钟，丙车也超过了这名运动员．已知甲车每分走$$1000$$米，乙车每分走$$800$$米，那么丙车每分钟走多少米？ | [
"拓展思维->思想->整体思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | c1530256102e421084bbb164cf48f848 | 2 | short_answer | 某饮料店推出优惠活动，买一杯原价$$7$$元的橙汁后可以加$$1$$元再送同样的一杯橙汁．现有$$9$$名同学一起去买饮料，每个人都要买一杯橙汁．请问他们至少共需花费多少元？ | [
"拓展思维->能力->逻辑分析"
] |
2023-07-07T00:00:00 | f4848671aeca409f8569f0a60b4b3578 | 2 | short_answer | 火车通过长$$100$$米的铁路桥用了$$28$$秒，如果火车的速度加快$$1$$倍，它通过长$$1700$$米的隧道要用$$1$$分$$54$$秒，那么这列火车的长度是多少米？ | [
"拓展思维->思想->转化与化归的思想",
"课内体系->思想->转化与化归的思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 3ca55752d8064454851178c72bd952c9 | 1 | short_answer | 求以下数字的平均数： $$2017$$、$$2015$$、$$2018$$、$$2020$$、$$2021$$、$$2023$$． | [
"拓展思维->能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 5f4c3119a4a44e44885e4bfff8bc739a | 3 | short_answer | 【行程模块】（10分） 甲乙丙三人同时从$$A$$地开往$$B$$地，乙速度是$$70$$千米每时，丙速度最慢．三人到达$$B$$地后都立即返回$$A$$地，其中甲回程加速$$50 \%$$，乙回程速度也改变了，丙速度没变．出发一段时间后，三人相遇在同一点；当丙到达$$B$$地时，甲刚好走到$$AB$$两地中点；最后乙和丙同时返回$$A$$地．那么乙回程时的速度为多少？ | [
"拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->多次相遇和追及->往返相遇"
] |
2023-07-07T00:00:00 | e371743870f146f1b53162199e0a2d80 | 1 | short_answer | 在少于$$1111$$的自然数中，共有多少个既不是$$25$$的倍数又不是$$45$$的倍数的自然数． | [
"拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数与倍数基础"
] |
2023-07-07T00:00:00 | fd2630d9816f4b20b93314a6f99cf40a | 1 | short_answer | 艾迪有$$3$$粒糖，薇儿则有$$5$$粒糖，而博士每天都会再给他们每人一粒糖．那么当他们两人共有$$30$$粒糖的时候，艾迪有多少粒糖？ | [
"拓展思维->七大能力->逻辑分析"
] |
2023-07-07T00:00:00 | fdc61a4da7b34a2d98744987de4bf05f | 1 | short_answer | 小朋友，请你把下面这道题讲给家长听吧！ 计算：$$5516-(516-189)$$． | [
"拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->加减法凑整综合"
] |
2023-07-07T00:00:00 | ca962ca8315a4f08ac707eb7ddca67c4 | 1 | short_answer | 计算：$$96.75\times 9+64.5\times 31+32.25\times 11$$ | [
"拓展思维->能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d8b11e7c6bf346bb8b58e3b05dfbfee3 | 2 | short_answer | 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，没有平局，并且甲、乙、 丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？ | [
"拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->单循环赛"
] |
2023-07-07T00:00:00 | e55927c84f684d69b5c913d639b91179 | 2 | short_answer | 将一根长为$$374$$厘米的合金铝管截成若干根$$36$$厘米和$$24$$厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）．问：剩余部分的管子最少是多少厘米? | [
"竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 29c87e759cdc458499ea0a0811320197 | 1 | short_answer | 计算：$$9+99+999+9999+99999+999999$$． Find the value of $$9+99+999+9999+99999+999999$$. | [
"拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数拆补凑整"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 573c0bc4fad64db1a8aa284674220fc0 | 2 | short_answer | 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行$$70$$米，每隔$$30$$分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行$$70$$米，每隔$$20$$分钟遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ | [
"拓展思维->思想->方程思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 668429d551764db7b679edc30e35e1a0 | 1 | short_answer | 若凯杰以每秒一级的速度在一个上升的自动扶梯上往上走，他在走$$20$$级后抵达梯顶．若凯杰将速度增至每秒两级，则需走$$32$$级以便抵达梯顶．试求出自动扶梯的级数． | [
"拓展思维->思想->对应思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 49c0059aa9c84f11a448d608cc749951 | 3 | short_answer | $$n$$项正整数列$${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}}$$的各项之和为$$2009$$，如果这$$n$$个数既可分为和相等的$$41$$个组，又可分为和相等的$$49$$个组，求$$n$$的最小值． | [
"竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 346e95bd1031464aa22198732afcf0c6 | 1 | short_answer | $$6$$支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得$$3$$分，平一场各得$$1$$分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有$$4$$场平局，且其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，则第$$6$$支球队得了几分？ | [
"拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理"
] |
2023-07-07T00:00:00 | ca05f5b986194e68a588a7865f8d0f9f | 1 | short_answer | 老师把练习本分给学生，如果其中两人分$$6$$本，其余每人分$$4$$本，则多出了$$7$$本，如果有$$1$$人分$$10$$本，其余每人分$$6$$本，则还差$$15$$本，那么一共有多少本练习本？ | [
"拓展思维->思想->转化与化归的思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 344505d46fcb4af88411e3d16060b9b2 | 1 | short_answer | $$A$$班有$$4$$男$$3$$女，若每一人均有$$1$$至$$7$$其中一个学号（学号不会重复），问有多少种分配学号的方法？ There are $$4$$ boys and $$3$$ girls in Class $$A$$. Each student is assigned a class number, from $$1$$ to$$7$$, without repetition, How many ways are there to assign the class numbers? | [
"竞赛->知识点->组合->排列与组合"
] |
2023-07-07T00:00:00 | e64f6db79c1242f68c91c8276dfea38d | 1 | short_answer | \uline{小匹}$$4$$年后的年龄与\uline{小克}$$5$$年后的年龄相等；而\uline{小匹}$$2$$年前的年龄与\uline{小克}$$3$$年后的年龄合共$$30$$岁。\uline{小匹}今年多少岁？ | [
"拓展思维->能力->运算求解",
"Overseas Competition->知识点->应用题模块->年龄问题"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 878b544337834127ba695a6c8933cbd8 | 1 | short_answer | 海关大钟在$$3$$点时敲了$$3$$下，共用了$$3$$秒钟．早上$$9$$点敲$$9$$下，要花多少秒钟？ | [
"拓展思维->能力->实践应用"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 62e81b77f36e4ea68abe749b4db82245 | 1 | short_answer | 小华由东地走到西地需要$$24$$分钟，小夏由西地走到东地需要$$40$$分钟．现在两人分别从东、西两地同时相向出发 ，那么他们在多少分钟后相遇？ | [
"拓展思维->能力->实践应用"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 747cb68f360a4e09a57a3ab77ce42025 | 1 | short_answer | 有一个数，当它乘上$$5$$，再加上$$5$$，再除以$$5$$，最后减$$5$$，得出$$0$$，那么这个数是多少 ？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->逆运算"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d3a7369a01a74e8b87e1a6a98ad27460 | 1 | short_answer | 一个角锥体有$$2019$$个顶点，问该角锥体有多少条棱？ A pyramid has $$2019$$ vertices. How many edges does it have? | [
"竞赛->知识点->几何杂题->几何定值"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 79f8e951c41d4f9fbea62f90356f81c2 | 2 | short_answer | 设$$n$$是小于$$100$$的正整数且使$$2{{n}^{2}}-3n-2$$是$$6$$的倍数，则符合条件的所有正整数$$n$$的和是~\uline{~~~~~~~~~~}~. | [
"课内体系->能力->运算能力",
"课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算",
"竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d9a64f6a7e3d448ba6868500d7241883 | 2 | short_answer | 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配$$8400$$元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获$$5040$$元．实际上从第$$5$$天开始，甲队的工作效率提高了$$1$$倍，这样甲队最终可比原计划多获得$$960$$元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？ | [
"拓展思维->能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d253502577104c5cb24ea61bdfbca5e9 | 2 | short_answer | 甲、乙、丙三人每分钟分别行$$60$$米、$$50$$米和$$40$$米，甲从$$B$$地、乙和丙从$$A$$地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后$$20$$分又遇到丙．求$$A$$，$$B$$两地的距离． | [
"拓展思维->思想->逐步调整思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d66d21c5ac3d47459767c97189da34a4 | 2 | short_answer | 对每个正整数$$n$$，设$$f\left( n \right)=\sum\limits_{k=1}^{100}{\left[ {{\log }_{10}}\left( kn \right) \right]}$$．求$$n$$的最大值，使得$$f\left( n \right)\leqslant 300$$（$$\left[ x \right]$$表示小于或等于$$x$$的最大整数）． | [
"竞赛->知识点->函数->基本初等函数",
"竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 513033cc0dfd435e8a4512488baa7f80 | 3 | short_answer | 小芳的家到公园的距离为$$3000\text{m}$$，小芳以每分钟$$100\text{m}$$的速度从家里走到公园，然后以每分钟$$150\text{m}$$的速度沿原路走回家里，请问小芳往返的平均速度是每分钟多少$$\text{m}$$？（例题1） | [
"拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 1f9829ca7449490c97ab8ba01f4afa23 | 2 | short_answer | 诗人王昌龄、王之涣、高适三人在旗亭比赛作诗，王昌龄只写七言绝句，高适只写五言绝句，王之涣既写七言绝句又写五言绝句，王昌龄和王之涣共写了$$26$$首七言绝句，高适和王之涣共写了$$25$$首五言绝句，王昌龄和高适写的总数是王之涣的$$2$$倍，那么，王之涣一共写了多少首绝句？ | [
"知识标签->学习能力->七大能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 8e1f1de856e5477aade074e32f9c59a2 | 1 | short_answer | $$1\times 2\times 3\times \ldots\times30$$的末位有多少个连续的零． | [
"拓展思维->能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 8a4ded73fffc4ae69acc69a0c50a561a | 3 | short_answer | 今年，丹丹和父亲、母亲、弟弟的年龄之和为$$120$$岁，当父亲的年龄是丹丹年龄的$$3$$倍时，母亲的年龄恰好也是弟弟年龄的$$3$$倍，当时弟弟$$12$$岁，那么丹丹今年多少岁？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之和倍型"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 20b9dab45b844b31bdf766c497a16f85 | 3 | short_answer | 杨老师在购物时发现一个有趣的现象，他每次付款时钱包内的钱数正好是所付金额的$$5$$倍，他结账两次后钱包内还剩$$320$$元，请问在一开始购物前他钱包内有多少钱？ | [
"知识标签->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->整数差倍"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 914cf6f935da4d7ea1c2ba8d2931421a | 3 | short_answer | 已知$$a$$，$$b$$为正整数，求$$M=3{{a}^{2}}-a{{b}^{2}}-2b-4$$能取到的最小正整数值． | [
"竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质"
] |
2023-07-07T00:00:00 | a0e4f39233324f5bbc89d202d11aa98c | 3 | short_answer | 甲、乙、丙三辆车同时从$$A$$地出发到$$B$$地去，出发后$$12$$分甲车超过了一名长跑运动员，又过了$$4$$分后，乙车也超过这名运动员，又过了$$4$$分钟，丙车也超过了这名运动员．已知甲车每分走$$1000$$米，乙车每分走$$800$$米，那么丙车每分钟走多少米？ | [
"拓展思维->思想->整体思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 3f342769afc84fe6a403f953972503f4 | 1 | short_answer | 一件工程按甲、乙、丙各一天的顺序工作，恰需要整天数工作完毕．如果按丙、甲、乙各一天的顺序工作，比原计划晚$$0.5$$天完成；如果按乙、丙、甲各一天的顺序工作，比原计划晚$$1$$天完成．乙单独完成这件工作需要$$30$$天．甲、乙、丙同时做需要多少天完成？ | [
"拓展思维->知识点->应用题模块->工程问题->合作工程问题->接力施工问题"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d9440b1753724ba880a5727a3c4ad7ce | 1 | short_answer | 如图是一个乘法算式，问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少? | [
"竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题"
] |
2023-07-07T00:00:00 | f86a58479a9446b69469ed125d086e4e | 3 | short_answer | 一个数集的和是指它的所有元素之和．令$$S$$是一些不超过$$15$$的正整数组成的集合，$$S$$的任意两个不相交的子集合的和不相等，并且在所有具有上述性质的集合中，$$S$$的和最大，求集合$$S$$的和． | [
"竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d927c34362734bf183ea6c7bbe854b19 | 2 | short_answer | 如果一个数的数字和与它$$5$$倍的数字和相同，却与它$$3$$倍的数字和不同，我们称这种数为``奇妙数''，那么，$$1000$$以内的``美妙数''有多少个？ | [
"知识标签->数学思想->分类讨论思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | e7a179472f9d4a7cb97d22467acdbcc8 | 1 | short_answer | 三个同学分桃子，小明得到的桃子是总数的一半还少一个，小亮得到的桃子是剩余总数的一半多一个，小丽得$$4$$个，正好分完，这些桃子共有多少个? | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->单一变量还原问题"
] |
2023-07-07T00:00:00 | b6c694b26c6c4ae88e13ea37cf464e2a | 2 | short_answer | 现有$$35 \%$$浓度的盐水$$1791$$克，由于瓶子没有盖好，水份蒸发了一部分，盐水浓度上升到$$45 \%$$．那么要加回多少克水，才可将盐水浓度恢复至$$35 \%$$？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->浓度基本题型->已知溶液浓度求溶质"
] |
2023-07-07T00:00:00 | d814d4155670459aac204a6c94742f6e | 1 | short_answer | 求$$10000$$的所有偶约数的和． | [
"竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）"
] |
2023-07-07T00:00:00 | acd5ad11fd504f3ea7c7df0990ec9104 | 2 | short_answer | 设$$a={{2}^{n}}{{3}^{n}}$$，$$m$$，$$n$$为非负整数，则使得$${{a}^{6}}$$不是$${{6}^{a}}$$的因数的所有正整数$$a$$的和是多少？ | [
"竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）"
] |
2023-07-07T00:00:00 | ff8080814a3c39c1014a58bc3c02457e | 3 | short_answer | 一个三位数除以$$17$$和$$19$$都有余数，并且除以$$17$$后所得的商与余数的和等于它除以$$19$$后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数与最小数之和是多少？ | [
"拓展思维->思想->逐步调整思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 2b90102d8ef241c2a376cf5942fd0ae4 | 1 | short_answer | 计算：$$\frac{{{(-2)}^{4}}\times {{(-1)}^{3}}-\left\textbar{} -10 \right\textbar\div \left[ -\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right]}{-{{2}^{2}}\left( -\dfrac{1}{8} \right)+\left[ 1-{{3}^{2}}\times \left( -\dfrac{1}{2} \right) \right]}$$ | [
"竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题",
"课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算"
] |
2023-07-07T00:00:00 | b45f99bcf9424e1f8d5a598e17c8d67a | 1 | short_answer | 客车和轿车从$$A$$、$$B$$两地相向同时出发，$$72$$分钟相遇，然后继续行驶，分别到达$$B$$地和$$A$$地．如果轿车的速度是客车的$$1\frac{1}{3}$$倍，那么客车比轿车迟多少分钟到达目的地？ | [
"拓展思维->思想->对应思想"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 4032b0c61f264bbc8df6498fce032d75 | 1 | short_answer | 爸爸今年$$40$$岁，他有三个儿子﹐分别是$$12$$岁、$$8$$岁和$$4$$岁．那么在多少年后，三个儿子的年龄总和会与爸爸的年龄相同? | [
"拓展思维->能力->实践应用"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 5569306ac8444be7a8980475a5db7c31 | 2 | short_answer | 有红色旗一面，黄色旗两面，蓝色旗两面，大小完全相同，把它们从上到下依次挂在旗杆上表示不同信号（可以挂一面、二面、三面\ldots\ldots 五面），那么最多可以表示多少种不同信号？ | [
"拓展思维->能力->运算求解"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 7dc087a08d934e81be3163d788e1bf1e | 3 | short_answer | 甲、乙两车分别从$$A、B$$两地同时出发（甲从$$A$$地出发），相向而行．甲、乙两车速度分别为$$40$$千米/时和$$50$$千米/时，$$A 、B$$两地相距$$900$$千米．当甲车到达B地后立刻调头开回A地，速度变为$$50$$千米/时．当乙车到达$$A$$地后立刻调头开回$$B$$地，速度变为$$40$$千米/时．当甲车到达$$A$$地后立刻调头开回$$B$$地，速度恢复为$$40$$千米/时．当乙车到达$$B$$地后立刻调头开回$$A$$地，速度恢复为$$50$$千米/时．依次类推，两车在$$A、B$$两地间不断地开来开去，速度也在$$40$$千米/时与$$50$$千米/时之间不断地切换．当两车第$$2016$$次相遇时，甲车一共行驶了多少千米？ ~ | [
"拓展思维->思想->逐步调整思想",
"课内体系->能力->实践应用"
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2023-07-07T00:00:00 | 8aac50a751148307015114d0d7b50368 | 3 | short_answer | 从小到大的不同自然数$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$$\cdots$$，$${{x}_{7}}$$满足$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{7}}=2015$$，则$${{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}}+{{x}_{7}}$$的最小值是多少． | [
"竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题"
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2023-07-07T00:00:00 | acf7b250446f48da99b9d06870bbdf54 | 1 | short_answer | 文具店$$2$$支自动笔的价钱是$$9$$元，$$3$$支钢笔的价钱是$$6$$元．张老师准备为成绩进步明显的同学买$$14$$支自动笔和$$15$$支钢笔，张老师一共需要花多少钱？ | [
"拓展思维->能力->运算求解"
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2023-07-07T00:00:00 | a63c2f99d4e647dfb955b4084f1b496f | 3 | short_answer | 小明参加了若干次数学测验，其中一次的成绩是$$7$$和$$9$$构成的两位数，如果是$$97$$分，那么他的各次平均分为$$90$$分；如果是$$79$$分，那么他的各次平均分为$$88$$分．问：小明参加数学测验的次数是多少？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数",
"课内体系->能力->数据处理"
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2023-07-07T00:00:00 | 0b151241cb7a4f7c840c7643a916e175 | 1 | short_answer | 五年甲班有$$30$$人，在当中抽出$$3$$个人参加比赛，问有多少种选择组合？ | [
"拓展思维->能力->逻辑分析"
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2023-07-07T00:00:00 | b469ba64fa9d41d5af48ce5c6371a716 | 1 | short_answer | 有两列火车分别以相同速度通过一条大桥． 火车$$A$$长度为$$420$$米，由火车上桥起至和桥完全分离需时$$35$$秒； 火车$$B$$长度为$$120$$米，由火车上桥起至和桥完全分离需时$$34$$秒． 现将火车$$A$$和火车$$B$$连成一起，并称为火车$$C$$， 火车$$C$$以相同速度过桥．问整架火车$$C$$于桥上的时间有多少秒？ Two trains goes through a bridge at the same speed. Train $$A$$ is $$420\text{m}$$ long and the duration from the moment the train starts crossing the bridge to the moment it completely leaves the bridge is $$35$$ seconds; Train $$B$$ is $$120\text{m}$$ long and the duration from the moment the train starts crossing the bridge to the moment it completely leaves the bridge is $$34$$ seconds. Train $$A$$ and train $$B$$ are now connected and call it train $$C$$. Train $$C$$ crosses the bridge at the same speed as train $$A$$ and $$B$$. What is the duration the whole train $$C$$ is on the bridge in seconds? | [
"课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题"
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2023-07-07T00:00:00 | df988796b13a4438bec8f6825e9aab99 | 2 | short_answer | 某物流公司物品托运费标准为$$25$$公斤以内每公斤$$6$$元，超出$$25$$公斤的部分每公斤收费标准高于$$6$$元．已知甲、乙两人的托运费分别为$$120$$元、$$180$$元，乙托运的物体比甲托运的物品重了$$40 \%$$，那么超出$$25$$公斤部分每公斤收费标准比$$25$$公斤以内的高了多少元？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->分段计价问题"
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2023-07-07T00:00:00 | 540fc99f19ba4b58b73154f5d5049d63 | 2 | short_answer | 一件工作，甲单独做要$$12$$天，乙单独做要$$18$$天，丙单独做要$$24$$天．现在这件工作由甲先做了若干天，再由乙接着做，最后由丙接着做，直到完成这件工作．已知乙做的天数是甲做的天数的$$2$$倍，丙比乙多做了$$4$$天．则完成这件工作总共用了~\uline{~~~~~~~~~~}~天． | [
"拓展思维->思想->整体思想"
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2023-07-07T00:00:00 | ac26ea01d0674d34af051ee052a3e1e2 | 1 | short_answer | 小朋友们排成一排观看长跑比赛．如果从左往右数艾迪排在第$$15$$位，若从右往左数薇儿排在第$$16$$位，两人恰好相邻而坐．那么，这时至少有多少位小朋友在观看长跑比赛？ | [
"课内体系->知识点->数的运算->估算->整数的简单实际问题->减法的实际应用",
"拓展思维->七大能力->实践应用"
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2023-07-07T00:00:00 | ff80808148880257014888ac79a407e4 | 1 | short_answer | $$47$$名学生参加数学和语文考试，其中语文得分$$95$$分以上的$$14$$人，数学得分$$95$$分以上的$$21$$人，两门都不在$$95$$分以上的有$$22$$人．问：两门都在$$95$$分以上的有多少人？ | [
"拓展思维->拓展思维->计数模块->容斥原理->二量容斥"
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2023-07-07T00:00:00 | b003ec21ec9d4d368d4d8fe908f1c8cc | 1 | short_answer | 第三小队有$$4$$个同学，现在要选出$$2$$人做队长，一共有多少种不同的选法？ | [
"拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->组合的基本应用"
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2023-07-07T00:00:00 | 2a54557bf600427a9b7866b70ee576d4 | 2 | short_answer | 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行$$90$$米，每隔$$30$$分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行$$90$$米，每隔$$20$$分钟遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ | [
"拓展思维->思想->方程思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 1fc23e2bb0354e4e9224d88f4a21b36d | 2 | short_answer | 回文数是指把一个数的数字按相反的顺序重新排列后，所得到的数和原来的数一样．例如：$$5$$、$$88$$、$$101$$及$$1221$$．求$$1$$至$$2018$$之间(包括$$1$$和$$2018$$)的回文数的数量． | [
"Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理->组数问题",
"拓展思维->能力->逻辑分析"
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2023-07-07T00:00:00 | d09fb961fba64234b3b3cc497e7edebb | 2 | short_answer | 列方程解应用题： 五年一班男生和女生的人数比是$$5:4$$，后来又转来$$1$$ 名男生和$$2$$名女生，这时男生和女生的人数比是$$7:6$$，请问：这个班原来共有学生多少人？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->方程法解比例问题"
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2023-07-07T00:00:00 | f68d035b832542fda7796e8933a971f9 | 2 | short_answer | 从$$1$$到$$20$$这$$20$$个数中，至少取多少个数，才能保证必有一个数是另一个数的$$2$$倍？ | [
"拓展思维->思想->转化与化归的思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 3342914c89bd46de99c7e04906934599 | 1 | short_answer | 符号「$$*$$」的程序计算有以下的结果∶ $$3*2=4\times5\times6$$， $$4*3=5\times6\times7\times8$$， $$4*4=5\times6\times7\times8\times9$$， 若果$$n*5=720$$．那么$$n$$会是什么数字？ | [
"拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型"
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2023-07-07T00:00:00 | 940e054583254838884b20f0a61f46d2 | 1 | short_answer | 张、王、李三人．都要从甲地到乙地．张全程骑车，在张出发$$45$$分钟后，王、李坐公共汽车前往乙地，但中途汽车要在丙地停留$$30$$分钟．当汽车到达丙地时李立即下车，改骑自行车，（车速与张相同），这时张已骑了$$27$$千米，当张到达丙地时，汽车刚好启动，当王到达乙地时，李还要骑$$\frac{1}{3}$$小时，张离乙地还有$$15$$千米．问：甲、乙两地相距多少千米？ | [
"拓展思维->思想->对应思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 2e341b2ec9bf4ab687cbf0a4762605e4 | 1 | short_answer | 1、某书店出售一种挂历，每售出$$1$$本可得$$18$$元利润．售出一部分后每本减价$$10$$元出售，全部售完．已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的$$\frac{2}{3}$$．书店售完这种挂历共获利润$$2870$$元．书店共售出这种挂历多少本？ | [
"知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析"
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2023-07-07T00:00:00 | 7c8266c3083c479e953ae72ebb0e9210 | 2 | short_answer | 非零自然数$$a,b$$的最大公约数与最小公倍数之和恰等于$$a,b$$的乘积，则$${{\left( \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{10}}=$$为多少？ | [
"知识标签->学习能力->七大能力->运算求解"
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2023-07-07T00:00:00 | 9bfcffca29134a78969634e71df6aa26 | 3 | short_answer | 小丁在地铁站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走$$14$$阶，则需时$$30$$秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走$$28$$阶，则需时$$18$$秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？ | [
"知识标签->学习能力->七大能力->运算求解"
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2023-07-07T00:00:00 | 18d40f4d49534043acccbd5798714a57 | 1 | short_answer | 一项任务，甲队单独完成要$$20$$天，乙队单独完成要$$24$$天，丙队单独完成要$$30$$天，甲队先做$$5$$天后，剩下的由三个队合作完成．全部任务的劳动报酬是$$6000$$元，三个队按完成的工作量进行报酬分配，甲队应得多少元？（2019.JX） | [
"拓展思维->思想->对应思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 95b94e7034824f8e9df531328ae02ef7 | 2 | short_answer | 有$$2006$$个硬币，正面图案全都\uline{朝上}，依其序号排列从$$1$$至$$2006$$． 第$$1$$次翻转所有序列号为$$1$$的倍数的硬币， 第$$2$$次翻转所有序列号为$$2$$的倍数的硬币， 第$$3$$次翻转所有序列号为$$3$$的倍数的硬币， 第$$4$$次翻转$$\ldots \ldots$$ 第$$2006$$次翻转所有序列号为$$2006$$的倍数的硬币． 这时，正面\uline{朝下}的硬币还有几个？ | [
"拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->偶指奇因->奇因"
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2023-07-07T00:00:00 | a0db250afbd44aae9ecf6db0f52bca6c | 1 | short_answer | 只从$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$和$$7$$这七个数字选取三个数字组成三位数，并且每个数字在每个三位数只能用一次，可以组成多少个不同的三位数？（例如：$$341$$是其中一个可能的三位数，但$$223$$不是．） | [
"拓展思维->思想->对应思想"
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2023-07-07T00:00:00 | e05666a80f8042bd882bba680aa6143f | 1 | short_answer | 五年级奥数班第一次测验中，合格人数和不合格人数的比是$$17:13$$，第二次测验时，有$$44$$位同学成绩进步，由不合格变为合格，这时合格人数和不合格人数的比是$$3:1$$，如果五年级奥数班的人数在两次测验中没有改变，而且所有同学均有参加这两次的测验，问五年级奥数班有多少个学生？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->复杂的比例问题"
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2023-07-07T00:00:00 | 1cd2194dc96743b0bbfce86a8c2b4659 | 2 | short_answer | $$40$$个队参加比赛，每个队与任何一个队只比一次，没有出现平局．每个队均有$$50 \%$$的概率战胜对手，没有两个队赢相同场数的概率为$$\frac{m}{n}$$，这里$$m$$，$$n$$为互素的正整数，求$${{\log }_{2}}n$$． | [
"竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合",
"竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步",
"竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）"
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2023-07-07T00:00:00 | 22d69068b4284670903ddb4aaa88473d | 1 | short_answer | 已知$$\overline{ABCDEFGH}$$可被$$12$$整除，$$\overline{ADF}$$和$$\overline{BCE}$$可被$$3$$整除．如果$$\overline{G}$$是偶数，求$$\overline{GH}$$的最大值． Given that $$\overline{ABCDEFGH}$$is divisible by $$12$$，$$\overline{ADF}$$ and $$\overline{BCE}$$ are divisible by $$3$$. If $$\overline{G}$$ is an even number， find the maximum value of $$\overline{GH}$$. | [
"拓展思维->思想->转化与化归的思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 53630b90beb14344b6ffc4a5410bd83b | 2 | short_answer | 甲﹑乙和丙分别驾车沿公路由城市到郊外．甲首先以每小时$$60$$公里的速度出发$$45$$分钟后，乙以每小时$$80$$ 公里的速度出发，再过$$t$$分钟，丙以每小时$$120$$公里的速度出发．若三人同时到达郊外．求$$t$$的值． $$A$$，$$B$$ and $$C$$ drove from the city to the countryside along a highway. $$A$$ firstly started driving at a speed of $$60\text{km/h}$$. After $$45$$ minutes, $$B$$ started driving at a speed of $$80\text{km/h}$$. After $$t$$ minutes, $$C$$ started driving at a speed of $$120\text{km/h}$$. If they all reached the countryside at the same time, find the value of $$t$$. | [
"拓展思维->思想->方程思想"
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2023-07-07T00:00:00 | daf4b1b0f5134210bb845e35c4f204aa | 1 | short_answer | 甲乙两人在春节一共得了$$200$$元压岁钱，甲给乙$$40$$元，还比乙多$$10$$元，那么，原来甲得了多少元压岁钱？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和暗差"
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2023-07-07T00:00:00 | 8937d66a913245d2bd7f4c827c41d163 | 2 | short_answer | 水泥公司生产的水泥存放在两个仓库里，第一仓库存水泥占$$56 \% $$，如果从第一仓库调$$6$$吨到第二仓库，这时两个仓库存水泥相等，求两个仓库共存水泥多少吨？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应求单位1"
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2023-07-07T00:00:00 | af45582c0b624df7a42c1b0c593c3736 | 3 | short_answer | 如果正数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{10}}$$满足条件：$${{a}_{1}}\geqslant {{a}_{2}}\geqslant {{a}_{3}}\geqslant \cdots \geqslant {{a}_{10}}$$，$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\leqslant 10$$，$${{a}_{3}}+{{a}_{4}}+\cdots +{{a}_{9}}+{{a}_{10}}\leqslant 10$$，那么$${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}+\cdots +{{a}_{10}}^{2}$$的最大值是多少？ | [
"竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一元一次不等式"
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2023-07-07T00:00:00 | ce533c9f714a47438fb4881c7cb39063 | 2 | short_answer | 白白、黑黑、灰灰和小兰四个小朋友一起玩猜数的游戏，小兰在纸上写下一个三位数，让另外三个人猜这个数是多少，白白猜是$$573$$，黑黑猜是$$923$$，灰灰猜是$$528$$．如果每个人都猜对了这个数三个数字中的两个，那么小兰写下的这个三位数是多少？ | [
"拓展思维->思想->逐步调整思想"
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2023-07-07T00:00:00 | ff80808148880257014888a874f5056a | 2 | short_answer | 桌上有一块德芙巧克力，它被直线划分为排成$$3$$行$$7$$列的$$21$$个小方块．现在让你和另一个小朋友进行一种游戏，游戏规则如下：（1）每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；（2）拿走其中一块，把另一块留给对手再切；（3）谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就获胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？ | [
"拓展思维->能力->逻辑分析"
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2023-07-07T00:00:00 | 12973138ebae41c2a404b631e36d2287 | 4 | short_answer | 太平洋号和北冰洋号两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，北冰洋号在前，太平洋号在后，在潜航的某个时刻，太平洋号发出声波，间隔$$2$$ 秒后，再次发出声波当声波传到北冰洋号时，北冰洋号会发射声波．已知太平洋号的航行速度是每小时$$54$$ 千米，第一次和第二次探测到北冰洋号反射的声波的间隔时间是$$2.01$$ 秒，声波传播的速度是每秒$$1185$$ 米，问北冰洋号潜航的速度是多少？（精确到每小时$$1$$千米） | [
"拓展思维->思想->整体思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 17b2af81b5b342c890ed386767d72ed6 | 2 | short_answer | 设$$m$$，$$n$$，$$p$$为非零自然数，$$m\geqslant n\geqslant p$$，且满足方程：$$\left( m-\frac{8}{3} \right)\left( n-\frac{8}{3} \right)\left( p-\frac{8}{3} \right)=\frac{mnp}{27}$$．问：$$p$$的最大值等于多少？ | [
"竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->特殊方程的解法"
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2023-07-07T00:00:00 | 581f58ebc21141e59b3f688cdbced93b | 2 | short_answer | 虽然国内疫情得到有效控制，但进入冬季以来，还有一些小范围的散发病例出现．因此，出门仍然要不忘戴口罩．妈妈买回三盒同样的口罩放在门口的柜子上方便出门时取用，一段时间后，第一盒用掉$$\frac{1}{2}$$，第二盒用掉$$\frac{7}{20}$$，第三盒用掉$$12$$个，这时三盒剩下的口罩恰好等于原来两盒口罩的数量．原来每盒口罩有多少个？ | [
"拓展思维->思想->对应思想"
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2023-07-07T00:00:00 | d15e6420ab56436aa7670cc480cd3e1a | 3 | short_answer | 一列数$${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}},\cdots $$，记$$S({{a}_{i}})$$为$${{a}_{i}}$$的所有数字之和，如$$S(22)=2+2=4$$．若$${{a}_{1}}=2017$$，$${{a}_{2}}=22$$，$${{a}_{n}}=S({{a}_{n-1}})+S({{a}_{n-2}})$$，求$${{a}_{2017}}$$． | [
"拓展思维->知识点->计算模块->定义新运算->观察规律型->找规律型定义新运算"
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2023-07-07T00:00:00 | 4002d72ec1484cb6858d05af1cad246d | 1 | short_answer | 数学国有$$3$$种流通货币，分别为金币、银币和铜币．已知金币的价值是银币的$$17$$倍﹐重量是银币的$$3$$倍；银币的价值是铜币的$$30$$ 倍，重量是铜币的一半．现有一些金币和一些铜币，若金币的总重量与铜币的相同，且铜币的总价值为$$1$$，问金币的总价值是多少? There are $$3$$ types of coins, gold, silver and bronze in Mathematica respectively. It is known that the value of a gold coin is $$17$$ times that of a silver coin, and the weight of a gold coin is $$3$$ times that of a silver coin;~the value of a silver coin is $$30$$ times that of a bronze coin, and the weight of a silver coin is half that of a bronze coin. There are some gold coins and some bronze coins. If the total weight of the gold coins is the same as that of the bronze coins， and the total value of the bronze coins is, what is the total value of the gold coins? | [
"拓展思维->能力->逻辑分析"
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2023-07-07T00:00:00 | b24f746bed7f41cbbe8b531dc1ba77fc | 1 | short_answer | 汽车和自行车分别从$$A$$、$$B$$两地同时出发相向而行，汽车每小时行$$60$$千米，自行车每小时行$$12$$千米．两车相遇后，各自仍沿原方向行驶，汽车到达$$B$$地后立即返回追上自行车时距$$A$$地还有$$45$$千米．$$A$$、$$B$$两地间的距离是多少千米? | [
"知识标签->数学思想->对应思想"
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2023-07-07T00:00:00 | 9fa2e11f3fd4418ebd0efa5129c8acab | 1 | short_answer | ``$$\text{IMO}$$''是国际数学奥林匹克竞赛的缩写，把这三个字母写成相邻两个字母涂不用颜色，现有四种不同颜色，按上述要求可以写出多少种不同颜色搭配的``$$\text{IMO}$$''． | [
"拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->染色计数问题"
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2023-07-07T00:00:00 | 50fce0fb467d4e609da1db573ef223f5 | 2 | short_answer | 有$$A$$、$$B$$、$$C$$及$$D$$四个整数，若$$A$$与$$B$$相乘，得到$$187$$；$$B$$与$$C$$相乘，得到$$425$$；$$B$$与$$D$$相乘，得到$$323$$，若四个数都大于$$10$$，求$$C$$与$$D$$相乘的积． | [
"拓展思维->能力->数据处理"
] |
2023-07-07T00:00:00 | 59c8e67c2478424086b4145eb8e471c0 | 1 | short_answer | 有一船从河道的码头$$A$$驶向码头$$B$$要$$31$$小时，而从码头$$B$$驶向码头$$A$$则要$$37$$小时；假设船只本身的速度不变，且河道的水流速度是每小时$$3$$公里，问码头$$A$$与码头$$B$$之间的距离是多少公里？ It takes a ship $$31$$ hours to sail along the river from pier $$A$$ to pier $$B$$ and $$37$$ hours to sail the same distance from pier $$B$$ to pier $$A$$. If the speed (on still water) of the ship is constant throughout the sail, and the speed of river is $$3$$ kilometres per hour, what is the distance between pier $$A$$ and pier $$B$$ (in kilometres)? | [
"拓展思维->拓展思维->行程模块->流水行船问题->基本流水行船问题->四个速度->基本行程"
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2023-07-07T00:00:00 | 18891dd703a542d0a0fbaa5905a3c3cf | 1 | short_answer | 计算：$$1+2+3+4+5+\cdots +10+11+12+11+10+\cdots +5+4+3+2+1$$= | [
"拓展思维->能力->运算求解"
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2023-07-07T00:00:00 | ff80808148880257014888ac64e107cc | 2 | short_answer | 求在$$1$$至$$100$$的自然数中能被$$3$$或$$7$$整除的数的个数． | [
"拓展思维->思想->转化与化归的思想"
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2023-07-07T00:00:00 | e3ba3bde7fab4ad8b1797e646ec62327 | 0 | short_answer | 有一些同学坐在一排听报告，无论从左向右数，还是从右向左数，欢欢都是第$$8$$个；从右向左数，乐乐是第$$3$$个．那么欢欢和乐乐中间隔着多少个座位？ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->应用题模块排队问题->双主角交叉求位置关系（已知交叉）"
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2023-07-07T00:00:00 | ff80808147c465b80147c6890014039a | 0 | short_answer | 银行整存整取的年利率是：二年期为$$11.7 \%$$，三年期为$$12.24 \%$$，五年期为$$13.86 \%$$．如果甲、乙二人同时各存入一万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙存五年期．五年后，二人同时取出，那么谁的收益多，多多少元？ | [
"拓展思维->思想->逐步调整思想"
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2023-07-07T00:00:00 | f41c96bdde8e47edb3d7e94a8c8fcb27 | 2 | short_answer | 经测算，地球上的资源可供$$100$$亿人生活$$100$$年，或可供$$80$$亿人生活$$300$$年．假设地球上新生资源的生长速度是一定的，那么为了使人类有不断发展的潜力，地球上最多能养活多少亿人?★★ | [
"拓展思维->拓展思维->应用题模块->牛吃草问题->牛吃草转化型->生活中的牛吃草->其他问题"
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2023-07-07T00:00:00 | b6be5b270a50439a93cf19f8579a864f | 3 | short_answer | 平面上有$$5$$个相异的红点，在连接两个红点的线段的中点画一个黑点，请问至多会有多少个相异的黑点？ | [
"知识标签->拓展思维->组合模块->智巧趣题->点线排布->点线排布的实际应用"
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2023-07-07T00:00:00 | ff2b6c2f565c4f269995a4ea294df3d9 | 1 | short_answer | 某餐厅的晚饭套餐可自由选择一份主菜、一份沙拉及一杯饮品．已知今天该餐厅共有五款主菜、三款沙拉及六款饮品选择，那么可配搭出多少种不同的晚餐套餐？ A dinner set in a restaurant is free to choose a main course, a salad and a drink. Today, the restaurant offers five main courses, three salads, and six drinks for customers to choose. How many different dinner sets can be matched? | [
"拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配"
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2023-07-07T00:00:00 | e6b3caa3aa8f429c9d2b6b0a4f42d13d | 4 | short_answer | 将1，2，3，\ldots，16这16个数分成8组$$({{a}_{1}}，{{b}_{1}}\text{ })，\text{ }({{a}_{2}}，{{b}_{2}})，\ldots ，({{a}_{8}}，{{b}_{8}})，$$若$$\left\textbar{} {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right\textbar+\left\textbar{} {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right\textbar=62$$．求$${{({{a}_{1}}-{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}-{{b}_{2}})}^{2}}+\cdots +{{({{a}_{8}}-{{b}_{8}})}^{2}}$$的最小值．\\ 必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设$${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \cdots \le {{x}_{n}}$$，$${{y}_{1}}\le {{y}_{2}}\le \cdots \le {{y}_{n}}$$为两组实数，$${{z}_{1}}\le {{z}_{2}}\le \cdots \le {{z}_{n}}$$是$${{y}_{1}}\le {{y}_{2}}\le \cdots \le {{y}_{n}}$$的任一排列，则$${{x}_{1}}{{y}_{n}}+{{x}_{2}}{{y}_{n-1}}+\cdots {{x}_{n}}y\le {{x}_{1}}{{z}_{1}}+{{x}_{2}}{{z}_{2}}+\cdots {{x}_{n}}{{z}_{n}}\le {{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+\cdots {{x}_{n}}{{y}_{n}}$$． | [] |
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