Datasets:
pkuAI4M
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lean_github

Dataset card Data Studio Files Community
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https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
eqns_unique
[396, 1]
[411, 68]
exact tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq (e1 _ mt).holo.continuousAt (e2 _ mt).holo.continuousAt mu
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : βˆƒαΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, x ∈ u ⊒ x ∈ u
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 r2 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) pre : IsPreconnected t e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r1 x e2 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r0 r2 x u : Set (β„‚ Γ— β„‚) := {x | uncurry r1 x = uncurry r2 x} ne : (t ∩ u).Nonempty op : t ∩ u βŠ† interior u x : β„‚ Γ— β„‚ mt : x ∈ t mu : βˆƒαΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, x ∈ u ⊒ x ∈ u TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
by_cases pos : p0 < 0
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have m : (c, (0 : β„‚)) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall (0 : β„‚) p0 := mem_domain c (not_lt.mp pos)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
refine HolomorphicOn.eq_of_locally_eq g0.holo (g1.holo.mono (domain_mono _ p01)) (domain_preconnected _ _) ⟨(c, 0), m, ?_⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have t : ContinuousAt (fun x : β„‚ Γ— β„‚ ↦ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) := continuousAt_fst.prod ((g0.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m)).self_of_nhds.holo.continuousAt.prod (g1.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet (domain_mono c p01 m))).self_of_nhds.holo.continuousAt)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
simp only [ContinuousAt, g0.zero, g1.zero] at t
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : ContinuousAt (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (c, 0) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
have inj := (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).local_inj' (s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
refine ((t.eventually inj).and (g0.start.and g1.start)).mp (eventually_of_forall ?_)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ (𝓝 (c, 0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
intro ⟨e, y⟩ ⟨inj, s0, s1⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), (s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = s.bottcherNear (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).1 (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2 β†’ (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.1 = (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2).2.2) ∧ s.bottcherNear x.1 (r0 x.1 x.2) = x.2 ∧ s.bottcherNear x.1 (r1 x.1 x.2) = x.2 β†’ uncurry r0 x = uncurry r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
exact inj (s0.trans s1.symm)
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : Β¬p0 < 0 m : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0 t : Tendsto (fun x => (x.1, r0 x.1 x.2, r1 x.1 x.2)) (𝓝 (c, 0)) (𝓝 (c, a, a)) inj✝ : βˆ€αΆ  (p : β„‚ Γ— S Γ— S) in 𝓝 (c, a, a), s.bottcherNear p.1 p.2.1 = s.bottcherNear p.1 p.2.2 β†’ p.2.1 = p.2.2 e y : β„‚ inj : s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = s.bottcherNear ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).1 ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 β†’ ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.1 = ((e, y).1, r0 (e, y).1 (e, y).2, r1 (e, y).1 (e, y).2).2.2 s0 : s.bottcherNear (e, y).1 (r0 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 s1 : s.bottcherNear (e, y).1 (r1 (e, y).1 (e, y).2) = (e, y).2 ⊒ uncurry r0 (e, y) = uncurry r1 (e, y) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Grow.unique
[414, 1]
[433, 59]
simp only [Metric.closedBall_eq_empty.mpr pos, singleton_prod, image_empty, nhdsSet_empty, Filter.EventuallyEq, Filter.eventually_bot]
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r r0 r1 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S p0 p1 : ℝ n0 n1 : β„• g0 : Grow s c p0 n0 r0 g1 : Grow s c p1 n1 r1 p01 : p0 ≀ p1 pos : p0 < 0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p0)).EventuallyEq (uncurry r0) (uncurry r1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
set n := s.np c p
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r', Grow s c p (s.np c p) r'
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r', Grow s c p (s.np c p) r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have m0 : (c, (0 : β„‚)) ∈ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p : Set (β„‚ Γ— β„‚)) := by simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, mem_ball_self g.pos]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use curry b.u
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r'
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆƒ r', Grow s c p n r' TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact { nonneg := g.pos.le zero := by rw [curry, b.uf.self_of_nhdsSet m0, uncurry, g.zero] start := by refine g.start.mp ((b.uf.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m0)).mp (eventually_of_forall ?_)) intro x e b; simp only [curry, uncurry, Prod.mk.eta] at e ⊒; rw [e]; exact b eqn := by have fp := b.up simp only [closure_prod_eq, closure_singleton, closure_ball _ g.pos.ne'] at fp exact fp.mp (eventually_of_forall fun x e ↦ e.eqn.self_of_nhds) }
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ Grow s c p n (curry b.u) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [closure_prod_eq, closure_ball _ g.pos.ne', closure_singleton]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact isCompact_singleton.prod (isCompact_closedBall _ _)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ IsCompact ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro r0 r1 x e0 r01
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f_1 g : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {x : β„‚ Γ— β„‚}, Eqns s n r (curry f_1) x β†’ (𝓝 x).EventuallyEq f_1 g β†’ Eqns s n r (curry g) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f_1 g : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {x : β„‚ Γ— β„‚}, Eqns s n r (curry f_1) x β†’ (𝓝 x).EventuallyEq f_1 g β†’ Eqns s n r (curry g) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact e0.congr (by simp only [Function.uncurry_curry, r01])
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ Eqns s n r (curry r1) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.uncurry_curry, r01]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S x : β„‚ Γ— β„‚ e0 : Eqns s n r (curry r0) x r01 : (𝓝 x).EventuallyEq r0 r1 ⊒ (𝓝 x).EventuallyEq (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Filter.eventually_iff]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p), Eqns s n r (curry (uncurry r)) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p), Eqns s n r (curry (uncurry r)) x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [mem_nhdsSet_iff_forall]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro x m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p, {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact (g.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m)).eventually_nhds.mp (eventually_of_forall fun y e ↦ { eqn := e start := by simp only [Function.curry_uncurry, Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff] })
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ {x | Eqns s n r (curry (uncurry r)) x} ∈ 𝓝 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.curry_uncurry, Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry (curry (uncurry r))) (uncurry r)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p x : β„‚ Γ— β„‚ m : x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry (curry (uncurry r))) (uncurry r) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro ⟨c', x⟩ m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {x : β„‚ Γ— β„‚}, x ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) β†’ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {x : β„‚ Γ— β„‚}, x ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) β†’ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [closure_prod_eq, closure_ball _ g.pos.ne', closure_singleton, mem_prod_eq, mem_singleton_iff, mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero] at m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : (c', x) ∈ closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have ct : Tendsto (fun x ↦ (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) := continuousAt_const.prod continuousAt_id
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
by_cases x0 : x β‰  0
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [m.1]
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rcases g.point m.2 with ⟨r', e, rr⟩
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use uncurry r'
case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
constructor
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have t : ContinuousAt (fun y : β„‚ Γ— β„‚ ↦ y.2) (c, x) := continuousAt_snd
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine e.eventually_nhds.mp ((t.eventually_ne x0).mp (eventually_of_forall ?_))
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqns s n r (curry (uncurry r')) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro y y0 e
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), x.2 β‰  0 β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, Eqn s (s.np c p) r' x) β†’ Eqns s n r (curry (uncurry r')) x TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact { eqn := e start := fun h ↦ (y0 h).elim }
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y t : ContinuousAt (fun y => y.2) (c, x) y : β„‚ Γ— β„‚ y0 : y.2 β‰  0 e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r' x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r')) y TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine ct.frequently (rr.mp (eventually_of_forall ?_))
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' z = uncurry r z TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro x ⟨m, e⟩
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y ⊒ βˆ€ (x : β„‚), x ∈ ball 0 p ∧ r' c x = r c x β†’ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff]
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ x ∈ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x) TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use m, e
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ x ∈ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x✝ : β„‚ m✝ : c' = c ∧ Complex.abs x✝ ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x✝) (𝓝 (c, x✝)) x0 : x✝ β‰  0 r' : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S e✝ : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x✝), Eqn s (s.np c p) r' y rr : βˆƒαΆ  (y : β„‚) in 𝓝 x✝, y ∈ ball 0 p ∧ r' c y = r c y x : β„‚ m : x ∈ ball 0 p e : r' c x = r c x ⊒ x ∈ ball 0 p ∧ uncurry r' (c, x) = uncurry r (c, x) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use uncurry r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ βˆƒ g, (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry g) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ g z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [not_not] at x0
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x = 0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : Β¬x β‰  0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [m.1, x0, eq_self_iff_true, and_true_iff] at ct ⊒
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x = 0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 x) (𝓝 (c, x)) x0 : x = 0 ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c', x), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ∧ uncurry r z = uncurry r z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
constructor
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z) ∧ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine (g.eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet ?_)).eventually_nhds.mp (eventually_of_forall fun y e ↦ ?_)
case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z
case h.left.refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), Eqns s n r (curry (uncurry r)) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
use rfl, mem_ball_self g.pos
case h.left.refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y
case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.curry_uncurry]
case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y
case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r r y
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r (curry (uncurry r)) y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact { eqn := e start := by simp only [Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff, Filter.eventually_true] }
case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r r y
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.left.refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ Eqns s n r r y TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Filter.EventuallyEq.refl, imp_true_iff, Filter.eventually_true]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry r)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) y : β„‚ Γ— β„‚ e : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 y, Eqn s (s.np c p) r x ⊒ y.2 = 0 β†’ (𝓝 y).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry r) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine ct.frequently (Filter.Eventually.frequently ?_)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆƒαΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), z ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff]
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, x ∈ ball 0 p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact isOpen_ball.eventually_mem (mem_ball_self g.pos)
case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, x ∈ ball 0 p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p c' x : β„‚ m : c' = c ∧ Complex.abs x ≀ p x0 : x = 0 ct : Tendsto (fun x => (c, x)) (𝓝 0) (𝓝 (c, 0)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 0, x ∈ ball 0 p TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro r0 r1 t _ pre e0 e1 r01
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f0 f1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {t : Set (β„‚ Γ— β„‚)}, IsOpen t β†’ IsPreconnected t β†’ (βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry f0) x) β†’ (βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry f1) x) β†’ (βˆƒ x ∈ t, f0 x = f1 x) β†’ EqOn f0 f1 t
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ EqOn r0 r1 t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p ⊒ βˆ€ {f0 f1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S} {t : Set (β„‚ Γ— β„‚)}, IsOpen t β†’ IsPreconnected t β†’ (βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry f0) x) β†’ (βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry f1) x) β†’ (βˆƒ x ∈ t, f0 x = f1 x) β†’ EqOn f0 f1 t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have u := eqns_unique pre e0 e1 ?_
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ EqOn r0 r1 t
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1)) t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ EqOn r0 r1 t TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.uncurry_curry] at u
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1)) t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn r0 r1 t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn (uncurry (curry r0)) (uncurry (curry r1)) t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact u
case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn r0 r1 t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x u : EqOn r0 r1 t ⊒ EqOn r0 r1 t case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [Function.uncurry_curry]
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, uncurry (curry r0) x = uncurry (curry r1) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact r01
case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p r0 r1 : β„‚ Γ— β„‚ β†’ S t : Set (β„‚ Γ— β„‚) a✝ : IsOpen t pre : IsPreconnected t e0 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r0) x e1 : βˆ€ x ∈ t, Eqns s n r (curry r1) x r01 : βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x ⊒ βˆƒ x ∈ t, r0 x = r1 x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, eq_self_iff_true, true_and_iff, mem_ball_self g.pos]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) ⊒ (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [curry, b.uf.self_of_nhdsSet m0, uncurry, g.zero]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ curry b.u c 0 = a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ curry b.u c 0 = a TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
refine g.start.mp ((b.uf.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m0)).mp (eventually_of_forall ?_))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (curry b.u x.1 x.2) = x.2
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), b.u x = uncurry r x β†’ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (curry b.u x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (curry b.u x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
intro x e b
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), b.u x = uncurry r x β†’ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (curry b.u x.1 x.2) = x.2
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = uncurry r x b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (curry b✝.u x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), b.u x = uncurry r x β†’ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (curry b.u x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [curry, uncurry, Prod.mk.eta] at e ⊒
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = uncurry r x b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (curry b✝.u x.1 x.2) = x.2
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (b✝.u x) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = uncurry r x b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (curry b✝.u x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
rw [e]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (b✝.u x) = x.2
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (b✝.u x) = x.2 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact b
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b✝ : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p x : β„‚ Γ— β„‚ e : b✝.u x = r x.1 x.2 b : s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 ⊒ s.bottcherNear x.1 (r x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
have fp := b.up
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p fp : βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)), Eqns s n r (curry b.u) z ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
simp only [closure_prod_eq, closure_singleton, closure_ball _ g.pos.ne'] at fp
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p fp : βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)), Eqns s n r (curry b.u) z ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p fp : βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqns s n r (curry b.u) z ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p fp : βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ (closure ({c} Γ—Λ’ ball 0 p)), Eqns s n r (curry b.u) z ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x TACTIC:
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GrowOpen.grow
[436, 1]
[498, 74]
exact fp.mp (eventually_of_forall fun x e ↦ e.eqn.self_of_nhds)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p : ℝ s : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : GrowOpen s c p r inst✝ : OnePreimage s n : β„• := s.np c p b : Base (fun f_1 x => Eqns s n r (curry f_1) x) ({c} Γ—Λ’ ball 0 p) (uncurry r) m0 : (c, 0) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 p fp : βˆ€αΆ  (z : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqns s n r (curry b.u) z ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p), Eqn s n (curry b.u) x
no goals
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[502, 1]
[541, 21]
have above : βˆ€ k, p k ≀ ps := fun k ↦ mono.ge_of_tendsto tend k
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
generalize hrs : (fun e x : β„‚ ↦ if h : abs x < ps then r (Nat.find (tend.exists_lt h)) e x else a) = rs
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
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use rs
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆƒ rs, βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
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[541, 21]
intro k x xk
case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x ⊒ βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x ⊒ βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
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[502, 1]
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rcases eventually_nhds_iff.mp (loc k) with ⟨u, eq, uo, uc⟩
case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
have m : u Γ—Λ’ ball (0 : β„‚) (p k) ∈ 𝓝 (c, x) := by refine prod_mem_nhds (uo.mem_nhds uc) (isOpen_ball.mem_nhds ?_) simp only [mem_ball, Complex.dist_eq, sub_zero, xk]
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
apply Filter.eventually_of_mem m
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k))
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ βˆ€ x ∈ u Γ—Λ’ ball 0 (p k), uncurry rs x = uncurry (r k) x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
intro ⟨e, y⟩ ⟨m0, m1⟩
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ βˆ€ x ∈ u Γ—Λ’ ball 0 (p k), uncurry rs x = uncurry (r k) x
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : (e, y).2 ∈ ball 0 (p k) ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) ⊒ βˆ€ x ∈ u Γ—Λ’ ball 0 (p k), uncurry rs x = uncurry (r k) x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
simp only [mem_ball, Complex.dist_eq, sub_zero] at m1
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : (e, y).2 ∈ ball 0 (p k) ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y)
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : Complex.abs y < p k ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : (e, y).2 ∈ ball 0 (p k) ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
exact eq _ m0 _ m1
case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : Complex.abs y < p k ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u m : u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) e y : β„‚ m0 : (e, y).1 ∈ u m1 : Complex.abs y < p k ⊒ uncurry rs (e, y) = uncurry (r k) (e, y) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
intro k
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
induction' k with k h
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x
case zero S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p 0 β†’ rs e x = r 0 e x case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
apply eventually_of_forall
case zero S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p 0 β†’ rs e x = r 0 e x
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (x x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p 0 β†’ rs x x_1 = r 0 x x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case zero S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p 0 β†’ rs e x = r 0 e x TACTIC:
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
intro e x x0
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (x x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p 0 β†’ rs x x_1 = r 0 x x_1
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 ⊒ rs e x = r 0 e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs ⊒ βˆ€ (x x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p 0 β†’ rs x x_1 = r 0 x x_1 TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
have xe : βˆƒ k, abs x < p k := ⟨0, x0⟩
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 ⊒ rs e x = r 0 e x
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r 0 e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 ⊒ rs e x = r 0 e x TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
simp only [← hrs, lt_of_lt_of_le x0 (above _), dif_pos, (Nat.find_eq_zero xe).mpr x0]
case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r 0 e x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case zero.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs e x : β„‚ x0 : Complex.abs x < p 0 xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r 0 e x TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
have eq := (g k).unique (g (k + 1)) (mono (Nat.lt_succ_self _).le)
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
simp only [isCompact_singleton.nhdsSet_prod_eq (isCompact_closedBall _ _)] at eq
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
apply h.mp
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p (k + 1) β†’ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
rcases Filter.mem_prod_iff.mp eq with ⟨u0, n0, u1, n1, eq⟩
case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 : Set β„‚ n0 : u0 ∈ 𝓝˒ {c} u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
simp only [nhdsSet_singleton] at n0
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 : Set β„‚ n0 : u0 ∈ 𝓝˒ {c} u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 : Set β„‚ n0 : u0 ∈ 𝓝˒ {c} u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
refine Filter.eventually_of_mem n0 fun e eu h x xk1 ↦ ?_
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, (βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1) β†’ βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p (k + 1) β†’ rs x x_1 = r (k + 1) x x_1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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[502, 1]
[541, 21]
by_cases xk0 : abs x < p k
case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case succ.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
have m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 := by refine mk_mem_prod eu (subset_of_mem_nhdsSet n1 ?_) simp only [mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero, xk0.le]
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
specialize eq m
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : (e, x) ∈ {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
simp only [mem_setOf, uncurry] at eq
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : (e, x) ∈ {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : r k e x = r (k + 1) e x ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : (e, x) ∈ {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
rw [h _ xk0, eq]
case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : r k e x = r (k + 1) e x ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k m : (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 eq : r k e x = r (k + 1) e x ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
refine mk_mem_prod eu (subset_of_mem_nhdsSet n1 ?_)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ x ∈ closedBall 0 (p k)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ (e, x) ∈ u0 Γ—Λ’ u1 TACTIC:
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join_r
[502, 1]
[541, 21]
simp only [mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero, xk0.le]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ x ∈ closedBall 0 (p k)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Complex.abs x < p k ⊒ x ∈ closedBall 0 (p k) TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
have xe : βˆƒ k, abs x < p k := ⟨k + 1, xk1⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC:
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[502, 1]
[541, 21]
have n := (Nat.find_eq_iff xe).mpr ⟨xk1, ?_⟩
case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x
case neg.refine_2 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝¹ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n✝ : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n✝ k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k n : Nat.find xe = k + 1 ⊒ rs e x = r (k + 1) e x case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€ n < k + 1, Β¬Complex.abs x < p n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ rs e x = r (k + 1) e x TACTIC: