Datasets:
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lean_github

Dataset card Data Studio Files Community
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Ray/Dynamics/Grow.lean
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case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€ n < k + 1, Β¬Complex.abs x < p n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.refine_2 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝¹ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n✝ : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n✝ k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k n : Nat.find xe = k + 1 ⊒ rs e x = r (k + 1) e x case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€ n < k + 1, Β¬Complex.abs x < p n TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
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intro j jk
case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€ n < k + 1, Β¬Complex.abs x < p n
case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j < k + 1 ⊒ Β¬Complex.abs x < p j
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€ n < k + 1, Β¬Complex.abs x < p n TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
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simp only [not_lt, Nat.lt_succ_iff] at jk xk0 ⊒
case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j < k + 1 ⊒ Β¬Complex.abs x < p j
case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j ≀ k xk0 : p k ≀ Complex.abs x ⊒ p j ≀ Complex.abs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xk0 : Β¬Complex.abs x < p k xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j < k + 1 ⊒ Β¬Complex.abs x < p j TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
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[502, 1]
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exact _root_.trans (mono jk) xk0
case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j ≀ k xk0 : p k ≀ Complex.abs x ⊒ p j ≀ Complex.abs x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.refine_1 S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs k : β„• h✝ : βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x eq✝ : (𝓝˒ {c} Γ—Λ’ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k))).EventuallyEq (uncurry (r k)) (uncurry (r (k + 1))) u0 u1 : Set β„‚ n1 : u1 ∈ 𝓝˒ (closedBall 0 (p k)) eq : u0 Γ—Λ’ u1 βŠ† {x | (fun x => uncurry (r k) x = uncurry (r (k + 1)) x) x} n0 : u0 ∈ 𝓝 c e : β„‚ eu : e ∈ u0 h : βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x x : β„‚ xk1 : Complex.abs x < p (k + 1) xe : βˆƒ k, Complex.abs x < p k j : β„• jk : j ≀ k xk0 : p k ≀ Complex.abs x ⊒ p j ≀ Complex.abs x TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
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[541, 21]
refine prod_mem_nhds (uo.mem_nhds uc) (isOpen_ball.mem_nhds ?_)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ x ∈ ball 0 (p k)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ u Γ—Λ’ ball 0 (p k) ∈ 𝓝 (c, x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
join_r
[502, 1]
[541, 21]
simp only [mem_ball, Complex.dist_eq, sub_zero, xk]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ x ∈ ball 0 (p k)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n✝ : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ n : β„• β†’ β„• ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (n k) (r k) mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) above : βˆ€ (k : β„•), p k ≀ ps rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hrs : (fun e x => if h : Complex.abs x < ps then r (Nat.find β‹―) e x else a) = rs loc : βˆ€ (k : β„•), βˆ€αΆ  (e : β„‚) in 𝓝 c, βˆ€ (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ rs e x = r k e x k : β„• x : β„‚ xk : Complex.abs x < p k u : Set β„‚ eq : βˆ€ x ∈ u, βˆ€ (x_1 : β„‚), Complex.abs x_1 < p k β†’ rs x x_1 = r k x x_1 uo : IsOpen u uc : c ∈ u ⊒ x ∈ ball 0 (p k) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
rcases tend.exists_lt pos with ⟨k, pos⟩
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ rs c 0 = a
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ rs c 0 = a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ rs c 0 = a TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
have e := (loc k 0 (by simp only [Complex.abs.map_zero, pos])).self_of_nhds
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ rs c 0 = a
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : uncurry rs (c, 0) = uncurry (r k) (c, 0) ⊒ rs c 0 = a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ rs c 0 = a TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [uncurry] at e
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : uncurry rs (c, 0) = uncurry (r k) (c, 0) ⊒ rs c 0 = a
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : rs c 0 = r k c 0 ⊒ rs c 0 = a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : uncurry rs (c, 0) = uncurry (r k) (c, 0) ⊒ rs c 0 = a TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [e, (g k).zero]
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : rs c 0 = r k c 0 ⊒ rs c 0 = a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e : rs c 0 = r k c 0 ⊒ rs c 0 = a TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [Complex.abs.map_zero, pos]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ Complex.abs 0 < p k
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ Complex.abs 0 < p k TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
rcases tend.exists_lt pos with ⟨k, pos⟩
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
apply (g k).start.mp
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
apply (loc k 0 (by simp only [Complex.abs.map_zero, pos])).mp
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
apply eventually_of_forall
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, 0), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
intro ⟨e, x⟩ loc start
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : uncurry rs (e, x) = uncurry (r k) (e, x) start : s.bottcherNear (e, x).1 (r k (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2 ⊒ s.bottcherNear (e, x).1 (rs (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), uncurry rs x = uncurry (r k) x β†’ s.bottcherNear x.1 (r k x.1 x.2) = x.2 β†’ s.bottcherNear x.1 (rs x.1 x.2) = x.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [uncurry] at loc start ⊒
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : uncurry rs (e, x) = uncurry (r k) (e, x) start : s.bottcherNear (e, x).1 (r k (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2 ⊒ s.bottcherNear (e, x).1 (rs (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : rs e x = r k e x start : s.bottcherNear e (r k e x) = x ⊒ s.bottcherNear e (rs e x) = x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : uncurry rs (e, x) = uncurry (r k) (e, x) start : s.bottcherNear (e, x).1 (r k (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2 ⊒ s.bottcherNear (e, x).1 (rs (e, x).1 (e, x).2) = (e, x).2 TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [start, loc]
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : rs e x = r k e x start : s.bottcherNear e (r k e x) = x ⊒ s.bottcherNear e (rs e x) = x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos✝ : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) k : β„• pos : 0 < p k e x : β„‚ loc : rs e x = r k e x start : s.bottcherNear e (r k e x) = x ⊒ s.bottcherNear e (rs e x) = x TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
apply mem_nhdsSet_iff_forall.mpr
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 ps), Eqn s (s.np c ps) rs x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps, {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ ball 0 ps), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
intro ⟨c', x⟩ lt
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps, {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : (c', x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) ⊒ βˆ€ x ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps, {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 x TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, mem_ball, Complex.dist_eq, sub_zero] at lt
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : (c', x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : c' = c ∧ Complex.abs x < ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : (c', x) ∈ {c} Γ—Λ’ ball 0 ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x) TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
simp only [lt.1, eq_self_iff_true, true_and_iff, ← Filter.eventually_iff] at lt ⊒
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : c' = c ∧ Complex.abs x < ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x)
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : c' = c ∧ Complex.abs x < ps ⊒ {x | (fun x => Eqn s (s.np c ps) rs x) x} ∈ 𝓝 (c', x) TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
clear c'
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) c' x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
rcases tend.exists_lt lt with ⟨k, ltp⟩
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
have m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall (0 : β„‚) (p k) := by simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, Metric.mem_closedBall, eq_self_iff_true, true_and_iff, Complex.dist_eq, sub_zero, ltp.le]
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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have lt' : βˆ€αΆ  y : β„‚ Γ— β„‚ in 𝓝 (c, x), abs y.2 < ps := (Complex.continuous_abs.continuousAt.comp continuousAt_snd).eventually_lt continuousAt_const lt
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[544, 1]
[576, 54]
apply ((g k).eqn.filter_mono (nhds_le_nhdsSet m)).mp
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[576, 54]
apply (loc _ _ ltp).eventually_nhds.mp
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[576, 54]
apply lt'.mp
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[576, 54]
apply eventually_of_forall
case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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intro ⟨e, y⟩ _ loc eq
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps e y : β„‚ a✝ : Complex.abs (e, y).2 < ps loc : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (e, y), uncurry rs x = uncurry (r k) x eq : Eqn s (s.np c ps) (r k) (e, y) ⊒ Eqn s (s.np c ps) rs (e, y)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps ⊒ βˆ€ (x : β„‚ Γ— β„‚), Complex.abs x.2 < ps β†’ (βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 x, uncurry rs x = uncurry (r k) x) β†’ Eqn s (s.np c ps) (r k) x β†’ Eqn s (s.np c ps) rs x TACTIC:
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[576, 54]
exact eq.congr (Filter.EventuallyEq.symm loc)
case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps e y : β„‚ a✝ : Complex.abs (e, y).2 < ps loc : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (e, y), uncurry rs x = uncurry (r k) x eq : Eqn s (s.np c ps) (r k) (e, y) ⊒ Eqn s (s.np c ps) rs (e, y)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.hp S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc✝ : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k m : (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) lt' : βˆ€αΆ  (y : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (c, x), Complex.abs y.2 < ps e y : β„‚ a✝ : Complex.abs (e, y).2 < ps loc : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 (e, y), uncurry rs x = uncurry (r k) x eq : Eqn s (s.np c ps) (r k) (e, y) ⊒ Eqn s (s.np c ps) rs (e, y) TACTIC:
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joined_growOpen
[544, 1]
[576, 54]
simp only [mem_prod_eq, mem_singleton_iff, Metric.mem_closedBall, eq_self_iff_true, true_and_iff, Complex.dist_eq, sub_zero, ltp.le]
S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁴ : TopologicalSpace S inst✝³ : CompactSpace S inst✝² : T3Space S inst✝¹ : ChartedSpace β„‚ S inst✝ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a p : β„• β†’ ℝ ps : ℝ r : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S rs : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c ps) (r k) tend : Tendsto p atTop (𝓝 ps) post : ps < s.p c pos : 0 < ps loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry rs) (uncurry (r k)) x : β„‚ lt : Complex.abs x < ps k : β„• ltp : Complex.abs x < p k ⊒ (c, x) ∈ {c} Γ—Λ’ closedBall 0 (p k) TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
set t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ q, 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r}
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have self : βˆ€ {p}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r := fun {p} m ↦ m.2 _ m.1 (le_refl _)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have t1 : βˆ€ p : ℝ, p ∈ t β†’ p < 1 := by intro p m; rcases self m with ⟨r, g⟩; exact g.p1
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have above : BddAbove t := bddAbove_def.mpr ⟨1, fun p m ↦ (t1 p m).le⟩
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases s.grow_start c with ⟨p0, r0, pos0, g0⟩
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have start : p0 ∈ t := by use g0.nonneg; intro q q0 qp; use r0; exact (g0.anti q0 qp).mono (Nat.zero_le _)
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have ne : t.Nonempty := ⟨p0, start⟩
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have pos : 0 < sSup t := lt_csSup_of_lt above start pos0
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
by_cases missing : sSup t ∈ t
case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
by_cases post : sSup t < s.p c
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : Β¬sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
simp only [not_lt] at post
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : Β¬sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : Β¬sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
intro p p0 lt
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases exists_lt_of_lt_csSup ne (lt_of_lt_of_le lt post) with ⟨q, m, pq⟩
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case neg.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c q : ℝ m : q ∈ t pq : p < q ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact m.2 _ p0 pq.le
case neg.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c q : ℝ m : q ∈ t pq : p < q ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0✝ : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0✝ g0 : Grow s c p0✝ 0 r0 start : p0✝ ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : s.p c ≀ sSup t p : ℝ p0 : 0 ≀ p lt : p < s.p c q : ℝ m : q ∈ t pq : p < q ⊒ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
intro p m
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r ⊒ βˆ€ p ∈ t, p < 1
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t ⊒ p < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r ⊒ βˆ€ p ∈ t, p < 1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases self m with ⟨r, g⟩
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t ⊒ p < 1
case intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c p (s.np c p) r ⊒ p < 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t ⊒ p < 1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact g.p1
case intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c p (s.np c p) r ⊒ p < 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r p : ℝ m : p ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c p (s.np c p) r ⊒ p < 1 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
use g0.nonneg
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ p0 ∈ t
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p0 β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ p0 ∈ t TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
intro q q0 qp
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p0 β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p0 β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
use r0
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ Grow s c q (s.np c q) r0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact (g0.anti q0 qp).mono (Nat.zero_le _)
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ Grow s c q (s.np c q) r0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p0 ⊒ Grow s c q (s.np c q) r0 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases self missing with ⟨r, g⟩
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases g.open with ⟨p, sp, g'⟩
case pos.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
suffices m : p ∈ t by linarith [le_csSup above m]
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ p ∈ t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
use g'.self_of_nhds.nonneg
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ p ∈ t
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ p ∈ t TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
intro q q0 qp
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
by_cases le : q ≀ sSup t
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact missing.2 _ q0 le
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
use r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
simp only [not_le] at le
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ Grow s c q (s.np c q) r
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : sSup t < q ⊒ Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : Β¬q ≀ sSup t ⊒ Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact (g'.self_of_nhds.anti q0 qp).mono (s.np_mono c le.le (lt_of_le_of_lt qp g'.self_of_nhds.p1))
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : sSup t < q ⊒ Grow s c q (s.np c q) r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r q : ℝ q0 : 0 ≀ q qp : q ≀ p le : sSup t < q ⊒ Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
linarith [le_csSup above m]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r m : p ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t ∈ t r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r p : ℝ sp : sSup t < p g' : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' p (s.np c (sSup t)) r m : p ∈ t ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exfalso
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ False
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
apply missing
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ False
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ sSup t ∈ t
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ False TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
use pos.le
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ sSup t ∈ t
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ sSup t β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ sSup t ∈ t TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
intro q q0 le
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ sSup t β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ sSup t β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
by_cases lt : q < sSup t
case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
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have eq := le_antisymm le (not_lt.mp lt)
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t eq : q = sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
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rw [eq]
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t eq : q = sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
clear eq lt le q0 q
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t eq : q = sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : Β¬q < sSup t eq : q = sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases exists_seq_tendsto_sSup ne above with ⟨p, mono, tend, sub⟩
case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), p n ∈ t ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
simp only [Set.range_subset_iff, mem_setOf, t] at sub
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), p n ∈ t ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), p n ∈ t ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
set pr := fun k ↦ choose (self (sub k))
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
have pg : βˆ€ k, Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) := fun k ↦ (choose_spec (self (sub k))).mono (s.np_mono c (le_csSup above (sub k)) (lt_of_lt_of_le post s.p_le_one))
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases join_r s pg mono tend with ⟨r, loc⟩
case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k)) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact (joined_growOpen s pg tend post pos loc).grow
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k)) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c p : β„• β†’ ℝ mono : Monotone p tend : Tendsto p atTop (𝓝 (sSup t)) sub : βˆ€ (n : β„•), 0 ≀ p n ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p n β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r pr : β„• β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S := fun k => choose β‹― pg : βˆ€ (k : β„•), Grow s c (p k) (s.np c (sSup t)) (pr k) r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S loc : βˆ€ (k : β„•) (x : β„‚), Complex.abs x < p k β†’ (𝓝 (c, x)).EventuallyEq (uncurry r) (uncurry (pr k)) ⊒ βˆƒ r, Grow s c (sSup t) (s.np c (sSup t)) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
rcases exists_lt_of_lt_csSup ne lt with ⟨q', ⟨_, m⟩, qq⟩
case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t q' : ℝ qq : q < q' left✝ : 0 ≀ q' m : βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ q' β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.grow
[579, 1]
[618, 23]
exact m _ q0 qq.le
case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t q' : ℝ qq : q < q' left✝ : 0 ≀ q' m : βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ q' β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s t : Set ℝ := {p | 0 ≀ p ∧ βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ p β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r} self : βˆ€ {p : ℝ}, p ∈ t β†’ βˆƒ r, Grow s c p (s.np c p) r t1 : βˆ€ p ∈ t, p < 1 above : BddAbove t p0 : ℝ r0 : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S pos0 : 0 < p0 g0 : Grow s c p0 0 r0 start : p0 ∈ t ne : t.Nonempty pos : 0 < sSup t missing : sSup t βˆ‰ t post : sSup t < s.p c q : ℝ q0 : 0 ≀ q le : q ≀ sSup t lt : q < sSup t q' : ℝ qq : q < q' left✝ : 0 ≀ q' m : βˆ€ (q : ℝ), 0 ≀ q β†’ q ≀ q' β†’ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r ⊒ βˆƒ r, Grow s c q (s.np c q) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
generalize hr : (fun {c p} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c) ↦ choose (s.grow _ h.1 h.2)) = r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
have g : βˆ€ {c p} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) := by intro c p h; rw [← hr]; exact choose_spec _
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
clear hr
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
generalize hray : (fun c x : β„‚ ↦ if h : abs x < s.p c then r ⟨Complex.abs.nonneg _, h⟩ c x else a) = ray
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
use ray
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) ⊒ βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) ray
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) ⊒ βˆƒ r, βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) r TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
intro c p p0 h
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) ⊒ βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) ray
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) c : β„‚ p : ℝ p0 : 0 ≀ p h : p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ray
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) ⊒ βˆ€ (c : β„‚) (p : ℝ), 0 ≀ p β†’ p < s.p c β†’ Grow s c p (s.np c p) ray TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
exact (g ⟨p0, h⟩).congr (loc ⟨p0, h⟩).symm
case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) c : β„‚ p : ℝ p0 : 0 ≀ p h : p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ray
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray loc : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) c : β„‚ p : ℝ p0 : 0 ≀ p h : p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ray TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
intro c p h
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r ⊒ βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) (r h)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r ⊒ βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) TACTIC:
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Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rw [← hr]
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) (r h)
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose β‹―) h)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) (r h) TACTIC:
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Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
exact choose_spec _
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose β‹―) h)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hr : (fun {c} {p} h => choose β‹―) = r c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ Grow s c p (s.np c p) ((fun {c} {p} h => choose β‹―) h) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
intro c p h
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray ⊒ βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c : β„‚ a z : S d n : β„• p : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray ⊒ βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rcases(g h).open with ⟨q', pq', gh⟩
S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rcases exists_between (lt_min pq' h.2) with ⟨q, pq, qlo⟩
case intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rcases lt_min_iff.mp qlo with ⟨qq', qs⟩
case intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
have q0 : 0 ≀ q := _root_.trans h.1 pq.le
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
replace gh := gh.mp (eventually_of_forall fun c' g ↦ g.anti q0 qq'.le)
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' gh : βˆ€αΆ  (c' : β„‚) in 𝓝 c, Grow s c' q' (s.np c p) (r h) q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
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Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
clear qlo qq' pq' q'
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q' : ℝ pq' : p < q' q : ℝ pq : p < q qlo : q < min q' (s.p c) qq' : q < q' qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rcases eventually_nhds_iff.mp gh with ⟨t0, gh, ot0, ct0⟩
case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) t0 : Set β„‚ gh : βˆ€ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h) ot0 : IsOpen t0 ct0 : c ∈ t0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Dynamics/Grow.lean
Super.has_ray
[625, 1]
[654, 45]
rcases eventually_nhds_iff.mp (s.lowerSemicontinuous_p _ _ qs) with ⟨t1, lo, ot1, ct1⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) t0 : Set β„‚ gh : βˆ€ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h) ot0 : IsOpen t0 ct0 : c ∈ t0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) t0 : Set β„‚ gh : βˆ€ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h) ot0 : IsOpen t0 ct0 : c ∈ t0 t1 : Set β„‚ lo : βˆ€ x ∈ t1, q < s.p x ot1 : IsOpen t1 ct1 : c ∈ t1 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝⁡ : TopologicalSpace S inst✝⁴ : CompactSpace S inst✝³ : T3Space S inst✝² : ChartedSpace β„‚ S inst✝¹ : AnalyticManifold I S f : β„‚ β†’ S β†’ S c✝ : β„‚ a z : S d n : β„• p✝ : ℝ s✝ : Super f d a r✝ : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S s : Super f d a inst✝ : OnePreimage s r : {c : β„‚} β†’ {p : ℝ} β†’ 0 ≀ p ∧ p < s.p c β†’ β„‚ β†’ β„‚ β†’ S g : βˆ€ {c : β„‚} {p : ℝ} (h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c), Grow s c p (s.np c p) (r h) ray : β„‚ β†’ β„‚ β†’ S hray : (fun c x => if h : Complex.abs x < s.p c then r β‹― c x else a) = ray c : β„‚ p : ℝ h : 0 ≀ p ∧ p < s.p c q : ℝ pq : p < q qs : q < s.p c q0 : 0 ≀ q gh✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚) in 𝓝 c, Grow s x q (s.np c p) (r h) t0 : Set β„‚ gh : βˆ€ x ∈ t0, Grow s x q (s.np c p) (r h) ot0 : IsOpen t0 ct0 : c ∈ t0 ⊒ (𝓝˒ ({c} Γ—Λ’ closedBall 0 p)).EventuallyEq (uncurry ray) (uncurry (r h)) TACTIC: