url
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|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.monomial_mul_leadingCoeff | [260, 1] | [279, 14] | exact differentiableAt_id.sub (differentiableAt_const _) | case hc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => z - c) c
case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => g z) c | case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => g z) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => z - c) c
case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => g z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.monomial_mul_leadingCoeff | [260, 1] | [279, 14] | rw [←hg] | case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => g z) c | case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => (fun z => (z - c) ^ n • f z) z) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => g z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.monomial_mul_leadingCoeff | [260, 1] | [279, 14] | exact ((differentiableAt_id.sub (differentiableAt_const _)).pow _).smul fa.differentiableAt | case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => (fun z => (z - c) ^ n • f z) z) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
fnz : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z ≠ 0
a n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg : (fun z => (z - c) ^ n • f z) = g
hg' : ∀ (z : 𝕜), (z - c) ^ n • f z = g z
h : (Function.swap dslope c)^[n + a] (fun z => g z) c = (Function.swap dslope c)^[a] f c
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => (fun z => (z - c) ^ n • f z) z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.fderiv | [282, 1] | [285, 57] | rcases Metric.isOpen_iff.mp (isOpen_analyticAt 𝕜 f) _ fa with ⟨r, rp, fa⟩ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : E → F
c : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) c | case intro.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : E → F
c : E
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 f c
r : ℝ
rp : r > 0
fa : ball c r ⊆ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}
⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : E → F
c : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.fderiv | [282, 1] | [285, 57] | exact AnalyticOn.fderiv fa _ (Metric.mem_ball_self rp) | case intro.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : E → F
c : E
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 f c
r : ℝ
rp : r > 0
fa : ball c r ⊆ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}
⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : E → F
c : E
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 f c
r : ℝ
rp : r > 0
fa : ball c r ⊆ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}
⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv | [288, 1] | [293, 31] | simp only [← fderiv_deriv] | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv f x) c | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv f x) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv | [288, 1] | [293, 31] | have a1 : ∀ g, AnalyticAt 𝕜 (fun g : 𝕜 →L[𝕜] 𝕜 ↦ ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜 1 g) g := fun g ↦
ContinuousLinearMap.analyticAt _ _ | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
a1 : ∀ (g : 𝕜 →L[𝕜] 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (fun g => ((ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) 1) g) g
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv | [288, 1] | [293, 31] | refine (a1 _).comp fa.fderiv | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
a1 : ∀ (g : 𝕜 →L[𝕜] 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (fun g => ((ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) 1) g) g
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → 𝕜
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
a1 : ∀ (g : 𝕜 →L[𝕜] 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (fun g => ((ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) 1) g) g
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (_root_.fderiv 𝕜 f x) 1) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | set p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜 (0, 1) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv (f x.1) x.2) c | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv (f x.1) x.2) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv (f x.1) x.2) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | rw [analyticAt_congr e] | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
e : ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv (f x.1) x.2) c | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : CompleteSpace H
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f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
e : ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace G
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f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
e : ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => _root_.deriv (f x.1) x.2) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | exact (p.analyticAt _).comp fa.fderiv | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
e : ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
e : ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | refine fa.eventually_analyticAt.mp (eventually_of_forall ?_) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ ∀ (x : E × 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) x → _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ ∀ᶠ (x : E × 𝕜) in 𝓝 c, _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | intro ⟨x, y⟩ fa | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ ∀ (x : E × 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) x → _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ _root_.deriv (f (x, y).1) (x, y).2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
⊢ ∀ (x : E × 𝕜), AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) x → _root_.deriv (f x.1) x.2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | simp only [← fderiv_deriv] | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ _root_.deriv (f (x, y).1) (x, y).2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ _root_.deriv (f (x, y).1) (x, y).2 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | have e : f x = uncurry f ∘ fun y ↦ (x, y) := rfl | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | rw [e] | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f ∘ fun y => (x, y)) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ (_root_.fderiv 𝕜 (f x) y) 1 = p (_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | rw [fderiv.comp] | 𝕜 : Type
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E : Type
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
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H : Type
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𝕜 : Type
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F : Type
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STATE:
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | have pd : _root_.fderiv 𝕜 (fun y : 𝕜 ↦ (x, y)) y = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜 := by
apply HasFDerivAt.fderiv; apply hasFDerivAt_prod_mk_right | 𝕜 : Type
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inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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case hg
𝕜 : Type
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STATE:
𝕜 : Type
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𝕜 : Type
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TACTIC:
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ContinuousLinearMap.apply_apply] | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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𝕜 : Type
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E : Type
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𝕜 : Type
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𝕜 : Type
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⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (x, y)) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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H : Type
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inst✝ : CompleteSpace 𝕜
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c : E × 𝕜
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fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
pd : _root_.fderiv 𝕜 (fun y => (x, y)) y = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜
⊢ ((_root_.fderiv 𝕜 (uncurry f) (x, y)).comp (_root_.fderiv 𝕜 (fun y => (x, y)) y)) 1 =
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𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
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H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
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f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
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case hf
𝕜 : Type
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E : Type
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G : Type
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H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
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p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (x, y)) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | apply HasFDerivAt.fderiv | 𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ _root_.fderiv 𝕜 (fun y => (x, y)) y = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜 | case h
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ HasFDerivAt (fun y => (x, y)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ _root_.fderiv 𝕜 (fun y => (x, y)) y = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | apply hasFDerivAt_prod_mk_right | case h
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ HasFDerivAt (fun y => (x, y)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜) y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ HasFDerivAt (fun y => (x, y)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E 𝕜) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | exact fa.differentiableAt | case hg
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (uncurry f) (x, y) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hg
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.deriv2 | [296, 1] | [312, 40] | exact (differentiableAt_const _).prod differentiableAt_id | case hf
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (x, y)) y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
𝕜 : Type
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : E → 𝕜 → 𝕜
c : E × 𝕜
fa✝ : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) c
p : (E × 𝕜 →L[𝕜] 𝕜) →L[𝕜] 𝕜 := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 𝕜) (0, 1)
x : E
y : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 (uncurry f) (x, y)
e : f x = uncurry f ∘ fun y => (x, y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (x, y)) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.const_smul | [315, 1] | [319, 23] | rw [hasFPowerSeriesAt_iff] at fp ⊢ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) (fun n => a • p n) c | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) (fun n => a • p n) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.const_smul | [315, 1] | [319, 23] | refine fp.mp (eventually_of_forall fun z h ↦ ?_) | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z)) | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.const_smul | [315, 1] | [319, 23] | simp only [FormalMultilinearSeries.coeff, ContinuousMultilinearMap.smul_apply, smul_comm _ a] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z)) | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => a • z ^ n • (p n) 1) (a • f (c + z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => z ^ n • FormalMultilinearSeries.coeff (fun n => a • p n) n) (a • f (c + z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.const_smul | [315, 1] | [319, 23] | exact h.const_smul a | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => a • z ^ n • (p n) 1) (a • f (c + z)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
z : 𝕜
h : HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (c + z))
⊢ HasSum (fun n => a • z ^ n • (p n) 1) (a • f (c + z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | constructor | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c ↔ AnalyticAt 𝕜 f c | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c → AnalyticAt 𝕜 f c
case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c → AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c ↔ AnalyticAt 𝕜 f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | intro ⟨p, fp⟩ | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c → AnalyticAt 𝕜 f c | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c → AnalyticAt 𝕜 f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | have e : f = fun z ↦ a⁻¹ • a • f z := by
funext; simp only [← smul_assoc, smul_eq_mul, inv_mul_cancel a0, one_smul] | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | rw [e] | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a⁻¹ • a • f z) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | exact ⟨_, fp.const_smul⟩ | case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a⁻¹ • a • f z) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
e : f = fun z => a⁻¹ • a • f z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a⁻¹ • a • f z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | funext | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
⊢ f = fun z => a⁻¹ • a • f z | case h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
x✝ : 𝕜
⊢ f x✝ = a⁻¹ • a • f x✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
⊢ f = fun z => a⁻¹ • a • f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | simp only [← smul_assoc, smul_eq_mul, inv_mul_cancel a0, one_smul] | case h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
x✝ : 𝕜
⊢ f x✝ = a⁻¹ • a • f x✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt (fun z => a • f z) p c
x✝ : 𝕜
⊢ f x✝ = a⁻¹ • a • f x✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | intro ⟨p, fp⟩ | case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c → AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c | case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 f c → AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | analyticAt_iff_const_smul | [322, 1] | [329, 44] | exact ⟨_, fp.const_smul⟩ | case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | by_cases fa : AnalyticAt 𝕜 f c | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | rcases fa with ⟨p, fp⟩ | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | have e : ∀ n, a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0 := fun n ↦ by
simp only [a0, Ne, smul_eq_zero, false_or_iff] | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
e : ∀ (n : ℕ), a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
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inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
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inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | simp only [fp.orderAt_unique, fp.const_smul.orderAt_unique, FormalMultilinearSeries.order, e] | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
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inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
e : ∀ (n : ℕ), a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
e : ∀ (n : ℕ), a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | simp only [a0, Ne, smul_eq_zero, false_or_iff] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
n : ℕ
⊢ a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
n : ℕ
⊢ a • p n ≠ 0 ↔ p n ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | have ga := fa | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa ga : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | rw [← analyticAt_iff_const_smul a0] at ga | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa ga : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa ga : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | simp only [orderAt, fa, ga] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = if h : False then (choose ⋯).order else 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ orderAt (fun z => a • f z) c = orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | rw [dif_neg, dif_neg] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = if h : False then (choose ⋯).order else 0 | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = if h : False then (choose ⋯).order else 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | exact not_false | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_const_smul | [332, 1] | [341, 37] | exact not_false | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a ≠ 0
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
ga : ¬AnalyticAt 𝕜 (fun z => a • f z) c
⊢ ¬False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | simp only [leadingCoeff] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ leadingCoeff (fun x => 0) c = 0 | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun x => 0) c] (fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ leadingCoeff (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | generalize hn : orderAt (fun _ : 𝕜 ↦ (0 : E)) c = n | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun x => 0) c] (fun x => 0) c = 0 | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
hn : orderAt (fun x => 0) c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun x => 0) c] (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | clear hn | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
hn : orderAt (fun x => 0) c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0 | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
hn : orderAt (fun x => 0) c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | induction' n with n h | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0 | case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun x => 0) c = 0
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | simp only [Function.iterate_zero_apply] | case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun x => 0) c = 0
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0 | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun x => 0) c = 0
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | simp only [Function.iterate_succ_apply] | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0 | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (Function.swap dslope c fun x => 0) c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n + 1] (fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | convert h | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (Function.swap dslope c fun x => 0) c = 0 | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (fun x => 0) x✝ = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (Function.swap dslope c fun x => 0) c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | simp only [Function.swap, dslope, deriv_const] | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (fun x => 0) x✝ = 0 | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.update (slope (fun x => 0) c) c 0 x✝ = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (fun x => 0) x✝ = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | simp only [slope_fun_def, vsub_eq_sub, sub_zero, smul_zero, Function.update_apply] | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.update (slope (fun x => 0) c) c 0 x✝ = 0 | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (if x✝ = c then 0 else 0) = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ Function.update (slope (fun x => 0) c) c 0 x✝ = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | split_ifs | case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (if x✝ = c then 0 else 0) = 0 | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : x✝ = c
⊢ 0 = 0
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_2.h.e'_3.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (if x✝ = c then 0 else 0) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | rfl | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : x✝ = c
⊢ 0 = 0
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0 | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : x✝ = c
⊢ 0 = 0
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff.zero | [344, 1] | [351, 22] | rfl | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
c : 𝕜
n : ℕ
h : (Function.swap dslope c)^[n] (fun x => 0) c = 0
x✝ : 𝕜
h✝ : ¬x✝ = c
⊢ 0 = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | by_cases a0 : a = 0 | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [a0, zero_smul, leadingCoeff.zero] | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [leadingCoeff, orderAt_const_smul a0] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun z => f z) c] (fun z => a • f z) c =
a • (Function.swap dslope c)^[orderAt f c] f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ leadingCoeff (fun z => a • f z) c = a • leadingCoeff f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | generalize hn : orderAt f c = n | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun z => f z) c] (fun z => a • f z) c =
a • (Function.swap dslope c)^[orderAt f c] f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
hn : orderAt f c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[orderAt (fun z => f z) c] (fun z => a • f z) c =
a • (Function.swap dslope c)^[orderAt f c] f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | clear hn | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
hn : orderAt f c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
hn : orderAt f c = n
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | have e : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z : 𝕜 ↦ a • f z) =
a • (Function.swap dslope c)^[n] f := by
induction' n with n h; funext; simp only [Function.iterate_zero_apply, Pi.smul_apply]
generalize hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
simp only [Function.iterate_succ_apply', h, hg]
funext x; simp only [Function.swap]
by_cases cx : x = c
simp only [cx, dslope_same, Pi.smul_apply, Pi.smul_def, deriv_const_smul']
simp only [dslope_of_ne _ cx, Pi.smul_apply, slope, vsub_eq_sub, ← smul_sub, smul_comm _ a] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
e : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [e, Pi.smul_apply] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
e : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
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G : Type
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inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
e : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ (Function.swap dslope c)^[n] (fun z => a • f z) c = a • (Function.swap dslope c)^[n] f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | induction' n with n h | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f | case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ ((Function.swap dslope c)^[0] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[0] f
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | funext | case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ ((Function.swap dslope c)^[0] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[0] f
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | case zero.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun z => a • f z) x✝ = (a • (Function.swap dslope c)^[0] f) x✝
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
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a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
⊢ ((Function.swap dslope c)^[0] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[0] f
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [Function.iterate_zero_apply, Pi.smul_apply] | case zero.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun z => a • f z) x✝ = (a • (Function.swap dslope c)^[0] f) x✝
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
x✝ : 𝕜
⊢ (Function.swap dslope c)^[0] (fun z => a • f z) x✝ = (a • (Function.swap dslope c)^[0] f) x✝
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | generalize hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [Function.iterate_succ_apply', h, hg] | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ Function.swap dslope c (a • g) = a • Function.swap dslope c g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ ((Function.swap dslope c)^[n + 1] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n + 1] f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | funext x | case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ Function.swap dslope c (a • g) = a • Function.swap dslope c g | case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (a • g) x = (a • Function.swap dslope c g) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
⊢ Function.swap dslope c (a • g) = a • Function.swap dslope c g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [Function.swap] | case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (a • g) x = (a • Function.swap dslope c g) x | case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ Function.swap dslope c (a • g) x = (a • Function.swap dslope c g) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | by_cases cx : x = c | case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [cx, dslope_same, Pi.smul_apply, Pi.smul_def, deriv_const_smul'] | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_const_smul | [354, 1] | [368, 31] | simp only [dslope_of_ne _ cx, Pi.smul_apply, slope, vsub_eq_sub, ← smul_sub, smul_comm _ a] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c a : 𝕜
a0 : ¬a = 0
n : ℕ
h : ((Function.swap dslope c)^[n] fun z => a • f z) = a • (Function.swap dslope c)^[n] f
g : 𝕜 → E
hg : (Function.swap dslope c)^[n] f = g
x : 𝕜
cx : ¬x = c
⊢ dslope (a • g) c x = (a • dslope g c) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_ne_zero | [371, 1] | [375, 95] | rcases fa with ⟨p, fp⟩ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
o0 : orderAt f c ≠ 0
⊢ leadingCoeff f c ≠ 0 | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o0 : orderAt f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ leadingCoeff f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
o0 : orderAt f c ≠ 0
⊢ leadingCoeff f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_ne_zero | [371, 1] | [375, 95] | simp only [fp.orderAt_unique, leadingCoeff] at o0 ⊢ | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o0 : orderAt f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ leadingCoeff f c ≠ 0 | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[p.order] f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o0 : orderAt f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ leadingCoeff f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_ne_zero | [371, 1] | [375, 95] | exact fp.iterate_dslope_fslope_ne_zero (FormalMultilinearSeries.ne_zero_of_order_ne_zero o0) | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[p.order] f c ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ (Function.swap dslope c)^[p.order] f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have m1 : ∀ t : ℝ, t ≤ 1 → t * abs z < 1 :=
fun _ m ↦ Right.mul_lt_one_of_le_of_lt_of_nonneg m z1 (Complex.abs.nonneg _) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have dr : ∀ t : ℝ, t ∈ uIcc 0 1 →
HasDerivAt (fun t : ℝ ↦ -Real.log (1 - t * abs z)) (- (-abs z / (1 - t * abs z))) t := by
intro t m
simp only [ge_iff_le, zero_le_one, uIcc_of_le, mem_Icc] at m
exact (((hasDerivAt_mul_const _).const_sub _).log ((sub_pos.mpr (m1 _ m.2)).ne')).neg | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have ic : IntervalIntegrable (fun t ↦ z / (1 + t*z)) MeasureTheory.volume 0 1 := by
apply ContinuousOn.intervalIntegrable_of_Icc zero_le_one
apply continuousOn_const.div (Continuous.continuousOn (by continuity))
intro t ⟨t0,t1⟩
rw [←Complex.abs.ne_zero_iff]
apply ne_of_gt
calc abs (1 + t*z)
_ ≥ Complex.abs 1 - abs (t*z) := Complex.abs.le_add _ _
_ = 1 - |t| * abs z := by simp only [map_one, map_mul, Complex.abs_ofReal]
_ > 0 := by refine sub_pos.mpr (m1 _ (abs_le.mpr ⟨by linarith, t1⟩)) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | simp only [neg_div, neg_neg] at dr | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (-(-abs z / (1 - t * abs z))) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have ir : IntervalIntegrable (fun t ↦ abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1 := by
apply ContinuousOn.intervalIntegrable_of_Icc zero_le_one
apply continuousOn_const.div (Continuous.continuousOn (by continuity))
intro t ⟨_,t1⟩; exact ne_of_gt (sub_pos.mpr (m1 _ t1)) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have fc := intervalIntegral.integral_eq_sub_of_hasDerivAt dc ic | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | have fr := intervalIntegral.integral_eq_sub_of_hasDerivAt dr ir | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - 1 * abs z).log - -(1 - 0 * abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | simp only [Complex.ofReal_one, one_mul, Complex.ofReal_zero, zero_mul, add_zero, Complex.log_one,
sub_zero, Real.log_one, neg_zero] at fc fr | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - 1 * abs z).log - -(1 - 0 * abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + ↑1 * z).log - (1 + ↑0 * z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - 1 * abs z).log - -(1 - 0 * abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | rw [←fc, ←fr, ←Complex.norm_eq_abs] | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ abs (1 + z).log ≤ -(1 - abs z).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | clear dc dr fc fr | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
dc : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
dr : ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => -(1 - t * abs z).log) (abs z / (1 - t * abs z)) t
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
fc : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z) = (1 + z).log
fr : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) = -(1 - abs z).log
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | apply le_trans (intervalIntegral.norm_integral_le_integral_norm zero_le_one) ?_ | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ‖∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z / (1 + ↑y * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | apply intervalIntegral.integral_mono_on zero_le_one ic.norm ir | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∀ x ∈ Icc 0 1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ abs z / (1 - x * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, abs z / (1 - y * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | intro t ⟨t0,t1⟩ | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∀ x ∈ Icc 0 1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ abs z / (1 - x * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ ‖z / (1 + ↑t * z)‖ ≤ abs z / (1 - t * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ∀ x ∈ Icc 0 1, ‖z / (1 + ↑x * z)‖ ≤ abs z / (1 - x * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | simp only [norm_div, Complex.norm_eq_abs] | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ ‖z / (1 + ↑t * z)‖ ≤ abs z / (1 - t * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ abs z / abs (1 + ↑t * z) ≤ abs z / (1 - t * abs z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ ‖z / (1 + ↑t * z)‖ ≤ abs z / (1 - t * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | apply div_le_div_of_nonneg_left (Complex.abs.nonneg _) (sub_pos.mpr (m1 _ t1)) ?_ | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ abs z / abs (1 + ↑t * z) ≤ abs z / (1 - t * abs z) | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ 1 - t * abs z ≤ abs (1 + ↑t * z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ abs z / abs (1 + ↑t * z) ≤ abs z / (1 - t * abs z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | calc abs (1 + t * z)
_ ≥ Complex.abs 1 - abs (t * z) := Complex.abs.le_add _ _
_ = 1 - t * abs z := by
simp only [map_one, map_mul, Complex.abs_ofReal, _root_.abs_of_nonneg t0] | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ 1 - t * abs z ≤ abs (1 + ↑t * z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
ic : IntervalIntegrable (fun t => z / (1 + ↑t * z)) MeasureTheory.volume 0 1
ir : IntervalIntegrable (fun t => abs z / (1 - t * abs z)) MeasureTheory.volume 0 1
t : ℝ
t0 : 0 ≤ t
t1 : t ≤ 1
⊢ 1 - t * abs z ≤ abs (1 + ↑t * z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | intro t m | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
⊢ ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
⊢ ∀ t ∈ uIcc 0 1, HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | apply HasDerivAt.clog_real | z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t | case h₁
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => 1 + ↑t * z) z t
case h₂
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ 1 + ↑t * z ∈ slitPlane | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => (1 + ↑t * z).log) (z / (1 + ↑t * z)) t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | exact ((hasDerivAt_mul_const _).const_add _).comp_ofReal | case h₁
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => 1 + ↑t * z) z t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₁
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ HasDerivAt (fun t => 1 + ↑t * z) z t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | apply Complex.mem_slitPlane_of_norm_lt_one | case h₂
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ 1 + ↑t * z ∈ slitPlane | case h₂.hz
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ ‖↑t * z‖ < 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₂
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ 1 + ↑t * z ∈ slitPlane
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Multibrot/Log1p.lean | Complex.abs_log_one_add_le | [14, 1] | [65, 80] | simp only [norm_mul, Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_ofReal] | case h₂.hz
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ ‖↑t * z‖ < 1 | case h₂.hz
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ |t| * abs z < 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₂.hz
z : ℂ
z1 : abs z < 1
m1 : ∀ t ≤ 1, t * abs z < 1
t : ℝ
m : t ∈ uIcc 0 1
⊢ ‖↑t * z‖ < 1
TACTIC:
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Subsets and Splits
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