v1v1d/Latexify_v1 · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 24 6.82k	text stringlengths 13 2.18k
	\left\{ k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } { \frac { \pi ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } } + { \frac { 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } , \right\} ,
	\displaystyle { R = ( d - 1 ) \frac { 2 a \ddot { a } + ( d - 2 ) \dot { a } ^ { 2 } + ( d - 2 ) k } { a ^ { 2 } } } .
	\sum _ { s } A _ { s } ^ { \parallel a } = 0 \, , \qquad F _ { 1 } ^ { a b } n _ { b } ^ { 1 } = F _ { 2 } ^ { a b } n _ { b } ^ { 2 } = \cdots = F _ { n } ^ { a b } n _ { b } ^ { n } \, .
	\begin{matrix} { ( P _ { - } ) } \\ \end{matrix} { i j } { k \ell } x ^ { k } x ^ { \ell } = \begin{matrix} { ( P _ { + } ) } \\ \end{matrix} { i j } { k \ell } d x ^ { k } d x ^ { \ell } = 0 .
	d \Sigma ^ { 2 } \: = \: - \alpha ^ { 2 } Z ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } + ( 1 + R ^ { 2 } ) d Z ^ { 2 } + R ^ { 2 } d \sigma ^ { 2 } \, ,
	\left( p _ { j } + i { \frac { \partial W } { \partial q _ { j } } } \right) \Phi _ { 0 } = 0 , \quad j = 1 , \ldots , r .
	{ \frac { 1 } { \beta _ { c } } } \; = \; 2 ( d - 2 ) \int _ { a _ { c } } ^ { b _ { c } } { \frac { d y } { y } } { \frac { \rho _ { c } ( y ) } { \sqrt { ( b _ { c } + y ) ( y + a _ { c } ) } } } \; .
	Z _ { i j } = - \| \tau _ { i } - \tau _ { j } \| \left( T - \| \tau _ { i } - \tau _ { j } \| \right) / 2 T \equiv G _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { j } ) \ ,
	G ^ { \prime } = G \{ 1 - i h _ { b } ^ { a } ( x ) P _ { a } ^ { b } - i h _ { \beta } ^ { \alpha } ( x ) P _ { \alpha } ^ { \beta } \}
	H = \omega \, \frac { a ^ { \dagger } a + a a ^ { \dagger } } { 2 } ~ ~ ~ ~ ~ \omega > 0 ~ ~ ~ ~ .
	\chi _ { h } ( q ) = q ^ { - c / 2 4 } t r q ^ { L o } = q ^ { - c / 2 4 } ( a _ { 1 } q ^ { h } + a _ { 2 } q ^ { h + 1 } + \cdots ) \ \, , \ \ q = e ^ { 2 \pi i \tau }
	H = M + \frac { 1 } { 4 \lambda } \left( I ^ { 2 } + J ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } S ^ { 2 } \right) \; ,
	\tilde { \chi } _ { \alpha _ { 0 } } \left( z ^ { a } , y _ { \alpha _ { 1 } } \right) \approx 0 ,
	\begin{array} { c c c c c } { } & { S O ( 2 n ) } & { \subset } & { S O ( 2 n + 1 ) } & { R _ { M } = { \bf ( 2 n + 1 ) } } \\ { } & { S U ( 3 ) } & { \subset } & { G _ { 2 } } & { R _ { M } = { \bf 7 } } \\ { \tilde { R } _ { M } = { \bf 9 } } & { S O ( 9 ) } & { \subset } & { F _ { 4 } } & { R _ { M } = { \bf 2 6 } } \\ { \ast } & { S U ( 8 ) } & { \subset } & { E _ { 7 } } & { \ast } \\ { \ast } & { S O ( 1 6 ) } & { \subset } & { E _ { 8 } } & { \ast } \\ { \ast } & { S U ( 9 ) } & { \subset } & { E _ { 8 } } & { \ast } \\ \end{array} \quad .
	{ } \lambda _ { A } ( { \bf \bar { n } } ) = \lambda _ { A } ( { \bf n } \rightarrow { \bf \bar { n } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { h } } T _ { A } ^ { \mu } ( { \bf \bar { n } } ) P _ { \mu } .
	L = e ^ { - i \theta } \, \left( \frac { 1 } { i } \, \frac { \partial } { \partial r } - \frac { 1 } { r } \, \frac { \partial } { \partial \theta } - \frac { 1 } { r } \, \frac { \partial \phi } { \partial \theta } - i \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) \, .
	\delta \bar { \rho } _ { n } \equiv \delta \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } \bar { \Pi }
	\int _ { S ^ { 2 } } \hat { \cal F } = \frac { \theta } { 2 \pi ^ { 2 } } t r \int _ { S ^ { 2 } } \{ f \int _ { C ^ { 1 } } \delta g g ^ { - 1 } \} ,
	\mathcal { M } _ { ( n ) } = { \frac { G _ { ( n ) } } { H _ { ( n ) } } } ~ ,
	q ^ { + a } = \theta _ { - A ^ { \prime } } ^ { + } \Lambda _ { + } ^ { A ^ { \prime } a }
	\left[ p _ { \mu } \partial ^ { \mu } \pm g F _ { \mu \nu } p ^ { \nu } \partial _ { p } ^ { \mu } \right] f ( x , p ) ( \bar { f } ( x , p ) ) = C ( x , p ) + S ( x , p ) ,
	\{ f _ { 1 } , \dots , f _ { M } \} : = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ^ { 1 } \dots \varphi ^ { M } ) } \in _ { r _ { 1 } \dots r _ { M } } \partial _ { r _ { 1 } } f _ { 1 } \dots \partial _ { r _ { M } } f _ { M } \, ,
	\lambda ^ { * ( 1 ) } = - \mu _ { 3 \alpha } ^ { ( A ) } \mu _ { 2 } ^ { ( A ) \alpha } + A _ { \alpha } \nu _ { 1 } ^ { ( A ) \alpha } , \; \bar { A } _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } = \lambda \mu _ { 2 \alpha } ^ { ( A ) } + A _ { \alpha } \mu _ { 2 } ^ { ( \lambda ) } ,
	\left( \frac 1 2 , \frac 1 2 \right) \otimes \left( \frac 1 2 , \frac 1 2 \right) = \left( 0 , 0 \right) \oplus \left( 0 , 1 \right) \oplus \left( 1 , 0 \right) \oplus \left( 1 , 1 \right)
	\{ \tilde { x } ( u ) = x ( u ) e ^ { b u } , \quad \tilde { x } _ { d } ( u ) = x _ { d } ( u ) e ^ { 2 b u } , \quad \tilde { x } _ { t } ( u ) = x _ { t } ( u ) e ^ { 3 b u } \}
	e ^ { - \Gamma [ g ^ { i } ] } = \int D \phi D X ^ { i } e ^ { - \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma { \cal L } ( g ^ { i } , \phi = t , X ^ { i } ) }
	b _ { 1 } = - \bigl [ { \frac { 1 1 } { 6 } } C _ { A } - { \frac { 2 } { 3 } } \sum _ { R } n _ { R } T _ { R } \bigr ]
	\begin{array} { l } { \langle N \rangle = { \frac { 4 \pi V } { h ^ { 3 } } } [ { \frac { \sqrt \pi } { 2 } } ( { \frac { 2 m } { \beta } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } z + 2 { \sqrt \pi } ( { \frac { 2 m } { \beta } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \delta ( p , q ) z ^ { 2 } + . . . ] . } \\ \end{array}
	R _ { \alpha { \bar { \beta } } { \nu } { \bar { \mu } } } = G _ { \alpha { \bar { \beta } } } G _ { { \nu } { \bar { \mu } } } - W _ { \alpha \nu } G ^ { s { \bar { s } } } ( e ^ { G } { \bar { W } } _ { { \bar { \beta } } { \bar { \mu } } { \bar { s } } } - T _ { { \bar { \beta } } { \bar { \mu } } { \bar { s } } } ) ,
	P V = k T \langle N \rangle ( 1 - \delta ( p , q ) [ ( { \frac { h ^ { 2 } } { 2 m \pi k T } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \langle N \rangle } { V } } + . . . ] .
	m = g _ { m } ^ { 2 } \zeta \left< V ^ { 2 } + V ^ { * 2 } \right> = 2 g _ { m } ^ { 2 } \zeta \mathrm { e } ^ { - { \frac { 2 \pi } { g ^ { 2 } } } \Lambda } .
	t = x ^ { 0 } = \tau , \; \; \; \; \; x ^ { i } = x ^ { i } ( \sigma ) { \; } ; \; \; \; \; \; \; \; \; ( \tau \equiv \zeta ^ { 0 } , \; \sigma \equiv \zeta ^ { 1 } ) .
	\delta e _ { x ^ { + } , + \dot { + } } = h _ { x ^ { + } , + \dot { + } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \Omega ) , ~ ~ ~ \delta e _ { x ^ { - } , - \dot { - } } = h _ { x ^ { , } - \dot { - } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \Omega )
	{ \cal { S } } _ { L a g r a n g e } = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { \cal { M } } d V \wedge \Omega { }
	G = R _ { a b c d } R ^ { a b c d } - 4 R _ { a b } R ^ { a b } + R ^ { 2 }
	w _ { 1 } \cong - w _ { 1 } , \quad w _ { 2 } \cong - w _ { 2 } \, ,
	d \tilde { \lambda } = 4 ^ { ( - 2 / \beta ) } s e c h ^ { \left( { 4 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) d \lambda .
	S = - i z ^ { 1 } \, , \quad T = - i z ^ { 2 } \, , \quad U = - i z ^ { 3 } \, , \quad V ^ { i } = - i z ^ { i + 3 } \; .
	f _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) = \psi \left( \frac { 3 + \sqrt { 1 - p ^ { 2 } l ^ { 2 } } } 2 \right) + \psi \left( \frac { 3 - \sqrt { 1 - p ^ { 2 } l ^ { 2 } } } 2 \right) - \psi ( 2 ) - \psi ( 1 ) ~ .
	{ \cal S } _ { 1 } = { \frac { k _ { 1 } } { 4 \theta _ { 1 } } } \int d t \; \mathrm { { T r } } \left( i { \bar { Z } _ { 1 } } D Z _ { 1 } - \omega _ { 1 } { \bar { Z } _ { 1 } } Z _ { 1 } \right) + \frac { i } { 2 } \int d t \; { \bar { \Psi } } _ { 1 } D \Psi _ { 1 } + \frac { k _ { 1 } } { 2 } \int d t \; { \mathrm { T r } } A _ { 1 } + h c
	B ^ { ^ { \prime \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { B ^ { \prime } } { \xi } + \xi - 2 \psi _ { 1 } \right) \ .
	\begin{aligned} { d \phi \wedge \phi } & { { } = 0 , } \\ { d ( e ^ { - 2 \Phi } * \phi ) } & { { } = 0 , } \\ { d H } & { { } = 0 , } \\ \end{aligned}
	S _ { \mathrm { l o c } } [ G , \phi ] = \int d ^ { 4 } x \sqrt { G } \left( - \frac { 6 } { l } - { \frac { l } { 2 } } R + { \frac { l } { 2 } } G ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \, \partial _ { \nu } \phi \right) .
	[ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } ] = - i \left[ \theta ( F - \theta ^ { - 1 } ) \theta \right] ^ { \mu \nu }
	\left( x ^ { - 1 } M _ { + } L _ { - } + x M _ { - } L _ { + } \right) r ( x ) = r ( x ) \left( x M _ { + } L _ { - } + x ^ { - 1 } M _ { - } L _ { + } \right) .
	\nu _ { 1 } = \nu , \qquad \nu _ { 2 } = \nu ,
	\nabla _ { i } I _ { j k } + \nabla _ { [ k } I _ { j ] i } = 0 \quad .
	P = { \frac { 1 } { \sqrt { - \gamma } } } \left( { \frac { L _ { 2 } { } ^ { \prime } } { \kappa _ { 1 } } } \; \eta _ { 2 } - { \frac { L _ { 2 } \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 1 } } } \; \eta _ { 3 } \right) \, .
	\frac { K _ { \omega } ( z ) } { I _ { \omega } ( z ) } + \frac { K _ { \omega } ^ { \prime } ( z ) } { I _ { \omega } ^ { \prime } ( z ) } < 0 .
	{ \frac { 1 } { \omega } } \left( - { \frac { 9 } { 2 0 } } - { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) < { \frac { 1 } { 8 \omega + 3 } } \left( - 3 - { \frac { 5 z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) \, ,
	V ( T ) \simeq \frac { e } { 8 } \, \tau _ { 3 } \, T ^ { 2 } \, e ^ { - \frac { T ^ { 2 } } { 8 } } \ .
	\langle j ^ { \mu } \rangle = \frac { e } { 8 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \sigma } \partial _ { \nu } \theta F _ { \lambda \sigma } = \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } } \partial _ { \nu } ( \theta \tilde { F } ^ { \mu \nu } )
	T \mapsto \frac { \alpha T - i \beta } { i \gamma T + \delta }
	T _ { ( \mu \nu ) \sigma } = - T _ { ( \nu \mu ) \sigma } \; \; \; ; \; \; \; T _ { ( \mu \nu ) \sigma } + T _ { ( \nu \sigma ) \mu } + T _ { ( \sigma \mu ) \nu } = 0 .
	S = 2 \pi \, \frac { \sqrt { ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } ) } } { y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } } - 2 \pi i \frac { x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } { y ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) } \, .
	\left\langle : \psi _ { L } \psi _ { R } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { R } ^ { \dagger } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { L } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { R } ^ { \dagger } \psi _ { R } : \right\rangle _ { 0 } = 0 .
	L = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g _ { j k } \dot { x } ^ { j } \dot { x } ^ { k } + \displaystyle \frac { i } { 2 } g _ { j k } \vartheta _ { a } ^ { j } D _ { t } \vartheta _ { a } ^ { k } + \displaystyle \frac { 1 } { 4 } R _ { j k l n } \vartheta _ { 1 } ^ { j } \vartheta _ { 2 } ^ { l } \vartheta _ { 1 } ^ { k } \vartheta _ { 2 } ^ { n } - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { j k } \frac { \partial W } { \partial x ^ { j } } \frac { W } { \partial x ^ { k } } - i W _ { j ; k } \vartheta _ { 1 } ^ { j } \vartheta _ { 2 } ^ { k } ,
	S a _ { m } ^ { \dagger } S ^ { - 1 } = B _ { m } ^ { \dagger } = a _ { n } ^ { \dagger } ( E ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi ) ) _ { n m }
	g _ { \mathrm { e f f } } \equiv e ^ { \phi } = e ^ { \phi _ { 0 } } \frac { 1 + q ^ { 2 } / n ^ { 2 } } { \left( 1 + [ q ^ { 2 } + e ^ { 2 \phi _ { 0 } } ( p - \chi _ { 0 } q ) ^ { 2 } ] / n ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } ,
	0 = \delta \psi _ { \mu } ^ { i } = \partial _ { \mu } \epsilon ^ { i } + \frac 1 4 \omega _ { \mu } ^ { a b } \Gamma _ { a b } \epsilon ^ { i } - \frac 1 { 8 } e _ { \mu } { } ^ { a } F _ { a b c } ^ { 1 } \Gamma ^ { b c } ( \Gamma ^ { \prime } ) ^ { i } { } _ { j } \epsilon ^ { j } \, .
	{ \cal Q } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \delta } { 2 } r } & { \beta q } \\ { \gamma p } & { - \frac { \delta } { 2 } r } \\ \end{array} \right) \equiv { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \oint _ { S ^ { 1 } } { \cal J } = \oint _ { S ^ { 1 } } d { \cal M } { \cal M } ^ { - 1 } \, ,
	\Box ( 1 + \frac { \Box } { M ^ { 2 } } ) \partial _ { \nu } A ^ { \nu } = 0
	W = V _ { \mathrm { t r i v } } ( \pm v _ { B } ) = - { \frac { m _ { h } ^ { 4 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } } < 0
	\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 7 } b ^ { 5 } \alpha ^ { 2 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 7 } = \frac { ( A _ { N - 7 } b ^ { 6 } \alpha ) ^ { 7 } } { b ^ { 4 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 4 N } = 1 .
	R - 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \nabla ^ { 2 } \phi + J + c = 0 .
	V \longrightarrow m V , ~ ~ ~ ~ \bar { U } \longrightarrow n \bar { U } , ~ ~ ~ ~ ~ ( \mid m \mid = \mid n \mid = 1 )
	R ^ { D } ( \lambda ) = R ^ { C } ( \lambda ) \ ; \ L _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda ) = R _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda - i / 2 ) = F L _ { 1 \ell } ^ { A } ( \lambda ) F \ ; \, t i l d e { R } ^ { D } ( \lambda ) = \tilde { R } ^ { B } ( \lambda ) \ ;
	S _ { 0 } ^ { ( p ) } = \kappa L ^ { p } \beta t \left[ ( 1 + \sigma _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 + \sigma _ { 1 } ) ^ { p / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \lambda _ { 0 } \sigma _ { 0 } + p \lambda _ { 1 } \sigma _ { 1 } \right) \right]
	L = - { \frac { 1 } { 4 F ( \phi ) } } G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + J _ { \mu } ^ { a } A _ { a } ^ { \mu } ,
	K = G + A ^ { \alpha } A ^ { \bar { \alpha } } Z _ { \alpha { \bar { \alpha } } } ^ { ( 1 , 1 ) } + B ^ { \nu } B ^ { \bar { \nu } } Z _ { \nu { \bar { \nu } } } ^ { ( 2 , 1 ) } + ( A ^ { \alpha } B ^ { \nu } H _ { \alpha \nu } + c . c ) + \dots
	\bar { g } _ { + } ( \xi ) > 0 , \qquad \xi \in ( \nu / \mu ^ { 2 } , \infty ) ,
	\lambda _ { n } ( E ) = \lambda _ { n } ( E _ { n } ) + ( E - E _ { n } ) \frac { \partial \lambda _ { n } ( E _ { n } ) } { \partial E _ { n } } = ( E - E _ { n } ) ( \frac { - e ^ { 2 } } { 2 E _ { n } } )
	C _ { \mu } ^ { a b } = 2 i g \, \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } \, g ^ { A B } \psi _ { C } ^ { b } \, { A _ { \mu B } } ^ { C } + \left( \, \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } \, g ^ { A B } \, ( \partial _ { \mu } \psi _ { B } ^ { b } ) + \psi _ { B } ^ { b } \, g ^ { A B } \, ( \partial _ { \mu } \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } ) \, \right) ,
	L _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } { \alpha } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( { \alpha } _ { - n } \cdot { \alpha } _ { n } + { \alpha } _ { n } \cdot { \alpha } _ { - n } )
	\partial _ { t } ^ { 2 } \psi - \nabla ^ { 2 } \psi = - \frac 1 2 \psi ( \psi ^ { 2 } - 1 ) - \epsilon / \lambda
	g _ { o r b } = \frac { g _ { N } } { \sqrt { 2 } } = \sqrt { \frac { R } { 2 } } \ .
	R = { \frac { 1 } { e } } { \frac { ( A ^ { \prime } B ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - { \frac { A B } { 4 e } } ) } }
	A = \left( \begin{matrix} { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ \end{matrix} \right)
	g _ { \mu \nu } = \mathrm { d i a g } ( - f ( r ) \ , \ f ( r ) ^ { - 1 } )
	\dot { r } = p _ { r } \ \ , \ \ \dot { p } _ { r } = \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } - \omega ^ { 2 } \, r \ \ ; \ \, d o t { \theta } = \frac { p _ { \theta } } { r ^ { 2 } } + g \xi \ \ , \ \ \dot { p } _ { \theta } = 0 \ \ ; \ \ \dot { z } = p _ { z } + \xi \ \ , \ \ \dot { p } _ { z } = 0 \ \ ,
	{ \bf P } \, { \bf X } _ { S } ( \gamma ) \, { \bf P } = { \bf X } _ { S } ( - \gamma ) \, , \qquad { \bf P } \, r ( \lambda , \gamma ) \, { \bf P } = r ( \lambda , - \gamma ) \, .
	\{ \xi ^ { \mu } , \xi ^ { \nu } \} = i \eta ^ { \mu \nu } \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \{ \pi _ { 5 } , \xi _ { 5 } \} = - 1 \, .
	S = - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } \gamma ^ { \alpha \beta } G _ { \mu \nu } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X ^ { \nu } .
	\Gamma ^ { ( 1 ) } [ \varphi _ { 1 } ] = \frac { \sigma } { 2 ( 2 \sqrt { \pi } ) ^ { d } } \Gamma ( 1 - \frac { d } { 2 } ) ( m _ { 2 } ) ^ { d - 2 } \int d ^ { d } x ~ \varphi _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) .
	\left( \frac { f ^ { \prime } } { b _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = H _ { 0 } ^ { 2 } + k _ { \pm } ^ { 2 } f ^ { 2 } ,
	H _ { b } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x [ \pi _ { 1 } \pi _ { 1 } + \phi _ { 1 } ( - \nabla ^ { 2 } + m _ { H } ^ { 2 } ) \phi _ { 1 } ] + H _ { b } ^ { \prime }
	\theta _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 0 } q _ { 0 } = ( N ^ { + } + 2 \theta _ { 0 } ) N ^ { + } = ( N ^ { -- } 2 \theta _ { 0 } ) N ^ { - }
	\widehat { \mit \Pi } = - { \frac { 4 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \psi } { \partial \mu } } \ .
	r = a \, \tilde { r } , \; \; \; Q = a ^ { 2 } \tilde { Q } , \; \; \; L = a ^ { 2 } \tilde { L } , \; \; \; E = a \, \tilde { E }
	( 1 - \gamma ) ( \partial _ { y } + 2 \ell ^ { - 1 } ) \, h \| _ { 0 _ { + } } - \frac { 2 } { 3 } \, \gamma \, \ell \, \big ( \partial _ { \lambda } \partial _ { \rho } h ^ { \lambda \rho } - \partial _ { \lambda } ^ { 2 } h \big ) \| _ { 0 _ { + } } = \frac { 1 } { 6 M _ { * } ^ { 3 } } \, S _ { \mu } ^ { \mu } \, .
	\chi _ { k = 3 } [ P ] = 2 \mathrm { T r } \, P ^ { 3 } - 3 \mathrm { T r } \, P ^ { 2 } \; \mathrm { T r } \, P + \left( \mathrm { T r } \, P \right) ^ { 3 } .
	C _ { y } : ( a , b , c , d , e ) \longrightarrow ( - a , b , - c , d , e ) \nonumber \,
	\int _ { x } e ^ { - i p x } \langle \Psi _ { R } ^ { i } ( 0 ) \bar { \Psi } _ { R } ^ { j } ( x ) \rangle ,
	\frac { 1 } { \sqrt { g } } \left( - { \frac { \delta S } { \delta g _ { \mu \nu } } } { \frac { \delta S } { \delta g ^ { \mu \nu } } } - \frac { 1 } { 2 } { \frac { \delta S } { \delta \phi ^ { I } } } { \frac { \delta S } { \delta \phi ^ { J } } } G ^ { I J } + \frac { 1 } { d - 1 } \left( g ^ { \mu \nu } { \frac { \delta S } { \delta g ^ { \mu \nu } } } \right) ^ { 2 } \right) ~ = ~ \sqrt { g } ( R ^ { d } + 2 \Lambda + V ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } G _ { I J } \nabla _ { \mu } \phi ^ { I } \nabla ^ { \mu } \phi ^ { J } )
	\ddot { \phi } + 3 H \dot { \phi } = - V ^ { \prime } \left( \phi \right) .
	A = \frac { 1 } { g } \frac { a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } i \, \omega _ { i } \sigma ^ { i } .
	1 \leq \xi \leq \frac { 5 } { 4 } , \; \; \; \; \; \mathrm { L o r e n t z i a n ~ 3 d ~ t r i a n g u l a t i o n s } .
	{ \cal { Z } } ^ { F } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { M } ) = \prod _ { j } ( 1 + X _ { j } ) ~ ~ ~ ~ ~ .
	F _ { \mu \nu \rho \sigma } ( x ) = \int \! d ^ { 2 } p \ e ^ { - i p x } G _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p ) \theta ( p ^ { 0 } ) \, ,
	A _ { f } ^ { \dagger } ( p ) = ( { \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi ) ^ { D } f ( p ) } } ) ^ { 1 / 2 } \int _ { x } e ^ { i p x } [ f ( p ) ( \phi _ { x } - \varphi ) - i \Pi _ { x } ]

\left\{ k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } { \frac { \pi ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } } + { \frac { 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } , \right\} ,

\displaystyle { R = ( d - 1 ) \frac { 2 a \ddot { a } + ( d - 2 ) \dot { a } ^ { 2 } + ( d - 2 ) k } { a ^ { 2 } } } .

\sum _ { s } A _ { s } ^ { \parallel a } = 0 \, , \qquad F _ { 1 } ^ { a b } n _ { b } ^ { 1 } = F _ { 2 } ^ { a b } n _ { b } ^ { 2 } = \cdots = F _ { n } ^ { a b } n _ { b } ^ { n } \, .

\begin{matrix} { ( P _ { - } ) } \\ \end{matrix} { i j } { k \ell } x ^ { k } x ^ { \ell } = \begin{matrix} { ( P _ { + } ) } \\ \end{matrix} { i j } { k \ell } d x ^ { k } d x ^ { \ell } = 0 .

d \Sigma ^ { 2 } \: = \: - \alpha ^ { 2 } Z ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } + ( 1 + R ^ { 2 } ) d Z ^ { 2 } + R ^ { 2 } d \sigma ^ { 2 } \, ,

\left( p _ { j } + i { \frac { \partial W } { \partial q _ { j } } } \right) \Phi _ { 0 } = 0 , \quad j = 1 , \ldots , r .

{ \frac { 1 } { \beta _ { c } } } \; = \; 2 ( d - 2 ) \int _ { a _ { c } } ^ { b _ { c } } { \frac { d y } { y } } { \frac { \rho _ { c } ( y ) } { \sqrt { ( b _ { c } + y ) ( y + a _ { c } ) } } } \; .

Z _ { i j } = - | \tau _ { i } - \tau _ { j } | \left( T - | \tau _ { i } - \tau _ { j } | \right) / 2 T \equiv G _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { j } ) \ ,

G ^ { \prime } = G \{ 1 - i h _ { b } ^ { a } ( x ) P _ { a } ^ { b } - i h _ { \beta } ^ { \alpha } ( x ) P _ { \alpha } ^ { \beta } \}

H = \omega \, \frac { a ^ { \dagger } a + a a ^ { \dagger } } { 2 } ~ ~ ~ ~ ~ \omega > 0 ~ ~ ~ ~ .

\chi _ { h } ( q ) = q ^ { - c / 2 4 } t r q ^ { L o } = q ^ { - c / 2 4 } ( a _ { 1 } q ^ { h } + a _ { 2 } q ^ { h + 1 } + \cdots ) \ \, , \ \ q = e ^ { 2 \pi i \tau }

H = M + \frac { 1 } { 4 \lambda } \left( I ^ { 2 } + J ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } S ^ { 2 } \right) \; ,

\tilde { \chi } _ { \alpha _ { 0 } } \left( z ^ { a } , y _ { \alpha _ { 1 } } \right) \approx 0 ,

\begin{array} { c c c c c } { } & { S O ( 2 n ) } & { \subset } & { S O ( 2 n + 1 ) } & { R _ { M } = { \bf ( 2 n + 1 ) } } \\ { } & { S U ( 3 ) } & { \subset } & { G _ { 2 } } & { R _ { M } = { \bf 7 } } \\ { \tilde { R } _ { M } = { \bf 9 } } & { S O ( 9 ) } & { \subset } & { F _ { 4 } } & { R _ { M } = { \bf 2 6 } } \\ { \ast } & { S U ( 8 ) } & { \subset } & { E _ { 7 } } & { \ast } \\ { \ast } & { S O ( 1 6 ) } & { \subset } & { E _ { 8 } } & { \ast } \\ { \ast } & { S U ( 9 ) } & { \subset } & { E _ { 8 } } & { \ast } \\ \end{array} \quad .

{ } \lambda _ { A } ( { \bf \bar { n } } ) = \lambda _ { A } ( { \bf n } \rightarrow { \bf \bar { n } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { h } } T _ { A } ^ { \mu } ( { \bf \bar { n } } ) P _ { \mu } .

L = e ^ { - i \theta } \, \left( \frac { 1 } { i } \, \frac { \partial } { \partial r } - \frac { 1 } { r } \, \frac { \partial } { \partial \theta } - \frac { 1 } { r } \, \frac { \partial \phi } { \partial \theta } - i \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) \, .

\delta \bar { \rho } _ { n } \equiv \delta \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } \bar { \Pi }

\int _ { S ^ { 2 } } \hat { \cal F } = \frac { \theta } { 2 \pi ^ { 2 } } t r \int _ { S ^ { 2 } } \{ f \int _ { C ^ { 1 } } \delta g g ^ { - 1 } \} ,

\mathcal { M } _ { ( n ) } = { \frac { G _ { ( n ) } } { H _ { ( n ) } } } ~ ,

q ^ { + a } = \theta _ { - A ^ { \prime } } ^ { + } \Lambda _ { + } ^ { A ^ { \prime } a }

\left[ p _ { \mu } \partial ^ { \mu } \pm g F _ { \mu \nu } p ^ { \nu } \partial _ { p } ^ { \mu } \right] f ( x , p ) ( \bar { f } ( x , p ) ) = C ( x , p ) + S ( x , p ) ,

\{ f _ { 1 } , \dots , f _ { M } \} : = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ^ { 1 } \dots \varphi ^ { M } ) } \in _ { r _ { 1 } \dots r _ { M } } \partial _ { r _ { 1 } } f _ { 1 } \dots \partial _ { r _ { M } } f _ { M } \, ,

\lambda ^ { * ( 1 ) } = - \mu _ { 3 \alpha } ^ { ( A ) } \mu _ { 2 } ^ { ( A ) \alpha } + A _ { \alpha } \nu _ { 1 } ^ { ( A ) \alpha } , \; \bar { A } _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } = \lambda \mu _ { 2 \alpha } ^ { ( A ) } + A _ { \alpha } \mu _ { 2 } ^ { ( \lambda ) } ,

\left( \frac 1 2 , \frac 1 2 \right) \otimes \left( \frac 1 2 , \frac 1 2 \right) = \left( 0 , 0 \right) \oplus \left( 0 , 1 \right) \oplus \left( 1 , 0 \right) \oplus \left( 1 , 1 \right)

\{ \tilde { x } ( u ) = x ( u ) e ^ { b u } , \quad \tilde { x } _ { d } ( u ) = x _ { d } ( u ) e ^ { 2 b u } , \quad \tilde { x } _ { t } ( u ) = x _ { t } ( u ) e ^ { 3 b u } \}

e ^ { - \Gamma [ g ^ { i } ] } = \int D \phi D X ^ { i } e ^ { - \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma { \cal L } ( g ^ { i } , \phi = t , X ^ { i } ) }

b _ { 1 } = - \bigl [ { \frac { 1 1 } { 6 } } C _ { A } - { \frac { 2 } { 3 } } \sum _ { R } n _ { R } T _ { R } \bigr ]

\begin{array} { l } { \langle N \rangle = { \frac { 4 \pi V } { h ^ { 3 } } } [ { \frac { \sqrt \pi } { 2 } } ( { \frac { 2 m } { \beta } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } z + 2 { \sqrt \pi } ( { \frac { 2 m } { \beta } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \delta ( p , q ) z ^ { 2 } + . . . ] . } \\ \end{array}

R _ { \alpha { \bar { \beta } } { \nu } { \bar { \mu } } } = G _ { \alpha { \bar { \beta } } } G _ { { \nu } { \bar { \mu } } } - W _ { \alpha \nu } G ^ { s { \bar { s } } } ( e ^ { G } { \bar { W } } _ { { \bar { \beta } } { \bar { \mu } } { \bar { s } } } - T _ { { \bar { \beta } } { \bar { \mu } } { \bar { s } } } ) ,

P V = k T \langle N \rangle ( 1 - \delta ( p , q ) [ ( { \frac { h ^ { 2 } } { 2 m \pi k T } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \langle N \rangle } { V } } + . . . ] .

m = g _ { m } ^ { 2 } \zeta \left< V ^ { 2 } + V ^ { * 2 } \right> = 2 g _ { m } ^ { 2 } \zeta \mathrm { e } ^ { - { \frac { 2 \pi } { g ^ { 2 } } } \Lambda } .

t = x ^ { 0 } = \tau , \; \; \; \; \; x ^ { i } = x ^ { i } ( \sigma ) { \; } ; \; \; \; \; \; \; \; \; ( \tau \equiv \zeta ^ { 0 } , \; \sigma \equiv \zeta ^ { 1 } ) .

\delta e _ { x ^ { + } , + \dot { + } } = h _ { x ^ { + } , + \dot { + } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \Omega ) , ~ ~ ~ \delta e _ { x ^ { - } , - \dot { - } } = h _ { x ^ { , } - \dot { - } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \Omega )

{ \cal { S } } _ { L a g r a n g e } = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { \cal { M } } d V \wedge \Omega { }

G = R _ { a b c d } R ^ { a b c d } - 4 R _ { a b } R ^ { a b } + R ^ { 2 }

w _ { 1 } \cong - w _ { 1 } , \quad w _ { 2 } \cong - w _ { 2 } \, ,

d \tilde { \lambda } = 4 ^ { ( - 2 / \beta ) } s e c h ^ { \left( { 4 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) d \lambda .

S = - i z ^ { 1 } \, , \quad T = - i z ^ { 2 } \, , \quad U = - i z ^ { 3 } \, , \quad V ^ { i } = - i z ^ { i + 3 } \; .

f _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) = \psi \left( \frac { 3 + \sqrt { 1 - p ^ { 2 } l ^ { 2 } } } 2 \right) + \psi \left( \frac { 3 - \sqrt { 1 - p ^ { 2 } l ^ { 2 } } } 2 \right) - \psi ( 2 ) - \psi ( 1 ) ~ .

{ \cal S } _ { 1 } = { \frac { k _ { 1 } } { 4 \theta _ { 1 } } } \int d t \; \mathrm { { T r } } \left( i { \bar { Z } _ { 1 } } D Z _ { 1 } - \omega _ { 1 } { \bar { Z } _ { 1 } } Z _ { 1 } \right) + \frac { i } { 2 } \int d t \; { \bar { \Psi } } _ { 1 } D \Psi _ { 1 } + \frac { k _ { 1 } } { 2 } \int d t \; { \mathrm { T r } } A _ { 1 } + h c

B ^ { ^ { \prime \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { B ^ { \prime } } { \xi } + \xi - 2 \psi _ { 1 } \right) \ .

\begin{aligned} { d \phi \wedge \phi } & { { } = 0 , } \\ { d ( e ^ { - 2 \Phi } * \phi ) } & { { } = 0 , } \\ { d H } & { { } = 0 , } \\ \end{aligned}

S _ { \mathrm { l o c } } [ G , \phi ] = \int d ^ { 4 } x \sqrt { G } \left( - \frac { 6 } { l } - { \frac { l } { 2 } } R + { \frac { l } { 2 } } G ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \, \partial _ { \nu } \phi \right) .

[ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } ] = - i \left[ \theta ( F - \theta ^ { - 1 } ) \theta \right] ^ { \mu \nu }

\left( x ^ { - 1 } M _ { + } L _ { - } + x M _ { - } L _ { + } \right) r ( x ) = r ( x ) \left( x M _ { + } L _ { - } + x ^ { - 1 } M _ { - } L _ { + } \right) .

\nu _ { 1 } = \nu , \qquad \nu _ { 2 } = \nu ,

\nabla _ { i } I _ { j k } + \nabla _ { [ k } I _ { j ] i } = 0 \quad .

P = { \frac { 1 } { \sqrt { - \gamma } } } \left( { \frac { L _ { 2 } { } ^ { \prime } } { \kappa _ { 1 } } } \; \eta _ { 2 } - { \frac { L _ { 2 } \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 1 } } } \; \eta _ { 3 } \right) \, .

\frac { K _ { \omega } ( z ) } { I _ { \omega } ( z ) } + \frac { K _ { \omega } ^ { \prime } ( z ) } { I _ { \omega } ^ { \prime } ( z ) } < 0 .

{ \frac { 1 } { \omega } } \left( - { \frac { 9 } { 2 0 } } - { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) < { \frac { 1 } { 8 \omega + 3 } } \left( - 3 - { \frac { 5 z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) \, ,

V ( T ) \simeq \frac { e } { 8 } \, \tau _ { 3 } \, T ^ { 2 } \, e ^ { - \frac { T ^ { 2 } } { 8 } } \ .

\langle j ^ { \mu } \rangle = \frac { e } { 8 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \sigma } \partial _ { \nu } \theta F _ { \lambda \sigma } = \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } } \partial _ { \nu } ( \theta \tilde { F } ^ { \mu \nu } )

T \mapsto \frac { \alpha T - i \beta } { i \gamma T + \delta }

T _ { ( \mu \nu ) \sigma } = - T _ { ( \nu \mu ) \sigma } \; \; \; ; \; \; \; T _ { ( \mu \nu ) \sigma } + T _ { ( \nu \sigma ) \mu } + T _ { ( \sigma \mu ) \nu } = 0 .

S = 2 \pi \, \frac { \sqrt { ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } ) } } { y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } } - 2 \pi i \frac { x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } { y ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) } \, .

\left\langle : \psi _ { L } \psi _ { R } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { R } ^ { \dagger } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { L } : \right\rangle _ { 0 } = \left\langle : \psi _ { R } ^ { \dagger } \psi _ { R } : \right\rangle _ { 0 } = 0 .

L = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g _ { j k } \dot { x } ^ { j } \dot { x } ^ { k } + \displaystyle \frac { i } { 2 } g _ { j k } \vartheta _ { a } ^ { j } D _ { t } \vartheta _ { a } ^ { k } + \displaystyle \frac { 1 } { 4 } R _ { j k l n } \vartheta _ { 1 } ^ { j } \vartheta _ { 2 } ^ { l } \vartheta _ { 1 } ^ { k } \vartheta _ { 2 } ^ { n } - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { j k } \frac { \partial W } { \partial x ^ { j } } \frac { W } { \partial x ^ { k } } - i W _ { j ; k } \vartheta _ { 1 } ^ { j } \vartheta _ { 2 } ^ { k } ,

S a _ { m } ^ { \dagger } S ^ { - 1 } = B _ { m } ^ { \dagger } = a _ { n } ^ { \dagger } ( E ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi ) ) _ { n m }

g _ { \mathrm { e f f } } \equiv e ^ { \phi } = e ^ { \phi _ { 0 } } \frac { 1 + q ^ { 2 } / n ^ { 2 } } { \left( 1 + [ q ^ { 2 } + e ^ { 2 \phi _ { 0 } } ( p - \chi _ { 0 } q ) ^ { 2 } ] / n ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } ,

0 = \delta \psi _ { \mu } ^ { i } = \partial _ { \mu } \epsilon ^ { i } + \frac 1 4 \omega _ { \mu } ^ { a b } \Gamma _ { a b } \epsilon ^ { i } - \frac 1 { 8 } e _ { \mu } { } ^ { a } F _ { a b c } ^ { 1 } \Gamma ^ { b c } ( \Gamma ^ { \prime } ) ^ { i } { } _ { j } \epsilon ^ { j } \, .

{ \cal Q } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \delta } { 2 } r } & { \beta q } \\ { \gamma p } & { - \frac { \delta } { 2 } r } \\ \end{array} \right) \equiv { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \oint _ { S ^ { 1 } } { \cal J } = \oint _ { S ^ { 1 } } d { \cal M } { \cal M } ^ { - 1 } \, ,

\Box ( 1 + \frac { \Box } { M ^ { 2 } } ) \partial _ { \nu } A ^ { \nu } = 0

W = V _ { \mathrm { t r i v } } ( \pm v _ { B } ) = - { \frac { m _ { h } ^ { 4 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } } < 0

\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 7 } b ^ { 5 } \alpha ^ { 2 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 7 } = \frac { ( A _ { N - 7 } b ^ { 6 } \alpha ) ^ { 7 } } { b ^ { 4 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 4 N } = 1 .

R - 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \nabla ^ { 2 } \phi + J + c = 0 .

V \longrightarrow m V , ~ ~ ~ ~ \bar { U } \longrightarrow n \bar { U } , ~ ~ ~ ~ ~ ( \mid m \mid = \mid n \mid = 1 )

R ^ { D } ( \lambda ) = R ^ { C } ( \lambda ) \ ; \ L _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda ) = R _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda - i / 2 ) = F L _ { 1 \ell } ^ { A } ( \lambda ) F \ ; \, t i l d e { R } ^ { D } ( \lambda ) = \tilde { R } ^ { B } ( \lambda ) \ ;

S _ { 0 } ^ { ( p ) } = \kappa L ^ { p } \beta t \left[ ( 1 + \sigma _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 + \sigma _ { 1 } ) ^ { p / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \lambda _ { 0 } \sigma _ { 0 } + p \lambda _ { 1 } \sigma _ { 1 } \right) \right]

L = - { \frac { 1 } { 4 F ( \phi ) } } G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + J _ { \mu } ^ { a } A _ { a } ^ { \mu } ,

K = G + A ^ { \alpha } A ^ { \bar { \alpha } } Z _ { \alpha { \bar { \alpha } } } ^ { ( 1 , 1 ) } + B ^ { \nu } B ^ { \bar { \nu } } Z _ { \nu { \bar { \nu } } } ^ { ( 2 , 1 ) } + ( A ^ { \alpha } B ^ { \nu } H _ { \alpha \nu } + c . c ) + \dots

\bar { g } _ { + } ( \xi ) > 0 , \qquad \xi \in ( \nu / \mu ^ { 2 } , \infty ) ,

\lambda _ { n } ( E ) = \lambda _ { n } ( E _ { n } ) + ( E - E _ { n } ) \frac { \partial \lambda _ { n } ( E _ { n } ) } { \partial E _ { n } } = ( E - E _ { n } ) ( \frac { - e ^ { 2 } } { 2 E _ { n } } )

C _ { \mu } ^ { a b } = 2 i g \, \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } \, g ^ { A B } \psi _ { C } ^ { b } \, { A _ { \mu B } } ^ { C } + \left( \, \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } \, g ^ { A B } \, ( \partial _ { \mu } \psi _ { B } ^ { b } ) + \psi _ { B } ^ { b } \, g ^ { A B } \, ( \partial _ { \mu } \overline { { \psi _ { A } ^ { a } } } ) \, \right) ,

L _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } { \alpha } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( { \alpha } _ { - n } \cdot { \alpha } _ { n } + { \alpha } _ { n } \cdot { \alpha } _ { - n } )

\partial _ { t } ^ { 2 } \psi - \nabla ^ { 2 } \psi = - \frac 1 2 \psi ( \psi ^ { 2 } - 1 ) - \epsilon / \lambda

g _ { o r b } = \frac { g _ { N } } { \sqrt { 2 } } = \sqrt { \frac { R } { 2 } } \ .

R = { \frac { 1 } { e } } { \frac { ( A ^ { \prime } B ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - { \frac { A B } { 4 e } } ) } }

A = \left( \begin{matrix} { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ \end{matrix} \right)

g _ { \mu \nu } = \mathrm { d i a g } ( - f ( r ) \ , \ f ( r ) ^ { - 1 } )

\dot { r } = p _ { r } \ \ , \ \ \dot { p } _ { r } = \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } - \omega ^ { 2 } \, r \ \ ; \ \, d o t { \theta } = \frac { p _ { \theta } } { r ^ { 2 } } + g \xi \ \ , \ \ \dot { p } _ { \theta } = 0 \ \ ; \ \ \dot { z } = p _ { z } + \xi \ \ , \ \ \dot { p } _ { z } = 0 \ \ ,

{ \bf P } \, { \bf X } _ { S } ( \gamma ) \, { \bf P } = { \bf X } _ { S } ( - \gamma ) \, , \qquad { \bf P } \, r ( \lambda , \gamma ) \, { \bf P } = r ( \lambda , - \gamma ) \, .

\{ \xi ^ { \mu } , \xi ^ { \nu } \} = i \eta ^ { \mu \nu } \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \{ \pi _ { 5 } , \xi _ { 5 } \} = - 1 \, .

S = - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } \gamma ^ { \alpha \beta } G _ { \mu \nu } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X ^ { \nu } .

\Gamma ^ { ( 1 ) } [ \varphi _ { 1 } ] = \frac { \sigma } { 2 ( 2 \sqrt { \pi } ) ^ { d } } \Gamma ( 1 - \frac { d } { 2 } ) ( m _ { 2 } ) ^ { d - 2 } \int d ^ { d } x ~ \varphi _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) .

\left( \frac { f ^ { \prime } } { b _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = H _ { 0 } ^ { 2 } + k _ { \pm } ^ { 2 } f ^ { 2 } ,

H _ { b } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x [ \pi _ { 1 } \pi _ { 1 } + \phi _ { 1 } ( - \nabla ^ { 2 } + m _ { H } ^ { 2 } ) \phi _ { 1 } ] + H _ { b } ^ { \prime }

\theta _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 0 } q _ { 0 } = ( N ^ { + } + 2 \theta _ { 0 } ) N ^ { + } = ( N ^ { -- } 2 \theta _ { 0 } ) N ^ { - }

\widehat { \mit \Pi } = - { \frac { 4 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \psi } { \partial \mu } } \ .

r = a \, \tilde { r } , \; \; \; Q = a ^ { 2 } \tilde { Q } , \; \; \; L = a ^ { 2 } \tilde { L } , \; \; \; E = a \, \tilde { E }

( 1 - \gamma ) ( \partial _ { y } + 2 \ell ^ { - 1 } ) \, h | _ { 0 _ { + } } - \frac { 2 } { 3 } \, \gamma \, \ell \, \big ( \partial _ { \lambda } \partial _ { \rho } h ^ { \lambda \rho } - \partial _ { \lambda } ^ { 2 } h \big ) | _ { 0 _ { + } } = \frac { 1 } { 6 M _ { * } ^ { 3 } } \, S _ { \mu } ^ { \mu } \, .

\chi _ { k = 3 } [ P ] = 2 \mathrm { T r } \, P ^ { 3 } - 3 \mathrm { T r } \, P ^ { 2 } \; \mathrm { T r } \, P + \left( \mathrm { T r } \, P \right) ^ { 3 } .

C _ { y } : ( a , b , c , d , e ) \longrightarrow ( - a , b , - c , d , e ) \nonumber \,

\int _ { x } e ^ { - i p x } \langle \Psi _ { R } ^ { i } ( 0 ) \bar { \Psi } _ { R } ^ { j } ( x ) \rangle ,

\frac { 1 } { \sqrt { g } } \left( - { \frac { \delta S } { \delta g _ { \mu \nu } } } { \frac { \delta S } { \delta g ^ { \mu \nu } } } - \frac { 1 } { 2 } { \frac { \delta S } { \delta \phi ^ { I } } } { \frac { \delta S } { \delta \phi ^ { J } } } G ^ { I J } + \frac { 1 } { d - 1 } \left( g ^ { \mu \nu } { \frac { \delta S } { \delta g ^ { \mu \nu } } } \right) ^ { 2 } \right) ~ = ~ \sqrt { g } ( R ^ { d } + 2 \Lambda + V ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } G _ { I J } \nabla _ { \mu } \phi ^ { I } \nabla ^ { \mu } \phi ^ { J } )

\ddot { \phi } + 3 H \dot { \phi } = - V ^ { \prime } \left( \phi \right) .

A = \frac { 1 } { g } \frac { a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } i \, \omega _ { i } \sigma ^ { i } .

1 \leq \xi \leq \frac { 5 } { 4 } , \; \; \; \; \; \mathrm { L o r e n t z i a n ~ 3 d ~ t r i a n g u l a t i o n s } .

{ \cal { Z } } ^ { F } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { M } ) = \prod _ { j } ( 1 + X _ { j } ) ~ ~ ~ ~ ~ .

F _ { \mu \nu \rho \sigma } ( x ) = \int \! d ^ { 2 } p \ e ^ { - i p x } G _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p ) \theta ( p ^ { 0 } ) \, ,

A _ { f } ^ { \dagger } ( p ) = ( { \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi ) ^ { D } f ( p ) } } ) ^ { 1 / 2 } \int _ { x } e ^ { i p x } [ f ( p ) ( \phi _ { x } - \varphi ) - i \Pi _ { x } ]