v1v1d/Latexify_v1 · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 24 6.82k	text stringlengths 13 2.18k
	\left( 3 2 \mp N \right) ^ { 2 } .
	A _ { \mu } ^ { R } ( x ) = R A _ { \mu } ( x ) R ^ { - 1 } = A _ { \mu } ^ { T } ( x )
	R _ { \alpha \beta } ^ { ; \alpha } = \frac { 1 } { 2 } R _ { ; \beta }
	\Omega _ { 2 } P ^ { i } \Omega _ { 2 } ^ { \dagger } = P ^ { i } - 2 L \int d ^ { 2 } x _ { 2 } ( x _ { \perp } ) \partial _ { i } \gamma ( x _ { \perp } ) .
	{ \bf I m } ( \lambda _ { a } \chi ^ { a } ) = 0
	\delta { d _ { t } } x ^ { \, i } - { d _ { t } } \delta x ^ { \, i } = 0 ,
	[ \, \hat { \varphi } _ { m } - \frac { i \pi } { k m } \hat { \pi } _ { m } , \hat { \pi } _ { n } \, ] = \frac { i } { 2 \pi } \delta _ { m + n , 0 } - \frac { i \pi } { k m } \, \frac { k m } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \delta _ { m + n , 0 } = 0
	s = { \frac { { \bf M } { \bf P } } { \| { \bf P } \| } }
	S = - T _ { p } \int d ^ { p + 1 } \sigma \, \mathrm { T r } \sqrt { - d e t \left( \partial _ { a } x ^ { M } \partial _ { b } x ^ { N } \eta _ { M N } + F _ { a b } + D _ { a } \varphi D _ { b } \varphi + 2 \partial _ { ( a } x ^ { \bot } D _ { b ) } \varphi \right) } ,
	\{ \phi ^ { a } , \phi ^ { b } \} _ { Q , \overline { { Q } } _ { n } } = \omega _ { n } ^ { a b }
	B _ { \mu } = \Omega ^ { + } A _ { \mu } \Omega ( x ) + i \Omega ^ { + } \partial _ { \mu } \Omega ( x )
	f ^ { \gamma } { } _ { a b } = - ( ( m ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ) ^ { \gamma \alpha } m _ { \alpha c } ^ { 0 } f ^ { c } { } _ { a b } = 0
	T = t _ { * } T _ { 0 } , \; \overline { { T } } = \overline { { t _ { * } } } \overline { { T _ { 0 } } } ,
	h _ { r , s } ^ { R } = { \frac { c } { 2 4 } } - { \frac { 1 } { 4 8 } } + { \frac { 1 } { 9 6 } } \left( ( r + s ) \sqrt { 2 - c } + ( r - s ) \sqrt { 8 - c } \right) ^ { 2 } { } ~ .
	{ L _ { \Lambda } } ^ { \Sigma } ( z , \bar { z } ) = \left( \begin{matrix} { { L _ { 1 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 1 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 1 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 1 } } ^ { j } } \\ { { L _ { 2 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 2 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 2 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 2 } } ^ { j } } \\ { { L _ { 3 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 3 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 3 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 3 } } ^ { j } } \\ { { L _ { i } } ^ { 1 } } & { { L _ { i } } ^ { 2 } } & { { L _ { i } } ^ { 3 } } & { { L _ { i } } ^ { j } } \\ \end{matrix} \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { a } } } \left( \begin{matrix} { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \bar { z } ^ { j } } \\ { 0 } & { 0 } & { z _ { i } } & { { M _ { i } } ^ { j } } \\ \end{matrix} \right) ,
	\chi [ \phi ] = \int d \rho \; \varphi _ { S } ^ { \prime } ( \rho ) ( \phi ( t , \rho ) - \varphi _ { S } ( \rho ) ) = 0 ,
	\lambda _ { R L } ^ { - 1 } ( k , \mu ) + \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \mu ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } = \lambda _ { R L } ^ { - 1 } ( k , \mu _ { 0 } ) + \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \mu _ { 0 } ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } .
	S = S _ { c } + \frac { 1 } { 2 } \int \! \! d ^ { 3 } x \, \eta ( x ) M \eta ( x ) + O ( \eta ^ { 3 } )
	d s _ { 6 } ^ { 2 } = e ^ { A } \left( - q d t ^ { 2 } + d z ^ { 2 } \right) + e ^ { - A } \left( \frac { d r ^ { 2 } } { q } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 , k } ^ { 2 } \right) ,
	{ \cal L } _ { K i n } ^ { ( v e c t o r ) } = \mathrm { i } \bar { \cal N } _ { \Lambda \Sigma } { F } _ { \mu \nu } ^ { - \Lambda } { F } ^ { - \Sigma \mu \nu } + h . c .
	{ \cal L } _ { 4 F } ^ { 0 } = \frac { G } { 4 } \left[ { ( \phi _ { S } ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( \phi _ { P } ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + 2 \phi ^ { + } \phi ^ { - } \right] ,
	A ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } + l ^ { 2 } ( 2 E - \frac { l ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } ) .
	\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { a k ^ { a - 1 } } { n ^ { a } } } \sim 1 + { \frac { a \zeta ( 1 - a ) } { n ^ { a } } } + { \cal O } ( n ^ { - 1 } )
	\int _ { o } ^ { \infty } d r \; r ^ { \mu } K _ { \nu } ( a r ) = 2 ^ { \mu - 1 } a ^ { - \mu - 1 } \Gamma ( \frac { \mu + \nu + 1 } 2 ) \Gamma ( \frac { \mu - \nu + 1 } 2 ) , \; ( R e ( \mu \pm \nu ) > 0 , \; R e ( a ) > 0 ) ,
	Q = \epsilon _ { L } Q _ { L } + \epsilon _ { R } Q _ { R } \ ,
	\omega _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { n } ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { g } } + { \frac { 1 } { 2 } } k _ { n } ^ { D - 4 } \int ^ { \Lambda / k _ { n } } { \frac { d ^ { D } q } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } \, { \frac { 1 } { q ^ { 2 } ( q + 1 ) ^ { 2 } } } \right] = 0 .
	\phi \rightarrow U \times \phi , \, \, \phi ^ { * } \rightarrow \phi ^ { * } \times U ^ { - 1 } , \, \, A _ { \mu } \rightarrow U \times A _ { \mu } \times U ^ { - 1 } + \frac { i } { g } ( \partial _ { \mu } U ) \times U ^ { - 1 } .
	0 = \left( \frac { \partial U } { \partial u _ { \nu } } \right) _ { u _ { \mu } = e _ { \mu } } \rightarrow \frac { 1 } { g } + \sum _ { \mu = 1 ( \neq \nu ) } ^ { N } \frac { 2 } { e _ { \mu } - e _ { \nu } } = \sum _ { j = 1 } ^ { \Omega } \frac { 1 } { z _ { j } - e _ { \nu } } \; ,
	\Omega ( x ^ { m } p ^ { n } ) = X ^ { m } P ^ { n } = \Omega ( p ^ { n } x ^ { m } )
	{ \cal V } ^ { i n t } ( r ) \sim - i m ( \bbox { \alpha } _ { 1 } - \bbox { \alpha } _ { 2 } ) B \Gamma _ { 5 } { \bf r } \quad , \quad \mathrm { s i } \quad r < < { \frac { 1 } { m \pi } } \quad .
	\beta = { \frac { 1 } { T _ { H } } } = { \frac { 2 \pi r _ { + } ^ { 2 } \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( r _ { + } ^ { 2 } + q _ { i } ) } } { 2 r _ { + } ^ { 6 } + r _ { + } ^ { 4 } ( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } ) - \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } } } \ .
	\; \; \; \; \; \left\{ \begin{array} { l } { \overline { { R } } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { c ^ { - 1 } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = R \, d x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } + \lambda \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = - c \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, . } \\ \end{array} \right.
	\left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 1 ) } \right] = G _ { a } ^ { ( 2 ) } , \; \left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 2 ) } \right] = 0 ,
	D _ { 0 } ^ { - 1 } ( x - y ) = - ( \Box + m ^ { 2 } ) \delta ^ { D } ( x - y ) .
	T ( z ) w _ { 3 } ( w ) = \frac { 3 w _ { 3 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { \partial w _ { 3 } ( w ) } { z - w } + \ldots
	\int _ { \Sigma } \Phi ^ { * } ( e ) = \int _ { \Sigma } ( \partial _ { z } \phi ^ { i } \partial _ { \bar { z } } \phi ^ { \bar { j } } g _ { i \bar { j } } - \partial _ { \bar { z } } \phi ^ { i } \partial _ { z } \phi ^ { \bar { j } } g _ { i \bar { j } } )
	F _ { m n } = - \frac { 1 } { 2 } * \phi _ { m n } { } ^ { p q } F _ { p q } .
	m _ { n } = \frac { 4 N ^ { 3 } ( 6 N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) } { 3 \ell ^ { 2 } }
	H \, = \, - \, p _ { 1 } ^ { \mu } \, \dot { x } _ { \mu } \, - \, p _ { 2 } ^ { \mu } \, \ddot { x } _ { \mu } \, - \, L \, { . }
	\beta v _ { i , i - 1 } = i = \beta [ g _ { 3 } \rho _ { i } ( \sigma _ { i } + \sigma _ { i - 1 } ) + g _ { 2 } \rho _ { i } ]
	[ b _ { Q } ^ { a } ( { \bf { k } } ) + J _ { 0 } ^ { a } ( { \bf { k } } ) ] \| \nu \rangle = 0 \; ,
	d \tilde { E } = \tilde { T } d \tilde { S } .
	\langle \Omega \| T \left( a _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) a _ { 3 } \left( 0 \right) \right) \| \Omega \rangle \sim \Bigl ( \frac { \ell } { g ^ { 2 } L } \Bigr ) ^ { x _ { \perp } / \ell } \! \! \rightarrow \delta ^ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) \ .
	F _ { i n s t } ( g _ { s } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { c } , U _ { 1 } , U _ { 2 } , V _ { 1 } , V _ { 2 } ) = F _ { i n s t } ^ { ( 1 ) } ( g _ { s } , t _ { c } , U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + F _ { i n s t } ^ { ( 2 ) } ( g _ { s } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , V _ { 1 } , V _ { 2 } )
	( p _ { i } x ^ { i } + q ^ { i } \mathcal { F } _ { i } ) = p _ { 0 } x _ { 0 } + p _ { 1 } x _ { 1 } + i q _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + i q _ { 2 } x _ { 2 } .
	Z _ { K } ( u ) = \frac { ( 1 - \alpha u ) ( 1 - q u / \alpha ) } { ( 1 - q u ) ( 1 - u ) } . \tag { 3 . 3 5 }
	H _ { \mathrm { B P S } } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { A } \{ Q _ { A } , Q _ { A } ^ { \dagger } \} = - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla W ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } } [ \psi ^ { i \dagger } , \psi ^ { j } ]
	\epsilon ^ { \delta \gamma \beta \alpha } D _ { \gamma } ^ { ( i } D _ { \alpha } ^ { k ) } \; { \cal O } = 0 \; .
	\tilde { V } ( \varphi ) = ( { \frac { 1 } { 8 \pi } } - { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } } ) ( { \tilde { \mu } } ^ { 2 } - 1 ) - { \frac { \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi } } l n ( \tilde { \mu } ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \; ,
	d \rho ^ { N } ( X ) = \Xi ( X ) \cdot \rho ^ { N } ( b _ { 0 } ) .
	\mathrm { d e t } _ { r e n } [ 1 - K ( \not { \! \! B } ) ] = e ^ { - \frac { 1 } { 2 \pi } \\| B ^ { T } \\| _ { 2 } ^ { 2 } } \; \; , \; \; B _ { \mu } ^ { T } : = T _ { \mu \nu } B _ { \nu } \; .
	\int d ^ { 4 } q \rightarrow \frac { 2 \pi } { - i \beta } \sum _ { l ^ { \prime } } \int d q _ { 1 } \int d q _ { 2 } \int d q _ { 3 }
	\underline { { h s ( 2 , 2 ) } } : f ( a , \bar { a } ) = \alpha + \alpha _ { i \bar { j } } a ^ { i } \bar { a } ^ { \bar { j } } + \alpha _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \bar { j } _ { 1 } \bar { j } _ { 2 } } a ^ { i _ { 1 } } a ^ { i _ { 2 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 1 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 2 } } + \ldots
	\Psi ( x ) = \left( \begin{array} { c } { \Psi _ { R } ( x ) } \\ { \Psi _ { L } ( x ) } \\ \end{array} \right) .
	S ^ { \mu \nu } ( P + P _ { - } ) _ { \nu } = 0
	\left( \| \hat { p } _ { 3 } \| + G \hbar \lambda _ { ( i ) } - E \right) f _ { i } ( q _ { 3 } ) = 0
	( d e t D ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = ( d e t \tilde { D } _ { + } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( d e t \tilde { D } _ { - } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( d e t \partial _ { 0 } ) ^ { - 4 } \, \, \, \, .
	\left( - \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } - g ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } - 2 g \lambda \varphi + m ^ { 2 } \right) \phi ^ { ( \lambda ) } = 0 .
	\hat { \cal R } _ { \lambda = 1 } \, = \, Q ^ { 2 \left( \hat { \zeta } \otimes \hat { H } + \hat { H } \otimes \hat { \zeta } \right) } \left( 1 \! \mathrm { l } \otimes 1 \! \mathrm { l } + \sigma Q ^ { \hat { \zeta } } \hat { X } _ { + } \otimes Q ^ { - \hat { \zeta } } \hat { X } _ { - } \right)
	\frac { \delta H } { \delta E _ { \mu } ^ { a } ( x ) } = E _ { k } ^ { a } ( x ) \delta _ { } ^ { \mu k }
	\left[ F , T _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 2 } } ^ { ( 2 ) } \right] \approx 0 , \; k = 0 , \cdots , c ,
	A = \left( \begin{array} { c c c } { - 2 M } & { - M \sqrt { 2 } } & { 0 } \\ { M \sqrt { 2 } } & { 0 } & { M \sqrt { 2 } } \\ { 0 } & { - M \sqrt { 2 } } & { 2 M } \\ \end{array} \right) \quad , \quad h _ { i j } = \delta _ { i j } \quad \mathrm { a n d } \quad f = { \frac { 1 } { r } } .
	\begin{array} { c c c } { < ~ , ~ > ~ ~ ~ ~ } & { : } & { ~ ~ ~ ~ \Omega ^ { 1 } ( { \cal A } ) X \Omega ^ { 1 } ( { \cal A } ) \longrightarrow { \cal A } } \\ { < U F , V G > } & { = } & { { \tilde { F } } < U , V > G . } \\ \end{array}
	I ^ { ( i ) } = 2 \beta \sqrt { 2 K _ { 1 } S _ { c } ^ { ( i ) } } ( \frac { E _ { 0 } ^ { ( i ) } } { \pi } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \lambda ^ { \frac { 1 } { 4 } } s ^ { \frac { 1 } { 2 } }
	S _ { b } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int _ { - \pi } ^ { \pi } d y \, \sqrt { G } \, \left( G ^ { A B } \partial _ { A } \Phi \partial _ { B } \Phi - m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right) ,
	{ \cal L } _ { c t } = ( Z _ { \psi } - 1 ) ( \partial _ { \mu } \psi ) ^ { 2 } + \delta M ^ { 2 } \psi ^ { 2 } + \mu ^ { 4 - D } \delta g \psi : \phi \phi : \psi + \mu ^ { 4 - D } \delta \lambda : \psi \psi : \psi ^ { - } \psi ^ { - } ,
	\| \psi _ { m } > = \int \beta _ { k } ( a _ { k , o u t } ^ { \dagger } + \sigma _ { k , m } ^ { * } ( a _ { k , o u t } ^ { \dagger } + a _ { - k , o u t } ^ { \dagger } ) ) d k \| 0 >
	\left( w _ { a } + \frac 1 g \tilde { I } _ { a a ^ { \prime } } \partial ^ { \mu } \frac \delta { \delta V _ { a ^ { \prime } } ^ { \mu } } \right) \Gamma _ { G S W } = 0
	\frac { \delta \phi } { 2 \pi } = 8 \pi G \int _ { 0 } ^ { \infty } d r L ( \rho + { \frac { 1 } { 4 } } ( p _ { r } + p _ { \phi } ) ) .
	{ \cal L } _ { h i g h } \sim \mathrm { T r } [ - \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \hat { F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \lambda _ { 3 } ( \hat { D } _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 4 } } { 4 } ( \eta ^ { 2 } + \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ,
	\tilde { D } = \nabla - \delta + \frac 1 { i \hbar } [ \widetilde { r } , \cdot ] , \qquad \widetilde { r } = G r _ { g } ,
	W _ { \alpha } \equiv \frac { 1 } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } D _ { \alpha } ( X - 2 { \bar { X } } ) , \quad \tau \equiv \frac { 1 } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } X - \frac { 1 } { 6 } J .
	u \left( x _ { \perp } \right) = i \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 3 } \, \Phi _ { \mu } ^ { \dagger } \left( x \right) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { 3 } \Phi ^ { \mu } \left( x \right) \ .
	\frac { 1 } { 2 } \int _ { \epsilon ^ { 2 } R ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 3 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - k ^ { 2 } \pi t / R ^ { 2 } } = R ^ { - 4 } { \cal I } ( \epsilon ^ { 2 } , \alpha = - 2 ) = \frac { 1 } { R ^ { 4 } } \left\{ \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \zeta ( 5 ) + \frac { 1 } { 5 } \epsilon ^ { - 5 } \right\}
	e : \sum _ { i } a _ { i } g _ { i } \to e \cdot \sum _ { i } a _ { i } g _ { i } \cdot e ^ { - 1 } ,
	{ \frac { d \tau } { d r } } = \left( { \frac { Q _ { p } } { Q _ { p } - \ell ^ { 2 } r ^ { 5 - p } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
	{ \cal P } _ { i } ( x ) = - \, \frac { \xi _ { i } ( x ) } { \phi _ { j } ( x ) - \phi _ { k } ( x ) } \, , \qquad ( \mathrm { c y c l i c ~ p e r m u t a t i o n s } \, i \not = j \not = k ) \, .
	I _ { 5 } = C \, T r \left( Z \Omega Z \Omega Z \Omega \right) ,
	e _ { \mu } e _ { \nu } = C _ { \mu \nu } ^ { \lambda } e _ { \lambda } ,
	\bar { \sigma } ^ { 0 } = \sigma ^ { 0 } \ , \quad \quad \quad \quad \bar { \sigma } ^ { \mu \nu } = C ( \sigma ^ { \mu \nu } ) ^ { \mathrm { T } } C ^ { - 1 } = - \sigma ^ { \mu \nu } \ ,
	\nabla ^ { 2 } \left[ ( d - 2 ) h - g - \frac { 1 } { d - 2 } \Phi \right] = 0 \ .
	W ~ \sim ~ \Lambda _ { S U ( 2 ) } ^ { 3 } ~ = ~ { \frac { \Lambda _ { S U ( 4 ) } ^ { 5 } } { \sqrt { M ~ \mathrm { P f } A } } } ~ .
	k T _ { H } = { \frac { \hbar } { 4 \pi r _ { H } } } \sqrt { 1 - { \frac { 2 G m _ { S } / r _ { S } } { ( 1 - r _ { H } / r _ { S } ) } } } .
	\delta _ { \mathrm { g a u g e } } A _ { \mu } ^ { i } ( x ) = D _ { \mu } \lambda ^ { i } ( x ) ,
	+ \ldots + \left\langle A B _ { 2 } \right\rangle + \ldots + \left\langle B _ { 1 } B _ { 2 } \right\rangle + \ldots + \left\langle A B _ { 1 } B _ { 2 } \right\rangle + \ldots \Big \}
	\Bigl [ J _ { + } , J _ { - } \Bigr ] = \lfloor 2 J _ { 3 } \rfloor , \quad \Bigl [ J _ { 3 } , J _ { \pm } \Bigr ] = \pm J _ { \pm }
	{ \cal L } _ { ( 0 ) } = 0 = { \cal L } _ { ( 1 ) }
	L _ { H } ( t u r n i n g ) = \frac { B ( \frac { \gamma } { 2 ( \gamma + 1 ) } , \frac 1 2 ) } { 3 ( \gamma + 1 ) \sqrt { \lambda } } \ ,
	\left\{ \begin{cases} { \delta ^ { ( 1 ) } x _ { \mu } ^ { i } } & { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \xi ^ { i } } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } & { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \tilde { \psi } ^ { i j } } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \xi ^ { i } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } & { = i ( x ^ { i } - x ^ { j } ) _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } ^ { i j } \Gamma ^ { \mu \nu } \epsilon _ { 1 } } \\ \end{cases} \right. , \left\{ \begin{cases} { \delta ^ { ( 2 ) } x _ { \mu } ^ { i } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \xi ^ { i } } & { = \epsilon _ { 2 } } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } & { = 0 } \\ \end{cases} \right. .
	L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \mp \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) } , \; \; \; L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \mp \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) } ,
	G _ { \alpha \beta } \approx \eta _ { \alpha \beta } + \partial _ { \alpha } X ^ { a } \partial _ { \beta } X ^ { a } + { \cal O } \left( ( \partial X ) ^ { 4 } \right)
	B ^ { ( n ) } ( R ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n + 2 m ) R } \, \tilde { B } ^ { ( n , m ) } ( R ) \ .
	\omega \lfloor \eta = { \frac { 1 } { p ! } } \omega _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } } \eta _ { i } g ^ { j _ { p } i } d x ^ { j _ { 1 } } \cdots d x ^ { j _ { p - 1 } } - { \frac { 1 } { p ! } } \omega _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } } \eta _ { i } g ^ { j _ { p - 1 } i } d x ^ { j _ { 1 } } \cdots d x ^ { j _ { p - 2 } } d x ^ { j _ { p } } + \cdots .
	i \frac { \kappa } { 4 \pi } f ^ { a b c } \epsilon _ { \mu \nu \lambda }
	\overbrace { S U ( 5 ) \otimes R ^ { 3 } } ^ { 2 7 } \otimes \overbrace { \phi } ^ { - 1 } ,
	[ { \cal U } , { \cal V } ] _ { q } = q ^ { x } \cdot { \cal U } { \cal V } - q ^ { - x } \cdot { \cal V } { \cal U }
	d e t ( \lambda \widetilde { T } ) ^ { - 1 / 2 } = e ^ { \pm \frac { i \pi } { 4 } ( \zeta - \eta ) } \, \lambda ^ { - \zeta / 2 } \, d e t ( \| \widetilde { T } \| ) ^ { - 1 / 2 }
	{ \cal O } _ { 1 / 2 } ^ { [ m , 0 , 0 ] } = [ W ^ { 1 } ( \theta _ { 2 , 3 , 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 } ) ] ^ { m } \quad \mathrm { a n d } \quad { \cal O } _ { 1 / 2 } ^ { [ 0 , 0 , m ] } = [ \bar { W } _ { 4 } ( \theta _ { 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 , 2 , 3 } ) ] ^ { m } \, .
	S _ { 2 } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \Lambda } { s } } \phi ( - k ) \phi ( k ) \Gamma _ { 2 } ( k ) ,
	{ \bf g } \cdot { \bf H } = { 4 \pi } \, \mathrm { d i a g } \, \, ( n _ { N - 1 } , n _ { N - 2 } - n _ { N - 1 } , \dots , n _ { 1 } - n _ { 2 } , - n _ { 1 } ) \, .

\left( 3 2 \mp N \right) ^ { 2 } .

A _ { \mu } ^ { R } ( x ) = R A _ { \mu } ( x ) R ^ { - 1 } = A _ { \mu } ^ { T } ( x )

R _ { \alpha \beta } ^ { ; \alpha } = \frac { 1 } { 2 } R _ { ; \beta }

\Omega _ { 2 } P ^ { i } \Omega _ { 2 } ^ { \dagger } = P ^ { i } - 2 L \int d ^ { 2 } x _ { 2 } ( x _ { \perp } ) \partial _ { i } \gamma ( x _ { \perp } ) .

{ \bf I m } ( \lambda _ { a } \chi ^ { a } ) = 0

\delta { d _ { t } } x ^ { \, i } - { d _ { t } } \delta x ^ { \, i } = 0 ,

[ \, \hat { \varphi } _ { m } - \frac { i \pi } { k m } \hat { \pi } _ { m } , \hat { \pi } _ { n } \, ] = \frac { i } { 2 \pi } \delta _ { m + n , 0 } - \frac { i \pi } { k m } \, \frac { k m } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \delta _ { m + n , 0 } = 0

s = { \frac { { \bf M } { \bf P } } { | { \bf P } | } }

S = - T _ { p } \int d ^ { p + 1 } \sigma \, \mathrm { T r } \sqrt { - d e t \left( \partial _ { a } x ^ { M } \partial _ { b } x ^ { N } \eta _ { M N } + F _ { a b } + D _ { a } \varphi D _ { b } \varphi + 2 \partial _ { ( a } x ^ { \bot } D _ { b ) } \varphi \right) } ,

\{ \phi ^ { a } , \phi ^ { b } \} _ { Q , \overline { { Q } } _ { n } } = \omega _ { n } ^ { a b }

B _ { \mu } = \Omega ^ { + } A _ { \mu } \Omega ( x ) + i \Omega ^ { + } \partial _ { \mu } \Omega ( x )

f ^ { \gamma } { } _ { a b } = - ( ( m ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ) ^ { \gamma \alpha } m _ { \alpha c } ^ { 0 } f ^ { c } { } _ { a b } = 0

T = t _ { * } T _ { 0 } , \; \overline { { T } } = \overline { { t _ { * } } } \overline { { T _ { 0 } } } ,

h _ { r , s } ^ { R } = { \frac { c } { 2 4 } } - { \frac { 1 } { 4 8 } } + { \frac { 1 } { 9 6 } } \left( ( r + s ) \sqrt { 2 - c } + ( r - s ) \sqrt { 8 - c } \right) ^ { 2 } { } ~ .

{ L _ { \Lambda } } ^ { \Sigma } ( z , \bar { z } ) = \left( \begin{matrix} { { L _ { 1 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 1 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 1 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 1 } } ^ { j } } \\ { { L _ { 2 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 2 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 2 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 2 } } ^ { j } } \\ { { L _ { 3 } } ^ { 1 } } & { { L _ { 3 } } ^ { 2 } } & { { L _ { 3 } } ^ { 3 } } & { { L _ { 3 } } ^ { j } } \\ { { L _ { i } } ^ { 1 } } & { { L _ { i } } ^ { 2 } } & { { L _ { i } } ^ { 3 } } & { { L _ { i } } ^ { j } } \\ \end{matrix} \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { a } } } \left( \begin{matrix} { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \bar { z } ^ { j } } \\ { 0 } & { 0 } & { z _ { i } } & { { M _ { i } } ^ { j } } \\ \end{matrix} \right) ,

\chi [ \phi ] = \int d \rho \; \varphi _ { S } ^ { \prime } ( \rho ) ( \phi ( t , \rho ) - \varphi _ { S } ( \rho ) ) = 0 ,

\lambda _ { R L } ^ { - 1 } ( k , \mu ) + \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \mu ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } = \lambda _ { R L } ^ { - 1 } ( k , \mu _ { 0 } ) + \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \mu _ { 0 } ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } .

S = S _ { c } + \frac { 1 } { 2 } \int \! \! d ^ { 3 } x \, \eta ( x ) M \eta ( x ) + O ( \eta ^ { 3 } )

d s _ { 6 } ^ { 2 } = e ^ { A } \left( - q d t ^ { 2 } + d z ^ { 2 } \right) + e ^ { - A } \left( \frac { d r ^ { 2 } } { q } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 , k } ^ { 2 } \right) ,

{ \cal L } _ { K i n } ^ { ( v e c t o r ) } = \mathrm { i } \bar { \cal N } _ { \Lambda \Sigma } { F } _ { \mu \nu } ^ { - \Lambda } { F } ^ { - \Sigma \mu \nu } + h . c .

{ \cal L } _ { 4 F } ^ { 0 } = \frac { G } { 4 } \left[ { ( \phi _ { S } ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( \phi _ { P } ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + 2 \phi ^ { + } \phi ^ { - } \right] ,

A ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } + l ^ { 2 } ( 2 E - \frac { l ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } ) .

\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { a k ^ { a - 1 } } { n ^ { a } } } \sim 1 + { \frac { a \zeta ( 1 - a ) } { n ^ { a } } } + { \cal O } ( n ^ { - 1 } )

\int _ { o } ^ { \infty } d r \; r ^ { \mu } K _ { \nu } ( a r ) = 2 ^ { \mu - 1 } a ^ { - \mu - 1 } \Gamma ( \frac { \mu + \nu + 1 } 2 ) \Gamma ( \frac { \mu - \nu + 1 } 2 ) , \; ( R e ( \mu \pm \nu ) > 0 , \; R e ( a ) > 0 ) ,

Q = \epsilon _ { L } Q _ { L } + \epsilon _ { R } Q _ { R } \ ,

\omega _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { n } ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { g } } + { \frac { 1 } { 2 } } k _ { n } ^ { D - 4 } \int ^ { \Lambda / k _ { n } } { \frac { d ^ { D } q } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } \, { \frac { 1 } { q ^ { 2 } ( q + 1 ) ^ { 2 } } } \right] = 0 .

\phi \rightarrow U \times \phi , \, \, \phi ^ { * } \rightarrow \phi ^ { * } \times U ^ { - 1 } , \, \, A _ { \mu } \rightarrow U \times A _ { \mu } \times U ^ { - 1 } + \frac { i } { g } ( \partial _ { \mu } U ) \times U ^ { - 1 } .

0 = \left( \frac { \partial U } { \partial u _ { \nu } } \right) _ { u _ { \mu } = e _ { \mu } } \rightarrow \frac { 1 } { g } + \sum _ { \mu = 1 ( \neq \nu ) } ^ { N } \frac { 2 } { e _ { \mu } - e _ { \nu } } = \sum _ { j = 1 } ^ { \Omega } \frac { 1 } { z _ { j } - e _ { \nu } } \; ,

\Omega ( x ^ { m } p ^ { n } ) = X ^ { m } P ^ { n } = \Omega ( p ^ { n } x ^ { m } )

{ \cal V } ^ { i n t } ( r ) \sim - i m ( \bbox { \alpha } _ { 1 } - \bbox { \alpha } _ { 2 } ) B \Gamma _ { 5 } { \bf r } \quad , \quad \mathrm { s i } \quad r < < { \frac { 1 } { m \pi } } \quad .

\beta = { \frac { 1 } { T _ { H } } } = { \frac { 2 \pi r _ { + } ^ { 2 } \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( r _ { + } ^ { 2 } + q _ { i } ) } } { 2 r _ { + } ^ { 6 } + r _ { + } ^ { 4 } ( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } ) - \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } } } \ .

\; \; \; \; \; \left\{ \begin{array} { l } { \overline { { R } } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { c ^ { - 1 } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = R \, d x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } + \lambda \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } \\ { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = - c \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, . } \\ \end{array} \right.

\left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 1 ) } \right] = G _ { a } ^ { ( 2 ) } , \; \left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 2 ) } \right] = 0 ,

D _ { 0 } ^ { - 1 } ( x - y ) = - ( \Box + m ^ { 2 } ) \delta ^ { D } ( x - y ) .

T ( z ) w _ { 3 } ( w ) = \frac { 3 w _ { 3 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { \partial w _ { 3 } ( w ) } { z - w } + \ldots

\int _ { \Sigma } \Phi ^ { * } ( e ) = \int _ { \Sigma } ( \partial _ { z } \phi ^ { i } \partial _ { \bar { z } } \phi ^ { \bar { j } } g _ { i \bar { j } } - \partial _ { \bar { z } } \phi ^ { i } \partial _ { z } \phi ^ { \bar { j } } g _ { i \bar { j } } )

F _ { m n } = - \frac { 1 } { 2 } * \phi _ { m n } { } ^ { p q } F _ { p q } .

m _ { n } = \frac { 4 N ^ { 3 } ( 6 N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) } { 3 \ell ^ { 2 } }

H \, = \, - \, p _ { 1 } ^ { \mu } \, \dot { x } _ { \mu } \, - \, p _ { 2 } ^ { \mu } \, \ddot { x } _ { \mu } \, - \, L \, { . }

\beta v _ { i , i - 1 } = i = \beta [ g _ { 3 } \rho _ { i } ( \sigma _ { i } + \sigma _ { i - 1 } ) + g _ { 2 } \rho _ { i } ]

[ b _ { Q } ^ { a } ( { \bf { k } } ) + J _ { 0 } ^ { a } ( { \bf { k } } ) ] | \nu \rangle = 0 \; ,

d \tilde { E } = \tilde { T } d \tilde { S } .

\langle \Omega | T \left( a _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) a _ { 3 } \left( 0 \right) \right) | \Omega \rangle \sim \Bigl ( \frac { \ell } { g ^ { 2 } L } \Bigr ) ^ { x _ { \perp } / \ell } \! \! \rightarrow \delta ^ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) \ .

F _ { i n s t } ( g _ { s } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { c } , U _ { 1 } , U _ { 2 } , V _ { 1 } , V _ { 2 } ) = F _ { i n s t } ^ { ( 1 ) } ( g _ { s } , t _ { c } , U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + F _ { i n s t } ^ { ( 2 ) } ( g _ { s } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , V _ { 1 } , V _ { 2 } )

( p _ { i } x ^ { i } + q ^ { i } \mathcal { F } _ { i } ) = p _ { 0 } x _ { 0 } + p _ { 1 } x _ { 1 } + i q _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + i q _ { 2 } x _ { 2 } .

Z _ { K } ( u ) = \frac { ( 1 - \alpha u ) ( 1 - q u / \alpha ) } { ( 1 - q u ) ( 1 - u ) } . \tag { 3 . 3 5 }

H _ { \mathrm { B P S } } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { A } \{ Q _ { A } , Q _ { A } ^ { \dagger } \} = - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla W ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } } [ \psi ^ { i \dagger } , \psi ^ { j } ]

\epsilon ^ { \delta \gamma \beta \alpha } D _ { \gamma } ^ { ( i } D _ { \alpha } ^ { k ) } \; { \cal O } = 0 \; .

\tilde { V } ( \varphi ) = ( { \frac { 1 } { 8 \pi } } - { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } } ) ( { \tilde { \mu } } ^ { 2 } - 1 ) - { \frac { \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi } } l n ( \tilde { \mu } ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \; ,

d \rho ^ { N } ( X ) = \Xi ( X ) \cdot \rho ^ { N } ( b _ { 0 } ) .

\mathrm { d e t } _ { r e n } [ 1 - K ( \not { \! \! B } ) ] = e ^ { - \frac { 1 } { 2 \pi } \| B ^ { T } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \; \; , \; \; B _ { \mu } ^ { T } : = T _ { \mu \nu } B _ { \nu } \; .

\int d ^ { 4 } q \rightarrow \frac { 2 \pi } { - i \beta } \sum _ { l ^ { \prime } } \int d q _ { 1 } \int d q _ { 2 } \int d q _ { 3 }

\underline { { h s ( 2 , 2 ) } } : f ( a , \bar { a } ) = \alpha + \alpha _ { i \bar { j } } a ^ { i } \bar { a } ^ { \bar { j } } + \alpha _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \bar { j } _ { 1 } \bar { j } _ { 2 } } a ^ { i _ { 1 } } a ^ { i _ { 2 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 1 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 2 } } + \ldots

\Psi ( x ) = \left( \begin{array} { c } { \Psi _ { R } ( x ) } \\ { \Psi _ { L } ( x ) } \\ \end{array} \right) .

S ^ { \mu \nu } ( P + P _ { - } ) _ { \nu } = 0

\left( | \hat { p } _ { 3 } | + G \hbar \lambda _ { ( i ) } - E \right) f _ { i } ( q _ { 3 } ) = 0

( d e t D ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = ( d e t \tilde { D } _ { + } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( d e t \tilde { D } _ { - } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( d e t \partial _ { 0 } ) ^ { - 4 } \, \, \, \, .

\left( - \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } - g ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } - 2 g \lambda \varphi + m ^ { 2 } \right) \phi ^ { ( \lambda ) } = 0 .

\hat { \cal R } _ { \lambda = 1 } \, = \, Q ^ { 2 \left( \hat { \zeta } \otimes \hat { H } + \hat { H } \otimes \hat { \zeta } \right) } \left( 1 \! \mathrm { l } \otimes 1 \! \mathrm { l } + \sigma Q ^ { \hat { \zeta } } \hat { X } _ { + } \otimes Q ^ { - \hat { \zeta } } \hat { X } _ { - } \right)

\frac { \delta H } { \delta E _ { \mu } ^ { a } ( x ) } = E _ { k } ^ { a } ( x ) \delta _ { } ^ { \mu k }

\left[ F , T _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 2 } } ^ { ( 2 ) } \right] \approx 0 , \; k = 0 , \cdots , c ,

A = \left( \begin{array} { c c c } { - 2 M } & { - M \sqrt { 2 } } & { 0 } \\ { M \sqrt { 2 } } & { 0 } & { M \sqrt { 2 } } \\ { 0 } & { - M \sqrt { 2 } } & { 2 M } \\ \end{array} \right) \quad , \quad h _ { i j } = \delta _ { i j } \quad \mathrm { a n d } \quad f = { \frac { 1 } { r } } .

\begin{array} { c c c } { < ~ , ~ > ~ ~ ~ ~ } & { : } & { ~ ~ ~ ~ \Omega ^ { 1 } ( { \cal A } ) X \Omega ^ { 1 } ( { \cal A } ) \longrightarrow { \cal A } } \\ { < U F , V G > } & { = } & { { \tilde { F } } < U , V > G . } \\ \end{array}

I ^ { ( i ) } = 2 \beta \sqrt { 2 K _ { 1 } S _ { c } ^ { ( i ) } } ( \frac { E _ { 0 } ^ { ( i ) } } { \pi } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \lambda ^ { \frac { 1 } { 4 } } s ^ { \frac { 1 } { 2 } }

S _ { b } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int _ { - \pi } ^ { \pi } d y \, \sqrt { G } \, \left( G ^ { A B } \partial _ { A } \Phi \partial _ { B } \Phi - m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right) ,

{ \cal L } _ { c t } = ( Z _ { \psi } - 1 ) ( \partial _ { \mu } \psi ) ^ { 2 } + \delta M ^ { 2 } \psi ^ { 2 } + \mu ^ { 4 - D } \delta g \psi : \phi \phi : \psi + \mu ^ { 4 - D } \delta \lambda : \psi \psi : \psi ^ { - } \psi ^ { - } ,

| \psi _ { m } > = \int \beta _ { k } ( a _ { k , o u t } ^ { \dagger } + \sigma _ { k , m } ^ { * } ( a _ { k , o u t } ^ { \dagger } + a _ { - k , o u t } ^ { \dagger } ) ) d k | 0 >

\left( w _ { a } + \frac 1 g \tilde { I } _ { a a ^ { \prime } } \partial ^ { \mu } \frac \delta { \delta V _ { a ^ { \prime } } ^ { \mu } } \right) \Gamma _ { G S W } = 0

\frac { \delta \phi } { 2 \pi } = 8 \pi G \int _ { 0 } ^ { \infty } d r L ( \rho + { \frac { 1 } { 4 } } ( p _ { r } + p _ { \phi } ) ) .

{ \cal L } _ { h i g h } \sim \mathrm { T r } [ - \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \hat { F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \lambda _ { 3 } ( \hat { D } _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 4 } } { 4 } ( \eta ^ { 2 } + \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ,

\tilde { D } = \nabla - \delta + \frac 1 { i \hbar } [ \widetilde { r } , \cdot ] , \qquad \widetilde { r } = G r _ { g } ,

W _ { \alpha } \equiv \frac { 1 } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } D _ { \alpha } ( X - 2 { \bar { X } } ) , \quad \tau \equiv \frac { 1 } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } X - \frac { 1 } { 6 } J .

u \left( x _ { \perp } \right) = i \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 3 } \, \Phi _ { \mu } ^ { \dagger } \left( x \right) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { 3 } \Phi ^ { \mu } \left( x \right) \ .

\frac { 1 } { 2 } \int _ { \epsilon ^ { 2 } R ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 3 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - k ^ { 2 } \pi t / R ^ { 2 } } = R ^ { - 4 } { \cal I } ( \epsilon ^ { 2 } , \alpha = - 2 ) = \frac { 1 } { R ^ { 4 } } \left\{ \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \zeta ( 5 ) + \frac { 1 } { 5 } \epsilon ^ { - 5 } \right\}

e : \sum _ { i } a _ { i } g _ { i } \to e \cdot \sum _ { i } a _ { i } g _ { i } \cdot e ^ { - 1 } ,

{ \frac { d \tau } { d r } } = \left( { \frac { Q _ { p } } { Q _ { p } - \ell ^ { 2 } r ^ { 5 - p } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .

{ \cal P } _ { i } ( x ) = - \, \frac { \xi _ { i } ( x ) } { \phi _ { j } ( x ) - \phi _ { k } ( x ) } \, , \qquad ( \mathrm { c y c l i c ~ p e r m u t a t i o n s } \, i \not = j \not = k ) \, .

I _ { 5 } = C \, T r \left( Z \Omega Z \Omega Z \Omega \right) ,

e _ { \mu } e _ { \nu } = C _ { \mu \nu } ^ { \lambda } e _ { \lambda } ,

\bar { \sigma } ^ { 0 } = \sigma ^ { 0 } \ , \quad \quad \quad \quad \bar { \sigma } ^ { \mu \nu } = C ( \sigma ^ { \mu \nu } ) ^ { \mathrm { T } } C ^ { - 1 } = - \sigma ^ { \mu \nu } \ ,

\nabla ^ { 2 } \left[ ( d - 2 ) h - g - \frac { 1 } { d - 2 } \Phi \right] = 0 \ .

W ~ \sim ~ \Lambda _ { S U ( 2 ) } ^ { 3 } ~ = ~ { \frac { \Lambda _ { S U ( 4 ) } ^ { 5 } } { \sqrt { M ~ \mathrm { P f } A } } } ~ .

k T _ { H } = { \frac { \hbar } { 4 \pi r _ { H } } } \sqrt { 1 - { \frac { 2 G m _ { S } / r _ { S } } { ( 1 - r _ { H } / r _ { S } ) } } } .

\delta _ { \mathrm { g a u g e } } A _ { \mu } ^ { i } ( x ) = D _ { \mu } \lambda ^ { i } ( x ) ,

+ \ldots + \left\langle A B _ { 2 } \right\rangle + \ldots + \left\langle B _ { 1 } B _ { 2 } \right\rangle + \ldots + \left\langle A B _ { 1 } B _ { 2 } \right\rangle + \ldots \Big \}

\Bigl [ J _ { + } , J _ { - } \Bigr ] = \lfloor 2 J _ { 3 } \rfloor , \quad \Bigl [ J _ { 3 } , J _ { \pm } \Bigr ] = \pm J _ { \pm }

{ \cal L } _ { ( 0 ) } = 0 = { \cal L } _ { ( 1 ) }

L _ { H } ( t u r n i n g ) = \frac { B ( \frac { \gamma } { 2 ( \gamma + 1 ) } , \frac 1 2 ) } { 3 ( \gamma + 1 ) \sqrt { \lambda } } \ ,

\left\{ \begin{cases} { \delta ^ { ( 1 ) } x _ { \mu } ^ { i } } & { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \xi ^ { i } } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } & { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \tilde { \psi } ^ { i j } } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \xi ^ { i } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } & { = i ( x ^ { i } - x ^ { j } ) _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } ^ { i j } \Gamma ^ { \mu \nu } \epsilon _ { 1 } } \\ \end{cases} \right. , \left\{ \begin{cases} { \delta ^ { ( 2 ) } x _ { \mu } ^ { i } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } & { = 0 } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \xi ^ { i } } & { = \epsilon _ { 2 } } \\ { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } & { = 0 } \\ \end{cases} \right. .

L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \mp \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) } , \; \; \; L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \mp \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) } ,

G _ { \alpha \beta } \approx \eta _ { \alpha \beta } + \partial _ { \alpha } X ^ { a } \partial _ { \beta } X ^ { a } + { \cal O } \left( ( \partial X ) ^ { 4 } \right)

B ^ { ( n ) } ( R ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n + 2 m ) R } \, \tilde { B } ^ { ( n , m ) } ( R ) \ .

\omega \lfloor \eta = { \frac { 1 } { p ! } } \omega _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } } \eta _ { i } g ^ { j _ { p } i } d x ^ { j _ { 1 } } \cdots d x ^ { j _ { p - 1 } } - { \frac { 1 } { p ! } } \omega _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } } \eta _ { i } g ^ { j _ { p - 1 } i } d x ^ { j _ { 1 } } \cdots d x ^ { j _ { p - 2 } } d x ^ { j _ { p } } + \cdots .

i \frac { \kappa } { 4 \pi } f ^ { a b c } \epsilon _ { \mu \nu \lambda }

\overbrace { S U ( 5 ) \otimes R ^ { 3 } } ^ { 2 7 } \otimes \overbrace { \phi } ^ { - 1 } ,

[ { \cal U } , { \cal V } ] _ { q } = q ^ { x } \cdot { \cal U } { \cal V } - q ^ { - x } \cdot { \cal V } { \cal U }

d e t ( \lambda \widetilde { T } ) ^ { - 1 / 2 } = e ^ { \pm \frac { i \pi } { 4 } ( \zeta - \eta ) } \, \lambda ^ { - \zeta / 2 } \, d e t ( | \widetilde { T } | ) ^ { - 1 / 2 }

{ \cal O } _ { 1 / 2 } ^ { [ m , 0 , 0 ] } = [ W ^ { 1 } ( \theta _ { 2 , 3 , 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 } ) ] ^ { m } \quad \mathrm { a n d } \quad { \cal O } _ { 1 / 2 } ^ { [ 0 , 0 , m ] } = [ \bar { W } _ { 4 } ( \theta _ { 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 , 2 , 3 } ) ] ^ { m } \, .

S _ { 2 } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \Lambda } { s } } \phi ( - k ) \phi ( k ) \Gamma _ { 2 } ( k ) ,

{ \bf g } \cdot { \bf H } = { 4 \pi } \, \mathrm { d i a g } \, \, ( n _ { N - 1 } , n _ { N - 2 } - n _ { N - 1 } , \dots , n _ { 1 } - n _ { 2 } , - n _ { 1 } ) \, .